---
title: "البُعد المنتهي"
book: "الرياضيات الجامعية — السنة 1"
subject: math
language: ar
chapter: 19
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/19-finite-dimension
---

# الفصل 19 — البُعد المنتهي

يحمل [الفضاء المولَّد](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-span) بعدد منته من المتجهات *بُعدًا* معرَّفًا جيدًا — وهو الحجم المشترك لكل أسسه. وتتدفق البراهين أدناه كلها من محرّك توفيقي واحد، هو مبرهنة التبادل المساعدة: فلا يمكن [لعائلة حرة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) أن تفوق عددًا عائلةً مولِّدة. ومع البُعد تأتي الأدوات المستعملة في كل مكان بعده: مبرهنة [الأساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) غير التام، [ورتبة](#def-b1-findim-rank) عائلة، وصيغة غراسمان.

## 19.1 وجود الأسس

**تعريف 19.1.**

يكون $E$ *ذا بُعد منته* إذا كانت له عائلة مولِّدة منتهية. (وإلا فهو *ذو بُعد غير منته*: وكذلك $K[X]$، الذي لا تولّد عائلاته المنتهية إلا كثيرات حدود محدودة الدرجة.)

**مبرهنة 19.2 (مبرهنة التبادل المساعدة).**

لتولّد $(g_1, \dots, g_n)$ الفضاءَ $E$ ولتكن $(f_1, \dots, f_p)$ [حرة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) في $E$. عندئذ $p \leq n$.

**برهان.** نبرهن بالاستقراء على $k \leq p$: *بعد إعادة ترقيم المقادير $g_j$، تولّد العائلة $(f_1, \dots, f_k, g_{k+1}, \dots, g_n)$ الفضاءَ $E$* — وهذا يفرض $k \leq n$ عند كل مرحلة، و $p \leq n$ في النهاية.

$k = 0$: وهو الفرض. والخطوة: افترضها من أجل $k - 1$؛ عندئذ يكون $f_k$ تركيبةً من $(f_1, \dots, f_{k-1},$ $g_k, \dots, g_n)$. وفي هذه التركيبة يكون لبعض $g_j$ ($j \geq k$) معامل غير معدوم — وإلا لكان $f_k$ تركيبةً من $f_1, \dots, f_{k-1}$، مناقضًا الحرية. فأعد الترقيم بحيث يكون $j = k$، وحُلَّ من أجل $g_k$: فيكون $g_k$ تركيبةً من $(f_1, \dots, f_k, g_{k+1}, \dots,
g_n)$. وعندئذ يمكن إعادة التعبير عن كل متجهة من $E$، معبَّرًا عنها بالعائلة $(k-1)$، بالعائلة ذات $k$: فهي مولِّدة. (وإذا كان $k - 1 = n$، فلا يبقى أيّ $g$ ويكون $f_k$ تركيبةً من المقادير $f_i$ وحدها: وهذا محال؛ ومنه $k \leq n$.) ∎

**مثال 19.3 (التبادل، مراقَبًا مرة واحدة).**

في $\R^2$، خذ العائلة المولِّدة $\bigl(g_1, g_2\bigr) =
\bigl((1,0), (0,1)\bigr)$ [والعائلة الحرة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) $\bigl(f_1,
f_2\bigr) = \bigl((1,2), (3,4)\bigr)$. الخطوة $1$: $f_1 = 1\cdot
g_1 + 2\cdot g_2$؛ ومعامل $g_2$ غير معدوم، ومنه بادِل $g_2$ بالمقدار $f_1$: فتبقى العائلة $\bigl(f_1, g_1\bigr)$ مولِّدة ($g_2 = \frac12(f_1 - g_1)$). والخطوة $2$: $f_2 =
(3,4) = 2\,f_1 + 1\cdot g_1$؛ ومعامل $g_1$ الباقي غير معدوم (وهذا لازم: لأن $f_2$ ليس مضاعفًا للمقدار $f_1$)، فبادِل مرة أخرى: فتولّد $\bigl(f_1, f_2\bigr)$ الفضاءَ $\R^2$. ولو كانت هناك متجهة [حرة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) ثالثة $f_3$، لما بقي أيّ $g$ ليمتصّها — وهذا بالضبط كيف تمنع المبرهنة المساعدة $3$ متجهات [حرة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) في $\R^2$. والبرهان أعلاه هو مسك الدفاتر هذا معمَّمًا.

**مبرهنة 19.4 (الأسس في البُعد المنتهي).**

ليكن $E \neq \{0\}$ [ذا بُعد منته](#def-b1-findim-def).

1. يمكن استخراج [أساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) من كل عائلة مولِّدة منتهية.
2. (مبرهنة [الأساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) غير التام) كل [عائلة حرة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) تمتدّ إلى [أساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) ، باستعمال متجهات من أيّ عائلة مولِّدة مختارة.
3. كل أسس $E$ منتهية، وبالعدد نفسه من العناصر: وهو *البُعد* $\dim E$ . (والاصطلاح: $\dim\{0\} = 0$ .)

**برهان.** (1) أسقط، واحدةً في كل مرة، أيّ متجهة تكون تركيبةً من البقية؛ فتبقى العائلة مولِّدة، لأنه يمكن في أيّ [عبارة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-statement) تستعمل المتجهة المسقَطة تعويضُ تركيبتها من الناجيات. وتنتهي العملية — إذ تقلّص كل خطوة عائلةً منتهية بواحد — وتتوقف بالضبط عندما لا تكون أيّ متجهة باقية تركيبةً من البقية. وتبقى العائلة النهائية مولِّدة، وهي [حرة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free): إذ ستحمل تركيبة معدومة غير بديهية معاملًا غير معدوم، والقسمة عليه ستحلّ من أجل المتجهة المقابلة بدلالة البقية، فتجعلها قابلة للإسقاط بعد كل شيء — مناقضًا توقّف العملية.

(2) لتكن $(f_1, \dots, f_p)$ [حرة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) و $(g_1, \dots, g_n)$ مولِّدة. اجرِ على $g_1, \dots, g_n$، ملحقًا $g_j$ بالعائلة الحالية كلما لم يكن في فضائها المولَّد أصلًا ([القضية 18.19](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#prop-b1-vspaces-freecriteria) (2) يبقي [العائلة حرة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free)). والعائلة النهائية [حرة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free)، ومولِّدة: لأن كل $g_j$ يقع في فضائها المولَّد — فإمّا أُلحق وإمّا كان تركيبةً أصلًا.

(3) الأساسان كلٌّ منهما حرّ ومولِّد: فتعطي مبرهنة التبادل المساعدة المتراجحتين بين قوّتيهما العدديتين. (والتناهي: [الأساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) حرّ، ومنه فهو بالتبادل ليس أكبر من عائلة مولِّدة منتهية.) ∎

**مثال 19.5.**

$\dim K^n = n$ ([بالأساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) القانوني)؛ و $\dim K_n[X] = n + 1$ (بالوحيدات الحدّ)؛ و $\dim_\R \C = 2$؛ ولفضاء حلول $y'' + ay' + by = 0$ بُعدٌ $2$ ([المبرهنة 5.10](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/5-linear-differential-equations#thm-b1-diffeq-homogeneous2): فالحلول معلَّمة تعليمًا [تقابليًا](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj) وخطيًا بالمقدار $(\lambda, \mu) \in K^2$).

**مثال 19.6 (المجموعة نفسها ببُعدين).**

[المجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $\C^2$ من أزواج الأعداد العقدية [فضاء متجهي](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-def) على $\C$ بُعده $2$ ([بالأساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) القانوني $e_1, e_2$) — [وفضاء متجهي](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-def) على $\R$ بُعده $4$، [بالأساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free)

$$
(1, 0),\quad (\iu, 0),\quad (0, 1),\quad (0, \iu):
$$

فلكل $(z, w) = (a + \iu b,\ c + \iu d)$ [إحداثيات](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#prop-b1-vspaces-coordinates) حقيقية $(a, b, c, d)$، وحيدة. فالبُعد ليس خاصية [لمجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) المتجهات وحدها: بل يعدّ درجات الحرية *بالنسبة إلى السلالم المسموح بها*، وتنصيفُ مخزون السلالم من $\C$ إلى $\R$ يضاعف العدّ. (وتستغلّ مسألة نهاية الأسبوع الحالة القصوى من هذه الحساسية، بسلالم مقلَّصة إلى $\Q$.)

**مثال 19.7 (تشغيل خوارزمية الإتمام).**

أتمّ [العائلة الحرة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) $\bigl((1,1,1)\bigr)$ إلى [أساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) للمقدار $\R^3$ باستعمال المتجهات القانونية. اجرِ برهان [المبرهنة 19.4](#thm-b1-findim-bases) (2) على العائلة المولِّدة $(e_1,
e_2, e_3)$: هل $e_1 \in \operatorname{Vect}(1,1,1)$؟ لا (لأن مضاعفات $(1,1,1)$ لها [إحداثيات](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#prop-b1-vspaces-coordinates) متساوية) — فألحقه. وهل $e_2 \in
\operatorname{Vect}\bigl((1,1,1), e_1\bigr)$؟ للتركيبة $\alpha(1,1,1) + \beta e_1$ إحداثيتان ثانية وثالثة متساويتان، وليس ذلك حال $e_2$ — فألحقه. والعائلة $\bigl((1,1,1), e_1, e_2\bigr)$ [حرة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) بعدد $3$ متجهات: فتوقّف، فهي [أساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) ([القضية 19.8](#prop-b1-findim-twoofthree) سيجعل هذا المنعكس رسميًا). ولاحظ أن النتيجة تتعلق بالترتيب الذي تُمسح فيه المقادير $g_j$: فالإتمام خوارزمية لا صيغة.

**قضية 19.8 (قاعدة اثنين من ثلاثة).**

ليكن $\dim E = n$ ولتكن $\mathcal{F}$ عائلةً من $n$ متجهة بالضبط من $E$. عندئذ

$$
\mathcal{F} \text{ حرة} \iff \mathcal{F} \text{ مولِّدة} \iff
\mathcal{F} \text{ أساس}.
$$

وفوق ذلك لكل [عائلة حرة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) $\leq n$ متجهة، ولكل عائلة مولِّدة $\geq n$.

