---
title: "المصفوفات"
book: "الرياضيات الجامعية — السنة 1"
subject: math
language: ar
chapter: 21
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/21-matrices
---

# الفصل 21 — المصفوفات

المصفوفة تطبيقٌ خطي مكتوبٌ [بالإحداثيات](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#prop-b1-vspaces-coordinates). ويهيّئ هذا الفصل القاموس — فيصير التركيب جداءَ مصفوفات، وتصير التقابلية قابليةً للقلب، ويصير [تغيير الأساس](#def-b1-matrices-changeofbasis) اقترانًا — و الجانب الخوارزمي: [العمليات على السطور](#met-b1-matrices-gauss)، وحساب الرتب و المعكوسات. وقد لُقيت المصفوفات أول مرة في مجلّد الثانوي، وهي الآن مؤسَّسة على نظرية الفصول [18](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#ch-b1-vspaces)، [19](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/19-finite-dimension#ch-b1-findim) و[20](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/20-linear-maps#ch-b1-linmaps).

## 21.1 المصفوفات والتطبيقات الخطية

**تعريف 21.1.**

$\mathcal{M}_{n,p}(K)$ هو [الفضاء المتجهي](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-def) للجداول $n \times p$ $A
= (a_{ij})$ من السلالم ($i$: السطر، $j$: العمود)، وبُعده $np$ ([بالأساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free): المصفوفات $E_{ij}$ ذات $1$ واحد). ومن أجل أساسين $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_p)$ للمقدار $E$ و $\mathcal{C}$ للمقدار $F$ ($\dim F = n$)، تكون *مصفوفة $u \in \mathcal{L}(E, F)$* هي الجدول الذي يسرد عموده $j$ [إحداثيات](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#prop-b1-vspaces-coordinates) $u(e_j)$ في $\mathcal{C}$:

$$
\operatorname{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u) = (a_{ij}),
\qquad u(e_j) = \sum_{i=1}^{n} a_{ij}\, f_i .
$$

[والتطبيق](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) $u \mapsto \operatorname{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)$ تشاكل تقابلي من $\mathcal{L}(E, F)$ على $\mathcal{M}_{n,p}(K)$ ([القضية 20.2](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/20-linear-maps#prop-b1-linmaps-basis): [فالتطبيق الخطي](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/20-linear-maps#def-b1-linmaps-def) هو بالضبط اختيار صور المقادير $e_j$).

**مثال 21.2 (المشتقة، مصفوفةً).**

لتكن $D(P) = P'$ على $\R_3[X]$. وفي [الأساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) الوحيد الحدّ $(1, X, X^2,
X^3)$: $D(1) = 0$ و $D(X) = 1$ و $D(X^2) = 2X$ و $D(X^3) = 3X^2$، ومنه

$$
\operatorname{Mat}(D) =
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 2 & 0\\
0 & 0 & 0 & 3\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.
$$

وفي [الأساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) *المقسوم* $\bigl(1,\ X,\ \frac{X^2}2,\
\frac{X^3}6\bigr)$، يُرسل كل متجهة [أساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) إلى السابقة ($D\bigl(\frac{X^k}{k!}\bigr) = \frac{X^{k-1}}{(k-1)!}$)، و تصير المصفوفة إزاحةً محضة: آحادٌ على القطر الفوقي، وأصفار فيما عداه. ودرسان: المصفوفة تنتمي إلى *الزوج* ([التطبيق](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map)، [الأساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free))، لا إلى [التطبيق](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) وحده؛ [والأساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) الجيد يجعل البنية مرئية بنظرة — فصورة الإزاحة تبيّن فورًا أن $D^4 = 0$ على $\R_3[X]$، إذ تدفع كل قوة للمصفوفة قطرَ آحادها خطوةً أبعد.

**تعريف 21.3 (الجداء).**

من أجل $A \in \mathcal{M}_{n,p}$ و $B \in \mathcal{M}_{p,q}$:

$$
(AB)_{ik} = \sum_{j=1}^{p} a_{ij}\, b_{jk}
\qquad (1 \leq i \leq n,\ 1 \leq k \leq q).
$$

وهذا بالضبط مصفوفة التركيب: $\operatorname{Mat}(v \circ u) = \operatorname{Mat}(v)\,
\operatorname{Mat}(u)$ (بتطابق الأسس في الوسط). وكذلك، إذا كان $X$ عمود [إحداثيات](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#prop-b1-vspaces-coordinates) $x$، فإن عمود $u(x)$ هو $AX$.

**برهان صيغة التركيب.**

$$
v(u(e_k)) = v\Bigl(\sum_j b_{jk} f_j\Bigr) = \sum_j b_{jk}\, v(f_j)
= \sum_j b_{jk} \sum_i a_{ij}\, g_i
= \sum_i \Bigl(\sum_j a_{ij} b_{jk}\Bigr) g_i . \qedhere
$$

∎

**قضية 21.4 (الجبر Mn(K)\mathcal{M}_n(K)Mn​(K)).**

تكوّن المصفوفات المربعة $\mathcal{M}_n(K)$ حلقةً (غير [تبديلية](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-group) من أجل $n
\geq 2$) بالعنصر المحايد $I_n$؛ [وزمرة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-group) عناصرها القابلة للقلب هي *الزمرة الخطية العامة* $GL_n(K)$، وهي تقابل التشاكلات الذاتية التقابلية. ومن أجل $A, B \in
\mathcal{M}_n(K)$:

$$
AB = I_n \implies A \in GL_n(K) \text{ و } B = A^{-1}
$$

(والمعكوسات من جهة واحدة ثنائية الجهة، حسب [النتيجة 20.9](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/20-linear-maps#cor-b1-linmaps-samedim)).

**برهان.** تنتقل بديهيات [الحلقة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-ring) من $\mathcal{L}(E)$ عبر التشاكل التقابلي في [التعريف 21.1](#def-b1-matrices-def): فهو يحوّل التركيب إلى جداء والمجموع إلى مجموع، ومنه تُورَّث التجميعية والتوزيعية ودور $I_n$ من الوقائع المقابلة عن التطبيقات، دون أيّ تحقق مركّبةً مركّبة. وعدم [التبديلية](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-group): $E_{12}E_{21} = E_{11} \neq E_{22}
= E_{21}E_{12}$. وإذا كان $AB = I_n$: فإن التشاكل الذاتي $a$ للمقدار $A$ يحقق $a \circ b = \mathrm{id}$، ومنه [فالتطبيق](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) $a$ شامل (لأن $x =
a(b(x))$ يظهر [صورة عكسية](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) لكل $x$)، ومنه تقابلي في البُعد المنتهي ([النتيجة 20.9](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/20-linear-maps#cor-b1-linmaps-samedim))؛ وبتركيب $a
\circ b = \mathrm{id}$ مع $a^{-1}$ من اليسار نجد $b =
a^{-1}$، وعندئذ $b\circ a = \mathrm{id}$ كذلك: أي إن المعكوس من جهة واحدة كان ثنائي الجهة طوال الوقت — وهي منّة منتهية البُعد قطعًا. ∎

**تعريف 21.5 (المنقولة؛ الأثر).**

*منقولة* $A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_{n,p}$ هي $A^{\mathsf T}
= (a_{ji}) \in \mathcal{M}_{p,n}$؛ وهي تحقق $(AB)^{\mathsf T} = B^{\mathsf T}
A^{\mathsf T}$ و $(A^{\mathsf T})^{\mathsf T} = A$. و *أثر* مصفوفة مربعة هو $\operatorname{tr} A
= \sum_i a_{ii}$؛ وهو خطي، و

$$
\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)
\qquad (A \in \mathcal{M}_{n,p},\ B \in \mathcal{M}_{p,n}).
$$

**برهان متطابقة الأثر.** $\operatorname{tr}(AB) = \sum_i \sum_j a_{ij} b_{ji}$ و $\operatorname{tr}(BA) = \sum_j \sum_i b_{ji} a_{ij}$: أي المجموع المزدوج نفسه. ∎

**مثال 21.6 (الأثر في العمل).**

[للإسقاط](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/20-linear-maps#def-b1-linmaps-projection) من [الفصل 20](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/20-linear-maps#ch-b1-linmaps) على $\operatorname{Vect}(1,1)$ على امتداد $\operatorname{Vect}(0,1)$، $p(x, y) = (x, x)$، المصفوفةُ $A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 &
0\end{pmatrix}$ في [الأساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) القانوني: فعلًا $A^2 = A$، و

$$
\operatorname{tr} A = 1 = \operatorname{rk} A ,
$$

موضّحًا [التمرين 21.8](#exo-b1-matrices-8): فمن أجل الجوامد *يعدّ* [الأثر](#def-b1-matrices-transpose) بُعد الصورة، مهما كان [الأساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) المائل الذي كُتبت فيه المصفوفة. وآلية الحفظ هي المتطابقة $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$:

$$
\operatorname{tr}\bigl(P^{-1}(AP)\bigr) =
\operatorname{tr}\bigl((AP)P^{-1}\bigr) = \operatorname{tr} A ,
$$

ومنه فكل المصفوفات المشابهة للمقدار $A$ تتقاسم أثره — وهو أول *قرينة عددية* لتشاكل ذاتي، وسينضم إليها المحدد في [الفصل 22](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/22-determinants-and-linear-systems#ch-b1-det) (والزوج $(s, p)$ في مسألة نهاية الأسبوع أدناه).

