--- title: "الأعداد الحقيقية" book: "الرياضيات الجامعية — السنة 1" subject: math language: ar chapter: 10 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers --- # الفصل 10 — الأعداد الحقيقية يقوم التحليل كله على خاصية واحدة تميّز $\R$ من $\Q$: لكل [مجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) غير خالية محدودة من أعلى *أصغرُ* [حاصر أعلى](#def-b1-reals-bounds). يذكر هذا الفصل هذه الخاصية بدقة، ويستخرج نتائجها الأولى — [خاصية أرخميدس](#thm-b1-reals-archimedes)، [ودالة الجزء الصحيح](#thm-b1-reals-floor)، وكثافة الأعداد الناطقة والأعداد الصماء — ويهيّئ المفردات ([الحد الأعلى](#def-b1-reals-bounds)، [والحد الأدنى](#def-b1-reals-bounds)، وأكبر عنصر، وأصغر عنصر) المستعملة باستمرار ابتداءً من [الفصل 11](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/11-sequences#ch-b1-seq). ## 10.1 خاصية الحد الأعلى **تعريف 10.1 (الحواصر والحد الأعلى والحد الأدنى).** لتكن $A \subseteq \R$ غير خالية. يكون العدد الحقيقي $M$ *حاصرًا أعلى* [للمجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $A$ إذا كان $a \leq M$ من أجل كل $a \in A$؛ وتكون $A$ *محدودة من أعلى* إذا كان لها حاصر أعلى (وكذلك من أدنى، مع الحواصر الدنيا؛ و*محدودة* تعني الأمرين معًا). و *أكبر عنصر* في $A$ حاصرٌ أعلى ينتمي إلى $A$. و*الحد الأعلى* $\sup A$ أصغرُ الحواصر العليا [للمجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $A$، إذا وُجد؛ و*الحد الأدنى* $\inf A$ هو أكبرُ الحواصر الدنيا. **مبرهنة 10.2 (بديهية تمام R\RR).** $\R$ حقلٌ مرتّب يحتوي $\Q$، وفيه *لكل [مجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) جزئية غير خالية محدودة من أعلى حدٌّ أعلى*. **برهان.** *نقبله في هذا المستوى.* ∎ **ملاحظة 10.3.** نأخذ هذه الخاصية بديهيةً مؤسِّسة للمقدار $\R$؛ أمّا بناء نموذج (بقطوع ديدكيند أو بمتتاليات كوشي من الأعداد الناطقة) والبرهان على وحدانيته فأمينان لكنهما طويلان، ونتركهما لدراسة لاحقة. ولاحظ أن $\Q$ لا يحقق الخاصية: [فالمجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $\{x \in \Q : x^2 < 2\}$ محدودة من أعلى لكن ليس لها أصغر [حاصر أعلى](#def-b1-reals-bounds) *في $\Q$* — إذ مرشّحها، $\sqrt 2$، مفقود ([المثال 1.11](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#ex-b1-logic-sqrt2)). وبالانتقال إلى المقابلات ($\sup(-A) = -\inf A$)، يكون لكل [مجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) غير خالية محدودة من أدنى حدٌّ أدنى. **قضية 10.4 (التمييز بالمقدار ε\varepsilonε).** لتكن $A \neq \emptyset$ محدودة من أعلى وليكن $s \in \R$. عندئذ $s = \sup A$ إذا وفقط إذا تحقق: 1. $s$ [حاصر أعلى](#def-b1-reals-bounds) : $\forall a \in A$ ، $a \leq s$ ؛ و 2. لا شيء أصغر منه كذلك: $\forall \varepsilon > 0$ ، $\exists a \in A$ ، $a > s - \varepsilon$ . **برهان.** إذا كان $s = \sup A$: تحقق (1) بحكم التعريف، وأمّا (2) فلأن $s - \varepsilon < s$ ليس [حاصرًا أعلى](#def-b1-reals-bounds)، وهذا بالضبط وجود $a > s - \varepsilon$. وبالعكس، تقول (1) إن $s$ [حاصر أعلى](#def-b1-reals-bounds)؛ وتقول (2) إن لا $t < s$ حاصرٌ أعلى (خُذ $\varepsilon = s - t$): فيكون $s$ أصغرها. ∎ **مثال 10.5.** $\sup \intoo{0}{1} = 1$، وهو غير مبلوغ (فلا أكبر عنصر)؛ $\sup \intcc{0}{1} = 1 = \max$. ومن أجل $A = \{1 - \frac 1n : n \in \N^*\}$: يكون $\sup A = 1$ غير مبلوغ؛ و $\inf A = \min A = 0$. وأكبر عنصر، إذا وُجد، هو [الحد الأعلى](#def-b1-reals-bounds)؛ وكل فائدة $\sup$ أن يكون بديلًا حين لا يوجد أكبر عنصر. ![المجموعة A = \1 - 1n : n ∈ ℕ*\ على مستقيم الأعداد: تتكدّس نقطها نحو 1 دون أن تبلغه. فكل عدد ≥ 1 حاصر أعلى (نصف المستقيم)، ولا شيء أصغر منه كذلك، لأن عنصرًا من A يدخل كل فترة (1 - , 1): بندا في صورة واحدة. والحد الأعلى هو الطرف الأيسر لنصف مستقيم الحواصر العليا — وبديهية التمام هي بالضبط ضمانُ أن لهذا النصف طرفًا أيسر دائمًا.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-reals/fig-a11c2cb6e84d.svg) *[المجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $A = \{1 - \frac1n : n \in \N^*\}$ على مستقيم الأعداد: تتكدّس نقطها نحو $1$ دون أن تبلغه. فكل عدد $\geq 1$ [حاصر أعلى](#def-b1-reals-bounds) (نصف المستقيم)، ولا شيء أصغر منه كذلك، لأن عنصرًا من $A$ يدخل كل [فترة](#prop-b1-reals-intervals) $\intoo{1 - \varepsilon}{1}$: بندا [القضية 10.4](#prop-b1-reals-epsilon) في صورة واحدة. [والحد الأعلى](#def-b1-reals-bounds) هو الطرف الأيسر لنصف مستقيم الحواصر العليا — وبديهية التمام هي بالضبط ضمانُ أن لهذا النصف طرفًا أيسر دائمًا.* **مثال 10.6 (حساب الحدود العليا عمليًا).** تمرينان كاملان على [القضية 10.4](#prop-b1-reals-epsilon). *[المجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $A = \{x + \frac1x : x > 0\}$.* من أجل كل $x > 0$، $x + \frac1x - 2 = \frac{(\,\sqrt x - 1/\sqrt x\,)^2}{1} \geq 0$، ومنه فالعدد $2$ حاصر أدنى؛ و $2 = 1 + \frac11 \in A$: ولذلك $\inf A = \min A = 2$، مبلوغًا عند $x = 1$. وأمّا من أعلى [فالمجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $A$ غير محدودة (إذ يمكن للمقدار $x + \frac1x > x$ أن يتجاوز أيّ $M$ بأخذ [المبرهنة 10.10](#thm-b1-reals-archimedes)): [فالحد الأعلى](#def-b1-reals-bounds) $\sup A$ غير موجود في $\R$ (وهو $+\infty$ في $\overline\R$). *[المجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $B = \bigl\{\frac{m}{m + n} : m, n \in \N^*\bigr\}$.* كل عنصر يقع في $\intoo{0}{1}$، ومنه فالعددان $0$ و $1$ حاصران. وليس أيّ منهما مبلوغًا: إذ $\frac{m}{m+n} = 1$ يفرض $n = 0$. وأمّا [الحد الأعلى](#def-b1-reals-bounds)، فثبّت $n = 1$ ودع $m$ يكبر: $\frac{m}{m+1} = 1 - \frac{1}{m+1} > 1 - \varepsilon$ ما إن يكون $m + 1 > \frac1\varepsilon$ (أرخميدس): فيكون $\sup B = 1$. وبالتناظر ($m = 1$ و $n$ كبير)، يكون $\inf B = 0$. والفكرة النافذة: لتثبيت حدٍّ أعلى يكفي *مسار وحيد الوسيط* مُحسَن الاختيار داخل [المجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) — وهو هنا المسار $n = 1$ — ولا يطلب التمييز بالمقدار $\varepsilon$ أكثر من ذلك. **مثال 10.7 (مرآة الحد الأدنى).** [للحد الأدنى](#def-b1-reals-bounds) تمييزُه بالمقدار $\varepsilon$، ويُستخرج من [القضية 10.4](#prop-b1-reals-epsilon) عبر $\inf A = -\sup(-A)$: فيكون $i = \inf A$ إذا وفقط إذا حصر $i$ [المجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $A$ من أدنى وكان، من أجل كل $\varepsilon > 0$، عنصرٌ $a \in A$ يحقق $a < i + \varepsilon$. وإليك تمرينًا على الحاصرين معًا: لتكن $$ A = \Bigl\{(-1)^n + \frac1n : n \in \N^*\Bigr\} = \Bigl\{0,\ \tfrac32,\ -\tfrac23,\ \tfrac54,\ -\tfrac45,\ \dots\Bigr\} . $$ تعطي الأدلة الزوجية $1 + \frac1n \leq \frac32$، مع المساواة عند $n = 2$: ولأن القيم ذات الأدلة الفردية هي كذلك $\leq 0 < \frac32$، نحصل على $\sup A = \max A = \frac32$. وتعطي الأدلة الفردية $-1 + \frac1n > -1$، متناقصةً نحو $-1$: فكل عنصر من $A$ هو $> -1$، ويُتجاوز $-1 + \varepsilon$ بالمقدار $-1 + \frac1n$ من أجل $n > \frac1\varepsilon$ فردي: فيكون $\inf A = -1$ غير مبلوغ. [مجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) واحدة وأربعة سلوكات معروضة: حدٌّ أعلى هو أكبر عنصر، وحدٌّ أدنى ليس أصغر عنصر. **ملاحظة 10.8 (مزالق شائعة مع الحد الأعلى والحد الأدنى).** أربعة أخطاء تستأثر بأكثر النقاط الضائعة. (أ) *الخلط بين $\sup$ و $\max$*: فليس على $\sup A$ أن ينتمي إلى $A$؛ ولا تكتب $\max$ إلا بعد إظهار عنصر من $A$ يكون [حاصرًا أعلى](#def-b1-reals-bounds). (ب) *تمرير المتراجحات القطعية إلى [الحد الأعلى](#def-b1-reals-bounds)*: فإذا كان $a < b$ من أجل كل $a \in A$، فلا يجوز إلا استنتاج $\sup A \leq b$ — وشاهدُه $A = \intoo{0}{1}$ و $b = 1$. (ج) *كتابة $\sup A$ قبل التحقق من المشروعية*: فالرمز يقتضي أن تكون $A$ غير خالية ومحدودة من أعلى ([الطريقة 10.18](#met-b1-reals-supproofs))؛ وأمّا $\sup \emptyset$ و $\sup \N$ فغير معرَّفين في $\R$ (واصطلاحات $\overline\R$ فعلٌ منفصل صريح). (د) *عمليات المجموعات*: $\sup(A \cup B) = \max(\sup A, \sup B)$ دائمًا، لكن لا شيء عامًّا يصحّ من أجل $A \cap B$ — فقد يكون خاليًا، بل حتى إن لم يكن كذلك فقد يقع $\sup(A \cap B)$ دون $\min(\sup A, \sup B)$ بكثير: خذ $A = \{0, 2\}$ و $B = \{0, 3\}$، حيث $\sup(A \cap B) = 0$. **مثال 10.9 (للمجموعات المنتهية أكبر عنصر — مبرهنة مساعدة تُستعمل صامتة).