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title: "Somas de variáveis aleatórias e a lei dos grandes números"
book: "Matemática do ensino médio"
subject: math
language: pt
chapter: 34
exercises: 8
source: https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/34-somas-de-variaveis-aleatorias-e-a-lei-dos-grandes-numeros
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# Capítulo 34 — Somas de variáveis aleatórias e a lei dos grandes números

Por que os cassinos sempre ganham no fim, e por que as pesquisas de opinião funcionam? Porque as [médias](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean) de muitas grandezas aleatórias [independentes](#def-g12-sums-indep) flutuam cada vez menos. Este capítulo demonstra isso: linearidade da [esperança](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/33-variaveis-aleatorias-e-a-distribuicao-binomial#def-g12-randvar-exp), aditividade da [variância](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/33-variaveis-aleatorias-e-a-distribuicao-binomial#def-g12-randvar-exp) para variáveis [independentes](#def-g12-sums-indep), desigualdade de Bienaymé–Chebyshev e lei dos grandes números.

## 34.1 Somas de variáveis aleatórias

Dadas duas variáveis aleatórias $X, Y$ sobre o mesmo [espaço amostral](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/18-probabilidade-e-variaveis-aleatorias#def-g11-prob-model) finito $\Omega$, a soma $X + Y$ é a [variável aleatória](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/33-variaveis-aleatorias-e-a-distribuicao-binomial#def-g12-randvar-rv) $\omega \mapsto X(\omega) + Y(\omega)$.

**Teorema 34.1 (Linearidade da esperança).**

Para todas as variáveis aleatórias $X, Y$ sobre $\Omega$ e todos $a, b \in \R$:

$$
\E(X + Y) = \E(X) + \E(Y), \qquad \E(aX + b) = a\E(X) + b .
$$

*Nenhuma hipótese de [independência](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/32-probabilidade-condicional-e-independencia#def-g12-condprob-indep) é necessária.*

**Demonstração.** Escreva a [esperança](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/33-variaveis-aleatorias-e-a-distribuicao-binomial#def-g12-randvar-exp) como soma sobre os resultados: como $\P(X = x) = \sum_{\omega : X(\omega) = x} \P(\{\omega\})$, agrupar os termos dá $\E(X) = \sum_{\omega \in \Omega} \P(\{\omega\})\,X(\omega)$. Então

$$
\E(X + Y) = \sum_{\omega} \P(\{\omega\})\bigl(X(\omega) + Y(\omega)\bigr)
= \sum_{\omega} \P(\{\omega\})X(\omega)
+ \sum_{\omega} \P(\{\omega\})Y(\omega) = \E(X) + \E(Y). \qedhere
$$

∎

**Definição 34.2 (Variáveis aleatórias independentes).**

$X$ e $Y$ são *independentes* se, para todos os valores $x, y$:

$$
\P(X = x \text{ e } Y = y) = \P(X = x)\,\P(Y = y).
$$

Várias variáveis $X_1, \dots, X_n$ são independentes se essa regra do produto vale para toda escolha de valores de toda subfamília.

**Proposição 34.3.**

Se $X$ e $Y$ são [independentes](#def-g12-sums-indep), $\E(XY) = \E(X)\,\E(Y)$.

**Demonstração.**

$$
\begin{aligned}
\E(XY) &= \sum_{x, y} xy\;\P(X = x \text{ e } Y = y)
= \sum_{x, y} xy\,\P(X=x)\P(Y=y) \\
&= \Bigl(\sum_x x\P(X=x)\Bigr)\Bigl(\sum_y y\P(Y=y)\Bigr). \qedhere
\end{aligned}
$$

∎

**Teorema 34.4 (Variância de uma soma).**

Se $X$ e $Y$ são *[independentes](#def-g12-sums-indep)*, então

$$
\V(X + Y) = \V(X) + \V(Y).
$$

Mais geralmente, para $X_1, \dots, X_n$ [independentes](#def-g12-sums-indep): $\V(X_1 + \dots + X_n) = \V(X_1) + \dots + \V(X_n)$.

**Demonstração.** Usando König–Huygens ([Proposição 33.3](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/33-variaveis-aleatorias-e-a-distribuicao-binomial#prop-g12-randvar-konig)) e a linearidade:

$$
\begin{align*}
\V(X + Y) &= \E\bigl((X+Y)^2\bigr) - \bigl(\E X + \E Y\bigr)^2\\
&= \E(X^2) + 2\E(XY) + \E(Y^2)
- \E(X)^2 - 2\E(X)\E(Y) - \E(Y)^2\\
&= \V(X) + \V(Y) + 2\bigl(\E(XY) - \E(X)\E(Y)\bigr),
\end{align*}
$$

e o último colchete se anula para variáveis [independentes](#def-g12-sums-indep) ([Proposição 34.3](#prop-g12-sums-prodexp)). O caso geral segue por indução. ∎

**Exemplo 34.5 (A binomial revisitada).**

Uma variável binomial $X \sim \mathcal B(n, p)$ é uma soma $X = X_1 + \dots + X_n$ de $n$ variáveis de Bernoulli [independentes](#def-g12-sums-indep). Logo, estruturalmente:

$$
\E(X) = np, \qquad \V(X) = np(1-p),
$$

o que recupera o [Teorema 33.8](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/33-variaveis-aleatorias-e-a-distribuicao-binomial#thm-g12-randvar-binomial) sem cálculo nenhum.

