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title: "Variáveis aleatórias e a distribuição binomial"
book: "Matemática do ensino médio"
subject: math
language: pt
chapter: 33
exercises: 8
source: https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/33-variaveis-aleatorias-e-a-distribuicao-binomial
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# Capítulo 33 — Variáveis aleatórias e a distribuição binomial

Uma [variável aleatória](#def-g12-randvar-rv) associa um número a cada resultado de um experimento: um ganho, uma contagem, uma duração. Sua [esperança](#def-g12-randvar-exp) é a [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean) a longo prazo dos valores que ela produz; sua [variância](#def-g12-randvar-exp) mede a dispersão desses valores. A estrela deste capítulo é a [distribuição binomial](#def-g12-randvar-binomial), que conta os sucessos em repetições [independentes](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/32-probabilidade-condicional-e-independencia#def-g12-condprob-indep). As variáveis aleatórias e a [distribuição binomial](#def-g12-randvar-binomial) apareceram pela primeira vez nos Capítulos [18](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/18-probabilidade-e-variaveis-aleatorias#ch-g11-prob) e [19](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/19-a-distribuicao-binomial#ch-g11-binom); este capítulo as revisa e as aprofunda, agora com as ferramentas combinatórias do [Capítulo 27](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/27-analise-combinatoria-e-contagem#ch-g12-comb) à disposição.

## 33.1 Variáveis aleatórias discretas

**Definição 33.1 (Variável aleatória, distribuição).**

Uma *variável aleatória* sobre um [espaço amostral](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/18-probabilidade-e-variaveis-aleatorias#def-g11-prob-model) finito $\Omega$ é uma [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) $X \colon \Omega \to \R$. Sua *distribuição* (ou lei) é o conjunto de seus valores possíveis $x_1, \dots, x_k$ e das [probabilidades](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution)

$$
p_i = \P(X = x_i), \qquad \sum_{i=1}^{k} p_i = 1 .
$$

**Definição 33.2 (Esperança, variância, desvio padrão).**

A *esperança* de $X$ é

$$
\E(X) = \sum_{i=1}^{k} p_i\, x_i ,
$$

sua *variância* e seu *[desvio padrão](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-variance)* são

$$
\V(X) = \E\bigl((X - \E(X))^2\bigr) = \sum_{i=1}^k p_i\bigl(x_i - \E(X)\bigr)^2,
\qquad
\sigma(X) = \sqrt{\V(X)} .
$$

**Proposição 33.3 (Fórmula de König–Huygens).**

$\V(X) = \E(X^2) - \E(X)^2$.

**Demonstração.** Escreva $m = \E(X)$ e desenvolva:

$$
\V(X) = \sum_i p_i (x_i^2 - 2m x_i + m^2)
= \E(X^2) - 2m\sum_i p_i x_i + m^2\sum_i p_i
= \E(X^2) - 2m^2 + m^2 . \qedhere
$$

∎

**Proposição 33.4 (Transformação afim).**

Para $a, b \in \R$:

$$
\E(aX + b) = a\,\E(X) + b, \qquad
\V(aX + b) = a^2\,\V(X) .
$$

**Demonstração.** A primeira é um rearranjo da soma que define a [esperança](#def-g12-randvar-exp). Para a segunda, $aX + b$ se afasta de sua [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean) por $a(X - \E(X))$, e elevar ao quadrado multiplica por $a^2$. ∎

**Exemplo 33.5 (Jogos equitativos).**

Um jogo custa $2$ euros; um dado é lançado, e o jogador recebe o valor mostrado se este for pelo menos $5$, e nada caso contrário. O ganho $G$ assume os valores $-2$ ([probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) $\frac46$), $3$ ($\frac16$), $4$ ($\frac16$):

$$
\E(G) = \frac{-8 + 3 + 4}{6} = -\frac{1}{6} < 0 .
$$

Em [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean), o jogador perde $17$ centavos por partida: o jogo é desfavorável (como quase todos os jogos reais).

