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title: "Geometria analítica"
book: "Matemática do ensino médio"
subject: math
language: pt
chapter: 5
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica
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# Capítulo 5 — Geometria analítica

A grande ideia de Descartes foi descrever pontos por pares de números, transformando problemas de geometria em cálculos. Com apenas duas fórmulas — a do [ponto médio](#prop-g10-coordgeom-midpoint) e a da distância — é possível provar que um triângulo é isósceles, que um quadrilátero é um paralelogramo ou que três pontos são colineares, sem traçar uma única linha auxiliar.

## 5.1 Coordenadas no plano

**Definição 5.1 (Sistema de coordenadas).**

Um *sistema de coordenadas* do plano consiste em uma origem $O$ e dois eixos graduados que passam por $O$: o eixo horizontal $x$ e o eixo vertical $y$. Todo ponto $M$ tem então um único par de *coordenadas* $(x, y)$: sua *abscissa* $x$ e sua *ordenada* $y$. O sistema é *ortonormal* quando os eixos são perpendiculares e trazem a mesma unidade de comprimento. Todos os sistemas deste capítulo são ortonormais.

![Todo ponto do plano é localizado por dois números: primeiro a abscissa (horizontal), depois a ordenada (vertical).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-coordgeom/fig-9451968d4277.svg)

*Todo ponto do plano é localizado por dois números: primeiro a [abscissa](#def-g10-coordgeom-system) (horizontal), depois a [ordenada](#def-g10-coordgeom-system) (vertical).*

## 5.2 Ponto médio de um segmento

**Proposição 5.2 (Fórmula do ponto médio).**

Sejam $A(x_A, y_A)$ e $B(x_B, y_B)$. O *ponto médio* $I$ do segmento $[AB]$ tem [coordenadas](#def-g10-coordgeom-system)

$$
I\left(\frac{x_A + x_B}{2},\ \frac{y_A + y_B}{2}\right).
$$

**Demonstração.** Considere as [coordenadas](#def-g10-coordgeom-system) horizontais. Ao ir de $A$ a $B$, a [abscissa](#def-g10-coordgeom-system) varia de $x_B - x_A$; o ponto que está na metade do caminho tem [abscissa](#def-g10-coordgeom-system)

$$
x_A + \frac{x_B - x_A}{2} = \frac{2x_A + x_B - x_A}{2}
= \frac{x_A + x_B}{2},
$$

a média das duas [abscissas](#def-g10-coordgeom-system). O mesmo cálculo se aplica às [ordenadas](#def-g10-coordgeom-system). ∎

**Exemplo 5.3.**

Com $A(-1, 4)$ e $B(5, -2)$, o [ponto médio](#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[AB]$ é

$$
I\left(\frac{-1 + 5}{2},\ \frac{4 + (-2)}{2}\right) = I(2, 1).
$$

A fórmula também funciona no sentido inverso: se $A(-1, 4)$ e o [ponto médio](#prop-g10-coordgeom-midpoint) é $I(2, 1)$, então $B$ satisfaz $\frac{-1 + x_B}{2} = 2$ e $\frac{4 + y_B}{2} = 1$, logo $x_B = 5$ e $y_B = -2$: o ponto $B$ é o *simétrico* de $A$ em relação a $I$.

## 5.3 Distância entre dois pontos

**Teorema 5.4 (Fórmula da distância).**

Em um [sistema ortonormal](#def-g10-coordgeom-system), a distância entre $A(x_A, y_A)$ e $B(x_B, y_B)$ é

$$
AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}.
$$

**Demonstração.** Seja $C$ o ponto $(x_B, y_A)$: ele tem a mesma altura de $A$ e a mesma [abscissa](#def-g10-coordgeom-system) de $B$, de modo que o triângulo $ACB$ tem um ângulo reto em $C$. Seus catetos são segmentos horizontal e vertical, de comprimentos $AC = \abs{x_B - x_A}$ e $CB = \abs{y_B - y_A}$. Pelo teorema de Pitágoras,

$$
AB^2 = AC^2 + CB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2,
$$

e extrair a raiz quadrada (os dois lados são não negativos) dá a fórmula. ∎

![A fórmula da distância é o teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo retângulo ACB, construído sobre um cateto horizontal e um cateto vertical.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-coordgeom/fig-235b7a1fe84f.svg)

*A fórmula da distância é o teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo retângulo $ACB$, construído sobre um cateto horizontal e um cateto vertical.*

**Exemplo 5.5.**

Com $A(1, 1)$ e $B(5, 3)$:

$$
AB = \sqrt{(5-1)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt 5 .
$$

As distâncias costumam ser mantidas na forma exata (com raiz); arredonde somente no fim, se for preciso dar uma resposta decimal.