**Proposição 34.6 (Média amostral).**

Sejam $X_1, \dots, X_n$ [independentes](#def-g12-sums-indep) e com a mesma [distribuição](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/33-variaveis-aleatorias-e-a-distribuicao-binomial#def-g12-randvar-rv) de $X$ ([esperança](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/33-variaveis-aleatorias-e-a-distribuicao-binomial#def-g12-randvar-exp) $\mu$, [variância](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/33-variaveis-aleatorias-e-a-distribuicao-binomial#def-g12-randvar-exp) $\sigma^2$), e seja $M_n = \frac{X_1 + \dots + X_n}{n}$ sua *média amostral*. Então

$$
\E(M_n) = \mu, \qquad \V(M_n) = \frac{\sigma^2}{n}, \qquad
\sigma(M_n) = \frac{\sigma}{\sqrt n}.
$$

**Demonstração.** A linearidade dá $\E(M_n) = \frac{n\mu}{n} = \mu$; a [independência](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/32-probabilidade-condicional-e-independencia#def-g12-condprob-indep) dá $\V(X_1 + \dots + X_n) = n\sigma^2$, e dividir por $n$ multiplica a [variância](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/33-variaveis-aleatorias-e-a-distribuicao-binomial#def-g12-randvar-exp) por $\frac{1}{n^2}$ ([Proposição 33.4](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/33-variaveis-aleatorias-e-a-distribuicao-binomial#prop-g12-randvar-affine)). ∎

O $\frac{\sigma}{\sqrt n}$ é a *lei da raiz quadrada*, fundamental: para reduzir à metade as flutuações de uma [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean), quadruplique o tamanho da [amostra](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-sample).

![A lei da raiz quadrada: cada quadruplicação do tamanho da amostra apenas reduz à metade o desvio padrão da média.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-sums/fig-6dba91820ddb.svg)

*A lei da raiz quadrada: cada quadruplicação do tamanho da [amostra](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-sample) apenas reduz à metade o [desvio padrão](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-variance) da [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean).*

## 34.2 Desigualdades de concentração

**Teorema 34.7 (Desigualdade de Markov).**

Se $X \geq 0$ e $a > 0$:

$$
\P(X \geq a) \leq \frac{\E(X)}{a}.
$$

**Demonstração.** Em $\E(X) = \sum_i p_i x_i$ (todos os termos não negativos), guarde apenas os termos com $x_i \geq a$: cada um vale ao menos $a\,p_i$, logo $\E(X) \geq a \sum_{x_i \geq a} p_i = a\,\P(X \geq a)$. ∎

**Teorema 34.8 (Desigualdade de Bienaymé–Chebyshev).**

Para toda [variável aleatória](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/33-variaveis-aleatorias-e-a-distribuicao-binomial#def-g12-randvar-rv) $X$ e todo $\varepsilon > 0$:

$$
\P\bigl(\abs{X - \E(X)} \geq \varepsilon\bigr)
\leq \frac{\V(X)}{\varepsilon^2}.
$$

**Demonstração.** Aplique a desigualdade de Markov à variável não negativa $Y = (X - \E(X))^2$ com $a = \varepsilon^2$:

$$
\P\bigl(\abs{X - \E(X)} \geq \varepsilon\bigr)
= \P(Y \geq \varepsilon^2)
\leq \frac{\E(Y)}{\varepsilon^2} = \frac{\V(X)}{\varepsilon^2}. \qedhere
$$

∎

![Concentração: Bienaymé–Chebyshev limita por (X)/ 2 a probabilidade de X cair nas caudas (em vermelho), a distância pelo menos de sua esperança.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-sums/fig-f1c91d470ce9.svg)

*Concentração: Bienaymé–Chebyshev limita por $\V(X)/\varepsilon^2$ a [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) de $X$ cair nas caudas (em vermelho), a distância pelo menos $\varepsilon$ de sua [esperança](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/33-variaveis-aleatorias-e-a-distribuicao-binomial#def-g12-randvar-exp).*

**Teorema 34.9 (Lei dos grandes números).**

Sejam $X_1, \dots, X_n$ [independentes](#def-g12-sums-indep) e com a mesma [distribuição](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/33-variaveis-aleatorias-e-a-distribuicao-binomial#def-g12-randvar-rv) ([esperança](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/33-variaveis-aleatorias-e-a-distribuicao-binomial#def-g12-randvar-exp) $\mu$, [variância](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/33-variaveis-aleatorias-e-a-distribuicao-binomial#def-g12-randvar-exp) $\sigma^2$) e $M_n$ sua [média amostral](#prop-g12-sums-mean). Para todo $\varepsilon > 0$:

$$
\P\bigl(\abs{M_n - \mu} \geq \varepsilon\bigr)
\leq \frac{\sigma^2}{n\,\varepsilon^2}
\xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 .
$$

A [média amostral](#prop-g12-sums-mean) se concentra em torno da [esperança](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/33-variaveis-aleatorias-e-a-distribuicao-binomial#def-g12-randvar-exp).

