---
title: "النهايات والاتصال"
book: "الرياضيات الجامعية — السنة 1"
subject: math
language: ar
chapter: 13
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/13-limits-and-continuity
---

# الفصل 13 — النهايات والاتصال

استُعملت مبرهنة القيم الوسطى ومبرهنة القيم الحدّية في مستوى الثانوي على الثقة البصرية. ومع المتتاليات ([الفصل 11](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/11-sequences#ch-b1-seq)) وطوبولوجيا $\R$ ([الفصل 12](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/12-topology-of-the-real-line#ch-b1-topology)) في اليد، يبرهن هذا الفصل عليهما — ويكمّل النظرية بمبرهنة التقابل الرتيب (التي تشرّع $\arcsin$ و $\operatorname{arcosh}$ وأخواتهما من [الفصل 4](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/4-standard-functions#ch-b1-functions)) وبمبرهنة هاينه في [الاتصال المنتظم](#def-b1-continuity-uniform).

وفي كل ما يأتي، $I$ [فترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) و $f \colon I \to \R$؛ و«$x_0 \in
\overline I$» يسمح بالنهايات عند الأطراف.

## 13.1 نهايات الدوال

**تعريف 13.1 (النهاية عند نقطة).**

ليكن $x_0 \in \overline{I}$ و $\ell \in \R$. عندئذ يكون $f(x) \to \ell$ عندما $x \to x_0$ إذا كان

$$
\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x \in I,
\qquad \abs{x - x_0} \leq \delta \implies \abs{f(x) - \ell} \leq
\varepsilon .
$$

وتُعرَّف النهايات عند $\pm\infty$ والنهايات غير المنتهية بالنمط نفسه (إذ يصير $\abs{x - x_0} \leq \delta$ هو $x \geq M$؛ ويصير $\abs{f(x) -
\ell} \leq \varepsilon$ هو $f(x) \geq M'$). وتقصر النهايات من جهة واحدة المتغيرَ $x$ على $x > x_0$ (ويُكتب $x \to x_0^+$) أو على $x < x_0$. والنهاية وحيدة إذا وُجدت (بالبرهان نفسه في [القضية 11.4](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/11-sequences#prop-b1-seq-first)).

**مثال 13.2 (نهاية بالحصر).**

احسب $\lim_{x \to 0} x\,\bigl\lfloor \frac1x \bigr\rfloor$. يعطي تأطير الجزء الصحيح $\frac1x - 1 < \lfloor \frac1x \rfloor \leq
\frac1x$، بعد الضرب في $x$ (وانتبه للإشارة!):

$$
1 - x < x\Bigl\lfloor \frac1x \Bigr\rfloor \leq 1 \quad (x > 0),
\qquad
1 \leq x\Bigl\lfloor \frac1x \Bigr\rfloor < 1 - x \quad (x < 0),
$$

وينغلق الحصران من الجهتين على $1$: فالنهاية هي $1$. ولاحظ ما حدث: للمقدار $\lfloor \frac1x\rfloor$ وحده قفزات جامحة قرب $0$، لكن العامل $x$ يروّض كل قفزة (فالمقدار $x$ مضروبًا في قفزة واحدية صغير)، ولا ينجو إلا التأطير. والفكرة النافذة: نهايات جداء عامل صغير في عامل ذي تذبذب محدود مسائلُ حصر لا مسائل مبرهنة العمليات — إذ تحتاج مبرهنة العمليات إلى تقارب العاملين *كليهما*.

**مبرهنة 13.3 (التمييز التتالي).**

يكون $f(x) \to \ell$ عندما $x \to x_0$ إذا وفقط إذا: كان $f(u_n) \to \ell$ من أجل *كل* متتالية $(u_n)$ من نقاط $I$ مع $u_n \to x_0$.

**برهان.** ($\Rightarrow$) ليكن $u_n \to x_0$ و $\varepsilon > 0$. خذ $\delta$ من التعريف، ثم $N$ يحقق $\abs{u_n - x_0} \leq
\delta$ من أجل $n \geq N$: فبعد $N$، $\abs{f(u_n) - \ell} \leq
\varepsilon$.

($\Leftarrow$) بالنقيض. إذا كان $f \not\to \ell$: فإن $\varepsilon_0 > 0$ ما يهزم كل $\delta$؛ ويعطي اختيار $\delta =
\frac{1}{n+1}$ عددًا $u_n \in I$ يحقق $\abs{u_n - x_0} \leq
\frac{1}{n+1}$ و $\abs{f(u_n) - \ell} > \varepsilon_0$. عندئذ $u_n
\to x_0$ لكن $f(u_n) \not\to \ell$. ∎

**نتيجة 13.4 (العمليات والتركيب والترتيب).**

تسلك مجاميع النهايات وجداءاتها وقسمتها (بنهاية غير معدومة في المقام) سلوكَها من أجل المتتاليات؛ وإذا كان $f \to \ell$ عند $x_0$ و $g \to m$ عند $\ell$، وكانت $g$ معرَّفة حول $\ell$ مع $g(\ell) = m$ أو كان $f \neq \ell$ بجوار $x_0$، فإن $g \circ f \to m$ عند $x_0$؛ وتحفظ النهايات المتراجحات الواسعة، وتصحّ مبرهنة الحصر.

**برهان.** تنتقل كل [عبارة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-statement) عبر [المبرهنة 13.3](#thm-b1-continuity-seqchar) إلى نظيرتها التتالية (المبرهنات [11.5](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/11-sequences#thm-b1-seq-operations) و[11.7](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/11-sequences#thm-b1-seq-order)). وأمّا التركيب، فالتسلسل المباشر يستحق أن يُكتب مرة: فمن أجل $\varepsilon >
0$ معطى، تعطي نهاية $g$ عند $\ell$ عددًا $\eta > 0$ يحقق

$$
\abs{y - \ell} \leq \eta \implies \abs{g(y) - m} \leq
\varepsilon \quad (y \text{ في مجموعة تعريف } g),
$$

حيث تُغطّى الحالة $y = \ell$ لأن $g(\ell) = m$؛ ثم تعطي نهاية $f$ عند $x_0$ عددًا $\delta > 0$ يحقق $\abs{x -
x_0} \leq \delta \implies \abs{f(x) - \ell} \leq \eta$؛ وبالتسلسل، يعطي $\abs{x - x_0} \leq \delta$ أن $\abs{g(f(x)) - m} \leq
\varepsilon$. وفي الفرض البديل (أي $f \neq \ell$ بجوار $x_0$)، لا تُغذّى القيمة $y = \ell$ إلى $g$ أبدًا وقيمتها هناك لا شأن لها. ∎

**مثال 13.5 (لماذا يوجد شرط التركيب).**

لتكن $g(y) = 0$ من أجل $y \neq 0$ و $g(0) = 1$، ولتكن $f$ مساوية $0$ تمامًا. عندئذ $f(x) \to 0$ عندما $x \to 0$، و $g(y) \to 0$ عندما $y \to 0$؛ ومع ذلك $g(f(x)) = g(0) = 1$ من أجل كل $x$، ومنه $g
\circ f \to 1 \neq 0$. فالدالة الداخلية تقف *بالضبط على* القيمة الممنوعة $\ell = 0$ إلى الأبد، وتتجاهل نهاية $g$ عند $0$ ما تفعله $g$ عند $0$. وشرط [النتيجة 13.4](#cor-b1-continuity-operations) — إمّا $g(\ell) = m$ (أي $g$ [متصلة](#def-b1-continuity-continuous) عند $\ell$)، وإمّا $f \neq \ell$ بجوار $x_0$ — هو بالضبط ما يستبعد هذا. والفكرة النافذة: في الممارسة يركّب المرء دوالّ *[متصلة](#def-b1-continuity-continuous)* ويكون الشرط مجانيًا؛ وهو لا يعضّ إلا حين تُؤخذ النهايات على جوارات مثقوبة، ولذلك يتضمن تعريف $\lim_{x \to x_0}$ المستعمل في هذا الكتاب النقطةَ إذا كانت في [مجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) التعريف.

## 13.2 الاتصال

**تعريف 13.6.**

تكون $f$ *متصلة عند $x_0 \in I$* إذا كان $f(x)
\to f(x_0)$ عندما $x \to x_0$؛ و*متصلة على $I$* إذا كانت متصلة عند كل نقطة. وحسب [المبرهنة 13.3](#thm-b1-continuity-seqchar): تكون $f$ متصلة عند $x_0$ إذا وفقط إذا كان $f(u_n) \to f(x_0)$ من أجل كل متتالية $u_n \to x_0$ في $I$.

**مثال 13.7 (تصنيف الانقطاعات).**

ثلاث كيفيات للفشل عند نقطة، متزايدة الشدة. *قابل للرفع*: للمقدار $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ على $\R^*$ نهايةٌ $1$ عند $0$؛ ويصلحه تعريف $f(0) = 1$ — فالانقطاع كان ثقبًا لا سِمة. *بقفزة*: للمقدار $\lfloor x \rfloor$ عند عدد صحيح نهايتان متمايزتان من الجهتين ($n - 1$ و $n$)؛ ولا اختيار للقيمة يوفّق بينهما، لكن نصفَي النهاية موجودان. *جوهري*: للمقدار $\sin\frac1x$ عند $0$ لا نهاية من أيّ جهة أصلًا ([التمرين 13.1](#exo-b1-continuity-1)) — أي تذبذب دون استقرار. وأمّا الدوال الرتيبة فلا تنتج إلا النوع الأوسط (لأن نهاياتها من جهة واحدة موجودة دائمًا، لكونها حدودًا عليا ودنيا)، ولذلك تكون مجموعات انقطاعها قابلة للعدّ على الأكثر — عدد ناطق واحد لكل قفزة. وأمّا المشتقات، فحسب مبرهنة دربو ([التمرين 14.10](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/14-differentiation#exo-b1-derivative-10))، لا تنتج إلا النوع الأخير: فالدالة ذات الانقطاع بقفزة ليست مشتقة أيّ شيء أبدًا.

**قضية 13.8.**

مجاميع الدوال [المتصلة](#def-b1-continuity-continuous) وجداءاتها وقسمتها (حيث تكون معرَّفة) وتراكيبها [متصلة](#def-b1-continuity-continuous). وكثيرات الحدود والكسور الناطقة (خارج أقطابها) و $\abs{\,\cdot\,}$ و $\exp$ و $\ln$ والدوال المثلثية والزائدية ومعكوساتها ([الفصل 4](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/4-standard-functions#ch-b1-functions)) [متصلة](#def-b1-continuity-continuous) على مجموعات تعريفها.