** لكل [مجموعة منتهية](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/2-counting#def-b1-counting-card) غير خالية $F \subseteq \R$ أكبرُ عنصر (وأصغرُ عنصر). وذلك بالاستقراء على [عدد العناصر](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/2-counting#def-b1-counting-card): [فالمجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) الأحادية $\{a\}$ لها $\max = a$؛ وإذا صحّ الادعاء من أجل المجموعات ذات $n$ عنصرًا وكان [للمجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $F$ عددُ $n + 1$ عنصرًا، فاختر أيّ $a \in F$: [للمجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $F \setminus \{a\}$ أكبرُ عنصر $m$، ويكون $\max F$ هو $m$ إذا كان $a \leq m$، وإلا فهو $a$. ولا تدخل هنا خاصية التمام — فهذا ترتيب محض مع استقراء، صحيح في $\Q$ أصلًا — ومع ذلك تستحق المبرهنة المساعدة صياغةً أمينة واحدة لأن البراهين الآتية تستدعيها صامتة: بناء الجزء الصحيح أدناه («[لمجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) أعداد صحيحة محبوسة في مجال منته أكبرُ عنصر»)، وكل حاصر $\max(\abs{u_0}, \dots, \abs{u_{N-1}}, \dots)$ في [الفصل 11](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/11-sequences#ch-b1-seq)، وكل «خذ أكبر الأعداد $\delta$ المنتهية العدد» في [الفصل 13](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/13-limits-and-continuity#ch-b1-continuity). وأمّا المجموعات غير المنتهية فهي حيث يموت أكبر عنصر ويحلّ [الحد الأعلى](#def-b1-reals-bounds) محله: ولأجل الحالة غير المنتهية وُجد هذا الفصل. **مبرهنة 10.10 (خاصية أرخميدس).** من أجل كل $x \in \R$ يوجد $n \in \N$ يحقق $n > x$. وبكيفية مكافئة: من أجل كل $\varepsilon > 0$ و $y > 0$، يتجاوز مضاعفٌ ما $n\varepsilon$ العددَ $y$. **برهان.** افترض العكس: فيكون عددٌ $x$ [حاصرًا أعلى](#def-b1-reals-bounds) [للمجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $\N$. عندئذ يوجد $s = \sup \N$ ([المبرهنة 10.2](#thm-b1-reals-sup)). وحسب [القضية 10.4](#prop-b1-reals-epsilon) (2) مع $\varepsilon = 1$، يوجد $n \in \N$ يحقق $n > s - 1$؛ لكن عندئذ $n + 1 \in \N$ و $n + 1 > s$، وهذا يناقض كون $s$ [حاصرًا أعلى](#def-b1-reals-bounds). وأمّا الصورة الثانية، فليكن $\varepsilon > 0$ و $y > 0$: تعطي الصورة الأولى مطبَّقةً على $x = \frac{y}{\varepsilon}$ عددًا $n \in \N$ يحقق $n > \frac{y}{\varepsilon}$، وبالضرب في $\varepsilon > 0$ (وهو يحفظ المتراجحات القطعية) نجد $n\varepsilon > y$. وبالعكس، تستعيد الصورة الثانية مع $\varepsilon = 1$ و $y = x$ الصورةَ الأولى من أجل $x > 0$، ويعالج $n = 1$ حالة $x \leq 0$: فالعبارتان متكافئتان تمامًا. ∎ **مثال 10.11 (أرخميدس في العمل).** ثلاثة استعمالات مباشرة، تُحتاج باستمرار فيما بعد. (أ) *لا عدد حقيقي موجب يقع دون كل $\frac1n$*: فإذا كان $0 < \varepsilon$، فاختر $n > \frac1\varepsilon$؛ عندئذ $\frac1n < \varepsilon$. وبعبارة أخرى، لا يحوي $\R$ لا متناهيات في الصغر — فالقول غير الصوري «يصير $\frac1n$ صغيرًا كما نشاء» هو هذه المبرهنة بالضبط. (ب) *عتبات صريحة*: كم يجب أن يكبر $n$ حتى يكون $\frac{1}{n^2} \leq 10^{-6}$؟ يكفي أن يكون $n \geq 10^3$ — فأرخميدس يضمن وجود مثل هذا $n$، والجبر يحدّد موضعه. (ج) *القوى تغلب أيّ حاصر*: $2^n \geq n + 1$ (بالاستقراء)، ومنه فمن أجل كل $M$ تتجاوز قوةٌ للعدد $2$ المقدارَ $M$: وهذا النمو الهندسي هو المستعمل من أجل الأعداد الثنائية في [التمرين 10.8](#exo-b1-reals-8). والفكرة النافذة: [خاصية أرخميدس](#thm-b1-reals-archimedes) هي الرخصة وراء كل [عبارة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-statement) من نوع «خذ $n$ كبيرًا بما يكفي» — ومن الآن فصاعدًا نستعمل هذه [العبارة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-statement) بحرية، وهذا المثال تسويغها لمرة واحدة. **مبرهنة 10.12 (دالة الجزء الصحيح).** من أجل كل $x \in \R$ يوجد عدد صحيح واحد بالضبط، هو *الجزء الصحيح* $\lfloor x \rfloor$، يحقق $$ \lfloor x \rfloor \leq x < \lfloor x \rfloor + 1 . $$ **برهان.** *الوجود.* [المجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $E = \{k \in \Z : k \leq x\}$ غير خالية: فحسب [المبرهنة 10.10](#thm-b1-reals-archimedes) يوجد $m \in \N$ يحقق $m > -x$، وعندئذ $-m < x$، ومنه $-m \in E$. وهي محدودة من أعلى (بأيّ عدد صحيح $n > x$، وهو موجود للسبب نفسه)، ومنه، لكونها [مجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) أعداد صحيحة محبوسة في المجال المنتهي $\intint{-m}{n}$، لها أكبرُ عنصر $k = \max E$. عندئذ $k \leq x$، ويعني $k + 1 \notin E$ أن $x < k + 1$. *الوحدانية.* إذا حقق $k$ و $k'$ كلاهما المتراجحتين، فإن $k \leq x < k' + 1$ يعطي $k \leq k'$، وبالتناظر $k' \leq k$. ∎ **مثال 10.13 (الجزء الصحيح عمليًا).** $\lfloor 3.7 \rfloor = 3$ و $\lfloor 5 \rfloor = 5$ و $\lfloor -3.7 \rfloor = -4$: فالجزء الصحيح ينزل *إلى أسفل*، لا نحو $0$. ونتيجتان للوحدانية في [المبرهنة 10.12](#thm-b1-reals-floor) سوف نستعملهما صامتين. الأولى، من أجل $n \in \Z$، $$ \lfloor x + n \rfloor = \lfloor x \rfloor + n , $$ لأن $\lfloor x \rfloor + n$ عدد صحيح يحقق المتراجحتين المعرِّفتين للمقدار $x + n$ — ولا يحققهما إلا عدد صحيح واحد. والثانية، $\lfloor \, \cdot \, \rfloor$ غير متناقصة: فإذا كان $x \leq y$ فإن $\lfloor x \rfloor \leq x \leq y < \lfloor y \rfloor + 1$، وكل عدد صحيح $< \lfloor y \rfloor + 1$ هو $\leq \lfloor y \rfloor$. لكن احذر أن $\lfloor 2x \rfloor \neq 2\lfloor x \rfloor$ عمومًا: فالعدد $x = 0.6$ يعطي $\lfloor 1.2 \rfloor = 1 \neq 0 = 2\lfloor 0.6 \rfloor$. وأمّا ما *يصحّ* فمتطابقة محسوبة تستحق الحفظ (وهي متطابقة إرميت، في أبسط حالاتها): من أجل كل عدد حقيقي $x$، $$ \lfloor x \rfloor + \Bigl\lfloor x + \frac12 \Bigr\rfloor = \lfloor 2x \rfloor . $$ اكتب $x = \lfloor x\rfloor + u$ حيث $u \in \intco{0}{1}$ وافصل حالتين. إذا كان $u < \frac12$: فالطرف الأيسر هو $\lfloor x\rfloor + \lfloor x\rfloor = 2\lfloor x\rfloor$، و $2x = 2\lfloor x\rfloor + 2u$ مع $2u \in \intco{0}{1}$، ومنه فالطرف الأيمن هو $2\lfloor x\rfloor$ كذلك. وإذا كان $u \geq \frac12$: فالطرف الأيسر هو $\lfloor x\rfloor + (\lfloor x\rfloor + 1)$، ويجعل $2u \in \intco{1}{2}$ الطرفَ الأيمن $2\lfloor x\rfloor + 1$. والفكرة النافذة: $\lfloor x + \frac12\rfloor$ هو *تدوير* $x$ إلى أقرب عدد صحيح، ومنه فالمتطابقة تقول إن الجزء الصحيح مضافًا إليه التدوير يساوي الجزء الصحيح للضِّعف — وفصل الحالات على الجزء الكسري $u$ هو التقنية المعيارية وراء كل متطابقة للجزء الصحيح (وتجري عليه التمارين [10.2](#exo-b1-reals-2) و[10.3](#exo-b1-reals-3) كذلك). **مبرهنة 10.14 (كثافة Q\QQ و R∖Q\R \setminus \QR∖Q).** بين كل عددين حقيقيين $x < y$ يقع عدد ناطق وعدد أصمّ. **برهان.** *عدد ناطق.* حسب [المبرهنة 10.10](#thm-b1-reals-archimedes)، اختر $n \in \N^*$ يحقق $n > \frac{1}{y - x}$، فيكون $ny - nx > 1$. وليكن $m = \lfloor nx \rfloor + 1$. من جهة، $nx < \lfloor nx \rfloor + 1 = m$ ([المبرهنة 10.12](#thm-b1-reals-floor))؛ ومن جهة أخرى، $m = \lfloor nx \rfloor + 1 \leq nx + 1 < ny$. وبالقسمة على $n$: $x < \frac mn < y$. *عدد أصمّ.* طبّق النقطة السابقة على الزوج $x - \sqrt 2 < y - \sqrt 2$: فيقع بينهما عدد ناطق $q$، وعندئذ $q + \sqrt 2 \in \intoo{x}{y}$ عدد أصمّ (إذ لو كان $q + \sqrt 2$ ناطقًا لكان $\sqrt 2$ كذلك). ∎ **مثال 10.15 (تنفيذ برهان الكثافة).