**Demonstração.** Bienaymé–Chebyshev aplicada a $M_n$, cuja [esperança](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/33-variaveis-aleatorias-e-a-distribuicao-binomial#def-g12-randvar-exp) é $\mu$ e cuja [variância](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/33-variaveis-aleatorias-e-a-distribuicao-binomial#def-g12-randvar-exp) é $\frac{\sigma^2}{n}$ ([Proposição 34.6](#prop-g12-sums-mean)). ∎

**Observação 34.10.**

Este teorema é a ponte entre a teoria das [probabilidades](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) e a estatística: a *[frequência](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/8-estatistica-descritiva#def-g10-stats-series)* de um [evento](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/18-probabilidade-e-variaveis-aleatorias#def-g11-prob-model) ao longo de muitas repetições [independentes](#def-g12-sums-indep) se aproxima de sua *[probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution)* (tome $X_i$ o indicador do [evento](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/18-probabilidade-e-variaveis-aleatorias#def-g11-prob-model), de modo que $\mu = p$). Ele justifica estimar uma [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) por simulação (*método de Monte Carlo*) e uma proporção populacional por uma pesquisa — quantitativamente: veja o [Capítulo 35](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/35-variaveis-aleatorias-continuas#ch-g12-contdist).

**Método 34.11 (Usar Bienaymé–Chebyshev).**

Para garantir $\P(\abs{M_n - \mu} \geq \varepsilon) \leq \alpha$, basta que $n \geq \frac{\sigma^2}{\alpha\,\varepsilon^2}$. A cota é grosseira (as flutuações reais costumam ser bem menores), mas perfeitamente geral: nada exige da [distribuição](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/33-variaveis-aleatorias-e-a-distribuicao-binomial#def-g12-randvar-rv) além de uma [variância](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/33-variaveis-aleatorias-e-a-distribuicao-binomial#def-g12-randvar-exp) finita.

## 34.3 Exercícios

**Exercício 34.1 ★.**

Dois dados honestos são lançados; seja $S$ a soma. Usando a linearidade (não a [distribuição](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/33-variaveis-aleatorias-e-a-distribuicao-binomial#def-g12-randvar-rv) de $S$!), calcule $\E(S)$; depois calcule $\V(S)$ usando a [independência](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/32-probabilidade-condicional-e-independencia#def-g12-condprob-indep), sabendo que um único dado honesto tem [variância](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/33-variaveis-aleatorias-e-a-distribuicao-binomial#def-g12-randvar-exp) $\frac{35}{12}$.

**Solução de Exercício 34.1.**

Cada dado tem [esperança](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/33-variaveis-aleatorias-e-a-distribuicao-binomial#def-g12-randvar-exp) $\frac{1 + 2 + \dots + 6}{6} = \frac{7}{2}$, logo, por linearidade, $\E(S) = \frac72 + \frac72 = 7$. Os dados são [independentes](#def-g12-sums-indep), logo $\V(S) = \frac{35}{12} + \frac{35}{12} = \frac{35}{6} \approx 5.83$.

**Exercício 34.2 ★.**

Seja $X \sim \mathcal B(100,\ 0.5)$. Limite $\P(X \geq 75)$ pela desigualdade de Markov, e depois $\P(\abs{X - 50} \geq 25)$ por Bienaymé–Chebyshev. Compare.

**Solução de Exercício 34.2.**

$\E(X) = 50$ e $\V(X) = 100 \times 0.25 = 25$.

Markov ($X \geq 0$): $\P(X \geq 75) \leq \frac{50}{75} = \frac23$.

Bienaymé–Chebyshev: $\P(\abs{X - 50} \geq 25) \leq \frac{25}{25^2} = 0.04$ — e isso limita até o [evento](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/18-probabilidade-e-variaveis-aleatorias#def-g11-prob-model) *bilateral*, do qual $X \geq 75$ é a metade. Chebyshev é bem mais fina aqui porque explora a [variância](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/33-variaveis-aleatorias-e-a-distribuicao-binomial#def-g12-randvar-exp), e não apenas a [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean). (O valor verdadeiro de $\P(X \geq 75)$ é menor que $10^{-6}$: as duas cotas são grosseiras.)

