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title: "Variáveis aleatórias contínuas"
book: "Matemática do ensino médio"
subject: math
language: pt
chapter: 35
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/35-variaveis-aleatorias-continuas
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# Capítulo 35 — Variáveis aleatórias contínuas

Tempos de espera, medidas físicas, proporções: muitas grandezas aleatórias assumem um [contínuo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/21-limites-e-continuidade#def-g12-limcont-continuity) de valores, e nenhum valor isolado tem [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) positiva. As [probabilidades](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) são então calculadas integrando uma *[densidade](#def-g12-contdist-density)*. Este capítulo estuda as distribuições uniforme, exponencial e normal, e usa a [distribuição normal](#def-g12-contdist-normal) para quantificar as flutuações de pesquisas e [amostras](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-sample).

## 35.1 Densidades de probabilidade

**Definição 35.1 (Densidade, variável aleatória contínua).**

Uma *densidade de probabilidade* em um [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) $I$ é uma [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) [contínua](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/21-limites-e-continuidade#def-g12-limcont-continuity) e não negativa $f$ em $I$ com $\int_I f(t)\,\dd t = 1$ (a [integral](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/25-integracao#def-g12-integ-area) sobre um $I$ ilimitado sendo entendida como limite de [integrais](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/25-integracao#def-g12-integ-area) sobre [intervalos](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) [limitados](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#def-g12-seq-bounded) [crescentes](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/20-sequencias#def-g12-seq-monotonic)). Uma [variável aleatória](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/33-variaveis-aleatorias-e-a-distribuicao-binomial#def-g12-randvar-rv) $X$ tem densidade $f$ se, para todos $a \leq b$ em $I$:

$$
\P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(t)\,\dd t .
$$

As [probabilidades](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) são *áreas sob a curva da [densidade](#def-g12-contdist-density)*. Em particular, $\P(X = a) = \int_a^a f = 0$ para todo valor isolado $a$: só os [intervalos](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) carregam [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution), e $\P(a \leq X \leq b) = \P(a < X < b)$.

**Definição 35.2 (Esperança e variância).**

Para $X$ de [densidade](#def-g12-contdist-density) $f$ em $I$:

$$
\E(X) = \int_I t\,f(t)\,\dd t, \qquad
\V(X) = \int_I \bigl(t - \E(X)\bigr)^2 f(t)\,\dd t
= \E(X^2) - \E(X)^2 .
$$

As regras dos Capítulos 14–15 (linearidade da [esperança](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/33-variaveis-aleatorias-e-a-distribuicao-binomial#def-g12-randvar-exp), aditividade da [variância](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/33-variaveis-aleatorias-e-a-distribuicao-binomial#def-g12-randvar-exp) para variáveis [independentes](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/34-somas-de-variaveis-aleatorias-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-g12-sums-indep), Bienaymé–Chebyshev) continuam válidas; suas demonstrações, com [integrais](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/25-integracao#def-g12-integ-area) no lugar de somas, são admitidas neste nível.

## 35.2 Distribuição uniforme

**Definição 35.3 (Distribuição uniforme).**

$X$ segue a *distribuição uniforme* $\mathcal U\intcc ab$ se sua [densidade](#def-g12-contdist-density) é constante, $f(t) = \frac{1}{b-a}$ em $\intcc{a}{b}$. Então, para $\intcc{c}{d} \subseteq \intcc ab$, $\P(c \leq X \leq d) = \frac{d - c}{b - a}$: [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) proporcional ao comprimento.

**Proposição 35.4.**

Se $X \sim \mathcal U\intcc ab$, então $\E(X) = \dfrac{a+b}{2}$ e $\V(X) = \dfrac{(b-a)^2}{12}$.

**Demonstração.** $\E(X) = \int_a^b \frac{t}{b-a}\dd t
= \frac{b^2 - a^2}{2(b-a)} = \frac{a+b}{2}$. Para a [variância](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/33-variaveis-aleatorias-e-a-distribuicao-binomial#def-g12-randvar-exp), $\E(X^2) = \frac{b^3 - a^3}{3(b-a)} = \frac{a^2 + ab + b^2}{3}$, e

$$
\V(X) = \frac{a^2 + ab + b^2}{3} - \frac{(a+b)^2}{4}
= \frac{4a^2 + 4ab + 4b^2 - 3a^2 - 6ab - 3b^2}{12}
= \frac{(b - a)^2}{12}. \qedhere
$$

∎

## 35.3 Distribuição exponencial

**Definição 35.5 (Distribuição exponencial).**

Para $\lambda > 0$, $X$ segue a *distribuição exponencial* $\mathcal E(\lambda)$ se sua [densidade](#def-g12-contdist-density) em $\intco{0}{+\infty}$ é

$$
f(t) = \lambda\,\eu^{-\lambda t}.
$$

Então $\P(X \leq x) = 1 - \eu^{-\lambda x}$ e $\P(X > x) = \eu^{-\lambda x}$ para $x \geq 0$.