** البرهان خوارزمية؛ فلننفّذها على $x = 1.414$ و $y = \sqrt 2$. ولأن $1.4142^2 = 1.99996164 < 2$، لدينا $\sqrt 2 > 1.4142$، ومنه $y - x > 0.0002$ و $\frac{1}{y - x} < 5000$: فاختيار $n = 5000$ مشروع. عندئذ $nx = 7070$، ومنه $m = \lfloor 7070 \rfloor + 1 = 7071$، والعدد الناطق الناتج هو $$ \frac{m}{n} = \frac{7071}{5000} = 1.4142, \qquad 1.414 < 1.4142 < \sqrt 2 . $$ والفكرة النافذة: لا يحتاج البرهان إلا إلى $n$ أكبر قليلًا من $\frac{1}{y-x}$، ويعيد أولَ مضاعف للمقدار $\frac 1n$ بعد $x$. فالكثافة ليست معجزة مجرّدة — بل هي قسمةٌ مطوّلة متنكّرة، وهو موضوع يُطوَّر مطوّلًا في مسألة نهاية الأسبوع ([المسألة 10.1](#pb-b1-reals-1)). **ملاحظة 10.16 (أين تُستعمل خاصية التمام تاليًا).** [المبرهنة 10.2](#thm-b1-reals-sup) هي البديهية الوحيدة غير الجبرية في هذا الكتاب، وكل مبرهنة وجود في التحليل هي تلك البديهية في ثياب مختلفة: مبرهنة التقارب الرتيب ([الفصل 11](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/11-sequences#ch-b1-seq))، ومبرهنة بولتزانو–فايرشتراس ([الفصل 12](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/12-topology-of-the-real-line#ch-b1-topology))، ومبرهنتا القيم الوسطى والقيم الحدّية ([الفصل 13](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/13-limits-and-continuity#ch-b1-continuity))، وتعريف التكامل نفسه حدًّا أعلى للمجاميع الدنيا ([الفصل 15](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/15-integration-on-a-segment#ch-b1-integration)). ويبني مجلّد السنة الثالثة نظرية القياس وفضاءات هيلبرت على البديهية الوحيدة نفسها. وحين ينتج برهانٌ في الفصول الآتية عددًا حقيقيًا من العدم، فابحث عن [الحد الأعلى](#def-b1-reals-bounds) المستتر. **ملاحظة 10.17 (بين التقطّع والكثافة).** تجلس $\Z$ و $\Q$ على طرفي نقيض داخل $\R$: فحول كل عدد صحيح فجوة طولها $1$ لا تحوي عددًا صحيحًا آخر (التقطّع — وهو ما يجعل الجزء الصحيح معرَّفًا جيدًا)، بينما بين كل عددين حقيقيين أعدادٌ ناطقة لا تُحصى (الكثافة). وممّا يلفت أن لا شيء بين الحالين من أجل *الزمر الجزئية الجمعية* للمقدار $\R$: إذ يبرهن [التمرين 10.9](#exo-b1-reals-9) على أن مثل هذه [الزمرة الجزئية](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-subgroup) إمّا من الشكل $\alpha\Z$ (متقطّعة) وإمّا كثيفة — وهي ثنائية تحرّك كثافة $\{\sin n\}$ في [الفصل 11](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/11-sequences#ch-b1-seq) والوحش البنّاء في [المسألة 13.1](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/13-limits-and-continuity#pb-b1-continuity-1). وأمّا المجموعات العامة فتخلط السلوكين بحرية بالطبع: [فالمجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $\Z \cup \Q\cap\intcc{0}{1}$ متقطّعة بعيدًا وكثيفة في الوسط. **طريقة 10.18 (البرهان على المساواة بالحد الأعلى والحد الأدنى).** للبرهان على $\sup A = s$: تحقق من أن $s$ يحصر $A$ من أعلى، ثم أنتج، من أجل كل $\varepsilon > 0$ (أو من أجل متتالية $\varepsilon = \frac 1n$)، عنصرًا من $A$ فوق $s - \varepsilon$. ولمقارنة الحدود العليا، استعمل: $A \subseteq B \implies \sup A \leq \sup B$؛ ومن أجل كل $a, b$: $\sup(A + B) = \sup A + \sup B$، حيث $A + B = \{a + b\}$ ([التمرين 10.5](#exo-b1-reals-5)). ولا تكتب أبدًا $\sup A$ قبل أن تعلم أن $A$ غير خالية ومحدودة من أعلى. ## 10.2 الفترات **قضية 10.19 (تمييز الفترات).** تكون [المجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) الجزئية $I \subseteq \R$ *فترة* (من الأنواع المألوفة $\intoo{a}{b}$ و $\intcc{a}{b}$ و $\intco{a}{b}$ و $\intoc{a}{b}$، وأنصاف المستقيمات، و $\R$، و $\emptyset$، والمجموعات الأحادية) إذا وفقط إذا كانت *محدَّبة*: $$ \forall x, y \in I,\ \forall z \in \R, \quad x \leq z \leq y \implies z \in I . $$ **برهان.** كل نوع من الأنواع المذكورة محدَّب بجلاء. وبالعكس، لتكن $I$ محدَّبة وغير خالية. ضع $a = \inf I$ إذا كانت $I$ محدودة من أدنى، وإلا فضع $a = -\infty$؛ وكذلك $b = \sup I$ أو $+\infty$. ونحن ندّعي $\intoo{a}{b} \subseteq I \subseteq \intcc{a}{b}$ (مع الاصطلاحات البديهية عند $\pm\infty$). والاحتواء الثاني هو تعريف الحواصر. وأمّا الأول، فليكن $z \in \intoo{a}{b}$: بما أن $z > a$، فليس $z$ حاصرًا أدنى (أو أن $a = -\infty$)، ومنه فعنصر ما $x \in I$ يحقق $x < z$؛ وكذلك عنصر ما $y \in I$ يحقق $y > z$؛ ويضع التحدّب $z \in I$. ويبقى أن نقرأ النوع من الاحتواء المزدوج $\intoo{a}{b} \subseteq I \subseteq \intcc{a}{b}$: فالمجموعات المحشورة بين [فترة](#prop-b1-reals-intervals) مفتوحة وغلقها لا تختلف عن $\intoo{a}{b}$ إلا بحضور الطرفين (المنتهيين) أو غيابهما. وصراحةً: إذا كان $a, b \in \R$، فالإمكانات الأربع من أجل $(a \in I,\ b \in I)$ تعطي $\intoo{a}{b}$ و $\intco{a}{b}$ و $\intoc{a}{b}$ و $\intcc{a}{b}$ (بما فيها الحالتان المنحلّتان $a = b$: [مجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) أحادية إذا كان $a \in I$)؛ وإذا كان $a = -\infty$ و $b \in \R$، فنحصل على $\intoo{-\infty}{b}$ أو $\intoc{-\infty}{b}$؛ وبالتناظر من أجل $a \in \R$ و $b = +\infty$؛ ويعطي $a = -\infty$ و $b = +\infty$ أن $I = \R$. فكل حالة مذكورة في القائمة: وانتهى. ∎ **ملاحظة 10.20 (لماذا التحدّب هو الاختبار الصحيح).** تحوّل القضية تعريفًا *هندسيًا* (قائمةً من عشرة أشكال) إلى اختبار *منطقي في سطر واحد*، والاختبار هو ما يُستعمل فعلًا: فللبرهان على أن [مجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) ما [فترة](#prop-b1-reals-intervals)، لا تطارد أبدًا أيَّ الأشكال العشرة هي — بل تحقق من التحدّب ودع القضية تفرز النوع. وسوف تُصاغ مبرهنة القيم الوسطى في [الفصل 13](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/13-limits-and-continuity#ch-b1-continuity) على هذه الكيفية بالضبط («صورة [فترة](#prop-b1-reals-intervals) بدالة متصلة فترةٌ»)، وينتج برهانها التحدّبَ لا الشكل. **ملاحظة 10.21 (المستقيم الحقيقي الموسَّع).** من المريح أن نضمّ رمزين ونعمل في $\overline\R = \R \cup \{-\infty, +\infty\}$، مع الاصطلاحين $\sup A = +\infty$ حين لا تكون $A$ محدودة من أعلى و $\sup \emptyset = -\infty$. عندئذ يكون *لكل* [مجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) جزئية من $\R$ حدٌّ أعلى في $\overline\R$ — وهي راحة ترميزية تُستعمل بحرية من أجل النهايات في [الفصل 11](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/11-sequences#ch-b1-seq). **مثال 10.22 (الحساب في R‾\overline\RR).** مع سريان الاصطلاحات: $\sup \Z = +\infty$ و $\inf \Z = -\infty$؛ ومن أجل $A = \{n + (-1)^n n : n \in \N\} = \{0, 4, 0, 8, \dots\} \cup \{0\}$، يكون $\sup A = +\infty$ (فالحدود الزوجية $2n$ غير محدودة) و $\inf A = \min A = 0$؛ و $\sup\emptyset = -\infty \leq \inf\emptyset = +\infty$ — وهي [المجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) الوحيدة التي حدّها الأعلى *أصغر* من حدّها الأدنى، وهو تذكير بأن الاصطلاحات مختارة لتجعل $\sup$ متزايدًا و $\inf$ متناقصًا بالنسبة إلى الاحتواء: $$ A \subseteq B \implies \sup A \leq \sup B \quad\text{و}\quad \inf A \geq \inf B , $$ فيصحّان الآن دون شرط عدم الخلوّ. وأمّا ما *لا* توفره الاصطلاحات فهو الحساب: إذ يبقى $+\infty + (-\infty)$ و $0 \times (+\infty)$ غير معرَّفين، وعلى كل معالجة جبرية للحدود العليا أن تتحقق أولًا من أنها لا تكوّنهما أبدًا. فالمستقيم الموسَّع مسك دفاتر، لا نظام أعداد. **مثال 10.23 (الحد الأعلى الذي أفلت من Q\QQ).** عُد إلى [مجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) الملاحظة الافتتاحية، $A = \{x \in \Q : x^2 < 2\}$، واحسب حدّها الأعلى *في $\R$*. فهي غير خالية ($1 \in A$) ومحدودة من أعلى بالعدد $1.5$ (إذ إن $x > 1.5$ يعطي $x^2 > 2.25 > 2$)، ومنه يوجد $s = \sup A$. وندّعي أن $s = \sqrt 2$ (وهو العدد الحقيقي المبنيّ في [التمرين 10.12](#exo-b1-reals-12)). الحصر من أعلى: كل $a \in A$ يحقق $a < \sqrt2$ — فهذا جليّ من أجل $a \leq 0$، وأمّا من أجل $a > 0$ فإن $a \geq \sqrt2$ يعطي $a^2 \geq 2$. ولا شيء أصغر يفي بالغرض: فمن أجل $t < \sqrt2$، تعطي الكثافة ([المبرهنة 10.14](#thm-b1-reals-density)) عددًا ناطقًا $q$ يحقق $\max(1, t) < q < \sqrt 2$، وعندئذ $q^2 < 2$، ومنه $q \in A$ يتجاوز $t$. وحسب [القضية 10.4](#prop-b1-reals-epsilon)، $s = \sqrt2 \notin \Q$. والفكرة النافذة: ليس على [الحد الأعلى](#def-b1-reals-bounds) [لمجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) من الأعداد الناطقة أن يكون ناطقًا — فخاصية التمام هي بالضبط الوعد بأن $\R$، خلافًا للمقدار $\Q$، لا يدع حدًّا أعلى يفلت أبدًا؛ وهذا المثال هو ملاحظة الفصل الافتتاحية، مبرهنًا عليها الآن بدل الإشارة إليها. **ملاحظة 10.24 (منظورات داخل هذا المجلّد).