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title: "Estatística descritiva"
book: "Matemática do ensino médio"
subject: math
language: pt
chapter: 8
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/8-estatistica-descritiva
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# Capítulo 8 — Estatística descritiva

A estatística resume uma grande coleção de números — notas, salários, temperaturas — por meio de alguns indicadores bem escolhidos. Este capítulo apresenta as duas famílias de indicadores: os que localizam o *centro* dos dados ([média](#def-g10-stats-mean), [mediana](#def-g10-stats-median)) e os que medem sua *dispersão* ([amplitude](#def-g10-stats-quartiles), quartis). Um tratamento mais profundo, incluindo o desvio padrão, vem no [Capítulo 17](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/17-estatistica-descritiva#ch-g11-stat).

## 8.1 Dados e frequências

**Definição 8.1 (Série estatística).**

Uma *série estatística* é uma lista de valores $x_1, x_2, \dots, x_N$ observados em uma população de tamanho $N$. Quando um valor $x$ aparece $n$ vezes, $n$ é a sua *frequência absoluta* e o quociente

$$
f = \frac{n}{N}
$$

é a sua *frequência relativa* (muitas vezes expressa em porcentagem). As frequências relativas de todos os valores somam $1$.

**Exemplo 8.2.**

As notas de $20$ alunos em um teste valendo $5$ pontos:

| nota $x$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| quantidade $n$ | $1$ | $2$ | $4$ | $6$ | $5$ | $2$ |
| [frequência](#def-g10-stats-series) $f$ | $0.05$ | $0.10$ | $0.20$ | $0.30$ | $0.25$ | $0.10$ |

Verificação: $1 + 2 + 4 + 6 + 5 + 2 = 20$ e as [frequências](#def-g10-stats-series) somam $1$.

![O gráfico de barras das notas do teste: uma barra por valor, com altura igual à quantidade.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-stats/fig-7ea059cdb035.svg)

*O [gráfico](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/3-funcoes#def-g10-functions-graph) de barras das notas do teste: uma barra por valor, com altura igual à quantidade.*

## 8.2 Medidas de centro

**Definição 8.3 (Média).**

A *média* da série é

$$
\bar x = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_N}{N}.
$$

Se os valores $v_1, \dots, v_k$ aparecem com quantidades $n_1, \dots, n_k$, o mesmo número é obtido como *média ponderada*

$$
\bar x = \frac{n_1 v_1 + n_2 v_2 + \dots + n_k v_k}{n_1 + n_2 + \dots + n_k}.
$$

**Exemplo 8.4.**

Para o teste do [Exemplo 8.2](#ex-g10-stats-frequencies):

$$
\bar x = \frac{1 \times 0 + 2 \times 1 + 4 \times 2 + 6 \times 3
+ 5 \times 4 + 2 \times 5}{20}
= \frac{0 + 2 + 8 + 18 + 20 + 10}{20}
= \frac{58}{20} = 2.9 .
$$

**Definição 8.5 (Mediana).**

A *mediana* é um valor que divide a série *ordenada* em duas metades: pelo menos metade dos valores é $\leq$ a mediana e pelo menos metade é $\geq$ a ela. Na prática, ordene os $N$ valores;

- se $N$ é ímpar, a mediana é o valor central, na posição $\frac{N+1}{2}$ ;
- se $N$ é par, tome o [ponto médio](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) dos dois valores centrais, nas posições $\frac N2$ e $\frac N2 + 1$ .

**Exemplo 8.6.**

Série ordenada de $7$ preços de casas (em milhares): $120$, $150$, $160$, $180$, $210$, $240$, $900$. A [mediana](#def-g10-stats-median) é o $4^{\text{o}}$ valor, $180$. A [média](#def-g10-stats-mean) é $\frac{1960}{7} = 280$ — maior do que $6$ dos $7$ preços! Um valor extremo ($900$) puxa a [média](#def-g10-stats-mean) muito mais do que a [mediana](#def-g10-stats-median): a [mediana](#def-g10-stats-median) é *robusta*, a [média](#def-g10-stats-mean) não.

