---
title: "طوبولوجيا المستقيم الحقيقي"
book: "الرياضيات الجامعية — السنة 1"
subject: math
language: ar
chapter: 12
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/12-topology-of-the-real-line
---

# الفصل 12 — طوبولوجيا المستقيم الحقيقي

تحيل النهايات باستمرار إلى المفردات الهندسية نفسها: نقاط «قريبة من» [مجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets)، ومجموعات «بلا تسرّب عند [الحافة](#def-b1-topology-closure)»، وفترات لا تستطيع المتتاليات الفرار منها. ويثبّت هذا الفصل تلك المفردات — المجموعات [المفتوحة](#def-b1-topology-open) [والمغلقة](#def-b1-topology-closed)، والداخل [والغلق](#def-b1-topology-closure)، [والكثافة](#def-b1-topology-dense) — على المستقيم الحقيقي، ويبرهن على تراص القطع في صورته التتالية. والمفاهيم نفسها، في الفضاءات المعيارية، مادة السنة الثانية؛ وأمّا على $\R$ فهي في المتناول ونافعة فورًا من أجل [الفصل 13](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/13-limits-and-continuity#ch-b1-continuity).

## 12.1 المجموعات المفتوحة والمجموعات المغلقة

**تعريف 12.1 (الجوار والمجموعة المفتوحة).**

تكون [المجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $V \subseteq \R$ *جوارًا* للنقطة $x \in \R$ إذا احتوت [فترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) $\intoo{x - r}{x + r}$ من أجل $r > 0$ ما. وتكون [المجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $U \subseteq \R$ *مفتوحة* إذا كانت جوارًا لكل نقطة من نقطها:

$$
\forall x \in U,\ \exists r > 0, \quad \intoo{x - r}{x + r}
\subseteq U .
$$

**مثال 12.2.**

الفترات [المفتوحة](#def-b1-topology-open) [مفتوحة](#def-b1-topology-open): فمن أجل $x \in \intoo{a}{b}$، خذ $r = \min(x -
a,\, b - x) > 0$. وأنصاف المستقيمات $\intoo{a}{+\infty}$ [مفتوحة](#def-b1-topology-open)؛ و $\R$ و $\emptyset$ مفتوحتان (والثانية بالمجّان). وأمّا $\intcc{0}{1}$ فهي *ليست* [مفتوحة](#def-b1-topology-open): إذ لا [فترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) حول $0$ تبقى بالداخل.

**قضية 12.3 (استقرار المجموعات المفتوحة).**

كل اتحاد لمجموعات [مفتوحة](#def-b1-topology-open) مفتوح؛ وكل تقاطع *منته* لمجموعات [مفتوحة](#def-b1-topology-open) مفتوح. وأمّا التقاطعات غير المنتهية فقد تفشل: $\bigcap_{n \geq 1} \intoo{-\frac 1n}{\frac 1n} = \{0\}$، وهي ليست [مفتوحة](#def-b1-topology-open).

**برهان.** الاتحاد: إذا كان $x \in \bigcup_i U_i$، فإن $x \in U_{i_0}$ من أجل $i_0$ ما، وتقع [الفترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) التي تعطيها $U_{i_0}$ داخل الاتحاد. والتقاطع المنتهي: إذا كان $x \in U_1 \cap \dots \cap U_k$، فخذ $r = \min(r_1,
\dots, r_k) > 0$ لأنصاف الأقطار التي تعطيها كل $U_j$. وأمّا المثال المضاد: فإن أيّ [فترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) حول $0$ تحتوي $\frac{1}{n}$ ما (أرخميدس)، ومنه تخرج من التقاطع. ∎

**مثال 12.4 (المصادقة على الانفتاح بأنصاف أقطار صريحة).**

هل $U = \{x \in \R : x^2 > 2\}$ [مفتوحة](#def-b1-topology-open)؟ نعم، ويمكن كتابة الشهادة: $U = \intoo{-\infty}{-\sqrt2} \cup
\intoo{\sqrt2}{+\infty}$، وهي اتحاد نصفَي مستقيم مفتوحين، [مفتوحة](#def-b1-topology-open) حسب [القضية 12.3](#prop-b1-topology-openstable). وبدلًا من ذلك، حاجج نقطةً نقطة: فمن أجل $x \in U$ مع $x > \sqrt 2$، خذ $r = x -
\sqrt2 > 0$: فكل $y \in \intoo{x - r}{x + r}$ يحقق $y >
\sqrt 2$، ومنه $y^2 > 2$؛ وبالتناظر على اليسار. والأسلوبان كلاهما مهمّ — فالبنيوي (ابنِ من مجموعات [مفتوحة](#def-b1-topology-open) معلومة باتحادات وتقاطعات منتهية) أقدر على التوسّع، والأسلوب بالمقدار $\varepsilon$ ينفع حين لا تُرى أيّ بنية؛ و سوف يضيف [الفصل 13](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/13-limits-and-continuity#ch-b1-continuity) ثالثًا، هو الأقوى: [فالمجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $U$ هي [الصورة العكسية](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) [للمجموعة المفتوحة](#def-b1-topology-open) $\intoo{2}{+\infty}$ [بالتطبيق](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) المتصل $x \mapsto x^2$.

**تعريف 12.5 (المجموعة المغلقة).**

تكون [المجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $F \subseteq \R$ *مغلقة* إذا كانت متممتها $\R \setminus F$ [مفتوحة](#def-b1-topology-open). وحسب دي مورغان و [القضية 12.3](#prop-b1-topology-openstable): يكون كل تقاطع لمجموعات مغلقة مغلقًا، وتكون الاتحادات المنتهية للمجموعات المغلقة مغلقة.

**مبرهنة 12.6 (التمييز التتالي للمجموعات المغلقة).**

تكون $F$ [مغلقة](#def-b1-topology-closed) إذا وفقط إذا: كانت النهاية $\ell$ تنتمي إلى $F$ من أجل كل متتالية $(u_n)$ من نقاط $F$ تتقارب إلى $\ell \in \R$ ما. («[مغلقة](#def-b1-topology-closed)» $=$ «مستقرة بالنهايات».)

**برهان.** ($\Rightarrow$) لتكن $F$ [مغلقة](#def-b1-topology-closed) و $u_n \in F$ و $u_n \to \ell$، و لنفترض $\ell \notin F$. فالمتممة [مفتوحة](#def-b1-topology-open): ومنه توجد $\intoo{\ell - r}{\ell + r}$ تتجنّب $F$. لكن التقارب يضع $u_n$ في تلك [الفترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) من أجل $n$ كبير: وهذا تناقض مع $u_n \in F$.

($\Leftarrow$) افترض أن $F$ ليست [مغلقة](#def-b1-topology-closed): فالمتممة ليست [مفتوحة](#def-b1-topology-open)، ومنه توجد $x \notin F$ لا [فترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) $\intoo{x - r}{x + r}$ لها داخل المتممة؛ وبأخذ $r = \frac{1}{n+1}$، اختر $u_n \in F$ يحقق $\abs{u_n - x} < \frac{1}{n+1}$. عندئذ $u_n \in F$ و $u_n \to x \notin
F$: فتفشل الخاصية التتالية. ∎

**مثال 12.7 (الاختبار التتالي في الاتجاهين).**

*[مغلقة](#def-b1-topology-closed):* $F = \Z \cup \bigl\{n + \frac1n : n \geq 2\bigr\}$. لتكن $u_k \in F$ مع $u_k \to \ell$. النافذة $\intcc{\ell -
1}{\ell + 1}$ لا تحتوي إلا عددًا منتهيًا من نقاط $F$ (عددًا منتهيًا من الأعداد الصحيحة، وعددًا منتهيًا من المقادير $n + \frac1n$)، وبعد رتبة ما تقع كل $u_k$ فيها: فتأخذ المتتالية عندئذ عددًا منتهيًا من القيم، ولكونها متقاربة تصير ثابتة في النهاية (كما في [التمرين 12.3](#exo-b1-topology-3)): ومنه $\ell \in F$. فهي [مغلقة](#def-b1-topology-closed) — وإن كانت $F$ تحتوي أزواج نقاط على بعد $\frac1n$، أي قريبة كما نشاء.

*ليست [مغلقة](#def-b1-topology-closed):* $G = \bigl\{\frac1m + \frac1n : m, n \in
\N^*\bigr\}$. المتتالية $\frac1n + \frac1n \in G$ تؤول إلى $0$، و $0 \notin G$ (لأنه مجموع حدين موجبين): فيفشل الاختبار التتالي، ومنه [فالمجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $G$ ليست [مغلقة](#def-b1-topology-closed). ومن الطريف أن كل $\frac1m$ *ينتمي* فعلًا إلى $\overline G \cap G$: إذ $\frac1m = \frac{1}{m+1} + \frac{1}{m(m+1)} \in G$. والفكرة النافذة: للبرهان على الانغلاق، اضبط *كل* المتتاليات المتقاربة دفعة واحدة (عادةً عبر تناهٍ موضعي أو حجة صيغة [مغلقة](#def-b1-topology-closed))؛ ولنقضه تكفي متتالية هاربة واحدة مُحسَنة الاختيار — فعدم التناظر يجعل الاتجاه السالب هو السهل، ولكل الأمثلة المضادة في هذا الفصل هذا الشكل ذو السطر الواحد.

**مثال 12.8.**

القطع $\intcc{a}{b}$، وأنصاف المستقيمات $\intco{a}{+\infty}$، والمجموعات المنتهية، و $\Z$ (لأن متتالية متقاربة من الأعداد الصحيحة ثابتة في النهاية) كلها [مغلقة](#def-b1-topology-closed). وأمّا $\intoc{0}{1}$ فليست [مفتوحة](#def-b1-topology-open) (إذ تفشل عند $1$) ولا [مغلقة](#def-b1-topology-closed) ($\frac 1n \to 0 \notin$ [المجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets)): فأكثر المجموعات ليست هذه ولا تلك. و $\R$ و $\emptyset$ مفتوحتان ومغلقتان معًا — وهما المجموعتان الجزئيتان الوحيدتان من $\R$ كذلك ([التمرين 12.9](#exo-b1-topology-9)).

**مثال 12.9 (مجموعة مفتوحة مركّبة من قطع لا تُحصى).**

$\R \setminus \Z = \bigcup_{n \in \Z} \intoo{n}{n+1}$: أي اتحاد غير منته لفترات [مفتوحة](#def-b1-topology-open)، وهو مفتوح حسب [القضية 12.3](#prop-b1-topology-openstable) — ومنه [فالمجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $\Z$ [مغلقة](#def-b1-topology-closed) دون أيّ حاجة إلى حجة تتالية. ولاحظ تقسيم العمل في قواعد الاستقرار: قد تكون *اتحادات* المجموعات [المفتوحة](#def-b1-topology-open) كيفية (فكل نقطة لا تحتاج إلا إلى شهادتها الخاصة، تعطيها [المجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) الوحيدة التي تحتويها)، بينما يجب أن تبقى *التقاطعات* منتهية (إذ يجب تقاطع الشهادات، وقد تتقلص أنصاف أقطار لا تُحصى إلى العدم). وسوف يبيّن [التمرين 12.10](#exo-b1-topology-10) أن هذا المثال هو الشكل العام: فكل [مجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) جزئية [مفتوحة](#def-b1-topology-open) من $\R$ اتحادٌ قابل للعدّ ومنفصل لفترات [مفتوحة](#def-b1-topology-open).

## 12.2 الداخل والغلق والكثافة

**تعريف 12.10 (الداخل والغلق والحافة).**

لتكن $A \subseteq \R$.

- تكون النقطة $x$ *داخلية* [للمجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $A$ إذا كانت $A$ [جوارًا](#def-b1-topology-open) للنقطة $x$ ؛ و *الداخل* $\mathring{A}$ هو [مجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) النقاط الداخلية.
- تكون النقطة $x$ *ملاصقة* [للمجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $A$ إذا كان كل [جوار](#def-b1-topology-open) للنقطة $x$ يقاطع $A$ ؛ و *الغلق* $\overline{A}$ هو [مجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) النقاط الملاصقة.
- و *الحافة* هي $\partial A = \overline A \setminus  \mathring A$ .

وعندئذ $\mathring A \subseteq A \subseteq \overline A$.

**قضية 12.11 (الخصائص الرئيسة).**

1. $\mathring A$ أكبر [مجموعة مفتوحة](#def-b1-topology-open) محتواة في $A$ ؛ وتكون $A$ [مفتوحة](#def-b1-topology-open) إذا وفقط إذا كان $A = \mathring A$ .
2. $\overline A$ أصغر [مجموعة مغلقة](#def-b1-topology-closed) تحتوي $A$ ؛ وتكون $A$ [مغلقة](#def-b1-topology-closed) إذا وفقط إذا كان $A = \overline A$ .
3. (التمييز التتالي للملاصقة) $x \in \overline  A$ إذا وفقط إذا كانت $x$ نهاية متتالية من نقاط $A$ .
4. التتميم يبادل بين المفهومين: $\R \setminus  \overline A = \bigl(\R \setminus A\bigr)^{\!\circ}$ .