**Proposição 35.6.**

Se $X \sim \mathcal E(\lambda)$: $\E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$ e $\V(X) = \dfrac{1}{\lambda^2}$.

**Demonstração.** Integrando por partes em $\intcc{0}{A}$:

$$
\int_0^A t\,\lambda\eu^{-\lambda t}\dd t
= \bigl[-t\,\eu^{-\lambda t}\bigr]_0^A + \int_0^A \eu^{-\lambda t}\dd t
= -A\eu^{-\lambda A} + \frac{1 - \eu^{-\lambda A}}{\lambda}
\xrightarrow[A\to+\infty]{} \frac1\lambda,
$$

usando $A\eu^{-\lambda A} \to 0$ ([Teorema 23.4](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/23-exponencial-e-logaritmo#thm-g12-exp-growth)). Uma segunda [integração por partes](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/25-integracao#thm-g12-integ-ibp) dá $\E(X^2) = \frac{2}{\lambda^2}$, donde $\V(X) = \frac{2}{\lambda^2} - \frac{1}{\lambda^2}$. ∎

**Teorema 35.7 (Ausência de memória).**

Se $X \sim \mathcal E(\lambda)$, então, para todos $s, t \geq 0$:

$$
\pcond{X > s}{X > s + t} = \P(X > t) .
$$

A [distribuição exponencial](#def-g12-contdist-expo) é a lei dos tempos de vida *sem envelhecimento* (núcleos radioativos, não lâmpadas).

**Demonstração.**

$$
\pcond{X > s}{X > s+t}
= \frac{\P(X > s + t)}{\P(X > s)}
= \frac{\eu^{-\lambda(s+t)}}{\eu^{-\lambda s}} = \eu^{-\lambda t}
= \P(X > t). \qedhere
$$

∎

![A densidade exponencial - x (aqui = 1): a área da cauda além de t (em vermelho) vale - t, e a ausência de memória diz que toda cauda se parece com a distribuição inteira reescalada.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-contdist/fig-60c0c3684efd.svg)

*A [densidade](#def-g12-contdist-density) exponencial $\lambda\eu^{-\lambda x}$ (aqui $\lambda = 1$): a área da cauda além de $t$ (em vermelho) vale $\eu^{-\lambda t}$, e a [ausência de memória](#thm-g12-contdist-memoryless) diz que toda cauda se parece com a [distribuição](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/33-variaveis-aleatorias-e-a-distribuicao-binomial#def-g12-randvar-rv) inteira reescalada.*

## 35.4 Distribuição normal

**Definição 35.8 (Distribuição normal).**

$X$ segue a *distribuição normal padrão* $\mathcal N(0, 1)$ se sua [densidade](#def-g12-contdist-density) em $\R$ é

$$
\varphi(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,\eu^{-t^2/2}
$$

(a curva em sino). Mais geralmente, $X \sim \mathcal N(\mu, \sigma^2)$ se $\dfrac{X - \mu}{\sigma} \sim
\mathcal N(0,1)$; então $\E(X) = \mu$ e $\V(X) = \sigma^2$.

![A densidade normal: cerca de 68.3\% da massa fica a menos de da média, 95.4\% a menos de 2 e 99.7\% a menos de 3.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g12-contdist/fig-4494c7446eb1.svg)

*A [densidade](#def-g12-contdist-density) normal: cerca de $68.3\%$ da massa fica a menos de $\sigma$ da [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean), $95.4\%$ a menos de $2\sigma$ e $99.7\%$ a menos de $3\sigma$.*

**Observação 35.9.**

O fator $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$ faz a área total valer $1$ — um cálculo famoso (a *[integral](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/25-integracao#def-g12-integ-area) de Gauss*) feito na graduação. Não há fórmula elementar para $\int \varphi$: as [probabilidades](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) normais são lidas em tabelas ou calculadoras.

**Teorema 35.10 (Moivre–Laplace, admitido).**

Sejam $X_n \sim \mathcal B(n, p)$ e $Z_n = \dfrac{X_n - np}{\sqrt{np(1-p)}}$ (a binomial padronizada). Então, para todos $a \leq b$,

$$
\P(a \leq Z_n \leq b) \xrightarrow[n\to+\infty]{}
\int_a^b \varphi(t)\,\dd t .
$$

*Este resultado é admitido neste nível.* Ele explica a aparição universal da curva em sino: uma binomial com $n$ grande é aproximadamente normal — e (teorema central do limite, na graduação) o mesmo vale para qualquer soma de muitos efeitos [independentes](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/34-somas-de-variaveis-aleatorias-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-g12-sums-indep) e pequenos.

