---
title: "Equações de retas e sistemas lineares"
book: "Matemática do ensino médio"
subject: math
language: pt
chapter: 7
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/7-equacoes-de-retas-e-sistemas-lineares
---

# Capítulo 7 — Equações de retas e sistemas lineares

Uma reta no plano cartesiano é descrita por uma [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation), e duas retas juntas formam um sistema de [equações](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) cujas soluções são seus pontos de [interseção](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interunion). Este capítulo conecta três linguagens — a geométrica (retas), a algébrica ([equações](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation)) e a funcional ([funções afins](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/4-funcoes-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) do [Capítulo 4](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/4-funcoes-de-referencia#ch-g10-reffunc)) — e ensina as duas maneiras usuais de resolver um [sistema linear](#def-g10-lines-system).

## 7.1 A equação de uma reta

**Teorema 7.1 (Equação reduzida).**

Em um [sistema de coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system):

1. toda reta não vertical tem uma [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) da forma $$y = mx + p ,$$ com $m$ (o *coeficiente angular*) e $p$ (o *[coeficiente linear](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/4-funcoes-de-referencia#def-g10-reffunc-affine)*) unicamente determinados — essa é a *equação reduzida* da reta;
2. toda reta vertical tem uma [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) $x = c$ ;
3. um ponto está na reta exatamente quando suas [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) satisfazem a [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) .

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Proposição 7.2 (Coeficiente angular por dois pontos).**

O [coeficiente angular](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/4-funcoes-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) da reta (não vertical) que passa por $A(x_A, y_A)$ e $B(x_B, y_B)$, com $x_A \neq x_B$, é

$$
m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}
\qquad
\text{(``variação de $y$ sobre variação de $x$'').}
$$

**Demonstração.** Os dois pontos satisfazem $y = mx + p$, logo $y_B - y_A = (mx_B + p) - (mx_A + p) = m(x_B - x_A)$; divida por $x_B - x_A \neq 0$. ∎

![Três tipos de reta: inclinada (m ≠ 0), horizontal (m = 0) e vertical (sem equação reduzida — sua equação é x = c).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-lines/fig-9dbde51774b7.svg)

*Três tipos de reta: inclinada ($m \neq 0$), horizontal ($m = 0$) e vertical (sem [equação reduzida](#thm-g10-lines-reduced) — sua [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) é $x = c$).*

**Método 7.3 (Achar a equação da reta por dois pontos).**

Dados $A$ e $B$ com $x_A \neq x_B$:

1. calcule o [coeficiente angular](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/4-funcoes-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ ;
2. escreva $y = mx + p$ e substitua as [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) de $A$ (ou de $B$ ) para achar $p$ ;
3. confira a [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) final com o *outro* ponto.

Se $x_A = x_B$, a reta é vertical: sua [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) é $x = x_A$.

**Exemplo 7.4.**

Reta por $A(1, 5)$ e $B(3, 1)$. [Coeficiente angular](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/4-funcoes-de-referencia#def-g10-reffunc-affine): $m = \frac{1 - 5}{3 - 1} = \frac{-4}{2} = -2$. Então $y = -2x + p$; o ponto $A$ dá $5 = -2 \times 1 + p$, logo $p = 7$. [Equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation): $y = -2x + 7$. Confira com $B$: $-2 \times 3 + 7 = 1$.

**Proposição 7.5 (Retas paralelas).**

Duas retas não verticais são paralelas se, e somente se, têm o mesmo [coeficiente angular](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/4-funcoes-de-referencia#def-g10-reffunc-affine). Duas retas paralelas distintas não têm ponto comum; duas retas de [coeficientes angulares](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/4-funcoes-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) diferentes têm exatamente um.

