---
title: "Vetores"
book: "Matemática do ensino médio"
subject: math
language: pt
chapter: 6
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/6-vetores
---

# Capítulo 6 — Vetores

Um [vetor](#def-g10-vectors-vector) codifica um deslocamento: uma direção com um sentido e um comprimento, independentemente do ponto de partida. Os [vetores](#def-g10-vectors-vector) dão demonstrações limpas de fatos geométricos e, uma vez que as [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) entram em cena, reduzem-nos a pequenos cálculos. Serão uma ferramenta central no [Capítulo 7](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/7-equacoes-de-retas-e-sistemas-lineares#ch-g10-lines) e, mais tarde, para o produto escalar no [Capítulo 16](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/16-o-produto-escalar-no-plano#ch-g11-scal).

## 6.1 Translações e vetores

**Definição 6.1 (Vetor).**

Dados dois pontos $A$ e $B$, o *vetor* $\vect{AB}$ representa o deslocamento de $A$ até $B$: ele tem uma *direção com sentido* (a direção da reta $(AB)$, junto com o modo de percorrê-la, de $A$ rumo a $B$) e um *comprimento* (a distância $AB$, também escrita $\norm{\vect{AB}}$). Dois vetores são *iguais* quando codificam o mesmo deslocamento: $\vect{AB} = \vect{CD}$ significa que aplicar os dois deslocamentos a um ponto qualquer dá o mesmo resultado.

**Proposição 6.2 (Vetores iguais e paralelogramos).**

$\vect{AB} = \vect{CD}$ exatamente quando $ABDC$ (nesta ordem!) é um paralelogramo, possivelmente achatado — ou, o que é equivalente, quando $[AD]$ e $[BC]$ têm o mesmo [ponto médio](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint).

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

![Vetores iguais AB = CD: mesma direção, mesmo sentido, mesmo comprimento. O quadrilátero ABDC é um paralelogramo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-vectors/fig-999585eecc93.svg)

*[Vetores](#def-g10-vectors-vector) iguais $\vect{AB} = \vect{CD}$: mesma direção, mesmo sentido, mesmo comprimento. O quadrilátero $ABDC$ é um paralelogramo.*

**Notação 6.3.**

Um [vetor](#def-g10-vectors-vector) costuma ser designado por uma única letra, $\vec u$ ou $\vec v$, quando as extremidades não importam. O *[vetor](#def-g10-vectors-vector) nulo* $\vec 0 = \vect{AA}$ é o deslocamento que não move nada. O *oposto* de $\vect{AB}$ é $\vect{BA}$: mesmo comprimento, sentido contrário. Escrevemos $\vect{BA} = -\vect{AB}$.

## 6.2 Somar vetores

**Definição 6.4 (Soma de dois vetores).**

A *soma* $\vec u + \vec v$ é o deslocamento obtido efetuando $\vec u$ e em seguida $\vec v$.

**Teorema 6.5 (Relação de Chasles).**

Para quaisquer três pontos $A$, $B$, $C$:

$$
\vect{AB} + \vect{BC} = \vect{AC}.
$$

**Demonstração.** Ir de $A$ a $B$ e depois de $B$ a $C$ é um deslocamento que leva $A$ até $C$: é o deslocamento codificado por $\vect{AC}$. ∎

**Observação 6.6 (Regra do paralelogramo).**

Para somar dois [vetores](#def-g10-vectors-vector) traçados a partir do mesmo ponto, $\vect{AB} + \vect{AC}$, complete o paralelogramo $ABDC$: a [soma](#def-g10-vectors-sum) é a diagonal $\vect{AD}$. De fato, $\vect{AC} = \vect{BD}$, logo $\vect{AB} + \vect{AC} = \vect{AB} + \vect{BD} = \vect{AD}$ pela relação de Chasles.