**Método 35.11 (Intervalo de flutuação a 95%95\%95%).**

Como uma variável normal cai a menos de $1.96$ [desvios padrão](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-variance) de sua [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean) com [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) $0.95$, para $n$ grande uma [frequência](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/8-estatistica-descritiva#def-g10-stats-series) $F_n = \frac{X_n}{n}$ de uma [amostra](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-sample) $\mathcal B(n,p)$ satisfaz

$$
\P\left(p - 1.96\sqrt{\tfrac{p(1-p)}{n}} \leq F_n \leq
p + 1.96\sqrt{\tfrac{p(1-p)}{n}}\right) \approx 0.95 .
$$

- *[Intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) de flutuação* (teste): se um $p$ alegado coloca a [frequência](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/8-estatistica-descritiva#def-g10-stats-series) observada fora desse [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) , rejeite a alegação ao nível de $5\%$ .
- *[Intervalo de confiança](#met-g12-contdist-fluctuation)* (estimativa): o [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) simplificado $\left[F_n - \frac{1}{\sqrt n},\ F_n + \frac{1}{\sqrt n}\right]$ contém $p$ com [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) de pelo menos $0.95$ (usando $1.96\sqrt{p(1-p)} \leq 1$ , veja o [Exercício 34.8](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/34-somas-de-variaveis-aleatorias-e-a-lei-dos-grandes-numeros#exo-g12-sums-8) ).

**Exemplo 35.12.**

Uma pesquisa com $n = 1000$ eleitores dá $52\%$ a um candidato. O [intervalo de confiança](#met-g12-contdist-fluctuation) $52\% \pm \frac{1}{\sqrt{1000}} \approx 52\% \pm
3.2\%$ ainda contém $50\%$: a pesquisa sozinha não estabelece que o candidato esteja à frente.

## 35.5 Exercícios

**Exercício 35.1 ★.**

Um ônibus passa a cada $15$ minutos; um passageiro chega em um instante uniformemente aleatório. Seja $X \sim \mathcal U\intcc{0}{15}$ o tempo de espera. Calcule $\P(X \leq 5)$, $\P(4 \leq X \leq 10)$, $\E(X)$ e $\sigma(X)$.

**Solução de Exercício 35.1.**

$\P(X \leq 5) = \frac{5}{15} = \frac13$; $\P(4 \leq X \leq 10) = \frac{6}{15} = \frac25$; $\E(X) = \frac{15}{2} = 7.5$ min; $\sigma(X) = \frac{15}{\sqrt{12}} = \frac{5\sqrt3}{2} \approx 4.3$ min.

**Exercício 35.2 ★.**

Verifique que $f(t) = \frac{3}{8}t^2$ é uma [densidade](#def-g12-contdist-density) em $\intcc{0}{2}$ e calcule $\E(X)$ e $\P(X \geq 1)$ para uma variável $X$ com essa [densidade](#def-g12-contdist-density).

**Solução de Exercício 35.2.**

$f \geq 0$ e $\int_0^2 \frac38 t^2\,\dd t = \frac38\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^2
= \frac38 \times \frac83 = 1$: é uma [densidade](#def-g12-contdist-density).

$$
\E(X) = \int_0^2 \frac38 t^3\,\dd t = \frac38 \times \frac{16}{4} = \frac32,
\qquad
\P(X \geq 1) = \int_1^2 \frac38 t^2\,\dd t = \frac{8 - 1}{8} = \frac78 .
$$

**Exercício 35.3 ★.**

O tempo de vida (em anos) de um componente eletrônico segue $\mathcal E(0.2)$.

1. Calcule o tempo de vida esperado e $\P(X > 5)$ .
2. O componente já funcionou $3$ anos. Qual é a [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) de que funcione ao menos mais $5$ ?

**Solução de Exercício 35.3.**

*1.* $\E(X) = \frac{1}{0.2} = 5$ anos; $\P(X > 5) = \eu^{-0.2\times5} = \eu^{-1} \approx 0.37$.

*2.* Pela [ausência de memória](#thm-g12-contdist-memoryless) ([Teorema 35.7](#thm-g12-contdist-memoryless)), $\pcond{X > 3}{X > 8} = \P(X > 5) = \eu^{-1} \approx 0.37$: os três anos de serviço não mudam nada.

**Exercício 35.4 ★★.**

A meia-vida de um átomo radioativo cujo tempo de vida segue $\mathcal E(\lambda)$ é a [mediana](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-median) $m$: $\P(X > m) = \frac12$. Exprima $m$ em [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) de $\lambda$ e compare com a [esperança](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/33-variaveis-aleatorias-e-a-distribuicao-binomial#def-g12-randvar-exp). Qual é maior, e por que isso faz sentido para uma [distribuição](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/33-variaveis-aleatorias-e-a-distribuicao-binomial#def-g12-randvar-rv) assimétrica?