**برهان.** (4) $x \notin \overline A$ $\iff$ يتجنّب جوارٌ ما للنقطة $x$ المجموعةَ $A$ $\iff$ تقع [فترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) ما حول $x$ في $\R \setminus A$ $\iff$ تكون $x$ داخلية [للمجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $\R \setminus A$.

(1) [المجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $\mathring A$ [مفتوحة](#def-b1-topology-open): فإذا كان $x \in \mathring A$، فتوجد $\intoo{x-r}{x+r} \subseteq A$؛ ولكل نقطة $y$ من تلك [الفترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) [فترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) أصغر حولها داخلها، ومنه داخل $A$: [فالفترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) كلها في $\mathring A$. وكل [مفتوحة](#def-b1-topology-open) $U \subseteq A$ تتألف من نقاط داخلية [للمجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $A$، ومنه $U \subseteq \mathring A$: فهي الأكبر. ويتبع تمييز الانفتاح.

(2) بالتفصيل. حسب (4)، تكون $\R \setminus \overline A$ داخلَ $\R \setminus A$، وهي [مفتوحة](#def-b1-topology-open) حسب (1): ومنه [فالمجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $\overline A$ [مغلقة](#def-b1-topology-closed)، وهي تحتوي $A$. والأصغرية: لتكن $F \supseteq A$ [مغلقة](#def-b1-topology-closed). عندئذ $\R \setminus F$ [مفتوحة](#def-b1-topology-open) ومحتواة في $\R
\setminus A$، ومنه، حسب الأكبرية في (1)،

$$
\R \setminus F \subseteq \bigl(\R \setminus A\bigr)^{\!\circ}
= \R \setminus \overline A ,
$$

وبأخذ المتممات مرة أخرى: $\overline A \subseteq F$. ومنه [فالمجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $\overline A$ أصغر حاوية [مغلقة](#def-b1-topology-closed). وأمّا التمييز: فإذا كان $A = \overline A$ فإن $A$ [مغلقة](#def-b1-topology-closed) (وقد بُيّن ذلك للتوّ)؛ وإذا كانت $A$ [مغلقة](#def-b1-topology-closed)، فهي نفسها [مجموعة مغلقة](#def-b1-topology-closed) تحتوي $A$، ومنه تفرض الأصغرية أن $\overline A \subseteq A$، ومنه المساواة.

(3) إذا كان $u_n \in A$ و $u_n \to x$: فكل [جوار](#def-b1-topology-open) للنقطة $x$ يحتوي عنصرًا $u_n \in A$، ومنه $x \in \overline A$. وبالعكس، إذا كان $x \in
\overline A$: فكل [فترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) $\intoo{x - \frac{1}{n+1}}{x +
\frac{1}{n+1}}$ تقاطع $A$ عند $u_n$ ما، و $u_n \to x$. ∎

**مثال 12.12.**

$\overline{\intoo{0}{1}} = \intcc{0}{1}$؛ $\mathring{\intcc{0}{1}} = \intoo{0}{1}$؛ $\partial\intoo{0}{1} =
\{0, 1\}$. ومن أجل $A = \{\frac 1n : n \in \N^*\}$: $\overline A = A
\cup \{0\}$ و $\mathring A = \emptyset$ و $\partial A = A \cup \{0\}$. ومن أجل $\Q$: [بالكثافة](#def-b1-topology-dense) ([المبرهنة 10.14](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#thm-b1-reals-density)) يكون كل عدد حقيقي ملاصقًا [للمجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $\Q$، ومنه $\overline{\Q} = \R$ بينما $\mathring{\Q} =
\emptyset$ (لأن كل [فترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) تحتوي أعدادًا صماء): ومنه [فحافة](#def-b1-topology-closure) $\Q$ هي $\R$ كلها.

**مثال 12.13 (تشريح كامل).**

لتكن $A = \intoc{0}{1} \,\cup\, \bigl(\Q \cap \intoo{2}{3}\bigr)
\,\cup\, \{4\}$. نحسب المجموعات الثلاث في [التعريف 12.10](#def-b1-topology-closure)، قطعةً قطعة.

*الداخل.* لكل نقطة من $\intoo{0}{1}$ [فترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) كاملة داخل $A$: فهي داخلية. وأمّا النقطة $1$: فكل [فترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) حولها تتسرّب يمين $1$، حيث لا شيء في $A$ حتى $2$: فهي ليست داخلية. ولا نقطة من $\Q \cap \intoo{2}{3}$ داخلية (لأن كل [فترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) تحتوي أعدادًا صماء، [المبرهنة 10.14](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#thm-b1-reals-density))؛ وكذلك النقطة المعزولة $4$. ومنه $\mathring A = \intoo{0}{1}$.

*[الغلق](#def-b1-topology-closure).* نهايات نقاط $A$: كل $\intcc{0}{1}$ ($0 = \lim \frac1n$ مع $\frac 1n \in A$)؛ وكل $\intcc{2}{3}$ (لأن كل عدد حقيقي هناك نهاية أعداد ناطقة من [الفترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals)، [بالكثافة](#def-b1-topology-dense) مرة أخرى)؛ والنقطة $4$. ولا شيء آخر: فلأيّ نقطة خارج $\intcc{0}{1} \cup \intcc{2}{3} \cup \{4\}$ مسافة موجبة إلى تلك [المجموعة المغلقة](#def-b1-topology-closed). ومنه $\overline A = \intcc{0}{1} \cup
\intcc{2}{3} \cup \{4\}$.

*[الحافة](#def-b1-topology-closure).* $\partial A = \overline A \setminus \mathring A
= \{0, 1\} \cup \intcc{2}{3} \cup \{4\}$.

والفكرة النافذة: تعمل العمليات الثلاث *موضعيًا* — فكل قطعة من $A$ تسهم حسب طبيعتها هي ([فالفترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) الصلبة تحتفظ بداخلها، والقطعة [الكثيفة](#def-b1-topology-dense) المسامية تتحول كلها إلى [حافة](#def-b1-topology-closure)، والنقطة المعزولة [حافة](#def-b1-topology-closure) محضة)، ورسمٌ من سطرين [للمجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $A$ يتنبّأ بكل جواب قبل كتابة أيّ برهان.

**ملاحظة 12.14 (مزالق شائعة في التفكير النقطي-المجموعي).**

(أ) *«ليست [مفتوحة](#def-b1-topology-open)» لا تعني «[مغلقة](#def-b1-topology-closed)»*: فأكثر المجموعات ليست هذه ولا تلك ($\intoc{0}{1}$)، ومجموعتان هما الاثنتان معًا ($\emptyset$ و $\R$) — فالمفتوح والمغلق ليسا نقيضين بل مزدوجان بالتتميم. (ب) *الداخل [والغلق](#def-b1-topology-closure) لا يتبادلان*: فمن أجل $A = \Q$،

$$
\overline{\mathring A} = \overline\emptyset = \emptyset
\qquad\text{بينما}\qquad
\bigl(\,\overline A\,\bigr)^{\!\circ} = \mathring \R = \R :
$$

فيختلف المؤثران المتكرران بأقصى ما يمكن أن تختلف به مجموعتان. (ج) *الاتحادات غير المنتهية للمجموعات [المغلقة](#def-b1-topology-closed) قد تفشل في أن تكون [مغلقة](#def-b1-topology-closed)*: $\bigcup_{n\geq1} \intcc{\frac1n}{1} = \intoc{0}{1}$ — وهي مرآة المثال المضاد للتقاطع في [القضية 12.3](#prop-b1-topology-openstable). (د) *الكثيف لا يعني الكبير*: [فالمجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $\Q$ [كثيفة](#def-b1-topology-dense) وقابلة للعدّ وداخلها خالٍ، و متممتها [كثيفة](#def-b1-topology-dense) كذلك؛ [فالكثافة](#def-b1-topology-dense) تقول «قريبة كما نشاء من كل شيء»، لا «كل شيء تقريبًا» — وتقول [مجموعة كانتور](#pb-b1-topology-1) في مسألة نهاية الأسبوع ([المسألة 12.1](#pb-b1-topology-1)) العكس، فهي [مجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) صغيرة طوبولوجيًا وكبيرة كبرًا غير قابل للعدّ.

**مثال 12.15 (غلق محسوب بالضبط).**

لتكن $G = \bigl\{\frac1m + \frac1n : m, n \in \N^*\bigr\}$ (من [المثال 12.7](#ex-b1-topology-seqtest)). الادعاء:

$$
\overline G = G \,\cup\, \Bigl\{\frac1m : m \in \N^*\Bigr\}
\,\cup\, \{0\} .
$$

($\supseteq$) $\frac1m = \lim_n \bigl(\frac1m + \frac1n\bigr)$ و $0 = \lim_n \frac2n$: فهي ملاصقة حسب التمييز التتالي. ($\subseteq$) ليكن $x = \lim_k \bigl(
\frac{1}{m_k} + \frac{1}{n_k}\bigr)$؛ رتّب كل زوج بحيث يكون $m_k \leq n_k$. فإذا كانت $(m_k)$ غير محدودة، فلمتتالية جزئية $m_k
\to \infty$، ومنه $n_k \to \infty$ كذلك و $x = 0$. وإلا فإن $(m_k)$ تأخذ عددًا منتهيًا من القيم، إحداها، ولنقل $m$، عددًا لا يُحصى من المرات؛ وعلى تلك [المتتالية الجزئية](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/11-sequences#def-b1-seq-subsequence) $\frac{1}{n_k} \to x -
\frac1m$: فإذا كانت $(n_k)$ محدودة أخذت قيمة $n$ ما عددًا لا يُحصى من المرات وكان $x = \frac1m + \frac1n \in G$؛ وإلا فإن $x =
\frac1m$. فكل حالة تحطّ في [المجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) المعلنة. والفكرة النافذة: حساب [غلق](#def-b1-topology-closure) تحليلُ حالات على الأدلة بأسلوب التراص — فالدليل المحدود يعني عددًا منتهيًا من القيم (مبدأ الأدراج)، والدليل غير المحدود يعني نهايةً تفلت — ويعرض الجوابُ البنيةَ النموذجية ذات الطبقتين لنقاط التراكم: [المجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets)، ونهاياتها من الجيل الأول، ونهايتها $0$.

**تعريف 12.16 (الكثافة في صورتها الطوبولوجية).**

تكون $A$ *كثيفة* في $\R$ إذا كان $\overline A = \R$ — وبكيفية مكافئة، إذا قاطعت كلُّ [فترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) [مفتوحة](#def-b1-topology-open) غير خالية المجموعةَ $A$؛ وبكيفية مكافئة (حسب [القضية 12.11](#prop-b1-topology-closureprops) (3))، إذا كان كل عدد حقيقي نهايةَ عناصر من $A$. أمثلة: $\Q$، و $\R \setminus
\Q$، والأعداد الثنائية ([التمرين 10.8](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#exo-b1-reals-8))، والزمر الجزئية الكثيفة ([التمرين 10.9](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#exo-b1-reals-9)).

**مثال 12.17 (الكثافة نسبية).**

تعني «[كثيفة](#def-b1-topology-dense)» بالمعنى المعرَّف هنا كثيفةً *في $\R$*؛ وقد تكون [مجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) بدل ذلك [كثيفة](#def-b1-topology-dense) في جزء من المستقيم فقط. فالأعداد الثنائية في $\intcc{0}{1}$، أي $D \cap \intcc{0}{1}$ ([التمرين 10.8](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#exo-b1-reals-8))، تقاطع كل [فترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) [مفتوحة](#def-b1-topology-open) محتواة في $\intcc{0}{1}$ لكنها بالطبع تفوّت $\intoo{2}{3}$ كليًا: فهي [كثيفة](#def-b1-topology-dense) *في* $\intcc{0}{1}$، بمعنى $\overline{D \cap
\intcc{0}{1}} = \intcc{0}{1}$. [والعبارة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-statement) العامة «$A$ [كثيفة](#def-b1-topology-dense) في $B$» اختصارٌ للمقدار $B \subseteq \overline A$ — وسمِّ دائمًا [المجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) المحيطة، لأن طرفَي مسألة نهاية الأسبوع كثيفان *في [مجموعة كانتور](#pb-b1-topology-1)* بينما ليسا كثيفين في أيّ موضع *في $\R$*: فهي [المجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) نفسها، ووصفان صادقان يبدوان متعاكسين.