## 33.2 Ensaios de Bernoulli e a distribuição binomial

**Definição 33.6 (Distribuição de Bernoulli).**

Um *ensaio de Bernoulli* é um experimento com dois resultados, *sucesso* ([probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) $p$) e *fracasso* ($q = 1 - p$). O indicador $X$ do sucesso ($X = 1$ em caso de sucesso, $0$ em caso de fracasso) segue a *[distribuição](#def-g12-randvar-rv) de Bernoulli* $\mathcal B(p)$:

$$
\E(X) = p, \qquad \V(X) = p(1-p) .
$$

(De fato, $\E(X) = p$, $\E(X^2) = p$, e König–Huygens dá $\V(X) = p - p^2$.)

**Definição 33.7 (Distribuição binomial).**

Repita um [ensaio de Bernoulli](#def-g12-randvar-bernoulli) $n$ vezes de maneira independente e seja $X$ o número total de sucessos. A [distribuição](#def-g12-randvar-rv) de $X$ é a *distribuição binomial* $\mathcal B(n, p)$.

![Três ensaios de Bernoulli: exatamente 32 = 3 dos 23 caminhos dão dois sucessos (em vermelho), cada um com probabilidade p2(1-p), de modo que (X = 2) = 3p2(1-p).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-randvar/fig-c70f3b626032.svg)

*Três [ensaios de Bernoulli](#def-g12-randvar-bernoulli): exatamente $\binom{3}{2} = 3$ dos $2^3$ caminhos dão dois sucessos (em vermelho), cada um com [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) $p^2(1-p)$, de modo que $\P(X = 2) = 3p^2(1-p)$.*

**Teorema 33.8.**

Se $X \sim \mathcal B(n, p)$, então, para $0 \leq k \leq n$:

$$
\P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k},
$$

e

$$
\E(X) = np, \qquad \V(X) = np(1-p) .
$$

**Demonstração.** Uma [sequência](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#def-g12-seq-sequence) determinada de resultados com $k$ sucessos e $n-k$ fracassos tem [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) $p^k(1-p)^{n-k}$ por [independência](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/32-probabilidade-condicional-e-independencia#def-g12-condprob-indep); o número de tais [sequências](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#def-g12-seq-sequence) é o número de maneiras de colocar os $k$ sucessos entre os $n$ ensaios, a saber $\binom nk$ ([Capítulo 27](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/27-analise-combinatoria-e-contagem#ch-g12-comb)). Somando sobre as [sequências](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#def-g12-seq-sequence), obtemos a fórmula — e o teorema binomial confirma que $\sum_k \P(X = k) = (p + q)^n = 1$.

Para a [esperança](#def-g12-randvar-exp), usando $k\binom nk = n\binom{n-1}{k-1}$ ([Exercício 27.7](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/27-analise-combinatoria-e-contagem#exo-g12-comb-7)):

$$
\E(X) = \sum_{k=1}^{n} k\binom nk p^k q^{n-k}
= np\sum_{k=1}^{n} \binom{n-1}{k-1} p^{k-1} q^{(n-1)-(k-1)}
= np\,(p + q)^{n-1} = np .
$$

A fórmula da [variância](#def-g12-randvar-exp) se demonstra de modo semelhante com a identidade $k(k-1)\binom nk = n(n-1)\binom{n-2}{k-2}$, que dá $\E(X(X-1)) = n(n-1)p^2$, donde $\V(X) = n(n-1)p^2 + np - (np)^2 = np(1-p)$. (Uma demonstração estrutural — a [variância](#def-g12-randvar-exp) de uma soma de variáveis [independentes](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/32-probabilidade-condicional-e-independencia#def-g12-condprob-indep) — virá com o [Teorema 34.4](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/34-somas-de-variaveis-aleatorias-e-a-lei-dos-grandes-numeros#thm-g12-sums-variance).) ∎