**Exercício 34.3 ★.**

Uma moeda honesta é lançada $n$ vezes e $F_n$ denota a [frequência](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/8-estatistica-descritiva#def-g10-stats-series) de caras. Quão grande deve ser $n$ para que, pela cota de Bienaymé–Chebyshev, $\P\bigl(\abs{F_n - 0.5} \geq 0.05\bigr) \leq 0.05$?

**Solução de Exercício 34.3.**

$F_n$ é a [média amostral](#prop-g12-sums-mean) de $n$ variáveis de Bernoulli$\left(\frac12\right)$, de [variância](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/33-variaveis-aleatorias-e-a-distribuicao-binomial#def-g12-randvar-exp) $\sigma^2 = \frac14$. A cota

$$
\P\left(\abs{F_n - 0.5} \geq 0.05\right)
\leq \frac{1/4}{n \times 0.05^2} = \frac{100}{n}
$$

é $\leq 0.05$ assim que $n \geq 2000$.

**Exercício 34.4 ★★.**

Uma investidora reparte seu capital igualmente entre $n$ ativos [independentes](#def-g12-sums-indep), cada um com retorno esperado $\mu = 5\%$ e [desvio padrão](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-variance) $\sigma = 20\%$. Calcule a [esperança](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/33-variaveis-aleatorias-e-a-distribuicao-binomial#def-g12-randvar-exp) e o [desvio padrão](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-variance) do retorno da carteira $M_n$, e o número de ativos necessário para levar o [desvio padrão](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-variance) abaixo de $4\%$. Que princípio financeiro isso ilustra?

**Solução de Exercício 34.4.**

Pela [Proposição 34.6](#prop-g12-sums-mean), $\E(M_n) = 5\%$ (a diversificação não altera o retorno esperado) e $\sigma(M_n) = \frac{20\%}{\sqrt n}$. Exigir $\frac{20}{\sqrt n} < 4$ dá $\sqrt n > 5$, *isto é*, $n \geq 26$. Este é o princípio da *diversificação*: repartir o capital entre riscos [independentes](#def-g12-sums-indep) divide o risco (o [desvio padrão](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-variance)) por $\sqrt n$ sem reduzir o retorno esperado.

**Exercício 34.5 ★★.**

Sejam $X$ e $Y$ [independentes](#def-g12-sums-indep), ambas uniformes em $\{1, 2, 3\}$.

1. Dê a [distribuição](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/33-variaveis-aleatorias-e-a-distribuicao-binomial#def-g12-randvar-rv) de $S = X + Y$ e calcule $\E(S)$ , $\V(S)$ diretamente a partir dela.
2. Recupere os dois valores pela linearidade e pela aditividade da [variância](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/33-variaveis-aleatorias-e-a-distribuicao-binomial#def-g12-randvar-exp) .

**Solução de Exercício 34.5.**

*1.* Contando os $9$ pares igualmente prováveis: $S$ assume os valores $2, 3, 4, 5, 6$ com [probabilidades](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) $\frac19, \frac29, \frac39, \frac29, \frac19$. Logo $\E(S) = \frac{2 + 6 + 12 + 10 + 6}{9} = 4$ e $\E(S^2) = \frac{4 + 18 + 48 + 50 + 36}{9} = \frac{156}{9} = \frac{52}{3}$, de modo que $\V(S) = \frac{52}{3} - 16 = \frac43$.

*2.* Uma variável: $\E(X) = 2$, $\E(X^2) = \frac{1 + 4 + 9}{3} = \frac{14}{3}$, $\V(X) = \frac{14}{3} - 4 = \frac23$. Então $\E(S) = 2 + 2 = 4$ e, por [independência](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/32-probabilidade-condicional-e-independencia#def-g12-condprob-indep), $\V(S) = \frac23 + \frac23 = \frac43$. Os mesmos valores.

**Exercício 34.6 ★★.**

Mostre que a aditividade da [variância](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/33-variaveis-aleatorias-e-a-distribuicao-binomial#def-g12-randvar-exp) pode falhar sem [independência](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/32-probabilidade-condicional-e-independencia#def-g12-condprob-indep): calcule $\V(X + Y)$ para $Y = X$ e compare com $\V(X) + \V(Y)$. Para quais variáveis $X$ vale $\V(2X) = 2\V(X)$?

**Solução de Exercício 34.6.**

Com $Y = X$: $\V(X + Y) = \V(2X) = 4\V(X)$, enquanto $\V(X) + \V(Y) = 2\V(X)$. Os dois só coincidem quando $\V(X) = 0$, *isto é*, quando $X$ é constante — de modo que a aditividade exige mesmo a [independência](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/32-probabilidade-condicional-e-independencia#def-g12-condprob-indep) (aqui $X$ é maximamente dependente de si mesma).

