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title: "Funções de referência"
book: "Matemática do ensino médio"
subject: math
language: pt
chapter: 4
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/4-funcoes-de-referencia
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# Capítulo 4 — Funções de referência

Um punhado de funções simples — afim, quadrado, inverso, raiz quadrada, cubo — aparece em toda parte, sozinho ou combinado. Saber de cor seus [gráficos](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-graph) e sua variação transforma muitos problemas em um esboço rápido. Este capítulo estuda cada uma delas por sua vez e demonstra sua variação com a técnica de comparação do [Capítulo 3](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#ch-g10-functions).

## 4.1 Funções afins

**Definição 4.1 (Função afim).**

Uma *função afim* é uma [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-function) da forma

$$
f(x) = mx + p,
$$

onde $m$ e $p$ são [números reais](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-sets) fixos. Seu [gráfico](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-graph) é uma reta: $m$ é o *coeficiente angular* e $p$ o *coeficiente linear* (a reta corta o eixo vertical em $(0, p)$). Quando $p = 0$, a [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-function) é *linear*: $f(x) = mx$ exprime uma proporcionalidade.

**Proposição 4.2 (Coeficiente angular e variação).**

Seja $f(x) = mx + p$.

1. Para quaisquer duas entradas distintas $u \neq v$ : $m = \dfrac{f(v) - f(u)}{v - u}$ (o [coeficiente angular](#def-g10-reffunc-affine) é a variação da saída por unidade de variação da entrada).
2. Se $m > 0$ , $f$ é estritamente [crescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations) em $\R$ ; se $m < 0$ , estritamente [decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations) ; se $m = 0$ , constante.

**Demonstração.** 1. Calcule $f(v) - f(u) = (mv + p) - (mu + p) = m(v - u)$ e divida em seguida por $v - u \neq 0$.

2. Se $u < v$, então $f(v) - f(u) = m(v-u)$ tem o sinal de $m$, pois $v - u > 0$: com $m$ positivo, $f(u) < f(v)$ ([crescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations)); com $m$ negativo, $f(u) > f(v)$ ([decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations)). ∎

![Duas funções afins: crescente para m = 1/2 > 0, decrescente para m = -1 < 0. Avançar uma unidade para a direita faz y variar de m.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-reffunc/fig-9e20879f061b.svg)

*Duas [funções afins](#def-g10-reffunc-affine): [crescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations) para $m = \frac12 > 0$, [decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations) para $m = -1 < 0$. Avançar uma unidade para a direita faz $y$ variar de $m$.*

**Exemplo 4.3.**

Encontre a [função afim](#def-g10-reffunc-affine) cujo [gráfico](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-graph) passa por $A(1, 3)$ e $B(4, 9)$. O [coeficiente angular](#def-g10-reffunc-affine) é

$$
m = \frac{9 - 3}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2 .
$$

Então $f(x) = 2x + p$, e $f(1) = 3$ dá $2 + p = 3$, logo $p = 1$: $f(x) = 2x + 1$. Confira com $B$: $f(4) = 9$.

## 4.2 A função quadrado

**Proposição 4.4 (Função quadrado).**

A [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-function) $f(x) = x^2$, definida em $\R$:

1. é estritamente [decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations) em $\intoc{-\infty}{0}$ e estritamente [crescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations) em $\intco{0}{+\infty}$ , com [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) $0$ em $x = 0$ ;
2. satisfaz $f(-x) = f(x)$ para todo $x$ : seu [gráfico](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-graph) , uma *parábola* , é simétrico em relação ao eixo vertical.

**Demonstração.** 1. Sejam $0 \leq u < v$. Então

$$
f(v) - f(u) = v^2 - u^2 = (v - u)(v + u) > 0,
$$

pois $v - u > 0$ e $v + u > 0$: $f$ é estritamente [crescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations) em $\intco{0}{+\infty}$. Se $u < v \leq 0$, então $v - u > 0$, mas $v + u < 0$, logo $f(v) - f(u) < 0$: estritamente [decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations). Por fim, $x^2 \geq 0 = f(0)$ para todo $x$.