![A distribuição B(20, 0.3): média np = 6, desvio padrão √npq 2.05.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-randvar/fig-a340174233d1.svg)

*A [distribuição](#def-g12-randvar-rv) $\mathcal B(20, 0.3)$: [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean) $np = 6$, [desvio padrão](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-variance) $\sqrt{npq} \approx 2.05$.*

**Método 33.9 (Reconhecer uma situação binomial).**

Verifique os três ingredientes antes de escrever $X \sim \mathcal B(n,p)$: um *número fixo* $n$ de ensaios; *dois resultados* por ensaio com a *mesma* [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) de sucesso $p$; *[independência](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/32-probabilidade-condicional-e-independencia#def-g12-condprob-indep)* dos ensaios (amostragem *com* reposição, ou em uma população grande). Depois use

$$
\P(X \geq 1) = 1 - (1-p)^n
$$

para “ao menos um sucesso”, e uma calculadora ou tabelas acumuladas para $\P(X \leq k)$ em geral.

**Exemplo 33.10.**

Quantas vezes é preciso lançar um dado para ter ao menos $99\%$ de chance de tirar um seis? Com $X \sim \mathcal B\left(n, \frac16\right)$: $\P(X \geq 1) = 1 - \left(\frac56\right)^n \geq 0.99$ significa $\left(\frac56\right)^n \leq 0.01$, *isto é*, $n \geq \frac{\ln 0.01}{\ln(5/6)} \approx 25.3$: a partir de $n = 26$ lançamentos.

## 33.3 Exercícios

**Exercício 33.1 ★.**

Uma [variável aleatória](#def-g12-randvar-rv) $X$ assume os valores $-1, 0, 2, 5$ com [probabilidades](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) $0.3, 0.2, 0.4, 0.1$. Calcule $\E(X)$, $\V(X)$ e $\sigma(X)$.

**Solução de Exercício 33.1.**

$\E(X) = -0.3 + 0 + 0.8 + 0.5 = 1$. $\E(X^2) = 0.3 \times 1 + 0 + 0.4\times4 + 0.1\times25 = 4.4$, logo, por König–Huygens, $\V(X) = 4.4 - 1 = 3.4$ e $\sigma(X) = \sqrt{3.4} \approx 1.84$.

**Exercício 33.2 ★.**

Uma prova de múltipla escolha tem $10$ questões, cada uma com $4$ alternativas, uma das quais é correta. Um estudante responde uniformemente ao acaso, de maneira independente. Seja $X$ o número de respostas corretas.

1. Dê a [distribuição](#def-g12-randvar-rv) de $X$ , $\E(X)$ e $\sigma(X)$ .
2. Calcule $\P(X = 0)$ , $\P(X = 5)$ e $\P(X \geq 1)$ .

**Solução de Exercício 33.2.**

*1.* As $10$ questões são [ensaios de Bernoulli](#def-g12-randvar-bernoulli) [independentes](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/32-probabilidade-condicional-e-independencia#def-g12-condprob-indep) com $p = \frac14$: $X \sim \mathcal B\left(10, \frac14\right)$, $\E(X) = 2.5$, $\sigma(X) = \sqrt{10 \times \frac14 \times \frac34} = \sqrt{1.875}
\approx 1.37$.

*2.* $\P(X = 0) = \left(\frac34\right)^{10} \approx 0.056$;

$$
\P(X = 5) = \binom{10}{5}\left(\frac14\right)^5\left(\frac34\right)^5
\approx 0.058;
\quad
\P(X \geq 1) = 1 - \left(\tfrac34\right)^{10} \approx 0.944 .
$$

**Exercício 33.3 ★.**

Uma seguradora cobre $n = 400$ clientes; cada um abre um sinistro durante o ano com [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) $p = 0.05$, de maneira independente. Seja $X$ o número de sinistros. Identifique a [distribuição](#def-g12-randvar-rv) de $X$ e calcule sua [esperança](#def-g12-randvar-exp) e seu [desvio padrão](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-variance).