**مثال 21.7 (متماثلة زائد متخالفة التماثل).**

سمِّ $A$ *متماثلة* إذا كان $A^{\mathsf T} = A$، و *متخالفة التماثل* إذا كان $A^{\mathsf T} = -A$. وكل مصفوفة مربعة تنقسم انقسامًا وحيدًا إلى واحدة زائد الأخرى:

$$
A = \underbrace{\frac{A + A^{\mathsf T}}{2}}_{\text{متماثلة}}
+ \underbrace{\frac{A - A^{\mathsf T}}{2}}_{\text{متخالفة التماثل}},
$$

والمصفوفة التي هي الاثنتان معًا معدومة (لأن $A = -A$): ومنه فالمجموعتان فضاءان جزئيان متتامّان من $\mathcal{M}_n(K)$ — وهو النظير المضبوط لانقسام الدوال إلى زوجية وفردية ([المثال 18.11](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#ex-b1-vspaces-evenodd))، مع النقل يلعب دور $x \mapsto -x$. والأبعاد: فالمصفوفة المتماثلة [حرة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) على القطر وفوقه، والمتخالفة التماثل فوقه قطعًا (بقطر معدوم):

$$
\frac{n(n+1)}{2} + \frac{n(n-1)}{2} = n^2 ,
$$

وتوازن العدّ هو تأكيد غراسمان للانفصال. ومن أجل $n = 2$: $\begin{pmatrix} 1 & 5\\ 1 &
2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 3 & 2\end{pmatrix} +
\begin{pmatrix} 0 & 2\\ -2 & 0\end{pmatrix}$. وتعود المصفوفات المتماثلة معطياتِ المشتقات الثانية في [الفصل 25](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/25-functions-of-two-variables#ch-b1-multivar) (ثلاثي مونج $r, s, t$)، وتُصنَّف المتماثلة المتعامدة في [التمرين 23.12](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/23-euclidean-spaces#exo-b1-euclid-12).

## 21.2 تغيير الأساس

**تعريف 21.8.**

ليكن $\mathcal{B}, \mathcal{B}'$ أساسين للمقدار $E$. *مصفوفة تغيير الأساس* $P =
P_{\mathcal{B}\to\mathcal{B}'}$ أعمدتها [إحداثيات](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#prop-b1-vspaces-coordinates) متجهات [الأساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) *الجديد* في [الأساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) *القديم*. وهي قابلة للقلب، و $P^{-1} = P_{\mathcal{B}'\to\mathcal{B}}$، و تتحول [الإحداثيات](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#prop-b1-vspaces-coordinates) بالمقدار $X = PX'$ (قديم $=$ $P\,\cdot$ جديد).

**مثال 21.9 (قراءة مصفوفة تغيير الأساس).**

في $\R^2$، من القانوني $\mathcal B$ إلى $\mathcal B' =
\bigl((1,1), (1,-1)\bigr)$:

$$
P = P_{\mathcal B\to\mathcal B'} =
\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix}
$$

(بكتابة المتجهات الجديدة [بالإحداثيات](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#prop-b1-vspaces-coordinates) القديمة، عمودًا عمودًا). و لمتجهة [الإحداثيات](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#prop-b1-vspaces-coordinates) القديمة $X = (3, 1)^{\mathsf T}$ إحداثياتٌ جديدة $X' = P^{-1}X = \frac12(3 + 1,\ 3 - 1)^{\mathsf T} =
(2, 1)^{\mathsf T}$: فعلًا $2(1,1) + 1(1,-1) = (3,1)$. وانتبه للاتجاه — فالمصفوفة $P$ مبنية من [الأساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) *الجديد* لكنها تحوّل *من الجديد إلى القديم* ($X = PX'$)؛ وأمّا الانتقال من القديم إلى الجديد فيكلّف المعكوس. وكتابة تحقق السلامة $2(1,1) + (1,-1) = (3,1)$ بعد كل تحويل تمسك خطأ قلب $P$، وهو أشيع أخطاء الفصل.

**مبرهنة 21.10 (تغيير الأساس من أجل تطبيق).**

ليكن $u \in \mathcal{L}(E)$ بمصفوفة $A$ في $\mathcal{B}$ و $A'$ في $\mathcal{B}'$، ولتكن $P = P_{\mathcal{B}\to\mathcal{B}'}$. عندئذ

$$
A' = P^{-1} A\, P .
$$

والمصفوفتان المرتبطتان هكذا *متشابهتان*. (ومن أجل $u \colon E \to F$ بزوجَي أسس، تكون الصيغة $A' = Q^{-1} A P$ — وهما مصفوفتان *متكافئتان*.)

**برهان.** من أجل أيّ $x$: $X = PX'$ وتحقق الصورة $Y = AX$ و $Y = PY'$. ومنه $PY' = APX'$، أي $Y' = (P^{-1}AP)X'$ من أجل كل $X'$: ومنه فمصفوفة $u$ في [الأساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) الجديد هي $P^{-1}AP$ (بأخذ الأعمدة القانونية من أجل $X'$). ∎

**مثال 21.11 (أساس جيد يجعل التطبيق شفافًا).**

لتكن $u(x, y) = (y, x)$ (وهي مبادلة)، بمصفوفة $A = \begin{pmatrix} 0
& 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ في [الأساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) القانوني. وفي [الأساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) $\mathcal B' = \bigl((1,1), (1,-1)\bigr)$:

$$
P = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix},
\qquad
P^{-1} = \frac12\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix},
\qquad
P^{-1} A P = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}.
$$

ولم يُحتَج فعلًا إلى أيّ جداء مصفوفات: [فالتطبيق](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) $u$ يثبّت $(1,1)$ و يعكس $(1,-1)$، ومنه *يجب* أن تكون مصفوفته في $\mathcal B'$ $\operatorname{diag}(1, -1)$ — فالمبادلة هي الانعكاس عبر المستقيم $y = x$. وإيجاد [أساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free)، من أجل تشاكل ذاتي معطى، تصير فيه مصفوفته قطرية هو المسألة المركزية في مجلّد السنة الثانية (نظرية التقطير)؛ وتبيّن مسألة نهاية الأسبوع أدناه إلى أيّ مدى تذهب المتطابقات الكثيرةالحدود وحدها أصلًا.

**مثال 21.12 (تغيير الأساس، مشغَّلًا بالمقلوب).**

[للإسقاط](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/20-linear-maps#def-b1-linmaps-projection) على $F = \operatorname{Vect}(1,1)$ على امتداد $G =
\operatorname{Vect}(1,-1)$، في [الأساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) المكيَّف $\mathcal
B' = \bigl((1,1),(1,-1)\bigr)$، المصفوفةُ الشفافة $A' =
\operatorname{diag}(1, 0)$. وللحصول على مصفوفته في [الأساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) القانوني، شغّل [المبرهنة 21.10](#thm-b1-matrices-conjugation) بالمقلوب، $A = P A'
P^{-1}$:

$$
P = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix},
\quad
P^{-1} = \frac12\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix},
\quad
A = P\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}P^{-1}
= \frac12\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}.
$$

وللتحقق: $A^2 = A$ (فهي جامدة)، و $\operatorname{tr} A = 1 =
\operatorname{rk} A$، و $A\binom{1}{1} = \binom11$ و $A\binom{1}{-1} = 0$، كما فُرض. وهذا الاتجاه العكسي — صمّم المصفوفة في [الأساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) الجيد، ثم اقترن رجوعًا — هو كيف تُنتج فعلًا مصفوفات الدوران والانعكاس [والإسقاط](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/20-linear-maps#def-b1-linmaps-projection) في الممارسة.

**مبرهنة 21.13 (الصورة الناظمية للرتبة).**

*رتبة* مصفوفة (وهي رتبة أعمدتها، وبكيفية مكافئة رتبة [التطبيق الخطي](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/20-linear-maps#def-b1-linmaps-def) المرتبط بها) هي القرينة الوحيدة للتكافؤ: فكل $A \in \mathcal{M}_{n,p}$ رتبتها $r$ تكافئ

$$
J_r = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},
$$

و $\operatorname{rk}(A^{\mathsf T}) = \operatorname{rk}(A)$: أي إن رتبة السطور تساوي رتبة الأعمدة.

**برهان.** ليكن $u \colon E \to F$ ذا رتبة $r$. اختر متتامًّا $S$ للمقدار $\ker u$ ($\dim S = r$، [المبرهنة 20.7](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/20-linear-maps#thm-b1-linmaps-ranknullity)) [بأساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) $(e_1, \dots, e_r)$، متمَّمًا [بأساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) للمقدار $\ker u$ ليعطي [أساسًا](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) للمقدار $E$؛ فتكوّن الصور $f_i = u(e_i)$ مع $i \leq r$ [أساسًا](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) للمقدار $\operatorname{im} u$ (لأن القصر تشاكل تقابلي)، متمَّمًا ليعطي [أساسًا](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) للمقدار $F$. وفي هذين الأساسين تكون مصفوفة $u$ هي بالضبط $J_r$. ومنه $A = Q J_r P^{-1}$ من أجل $P, Q$ قابلتين للقلب.

وبالنقل: $A^{\mathsf T} = (P^{-1})^{\mathsf T} J_r^{\mathsf T} Q^{\mathsf T}$ مع $J_r^{\mathsf T}$ من الشكل نفسه (بالرتبة $r$) والعاملان الخارجيان قابلان للقلب (لأن [منقولة](#def-b1-matrices-transpose) القابلة للقلب قابلة للقلب، من $(AB)^{\mathsf T} = B^{\mathsf T}A^{\mathsf T}$ مطبَّقًا على $AA^{-1} = I$): $\operatorname{rk} A^{\mathsf T} = r$. ∎

## 21.3 العمليات على السطور

**طريقة 21.14 (إزاحة غاوس على المصفوفات).**

*العمليات الأولية على السطور* الثلاث — مبادلة سطرين، وضرب سطر في $\lambda \neq 0$، وإضافة مضاعف لسطر إلى آخر — لا تغيّر الرتبة (لأن كلًّا منها ضربٌ من اليسار في مصفوفة قابلة للقلب). والخوارزمية: أنشئ محورًا (وهو أقصى مركّبة غير معدومة إلى اليسار)، ونظّف عموده تحته، وانتقل إلى السطر والعمود التاليين؛ ويكون عدد محاور الصورة الدرجية الناتجة هو الرتبة.