**Demonstração.** Sejam $y = mx + p$ e $y = m'x + p'$ as duas retas. Um ponto comum resolve $mx + p = m'x + p'$, isto é, $(m - m')x = p' - p$. Se $m \neq m'$, isso tem exatamente uma solução $x = \frac{p' - p}{m - m'}$: um ponto de [interseção](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interunion). Se $m = m'$, a [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) fica $0 = p' - p$: nenhuma solução quando $p \neq p'$ (paralelas distintas), e todo $x$ quando $p = p'$ (a mesma reta). O paralelismo (não ter [interseção](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interunion), ou coincidir) é, portanto, equivalente a $m = m'$. ∎

**Observação 7.6 (Vetor diretor).**

A reta $y = mx + p$ sobe $m$ unidades a cada unidade para a direita, de modo que o [vetor](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/6-vetores#def-g10-vectors-vector) $\vec u\,(1, m)$ é um *vetor diretor* da reta: a reta é paralela a $\vec u$. Duas retas são paralelas exatamente quando seus [vetores](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/6-vetores#def-g10-vectors-vector) diretores são [colineares](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/6-vetores#def-g10-vectors-collinear) ([Teorema 6.13](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/6-vetores#thm-g10-vectors-det)).

## 7.2 Sistemas lineares

**Definição 7.7 (Sistema linear).**

Um *sistema de duas equações lineares* nas incógnitas $x$ e $y$ é um par de [equações](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation)

$$
\begin{cases}
a x + b y = c \\
a' x + b' y = c'
\end{cases}
$$

a serem satisfeitas *simultaneamente*. Uma *solução* é um par $(x, y)$ que satisfaz as duas. Cada [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) descreve uma reta, de modo que resolver o sistema é encontrar a [interseção](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interunion) de duas retas.

**Método 7.8 (Substituição).**

1. Isole uma incógnita em uma das [equações](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) — escolha a mais fácil, por exemplo exprima $y$ em [função](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-function) de $x$ ;
2. substitua essa expressão na *outra* [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) , que passa a conter apenas $x$ ;
3. resolva em $x$ e calcule em seguida $y$ pela etapa 1;
4. confira o par nas duas [equações](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) originais.

**Exemplo 7.9.**

Resolva $\begin{cases} x + 2y = 8 \\ 3x - y = 3 \end{cases}$ por substituição. A segunda [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) dá $y = 3x - 3$. Substituindo na primeira:

$$
x + 2(3x - 3) = 8
\ \Longleftrightarrow\
x + 6x - 6 = 8
\ \Longleftrightarrow\
7x = 14
\ \Longleftrightarrow\
x = 2 ,
$$

e então $y = 3 \times 2 - 3 = 3$. A solução é o par $(2, 3)$. Verificação: $2 + 2 \times 3 = 8$ e $3 \times 2 - 3 = 3$.

**Método 7.10 (Eliminação).**

1. Multiplique cada [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) por um número bem escolhido, de modo que uma das incógnitas fique com coeficientes opostos nas duas [equações](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) ;
2. some as [equações](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) : essa incógnita desaparece;
3. resolva a [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) restante, de uma só incógnita, e substitua de volta para achar a outra;
4. confira o par nas duas [equações](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) originais.

**Exemplo 7.11.**

Resolva $\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 5x - 2y = 8 \end{cases}$ por eliminação. Para eliminar $y$, multiplique a primeira [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) por $2$ e a segunda por $3$:

$$
\begin{cases}
4x + 6y = 14 \\
15x - 6y = 24
\end{cases}
$$

Somando-as: $19x = 38$, logo $x = 2$. Substituindo em $2x + 3y = 7$: $4 + 3y = 7$, logo $y = 1$. Solução: $(2, 1)$. Verificação na segunda [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation): $5 \times 2 - 2 \times 1 = 8$.