2. $(-x)^2 = x^2$; assim, os pontos $(x, x^2)$ e $(-x, x^2)$, simétricos em relação ao eixo vertical, estão ambos no [gráfico](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-graph). ∎

**Observação 4.5 (Quadrados e ordem).**

Como a [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-function) quadrado decresce no lado negativo, elevar ao quadrado *inverte* a ordem dos números negativos: $-3 < -2$, mas $9 > 4$. Nunca eleve os dois lados de uma desigualdade ao quadrado sem antes verificar os sinais.

## 4.3 A função inverso

**Proposição 4.6 (Função inverso).**

A [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-function) $f(x) = \dfrac1x$, definida para $x \neq 0$:

1. é estritamente [decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations) em $\intoo{-\infty}{0}$ e estritamente [decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations) em $\intoo{0}{+\infty}$ ;
2. satisfaz $f(-x) = -f(x)$ : seu [gráfico](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-graph) , uma *hipérbole* , é simétrico em relação à origem.

**Demonstração.** 1. Sejam $0 < u < v$. Então

$$
f(v) - f(u) = \frac1v - \frac1u = \frac{u - v}{uv} < 0,
$$

pois $u - v < 0$ e $uv > 0$: estritamente [decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations) em $\intoo{0}{+\infty}$. Em $\intoo{-\infty}{0}$ o mesmo quociente tem novamente $u - v < 0$ e $uv > 0$ (produto de dois negativos), de modo que $f$ também decresce ali.

2. $\frac{1}{-x} = -\frac1x$. ∎

**Observação 4.7.**

Cuidado: $\frac1x$ *não* é [decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations) em todo o seu [domínio](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-function). De $u = -1$ até $v = 1$ o valor salta de $-1$ para $1$. Os dois ramos devem ser estudados separadamente.

![A parábola y = x2 (simétrica em relação ao eixo vertical) e a hipérbole y = 1x (dois ramos, simétricos em relação à origem).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-reffunc/fig-c9fe377b98a0.svg)

![A parábola y = x2 (simétrica em relação ao eixo vertical) e a hipérbole y = 1x (dois ramos, simétricos em relação à origem).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-reffunc/fig-7be6853a2a0e.svg)

*A parábola $y = x^2$ (simétrica em relação ao eixo vertical) e a hipérbole $y = \frac1x$ (dois ramos, simétricos em relação à origem).*

## 4.4 Raiz quadrada e cubo

**Proposição 4.8 (Função raiz quadrada).**

A [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-function) $f(x) = \sqrt{x}$, definida em $\intco{0}{+\infty}$, é estritamente [crescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations).

**Demonstração.** Sejam $0 \leq u < v$. Multiplique e divida pelo *conjugado*:

$$
\sqrt v - \sqrt u
= \frac{(\sqrt v - \sqrt u)(\sqrt v + \sqrt u)}{\sqrt v + \sqrt u}
= \frac{v - u}{\sqrt v + \sqrt u} > 0,
$$

pois $v - u > 0$ e $\sqrt v + \sqrt u > 0$ (note que $v > 0$, logo $\sqrt v > 0$). ∎

**Proposição 4.9 (Função cubo).**

A [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-function) $f(x) = x^3$, definida em $\R$, é estritamente [crescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations), e seu [gráfico](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-graph) é simétrico em relação à origem.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

![A raiz quadrada (definida só para x ≥ 0) e o cubo, ambas crescentes.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-reffunc/fig-ec6a3c7fb7bc.svg)

![A raiz quadrada (definida só para x ≥ 0) e o cubo, ambas crescentes.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-reffunc/fig-5d553e336fa1.svg)

*A raiz quadrada (definida só para $x \geq 0$) e o cubo, ambas [crescentes](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations).*

**Proposição 4.10 (Comparação entre xxx, x2x^2x2 e x\sqrt xx​).**

Para $0 < x < 1$: $x^2 < x < \sqrt x$. Para $x > 1$: $\sqrt x < x < x^2$. Em $x = 0$ e $x = 1$ os três valores coincidem.