**برهان.** حواصر القوة العددية هي مبرهنة التبادل المساعدة إزاء [أساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free). فإذا كانت $\mathcal{F}$ (بالحجم $n$) [حرة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) وغير مولِّدة، فإن $x$ ما يقع خارج فضائها المولَّد؛ وإلحاق $x$ يعطي [عائلة حرة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) من $n + 1$ متجهة: وهذا محال. وإذا كانت $\mathcal{F}$ مولِّدة وغير [حرة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free)، فإن استخراج [أساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) ([المبرهنة 19.4](#thm-b1-findim-bases) (1)) يعطي [أساسًا](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) من $< n$ متجهة: وهذا محال. ∎

**مثال 19.9 (اثنان من ثلاثة، بتوفير نصف العمل).**

هل $\bigl((1,1,0), (0,1,1), (1,0,1)\bigr)$ [أساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) للمقدار $\R^3$؟ عُدّ: ثلاث متجهات وبُعد ثلاثة — ومنه تفصل الحرية وحدها. وتعطي تركيبة معدومة $a + c = 0$ و $a + b = 0$ و $b +
c = 0$؛ وبجمع الثلاث، $2(a + b + c) = 0$، وبطرح كل معادلة أصلية من $a + b + c = 0$ يبقى $b = c = a =
0$: فهي [حرة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free)، ومنه [أساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free)، والنصف التوليدي من التحقق تعطيه المبرهنة بالمجّان. وقارن [المثال 18.18](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#ex-b1-vspaces-testbasis)، حيث كان يجب إجراء التحقق المزدوج نفسه باليد — فيتحوّل فصل واحد من النظرية إلى ذلك التوفير بالضبط، في كل تحقق من [أساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) في بقية الكتاب.

**طريقة 19.10 (حساب بُعد).**

ثلاثة طرق معيارية، بترتيب تناقص التواتر.

1. *علّم، ثم اقرأ [أساسًا](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free).* حُلَّ القيود المعرِّفة، وعبّر عن العنصر العام تعبيرًا خطيًا بالوسائط الناجية، وتحقق من أن المتجهات التي تضرب الوسائط [حرة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) : فيكون البُعد عدد الوسائط. (ويجري هذا أدناه على [فضاء جزئي](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-subspace) ملموس من $\R^4$ .)
2. *أظهر تعليمًا خطيًا [تقابليًا](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj).* حين تتحدد العناصر بعدد منته من القيم — الشروط الابتدائية لعلاقة تراجعية ( [التمرين 19.10](#exo-b1-findim-10) )، ومعاملات صيغة حلّ ( [المثال 19.5](#ex-b1-findim-dims) ) — يكون البُعد عدد تلك القيم.
3. *استعمل الصيغ.* غراسمان من أجل التقاطعات و المجاميع، [والرتبة](#def-b1-findim-rank) من أجل الفضاءات المولَّدة، ولاحقًا مبرهنة [الرتبة](#def-b1-findim-rank) من أجل النوى والصور: فالأبعاد *تُحسب* عادةً، لا تُخمَّن.

وفي الطرق الثلاثة كلها، تكون قاعدة اثنين من ثلاثة هي الخاتمة: فما إن يتطابق العدّ، تختم الحرية أو التوليد وحدها.

**مثال 19.11 (الطريق 1، كاملًا).**

بُعد $H = \{(x, y, z, t) \in \R^4 : x + y + z + t = 0
\text{ و } x = t\}$. حُلَّ: $t = x$ و $y + z = -2x$، ومنه $z =
-2x - y$ مع $x, y$ حرين:

$$
(x,\ y,\ -2x - y,\ x) = x\,(1, 0, -2, 1) + y\,(0, 1, -1, 0) .
$$

والمتجهتان حرتان (انظر في الإحداثيتين الأوليين: $(x, y) = (0,0)$)، ومنه تكوّنان [أساسًا](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) للمقدار $H$ و $\dim H = 2$. وكان العدّ متوقعًا — إذ إن قيدين خطيين مستقلين في $\R^4$ ينبغي أن يأكل كلٌّ منهما بُعدًا — لكن التعليم يبرهن على ذلك *و*يسلّم [أساسًا](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free)، وهذا ما لا يفعله التنبؤ وحده أبدًا؛ ويجعل [التمرين 19.9](#exo-b1-findim-9) شعار «كل معادلة تأكل بُعدًا واحدًا على الأكثر» مبرهنةً.

**مثال 19.12 (الطريق 2، كاملًا).**

بُعد $W = \{P \in \R_n[X] : P(1) = P(2) = 0\}$ (من أجل $n
\geq 2$). فبمبرهنة العامل مطبَّقةً مرتين ([المبرهنة 8.7](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials#thm-b1-poly-factor)؛ والجذران $1$ و $2$ متمايزان)، يكون $P \in W$ بالضبط عندما يكون $P = (X - 1)(X - 2)\,Q$ مع $\deg Q \leq
n - 2$. والتقابل $Q \mapsto (X-1)(X-2)Q$ خطي، ويبلغ $W$ كله، وهو متباين (لأن الجداء لا ينعدم إلا إذا كان $Q = 0$): ومنه فالفضاء $W$ معلَّم تعليمًا [تقابليًا](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj) وخطيًا بالمقدار $\R_{n-2}[X]$، ومنه

$$
\dim W = \dim \R_{n-2}[X] = n - 1 .
$$

ويأتي [أساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) مع التعليم: أي صور الوحيدات الحدّ، $\bigl((X-1)(X-2),\ (X-1)(X-2)X,\ \dots,\
(X-1)(X-2)X^{n-2}\bigr)$. وكل قيد تقويم جديد عند نقطة جديدة يكلّف بُعدًا واحدًا بالضبط — وهو العمود الفقري العدّي [لمقايسة لاغرانج](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials#thm-b1-poly-lagrange) ([المبرهنة 8.23](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials#thm-b1-poly-lagrange)).

**مثال 19.13 (القيد التكاملي يكلّف بُعدًا واحدًا كذلك).**

بُعد $H = \{P \in \R_2[X] : \int_0^1 P = 0\}$. فبكتابة $P = a + bX + cX^2$، يُقرأ القيد $a + \frac b2 + \frac
c3 = 0$؛ فحُلَّ من أجل $a$ وعلّم:

$$
P = b\Bigl(X - \frac12\Bigr) + c\Bigl(X^2 - \frac13\Bigr),
$$

ومنه $H = \operatorname{Vect}\bigl(X - \frac12,\ X^2 -
\frac13\bigr)$، والبُعد $2$ (لأن لكثيرَي الحدود درجتين متمايزتين: فهما حران). فالشرط الخطي الواحد — سواء كان تقويمًا أو تكاملًا أو أيّ وصفة خطية أخرى — يزيل بُعدًا واحدًا على الأكثر، وبُعدًا واحدًا بالضبط ما إن لا يكون الشرط معدومًا تمامًا. وسوف يسمّي [الفصل 20](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/20-linear-maps#ch-b1-linmaps) مثل هذه الوصفات *أشكالًا خطية* ومجموعاتِ حلولها *مستويات فائقة*؛ وتعود متجهات [الأساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) الموجودة هنا في [الفصل 23](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/23-euclidean-spaces#ch-b1-euclid) بداية عائلة لوجاندر.

## 19.2 الفضاءات الجزئية والرتبة وغراسمان

**مبرهنة 19.14 (الفضاءات الجزئية).**

ليكن $E$ [ذا بُعد منته](#def-b1-findim-def) ولتكن $F$ [فضاءً جزئيًا](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-subspace). عندئذ يكون $F$ [ذا بُعد منته](#def-b1-findim-def)، و $\dim F \leq \dim E$، مع المساواة إذا وفقط إذا كان $F = E$. وفوق ذلك لكل [فضاء جزئي](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-subspace) [فضاء جزئي](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-subspace) متتامّ.

**برهان.** للعائلات [الحرة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) من $F$ عدد $\dim E$ متجهة على الأكثر (بمبرهنة التبادل المساعدة في $E$: [فالعائلة الحرة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) من $F$ [حرة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) في $E$ على الخصوص، و $E$ له عائلة مولِّدة منتهية). وبين العائلات [الحرة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) من $F$ اختر واحدة ذات حجم *أكبري* $p$ — وهذا ممكن لأن الأحجام أعداد صحيحة محدودة بالمقدار $\dim E$. وهي تولّد $F$: وإلا لوقع $x \in F$ ما خارج فضائها المولَّد، ولأعطى إلحاق $x$ عائلةً [حرة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) من $F$ بحجم $p + 1$ ([القضية 18.19](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#prop-b1-vspaces-freecriteria) (2))، مناقضًا الأكبرية. ولكونها [حرة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) ومولِّدة، تكون [أساسًا](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) للمقدار $F$، و $\dim F = p \leq \dim E$. وإذا كان $p = \dim E = n$: [فالعائلة الحرة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) من $n$ متجهة من $E$ أساسٌ للمقدار $E$ ([القضية 19.8](#prop-b1-findim-twoofthree))، ومنه $F
\supseteq \operatorname{span} = E$. والمتتامّ: أتمّ [أساسًا](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) $(f_1, \dots, f_p)$ للمقدار $F$ إلى [أساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) $(f_1, \dots, f_p, g_{p+1},
\dots, g_n)$ للمقدار $E$ (بمبرهنة [الأساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) غير التام)؛ عندئذ يحقق $G =
\operatorname{Vect}(g_{p+1}, \dots, g_n)$ أن $E = F \oplus G$ (فوجود التفكيكات ووحدانيتها = [الإحداثيات](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#prop-b1-vspaces-coordinates) في [الأساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) الكبير). ∎

**تعريف 19.15 (رتبة عائلة).**

*رتبة* عائلة منتهية من المتجهات هي بُعد فضائها المولَّد: $\operatorname{rk}(x_1, \dots, x_p) = \dim
\operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_p) \leq \min(p, \dim E)$، مع المساواة بالمقدار $p$ إذا وفقط إذا كانت [العائلة حرة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free).

**مثال 19.16 (حساب رتبة بالإزاحة).**

[رتبة](#def-b1-findim-rank) $\bigl((1,2,3), (2,3,4), (3,4,5), (1,1,1)\bigr)$ في $\R^3$. لا يتغير [الفضاء المولَّد](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-span) حين يُطرح من متجهة تركيبةٌ من البقية (لأن العائلتين تولّدان التركيبات نفسها): فاستبدل بالمقدار $(2,3,4)$ المقدارَ $(2,3,4) - (1,2,3) = (1,1,1)$ وبالمقدار $(3,4,5)$ المقدارَ $(3,4,5) - (1,2,3) = (2,2,2)$. [والفضاء المولَّد](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-span) الآن هو $\operatorname{Vect}\bigl((1,2,3), (1,1,1), (2,2,2),
(1,1,1)\bigr) = \operatorname{Vect}\bigl((1,2,3), (1,1,1)\bigr)$، وهاتان المتجهتان غير متناسبتين: [فالرتبة](#def-b1-findim-rank) $2$. وهذا الإجراء بالطرح والإسقاط منظَّم في صورة إزاحة غاوس في [الفصل 22](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/22-determinants-and-linear-systems#ch-b1-det).