**Observação 5.6.**

A ordem dos pontos não importa: $(x_A - x_B)^2 = (x_B - x_A)^2$. Mas não esqueça os quadrados! A distância *não* é $\abs{x_B - x_A} + \abs{y_B - y_A}$.

## 5.4 Usar as fórmulas em geometria

**Método 5.7 (Natureza de um triângulo).**

Dados três pontos $A$, $B$, $C$ por suas [coordenadas](#def-g10-coordgeom-system):

1. calcule os três quadrados de comprimento $AB^2$ , $AC^2$ , $BC^2$ com a fórmula da distância (guardar os quadrados evita raízes);
2. dois quadrados iguais $\Rightarrow$ o triângulo é *isósceles* ;
3. se o maior dos quadrados for a soma dos outros dois, o triângulo é *retângulo* no vértice oposto ao maior lado, pela recíproca do teorema de Pitágoras.

**Exemplo 5.8.**

Sejam $A(0, 1)$, $B(4, 3)$ e $C(2, -3)$. Então

$$
\begin{align*}
AB^2 &= (4-0)^2 + (3-1)^2 = 16 + 4 = 20, \\
AC^2 &= (2-0)^2 + (-3-1)^2 = 4 + 16 = 20, \\
BC^2 &= (2-4)^2 + (-3-3)^2 = 4 + 36 = 40 .
\end{align*}
$$

Primeiro, $AB^2 = AC^2$, logo $AB = AC$: o triângulo é isósceles em $A$. Além disso, $AB^2 + AC^2 = 40 = BC^2$, de modo que, pela recíproca do teorema de Pitágoras, o triângulo também é retângulo em $A$.

**Método 5.9 (Reconhecer um paralelogramo).**

Um quadrilátero $ABCD$ é um paralelogramo exatamente quando suas diagonais $[AC]$ e $[BD]$ têm o mesmo [ponto médio](#prop-g10-coordgeom-midpoint). Portanto: calcule os dois [pontos médios](#prop-g10-coordgeom-midpoint) com a fórmula do [ponto médio](#prop-g10-coordgeom-midpoint) e compare-os.

**Exemplo 5.10.**

Sejam $A(-1, 0)$, $B(2, 2)$, $C(5, 1)$ e $D(2, -1)$. O [ponto médio](#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[AC]$ é $\left(\frac{-1+5}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (2, \frac12)$; o [ponto médio](#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[BD]$ é $\left(\frac{2+2}{2}, \frac{2-1}{2}\right) =
(2, \frac12)$. Eles coincidem, logo $ABCD$ é um paralelogramo.

![ABCD é um paralelogramo porque suas duas diagonais têm o mesmo ponto médio I(2, 1/2).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-coordgeom/fig-4496c905f6f2.svg)

*$ABCD$ é um paralelogramo porque suas duas diagonais têm o mesmo [ponto médio](#prop-g10-coordgeom-midpoint) $I(2, \frac12)$.*

## 5.5 Exercícios

**Exercício 5.1 ★.**

Sejam $A(2, 5)$ e $B(-4, 1)$. Calcule as [coordenadas](#def-g10-coordgeom-system) do [ponto médio](#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[AB]$ e a distância $AB$.

**Solução de Exercício 5.1.**

[Ponto médio](#prop-g10-coordgeom-midpoint): $\left(\frac{2 + (-4)}{2}, \frac{5 + 1}{2}\right) = (-1,
3)$. Distância:

$$
AB = \sqrt{(-4 - 2)^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52}
= 2\sqrt{13}.
$$

**Exercício 5.2 ★.**

Sejam $A(3, -2)$ e $I(1, 2)$. Encontre as [coordenadas](#def-g10-coordgeom-system) do ponto $B$ tal que $I$ seja o [ponto médio](#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[AB]$.