**Solução de Exercício 35.4.**

$\P(X > m) = \eu^{-\lambda m} = \frac12$ dá $m = \frac{\ln 2}{\lambda} \approx \frac{0.69}{\lambda}$, menor que $\E(X) = \frac1\lambda$. A [densidade](#def-g12-contdist-density) exponencial tem uma longa cauda à direita: alguns tempos de vida atipicamente longos puxam a *[média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean)* acima da *[mediana](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-median)*, o valor que metade da população ultrapassa. (Esta é a meia-vida do [Exemplo 23.9](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/23-exponencial-e-logaritmo#ex-g12-exp-halflife): metade dos átomos sobrevive a ela, embora o tempo de vida médio seja maior.)

**Exercício 35.5 ★★.**

As alturas em uma população seguem $\mathcal N(175,\ 7^2)$ (em cm). Usando a regra $68$–$95$–$99.7$, estime a proporção da população com altura entre $168$ e $182$ cm, acima de $189$ cm e abaixo de $154$ cm.

**Solução de Exercício 35.5.**

$168 = \mu - \sigma$ e $182 = \mu + \sigma$: cerca de $68\%$. $189 = \mu + 2\sigma$: acima disso fica metade dos $100 - 95.4 = 4.6\%$ restantes, ou seja, cerca de $2.3\%$. $154 = \mu - 3\sigma$: cerca de $\frac{100 - 99.7}{2} = 0.15\%$.

**Exercício 35.6 ★★.**

Uma máquina enche pacotes rotulados $500$ g; a massa envasada segue $\mathcal N(\mu,\ 4^2)$. A regulamentação exige que no máximo $2.5\%$ dos pacotes pesem menos de $500$ g. Usando a regra dos $95\%$, qual é o ajuste [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) de $\mu$ que atende à exigência?

**Solução de Exercício 35.6.**

$\P(X < 500) \leq 2.5\%$ significa que $500$ tem de ficar pelo menos dois [desvios padrão](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-variance) abaixo da [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean) (a normal deixa $2.3\% \approx 2.5\%$ abaixo de $\mu - 2\sigma$; com o convencional $1.96$, o raciocínio é idêntico):

$$
\mu - 2\sigma \geq 500 \iff \mu \geq 500 + 8 = 508 \text{ g}.
$$

A máquina tem de ser ajustada para $508$ g em [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean) — o preço da garantia são $8$ g de produto “de graça” por pacote.

**Exercício 35.7 ★★.**

Um dado apresentado como honesto é lançado $1200$ vezes e mostra um seis $260$ vezes (como no [Exercício 34.7](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/34-somas-de-variaveis-aleatorias-e-a-lei-dos-grandes-numeros#exo-g12-sums-7)).

1. Calcule o [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) de flutuação a $95\%$ para a [frequência](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/8-estatistica-descritiva#def-g10-stats-series) de seis de um dado honesto em $1200$ lançamentos.
2. A [frequência](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/8-estatistica-descritiva#def-g10-stats-series) observada está dentro dele? Compare a força dessa conclusão com a da análise por Bienaymé–Chebyshev.

**Solução de Exercício 35.7.**

*1.* Com $p = \frac16$, $n = 1200$: $\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} = \sqrt{\frac{5/36}{1200}} \approx 0.0108$, de modo que o [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) de flutuação a $95\%$ é

$$
\frac16 \pm 1.96 \times 0.0108 \approx \intcc{0.146}{0.188}.
$$

*2.* A [frequência](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/8-estatistica-descritiva#def-g10-stats-series) observada $\frac{260}{1200} \approx 0.217$ fica bem fora: a hipótese de honestidade é rejeitada ao nível de $5\%$. O desvio é de cerca de $4.6$ [desvios padrão](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-variance) — para uma [aproximação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-approx) normal, uma [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) da ordem de $10^{-6}$, muito mais conclusiva que a cota $\leq 4.6\%$ de Bienaymé–Chebyshev ([Exercício 34.7](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/34-somas-de-variaveis-aleatorias-e-a-lei-dos-grandes-numeros#exo-g12-sums-7)).

**Exercício 35.8 ★★★.**

Antes de uma eleição, uma pesquisa com $n$ pessoas vai estimar a votação $p$ de um candidato pela [frequência](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/8-estatistica-descritiva#def-g10-stats-series) observada $F_n$.