**Demonstração.** Suponha $0 < x < 1$. Multiplicar $x < 1$ por $x > 0$ dá $x^2 < x$. Em seguida, $x < \sqrt x$: como os dois lados são positivos e elevar ao quadrado é [crescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations) nos positivos, essa desigualdade equivale a $x^2 < x$, que acabamos de provar. Para $x > 1$, multiplicar $x > 1$ por $x$ dá $x^2 > x$, e $\sqrt x < x$ segue pelo mesmo argumento com quadrados. ∎

![As três curvas se cruzam em (0,0) e (1,1) e trocam de ordem nesses pontos: entre 0 e 1, x2 é a menor e √ x a maior; depois de 1 a ordem se inverte.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-reffunc/fig-2f2ec319808a.svg)

*As três curvas se cruzam em $(0,0)$ e $(1,1)$ e trocam de ordem nesses pontos: entre $0$ e $1$, $x^2$ é a menor e $\sqrt x$ a maior; depois de $1$ a ordem se inverte.*

**Método 4.11 (Comparar imagens).**

Para comparar $f(a)$ e $f(b)$ para uma [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-function) de referência $f$:

1. coloque $a$ e $b$ em um [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) onde a variação de $f$ seja conhecida;
2. se $f$ cresce ali, as [imagens](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-function) ficam na mesma ordem que as entradas; se $f$ decresce, a ordem se inverte;
3. se $a$ e $b$ não estiverem no mesmo [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) de monotonicidade, trate primeiro os sinais (por exemplo, no quadrado: uma entrada negativa e uma positiva).

**Exemplo 4.12.**

Compare $\dfrac{1}{2.3}$ e $\dfrac{1}{2.4}$: as duas entradas estão em $\intoo{0}{+\infty}$, onde a [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-function) inverso decresce, e $2.3 < 2.4$, logo $\dfrac{1}{2.3} > \dfrac{1}{2.4}$. Compare $(-1.2)^2$ e $(-1.5)^2$: em $\intoc{-\infty}{0}$ o quadrado decresce, e $-1.5 < -1.2$, logo $(-1.5)^2 > (-1.2)^2$ — de fato, $2.25 > 1.44$.

## 4.5 Exercícios

**Exercício 4.1 ★.**

Para cada [função afim](#def-g10-reffunc-affine), dê o [coeficiente angular](#def-g10-reffunc-affine), o [coeficiente linear](#def-g10-reffunc-affine) e diga se ela é [crescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations) ou [decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations):

$$
f(x) = 3x - 2, \qquad
g(x) = -\tfrac12 x + 4, \qquad
h(x) = 7, \qquad
k(x) = -x .
$$

**Solução de Exercício 4.1.**

$f$: [coeficiente angular](#def-g10-reffunc-affine) $3$, [coeficiente linear](#def-g10-reffunc-affine) $-2$, [crescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations). $g$: [coeficiente angular](#def-g10-reffunc-affine) $-\frac12$, [coeficiente linear](#def-g10-reffunc-affine) $4$, [decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations). $h$: [coeficiente angular](#def-g10-reffunc-affine) $0$, [coeficiente linear](#def-g10-reffunc-affine) $7$, constante. $k$: [coeficiente angular](#def-g10-reffunc-affine) $-1$, [coeficiente linear](#def-g10-reffunc-affine) $0$, [decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations) (e linear).

**Exercício 4.2 ★.**

Encontre a [função afim](#def-g10-reffunc-affine) cujo [gráfico](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-graph) passa por $(2, 1)$ e $(5, 10)$; e depois a que passa por $(-1, 4)$ e $(3, -4)$.

**Solução de Exercício 4.2.**

Por $(2,1)$ e $(5,10)$: [coeficiente angular](#def-g10-reffunc-affine) $m = \frac{10 - 1}{5 - 2} =
3$; então $1 = 3 \times 2 + p$ dá $p = -5$: $f(x) = 3x - 5$.

Por $(-1,4)$ e $(3,-4)$: [coeficiente angular](#def-g10-reffunc-affine) $m = \frac{-4 - 4}{3 - (-1)} = \frac{-8}{4} = -2$; então $4 = -2 \times (-1) + p$ dá $p = 2$: $f(x) = -2x + 2$.