**Solução de Exercício 5.2.**

Dizer que $I$ é o [ponto médio](#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[AB]$ significa $\frac{3 + x_B}{2} = 1$ e $\frac{-2 + y_B}{2} = 2$, logo $x_B = -1$ e $y_B = 6$: $B(-1, 6)$.

**Exercício 5.3 ★.**

Qual dos pontos $P(4, 1)$, $Q(-3, 2)$ e $R(0, -5)$ está mais próximo da origem $O(0,0)$? Responda com distâncias exatas.

**Solução de Exercício 5.3.**

$OP = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$; $OQ = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$; $OR = \sqrt{0 + 25} = 5 = \sqrt{25}$. Como $13 < 17 < 25$ e a raiz quadrada é [crescente](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-variations), $Q$ é o mais próximo da origem.

**Exercício 5.4 ★.**

Marque os pontos $A(1, 2)$, $B(5, 4)$, $C(7, 0)$ no papel quadriculado e mostre em seguida, por cálculo, que o triângulo $ABC$ é isósceles. Ele é retângulo?

**Solução de Exercício 5.4.**

Quadrados dos comprimentos:

$$
\begin{align*}
AB^2 &= (5-1)^2 + (4-2)^2 = 16 + 4 = 20, \\
BC^2 &= (7-5)^2 + (0-4)^2 = 4 + 16 = 20, \\
AC^2 &= (7-1)^2 + (0-2)^2 = 36 + 4 = 40 .
\end{align*}
$$

$AB = BC$: o triângulo é isósceles em $B$. Além disso, $AB^2 + BC^2 = 40 = AC^2$: pela recíproca do teorema de Pitágoras, ele também é retângulo em $B$.

**Exercício 5.5 ★★.**

Sejam $A(-2, 1)$, $B(1, 3)$, $C(4, 1)$ e $D(1, -1)$.

1. Mostre que $ABCD$ é um paralelogramo.
2. Calcule $AB$ e $BC$ . $ABCD$ é um losango (todos os lados iguais)?
3. Calcule $AC$ e $BD$ . $ABCD$ é um retângulo (diagonais iguais)?

**Solução de Exercício 5.5.**

*1.* [Ponto médio](#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[AC]$: $\left(\frac{-2+4}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = (1, 1)$; [ponto médio](#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[BD]$: $\left(\frac{1+1}{2}, \frac{3+(-1)}{2}\right) = (1, 1)$. Mesmo [ponto médio](#prop-g10-coordgeom-midpoint): $ABCD$ é um paralelogramo.

*2.* $AB^2 = 3^2 + 2^2 = 13$ e $BC^2 = 3^2 + (-4)^2 = 25$: $AB \neq BC$, não é losango.

*3.* $AC^2 = 6^2 + 0^2 = 36$ e $BD^2 = 0^2 + (-4)^2 = 16$: $AC \neq BD$, não é retângulo. $ABCD$ é um paralelogramo comum.

**Exercício 5.6 ★★.**

O círculo de centro $\Omega(2, 1)$ e raio $5$ é formado por todos os pontos que estão a distância $5$ de $\Omega$. Quais dos pontos $A(5, 5)$, $B(-1, -3)$, $C(6, 2)$ estão sobre esse círculo? Dentro dele? Fora dele?

**Solução de Exercício 5.6.**

Calcule os quadrados das distâncias a $\Omega(2,1)$ e compare com $5^2 = 25$:

$$
\Omega A^2 = 3^2 + 4^2 = 25, \qquad
\Omega B^2 = (-3)^2 + (-4)^2 = 25, \qquad
\Omega C^2 = 4^2 + 1^2 = 17 .
$$

$A$ e $B$ estão sobre o círculo; $C$ está dentro dele ($17 < 25$).

**Exercício 5.7 ★★.**

Sejam $A(1, 1)$ e $B(7, 5)$. Encontre todos os pontos $M(x, 0)$ do eixo $x$ equidistantes de $A$ e $B$. (Escreva $MA^2 = MB^2$ e resolva em $x$.)

**Solução de Exercício 5.7.**

$MA^2 = (x - 1)^2 + 1$ e $MB^2 = (x - 7)^2 + 25$. Impondo $MA^2 = MB^2$:

$$
x^2 - 2x + 2 = x^2 - 14x + 74
\ \Longleftrightarrow\
12x = 72
\ \Longleftrightarrow\
x = 6 .
$$

O único ponto assim é $M(6, 0)$.