1. Com o [intervalo de confiança](#met-g12-contdist-fluctuation) do [Método 35.11](#met-g12-contdist-fluctuation) , que tamanho de [amostra](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-sample) garante uma margem de $\pm 2$ pontos?
2. Os candidatos estão separados por $1$ ponto na realidade. Explique por que nenhuma pesquisa realista pode apontar o vencedor com segurança, por melhor que seja conduzida.

**Solução de Exercício 35.8.**

*1.* A margem $\frac{1}{\sqrt n} \leq 0.02$ exige $n \geq 2500$ pessoas.

*2.* Para distinguir votações separadas por $1$ ponto, a margem tem de ficar bem abaixo de $0.5$ ponto, o que exige $n \geq \left(\frac{1}{0.005}\right)^2 = 40\,000$ pela fórmula simplificada — já impraticável para a maioria das pesquisas. Pior: a margem estatística só leva em conta o erro de *amostragem*; os vieses sistemáticos ([amostras](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-sample) não representativas, não resposta, viradas de última hora) não encolhem quando $n$ cresce e costumam superar um ponto. Uma disputa de $1$ ponto é genuinamente indecidível.

**Exercício 35.9 ★★★.**

Seja $X$ de [densidade](#def-g12-contdist-density) $f$ em $\intcc ab$ e seja $Y = \alpha X + \beta$ com $\alpha > 0$.

1. Mostre que $\P(c \leq Y \leq d)  = \P\left(\frac{c - \beta}{\alpha} \leq X \leq  \frac{d-\beta}{\alpha}\right)$ , e deduza que $Y$ tem [densidade](#def-g12-contdist-density) $g(y) = \frac{1}{\alpha} f\left(\frac{y - \beta}{\alpha}\right)$ .
2. Deduza que, se $Z \sim \mathcal N(0,1)$ , então $\mu + \sigma Z$ tem [densidade](#def-g12-contdist-density) $\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,  \eu^{-(y - \mu)^2/(2\sigma^2)}$ — a [densidade](#def-g12-contdist-density) normal geral.

**Solução de Exercício 35.9.**

*1.* Como $\alpha > 0$, $c \leq \alpha X + \beta \leq d
\iff \frac{c - \beta}{\alpha} \leq X \leq \frac{d - \beta}{\alpha}$, de modo que

$$
\P(c \leq Y \leq d)
= \int_{(c-\beta)/\alpha}^{(d-\beta)/\alpha} f(t)\,\dd t .
$$

A substituição $y = \alpha t + \beta$ (isto é, ler a área na variável $y$, com $t = \frac{y - \beta}{\alpha}$, $\dd t = \frac{\dd y}{\alpha}$) transforma isso em $\int_c^d \frac{1}{\alpha} f\left(\frac{y-\beta}{\alpha}\right)\dd y$: a [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) $g(y) = \frac1\alpha f\left(\frac{y-\beta}{\alpha}\right)$ é uma [densidade](#def-g12-contdist-density) de $Y$.

*2.* Com $f = \varphi$, $\alpha = \sigma$, $\beta = \mu$:

$$
g(y) = \frac{1}{\sigma}\,\varphi\!\left(\frac{y - \mu}{\sigma}\right)
= \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,
\exp\left(-\frac{(y-\mu)^2}{2\sigma^2}\right),
$$

que é, portanto, a [densidade](#def-g12-contdist-density) de $\mathcal N(\mu, \sigma^2) = \mu + \sigma\,\mathcal N(0,1)$.

## 35.6 Problema: esperando o ônibus, medindo a multidão

**Problema 35.1.**

Problema de fim de semana — três densidades governam o mundo: a ignorância total, a espera sem memória e o sino de muitas causas pequenas; mais o paradoxo que deixa seu ônibus sempre atrasado

Por que seu ônibus parece sempre demorar mais do que a tabela promete? Por que a turma em que um aluno médio se senta é maior que a turma [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean)? Por que seus amigos têm mais amigos que você? Um matreiro pedaço de matemática — a amostragem enviesada pelo comprimento — responde às três perguntas, e ele mora neste capítulo, entre as distribuições uniforme, exponencial e normal ([Definição 35.3](#def-g12-contdist-uniform), [Definição 35.5](#def-g12-contdist-expo), [Definição 35.8](#def-g12-contdist-normal)). Este último problema do volume põe as três [densidades](#def-g12-contdist-density) para trabalhar e termina onde toda a série aponta: a curva em sino.