** لأدوات الفصل الثلاث مسارات متمايزة فيما يأتي. [فالحد الأعلى](#def-b1-reals-bounds) يحكم شطر التحليل: النهايات الرتيبة ([الفصل 11](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/11-sequences#ch-b1-seq))، وتعريف التكامل نفسه ([الفصل 15](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/15-integration-on-a-segment#ch-b1-integration))، وفي هندسة [الفصل 23](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/23-euclidean-spaces#ch-b1-euclid) المسافةَ من نقطة إلى فضاء جزئي — وهي حدٌّ أدنى يحوّله الإسقاط المتعامد إلى أصغر عنصر. وأمّا [دالة الجزء الصحيح](#thm-b1-reals-floor) فتعود حيثما التقى المتقطّع بالمتصل: نشر الأرقام (مسألة نهاية الأسبوع في هذا الفصل)، ومقاربة ديريكليه بمبدأ الأدراج ([المسألة 14.1](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/14-differentiation#pb-b1-derivative-1))، ومقارنات المجاميع بالتكاملات ([الفصل 17](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/17-numerical-series#ch-b1-series)). وأمّا حجج الكثافة فترتقي إلى طريقة في [الفصل 13](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/13-limits-and-continuity#ch-b1-continuity): إذ لا تحتاج متطابقةٌ بين دالتين متصلتين إلا إلى التحقق على $\Q$ — ونصف معادلة كوشي الدالية ([المسألة 13.1](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/13-limits-and-continuity#pb-b1-continuity-1)) هو هذه الحركة بالضبط. وحين تشكّ في مصدر عبارات الوجود في برهان من هذا المجلّد، فالجواب دائمًا تقريبًا: هذا الفصل. ## 10.3 تمارين **تمرين 10.1 ★.** حدّد (مع البراهين) [الحد الأعلى](#def-b1-reals-bounds) [والحد الأدنى](#def-b1-reals-bounds) وأكبر عنصر وأصغر عنصر — حين توجد — من أجل: $$ A = \Bigl\{\frac{1}{n} : n \in \N^*\Bigr\}, \qquad B = \Bigl\{\frac{(-1)^n n}{n+1} : n \in \N\Bigr\}, \qquad C = \{x \in \R : x^2 < 3\}. $$ **حل التمرين 10.1.** $A$: كل عنصر هو $\leq 1$ و $1 \in A$: ومنه $\sup A = \max A = 1$. والحواصر الدنيا: يحصر $0$ من أدنى؛ ومن أجل $\varepsilon > 0$، يعطي أرخميدس عددًا $n$ يحقق $\frac 1n < \varepsilon$، ومنه فلا عدد موجب يحصر $A$ من أدنى: فيكون $\inf A = 0$ غير مبلوغ (فلا أصغر عنصر). $B$: الحدود $0, -\frac12, \frac23, -\frac34, \frac45, \dots$ والحدود الزوجية $\frac{n}{n+1}$ ($n$ زوجي) تتزايد نحو $1$ دون أن تبلغه؛ والحدود الفردية $-\frac{n}{n+1}$ تتناقص نحو $-1$. ومنه $\sup B = 1$ و $\inf B = -1$، وليس أيّ منهما مبلوغًا: فلا أكبر عنصر ولا أصغر عنصر. (والحواصر: $\abs{b} < 1$ من أجل كل $b \in B$؛ و $\frac{n}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1} > 1 - \varepsilon$ من أجل $n$ كبير، وكذلك من أدنى.) $C = \intoo{-\sqrt 3}{\sqrt 3}$: $\sup C = \sqrt 3$ و $\inf C = -\sqrt 3$، وليس أيّ منهما مبلوغًا. **تمرين 10.2 ★.** برهن على أن من أجل كل $x, y \in \R$: $\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor \leq \lfloor x + y \rfloor \leq \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + 1$، وعلى أن الحاصرين مبلوغان. **حل التمرين 10.2.** اكتب $x = \lfloor x \rfloor + u$ و $y = \lfloor y \rfloor + v$ مع $u, v \in \intco{0}{1}$. عندئذ $x + y = \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + (u + v)$ مع $u + v \in \intco{0}{2}$. فإذا كان $u + v < 1$، $\lfloor x + y\rfloor = \lfloor x\rfloor + \lfloor y \rfloor$؛ وإذا كان $1 \leq u + v < 2$، $\lfloor x+y \rfloor = \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + 1$. والحالتان كلتاهما تقعان: إذ يعطي $(x, y) = (0.2,\, 0.3)$ المساواة اليسرى، ويعطي $(0.7,\, 0.8)$ اليمنى. **تمرين 10.3 ★.** برهن على أن من أجل كل $x \in \R$ و $n \in \N^*$: $\Bigl\lfloor \frac{\lfloor nx \rfloor}{n} \Bigr\rfloor = \lfloor x \rfloor$. **حل التمرين 10.3.** ليكن $k = \lfloor x \rfloor$، فيكون $k \leq x < k + 1$. وبالضرب في $n$: $nk \leq nx < nk + n$، وبأخذ الأجزاء الصحيحة (وهي عملية متزايدة في جهة الأعداد الصحيحة): $nk \leq \lfloor nx \rfloor \leq nk + n - 1$. وبالقسمة على $n$: $k \leq \frac{\lfloor nx \rfloor}{n} < k + 1$، ومنه فالجزء الصحيح الخارجي هو $k$. **تمرين 10.4 ★.** لتكن $A \subseteq B$ مجموعتين جزئيتين غير خاليتين من $\R$، مع $B$ محدودة. برهن على $\inf B \leq \inf A \leq \sup A \leq \sup B$. **حل التمرين 10.4.** كل عنصر من $A$ ينتمي إلى $B$، ومنه يحصر $\sup B$ المجموعةَ $A$ من أعلى: ولذلك $\sup A \leq \sup B$ (لأن $\sup A$ هو *أصغر* [حاصر أعلى](#def-b1-reals-bounds)). وبالتناظر $\inf B \leq \inf A$. وأخيرًا $\inf A \leq \sup A$ لأن $A$ غير خالية: إذ يقع أيّ $a \in A$ بينهما. **تمرين 10.5 ★★.** من أجل $A, B \subseteq \R$ غير خاليتين ومحدودتين، عرّف $A + B = \{a + b : a \in A,\ b \in B\}$ و $-A = \{-a : a \in A\}$. برهن على: $$ \sup(A + B) = \sup A + \sup B, \qquad \sup(-A) = -\inf A . $$ **حل التمرين 10.5.** ليكن $s = \sup A$ و $t = \sup B$. كل $a + b \leq s + t$: فهو [حاصر أعلى](#def-b1-reals-bounds). ومن أجل $\varepsilon > 0$، اختر $a > s - \frac\varepsilon2$ و $b > t - \frac\varepsilon2$ ([القضية 10.4](#prop-b1-reals-epsilon)): عندئذ $a + b > s + t - \varepsilon$. وحسب التمييز بالمقدار $\varepsilon$، يكون $\sup(A+B) = s + t$. وأمّا $-A$: فيحصر $m$ المجموعةَ $-A$ من أعلى $\iff$ يحصر $-m$ المجموعةَ $A$ من أدنى؛ ولذلك يقابل أصغرُ [حاصر أعلى](#def-b1-reals-bounds) [للمجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $-A$ أكبرَ حاصر أدنى [للمجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $A$: فيكون $\sup(-A) = -\inf A$. **تمرين 10.6 ★★.** لتكن $f, g \colon E \to \R$ دالتين محدودتين. برهن على $$ \sup_{x \in E}\, \bigl(f(x) + g(x)\bigr) \leq \sup_{x \in E} f(x) + \sup_{x \in E} g(x), $$ وأعطِ مثالًا تكون فيه المتراجحة قطعية. ولماذا لا يناقض هذا [التمرين 10.5](#exo-b1-reals-5)؟ **حل التمرين 10.6.** من أجل كل $x$: $f(x) + g(x) \leq \sup f + \sup g$؛ وبأخذ [الحد الأعلى](#def-b1-reals-bounds) للطرف الأيسر نجد المتراجحة. ومثالٌ قطعي: $E = \{0, 1\}$ و $f = \mathbf{1}_{\{0\}}$ (قيمتها $1$ عند $0$ و $0$ فيما عداه) و $g = \mathbf{1}_{\{1\}}$: $\sup(f + g) = 1 < 2 = \sup f + \sup g$. ولا تناقض مع [التمرين 10.5](#exo-b1-reals-5): فهناك يتغيّر $a \in A$ و $b \in B$ *مستقلين* أحدهما عن الآخر؛ وهنا يغذّي $x$ نفسه كلًّا من $f$ و $g$ — [فالمجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $\{f(x) + g(x) : x \in E\}$ أصغر من [المجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $\{f(x) + g(y) : x, y \in E\}$. **تمرين 10.7 ★★.** برهن على أن $\sqrt 2 + \sqrt 3$ عدد أصمّ. *(ربّعه واستعمل كون $\sqrt 6$ أصمّ، ويُبرهَن على ذلك عبر [التمرين 6.7](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/6-integer-arithmetic#exo-b1-arith-7).)* **حل التمرين 10.7.** العدد $\sqrt 6$ أصمّ: إذ $6 = 2 \times 3$ ليس مربعًا كاملًا، ويمنع كون $v_2(6q^2) = 1 + 2v_2(q)$ فرديًا أن يكون $6q^2 = r^2$ (كما في [التمرين 6.7](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/6-integer-arithmetic#exo-b1-arith-7)). والآن افترض $x = \sqrt 2 + \sqrt 3 \in \Q$. عندئذ $x^2 = 5 + 2\sqrt 6 \in \Q$، ومنه $\sqrt 6 = \frac{x^2 - 5}{2} \in \Q$: وهذا تناقض. ومنه $\sqrt 2 + \sqrt 3 \notin \Q$. **تمرين 10.8 ★★.** برهن على أن [مجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) الأعداد الناطقة الثنائية $D = \bigl\{\frac{m}{2^n} : m \in \Z,\ n \in \N\bigr\}$ كثيفة في $\R$: أي أن بين كل عددين حقيقيين يقع عدد ناطق ثنائي. **حل التمرين 10.8.