**مثال 19.17 (الجمع بالوصل).**

خذ، في $\R^3$،

$$
F = \operatorname{Vect}\bigl((1,2,3),\ (1,1,1)\bigr),
\qquad
G = \operatorname{Vect}\bigl((2,3,4)\bigr) .
$$

المجموع $F + G$ مولَّد بالعائلة الموصولة لكل المولّدات الثلاثة، و

$$
(2, 3, 4) = (1, 2, 3) + (1, 1, 1)
$$

تبيّن أن الثالث زائد: ومنه $F + G = F$، وبُعده $2$ — وبكيفية مكافئة $G \subseteq F$، وهو ما تعرضه العلاقة. ويؤكد غراسمان: $\dim(F \cap G) = 2 + 1 - 2 = 1 = \dim G$. فالمجاميع تُحسب بوصل المولّدات ثم تقليص الكومة بخوارزمية [الرتبة](#def-b1-findim-rank)؛ ولا يلزم أيّ تقنية جديدة أبدًا.

**مبرهنة 19.18 (صيغة غراسمان).**

من أجل فضاءين جزئيين $F, G$ من $E$ ذوَي [بُعد منته](#def-b1-findim-def):

$$
\dim(F + G) = \dim F + \dim G - \dim(F \cap G) .
$$

وعلى الخصوص يكون $F + G$ مباشرًا إذا وفقط إذا كان $\dim(F + G) = \dim F + \dim G$.

**برهان.** ابدأ من [أساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) $(e_1, \dots, e_r)$ للمقدار $F \cap G$؛ وأتمّه إلى [أساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) $(e_1, \dots, e_r, f_1, \dots, f_s)$ للمقدار $F$ وإلى [أساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) $(e_1, \dots, e_r, g_1, \dots, g_t)$ للمقدار $G$ ([المبرهنة 19.4](#thm-b1-findim-bases) (2)). ونحن ندّعي أن

$$
\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_r, f_1, \dots, f_s, g_1, \dots, g_t)
$$

أساسٌ للمقدار $F + G$؛ وتتبع الصيغة بالعدّ: $(r + s) +
(r + t) - r = r + s + t$.

والعائلة $\mathcal{B}$ تولّد $F + G$: فأيّ $u + v$ ($u \in F$ و $v \in G$) ينتشر بها. والحرية: افترض $\sum \alpha_i e_i + \sum
\beta_j f_j + \sum \gamma_k g_k = 0$. فالمتجهة $w = \sum \gamma_k
g_k = -\sum\alpha_i e_i - \sum\beta_j f_j$ تقع في $G \cap F$، ومنه تنتشر بالمقادير $(e_i)$ وحدها؛ لكن $w$ ينتشر كذلك بالمقادير $(g_k)$، وفي أساس $G$ يجب أن يتطابق هذان التعبيران: ومنه كل $\gamma_k = 0$ (وتتطابق [إحداثيات](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#prop-b1-vspaces-coordinates) $e$). وتُردّ العلاقة إلى $\sum\alpha_i e_i + \sum\beta_j f_j = 0$، وهي علاقة في أساس $F$: فتنعدم كل المعاملات الباقية. ∎

**مثال 19.19.**

لمستويين متمايزين $F, G$ (بُعدهما $2$) من $\R^3$ يكون $F + G
= \R^3$ (لأن مجموعهما يحتوي مستويًا احتواءً قطعيًا)، ومنه $\dim(F \cap G) =
2 + 2 - 3 = 1$: فهما يتقاطعان دائمًا على امتداد مستقيم — فلا «مستويات متوازية» مارّة بالمبدأ.

**مثال 19.20 (غراسمان في العمل، في R4\R^4R4).**

لتكن $F = \operatorname{Vect}\bigl(e_1,\ e_2,\ (1,1,1,0)\bigr)$ و $G = \operatorname{Vect}(e_3, e_4)$ في $\R^4$. والأبعاد: $\dim F = 3$ (لأن للمولّد الثالث إحداثية ثالثة غير معدومة، خارج $\operatorname{Vect}(e_1, e_2)$) و $\dim G = 2$. والمجموع: يحتوي $F + G$ المقادير $e_1, e_2, e_4$ و $e_3 = (1,1,1,0) - e_1 -
e_2$: ومنه فهو $\R^4$ كله. وعندئذ *يحسب* غراسمان حجم التقاطع دون أيّ إزاحة أصلًا:

$$
\dim(F \cap G) = 3 + 2 - 4 = 1 .
$$

ولتعيين المستقيم، انظر داخل $G$: تقع المتجهة $(0, 0, c, d)$ في $F$ بالضبط عندما تكون $a e_1 + b e_2 + \lambda(1,1,1,0)$، فيُفرض $\lambda = -a = -b$ و $d = 0$: ومنه فالتقاطع هو $\operatorname{Vect}(e_3)$ — وهذا متسق، لأن $e_3$ أُظهر في $F$ أعلاه ويقع في $G$ بحكم التعريف. وهذا تقسيم عمل نموذجي: فغراسمان يتنبّأ *بكم* يجب البحث عنه، ثم تجد الجملة الخطية *ماذا*.

**مثال 19.21 (التقاطع بالمعادلات).**

حين يأتي الفضاءان الجزئيان مجموعتَي حلول، يكون التقاطع مجرد تكديس للمعادلات. ففي $\R^3$: يعطي $F = \{x + y + z = 0\}$ و $G = \{x = y\}$

$$
F \cap G = \{x = y,\ 2x + z = 0\}
= \{(x,\ x,\ -2x)\} = \operatorname{Vect}(1, 1, -2),
$$

أي مستقيمًا. وللتحقق المتقاطع بغراسمان: $F + G = \R^3$ (لأن المستويين متمايزان، ومنه فمجموعهما يحتوي مستويًا احتواءً قطعيًا)، ومنه $\dim(F\cap G) = 2 + 2 - 3 = 1$. والوصفان [لفضاء جزئي](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-subspace) — بالمعادلات، وبالمولّدات — يجعل كلٌّ منهما عملية واحدة بديهية: فالمعادلات تتقاطع بالتكديس، والمولّدات تُجمع بالوصل؛ والتحويل بينهما هو بالضبط ما تعنيه حلّ جملة خطية ([الفصل 22](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/22-determinants-and-linear-systems#ch-b1-det)).

**ملاحظة 19.22 (مزالق شائعة).**

*الأبعاد لا تُجمع على امتداد المجاميع* ما لم يكن المجموع مباشرًا: فلمستويين من $\R^3$ يكون $\dim(F + G) = 3$، لا $4$؛ فصحّح دائمًا بحدّ التقاطع (غراسمان). *الاحتواء يحتاج إلى البُعد *و*الاحتواء*: فالمقدار $\dim F = \dim G$ وحده لا يعطي $F = G$ أبدًا (فمستقيمان متمايزان من $\R^2$)؛ وتقتضي حالة المساواة في [المبرهنة 19.14](#thm-b1-findim-subspaces) أن يكون $F \subseteq G$ أولًا. *عدّ الوسائط ليس برهانًا بعد*: فالقول «معادلتان في $\R^4$، ومنه البُعد $2$» يفشل عندما تكون المعادلتان مرتبطتين (فالمعادلتان $x + y = 0$ و $2x + 2y = 0$ تتركان البُعد $3$)؛ ولا يفصل إلا تعليم فعلي أو حساب [رتبة](#def-b1-findim-rank). *لا تتكلم عن بُعد ما ليس [فضاءً جزئيًا](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-subspace)*: فمجموعات حلول الجمل *غير المتجانسة* تفوّت $0$؛ و«بُعدها» هو بُعد فضاء الحلول المتجانس المرتبط بها ([الفصل 22](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/22-determinants-and-linear-systems#ch-b1-det) يجعل هذا دقيقًا). *البُعد غير المنتهي موجود*: فالمقدار $K[X]$ يحتوي عائلات [حرة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) من كل حجم (الوحيدات الحدّ)، ومنه فلا يمكن وجود عائلة مولِّدة منتهية — فعبارات مثل قاعدة اثنين من ثلاثة منتهية البُعد قطعًا وتفشل فشلًا ذريعًا على $K[X]$ ([النتيجة 20.9](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/20-linear-maps#cor-b1-linmaps-samedim) سيبيّن الشيء نفسه من أجل التباين والشمول). *[الرتبة](#def-b1-findim-rank) عن [الفضاء المولَّد](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-span) لا عن القائمة*: فتكرار متجهة أو إعادة الترتيب أو الضرب في ثوابت غير معدومة يبقي [الرتبة](#def-b1-findim-rank) على حالها، و $\operatorname{rk} = p$ (وهو عدد المتجهات) *خاصية يجب البرهان عليها* — وهي بالضبط الحرية. و العائلة من $5$ متجهات ورتبتها $2$ تحمل ما قيمته ثلاث متجهات من الزيادة، وتحدّد الإزاحة ([المثال 19.16](#ex-b1-findim-rankcomputation)) موضعها صراحةً.

**ملاحظة 19.23 (أين يذهب البُعد للعمل).**

البُعد هو حجة العدّ المفضلة عند الكتاب من الآن فصاعدًا. فالفصل [الفصل 20](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/20-linear-maps#ch-b1-linmaps) يبرهن على مبرهنة [الرتبة](#def-b1-findim-rank)، وهي الصيغة الدالية لصيغة غراسمان؛ و [الفصل 21](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/21-matrices#ch-b1-matrices) يحسب الرتب بالتقليص على السطور؛ و [الفصل 22](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/22-determinants-and-linear-systems#ch-b1-det) يحوّل «$n$ متجهة من $K^n$ تكوّن [أساسًا](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free)» إلى عدد واحد غير معدوم. و تبيّن مسألة نهاية الأسبوع أدناه البُعدَ يقوم ب«*حساب أعداد*»: فعدّ الأبعاد على [الحقل](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-field) $\Q$ يبرهن على عبارات صمم تبدو منيعة على اليد. وفي مجلّد السنة الثالثة تفصل حسابات الأبعاد نفسها، ملطَّفةً بنظرية الزمر، في أيّ مسائل البناء الكلاسيكية قابل للحلّ — وتلك القصة نظرية غالوا.