**Parte I — Três personagens.**

1. Um ônibus chega em um instante uniformemente aleatório nos próximos $30$ minutos. Calcule $\P(\text{espera} \leq 10)$ , a espera esperada e $\sigma$ ( [Proposição 35.4](#prop-g12-contdist-uniformmoments) ).
2. Verifique que $f(x) = 2x$ em $\intcc{0}{1}$ é uma [densidade](#def-g12-contdist-density) e calcule $\E(X)$ e $\P\left(X > \frac12\right)$ .
3. As ligações chegam a uma central de atendimento como um fluxo sem memória: a espera pela próxima ligação é exponencial de [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean) $10$ minutos. Calcule $\P(T > 15)$ e a espera [mediana](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-median) — por que a [mediana](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-median) é *menor* que a [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean) ?
4. Você já esperou $20$ minutos. Quanto vale $\P(T > 35 \mid T > 20)$ ( [Teorema 35.7](#thm-g12-contdist-memoryless) )? Interprete em uma frase.
5. Associe cada espera ao seu modelo correto — uniforme, exponencial ou nenhum dos dois: (a) o clique de um contador Geiger; (b) um metrô que passa a cada $8$ minutos, com sua chegada não sincronizada; (c) a próxima ligação na central; (d) a queima de uma lâmpada que *se desgasta* . Justifique (d) com o teorema da [ausência de memória](#thm-g12-contdist-memoryless) .

**Parte II — O sino em ação.** (Use os marcos normais: $68\,\%$ dentro de $\sigma$, $95\,\%$ dentro de $2\sigma$, $99.7\,\%$ dentro de $3\sigma$.)

6. As alturas de adultos seguem aproximadamente $\mathcal N(172,\ 8)$ (cm). Que frações ficam em $\intcc{164}{180}$ , $\intcc{156}{188}$ , $\intcc{148}{196}$ ?
7. Estime a proporção de pessoas com mais de $190$ cm ( [escore z](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#pb-g11-stat-1) primeiro; depois tabela ou calculadora).
8. Os escores de QI são calibrados em $\mathcal N(100, 15)$ . Que fração fica acima de $130$ — e, aproximadamente, uma pessoa em cada quantas?
9. Uma máquina corta parafusos de comprimento $\mathcal N(50,\ 0.1)$ mm e a especificação é $\intcc{49.8}{50.2}$ . Que parcela é rejeitada? A indústria celebra os processos “seis sigma”, cujas especificações ficam a $\pm 6\sigma$ : o que isso compra e por que as fábricas perseguem esse padrão?
10. Moivre–Laplace ( [Teorema 35.10](#thm-g12-contdist-tcl) ): para $100$ lançamentos de uma moeda honesta, aproxime $\P(45 \leq \text{caras} \leq 55)$ ( [continuidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/21-limites-e-continuidade#def-g12-limcont-continuity) : $\pm 0.5$ ; $\sigma = 5$ ). Que máquina de madeira do [Problema 19.1](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/19-a-distribuicao-binomial#pb-g11-binom-1) este teorema alisa até virar uma curva?
11. A partir do [Exercício 35.8](#exo-g12-contdist-8) : uma margem de $\pm 2$ pontos exige cerca de $n = 2\,400$ . Calcule a [amostra](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-sample) necessária para $\pm 0.5$ ponto — e conclua, em uma frase, por que uma disputa separada por um ponto não pode ser honestamente decidida por pesquisa nenhuma.

**Parte III — O paradoxo do ônibus.**

12. Os ônibus chegam como um fluxo sem memória com intervalo médio de $10$ minutos. Você chega ao ponto em um momento arbitrário. A intuição diz que a espera esperada é de $5$ minutos (metade de um intervalo). O que diz, em vez disso, o teorema da [ausência de memória](#thm-g12-contdist-memoryless) ?
13. Diagnostique a intuição com uma tabela de horários de brinquedo: os intervalos alternam $5$ e $15$ minutos (intervalo médio $10$ ). Calcule a [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) de que uma chegada uniformemente aleatória caia em um intervalo longo, depois a espera esperada verdadeira — e nomeie o culpado: as chegadas amostram os intervalos com probabilidade proporcional ao *comprimento* deles.
14. No fluxo sem memória, o intervalo em que você cai tem comprimento esperado de $20$ minutos — o dobro do intervalo típico (o tempo de volta até o ônibus anterior e o tempo até o próximo são *ambos* exponenciais de [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean) $10$ ). Concilie isso com a questão 12 e enuncie o *paradoxo da inspeção* em uma frase.
15. A mesma ferroada em terra firme: uma universidade tem nove turmas de $10$ alunos e uma de $110$ . Calcule o tamanho médio das turmas e, depois, o tamanho de turma vivido pelo *aluno médio* . Que número o folheto vai citar, e qual é a verdade vivida pelos alunos?
16. O paradoxo da amizade — “seus amigos têm, em [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean) , mais amigos que você” — é a mesma matemática. Diga em uma frase o que faz o papel do intervalo longo.