**Exercício 5.8 ★★.**

Sejam $A(0, 3)$ e $B(4, 1)$.

1. Calcule as [coordenadas](#def-g10-coordgeom-system) do [ponto médio](#prop-g10-coordgeom-midpoint) $I$ de $[AB]$ .
2. Mostre que $M(2, 2) = I$ e verifique em seguida, calculando $MA$ e $MB$ , que $M$ é equidistante de $A$ e $B$ .
3. Encontre um segundo ponto, sobre o eixo $y$ , equidistante de $A$ e $B$ .

**Solução de Exercício 5.8.**

*1.* $I = \left(\frac{0+4}{2}, \frac{3+1}{2}\right) = (2, 2)$.

*2.* $M(2,2)$ é de fato $I$. E $MA^2 = (0-2)^2 + (3-2)^2 = 5$, $MB^2 = (4-2)^2 + (1-2)^2 = 5$: o [ponto médio](#prop-g10-coordgeom-midpoint) é equidistante das duas extremidades, como se esperava.

*3.* Procure $N(0, y)$ com $NA^2 = NB^2$:

$$
(3 - y)^2 = 16 + (1 - y)^2
\ \Longleftrightarrow\
9 - 6y = 16 + 1 - 2y
\ \Longleftrightarrow\
-4y = 8,
$$

logo $y = -2$: o ponto $N(0, -2)$.

**Exercício 5.9 ★★.**

São dados os pontos $A(-1, -1)$, $B(3, 1)$ e $C(11, 5)$. Calcule $AB$, $BC$ e $AC$ e deduza que $A$, $B$, $C$ são colineares. (Três pontos são colineares exatamente quando a maior das três distâncias é a soma das outras duas.)

**Solução de Exercício 5.9.**

$$
\begin{align*}
AB &= \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt5, \\
BC &= \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{80} = 4\sqrt5, \\
AC &= \sqrt{12^2 + 6^2} = \sqrt{180} = 6\sqrt5 .
\end{align*}
$$

Então $AB + BC = 2\sqrt5 + 4\sqrt5 = 6\sqrt5 = AC$: a desigualdade triangular vira igualdade, de modo que $B$ está sobre o segmento $[AC]$ — os três pontos são colineares.

**Exercício 5.10 ★★★.**

Sejam $A(a, 0)$ e $B(0, b)$ com $a, b > 0$, e seja $I$ o [ponto médio](#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[AB]$. Mostre por cálculo que $OI = IA = IB$, onde $O$ é a origem. (Isso demonstra um teorema clássico: num triângulo retângulo, o [ponto médio](#prop-g10-coordgeom-midpoint) da hipotenusa é equidistante dos três vértices.)

**Solução de Exercício 5.10.**

O [ponto médio](#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[AB]$ é $I\left(\frac a2, \frac b2\right)$. Então

$$
OI^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4},
\qquad
IA^2 = \left(a - \frac a2\right)^2 + \left(0 - \frac b2\right)^2
= \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4},
$$

e $IB^2 = \left(0 - \frac a2\right)^2 + \left(b - \frac b2\right)^2 =
\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4}$ também. Os três quadrados de distância são iguais, logo $OI = IA = IB$: o [ponto médio](#prop-g10-coordgeom-midpoint) da hipotenusa do triângulo retângulo $OAB$ é equidistante dos três vértices (é o centro de seu círculo circunscrito).

## 5.6 Problema: A ponte de Descartes — equações de círculos e como descobrir onde você está

**Problema 5.1.**

Problema de fim de semana — o círculo vira uma equação, teoremas antigos viram contas, e três balizas localizam um ponto: trilateração pela álgebra

Em 1637, René Descartes construiu uma ponte entre dois continentes: toda curva da geometria virou uma *[equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation)* e toda questão geométrica virou uma conta. Este problema atravessa a ponte nos dois sentidos — deduzindo a [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) do círculo a partir da fórmula da distância ([Teorema 5.4](#thm-g10-coordgeom-distance)), redemonstrando teoremas clássicos em três linhas de álgebra e terminando onde a ponte tem hoje mais tráfego: no cálculo de uma posição a partir de sinais de distância, o coração plano do GPS.