![Duas visões da soma: ponta com origem (relação de Chasles, à esquerda) e a regra do paralelogramo (à direita).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-vectors/fig-3ca1613ca043.svg)

![Duas visões da soma: ponta com origem (relação de Chasles, à esquerda) e a regra do paralelogramo (à direita).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-vectors/fig-3828ee349c85.svg)

*Duas visões da [soma](#def-g10-vectors-sum): ponta com origem (relação de Chasles, à esquerda) e a regra do paralelogramo (à direita).*

**Exemplo 6.7 (Simplificar com Chasles).**

Simplifique $\vect{MN} + \vect{NP} + \vect{PQ}$: encadear os deslocamentos dá $\vect{MQ}$. Simplifique $\vect{AB} - \vect{AC}$: reescreva a diferença como [soma](#def-g10-vectors-sum) com o [vetor](#def-g10-vectors-vector) oposto,

$$
\vect{AB} - \vect{AC} = \vect{AB} + \vect{CA}
= \vect{CA} + \vect{AB} = \vect{CB}.
$$

## 6.3 Multiplicar um vetor por um número

**Definição 6.8 (Múltiplo escalar).**

Seja $\vec u$ um [vetor](#def-g10-vectors-vector) não nulo e $k$ um [número real](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-sets). O [vetor](#def-g10-vectors-vector) $k\vec u$ tem a mesma direção de $\vec u$, comprimento $\abs{k} \times \norm{\vec u}$ e aponta no mesmo sentido de $\vec u$ se $k > 0$, no sentido contrário se $k < 0$. Para $k = 0$, $0\vec u = \vec 0$.

**Definição 6.9 (Colinearidade).**

Dois [vetores](#def-g10-vectors-vector) $\vec u$ e $\vec v$ são *colineares* quando têm a mesma direção, isto é, quando $\vec v = k \vec u$ para algum real $k$ (ou quando um deles é $\vec 0$).

**Observação 6.10.**

A colinearidade é a linguagem vetorial do paralelismo e do alinhamento:

- as retas $(AB)$ e $(CD)$ são paralelas exatamente quando $\vect{AB}$ e $\vect{CD}$ são [colineares](#def-g10-vectors-collinear) ;
- os pontos $A$ , $B$ , $C$ são [colineares](#def-g10-vectors-collinear) exatamente quando $\vect{AB}$ e $\vect{AC}$ o são.

## 6.4 Coordenadas de vetores

**Definição 6.11 (Coordenadas de um vetor).**

Em um [sistema de coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system), as *[coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system)* do [vetor](#def-g10-vectors-vector) $\vect{AB}$ são os números que descrevem o deslocamento:

$$
\vect{AB}\,(x_B - x_A,\ y_B - y_A).
$$

Um [vetor](#def-g10-vectors-vector) $\vec u\,(a, b)$ move todo ponto $a$ unidades na horizontal e $b$ unidades na vertical.

**Proposição 6.12 (Calcular com coordenadas).**

Sejam $\vec u\,(a, b)$ e $\vec v\,(c, d)$, e seja $k \in \R$.

1. $\vec u = \vec v$ exatamente quando $a = c$ e $b = d$ ;
2. $\vec u + \vec v$ tem [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) $(a + c,\ b + d)$ ;
3. $k\vec u$ tem [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) $(ka,\ kb)$ ;
4. $\norm{\vec u} = \sqrt{a^2 + b^2}$ ( [sistema ortonormal](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) ).

**Demonstração.** 1–3 reenunciam, coordenada a coordenada, o que os deslocamentos fazem: por exemplo, efetuar $\vec u$ e depois $\vec v$ move um ponto horizontalmente de $a$ e depois de $c$, portanto de $a + c$ ao todo. O item 4 é a fórmula da distância do [Teorema 5.4](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#thm-g10-coordgeom-distance) aplicada a um segmento que representa $\vec u$. ∎

**Teorema 6.13 (Critério de colinearidade).**

Dois [vetores](#def-g10-vectors-vector) $\vec u\,(a, b)$ e $\vec v\,(c, d)$ são [colineares](#def-g10-vectors-collinear) se, e somente se,

$$
ad - bc = 0 .
$$

**Demonstração.** Se $\vec v = k\vec u$, então $c = ka$ e $d = kb$, logo $ad - bc = a(kb) - b(ka) = 0$. O mesmo vale se $\vec u = k \vec v$ ou se um dos [vetores](#def-g10-vectors-vector) é nulo.

Reciprocamente, suponha $ad - bc = 0$ com $\vec u \neq \vec 0$, digamos $a \neq 0$ (o caso $b \neq 0$ é análogo). Ponha $k = \frac{c}{a}$; então $c = ka$, e $ad = bc = b(ka)$ dá, após dividir por $a \neq 0$, $d = kb$. Logo $\vec v = k\vec u$. ∎

**Exemplo 6.14.**

Os [vetores](#def-g10-vectors-vector) $\vec u\,(3, -2)$ e $\vec v\,(-6, 4)$ são [colineares](#def-g10-vectors-collinear)? Calcule $ad - bc = 3 \times 4 - (-2)\times(-6) = 12 - 12 = 0$: sim, e de fato $\vec v = -2\vec u$. Já para $\vec u\,(3, -2)$ e $\vec w\,(1, 5)$: $3 \times 5 - (-2) \times 1 = 17 \neq 0$: não são [colineares](#def-g10-vectors-collinear).