*وحساب المعكوس:* شغّل الخوارزمية على الكتلة $(A \mid
I_n)$ حتى تصير الكتلة اليسرى $I_n$ (وهذا ممكن إذا وفقط إذا كانت $A$ قابلة للقلب)؛ فتكون الكتلة اليمنى عندئذ $A^{-1}$ — إذ إن جداء المصفوفات الأولية المستعملة يساوي $A^{-1}$.

**مثال 21.15.**

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$: قلّص $(A \mid
I_2)$:

$$
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0\\ 3 & 4 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0\\ 0 & -2 & -3 & 1 \end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 1\\ 0 & 1 & \tfrac32 & -\tfrac12
\end{pmatrix},
$$

(والعمليات: $L_2 \leftarrow L_2 - 3L_1$؛ ثم $L_1 \leftarrow L_1
+ L_2$ و $L_2 \leftarrow -\frac12 L_2$). ومنه $A^{-1} =
\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \tfrac32 & -\tfrac12\end{pmatrix}$. *وللتحقق:* $AA^{-1} = I_2$.

**مثال 21.16 (رتبة بوسيط، بالسطور وحدها).**

من أجل $m \in \R$، رتبة $M_m = \begin{pmatrix} 1 & 1 & m\\ 1 & m & 1\\ m & 1 &
1\end{pmatrix}$. قلّص: يعطي $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$ و $L_3
\leftarrow L_3 - mL_1$ السطرين

$$
(1,\ 1,\ m), \qquad (0,\ m - 1,\ 1 - m), \qquad
(0,\ 1 - m,\ 1 - m^2).
$$

*الحالة $m = 1$*: ينعدم السطران الأخيران — فمحور واحد و $\operatorname{rk} M_1 = 1$ (لأن السطور الأصلية الثلاثة كانت متساوية). *والحالة $m \neq 1$*: اضرب $L_2$ في $\frac1{m-1}$ و $L_3$ في $\frac1{1-m}$ لتحصل على $(0, 1, -1)$ و $(0, 1, 1 + m)$، ثم $L_3 \leftarrow L_3 - L_2 = (0, 0, m + 2)$. وإذا كان $m = -2$: فمحوران، والرتبة $2$؛ وإلا فثلاثة محاور، والرتبة $3$. وتلخيصًا:

$$
\operatorname{rk} M_m =
\begin{cases}
1 & m = 1,\\
2 & m = -2,\\
3 & \text{فيما عدا ذلك}.
\end{cases}
$$

وسوف تسقط العتبات نفسها من حساب محدد واحد في [الفصل 22](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/22-determinants-and-linear-systems#ch-b1-det) (وهو [كثير الحدود](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) $-(m+2)(m-1)^2$ في [التمرين 22.7](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/22-determinants-and-linear-systems#exo-b1-det-7)) — لكن لاحظ ما تعطيه الإزاحة ولا يعطيه المحدد: أي *قيمة* الرتبة في الحالات المنحلّة، لا مجرد كونها هبطت.

**مثال 21.17 (حساب القوى).**

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = I + N$ مع $N =
E_{12}$ و $N^2 = 0$. ولأن $I$ و $N$ يتبادلان، تُقطع مبرهنة ثنائي الحدّ ([القضية 7.20](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/7-algebraic-structures#prop-b1-structures-binomial)):

$$
A^k = I + kN = \begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
\qquad (k \in \N, \text{ و } k \in \Z \text{ باستعمال } A^{-1} = I -
N).
$$

**طريقة 21.18 (حساب AnA^nAn: الطرق الثلاثة).**

1. *الطريق الثنائي* : إذا كان $A = \lambda I + N$ مع $N$ معدومة القوى، تُقطع مبرهنة ثنائي الحدّ ( [المثال 21.17](#ex-b1-matrices-powers) و [التمرين 21.5](#exo-b1-matrices-5) )؛ وهو ينطبق لأن $\lambda I$ يتبادل مع كل شيء.
2. *الطريق الكثيرالحدود* : جد متطابقة كثيرةالحدود يحققها $A$ (وفي البُعد $2$ ، دائمًا $A^2 = sA -  pI$ ) وردّ $X^n$ بترديدها؛ وتبني مسألة نهاية الأسبوع أدناه هذا الطريق كاملًا.
3. *طريق التشابه* : جد $P$ قابلة للقلب تحقق $P^{-1}AP = D$ بسيطة (قطرية أو إزاحة)، واحسب $D^n$ ، وافكك: $A^n = P D^n P^{-1}$ ( [المبرهنة 21.10](#thm-b1-matrices-conjugation) و [المثال 21.11](#ex-b1-matrices-conjugationrun) )؛ والبحث المنهجي عن مثل هذه $P$ هو نظرية التقطير في السنة الثانية.

ومهما كان الطريق، تحقق من النتيجة عند $n = 0, 1, 2$: أي ثلاثة اختبارات رخيصة تمسك كل زلّة تقريبًا.

**ملاحظة 21.19 (مزالق شائعة: ثمن عدم التبديلية).**

كل متطابقة في الجبر السلّمي يعيد برهانها ترتيب العوامل تموت في $\mathcal{M}_n(K)$ من أجل $n \geq 2$. *المربعات*: $(A + B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2$، ولا ينهار الوسط إلى $2AB$ إلا إذا كان $AB = BA$ ([التمرين 21.1](#exo-b1-matrices-1)). *قوى الجداءات*: $(AB)^k$ هو $ABAB\cdots$، لا $A^kB^k$. *قواسم الصفر*: $E_{12}E_{12} = 0$ مع $E_{12} \neq 0$؛ ومنه *لا اختصار*: فالمقدار $AB = AC$ يستلزم $B = C$ فقط عندما تكون $A$ قابلة للقلب (بالضرب في $A^{-1}$ — من الجهة الصحيحة). *الآثار*: $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$ دائمًا، لكن $\operatorname{tr}(AB) \neq
\operatorname{tr}A\operatorname{tr}B$ عمومًا (خذ $A = B =
I_2$: $2 \neq 4$)، و $\operatorname{tr}(ABC) =
\operatorname{tr}(BCA)$ (دوريًا) بينما قد يختلف $\operatorname{tr}(ACB)$. *المنقولات تعكس*: $(AB)^{\mathsf T} = B^{\mathsf
T}A^{\mathsf T}$ — ونسيان العكس أشيع خطأ في حسابات التعامد ([الفصل 23](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/23-euclidean-spaces#ch-b1-euclid)). وعند الشكّ، اختبر أيّ متطابقة مدَّعاة على $E_{12}$ و $E_{21}$: فأصغر زوج غير متبادل ينقض أكثر الصيغ الخاطئة في سطر واحد.

**ملاحظة 21.20 (إلى أين يذهب القاموس).**

يُستعمل قاموس المصفوفات في كل صفحة باقية من هذا المجلّد: فالفصل [الفصل 22](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/22-determinants-and-linear-systems#ch-b1-det) يلحق بكل مصفوفة مربعة عددًا واحدًا يفصل في القابلية للقلب، ويحلّ $AX = B$ منهجيًا؛ و [الفصل 23](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/23-euclidean-spaces#ch-b1-euclid) يفرز المصفوفات التي تحفظ الأطوال (المصفوفات المتعامدة)؛ وفي [الفصل 25](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/25-functions-of-two-variables#ch-b1-multivar)، يكون السلوك من الرتبة الثانية لدالة في متغيرين مصفوفةً متماثلة $2 \times 2$. وأمّا [الأثر](#def-b1-matrices-transpose)، المقدَّم أعلاه عرضًا تقريبًا، فيصير قرينة قوية: التمارين [21.6](#exo-b1-matrices-6) و[21.8](#exo-b1-matrices-8) يعطيان مذاقًا أولًا، ويبني مجلّد السنة الثانية نظرية القيم الذاتية عليه. وتطوّر مسألة نهاية الأسبوع حصانَ العمل الآخر: المتطابقات الكثيرةالحدود التي تحققها مصفوفة، والتي تحوّل حساب $A^n$ إلى علاقة تراجعية خطية ذات حدين.

**ملاحظة 21.21 (منظورات داخل الكتاب 3).**

لثلاث عائلات مصفوفات مقدَّمة هنا مواعيد لاحقة في هذا المجلّد. إن *المصفوفات المتماثلة* ([المثال 21.7](#ex-b1-matrices-symsplit)) تحمل معطيات الرتبة الثانية لدوال المتغيرين: فاختبار مونج في [الفصل 25](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/25-functions-of-two-variables#ch-b1-multivar) عبارةٌ عن سلوك إشارة مصفوفة متماثلة $2\times2$، ويُحسب محددها $rt - s^2$ بآلة [الفصل 22](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/22-determinants-and-linear-systems#ch-b1-det). و*المصفوفات المتعامدة* ($A^{\mathsf T}A = I$) هي تقايسات [الفصل 23](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/23-euclidean-spaces#ch-b1-euclid)، حيث تكتسب [المنقولة](#def-b1-matrices-transpose) أخيرًا معناها الهندسي: فهي الظلّ الجبري للجداء السلّمي. و*المصفوفات القابلة للقلب* تلقى اختبارها العملي في [الفصل 22](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/22-determinants-and-linear-systems#ch-b1-det) — عدد واحد، $\det A \neq 0$ — فيُغلق البحث الذي بدأه هذا الفصل بتقليص السطور. ثم يسافر [الأثر](#def-b1-matrices-transpose) و المحدد زوجَ القرائن $(s, p)$ في مسألة نهاية الأسبوع، حتى نظرية القيم الذاتية في السنة الثانية.