**Exercício 34.7 ★★.**

Suspeita-se que um dado esteja viciado. Ele é lançado $1200$ vezes e mostra um seis $260$ vezes ($f = 0.2167$ em vez de $\frac16 \approx 0.1667$). Sob a hipótese de que o dado é honesto, limite $\P\bigl(\abs{F_n - \frac16} \geq 0.05\bigr)$ por Bienaymé–Chebyshev e discuta se a hipótese de honestidade é plausível.

**Solução de Exercício 34.7.**

Sob a hipótese de honestidade, $F_n$ é a [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean) de $n = 1200$ variáveis de Bernoulli com $p = \frac16$, $\sigma^2 = \frac16\cdot\frac56
= \frac{5}{36}$:

$$
\P\left(\abs{F_n - \tfrac16} \geq 0.05\right)
\leq \frac{5/36}{1200 \times 0.0025} = \frac{5}{108} \approx 0.046 .
$$

O desvio observado é exatamente $0.05$: um [evento](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/18-probabilidade-e-variaveis-aleatorias#def-g11-prob-model) que um dado honesto produz com [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) de no máximo $4.6\%$ — e, como Chebyshev é muito conservadora, a [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) verdadeira é muito menor. A hipótese de honestidade não é plausível; o dado está muito provavelmente viciado.

**Exercício 34.8 ★★★.**

*(Uma desigualdade melhor para a moeda.)* Sejam $X \sim \mathcal B(n,\ p)$ e $F_n = \frac Xn$.

1. Mostre que $p(1-p) \leq \frac14$ para $p \in \intcc{0}{1}$ .
2. Deduza a cota válida para qualquer [distribuição](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/33-variaveis-aleatorias-e-a-distribuicao-binomial#def-g12-randvar-rv) $\P\bigl(\abs{F_n - p} \geq \varepsilon\bigr) \leq  \frac{1}{4n\varepsilon^2}$ .
3. Quantas pessoas é preciso entrevistar para que a [frequência](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/8-estatistica-descritiva#def-g10-stats-series) observada fique a menos de $3$ pontos da proporção verdadeira com [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) de pelo menos $95\%$ , usando essa cota? (As pesquisas reais usam estimativas mais finas, mas a ordem de grandeza está certa.)

**Solução de Exercício 34.8.**

*1.* $p(1-p) = \frac14 - \left(p - \frac12\right)^2 \leq \frac14$.

*2.* $F_n$ tem [esperança](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/33-variaveis-aleatorias-e-a-distribuicao-binomial#def-g12-randvar-exp) $p$ e [variância](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/33-variaveis-aleatorias-e-a-distribuicao-binomial#def-g12-randvar-exp) $\frac{p(1-p)}{n} \leq \frac{1}{4n}$; Bienaymé–Chebyshev dá

$$
\P\bigl(\abs{F_n - p} \geq \varepsilon\bigr)
\leq \frac{p(1-p)}{n\varepsilon^2} \leq \frac{1}{4n\varepsilon^2},
$$

válido qualquer que seja o $p$ desconhecido.

*3.* Com $\varepsilon = 0.03$ e nível $0.05$:

$$
\frac{1}{4n(0.03)^2} \leq 0.05
\iff n \geq \frac{1}{4 \times 0.0009 \times 0.05} \approx 5556 .
$$

Cerca de $5600$ pessoas bastam por essa cota grosseira (a resposta clássica pela [aproximação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-approx) normal fica mais perto de $1100$, veja o [Capítulo 35](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/35-variaveis-aleatorias-continuas#ch-g12-contdist)).

## 34.4 Problema: a casa sempre ganha

**Problema 34.1.**

Problema de fim de semana — a lei dos grandes números explica cassinos, pesquisas e seguros, e demole a falácia do apostador no caminho

Um jogador de roleta, depois de $100$ rodadas, está — quase tantas vezes quantas não — *ganhando*. O cassino que roda um milhão de rodadas está ganhando com uma certeza que nenhum tribunal questionaria. Mesmo jogo, mesma vantagem minúscula — a diferença é $\sqrt n$, e é o assunto deste capítulo ([Proposição 34.6](#prop-g12-sums-mean), [Teorema 34.8](#thm-g12-sums-chebyshev), [Teorema 34.9](#thm-g12-sums-lln)). Este problema faz a contabilidade do cassino, dimensiona uma pesquisa eleitoral, precifica a diversificação — e desmonta a falácia mais cara da história do jogo.