** ليكن $x < y$. اختر $n \in \N$ يحقق $2^n > \frac{1}{y - x}$ (أرخميدس: إذ $2^n \geq n + 1$ باستقراء سهل، ومنه تتجاوز قوةٌ ما للعدد $2$ أيَّ عدد حقيقي). عندئذ، كما في برهان [المبرهنة 10.14](#thm-b1-reals-density) مع $2^n$ بدل $n$: يحقق $m = \lfloor 2^n x \rfloor + 1$ المتراجحة $x < \frac{m}{2^n} < y$. ومنه [فالمجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $D$ كثيفة. **تمرين 10.9 ★★★.** لتكن $G$ [زمرة جزئية](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-subgroup) من $(\R, +)$ مع $G \neq \{0\}$. ضع $\alpha = \inf\,(G \cap \intoo{0}{+\infty})$. برهن على: 1. إذا كان $\alpha > 0$ ، فإن $G = \alpha\Z$ ؛ 2. إذا كان $\alpha = 0$ ، فإن $G$ كثيفة في $\R$ . واستنتج أن $\Z + \sqrt 2\,\Z$ كثيفة في $\R$. **حل التمرين 10.9.** 1. افترض $\alpha > 0$ . أولًا، $\alpha \in G$ . افترض العكس: فحسب التمييز بالمقدار $\varepsilon$ [للحد الأدنى](#def-b1-reals-bounds) مع $\varepsilon = \alpha$ ، يوجد $g \in G$ يحقق $\alpha < g < 2\alpha$ (قطعية من اليسار لأن $\alpha \notin G$ )؛ ثم، مع $\varepsilon = g - \alpha$ ، يوجد $h \in G$ يحقق $\alpha < h < g$ . والآن $g - h \in G$ و $0 < g - h < g - \alpha < \alpha$ : أي عنصرٌ من $G \cap \intoo{0}{+\infty}$ دون حدّها الأدنى، وهذا محال. ومنه $\alpha \in G$ ، و $\alpha\Z \subseteq G$ (لأن $G$ [زمرة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-group) ). وبالعكس، من أجل $x \in G$ ، ليكن $k = \lfloor x/\alpha \rfloor$ : عندئذ $x - k\alpha \in G$ و $0 \leq x - k\alpha < \alpha$ ، ويفرض تعريف $\alpha$ أن $x - k\alpha = 0$ . ومنه $G = \alpha\Z$ . 2. افترض $\alpha = 0$ ، وليكن $x < y$ . يوجد $g \in G$ يحقق $0 < g < y - x$ . والمضاعف $kg$ مع $k = \lfloor x/g \rfloor + 1$ يحقق $x < kg \leq x + g < y$ ، و $kg \in G$ : وهذه هي الكثافة. [والمجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $G = \Z + \sqrt 2\,\Z$ [زمرة جزئية](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-subgroup) من $(\R, +)$. وهي ليست من الشكل $\alpha\Z$: وإلا لأعطى $1 = p\alpha$ و $\sqrt 2 = q\alpha$ ($p, q \in \Z$) أن $\sqrt 2 = \frac qp \in \Q$، وهذا تناقض. ومنه، بحكم الثنائية، تكون $G$ كثيفة في $\R$. **تمرين 10.10 ★★★.** من أجل مجموعتين غير خاليتين $A, B$ من الأعداد الحقيقية الموجبة، ليكن $AB = \{ab : a \in A, b \in B\}$. برهن على $\sup(AB) = \sup A \cdot \sup B$ (في الحالة المحدودة)، وبيّن بمثال أن الإيجابية جوهرية. **حل التمرين 10.10.** ليكن $s = \sup A > 0$ و $t = \sup B > 0$. من أجل $a \in A$ و $b \in B$: $ab \leq st$ (بضرب متراجحات بين أعداد *موجبة*). ومن أجل $0 < \varepsilon < \min(s, t)$: اختر $a > s - \varepsilon$ و $b > t - \varepsilon$؛ عندئذ $$ ab > (s - \varepsilon)(t - \varepsilon) = st - \varepsilon(s + t) + \varepsilon^2 > st - \varepsilon (s + t), $$ ويمكن جعل $\varepsilon(s+t)$ صغيرًا كما نشاء: ومنه، حسب التمييز بالمقدار $\varepsilon$ (في الصورة: لا عدد $< st$ يحصر $AB$ من أعلى)، يكون $\sup AB = st$. والإيجابية جوهرية: إذ يعطي $A = B = \{-1, 0\}$ أن $AB = \{0, 1\}$ و $\sup AB = 1$، بينما $\sup A \cdot \sup B = 0 \times 0 = 0$. **تمرين 10.11 ★★.** من أجل [مجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) غير خالية ومحدودة $A \subseteq \R$، عرّف *القطر* $$ \operatorname{diam} A = \sup\,\{\abs{a - a'} : a, a' \in A\} . $$ برهن على أن $\operatorname{diam} A = \sup A - \inf A$، وعلى أن $\intcc{\inf A}{\sup A}$ أصغرُ [فترة](#prop-b1-reals-intervals) مغلقة تحتوي $A$. **حل التمرين 10.11.** اكتب $s = \sup A$ و $i = \inf A$. من أجل $a, a' \in A$: يعطي $a \leq s$ و $a' \geq i$ أن $a - a' \leq s - i$؛ وبالتناظر $\abs{a - a'} \leq s - i$، ومنه يحصر $s - i$ مجموعةَ الفروق من أعلى. ومن أجل $\varepsilon > 0$، اختر $a > s - \frac\varepsilon2$ و $a' < i + \frac\varepsilon2$ ([القضية 10.4](#prop-b1-reals-epsilon) ومرآتها من أجل [الحد الأدنى](#def-b1-reals-bounds)): عندئذ $\abs{a - a'} \geq a - a' > s - i - \varepsilon$. وحسب التمييز بالمقدار $\varepsilon$، $\operatorname{diam} A = s - i$. وكل $a \in A$ يحقق $i \leq a \leq s$، ومنه $A \subseteq \intcc{i}{s}$، وهي [فترة](#prop-b1-reals-intervals) مغلقة طولها $\operatorname{diam} A$. وإذا احتوت [فترة](#prop-b1-reals-intervals) مغلقة $\intcc{u}{v}$ المجموعةَ $A$، فإن $v$ [حاصر أعلى](#def-b1-reals-bounds) و $u$ حاصر أدنى [للمجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $A$، ومنه $u \leq i$ و $v \geq s$: أي $\intcc{i}{s} \subseteq \intcc{u}{v}$. ولذلك تكون $\intcc{i}{s}$ أصغرها. **تمرين 10.12 ★★★.** ليكن $y > 0$ ولتكن $E = \{x \geq 0 : x^2 \leq y\}$. برهن على أن $E$ غير خالية ومحدودة من أعلى، وعلى أن $s = \sup E$ يحقق $s^2 = y$ *(استبعد $s^2 < y$ و $s^2 > y$ بإظهار، في كل حالة، عدد صغير $h > 0$ يناقض تعريف [الحد الأعلى](#def-b1-reals-bounds))*. واستنتج أن لكل $y > 0$ جذرًا تربيعيًا وحيدًا $\sqrt y > 0$ وأن $y \mapsto \sqrt y$ متزايدة على $\intoo{0}{+\infty}$. **حل التمرين 10.12.** $0 \in E$، ومنه $E \neq \emptyset$. وإذا كان $x > \max(1, y)$ فإن $x^2 > x > y$، ومنه [فالمجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $E$ محدودة من أعلى بالمقدار $\max(1, y)$: فيوجد $s = \sup E$ ([المبرهنة 10.2](#thm-b1-reals-sup))، و $s \geq \min(1, y) > 0$ لأن $\min(1, y) \in E$: فعلًا، إذا كان $y \geq 1$ فإن $1^2 = 1 \leq y$، وإذا كان $y < 1$ فإن $y^2 < y$. *الحالة $s^2 < y$ محال.* اختر $0 < h < 1$ يحقق $h < \frac{y - s^2}{2s + 1}$. عندئذ $$ (s + h)^2 = s^2 + 2sh + h^2 \leq s^2 + (2s + 1)h < y , $$ ومنه $s + h \in E$، وهذا يناقض كون $s$ يحصر $E$ من أعلى. *الحالة $s^2 > y$ محال.* اختر $0 < h < s$ يحقق $h < \frac{s^2 - y}{2s}$. عندئذ $(s - h)^2 = s^2 - 2sh + h^2 > s^2 - 2sh > y$؛ وكل $x \in E$ يحقق $x^2 \leq y < (s - h)^2$، ومنه $x < s - h$ (فكلاهما $\geq 0$): فيكون $s - h$ [حاصرًا أعلى](#def-b1-reals-bounds) [للمجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $E$ أصغر من $s$، وهذا يناقض كونه الأصغر. ولذلك $s^2 = y$. والوحدانية: إذا كان $0 < s < s'$ فإن $s^2 < s'^2$، ومنه فلا يمكن أن يكون مربعا جذرين موجبين متمايزين $y$ معًا. والرتابة: إذا كان $0 < y < y'$، فإن $\sqrt y \neq \sqrt{y'}$، و $\sqrt y > \sqrt{y'}$ سيعطي $y > y'$ بالتربيع: ومنه $\sqrt y < \sqrt{y'}$. ## 10.4 مسألة: نشر الأرقام وإيقاع الأعداد الناطقة **مسألة 10.1.** مسألة نهاية الأسبوع — النشر في الأساس $b$: الوجود والوحدانية، والدورية تميّز $\Q$ لكل عدد حقيقي في $\intco{0}{1}$ نشرٌ بالأرقام في كل أساس $b \geq 2$؛ والنشر وحيد ما إن نمنع السلاسل النهائية من الرقم $b - 1$؛ ويكون دوريًا في النهاية إذا وفقط إذا كان العدد ناطقًا. وتبرهن هذه المسألة على الوقائع الثلاث كلها انطلاقًا من بديهية التمام وحدها — لا متتاليات ولا متسلسلات: بل [الحد الأعلى](#def-b1-reals-bounds) [وخاصية أرخميدس](#thm-b1-reals-archimedes) [ودالة الجزء الصحيح](#thm-b1-reals-floor) فقط — وتُختم بحجة كانتور القطرية في صورة الأرقام. وفي كل ما يأتي، $b \geq 2$ عدد صحيح مثبَّت (وهو *الأساس*)، و*الرقم* عنصر من $\intint{0}{b-1}$، وتكون سلسلة الأرقام $(d_n)_{n \geq 1}$ *سليمة* إذا لم تكن مساوية في النهاية للمقدار $b - 1$ (أي: من أجل كل $N$ يوجد $n > N$ يحقق $d_n \leq b - 2$). **الجزء 1 — الأرقام باليد.** القسمة المطوّلة للمقدار $p$ على $q$ في الأساس $b$: اضرب الباقي الحالي في $b$، واقسم على $q$، وسجّل الحاصل رقمًا تاليًا، واحتفظ بالباقي. 1. في الأساس $10$ ، نفّذ الخوارزمية على $\frac 18$ وعلى $\frac 17$ ، مسجّلًا في كل خطوة الرقم *و* الباقي. وتحقق من أن بواقي $\frac 17$ تدور على $1, 3, 2, 6, 4, 5$ وأن الأرقام $142857$ تتكرر بعدئذ إلى الأبد. 2. احسب النشرين في الأساس $2$ للمقدارين $\frac 13$ و $\frac{5}{16}$ ، والنشر في الأساس $3$ للمقدار $\frac 12$ . ولاحظ: عدد واحد ينتهي، والآخران يتكرران — و $\frac 12$ ، وهو وديع جدًا في الأساس $10$ ، يتكرر إلى الأبد في الأساس $3$ . 