## 21.4 تمارين

**تمرين 21.1 ★.**

لتكن $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ و $B =
\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$. احسب $AB$ و $BA$ و $A^2 - B^2$ و $(A+B)(A-B)$؛ وفسّر لماذا يختلف الأخيران.

**حل التمرين 21.1.**

$$
AB = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix},
\quad
BA = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 2\end{pmatrix},
\quad
A^2 - B^2 = \begin{pmatrix} 1 & 4\\ 0 & 1\end{pmatrix} - I
= \begin{pmatrix} 0 & 4\\ 0 & 0\end{pmatrix},
$$

$$
(A+B)(A-B) = A^2 - AB + BA - B^2
= \begin{pmatrix} 0 & 4\\ 0 & 0\end{pmatrix} +
\begin{pmatrix} -2 & 0\\ 0 & 2 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} -2 & 4\\ 0 & 2\end{pmatrix}.
$$

وهما يختلفان بالمقدار $BA - AB \neq 0$: فالمتطابقة $(a+b)(a-b) = a^2 -
b^2$ تقتضي [التبديلية](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-group)، وهي تفشل هنا.

**تمرين 21.2 ★.**

احسب رتبة

$$
M = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
2 & 4 & 6\\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix},
\qquad
N = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 2\\
0 & 1 & 1 & 1\\
1 & 2 & 1 & 3
\end{pmatrix}.
$$

**حل التمرين 21.2.**

$M$: يقتل $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ السطرَ الثاني؛ ويعطي $L_3
\leftarrow L_3 - L_1$ المقدارَ $(0, -1, -2)$. فمحوران: $\operatorname{rk} M = 2$.

$N$: يعطي $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ المقدارَ $(0,1,1,1) = L_2$؛ ثم $L_3
\leftarrow L_3 - L_2 = 0$. فمحوران: $\operatorname{rk} N = 2$.

**تمرين 21.3 ★.**

اقلب، بتقليص السطور، $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 2 & 1 &
1\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$، وتحقق على جداء واحد.

**حل التمرين 21.3.**

بتقليص $(A \mid I_3)$: $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ و $L_3
\leftarrow L_3 - L_1$:

$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 1 & -1 & -2 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\xrightarrow{L_3 \leftarrow L_3 - L_2}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 1 & -1 & -2 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 1
\end{pmatrix},
$$

ثم $L_1 \leftarrow L_1 - L_3$ و $L_2 \leftarrow L_2 + L_3$:

$$
A^{-1} = \begin{pmatrix}
0 & 1 & -1\\
-1 & 0 & 1\\
1 & -1 & 1
\end{pmatrix}.
$$

*وللتحقق:* السطر الأول من $A$ مضروبًا في العمود الأول من $A^{-1}$: $1
\cdot 0 + 0\cdot(-1) + 1\cdot 1 = 1$؛ ومضروبًا في العمود الثاني: $1 - 0 -
1 = 0$؛ وفي الثالث: $-1 + 0 + 1 = 0$.

**تمرين 21.4 ★.**

اكتب مصفوفة التشاكل الذاتي $u(P) = P(X + 1)$، في [الأساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) القانوني للمقدار $\R_2[X]$. وفسّر، دون حساب، لماذا هي قابلة للقلب، وأعطِ مصفوفة $u^{-1}$.

**حل التمرين 21.4.**

$u(1) = 1$ و $u(X) = X + 1$ و $u(X^2) = X^2 + 2X + 1$: فتعطي أعمدة [الإحداثيات](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#prop-b1-vspaces-coordinates) في $(1, X, X^2)$

$$
M = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
0 & 1 & 2\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
$$

[والتطبيق](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) $u$ قابل للقلب لأن له المعكوس البديهي $P \mapsto P(X
- 1)$ (بتركيب التعويضات). وتُحصَّل مصفوفته بالكيفية نفسها من $u^{-1}(X^k) = (X-1)^k$:

$$
M^{-1} = \begin{pmatrix}
1 & -1 & 1\\
0 & 1 & -2\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
$$

**تمرين 21.5 ★★.**

لتكن $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2\end{pmatrix}$. اكتب $A =
2I + N$، واحسب $N^2$، واستنتج $A^k$ من أجل كل $k \in \N$ بمبرهنة ثنائي الحدّ.

**حل التمرين 21.5.**

$N = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ و $N^2 = 0$. ولأن $2I$ و $N$ يتبادلان، يُقطع نشر ثنائي الحدّ بعد حدين:

$$
A^k = (2I + N)^k = 2^k I + k\,2^{k-1} N
= \begin{pmatrix} 2^k & k\,2^{k-1}\\ 0 & 2^k\end{pmatrix}.
$$

(وللتحقق عند $k = 2$: $A^2 = \begin{pmatrix}4 & 4\\ 0 & 4\end{pmatrix}$، وهو صحيح بالجداء المباشر.)

**تمرين 21.6 ★★.**

برهن على أنه لا توجد مصفوفتان $A, B \in \mathcal{M}_n(K)$ (مع $K = \R$ أو $\C$) تحققان $AB - BA = I_n$. *(خذ الآثار.)*

**حل التمرين 21.6.**

الآثار: $\operatorname{tr}(AB - BA) = \operatorname{tr}(AB) -
\operatorname{tr}(BA) = 0$ ([التعريف 21.5](#def-b1-matrices-transpose))، بينما $\operatorname{tr}(I_n) = n \neq 0$ في $\R$ أو $\C$. فلا حلّ. (وعلى الفضاءات غير المنتهية البُعد تكون المتطابقة *قابلة* للتحقيق — إذ يحققها الاشتقاق والضرب في $x$ — وذلك بالضبط لأن لا [أثر](#def-b1-matrices-transpose) هناك.)

**تمرين 21.7 ★★.**

تكون المصفوفة $A$ *معدومة القوى* إذا كان $A^m = 0$ من أجل $m$ ما. برهن على أن $I - A$ عندئذ قابلة للقلب، مع

$$
(I - A)^{-1} = I + A + A^2 + \dots + A^{m-1} .
$$

وتطبيقًا: اقلب $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 &
1\end{pmatrix}$.

**حل التمرين 21.7.**

جداء تلسكوبي، وكل قوى $A$ تتبادل:

$$
(I - A)(I + A + \dots + A^{m-1}) = I - A^m = I ,
$$

ويرقّي [القضية 21.4](#prop-b1-matrices-ring) المعكوسَ من جهة واحدة. وأمّا [التطبيق](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map): فالمصفوفة المعطاة هي $I + N$ مع

$$
N = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 2\\ 0&0&0 \end{pmatrix},
\quad
N^2 = \begin{pmatrix} 0&0&4\\ 0&0&0\\ 0&0&0\end{pmatrix},
\quad N^3 = 0 ,
$$

ومنه، باستبدال $-N$ بالمقدار $A$ في الصيغة:

$$
(I + N)^{-1} = I - N + N^2 =
\begin{pmatrix}
1 & -2 & 1\\
0 & 1 & -2\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
$$

**تمرين 21.8 ★★.**

لتحقق $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ الشرط $A^2 = A$ (فهي جامدة). برهن على أن $\operatorname{tr} A = \operatorname{rk} A$. *(فسّر $A$ إسقاطًا واختر [أساسًا](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) مكيَّفًا؛ ويقول [المبرهنة 21.10](#thm-b1-matrices-conjugation) إن [الأثر](#def-b1-matrices-transpose) لا يتعلق [بالأساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) لأن $\operatorname{tr}(P^{-1}MP) =
\operatorname{tr} M$.)*

**حل التمرين 21.8.**

$A^2 = A$: فالتشاكل الذاتي $a$ [إسقاط](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/20-linear-maps#def-b1-linmaps-projection) ([المبرهنة 20.15](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/20-linear-maps#thm-b1-linmaps-projchar))، و $E = \operatorname{im} a \oplus
\ker a$ مع $\dim\operatorname{im} a = r = \operatorname{rk} A$. وفي [أساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) مكيَّف مع هذا التفكيك ($r$ متجهة من الصورة، ثم [أساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) للنواة)، تكون مصفوفة $a$ هي $\begin{pmatrix} I_r & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}$، وأثرها $r$. و [الأثر](#def-b1-matrices-transpose) محفوظ [بتغيير الأساس](#def-b1-matrices-changeofbasis): $\operatorname{tr}(P^{-1}MP) = \operatorname{tr}(MPP^{-1}) =
\operatorname{tr} M$ بالمتطابقة الدورية. ومنه $\operatorname{tr} A = r = \operatorname{rk} A$.

**تمرين 21.9 ★★★.**

لتكن $J \in \mathcal{M}_n(\R)$ مصفوفة كل مركّباتها آحاد. احسب $J^2$، واستنتج، من أجل $a, b \in \R$، شرط قابلية قلب $M
= aI + bJ$ مع $M^{-1}$ *(ابحث عن معكوس من الشكل نفسه $\alpha I + \beta J$)*.