**برهان.** العمليات: [النتيجة 13.4](#cor-b1-continuity-operations). وأمّا الثوابت و [التطبيق](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) المطابق [فمتصلة](#def-b1-continuity-continuous) مباشرةً من التعريف (إذ يفي $\delta = \varepsilon$ [بالتطبيق](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) المطابق، ويفي أيّ $\delta$ بالثوابت)؛ ولأن جداءات الدوال [المتصلة](#def-b1-continuity-continuous) [متصلة](#def-b1-continuity-continuous)، يتبع كل وحيد حدّ $a_k x^k$ بالاستقراء على $k$، وتُتمّ المجاميع كثيرات الحدود؛ [والكسر الناطق](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/9-rational-fractions#def-b1-fractions-field) قسمة كثيرَي حدود، وهو متصل حيثما لا ينعدم المقام. وأمّا $\abs{\,\cdot\,}$: فبمتراجحة المثلث المعكوسة، $\bigl|\abs{f(x)} - \abs{f(x_0)}\bigr| \leq \abs{f(x) -
f(x_0)}$، ومنه يفي $\delta$ نفسه بالغرض. وأمّا الدوال الكلاسيكية فنمنحها [الاتصال](#def-b1-continuity-continuous) هنا؛ والاشتقاقية (المبرهن عليها في [الفصل 14](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/14-differentiation#ch-b1-derivative)) أقوى. ∎

**مثال 13.9 (القيمة العظمى والصغرى لدالتين متصلتين).**

إذا كانت $f, g$ متصلتين، فكذلك $\max(f, g)$ و $\min(f, g)$: دون أيّ حاجة إلى تحليل حالات، بفضل المتطابقتين

$$
\max(f, g) = \frac{f + g + \abs{f - g}}{2},
\qquad
\min(f, g) = \frac{f + g - \abs{f - g}}{2},
$$

[واتصال](#def-b1-continuity-continuous) المجاميع [واتصال](#def-b1-continuity-continuous) $\abs{\,\cdot\,}$ ([القضية 13.8](#prop-b1-continuity-algebra)). وعلى الخصوص تكون $f^+ =
\max(f, 0)$ و $f^- = \max(-f, 0)$ متصلتين مع $f =
f^+ - f^-$: ومنه ففصل الإشارة المستعمل من أجل المتسلسلات ([الفصل 17](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/17-numerical-series#ch-b1-series))، وعلى نطاق كامل في نظرية التكامل في مجلّد السنة الثالثة، لا يكلّف شيئًا في الانتظام.

**مبرهنة 13.10 (مبرهنة القيم الوسطى).**

لتكن $f$ [متصلة](#def-b1-continuity-continuous) على $\intcc{a}{b}$ مع $f(a) \leq 0 \leq
f(b)$. عندئذ $f(c) = 0$ من أجل $c \in \intcc{a}{b}$ ما. ونتيجةً لذلك، تأخذ دالة [متصلة](#def-b1-continuity-continuous) على [فترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) كلَّ قيمة بين أيّ قيمتين لها: فتكون $f(I)$ [فترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals).

**برهان.** بالثنائية. ضع $a_0 = a$ و $b_0 = b$. ومن أجل $\intcc{a_n}{b_n}$ مع $f(a_n) \leq 0 \leq f(b_n)$، ليكن $m$ المنتصف: فإذا كان $f(m) \leq
0$ فاحتفظ بالمقدار $\intcc{m}{b_n}$، وإلا فاحتفظ بالمقدار $\intcc{a_n}{m}$؛ فتدوم شروط الإشارة. والمتتاليتان $(a_n), (b_n)$ متجاورتان ($b_n -
a_n = \frac{b-a}{2^n}$)، ونهايتهما المشتركة $c$ ([المبرهنة 11.11](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/11-sequences#thm-b1-seq-adjacent)). وبالاتصال و [المبرهنة 11.7](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/11-sequences#thm-b1-seq-order): $f(c) = \lim f(a_n) \leq 0$ و $f(c) =
\lim f(b_n) \geq 0$، ومنه $f(c) = 0$.

وأمّا النتيجة: فمن أجل قيم $f(u) < v < f(w)$، طبّق ما سبق على $x \mapsto f(x) - v$ على القطعة ذات الطرفين $u$ و $w$؛ ومنه تكون $f(I)$ محدَّبة، أي [فترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) ([القضية 10.19](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals)). ∎

![على دالة متصلة تحقق f(a) < 0 < f(b) أن تقطع المحور: فبرهان الثنائية في يحبس نقطة قطع بين متتاليتين متجاورتين.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-continuity/fig-65449770e506.svg)

*على دالة [متصلة](#def-b1-continuity-continuous) تحقق $f(a) < 0 < f(b)$ أن تقطع المحور: فبرهان الثنائية في [المبرهنة 13.10](#thm-b1-continuity-ivt) يحبس نقطة قطع بين متتاليتين متجاورتين.*

**مثال 13.11 (معادلة واحدة، والبروتوكول كاملًا).**

حُلَّ $\eu^x = 3 - x$ على $\R$: الوجود والوحدانية والموضع. ضع $g(x) = \eu^x + x - 3$، وهي [متصلة](#def-b1-continuity-continuous). الموضع و الوجود: $g(0) = -2 < 0$ و $g(1) = \eu - 2 > 0$، ومنه تزرع مبرهنة القيم الوسطى حلًا في $\intoo{0}{1}$. والوحدانية: $g$ مجموع الدالة المتزايدة قطعًا $\eu^x$ والدالة $x - 3$، ومنه فهي متزايدة قطعًا على $\R$؛ والدالة الرتيبة قطعًا تأخذ كل قيمة مرة واحدة على الأكثر، ومنه فالحل وحيد على $\R$ كله (لا في [الفترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) المسبورة فقط). والبروتوكول — رتّب لتحصل على $g = 0$، ثم تغيّر الإشارة من أجل الوجود، ثم الرتابة من أجل الوحدانية — يفصل في أكثر أسئلة «كم عدد الحلول» في ثلاثة أسطر، و تمدّه جداول التغيرات في [الفصل 14](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/14-differentiation#ch-b1-derivative) إلى $g$ غير الرتيبة بقطع $\R$ إلى فروع رتيبة.

**مثال 13.12 (الثنائية خوارزمية).**

برهان [المبرهنة 13.10](#thm-b1-continuity-ivt) يحسب. خذ $f(x) =
x^3 + x - 1$: $f(0) = -1 < 0 < 1 = f(1)$، ومنه يقع جذر في $\intoo{0}{1}$. وبالتنصيف:

$$
f(0.5) = -0.375 < 0, \qquad
f(0.75) = 0.171875 > 0, \qquad
f(0.625) = -0.130859375 < 0 ,
$$

ومنه يُحبس الجذر تباعًا في $\intoo{0.5}{1}$، ثم $\intoo{0.5}{0.75}$، ثم $\intoo{0.625}{0.75}$ (والقيمة الحقيقية: $c \approx 0.6823$). وبعد $n$ خطوة يكون الخطأ على الأكثر $\frac{b - a}{2^n}$: فعشر خطوات تعطي ثلاثة أرقام عشرية، وعشرون تعطي ستة. والفكرة النافذة: مبرهنة القيم الوسطى ليست [عبارة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-statement) وجود فحسب — بل برهان الثنائية لها خوارزمية مضمونة، وإن كانت بطيئة، لإيجاد الجذور، وينبغي أن تُقاس بها طريقةُ نيوتن السريعة الموضعية في [الفصل 14](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/14-differentiation#ch-b1-derivative).

**مبرهنة 13.13 (مبرهنة القيم الحدّية).**

كل دالة [متصلة](#def-b1-continuity-continuous) على قطعة $\intcc{a}{b}$ محدودة و تبلغ حاصريها: إذ يوجد $c, d \in \intcc{a}{b}$ يحققان

$$
f(c) = \inf_{\intcc{a}{b}} f,
\qquad
f(d) = \sup_{\intcc{a}{b}} f .
$$

ومع [المبرهنة 13.10](#thm-b1-continuity-ivt): *تكون الصورة [المتصلة](#def-b1-continuity-continuous) لقطعة قطعةً* $\intcc{f(c)}{f(d)}$.

**برهان.** *محدودة من أعلى:* وإلا فاختر $u_n$ يحقق $f(u_n) \geq n$. وبتراص القطعة ([المبرهنة 12.19](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/12-topology-of-the-real-line#thm-b1-topology-compact))، تتقارب [متتالية جزئية](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/11-sequences#def-b1-seq-subsequence) $u_{\varphi(n)} \to x \in \intcc{a}{b}$؛ ويعطي [الاتصال](#def-b1-continuity-continuous) $f(u_{\varphi(n)}) \to f(x)$، لكن $f(u_{\varphi(n)}) \geq \varphi(n)
\to +\infty$: وهذا تناقض.

*بلوغ [الحد الأعلى](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#def-b1-reals-bounds):* ليكن $M = \sup f$ ولنختر $v_n$ يحقق $f(v_n) >
M - \frac{1}{n+1}$ ([القضية 10.4](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-epsilon)). واستخرج $v_{\varphi(n)} \to d \in \intcc{a}{b}$: عندئذ $f(d) = \lim
f(v_{\varphi(n)}) = M$ بالحصر. ويُعالج [الحد الأدنى](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#def-b1-reals-bounds) بالمقدار $-f$. ∎

**مثال 13.14 (أصغر عنصر موجب على قطعة).**

لتكن $f$ [متصلة](#def-b1-continuity-continuous) على $\intcc{0}{1}$ مع $f(x) > 0$ من أجل كل $x$. عندئذ $\inf f > 0$: فحسب مبرهنة القيم الحدّية يكون [الحد الأدنى](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#def-b1-reals-bounds) *قيمةً* $f(c)$، و $f(c) > 0$ بحكم الفرض. ومنه فالدالة [المتصلة](#def-b1-continuity-continuous) الموجبة على قطعة تبقى بعيدة عن $0$ — وهي حجة من سطرين تُستعمل عشرات المرات في الفصول الآتية (ضبط المقامات، وتأطيرات الدوال الدرجية، وحواصر الأخطاء). وأمّا على [فترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) غير متراصة فهذا يفشل فشلًا مذهلًا: فالدالة $f(x) = x$ على $\intoc{0}{1}$ [متصلة](#def-b1-continuity-continuous) و موجبة مع $\inf f = 0$، غير مبلوغ. والفكرة النافذة: ترتقي «موجبة» إلى «موجبة انتظامًا» بالضبط عندما تكون [مجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) التعريف متراصة؛ فكل فرض من فروض مبرهنة القيم الحدّية حامل.

**ملاحظة 13.15 (مزالق شائعة حول المبرهنات الثلاث).**

(أ) *الصور [المتصلة](#def-b1-continuity-continuous)*: لا تصمد إلا *القطع*. فليس على الصورة [المتصلة](#def-b1-continuity-continuous) [لفترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) [مفتوحة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/12-topology-of-the-real-line#def-b1-topology-open) أن تكون [مفتوحة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/12-topology-of-the-real-line#def-b1-topology-open) (إذ يرسل $x \mapsto x^2$ الفترةَ $\intoo{-1}{1}$ على $\intco{0}{1}$)، وليس على صورة [مجموعة مغلقة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/12-topology-of-the-real-line#def-b1-topology-closed) أن تكون [مغلقة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/12-topology-of-the-real-line#def-b1-topology-closed) (إذ يرسل $\arctan$ المجموعةَ [المغلقة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/12-topology-of-the-real-line#def-b1-topology-closed) $\R$ على [المفتوحة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/12-topology-of-the-real-line#def-b1-topology-open) $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$)؛ لكن صورة قطعة قطعةٌ ([المبرهنة 13.13](#thm-b1-continuity-evt)). (ب) *تحتاج مبرهنة القيم الوسطى إلى [فترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals)*: فالدالة $x
\mapsto \frac1x$، [المتصلة](#def-b1-continuity-continuous) على $\intco{-1}{0} \cup
\intoc{0}{1}$، تأخذ القيمتين $-1$ و $1$ ومع ذلك لا تنعدم أبدًا — [فمجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) تعريفها قطعتان منفصلتان، وتقع القيمة $0$ في الفجوة؛ فسمِّ دائمًا [الفترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) التي تُطبَّق عليها المبرهنة. (ج) *[الاتصال المنتظم](#def-b1-continuity-uniform) خاصية للزوج (الدالة، [المجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets))*: فالدالة $x^2$ [متصلة انتظامًا](#def-b1-continuity-uniform) على كل قطعة ومع ذلك ليست كذلك على $\R$ ([المثال 13.20](#ex-b1-continuity-notuniform)) — [فعبارة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-statement) «[متصلة انتظامًا](#def-b1-continuity-uniform)» بلا [مجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) تعريف بلا معنى. (د) *[اتصال](#def-b1-continuity-continuous) المعكوس ليس صوريًا*: فهو يصحّ على الفترات عبر الرتابة ([المبرهنة 13.16](#thm-b1-continuity-bijection))، لكن قد يكون لتقابل متصل بين اتحادات فترات معكوسٌ غير متصل — والملاحظة بعد تلك المبرهنة موجودة لأن الطلبة يستشهدون بها دون فرض [الفترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals).