**ملاحظة 19.24 (منظورات داخل الكتاب 3).**

البُعد هو المقدار المحفوظ في بقية هذا المجلّد، ويجدر تسمية قوانين الحفظ مسبقًا. فالفصل [الفصل 20](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/20-linear-maps#ch-b1-linmaps) يبرهن على $\dim E = \dim\ker u +
\operatorname{rk} u$: أي إن ما يسحقه [التطبيق](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) الخطي مضافًا إليه ما يحفظه يساوي المصدر دائمًا. و [الفصل 22](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/22-determinants-and-linear-systems#ch-b1-det) يلطّف هذا إلى بنية مجموعات الحلول: فإن $p$ مجهولًا ناقص $\operatorname{rk} A$ محورًا يترك بُعد فضاء الحلول، وتظهره إزاحة غاوس وسائطَ [حرة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free). و [الفصل 23](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/23-euclidean-spaces#ch-b1-euclid) [يقسم](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/6-integer-arithmetic#def-b1-arith-divides) $\dim E = \dim F + \dim
F^\perp$ قسمةً متعامدة، وتنفق مسألة نهاية الأسبوع في [الفصل 25](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/25-functions-of-two-variables#ch-b1-multivar) هذه الميزانية بالضبط: $n$ نقطة معطيات، و $2$ وسيطًا مقايَسين، و $n - 2$ بُعدًا للباقي. وكلما رفض عدٌّ أن يتوازن في فصل لاحق، كان الخطأ نواةً منسية أو مجموعًا غير مباشر — فعُد إلى صيغة غراسمان أولًا.

## 19.3 تمارين

**تمرين 19.1 ★.**

أعطِ [أساسًا](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) وبُعدًا من أجل:

1. $F = \{(x,y,z) \in \R^3 : x + y + z = 0\}$ ؛
2. $G = \{(x,y,z,t) \in \R^4 : x = y,\ z = 2t\}$ ؛
3. $H = \{P \in \R_3[X] : P(1) = P'(1) = 0\}$ .

**حل التمرين 19.1.**

1. $z = -x - y$ : $F = \{(x, y, -x-y)\} =  \operatorname{Vect}\bigl((1,0,-1), (0,1,-1)\bigr)$ ؛ والمتجهتان حرتان ( [بالإحداثيات](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#prop-b1-vspaces-coordinates) ): ومنه $\dim F = 2$ .
2. $G = \{(x, x, 2t, t)\} =  \operatorname{Vect}\bigl((1,1,0,0), (0,0,2,1)\bigr)$ : [حرة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) ، و $\dim G = 2$ .
3. $P(1) = P'(1) = 0$ يعني $(X-1)^2 \mid P$ ( [القضية 8.11](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials#prop-b1-poly-multiplicity) ): ومنه $P = (X-1)^2(aX + b)$ . [والأساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) $\bigl((X-1)^2, X(X-1)^2\bigr)$ ، والبُعد $2$ .

**تمرين 19.2 ★.**

احسب [رتبة](#def-b1-findim-rank) العائلة $\bigl((1,1,1), (1,2,3), (3,5,7), (0,1,2)\bigr)$ في $\R^3$، و استخرج [أساسًا](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) لفضائها المولَّد.

**حل التمرين 19.2.**

$(3,5,7) = (1,1,1) + 2(1,2,3)$ و $(0,1,2) = (1,2,3) - (1,1,1)$: فكلاهما تركيبة من الأوليين، وهما حرتان (لأنهما غير متناسبتين). [فالرتبة](#def-b1-findim-rank) $2$؛ [وأساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) [الفضاء المولَّد](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-span): $\bigl((1,1,1), (1,2,3)\bigr)$.

**تمرين 19.3 ★.**

أتمّ [العائلة الحرة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) $\bigl((1,1,0,0), (0,0,1,1)\bigr)$ إلى [أساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) للمقدار $\R^4$ باستعمال المتجهات القانونية، وسوّغ.

**حل التمرين 19.3.**

جرّب إلحاق $e_1 = (1,0,0,0)$ و $e_3 = (0,0,1,0)$. فالعائلة $\bigl((1,1,0,0), (0,0,1,1), e_1, e_3\bigr)$ [حرة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free): إذ تُقرأ تركيبة معدومة $\alpha(1,1,0,0) + \beta(0,0,1,1) + \gamma e_1 + \delta
e_3 = 0$ هكذا $(\alpha + \gamma, \alpha, \beta + \delta, \beta) =
0$، ومنه $\alpha = \beta = 0$، ثم $\gamma = \delta = 0$. وأربع متجهات [حرة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) في البُعد $4$: أي [أساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) ([القضية 19.8](#prop-b1-findim-twoofthree)).

**تمرين 19.4 ★.**

برهن على أن $\bigl(1, X, X(X-1), X(X-1)(X-2)\bigr)$ [أساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) للمقدار $\R_3[X]$، وجد [إحداثيات](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#prop-b1-vspaces-coordinates) $X^3$ فيه.

**حل التمرين 19.4.**

الدرجات $0, 1, 2, 3$ متمايزة مثنى مثنى: فهي [حرة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) ([القضية 18.19](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#prop-b1-vspaces-freecriteria))، وأربع متجهات في البُعد $4$: أي [أساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free). ومن أجل $X^3$: انشر نزولًا،

$$
X(X-1)(X-2) = X^3 - 3X^2 + 2X,
\qquad
X(X-1) = X^2 - X,
$$

ومنه $X^3 - X(X-1)(X-2) = 3X^2 - 2X$؛ و $3X^2 - 2X = 3(X^2 - X) + X
= 3\,X(X-1) + X$. ومنه

$$
X^3 = X(X-1)(X-2) + 3\,X(X-1) + 1\cdot X + 0\cdot 1 :
$$

[فالإحداثيات](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#prop-b1-vspaces-coordinates) $(0, 1, 3, 1)$ على $\bigl(1, X, X(X-1),
X(X-1)(X-2)\bigr)$. (وهذه أعداد ستيرلينغ متنكّرة.)

**تمرين 19.5 ★★.**

ليكن $F$ و $G$ فضاءين جزئيين بُعداهما $4$ و $5$ من فضاء $E$ مع $\dim E = 7$. ما القيم الممكنة للمقدار $\dim(F \cap
G)$؟ وأعطِ مثالًا يحقق كل قيمة مع $E = \R^7$.

**حل التمرين 19.5.**

غراسمان: $\dim(F \cap G) = 4 + 5 - \dim(F + G)$، و $F + G$ [فضاء جزئي](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-subspace) من $E$ يحتوي $G$: ومنه $5 \leq \dim(F+G) \leq 7$. ومنه $\dim(F \cap G) \in \{2, 3, 4\}$. والتحقيقات في $\R^7$ [بالأساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) القانوني $(e_1, \dots, e_7)$، بأخذ $G =
\operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_5)$:

- $F = \operatorname{Vect}(e_1, e_2, e_6, e_7)$ : $F + G = \R^7$ ، والتقاطع $\operatorname{Vect}(e_1, e_2)$ ، والبُعد $2$ ؛
- $F = \operatorname{Vect}(e_1, e_2, e_3, e_6)$ : التقاطع بُعده $3$ ؛
- $F = \operatorname{Vect}(e_1, e_2, e_3, e_4) \subseteq G$ : البُعد $4$ .

**تمرين 19.6 ★★.**

لتكن $H = \{P \in \R_n[X] : P(1) = 0\}$. برهن على أن $H$ مستوٍ فائق في $\R_n[X]$ (أي [فضاء جزئي](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-subspace) بُعده $n$)، وأظهر [أساسًا](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) للمقدار $H$ *(فكّر في مبرهنة العامل: $P = (X-1)Q$)*، و أعطِ مستقيمًا متتامًّا.

**حل التمرين 19.6.**

[المجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $H$ [فضاء جزئي](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-subspace) ([التمرين 18.1](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#exo-b1-vspaces-1) (4) حرفيًا). وحسب مبرهنة العامل ([المبرهنة 8.7](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials#thm-b1-poly-factor))، $P \in H \iff P =
(X-1)Q$ مع $\deg Q \leq n - 1$: [فالتطبيق](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) $Q \mapsto (X-1)Q$ تقابلٌ خطي من $\R_{n-1}[X]$ على $H$، ومنه فأساس $H$ هو

$$
\bigl((X-1),\ (X-1)X,\ (X-1)X^2,\ \dots,\ (X-1)X^{n-1}\bigr),
\qquad \dim H = n .
$$

ومستقيم متتامّ: $\operatorname{Vect}(1)$ (الثوابت). فعلًا $H \cap \operatorname{Vect}(1) = \{0\}$ (لأن الثابت غير المعدوم لا ينعدم عند $1$) وتُجمع الأبعاد إلى $n + 1$: ومنه، بغراسمان، $H
\oplus \operatorname{Vect}(1) = \R_n[X]$.

**تمرين 19.7 ★★.**

لتكن $u_1, \dots, u_p$ متجهات رتبتها $r$. برهن على أن حذف متجهة واحدة يعطي عائلة رتبتها $r$ أو $r - 1$، وأن إلحاق متجهة يعطي [رتبة](#def-b1-findim-rank) $r$ أو $r + 1$. واستنتج أن [الرتبة](#def-b1-findim-rank) تتغير بمقدار $1$ على الأكثر تحت أيّ إدخال أو حذف مفرد.

**حل التمرين 19.7.**

الحذف: بحذف $u_p$، لا يمكن [للفضاء المولَّد](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-span) إلا أن يتقلص؛ وهو يتقلص ببُعد واحد على الأكثر، لأن إعادة $u_p$ إلى [أساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) [للفضاء المولَّد](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-span) الأصغر تعطي عائلة مولِّدة للأكبر بمتجهة إضافية واحدة على الأكثر. وبالتناظر، بإلحاق متجهة $v$: يحتوي [الفضاء المولَّد](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-span) الجديد القديمَ بمولّد إضافي واحد على الأكثر، ومنه فبُعده هو $r$ (إذا كانت $v$ في [الفضاء المولَّد](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-span) أصلًا) أو $r + 1$ (وإلا، فحسب [القضية 18.19](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#prop-b1-vspaces-freecriteria) (2) يمتدّ [أساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free)). والعبارتان معًا تعطيان نتيجة «[الرتبة](#def-b1-findim-rank) ليبشيتزية بالثابت $1$».

**تمرين 19.8 ★★★.**

لتكن $F_1 \subseteq F_2 \subseteq \dots \subseteq F_k$ فضاءات جزئية من $E$ ($\dim E = n$) مع $F_i \neq F_{i+1}$ من أجل كل $i$. برهن على $k
\leq n + 1$. واستنتج أن السلسلة المتزايدة قطعًا من الفضاءات الجزئية من $\R^n$ طولها $n + 1$ على الأكثر، وأظهر واحدة ذات طول أكبري.