## 8.3 Medidas de dispersão

**Definição 8.7 (Amplitude, quartis).**

Para uma série ordenada:

- a *amplitude* é a diferença entre o maior e o menor valor;
- o *primeiro quartil* $Q_1$ é o menor valor tal que pelo menos um quarto ( $25\%$ ) dos valores seja $\leq Q_1$ ; o *terceiro quartil* $Q_3$ é o menor valor tal que pelo menos três quartos ( $75\%$ ) dos valores sejam $\leq Q_3$ ;
- a *amplitude interquartil* $Q_3 - Q_1$ mede a dispersão da metade central dos dados.

**Método 8.8 (Encontrar os quartis).**

Para uma série de $N$ valores ordenados:

1. calcule $\frac N4$ ; se não for inteiro, arredonde *para cima* , até o próximo inteiro; $Q_1$ é o valor nessa posição;
2. calcule $\frac{3N}{4}$ ; arredonde para cima se preciso; $Q_3$ é o valor nessa posição.

**Exemplo 8.9.**

Tome os $11$ valores ordenados

$$
2,\ 3,\ 5,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 9,\ 10,\ 12 .
$$

[Mediana](#def-g10-stats-median): posição $\frac{11+1}{2} = 6$, logo a [mediana](#def-g10-stats-median) é $7$. $Q_1$: $\frac{11}{4} = 2.75$, arredondado para cima dá $3$; o $3^{\text{o}}$ valor é $5$. $Q_3$: $\frac{33}{4} = 8.25$, arredondado para cima dá $9$; o $9^{\text{o}}$ valor é $9$. [Amplitude](#def-g10-stats-quartiles): $12 - 2 = 10$; [amplitude interquartil](#def-g10-stats-quartiles): $9 - 5 = 4$.

![O diagrama de caixa do : a caixa cobre o intervalo interquartil (Q_1, Q_3) e contém a metade central dos dados; os bigodes alcançam os valores extremos.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-2/g10-stats/fig-6a963aa259d9.svg)

*O diagrama de caixa do [Exemplo 8.9](#ex-g10-stats-quartiles): a caixa cobre o [intervalo](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/1-numeros-e-conjuntos-numericos#def-g10-numbers-interval) interquartil $\intcc{Q_1}{Q_3}$ e contém a metade central dos dados; os bigodes alcançam os valores extremos.*

**Exemplo 8.10 (Comparar dois grupos).**

Duas turmas fazem a mesma prova (notas de $0$ a $20$):

|  | [mediana](#def-g10-stats-median) | $Q_1$ | $Q_3$ |
| --- | --- | --- | --- |
| turma A | $12$ | $10$ | $14$ |
| turma B | $12$ | $6$ | $17$ |

Mesma [mediana](#def-g10-stats-median), dispersões muito diferentes: a turma A é homogênea (metade de suas notas em $\intcc{10}{14}$), a turma B é heterogênea (sua metade central cobre $\intcc{6}{17}$). Indicadores de centro sozinhos nunca contam a história inteira.

**Observação 8.11.**

Nem a [média](#def-g10-stats-mean) nem a [mediana](#def-g10-stats-median) é “melhor”: a [média](#def-g10-stats-mean) usa todos os valores (e é necessária para calcular totais), e a [mediana](#def-g10-stats-median) resiste a valores extremos. Um resumo sério de uma série apresenta pelo menos um indicador de centro *e* um de dispersão.

## 8.4 Exercícios

**Exercício 8.1 ★.**

Eis o número de livros lidos em um ano por $15$ alunos:

$$
0,\ 1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 12 .
$$

Calcule a [média](#def-g10-stats-mean), a [mediana](#def-g10-stats-median) e a [amplitude](#def-g10-stats-quartiles) dessa série.

**Solução de Exercício 8.1.**

Soma: $0+1+1+2+2+2+3+3+4+4+5+6+7+8+12 = 60$, logo a [média](#def-g10-stats-mean) é $\frac{60}{15} = 4$. A série já está ordenada e $N = 15$ é ímpar: a [mediana](#def-g10-stats-median) é o $8^{\text{o}}$ valor, $3$. [Amplitude](#def-g10-stats-quartiles): $12 - 0 = 12$.