**Exercício 4.3 ★.**

Sem calculadora, compare:

$$
(3.1)^2 \text{ e } (3.2)^2; \qquad
(-2.7)^2 \text{ e } (-2.8)^2; \qquad
\frac{1}{5.1} \text{ e } \frac{1}{5.2}; \qquad
\sqrt{17} \text{ e } \sqrt{15}.
$$

**Solução de Exercício 4.3.**

$(3.1)^2 < (3.2)^2$: o quadrado cresce nos positivos.

$(-2.7)^2 < (-2.8)^2$: o quadrado decresce nos negativos e $-2.8 < -2.7$.

$\frac{1}{5.1} > \frac{1}{5.2}$: o inverso decresce nos positivos.

$\sqrt{17} > \sqrt{15}$: a raiz quadrada cresce.

**Exercício 4.4 ★.**

Usando o [gráfico](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-graph) da [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-function) quadrado, resolva $x^2 = 16$, depois $x^2 \leq 16$ e depois $x^2 > 9$.

**Solução de Exercício 4.4.**

$x^2 = 16$: duas soluções, $x = 4$ e $x = -4$ (a reta horizontal $y = 16$ corta a parábola duas vezes).

$x^2 \leq 16$: a parábola está abaixo da reta entre os dois pontos de [interseção](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interunion): $x \in \intcc{-4}{4}$.

$x^2 > 9$: a parábola está estritamente acima de $y = 9$ fora de $\intcc{-3}{3}$: $x \in \intoo{-\infty}{-3} \cup \intoo{3}{+\infty}$.

**Exercício 4.5 ★.**

Seja $x \in \intoo{0}{1}$. Ordene os números $x$, $x^2$, $x^3$ e $\sqrt x$ do menor para o maior e confira sua resposta com $x = 0.25$.

**Solução de Exercício 4.5.**

Para $0 < x < 1$: multiplicar $x < 1$ repetidamente por $x$ dá $x^3 < x^2 < x$, e a [Proposição 4.10](#prop-g10-reffunc-compare) dá $x < \sqrt x$, logo

$$
x^3 < x^2 < x < \sqrt x .
$$

Verificação com $x = 0.25$: $x^3 = 0.015625$, $x^2 = 0.0625$, $x = 0.25$, $\sqrt x = 0.5$.

**Exercício 4.6 ★★.**

Resolva graficamente e depois algebricamente: $\dfrac1x = 2$ e $\dfrac1x < 2$ para $x > 0$. O que muda se também permitirmos $x < 0$?

**Solução de Exercício 4.6.**

$\frac1x = 2$ tem a única solução $x = \frac12$ (a hipérbole encontra a reta horizontal $y = 2$ uma só vez, no ramo positivo).

Para $x > 0$: $\frac1x < 2$. Multiplicando por $x > 0$: $1 < 2x$, logo $x > \frac12$: conjunto solução $\intoo{\frac12}{+\infty}$.

Se $x < 0$ for permitido: todo $x$ negativo satisfaz $\frac1x < 0 < 2$, de modo que o conjunto solução completo é $\intoo{-\infty}{0} \cup \intoo{\frac12}{+\infty}$.

**Exercício 4.7 ★★.**

Sabendo que a [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-function) quadrado decresce em $\intoc{-\infty}{0}$ e cresce em $\intco{0}{+\infty}$, enquadre $x^2$ quando:

$$
\text{(a) } x \in \intcc{2}{5};
\qquad
\text{(b) } x \in \intcc{-3}{-1};
\qquad
\text{(c) } x \in \intcc{-2}{3}.
$$

(No caso (c), atenção: o [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) de $x^2$ não está em um extremo.)

**Solução de Exercício 4.7.**

(a) Em $\intcc{2}{5}$, todas as entradas são positivas e elevar ao quadrado é [crescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations): $4 \leq x^2 \leq 25$.

(b) Em $\intcc{-3}{-1}$, elevar ao quadrado é [decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations): o maior quadrado vem de $-3$: $1 \leq x^2 \leq 9$.