**Método 6.15 (Colinearidade de pontos e paralelismo).**

Para provar que três pontos $A$, $B$, $C$ são [colineares](#def-g10-vectors-collinear):

1. calcule as [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) de $\vect{AB}$ e de $\vect{AC}$ ;
2. verifique o critério $ad - bc = 0$ do [Teorema 6.13](#thm-g10-vectors-det) ;
3. conclua: os [vetores](#def-g10-vectors-vector) são [colineares](#def-g10-vectors-collinear) e partilham o ponto $A$ , logo os três pontos são [colineares](#def-g10-vectors-collinear) .

O mesmo cálculo com $\vect{AB}$ e $\vect{CD}$ prova que as retas $(AB)$ e $(CD)$ são paralelas.

**Exemplo 6.16.**

Sejam $A(1, 2)$, $B(3, 5)$ e $C(7, 11)$. Então $\vect{AB}\,(2, 3)$ e $\vect{AC}\,(6, 9)$, e $2 \times 9 - 3 \times 6 = 18 - 18 = 0$: os pontos são [colineares](#def-g10-vectors-collinear) (na verdade, $\vect{AC} = 3\vect{AB}$).

![Pontos colineares: AC é um múltiplo escalar de AB.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-vectors/fig-1e83277b8c55.svg)

*Pontos [colineares](#def-g10-vectors-collinear): $\vect{AC}$ é um múltiplo escalar de $\vect{AB}$.*

## 6.5 Exercícios

**Exercício 6.1 ★.**

Simplifique usando a relação de Chasles:

$$
\vect{AB} + \vect{BD}, \qquad
\vect{KL} + \vect{LM} + \vect{MK}, \qquad
\vect{AC} - \vect{BC}, \qquad
\vect{AB} + \vect{CA}.
$$

**Solução de Exercício 6.1.**

$\vect{AB} + \vect{BD} = \vect{AD}$ (Chasles).

$\vect{KL} + \vect{LM} + \vect{MK} = \vect{KK} = \vec 0$.

$\vect{AC} - \vect{BC} = \vect{AC} + \vect{CB} = \vect{AB}$.

$\vect{AB} + \vect{CA} = \vect{CA} + \vect{AB} = \vect{CB}$.

**Exercício 6.2 ★.**

Sejam $A(2, 1)$, $B(5, 3)$, $C(-1, 4)$. Calcule as [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) de $\vect{AB}$, $\vect{BC}$, $\vect{AC}$ e verifique nas [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) que $\vect{AB} + \vect{BC} = \vect{AC}$.

**Solução de Exercício 6.2.**

$\vect{AB}\,(5-2,\ 3-1) = (3, 2)$; $\vect{BC}\,(-1-5,\ 4-3) = (-6, 1)$; $\vect{AC}\,(-1-2,\ 4-1) = (-3, 3)$. Verificação: $(3, 2) + (-6, 1) = (-3, 3)$, coordenada a coordenada.

**Exercício 6.3 ★.**

Sejam $\vec u\,(2, -3)$ e $\vec v\,(-1, 4)$. Dê as [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) de $\vec u + \vec v$, $3\vec u$, $2\vec u - \vec v$ e calcule $\norm{\vec u}$.

**Solução de Exercício 6.3.**

$\vec u + \vec v = (2 + (-1),\ -3 + 4) = (1, 1)$.

$3\vec u = (6, -9)$.

$2\vec u - \vec v = (4 - (-1),\ -6 - 4) = (5, -10)$.

$\norm{\vec u} = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{13}$.

**Exercício 6.4 ★.**

Em cada caso, diga se $\vec u$ e $\vec v$ são [colineares](#def-g10-vectors-collinear):

$$
\text{(a) } \vec u\,(4, 6),\ \vec v\,(6, 9);
\qquad
\text{(b) } \vec u\,(2, -5),\ \vec v\,(-4, 10);
\qquad
\text{(c) } \vec u\,(3, 1),\ \vec v\,(1, 3).
$$

**Solução de Exercício 6.4.**

(a) $4 \times 9 - 6 \times 6 = 36 - 36 = 0$: [colineares](#def-g10-vectors-collinear) ($\vec v = \frac32 \vec u$).