![Um sistema linear visto geometricamente: cada equação é uma reta, e a solução (2,1) do é o seu ponto de interseção.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-lines/fig-f7a419123493.svg)

*Um [sistema linear](#def-g10-lines-system) visto geometricamente: cada [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) é uma reta, e a solução $(2,1)$ do [Exemplo 7.11](#ex-g10-lines-elimination) é o seu ponto de [interseção](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interunion).*

**Observação 7.12 (Quantas soluções?).**

Como duas retas, um [sistema linear](#def-g10-lines-system) tem em geral exatamente uma solução (retas não paralelas) e, excepcionalmente, nenhuma (paralelas distintas) ou uma infinidade (duas vezes a mesma reta). O critério do [Teorema 6.13](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/6-vetores#thm-g10-vectors-det) decide: o sistema tem solução única exatamente quando $ab' - a'b \neq 0$.

**Exemplo 7.13 (Modelar com um sistema).**

Três cadernos e duas canetas custam $8$; um caderno e quatro canetas custam $6$. Seja $x$ o preço de um caderno e $y$ o de uma caneta:

$$
\begin{cases}
3x + 2y = 8 \\
x + 4y = 6 .
\end{cases}
$$

Da segunda [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation), $x = 6 - 4y$; substituindo, $3(6 - 4y) + 2y = 8$, logo $18 - 10y = 8$, o que dá $y = 1$ e depois $x = 2$. Um caderno custa $2$ e uma caneta custa $1$.

## 7.3 Exercícios

**Exercício 7.1 ★.**

Para cada reta, leia o [coeficiente angular](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/4-funcoes-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) e o [coeficiente linear](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/4-funcoes-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) e esboce-a:

$$
y = 2x - 3, \qquad
y = -\tfrac13 x + 1, \qquad
y = 4, \qquad
x = -2 .
$$

**Solução de Exercício 7.1.**

$y = 2x - 3$: [coeficiente angular](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/4-funcoes-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) $2$, [coeficiente linear](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/4-funcoes-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) $-3$. $y = -\frac13 x + 1$: [coeficiente angular](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/4-funcoes-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) $-\frac13$, [coeficiente linear](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/4-funcoes-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) $1$. $y = 4$: [coeficiente angular](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/4-funcoes-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) $0$, [coeficiente linear](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/4-funcoes-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) $4$ (reta horizontal). $x = -2$: reta vertical, sem [coeficiente angular](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/4-funcoes-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) e sem [equação reduzida](#thm-g10-lines-reduced).

**Exercício 7.2 ★.**

O ponto $A(2, 7)$ pertence à reta $y = 3x + 1$? E $B(-1, -1)$? E o ponto $C(4, 13)$?

**Solução de Exercício 7.2.**

$3 \times 2 + 1 = 7$: sim, $A$ está na reta. $3 \times (-1) + 1 = -2 \neq -1$: $B$ não está. $3 \times 4 + 1 = 13$: sim, $C$ está na reta.

**Exercício 7.3 ★.**

Encontre a [equação reduzida](#thm-g10-lines-reduced) da reta que passa por:

$$
\text{(a) } A(0, 2) \text{ e } B(3, 8);
\qquad
\text{(b) } A(-1, 5) \text{ e } B(2, -4);
\qquad
\text{(c) } A(4, 1) \text{ e } B(4, 6).
$$

**Solução de Exercício 7.3.**

(a) $m = \frac{8 - 2}{3 - 0} = 2$ e $p = y_A = 2$ (o ponto $A$ está sobre o eixo $y$): $y = 2x + 2$.

(b) $m = \frac{-4 - 5}{2 - (-1)} = \frac{-9}{3} = -3$; então $5 = -3 \times (-1) + p$ dá $p = 2$: $y = -3x + 2$.

(c) $x_A = x_B = 4$: reta vertical $x = 4$.

**Exercício 7.4 ★.**

Entre as retas $y = 3x - 1$, $y = -3x + 2$, $y = 3x + 5$ e $y = \frac{6x + 2}{2}$, quais são paralelas entre si? Quais são, na verdade, iguais?