**Solução de Exercício 33.3.**

Ensaios idênticos e [independentes](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/32-probabilidade-condicional-e-independencia#def-g12-condprob-indep): $X \sim \mathcal B(400,\ 0.05)$, logo $\E(X) = 20$ sinistros e

$$
\sigma(X) = \sqrt{400 \times 0.05 \times 0.95} = \sqrt{19} \approx 4.4 .
$$

**Exercício 33.4 ★★.**

No jogo do [Exemplo 33.5](#ex-g12-randvar-game), o organizador quer um jogo equitativo ($\E(G) = 0$) mudando o preço de entrada $c$. Determine $c$. Calcule a [variância](#def-g12-randvar-exp) do ganho nessa versão equitativa; “equitativo” é o mesmo que “sem risco”?

**Solução de Exercício 33.4.**

O pagamento $P$ recebido satisfaz $\E(P) = \frac{5 + 6}{6} = \frac{11}{6}$, de modo que o preço equitativo é $c = \frac{11}{6} \approx 1.83$ euros. O ganho equitativo $G = P - \frac{11}6$ assume os valores $-\frac{11}{6}, \frac{19}{6}, \frac{25}{6}$ com [probabilidades](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) $\frac46, \frac16, \frac16$:

$$
\V(G) = \E(G^2)
= \frac{4 \times 121 + 361 + 625}{6 \times 36} = \frac{1470}{216}
= \frac{245}{36} \approx 6.8,
\qquad \sigma(G) \approx 2.6 .
$$

Um jogo equitativo tem ganho *médio* nulo, mas seus resultados ainda flutuam: equitativo não é o mesmo que sem risco.

**Exercício 33.5 ★★.**

Uma jogadora de basquete converte lances livres com [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) $0.7$. Ela arremessa $8$ vezes (arremessos [independentes](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/32-probabilidade-condicional-e-independencia#def-g12-condprob-indep)). Calcule a [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) de que converta: exatamente $6$; ao menos $6$; ao menos um. Qual é o número mais provável de conversões?

**Solução de Exercício 33.5.**

$X \sim \mathcal B(8,\ 0.7)$.

$$
\P(X = 6) = \binom86 (0.7)^6(0.3)^2 \approx 0.296 ;
$$

$$
\P(X \geq 6) = \P(6) + \P(7) + \P(8)
\approx 0.296 + 8(0.7)^7(0.3) + (0.7)^8
\approx 0.296 + 0.198 + 0.058 = 0.552 ;
$$

$\P(X \geq 1) = 1 - (0.3)^8 \approx 0.99993$. Moda: $(n+1)p = 6.3$, de modo que o valor mais provável é $k^* = 6$ ([Exercício 33.7](#exo-g12-randvar-7)).

**Exercício 33.6 ★★.**

Uma companhia aérea sabe que cada passageiro com reserva comparece com [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) $0.9$, de maneira independente. Um voo tem $100$ assentos e a companhia vende $104$ passagens. Exprima, usando uma [distribuição binomial](#def-g12-randvar-binomial), a [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) de que compareçam mais passageiros do que assentos, e limite-a numericamente com uma calculadora (dê a expressão exata).

**Solução de Exercício 33.6.**

O número de passageiros que comparecem é $X \sim \mathcal B(104,\ 0.9)$; o voo fica com excesso de passageiros quando $X \geq 101$:

$$
\P(X \geq 101) = \sum_{k=101}^{104}\binom{104}{k}(0.9)^k(0.1)^{104-k}
\approx 0.006 .
$$

Vender $4\%$ mais passagens do que assentos provoca um incidente em apenas cerca de $0.6\%$ dos voos — a economia por trás do excesso de reservas.

**Exercício 33.7 ★★.**

Seja $X \sim \mathcal B(n, p)$. Mostre que

$$
\frac{\P(X = k+1)}{\P(X = k)} = \frac{n-k}{k+1}\cdot\frac{p}{1-p},
$$

e deduza que a [distribuição](#def-g12-randvar-rv) cresce até $k^* = \floor{(n+1)p}$ e decresce depois (a *moda* da binomial).