3. من أجل $x = \frac pq \in \intco{0}{1}$ في الصورة المختزلة، بيّن أن الأرقام التي تنتجها الخوارزمية تكون في النهاية كلها $0$ إذا وفقط إذا انعدم الباقي $b^N p \bmod q$ من أجل $N$ ما، إذا وفقط إذا قسم $q$ قوةً ما $b^N$ ، إذا وفقط إذا قسم كلُّ عامل أوليّ للمقدار $q$ العددَ $b$ . وتحقق: $\frac{1}{20}$ ينتهي في الأساس $10$ ، لا في الأساس $3$ . 4. عرّف *الاقتطاع* $s_n = \lfloor b^n x \rfloor / b^n$ . من أجل $x = \sqrt 2$ و $b = 10$ ، احسب $s_0, \dots, s_4$ بالتحقق في كل خطوة من أن مربعين متتاليين يحيطان بالعدد $2$ (مثلًا $1.4142^2 = 1.99996164 < 2 < 2.00024449 = 1.4143^2$ )، وتحقق من $s_n \leq \sqrt 2 < s_n + 10^{-n}$ في كل مرة. **الجزء 2 — الوجود، انطلاقًا من [الحد الأعلى](#def-b1-reals-bounds).** ثبّت $x \in \intco{0}{1}$ وضع $A_n = \lfloor b^n x \rfloor$ و $d_n = A_n - b\,A_{n-1}$ من أجل $n \geq 1$. 5. بيّن أن $A_0 = 0$ وأن $b\,A_{n-1} \leq A_n \leq b\,A_{n-1} + b - 1$ ؛ واستنتج أن كل $d_n$ رقم. 6. بيّن أن $s_n := A_n b^{-n}$ يحقق $$s_n = \sum_{k=1}^{n} d_k\,b^{-k} \qquad\text{و}\qquad s_n \leq x < s_n + b^{-n} .$$ 7. برهن على $b^n \geq n + 1$ بالاستقراء، ثم بيّن أن $(s_n)$ غير متناقصة وأن $x = \sup_n s_n$ *(استعمل [القضية 10.4](#prop-b1-reals-epsilon) و [المبرهنة 10.10](#thm-b1-reals-archimedes))* . 8. بيّن أن السلسلة $(d_n)$ سليمة: فإذا كان $d_k = b - 1$ من أجل كل $k > N$ ، فاحسب $s_n$ من أجل $n > N$ بمجموع هندسي منته وناقض السؤال 6. 9. وبالعكس، لتكن $(e_n)_{n \geq 1}$ أيَّ سلسلة أرقام سليمة ولتكن $t_n = \sum_{k=1}^n e_k b^{-k}$ . بيّن أن $y = \sup_n t_n$ موجود ويقع في $\intco{0}{1}$ ، وأنه يحقق $t_n \leq y < t_n + b^{-n}$ من أجل كل $n$ *(ومن أجل المتراجحة القطعية، استعمل رقمًا $e_m \leq b - 2$ مع $m > n$)* . واستنتج $\lfloor b^n y \rfloor = b^n t_n$ ، ثم أن أرقام $y$ ، بمعنى السؤال 5، هي بالضبط الأعداد $e_n$ . **الجزء 3 — الوحدانية والترتيب والإزاحة.** 10. اجمع الأسئلة 5–9 في *مبرهنة النشر في الأساس $b$* : التطبيقان $x \mapsto (d_n)$ و $(e_n) \mapsto \sup_n t_n$ تقابلان متعاكسان بين $\intco{0}{1}$ [ومجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) سلاسل الأرقام السليمة. وعلى الخصوص، لا تأخذ سلسلتان سليمتان متمايزتان القيمة نفسها. 11. اسمح الآن بالسلاسل غير السليمة. بيّن أن سلسلة تحقق $e_n = b - 1$ من أجل كل $n > M$ (مع $M \geq 0$ أصغريًا) قيمتُها $t_M + b^{-M}$ ؛ واستنتج أن $0.999\dots = 1$ في الأساس $10$ ، وأن الأعداد الحقيقية ذات التمثيلين بالأرقام هي بالضبط الكسور في الأساس $b$ $m/b^N \in \intoo{0}{1}$ — ولكل عدد حقيقي آخر تمثيل واحد فقط، حتى بين السلاسل غير السليمة. 12. برهن على أن تقابل السؤال 10 يحفظ الترتيب من أجل الترتيب المعجمي: أي إذا اختلفت السلسلتان السليمتان للمقدارين $x$ و $y$ أول ما اختلفتا عند الدليل $m$ ، فإن $x < y$ إذا وفقط إذا كان $d_m < e_m$ . 13. (مبرهنة الإزاحة المساعدة) ليكن $x \in \intco{0}{1}$ ذا الأرقام $(d_n)$ . بيّن أن الجزء الكسري للمقدار $bx$ أرقامه $(d_{n+1})_{n \geq 1}$ *(احسب $\lfloor b^n(bx - A_1)\rfloor$ مستعملًا $\lfloor u - K \rfloor = \lfloor u \rfloor - K$ من أجل عدد صحيح $K$)* ، واستنتج بالاستقراء أن الجزء الكسري للمقدار $b^m x$ أرقامه $(d_{n+m})_{n \geq 1}$ . **الجزء 4 — النطقية هي الدورية.** ليكن $x = \frac pq \in \intco{0}{1}$ في الصورة المختزلة وليكن $r_n = b^n p \bmod q$ باقي القسمة الإقليدية للمقدار $b^n p$ على $q$. 14. بيّن $A_n = \dfrac{b^n p - r_n}{q}$ و $r_n = (b\,r_{n-1}) \bmod q$ . 15. بيّن $d_n = \Bigl\lfloor \dfrac{b\,r_{n-1}}{q} \Bigr\rfloor$ : أي أن كل رقم دالةٌ في الباقي السابق وحده. وهذه بالضبط هي القسمة المطوّلة في الجزء 1. 16. طبّق مبدأ الأدراج ( [النتيجة 2.3](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/2-counting#cor-b1-counting-pigeonhole) ) على $r_0, \dots, r_q$ واستنتج: نشر كل عدد ناطق دوريٌّ في النهاية، وما قبل دوره ودوره على الأكثر $q$ . 17. وبالعكس، افترض أن أرقام $y \in \intco{0}{1}$ دورية *محضًا* : $d_{n+T} = d_n$ من أجل كل $n \geq 1$ . باستعمال مبرهنة الإزاحة المساعدة ووحدانية السؤال 10، بيّن أن الجزء الكسري للمقدار $b^T y$ يساوي $y$ ، واستنتج $(b^T - 1)\,y \in \N$ : فيكون $y$ ناطقًا ومقامه [يقسم](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/6-integer-arithmetic#def-b1-arith-divides) $b^T - 1$ . وتحقق من الآلية على $0.(142857)$ : $142857 \times 7 = 999999$ . 18. عالج الحالة الدورية في النهاية بالإزاحة، واذكر *محك الدورية* : يكون $x \in \intco{0}{1}$ ناطقًا إذا وفقط إذا كان نشره السليم في الأساس $b$ دوريًا في النهاية — في أساس واحد إذا وفقط إذا كان كذلك في كل الأسس. 19. من أجل $x = \frac 1q$ مع $\gcd(q, b) = 1$ ، بيّن أن النشر دوري محضًا وأن أصغر دور له هو أصغر $T \geq 1$ يحقق $b^T \equiv 1 \pmod q$ (وهو الرتبة الضربية للمقدار $b$ بترديد $q$ ). وتحقق من أنه من أجل $q = 7$ و $b = 10$ تجري قوى $10$ بترديد $7$ على $3, 2, 6, 4, 5, 1$ : فالرتبة $6$ ، مطابقةً للسؤال 1. **الجزء 5 — الأرباح والقطر.** 20. ليكن $x^*$ العدد الحقيقي من $\intco{0}{1}$ الذي أرقامه في الأساس $10$ هي $1$ في المواضع المثلثية $\frac{j(j + 1)}{2}$ ( $j \geq 1$ ) و $0$ فيما عداها: $x^* = 0.101001000100001\dots$ بيّن أن سلسلة أرقامه سليمة لكنها ليست دورية في النهاية *(إذ إن دورًا $T$ سيفرض آحادًا بفجوات $T$ على الأكثر، لكن الفجوات تنمو)* ، واستنتج أن $x^*$ عدد أصمّ: عددٌ بُرهن على صممه بالإيقاع المحض. 21. بيّن أن من أجل كل أساس $b$ تكون [المجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $\{m/b^n : m \in \Z, n \in \N\}$ كثيفة في $\R$ (تعميمًا للمقدار [التمرين 10.8](#exo-b1-reals-8) )، وأن لكل عدد ناطق $\frac pq \in \intoo{0}{1}$ نشرًا *منتهيًا* في الأساس $q$ . والعبرة: الانتهاء خاصية للزوج (العدد، الأساس)؛ وأمّا الدورية — أي النطقية — فذاتية. 22. (قطر كانتور) ليكن $k \mapsto x_k$ أيَّ [تطبيق](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) من $\N^*$ إلى $\intco{0}{1}$ . عرّف سلسلة الأرقام $e_k = 1$ إذا اختلف الرقم $k$ للمقدار $x_k$ عن $1$ ، و $e_k = 2$ فيما عدا ذلك. بيّن أن $(e_k)$ سليمة، وأن قيمتها $y$ تقع في $\intco{0}{1}$ ، وأن $y \neq x_k$ من أجل كل $k$ . واستنتج: لا [تطبيق](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) $\N^* \to \intco{0}{1}$ شامل. (ومفردات قابلية العدّ، وموطن هذه المبرهنة الصحيح، في [الفصل 12](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/12-topology-of-the-real-line#ch-b1-topology) .) 23. بيّن أنه إذا تطابق النشران السليمان للمقدارين $x$ و $y$ حتى الدليل $n$ فإن $\abs{x - y} < b^{-n}$ ، وانقض العكس بالمقدارين $x = 0.1$ و $y = 0.0999$ في الأساس $10$ : فتقارب الأعداد لا يفرض تطابق الأرقام. فمن المسؤول من الأعداد الحقيقية عن ذلك؟ 24. نفّذ الجزء 4 على $x = \frac{1}{10}$ في الأساس $b = 2$ : احسب البواقي والأرقام حتى تدور، و استنتج $\frac{1}{10} = (0.0\overline{0011})_2$ ، مع ما قبل دور $1$ ودور $4$ . وفسّر عبر السؤال 3 لماذا لن تساوي أيُّ سلسلة ثنائية منتهية $\frac{1}{10}$ أبدًا — وهو سبب أن $0.1 + 0.2$ بالفاصلة العائمة في الحاسوب ليس $0.3$ بالضبط. 25. توليفة. في جملة واحدة لكلٍّ: أين استعمل البرهان (أ) خاصية التمام، (ب) [خاصية أرخميدس](#thm-b1-reals-archimedes) ، (ج) بند الوحدانية في الجزء الصحيح، (د) مبدأ الأدراج؟ والعبرة: تُرمَّز $\intco{0}{1}$ ترميزًا أمينًا بسلاسل الأرقام السليمة، وتُقرأ النطقية دوريةً — ومع ذلك يفضّل التحليل [الحد الأعلى](#def-b1-reals-bounds) على الأرقام. لماذا؟ (فكّر في جمع سلسلتَي أرقام.) **حل المسألة 10.1.** **1.** من أجل $\frac 18$: $10 = 8 \cdot 1 + 2$ و $20 = 8 \cdot 2 + 4$ و $40 = 8 \cdot 5 + 0$؛ فالأرقام $1, 2, 5$، والباقي $0$، ثم أصفار فقط: $\frac 18 = 0.125$. ومن أجل $\frac 17$: $10 = 7 \cdot 1 + 3$ و $30 = 7 \cdot 4 + 2$ و $20 = 7 \cdot 2 + 6$ و $60 = 7 \cdot 8 + 4$ و $40 = 7 \cdot 5 + 5$ و $50 = 7 \cdot 7 + 1$: فالأرقام $1, 4, 2, 8, 5, 7$، والبواقي $3, 2, 6, 4, 5, 1$. وقد عاد الباقي إلى $r = 1$، ومنه تتكرر الخطوات الست حرفيًا إلى الأبد: $\frac 17 = 0.