**Solução de Exercício 7.4.**

$y = \frac{6x+2}{2} = 3x + 1$. As retas de [coeficiente angular](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/4-funcoes-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) $3$ são $y = 3x - 1$, $y = 3x + 5$ e $y = 3x + 1$: essas três são paralelas entre si; nenhuma delas é igual a outra ([coeficientes lineares](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/4-funcoes-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) diferentes), e nenhuma é paralela a $y = -3x + 2$.

**Exercício 7.5 ★.**

Resolva por substituição:

$$
\begin{cases}
y = 2x - 1 \\
3x + y = 9
\end{cases}
\qquad\text{e depois}\qquad
\begin{cases}
x - y = 4 \\
2x + 3y = 3 .
\end{cases}
$$

**Solução de Exercício 7.5.**

Primeiro sistema: substitua $y = 2x - 1$ em $3x + y = 9$: $3x + 2x - 1 = 9$, logo $5x = 10$, $x = 2$, e então $y = 3$. Solução: $(2, 3)$.

Segundo sistema: de $x - y = 4$, $x = y + 4$. Então $2(y + 4) + 3y = 3$, logo $5y = -5$, $y = -1$, e então $x = 3$. Solução: $(3, -1)$.

**Exercício 7.6 ★.**

Resolva por eliminação:

$$
\begin{cases}
x + y = 10 \\
x - y = 4
\end{cases}
\qquad\text{e depois}\qquad
\begin{cases}
3x + 2y = 12 \\
2x + 5y = 8 .
\end{cases}
$$

**Solução de Exercício 7.6.**

Primeiro sistema: somar as [equações](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) elimina $y$: $2x = 14$, $x = 7$; e então $7 + y = 10$ dá $y = 3$. Solução: $(7, 3)$.

Segundo sistema: multiplique a primeira [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) por $5$ e a segunda por $-2$:

$$
\begin{cases}
15x + 10y = 60 \\
-4x - 10y = -16
\end{cases}
$$

Somando: $11x = 44$, logo $x = 4$; e então $3 \times 4 + 2y = 12$ dá $y = 0$. Solução: $(4, 0)$.

**Exercício 7.7 ★★.**

Determine, sem resolvê-los, quantas soluções cada sistema tem:

$$
\begin{cases}
2x - y = 3 \\
-4x + 2y = -6
\end{cases}
\qquad
\begin{cases}
2x - y = 3 \\
-4x + 2y = 1
\end{cases}
\qquad
\begin{cases}
2x - y = 3 \\
x + y = 0 .
\end{cases}
$$

**Solução de Exercício 7.7.**

Calcule $ab' - a'b$ em cada caso.

Primeiro: $2 \times 2 - (-4) \times (-1) = 4 - 4 = 0$, e a segunda [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) é $-2$ vezes a primeira: duas vezes a mesma reta, uma infinidade de soluções.

Segundo: $ab' - a'b = 0$ de novo, mas os lados direitos não estão na razão $-2$ ($1 \neq -6$): duas retas paralelas distintas, nenhuma solução.

Terceiro: $2 \times 1 - 1 \times (-1) = 3 \neq 0$: exatamente uma solução.

**Exercício 7.8 ★★.**

Foram vendidos duzentos ingressos para uma peça escolar, uns a $5$ (crianças) e outros a $9$ (adultos), totalizando $1352$. Quantos ingressos de cada tipo foram vendidos?

**Solução de Exercício 7.8.**

Seja $x$ o número de ingressos infantis e $y$ o de ingressos de adulto:

$$
\begin{cases}
x + y = 200 \\
5x + 9y = 1352 .
\end{cases}
$$

Da primeira [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation), $x = 200 - y$; substituindo, $5(200 - y) + 9y = 1352$, logo $1000 + 4y = 1352$, $y = 88$, e então $x = 112$. Portanto, $112$ ingressos infantis e $88$ de adulto. Verificação: $5 \times 112 + 9 \times 88 = 560 + 792 = 1352$.