**مثال 12.18 (التعامل مع الكثافة).**

ثلاث حركات سريعة تتكرر باستمرار. *التكبير*: إذا كانت $A$ [كثيفة](#def-b1-topology-dense) و $A \subseteq B$، فإن $B$ [كثيفة](#def-b1-topology-dense) (لأن كل [فترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) تقاطع $A$ أصلًا). *النقل*: إذا كانت $A$ [كثيفة](#def-b1-topology-dense)، فكذلك $\lambda A + \mu$ من أجل $\lambda \neq 0$ — [فالفترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) $I$ تقاطع $\lambda A + \mu$ إذا وفقط إذا قاطعت [الفترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) $\frac{I - \mu}{\lambda}$ المجموعةَ $A$؛ ومنه فمضاعفات $10^{-9}$ الفردية، مثلًا، [كثيفة](#def-b1-topology-dense). *والتقاطع يفشل*: فقد تفوّت مجموعتان كثيفتان إحداهما الأخرى كليًا ($\Q$ و $\R \setminus \Q$): [فالكثافة](#def-b1-topology-dense) تصمد أمام الاتحادات والتطبيقات الأفينية، لا أمام التقاطعات أبدًا.

## 12.3 تراص القطع

**مبرهنة 12.19 (القطع متراصة تتاليًا).**

ليكن $a \leq b$. لكل متتالية من نقاط $\intcc{a}{b}$ [متتالية جزئية](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/11-sequences#def-b1-seq-subsequence) تتقارب إلى نقطة *من* $\intcc{a}{b}$.

وأعمّ من ذلك، المجموعات الجزئية من $\R$ التي لها هذه الخاصية (أي أن لكل متتالية متتاليةً جزئية تتقارب داخل [المجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets)) هي بالضبط المجموعات *[المغلقة](#def-b1-topology-closed) والمحدودة*.

**برهان.** كل متتالية في $\intcc{a}{b}$ محدودة، ومنه تستخرج بولتزانو–فايرشتراس ([المبرهنة 11.16](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/11-sequences#thm-b1-seq-bw)) [متتالية جزئية](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/11-sequences#def-b1-seq-subsequence) متقاربة؛ وتبقى نهايتها في $\intcc{a}{b}$ لأن القطع [مغلقة](#def-b1-topology-closed) ([المبرهنة 12.6](#thm-b1-topology-seqclosed)).

الحالة العامة. *([مغلقة](#def-b1-topology-closed) ومحدودة $\Rightarrow$ متراصة)*: لتكن $F$ [مغلقة](#def-b1-topology-closed) ومحدودة، ولتكن $(u_n)$ متتالية في $F$. تحدّ حدّيةُ $F$ المتتاليةَ، ومنه تستخرج بولتزانو–فايرشتراس $u_{\varphi(n)} \to \ell$؛ و $\ell \in F$ لأن $F$ [مغلقة](#def-b1-topology-closed) [والمتتالية الجزئية](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/11-sequences#def-b1-seq-subsequence) متتالية متقاربة من نقاط $F$ ([المبرهنة 12.6](#thm-b1-topology-seqclosed)): فتُستهلك الفرضيتان واحدةً لكلٍّ، الحدّية من أجل وجود النهاية، والانغلاق من أجل انتمائها. *(متراصة $\Rightarrow$ [مغلقة](#def-b1-topology-closed) و محدودة)*: إذا كانت $F$ غير محدودة، فاختر $u_n \in F$ يحقق $\abs{u_n} \geq
n$؛ فتكون كل [متتالية جزئية](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/11-sequences#def-b1-seq-subsequence) غير محدودة، ومنه متباعدة ([القضية 11.4](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/11-sequences#prop-b1-seq-first)): فلا [متتالية جزئية](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/11-sequences#def-b1-seq-subsequence) متقاربة أصلًا. وإذا كانت $F$ غير [مغلقة](#def-b1-topology-closed)، فخذ $u_n \in F$ مع $u_n \to \ell \notin F$ ([المبرهنة 12.6](#thm-b1-topology-seqclosed)): فتتقارب كل [متتالية جزئية](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/11-sequences#def-b1-seq-subsequence) إلى $\ell \notin F$، ومنه لا [متتالية جزئية](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/11-sequences#def-b1-seq-subsequence) تتقارب *في* $F$. ∎

**مثال 12.20 (مجموعات متراصة متداخلة).**

تمرين أول على المبرهنة. لتكن $K_0 \supseteq K_1 \supseteq
K_2 \supseteq \dots$ مجموعات جزئية غير خالية متراصة ([مغلقة](#def-b1-topology-closed) ومحدودة) من $\R$. عندئذ $\bigcap_n K_n \neq \emptyset$. فعلًا، اختر $x_n
\in K_n$ من أجل كل $n$: فتعيش المتتالية في المتراصة $K_0$، ومنه تتقارب [متتالية جزئية](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/11-sequences#def-b1-seq-subsequence) $x_{\varphi(n)}$ إلى $x$ ما ([المبرهنة 12.19](#thm-b1-topology-compact)). ومن أجل كل $m$ مثبَّت، تقع كل الحدود $x_{\varphi(n)}$ ذات $\varphi(n) \geq m$ في [المجموعة المغلقة](#def-b1-topology-closed) $K_m$، ومنه تقع النهاية $x$ في $K_m$ ([المبرهنة 12.6](#thm-b1-topology-seqclosed))؛ ولأن $m$ كان كيفيًا، $x \in
\bigcap_n K_n$. ورفيقٌ نافع: إذا احتوت [مجموعة مفتوحة](#def-b1-topology-open) $U$ المجموعةَ $\bigcap_n K_n$، فإن $U \supseteq K_n$ من أجل $n$ ما — طبّق الحجة نفسها على نقاط $x_n \in K_n \setminus U$؛ فستقع النهاية $x$ في $\bigcap K_n \subseteq U$، ومع ذلك يفرض انفتاح $U$ أن $x_{\varphi(n)} \in U$ في النهاية، وهذا تناقض. والعبارتان كلتاهما تفشلان دون التراص: $\bigcap_n \intoo{0}{\frac
1n} = \emptyset$ و $\bigcap_n \intco{n}{+\infty} = \emptyset$. والفكرة النافذة: يحوّل التراص سلسلةً غير منتهية من تأكيدات عدم الخلوّ إلى نقطة نهاية واحدة — فهو الأداة التي تنجو من الانتقال إلى التقاطع غير المنتهي، وسوف تتّكئ عليه مسألة نهاية الأسبوع ([المسألة 12.1](#pb-b1-topology-1)) مرتين.

![المراحل الأربع الأولى من بناء الأثلاث الوسطى: تفقد كل قطعة من C_n ثلثها الأوسط المفتوح، فتبقى القطع 2n+1 للمقدار C_n+1، وطولها الكلي (2/3)n+1. ومجموعة كانتور C = _n C_n — موضوع مسألة نهاية الأسبوع — هي البقية المتراصة غير الخالية التي تضمنها حجة المتراصات المتداخلة أعلاه: طولها معدوم، ومع ذلك تنجو نقاط لا تُحصى عددًا غير قابل للعدّ.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-topology/fig-8f10851209c3.svg)

*المراحل الأربع الأولى من بناء الأثلاث الوسطى: تفقد كل قطعة من $C_n$ ثلثها الأوسط المفتوح، فتبقى القطع $2^{n+1}$ للمقدار $C_{n+1}$، وطولها الكلي $(\frac23)^{n+1}$. [ومجموعة كانتور](#pb-b1-topology-1) $C = \bigcap_n C_n$ — موضوع مسألة نهاية الأسبوع [المسألة 12.1](#pb-b1-topology-1) — هي البقية المتراصة غير الخالية التي تضمنها حجة المتراصات المتداخلة أعلاه: طولها معدوم، ومع ذلك تنجو نقاط لا تُحصى عددًا غير قابل للعدّ.*

**ملاحظة 12.21.**

هذا هو المحرّك وراء مبرهنة القيم الحدّية ([الفصل 13](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/13-limits-and-continuity#ch-b1-continuity)) ومبرهنة هاينه في الاتصال المنتظم. وسوف يكتسب اسم «متراصة» تعريفَه العام (بالتغطيات) في السنة الثانية؛ وعلى $\R$، يكفينا التراص التتالي، [وعبارة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-statement) «متراصة $=$ [مغلقة](#def-b1-topology-closed) $+$ محدودة» هي ما يجب حفظه.

**مثال 12.22 (الحواف تحت الاتحادات).**

دائمًا $\partial(A \cup B) \subseteq \partial A \cup \partial
B$: فلكل نقطة من $\partial(A \cup B)$ كل [جوار](#def-b1-topology-open) يقاطع $A \cup B$ (ومنه $A$ أو $B$، وإحداهما عددًا لا يُحصى من المرات) ويقاطع متممة $A \cup B$، وهي تقع في المتممتين معًا — ثم يضع تحقّق قصير النقطةَ في $\partial A$ أو $\partial B$. وقد يكون الاحتواء قطعيًا بصورة مذهلة: فمع $A = \Q$ و $B = \R\setminus\Q$،

$$
\partial(A \cup B) = \partial \R = \emptyset ,
\qquad
\partial A \cup \partial B = \R \cup \R = \R :
$$

فيمكن لمجموعتين ممزّقتين أن تلتصقا في [مجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) بلا خياطة، وحافتاهما تفني إحداهما الأخرى. والفكرة النافذة: يسلك الداخل و [الغلق](#def-b1-topology-closure) سلوكًا *رتيبًا* تحت الاتحادات و التقاطعات، وأمّا الحواف فلا — فعامل $\partial$ معاملة مقدار مشتقّ ($\overline A \setminus \mathring A$)، لا معاملة مؤثر له جبرُه الخاص.

**ملاحظة 12.23 (منظورات داخل هذا المجلّد).**

تُستهلك المفردات المبنيّة هنا مرتين أخريين في هذا الكتاب. ففي [الفصل 13](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/13-limits-and-continuity#ch-b1-continuity)، كل مبرهنة [عبارة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-statement) طوبولوجية متنكّرة: فمبرهنة القيم الوسطى تقول إن التطبيقات المتصلة تحفظ خاصية [الفترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals)، ومبرهنة القيم الحدّية تقول إنها تحفظ التراص — وتستدعي البراهين المبرهنات [12.6](#thm-b1-topology-seqclosed) و[12.19](#thm-b1-topology-compact) بالاسم. وفي [الفصل 25](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/25-functions-of-two-variables#ch-b1-multivar)، تُقرأ التعاريف نفسها ثانيةً في $\R^2$ بالأقراص بدل الفترات: فتنتقل المجموعات [المفتوحة](#def-b1-topology-open) [والغلق](#def-b1-topology-closure) والتراص كلمةً كلمة، وتركب مبرهنة القيم الحدّية ذات المتغيرين مرة أخرى على بولتزانو–فايرشتراس (استخرج على كل إحداثية). والمفهوم الوحيد الذي *لا* يعمَّم بلا ألم هو [الفترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) نفسها — ففي المستوي، يحلّ الترابط محلّ التحدّب، وهي قصة تبدأ مع [عبارة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-statement) [التمرين 12.9](#exo-b1-topology-9) «لا [مجموعة مفتوحة](#def-b1-topology-open) [ومغلقة](#def-b1-topology-closed) إلا $\emptyset$ و $\R$».

## 12.4 تمارين

**تمرين 12.1 ★.**

من أجل كل [مجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets)، قل هل هي [مفتوحة](#def-b1-topology-open) أم [مغلقة](#def-b1-topology-closed) أم الاثنتان معًا أم لا هذه ولا تلك (مع التسويغ): $\intoo{0}{1} \cup \intoo{2}{3}$؛ $\;\intco{0}{1}$؛ $\;\{0\} \cup \intcc{1}{2}$؛ $\;\R \setminus \Z$؛ $\;\Q \cap
\intoo{0}{1}$.

**حل التمرين 12.1.**

$\intoo{0}{1} \cup \intoo{2}{3}$: [مفتوحة](#def-b1-topology-open) (اتحاد مجموعات [مفتوحة](#def-b1-topology-open))، وليست [مغلقة](#def-b1-topology-closed) ($\frac 1n \to 0$ خارجها).

$\intco{0}{1}$: لا هذه ولا تلك. ليست [مفتوحة](#def-b1-topology-open) (فلا [فترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) حول $0$ بالداخل)؛ وليست [مغلقة](#def-b1-topology-closed) ($1 - \frac1n \to 1 \notin$ [المجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets)).

$\{0\} \cup \intcc{1}{2}$: [مغلقة](#def-b1-topology-closed) (اتحاد منته لمجموعات [مغلقة](#def-b1-topology-closed))، وليست [مفتوحة](#def-b1-topology-open) (إذ تفشل عند $0$).