(c) Em $\intcc{-2}{3}$, o [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) contém $0$, onde o quadrado atinge seu [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) $0$; o [máximo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) é o maior entre $(-2)^2 = 4$ e $3^2 = 9$. Portanto $0 \leq x^2 \leq 9$.

**Exercício 4.8 ★★.**

Uma empresa de táxi cobra uma taxa fixa de $4$ mais $1.5$ por quilômetro; outra não cobra taxa e cobra $2$ por quilômetro. Modele cada preço por uma [função afim](#def-g10-reffunc-affine) da distância $x$, trace as duas retas e descubra a partir de que distância a primeira empresa sai mais barata.

**Solução de Exercício 4.8.**

Primeira empresa: $f(x) = 1.5x + 4$; segunda: $g(x) = 2x$. A primeira é mais barata quando

$$
1.5x + 4 < 2x
\ \Longleftrightarrow\
4 < 0.5x
\ \Longleftrightarrow\
x > 8 .
$$

Acima de $8$ km a primeira empresa é mais barata; em exatamente $8$ km as duas cobram $16$.

**Exercício 4.9 ★★.**

Mostre que, para todos $a, b \geq 0$: $\sqrt{a + b} \leq \sqrt a +
\sqrt b$. (Sugestão: os dois lados são não negativos, portanto compare seus quadrados.) Quando há igualdade?

**Solução de Exercício 4.9.**

Os dois lados são não negativos, logo a desigualdade equivale à desigualdade entre seus quadrados:

$$
\left(\sqrt{a+b}\right)^2 = a + b
\qquad\text{e}\qquad
\left(\sqrt a + \sqrt b\right)^2 = a + 2\sqrt a \sqrt b + b .
$$

Como $2\sqrt a\sqrt b \geq 0$, o segundo quadrado é pelo menos igual ao primeiro, o que prova $\sqrt{a+b} \leq \sqrt a + \sqrt b$. Há igualdade exatamente quando $\sqrt a \sqrt b = 0$, isto é, quando $a = 0$ ou $b = 0$.

**Exercício 4.10 ★★★.**

Seja $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$, definida para $x \neq 1$.

1. Mostre que $f(x) = 2 + \dfrac{3}{x - 1}$ para todo $x \neq 1$ .
2. Deduza a variação de $f$ em $\intoo{1}{+\infty}$ a partir da variação da [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-function) inverso.

**Solução de Exercício 4.10.**

*1.* Reduza o lado direito ao mesmo denominador:

$$
2 + \frac{3}{x-1} = \frac{2(x-1) + 3}{x - 1} = \frac{2x + 1}{x - 1}
= f(x).
$$

*2.* Em $\intoo{1}{+\infty}$, quando $x$ cresce, $x - 1$ cresce e permanece positivo, de modo que $\frac{3}{x-1}$ decresce ([função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-function) inverso, multiplicada pela constante positiva $3$); logo $f(x) = 2 + \frac{3}{x-1}$ decresce: $f$ é estritamente [decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations) em $\intoo{1}{+\infty}$.

## 4.6 Problema: As leis da natureza falam em funções de referência

**Problema 4.1.**

Problema de fim de semana — distâncias de frenagem crescem como $v^2$, alavancas obedecem a $1/d$, planetas seguem $a^{3/2}$: ler a física com as funções de referência

Abra um livro de física e os mesmos poucos [gráficos](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-graph) reaparecem em cada página: a parábola, a hipérbole, a curva da raiz. A natureza escreve suas leis com as funções de referência deste capítulo — e conhecer suas formas ([Proposição 4.4](#prop-g10-reffunc-square), [Proposição 4.6](#prop-g10-reffunc-inverse), [Proposição 4.8](#prop-g10-reffunc-sqrt), [Proposição 4.9](#prop-g10-reffunc-cube)) basta para frear um carro, equilibrar uma alavanca e cronometrar os planetas. O grande final é a terceira lei de Kepler, lida diretamente nos dados do sistema solar.