**Exercício 8.2 ★.**

Um dado foi lançado $50$ vezes:

| resultado | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| quantidade | $7$ | $9$ | $8$ | $10$ | $6$ | $10$ |

Calcule a [frequência](#def-g10-stats-series) de cada resultado e o resultado médio.

**Solução de Exercício 8.2.**

[Frequências](#def-g10-stats-series): $\frac{7}{50} = 0.14$, $\frac{9}{50} = 0.18$, $\frac{8}{50} = 0.16$, $\frac{10}{50} = 0.20$, $\frac{6}{50} = 0.12$, $\frac{10}{50} = 0.20$ (soma $1$). Resultado médio:

$$
\bar x = \frac{7 \times 1 + 9 \times 2 + 8 \times 3 + 10 \times 4
+ 6 \times 5 + 10 \times 6}{50}
= \frac{7 + 18 + 24 + 40 + 30 + 60}{50}
= \frac{179}{50} = 3.58 .
$$

**Exercício 8.3 ★.**

Encontre a [mediana](#def-g10-stats-median), $Q_1$ e $Q_3$ da série ordenada

$$
1,\ 2,\ 4,\ 4,\ 5,\ 6,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 9,\ 11 \qquad (N = 12),
$$

e desenhe o diagrama de caixa correspondente.

**Solução de Exercício 8.3.**

$N = 12$ (par): a [mediana](#def-g10-stats-median) é o [ponto médio](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) entre o $6^{\text{o}}$ e o $7^{\text{o}}$ valores, ambos iguais a $6$: [mediana](#def-g10-stats-median) $6$.

$Q_1$: $\frac{12}{4} = 3$, logo $Q_1$ é o $3^{\text{o}}$ valor: $4$.

$Q_3$: $\frac{3 \times 12}{4} = 9$, logo $Q_3$ é o $9^{\text{o}}$ valor: $8$.

Diagrama de caixa: caixa de $4$ a $8$ com a barra da [mediana](#def-g10-stats-median) em $6$ e bigodes de $1$ até $11$.

**Exercício 8.4 ★.**

A [média](#def-g10-stats-mean) de $24$ notas de uma prova é $11.5$. Um $25^{\text{o}}$ aluno faz a prova e tira $19$. Qual é a nova [média](#def-g10-stats-mean) da turma?

**Solução de Exercício 8.4.**

As $24$ notas somam $24 \times 11.5 = 276$. Com a nova nota, o total é $276 + 19 = 295$ para $25$ alunos: nova [média](#def-g10-stats-mean) $\frac{295}{25} = 11.8$.

**Exercício 8.5 ★★.**

Um aluno tem [média](#def-g10-stats-mean) $12$ após $5$ provas, todas com o mesmo peso. Que nota na $6^{\text{a}}$ prova elevaria a [média](#def-g10-stats-mean) a $13$? Uma [média](#def-g10-stats-mean) de $14$ é alcançável (as notas vão até $20$)?

**Solução de Exercício 8.5.**

Total atual: $5 \times 12 = 60$. Uma [média](#def-g10-stats-mean) de $13$ em $6$ provas exige um total de $78$, de modo que a $6^{\text{a}}$ nota deve ser $78 - 60 = 18$. Uma [média](#def-g10-stats-mean) de $14$ exigiria $84 - 60 = 24 > 20$: não é alcançável.

**Exercício 8.6 ★★.**

Invente uma série de $7$ valores não negativos cuja [mediana](#def-g10-stats-median) seja $10$ e cuja [média](#def-g10-stats-mean) seja maior que $20$; depois uma cuja [mediana](#def-g10-stats-median) seja $10$ e cuja [média](#def-g10-stats-mean) seja menor que $6$. Por que a [média](#def-g10-stats-mean) de uma série assim nunca pode ser menor que $\frac{40}{7}$? O que esses exemplos mostram?

**Solução de Exercício 8.6.**

[Média](#def-g10-stats-mean) maior que $20$: por exemplo, $1,\ 2,\ 3,\ 10,\ 40,\ 50,\ 60$ — [mediana](#def-g10-stats-median) $10$ (o $4^{\text{o}}$ valor ordenado), [média](#def-g10-stats-mean) $\frac{166}{7} \approx 23.7$.