**حل التمرين 19.8.**

على امتداد سلسلة متزايدة قطعًا، تتزايد الأبعاد تزايدًا قطعيًا ($F_i \subseteq F_{i+1}$، مع $F_i \neq F_{i+1}$ و [المبرهنة 19.14](#thm-b1-findim-subspaces): لأن تساوي الأبعاد سيفرض تساوي الفضاءات). ومنه فالمقدار $\dim F_1 < \dim F_2 < \dots < \dim F_k$ متتالية متزايدة قطعًا من الأعداد الصحيحة في $\intint{0}{n}$: أي $n + 1$ قيمة على الأكثر، ومنه $k \leq n + 1$. وسلسلة أكبرية في $\R^n$:

$$
\{0\} \subsetneq \operatorname{Vect}(e_1) \subsetneq
\operatorname{Vect}(e_1, e_2) \subsetneq \dots \subsetneq \R^n ,
$$

طولها $n + 1$ بالضبط.

**تمرين 19.9 ★★★.**

ليكن $E$ ذا بُعد $n$ ولتكن $F$ و $G$ مستويين فائقين (بُعدهما $n - 1$) مع $F \neq G$. احسب $\dim(F \cap G)$. وعمّم: تقاطع $k$ مستوٍ فائق بُعده $\geq n - k$.

**حل التمرين 19.9.**

يحتوي $F + G$ المقدارَ $F$ احتواءً قطعيًا (لأن $G \not\subseteq F$)، ومنه $\dim(F + G) = n$ ويعطي غراسمان $\dim(F \cap G) = (n-1) +
(n-1) - n = n - 2$.

والادعاء العام، بالاستقراء على $k$: لتقاطع $I_k$ ذي $k$ مستوٍ فائق $\dim I_k \geq n - k$. وهذا صحيح من أجل $k = 1$. والخطوة: $I_{k+1}
= I_k \cap H_{k+1}$، وغراسمان داخل $E$:

$$
\dim(I_k \cap H_{k+1}) = \dim I_k + (n - 1) - \dim(I_k + H_{k+1})
\geq \dim I_k + (n-1) - n \geq n - k - 1 . \qedhere
$$

**تمرين 19.10 ★★.**

ليكن $E$ [مجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) المتتاليات الحقيقية التي تحقق $u_{n+2} =
3u_{n+1} - 2u_n$ من أجل كل $n$.

1. بيّن أن $E$ [فضاء جزئي](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-subspace) من فضاء المتتاليات، وأن متتالية من $E$ تتحدد تمامًا، تحدّدًا خطيًا، بالزوج $(u_0, u_1)$ ؛ واستنتج $\dim E = 2$ .
2. تحقق من أن المتتالية الثابتة $(1)$ والمتتالية الهندسية $(2^n)$ تقعان في $E$ وتكوّنان [أساسًا](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) للمقدار $E$ .
3. جد متتالية $E$ ذات $u_0 = 0$ و $u_1 = 1$ .

**حل التمرين 19.10.**

1. الشرط $u_{n+2} - 3u_{n+1} + 2u_n = 0$ خطي وتحققه المتتالية المعدومة: ومنه فالمقدار $E$ [فضاء جزئي](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-subspace) . و بالاستقراء، يحدّد $u_0$ و $u_1$ كلَّ $u_n$ ، ويكون التعلّق خطيًا (لأن كل خطوة تركيبة خطية من القيمتين السابقتين)؛ وبالعكس ينشأ كل زوج $(a, b)$ من متتالية واحدة بالضبط من $E$ (بتعريف $u_n$ بالعلاقة التراجعية). وكما في [المثال 19.5](#ex-b1-findim-dims) ، يكون $E$ معلَّمًا تعليمًا [تقابليًا](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj) وخطيًا بالمقدار $(u_0, u_1) \in  \R^2$ : ومنه $\dim E = 2$ .
2. الثوابت: $3\cdot1 - 2\cdot1 = 1$ . والهندسية: $3\cdot  2^{n+1} - 2\cdot 2^n = (6 - 2)2^n = 2^{n+2}$ . وكلتاهما تقع في $E$ . والحرية: يعطي $a\cdot 1 + b\cdot 2^n = 0$ من أجل كل $n$ ، عند $n = 0$ و $n = 1$ : $a + b = 0$ و $a + 2b = 0$ ، ومنه $a = b = 0$ . ومتجهتان حرتان في البُعد $2$ : أي [أساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) ( [القضية 19.8](#prop-b1-findim-twoofthree) ).
3. حُلَّ $a + b = 0$ و $a + 2b = 1$ : $b = 1$ و $a = -1$ ، ومنه $u_n = 2^n - 1$ (وهي متتالية مرسين).

**تمرين 19.11 ★★.**

ليكن $E$ ذا بُعد $n$.

1. إذا كانت $F, G$ فضاءين جزئيين مع $\dim F + \dim G > n$ ، فبرهن على $F \cap G \neq \{0\}$ . وأوضح: فالفضاءان الجزئيان ذوا البُعدين $51$ و $50$ من $\R^{100}$ يتقاسمان دائمًا متجهةً غير معدومة.
2. إذا كان $H$ مستويًا فائقًا و $F$ [فضاءً جزئيًا](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-subspace) مع $F \cap H =  \{0\}$ ، فبرهن على $\dim F \leq 1$ .

**حل التمرين 19.11.**

1. غراسمان: $\dim(F \cap G) = \dim F + \dim G - \dim(F +  G) \geq \dim F + \dim G - n > 0$ ، ومنه $F \cap G \neq  \{0\}$ . ومع $n = 100$ : $51 + 50 - 100 = 1 > 0$ ، ومنه يحتوي التقاطع مستقيمًا.
2. إذا كان $F \cap H = \{0\}$ ، [فالمجموع مباشر](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-sum) و $\dim F +  (n - 1) = \dim(F \oplus H) \leq n$ ، ومنه $\dim F \leq 1$ . (وبالعكس فإن مستقيمًا غير محتوًى في $H$ يحقق هذا فعلًا: فالمستويات الفائقة لا تفوّت شيئًا يُذكر.)

**تمرين 19.12 ★★★.**

(متتامّ مشترك) لتكن $F, G$ فضاءين جزئيين من $E$ (ذي [بُعد منته](#def-b1-findim-def)) مع $\dim F = \dim G$. برهن على أن للمقدارين $F$ و $G$ متتامًّا *مشتركًا*: أي إنه يوجد [فضاء جزئي](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-subspace) $S$ يحقق $E = F
\oplus S = G \oplus S$. *(استقرِ نزولًا على $\dim F$: فإذا كان $F
\neq G \neq E$، فاختر $x \notin F \cup G$ — [التمرين 18.12](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#exo-b1-vspaces-12) يسمح بذلك — وانظر في $F \oplus
\operatorname{Vect}(x)$ و $G \oplus \operatorname{Vect}(x)$.)*

**حل التمرين 19.12.**

بالاستقراء النازل على $d = \dim F = \dim G$، من $d = n$ إلى $d =
0$. فإذا كان $d = n$: فإن $F = G = E$ ويفي $S = \{0\}$ بالغرض. وافترض أن [العبارة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-statement) تصحّ من أجل أزواج الفضاءات الجزئية ذات البُعد $d + 1 \leq n$، ولتكن $\dim F = \dim G = d < n$.

فإذا كان $F = G$: فخذ من أجل $S$ أيَّ متتامّ للمقدار $F$ ([المبرهنة 19.14](#thm-b1-findim-subspaces)). وإذا كان $F \neq G$: فكلاهما قطعي، ومنه، حسب [التمرين 18.12](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#exo-b1-vspaces-12)، يوجد $x \notin F \cup G$. والمجموعان $F' = F \oplus \operatorname{Vect}(x)$ و $G' = G \oplus
\operatorname{Vect}(x)$ مباشران ($x \notin F$ و $x \notin G$) وبُعدهما $d + 1$؛ وحسب فرض الاستقراء لهما متتامّ مشترك $S'$: $E = F' \oplus S' = G' \oplus
S'$. ضع $S = \operatorname{Vect}(x) \oplus S'$ — وهو مباشر، لأن $S' \cap \operatorname{Vect}(x) \subseteq S' \cap F' =
\{0\}$.

عندئذ $F + S = F + \operatorname{Vect}(x) + S' = F' + S' = E$، و $F \cap S = \{0\}$: فإذا كان $f = \lambda x + s'$ مع $f \in F$ و $s'
\in S'$، فإن $s' = f - \lambda x \in F' \cap S' = \{0\}$، ومنه $f
= \lambda x$، فيُفرض $\lambda = 0$ (لأن $x \notin F$) و $f = 0$. ومنه $E = F \oplus S$، وبالتناظر $E = G \oplus S$.

## 19.4 مسألة: قانون البرج لديدكيند

**مسألة 19.1.**

لم يستعمل أيّ شيء في الفصلين 18–19 عن السلالم فوق بديهيات [الحقل](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-field) ([التعريف 7.22](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-field)): ومنه يمكن أخذ $K = \Q$ وقياس مجموعات من *الأعداد الحقيقية* بمسطرة البُعد على $\Q$. وتحسب هذه المسألة بُعد $\Q(\sqrt2, \sqrt3)$، وتبرهن على *[قانون البرج](#pb-b1-findim-1) لديدكيند* $\dim_\Q M = \dim_\Q K \cdot \dim_K M$، وتحصد مبرهنات صمم بعدّ الأبعاد المحض — بلا $\varepsilon$ وبلا أرقام عشرية، بالأسس فحسب.

**الجزء 1 — السلالم الناطقة.**

1. تحقق من أن $\Q$ [حقل](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-field) ومن أن كل تعريف وكل برهان في الفصلين 18–19 لا يستعمل إلا بديهيات [حقل](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-field) السلالم؛ واستنتج أن $\R$ [فضاء متجهي](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-def) على $\Q$ وأن مبرهنة التبادل المساعدة ومبرهنات الأسس و صيغة غراسمان تصحّ على $\Q$ . وأشِر إلى الخطوة الوحيدة من برهان [المبرهنة 19.2](#thm-b1-findim-exchange) التي تُجرى فيها قسمة على سلّم غير معدوم.
2. بيّن أن $(1, \sqrt2)$ [حرة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) على $\Q$ لكنها مرتبطة على $\R$ . ضع $\Q(\sqrt2) = \operatorname{Vect}_\Q(1,  \sqrt2) = \{a + b\sqrt2 : a, b \in \Q\}$ ؛ فما هو $\dim_\Q \Q(\sqrt2)$ ؟
3. بيّن أن $\Q(\sqrt2)$ مستقر بالضرب. ومن أجل $u = a + b\sqrt2$ ضع $\sigma(u) = a - b\sqrt2$ و $N(u) = u\,\sigma(u) = a^2 - 2b^2$ . بيّن $\sigma(uv) =  \sigma(u)\sigma(v)$ ، واستنتج $N(uv) = N(u)N(v)$ ، وبيّن أن $N(u) \neq 0$ كلما كان $u \neq 0$ .
4. استنتج أن لكل $u \in \Q(\sqrt2)$ غير معدوم مقلوبًا في $\Q(\sqrt2)$ ، وهو $u^{-1} =  \sigma(u)/N(u)$ : أي إن $\Q(\sqrt2)$ [حقل](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-field) جزئي من $\R$ . واحسب $\dfrac1{3 + 2\sqrt2}$ و $\dfrac1{1 + \sqrt2}$ .