**حل التمرين 21.9.**

$J^2 = nJ$ (لأن كل مركّبة من $J^2$ تجمع $n$ آحادًا). ابحث عن $M^{-1} =
\alpha I + \beta J$:

$$
(aI + bJ)(\alpha I + \beta J)
= a\alpha\, I + (a\beta + b\alpha + nb\beta)\, J .
$$

وهذا يساوي $I$ إذا وفقط إذا كان $a\alpha = 1$ و $a\beta + b\alpha + nb\beta =
0$، أي $\alpha = \frac1a$ و $\beta(a + nb) = -\frac ba$. وإذا كان $a
\neq 0$ و $a + nb \neq 0$:

$$
M^{-1} = \frac 1a I - \frac{b}{a(a + nb)}\, J .
$$

وبالعكس، إذا كان $a = 0$: فإن $M = bJ$ رتبتها $\leq 1 < n$ (من أجل $n \geq
2$): فهي غير قابلة للقلب (وحالة $n = 1$ هي الحالة السلّمية). وإذا كان $a + nb = 0$: فإن المتجهة $v = (1, \dots, 1)^{\mathsf T}$ تحقق $Mv = (a +
nb)v = 0$ مع $v \neq 0$: فهي غير قابلة للقلب. ومنه $M \in GL_n \iff a
\neq 0$ و $a + nb \neq 0$.

**تمرين 21.10 ★★★.**

(متراجحات الرتبة) من أجل $A, B \in \mathcal{M}_n(K)$، برهن على

$$
\operatorname{rk}(A + B) \leq \operatorname{rk} A +
\operatorname{rk} B,
\qquad
\operatorname{rk}(AB) \geq \operatorname{rk} A + \operatorname{rk}
B - n .
$$

*(ومن أجل الثانية — وهي متراجحة سيلفستر — طبّق مبرهنة الرتبة على قصر [تطبيق](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) $A$ على $\operatorname{im} B$.)*

**حل التمرين 21.10.**

*المجموع:* $\operatorname{im}(A + B) \subseteq \operatorname{im} A
+ \operatorname{im} B$ (لأن كل $(A+B)x = Ax + Bx$)، ويحدّ غراسمان بُعد مجموع بمجموع الأبعاد.

*وسيلفستر:* ليكن $a$ [تطبيق](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) $A$ مقصورًا على $V =
\operatorname{im} B$ (وبُعده $\operatorname{rk} B$). فصورته هي $\operatorname{im}(AB)$ (لأن $a(Bx) = ABx$)، ومبرهنة الرتبة في $V$:

$$
\operatorname{rk} B = \dim\ker(a_{|V}) + \operatorname{rk}(AB) .
$$

والآن $\ker(a_{|V}) \subseteq \ker A$، وبُعده $n -
\operatorname{rk} A$: ومنه

$$
\operatorname{rk}(AB) \geq \operatorname{rk} B - (n -
\operatorname{rk} A) = \operatorname{rk} A + \operatorname{rk} B -
n . \qedhere
$$

**تمرين 21.11 ★★.**

لتكن $D = \operatorname{diag}(d_1, \dots, d_n)$ مع المقادير $d_i$ *متمايزة مثنى مثنى*.

1. برهن على أن المصفوفة $A$ تتبادل مع $D$ إذا وفقط إذا كانت $A$ قطرية. *(قارن مركّبتَي $(i,j)$ في $AD$ و $DA$.)*
2. استنتج *مركز* $\mathcal{M}_n(K)$ : فالمصفوفات المتبادلة مع *كل* مصفوفة هي بالضبط المصفوفات السلّمية $\lambda I_n$ . *(اختبر إزاء $D$، ثم إزاء المصفوفات $E_{ij}$.)*

**حل التمرين 21.11.**

1. مركّبةً مركّبة، $(AD)_{ij} = a_{ij}\,d_j$ و $(DA)_{ij} =  d_i\,a_{ij}$ . ومنه $AD = DA$ إذا وفقط إذا كان $a_{ij}(d_j - d_i) = 0$ من أجل كل $i, j$ ؛ وحين $i \neq j$ يكون العامل $d_j - d_i$ غير معدوم، فيُفرض $a_{ij} = 0$ : أي إن $A$ قطرية. وبالعكس تتبادل المصفوفات القطرية فيما بينها.
2. إذا تبادلت $A$ مع كل مصفوفة، فهي تتبادل مع $\operatorname{diag}(1, 2, \dots, n)$ ، ومنه $A =  \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ حسب (1). وعندئذ $A E_{ij} = \lambda_i E_{ij}$ (لأن السطر $i$ فقط من $E_{ij}$ ينجو) بينما $E_{ij} A = \lambda_j E_{ij}$ : ومنه يفرض التبادل مع $E_{ij}$ أن $\lambda_i = \lambda_j$ . ومنه $A = \lambda I_n$ ؛ والمصفوفات السلّمية تتبادل مع كل شيء فعلًا. ومركز $\mathcal{M}_n(K)$ هو $K\,I_n$ .

**تمرين 21.12 ★★★.**

(مصفوفات الرتبة واحد) لتكن $A \in \mathcal{M}_n(K)$ مع $A \neq 0$.

1. برهن على أن $\operatorname{rk} A = 1$ إذا وفقط إذا كان $A =  CL$ من أجل عمود غير معدوم $C \in \mathcal{M}_{n,1}$ وسطر غير معدوم $L \in \mathcal{M}_{1,n}$ .
2. ومن أجل مثل هذه $A$ ، برهن على $A^2 = (\operatorname{tr} A)\,A$ ؛ واستنتج أن مصفوفة الرتبة واحد تكون معدومة القوى إذا وفقط إذا كان أثرها معدومًا.
3. إذا كان $\operatorname{tr} A \neq -1$، فبرهن على أن $I_n + A$ قابلة للقلب مع $$(I_n + A)^{-1} = I_n - \frac{1}{1 + \operatorname{tr}  A}\,A ,$$ وعلى أن $I_n + A$ *ليست* قابلة للقلب عندما $\operatorname{tr} A = -1$. *(جد متجهة يقتلها $I_n + A$.)*

**حل التمرين 21.12.**

1. إذا كان $\operatorname{rk} A = 1$ : فصورة $A$ مستقيمٌ $\operatorname{Vect}(C)$ مع $C \neq 0$ ، ومنه فالعمود $j$ من $A$ هو $\ell_j\,C$ من أجل سلالم $\ell_j$ (ليست كلها معدومة)، أي $A = C L$ مع $L = (\ell_1, \dots,  \ell_n) \neq 0$ . وبالعكس إذا كان $A = CL \neq 0$ ، فكل الأعمدة مضاعفات للمقدار $C$ : أي الرتبة $1$ .
2. $A^2 = C\,(L C)\,L$ ، والمقدار $LC$ هو السلّم $\sum_i  \ell_i c_i = \operatorname{tr}(CL) = \operatorname{tr}  A$ . ومنه $A^2 = (\operatorname{tr} A)\,A$ ، ومنه بالاستقراء $A^m = (\operatorname{tr} A)^{m-1} A$ . وإذا كان $\operatorname{tr} A \neq 0$ ، فلا قوة تنعدم؛ وإذا كان $\operatorname{tr} A = 0$ ، فإن $A^2 = 0$ : أي إن مصفوفة الرتبة واحد معدومة القوى إذا وفقط إذا كان أثرها معدومًا.
3. مع $t = \operatorname{tr} A \neq -1$: $$(I_n + A)\Bigl(I_n - \frac{A}{1 + t}\Bigr)  = I_n + A - \frac{A + A^2}{1 + t}  = I_n + A - \frac{(1 + t)A}{1 + t} = I_n ,$$ باستعمال $A^2 = tA$. وإذا كان $t = -1$: فإن $(I_n + A)A = A + A^2 = A  - A = 0$ مع $A \neq 0$، ومنه يقتل $I_n + A$ كل عمود (غير معدوم) من $A$: فهو غير متباين وغير قابل للقلب.

## 21.5 مسألة: قوى مصفوفة بالقسمة الكثيرةالحدود

**مسألة 21.1.**

حساب $A^{100}$ مركّبةً مركّبة ميؤوس منه؛ وحسابه عبر متطابقة كثيرةالحدود يحققها $A$ ثلاثة أسطر. وتبني هذه المسألة الطريقة من الصفر: القسمة الإقليدية للمقدار $X^n$، والمتطابقة $A^2 - sA + pI = 0$ التي تحققها كل مصفوفة $2
\times 2$ (وهي مبرهنة كايلي–هاملتون في البُعد $2$)، والقاموس بين قوى المصفوفات والعلاقات التراجعية الخطية — مع [أعداد فيبوناتشي](#pb-b1-matrices-1) مثالًا جاريًا.

**الجزء 1 — حساب البواقي.** ثبّت $s, p
\in K$ و $D = X^2 - sX + p$.

1. سوّغ أنه من أجل كل $n \in \N$ يوجد $Q_n  \in K[X]$ و $(a_n, b_n) \in K^2$ وحيدة تحقق $$X^n = Q_n\,D + a_n X + b_n ,$$ واحسب $(a_0, b_0)$ و $(a_1, b_1)$.
2. بالضرب في $X$ والقسمة مرة أخرى، أثبت العلاقتين التراجعيتين $$a_{n+1} = s\,a_n + b_n,  \qquad  b_{n+1} = -p\,a_n ,$$ واستنتج $a_{n+2} = s\,a_{n+1} - p\,a_n$: أي إن متتالية المعاملات تخضع للعلاقة التراجعية الخطية المرتبطة بالمقدار $D$.
3. افترض أن للمقدار $D$ جذرين متمايزين $\lambda \neq \mu$. وبتقويم متطابقة القسمة، برهن على $$a_n = \frac{\lambda^n - \mu^n}{\lambda - \mu},  \qquad  b_n = \frac{\lambda\mu^n - \mu\lambda^n}{\lambda - \mu} .$$
4. افترض $D = (X - \lambda)^2$ . وباستعمال [مشتقة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/14-differentiation#def-b1-derivative-def) متطابقة القسمة، برهن على $a_n = n\lambda^{n-1}$ و $b_n = (1 - n)\lambda^{n}$ .
5. بيّن أن تعويض مصفوفة مثبَّتة $M \in  \mathcal{M}_k(K)$ في كثيرات الحدود يحترم المجاميع و الجداءات: $(PQ)(M) = P(M)\,Q(M)$. واستنتج أنه إذا كان $D(M) =  0$، فإن $$M^n = a_n\,M + b_n\,I \qquad (n \in \N).$$

**الجزء 2 — البُعد 2: [الأثر](#def-b1-matrices-transpose) وعدد المحدد وكايلي–هاملتون.** من أجل $A = \begin{pmatrix} a & b\\ c &
d\end{pmatrix}$ ضع $s = a + d = \operatorname{tr} A$ و $p = ad
- bc$ (وهو العدد الذي سيسمّيه [الفصل 22](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/22-determinants-and-linear-systems#ch-b1-det) المحدد).