## 13.3 الدوال الرتيبة والدوال المعكوسة

**مبرهنة 13.16 (مبرهنة التقابل الرتيب).**

لتكن $f$ [متصلة](#def-b1-continuity-continuous) ورتيبة قطعًا على [فترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) $I$. عندئذ

1. تكون $f$ تقابلًا من $I$ على [الفترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) $J = f(I)$ ؛
2. ويكون المعكوس $f^{-1} \colon J \to I$ رتيبًا قطعًا (في الاتجاه نفسه) و *متصلًا* .

**برهان.** لنقل إن $f$ متزايدة قطعًا. (1) التباين مباشر من الرتابة القطعية؛ والشمول على $f(I)$ بديهي، و $f(I)$ [فترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) حسب [المبرهنة 13.10](#thm-b1-continuity-ivt).

(2) الدالة $f^{-1}$ متزايدة قطعًا: فإذا كان $y < y'$ في $J$ لكن $f^{-1}(y)
\geq f^{-1}(y')$، فإن [تطبيق](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) $f$ المتزايدة يعطي $y \geq y'$، وهذا محال. وأمّا [اتصال](#def-b1-continuity-continuous) $f^{-1}$ عند $y_0 = f(x_0) \in J$: فليكن $\varepsilon > 0$. افترض أولًا أن $x_0$ داخلية [للمجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $I$، و صغّر $\varepsilon$ بحيث يكون $x_0 \pm \varepsilon \in I$: فتحقق صورهما $f(x_0 - \varepsilon) < y_0 < f(x_0 +
\varepsilon)$. خذ $\delta = \min\bigl(y_0 - f(x_0 - \varepsilon),\, f(x_0 +
\varepsilon) - y_0\bigr) > 0$: فمن أجل $\abs{y - y_0} \leq \delta$، تحصر رتابةُ $f^{-1}$ المقدارَ $f^{-1}(y)$ بين $x_0 -
\varepsilon$ و $x_0 + \varepsilon$. وإذا كانت $x_0$، مثلًا، الطرف الأيسر [للمجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $I$، فلا يتوفر إلا $x_0 + \varepsilon$: عندئذ $y_0 = \min J$ (بالرتابة)، ويحقق كل $y \in J$ مع $y - y_0
\leq f(x_0 + \varepsilon) - y_0$ الشرطَ $x_0 \leq f^{-1}(y)
\leq x_0 + \varepsilon$، والتقدير من جهة واحدة هو بالضبط [الاتصال](#def-b1-continuity-continuous) عند طرف؛ والطرف الأيمن متناظر. (ولاحظ: لم يُستنتج [اتصال](#def-b1-continuity-continuous) $f^{-1}$ من [اتصال](#def-b1-continuity-continuous) $f$ بالتناظر — بل الرتابة على [فترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) هي التي تقوم بالعمل.) ∎

**ملاحظة 13.17.**

هذه المبرهنة هي ما استعمله [التعريف 4.9](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/4-standard-functions#def-b1-functions-arc) و [القضية 4.21](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/4-standard-functions#prop-b1-functions-invhyp) صامتين: فالدوال $\arcsin$ و $\arccos$ و $\arctan$ و $\operatorname{arsinh}$ و…[متصلة](#def-b1-continuity-continuous). وتكملةً ([التمرين 13.10](#exo-b1-continuity-10)): تكون الدالة [المتصلة](#def-b1-continuity-continuous) *المتباينة* على [فترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) رتيبةً قطعًا تلقائيًا، ومنه فلا يكلّف فرض الرتابة شيئًا.

**مثال 13.18 (الجذور من كل الرتب).**

من أجل $n \in \N^*$، تكون الدالة $f(x) = x^n$ [متصلة](#def-b1-continuity-continuous) و متزايدة قطعًا على $\intco{0}{+\infty}$، مع $f(0) = 0$ و $f(x) \to +\infty$: فصورتها هي $\intco{0}{+\infty}$ ([المبرهنة 13.10](#thm-b1-continuity-ivt) من أجل بنية [الفترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals)). وعندئذ تعطي مبرهنة التقابل الرتيب، دفعة واحدة، معكوسًا *متصلًا* متزايدًا قطعًا

$$
x \mapsto x^{1/n} \colon \intco{0}{+\infty} \to
\intco{0}{+\infty} :
$$

أي وجود الجذور من الرتبة $n$ ووحدانيتها واتصالها، دون أيّ حساب. وقارن بالمقدار [التمرين 10.12](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#exo-b1-reals-12)، الذي بنى $\sqrt y$ باليد من [الحد الأعلى](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#def-b1-reals-bounds): فقد ضغط فصلٌ واحد من النظرية تلك الصفحة من العمل في سطرين، والسطران نفساهما شرّعا $\arcsin$ و $\arctan$ و $\operatorname{arsinh}$ قبلها. والفكرة النافذة: المبرهنة الجيدة عملٌ مخزون.

## 13.4 الاتصال المنتظم

**تعريف 13.19.**

تكون $f \colon I \to \R$ *متصلة انتظامًا* إذا كان

$$
\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x, y \in I,
\qquad \abs{x - y} \leq \delta \implies \abs{f(x) - f(y)} \leq
\varepsilon .
$$

والمقصود: أن $\delta$ لا يتعلق إلا بالمقدار $\varepsilon$، لا بالموضع في $I$. [والاتصال](#def-b1-continuity-continuous) المنتظم يستلزم [الاتصال](#def-b1-continuity-continuous)؛ وكل دالة *ليبشيتزية* ($\abs{f(x) - f(y)} \leq k \abs{x - y}$) [متصلة](#def-b1-continuity-continuous) انتظامًا ($\delta = \varepsilon/k$).

**مثال 13.20.**

الدالة $x \mapsto x^2$ [متصلة](#def-b1-continuity-continuous) على $\R$ لكنها *ليست* [متصلة انتظامًا](#def-b1-continuity-uniform): $\abs{(n + \frac 1n)^2 - n^2} = 2 + \frac{1}{n^2} \geq 2$ مع أن المتغيرين على بعد $\frac 1n \to 0$. وأمّا على أيّ [فترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) محدودة فهي ليبشيتزية، ومنه [متصلة انتظامًا](#def-b1-continuity-uniform) — وهذا متسق مع مبرهنة هاينه أدناه.

**مثال 13.21 (معاملات الانتظام، صراحةً).**

على قطعة، يضمن هاينه وجود $\delta$ منتظم؛ وكثيرًا ما يمكن *حسابه* كذلك. فمن أجل $f(x) = x^2$ على $\intcc{0}{10}$:

$$
\abs{x^2 - y^2} = \abs{x + y}\,\abs{x - y} \leq 20\,\abs{x - y},
$$

ومنه يفي $\delta = \frac{\varepsilon}{20}$ بالغرض انتظامًا (وهو معامل ليبشيتزي، خطي في $\varepsilon$). ومن أجل $\sqrt x$ على $\intcc{0}{1}$: $\abs{\sqrt x - \sqrt y} \leq \sqrt{\abs{x -
y}}$ ([التمرين 13.9](#exo-b1-continuity-9))، ومنه يفي $\delta = \varepsilon^2$ بالغرض — وهو منتظم لكنه *ليس* خطيًا: فقرب $0$ يكون الجذر التربيعي شديد الانحدار، ويظهر الثمن في أُسّ $\varepsilon$، لا في فشل الانتظام. والفكرة النافذة: [الاتصال المنتظم](#def-b1-continuity-uniform) طيف، لا نعم/لا — فالدالة $\delta(\varepsilon)$، المسمّاة المعامل، تقيس كم يكلّف الانتظام، وليبشيتز ببساطة أفضل درجاتها.

**مبرهنة 13.22 (هاينه).**

كل دالة [متصلة](#def-b1-continuity-continuous) على *قطعة* $\intcc{a}{b}$ [متصلة انتظامًا](#def-b1-continuity-uniform).

**برهان.** بالخلف: افترض أن $\varepsilon_0 > 0$ ما يهزم كل $\delta$. ومع $\delta = \frac{1}{n+1}$، اختر $x_n, y_n \in
\intcc{a}{b}$ يحققان $\abs{x_n - y_n} \leq \frac{1}{n+1}$ و $\abs{f(x_n) - f(y_n)} > \varepsilon_0$. ويستخرج التراص ([المبرهنة 12.19](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/12-topology-of-the-real-line#thm-b1-topology-compact)) المتتاليةَ $x_{\varphi(n)} \to c \in
\intcc{a}{b}$؛ عندئذ $y_{\varphi(n)} \to c$ كذلك (بالحصر على $\abs{x -
y}$). ويعطي [الاتصال](#def-b1-continuity-continuous) عند $c$ أن $f(x_{\varphi(n)}) \to f(c)$ و $f(y_{\varphi(n)}) \to f(c)$، ومنه $\abs{f(x_{\varphi(n)}) -
f(y_{\varphi(n)})} \to 0 < \varepsilon_0$: وهذا تناقض. ∎

**مثال 13.23 (محدودة ومتصلة ومع ذلك ليست منتظمة).**

الدالة $f(x) = \sin(x^2)$ [متصلة](#def-b1-continuity-continuous) ومحدودة على $\R$، لكنها ليست [متصلة انتظامًا](#def-b1-continuity-uniform). خذ

$$
x_n = \sqrt{2\pi n}, \qquad y_n = \sqrt{2\pi n + \tfrac\pi2}:
\qquad
y_n - x_n = \frac{\pi/2}{\sqrt{2\pi n + \frac\pi2} +
\sqrt{2\pi n}} \longrightarrow 0 ,
$$

ومع ذلك $f(y_n) - f(x_n) = \sin\bigl(2\pi n + \frac\pi2\bigr) -
\sin(2\pi n) = 1 - 0 = 1$ من أجل كل $n$: فلا $\delta$ واحد يستطيع أن يفي بالمقدار $\varepsilon = \frac12$ في كل مكان. وهندسيًا، *تتسارع* تذبذبات $\sin(x^2)$: إذ يُتمّ المنحنى موجة كاملة على نوافذ أقصر فأقصر، ومنه فالسلّم الأفقي الذي يقتضيه $\varepsilon$ معطى يتقلص إلى الصفر كلما كبر $x$. والفكرة النافذة: الحدّية لا تشتري الانتظام (وهذا المثال شاهده)، وعدم الحدّية لا يمنعه ($\sqrt x$، [التمرين 13.9](#exo-b1-continuity-9))؛ وما يفصل هو *معامل التذبذب*، وتقول مبرهنة هاينه إن مجموعات التعريف المتراصة تؤدّبه تلقائيًا.