$\R \setminus \Z$: [مفتوحة](#def-b1-topology-open) (لأن $\Z$ [مغلقة](#def-b1-topology-closed))، وليست [مغلقة](#def-b1-topology-closed): فالمتتالية $\bigl(\frac 1n\bigr)$ تقع فيها، لكن نهايتها $0$ تنتمي إلى $\Z$، أي تفلت من [المجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets).

$\Q \cap \intoo{0}{1}$: لا هذه ولا تلك. ليست [مفتوحة](#def-b1-topology-open): فكل [فترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) حول عدد ناطق تحتوي أعدادًا صماء. وليست [مغلقة](#def-b1-topology-closed): فهي تحتوي متتاليات تؤول إلى العدد الأصمّ $\frac{\sqrt 2}{2}$ ([بالكثافة](#def-b1-topology-dense)).

**تمرين 12.2 ★.**

حدّد $\mathring A$ و $\overline A$ و $\partial A$ من أجل: $A = \intoc{0}{1} \cup \{2\}$؛ $\;A = \R \setminus \Q$؛ $\;A = \bigl\{\frac{(-1)^n n}{n+1} : n \in \N\bigr\}$.

**حل التمرين 12.2.**

$A = \intoc{0}{1} \cup \{2\}$: $\mathring A = \intoo{0}{1}$ و $\overline A = \intcc{0}{1} \cup \{2\}$ و $\partial A = \{0, 1, 2\}$.

$A = \R \setminus \Q$: $\mathring A = \emptyset$ (لأن كل [فترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) تحتوي أعدادًا ناطقة)، و $\overline A = \R$ ([بكثافة](#def-b1-topology-dense) الأعداد الصماء)، و $\partial A = \R$.

$A = \bigl\{\frac{(-1)^n n}{n+1}\bigr\}$: تؤول الحدود الزوجية إلى $1$، والفردية إلى $-1$، ولا واحدة منهما تنتمي إلى $A$. ومنه $\mathring A =
\emptyset$ (لأن النقاط معزولة) و $\overline A = A \cup \{-1, 1\}$ و $\partial A = \overline A$.

**تمرين 12.3 ★.**

برهن على أن كل [مجموعة منتهية](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/2-counting#def-b1-counting-card) [مغلقة](#def-b1-topology-closed)، أولًا عبر المتممات، ثم عبر التمييز التتالي.

**حل التمرين 12.3.**

*بالمتممات.* $F = \{a_1 < a_2 < \dots < a_k\}$: المتممة هي اتحاد الفترات [المفتوحة](#def-b1-topology-open) $\intoo{-\infty}{a_1}$ و $\intoo{a_i}{a_{i+1}}$ و $\intoo{a_k}{+\infty}$ — وهي [مفتوحة](#def-b1-topology-open) حسب [القضية 12.3](#prop-b1-topology-openstable).

*بالمتتاليات.* ليكن $u_n \in F$ و $u_n \to \ell$. مع $\varepsilon
= \min\{\abs{a_i - a_j} : i \neq j\}/2 > 0$ (أو مع أيّ $\varepsilon$ إذا كانت $F$ أحادية): بعد رتبة ما، تقع كل الحدود على بعد $\varepsilon$ من $\ell$، ومنه على بعد $2\varepsilon$ بعضها من بعض، وهذا يفرض أن تكون $a_i$ واحدًا ابتداءً من تلك الرتبة؛ وعندئذ $\ell = a_i \in F$.

**تمرين 12.4 ★.**

برهن على أنه من أجل كل $A, B \subseteq \R$: $\overline{A \cup B} =
\overline A \cup \overline B$. وبيّن بمثال أن $\overline{A \cap B}$ قد تختلف عن $\overline A \cap \overline
B$.

**حل التمرين 12.4.**

$\subseteq$: [المجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $\overline A \cup \overline B$ [مغلقة](#def-b1-topology-closed) (اتحاد منته) وتحتوي $A \cup B$، ومنه فهي تحتوي *أصغر* حاوية [مغلقة](#def-b1-topology-closed) $\overline{A \cup B}$. و $\supseteq$: يعطي $A \subseteq A \cup B$ أن $\overline A \subseteq \overline{A \cup B}$ ([فالغلق](#def-b1-topology-closure) رتيب: إذ إن النقاط الملاصقة [للمجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $A$ ملاصقة [للمجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) الأكبر)، و كذلك من أجل $B$.

ومثال مضاد من أجل التقاطعات: $A = \intoo{0}{1}$ و $B =
\intoo{1}{2}$: $\overline{A \cap B} = \overline\emptyset = \emptyset$ بينما $\overline A \cap \overline B = \{1\}$.

**تمرين 12.5 ★★.**

ليكن $u_n \to \ell$ في $\R$. برهن على أن [المجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $\{u_n : n \in \N\}
\cup \{\ell\}$ [مغلقة](#def-b1-topology-closed) (ومنه متراصة إذا أضفنا أنها محدودة — وهي كذلك).

**حل التمرين 12.5.**

استعمل التمييز التتالي ([المبرهنة 12.6](#thm-b1-topology-seqclosed)). ليكن $S = \{u_n\} \cup \{\ell\}$ ولتكن $(v_k)$ متتالية في $S$ مع $v_k \to m$؛ نبيّن $m \in S$. وحالتان. إذا أخذت $(v_k)$ قيمة $v \in S$ ما عددًا لا يُحصى من المرات، فإن [متتالية جزئية](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/11-sequences#def-b1-seq-subsequence) ثابتة تعطي $m = v \in S$. وإلا فتُؤخذ كل قيمة عددًا منتهيًا من المرات؛ وعلى الخصوص، من أجل كل $n$، يظهر الحد $u_n$ عددًا منتهيًا من المرات، وكذلك $\ell$. وعندئذ من أجل كل $N$، تكون الأدلة $k$ ذات $v_k \in \{u_0, \dots, u_N, \ell\}$ منتهية العدد: فالحدود $v_k$ الباقية هي حدود $u_n$ مع $n > N$. ومن أجل $\varepsilon > 0$ معطى، اختر $N$ يحقق $\abs{u_n - \ell} \leq
\varepsilon$ من أجل $n > N$: فتحقق كل الحدود $v_k$ إلا عددًا منتهيًا منها $\abs{v_k - \ell} \leq \varepsilon$. ومنه $v_k \to \ell$، ومنه $m =
\ell \in S$.

**تمرين 12.6 ★★.**

لتكن $U$ [مفتوحة](#def-b1-topology-open) و $A$ كيفية. برهن على أن $U + A = \{u + a\}$ [مفتوحة](#def-b1-topology-open). واستنتج أن مجموع [مجموعة مفتوحة](#def-b1-topology-open) وأيّ [مجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) مفتوحٌ، و قابل: أظهر مجموعتين *مغلقتين* مجموعهما ليس مغلقًا. *(جرّب $\Z$ و $\sqrt 2\,\Z$، مع [التمرين 10.9](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#exo-b1-reals-9).)*

**حل التمرين 12.6.**

$U + A = \bigcup_{a \in A} (U + a)$، وكل منسحبة $U + a$ [مفتوحة](#def-b1-topology-open) (بانسحاب شهادات الفترات). واتحاد المجموعات [المفتوحة](#def-b1-topology-open) مفتوح ([القضية 12.3](#prop-b1-topology-openstable)).

وأمّا المجموعات [المغلقة](#def-b1-topology-closed): فالمجموعتان $\Z$ و $\sqrt 2\,\Z$ مغلقتان (بوصفهما $\alpha\Z$: لأن المتتاليات المتقاربة ثابتة في النهاية، قارن [المثال 12.8](#ex-b1-topology-closed)). ومجموعهما $\Z + \sqrt 2\,\Z$ كثيف في $\R$ ([التمرين 10.9](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#exo-b1-reals-9)) لكنه ليس $\R$ (فهو قابل للعدّ، أو ببساطة: $\frac{\sqrt 2}{2} \notin \Z + \sqrt2\Z$، وإلا لكان $\sqrt 2$ ناطقًا — إذ إن كتابة $\frac{\sqrt2}{2} = m + n\sqrt 2$ تفرض $(2n - 1)\sqrt 2 = -2m$، ومنه $\sqrt 2 \in \Q$ ما لم يكن $n =
\frac12$، وهذا محال). [والمجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) الجزئية القطعية [الكثيفة](#def-b1-topology-dense) ليست [مغلقة](#def-b1-topology-closed): إذ غلقها هو $\R \neq$ نفسها.

**تمرين 12.7 ★★.**

تكون النقطة $x \in A$ *معزولة* في $A$ إذا كان [جوار](#def-b1-topology-open) ما للنقطة $x$ لا يقاطع $A$ إلا عند $x$. برهن على أن كل نقطة من $\Z$ معزولة في $\Z$، وعلى أن كل نقاط $A = \{\frac1n\}$ معزولة ومع ذلك $\overline A \neq A$، وعلى أن كل [مجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) كل نقاطها معزولة داخلها خالٍ.

**حل التمرين 12.7.**

$\Z$: [الجوار](#def-b1-topology-open) $\intoo{n - \frac12}{n + \frac12}$ للعدد $n$ لا يقاطع $\Z$ إلا عند $n$.

$A = \{\frac1n : n \in \N^*\}$: حول $\frac 1n$، تعزلها عن جارتيها الفترةُ ذات نصف القطر $\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{1}{n(n+1)}$ (منصَّفًا، مثلًا) — فكل النقاط معزولة. ومع ذلك $0 \in
\overline A \setminus A$: فالنقاط المعزولة لا تمنع وجود ملاصقين من الخارج.

وإذا كانت كل نقاط $A$ معزولة: فلا نقطة من $A$ داخلية، لأن لكل نقطة داخلية [فترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) كاملة من جيران $A$ حولها ([والفترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) غير منتهية)، وهذا يناقض العزلة. ومنه $\mathring A
= \emptyset$.

**تمرين 12.8 ★★.**

برهن على أن [غلق](#def-b1-topology-closure) [مجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) محدودة محدود، وعلى أن $\sup \overline A = \sup A$ من أجل $A$ غير خالية ومحدودة من أعلى. واستنتج أن $\sup A \in \overline A$: [فالحد الأعلى](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#def-b1-reals-bounds) ملاصق دائمًا.

**حل التمرين 12.8.**

إذا كان $A \subseteq \intcc{-M}{M}$، فإن [المجموعة المغلقة](#def-b1-topology-closed) $\intcc{-M}{M}$ تحتوي $A$، ومنه تحتوي $\overline A$ (وهو أصغر حاوية [مغلقة](#def-b1-topology-closed)): ومنه [فالمجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $\overline A$ محدودة.

وليكن $s = \sup A$ (منتهيًا). ولأن $A \subseteq \overline A$، $\sup
\overline A \geq s$. وبالعكس، $\overline A \subseteq
\intoc{-\infty}{s}$: فنصف المستقيم مغلق ويحتوي $A$؛ ومنه فكل عنصر من $\overline A$ هو $\leq s$، فينتج $\sup\overline A
\leq s$. ومنه المساواة.

و $s \in \overline A$: فحسب التمييز بالمقدار $\varepsilon$ ([القضية 10.4](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-epsilon))، تحتوي كل [فترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) $\intoo{s -
\varepsilon}{s + \varepsilon}$ عنصرًا من $A$: ومنه فالعدد $s$ ملاصق.

**تمرين 12.9 ★★★.**

برهن على أن المجموعتين الجزئيتين الوحيدتين من $\R$ المفتوحتين والمغلقتين معًا هما $\emptyset$ و $\R$. *إرشاد: افترض أن $A$ [مفتوحة](#def-b1-topology-open) [ومغلقة](#def-b1-topology-closed)، مع $A \neq \emptyset$ و $\R \setminus A \neq \emptyset$؛ واختر $a \in
A$ و $b \notin A$، وليكن $a < b$، وانظر في $s = \sup\,(A \cap
\intcc{a}{b})$؛ وقرّر هل يمكن أن ينتمي $s$ إلى $A$ أو إلى متممتها.*

**حل التمرين 12.9.**

افترض أن $A$ [مفتوحة](#def-b1-topology-open) [ومغلقة](#def-b1-topology-closed)، مع $a \in A$ و $b \in \R
\setminus A$؛ ودون إخلال بالعمومية $a < b$. [المجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $B = A \cap
\intcc{a}{b}$ غير خالية (لأن $a$ فيها) ومحدودة: وليكن $s = \sup B$. وحسب [التمرين 12.8](#exo-b1-topology-8)، $s \in \overline B \subseteq \overline A =
A$ (لأن $A$ [مغلقة](#def-b1-topology-closed)). ولاحظ $s \leq b$، ولأن $b \notin A$: يكون $s < b$. والآن $A$ [مفتوحة](#def-b1-topology-open): فتقع [فترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) ما $\intoo{s - r}{s + r}$ في $A$، ويمكننا أخذ $r < b - s$. عندئذ ينتمي $s + \frac{r}{2}$ إلى $A
\cap \intcc{a}{b} = B$ ويتجاوز $s$ — وهذا يناقض $s = \sup
B$. ومنه فلا وجود لمثل هذا الزوج $(a, b)$: فتكون إحدى المجموعتين $A$ و $\R \setminus A$ خالية.