6. تحقق بحساب مباشر من *متطابقة كايلي–هاملتون في البُعد $2$*: $$A^2 - s\,A + p\,I_2 = 0 .$$
7. برهن بالنشر المباشر على أن $p$ ضربي: بالترميز البديهي، $p(AB) = p(A)\,p(B)$. ثم بيّن: أن $A$ قابلة للقلب إذا وفقط إذا كان $p \neq 0$، وعندئذ $$A^{-1} = \frac1p\,\bigl(s\,I_2 - A\bigr).$$
8. لتكن $A = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 2\end{pmatrix}$ . احسب $s$ و $p$ وجذور $D$ ، واستنتج صيغةً [مغلقة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/12-topology-of-the-real-line#def-b1-topology-closed) من أجل $A^n$ ؛ وتحقق منها إزاء حساب مباشر للمقدار $A^2$ .
9. لتكن $A = \begin{pmatrix} 3 & 1\\ -1 & 1\end{pmatrix}$ . بيّن أن للمقدار $D$ جذرًا مضاعفًا واحسب $A^n$ ؛ وتحقق عند $n = 2$ .
10. لتكن $F = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ و عرّف [أعداد فيبوناتشي](#pb-b1-matrices-1) بالمقدار $F_0 = 0$ و $F_1 = 1$ و $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$. برهن على $$F^n = \begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n\\ F_n &  F_{n-1}\end{pmatrix} \quad (n \geq 1),$$ واستنتج صيغة بيني $F_n = \dfrac{\varphi^n -  \psi^n}{\sqrt5}$ حيث $\varphi = \frac{1 + \sqrt5}2$ و $\psi = \frac{1 - \sqrt5}2$، واستنتج، باستعمال السؤال 7، متطابقة كاسيني $F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2 = (-1)^n$.

**الجزء 3 — العلاقات التراجعية الخطية، بنيويًا.** ثبّت $s, p \in K$ مع $p \neq 0$، ولتكن $E_D$ [مجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) المتتاليات التي تحقق $u_{n+2} = s\,u_{n+1} - p\,u_n$ من أجل كل $n$.

11. بيّن أن $E_D$ [فضاء متجهي](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-def) بُعده $2$ (كيّف [التمرين 19.10](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/19-finite-dimension#exo-b1-findim-10) ).
12. بيّن أن المتتالية $(a_n)$ في الجزء 1 هي عنصر $E_D$ ذو القيمتين الابتدائيتين $0, 1$، وأن كل $u  \in E_D$ يحقق $$u_n = u_1\,a_n + u_0\,b_n \qquad (n \in \N),$$ مع $(b_n)$ كما في الجزء 1: أي إن بواقي القسمة تحلّ *كل* العلاقات التراجعية دفعة واحدة.
13. إذا كان $\lambda \neq \mu$ جذرَي $D$ ، فبيّن أن $\bigl((\lambda^n), (\mu^n)\bigr)$ [أساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) للمقدار $E_D$ ؛ وإذا كان $D = (X-\lambda)^2$ مع $\lambda \neq 0$ ، فبيّن أن $\bigl((\lambda^n), (n\lambda^n)\bigr)$ [أساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) .
14. حُلَّ حلًا كاملًا: $u_{n+2} = u_{n+1} + 6u_n$ مع $u_0 = 1$ و $u_1 = 8$ ؛ وتحقق من الجواب على $u_2$ و $u_3$ .
15. لتكن $C = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -p & s\end{pmatrix}$ (وهي *المصفوفة المرافقة* للمقدار $D$). بيّن أن $$\begin{pmatrix} u_{n}\\ u_{n+1}\end{pmatrix}  = C^n \begin{pmatrix} u_0\\ u_1\end{pmatrix}  \quad (u \in E_D),$$ وأن $\operatorname{tr} C = s$ و $p(C) = p$: أي إن العلاقة التراجعية والمصفوفة تحملان [كثير الحدود](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) $D$ نفسه.

**الجزء 4 — الدرجة الثالثة.** لتكن $D_3 = X^3 -
\alpha X^2 - \beta X - \gamma$ و

$$
C_3 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \gamma & \beta &
\alpha \end{pmatrix}.
$$

16. بيّن أن $D_3(C_3) = 0$ . *(احسب صور متجهات [الأساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) القانوني تحت قوى $C_3$: فيرسل [تطبيق](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) $C_3$ المقدارَ $e_1 \mapsto \dots \mapsto$ تركيبةً يفرضها السطر الأخير.)*
17. بيّن أنه إذا كان للمقدار $D_3$ ثلاثة جذور متمايزة $\lambda_1,  \lambda_2, \lambda_3$ ، فإن باقي $R_n$ الناتج عن قسمة $X^n$ على $D_3$ هو *مقايِس لاغرانج* للقيم $\lambda_i^n$ عند العقد $\lambda_i$ ( [المبرهنة 8.23](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials#thm-b1-poly-lagrange) )؛ واستنتج أن كل مركّبة من $C_3^{\,n}$ تركيبةٌ خطية مثبَّتة من $\lambda_1^n, \lambda_2^n, \lambda_3^n$ .
18. حُلَّ: $u_{n+3} = 2u_{n+2} + u_{n+1} - 2u_n$ مع $u_0 =  0$ و $u_1 = 1$ و $u_2 = 1$ . *(عمّل $D_3 = (X - 1)(X  + 1)(X - 2)$.)* وتحقق على $u_3$ .
19. احسب باقي $X^n$ بترديد $(X -  \lambda)^3$ *(بنشر تايلور للمقدار $X^n$ عند $\lambda$)* ، واستنتج صيغةً من أجل $(\lambda I +  N)^n$ عندما يكون $N^3 = 0$ ويتبادل $N$ مع كل ما في الأفق؛ وتحقق منها إزاء مبرهنة ثنائي الحدّ.
20. بيّن أنه من أجل $D_3$ ذي الجذور المتمايزة، يكون الحلّ العام للعلاقة التراجعية من الرتبة $3$ هو $u_n = c_1  \lambda_1^n + c_2\lambda_2^n + c_3\lambda_3^n$ : وبرهن على أن المتتاليات الهندسية الثلاث تكوّن [أساسًا](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) لفضاء الحلول. *(ومن أجل الحرية، قوّم تركيبةً معدومة عند $n = 0, 1, 2$ وتعرّف على جملة مقايسة عند العقد المتمايزة $\lambda_i$.)*

**الجزء 5 — أرباح فيبوناتشي، وتوليفة.**

21. برهن على $F_1 + F_2 + \dots + F_n = F_{n+2} - 1$ .
22. من $F^{m+n} = F^m F^n$، استخرج صيغة الجمع $$F_{m+n} = F_{m+1}F_n + F_m F_{n-1},$$ واستنتج $F_{2n} = F_n(F_{n+1} + F_{n-1})$.
23. برهن على أن $F_n$ هو أقرب عدد صحيح إلى $\varphi^n/\sqrt5$ من أجل كل $n \geq 0$ .
24. لتكن $t_n = \operatorname{tr}(F^n) = F_{n+1} + F_{n-1}$ (وهي *أعداد لوكاس* $L_n$ ). بيّن $t_{n+2} =  t_{n+1} + t_n$ و $t_1 = 1$ و $t_2 = 3$ ، وأن $L_n =  \varphi^n + \psi^n$ ، واستعد $F_{2n} = F_n L_n$ .
25. توليفة، في أربع جمل: لماذا تعيش قوى مصفوفة $2  \times 2$ في المستوي $\operatorname{Vect}(I, A)$ من $\mathcal{M}_2(K)$ (وأيّ حجة بُعد تضمن متطابقة من الدرجة الثانية، و أيّ متطابقة صريحة أنتجها الجزء 2)؛ وكيف تحوّل القسمة الإقليدية الأسّ إلى علاقة تراجعية ذات حدين؛ وأيّ [عبارة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-statement) في هذه المسألة هي الحالة $n =  2$ من مبرهنة صحيحة في كل الأبعاد (سمِّها، وقل أين يُبرهن عليها في هذه السلسلة)؛ وماذا يضيف بناء المصفوفة المرافقة إلى الصورة.

**حل المسألة 21.1.**

**1.** القسمة الإقليدية للمقدار $X^n$ على $D$ الواحديّ من الدرجة $2$ ([المبرهنة 8.3](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials#thm-b1-poly-division)): فالحاصل والباقي موجودان ووحيدان، ودرجة الباقي $\leq 1$: أي $X^n =
Q_n D + a_n X + b_n$. ومن أجل $n = 0$: $Q_0 = 0$ و $(a_0, b_0) = (0,
1)$؛ ومن أجل $n = 1$: $(a_1, b_1) = (1, 0)$.