**Exercício 7.9 ★★.**

Seja $d$ a reta $y = 2x - 3$ e seja $A(1, 4)$.

1. Dê a [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) da reta $d'$ paralela a $d$ que passa por $A$ .
2. Calcule o ponto de [interseção](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interunion) de $d'$ com o eixo $x$ .

**Solução de Exercício 7.9.**

*1.* Paralela significa mesmo [coeficiente angular](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/4-funcoes-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) $2$: $y = 2x + p$ com $4 = 2 \times 1 + p$, logo $p = 2$: $d'\colon y = 2x + 2$.

*2.* Sobre o eixo $x$, $y = 0$: $2x + 2 = 0$ dá $x = -1$. O ponto de [interseção](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interunion) é $(-1, 0)$.

**Exercício 7.10 ★★★.**

Sejam $A(0, 0)$, $B(6, 2)$ e $C(2, 4)$.

1. Encontre as [equações](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) das medianas do triângulo $ABC$ que partem de $A$ e de $B$ (uma mediana liga um vértice ao [ponto médio](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) do lado oposto).
2. Calcule seu ponto de [interseção](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interunion) $G$ e verifique que $G$ também está na terceira mediana. (Você deve encontrar que as [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) de $G$ são as médias das de $A$ , $B$ , $C$ .)

**Solução de Exercício 7.10.**

*1.* [Ponto médio](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[BC]$: $A' = \left(\frac{6+2}{2},
\frac{2+4}{2}\right) = (4, 3)$. A mediana que parte de $A(0,0)$ tem [coeficiente angular](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/4-funcoes-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) $\frac{3 - 0}{4 - 0} = \frac34$: [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) $y = \frac34 x$.

[Ponto médio](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[AC]$: $B' = (1, 2)$. A mediana que parte de $B(6, 2)$ tem [coeficiente angular](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/4-funcoes-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) $\frac{2 - 2}{1 - 6} = 0$: é a reta horizontal $y = 2$.

*2.* [Interseção](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interunion): $\frac34 x = 2$ dá $x = \frac83$, logo $G\left(\frac83, 2\right)$. A terceira mediana liga $C(2,4)$ ao [ponto médio](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) de $[AB]$, $C' = (3, 1)$; seu [coeficiente angular](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/4-funcoes-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) é $\frac{1 - 4}{3 - 2} = -3$, [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) $y = -3x + 10$. Em $x = \frac83$: $y = -8 + 10 = 2$: $G$ está sobre ela. E, de fato, $G = \left(\frac{0 + 6 + 2}{3}, \frac{0 + 2 + 4}{3}\right)$: o baricentro é a média das [coordenadas](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#def-g10-coordgeom-system) dos vértices.

## 7.4 Problema: Uma solução, nenhuma ou uma infinidade

**Problema 7.1.**

Problema de fim de semana — duas retas têm três destinos possíveis, um determinante decide entre eles, e o mais antigo livro-texto do mundo já sabia disso

Duas [equações](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) lineares, duas incógnitas: o par de retas que elas desenham pode se cruzar uma vez, nunca se cruzar, ou ser uma só e mesma reta — e *todo* [sistema linear](#def-g10-lines-system) herda um desses três destinos. Este problema os classifica, apresenta o número que decide (um velho conhecido do capítulo dos [vetores](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/6-vetores#def-g10-vectors-vector)), resolve os faisões e coelhos, com dois mil anos, dos *Nove Capítulos* chineses, e termina com os vértices de regiões — o primeiro passo da otimização usada hoje por toda companhia aérea e toda fábrica.