**Parte I — O círculo ganha uma [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation).**

1. Um ponto $M(x, y)$ está no círculo de centro $\Omega(2, 1)$ e raio $5$ exatamente quando $\Omega M = 5$. Eleve essa condição ao quadrado para obter a [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) do círculo: $$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 25 .$$
2. Teste a pertinência: quais dos pontos $A(5, 5)$ , $B(6, 4)$ , $D(4, 4)$ estão sobre o círculo, dentro dele ou fora dele?
3. Um círculo disfarçado: complete os quadrados ([Problema 2.1](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#pb-g10-algebra-1)) em $$x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$$ e dê seu centro e seu raio.
4. Faça o mesmo com $x^2 + y^2 - 6x + 4y + 14 = 0$ . O que a forma completada revela? Enuncie o critério: quando $(x - h)^2 + (y - k)^2 = c$ descreve um círculo, um único ponto ou coisa alguma?
5. Intersecte o círculo da questão 3 com a reta horizontal $y = 3$ : substitua e resolva. Quantos pontos, e qual é o nome geométrico de uma reta assim?

**Parte II — Teoremas antigos em três linhas.**

6. O teorema do círculo do volume do ensino fundamental (um ângulo reto em toda semicircunferência), redemonstrado pela álgebra: sejam $A(-r, 0)$ e $B(r, 0)$ as extremidades de um diâmetro e $M(x, y)$ um ponto qualquer do círculo $x^2 + y^2 = r^2$ . Calcule $MA^2 + MB^2$ e conclua, pela recíproca de Pitágoras, que $\widehat{AMB}$ é reto.
7. O teorema da mediana: com $A(-a, 0)$, $B(a, 0)$ (de modo que o [ponto médio](#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[AB]$ é a origem $I$), mostre que, para todo ponto $M(x, y)$, $$MA^2 + MB^2 = 2\,MI^2 + \frac{AB^2}{2} .$$
8. Deduza o lugar geométrico dos pontos $M$ com $MA^2 + MB^2 = 26$ quando $AB = 6$ : que curva, qual centro, qual raio?
9. Outro lugar geométrico: $A(0,0)$ , $B(3,0)$ ; encontre todos os pontos com $MA = 2\,MB$ . (Eleve ao quadrado, expanda, complete os quadrados: aparece um círculo famoso — Apolônio já o conhecia sem [coordenadas](#def-g10-coordgeom-system) .)
10. Em uma ou duas frases: o que a ponte de Descartes muda no *modo* como os teoremas são demonstrados? Compare a questão 6 com a demonstração pelo retângulo do teorema do círculo do volume do ensino fundamental (um ângulo reto em toda semicircunferência).

**Parte III — Três balizas encontram você.** Sua posição $M(x, y)$ é desconhecida. A baliza $P(0, 0)$ mede sua distância como $5$; a baliza $Q(6, 0)$ também mede $5$.

11. Escreva as duas [equações](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) de círculo, subtraia-as e veja os quadrados se cancelarem: que [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) simples sobrevive? Combine-a com um dos círculos para encontrar as *duas* posições candidatas.
12. Uma terceira baliza $R(0, 8)$ mede sua distância como $5$ . Calcule sua distância a cada candidata e decida onde você está.
13. Explique por que subtrair duas [equações](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) de círculo *sempre* produz a [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) de uma reta (que termos se cancelam?) e o que essa reta é, geometricamente, quando os círculos se cortam em dois pontos.
14. O posicionamento por satélite real acontece no espaço e com relógios imperfeitos: cada satélite fornece (pelo tempo de percurso do sinal) uma distância, portanto uma esfera. Quantas incógnitas tem um receptor (a posição *e* o erro do próprio relógio) e por que o GPS, assim, escuta pelo menos *quatro* satélites?
15. Precisão: suponha que a distância da baliza $P$ seja na verdade $5.1$ em vez de $5$ (tudo o mais inalterado). Refaça a subtração da questão 11 para achar o novo $x$ e quantifique quanto a estimativa se deslocou. (Compare com as ideias de orçamento de erro do [Problema 1.1](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#pb-g10-numbers-1) .)