**الجزء 2 — ضمّ $\sqrt3$.**

5. برهن على أن $\sqrt6 \notin \Q$ *(قارن أُسّ $2$ على طرفَي $6q^2 = p^2$، كما في [التمرين 6.7](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/6-integer-arithmetic#exo-b1-arith-7))* ، ثم على أن $\sqrt3 \notin  \Q(\sqrt2)$ *(ربّع $\sqrt3 = a + b\sqrt2$ و ناقش الحالات $ab \neq 0$ و $b = 0$ و $a = 0$)* .
6. لتكن $M = \operatorname{Vect}_\Q(1, \sqrt2, \sqrt3,  \sqrt6)$ . بيّن أن $M$ مستقر بالضرب *(ويكفي جدول لجداءات متجهات [الأساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free))* .
7. اكتب $K = \Q(\sqrt2)$ . بيّن أن $(1, \sqrt3)$ [حرة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) *على [الحقل](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-field) $K$* ، واستنتج أن $M = K +  K\sqrt3$ [فضاء متجهي](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-def) على $K$ بُعده $2$ [بالأساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) $(1, \sqrt3)$ .
8. برهن على أن $(1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6)$ [حرة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) على $\Q$ ، ومنه $\dim_\Q M = 4$ . *(جمّع علاقة معدومة في صورة $(a + b\sqrt2) + (c + d\sqrt2)\sqrt3 = 0$ وطبّق السؤال 7 ثم 2.)*

**الجزء 3 — [قانون البرج](#pb-b1-findim-1).** ليكن $\Q \subseteq K
\subseteq M \subseteq \R$ حيث $K$ و $M$ حقلان جزئيان، ولتكن $(e_1,
\dots, e_m)$ [أساسًا](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) للمقدار $K$ فضاءً متجهيًا على $\Q$، ولتكن $(f_1,
\dots, f_n)$ [أساسًا](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) للمقدار $M$ فضاءً متجهيًا على $K$.

9. بيّن أن الجداءات $mn$ الممثَّلة بالمقادير $(e_i f_j)$ تولّد $M$ على $\Q$ .
10. بيّن أن العائلة $(e_i f_j)$ [حرة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) على $\Q$ . *(أعد تنظيم تركيبة معدومة على $\Q$ في صورة $\sum_j  \bigl(\sum_i \lambda_{ij} e_i\bigr) f_j$، ومعاملاتها الداخلية تعيش في $K$.)*
11. اختم بما يسمّى *[قانون البرج](#pb-b1-findim-1) لديدكيند*: $$\dim_\Q M \;=\; \dim_\Q K \,\cdot\, \dim_K M ,$$ وتحقق منه على $\Q \subseteq \Q(\sqrt2) \subseteq M$ إزاء السؤالين 7 و 8.
12. (حقول بالمجّان) لتكن $A \subseteq \R$ [فضاءً جزئيًا](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-subspace) على $\Q$ [ذا بُعد منته](#def-b1-findim-def) يحتوي $1$ و مستقرًا بالضرب، وليكن $u \in A$ مع $u \neq  0$ . بيّن أنه إذا كانت $(a_1, \dots, a_d)$ [أساسًا](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) للمقدار $A$ ، فإن $(u a_1, \dots, u a_d)$ أساسٌ للمقدار $A$ مرة أخرى؛ واستنتج أن للمقدار $u$ مقلوبًا *في $A$* : أي إن $A$ [حقل](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-field) جزئي من $\R$ . وأيّ الأسئلة السابقة يستعيدها هذا؟
13. بيّن أنه من أجل كل $x \in A$ (كما في السؤال 12، $\dim_\Q  A = d$ ) تكون العائلة $(1, x, x^2, \dots, x^{d})$ مرتبطة: أي إن كل عنصر من $A$ جذرٌ [لكثير حدود](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) غير معدوم بمعاملات ناطقة، من درجة $d$ على الأكثر.

**الجزء 4 — عدد واحد يولّد كل شيء.** ضع $s = \sqrt2 + \sqrt3$.

14. احسب [إحداثيات](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#prop-b1-vspaces-coordinates) $s^2$ و $s^3$ و $s^4$ في [الأساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) $(1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6)$ للمقدار $M$ .
15. بيّن أن $(1, s, s^2, s^3)$ [حرة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) على $\Q$ ، واستنتج $\operatorname{Vect}_\Q(1, s, s^2, s^3) = M$ : أي إن كل عنصر من $M$ كثيرُ حدود ناطق في $s$ . وعبّر عن $\sqrt2$ و $\sqrt3$ بمثل هذه كثيرات الحدود.
16. تحقق من $s^4 - 10s^2 + 1 = 0$ ، وبيّن أن $X^4 - 10X^2  + 1$ هو *[كثير الحدود](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) الواحديّ الأصغر درجةً* المنعدم عند $s$ . وحدّد جذوره الحقيقية الأربعة.
17. استنتج: $1/s = 10s - s^3$ ؛ وعيّن هذا العدد. وبيّن أن $a + b\sqrt2 + c\sqrt3 + d\sqrt6$ ( $a,b,c,d \in \Q$ ) يكون ناطقًا إذا وفقط إذا كان $b = c = d = 0$ ؛ وعلى الخصوص يكون $\sqrt2 + \sqrt3 + \sqrt6$ أصمّ (وهذا تقوية للمقدار [التمرين 10.7](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#exo-b1-reals-7) ).

**الجزء 5 — الجذر التكعيبي يبقى خارجًا.** ضع $t
= 2^{1/3}$.

18. بيّن أن $X^3 - 2$ ليس له جذر ناطق *(بمحك الجذر الناطق في [التمرين 8.5](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials#exo-b1-poly-5)، أو بعدّ تقييمات)* ؛ واستنتج أن $(1, t)$ [حرة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) على $\Q$ .
19. بيّن أن $(1, t, t^2)$ [حرة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) على $\Q$ . *(إذا قتل كثيرُ حدود غير معدوم $P \in \Q[X]$ من درجة $\leq 2$ المقدارَ $t$، فخذ واحدًا من أصغر درجة واقسم $X^3 - 2$ عليه، [المبرهنة 8.3](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials#thm-b1-poly-division)؛ واستنتج أن $X^3 - 2$ سيكون له جذر ناطق.)* واستنتج أن $A =  \operatorname{Vect}_\Q(1, t, t^2)$ بُعده $3$ ، و مستقر بالضرب، [وحقل](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-field) جزئي من $\R$ .
20. برهن على أن $t \notin M$ : وإلا لكان $M$ فضاءً متجهيًا على [الحقل](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-field) $A$ ، ولفرض [قانون البرج](#pb-b1-findim-1) أن $3 \mid 4$ . ومنه فالمقدار $2^{1/3}$ ليس تركيبةً ناطقة من $1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6$ .
21. استنتج أن $t \notin \Q(\sqrt2)$ ، وأن $t + \sqrt2$ أصمّ، وأنه لا يوجد عددان ناطقان $a, b$ يحققان $2^{1/3} = a + b\sqrt3$ .

**الجزء 6 — كل الحقول الجزئية، وتوليفة.**

22. برهن على قابلية قسمة الدرجات: إذا كان $\Q \subseteq A  \subseteq B \subseteq \R$ حقولًا جزئية مع $\dim_\Q B$ منتهيًا، فإن $\dim_\Q A$ [يقسم](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/6-integer-arithmetic#def-b1-arith-divides) $\dim_\Q B$ . وما الأبعاد الممكنة للحقول الجزئية من $M$ ؟
23. حدّد *كل* الحقول الجزئية من $M$ ذات البُعد $2$ على $\Q$ . *(ردّ الأمر إلى إيجاد $w = a + b\sqrt2  + c\sqrt3 + d\sqrt6 \in M \setminus \Q$ التي تحقق $w^2 \in  \Q$: انشر $w^2$ وأعدِم [الإحداثيات](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#prop-b1-vspaces-coordinates) الصمّاء الثلاث.)*
24. عبّر عن $\dfrac1{1 + \sqrt2 + \sqrt3}$ في [الأساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) $(1,  \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6)$ *(بالضرب في مرافقات محسنة الاختيار)* .
25. توليفة، في أربع جمل: لماذا يكون البُعد على $\Q$ قرينةً *حسابية* [لمجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) من الأعداد الحقيقية؛ وماذا يفرض تناهي البُعد عن كل عنصر (السؤال 13)؛ وكيف أنتجت قاعدة اثنين من ثلاثة مقلوبات من العدم (السؤال 12)؛ وماذا يمنع [قانون البرج](#pb-b1-findim-1) (السؤال 20). وسمِّ المبرهنة المبرهن عليها في الجزء 3.

**حل المسألة 19.1.**

**1.** يحتوي $\Q$ المقدارَ $0 \neq 1$، وهو مستقر بالجمع و بالضرب وبالمقابلات، ولكل عدد ناطق غير معدوم مقلوبٌ ناطق: أي [حقل](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-field) ([التعريف 7.22](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-field)). و تعاريف [الفضاء المولَّد](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-span) والحرية [والأساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) وبراهين الفصلين 18–19 لا تستعمل إلا جمع المتجهات والتوزيعية وحساب السلالم في [حقل](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-field) — ولا تستعمل أبدًا قيمة مطلقة ولا [ترتيبًا](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-order) ولا نهاية. ومنه فالمقدار $\R$، بجمعه الخاص وبالضرب $\Q \times \R \to \R$، [فضاء متجهي](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-def) على $\Q$، وتنطبق كل المبرهنات. وتقع القسمة على سلّم مرة واحدة في برهان [المبرهنة 19.2](#thm-b1-findim-exchange): إذ إن «الحلّ من أجل $g_k$» [يقسم](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/6-integer-arithmetic#def-b1-arith-divides) على معامله غير المعدوم.