**Parte IV — Fechando o volume.**

17. Simulação, a ponte dos praticantes: se $U$ é uniforme em $\intoo{0}{1}$ , mostre que $T = -10\ln U$ é exponencial de [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean) $10$ (calcule $\P(T > t)$ ). Toda simulação industrial de espera aleatória roda sobre esse truque de uma linha.
18. Uma velha receita dos programadores de jogos constrói um sino: some doze uniformes [independentes](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/34-somas-de-variaveis-aleatorias-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-g12-sums-indep) em $\intcc{0}{1}$ e subtraia $6$ . Dê a [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean) e a [variância](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/33-variaveis-aleatorias-e-a-distribuicao-binomial#def-g12-randvar-exp) da soma e explique — com a tábua de Galton na mão — por que o resultado é quase normal.
19. Os mercados desabam com mais força do que o sino permite: a quebra de 1987 foi descrita como um “ [evento](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/18-probabilidade-e-variaveis-aleatorias#def-g11-prob-model) de $25\sigma$ ”, o que, sob normalidade, tem [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) da ordem de $10^{-137}$ . Qual é a conclusão correta — sobre o mundo ou sobre o modelo? (Uma frase, o catecismo do estatístico.)
20. Finale, e despedida do volume: os três personagens em uma linha cada — uniforme (ignorância dentro de limites), exponencial (risco sem memória), normal (a soma de muitas causas pequenas); o paradoxo da inspeção como a ferroada do capítulo; e o arco de toda a série — de contar caixas no ano 6 à curva em sino que mede qualquer multidão — com os volumes de graduação esperando onde os limites, as [integrais](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/25-integracao#def-g12-integ-area) e o teorema central do limite assumem o comando.

**Solução de Problema 35.1.**

**1.** $\P(\text{espera} \leq 10) = \frac{10}{30} =
\frac13$; $\E = 15$ min; $\sigma = \frac{30}{\sqrt{12}} \approx 8.7$ min.

**2.** $\int_0^1 2x\,\dd x = 1$: é uma [densidade](#def-g12-contdist-density). $\E(X) = \int_0^1 2x^2\,\dd x = \frac23$; $\P\left(X > \frac12\right) = \int_{1/2}^1 2x\,\dd x =
1 - \frac14 = \frac34$.

**3.** $\P(T > 15) = \eu^{-15/10} \approx 0.22$. [Mediana](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-median): $\eu^{-m/10} = \frac12$: $m = 10\ln 2 \approx 6.9$ min — menos que a [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean) $10$, porque a longa cauda à direita da exponencial (esperas enormes e raras) arrasta a [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean) para cima, deixando a [mediana](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-median) na espera “típica”.

**4.** Pela [ausência de memória](#thm-g12-contdist-memoryless), $\P(T > 35 \mid T > 20) = \P(T > 15) \approx 0.22$: os vinte minutos já cumpridos não compram nada — o fluxo não envelhece.

**5.** (a) exponencial (o decaimento radioativo é o modelo para o qual a [ausência de memória](#thm-g12-contdist-memoryless) foi inventada); (b) uniforme em $\intcc{0}{8}$ (um horário com defasagem aleatória); (c) exponencial; (d) nenhum dos dois: uma lâmpada gasta tem *mais* [probabilidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-distribution) de queimar na próxima hora que uma nova, de modo que $\P(T > s + t \mid T > s) < \P(T > t)$: o envelhecimento contradiz o teorema da [ausência de memória](#thm-g12-contdist-memoryless).

**6.** $68\,\%$, $95\,\%$, $99.7\,\%$: os três [intervalos](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) de referência.

**7.** $z = \frac{190 - 172}{8} = 2.25$: cauda superior $\approx 1.2\,\%$.

**8.** $z = 2$: cerca de $2.3\,\%$ — mais ou menos uma pessoa em cada $44$.

**9.** A especificação fica a $\pm 2\sigma$: cerca de $95.4\,\%$ passam, $4.6\,\%$ são rejeitados — ruinoso em escala. A $\pm 6\sigma$, a taxa de falha cai para cerca de duas partes por *bilhão*: o seis sigma compra o direito de produzir em massa sem inspecionar em massa.

**10.** $\sigma = 5$; com correção de [continuidade](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/21-limites-e-continuidade#def-g12-limcont-continuity), $\P \approx \P\left(\abs Z \leq \frac{5.5}{5}\right) =
\P(\abs Z \leq 1.1) \approx 0.73$. O teorema alisa a tábua de Galton do [Problema 19.1](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/19-a-distribuicao-binomial#pb-g11-binom-1): a escadinha de compartimentos vira o sino [contínuo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/21-limites-e-continuidade#def-g12-limcont-continuity).

**11.** $n \approx \frac{1.96^2 \times 0.25}{0.005^2}
\approx 38\,400$ pessoas — e, nesse tamanho, os erros que *não* são de amostragem (cadastro, recusas, mentiras) engolem a margem: uma disputa de um ponto está além do alcance de uma pesquisa honesta, e é por isso que os institutos sérios então dizem “empate técnico”.