**Parte I — A lei quadrática da frenagem.** Uma regra prática para a distância de frenagem de um carro em pista seca: $d = \left(\frac{v}{10}\right)^{2}$ metros, à velocidade $v$ km/h.

1. Calcule as distâncias de frenagem a $30$ , $50$ , $90$ e $130$ km/h.
2. Dobrar a velocidade multiplica a distância de frenagem por quanto? Explique a partir da escala da [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-function) quadrado e confira em $50 \to 100$ km/h.
3. Perícia: as marcas de derrapagem medem $50$ m. De que velocidade a fórmula acusa o motorista (até o km/h)? Qual [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-function) de referência respondeu — e em que [domínio](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-function) a leitura é inequívoca ( [Proposição 4.8](#prop-g10-reffunc-sqrt) )?
4. Compare a distância extra causada por *um* km/h a mais, em baixa e em alta velocidade: calcule $d(31) - d(30)$ e $d(91) - d(90)$ . Que propriedade da parábola ( [Proposição 4.4](#prop-g10-reffunc-square) ) as duas respostas ilustram?
5. A parada real acrescenta o tempo de reação — cerca de um segundo, durante o qual o carro percorre $0.28v$ metros: $D(v) = 0.28v + \left(\frac{v}{10}\right)^2$ . Calcule $D(50)$ e $D(130)$ . Qual dos dois termos — o afim ou o quadrático — domina na velocidade urbana, e qual domina na rodovia?

**Parte II — As hipérboles do dia a dia.**

6. Uma alavanca se equilibra quando força $\times$ distância é a mesma dos dois lados. Uma criança de $60$ kg senta a $2$ m do apoio; a força equilibrante à distância $d$ do outro lado é $F(d) = \frac{120}{d}$ (em equivalentes de quilograma). Calcule $F(0.5)$ , $F(1)$ , $F(3)$ .
7. O que a variação da [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-function) inverso ( [Proposição 4.6](#prop-g10-reffunc-inverse) ) diz sobre as alavancas — e por que a bravata de Arquimedes (“dai-me um ponto de apoio e moverei a Terra”) esconde-se na cauda da hipérbole? O que proíbe $d = 0$ ?
8. O som e a luz enfraquecem com o *quadrado* da distância: a $1$ m de uma lâmpada a intensidade é $100$ unidades; dê-a a $2$ , $3$ e $10$ m. Explique o expoente $2$ com uma esfera: sobre que área a luz se espalhou à distância $d$ (o problema sobre a lápide de Arquimedes, no volume do ensino fundamental)?
9. Um ônibus para a excursão escolar custa $600$ euros, divididos igualmente entre $n$ participantes. Faça uma tabela do custo por pessoa para $n = 10, 20, 30$ , descubra quantos participantes o reduzem a $25$ euros ou menos e diga o que a forma da hipérbole promete — e recusa — à medida que $n$ cresce.
10. Produzir $x$ cartazes custa $2x + 3$ euros ( $3$ euros de preparação). Mostre que o custo *médio* por cartaz é $a(x) = 2 + \frac3x$ , descreva sua variação e interprete economicamente sua assíntota horizontal. (Compare com a álgebra do [Exercício 4.10](#exo-g10-reffunc-10) .)

**Parte III — A harmonia de Kepler.** Para cada planeta, seja $a$ sua distância média ao Sol (em unidades astronômicas, Terra $= 1$) e $T$ seu período (em anos). Dados: Marte $a = 1.52$, $T = 1.88$; Júpiter $a = 5.20$, $T = 11.86$; Saturno $a = 9.54$, $T = 29.4$.

11. Calcule $a^3$ e $T^2$ para a Terra, Marte e Júpiter. O que Kepler notou em 1618?
12. Enuncie a lei como [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-function) : $T = \sqrt{a^3} = a\sqrt a$ . Teste-a em Saturno.
13. Duas previsões: um asteroide orbita a $a = 4$ UA — encontre seu período (os números saem inteiros); um cometa retorna a cada $27$ anos — encontre sua distância média (procure um cubo perfeito).
14. Que três funções de referência a lei entrelaça? E sua regra de escala: quando $a$ é multiplicado por $4$ , o que acontece com $T$ ? (Confira com o asteroide, comparado à Terra.)
15. Kepler leu essa lei nos dados de Tycho Brahe setenta anos antes de a gravitação de Newton explicá-la. Em uma frase: o que esse episódio diz sobre o poder de reconhecer uma [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-function) de referência em uma tabela de números?