**2.** إذا كان $a + b\sqrt2 = 0$ مع $a, b \in \Q$ وليسا معدومين معًا: فإن $b \neq 0$ سيعطي $\sqrt2 = -a/b \in \Q$، مناقضًا صمم $\sqrt2$ ([التمرين 6.7](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/6-integer-arithmetic#exo-b1-arith-7) مع $p =
2$)؛ ومنه $b = 0$، ثم $a = 0$: فهي [حرة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) على $\Q$. وأمّا على $\R$ فإن العلاقة $\sqrt2\cdot 1 + (-1)\cdot\sqrt2 = 0$ غير بديهية: فهي مرتبطة. ومنه $\dim_\Q \Q(\sqrt2) = 2$، [بإحداثيات](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#prop-b1-vspaces-coordinates) وحيدة $(a, b)$.

**3.** $(a + b\sqrt2)(c + d\sqrt2) = (ac + 2bd) + (ad +
bc)\sqrt2 \in \Q(\sqrt2)$. عندئذ

$$
\sigma(uv) = (ac + 2bd) - (ad + bc)\sqrt2
= (a - b\sqrt2)(c - d\sqrt2) = \sigma(u)\sigma(v),
$$

ومنه $N(uv) = uv\,\sigma(uv) = u\sigma(u)\,v\sigma(v) = N(u)N(v)$. وإذا كان $N(u) = a^2 - 2b^2 = 0$ مع $u \neq 0$: فإن $b \neq 0$ سيعطي $(a/b)^2 = 2$، أي جذرًا تربيعيًا ناطقًا للعدد $2$؛ ومنه $b = 0$، ثم $a
= 0$ و $u = 0$: وهذا تناقض. ومنه $N(u) \neq 0$ من أجل $u \neq
0$.

**4.** $u \cdot \dfrac{\sigma(u)}{N(u)} = \dfrac{N(u)}{N(u)}
= 1$، و $\sigma(u)/N(u) \in \Q(\sqrt2)$: فكل عنصر غير معدوم قابل للقلب داخل $\Q(\sqrt2)$، وهو إذن [حقل](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-field) جزئي من $\R$. وأمثلة: $N(3 + 2\sqrt2) = 9 - 8 = 1$، ومنه

$$
\frac1{3 + 2\sqrt2} = 3 - 2\sqrt2 ;
\qquad
N(1 + \sqrt2) = -1, \quad
\frac1{1 + \sqrt2} = \sqrt2 - 1 .
$$

**5.** إذا كان $\sqrt6 = p/q$ فإن $6q^2 = p^2$؛ وأُسّ $2$ هو $1 + 2v_2(q)$، وهو فردي، على اليسار، و $2v_2(p)$، وهو زوجي، على اليمين: وهذا محال. والآن افترض $\sqrt3 = a + b\sqrt2$ مع $a, b \in \Q$. وبالتربيع: $3 = a^2 + 2b^2 + 2ab\sqrt2$. فإذا كان $ab
\neq 0$، فإن $\sqrt2 = (3 - a^2 - 2b^2)/(2ab) \in \Q$: وهذا محال. وإذا كان $b = 0$: فإن $\sqrt3 = a \in \Q$، مناقضًا [التمرين 6.7](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/6-integer-arithmetic#exo-b1-arith-7) ($p = 3$). وإذا كان $a = 0$: فإن $\sqrt3 = b\sqrt2$، وبالضرب في $\sqrt2$: $\sqrt6 = 2b \in \Q$: وهذا محال. ومنه $\sqrt3 \notin \Q(\sqrt2)$.

**6.** جداءات متجهات [الأساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) هي

$$
\sqrt2\,\sqrt3 = \sqrt6,\quad
\sqrt2\,\sqrt6 = 2\sqrt3,\quad
\sqrt3\,\sqrt6 = 3\sqrt2,\quad
(\sqrt2)^2 = 2,\ (\sqrt3)^2 = 3,\ (\sqrt6)^2 = 6,
$$

وكلها في $M$. وجداء عنصرين من $M$ ينتشر بثنائية الخطية إلى تركيبات ناطقة من هذه: ومنه فالمقدار $M$ مستقر بالضرب.

**7.** ليكن $x + y\sqrt3 = 0$ مع $x, y \in K = \Q(\sqrt2)$. فإذا كان $y \neq 0$، فإن $\sqrt3 = -x/y \in K$ (السؤال 4: لأن $K$ [حقل](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-field))، مناقضًا السؤال 5. ومنه $y = 0$، ثم $x = 0$: ومنه $(1,
\sqrt3)$ [حرة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) على $K$. وهي مولِّدة: $K + K\sqrt3 =
\{(a + b\sqrt2) + (c + d\sqrt2)\sqrt3\} = \operatorname{Vect}_\Q
(1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6) = M$. ومنه $\dim_K M = 2$.

**8.** تُجمّع علاقة $a + b\sqrt2 + c\sqrt3 + d\sqrt6 = 0$ في صورة $(a + b\sqrt2) + (c + d\sqrt2)\sqrt3 = 0$ بمعاملات في $K$؛ وحسب السؤال 7 ينعدم كلاهما، وحسب السؤال 2 يكون $a = b = 0$ و $c = d = 0$. ومنه [فالعائلة حرة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) و $\dim_\Q M
= 4$.

**9.** كل $x \in M$ يُكتب $x = \sum_j y_j f_j$ مع $y_j
\in K$ (بأساس $M$ على $K$)، وكل $y_j = \sum_i
\lambda_{ij} e_i$ مع $\lambda_{ij} \in \Q$ (بأساس $K$ على $\Q$)؛ وبالتعويض، $x = \sum_{i,j} \lambda_{ij}\, e_i f_j$: ومنه تولّد الجداءات $M$ على $\Q$.

**10.** افترض $\sum_{i,j} \lambda_{ij}\, e_i f_j = 0$ مع $\lambda_{ij} \in \Q$. وجمّع: $\sum_j \bigl(\sum_i \lambda_{ij}
e_i\bigr) f_j = 0$، والمجاميع الداخلية تنتمي إلى $K$. وتعطي حرية $(f_j)$ على $K$ أن $\sum_i \lambda_{ij} e_i = 0$ من أجل كل $j$؛ ثم تعطي حرية $(e_i)$ على $\Q$ أن $\lambda_{ij} = 0$ من أجل كل $i, j$.

**11.** حسب السؤالين 9 و 10، تكون $(e_i f_j)_{i \leq m,\, j
\leq n}$ [أساسًا](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) للمقدار $M$ على $\Q$ بعدد $mn$ عنصرًا:

$$
\dim_\Q M = m\,n = \dim_\Q K \cdot \dim_K M .
$$

وللتحقق: يعطي $\dim_\Q K = 2$ و $\dim_K M = 2$ (السؤالان 2 و 7) أن $\dim_\Q M = 4$، وهو السؤال 8.

**12.** تنتمي المتجهات $u a_1, \dots, u a_d$ إلى $A$ (بالاستقرار). وهي [حرة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free): فإذا كان $\sum_i \lambda_i\, u a_i = 0$، فإن $u \sum_i \lambda_i a_i = 0$ في $\R$، ويفرض $u \neq 0$ أن $\sum_i \lambda_i a_i = 0$، ومنه $\lambda_i = 0$ (لأن المقادير $a_i$ تكوّن [أساسًا](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free)). ومنه فالعائلة $(u a_1, \dots, u a_d)$ [عائلة حرة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) من $d$ متجهة في $A$، و $\dim_\Q A = d$: أي [أساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) ([القضية 19.8](#prop-b1-findim-twoofthree)). وعلى الخصوص يتفكّك $1 \in A$ في صورة $1 = \sum_i \mu_i\, u a_i = u\,v$ مع $v = \sum_i
\mu_i a_i \in A$: ومنه فمقلوب $u$ يقع في $A$. وهذا يستعيد السؤال 4 ($A = \Q(\sqrt2)$) ويبرهن دفعة واحدة على أن $M$ [حقل](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-field) جزئي من $\R$ (مع السؤال 6).

**13.** المتجهات $d + 1$ الممثَّلة بالمقادير $1, x, x^2, \dots, x^{d}$ كلها تقع في $A$ (بالاستقرار بالجداءات)؛ وللعائلة [الحرة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) من $A$ $d$ متجهة على الأكثر ([القضية 19.8](#prop-b1-findim-twoofthree))، ومنه فهي مرتبطة: أي توجد أعداد ناطقة $\lambda_0, \dots, \lambda_d$، ليست كلها معدومة، تحقق $\sum_k \lambda_k x^k = 0$. [وكثير الحدود](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) $P
= \sum_k \lambda_k X^k$ غير معدوم، ومعاملاته ناطقة، ودرجته $\leq d$، و $P(x) = 0$.

**14.** $s^2 = 2 + 2\sqrt6 + 3 = 5 + 2\sqrt6$: [فالإحداثيات](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#prop-b1-vspaces-coordinates) $(5, 0, 0, 2)$. عندئذ

$$
s^3 = s\,s^2 = (\sqrt2 + \sqrt3)(5 + 2\sqrt6)
= 5\sqrt2 + 2\sqrt{12} + 5\sqrt3 + 2\sqrt{18}
= 11\sqrt2 + 9\sqrt3 ,
$$

[فالإحداثيات](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#prop-b1-vspaces-coordinates) $(0, 11, 9, 0)$ (باستعمال $\sqrt{12} = 2\sqrt3$ و $\sqrt{18} = 3\sqrt2$). وأخيرًا $s^4 = (s^2)^2 = 25 + 20\sqrt6 +
24 = 49 + 20\sqrt6$: [فالإحداثيات](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#prop-b1-vspaces-coordinates) $(49, 0, 0, 20)$.

**15.** افترض $a + bs + cs^2 + ds^3 = 0$. وبقراءة [الإحداثيات](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#prop-b1-vspaces-coordinates) الأربع على $(1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6)$:

$$
a + 5c = 0,\qquad b + 11d = 0,\qquad b + 9d = 0,\qquad 2c = 0 .
$$

ومنه $c = 0$، ثم $a = 0$؛ وبطرح المعادلتين الوسطيين، $2d =
0$، ثم $b = 0$: ومنه فالعائلة $(1, s, s^2, s^3)$ [حرة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free). وأربع متجهات [حرة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) في $M$ ذي البُعد $4$: أي [أساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free)، ومنه $\operatorname{Vect}_\Q(1, s, s^2, s^3) = M$. ومن السؤال 14، $s^3 - 9s = 2\sqrt2$ و $11s - s^3 = 2\sqrt3$:

$$
\sqrt2 = \frac{s^3 - 9s}{2},
\qquad
\sqrt3 = \frac{11s - s^3}{2} .
$$

**16.** $s^4 - 10s^2 + 1 = (49 + 20\sqrt6) - 10(5 +
2\sqrt6) + 1 = 0$. [وكثير حدود](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) واحديّ من درجة $\leq 3$ ينعدم عند $s$ سينتج تركيبة معدومة غير بديهية من $(1, s, s^2, s^3)$، مناقضًا السؤال 15: ومنه فالمقدار $X^4 - 10X^2 + 1$ هو الأصغر درجةً. وجذوره: $X^2 = 5 \pm 2\sqrt6 = (\sqrt3 \pm
\sqrt2)^2$، ومنه فالجذور الحقيقية الأربعة هي $\pm(\sqrt3 + \sqrt2)$ و $\pm(\sqrt3 - \sqrt2)$، أي $\pm\sqrt2 \pm \sqrt3$.