**Solução de Exercício 33.7.**

$$
\frac{\P(X = k+1)}{\P(X = k)}
= \frac{\binom{n}{k+1}}{\binom nk}\cdot\frac{p}{1-p}
= \frac{n - k}{k + 1}\cdot\frac{p}{1-p},
$$

usando $\binom{n}{k+1} = \binom nk \frac{n-k}{k+1}$. Essa razão é $\geq 1$ se, e somente se, $(n-k)p \geq (k+1)(1-p)$, se, e somente se, $np - k p \geq k - kp + 1 - p$, se, e somente se, $k \leq (n+1)p - 1$. Assim, as [probabilidades](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) crescem estritamente enquanto $k + 1 \leq (n+1)p$ e decrescem depois: o [máximo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) é atingido em $k^* = \floor{(n+1)p}$ (compartilhado com $k^* - 1$ quando $(n+1)p$ é inteiro).

**Exercício 33.8 ★★★.**

*(São Petersburgo, domada.)* Uma moeda honesta é lançada até sair cara, mas no máximo $10$ vezes. Seja $N$ o número de lançamentos utilizados; o jogador recebe $2^N$ euros se saiu cara, e $0$ caso contrário.

1. Dê a [distribuição](#def-g12-randvar-rv) de $N$ restrita aos resultados vencedores: $\P(\text{primeira cara no lançamento } k) = 2^{-k}$ para $1 \leq k \leq 10$ , e verifique a [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) total de ganhar.
2. Calcule o ganho esperado. O que ele se tornaria sem o limite de $10$ lançamentos?

**Solução de Exercício 33.8.**

*1.* A primeira cara no lançamento $k$ significa $k-1$ coroas seguidas de uma cara: [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) $\left(\frac12\right)^{k-1}\cdot\frac12 = 2^{-k}$, para $1 \leq k \leq 10$. [Probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) total de ganhar: $\sum_{k=1}^{10} 2^{-k} = 1 - 2^{-10} = \frac{1023}{1024}$ (o jogo só é perdido com dez coroas consecutivas).

*2.* Ganho esperado:

$$
\sum_{k=1}^{10} 2^k \cdot 2^{-k} = \sum_{k=1}^{10} 1 = 10 \text{ euros}.
$$

Sem o limite, a soma $\sum_{k\geq1} 1$ diverge: o ganho esperado é infinito, embora o jogo quase sempre pague uma quantia pequena — o famoso *paradoxo de São Petersburgo*, que mostra que a [esperança](#def-g12-randvar-exp) sozinha não mede o valor de um jogo.

## 33.4 Problema: o voo com excesso de reservas

**Problema 33.1.**

Problema de fim de semana — as companhias aéreas vendem mais assentos do que têm, as fábricas aceitam lotes que mal inspecionaram, e a distribuição binomial arbitra os dois casos

Uma companhia aérea com $100$ assentos vende alegremente $105$ passagens: cerca de $10\,\%$ dos passageiros nunca comparecem, e assentos vazios não rendem nada. Até onde a companhia pode esticar a corda antes que os passageiros preteridos devorem o lucro? A [distribuição binomial](#def-g12-randvar-binomial) ([Teorema 33.8](#thm-g12-randvar-binomial)) responde na casa decimal — e a mesma maquinaria inspeciona lotes de fábrica, precifica rifas e mantém as seguradoras solventes. Decisões sob repetição: este é o trabalho diário da binomial.