**مثال 13.24 (تجربة الآلة الحاسبة، مفسَّرة).**

اطبع أيّ عدد في آلة حاسبة واضغط $\cos$ مرارًا: فتستقر الشاشة على $0.7390851\dots$ فلماذا؟ بعد ضغطة واحدة تقع القيمة في $\intcc{-1}{1}$، وبعد ضغطتين في $\intcc{\cos 1}{1}
\subseteq \intcc{0.54}{1}$، وهي [فترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) مستقرة من أجل $\cos$. وعليها، $\abs{\cos a - \cos b} \leq \sin(1)\,\abs{a - b}$ مع $\sin 1 =
0.841\dots < 1$ (وهو حاصر تحويل الجداء إلى مجموع في [المسألة 11.1](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/11-sequences#pb-b1-seq-1)، أو متراجحة التزايدات المنتهية في [الفصل 14](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/14-differentiation#ch-b1-derivative)): ومنه فالتكرار تقلّصي، ومنه، حسب خطوة ضبط الخطأ في [الطريقة 11.23](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/11-sequences#met-b1-seq-recurrent)،

$$
\abs{u_n - c} \leq (0.842)^{\,n-2}\,\abs{u_2 - c}
\longrightarrow 0 ,
$$

حيث $c$ هي النقطة الصامدة الوحيدة $\cos c = c$ ([التمرين 13.6](#exo-b1-continuity-6)). ونحو $40$ ضغطة تشتري ثلاثة أرقام عشرية ($0.842^{40} \approx 10^{-3}$) — وهي سرعة هندسية، أخفّ من سرعة الثنائية $2^{-n}$ لكل خطوة، لكن كل ضغطة تكلّف ضربة مفتاح واحدة بينما تكلّف كل خطوة ثنائية تقييمَ إشارة كاملًا. والفكرة النافذة: صورة النقطة الصامدة في [الفصل 11](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/11-sequences#ch-b1-seq) ومبرهنات الوجود في هذا الفصل نصفان لقصة واحدة — فمبرهنة القيم الوسطى تجد $c$، والتقلّص يبلغه.

**ملاحظة 13.25 (أين تعمل هذه المبرهنات تاليًا).**

تحرّك كلٌّ من أعمدة هذا الفصل الثلاثة فصلًا لاحقًا. فمبرهنة القيم الوسطى تغذّي كل حجة على وجود الحلول ومبرهنةَ التقابل الرتيب؛ ومبرهنة القيم الحدّية تحوّل مسائل الأمثلية إلى مبرهنات (فمبرهنة رول و مبرهنة التزايدات المنتهية في [الفصل 14](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/14-differentiation#ch-b1-derivative) تبدآن هناك بالضبط)؛ ومبرهنة هاينه هي سبب إمكان مكاملة الدوال [المتصلة](#def-b1-continuity-continuous) على القطع في [الفصل 15](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/15-integration-on-a-segment#ch-b1-integration) — فالمقدار $\delta$ المنتظم هو ما يجعل مجاميع ريمان تتقارب. وفي مجلّد السنة الثانية يعود الثلاثي نفسه في الفضاءات المعيارية، ويقوم التراص بالعمل الذي تقوم به القطع هنا.

**ملاحظة 13.26 (منظورات داخل هذا المجلّد).**

[الاتصال](#def-b1-continuity-continuous) على وشك أن يُتجاوز لكنه لا يتقاعد أبدًا. فالفصل [الفصل 14](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/14-differentiation#ch-b1-derivative) يقوّيه إلى الاشتقاقية و يردّ الجميل (فالاشتقاقية تستلزم [الاتصال](#def-b1-continuity-continuous))؛ و [الفصل 15](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/15-integration-on-a-segment#ch-b1-integration) يقوم عليه مرتين، عبر هاينه من أجل البناء وعبر المبرهنة الأساسية، التي يرقّي غرضها المركزي $x \mapsto \int_a^x f$ دالةً $f$ [متصلة](#def-b1-continuity-continuous) فحسب إلى دالة أصلية من الصنف $C^1$. وفي [الفصل 25](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/25-functions-of-two-variables#ch-b1-multivar)، يحمل [الاتصال](#def-b1-continuity-continuous) في متغيرين فخًّا يستحق العرض المسبق: فالدالة $\frac{xy}{x^2 + y^2}$ (ممدَّدة بالقيمة $0$) [متصلة](#def-b1-continuity-continuous) في $x$ من أجل كل $y$ مثبَّت وفي $y$ من أجل كل $x$ مثبَّت، ومع ذلك ليست [متصلة](#def-b1-continuity-continuous) عند المبدأ — إذ إنها على القطر $x = y$ تساوي $\frac12$ باستمرار. [فالاتصال](#def-b1-continuity-continuous) المنفصل أضعف قطعًا من [الاتصال](#def-b1-continuity-continuous): فالتمييز التتالي ينجو من الانتقال إلى $\R^2$، لكن يجب السماح للمتتاليات بالاقتراب من *كل* اتجاه، لا على المحاور فقط.

## 13.5 تمارين

**تمرين 13.1 ★.**

باستعمال التمييز التتالي، برهن على أن $x \mapsto
\sin\frac 1x$ لا نهاية له عند $0^+$ *(أظهر متتاليتين)*. وهل للمقدار $x \mapsto x \sin\frac 1x$ نهاية؟

**حل التمرين 13.1.**

خذ $u_n = \frac{1}{2\pi n + \pi/2}$ و $v_n = \frac{1}{2\pi n}$: فكلتاهما تؤول إلى $0^+$، ومع ذلك $\sin\frac{1}{u_n} = 1$ و $\sin\frac{1}{v_n} = 0$. متتاليتان ونهايتان مختلفتان للصور: ومنه، حسب [المبرهنة 13.3](#thm-b1-continuity-seqchar)، لا نهاية عند $0^+$.

$x \sin\frac1x$: محصورة بالمقدار $\abs{x\sin\frac1x} \leq \abs x \to 0$، ومنه فالنهاية عند $0$ موجودة وتساوي $0$.

**تمرين 13.2 ★.**

ادرس [الاتصال](#def-b1-continuity-continuous) على $\R$ للمقدار $f(x) = \lfloor x \rfloor$ وللمقدار $g(x) = x - \lfloor x \rfloor$، وللمقدار $h(x) = \lfloor x \rfloor +
(x - \lfloor x\rfloor)^2$.

**حل التمرين 13.2.**

الدالة $f = \lfloor\cdot\rfloor$ [متصلة](#def-b1-continuity-continuous) على $\R \setminus \Z$ (لكونها ثابتة موضعيًا) ومنقطعة عند كل $n \in \Z$: فالنهاية اليسرى $n - 1$ والقيمة $n$.

$g(x) = x - \lfloor x\rfloor$: نقاط الانقطاع نفسها (لأن [التطبيق](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) المطابق متصل، ومنه ترث $g$ قفزات $f$)؛ وعند $n \in
\Z$، النهاية اليسرى $1 \neq 0 = g(n)$.

$h(x) = \lfloor x\rfloor + (x - \lfloor x\rfloor)^2$: على $\intco{n}{n
+ 1}$، $h(x) = n + (x - n)^2$، وهي [متصلة](#def-b1-continuity-continuous) هناك؛ وعند $x = n$، تكون النهاية اليسرى $(n-1) + 1 = n = h(n)$: فتتلاشى القفزات. ومنه فالدالة $h$ [متصلة](#def-b1-continuity-continuous) على $\R$ (ومتزايدة قطعًا).

**تمرين 13.3 ★.**

برهن على أن للمعادلة $x^5 - 3x + 1 = 0$ ثلاثة حلول حقيقية على الأقل *(قوّم عند نقاط محسنة الاختيار وطبّق [المبرهنة 13.10](#thm-b1-continuity-ivt) على ثلاث قطع منفصلة)*.

**حل التمرين 13.3.**

$P(x) = x^5 - 3x + 1$: $P(-2) = -32 + 6 + 1 = -25 < 0$؛ $P(0) = 1 >
0$؛ $P(1) = -1 < 0$؛ $P(2) = 27 > 0$. فثلاثة تغيرات إشارة على القطع المنفصلة $\intcc{-2}{0}$ و $\intcc{0}{1}$ و $\intcc{1}{2}$: ومنه، حسب [المبرهنة 13.10](#thm-b1-continuity-ivt)، ثلاثة جذور على الأقل. (ولكونه من الدرجة $5$، فللمقدار $P$ خمسة على الأكثر؛ وستبيّن دراسة تغيرات أن العدد ثلاثة بالضبط.)

**تمرين 13.4 ★.**

برهن على أن لكل [كثير حدود](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) من درجة فردية جذرًا حقيقيًا.

**حل التمرين 13.4.**

ليكن $P = a_{2m+1}X^{2m+1} + \dots$ مع $a_{2m+1} > 0$ (وإلا فاستبدل بالمقدار $P$ المقدارَ $-P$). وبتعميل الحد المهيمن، $P(x) = a_{2m+1}
x^{2m+1}\bigl(1 + o(1)\bigr)$ عندما $x \to \pm\infty$: ومنه $P(x) \to
+\infty$ عند $+\infty$ و $-\infty$ عند $-\infty$. اختر $a$ يحقق $P(a) < 0$ و $b$ يحقق $P(b) > 0$: فتعطي مبرهنة القيم الوسطى على $\intcc{a}{b}$ جذرًا.

**تمرين 13.5 ★★.**

(نقطة صامدة) لتكن $f \colon \intcc{0}{1} \to \intcc{0}{1}$ [متصلة](#def-b1-continuity-continuous). برهن على أن للمقدار $f$ نقطةً صامدة: أي $f(c) = c$ من أجل $c$ ما. وبيّن أنه لا يمكن إسقاط [الاتصال](#def-b1-continuity-continuous) ولا القطعة.

**حل التمرين 13.5.**

لتكن $g(x) = f(x) - x$، وهي [متصلة](#def-b1-continuity-continuous) على $\intcc{0}{1}$. ولأن $f$ ترسل داخل $\intcc{0}{1}$: يكون $g(0) = f(0) \geq 0$ و $g(1) = f(1) - 1 \leq
0$. ومنه، حسب [المبرهنة 13.10](#thm-b1-continuity-ivt)، $g(c) = 0$ من أجل $c$ ما: أي نقطة صامدة.

وأمّا لزوم الفرضين: فعلى $\intcc{0}{1}$، ليس [للتطبيق](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) المنقطع $f(x) = 1$ من أجل $x \leq \frac12$ و $f(x) = 0$ من أجل $x > \frac12$ أيّ نقطة صامدة؛ وعلى [الفترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) $\intoo{0}{1}$ (وهي ليست قطعة)، تكون $f(x) =
\frac x2$ [متصلة](#def-b1-continuity-continuous) داخل $\intoo{0}{1}$ بلا نقطة صامدة (إذ المرشّح $0$ مفقود)؛ وعلى $\R$، $f(x) = x + 1$.

**تمرين 13.6 ★★.**

برهن على أن للمعادلة $\cos x = x$ حلًا حقيقيًا واحدًا بالضبط، وعلى أنه يقع في $\intoo{0}{1}$.