**Parte I — A reta, com fluência.**

1. Encontre a [equação reduzida](#thm-g10-lines-reduced) da reta que passa por $(1, 2)$ e $(3, 8)$ ( [Método 7.3](#met-g10-lines-through) ).
2. Entre $y = 3x - 1$ , $y = 3x + 4$ e $y = -x + 7$ : quais duas retas são paralelas ( [Proposição 7.5](#prop-g10-lines-parallel) ) e onde se encontram os pares não paralelos? (Calcule uma [interseção](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interunion) .)
3. A reta que passa por $(2, 1)$ e $(2, 5)$ : por que ela não tem [equação reduzida](#thm-g10-lines-reduced) $y = mx + p$ e qual é a sua [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) ?
4. O ponto $(4, 11)$ está na reta $y = 3x - 1$ ? E $(-1, -5)$ ?
5. A reta que passa por $(0, 3)$ com [coeficiente angular](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/4-funcoes-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) $-2$ : dê sua [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) , seus dois pontos de corte com os eixos e a área do triângulo que ela recorta no primeiro quadrante.

**Parte II — Três destinos.**

6. Resolva por substituição ( [Método 7.8](#met-g10-lines-substitution) ): $\begin{cases} y = 2x - 3 \\ 3x + y = 7 \end{cases}$
7. Resolva por eliminação ( [Método 7.10](#met-g10-lines-elimination) ): $\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ 5x - 3y = -1 \end{cases}$
8. Classifique — e interprete com retas — os dois sistemas $$\begin{cases} 2x - y = 3 \\ 4x - 2y = 6 \end{cases}  \qquad\text{e}\qquad  \begin{cases} 2x - y = 3 \\ 4x - 2y = 1 . \end{cases}$$ Enuncie a tricotomia completa: concorrentes, paralelas, idênticas — uma solução, nenhuma, uma infinidade.
9. Para o sistema geral $ax + by = e$ , $cx + dy = f$ , o número que decide é $ad - bc$ — o mesmo determinante do teste de colinearidade do [Problema 6.1](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/6-vetores#pb-g10-vectors-1) . Explique a coincidência (quais dois [vetores](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/6-vetores#def-g10-vectors-vector) são [colineares](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/6-vetores#def-g10-vectors-collinear) exatamente quando as retas são paralelas ou idênticas?) e calcule $ad - bc$ para os três sistemas das questões 7 e 8.
10. Para que valor de $m$ o sistema $\begin{cases} x + my = 3 \\ 2x + 6y = 7 \end{cases}$ não tem solução? Resolva o sistema para todos os demais valores de $m$ … ou, ao menos, explique como você faria.

**Parte III — Os Nove Capítulos.**

11. Dos *Nove Capítulos sobre a Arte Matemática* (China, há cerca de 2000 anos): uma gaiola guarda faisões e coelhos — $35$ cabeças e $94$ patas ao todo. Quantos de cada?
12. Uma barraca de sucos mistura um xarope com $60\,\%$ de fruta e uma bebida com $20\,\%$ de fruta para obter $30$ L a $35\,\%$ de fruta. Quantos litros de cada?
13. Um número de dois algarismos tem soma de algarismos $12$ ; trocar seus algarismos de posição o diminui em $18$ . Encontre-o, usando a álgebra dos algarismos do problema de fim de semana correspondente, no volume do ensino fundamental, para montar o sistema.
14. Na padaria, $3$ cafés e $2$ croissants custam $9.10$ euros; $2$ cafés e $3$ croissants custam $8.90$ euros. Resolva com elegância: o que *somar* as duas [equações](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) e o que *subtraí-las* dizem de imediato?
15. Uma banca de feira anuncia: $2$ maçãs $+ 1$ pera por $5$ euros e $4$ maçãs $+ 2$ peras por $9$ euros. Resolva — ou melhor, explique o que o destino do sistema revela sobre a aritmética da banca.