**Parte I — Fluência.**

1. Dois dados [independentes](#def-g12-sums-indep) : calcule $V(X + Y)$ ( [Teorema 34.4](#thm-g12-sums-variance) ).
2. Lance $100$ dados [independentes](#def-g12-sums-indep) e faça a [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean) dos resultados: dê a [esperança](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/33-variaveis-aleatorias-e-a-distribuicao-binomial#def-g12-randvar-exp) e o [desvio padrão](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-variance) da [média amostral](#prop-g12-sums-mean) ( [Proposição 34.6](#prop-g12-sums-mean) ; para um dado, $\sigma = \sqrt{35/12} \approx 1.71$ ).
3. Uma [variável aleatória](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/33-variaveis-aleatorias-e-a-distribuicao-binomial#def-g12-randvar-rv) não negativa tem [esperança](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/33-variaveis-aleatorias-e-a-distribuicao-binomial#def-g12-randvar-exp) $2$ . O que a desigualdade de Markov ( [Teorema 34.7](#thm-g12-sums-markov) ) diz sobre $\P(X \geq 10)$ ?
4. Limite $\P\left(\abs{\bar X_{100} - 3.5} \geq  0.5\right)$ para a [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean) dos dados da questão 2 com Bienaymé–Chebyshev.
5. As [esperanças](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/33-variaveis-aleatorias-e-a-distribuicao-binomial#def-g12-randvar-exp) sempre se somam; as [variâncias](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/33-variaveis-aleatorias-e-a-distribuicao-binomial#def-g12-randvar-exp) , só sob [independência](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/32-probabilidade-condicional-e-independencia#def-g12-condprob-indep) : exiba $X, Y$ dependentes (dica: $Y = -X$ ) para os quais $V(X + Y) \neq V(X) + V(Y)$ .

**Parte II — A contabilidade da casa.** Roleta europeia, aposta de $1$ euro no vermelho: ganha $+1$ com [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) $\frac{18}{37}$, perde $-1$ com [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) $\frac{19}{37}$.

6. Calcule a [esperança](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/33-variaveis-aleatorias-e-a-distribuicao-binomial#def-g12-randvar-exp) e o [desvio padrão](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-variance) do ganho de uma aposta.
7. Um apostador faz $100$ apostas [independentes](#def-g12-sums-indep) ; seja $G$ o ganho total. Calcule $\E(G)$ e $\sigma(G)$ , e depois a razão $\frac{\abs{\E(G)}}{\sigma(G)}$ . O que uma deriva de um quarto de [desvio padrão](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-variance) significa para as chances de o apostador estar ganhando ao fim da noite?
8. O cassino vê $1\,000\,000$ de apostas. Calcule a [esperança](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/33-variaveis-aleatorias-e-a-distribuicao-binomial#def-g12-randvar-exp) e o [desvio padrão](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-variance) de seu faturamento total e a mesma razão. Interprete o número $27$ .
9. Certifique com Chebyshev: limite a [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) de o cassino *perder* dinheiro ao longo do milhão de apostas.
10. Sistemas de aposta: dobrar após as perdas, parar quando estiver ganhando … Usando a linearidade da [esperança](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/33-variaveis-aleatorias-e-a-distribuicao-binomial#def-g12-randvar-exp) ( [Teorema 34.1](#thm-g12-sums-linearity) ) sobre a [sequência](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#def-g12-seq-sequence) (possivelmente aleatória) de apostas, explique por que *toda* estratégia em um jogo de vantagem negativa tem ganho esperado negativo — o que um sistema vencedor violaria?
11. Enuncie o que a lei dos grandes números ( [Teorema 34.9](#thm-g12-sums-lln) ) promete sobre a [frequência](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/8-estatistica-descritiva#def-g10-stats-series) do vermelho — e o que ela *não* promete sobre a próxima rodada depois de dez vermelhos seguidos. Nomeie a falácia.
12. O ponto mais sutil: a lei funciona por *diluição* , não por compensação. Se os vermelhos ficam $100$ acima da expectativa depois de certa noite, esse excedente nunca é “devolvido” — calcule o que acontece, em vez disso, com a *fração* $\frac{100}{n}$ até $n = 10^6$ , e reescreva o erro da falácia do apostador em uma frase.

**Parte III — Pesquisas de opinião.**

13. A partir do [Exercício 34.8](#exo-g12-sums-8) : quantas pessoas é preciso entrevistar para que a [frequência](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/8-estatistica-descritiva#def-g10-stats-series) observada fique a menos de $3$ pontos da verdade com [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) de pelo menos $95\,\%$ , pela cota de Chebyshev válida para qualquer [distribuição](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/33-variaveis-aleatorias-e-a-distribuicao-binomial#def-g12-randvar-rv) ?
14. Os institutos de pesquisa reais usam cerca de $1\,100$ pessoas para uma margem de $\pm 3$ pontos a $95\,\%$ : a fórmula deles é $n \approx \frac{1.96^2 \times p(1-p)}  {\varepsilon^2}$ com $p(1-p) \leq \frac14$ . Avalie-a e explique a diferença em relação à questão 13 (o que Chebyshev não sabe sobre a forma das flutuações?).
15. Para reduzir à metade a margem de erro, como a [amostra](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-sample) deve crescer? De $\pm 3$ pontos com $1\,100$ , que [amostra](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-sample) dá $\pm 1.5$ ponto?
16. O clássico contraintuitivo: o tamanho de [amostra](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-sample) necessário nunca usou o tamanho da população — $1\,100$ pessoas bastam para uma cidade ou para um continente. Aponte o lugar do modelo em que o tamanho da população está ausente e dê a analogia de cozinha que os institutos de pesquisa usam.