(b) $2 \times 10 - (-5) \times (-4) = 20 - 20 = 0$: [colineares](#def-g10-vectors-collinear) ($\vec v = -2\vec u$).

(c) $3 \times 3 - 1 \times 1 = 8 \neq 0$: não são [colineares](#def-g10-vectors-collinear).

**Exercício 6.5 ★.**

Sejam $A(0, 2)$, $B(4, 0)$, $C(6, 3)$. Encontre as [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) do ponto $D$ tal que $ABCD$ seja um paralelogramo, isto é, tal que $\vect{AB} = \vect{DC}$.

**Solução de Exercício 6.5.**

$\vect{AB}\,(4, -2)$ e $\vect{DC}\,(6 - x_D,\ 3 - y_D)$. A condição $\vect{AB} = \vect{DC}$ dá $6 - x_D = 4$ e $3 - y_D = -2$, logo $D(2, 5)$.

**Exercício 6.6 ★★.**

Sejam $A(-2, 1)$, $B(1, 3)$, $C(4, -1)$.

1. Calcule as [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) do ponto $M$ tal que $\vect{AM} = \vect{AB} + \vect{AC}$ .
2. Que quadrilátero é $ABMC$ ? Justifique.

**Solução de Exercício 6.6.**

*1.* $\vect{AB}\,(3, 2)$ e $\vect{AC}\,(6, -2)$, logo $\vect{AB} + \vect{AC} = (9, 0)$ e $M = (-2 + 9,\ 1 + 0) = (7, 1)$.

*2.* Pela regra do paralelogramo, $\vect{AM} = \vect{AB} +
\vect{AC}$ significa que $ABMC$ é um paralelogramo ($M$ é o quarto vértice, oposto a $A$). Dá para conferir: $\vect{AB}\,(3,2)$ e $\vect{CM}\,(7-4,\ 1-(-1)) = (3, 2)$ são iguais.

**Exercício 6.7 ★★.**

Sejam $A(1, -1)$, $B(4, 1)$, $C(10, 5)$. Os pontos $A$, $B$, $C$ são [colineares](#def-g10-vectors-collinear)? Mesma pergunta para $A(0, 3)$, $B(2, 2)$, $C(8, -1)$.

**Solução de Exercício 6.7.**

Primeira terna: $\vect{AB}\,(3, 2)$, $\vect{AC}\,(9, 6)$; $3 \times 6 - 2 \times 9 = 0$: [colineares](#def-g10-vectors-collinear) ($\vect{AC} = 3\vect{AB}$).

Segunda terna: $\vect{AB}\,(2, -1)$, $\vect{AC}\,(8, -4)$; $2 \times (-4) - (-1) \times 8 = -8 + 8 = 0$: também [colineares](#def-g10-vectors-collinear) ($\vect{AC} = 4\vect{AB}$).

**Exercício 6.8 ★★.**

Sejam $A(1, 2)$, $B(5, 4)$, $C(6, 1)$, $D(2, -1)$. Mostre que $(AB)$ e $(CD)$ são paralelas e, em seguida, que $ABCD$ é um paralelogramo. Qual das duas verificações implica a outra?

**Solução de Exercício 6.8.**

$\vect{AB}\,(4, 2)$ e $\vect{DC}\,(6-2,\ 1-(-1)) = (4, 2)$: os dois [vetores](#def-g10-vectors-vector) são *iguais*, logo $ABCD$ é um paralelogramo e, em particular, $(AB) \parallel (CD)$. A propriedade do paralelogramo é a mais forte: ela implica o paralelismo (colinearidade dos [vetores](#def-g10-vectors-vector)), e não o contrário.

**Exercício 6.9 ★★.**

Seja $ABC$ um triângulo e seja $I$ o ponto definido por $\vect{AI} = \frac23 \vect{AB}$. Com $A(0,0)$, $B(6, 3)$, $C(2, 5)$ (para que as contas fiquem simples):

1. calcule as [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) de $I$ ;
2. seja $J$ tal que $\vect{CJ} = \frac23\vect{CB}$ ; calcule as [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) de $J$ ;
3. mostre que $(IJ)$ é paralela a $(AC)$ .