**حل التمرين 13.6.**

الدالة $g(x) = \cos x - x$ [متصلة](#def-b1-continuity-continuous)، و $g(0) = 1 > 0$، و $g(1) = \cos 1 -
1 < 0$: ومنه يوجد حل في $\intoo{0}{1}$ ([المبرهنة 13.10](#thm-b1-continuity-ivt)). والوحدانية: $g$ متناقصة قطعًا على $\R$ — فمن أجل $x \leq 0$، ليس للمقدار $g(x) \geq 1 - x > 0$ جذر أصلًا؛ و $g'(x) = -\sin x - 1 \leq 0$ مع المساواة عند نقاط معزولة فقط ($x \equiv -\frac\pi2 \bmod 2\pi$)، ومنه فالدالة $g$ متناقصة قطعًا ([الفصل 14](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/14-differentiation#ch-b1-derivative)؛ أو بدلًا من ذلك: على $\intcc{0}{1}$، تكون $\cos$ متناقصة قطعًا وكذلك $-x$، ومنه فالدالة $g$ كذلك). والدالة الرتيبة قطعًا تنعدم مرة واحدة على الأكثر.

**تمرين 13.7 ★★.**

لتكن $f \colon \R \to \R$ [متصلة](#def-b1-continuity-continuous) مع $f(x) \to +\infty$ عندما $x
\to \pm\infty$. برهن على أن $f$ تبلغ أصغر قيمة شاملة على $\R$. *(ردّ الأمر إلى قطعة تحتوي [مجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) تحت المستوى.)*

**حل التمرين 13.7.**

ثبّت $M = f(0) + 1$. يوجد $A > 0$ يحقق $f(x) \geq M$ من أجل $\abs x
\geq A$ (بحكم تعريف النهايتين غير المنتهيتين؛ وخذ العتبة الأكبر). وعلى القطعة $\intcc{-A}{A}$، تعطي مبرهنة القيم الحدّية ([المبرهنة 13.13](#thm-b1-continuity-evt)) عددًا $c$ يحقق $f(c) =
\inf_{\intcc{-A}{A}} f \leq f(0)$. ومن أجل $\abs x \geq A$: $f(x) \geq M
> f(0) \geq f(c)$. ومنه فالقيمة $f(c)$ هي أصغر قيمة شاملة.

**تمرين 13.8 ★★.**

لتكن $f \colon \R \to \R$ [متصلة](#def-b1-continuity-continuous) ودورية (بالدور $T >
0$). برهن على أن $f$ محدودة وتبلغ حاصريها، وعلى أنه يوجد $c$ يحقق $f(c + \frac T2) = f(c)$. *(ومن أجل النقطة الثانية، ادرس $g(x) = f(x + \frac T2) - f(x)$ على دور واحد.)*

**حل التمرين 13.8.**

على القطعة $\intcc{0}{T}$، تكون $f$ محدودة وتبلغ حاصريها ([المبرهنة 13.13](#thm-b1-continuity-evt))؛ وبالدورية، تكون هذه هي الحواصر على $\R$ كله، ولا تزال مبلوغة.

ولتكن $g(x) = f(x + \frac T2) - f(x)$، وهي [متصلة](#def-b1-continuity-continuous). عندئذ

$$
g(0) + g\bigl(\tfrac T2\bigr)
= \bigl(f(\tfrac T2) - f(0)\bigr) + \bigl(f(T) - f(\tfrac T2)\bigr)
= f(T) - f(0) = 0 :
$$

وللمقدارين $g(0)$ و $g(\frac T2)$ إشارتان متعاكستان (أو ينعدم أحدهما)، ومنه تعطي مبرهنة القيم الوسطى على $\intcc{0}{T/2}$ عددًا $c$ يحقق $g(c) = 0$، أي $f(c + \frac T2) = f(c)$.

**تمرين 13.9 ★★.**

برهن على أن $x \mapsto \sqrt x$ [متصلة انتظامًا](#def-b1-continuity-uniform) على $\intco{0}{+\infty}$، وإن لم تكن ليبشيتزية بجوار $0$. *(برهن على $\abs{\sqrt x - \sqrt y} \leq \sqrt{\abs{x -
y}}$ واستعمله.)*

**حل التمرين 13.9.**

أولًا المتراجحة: من أجل $0 \leq y \leq x$،

$$
\bigl(\sqrt y + \sqrt{x - y}\bigr)^2 = x + 2\sqrt{y(x-y)} \geq x,
$$

ومنه $\sqrt x \leq \sqrt y + \sqrt{x - y}$، أي $\sqrt x - \sqrt y
\leq \sqrt{x - y}$. ومنه $\abs{\sqrt x - \sqrt y} \leq
\sqrt{\abs{x - y}}$ من أجل كل $x, y \geq 0$.

[والاتصال المنتظم](#def-b1-continuity-uniform): من أجل $\varepsilon > 0$، خذ $\delta =
\varepsilon^2$؛ عندئذ يستلزم $\abs{x - y} \leq \delta$ أن $\abs{\sqrt x
- \sqrt y} \leq \sqrt\delta = \varepsilon$.

وهي ليست ليبشيتزية بجوار $0$: إذ $\frac{\sqrt x - \sqrt 0}{x - 0} =
\frac{1}{\sqrt x} \to +\infty$ عندما $x \to 0^+$، ومنه فلا ثابت $k$ يستطيع السيطرة على كل نسب الفروق.

**تمرين 13.10 ★★★.**

لتكن $f$ [متصلة](#def-b1-continuity-continuous) ومتباينة على [فترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) $I$. برهن على أن $f$ رتيبة قطعًا. *إرشاد: إذا لم تكن كذلك، فيوجد $a < b < c$ مع، مثلًا، $f(b) > f(a)$ و $f(b) > f(c)$؛ فطبّق مبرهنة القيم الوسطى على قيمة بين $\max(f(a), f(c))$ و $f(b)$ على جانبَي $b$ معًا.*

**حل التمرين 13.10.**

افترض أن $f$ متباينة [ومتصلة](#def-b1-continuity-continuous) وليست رتيبة قطعًا. عندئذ يوجد $a < b < c$ في $I$ مع كون $f(b)$ ليست بين $f(a)$ و $f(c)$ — فعلًا، لو كانت القيمة الوسطى بين القيمتين الطرفيتين من أجل *كل* الثلاثيات، لكانت $f$ رتيبة (قارن أيّ زوجين؛ وهو تحقّق حالات قصير). ولنقل $f(b) > \max(f(a), f(c))$ (والحالة الأخرى متناظرة، فاستبدل بالمقدار $f$ المقدارَ $-f$). اختر $v$ يحقق $\max(f(a),
f(c)) < v < f(b)$. وبتطبيق مبرهنة القيم الوسطى على $\intcc{a}{b}$ وعلى $\intcc{b}{c}$، يوجد $u_1 \in
\intoo{a}{b}$ و $u_2 \in \intoo{b}{c}$ يحققان $f(u_1) = v = f(u_2)$: أي نقطتان متمايزتان بصورتين متساويتين، وهذا يناقض التباين.

**تمرين 13.11 ★★★.**

(معادلة كوشي الدالية، الحالة [المتصلة](#def-b1-continuity-continuous)) لتكن $f \colon \R \to
\R$ [متصلة](#def-b1-continuity-continuous) مع $f(x + y) = f(x) + f(y)$ من أجل كل $x, y$. برهن على أن $f(x) = f(1)\,x$ من أجل كل $x$: أولًا على $\N$ و $\Z$ و $\Q$ (بالجمعية وحدها)، ثم على $\R$ [بالاتصال](#def-b1-continuity-continuous) [والكثافة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/12-topology-of-the-real-line#def-b1-topology-dense) ([المبرهنة 10.14](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#thm-b1-reals-density)).

**حل التمرين 13.11.**

يعطي $f(0) = f(0+0) = 2f(0)$ أن $f(0) = 0$؛ و $f(-x) = -f(x)$ من $0 =
f(x - x)$. ضع $\alpha = f(1)$. وبالاستقراء: $f(n) = n\alpha$ من أجل $n
\in \N$، ثم من أجل $n \in \Z$ بالفردية. ومن أجل $q \in \N^*$: $q\,f(\frac pq) = f(p) = p\alpha$ (بجمع $\frac pq$ إلى نفسه $q$ مرة)، ومنه $f(\frac pq) = \alpha\frac pq$: أي $f = \alpha\,
\mathrm{id}$ على $\Q$.

وليكن الآن $x \in \R$ ولتكن $(r_n)$ متتالية أعداد ناطقة تحقق $r_n \to
x$ ([بالكثافة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/12-topology-of-the-real-line#def-b1-topology-dense)، [المبرهنة 10.14](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#thm-b1-reals-density)، مطبَّقة على فترات متداخلة؛ أو $r_n = \frac{\lfloor nx\rfloor}{n}$). وبالاتصال: $f(x) = \lim f(r_n) = \lim \alpha r_n = \alpha x$.

**تمرين 13.12 ★★★.**

لتكن $f \colon \intco{0}{+\infty} \to \R$ [متصلة](#def-b1-continuity-continuous) مع $f(x) \to \ell \in \R$ عندما $x \to +\infty$. برهن على أن $f$ [متصلة](#def-b1-continuity-continuous) *انتظامًا* على $\intco{0}{+\infty}$. *(اقطع عند $A$ كبير: هاينه على $\intcc{0}{A+1}$، والنهاية بعد $A$؛ واجعل النظامين متداخلين.)*

**حل التمرين 13.12.**

ليكن $\varepsilon > 0$. حسب النهاية عند $+\infty$، يوجد $A$ يحقق $\abs{f(x) - \ell} \leq \frac\varepsilon2$ من أجل $x \geq A$؛ ومنه من أجل $x, y \geq A$: $\abs{f(x) - f(y)} \leq \varepsilon$ (دون أيّ حاجة إلى تقارب).

وعلى القطعة $\intcc{0}{A + 1}$، تعطي مبرهنة هاينه ([المبرهنة 13.22](#thm-b1-continuity-heine)) عددًا $\delta_0 > 0$ من أجل هذا $\varepsilon$؛ ضع $\delta = \min(\delta_0, 1)$.

والآن خذ أيّ $x, y \geq 0$ يحققان $\abs{x - y} \leq \delta$، ولنقل $x
\leq y$. فإذا كان $y \leq A + 1$: فكلاهما في القطعة، وينطبق المقدار $\delta_0$ من هاينه. وإلا فإن $y > A + 1$، وعندئذ $x \geq y - 1 >
A$: فكلاهما في $\intco{A}{+\infty}$، حيث تنطبق حجة النهاية. وفي الحالتين $\abs{f(x) - f(y)} \leq \varepsilon$: وهو [الاتصال المنتظم](#def-b1-continuity-uniform).

## 13.6 مسألة: معادلة كوشي الدالية وأخواتها

**مسألة 13.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — $f(x + y) = f(x) + f(y)$: الانتظام يفرض الخطية، وصورة الوحوش

أيّ الدوال تحقق $f(x + y) = f(x) + f(y)$ من أجل كل $x,
y$ حقيقيين؟ طرح كوشي السؤال سنة 1821؛ والجواب نموذج فكري. ويبيّن [التمرين 13.11](#exo-b1-continuity-11) أن مثل هذه الدالة *الجمعية* خطية على $\Q$ وأن [الاتصال](#def-b1-continuity-continuous) الكامل يفرض $f(x)
= cx$. وتشحذ هذه المسألة الفرض شحذًا هائلًا — [فالاتصال](#def-b1-continuity-continuous) عند نقطة *واحدة*، أو الرتابة، أو مجرد الحدّية على [فترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) صغيرة واحدة، كلٌّ منها يكفي — ثم ترسم صورة حلّ لا خطي مفترض (فمنحناه يملأ المستوي)، وتحلّ المعادلات الأخوات التي تميّز $\eu^{cx}$ و $c\ln x$ و $x^c$ و $cx^2$، وتُختم بمعادلة ينسن والمبرهنة *محدَّبة عند المنتصف $+$ [متصلة](#def-b1-continuity-continuous) $\implies$ محدَّبة*. وفي كل ما يأتي، تعني *الجمعية*: $f(x + y) = f(x) + f(y)$ من أجل كل $x, y \in \R$.