**Parte IV — Os vértices mandam.**

16. A reta $y = 3x - 1$ parte o plano em dois. De que lado está a origem? Descreva o conjunto $y > 3x - 1$ e como se testa um ponto contra ele.
17. Desenhe a região definida pelas quatro restrições $$x \geq 0, \qquad y \geq 0, \qquad x + y \leq 4,  \qquad y \leq 2x + 1,$$ e calcule seus quatro vértices.
18. O lucro de uma oficina é $P = 3x + 2y$ na região da questão 17. Calcule $P$ nos quatro vértices. Admitindo que o [máximo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) de uma grandeza linear como essa sobre uma região desse tipo é sempre atingido em um vértice (imagine as retas $3x + 2y =$ constante varrendo o plano), dê o plano de produção ótimo.
19. Os dois táxis do problema de fim de semana sobre os dois termômetros, no volume do ensino fundamental, como sistema: escreva e resolva $\begin{cases} y = 1.5x + 3 \\ y = 2x \end{cases}$ e interprete a solução.
20. Final, o dicionário: uma [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) $\leftrightarrow$ uma reta; um sistema $\leftrightarrow$ duas retas com três destinos, decididos por $ad - bc$ ; muitas inequações $\leftrightarrow$ uma região cujos vértices carregam o ótimo. Enuncie isso em três frases — você acaba de percorrer o saguão de entrada da *álgebra linear* e da *programação linear* , ambas construídas por inteiro nos volumes de graduação.

**Solução de Problema 7.1.**

**1.** [Coeficiente angular](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/4-funcoes-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) $\frac{8 - 2}{3 - 1} = 3$; passando por $(1, 2)$: $y = 3x - 1$.

**2.** $y = 3x - 1$ e $y = 3x + 4$: mesmo [coeficiente angular](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/4-funcoes-de-referencia#def-g10-reffunc-affine), paralelas (e distintas). Cruzando $y = 3x - 1$ com $y = -x + 7$: $3x - 1 = -x + 7$ dá $x = 2$, $y = 5$: ponto $(2, 5)$.

**3.** Os dois pontos têm $x = 2$: a reta é vertical, de [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) $x = 2$. Uma forma reduzida $y = mx + p$ responde “um $y$ para cada $x$”, o que uma reta vertical recusa: seu [coeficiente angular](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/4-funcoes-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) seria infinito.

**4.** $3 \times 4 - 1 = 11$: sim, $(4, 11)$ está na reta. $3 \times (-1) - 1 = -4 \neq -5$: não.

**5.** $y = -2x + 3$; corta os eixos em $(0, 3)$ e $\left(\frac32, 0\right)$. Área do triângulo: $\frac12 \times \frac32 \times 3 = \frac94 = 2.25$.

**6.** Substituindo: $3x + 2x - 3 = 7$, $x = 2$, $y = 1$: solução $(2, 1)$.

**7.** Somando: $7x = 7$, $x = 1$; então $3y = 6$, $y = 2$: solução $(1, 2)$.

**8.** Primeiro sistema: a segunda [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) é o dobro da primeira: uma reta contada duas vezes — uma infinidade de soluções (todos os pontos de $2x - y = 3$). Segundo sistema: lados esquerdos proporcionais, lados direitos não ($2 \times 3 = 6 \neq 1$): duas retas paralelas — nenhuma solução. Tricotomia: [coeficientes angulares](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/4-funcoes-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) distintos $\to$ um cruzamento; [coeficientes angulares](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/4-funcoes-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) iguais e [coeficientes lineares](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/4-funcoes-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) diferentes $\to$ paralelas, nenhuma solução; tudo igual $\to$ a mesma reta, uma infinidade.

**9.** Os [vetores](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/6-vetores#def-g10-vectors-vector) diretores das retas são $(-b, a)$ e $(-d, c)$ (ou, equivalentemente, os [coeficientes angulares](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/4-funcoes-de-referencia#def-g10-reffunc-affine) $-\frac ab$ e $-\frac cd$), [colineares](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/6-vetores#def-g10-vectors-collinear) exatamente quando $ad - bc = 0$ — o determinante do [Problema 6.1](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/6-vetores#pb-g10-vectors-1) em novo emprego. Valores: questão 7: $2 \times (-3) - 3 \times 5 = -21 \neq 0$: solução única. Questão 8: $2 \times (-2) - (-1) \times 4 = 0$ nos dois casos: paralelas ou idênticas, e as constantes separam os dois casos.