**2.** اضرب في $X$ وردّ $X^2 = D + sX - p$:

$$
X^{n+1} = X Q_n D + a_n X^2 + b_n X
= (X Q_n + a_n)\,D + (s\,a_n + b_n)\,X - p\,a_n .
$$

وللمقدار الأخير شكلُ باقٍ (بدرجة $\leq 1$)، ومنه بالوحدانية $a_{n+1} = s a_n + b_n$ و $b_{n+1} = -p a_n$. وبتعويض $b_{n+1} = -pa_n$ في $a_{n+2} = s a_{n+1} +
b_{n+1}$ نجد $a_{n+2} = s\,a_{n+1} - p\,a_n$.

**3.** قوّم $X^n = Q_n D + a_n X + b_n$ عند الجذرين: $\lambda^n = a_n\lambda + b_n$ و $\mu^n = a_n\mu + b_n$. وبالطرح والقسمة على $\lambda - \mu \neq 0$:

$$
a_n = \frac{\lambda^n - \mu^n}{\lambda - \mu},
\qquad
b_n = \lambda^n - a_n\lambda
= \frac{\lambda\mu^n - \mu\lambda^n}{\lambda - \mu} .
$$

**4.** عند الجذر المضاعف: $\lambda^n = a_n\lambda + b_n$. وباشتقاق المتطابقة، $nX^{n-1} = Q_n'\,(X - \lambda)^2
+ 2Q_n\,(X - \lambda) + a_n$، وبالتقويم عند $\lambda$: $a_n
= n\lambda^{n-1}$؛ ثم $b_n = \lambda^n - n\lambda^{n} = (1 -
n)\lambda^{n}$.

**5.** من أجل $P = \sum_i p_i X^i$ و $Q = \sum_j q_j X^j$،

$$
P(M)\,Q(M) = \sum_{i,j} p_i q_j M^{i+j} = (PQ)(M),
$$

لأن قوى المصفوفة الواحدة $M$ تتبادل فيما بينها (والمجاميع جلية بالخطية). وإذا كان $D(M) = 0$، فإن تعويض $M$ في $X^n = Q_n D + a_n X + b_n$ يعطي $M^n = Q_n(M)\,D(M) + a_n
M + b_n I = a_n M + b_n I$.

**6.** بالجداءات المباشرة:

$$
A^2 = \begin{pmatrix}
a^2 + bc & b(a + d)\\
c(a + d) & d^2 + bc
\end{pmatrix},
\qquad
s A = \begin{pmatrix}
a(a+d) & b(a+d)\\
c(a+d) & d(a+d)
\end{pmatrix},
$$

ومنه فللمقدار $A^2 - sA$ مركّبات خارج القطر معدومة ومركّبات قطرية $a^2 + bc - a^2 - ad = bc - ad = -p$: أي $A^2 - sA + pI_2 = 0$.

**7.** مع $A' = \begin{pmatrix} a' & b'\\ c' &
d'\end{pmatrix}$، بنشر $p(AA') = (aa' + bc')(cb' + dd') -
(ab' + bd')(ca' + dc')$: يتلاشى الحدّان $aa'cb'$ و $ab'ca'$، ويتلاشى الحدّان $bc'dd'$ و $bd'dc'$، ويبقى

$$
aa'dd' - bca'd' + bcb'c' - adb'c'
= (ad - bc)(a'd' - b'c') = p(A)\,p(A').
$$

وإذا كان $p \neq 0$، فإن كايلي–هاملتون يعطي $A\,\bigl(\tfrac1p(sI_2 -
A)\bigr) = \tfrac1p(sA - A^2) = I_2$، ومنه المعكوس (ويجعله [القضية 21.4](#prop-b1-matrices-ring) ثنائي الجهة). وإذا كان $p = 0$ و كانت $A$ قابلة للقلب، لأعطت الضربية أن $1 = p(I_2) =
p(A)\,p(A^{-1}) = 0$: وهذا محال. ومنه $A \in GL_2 \iff p \neq 0$.

**8.** $s = 3$ و $p = 2$ و $D = X^2 - 3X + 2 = (X - 1)(X -
2)$: $\lambda = 2$ و $\mu = 1$، ومنه $a_n = 2^n - 1$ و $b_n = 2 -
2^n$ (السؤال 3). ومنه

$$
A^n = (2^n - 1)A + (2 - 2^n)I
= \begin{pmatrix} 1 & 2^n - 1\\ 0 & 2^n \end{pmatrix}.
$$

وللتحقق: $A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 0 & 4\end{pmatrix}$ بالصيغة وبالتربيع المباشر معًا.

**9.** $s = 4$ و $p = 3\cdot1 - 1\cdot(-1) = 4$: $D = X^2 -
4X + 4 = (X - 2)^2$، والجذر المضاعف $\lambda = 2$. والسؤال 4: $a_n
= n\,2^{n-1}$ و $b_n = (1 - n)2^n$، ومنه

$$
A^n = n\,2^{n-1}A + (1 - n)2^n I
= 2^{n-1}\begin{pmatrix} n + 2 & n\\ -n & 2 - n
\end{pmatrix}.
$$

وعند $n = 2$: $2\begin{pmatrix} 4 & 2\\ -2 & 0\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 8 & 4\\ -4 & 0 \end{pmatrix}$، وهو $A^2$ محسوبًا مباشرة.

**10.** بالاستقراء: $F^1 = \begin{pmatrix} F_2 & F_1\\ F_1 &
F_0\end{pmatrix}$، و

$$
F^{n+1} = F^n F =
\begin{pmatrix} F_{n+1} + F_n & F_{n+1}\\
F_n + F_{n-1} & F_n \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} F_{n+2} & F_{n+1}\\ F_{n+1} & F_n
\end{pmatrix}.
$$

وهنا $s = 1$ و $p = -1$ و $D = X^2 - X - 1$ بجذرين $\varphi,
\psi$ ($\varphi - \psi = \sqrt5$ و $\varphi\psi = -1$). و للمتتالية $(F_n)$ لدينا $F_0 = 0 = a_0$ و $F_1 = 1 = a_1$ وهي تخضع للعلاقة التراجعية نفسها كالمتتالية $(a_n)$: ومنه $F_n = a_n = (\varphi^n -
\psi^n)/\sqrt5$، وهي صيغة بيني. وكاسيني: [بتطبيق](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) ضربية السؤال 7 على $F^n$،

$$
F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2 = p(F^n) = p(F)^n = (-1)^n .
$$

**11.** الشرط خطي ويحتوي المتتالية المعدومة: أي [فضاء جزئي](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-subspace). وبالاستقراء يحدّد $u_0, u_1$ المتتالية $u$ تحديدًا [خطيًا](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/20-linear-maps#def-b1-linmaps-def)، ويتحقق كل زوج من القيم الابتدائية بحلٍّ واحد بالضبط: وكما في [التمرين 19.10](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/19-finite-dimension#exo-b1-findim-10)، يكون $E_D$ معلَّمًا تعليمًا [تقابليًا](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj) [وخطيًا](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/20-linear-maps#def-b1-linmaps-def) بالمقدار $(u_0, u_1) \in K^2$: ومنه $\dim E_D = 2$.

**12.** تخضع $(a_n)$ للعلاقة التراجعية (السؤال 2) مع $a_0
= 0$ و $a_1 = 1$. وكذلك $(b_n)$: $b_{n+2} = -p\,a_{n+1} =
-p(s a_n + b_n) = s\,b_{n+1} - p\,b_n$ (باستعمال $b_{n+1} = -pa_n$ مرتين)، مع $b_0 = 1$ و $b_1 = 0$. والتركيبة $v_n =
u_1 a_n + u_0 b_n$ عندئذ حلٌّ بالقيمتين $v_0 = u_0$ و $v_1 =
u_1$؛ ويتطابق حلّان بالقيمتين الابتدائيتين نفسيهما (بالاستقراء)، ومنه $u_n = u_1 a_n + u_0 b_n$ من أجل كل $n$.

**13.** تكون $(\lambda^n)$ حلًا إذا وفقط إذا كان $\lambda^{n+2} =
s\lambda^{n+1} - p\lambda^n$ من أجل كل $n$، أي $D(\lambda) = 0$ (بعد القسمة على $\lambda^n \neq 0$؛ ولاحظ $\lambda, \mu \neq
0$ لأن $p = \lambda\mu \neq 0$). وحرية $\bigl((\lambda^n), (\mu^n)\bigr)$: تعطي علاقة عند $n = 0, 1$ أن $c + c' = 0$ و $c\lambda + c'\mu = 0$، ومنه $c(\lambda - \mu)
= 0$: أي $c = c' = 0$. ومتجهتان حرتان في البُعد $2$: أي [أساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free). والجذر المضاعف: المتتالية $\bigl((n\lambda^n)\bigr)$ حلٌّ لأنه، مع $s = 2\lambda$ و $p = \lambda^2$:

$$
s(n+1)\lambda^{n+1} - p\,n\lambda^n
= \lambda^{n+2}\bigl(2(n+1) - n\bigr) = (n+2)\lambda^{n+2} ;
$$

والحرية عند $n = 0, 1$: $c = 0$، ثم $c'\lambda = 0$ مع $\lambda \neq 0$.

**14.** $D = X^2 - X - 6 = (X - 3)(X + 2)$. والحلّ العام $u_n = A\,3^n + B(-2)^n$؛ وتعطي الشروط الابتدائية $A + B = 1$ و $3A - 2B = 8$، ومنه $A = 2$ و $B = -1$:

$$
u_n = 2\cdot 3^n - (-2)^n .
$$

وللتحقق: $u_2 = 18 - 4 = 14 = u_1 + 6u_0$؛ و $u_3 = 54 + 8 = 62 =
u_2 + 6u_1 = 14 + 48$.