**الجزء 1 — الخطية على $\Q$، ونقطة [اتصال](#def-b1-continuity-continuous) واحدة.**

1. لتكن $f$ جمعية. من [التمرين 13.11](#exo-b1-continuity-11) ، يكون $f(r) = f(1)\,r$ من أجل $r$ ناطق. برهن على [العبارة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-statement) الأدقّ المستعملة أدناه: من أجل *كل* $x \in \R$ و $r  \in \Q$ ، $f(rx) = r\,f(x)$ (أي إن $f$ خطية على $\Q$ ).
2. افترض أن الدالة الجمعية $f$ [متصلة](#def-b1-continuity-continuous) عند نقطة واحدة $x_0$ . بيّن أن $f$ [متصلة](#def-b1-continuity-continuous) في كل مكان *(احسب $f(x + h) - f(x)$ بدلالة $f(x_0 + h)  - f(x_0)$)* ، ومنه $f(x) = f(1)\,x$ .
3. بيّن أن الدالة الجمعية تتحدد بقصرها على أيّ [زمرة جزئية](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-subgroup) [كثيفة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/12-topology-of-the-real-line#def-b1-topology-dense) : فإذا تطابقت دالتان جمعيتان على $\Z + \sqrt2\,\Z$ وكانتا متصلتين، فهما متساويتان — بينما، دون [اتصال](#def-b1-continuity-continuous) ، يكون فرض $f(1) = 0$ و $f(\sqrt 2) = 1$ متسقًا مع الخطية على $\Q$ على [الزمرة الجزئية](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-subgroup) . واحسب $f(m +  n\sqrt2)$ من أجل هذا الفرض.
4. لتكن $f$ جمعية ومحدودة من أعلى بالمقدار $M$ على [فترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) ما $\intcc{a}{b}$ مع $a < b$ . بيّن أن $f$ محدودة من أعلى على $\intcc{0}{\ell}$ حيث $\ell = b - a$ *(بالانسحاب بالمقدار $a$)* .

**الجزء 2 — سلّم الانتظام.**

5. متابعةً للسؤال 4: باستعمال $f(\ell - t) + f(t) =  f(\ell)$ ، بيّن أن $f$ محدودة كذلك *من أدنى* على $\intcc{0}{\ell}$ : أي $\abs f \leq C$ هناك.
6. بيّن $\abs{f(t)} \leq \frac{C}{n}$ من أجل $t \in  \intcc{0}{\ell/n}$ ، واستنتج أن $f$ [متصلة](#def-b1-continuity-continuous) عند $0$ *(والفردية تعالج الجهة اليسرى)* ، ومنه في كل مكان (السؤال 2): فالدالة الجمعية المحدودة على [فترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) واحدة خطية.
7. استنتج الحالة الرتيبة: الدالة الجمعية غير المتناقصة على $\intcc{a}{b}$ ما ( $a < b$ ) هي $f(x)  = cx$ مع $c \geq 0$ .
8. ركّب *سلّم الانتظام* : من أجل $f$ جمعية، تتكافأ العبارات الآتية — (أ) $f(x) = cx$ ؛ (ب) $f$ [متصلة](#def-b1-continuity-continuous) ؛ (ج) $f$ [متصلة](#def-b1-continuity-continuous) عند نقطة واحدة؛ (د) $f$ رتيبة على [فترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) ما غير منحلّة؛ (ه) $f$ محدودة على [فترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) ما غير منحلّة. ورتّب الاستلزامات بحيث يكون كلٌّ إمّا بديهيًا وإمّا مبرهنًا عليه أصلًا.
9. تحقق من أن الأسئلة 4–6 لم تستهلك إلا حاصرًا *من أعلى* : فالدالة الجمعية المحدودة من أعلى على [فترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) واحدة غير منحلّة خطية أصلًا. واستنتج [العبارة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-statement) المرآتية من أجل حاصر من أدنى، وسجّل أقوى صيغة لدرجة السلّم (ه) محصَّلة هكذا.

**الجزء 3 — صورة وحش.** افترض الآن أن $f$ جمعية لكنها *ليست* خطية.

10. بيّن أنه يوجد عددان حقيقيان غير معدومين $u, v$ يحققان $\dfrac{f(u)}{u} \neq \dfrac{f(v)}{v}$ ، وأن المتجهتين $(u, f(u))$ و $(v, f(v))$ يولّدان المستوي (فمحددهما $u f(v) - v f(u)$ غير معدوم).
11. بيّن أن منحنى $f$ يحتوي كل النقاط $$r\,(u, f(u)) + s\,(v, f(v)), \qquad r, s \in \Q ,$$ واستنتج أن المنحنى *كثيف في $\R^2$*: أي إنه من أجل كل نقطة $(x_0, y_0)$ من المستوي وكل $\varepsilon > 0$، تقع $(x, f(x))$ ما على بعد $\varepsilon$ منها *(حُلَّ الجملة الحقيقية $2\times2$، ثم قارب المعاملات الحقيقية بأعداد ناطقة)*.
12. استنتج من السؤال 11 الصورة الكاملة: الدالة الجمعية غير الخطية غير محدودة على كل [فترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) غير منحلّة، ومنقطعة عند كل نقطة، وغير رتيبة على أيّ [فترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) ، وصورتها لأيّ [فترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) [كثيفة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/12-topology-of-the-real-line#def-b1-topology-dense) في $\R$ . ووفّق ذلك مع السؤال 8.
13. والوحوش موجودة — على [زمرة جزئية](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-subgroup) [كثيفة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/12-topology-of-the-real-line#def-b1-topology-dense) ، بناءً: على $G = \Z + \sqrt2\,\Z$ عرّف $f(m + n\sqrt2) = n$ . بيّن أن $f$ معرَّفة جيدًا وجمعية على $G$ ، وأن $f$ غير محدودة على $G \cap \intoo{0}{\varepsilon}$ من أجل كل $\varepsilon > 0$ *(فمن أجل $N$ مثبَّت، لا يوجد إلا عدد منته من $g = m + n\sqrt2 \in \intoo{0}{1}$ يحقق $\abs n \leq N$؛ ومع ذلك $G \cap \intoo{0}{\varepsilon}$ غير منتهية)* . وفسّر في فقرة واحدة لماذا يقتضي تمديد مثل هذه الدالة $f$ إلى $\R$ كله أساسًا للمقدار $\R$ بوصفه فضاءً متجهيًا على $\Q$ (أي *أساس هامل* )، وهو وجودٌ مسألته من مسائل بديهية الاختيار وخارج هذا المجلّد.

**الجزء 4 — المعادلات الأخوات.** وكل الدوال هنا [متصلة](#def-b1-continuity-continuous).

14. لتكن $f \colon \R \to \R$ [متصلة](#def-b1-continuity-continuous) وغير مساوية $0$ تمامًا، مع $f(x + y) = f(x)f(y)$ . بيّن $f(x) =  f\bigl(\frac x2\bigr)^2 \geq 0$ ، ثم $f > 0$ في كل مكان، ثم $f(x) = \eu^{cx}$ من أجل $c$ ما: فالأسّيات هي بالضبط التشاكلات [المتصلة](#def-b1-continuity-continuous) من $(\R, +)$ إلى $(\R^*, \times)$ .
15. لتكن $f \colon \intoo{0}{+\infty} \to \R$ [متصلة](#def-b1-continuity-continuous) مع $f(xy) = f(x) + f(y)$ . بيّن $f(x) = c\ln x$ *(بالنقل بالمقدار $\exp$)* .
16. لتكن $f \colon \intoo{0}{+\infty} \to \intoo{0}{+\infty}$ [متصلة](#def-b1-continuity-continuous) مع $f(xy) = f(x)f(y)$ . بيّن $f(x) = x^c$ .
17. جد كل الدوال [المتصلة](#def-b1-continuity-continuous) $f \colon \R \to \R$ التي تحقق $$f(x + y) = f(x) + f(y) + f(x)f(y) .$$ *(ادرس $h = 1 + f$؛ وعالج الحالة المنحلّة على حدة.)*
18. (متوازي الأضلاع) جد كل الدوال [المتصلة](#def-b1-continuity-continuous) $f \colon \R \to \R$ التي تحقق $f(x + y) + f(x - y) = 2f(x) + 2f(y)$ : بيّن أن $f$ زوجية، و $f(0) = 0$ ، و $f(nx) = n^2 f(x)$ بالاستقراء، ثم $f(x) = f(1)\,x^2$ . (وهذه المعادلة بصمة الأشكال التربيعية — وهي قانون متوازي الأضلاع الذي يكشف، في مجلّد السنة الثانية، أيّ المعايير يأتي من جداء سلّمي.)

**الجزء 5 — ينسن والتحدّب عند المنتصف.**

19. (معادلة ينسن) لتكن $f \colon \R \to \R$ [متصلة](#def-b1-continuity-continuous) مع $f\bigl(\frac{x+y}{2}\bigr) = \frac{f(x)  + f(y)}{2}$ . بيّن أن $g = f - f(0)$ تحقق $g\bigl(\frac x2\bigr) = \frac{g(x)}{2}$ ، واستنتج أن $g$ جمعية، واختم بأن $f(x) = cx + d$ .
20. افترض الآن *المتراجحة* فقط: $f$ [متصلة](#def-b1-continuity-continuous) مع $$f\Bigl(\frac{x + y}{2}\Bigr) \leq \frac{f(x) +  f(y)}{2} \qquad (x, y \in \R).$$ برهن بالاستقراء على $n$ على أنه من أجل كل الأوزان الثنائية $\lambda = \frac{k}{2^n} \in \intcc{0}{1}$: $$f\bigl(\lambda x + (1 - \lambda)y\bigr) \leq \lambda  f(x) + (1 - \lambda) f(y) .$$
21. مدّد [بالاتصال](#def-b1-continuity-continuous) وبكثافة الأعداد الثنائية ( [التمرين 10.8](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#exo-b1-reals-8) ) إلى كل $\lambda \in  \intcc{0}{1}$ : فالدالة [المتصلة](#def-b1-continuity-continuous) المحدَّبة عند المنتصف تحقق متراجحة التحدّب الكاملة (وهو المفهوم المدروس منهجيًا في [الفصل 14](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/14-differentiation#ch-b1-derivative) ).
22. بيّن أنه لا يمكن إسقاط [الاتصال](#def-b1-continuity-continuous) : فالدالة الجمعية غير الخطية $f$ تحقق *مساواة المنتصف* في السؤال 19 ومع ذلك لا تحقق أيّ متراجحة تحدّب على أيّ [فترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) (السؤال 12). والعبرة: التحدّب عند المنتصف خاصية ذات مراحل قابلة للعدّ (الأعداد الثنائية)، والتحدّب خاصية [متصلة](#def-b1-continuity-continuous) ؛ و [الاتصال](#def-b1-continuity-continuous) هو الجسر — تمامًا كما في الجزأين 1–2.