**Parte I — Fluência.**

1. Dê a tabela completa da [distribuição](#def-g12-randvar-rv) do número $X$ de seis em três lançamentos de um dado.
2. Calcule $\E(X)$ e $V(X)$ ( [Definição 33.2](#def-g12-randvar-exp) ).
3. Uma barraca cobra $1$ euro por três lançamentos e paga $2$ euros por seis obtido. Calcule o ganho esperado: jogo equitativo?
4. Treino de conferência ( [Método 33.9](#met-g12-randvar-recognize) ): o número de cartas de copas em $5$ cartas retiradas *sem* reposição é binomial? E com reposição? Justifique.
5. Para $X \sim \mathcal B(20,\ 0.3)$ : dê $\E(X)$ e $\sigma(X)$ , e depois $\E(S)$ e $\sigma(S)$ para a pontuação $S = 5X - 10$ ( [Proposição 33.4](#prop-g12-randvar-affine) ).

**Parte II — O voo com excesso de reservas.** Assentos: $100$. Passagens vendidas: $105$. Cada portador de passagem comparece com [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) $0.9$, de maneira independente; seja $X$ o número dos que comparecem.

6. Modelo: justifique $X \sim \mathcal B(105,\ 0.9)$ com a lista de verificação — e confesse o ponto mais frágil do modelo (as ausências são mesmo [independentes](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/32-probabilidade-condicional-e-independencia#def-g12-condprob-indep) ? pense em grupos e em tempestades).
7. Calcule $\E(X)$ e $\sigma(X)$ .
8. Há passageiros preteridos quando $X \geq 101$ : escreva $\P(X \geq 101)$ como uma soma explícita de cinco termos binomiais.
9. Avalie a soma (calculadora): que fração dos voos vê ao menos um passageiro preterido?
10. Dinheiro: as cinco passagens extras rendem $5 \times 200 = 1\,000$ euros; cada passageiro preterido custa $800$ euros de indenização. Calcule o número esperado de passageiros preteridos, $\sum_{k=101}^{105} (k - 100)\,\P(X = k)$ , a indenização esperada e o veredicto sobre a política.
11. Projeto: o regulador tolera $\P(\text{preterição}) < 5\,\%$ . Testando $n = 105, 106, 107, \dots$ passagens, encontre o maior $n$ permitido.
12. O atalho do sino: para $n = 105$ , calcule o [escore z](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#pb-g11-stat-1) do limiar de preterição, $z = \frac{100.5 - \E(X)}{\sigma(X)}$ , e compare a estimativa grosseira “cerca de $2\sigma$ , logo uns $2$ – $3\,\%$ na cauda superior” com sua resposta exata. (A curva por trás desse atalho é a estrela dos próximos capítulos.)

**Parte III — O portão da fábrica.** Um lote de peças é aceito se uma [amostra](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-sample) de $20$ contiver no máximo uma peça defeituosa.

13. Se a taxa real de defeitos é $2\,\%$ (um lote honesto), calcule a [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) de aceitação.
14. Se a taxa é $10\,\%$ (um lote ruim), calcule-a de novo.
15. Nomeie os dois riscos do procedimento (o lote honesto rejeitado; o lote ruim aceito), leia seus valores nas questões 13–14 e diga que mudança única melhora os dois ao mesmo tempo — e a que custo.
16. Por trás da melhoria: mostre que a *[frequência](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/8-estatistica-descritiva#def-g10-stats-series)* observada de defeitos $\frac Xn$ em uma [amostra](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-sample) de tamanho $n$ tem [desvio padrão](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-variance) $\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$ e conclua como a precisão varia com o tamanho da [amostra](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-sample) (um velho conhecido: o $\frac{1}{\sqrt n}$ do ano 10).