**17.** من $s^4 - 10s^2 + 1 = 0$: $s\,(10s - s^3) = 1$، ومنه

$$
\frac1s = 10s - s^3 = 10(\sqrt2 + \sqrt3) - (11\sqrt2 + 9\sqrt3)
= \sqrt3 - \sqrt2 ,
$$

وهذا متسق مع $(\sqrt3 + \sqrt2)(\sqrt3 - \sqrt2) = 1$. وإذا كان $a +
b\sqrt2 + c\sqrt3 + d\sqrt6 = r \in \Q$، فإن $(a - r) + b\sqrt2
+ c\sqrt3 + d\sqrt6 = 0$، وتفرض الحرية (السؤال 8) أن $b = c
= d = 0$ (و $a = r$). ومن أجل $\sqrt2 + \sqrt3 + \sqrt6$ لا تكون [الإحداثيات](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#prop-b1-vspaces-coordinates) $(0, 1, 1, 1)$ من هذا الشكل: فهو أصمّ — وهي [عبارة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-statement) أقوى من [التمرين 10.7](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/10-real-numbers#exo-b1-reals-7)، محصَّلة دون أيّ حيل تربيع.

**18.** الجذر الناطق $p/q$ (في الصورة المختزلة) للمقدار $X^3 - 2$ يحقق $p^3 = 2q^3$، ويعطي محك [التمرين 8.5](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials#exo-b1-poly-5) أن $p \mid 2$ و $q \mid 1$: فالمرشّحون $\pm1, \pm2$، ومكعباتهم $\pm1, \pm8 \neq 2$. فلا جذر ناطق؛ وعلى الخصوص $t = 2^{1/3} \notin \Q$، ومنه فالعائلة $(1, t)$ [حرة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) على $\Q$ (كما في السؤال 2).

**19.** افترض $(1, t, t^2)$ مرتبطة: فإن [كثير حدود](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) غير معدوم $P \in
\Q[X]$ ما مع $\deg P \leq 2$ يحقق $P(t) = 0$؛ فاختر مثل هذا $P$ من درجة *أصغرية* $d \geq 1$. وحسب السؤال 18، $d \neq 1$، ومنه $d
= 2$. وبالقسمة الإقليدية ([المبرهنة 8.3](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials#thm-b1-poly-division)): $X^3 - 2
= PQ + R$ مع $Q, R \in \Q[X]$ و $\deg R < 2$. وبالتقويم عند $t$: $0 = P(t)Q(t) + R(t) = R(t)$، ومنه ينعدم $R$ عند $t$؛ وتفرض أصغرية $d$ أن $R = 0$. عندئذ $X^3 - 2 = PQ$ مع $\deg Q = 1$: فيكون الجذر الناطق للمقدار $Q$ جذرًا ناطقًا للمقدار $X^3 - 2$، مناقضًا السؤال 18. ومنه فالعائلة $(1, t, t^2)$ [حرة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) و $\dim_\Q A = 3$. والاستقرار: يردّ $t^3 = 2$ كلَّ جداء من $1, t, t^2$ إلى تركيبة منها ($t\cdot t^2 = 2$ و $t^2\cdot
t^2 = 2t$)؛ و $A$ يحتوي $1$: ومنه، حسب السؤال 12، يكون $A$ [حقلًا](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-field) جزئيًا من $\R$.

**20.** افترض $t \in M$. عندئذ $t^2 \in M$ (بالاستقرار)، ومنه $A \subseteq M$، ويكون $M$ فضاءً متجهيًا على [الحقل](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-field) $A$: فالبديهيات هي بديهيات حساب $\R$، مقصورةً. وهو ذو [بُعد منته](#def-b1-findim-def) على $A$ (لأن عائلة مولِّدة منتهية على $\Q$ تولّد من باب أولى على $A \supseteq \Q$). ويعطي [قانون البرج](#pb-b1-findim-1) من أجل $\Q \subseteq A \subseteq M$ أن

$$
4 = \dim_\Q M = \dim_\Q A \cdot \dim_A M = 3\,\dim_A M ,
$$

وهذا محال: فالعدد $3$ لا [يقسم](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/6-integer-arithmetic#def-b1-arith-divides) $4$. ومنه $2^{1/3} \notin M$: فلا تركيبة ناطقة من $1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6$ تساوي $2^{1/3}$.

**21.** $\Q(\sqrt2) \subseteq M$، ومنه $t \notin \Q(\sqrt2)$. وإذا كان $t + \sqrt2 = r \in \Q$، فإن $t = r - \sqrt2 \in \Q(\sqrt2)$: وهذا تناقض — ومنه فالمقدار $2^{1/3} + \sqrt2$ أصمّ. وإذا كان $t = a +
b\sqrt3$، فإن $t \in \operatorname{Vect}_\Q(1, \sqrt3) \subseteq
M$: وهذا تناقض مرة أخرى.

**22.** المقدار $B$ [فضاء متجهي](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-def) على [الحقل](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-field) $A$ (بقصر السلالم)، وهو ذو [بُعد منته](#def-b1-findim-def) لأن $\dim_\Q B$ منته. ويعطي [قانون البرج](#pb-b1-findim-1) من أجل $\Q \subseteq A \subseteq B$ أن $\dim_\Q B = \dim_\Q A \cdot \dim_A B$: فالعامل الأيسر [يقسم](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/6-integer-arithmetic#def-b1-arith-divides). ومنه فللحقول الجزئية من $M$ بُعدٌ على $\Q$ يساوي $1$ أو $2$ أو $4$: والبُعد $1$ هو $\Q$ نفسه، والبُعد $4$ هو $M$.

**23.** ليكن $F \subseteq M$ [حقلًا](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-field) جزئيًا مع $\dim_\Q F =
2$، وليكن $w \in F \setminus \Q$: فالعائلة $(1, w)$ [حرة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free)، ومنه [أساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) للمقدار $F$. وحسب السؤال 13 ($d = 2$)، $w^2 = \alpha + \beta w$ من أجل أعداد ناطقة $\alpha, \beta$. وبوضع $v = w - \beta/2 \in F
\setminus \Q$:

$$
v^2 = w^2 - \beta w + \frac{\beta^2}4 = \alpha + \frac{\beta^2}4
\;\in\; \Q,
$$

و $F = \operatorname{Vect}(1, v)$. والآن اكتب $v = a + b\sqrt2 +
c\sqrt3 + d\sqrt6$ وانشر:

$$
v^2 = (a^2 + 2b^2 + 3c^2 + 6d^2)
+ (2ab + 6cd)\sqrt2 + (2ac + 4bd)\sqrt3 + (2ad + 2bc)\sqrt6 .
$$

وتنعدم [الإحداثيات](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#prop-b1-vspaces-coordinates) الصمّاء الثلاث: $ab + 3cd = ac + 2bd =
ad + bc = 0$. فإذا كان $a \neq 0$: فإن $b = -3cd/a$، ويصير الشرط الثاني $c(a^2 - 6d^2) = 0$؛ ولأن $a^2 = 6d^2$ مع $d
\neq 0$ سيجعل $\sqrt6 = \abs{a/d}$ ناطقًا، فإمّا $c = 0$ وإمّا $d = 0$، وفي الحالتين تفرض الشروط الباقية أن $b =
c = d = 0$، أي $v \in \Q$: وهذا مستبعد. ومنه $a = 0$، وتُقرأ الشروط $3cd = 2bd = bc = 0$: أي إن واحدًا على الأكثر من $b, c, d$ غير معدوم. ومنه فالمقدار $v$ مضاعف ناطق للمقدار $\sqrt2$ أو $\sqrt3$ أو $\sqrt6$، و

$$
F \in \bigl\{\Q(\sqrt2),\ \Q(\sqrt3),\ \Q(\sqrt6)\bigr\} ,
$$

وكلٌّ منها فعلًا [حقل](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-field) جزئي ذو بُعد $2$ (بالاستقرار كما في السؤال 6، وبالمقلوبات حسب السؤال 12): أي ثلاثة حقول جزئية تربيعية بالضبط.

**24.** $(1 + \sqrt2 + \sqrt3)(1 + \sqrt2 - \sqrt3) = (1 +
\sqrt2)^2 - 3 = 2\sqrt2$، ومنه

$$
\frac1{1 + \sqrt2 + \sqrt3}
= \frac{1 + \sqrt2 - \sqrt3}{2\sqrt2}
= \frac{\sqrt2 + 2 - \sqrt6}{4}
= \frac12 + \frac14\sqrt2 + 0\cdot\sqrt3 - \frac14\sqrt6 .
$$

(وللتحقق: $(1 + \sqrt2 + \sqrt3)(2 + \sqrt2 - \sqrt6) = 4$ بعد النشر.)

**25.** (أ) يُلحق البُعد على $\Q$ *عددًا صحيحًا* بكل [حقل](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-field) جزئي من $\R$، ويجعل [قانون البرج](#pb-b1-findim-1) هذه الأعداد الصحيحة تتضارب على امتداد الاحتواءات: فيسلك البُعد سلوك قرينة حسابية، وتصير قيود [قابلية القسمة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/6-integer-arithmetic#def-b1-arith-divides) براهينَ استحالة. (ب) ويفرض البُعد المنتهي على كل عنصر أن يحقق معادلة كثيرحدودية ناطقة غير معدومة درجتها البُعد على الأكثر: فالتناهي يعني الجبرية. (ج) وحوّلت قاعدة اثنين من ثلاثة عبارةَ «الضرب في $u$ يرسل [أساسًا](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) إلى [عائلة حرة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) ذات حجم أكبري» إلى شمول، فأنتجت $u^{-1}$ بلا صيغة: فالمقلوبات جاءت من العدّ. (د) ويمنع [قانون البرج](#pb-b1-findim-1) وجودَ [حقل](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-field) بُعده $3$ داخل [حقل](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-field) بُعده $4$، ولهذا لا يمكن بلوغ $2^{1/3}$ انطلاقًا من $\sqrt2$ و $\sqrt3$. ومبرهنة الجزء 3 هي *[قانون البرج](#pb-b1-findim-1) لديدكيند*، وهي الحركة الافتتاحية لنظرية غالوا، المطوَّرة في مجلّد السنة الثالثة.