[Média](#def-g10-stats-mean) menor que $6$: por exemplo, $0,\ 0,\ 0,\ 10,\ 10,\ 10,\ 10$ — [mediana](#def-g10-stats-median) $10$, [média](#def-g10-stats-mean) $\frac{40}{7} \approx 5.7$.

A [média](#def-g10-stats-mean) não pode ficar abaixo de $\frac{40}{7}$: para que a [mediana](#def-g10-stats-median) (o $4^{\text{o}}$ valor ordenado) seja $10$, os valores nas posições $4$ a $7$ devem ser todos $\geq 10$, de modo que o total é pelo menos $40$ e a [média](#def-g10-stats-mean) pelo menos $\frac{40}{7}$ — o segundo exemplo é extremal.

Esses exemplos mostram que a [média](#def-g10-stats-mean) e a [mediana](#def-g10-stats-median) são em larga medida independentes: conhecer uma diz pouco sobre a outra, e é por isso que um bom resumo informa as duas.

**Exercício 8.7 ★★.**

Em uma empresa, os $9$ funcionários ganham $1800$ cada por mês e o diretor ganha $12000$.

1. Calcule o salário médio e o salário mediano.
2. Qual indicador descreve melhor um salário “típico” aqui? Por quê?

**Solução de Exercício 8.7.**

*1.* [Média](#def-g10-stats-mean): $\frac{9 \times 1800 + 12000}{10} = \frac{16200 + 12000}{10} = 2820$. [Mediana](#def-g10-stats-median): ordenados, os $10$ salários são nove valores $1800$ e depois $12000$; a [mediana](#def-g10-stats-median) é o [ponto médio](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) entre o $5^{\text{o}}$ e o $6^{\text{o}}$ valores, ambos $1800$: [mediana](#def-g10-stats-median) $1800$.

*2.* A [mediana](#def-g10-stats-median) ($1800$) descreve o salário típico: é o que $9$ em cada $10$ funcionários efetivamente ganham. A [média](#def-g10-stats-mean) ($2820$) é puxada para cima pelo único salário alto e não corresponde ao contracheque de ninguém.

**Exercício 8.8 ★★.**

Uma turma com $12$ meninos tem altura [média](#def-g10-stats-mean) de $168$ cm; as $18$ meninas da mesma turma têm altura [média](#def-g10-stats-mean) de $163$ cm. Calcule a altura [média](#def-g10-stats-mean) da turma inteira. (Cuidado: *não* é o [ponto médio](https://one-course.com/books/math/2/pt/chapter/5-geometria-analitica#prop-g10-coordgeom-midpoint) entre $168$ e $163$ — pondere as [médias](#def-g10-stats-mean) pelos tamanhos dos grupos.)

**Solução de Exercício 8.8.**

Altura total: $12 \times 168 + 18 \times 163 = 2016 + 2934 = 4950$ cm para $30$ alunos, de modo que a [média](#def-g10-stats-mean) é $\frac{4950}{30} = 165$ cm. Ela fica mais perto da [média](#def-g10-stats-mean) das meninas porque elas são mais numerosas ([média](#def-g10-stats-mean) ponderada, com pesos $12$ e $18$).

**Exercício 8.9 ★★★.**

Uma série de $N$ valores $x_1, \dots, x_N$ tem [média](#def-g10-stats-mean) $\bar x$. Cada valor é transformado em $y_i = a x_i + b$ para números fixos $a$ e $b$.

1. Mostre que a [média](#def-g10-stats-mean) da nova série é $a \bar x + b$ .
2. As temperaturas de uma semana, em graus Celsius, têm [média](#def-g10-stats-mean) $20$ . Qual é a [média](#def-g10-stats-mean) delas em graus Fahrenheit ( $F = 1.8\,C + 32$ )?

**Solução de Exercício 8.9.**

*1.* A nova [média](#def-g10-stats-mean) é

$$
\bar y = \frac{y_1 + \dots + y_N}{N}
= \frac{(a x_1 + b) + \dots + (a x_N + b)}{N}
= \frac{a(x_1 + \dots + x_N) + Nb}{N}
= a \bar x + b .
$$

*2.* Com $a = 1.8$ e $b = 32$: [média](#def-g10-stats-mean) $1.8 \times 20 + 32 = 68$ graus Fahrenheit.