**10.** $ad - bc = 6 - 2m$: nulo para $m = 3$. Aí $x + 3y = 3$ contra $2x + 6y = 7$: dobrar a primeira dá $2x + 6y = 6 \neq 7$: paralelas, *nenhuma solução*. Para $m \neq 3$, a eliminação dá a solução única $y = \frac{1}{6 - 2m}$, e então $x = 3 - \frac{m}{6 - 2m}$.

**11.** $f + c = 35$, $2f + 4c = 94$: dividindo por dois, $f + 2c = 47$, logo $c = 12$ e $f = 23$: vinte e três faisões e doze coelhos — a própria resposta dos *Nove Capítulos*.

**12.** $x + y = 30$ e $0.6x + 0.2y = 0.35 \times 30 =
10.5$: subtraindo $0.2 \times$ a primeira, $0.4x = 4.5$: $x = 11.25$ L de xarope e $y = 18.75$ L de bebida.

**13.** Algarismos $a$, $b$: $a + b = 12$ e $(10a + b) - (10b + a) = 9(a - b) = 18$, logo $a - b = 2$: $a = 7$, $b = 5$: o número é $75$.

**14.** Somando: $5c + 5r = 18$, logo $c + r = 3.60$ — um café mais um croissant. Subtraindo: $c - r = 0.20$. Daí $c = 1.90$ e $r = 1.70$ euros: o atalho simétrico resolveu tudo sem nenhuma substituição.

**15.** Dobrar o primeiro anúncio dá $4$ maçãs $+ 2$ peras $= 10$ euros, mas a banca cobra $9$: o sistema é incompatível — retas paralelas, conjunto solução vazio. Veredicto: os dois preços anunciados não podem estar ambos certos; ou há um desconto escondido, ou há um erro de conta.

**16.** Na origem: $0 > 3 \times 0 - 1 = -1$: verdadeiro, logo $(0,0)$ está na região $y > 3x - 1$ (acima da reta). Teste qualquer ponto substituindo-o: acima ou abaixo conforme a desigualdade seja verdadeira ou falsa.

**17.** Vértices: $(0, 0)$; $(4, 0)$ (eixos e $x + y = 4$); $(0, 1)$ (eixo e $y = 2x + 1$); e $x + y = 4$ com $y = 2x + 1$: $x = 1$, $y = 3$: $(1, 3)$.

**18.** $P(0,0) = 0$; $P(4, 0) = 12$; $P(0, 1) = 2$; $P(1, 3) = 9$. [Máximo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-extrema) no vértice $(4, 0)$: o plano $x = 4$, $y = 0$ rende $12$ — os vértices mandam, como as retas paralelas $3x + 2y = c$ deixam ver ao varrer o plano.

**19.** $1.5x + 3 = 2x$ dá $x = 6$, $y = 12$: em seis quilômetros os dois táxis cobram doze euros — o cruzamento de equilíbrio do problema de fim de semana sobre os dois termômetros, no volume do ensino fundamental, agora como solução única de um sistema.

**20.** As soluções de uma [equação](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/2-algebra-equacoes-e-inequacoes#def-g10-algebra-equation) linear desenham uma reta; um sistema superpõe duas retas, e $ad - bc$ diz de imediato se elas se cruzam uma vez (não nulo) ou caem nos casos paralelas-ou-idênticas (nulo). Empilhe inequações em vez disso e as soluções formam uma região poligonal cujos vértices carregam qualquer ótimo linear. A álgebra linear generaliza o determinante para um número qualquer de incógnitas; a programação linear industrializa os vértices.