**Parte IV — A caixa de ferramentas do agrimensor.**

16. O caminho mais curto até a água: um acampamento em $A(1, 5)$ , um celeiro em $B(7, 3)$ e um rio reto ao longo do eixo $y = 0$ . Para ir de $A$ ao rio e depois a $B$ andando o [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) possível: reflita $B$ em relação ao rio, obtendo $B'$ , e encontre onde o segmento $[AB']$ cruza o rio. Dê o ponto de cruzamento e o comprimento total [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) . (A ideia é a do exercício do ricochete de bilhar, no volume do ensino fundamental, agora inteiramente calculável.)
17. Confirme a minimalidade contra um concorrente: calcule o percurso total passando por $Q(3, 0)$ e verifique que ele perde para a sua resposta.
18. Classifique completamente o quadrilátero $A(1,1)$ , $B(4,2)$ , $C(5,5)$ , $D(2,4)$ : paralelogramo? losango? retângulo? quadrado? ( [Método 5.9](#met-g10-coordgeom-parallelogram) , [Método 5.7](#met-g10-coordgeom-triangle) — compare também as diagonais.)
19. Dados $A(-1, 2)$ , $B(3, 4)$ , $C(6, 0)$ , encontre $D$ tal que $ABCD$ seja um paralelogramo (o truque do [ponto médio](#prop-g10-coordgeom-midpoint) das diagonais, do problema de fim de semana sobre meias voltas, no volume do ensino fundamental, agora em fórmulas).
20. Final: três ferramentas — fórmula do [ponto médio](#prop-g10-coordgeom-midpoint) , fórmula da distância e subtração de [equações](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) de círculo. Para cada uma, diga que tipo de questão ela resolveu neste problema e o que os dois próximos capítulos acrescentam à caixa (direções e [coeficientes angulares](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/4-funcoes-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) : vetores e [equações](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) de retas).

**Solução de Problema 5.1.**

**1.** $\Omega M = 5 \iff \Omega M^2 = 25 \iff
(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 25$ pela fórmula da distância ([Teorema 5.4](#thm-g10-coordgeom-distance)) — elevar ao quadrado é inofensivo, já que os dois lados são positivos.

**2.** $A$: $(5-2)^2 + (5-1)^2 = 9 + 16 = 25$: sobre o círculo. $B$: $16 + 9 = 25$: também sobre ele. $D$: $4 + 9 = 13 < 25$: dentro.

**3.** $x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9$ e $y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4$, de modo que a [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) fica $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$: centro $(3, -2)$, raio $5$.

**4.** $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = -1$: uma soma de quadrados nunca é negativa — nenhum ponto a satisfaz: o conjunto vazio. Em geral, $(x - h)^2 + (y - k)^2 = c$ é um círculo de raio $\sqrt c$ se $c > 0$, o único ponto $(h, k)$ se $c = 0$, e é vazio se $c < 0$.

**5.** Com $y = 3$: $(x - 3)^2 + 25 = 25$, logo $(x - 3)^2 = 0$: o único ponto $(3, 3)$. Um só ponto de contato: a reta é *tangente* ao círculo.

**6.** $MA^2 + MB^2 = (x + r)^2 + y^2 + (x - r)^2 + y^2
= 2x^2 + 2y^2 + 2r^2 = 2r^2 + 2r^2 = 4r^2$ (usando $x^2 + y^2 = r^2$). Como $AB^2 = (2r)^2 = 4r^2$, o triângulo $AMB$ satisfaz $MA^2 + MB^2 = AB^2$: é retângulo em $M$ (recíproca de Pitágoras) — três linhas, como prometido.

**7.** $MA^2 + MB^2 = (x + a)^2 + y^2 + (x - a)^2 + y^2
= 2x^2 + 2y^2 + 2a^2 = 2\,MI^2 + 2a^2$, e $\frac{AB^2}{2} = \frac{(2a)^2}{2} = 2a^2$. Identidade demonstrada.

**8.** $2\,MI^2 + \frac{36}{2} = 26$ dá $MI^2 = 4$: o círculo de centro no [ponto médio](#prop-g10-coordgeom-midpoint) $I$ e raio $2$.