**15.** $C\begin{pmatrix} u_n\\ u_{n+1}\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} u_{n+1}\\ -p\,u_n + s\,u_{n+1}\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} u_{n+1}\\ u_{n+2}\end{pmatrix}$، ويعطي الاستقراء الصيغة مع $C^n$. وفوق ذلك $\operatorname{tr} C = 0
+ s = s$ و $p(C) = 0\cdot s - 1\cdot(-p) = p$: أي إن المصفوفة المرافقة لها بالضبط $D$ كثيرَ حدود كايلي–هاملتون لها.

**16.** من أجل أيّ حلّ $u$ للعلاقة $u_{n+3} = \alpha u_{n+2} +
\beta u_{n+1} + \gamma u_n$، تحقق متجهات الحالة $v_n = (u_n,
u_{n+1}, u_{n+2})^{\mathsf T}$ الشرط $C_3 v_n = v_{n+1}$ (إذ يزيح السطران الأولان، ويطبّق السطر الأخير العلاقة التراجعية). ومنه

$$
D_3(C_3)\,v_0 = v_3 - \alpha v_2 - \beta v_1 - \gamma v_0 ,
$$

ومركّباته الثلاث هي $u_{k+3} - \alpha u_{k+2} - \beta
u_{k+1} - \gamma u_k = 0$ ($k = 0, 1, 2$). ولأن الحالة الابتدائية $v_0 = (u_0, u_1, u_2)^{\mathsf T}$ تجري على *كل* $K^3$ (لأن القيم الابتدائية [حرة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free))، تقتل المصفوفة $D_3(C_3)$ كلَّ متجهة: ومنه $D_3(C_3) = 0$.

**17.** اكتب $X^n = Q\,D_3 + R_n$ مع $\deg R_n \leq 2$ وقوّم عند كل جذر: $\lambda_i^n = R_n(\lambda_i)$. ومنه فالمقدار $R_n$ كثيرُ حدود من درجة $\leq 2$ يقايس القيم الثلاث $\lambda_i^n$ عند العقد الثلاث المتمايزة $\lambda_i$: ومنه، بالوحدانية في [المبرهنة 8.23](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials#thm-b1-poly-lagrange)، $R_n = \sum_i
\lambda_i^n L_i$ مع $(L_i)$ [أساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) لاغرانج للعقد. وبتعويض $C_3$ (السؤالان 5 و 16):

$$
C_3^{\,n} = R_n(C_3) = \sum_{i=1}^{3} \lambda_i^n\,L_i(C_3),
$$

والمصفوفات الثلاث $L_i(C_3)$ مستقلة عن $n$: ومنه فكل مركّبة من $C_3^{\,n}$ تركيبةٌ مثبَّتة من $\lambda_1^n,
\lambda_2^n, \lambda_3^n$.

**18.** $D_3 = X^3 - 2X^2 - X + 2 = (X-1)(X+1)(X-2)$. والحلّ العام $u_n = A + B(-1)^n + C\,2^n$. والشروط الابتدائية: $A + B + C = 0$ و $A - B + 2C = 1$ و $A + B + 4C = 1$. وبطرح الأولى من الثالثة: $3C = 1$ ومنه $C = \frac13$؛ ثم $A + B = -\frac13$ و $A - B = \frac13$: ومنه $A = 0$ و $B =
-\frac13$. ومنه

$$
u_n = \frac{2^n - (-1)^n}{3}
$$

(وهي أعداد ياكوبشتال). وللتحقق: $u_3 = \frac{8 + 1}{3} = 3 =
2u_2 + u_1 - 2u_0 = 2 + 1 - 0$.

**19.** نشر تايلور [لكثير الحدود](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) $X^n$ عند $\lambda$:

$$
X^n = \sum_{k=0}^{n} \binom nk \lambda^{n-k}(X - \lambda)^k ,
$$

وكل الحدود ذات $k \geq 3$ تقبل القسمة على $(X -
\lambda)^3$: ومنه فالباقي هو

$$
R_n = \lambda^n + n\lambda^{n-1}(X - \lambda) + \binom
n2\lambda^{n-2}(X - \lambda)^2 .
$$

ومن أجل $M = \lambda I + N$ مع $N^3 = 0$: $(M - \lambda I)^3 = N^3
= 0$، ومنه يعطي السؤال 5

$$
M^n = \lambda^n I + n\lambda^{n-1} N + \binom n2
\lambda^{n-2} N^2 ,
$$

وهو بالضبط نشر ثنائي الحدّ للمقدار $(\lambda I + N)^n$ مقطوعًا عند $N^2$ — فالطريقتان تتفقان.

**20.** فضاء الحلول بُعده $3$ (بالتعليم نفسه بالمقدار $(u_0, u_1, u_2)$ كما في السؤال 11)، و كلٌّ من $(\lambda_i^n)$ حلٌّ. والحرية: افترض $c_1\lambda_1^n + c_2\lambda_2^n + c_3\lambda_3^n = 0$ من أجل $n =
0, 1, 2$. ثبّت $i$ وليكن $L_i = \sum_{k \leq 2} p_k X^k$ [كثير حدود](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) لاغرانج للعقد مع $L_i(\lambda_j) =
\delta_{ij}$. عندئذ

$$
0 = \sum_{k=0}^{2} p_k\Bigl(\sum_j c_j\lambda_j^k\Bigr)
= \sum_j c_j\,L_i(\lambda_j) = c_i .
$$

ومنه كل $c_i = 0$: أي ثلاثة حلول [حرة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) في البُعد $3$، ومنه [أساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free)؛ والحلّ العام هو $c_1\lambda_1^n +
c_2\lambda_2^n + c_3\lambda_3^n$.

**21.** من $F_k = F_{k+2} - F_{k+1}$، يتلسكب المجموع:

$$
\sum_{k=1}^{n} F_k = \sum_{k=1}^{n}\bigl(F_{k+2} - F_{k+1}\bigr)
= F_{n+2} - F_2 = F_{n+2} - 1 .
$$

**22.** خذ المركّبة $(1,2)$ من $F^{m+n} = F^m F^n$: فالطرف الأيسر هو $F_{m+n}$؛ والطرف الأيمن هو (السطر $1$ من $F^m$) مضروبًا في (العمود $2$ من $F^n$)، أي $F_{m+1}F_n + F_m F_{n-1}$. ومع $m = n$:

$$
F_{2n} = F_{n+1}F_n + F_nF_{n-1} = F_n\,(F_{n+1} + F_{n-1}).
$$

**23.** حسب بيني، $F_n - \dfrac{\varphi^n}{\sqrt5} =
-\dfrac{\psi^n}{\sqrt5}$، و $\abs\psi = \frac{\sqrt5 - 1}2 <
1$، ومنه

$$
\Bigl|F_n - \frac{\varphi^n}{\sqrt5}\Bigr|
\leq \frac{1}{\sqrt5} < \frac12
\qquad (n \geq 0):
$$

فيكون $F_n$ أقرب عدد صحيح إلى $\varphi^n/\sqrt5$.

**24.** $t_n = F_{n+1} + F_{n-1}$ تركيبةٌ من متتاليات فيبوناتشي المزاحة، ومنه تحقق العلاقة التراجعية نفسها: $t_{n+2} = t_{n+1} + t_n$؛ و $t_1 = F_2 + F_0 =
1$ و $t_2 = F_3 + F_1 = 3$: وهذه هي أعداد لوكاس $L_n$. والمتتالية $\varphi^n + \psi^n$ حلٌّ بالقيمتين الأوليين نفسيهما ($\varphi + \psi = 1$ و $\varphi^2 + \psi^2 = (
\varphi + \psi)^2 - 2\varphi\psi = 3$)، ومنه $L_n = \varphi^n +
\psi^n$. وأخيرًا

$$
F_n L_n = \frac{(\varphi^n - \psi^n)(\varphi^n +
\psi^n)}{\sqrt5} = \frac{\varphi^{2n} - \psi^{2n}}{\sqrt5} =
F_{2n},
$$

فيُستعاد السؤال 22.

**25.** (أ) المصفوفات الخمس $I, A, A^2, A^3, A^4$ تعيش في $\mathcal{M}_2(K)$ ذي البُعد $4$، ومنه فإن [كثير حدود](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) غير معدوم *ما* من درجة $\leq 4$ يقتل $A$؛ وحدّد الجزء 2 هذا إلى المتطابقة الصريحة من الدرجة الثانية $A^2 = sA - pI$، التي تحبس كل القوى في المستوي $\operatorname{Vect}(I, A)$. (ب) و تردّ القسمة الإقليدية $X^n$ بترديد تلك الدرجة الثانية، و يخضع معاملا الباقي للعلاقة التراجعية ذات الحدين $a_{n+2} = s\,a_{n+1} - p\,a_n$: فقد صار الأسّ تكرارًا. (ج) والسؤال 6 هو حالة $n = 2$ من *مبرهنة كايلي–هاملتون*، الصحيحة في كل بُعد و المبرهن عليها في مجلّد السنة الثانية. (د) وتغلق المصفوفة المرافقة [الحلقة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-ring): فكل علاقة تراجعية خطية *هي* قوةُ مصفوفة، بظهور [كثير الحدود](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) $D$ نفسه معطياتِ [أثر](#def-b1-matrices-transpose) ومحدد، ومنه يحلّ حساب البواقي العلاقات التراجعية ويحسب القوى دفعة واحدة.