**Parte IV — Jogos, rifas, reservas.**

17. O jogo de São Petersburgo com limite do [Exercício 33.8](#exo-g12-randvar-8) tem ganho esperado de $10$ euros. Contraste em um parágrafo com o paradoxo sem limite encontrado no [Problema 18.1](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/18-probabilidade-e-variaveis-aleatorias#pb-g11-prob-1) : o que exatamente o limite doma, e que preço seria agora equitativo?
18. Uma rifa beneficente vende $200$ bilhetes a $2$ euros; prêmios: uma cesta de $100$ euros e duas de $50$ euros. Calcule o ganho esperado de um bilhete e a margem da rifa; compare com a margem da casa na roleta europeia, $\frac{1}{37} \approx 2.7\,\%$ . Por que a rifa sai impune?
19. Uma seguradora mantém $1\,000$ apólices [independentes](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/32-probabilidade-condicional-e-independencia#def-g12-condprob-indep) : [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) de sinistro $0.01$ em cada uma, valor do sinistro $10\,000$ euros, prêmio $130$ euros. Calcule o lucro anual esperado *e* o [desvio padrão](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-variance) do total de sinistros. Compare os dois números: o que essa comparação obriga as seguradoras reais a manter?
20. Finale — a binomial como árbitro de decisões: a lista de verificação para reconhecê-la; a bússola $\E \pm \sigma$ ; as [probabilidades](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) de cauda como preço do risco; e as duas ressalvas permanentes (a [independência](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/32-probabilidade-condicional-e-independencia#def-g12-condprob-indep) é uma afirmação de modelagem, e são as caudas raras, não as [médias](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean) , que causam a ruína). Uma frase para cada, com o ponteiro: a lei dos grandes números e a curva em sino, nos próximos capítulos, completam o regulamento do árbitro.

**Solução de Problema 33.1.**

**1.** $X \sim \mathcal B\!\left(3, \frac16\right)$: $\P(X = 0) = \frac{125}{216}$, $\P(X = 1) = \frac{75}{216}$, $\P(X = 2) = \frac{15}{216}$, $\P(X = 3) = \frac{1}{216}$.

**2.** $\E(X) = 3 \times \frac16 = \frac12$; $V(X) = 3 \times \frac16 \times \frac56 = \frac{5}{12}$.

**3.** Pagamento esperado $2\,\E(X) = 1$ euro contra uma aposta de $1$ euro: ganho $0$ — exatamente equitativo (uma raridade).

**4.** Sem reposição, as retiradas são dependentes (as chances da segunda carta dependem da primeira): não é binomial — falha o item da [independência](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/32-probabilidade-condicional-e-independencia#def-g12-condprob-indep) na lista de verificação. Com reposição: $n = 5$ fixo, $p = \frac14$ constante, retiradas [independentes](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/32-probabilidade-condicional-e-independencia#def-g12-condprob-indep): binomial.

**5.** $\E(X) = 6$, $\sigma(X) = \sqrt{4.2} \approx
2.05$. $\E(S) = 5 \times 6 - 10 = 20$; $\sigma(S) = 5\sigma(X) \approx 10.25$.

**6.** $n = 105$ ensaios fixos (as passagens), cada um um comparecimento ou não com o mesmo $p = 0.9$, supostos [independentes](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/32-probabilidade-condicional-e-independencia#def-g12-condprob-indep): binomial. A confissão: as famílias perdem voos *juntas* e as tempestades esvaziam aviões inteiros — a [independência](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/32-probabilidade-condicional-e-independencia#def-g12-condprob-indep) é o ato de fé do modelo, e ausências correlacionadas engordam as caudas mais do que a binomial promete.

**7.** $\E(X) = 94.5$; $\sigma(X) = \sqrt{105 \times 0.9 \times 0.1} =
\sqrt{9.45} \approx 3.07$.

**8.** $\P(X \geq 101) = \sum_{k=101}^{105}
\binom{105}{k} 0.9^k\, 0.1^{105 - k}$.

**9.** $\approx 0.0167$: cerca de um voo em sessenta preteriu alguém.

**10.** $\E(\text{preteridos}) \approx 0.023$ passageiros por voo: indenização esperada $\approx 19$ euros — contra $1\,000$ euros de receita extra. Vender cinco passagens a mais é esmagadoramente lucrativo; daí toda companhia aérea fazer isso.

**11.** Pela tabela de [probabilidades](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) de cauda: $n = 105$: $1.7\,\%$; $n = 106$: $4.0\,\%$; $n = 107$: $8.1\,\%$. A maior venda em conformidade é de $n = 106$ passagens.