**Parte IV — A tartaruga e a lebre.**

16. Ordene $\sqrt x$ , $x$ e $x^2$ em $\intoo{0}{1}$ e em $\intoo{1}{+\infty}$ ( [Proposição 4.10](#prop-g10-reffunc-compare) ) e verifique as duas ordens em $x = 0.25$ e $x = 4$ .
17. Resolva $\sqrt x > x$ por completo (para $x \geq 0$ , eleve ao quadrado com cuidado e conclua com um [quadro de sinais](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-signtable) ).
18. Traga o cubo: ordene $x$ , $x^2$ , $x^3$ em $x = 0.5$ e em $x = 2$ , e encontre todos os pontos onde as funções quadrado e cubo se cruzam.
19. Dois planos de poupança pagam, após $t$ anos, $100\sqrt t$ euros (plano A) ou $10 t^2$ euros (plano B). Mostre que B ultrapassa A quando $t^3 = 100$ e dê o instante da ultrapassagem com precisão de meses. Moral sobre raízes contra potências no longo prazo?
20. Final: para cada lei deste problema — frenagem ( $v^2$ ), alavanca ( $1/d$ ), lâmpada ( $1/d^2$ ), Kepler ( $a^{3/2}$ ), plano A ( $\sqrt t$ ) — diga em uma oração qual traço do seu [gráfico](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-graph) de referência carrega o significado físico (subida cada vez mais íngreme, assíntota vertical, esfera que se espalha, expoente de escala, crescimento que se achata). Conclusão: as funções de referência são o alfabeto; a natureza escreve com elas.

**Solução de Problema 4.1.**

**1.** $d(30) = 3^2 = 9$ m; $d(50) = 25$ m; $d(90) =
81$ m; $d(130) = 169$ m.

**2.** Dobrar $v$ dobra $\frac v{10}$ e multiplica seu quadrado por $4$: $d(100) = 100$ m $= 4 \times d(50)$. O dobro da velocidade, o quádruplo da distância — a escala da [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-function) quadrado.

**3.** $\left(\frac{v}{10}\right)^2 = 50$ dá $\frac{v}{10} = \sqrt{50}$, logo $v = 10\sqrt{50} \approx 71$ km/h. Quem respondeu foi a raiz quadrada; a leitura é inequívoca porque as velocidades são positivas e, em $\intco{0}{+\infty}$, a [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-function) quadrado sobe estritamente ([Proposição 4.8](#prop-g10-reffunc-sqrt): uma única [pré-imagem](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-function) positiva).

**4.** $d(31) - d(30) = 9.61 - 9 = 0.61$ m, enquanto $d(91) - d(90) = 82.81 - 81 = 1.81$ m: o mesmo $+1$ km/h custa três vezes mais distância em alta velocidade. A parábola não só sobe, ela fica *cada vez mais íngreme* — sua taxa de subida cresce com $x$.

**5.** $D(50) = 14 + 25 = 39$ m; $D(130) = 36.4 + 169 =
205.4$ m. Na cidade, o termo afim (de reação) é a parcela maior; na rodovia, o termo quadrático o esmaga — o afim cresce de modo regular, os quadrados disparam.

**6.** $F(0.5) = 240$, $F(1) = 120$, $F(3) = 40$.

**7.** A [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-function) inverso decresce: quanto mais longe do apoio, menor a força necessária — com um braço de alavanca suficientemente longo ($d$ enorme), qualquer força, por menor que seja, equilibra qualquer carga: a bravata de Arquimedes mora na cauda da hipérbole, que se aproxima de $0$ sem nunca alcançá-lo. E $d = 0$ é o valor proibido: sem braço, não há alavanca — a assíntota vertical.