## 8.5 Problema: A pessoa média não existe

**Problema 8.1.**

Problema de fim de semana — média contra mediana: valores atípicos, curvas de correção, o depósito na estrada e a cabine projetada para ninguém

Em 1950, a Força Aérea dos Estados Unidos mediu $4\,000$ pilotos em dez dimensões corporais e construiu a cabine para o *homem médio*. Ela servia — como um tenente descobriu contando — essencialmente a ninguém. A estatística resume multidões com números isolados, e cada resumo diz a verdade sobre uma coisa e mente sobre outra. Este problema leva a [média](#def-g10-stats-mean) e a [mediana](#def-g10-stats-median) ([Definição 8.3](#def-g10-stats-mean), [Definição 8.5](#def-g10-stats-median)) a julgamento, deixa cada uma mostrar no que é melhor e encerra o caso da cabine.

**Parte I — Dois resumos no banco dos réus.**

1. Uma rua vende sete casas, em milhares de euros: $200$ , $210$ , $220$ , $230$ , $240$ , $250$ — e uma mansão a $1\,200$ . Calcule o preço médio e o preço mediano. Que número descreve “uma casa desta rua”?
2. Retire a mansão e recalcule os dois. De quanto cada resumo se deslocou? Enuncie a moral sobre valores atípicos.
3. Uma tabela de censo: de $100$ famílias, $20$ não têm filhos, $25$ têm um, $30$ têm dois, $15$ têm três e $10$ têm quatro. Calcule o número médio de filhos. Nenhuma família “tem $1.7$ filhos” — então que quantidade real a [média](#def-g10-stats-mean) codifica? (Multiplique-a por $100$ .)
4. Para as quinze notas $4, 6, 7, 8, 9, 10, 10, 11, 12, 12, 13, 14, 15, 17, 19$ : encontre a [mediana](#def-g10-stats-median) e os quartis $Q_1$ , $Q_3$ ( [Método 8.8](#met-g10-stats-quartiles) ).
5. Para a mesma série, dê a [amplitude](#def-g10-stats-quartiles) e a [amplitude interquartil](#def-g10-stats-quartiles) . O que cada uma mede?

**Parte II — Curvas de correção e turmas juntadas.**

6. Do [Exercício 8.9](#exo-g10-stats-9) : deslocar todos os valores de $+b$ desloca [média](#def-g10-stats-mean) , [mediana](#def-g10-stats-median) e quartis de $+b$ ; multiplicá-los por $a$ multiplica-os por $a$ . O que acontece com a [amplitude](#def-g10-stats-quartiles) e com a [amplitude interquartil](#def-g10-stats-quartiles) sob um deslocamento? E sob uma multiplicação? Justifique.
7. Uma prova tem [média](#def-g10-stats-mean) $9$ (de $20$ ) e o professor quer [média](#def-g10-stats-mean) $12$ . Duas correções são propostas: somar $3$ pontos a todos, ou multiplicar toda nota por $\frac43$ . Calcule o destino de um aluno com $6$ e de um com $18$ sob cada correção. Que correção favorece quem — e qual tem um problema de teto?
8. A turma A ( $20$ alunos) tem [média](#def-g10-stats-mean) $12$ ; a turma B ( $30$ alunos) tem [média](#def-g10-stats-mean) $10$ . Calcule a [média](#def-g10-stats-mean) dos $50$ alunos juntos e explique por que ela não é $11$ (a lição da [média](#def-g10-stats-mean) ponderada do problema de fim de semana sobre a [média](#def-g10-stats-mean) harmônica, no volume do ensino fundamental, agora na sala de aula).
9. Mostre que as [medianas](#def-g10-stats-median) recusam esse jogo: calcule as [medianas](#def-g10-stats-median) de $A = \{1, 2, 3\}$ e $B = \{0, 10\}$ , depois a [mediana](#def-g10-stats-median) da lista reunida, e compare com a [média](#def-g10-stats-mean) ponderada pelos tamanhos das duas [medianas](#def-g10-stats-median) .
10. Patinação artística: cinco juízes dão $5.2$ , $5.3$ , $5.4$ , $5.5$ , $9.9$ . Calcule a [média](#def-g10-stats-mean) , a [mediana](#def-g10-stats-median) e a *[média](#def-g10-stats-mean) aparada* (descarte a menor e a maior nota e tire a [média](#def-g10-stats-mean) das restantes). Por que a maioria dos esportes com júri apara as notas?