**تمرين 12.10 ★★★.**

(بنية المجموعات [المفتوحة](#def-b1-topology-open)) لتكن $U \subseteq \R$ [مفتوحة](#def-b1-topology-open) وغير خالية. من أجل $x \in U$، لتكن $I_x$ اتحاد كل الفترات [المفتوحة](#def-b1-topology-open) التي تحتوي $x$ وتُحتوى في $U$. برهن على أن $I_x$ [فترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) [مفتوحة](#def-b1-topology-open)، وعلى أن المجموعتين $I_x$ و $I_y$ متساويتان أو منفصلتان، وعلى أن $U$ اتحاد *عدد قابل للعدّ* من الفترات [المفتوحة](#def-b1-topology-open) المنفصلة مثنى مثنى *(اختر عددًا ناطقًا في كل واحدة)*.

**حل التمرين 12.10.**

[المجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $I_x$ اتحاد فترات [مفتوحة](#def-b1-topology-open) كلها تحتوي $x$: فهي [مفتوحة](#def-b1-topology-open)، وهي [فترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) لكونها محدَّبة — إذ إذا كان $u < z < v$ مع $u, v \in
I_x$، فإن $u$ و $v$ يقعان في فترتين جزئيتين مفتوحتين $J_u \ni x$ و $J_v \ni
x$ من $U$، [والمجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $J_u \cup J_v$ [فترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) (لأن كلتيهما تحتوي $x$) داخل $U$ وتحتوي $z$؛ ومنه $z \in I_x$ ([القضية 10.19](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals)).

وإذا كان $I_x \cap I_y \neq \emptyset$: فإن $I_x \cup I_y$ عندئذ [فترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) [مفتوحة](#def-b1-topology-open) (محدَّبة: فترتان متداخلتان) محتواة في $U$ وتحتوي $x$ و $y$، ومنه $I_x \cup I_y \subseteq I_x$ و $\subseteq I_y$ بأكبرية كلٍّ منهما: ومنه $I_x = I_y$.

ومنه [فالمجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $U$ هي الاتحاد المنفصل للمجموعات المتمايزة $I_x$ (فكل $x \in
U$ يقع في $I_x$ الخاصة به). وأمّا قابلية العدّ: فكل [فترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) [مفتوحة](#def-b1-topology-open) غير خالية $I$ من العائلة تحتوي عددًا ناطقًا $q_I$ ([المبرهنة 10.14](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#thm-b1-reals-density))، وتأخذ الفترات المنفصلة المتمايزة أعدادًا ناطقة متمايزة: ومنه تنغرس العائلة في $\Q$، وهي قابلة للعدّ (لأنها مدلَّلة بأزواج من الأعداد الصحيحة). ومنه فعدد الفترات قابل للعدّ على الأكثر.

**تمرين 12.11 ★★.**

تكون النقطة $x \in \R$ *نقطة تراكم* [للمجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $A$ إذا كان كل [جوار](#def-b1-topology-open) للنقطة $x$ يقاطع $A \setminus \{x\}$؛ ومجموعتها هي *[المجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) المشتقة* $A'$. برهن على أن $\overline A = A \cup A'$، وعلى أن $A$ [مغلقة](#def-b1-topology-closed) إذا وفقط إذا كان $A' \subseteq A$. وحدّد $A'$ من أجل $A = \{\frac 1n : n \in \N^*\}$، ومن أجل $A = \Z$، ومن أجل $A = \Q$.

**حل التمرين 12.11.**

$\overline A = A \cup A'$. ($\supseteq$) $A \subseteq \overline
A$ دائمًا؛ وإذا كان $x \in A'$، فإن كل [جوار](#def-b1-topology-open) للنقطة $x$ يقاطع $A
\setminus \{x\} \subseteq A$، ومنه فالنقطة $x$ ملاصقة. ($\subseteq$) ليكن $x \in \overline A$. فإذا كان $x \in A$، فقد انتهينا. وإذا كان $x \notin A$، فإن كل [جوار](#def-b1-topology-open) للنقطة $x$ يقاطع $A = A \setminus \{x\}$: $x \in
A'$.

ونتيجةً لذلك تكون $A$ [مغلقة](#def-b1-topology-closed) $\iff$ $A = \overline A = A \cup A'$ $\iff$ $A' \subseteq A$.

$A = \{\frac 1n\}$: العدد $0$ نقطة تراكم ($\frac 1n \to
0$، والحدود $\neq 0$)؛ وكل $\frac 1n$ معزولة ([التمرين 12.7](#exo-b1-topology-7))، ومنه ليست في $A'$؛ ولأيّ نقطة $x
\notin A \cup \{0\}$ [فترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) كاملة تتجنّب $A$ (بين جارتَي $x$ في $A \cup \{0\}$، أو بعد $1$). ومنه $A' = \{0\}$.

$\Z' = \emptyset$: فكل عدد صحيح معزول، ولكل عدد غير صحيح [جوار](#def-b1-topology-open) داخل $\R \setminus \Z$.

$\Q' = \R$: فكل [فترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) حول أيّ عدد حقيقي تحتوي أعدادًا ناطقة لا تُحصى ([المبرهنة 10.14](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#thm-b1-reals-density))، وعلى الخصوص واحدًا مختلفًا عن المركز.

**تمرين 12.12 ★★★.**

من أجل $A \subseteq \R$ غير خالية، عرّف $d_A(x) = \inf\{\abs{x - a}
: a \in A\}$. برهن على:

1. $\abs{d_A(x) - d_A(y)} \leq \abs{x - y}$ من أجل كل $x, y$ (أي إن $d_A$ ليبشيتزية بالثابت $1$ )؛
2. $d_A(x) = 0$ إذا وفقط إذا كان $x \in \overline A$ ؛ وعلى الخصوص، إذا كانت $F$ [مغلقة](#def-b1-topology-closed) و $x \notin F$ ، فإن $d_F(x) > 0$ ؛
3. من أجل كل $\varepsilon > 0$ ، تكون [المجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $V_\varepsilon =  \{x : d_F(x) < \varepsilon\}$ [مفتوحة](#def-b1-topology-open) وتحتوي $F$ ، و $\bigcap_{\varepsilon > 0} V_\varepsilon = F$ من أجل $F$ [مغلقة](#def-b1-topology-closed) : فكل [مجموعة مغلقة](#def-b1-topology-closed) تقاطعٌ قابل للعدّ لمجموعات [مفتوحة](#def-b1-topology-open) .

**حل التمرين 12.12.**

1. من أجل كل $a \in A$ : $\abs{x - a} \leq \abs{x - y} +  \abs{y - a}$ ، ومنه $d_A(x) \leq \abs{x - y} + \abs{y - a}$ ؛ وبأخذ [الحد الأدنى](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#def-b1-reals-bounds) على $a$ : $d_A(x) \leq \abs{x - y} +  d_A(y)$ . وبتبادل $x$ و $y$ نجد المتراجحة الأخرى: $\abs{d_A(x) - d_A(y)} \leq \abs{x - y}$ .
2. $d_A(x) = 0$ $\iff$ من أجل كل $\varepsilon > 0$ يوجد $a \in A$ يحقق $\abs{x - a} < \varepsilon$ $\iff$ تقاطع كل [فترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) حول $x$ المجموعةَ $A$ $\iff$ $x \in \overline A$ . وإذا كانت $F$ [مغلقة](#def-b1-topology-closed) و $x \notin F = \overline F$ ، فإن $d_F(x) \neq 0$ ، أي $d_F(x) > 0$ .
3. إذا كان $d_F(x) < \varepsilon$ ، فضع $r = \varepsilon -  d_F(x) > 0$ : فمن أجل $\abs{y - x} < r$ ، يعطي البند (1) أن $d_F(y) \leq d_F(x) + \abs{x - y} < \varepsilon$ : ومنه تقع [الفترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) $\intoo{x - r}{x + r}$ في $V_\varepsilon$ ، وهي إذن [مفتوحة](#def-b1-topology-open) ؛ وهي تحتوي $F$ لأن $d_F = 0$ هناك. وأخيرًا $x \in \bigcap_{\varepsilon>0}  V_\varepsilon$ $\iff$ $d_F(x) < \varepsilon$ من أجل كل $\varepsilon$ $\iff$ $d_F(x) = 0$ $\iff$ $x \in \overline  F = F$ . ولأن $\bigcap_{\varepsilon > 0} V_\varepsilon =  \bigcap_{n \geq 1} V_{1/n}$ ، تكون كل [مجموعة مغلقة](#def-b1-topology-closed) تقاطعًا قابلًا للعدّ لمجموعات [مفتوحة](#def-b1-topology-open) .

## 12.5 مسألة: مجموعة كانتور، صغيرة وهائلة في آن

**مسألة 12.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — [مجموعة كانتور](#pb-b1-topology-1) ذات الأثلاث الوسطى: طولها معدوم، وغير قابلة للعدّ، وتامّة، و $C + C =
\intcc{0}{2}$

احذف من $\intcc{0}{1}$ ثلثها الأوسط المفتوح، ثم الثلث الأوسط من كل قطعة باقية، وكرّر ذلك إلى الأبد: فما ينجو هو *[مجموعة كانتور](#pb-b1-topology-1)* $C$، مصنعُ الأمثلة المضادة الأساسي في التحليل. وتبني هذه المسألة [المجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets)، وتقرؤها عبر آلة الأساس $3$ في [المسألة 10.1](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#pb-b1-reals-1)، وتؤسّس صورتها المفارِقة: طولٌ كلي معدوم، ومع ذلك غير قابلة للعدّ؛ وداخلٌ خالٍ، ومع ذلك لا نقطة معزولة؛ ومفكّكة كليًا، ومع ذلك يملأ $C + C$ القطعة كلها $\intcc{0}{2}$. وصوريًا: $C_0 = \intcc{0}{1}$، ونحصّل $C_{n+1}$ من $C_n$ بحذف الثلث الأوسط المفتوح من كل قطعة من $C_n$؛ وأخيرًا $C = \bigcap_{n \geq 0}
C_n$. وفي كل ما يأتي، *الترميز الثلاثي* للمقدار $x \in \intcc{0}{1}$ هو أيّ سلسلة أرقام $(d_k)_{k\geq1}$ مع $d_k \in \{0, 1, 2\}$ تساوي قيمتُها $\sup_n \sum_{k=1}^n d_k 3^{-k}$ العددَ $x$ — والترميزات غير السليمة (المساوية $2$ في النهاية) مسموحة؛ وحسب [المسألة 10.1](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#pb-b1-reals-1) (الأسئلة 9–11)، لكل $x \in
\intcc{0}{1}$ ترميز أو ترميزان، واثنان بالضبط عندما $x = m/3^N
\in \intoo{0}{1}$.

**الجزء 1 — البناء.**

1. صف $C_1$ و $C_2$ صراحةً اتحاداتٍ لقطع، وبرهن بالاستقراء: $C_n$ اتحاد منفصل لعدد $2^n$ من القطع [المغلقة](#def-b1-topology-closed) ، طول كلٍّ منها $3^{-n}$ .
2. بيّن أن $C$ [مغلقة](#def-b1-topology-closed) ومحدودة — ومنه متراصة ( [المبرهنة 12.19](#thm-b1-topology-compact) ) — وغير خالية، وأن كل طرف لكل قطعة من كل $C_n$ ينتمي إلى $C$ .
3. الطول الكلي للمقدار $C_n$ هو $\bigl(\frac23\bigr)^n$ . استنتج أنه من أجل كل $\varepsilon > 0$ ، يمكن تغطية [المجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $C$ بعدد منته من القطع طولها الكلي $\leq \varepsilon$ : فطول [مجموعة كانتور](#pb-b1-topology-1) *معدوم* .
4. بيّن أن كل [فترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) محتواة في $C$ طولها $\leq  3^{-n}$ من أجل كل $n$ ، ومنه فهي أحادية أو خالية: $\mathring C = \emptyset$ . ولكونها [مغلقة](#def-b1-topology-closed) وداخلها خالٍ، تكون $C$ *غير [كثيفة](#def-b1-topology-dense) في أيّ موضع* .