(142857)$، والبواقي تدور على $1, 3, 2, 6, 4, 5$. **2.** $\frac 13$ في الأساس $2$ ($r_0 = 1$): $2 = 3 \cdot 0 + 2$ و $4 = 3 \cdot 1 + 1$، ويعود $r = 1$: ومنه $\frac 13 = (0.\overline{01})_2$. و $\frac{5}{16}$ في الأساس $2$: $10 = 16 \cdot 0 + 10$ و $20 = 16 \cdot 1 + 4$ و $8 = 16 \cdot 0 + 8$ و $16 = 16 \cdot 1 + 0$: ومنه $\frac{5}{16} = (0.0101)_2$، وهو منته. و $\frac 12$ في الأساس $3$: $3 = 2 \cdot 1 + 1$، ويعود $r = 1$ فورًا: $\frac 12 = (0.\overline{1})_3$. **3.** باقي الخوارزمية بعد $N$ خطوة هو $r_N = b^N p \bmod q$ (ويُبرهن على ذلك صوريًا في السؤال 14؛ وهو هنا ملاحظة أن كل خطوة تضرب الباقي في $b$ وتردّه بترديد $q$). وتكون كل الأرقام اللاحقة $0$ إذا وفقط إذا كان $r_N = 0$ من أجل رتبة ما، أي $q \mid b^N p$؛ ولأن $\gcd(p, q) = 1$، تعطي مبرهنة غاوس المساعدة أن $q \mid b^N$. وإذا كان $q \mid b^N$، فكل عامل أوليّ للمقدار $q$ [يقسم](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/6-integer-arithmetic#def-b1-arith-divides) $b^N$، ومنه [يقسم](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/6-integer-arithmetic#def-b1-arith-divides) $b$ (بحكم الأوّلية). وبالعكس، إذا قسم كلُّ عدد أوليّ من $q = p_1^{a_1} \cdots p_r^{a_r}$ العددَ $b$، فإنه مع $A = \max_i a_i$ [يقسم](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/6-integer-arithmetic#def-b1-arith-divides) كلُّ $p_i^{a_i}$ المقدارَ $b^A$، والمقادير $p_i^{a_i}$ [أولية فيما بينها](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/6-integer-arithmetic#cor-b1-arith-bezout) مثنى مثنى، ومنه $q \mid b^A$. ومن أجل $q = 20 = 2^2 \cdot 5$: [يقسم](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/6-integer-arithmetic#def-b1-arith-divides) العددان الأوليان كلاهما $10$ (فيكون $\frac{1}{20} = 0.05$)، لكن $2 \nmid 3$، ومنه يتكرر $\frac{1}{20}$ إلى الأبد في الأساس $3$. **4.** $1^2 = 1 < 2 < 4 = 2^2$ يعطي $s_0 = 1$. ثم $1.4^2 = 1.96 < 2 < 2.25 = 1.5^2$: $\lfloor 10\sqrt 2 \rfloor = 14$ و $s_1 = 1.4$. وبعده $1.41^2 = 1.9881 < 2 < 2.0164 = 1.42^2$: $s_2 = 1.41$؛ و $1.414^2 = 1.999396 < 2 < 2.002225 = 1.415^2$: $s_3 = 1.414$؛ و $1.4142^2 = 1.99996164 < 2 < 2.00024449 = 1.4143^2$: $s_4 = 1.4142$. وفي كل حالة تقول المتراجحات المعروضة بالضبط $s_n \leq \sqrt 2 < s_n + 10^{-n}$، وهو تعريف الجزء الصحيح للمقدار $10^n \sqrt 2$. **5.** $A_0 = \lfloor x \rfloor = 0$ لأن $0 \leq x < 1$. ومن $A_{n-1} \leq b^{n-1} x < A_{n-1} + 1$، اضرب في $b$: $$ b\,A_{n-1} \leq b^n x < b\,A_{n-1} + b . $$ والعدد الصحيح $b\,A_{n-1}$ هو $\leq b^n x$، ومنه $b\,A_{n-1} \leq A_n$؛ و $b^n x < b\,A_{n-1} + b$ مع كون $b\,A_{n-1} + b$ عددًا صحيحًا يفرض $A_n \leq b\,A_{n-1} + b - 1$. ومنه $0 \leq d_n = A_n - b\,A_{n-1} \leq b - 1$: أي إنه رقم. **6.** بالاختزال التلسكوبي: $d_k b^{-k} = A_k b^{-k} - A_{k-1} b^{-(k-1)}$، ومنه $$ \sum_{k=1}^n d_k b^{-k} = A_n b^{-n} - A_0 = s_n . $$ وبقسمة $A_n \leq b^n x < A_n + 1$ على $b^n$ نجد $s_n \leq x < s_n + b^{-n}$. **7.** بالاستقراء: $b^0 = 1 \geq 1$، و $b^{n+1} = b \cdot b^n \geq 2(n + 1) \geq n + 2$. والرتابة: $s_n - s_{n-1} = d_n b^{-n} \geq 0$. وكل $s_n \leq x$ (السؤال 6): ومنه فالعدد $x$ [حاصر أعلى](#def-b1-reals-bounds) [للمجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $\{s_n\}$. ومن أجل $\varepsilon > 0$، تعطي [خاصية أرخميدس](#thm-b1-reals-archimedes) عددًا $n$ يحقق $n + 1 > \frac1\varepsilon$، ومنه $b^{-n} < \varepsilon$، وعندئذ $s_n > x - b^{-n} > x - \varepsilon$ حسب السؤال 6. وحسب [القضية 10.4](#prop-b1-reals-epsilon)، $x = \sup_n s_n$. **8.** افترض $d_k = b - 1$ من أجل كل $k > N$. من أجل $n > N$، يعطي المجموع الهندسي المنتهي $$ s_n = s_N + (b - 1)\sum_{k=N+1}^{n} b^{-k} = s_N + b^{-N} - b^{-n} . $$ ومنه $x \geq s_n = s_N + b^{-N} - b^{-n}$ من أجل كل $n$؛ وبجعل الحد الأخير يصغر دون أيّ $\varepsilon$ (السؤال 7)، نجد $x \geq s_N + b^{-N}$. لكن السؤال 6 عند الرتبة $N$ يقول $x < s_N + b^{-N}$: وهذا تناقض. فالسلسلة $(d_n)$ سليمة. **9.** محدودة: $t_n \leq (b-1)\sum_{k=1}^n b^{-k} = 1 - b^{-n} < 1$، والمتتالية $(t_n)$ غير متناقصة، ومنه يوجد $y = \sup t_n$ مع $0 \leq y \leq 1$. ثبّت $n$. وأمّا التقدير ذو الطرفين: فإن $t_n \leq y$ جليّ. وبحكم السلامة اختر $m > n$ يحقق $e_m \leq b - 2$. ومن أجل $p \geq m$: $$ t_p - t_n = \sum_{k=n+1}^{p} e_k b^{-k} \leq (b^{-n} - b^{-p}) - b^{-m} < b^{-n} - b^{-m}, $$ إذ يخسر المجموع الأوسط $b^{-m}$ على الأقل أمام القيمة العظمى التي كل أرقامها $(b-1)$؛ ومن أجل $p \leq m$، $t_p \leq t_m \leq t_n + b^{-n} - b^{-m}$ كذلك (بالرتابة مع حالة $p = m$). ومنه فكل $t_p \leq t_n + b^{-n} - b^{-m}$، ومنه $y \leq t_n + b^{-n} - b^{-m} < t_n + b^{-n}$. (ومع $n = 0$: $y < 1$، ومنه $y \in \intco{0}{1}$.) والآن $b^n t_n = \sum_{k \leq n} e_k b^{n-k}$ عدد صحيح، و $b^n t_n \leq b^n y < b^n t_n + 1$: ومنه $\lfloor b^n y \rfloor = b^n t_n$. وأخيرًا أرقام $y$: $d_n(y) = b^n t_n - b \cdot b^{n-1} t_{n-1} = b^n(t_n - t_{n-1}) = e_n$. **10.** يقول السؤال 9: إن (قيمة السلسلة) أرقامها هي (تلك السلسلة)؛ وتقول الأسئلة 5–8: إن (أرقام $x$) تكوّن سلسلة سليمة حدّ اقتطاعاتها الأعلى هو $x$ (السؤال 7). ومنه فالتطبيقان يتركبان إعطاءً [للتطبيق](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) المطابق في الاتجاهين: فهما تقابلان متعاكسان بين $\intco{0}{1}$ والسلاسل السليمة. وإذا تساوت قيمتا سلسلتين سليمتين، فإن [تطبيق](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) دالة الأرقام يجعلهما متساويتين: وهذه هي الوحدانية. وهذه هي *مبرهنة النشر في الأساس $b$*. **11.** ليكن $e_n = b - 1$ من أجل $n > M$ مع $M \geq 0$ أصغريًا. وكما في السؤال 8، $t_n = t_M + b^{-M} - b^{-n}$ من أجل $n \geq M$، ومنه فالقيمة هي $\sup t_n = t_M + b^{-M}$. وإذا كان $M = 0$ فالقيمة هي $0 + 1 = 1$: أي في الأساس $10$، $0.999\dots = 1$ بالضبط — لا بالتقريب. وإذا كان $M \geq 1$، فالأصغرية تعطي $e_M \leq b - 2$، والقيمة هي $$ t_M + b^{-M} = \frac{b^M t_M + 1}{b^M} \in \intoo{0}{1}, $$ وهي كسر في الأساس $b$، ونشره *السليم* هو $e_1 \dots e_{M-1}\,(e_M + 1)\,000\dots$ (فالسلسلة المنتهية سليمة، وقيمتها هي العدد نفسه). وبالعكس، لا بد لعدد حقيقي له تمثيلان من أن يكون أحدهما غير سليم (فالسلامة تثبّت التمثيل، السؤال 10)، ومنه يكون من هذا الشكل. وكل $m/b^N \in \intoo{0}{1}$، مكتوبًا بآخر رقم غير معدوم $d_N$، له فعلًا التوأم غير السليم $d_1 \dots d_{N-1}(d_N - 1)(b-1)(b-1)\dots$: فالكسور في الأساس $b$ وحدها تحمل اسمين، وكل عدد حقيقي آخر يحمل اسمًا واحدًا. **12.** لنقل إن السلسلتين تتطابقان حتى $m - 1$، باقتطاع مشترك $P = s_{m-1}$، مع $d_m < e_m$. فحسب السؤال 9 (التقدير الأعلى القطعي عند الرتبة $m$)، $x < P + d_m b^{-m} + b^{-m} = P + (d_m + 1)b^{-m} \leq P + e_m b^{-m} \leq y$، والخطوة الأخيرة لأن $P + e_m b^{-m}$ هو اقتطاع $y$ أي $t_m \leq y$. ومنه $d_m < e_m \implies x < y$؛ وبتبادل الدورين، $e_m < d_m \implies y < x$؛ ولأن السلسلتين تختلفان عند $m$، فإن إحدى الحالتين تتحقق. ومنه يتبع الاتجاهان. **13.** ليكن $z = bx - A_1 \in \intco{0}{1}$ (فعلًا $A_1 \leq bx < A_1 + 1$). من أجل $n \geq 0$: $b^n z = b^{n+1} x - b^n A_1$ مع $b^n A_1 \in \Z$، ومنه، حسب $\lfloor u - K \rfloor = \lfloor u \rfloor - K$ ($K$ عدد صحيح)، $$ A_n(z) = A_{n+1}(x) - b^n A_1(x) . $$ ومنه $d_n(z) = A_n(z) - b\,A_{n-1}(z) = A_{n+1} - b^n A_1 - b\,A_n + b^n A_1 = d_{n+1}(x)$. ولذلك يحمل الجزء الكسري للمقدار $bx$ الأرقامَ المزاحة؛ وبتكرار ذلك $m$ مرة، يكون للجزء الكسري للمقدار $b^m x$ الأرقامُ $(d_{n+m})_{n \geq 1}$. **14.