**Solução de Exercício 6.9.**

*1.* $\vect{AB}\,(6, 3)$, logo $\vect{AI} = \frac23\vect{AB} = (4, 2)$ e $I(4, 2)$.

*2.* $\vect{CB}\,(6-2,\ 3-5) = (4, -2)$, logo $\vect{CJ} = \frac23\vect{CB} = \left(\frac83, -\frac43\right)$ e $J\left(2 + \frac83,\ 5 - \frac43\right) = \left(\frac{14}{3},
\frac{11}{3}\right)$.

*3.* $\vect{IJ}\,\left(\frac{14}{3} - 4,\ \frac{11}{3} - 2\right) =
\left(\frac23, \frac53\right)$ e $\vect{AC}\,(2, 5)$. Critério de colinearidade:

$$
\frac23 \times 5 - \frac53 \times 2 = \frac{10}{3} - \frac{10}{3} = 0 :
$$

os [vetores](#def-g10-vectors-vector) são [colineares](#def-g10-vectors-collinear), logo $(IJ)$ é paralela a $(AC)$. (Tanto $I$ quanto $J$ ficam a um terço do caminho a partir do lado rumo a $B$: o pequeno triângulo $IBJ$ é uma redução de $ABC$.)

**Exercício 6.10 ★★★.**

Seja $ABCD$ um quadrilátero qualquer e sejam $I$, $J$, $K$, $L$ os [pontos médios](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$, $[DA]$. Usando [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) $A(x_A, y_A)$ etc., mostre que $\vect{IJ} = \vect{LK}$ e conclua que os [pontos médios](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) dos lados de *qualquer* quadrilátero formam um paralelogramo.

**Solução de Exercício 6.10.**

Os [pontos médios](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) são

$$
I\left(\tfrac{x_A + x_B}{2}, \tfrac{y_A + y_B}{2}\right), \quad
J\left(\tfrac{x_B + x_C}{2}, \tfrac{y_B + y_C}{2}\right), \quad
K\left(\tfrac{x_C + x_D}{2}, \tfrac{y_C + y_D}{2}\right), \quad
L\left(\tfrac{x_D + x_A}{2}, \tfrac{y_D + y_A}{2}\right).
$$

Primeiras [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) dos dois [vetores](#def-g10-vectors-vector):

$$
x_J - x_I = \frac{x_B + x_C}{2} - \frac{x_A + x_B}{2}
= \frac{x_C - x_A}{2},
\qquad
x_K - x_L = \frac{x_C + x_D}{2} - \frac{x_D + x_A}{2}
= \frac{x_C - x_A}{2},
$$

e o mesmo cálculo vale para as segundas [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system). Portanto $\vect{IJ} = \vect{LK}$ (ambos iguais a $\frac12\vect{AC}$), e $IJKL$ é um paralelogramo, qualquer que seja o aspecto do quadrilátero $ABCD$.

## 6.6 Problema: A álgebra das setas

**Problema 6.1.**

Problema de fim de semana — ginástica de Chasles, o baricentro redemonstrado em duas linhas e forças em equilíbrio: para que servem realmente os vetores

O ano 8 provou que as medianas de um triângulo se encontram a dois terços do seu comprimento — com um engenhoso paralelogramo escondido dentro do triângulo (o problema de fim de semana sobre o baricentro, no volume do ensino fundamental). Os [vetores](#def-g10-vectors-vector) redemonstram isso em duas linhas e ainda dão a concorrência de brinde. É para isso que serve essa nova álgebra: teoremas viram contas com setas. Este problema treina a conta (Chasles acima de tudo), entrega a demonstração de duas linhas, estende Varignon ([Exercício 6.10](#exo-g10-vectors-10)) e termina onde os [vetores](#def-g10-vectors-vector) nasceram: nas forças e nas velocidades.