**12.** $z = \frac{100.5 - 94.5}{3.07} \approx 1.95$: o limiar fica dois [desvios padrão](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-variance) acima da [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean), e a regra prática da curva em sino (“cauda superior de $2\sigma$ $\approx 2.5\,\%$”) chega perto do valor exato de $1.7\,\%$ — a curva suave que sombreia a binomial é a protagonista dos próximos capítulos.

**13.** $0.98^{20} + 20 \times 0.02 \times 0.98^{19}
\approx 0.94$: o lote honesto passa em $94\,\%$ das vezes.

**14.** $0.9^{20} + 20 \times 0.1 \times 0.9^{19}
\approx 0.39$: o lote ruim ainda escapa em $39\,\%$ das vezes.

**15.** Risco do produtor: um lote bom rejeitado ($\approx 6\,\%$); risco do consumidor: um lote ruim aceito ($\approx 39\,\%$). Uma [amostra](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-sample) maior (com limiar de aceitação proporcional) reduz os dois — ao custo de mais inspeção: a qualidade tem uma linha de orçamento.

**16.** $V\!\left(\frac Xn\right) = \frac{V(X)}{n^2} =
\frac{np(1-p)}{n^2} = \frac{p(1-p)}{n}$: [desvio padrão](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-variance) $\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$. Quadruplique a [amostra](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-sample), reduza o ruído à metade: a lei do $\frac{1}{\sqrt n}$ dos [intervalos](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) de flutuação do ano 10, agora demonstrada.

**17.** O limite prende o pagamento em $2^{10} = 1024$ euros, de modo que cada uma das dez rodadas contribui com exatamente $1$ euro de [esperança](#def-g12-randvar-exp): $\E = 10$. A [esperança](#def-g12-randvar-exp) infinita do jogo sem limite vinha inteiramente de ganhos astronomicamente raros e astronomicamente grandes; pôr um limite é confessar que nenhum banco paga $2^{50}$ euros. Um preço equitativo do bilhete para o jogo com limite: $10$ euros — e, de repente, ninguém mais fica paradoxado.

**18.** Prêmio esperado por bilhete: $\frac{100 + 2 \times 50}{200} = 1$ euro contra um bilhete de $2$ euros: margem de $50\,\%$ — dezoito vezes os $2.7\,\%$ da roleta. A rifa sobrevive porque seus participantes estão doando conscientemente: a “perda” é o objetivo.

**19.** Sinistros esperados: $1\,000 \times 0.01 \times
10\,000 = 100\,000$; prêmios $130\,000$: lucro esperado $30\,000$ euros. [Desvio padrão](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-variance) do total de sinistros: $10\,000 \times \sqrt{1\,000 \times 0.01 \times 0.99}
\approx 31\,500$ euros — um único ano ruim comum devora todo o lucro esperado. Daí as reservas de capital, o resseguro e carteiras muito maiores que mil apólices: as seguradoras vivem da lei dos grandes números e guardam reservas contra a lentidão dela.

**20.** Lista de verificação primeiro — $n$ fixo, mesmo $p$, [independência](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/32-probabilidade-condicional-e-independencia#def-g12-condprob-indep) *alegada* — ou não há binomial nenhuma. Depois navegue por $\E \pm \sigma$: as [médias](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean) localizam, os desvios advertem. Depois precifique as caudas: preterições, lotes ruins e anos ruinosos vivem todos além de $2\sigma$. Ressalvas: a [independência](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/32-probabilidade-condicional-e-independencia#def-g12-condprob-indep) é a promessa de quem modela, não do mundo; e a [esperança](#def-g12-randvar-exp) ignora exatamente o que destrói você. As páginas que faltam no regulamento — com que rapidez as [frequências](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/8-estatistica-descritiva#def-g10-stats-series) se assentam e que forma tomam as flutuações — são os dois próximos capítulos.