**الجزء 2 — الترميز الثلاثي.**

5. برهن على العلاقة التراجعية للتشابه الذاتي $$C_{n+1} = \tfrac13 C_n \,\cup\,  \bigl(\tfrac23 + \tfrac13 C_n\bigr),  \qquad\text{ومنه}\qquad  C = \tfrac13 C \,\cup\, \bigl(\tfrac23 + \tfrac13  C\bigr),$$ والقطعتان منفصلتان: [فالمجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $C$ نسختان من نفسها بالسلّم $\frac13$.
6. برهن بالاستقراء على $n$ : يكون $x \in C_n$ إذا وفقط إذا كان للمقدار $x$ ترميز ثلاثي أرقامه $n$ الأولى في $\{0, 2\}$ . واستنتج، مستعملًا كون $x$ له ترميزان على الأكثر: يكون $x \in C$ إذا وفقط إذا كان للمقدار $x$ ترميز *لا رقم فيه يساوي $1$* (ترميز *خالٍ من $1$* ).
7. الترميزات في العمل: أعطِ ترميزات خالية من $1$ من أجل $0$ و $1$ و $\frac13$ و $\frac23$ ؛ وبيّن $\frac14 = (0.\overline{02})_3$ و $\frac34 = (0.\overline{20})_3$ ، ومنه ينتمي كلاهما إلى $C$ ؛ وتحقق من أن $\frac14$ *ليس* طرفًا لأيّ $C_n$ (فللأطراف الشكل $m/3^n$ ).
8. بيّن أن لكل $x \in C$ ترميزًا *واحدًا بالضبط* خاليًا من $1$ *(فعندما يكون للمقدار $x$ ترميزان، برهن على أن واحدًا بالضبط من الزوج يحتوي الرقم $1$)* . واستنتج: [تطبيق](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) القيمة تقابلٌ من سلاسل $\{0,2\}$ على $C$ .
9. (القطر) ليكن $k \mapsto x_k$ أيَّ [تطبيق](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) $\N^* \to C$ . ابنِ سلسلة $\{0, 2\}$ تختلف عند الدليل $k$ عن ترميز $x_k$ ، واستنتج أن $C$ غير قابلة للعدّ — بينما، على النقيض، يقول السؤال 3 إنها مهملة متريًا.

**الجزء 3 — الصورة الطوبولوجية.**

10. اجمع السجل حتى الآن: $C$ متراصة وغير قابلة للعدّ، وطولها معدوم، وغير [كثيفة](#def-b1-topology-dense) في أيّ موضع. وأيّ احتواء واحد $C \subseteq C_n$ يحمل كلًّا من هذه الخصائص؟
11. ( $C$ تامّة) ليكن $x \in C$ ذا الترميز الخالي من $1$ $(d_k)$ . قلبُ الرقم $d_n$ ( $0 \leftrightarrow  2$ ) ينتج $x_n \in C$ مع $\abs{x_n - x} = 2 \cdot  3^{-n}$ . استنتج أن لا نقطة معزولة في $C$ : فكل نقطة من $C$ نهايةٌ لنقاط *أخرى* من $C$ .
12. بيّن أن أطراف السؤال 2 تكوّن [مجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) جزئية قابلة للعدّ [وكثيفة](#def-b1-topology-dense) في $C$ *(اقتطع الترميز بعد $n$ رقمًا وواصل بالأرقام $0$؛ وقابلية العدّ كما في [التمرين 12.10](#exo-b1-topology-10))* . واستنتج: النقطة النموذجية من $C$ — مثل $\frac14$ — *ليست* طرفًا: فالأطراف هيكل قابل للعدّ داخل جسم غير قابل للعدّ.
13. (مفكّكة كليًا) ليكن $x < y$ في $C$ . اختر $n$ يحقق $3^{-n} < y - x$ وأنتج نقطة $z \in  \intoo{x}{y}$ مع $z \notin C$ . استنتج أن الفترات الوحيدة غير الخالية المحتواة في $C$ هي المجموعات الأحادية.

**الجزء 4 — حساب $C$.**

14. بيّن $1 - C = C$ *(ماذا يفعل $x \mapsto 1 - x$ بترميز خالٍ من $1$؟ وتذكّر $1 = (0.\overline{2})_3$)* .
15. (جمع الترميزات) بيّن أنه إذا كان للمقدارين $x$ و $x'$ ترميزان $(a_k)$ و $(b_k)$ ، فإن $x + x' = \lim_n\,(t_n + t'_n)$ حيث $t_n, t'_n$ هما المجموعان الجزئيان. واستنتج: كل $y  \in \intcc{0}{1}$ هو *منتصف* نقطتين من $C$ — فمن أجل ترميز $(e_k)$ للمقدار $y$ ، اختر أرقامًا $a_k, b_k \in \{0, 2\}$ تحقق $\frac{a_k + b_k}{2} =  e_k$ .
16. استنتج $C + C = \intcc{0}{2}$ ، ومع السؤال 14، $C - C = \intcc{-1}{1}$ . ومثال ملموس: اكتب $1$ مجموعًا للنقطتين غير الطرفيتين في السؤال 7.
17. تأمّل: [مجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) طولها معدوم [ومجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) فروقها تملأ $\intcc{-1}{1}$ . فلماذا لا تناقض بين « $C$ مهملة متريًا» و« $C + C$ ذات طول كامل»؟ (جملة واحدة؛ فكّر فيما يضبطه الطول وما لا يضبطه.)

**الجزء 5 — الأعضاء، الناطقون والصمّ.**

18. اجمع بين السؤال 8 ومحك الدورية في [المسألة 10.1](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#pb-b1-reals-1) : تكون نقطة من $C$ ناطقة إذا و فقط إذا كان ترميزها الخالي من $1$ دوريًا في النهاية. ونفّذ القسمة المطوّلة في الأساس $3$ للتحقق من $\frac1{13} =  (0.\overline{002})_3 \in C$ .
19. أنتج عضوًا *أصمّ* صراحةً في $C$ : قيمةَ الترميز ذي $d_k = 2$ في المواضع المثلثية $k = \frac{j(j+1)}{2}$ و $d_k = 0$ فيما عداها. وسوّغ الصمم بحجة تنامي الفجوات في [المسألة 10.1](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#pb-b1-reals-1) (السؤال 20).
20. (على قطعة كاملة) انظر في $h$ الذي يرسل نقطة $C$ ذات الترميز الخالي من $1$ $(d_k)$ إلى قيمة السلسلة *الثنائية* $\bigl(\frac{d_k}2\bigr)$ ، أي $h(x) = \sup_n \sum_{k=1}^n \frac{d_k}{2}\,2^{-k}$ . بيّن أن $h$ يرسل $C$ *على* $\intcc{0}{1}$ . ومنه [فالمجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) المهملة $C$ تشمل قطعة ذات طول كامل — وهو برهان ثانٍ على أن $C$ غير قابلة للعدّ.
21. (طول ذاتي التشابه) افترض أن مفهومًا ما للطول $L$ عُرّف من أجل $C$ ونسخها المصغَّرة، محترمًا السلّمة ( $L(\lambda A) = \lambda L(A)$ ) والحفظ بالانسحاب والجمعية على التفكيك المنفصل في السؤال 5. بيّن أن ذلك يعطي $L(C) = \frac23\,L(C)$ ، فيفرض $L(C) = 0$ : فالتشابه الذاتي وحده يحكم على $C$ أصلًا بطول معدوم.

**الجزء 6 — ابن عمّ سمين، والعبرة.**

22. ( [مجموعة كانتور](#pb-b1-topology-1) السمينة) أعد البناء، لكن عند المرحلة $n$ ( $n = 0, 1, 2, \dots$ ) احذف من كل قطعة من القطع $2^n$ الحالية فترةً [مفتوحة](#def-b1-topology-open) مركزية طولها $4^{-(n+1)}$ فقط. بيّن أن أطوال القطع $l_n$ تحقق $l_{n+1} = \frac{l_n - 4^{-(n+1)}}{2}$ و $l_n =  \frac{2^n + 1}{2\cdot 4^n} > 0$ ، وأن $K = \bigcap K_n$ الناتجة متراصة وداخلها خالٍ، وأن الطول الكلي المحذوف هو $\sum_{n\geq0} 2^n  4^{-(n+1)} = \frac12$ . وبقبول جمعية الطول (البديهية، من السنة الثالثة) من أجل الاتحادات المنتهية للفترات، و باستعمال عبارتَي [المثال 12.20](#ex-b1-topology-nested) معًا، بيّن أن أيّ عائلة منتهية من الفترات [المفتوحة](#def-b1-topology-open) تغطي $K$ طولها الكلي $\geq \frac12$ : [فالمجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $K$ غير [كثيفة](#def-b1-topology-dense) في أيّ موضع لكنها *ليست* مهملة. فللصغر معانٍ عدة غير متكافئة.
23. (المسافات) بيّن أنه من أجل [مجموعة مغلقة](#def-b1-topology-closed) غير خالية $F \subseteq  \R$ و $x \in \R$، يكون [الحد الأدنى](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#def-b1-reals-bounds) $d(x, F)$ *مبلوغًا* *(بمتتالية تصغيرية مع بولتزانو–فايرشتراس)*. ثم احسب $$\max_{y \in \intcc{0}{1}} d(y, C) = \frac16 ,$$ مبلوغًا بالضبط عند المركز $y = \frac12$ *(فكل نقطة من فجوة أُنشئت عند المرحلة $n$ تقع على بعد $\frac{3^{-n}}{2}$ من طرفَي الفجوة، وهما في $C$)*.
24. (كل نقطة نهايةُ [متتالية جزئية](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/11-sequences#def-b1-seq-subsequence) ) باستعمال السؤالين 12 و 2، أنتج متتالية واحدة في $C$ مجموعةُ نهايات متتالياتها الجزئية هي *كل* $C$ . (وقارن: فمن أجل متتالية متقاربة تكون تلك [المجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) نقطة واحدة — وتحقق $C$ الطرف المعاكس بين المتراصات.)
25. توليفة، جملة واحدة لكلٍّ: (أ) أيّ مبرهنات من هذا الفصل استهلكها البناء فعلًا (استقرار المجموعات [المغلقة](#def-b1-topology-closed) ، والتراص، والتمييزات التتالية)؟ (ب) اذكر الأزواج المفارِقة الأربعة في الصورة (طول معدوم/غير قابلة للعدّ، [مغلقة](#def-b1-topology-closed) /داخل خالٍ، تامّة/مفكّكة كليًا، مهملة/ $C+C$ كامل)؛ (ج) وأين تعود $C$ إلى الظهور لاحقًا (سلّم الشيطان المبنيّ على $h$ في نظرية الاتصال، ونظرية القياس في مجلّد السنة الثالثة، حيث تفصل $C$ بين «قابلة للعدّ» و «مهملة»)؟

**حل المسألة 12.1.**

**1.** $C_1 = \intcc{0}{\frac13} \cup \intcc{\frac23}{1}$ و

$$
C_2 = \intcc{0}{\tfrac19} \cup \intcc{\tfrac29}{\tfrac13}
\cup \intcc{\tfrac23}{\tfrac79} \cup \intcc{\tfrac89}{1} .
$$

وبالاستقراء: إذا كانت $C_n$ اتحادًا منفصلًا لعدد $2^n$ من القطع [المغلقة](#def-b1-topology-closed) طول كلٍّ منها $3^{-n}$، فإن حذف الثلث الأوسط المفتوح من كل قطعة يترك قطعتين مغلقتين طول كلٍّ منهما $3^{-n-1}$ لكل أب: أي $2^{n+1}$ قطعة، منفصلة مثنى مثنى (فأبناء آباء متمايزين منفصلون لأن الآباء كانوا كذلك؛ وابنا أب واحد تفصل بينهما الفجوة المحذوفة).

**2.** كل $C_n$ اتحاد منته لقطع، ومنه فهي [مغلقة](#def-b1-topology-closed)؛ و $C = \bigcap C_n$ تقاطع مجموعات [مغلقة](#def-b1-topology-closed): فهي [مغلقة](#def-b1-topology-closed) ([التعريف 12.5](#def-b1-topology-closed))؛ ومحدودة ($\subseteq
\intcc{0}{1}$): ومنه متراصة حسب [المبرهنة 12.19](#thm-b1-topology-compact). وغير خالية: إذ يقع $0$ في القطعة اليسرى القصوى من كل $C_n$. وليكن $a$ طرفًا لقطعة $S$ من $C_n$. فمن أجل $m \leq n$، $a \in C_n \subseteq C_m$. وأمّا المراحل اللاحقة: فحذف الثلث الأوسط لا يزيل طرفًا أبدًا، ويكون $a$ مرة أخرى طرفًا لأحد ابنَي $S$ (الابن الملامس للنقطة $a$)؛ ومنه بالاستقراء $a \in C_m$ من أجل كل $m \geq n$: أي $a \in C$.