**8.** $\frac{100}{4} = 25$ a $2$ m, $\frac{100}{9} \approx 11$ a $3$ m, $1$ a $10$ m. À distância $d$ a luz se espalhou por uma esfera de área $4\pi d^2$ (o problema sobre a lápide de Arquimedes, no volume do ensino fundamental): a mesma energia dividida por uma área que cresce como $d^2$ — daí o inverso do *quadrado*.

**9.** $60$, $30$, $20$ euros por pessoa para $n = 10, 20,
30$. Para $\frac{600}{n} \leq 25$: $n \geq 24$ participantes. A hipérbole promete parcelas cada vez mais baratas à medida que $n$ cresce — e recusa-se a chegar a $0$: o ônibus nunca é de graça.

**10.** $a(x) = \frac{2x + 3}{x} = 2 + \frac3x$: [decrescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations) em $\intoo{0}{+\infty}$ ([função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-function) inverso deslocada), aproximando-se da assíntota $y = 2$. Economicamente: diluir os $3$ euros fixos por mais cartazes empurra o custo unitário para baixo, rumo aos $2$ euros incompressíveis de material — economia de escala, com um piso rígido.

**11.** Terra: $a^3 = 1$, $T^2 = 1$. Marte: $1.52^3 \approx 3.51$ e $1.88^2 \approx 3.53$. Júpiter: $5.20^3 \approx 140.6$ e $11.86^2 \approx 140.7$. O que Kepler notou: $T^2 = a^3$ para todo planeta — uma única lei para todo o céu.

**12.** $T = \sqrt{a^3}$: para Saturno, $\sqrt{9.54^3} = \sqrt{868} \approx 29.5$ anos, contra os $29.4$ observados: a lei acerta na casa dos décimos.

**13.** Asteroide: $T = \sqrt{4^3} = \sqrt{64} = 8$ anos. Cometa: $a^3 = 27^2 = 729 = 9^3$, logo $a = 9$ UA.

**14.** Quadrado ($T^2$), cubo ($a^3$) e raiz quadrada (para extrair $T$). Escala: multiplicar $a$ por $4$ multiplica $T$ por $4\sqrt4 = 8$ — como o asteroide confirma (distância quatro vezes a da Terra, período oito vezes).

**15.** Uma tabela de números, confrontada com as formas de algumas poucas funções de referência, entregou uma lei do universo setenta anos antes de alguém saber *por que* ela valia — reconhecer a [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-function) é metade da ciência.

**16.** Em $\intoo{0}{1}$: $x^2 < x < \sqrt x$; em $\intoo{1}{+\infty}$: $\sqrt x < x < x^2$. Verificações: em $x = 0.25$, $0.0625 < 0.25 < 0.5$; em $x = 4$, $2 < 4 < 16$.

**17.** Para $x \geq 0$ os dois lados são $\geq 0$, logo $\sqrt x > x \iff x > x^2 \iff x(1 - x) > 0 \iff
x \in \intoo{0}{1}$.

**18.** Em $x = 0.5$: $x^3 = 0.125 < x^2 = 0.25 < x =
0.5$. Em $x = 2$: $2 < 4 < 8$: a ordem se inverte. Cruzamentos de $x^2$ e $x^3$: $x^3 - x^2 = x^2(x - 1) = 0$: em $x = 0$ e $x = 1$.

**19.** $10t^2 = 100\sqrt t$ dá $t^2 = 10\sqrt t$; elevando ao quadrado, $t^4 = 100t$, logo $t^3 = 100$ e $t = \sqrt[3]{100} \approx 4.64$ anos — cerca de $4$ anos e $8$ meses. (Os dois planos pagam então uns $215$ euros.) Moral: as raízes disparam no início, as potências vencem toda maratona.

**20.** Frenagem: a parábola ficando *mais íngreme* é o perigo da velocidade. Alavanca: a *assíntota vertical* em $0$ e a cauda longa são a vantagem do mecânico. Lâmpada: o $d^2$ da *esfera que se espalha* determina o enfraquecimento. Kepler: o *expoente* $\frac32$ é o compasso do sistema solar. Plano A: o *achatamento* da raiz é o destino de quem poupa devagar. Cinco [gráficos](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-graph), cinco leis: o alfabeto da natureza, de fato.