**Parte III — Ler distribuições.**

11. Duas fábricas produzem parafusos de comprimento médio $50$ mm. Fábrica A: $Q_1 = 49.9$ , $Q_3 = 50.1$ ; fábrica B: $Q_1 = 48$ , $Q_3 = 52$ . Você precisa de parafusos intercambiáveis: qual fábrica, e qual estatística decidiu?
12. Em uma clínica, a espera [mediana](#def-g10-stats-median) é de $10$ minutos, mas a espera [média](#def-g10-stats-mean) é de $25$ . Que forma dos dados esse par denuncia? Construa um conjunto de cinco valores com exatamente essa [mediana](#def-g10-stats-median) e essa [média](#def-g10-stats-mean) .
13. “Seu bebê está no percentil 75 de altura” — o que essa frase significa? E todas as crianças de uma cidade podem estar “acima da [média](#def-g10-stats-mean) ”? Acima da [mediana](#def-g10-stats-median) ? Explique a diferença.
14. Turma A: mín $4$ , $Q_1\,8$ , [mediana](#def-g10-stats-median) $11$ , $Q_3\,13$ , máx $17$ . Turma B: mín $2$ , $Q_1\,9$ , [mediana](#def-g10-stats-median) $11$ , $Q_3\,12$ , máx $19$ . Compare: nota típica, homogeneidade da metade central, selvageria dos extremos.
15. A lista de verificação do jornalista: uma manchete diz “salário médio na TechCorp: $5\,000$ euros”. Liste as três perguntas que este problema lhe ensinou a fazer antes de acreditar que a manchete diz alguma coisa sobre um funcionário típico.

**Parte IV — O caso da cabine.**

16. Construa sua própria prova: monte cinco preços de casas com [média](#def-g10-stats-mean) $300$ e [mediana](#def-g10-stats-median) $200$ (em milhares de euros).
17. A [média](#def-g10-stats-mean) é o ponto de equilíbrio: prove, a partir da definição, que os desvios em relação à [média](#def-g10-stats-mean) sempre se cancelam, $\sum (x_i - \bar x) = 0$ , e verifique isso no seu conjunto de dados da questão 16.
18. A [mediana](#def-g10-stats-median) é a que minimiza a rota: há lojas nos quilômetros $1$ , $3$ , $4$ , $9$ , $13$ de uma estrada, e um depósito deve minimizar a *distância total* às cinco lojas. Calcule esse total para um depósito na [mediana](#def-g10-stats-median) ( $4$ ), na [média](#def-g10-stats-mean) ( $6$ ) e em $5$ . Quem vence? (Isso é geral: a [mediana](#def-g10-stats-median) minimiza a distância total absoluta — teste qualquer outro ponto.)
19. A cabine, resolvida: suponha que um piloto tenha $30\,\%$ de chance de estar “perto da [média](#def-g10-stats-mean) ” em uma dimensão corporal, de modo independente ao longo das $10$ dimensões. Estime a chance de estar perto da [média](#def-g10-stats-mean) em *todas as dez* — e reconcilie o resultado com o que o tenente encontrou entre $4\,000$ pilotos. O que a Força Aérea construiu em vez da cabine [média](#def-g10-stats-mean) ?
20. Final — o manual de uso, uma linha para cada: quando o que importa são totais (um orçamento, uma colheita), use …; quando importa o indivíduo típico (salários, tempos de espera), use …; quando importa a justiça da dispersão, informe …; quando há risco de contaminação, use …. Encerre o caso com o título do problema.

**Solução de Problema 8.1.**

**1.** [Média](#def-g10-stats-mean): $\frac{2\,550}{7} \approx 364$ mil euros; [mediana](#def-g10-stats-median): o quarto dos sete preços ordenados, $230$. A [mediana](#def-g10-stats-median) descreve a rua — seis das sete casas não custam nada perto de $364$.