**الجزء 6 — تنويعات أخيرة وتوليفة.**

23. جد كل الدوال [المتصلة](#def-b1-continuity-continuous) $f \colon \R \to \R$ التي تحقق $f(x + y)  = f(x) + f(y) + xy$ *(اطرح الحل الخاص $\frac{x^2}{2}$)* .
24. برهن: إذا كانت $f \colon \R \to \R$ [متصلة](#def-b1-continuity-continuous) و جمعية على *[زمرة جزئية](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-subgroup) [كثيفة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/12-topology-of-the-real-line#def-b1-topology-dense)* $G$ فحسب (أي $f(g + g') = f(g) + f(g')$ من أجل $g, g' \in G$ )، فإن $f$ جمعية على $\R$ . وأعمّ من ذلك، تتساوى دالتان متصلتان تتطابقان على [مجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) جزئية [كثيفة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/12-topology-of-the-real-line#def-b1-topology-dense) من $\R$ .
25. توليفة، جملة واحدة لكلٍّ: (أ) اذكر سلّم الانتظام من السؤال 8 عن ظهر قلب؛ (ب) فسّر لماذا تكون «منحنى كثيف في المستوي» هي الصورة الذهنية الصحيحة لفشل الانتظام؛ (ج) اذكر الدوال الكلاسيكية الخمس المميَّزة في الجزأين 4–5 والطريقة الوحيدة التي أمسكت بها كلها؛ (د) وسمِّ الموضعين اللذين حملت فيهما [كثافة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/12-topology-of-the-real-line#def-b1-topology-dense) $\Q$ (أو الأعداد الثنائية) في $\R$ الحجةَ، والموضع الذي لم تستطع فيه (السؤال 13).

**حل المسألة 13.1.**

**1.** من أجل $n \in \N$: $f(nx) = n f(x)$ بالاستقراء ($f((n+1)x) = f(nx) + f(x)$). وكذلك يعطي $f(0) = 2f(0)$ أن $f(0) =
0$، ويعطي $0 = f(x - x) = f(x) + f(-x)$ الفرديةَ، ومنه $f(nx) =
nf(x)$ من أجل $n \in \Z$. ومن أجل $r = \frac pq$: $q\,f\bigl(\tfrac
pq x\bigr) = f(px) = p\,f(x)$، ومنه $f(rx) = r f(x)$: أي إن $f$ خطية على $\Q$.

**2.** تعطي الجمعية، من أجل كل $x$ و $h$:

$$
f(x + h) - f(x) = f(h) = f(x_0 + h) - f(x_0) .
$$

وعندما $h \to 0$، يؤول الطرف الأيمن إلى $0$ [بالاتصال](#def-b1-continuity-continuous) عند $x_0$؛ ومنه $f(x + h) \to f(x)$: أي [الاتصال](#def-b1-continuity-continuous) عند كل $x$. وعندئذ يعطي [التمرين 13.11](#exo-b1-continuity-11) أن $f(x) = f(1)\,x$.

**3.** الدالتان الجمعيتان المتصلتان لهما الشكل $cx$ و $c'x$ (السؤال 2)؛ وإذا تطابقتا على [الزمرة الجزئية](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-subgroup) [الكثيفة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/12-topology-of-the-real-line#def-b1-topology-dense) $\Z + \sqrt2\,\Z$ ([التمرين 10.9](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#exo-b1-reals-9))، فإن $c\,g = c'g$ من أجل $g \neq 0$ ما فيها: ومنه $c = c'$، وتتساوى الدالتان. وأمّا دون [اتصال](#def-b1-continuity-continuous): فلا تربط الخطية على $\Q$ إلا القيم عند تركيبات $\Q$، والعددان $1, \sqrt2$ مستقلان على $\Q$ ($\sqrt2
\notin \Q$)، ومنه يكون $f(1) = 0$ و $f(\sqrt2) = 1$ متسقًا و يفرض، على [الزمرة الجزئية](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-subgroup)،

$$
f(m + n\sqrt2) = m\,f(1) + n\,f(\sqrt2) = n .
$$

**4.** من أجل $t \in \intcc{0}{\ell}$: $a + t \in
\intcc{a}{b}$، ومنه $f(t) = f(a + t) - f(a) \leq M - f(a) =: M'$.

**5.** من أجل $t \in \intcc{0}{\ell}$، يكون كذلك $\ell - t \in
\intcc{0}{\ell}$، وتعطي الجمعية $f(t) = f(\ell) - f(\ell
- t) \geq f(\ell) - M'$. ومنه $\abs{f} \leq C$ على $\intcc{0}{\ell}$ مع $C = \max\bigl(\abs{M'}, \abs{f(\ell) -
M'}\bigr)$.

**6.** من أجل $t \in \intcc{0}{\ell/n}$: $nt \in
\intcc{0}{\ell}$ و $f(t) = \frac{f(nt)}{n}$ (السؤال 1)، ومنه $\abs{f(t)} \leq \frac Cn$. ومن أجل $\varepsilon > 0$ معطى، اختر $n >
\frac C\varepsilon$: فمن أجل $0 \leq h \leq \frac\ell n$، $\abs{f(h)} \leq \varepsilon$، ومن أجل $h$ سالب استعمل $f(h) =
-f(-h)$. ومنه $f(h) \to 0 = f(0)$ عندما $h \to 0$: أي [الاتصال](#def-b1-continuity-continuous) عند $0$، ومنه في كل مكان (السؤال 2)، ومنه $f(x) = f(1)x$.

**7.** إذا كانت $f$ غير متناقصة على $\intcc{a}{b}$، فإن $f(a) \leq f(x) \leq f(b)$ هناك: فهي محدودة، ومنه خطية حسب السؤال 6، أي $f(x) = cx$؛ ويفرض $c(b - a) = f(b) - f(a) \geq 0$ أن $c
\geq 0$.

**8.** (أ)$\Rightarrow$(ب)$\Rightarrow$(ج): بديهي. (ج)$\Rightarrow$(أ): السؤال 2. (أ)$\Rightarrow$(د): فالدالة الخطية رتيبة في كل مكان. (د)$\Rightarrow$(ه): فالدالة الرتيبة على $\intcc{a}{b}$ محدودة هناك بقيمتيها عند الطرفين. (ه)$\Rightarrow$(أ): الأسئلة 4–6. فالعبارات الخمس متكافئة — وهو سلّم الانتظام.

**9.** لم يستعمل السؤال 4 إلا [الحاصر الأعلى](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#def-b1-reals-bounds) $M$؛ و*استخرج* السؤال 5 الحاصرَ الأدنى من الأعلى عبر الانعكاس $f(t) = f(\ell) - f(\ell - t)$؛ ثم جرى السؤال 6 على $\abs f \leq C$. ومنه: فالدالة الجمعية المحدودة *من أعلى* على [فترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) واحدة غير منحلّة خطية أصلًا. وأمّا من أجل حاصر من أدنى، فطبّق هذا على $-f$ (وهي جمعية ومحدودة من أعلى). وأقوى درجة (ه): يكفي حاصر من جهة واحدة على [فترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) واحدة.

**10.** لو كان $\frac{f(x)}{x}$ ثابتًا واحدًا $c$ من أجل كل $x \neq 0$، لكانت $f$ خطية؛ ومنه يوجد $u, v$ غير معدومين يحققان $\frac{f(u)}u \neq \frac{f(v)}v$، أي $u f(v) - v f(u)
\neq 0$: فمحدد المتجهتين $(u, f(u))$ و $(v,
f(v))$ غير معدوم، وهما يولّدان $\R^2$.

**11.** من أجل $r, s \in \Q$: $f(ru + sv) = r f(u) + s f(v)$ (السؤال 1 مرتين مع الجمعية)، ومنه يحتوي المنحنى

$$
\bigl(ru + sv,\; r f(u) + s f(v)\bigr)
= r\,(u, f(u)) + s\,(v, f(v)) .
$$

ومن أجل $(x_0, y_0)$ و $\varepsilon > 0$ معطيين: يكون للجملة $2 \times 2$ $a(u, f(u)) + b(v, f(v)) = (x_0, y_0)$ حلٌّ حقيقي (وحيد) $(a, b)$ لأن المحدد غير معدوم. اختر أعدادًا ناطقة $r_n \to a$ و $s_n \to b$: عندئذ $r_n(u, f(u)) +
s_n(v, f(v)) \to (x_0, y_0)$ إحداثيةً إحداثية، وكل نقطة من هذه النقاط تقع على المنحنى: ومنه فالمنحنى كثيف في $\R^2$.

**12.** لتكن $I$ [فترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) غير منحلّة، و $x_0$ منتصفها، و $M$ كيفيًا: تعطي [الكثافة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/12-topology-of-the-real-line#def-b1-topology-dense) نقطة على المنحنى على بعد $\min\bigl(\frac{\abs I}{2}, 1\bigr)$ من $(x_0, M + 1)$، أي $x \in I$ يحقق $f(x) > M$: فهي غير محدودة على $I$، ومنه (حسب السؤال 8) منقطعة عند كل نقطة وغير رتيبة على أيّ [فترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals)؛ و من أجل أيّ هدف $y_0$، تعطي نقاط المنحنى بجوار $(x_0, y_0)$ قيمًا $f(x)$ قريبة من $y_0$ كما نشاء مع $x \in I$: أي إن $f(I)$ [كثيفة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/12-topology-of-the-real-line#def-b1-topology-dense) في $\R$. وهذا هو السؤال 8 مقروءًا بالمقلوب: فلأن كل الدرجات متكافئة، على الدالة الجمعية غير الخطية أن تفشل فيها *كلها*، في كل مكان.

**13.** معرَّفة جيدًا: إذ يفرض $m + n\sqrt2 = m' + n'\sqrt2$ أن $(n - n')\sqrt2 = m' - m \in \Z$، ومنه $n = n'$ (وإلا كان $\sqrt2 \in
\Q$) و $m = m'$. والجمعية على $G$ جلية عندئذ إحداثيةً إحداثية. وأمّا عدم الحدّية بجوار $0^+$: فثبّت $\varepsilon \in
\intoo{0}{1}$ و $N \in \N$. ومن أجل كل $n$ مثبَّت يحقق $\abs n
\leq N$، يثبّت الشرطُ $m + n\sqrt2 \in \intoo{0}{1}$ المقدارَ $m$ داخل [فترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) طولها $1$: أي عدد صحيح $m$ واحد على الأكثر لكل $n$، ومنه [فعدد عناصر](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/2-counting#def-b1-counting-card) $G \cap \intoo{0}{1}$ التي تحقق $\abs{f} \leq N$ هو $2N + 1$ على الأكثر. لكن $G \cap \intoo{0}{\varepsilon}$ غير منتهية (لأن $G$ [كثيفة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/12-topology-of-the-real-line#def-b1-topology-dense)، [التمرين 10.9](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#exo-b1-reals-9))؛ ومنه فهي تحتوي $g$ ما يحقق $\abs{f(g)} > N$: أي إن $f$ غير محدودة على كل [جوار](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/12-topology-of-the-real-line#def-b1-topology-open) أيمن للنقطة $0$. وأمّا تمديد $f$ إلى دالة جمعية على $\R$ فيعني اختيار قيم متسقة على عائلة من الأعداد الحقيقية مستقلة خطيًا على $\Q$ وتولّد $\R$ على $\Q$ — أي أساس هامل؛ وإنتاج واحد يقتضي بديهية الاختيار، ولا صيغة صريحة تفعل ذلك: فبناءً لا نملك الوحش إلا على $G$.