** القسمة الإقليدية: $b^n p = q\,Q_n + r_n$ مع $0 \leq r_n < q$. اقسم على $q$: $b^n x = Q_n + \frac{r_n}{q}$ مع $0 \leq \frac{r_n}{q} < 1$، ومنه $Q_n = \lfloor b^n x \rfloor = A_n$، فينتج $A_n = \frac{b^n p - r_n}{q}$. وأمّا العلاقة التراجعية: $b^n p = b(q\,A_{n-1} + r_{n-1}) = q\,(b\,A_{n-1}) + b\,r_{n-1}$، ومنه يختلف $b^n p$ عن $b\,r_{n-1}$ بمضاعف للمقدار $q$: $r_n = (b\,r_{n-1}) \bmod q$. **15.** اقسم $b\,r_{n-1}$ على $q$: $b\,r_{n-1} = q\,c + r_n$ مع $c = \lfloor b\,r_{n-1}/q \rfloor$. وبالتعويض في معروضة السؤال 14: $b^n p = q(b\,A_{n-1} + c) + r_n$، وتحدّد وحدانية القسمة الإقليدية أن $A_n = b\,A_{n-1} + c$، أي $d_n = c = \lfloor b\,r_{n-1}/q \rfloor$. فالرقم $n$ لا يتعلق إلا بالمقدار $r_{n-1}$ — وهي [حلقة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-ring) القسمة المطوّلة في الجزء 1، مصادَقًا عليها الآن. **16.** تأخذ البواقي $r_0, \dots, r_q$ وعددها $q + 1$ قيمًا في [مجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) من $q$ عنصرًا هي $\intint{0}{q-1}$: ومنه، حسب مبدأ الأدراج ([النتيجة 2.3](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/2-counting#cor-b1-counting-pigeonhole))، يتطابق باقيان، وليكن $r_N = r_{N+T}$ مع $0 \leq N < N + T \leq q$. ولأن $r_n$ يحدّد $r_{n+1}$ (السؤال 14)، يعطي الاستقراء $r_{n+T} = r_n$ من أجل كل $n \geq N$؛ ولأن $r_{n-1}$ يحدّد $d_n$ (السؤال 15)، يكون $d_{n+T} = d_n$ من أجل كل $n \geq N + 1$. فنشر كل عدد ناطق دوريّ في النهاية، وما قبل دوره $\leq q$ ودوره $\leq q$. **17.** أرقام الجزء الكسري للمقدار $b^T y$ هي $(d_{n+T}) = (d_n)$ (مبرهنة الإزاحة المساعدة، ثم الدورية المحضة): أي السلسلة السليمة نفسها للعدد $y$. وحسب السؤال 10 تتساوى القيمتان: $b^T y - \lfloor b^T y \rfloor = y$، ومنه $(b^T - 1)\,y = \lfloor b^T y \rfloor = A_T \in \N$ و $$ y = \frac{A_T}{b^T - 1} , $$ فهو ناطق ومقامه [يقسم](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/6-integer-arithmetic#def-b1-arith-divides) $b^T - 1$؛ والبسط $A_T$ هو العدد الصحيح الذي أرقامه في الأساس $b$ هي $d_1 \dots d_T$. وللتحقق: $0.(142857) = \frac{142857}{999999}$، و $142857 \times 7 = 999999$، ومنه فهذا هو $\frac 17$. **18.** إذا كان $d_{n+T} = d_n$ من أجل $n > N$، فإن الجزء الكسري $z$ للمقدار $b^N x$ أرقامه $(d_{N+n})_{n\geq1}$ (مبرهنة الإزاحة المساعدة)، وهي دورية محضًا؛ وحسب السؤال 17، $z \in \Q$. عندئذ يعطي $b^N x = A_N + z$ أن $x = (A_N + z)/b^N \in \Q$. ومع السؤال 16: يكون $x$ ناطقًا $\iff$ النشر دوريّ في النهاية. والطرف الأيمن يذكر الأساس، والأيسر لا يذكره: فالدورية في أساس واحد تكافئ النطقية، ومنه تكافئ الدورية في كل أساس. **19.** من أجل $x = \frac 1q$، يكون $r_n = b^n \bmod q$. وإذا كان $\gcd(b, q) = 1$، فإن $r_T = r_0 = 1$ إذا وفقط إذا كان $b^T \equiv 1 \pmod q$؛ ومثل هذا $T$ موجود (فمبدأ الأدراج يعطي $b^i \equiv b^j$ مع $i < j$، والعدد $b$ قابل للقلب بترديد $q$، ومنه $b^{j-i} \equiv 1$)، وأصغرها — وهو الرتبة الضربية — يجعل البواقي، ومنه الأرقام، دورية محضًا بدور $T$. ولا دور أصغر ممكن: إذ إن دورًا $T'$ سيعطي $(b^{T'} - 1)\frac1q \in \N$ (السؤال 17)، أي $q \mid b^{T'} - 1$. ومن أجل $q = 7$ و $b = 10$: $10 \equiv 3$ و $10^2 \equiv 2$ و $10^3 \equiv 6$ و $10^4 \equiv 4$ و $10^5 \equiv 5$ و $10^6 \equiv 1 \pmod 7$: فالرتبة $6$، وفعلًا دور $\frac 17$ ستة. **20.** في السلسلة أرقام $0$ لا تُحصى (فأرقام $x^*$ معظمها أصفار)، ومنه فهي سليمة، والعدد $x^*$ معرَّف جيدًا (السؤال 9). افترض أن الأرقام دورية في النهاية بدور $T$ بعد $N$. وهناك أرقام لا تُحصى تساوي $1$ (واحد لكل عدد مثلثي)، ومنه يقع $1$ ما في موضع $j > N$؛ عندئذ تضع الدورية $1$ في كل موضع $j + kT$: أي إنه ابتداءً من $j$ تكون الفجوات بين الأرقام $1$ المتتالية $T$ على الأكثر. لكن الأرقام $1$ تقع بالضبط عند الأعداد المثلثية، وفجواتها المتتالية $\frac{(j+1)(j+2)}{2} - \frac{j(j+1)}{2} = j + 1$ تتجاوز $T$ في النهاية: وهذا تناقض. فهي ليست دورية في النهاية، ومنه، حسب السؤال 18، $x^* \notin \Q$ — أي صممٌ يُقرأ من إيقاع الأرقام وحده. **21.** من أجل $x < y$، يعطي السؤال 7 عددًا $n$ يحقق $b^{-n} < y - x$؛ ضع $m = \lfloor b^n x \rfloor + 1$. عندئذ $b^n x < m \leq b^n x + 1 < b^n y$، ومنه $x < \frac{m}{b^n} < y$: وهذه هي الكثافة، من أجل كل أساس دفعة واحدة (ويستعيد $b = 2$ المقدارَ [التمرين 10.8](#exo-b1-reals-8)). ومن أجل $\frac pq \in \intoo{0}{1}$ في الأساس $b = q$: يكون الرقم الأول $\lfloor q \cdot \frac pq \rfloor = p$ والجزء الكسري للمقدار $q \cdot \frac pq = p$ هو $0$: ومنه تنعدم كل الأرقام اللاحقة، وهو نشر منته $\frac pq = (0.p)_q$. فالانتهاء يتعلق بالأساس؛ وأمّا الدورية — أي النطقية — فلا (السؤال 18). **22.** كل $e_k \in \{1, 2\}$ رقمٌ في الأساس $10$، ولا تنتهي السلسلة أبدًا بآحاد كلها $9$: فهي سليمة. وقيمتها $y$ تقع في $\intco{0}{1}$ وأرقامها هي بالضبط $(e_k)$ (السؤال 9). ثبّت $k$: الرقم $k$ للمقدار $y$ هو $e_k$، وقد اختير $\neq$ الرقم $k$ للمقدار $x_k$، ومنه تختلف السلسلتان السليمتان للمقدارين $y$ و $x_k$، ومنه $y \neq x_k$ (السؤال 10: فالترميز متباين). ومنه فالعدد $y$ ليس في أيّ قائمة: فلا [تطبيق](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) $\N^* \to \intco{0}{1}$ شامل. فالأعداد الحقيقية، خلافًا للأعداد الناطقة، لا يمكن تعدادها — وهو عدم قابلية العدّ، الذي يطوّر نظريتَه [الفصل 12](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/12-topology-of-the-real-line#ch-b1-topology). **23.** إذا تطابق النشران حتى $n$، فيكون للمقدارين $x$ و $y$ الاقتطاعُ نفسه $s_n$، ويضع السؤال 6 كليهما في $\intco{s_n}{s_n + b^{-n}}$، وهي [فترة](#prop-b1-reals-intervals) طولها $b^{-n}$: ومنه $\abs{x - y} < b^{-n}$. وأمّا العكس: فإن $x = 0.1$ و $y = 0.0999$ (وهما منتهيان، ومنه سليمان) يحققان $\abs{x - y} = 10^{-4} < 10^{-3}$، ومع ذلك يختلف نشراهما عند أول رقم. والمسؤولون هم الكسور في الأساس $b$ من السؤال 11: فبجوارها تقلب حركة ضئيلة كلَّ رقم معروض ($0.0999 \to 0.1000$)، لأنها بالضبط الأعداد الحقيقية التي يتربّص عندها التوأم غير السليم. **24.** $p = 1$ و $q = 10$ و $b = 2$ و $r_0 = 1$: $2 = 10 \cdot 0 + 2$ و $4 = 10 \cdot 0 + 4$ و $8 = 10 \cdot 0 + 8$ و $16 = 10 \cdot 1 + 6$ و $12 = 10 \cdot 1 + 2$ — و $r_5 = 2 = r_1$: ومنه تدور البواقي على $(2, 4, 8, 6)$ ابتداءً من الدليل $1$. والأرقام: $d_1 = 0$، ثم الكتلة المتكررة $d_2 d_3 d_4 d_5 = 0, 0, 1, 1$: $$ \tfrac{1}{10} = (0.0\overline{0011})_2 , $$ فما قبل الدور $1$ والدور $4$. وحسب السؤال 3، سيحتاج نشرٌ منته في الأساس $2$ إلى أن [يقسم](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/6-integer-arithmetic#def-b1-arith-divides) كل عدد أوليّ للعدد $10$ العددَ $2$؛ والعدد الأوليّ $5$ يأبى ذلك. ومنه فالعدد $0.1$ *غير* قابل للتمثيل بأيّ سلسلة ثنائية منتهية — فالحاسوب الذي يخزّن بتّات منتهية العدد لا يحفظ إلا اقتطاعًا، وأخطاء الاقتطاع المتراكمة هي سبب اختلاف $0.1 + 0.2$ بالفاصلة العائمة عن $0.3$ في البتّات الأخيرة. **25.** (أ) أنتجت خاصية التمام القيم: $x = \sup s_n$ و $y = \sup t_n$ (السؤالان 7 و 9) — فعلى $\Q$ وحده، لم تكن السلسلة السليمة للمقدار $\sqrt 2$ لتسمّي شيئًا. (ب) جعلت [خاصية أرخميدس](#thm-b1-reals-archimedes) $b^{-n}$ أصغر في النهاية من أيّ $\varepsilon$، ففرضت على الاقتطاعات أن تحاصر حدَّها الأعلى (السؤالان 7 و 21). (ج) حدّد بند الوحدانية في الجزء الصحيح أن $Q_n = A_n$ في السؤال 14 وشرّع كل استخراج رقم $\lfloor u - K \rfloor = \lfloor u \rfloor - K$ (السؤال 13). (د) ومبدأ الأدراج، مطبَّقًا على بواقٍ منتهية العدد، هو المحرّك الوحيد للدورية (السؤال 16). والعبرة: ترمّز السلاسل السليمة $\intco{0}{1}$ ترميزًا أمينًا وتحوّل النطقية إلى إيقاع مرئي؛ لكن جمع سلسلتَي أرقام يقتضي احتفاظات تنتشر من لانهاية اليمين، ومنه فلا قاعدة ذات مراحل منتهية تحسب حتى الرقم الأول لمجموع — بينما تعالج واجهة [الحد الأعلى](#def-b1-reals-bounds) في [المبرهنة 10.2](#thm-b1-reals-sup) التحليلَ كله ببديهية واحدة. فالأرقام *صورة* رائعة للمقدار $\R$؛ [والحد الأعلى](#def-b1-reals-bounds) هو *محرّكه*.