**2.** Sem a mansão: [média](#def-g10-stats-mean) $\frac{1\,350}{6} = 225$, [mediana](#def-g10-stats-median) $\frac{220 + 230}{2} = 225$. A [média](#def-g10-stats-mean) caiu cerca de $139$; a [mediana](#def-g10-stats-median), $5$. Um único valor extremo pode arrastar a [média](#def-g10-stats-mean) para qualquer lugar; a [mediana](#def-g10-stats-median) mal percebe — ela é *robusta*.

**3.** [Média](#def-g10-stats-mean) $= \frac{0 \times 20 + 1 \times 25 + 2 \times
30 + 3 \times 15 + 4 \times 10}{100} = \frac{170}{100} = 1.7$. Nenhuma família tem $1.7$ filhos, mas $1.7 \times 100 = 170$ *é* o número total exato de filhos: a [média](#def-g10-stats-mean) codifica o total, redistribuído igualmente — seu verdadeiro talento.

**4.** $N = 15$: [mediana](#def-g10-stats-median) $=$ $8^{\text{o}}$ valor $= 11$; $Q_1 =$ $4^{\text{o}}$ valor $= 8$; $Q_3 =$ $12^{\text{o}}$ valor $= 14$.

**5.** [Amplitude](#def-g10-stats-quartiles) $19 - 4 = 15$: a dispersão total, extremos incluídos. [Amplitude interquartil](#def-g10-stats-quartiles) $14 - 8 = 6$: a largura da metade central — dispersão sem o ruído dos extremos.

**6.** Um deslocamento $+b$ move *todos* os valores, de modo que as diferenças entre valores — [amplitude](#def-g10-stats-quartiles) e [amplitude interquartil](#def-g10-stats-quartiles) — não mudam: $(x_i + b) - (x_j + b) = x_i - x_j$. Multiplicar por $a$ multiplica todas as diferenças por $a$: [amplitude](#def-g10-stats-quartiles) e [amplitude interquartil](#def-g10-stats-quartiles) ficam multiplicadas por $\abs a$.

**7.** Correção aditiva: $6 \to 9$ e $18 \to 21$ — o aluno fraco ganha $50\,\%$, o forte $17\,\%$, e o $21$ estoura a escala de $20$ apenas um pouco. Multiplicativa: $6 \to 8$ e $18 \to 24$ — as razões se preservam, mas $24$ é impossível numa escala de $20$: o problema do teto. Correções aditivas favorecem a base; as multiplicativas explodem o topo.

**8.** Total das notas: $20 \times 12 + 30 \times 10 =
540$, de modo que a [média](#def-g10-stats-mean) conjunta é $\frac{540}{50} = 10.8$: os trinta alunos da turma B pesam mais que os vinte da turma A — [médias](#def-g10-stats-mean) se juntam por [média](#def-g10-stats-mean) *ponderada*, nunca por [média](#def-g10-stats-mean) simples.

**9.** [Mediana](#def-g10-stats-median) de $A$: $2$; de $B$: $5$. Lista reunida $\{0, 1, 2, 3, 10\}$: [mediana](#def-g10-stats-median) $2$. A [média](#def-g10-stats-mean) ponderada pelos tamanhos das [medianas](#def-g10-stats-median) daria $\frac{3 \times 2 + 2 \times 5}{5} = 3.2 \neq 2$: as [medianas](#def-g10-stats-median) não carregam total algum, logo não existe fórmula de junção — é preciso reordenar a lista inteira.

**10.** [Média](#def-g10-stats-mean): $\frac{31.3}{5} = 6.26$. [Mediana](#def-g10-stats-median): $5.4$. [Média](#def-g10-stats-mean) aparada: $\frac{5.3 + 5.4 + 5.5}{3} = 5.4$. Um juiz entusiasmado (ou corrupto) deslocou a [média](#def-g10-stats-mean) em quase um ponto; a [mediana](#def-g10-stats-median) e a [média](#def-g10-stats-mean) aparada nem se abalaram — daí as regras de aparo dos esportes com júri.