**3.** الطول الكلي للمقدار $C_n$: $2^n \cdot 3^{-n} =
(\frac23)^n \to 0$. ومن أجل $\varepsilon > 0$ معطى، اختر $n$ يحقق $(\frac23)^n \leq \varepsilon$: عندئذ $C \subseteq C_n$، وهي اتحاد عدد منته من القطع طولها الكلي $\leq \varepsilon$.

**4.** لتكن $I \subseteq C$ [فترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) فيها نقطتان متمايزتان. من أجل كل $n$: $I \subseteq C_n$، وعلى $I$، لكونها محدَّبة، أن تقع داخل قطعة *واحدة* من $C_n$ (إذ إن مقاطعة قطعتين ستفرض على $I$ أن تحتوي نقطة من الفجوة بينهما، وهي خارج $C_n$). ومنه فطول $I$ هو $\leq
3^{-n}$ من أجل كل $n$: وهذا تناقض. ومنه فالفترات الوحيدة داخل $C$ خالية أو أحادية؛ وعلى الخصوص لا $\intoo{x-r}{x+r}$ تسع داخل $C$: $\mathring C = \emptyset$. ولأن $C$ [مغلقة](#def-b1-topology-closed)، يكون داخل $\overline C = C$ خاليًا: ومنه [فالمجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $C$ غير [كثيفة](#def-b1-topology-dense) في أيّ موضع.

**5.** اكتب $\varphi_0(x) = \frac x3$ و $\varphi_2(x) =
\frac{2 + x}{3}$، وهما تقابلان أفينيان متزايدان من $\intcc{0}{1}$ على $\intcc{0}{\frac13}$ و $\intcc{\frac23}{1}$. والادعاء: $C_{n+1} = \varphi_0(C_n) \cup \varphi_2(C_n)$. ومن أجل $n = 0$ هذا هو السؤال 1. وبالاستقراء: يرسل [تطبيق](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) أفيني متزايد الثلثَ الأوسط لقطعة إلى الثلث الأوسط للقطعة الصورة، ومنه فحذف الأثلاث الوسطى يتبادل مع $\varphi_0$ و $\varphi_2$؛ [وتطبيق](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) خطوة الحذف على $C_{n+1} =
\varphi_0(C_n) \cup \varphi_2(C_n)$ يعطي $C_{n+2} =
\varphi_0(C_{n+1}) \cup \varphi_2(C_{n+1})$. وبالتقاطع على $n$: من أجل $x \leq \frac13$، $x \in C \iff x \in \varphi_0(C_n)$ من أجل كل $n$ $\iff 3x \in \bigcap C_n = C$؛ وكذلك على $\intcc{\frac23}{1}$؛ ولا نقطة من $\intoo{\frac13}{\frac23}$ تقع في $C_1$. ومنه $C = \varphi_0(C) \cup \varphi_2(C)$، انفصالًا.

**6.** بالاستقراء على $n$؛ وحالة $n = 0$ تقول إن لكل $x \in
\intcc{0}{1}$ ترميزًا، وهو [المسألة 10.1](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#pb-b1-reals-1) (السؤال 9 من أجل $x < 1$؛ $1 = (0.\overline 2)_3$). افترض التكافؤ عند الرتبة $n$. فإذا كان $x \in C_{n+1}$: فحسب السؤال 5، $x =
\varphi_i(z)$ مع $z \in C_n$ و $i \in \{0, 2\}$؛ وإذا كان $(e_k)$ ترميزًا للمقدار $z$ أرقامه $n$ الأولى خالية من $1$، فإن $(i, e_1,
e_2, \dots)$ له مجاميع جزئية $\frac i3 + \frac13\sum_{k\leq m}
e_k 3^{-k} \to \varphi_i(z) = x$: أي ترميز للمقدار $x$ أرقامه $n +
1$ الأولى خالية من $1$. وبالعكس، إذا كان للمقدار $x$ ترميز $(d_k)$ مع $d_1, \dots, d_{n+1} \in \{0, 2\}$: فإن السلسلة المزاحة $(d_2,
d_3, \dots)$ لها قيمة $z \in \intcc{0}{1}$، وأرقامها $n$ الأولى خالية من $1$، ويعطي حساب المجاميع الجزئية مقروءًا بالمقلوب أن $x = \varphi_{d_1}(z)$؛ وبالاستقراء $z \in
C_n$، ومنه $x \in C_{n+1}$ حسب السؤال 5. وأخيرًا: يضع ترميز خالٍ من $1$ كليًا المقدارَ $x$ في كل $C_n$، ومنه في $C$؛ وبالعكس إذا كان $x \in C$، فإنه من أجل كل $n$ يكون لأحد ترميزَي $x$ على الأكثر ([المسألة 10.1](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#pb-b1-reals-1)، السؤال 11) أرقامُه $n$ الأولى خالية من $1$؛ ولا بد أن يفي ترميز مثبَّت واحد بالغرض من أجل $n$ كبير كما نشاء (بمبدأ الأدراج بين ترميزين)، والترميز الذي أرقامه $n$ الأولى خالية من $1$ من أجل $n$ كبير كما نشاء يكون خاليًا من $1$ تمامًا.

**7.** $0 = (0.\overline 0)_3$ و $1 = (0.\overline 2)_3$ و $\frac13 = (0.0\overline{2})_3$ (وهو التوأم غير السليم للمقدار $(0.1)_3$) و $\frac23 = (0.2\overline{0})_3$. وبالمجاميع الهندسية:

$$
(0.\overline{02})_3 = \sum_{j\geq1} \frac{2}{9^{\,j}}
= \frac{2/9}{1 - 1/9} = \frac14 ,
\qquad
(0.\overline{20})_3 = \sum_{j\geq1} \frac{2}{3\cdot 9^{\,j-1}}
= \frac{2/3}{1 - 1/9} = \frac34 ,
$$

وكلاهما خالٍ من $1$: $\frac14, \frac34 \in C$. (والمجاميع غير المنتهية اختصارٌ للحدود العليا للمجاميع الجزئية، كما في [المسألة 10.1](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#pb-b1-reals-1).) وأطراف قطع $C_n$ لها الشكل $m/3^n$ (بالاستقراء: فأطراف الأبناء أطرافُ آباء أو تختلف عن واحد منها بمضاعف للمقدار $3^{-n-1}$). وإذا كان $\frac14 =
\frac{m}{3^n}$ فإن $3^n = 4m$، و $4 \nmid 3^n$: وهذا محال. ومنه $\frac14 \in C$ دون أن يكون طرفًا أبدًا.

**8.** افترض أن للمقدار $x$ ترميزين متمايزين خاليين من $1$. وكونُ له ترميزان أصلًا يعني ([المسألة 10.1](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#pb-b1-reals-1)، السؤال 11، الأساس $3$) أن $x = m/3^N \in \intoo{0}{1}$ وأن الترميزين هما: المنتهي، وآخر رقم غير معدوم فيه $d_N \in \{1, 2\}$ متبوعًا بأرقام $0$، وتوأمه، وفيه $d_N - 1$ في الموضع $N$ متبوعًا بأرقام $2$. فإذا كان $d_N = 1$ احتوى الأول رقم $1$؛ وإذا كان $d_N
= 2$ حمل التوأم $d_N - 1 = 1$. وفي الحالتين لا يكون خاليًا من $1$ إلا واحد من الزوج على الأكثر: وهذا تناقض. ومنه فلكل $x \in C$ ترميز واحد بالضبط خالٍ من $1$ (والوجود من السؤال 6)، و لسلاسل $\{0,2\}$ المتمايزة قيمٌ متمايزة. ولكل سلسلة $\{0,2\}$ قيمةٌ في $\intcc{0}{1}$ (فالمجاميع الجزئية $\leq
1$) وكل بادئاتها خالية من $1$، ومنه فقيمتها في كل $C_n$، أي في $C$: ومنه [فتطبيق](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) القيمة تقابلٌ من سلاسل $\{0,2\}$ على $C$.

**9.** ليكن $(d^{(k)})$ الترميزَ الخالي من $1$ للمقدار $x_k$ و ضع $e_k = 2 - d^{(k)}_k \in \{0, 2\}$: وهي سلسلة $\{0,2\}$ قيمتها $y$ تقع في $C$ ولها $(e_k)$ ترميزًا وحيدًا خاليًا من $1$ (السؤال 8). ومن أجل كل $k$ يختلف ترميزا $y$ و $x_k$ عند الموضع $k$، ومنه $y \neq x_k$: فلا [تطبيق](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) $\N^* \to C$ شامل. أي [مجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) غير قابلة للعدّ وطولها معدوم: كبرٌ في القوة العددية وصغرٌ في القياس — في آن واحد.

**10.** التراص: انغلاق التقاطع غير المنتهي مع الحدّية (السؤال 2) — وهي الخاصية الوحيدة التي لا يحملها احتواء واحد. والطول المعدوم: $C \subseteq
C_n$ وطولها الكلي $(\frac23)^n$ (السؤال 3). وأمّا عدم [الكثافة](#def-b1-topology-dense) في أيّ موضع: فإن $C \subseteq C_n$ يفرض على الفترات داخل $C$ أن يكون طولها $\leq 3^{-n}$ (السؤال 4). وأمّا عدم قابلية العدّ فلا تركب على أيّ احتواء أصلًا: إذ تحتاج إلى بنية التقاطع الكاملة، مرمَّزةً في تقابل السؤال 8.

**11.** اقلب $d_n$ إلى $2 - d_n$: فتبقى السلسلة الجديدة سلسلةَ $\{0,2\}$، ومنه تقع قيمتها $x_n$ في $C$؛ والمجاميع الجزئية بعد الرتبة $n$ تختلف بالمقدار $2\cdot3^{-n}$ بالضبط، ومنه $\abs{x_n - x} = 2\cdot3^{-n}$. ومنه $x_n \neq x$ و $x_n \to
x$: فكل نقطة من $C$ نهايةٌ لنقاط أخرى من $C$ — ومنه [فالمجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $C$ *تامّة*، بلا نقطة معزولة.

**12.** حسب استقراء السؤال 5، تكون قطع $C_n$ هي بالضبط $\intcc{t}{t + 3^{-n}}$ حيث يجري $t$ على قيم سلاسل $\{0,2\}$ ذات الطول $n$. ومن أجل $x \in C$ بالترميز $(d_k)$، يكون الاقتطاع $t_n$ (الأرقام $d_1 \dots d_n$ ثم أرقام $0$) طرفًا أيسر إذن، و $0 \leq x - t_n
\leq 3^{-n}$: فالأطراف [كثيفة](#def-b1-topology-dense) في $C$. وهي تكوّن [مجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) جزئية من $\{m/3^n : m, n\}$، وهي [مجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) مدلَّلة بأزواج من الأعداد الصحيحة، ومنه قابلة للعدّ (كما من أجل $\Q$ في [التمرين 12.10](#exo-b1-topology-10)). ولأن $C$ غير قابلة للعدّ (السؤال 9)، فإن كل نقاط $C$ إلا عددًا قابلًا للعدّ منها ليست أطرافًا — والعدد $\frac14$ (السؤال 7) هو القمة المرئية من ذلك الجبل الجليدي.

**13.** اختر $n$ يحقق $3^{-n} < y - x$. فكلاهما $x, y \in
C_n$، ولا يمكن أن يقعا في القطعة نفسها (لأن طولها $3^{-n} <
y - x$): ومنه توفّر الفجوة المحذوفة بين قطعتيهما نقطةً $z$ تحقق $x < z < y$ و $z \notin C_n \supseteq C$. ومنه فأيّ نقطتين من $C$ تفصل بينهما المتممة: ومنه فالمجموعات الجزئية المحدَّبة الوحيدة من $C$ أحادية — أي إن $C$ مفكّكة كليًا.

**14.** إذا كان $(d_k)$ هو الترميز الخالي من $1$ للمقدار $x$، فإن السلسلة $(2 - d_k)$ سلسلة $\{0,2\}$ مرة أخرى، ومجاميعها الجزئية

$$
\sum_{k=1}^{n} (2 - d_k)3^{-k} = (1 - 3^{-n}) - \sum_{k=1}^n
d_k 3^{-k} \longrightarrow 1 - x :
$$

ومنه $1 - x \in C$. ومنه $1 - C \subseteq C$، وبتطبيق [التطبيق](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) مرتين نجد $1 - C = C$: [فمجموعة كانتور](#pb-b1-topology-1) متناظرة بالنسبة إلى $\frac12$.