**12.** [Ausência de memória](#thm-g12-contdist-memoryless): a partir do instante em que você chega, a espera restante é exponencial de [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean) $10$ — os $10$ minutos completos, não $5$. O “intervalo médio $10$” da tabela engana: sua espera tem a mesma [distribuição](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/33-variaveis-aleatorias-e-a-distribuicao-binomial#def-g12-randvar-rv) de um intervalo inteiro.

**13.** As chegadas aleatórias caem proporcionalmente ao comprimento do intervalo: $\P(\text{intervalo longo}) = \frac{15}{20} = \frac34$. Espera esperada: $\frac34 \times \frac{15}{2} + \frac14 \times
\frac52 = 5.625 + 0.625 = 6.25$ min — mais que os ingênuos $5$, embora o intervalo médio seja $10$. Culpada: a *amostragem enviesada pelo comprimento* — intervalos longos apanham mais passageiros.

**14.** As esperas para trás e para a frente são cada uma exponencial de [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean) $10$ (a [ausência de memória](#thm-g12-contdist-memoryless) vale nos dois sentidos a partir de sua chegada): o intervalo que contém você tem [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean) de $20$ minutos — o dobro do intervalo típico. Paradoxo da inspeção em uma frase: *o intervalo que por acaso você inspeciona não é um intervalo típico, porque você tinha mais chance de cair em um intervalo grande.*

**15.** Turma [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean): $\frac{9 \times 10 + 110}{10} = 20$ alunos. [Média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean) vivida pelos alunos: $\frac{90 \times 10 + 110 \times 110}{200} = \frac{13\,000}
{200} = 65$ alunos. O folheto imprime $20$; três em cada cinco alunos sentam na turma de $110$ e vivem os $65$.

**16.** As pessoas populares aparecem em muitas listas de amigos, de modo que amostrar “um amigo” é enviesado em favor dos sociáveis — seus amigos são sorteados nos intervalos longos da tabela de horários social.

**17.** Para $t \geq 0$: $\P(T > t) = \P(-10\ln U > t) = \P\left(U <
\eu^{-t/10}\right) = \eu^{-t/10}$: exatamente a [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/11-funcoes-e-variacao#def-g11-func-function) de sobrevivência da exponencial — um [logaritmo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/23-exponencial-e-logaritmo#def-g12-exp-ln) converte o ruído uniforme do computador em qualquer tempo de espera.

**18.** Cada uniforme tem [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean) $\frac12$ e [variância](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/33-variaveis-aleatorias-e-a-distribuicao-binomial#def-g12-randvar-exp) $\frac{1}{12}$: a soma de doze tem [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean) $6$ e [variância](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/33-variaveis-aleatorias-e-a-distribuicao-binomial#def-g12-randvar-exp) $1$ — de modo que a receita devolve [média](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean) $0$ e [variância](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/33-variaveis-aleatorias-e-a-distribuicao-binomial#def-g12-randvar-exp) $1$. Doze empurrõezinhos [independentes](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/34-somas-de-variaveis-aleatorias-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-g12-sums-indep) somados: o mecanismo de Galton e, com a bênção de Moivre–Laplace, o histograma já tem forma de sino a olho nu.

**19.** Sobre o modelo: os mercados não são somas de muitas causas pequenas *[independentes](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/34-somas-de-variaveis-aleatorias-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-g12-sums-indep)* — os pânicos correlacionam tudo (a lição de 2008 do problema anterior) e produzem caudas pesadas que nenhuma [densidade](#def-g12-contdist-density) normal possui. Quando os dados sussurram $10^{-137}$, o catecismo do estatístico responde: *quem é rejeitado é o modelo, não o dia*.

**20.** Uniforme: todas as posições iguais, o honesto “só conheço os limites”. Exponencial: o risco que nunca envelhece — decaimentos, chegadas, cliques. Normal: o sino democrático de muitas causas pequenas e [independentes](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/34-somas-de-variaveis-aleatorias-e-a-lei-dos-grandes-numeros#def-g12-sums-indep) — alturas, erros, [médias](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#def-g11-stat-mean). A ferroada: o que você [amostra](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/9-probabilidade-e-amostragem#def-g10-proba-sample) é enviesado pela maneira como você esbarrou nele — ônibus, turmas, amigos. E o arco: a criança que contava caixinhas de suco no ano 6, dez volumes de problemas depois, mediu a multidão com uma curva; o épsilon, a [integral](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/25-integracao#def-g12-integ-area) e o teorema central do limite esperam nos volumes de graduação para explicar *por que* o sino dobra por tudo.