**11.** Fábrica A: metade central dentro de $0.2$ mm; fábrica B: dentro de $4$ mm. Mesma [média](#def-g10-stats-mean), confiabilidade oposta: compre da A. Quem decidiu foi a [amplitude interquartil](#def-g10-stats-quartiles) — [médias](#def-g10-stats-mean) sozinhas comparam centros, nunca a consistência.

**12.** [Mediana](#def-g10-stats-median) muito abaixo da [média](#def-g10-stats-mean) denuncia uma *cauda longa à direita*: a maioria das esperas é curta, e algumas são catastróficas. Exemplo: $\{5, 5, 10, 10, 95\}$ — [mediana](#def-g10-stats-median) $10$, [média](#def-g10-stats-mean) $\frac{125}{5} = 25$.

**13.** Significa que $75\,\%$ dos bebês daquela idade são mais baixos (e $25\,\%$ mais altos): é uma posição, não um tamanho. “Toda criança acima da [média](#def-g10-stats-mean)” é impossível — se todos os valores superassem a [média](#def-g10-stats-mean), a [média](#def-g10-stats-mean) deles superaria a própria [média](#def-g10-stats-mean): contradição. Mas *quase* todas podem estar: uma criança muito baixa segura a [média](#def-g10-stats-mean) abaixo de todas as outras. Acima da *[mediana](#def-g10-stats-median)*: nunca mais que a metade, por definição. Posições não se lisonjeiam; [médias](#def-g10-stats-mean) sim.

**14.** Nota típica: a mesma, [mediana](#def-g10-stats-median) $11$ nas duas. Homogeneidade do meio: B é mais compacta ([amplitude interquartil](#def-g10-stats-quartiles) $3$ contra $5$). Extremos: B é mais selvagem ([amplitude](#def-g10-stats-quartiles) $17$ contra $13$). B é uma turma de alunos parecidos com alguns valores atípicos; A é uniformemente espalhada.

**15.** (1) Esses $5\,000$ são a [média](#def-g10-stats-mean) ou a [mediana](#def-g10-stats-median) — e posso ver a [mediana](#def-g10-stats-median)? (2) Qual é a dispersão (quartis), para eu saber o quanto o “típico” é típico? (3) Quem foi contado — tamanho e seleção da amostra (a lição das pesquisas do problema de fim de semana sobre como os dados mentem, no volume do ensino fundamental)?

**16.** Por exemplo, $100, 150, 200, 250, 800$: [mediana](#def-g10-stats-median) $200$, [média](#def-g10-stats-mean) $\frac{1\,500}{5} = 300$.

**17.** $\sum (x_i - \bar x) = \sum x_i - N \bar x =
N\bar x - N\bar x = 0$. Verificação: $-200 - 150 - 100 - 50 + 500 = 0$. A [média](#def-g10-stats-mean) é o ponto onde os desvios se equilibram — o centro de gravidade dos dados (o $G$ do problema de fim de semana sobre o baricentro, no volume do ensino fundamental, em uma dimensão).

**18.** Na [mediana](#def-g10-stats-median) $4$: $3 + 1 + 0 + 5 + 9 = 18$ km. Na [média](#def-g10-stats-mean) $6$: $5 + 3 + 2 + 3 + 7 = 20$ km. Em $5$: $4 + 2 + 1 + 4 + 8 = 19$ km. A [mediana](#def-g10-stats-median) vence — afastar-se dela sempre deixa para trás mais lojas do que aquelas de que se aproxima, de modo que o total só pode crescer.

**19.** $0.3^{10} \approx 6 \times 10^{-6}$: cerca de seis pilotos *por milhão*. Em $4\,000$ pilotos o número esperado é $0.02$ — zero, como o tenente Daniels constatou. A Força Aérea parou de projetar para o homem médio e tornou tudo ajustável: assentos, pedais, cintos — projetar para a *dispersão*, não para o centro.

**20.** Totais: a *[média](#def-g10-stats-mean)*. Indivíduo típico: a *[mediana](#def-g10-stats-median)*. Justiça da dispersão: os *quartis* (e a [amplitude interquartil](#def-g10-stats-quartiles)). Contaminação: a *[média](#def-g10-stats-mean) aparada*. E a frase de encerramento: a pessoa [média](#def-g10-stats-mean) não existe — mas a pessoa [mediana](#def-g10-stats-median) quase existe.