**Parte IV — Diversificação.**

17. A seguradora do [Problema 33.1](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/33-variaveis-aleatorias-e-a-distribuicao-binomial#pb-g12-randvar-1) ganha $30n$ euros em [esperança](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/33-variaveis-aleatorias-e-a-distribuicao-binomial#def-g12-randvar-exp) sobre $n$ apólices, com um [desvio padrão](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-variance) dos sinistros de cerca de $315\sqrt n$ . Para qual $n$ o lucro esperado finalmente supera um [desvio padrão](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-variance) dos sinistros? O que o $\sqrt n$ está fazendo pela seguradora?
18. O retorno anual de uma ação flutua com $\sigma = 20\,\%$ . Reparta o dinheiro igualmente entre $25$ ações desse tipo *[independentes](#def-g12-sums-indep)* : calcule o $\sigma$ da carteira. As finanças chamam a diversificação de o único almoço grátis — em que consiste, exatamente, esse almoço?
19. Agora suponha as $25$ ações perfeitamente correlacionadas (todas se movem juntas): qual é o $\sigma$ da carteira? Compare os dois extremos e diga que hipótese todo raciocínio de diversificação aluga em segredo — e o que aconteceu quando ela falhou em todo o sistema em 2008.
20. Finale — a sinfonia do $\sqrt n$ : as somas flutuam como $\sqrt n$ enquanto suas [médias](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean) se assentam como $\frac{1}{\sqrt n}$ ; toque o tema pelas quatro indústrias deste problema (cassino, pesquisas, seguros, carteiras), nomeie os dois abusadores de plantão (a falácia do apostador e a [independência](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/32-probabilidade-condicional-e-independencia#def-g12-condprob-indep) falsa) e dê o ponteiro adiante: a *forma* das flutuações — o sino — é a estrela [contínua](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/21-limites-e-continuidade#def-g12-limcont-continuity) do próximo capítulo, e seu teorema completo coroa os volumes de graduação.

**Solução de Problema 34.1.**

**1.** $V(X + Y) = V(X) + V(Y) = \frac{35}{12} +
\frac{35}{12} = \frac{35}{6}$ ([independência](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/32-probabilidade-condicional-e-independencia#def-g12-condprob-indep)).

**2.** $\E(\bar X) = 3.5$; $\sigma(\bar X) = \frac{1.71}{\sqrt{100}} \approx 0.17$: a [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean) de cem dados abraça $3.5$ a menos de um quinto de ponto.

**3.** $\P(X \geq 10) \leq \frac{2}{10} = 0.2$.

**4.** $\P \leq \frac{V(\bar X)}{0.5^2} =
\frac{35/1200}{0.25} \approx 0.117$: no máximo uns $12\,\%$.

**5.** Com $Y = -X$: $V(X + Y) = V(0) = 0$, enquanto $V(X) + V(Y) = 2V(X) > 0$: variáveis perfeitamente anticorrelacionadas se cancelam — somar [variâncias](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/33-variaveis-aleatorias-e-a-distribuicao-binomial#def-g12-randvar-exp) é um privilégio da [independência](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/32-probabilidade-condicional-e-independencia#def-g12-condprob-indep).

**6.** $\E = \frac{18}{37} - \frac{19}{37} =
-\frac{1}{37} \approx -0.027$; $\sigma = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{37}\right)^2} \approx
1.00$.

**7.** $\E(G) = -2.70$, $\sigma(G) = 10 \times 1.00 =
10$: a deriva é de apenas $0.27\sigma$. O ruído da noite esmaga a vantagem — uma grande minoria de apostadores (uns $40\,\%$, diz o sino) sai ganhando, e é exatamente isso que os faz voltar.

**8.** Faturamento do cassino: [esperança](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/33-variaveis-aleatorias-e-a-distribuicao-binomial#def-g12-randvar-exp) $+27\,027$ euros, [desvio padrão](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-variance) $\approx 1\,000$: o lucro fica $27$ [desvios padrão](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-variance) acima de zero. A $27\sigma$, “o cassino pode perder este ano” não é um risco, é um erro de arredondamento.

**9.** $\P(\text{perda}) = \P(G \geq 27\,027$ para os apostadores$)$ $\leq \frac{10^6 \times 1}{27\,027^2} \approx
0.0014$: até a mais tosca desigualdade do livro garante a casa a $99.86\,\%$ — a verdade é astronomicamente mais forte.