**14.** $f(x) = f(\frac x2 + \frac x2) = f(\frac x2)^2 \geq
0$. فإذا كان $f(x_0) = 0$، فإن $f(x) = f(x - x_0)f(x_0) = 0$ من أجل كل $x$: وهذا مستبعد. ومنه $f > 0$ وتكون $g = \ln \circ f$ [متصلة](#def-b1-continuity-continuous) ([القضية 13.8](#prop-b1-continuity-algebra)) مع $g(x + y) = g(x) +
g(y)$: ومنه، حسب [التمرين 13.11](#exo-b1-continuity-11)، $g(x) = cx$، ومنه $f(x) =
\eu^{cx}$. وبالعكس يفي كل $\eu^{cx}$ بالغرض: فالتشاكلات [المتصلة](#def-b1-continuity-continuous) $(\R, +) \to (\R^*, \times)$ هي بالضبط الأسّيات.

**15.** الدالة $g(u) = f(\eu^u)$ [متصلة](#def-b1-continuity-continuous) و $g(u + v) =
f(\eu^u \eu^v) = g(u) + g(v)$: ومنه $g(u) = cu$، وكل $x > 0$ يُكتب $x = \eu^u$ مع $u = \ln x$: ومنه $f(x) = c\ln x$.

**16.** الدالة $h = \ln \circ f$ [متصلة](#def-b1-continuity-continuous) على $\intoo{0}{+\infty}$ مع $h(xy) = h(x) + h(y)$: ومنه، حسب السؤال 15، $h(x) = c\ln x$، ومنه $f(x) = \eu^{c\ln x} = x^c$.

**17.** $x = y = 0$: $f(0) = 2f(0) + f(0)^2$، ومنه $f(0)(1 +
f(0)) = 0$. فإذا كان $f(0) = -1$: فبوضع $y = 0$، $f(x) = f(x) +
f(0) + f(x)f(0) = -1$ من أجل كل $x$: أي الدالة الثابتة $f \equiv -1$ (وهي تحقق المعادلة فعلًا). وإلا فإن $f(0) = 0$؛ وتكون $h
= 1 + f$ [متصلة](#def-b1-continuity-continuous) و $h(0) = 1$، و

$$
h(x + y) = 1 + f(x) + f(y) + f(x)f(y) = h(x)\,h(y) :
$$

ومنه، حسب السؤال 14، $h(x) = \eu^{cx}$، أي $f(x) = \eu^{cx} - 1$ (وتعطي الحالة $c = 0$ أن $f \equiv 0$). والقائمة الكاملة: $f
\equiv -1$ و $f(x) = \eu^{cx} - 1$ مع $c \in \R$.

**18.** $x = y = 0$: $2f(0) = 4f(0)$، ومنه $f(0) = 0$. و $x =
0$: $f(y) + f(-y) = 2f(y)$، ومنه فالدالة $f$ زوجية. و $y = x$: $f(2x) =
4f(x)$. وبالاستقراء باستعمال $(x, y) \to (nx, x)$:

$$
f((n{+}1)x) = 2f(nx) + 2f(x) - f((n{-}1)x)
= (2n^2 + 2 - (n-1)^2) f(x) = (n+1)^2 f(x) .
$$

وعندئذ يعطي $f(x) = f\bigl(q\cdot\frac xq\bigr) = q^2 f\bigl(\frac
xq\bigr)$ أن $f\bigl(\frac pq x\bigr) = \frac{p^2}{q^2}f(x)$: أي $f(r) = r^2 f(1)$ على $\Q$ (وتعالج الزوجية الإشارات). وتتطابق الدالتان المتصلتان $f$ و $x \mapsto f(1)x^2$ على [المجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) [الكثيفة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/12-topology-of-the-real-line#def-b1-topology-dense) $\Q$، ومنه في كل مكان (السؤال 24): $f(x) =
f(1)\,x^2$؛ وكل $cx^2$ يحقق المعادلة.

**19.** الدالة $g = f - f(0)$ [متصلة](#def-b1-continuity-continuous) و $g(0) = 0$، و تحقق معادلة ينسن (لأن الثوابت تتلاشى). وبأخذ $y =
0$: $g\bigl(\frac x2\bigr) = \frac{g(x)}{2}$. وعندئذ من أجل كل $x,
y$:

$$
\frac{g(x + y)}{2} = g\Bigl(\frac{x+y}{2}\Bigr)
= \frac{g(x) + g(y)}{2} ,
$$

ومنه فالدالة $g$ جمعية [ومتصلة](#def-b1-continuity-continuous): أي $g(x) = cx$ (السؤال 2)، و $f(x) = cx + d$ مع $d = f(0)$. وكل الدوال الأفينية تحقق ينسن: فالقائمة كاملة.

**20.** بالاستقراء على $n$. من أجل $n = 0$: $\lambda \in \{0,
1\}$، وهو بديهي. افترض المتراجحة من أجل كل الأوزان $\frac{k}{2^n}$. والوزن $\lambda = \frac{k}{2^{n+1}}$ مع $k$ زوجي يردّ إلى المستوى $n$؛ ومن أجل $k = 2j + 1$، يكون $\lambda$ منتصف $\lambda_1 = \frac{j}{2^n}$ و $\lambda_2 =
\frac{j+1}{2^n}$. ومع $z_i = \lambda_i x + (1 - \lambda_i)y$: $\lambda x + (1-\lambda)y = \frac{z_1 + z_2}{2}$، ومنه

$$
f\bigl(\lambda x + (1{-}\lambda)y\bigr)
\leq \frac{f(z_1) + f(z_2)}{2}
\leq \frac{(\lambda_1 + \lambda_2)f(x) + (2 - \lambda_1 -
\lambda_2)f(y)}{2}
= \lambda f(x) + (1 - \lambda)f(y) .
$$

**21.** ثبّت $x, y$. التطبيقان $\lambda \mapsto f(\lambda x +
(1 - \lambda)y)$ و $\lambda \mapsto \lambda f(x) + (1 -
\lambda)f(y)$ متصلان على $\intcc{0}{1}$ (بالتركيب و الجبر، [القضية 13.8](#prop-b1-continuity-algebra)). وتصحّ المتراجحة على الأوزان الثنائية، وهي [كثيفة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/12-topology-of-the-real-line#def-b1-topology-dense) في $\intcc{0}{1}$ ([التمرين 10.8](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#exo-b1-reals-8))؛ ومن أجل $\lambda$ كيفي خذ أعدادًا ثنائية $\lambda_n \to \lambda$ ومرّر إلى النهاية ([المبرهنة 13.3](#thm-b1-continuity-seqchar) و [المبرهنة 11.7](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/11-sequences#thm-b1-seq-order)): فتصحّ متراجحة التحدّب من أجل كل $\lambda \in
\intcc{0}{1}$ — أي إن التحدّب عند المنتصف مع [الاتصال](#def-b1-continuity-continuous) يساوي التحدّب (وهو مفهوم [الفصل 14](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/14-differentiation#ch-b1-derivative)).

**22.** تحقق الدالة الجمعية غير الخطية $f$ المقدارَ $f\bigl(\frac{x+y}{2}\bigr) = \frac{f(x) + f(y)}{2}$ بالضبط (السؤال 1 مع $r = \frac12$، ثم الجمعية): فهي محدَّبة عند المنتصف، بل أفينية عند المنتصف. ولو حققت متراجحة التحدّب الكاملة على [فترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) ما $\intcc{x}{y}$، لكان من أجل $\lambda \in \intcc{0}{1}$: $f(\lambda x + (1-\lambda)y) \leq
\max(f(x), f(y))$ — أي محدودة من أعلى على [فترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) غير منحلّة، ومنه خطية حسب السؤال 9: وهذا تناقض. ومنه [فالاتصال](#def-b1-continuity-continuous) في السؤال 21 ليس ترفًا: فبدونه لا يضبط التحدّب عند المنتصف إلا الهيكل الثنائي القابل للعدّ، ويجري ما بينهما من متصل جامحًا.

**23.** الدالة $p(x) = \frac{x^2}{2}$ تحقق $p(x+y) = p(x) +
p(y) + xy$. وإذا كانت $f$ أيَّ حل متصل، فإن $g = f - p$ [متصلة](#def-b1-continuity-continuous) وجمعية، ومنه $g(x) = cx$:

$$
f(x) = \frac{x^2}{2} + cx , \qquad c \in \R ,
$$

وكلٌّ من هذه حل: فالقائمة كاملة.

**24.** المبدأ العام: إذا كانت $u, v$ متصلتين و تطابقتا على [مجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) [كثيفة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/12-topology-of-the-real-line#def-b1-topology-dense) $D \subseteq \R$، فإنه من أجل $x \in \R$ اختر $d_n \in D$ مع $d_n \to x$ ([القضية 12.11](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/12-topology-of-the-real-line#prop-b1-topology-closureprops))؛ $u(x) = \lim u(d_n) =
\lim v(d_n) = v(x)$. والآن لتكن $f$ [متصلة](#def-b1-continuity-continuous) وجمعية على [الزمرة الجزئية](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-subgroup) [الكثيفة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/12-topology-of-the-real-line#def-b1-topology-dense) $G$. ثبّت $x, y \in \R$ وخذ $g_n \to x$ و $g'_n \to y$ مع $g_n, g'_n \in G$؛ عندئذ $g_n + g'_n \to x + y$ و، [بالاتصال](#def-b1-continuity-continuous) التتالي عند $x + y$ وعند $x$ وعند $y$:

$$
f(x + y) = \lim f(g_n + g'_n) = \lim\bigl(f(g_n) +
f(g'_n)\bigr) = f(x) + f(y) :
$$

ومنه فالدالة $f$ جمعية على $\R$ كله (ومنه خطية، حسب السؤال 2).

**25.** (أ) من أجل $f$ جمعية: خطية $\iff$ [متصلة](#def-b1-continuity-continuous) $\iff$ [متصلة](#def-b1-continuity-continuous) عند نقطة واحدة $\iff$ رتيبة على [فترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) ما $\iff$ محدودة (ولو من جهة واحدة) على [فترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) ما. (ب) [وكثافة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/12-topology-of-the-real-line#def-b1-topology-dense) المنحنى في المستوي تبيّن أن الفشل ليس عيبًا موضعيًا بل انفجار شامل: ففوق كل [فترة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) جزئية تتلطّخ القيم على $\R$ كله، ومنه تفشل كل خاصية انتظام في كل مكان دفعة واحدة. (ج) والصيد: $cx$ و $\eu^{cx}$ و $c\ln x$ و $x^c$ و $cx^2$ و $cx + d$ — ستة تمييزات و طريقة واحدة: انقل المعادلة إلى معادلة كوشي، وبرهن على الهيكل على $\Q$ بالاستقراء، وارتقِ إلى $\R$ [بالكثافة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/12-topology-of-the-real-line#def-b1-topology-dense) مع [الاتصال](#def-b1-continuity-continuous). (د) وحملت [كثافة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/12-topology-of-the-real-line#def-b1-topology-dense) $\Q$ (أو الأعداد الثنائية) الارتقاءات في [التمرين 13.11](#exo-b1-continuity-11) وفي السؤال 21؛ ولم تحمل شيئًا في السؤال 13، لأن القيم دون [اتصال](#def-b1-continuity-continuous) لا تنتشر من [مجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) [كثيفة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/12-topology-of-the-real-line#def-b1-topology-dense) إلى غلقها — [فالكثافة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/12-topology-of-the-real-line#def-b1-topology-dense) لا تنقل المعلومة إلا على امتداد [الاتصال](#def-b1-continuity-continuous).