**Parte I — Ginástica de Chasles.**

1. Simplifique usando a relação de Chasles ( [Teorema 6.5](#thm-g10-vectors-chasles) ): $\vect{AB} + \vect{BC} + \vect{CD}$ ; $\vect{MA} - \vect{MB}$ ; $\vect{AB} + \vect{CD} + \vect{BC} + \vect{DA}$ .
2. O truque da origem: mostre que, para *qualquer* ponto $O$ , $\vect{AB} = \vect{OB} - \vect{OA}$ .
3. Demonstre as duas caracterizações do [ponto médio](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) $I$ de $[AB]$: $$\vect{IA} + \vect{IB} = \vec 0  \qquad\text{e}\qquad  \vect{OI} = \tfrac12\left(\vect{OA} + \vect{OB}\right)  \ \text{para todo } O .$$
4. Usando $\vect{AB} = \vect{DC}$ , reencontre o quarto vértice $D$ do paralelogramo $ABCD$ com $A(-1, 2)$ , $B(3, 4)$ , $C(6, 0)$ — e compare com a resposta obtida pelo truque do [ponto médio](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) no [Problema 5.1](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#pb-g10-coordgeom-1) .
5. Somar um [vetor](#def-g10-vectors-vector) fixo $\vec u$ a todo ponto do plano realiza que transformação — aquela descoberta com dois espelhos no problema de fim de semana sobre os dois espelhos e com duas meias voltas no problema de fim de semana sobre meias voltas, ambos do volume do ensino fundamental? Calcule a [imagem](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-function) de $(1, 2)$ por $\vec u = (3, -1)$ .

**Parte II — O baricentro, terceira demonstração.** Defina o ponto $G$ de um triângulo $ABC$ pela elegante condição

$$
\vect{GA} + \vect{GB} + \vect{GC} = \vec 0 .
$$

6. Usando o truque da origem, mostre que essa condição determina $G$ de modo único: $\vect{OG} = \frac13\left(\vect{OA} + \vect{OB} +  \vect{OC}\right)$ para todo $O$ — de modo que as [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) de $G$ são as *médias* das dos vértices (o problema de fim de semana sobre o baricentro, no volume do ensino fundamental, viu isso numericamente).
7. Demonstre que $\vect{AG} = \frac13\left(\vect{AB} +  \vect{AC}\right)$ e, escrevendo $K$ para o [ponto médio](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[BC]$ , que $\vect{AK} = \frac12\left(\vect{AB} +  \vect{AC}\right)$ . Conclua: $\vect{AG} = \frac23\,\vect{AK}$ — o teorema dos dois terços, redemonstrado.
8. Por que as medianas que partem de $B$ e de $C$ passam pelo *mesmo* $G$ sem nenhum cálculo adicional? Compare as três demonstrações disponíveis desse teorema — o paralelogramo escondido do ano 8, as [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) e os [vetores](#def-g10-vectors-vector) — em uma frase cada.
9. Verificação numérica: $A(1, 1)$ , $B(5, 2)$ , $C(3, 6)$ . Calcule $G$ , depois $K$ , e verifique $\vect{AG} = \frac23 \vect{AK}$ com o critério de colinearidade ( [Teorema 6.13](#thm-g10-vectors-det) ).
10. A física lê $G$ como o ponto de equilíbrio de três massas iguais nos vértices. Dobre a massa em $A$ (massas $2, 1, 1$ ): o ponto de equilíbrio passa a ser $\vect{OG'} = \frac{2\vect{OA} + \vect{OB} +  \vect{OC}}{4}$ . Calcule $G'$ para o triângulo da questão 9 e compare sua posição com a de $G$ .

**Parte III — A colinearidade em ação.**

11. $\vec u(3, -2)$ e $\vec v(-6, 4)$ são [colineares](#def-g10-vectors-collinear) ? E $\vec w(2, 5)$ , $\vec z(4, 9)$ ? Decida com o critério do determinante.
12. Os pontos $A(1, 2)$ , $B(3, 5)$ , $C(7, 11)$ são [colineares](#def-g10-vectors-collinear) ?
13. Para além de Varignon ( [Exercício 6.10](#exo-g10-vectors-10) ): em qualquer quadrilátero $ABCD$ , as *bimedianas* unem os [pontos médios](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) de lados opostos ( $[IK]$ e $[JL]$ ). Usando [vetores](#def-g10-vectors-vector) posição ( $\vect{OI} = \frac12(\vect{OA} +  \vect{OB})$ etc.), mostre que as duas bimedianas têm o mesmo [ponto médio](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) , de [vetor](#def-g10-vectors-vector) posição $\frac14\left(\vect{OA} + \vect{OB} + \vect{OC} +  \vect{OD}\right)$ : o baricentro do quadrilátero.
14. Tales em uma linha: $M$ e $N$ são os pontos definidos por $\vect{AM} = \frac13\vect{AB}$ e $\vect{AN} = \frac13\vect{AC}$ . Calcule $\vect{MN}$ em [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-function) de $\vect{BC}$ e conclua o paralelismo e a razão.
15. Generalize a questão 14 para uma razão $k$ qualquer e diga em uma frase como o cálculo vetorial absorve de uma só vez o teorema da base média e o de Tales.