**15.** المجاميع الجزئية $t_n \to x$ و $t'_n \to x'$ (لأن المتتاليات المتزايدة تتقارب إلى حدّها الأعلى، أي إلى القيمة)، ومنه $t_n + t'_n \to x + x'$ حسب [المبرهنة 11.5](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/11-sequences#thm-b1-seq-operations). ومن أجل $y \in \intcc{0}{1}$ بالترميز $(e_k)$، اختر $(a_k, b_k) = (0,0), (0,2), (2,2)$ تبعًا لكون $e_k = 0, 1, 2$: عندئذ $a_k + b_k = 2e_k$، وتكون السلسلتان $(a_k)$ و $(b_k)$ سلسلتَي $\{0,2\}$ قيمتاهما $x,
x' \in C$، و

$$
x + x' = \lim_n\,(t_n + t'_n) = \lim_n 2\sum_{k=1}^n e_k 3^{-k}
= 2y :
$$

فيكون كل $y \in \intcc{0}{1}$ منتصف نقطتين من $C$.

**16.** يعطي السؤال 15 أن $\intcc{0}{2} = 2\,\intcc{0}{1}
\subseteq C + C$، و $C + C \subseteq \intcc{0}{1} +
\intcc{0}{1} = \intcc{0}{2}$: ومنه المساواة. ثم، باستعمال $1 - C = C$:

$$
C - C = C + (C - 1) = (C + C) - 1 = \intcc{-1}{1} .
$$

ومثال ملموس: $1 = \frac14 + \frac34$، وهو مجموع عضوين غير طرفيين من $C$.

**17.** يقيس الطول مقدار ما تشغله [المجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) نفسها من المستقيم؛ وهو لا يقول شيئًا عن [مجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) *المجاميع*، وهي صورة العائلة ذات الوسيطين $C \times C$ [بالتطبيق](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) $(x,
x') \mapsto x + x'$ — فسلسلتا الأرقام تُختاران مستقلتين، وتلك الحرية هي بالضبط ما يملأ $\intcc{0}{2}$. ولا مبرهنة تحدّ طول [مجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) المجاميع بأطوال حدودها، [والمجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $C$ برهانٌ على أن لا مبرهنة كهذه ممكنة.

**18.** حسب [المسألة 10.1](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#pb-b1-reals-1) (السؤال 18)، يكون $x$ ناطقًا إذا وفقط إذا كان نشره السليم دوريًا في النهاية. و الترميز الخالي من $1$ للمقدار $x \in C$ إمّا ذلك النشر السليم وإمّا التوأم غير السليم لنشر منته؛ والسلسلة المنتهية و توأمها (المساوي $2$ في النهاية) كلاهما دوري في النهاية، ومنه فدورية الترميز الخالي من $1$ تكافئ نطقية $x$. والقسمة المطوّلة للمقدار $\frac1{13}$ في الأساس $3$ ($r_0 = 1$): $3 = 13\cdot0 + 3$ و $9 = 13\cdot0 + 9$ و $27 =
13\cdot2 + 1$، ويعود الباقي إلى $1$: فالأرقام $\overline{002}$، ومنه $\frac1{13} = (0.\overline{002})_3$، وهو خالٍ من $1$ ودوري: أي عضو ناطق في $C$. (وللتحقق: $\frac{2/27}{1 - 1/27} = \frac{2}{26} = \frac1{13}$.)

**19.** السلسلة ذات $d_k = 2$ في المواضع المثلثية $k = \frac{j(j+1)}{2}$ و $0$ فيما عداها هي سلسلة $\{0,2\}$، ومنه فقيمتها $x^*$ تنتمي إلى $C$ (السؤال 8). وفيها أرقام $2$ لا تُحصى بفجوات $j + 1 \to \infty$ بين المتتالية منها، ومنه فهي ليست دورية في النهاية (إذ إن دورًا $T$ سيفرض في النهاية أرقام $2$ بفجوات $\leq T$: وهي حجة تنامي الفجوات في [المسألة 10.1](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#pb-b1-reals-1)، السؤال 20)؛ وحسب السؤال 18، $x^* \notin \Q$. وحسب السؤال 9 مع قابلية عدّ $\Q$، تكون كل أعضاء $C$ إلا عددًا قابلًا للعدّ منها صمّاء: فالمقدار $x^*$ هو القاعدة لا الاستثناء.

**20.** ليكن $y \in \intcc{0}{1}$: فله ترميز ثنائي $(c_k)$ مع $c_k \in \{0, 1\}$ ([المسألة 10.1](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#pb-b1-reals-1)، السؤال 9، الأساس $2$؛ ويأخذ $y = 1$ السلسلة التي كل أرقامها $1$). عندئذ $(2c_k)$ سلسلة $\{0,2\}$، وقيمتها $x$ تقع في $C$، ويكون $h(x)$ قيمةَ $(c_k)$، أي $y$: ومنه يرسل $h$ المجموعةَ $C$ على $\intcc{0}{1}$. ولو كانت $C$ صورة [تطبيق](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) من $\N^*$، لكان التركيب مع $h$ يعدّد كل $\intco{0}{1}$، مناقضًا مبرهنة القطر في [المسألة 10.1](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#pb-b1-reals-1) (السؤال 22): ومنه [فالمجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $C$ غير قابلة للعدّ، مرة أخرى. أي [مجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) طولها معدوم تشمل قطعة كاملة.

**21.** حسب السؤال 5، تكون $C$ الاتحادَ المنفصل للمجموعتين $\varphi_0(C)$ و $\varphi_2(C)$، وكلٌّ منهما منسحبة النسخة المصغَّرة $\frac13 C$. وتعطي الجمعية والسلّمة والحفظ بالانسحاب أن

$$
L(C) = L(\varphi_0(C)) + L(\varphi_2(C))
= \tfrac13 L(C) + \tfrac13 L(C) = \tfrac23\,L(C),
$$

ومنه $\frac13 L(C) = 0$: أي $L(C) = 0$. فالتشابه الذاتي وحده يحكم على $C$ بطول معدوم — ولم يفعل السؤال 3 إلا أن نفّذ الحكم.

**22.** تفقد قطعة طولها $l_n$ [فترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) مركزية طولها $4^{-(n+1)}$، فتبقى قطعتان طول كلٍّ منهما $l_{n+1}
= \frac{l_n - 4^{-(n+1)}}{2}$؛ وانطلاقًا من $l_0 = 1$، يؤكّد الاستقراء $l_n = \frac{2^n + 1}{2\cdot4^n}$: فعلًا $\frac12\Bigl(\frac{2^n+1}{2\cdot4^n} - \frac{1}{4^{n+1}}\Bigr)
= \frac{2(2^n + 1) - 1}{2\cdot4^{n+1}} = \frac{2^{n+1} +
1}{2\cdot4^{n+1}}$، و $l_n > 0$ دائمًا: فالبناء لا يجوع أبدًا. [والمجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $K = \bigcap K_n$ [مغلقة](#def-b1-topology-closed) ومحدودة، ومنه متراصة؛ وكل [فترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) داخل $K$ تقع في قطعة واحدة من $K_n$، طولها $l_n \to 0$: فداخلها خالٍ. والطول المحذوف: $\sum_{n\geq0} 2^n
\cdot 4^{-(n+1)} = \frac14\sum_{n\geq0}\bigl(\frac12\bigr)^n =
\frac12$، ولكل $K_n$ طول كلي $2^n l_n = \frac{2^n +
1}{2^{n+1}} > \frac12$. والآن ليكن عدد منته من الفترات [المفتوحة](#def-b1-topology-open) اتحادها $U \supseteq K$. فحسب [العبارة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-statement) الرفيقة في [المثال 12.20](#ex-b1-topology-nested)، $U \supseteq K_n$ من أجل $n$ ما؛ وبقبول جمعية الطول على الاتحادات المنتهية للفترات، يكون الطول الكلي لفترات التغطية على الأقل طولَ $K_n$، وهو يتجاوز $\frac12$. ومنه [فالمجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $K$ غير [كثيفة](#def-b1-topology-dense) في أيّ موضع، ومع ذلك لا تغطية رخيصة لها: فالصغر الطوبولوجي (غير [كثيفة](#def-b1-topology-dense) في أيّ موضع) و الصغر المتري (طول معدوم) مفهومان مختلفان حقًا، [والمجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $K$ تفصل بينهما.

**23.** البلوغ: ليكن $d = d(x, F)$ واختر $a_k \in F$ يحقق $\abs{x - a_k} \leq d + \frac1k$: فالمقادير $a_k$ محدودة، ومنه تستخرج بولتزانو–فايرشتراس ([المبرهنة 11.16](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/11-sequences#thm-b1-seq-bw)) $a_{\varphi(k)} \to a$، مع $a \in F$ (لأن $F$ [مغلقة](#def-b1-topology-closed)، [المبرهنة 12.6](#thm-b1-topology-seqclosed)) و $\abs{x - a} = \lim
\abs{x - a_{\varphi(k)}} = d$. وأمّا القيمة العظمى: فإذا كان $y \in C$، فإن $d(y, C) = 0$؛ وإلا وقع $y$ في فجوة محذوفة عند مرحلة ما $n \geq 1$، وهي [فترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) [مفتوحة](#def-b1-topology-open) طولها $3^{-n}$ وطرفاها ينتميان إلى $C$ (السؤال 2)، ومنه $d(y, C) \leq
\frac{3^{-n}}{2} \leq \frac16$، والمساواة تقتضي $n = 1$ و $y$ في مركز الفجوة $\intoo{\frac13}{\frac23}$، أي $y = \frac12$؛ وفعلًا $d\bigl(\frac12, C\bigr) =
\frac16$ لأن $C \cap \intoo{\frac13}{\frac23} = \emptyset$ و $\frac13, \frac23 \in C$. ومنه $\max_{y\in\intcc{0}{1}} d(y, C)
= \frac16$، مبلوغًا بالضبط عند $\frac12$.

**24.** تكوّن الأطراف [مجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) جزئية قابلة للعدّ [وكثيفة](#def-b1-topology-dense) في $C$ (السؤال 12): عدّدها متتاليةً واحدة $(e_j)_{j\geq1}$، وهي متتالية في $C$. ونهايات متتالياتها الجزئية كلها تقع في $C$ (لأن $C$ [مغلقة](#def-b1-topology-closed)). وبالعكس، ثبّت $x \in C$: فمن أجل كل $n$، تقع أطراف قطع المجموعات $C_m$ التي تحتوي $x$ ($m \geq n$) على بعد $3^{-m} \leq 3^{-n}$ من $x$، ومنه يقع عدد لا يُحصى من الأطراف المتمايزة على بعد $3^{-n}$ من $x$؛ فاختر أدلة $j_1 < j_2
< \dots$ تحقق $\abs{e_{j_n} - x} \leq 3^{-n}$: فتكون [متتالية جزئية](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/11-sequences#def-b1-seq-subsequence) تتقارب إلى $x$. ومنه [فمجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) نهايات المتتاليات الجزئية للمتتالية $(e_j)$ هي $C$ بالضبط — متتالية واحدة تتكدّس عند نقاط لا تُحصى عددًا غير قابل للعدّ، وهو الطرف المعاكس لمتتالية متقاربة [مجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) تكدّسها أحادية.

**25.** (أ) استهلك البناء: استقرار المجموعات [المغلقة](#def-b1-topology-closed) بالتقاطع الكيفي (لوجود $C$ مجموعةً [مغلقة](#def-b1-topology-closed))، ومبرهنة التراص [المبرهنة 12.19](#thm-b1-topology-compact) (الأسئلة 2 و 22 و 23)، والتمييزات التتالية للانغلاق وللملاصقة (حجة المتراصات المتداخلة في [المثال 12.20](#ex-b1-topology-nested) والسؤال 23). (ب) والأزواج الأربعة: طول معدوم ومع ذلك غير قابلة للعدّ (السؤالان 3 و 9)؛ [ومغلقة](#def-b1-topology-closed) ومع ذلك داخلها خالٍ (السؤال 4)؛ وتامّة — بلا نقطة معزولة — ومع ذلك مفكّكة كليًا (السؤالان 11 و 13)؛ ومهملة ومع ذلك $C + C = \intcc{0}{2}$ (السؤال 16). (ج) [والتطبيق الشامل](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj) $h$ من السؤال 20، مجعولًا متصلًا و غير متناقص، يصير سلّم الشيطان في نظرية الدوال المتصلة؛ وفي نظرية القياس في مجلّد السنة الثالثة، تكون $C$ الشاهدَ المعياري على أن «مهملة» لا تعني «قابلة للعدّ»، مع ابن عمّها السمين (السؤال 22) الذي يفصل بين «غير [كثيفة](#def-b1-topology-dense) في أيّ موضع» و«مهملة».