**10.** Cada euro apostado, quando e como quer que seja escolhido, tem retorno esperado de $-\frac{1}{37}$ de si mesmo; por linearidade, o ganho total esperado é $-\frac{1}{37} \times (\text{total apostado})$, negativo para toda estratégia que aposte alguma coisa. Um sistema vencedor violaria a linearidade da [esperança](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/33-variaveis-aleatorias-e-a-distribuicao-binomial#def-g12-randvar-exp) — nenhum encadeamento esperto de apostas ruins faz uma boa. (Os sistemas de dobramento apenas trocam muitas vitórias pequenas por raras perdas catastróficas.)

**11.** O teorema: a *[frequência](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/8-estatistica-descritiva#def-g10-stats-series)* do vermelho ao longo de $n$ rodadas [converge](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#def-g12-seq-limit) (em [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution)) para $\frac{18}{37}$. Ele nada diz sobre a rodada $n + 1$: a roleta não tem memória e, depois de dez vermelhos, a chance de vermelho continua sendo $\frac{18}{37}$. Acreditar no contrário é a *falácia do apostador*, e a questão 12 mostra o que de fato acontece com as [sequências](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#def-g12-seq-sequence).

**12.** O excedente de $100$ vermelhos não é devolvido — as rodadas futuras são cópias honestas, e o excedente esperado continua $100$. Mas $\frac{100}{10^6} = 0.0001$: um centésimo de ponto. O erro da falácia em uma frase: *a lei dos grandes números dilui os acidentes passados em um oceano de novos ensaios; ela nunca manda a roleta cobrar dívidas.*

**13.** $n \geq \frac{1}{4 \times 0.05 \times 0.03^2}
\approx 5\,556$ pessoas.

**14.** $\frac{1.96^2 \times 0.25}{0.03^2} \approx
1\,067$: cinco vezes menos. Chebyshev vale para *toda* [distribuição](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/33-variaveis-aleatorias-e-a-distribuicao-binomial#def-g12-randvar-rv) e paga sua universalidade com folga; a constante $1.96$ dos institutos de pesquisa vem da forma de sino real das flutuações, que se concentra muito mais.

**15.** Margem $\propto \frac{1}{\sqrt n}$: reduzi-la à metade quadruplica a [amostra](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-sample) — cerca de $4\,400$ pessoas para $\pm 1.5$ ponto. A precisão se compra a preços quadráticos.

**16.** O modelo é de $n$ retiradas [independentes](#def-g12-sums-indep) com [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) de sucesso $p$ — o tamanho $N$ da população nunca aparece (amostrar uma fração minúscula de uma população grande e bem misturada é o que a [independência](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/32-probabilidade-condicional-e-independencia#def-g12-condprob-indep) codifica). A analogia dos institutos: para provar a sopa, uma colherada bem mexida basta — sirva a panela dez ou dez mil pessoas. O problema está na mexida — um cadastro de amostragem enviesado, como na pesquisa do volume do ensino fundamental que enganou um país — e não na panela.

**17.** $315\sqrt n < 30n \iff \sqrt n > 10.5 \iff
n > 110$: passadas cem apólices, a deriva supera o ruído, e cada apólice a mais alarga a diferença pela lei do $\sqrt n$ — o agrupamento *é* o modelo de negócio.

**18.** Partes iguais e [independentes](#def-g12-sums-indep): $\sigma_{\text{cart}} = \frac{20\,\%}{\sqrt{25}} = 4\,\%$: mesmo retorno esperado, um quinto da flutuação. O almoço: redução de risco a custo zero em [esperança](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/33-variaveis-aleatorias-e-a-distribuicao-binomial#def-g12-randvar-exp) — a [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean) de aleatoriedades [independentes](#def-g12-sums-indep).

**19.** Perfeitamente correlacionadas: a carteira é uma única ação em $25$ fantasias: $\sigma = 20\,\%$, redução nenhuma. A diversificação aluga a *[independência](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/32-probabilidade-condicional-e-independencia#def-g12-condprob-indep)*; quando uma crise correlaciona tudo (2008: todas as apostas imobiliárias eram uma só aposta), a proteção do $\sqrt n$ evapora exatamente quando é necessária.

**20.** As somas derivam como $n$ e flutuam como $\sqrt n$, de modo que as [médias](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean) se assentam como $\frac{1}{\sqrt n}$: o cassino embolsa a deriva ao longo de um milhão de rodadas; o instituto de pesquisa compra $\frac{1}{\sqrt{1100}}$ de ruído com um orçamento de telefonemas; a seguradora ultrapassa os próprios sinistros em $n > 110$; a investidora divide o risco por $\sqrt{25}$. Abusadores: o apostador que acredita em dívidas (só existe diluição) e o financista que acredita em [independência](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/32-probabilidade-condicional-e-independencia#def-g12-condprob-indep) (às vezes só existe uma aposta). A forma universal das flutuações — o sino — é a estrela do capítulo [contínuo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/21-limites-e-continuidade#def-g12-limcont-continuity), e seu teorema, o teorema central do limite, é o cume da [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) dos volumes de graduação.