**Parte IV — Forças e velocidades.**

16. Um barco é empurrado por uma correnteza de $3$ km/h para leste enquanto rema a $4$ km/h para o norte. Dê o [vetor](#def-g10-vectors-vector) velocidade resultante, seu [módulo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-abs) e descreva a rota efetiva. (Aparece um trio muito antigo.)
17. Três forças agem sobre um anel: $\vec u(2, 1)$ , $\vec v(-3, 2)$ , $\vec w(1, -3)$ . Calcule a resultante. O que o anel faz? E por que a [soma](#def-g10-vectors-sum) das setas ao longo de um polígono *fechado* é sempre $\vec 0$ (Chasles)?
18. Duas forças $\vec u(4, -1)$ e $\vec v(-1, 3)$ agem sobre um gancho. Que terceira força mantém o gancho em equilíbrio?
19. Um nadador atravessa um rio apontando perpendicularmente à margem a $2$ m/s; a correnteza corre a $1.5$ m/s. Dê a velocidade resultante e seu [módulo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-abs) . O rio tem $50$ m de largura: quanto tempo dura a travessia e a que distância rio abaixo o nadador chega?
20. Final: um objeto, três trajes — seta de deslocamento, par de [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) , força ou velocidade. Liste os três teoremas clássicos que este problema redemonstrou com álgebra vetorial e nomeie a única grandeza geométrica que os [vetores](#def-g10-vectors-vector) deste capítulo ainda não conseguem medir — a ferramenta que resolve isso chega com o produto escalar, no ano 11.

**Solução de Problema 6.1.**

**1.** $\vect{AB} + \vect{BC} + \vect{CD} = \vect{AD}$; $\vect{MA} - \vect{MB} = \vect{MA} + \vect{BM} =
\vect{BA}$; $\vect{AB} + \vect{BC} + \vect{CD} +
\vect{DA} = \vect{AA} = \vec 0$ (reordenando a terceira [soma](#def-g10-vectors-sum)).

**2.** $\vect{OB} - \vect{OA} = \vect{AO} + \vect{OB} =
\vect{AB}$ por Chasles.

**3.** $I$ é o [ponto médio](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[AB]$ exatamente quando $\vect{IA} = -\vect{IB}$, isto é, $\vect{IA} + \vect{IB} = \vec 0$. Então, para todo $O$: $\vec 0 = \vect{IO} + \vect{OA} + \vect{IO} + \vect{OB}$, logo $2\,\vect{OI} = \vect{OA} + \vect{OB}$ — e reciprocamente.

**4.** $\vect{AB} = (4, 2)$, e $D$ satisfaz $\vect{DC} = \vect{AB}$: $D = C - (4, 2) = (2, -2)$ — o mesmo $D$ do [Problema 5.1](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#pb-g10-coordgeom-1), uma linha mais rápido.

**5.** A translação de [vetor](#def-g10-vectors-vector) $\vec u$ — exatamente a transformação produzida por dois espelhos paralelos ou por duas meias voltas. [Imagem](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-function) de $(1, 2)$: $(4, 1)$.

**6.** Desdobrando cada $\vect{GX}$ como $\vect{GO} + \vect{OX}$: $3\,\vect{GO} + \vect{OA} + \vect{OB} + \vect{OC} = \vec 0$, logo $\vect{OG} = \frac13(\vect{OA} + \vect{OB} + \vect{OC})$: existe um e um só ponto assim, cujas [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) são as médias das dos três vértices.

**7.** $\vect{AB} + \vect{AC} =
(\vect{AG} + \vect{GB}) + (\vect{AG} + \vect{GC})
= 2\vect{AG} + (\vect{GB} + \vect{GC})
= 2\vect{AG} - \vect{GA} = 3\vect{AG}$, donde $\vect{AG} = \frac13(\vect{AB} + \vect{AC})$. A fórmula do [ponto médio](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) (questão 3, vista de $A$) dá $\vect{AK} = \frac12(\vect{AB} + \vect{AC})$. Comparando: $\vect{AG} = \frac23\vect{AK}$ — $G$ está sobre a mediana $[AK]$, a dois terços do caminho a partir de $A$.