**9.** $MA^2 = 4\,MB^2$: $x^2 + y^2 = 4\left((x - 3)^2 + y^2\right)$, isto é, $3x^2 + 3y^2 - 24x + 36 = 0$, ou $x^2 + y^2 - 8x + 12 = 0$: completando os quadrados, $(x - 4)^2 + y^2 = 4$ — o círculo de centro $(4, 0)$ e raio $2$ (o *círculo de Apolônio* de razão $2$).

**10.** A ponte converte construções em contas: nenhum retângulo auxiliar, nenhuma análise de casos — uma expansão e o teorema cai. O preço: as contas carregam menos intuição geométrica; a demonstração clássica mostra *por que*, e a algébrica mostra *que* — um matemático em atividade guarda as duas.

**11.** $x^2 + y^2 = 25$ e $(x - 6)^2 + y^2 = 25$. Subtraindo: $x^2 - (x - 6)^2 = 0$, isto é, $12x - 36 = 0$: $x = 3$. Então $9 + y^2 = 25$: $y = \pm 4$. Candidatos $(3, 4)$ e $(3, -4)$.

**12.** De $(3, 4)$ até $R(0, 8)$: $\sqrt{9 + 16} = 5$ — confere. De $(3, -4)$: $\sqrt{9 + 144} \approx 12.4$ — errado. Você está em $(3, 4)$.

**13.** As duas [equações](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) trazem o mesmo $x^2 + y^2$ (ou com coeficientes iguais depois da expansão): a subtração cancela os quadrados e deixa uma [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) de grau um — uma reta. Quando os círculos se encontram duas vezes, essa reta passa pelos dois pontos de encontro: é a reta da corda comum.

**14.** Quatro incógnitas: três [coordenadas](#def-g10-coordgeom-system) mais o erro do relógio do receptor (um relógio barato, corrigido pela matemática). Cada satélite fornece uma [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation), de modo que quatro satélites dão quatro [equações](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) para quatro incógnitas — e mais satélites melhoram a precisão.

**15.** A subtração dá agora $x = \frac{5.1^2 - 5^2 + 36}{12} = \frac{37.01}{12} \approx
3.084$: um erro de $10$ cm em uma distância deslocou a estimativa cerca de $8$ cm aqui. Os erros se propagam por todas as fórmulas — a cautela da aritmética de [intervalos](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) do [Problema 1.1](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#pb-g10-numbers-1), agora com [coordenadas](#def-g10-coordgeom-system).

**16.** $B'(7, -3)$. A reta $(AB')$ tem [coeficiente angular](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/4-funcoes-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) $\frac{-3 - 5}{7 - 1} = -\frac43$ e cruza $y = 0$ em $x = 1 + \frac{5}{8} \times 6 = 4.75$: beba em $P(4.75,\ 0)$. Comprimento [mínimo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema): $AP + PB = AP + PB' = AB' =
\sqrt{6^2 + 8^2} = 10$.

**17.** Passando por $Q(3, 0)$: $AQ + QB = \sqrt{4 + 25} + \sqrt{16 + 9} = \sqrt{29} + 5
\approx 10.39 > 10$. A reta obtida por reflexão vence.

**18.** [Pontos médios](#prop-g10-coordgeom-midpoint) das diagonais: $[AC]$: $(3, 3)$; $[BD]$: $(3, 3)$ — iguais: paralelogramo. Lados: $AB = \sqrt{10} = AD$: losango. Diagonais: $AC = \sqrt{32} \neq BD = \sqrt{8}$: não é retângulo e, portanto, não é quadrado. Veredicto: um losango, e nada mais.

**19.** $D = A + C - B = (-1 + 6 - 3,\ 2 + 0 - 4) =
(2, -2)$: aí $[AC]$ e $[BD]$ passam a ter o mesmo [ponto médio](#prop-g10-coordgeom-midpoint) $\left(\frac52, 1\right)$.

**20.** Fórmula do [ponto médio](#prop-g10-coordgeom-midpoint): paralelogramos e centros (questões 18 e 19). Fórmula da distância: círculos, lugares geométricos, natureza de triângulos, caminhos [mínimos](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) (questões 1–9 e 16). Subtração de [equações](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) de círculo: a reta que localiza uma posição (questões 11–15). O que falta na caixa: uma álgebra limpa das *direções* — os vetores — e das *inclinações* — [equações](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) de retas e sistemas: os dois próximos capítulos fornecem exatamente isso.