**8.** A condição que define $G$ trata $A$, $B$, $C$ de modo idêntico, de modo que o mesmo cálculo feito a partir de $B$ ou de $C$ coloca o *mesmo* $G$ a dois terços dessas medianas: a concorrência sai de graça. A demonstração pelo paralelogramo era engenhosa, mas feita sob medida; as [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) calculam, mas obscurecem; os [vetores](#def-g10-vectors-vector) tornam a simetria visível e a demonstração cabe em duas linhas.

**9.** $G\left(\frac{1+5+3}{3}, \frac{1+2+6}{3}\right) =
(3, 3)$; $K(4, 4)$; $\vect{AG} = (2, 2)$ e $\vect{AK} = (3, 3)$: determinante $2 \times 3 - 2 \times 3 = 0$, [colineares](#def-g10-vectors-collinear), e de fato $\vect{AG} = \frac23\vect{AK}$.

**10.** $G'\left(\frac{2 + 5 + 3}{4}, \frac{2 + 2 +
6}{4}\right) = (2.5,\ 2.5)$: puxado de $G(3,3)$ na direção do vértice de massa dobrada $A(1,1)$, como convém a um ponto de equilíbrio.

**11.** $3 \times 4 - (-2)(-6) = 12 - 12 = 0$: [colineares](#def-g10-vectors-collinear) ($\vec v = -2\vec u$). $2 \times 9 - 5 \times 4 = -2 \neq 0$: não são [colineares](#def-g10-vectors-collinear).

**12.** $\vect{AB} = (2, 3)$, $\vect{AC} = (6, 9)$: determinante $2 \times 9 - 3 \times 6 = 0$: [colineares](#def-g10-vectors-collinear).

**13.** $\vect{OI} = \frac12(\vect{OA} + \vect{OB})$ e $\vect{OK} = \frac12(\vect{OC} + \vect{OD})$, de modo que o [ponto médio](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[IK]$ tem [vetor](#def-g10-vectors-vector) posição $\frac12(\vect{OI} + \vect{OK}) = \frac14(\vect{OA} +
\vect{OB} + \vect{OC} + \vect{OD})$ — e a conta para $[JL]$ dá exatamente o mesmo [vetor](#def-g10-vectors-vector). As duas bimedianas (e, por Varignon, as diagonais do paralelogramo $IJKL$) partilham esse centro: o baricentro do quadrilátero.

**14.** $\vect{MN} = \vect{AN} - \vect{AM} =
\frac13\vect{AC} - \frac13\vect{AB} = \frac13\vect{BC}$: logo $(MN) \parallel (BC)$ e $MN = \frac13 BC$.

**15.** Com $\vect{AM} = k\,\vect{AB}$ e $\vect{AN} = k\,\vect{AC}$: $\vect{MN} = k\,\vect{BC}$ — uma única linha que contém o teorema da base média ($k = \frac12$) e o de Tales (qualquer $k$): a razão atravessa a subtração intacta.

**16.** Resultante $(3, 4)$, módulo $\sqrt{9 + 16} = 5$ km/h: o barco anda de fato para nordeste, puxando para o norte, ao longo da hipotenusa do triângulo $3$–$4$–$5$.

**17.** $\vec u + \vec v + \vec w = (0, 0)$: o anel fica parado — equilíbrio. Ao longo de um polígono fechado $A_1 A_2 \dots A_n A_1$, Chasles telescopa a [soma](#def-g10-vectors-sum) até $\vect{A_1 A_1} = \vec 0$: dar a volta traz você de volta.

**18.** $\vec w = -(\vec u + \vec v) = -(3, 2) =
(-3, -2)$.

**19.** Resultante $(1.5,\ 2)$, módulo $\sqrt{2.25 + 4} = 2.5$ m/s. Travessia: $50$ m a $2$ m/s na direção da outra margem: $25$ s; deriva: $1.5 \times 25 = 37.5$ m rio abaixo.

**20.** Redemonstrados neste fim de semana: o teorema dos dois terços do baricentro (questão 7), o centro das bimedianas e de Varignon (questão 13) e Tales com a base média (questões 14–15). O que as setas ainda não conseguem fazer: medir *ângulos* (e, com eles, comprimentos em direções arbitrárias) — o produto escalar do ano 11 é exatamente o instrumento que falta.