---
title: "المحددات والجمل الخطية"
book: "الرياضيات الجامعية — السنة 1"
subject: math
language: ar
chapter: 22
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/22-determinants-and-linear-systems
---

# الفصل 22 — المحددات والجمل الخطية

يضغط المحدد في سلّم واحد الجوابَ عن سؤال «هل هذه المتجهات $n$ [أساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free)؟» — ويقيس، هندسيًا، الحجم الذي تولّده. ونميّزه بخصائصه (متعدد الخطية، متناوب، منظَّم)، ونحسبه في البُعدين $2$ و $3$ وبالنشر بالعوامل المرافقة عمومًا، ونشغّله على الجمل الخطية، إلى جانب الخوارزمية الصالحة لكل غرض: [إزاحة غاوس](#met-b1-det-gauss).

## 22.1 المحدد

**مبرهنة 22.1 (التمييز).**

يوجد [تطبيق](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) واحد بالضبط $\det \colon \mathcal{M}_n(K) \to K$، منظورًا إليه دالةً في الأعمدة $n$، يكون:

1. *[خطيًا](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/20-linear-maps#def-b1-linmaps-def) في كل عمود* (والبقية مثبَّتة)؛
2. *متناوبًا* : أي إن مبادلة عمودين تغيّر الإشارة (ومنه فالعمودان المتساويان يعطيان $0$ )؛
3. *منظَّمًا* : $\det I_n = 1$ .

ومن أجل $n = 2$ و $3$:

$$
\begin{vmatrix} a & b\\ c & d\end{vmatrix} = ad - bc,
\qquad
\begin{vmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i\end{vmatrix}
= aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh
$$

(وقاعدة ساروس للمقدار $3 \times 3$: جداءات الأقطار النازلة ناقص الصاعدة).

**برهان.** *نقبله في هذا المستوى.* ∎

**ملاحظة 22.2.**

من أجل $n = 2$: يعطي النشر بثنائية الخطية على الأعمدة القانونية الصيغةَ، وهي بالعكس تحقق البديهيات — أي برهان كامل؛ و $n = 3$ مطابق مع حدود أكثر. وأمّا الحالة العامة (الوجود عبر المجموع على التبديلات، والوحدانية بالنشر نفسه) فتقتضي توقيع [تبديلة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/2-counting#def-b1-counting-objects) وهي مؤجَّلة إلى السنة الثانية؛ ونستعمل بحرية البديهيات والنتائج أدناه.

وإليك نشر $n = 2$ كاملًا، لأنه القالب: فمع العمودين $C_1 = a\,e_1 + c\,e_2$ و $C_2 = b\,e_1 + d\,e_2$، تعطي ثنائية الخطية

$$
\det(C_1, C_2) = ab\det(e_1, e_1) + ad\det(e_1, e_2)
+ cb\det(e_2, e_1) + cd\det(e_2, e_2),
$$

ويقتل التناوب الأزواج المكررة بينما يقلب $\det(e_2, e_1) = -\det(e_1, e_2)$: فينهار [التطبيق](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) كله إلى $(ad - bc)\det(e_1, e_2) = ad - bc$ بالتنظيم. والوحدانية مرئية في الحساب نفسه — إذ لم تترك البديهيات أيّ اختيار عند أيّ خطوة — وهذه بالضبط واقعة الوحدانية المسلَّمة المستعملة في برهان قاعدة الجداء أدناه.

**مبرهنة 22.3 (الخصائص).**

من أجل $A, B \in \mathcal{M}_n(K)$:

1. إضافة مضاعف لعمود إلى عمود آخر لا تغيّر المحدد؛ وضرب عمود في $\lambda$ يضربه في $\lambda$ (ومنه $\det(\lambda A) = \lambda^n \det A$ )؛
2. $\det(AB) = \det A\, \det B$ ؛
3. تكون $A$ قابلة للقلب $\iff$ $\det A \neq 0$ $\iff$ تكوّن الأعمدة [أساسًا](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) للمقدار $K^n$ ؛ وعندئذ $\det(A^{-1}) = (\det  A)^{-1}$ ؛
4. $\det(A^{\mathsf T}) = \det A$ — ومنه فكل قاعدة على الأعمدة قاعدةٌ على السطور كذلك؛
5. محدد مصفوفة مثلثية جداءُ مركّباتها القطرية.

**برهان.** (1) بالخطية، $\det(\dots, C_i + \lambda C_j, \dots) = \det A +
\lambda\det(\dots, C_j, \dots)$ حيث للمحدد الثاني عمودان متساويان: فهو معدوم.

(2) ثبّت $A$ وانظر في $\varphi(B) = \det(AB)$ دالةً في أعمدة $B$: ولأن للمقدار $AB$ الأعمدة $AB_j$، تكون $\varphi$ متعددة الخطية ومتناوبة في المقادير $B_j$. ونقبل، مع [المبرهنة 22.1](#thm-b1-det-def)، [عبارة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-statement) وحدانيته في صورتها المسلَّمة: *كل* [تطبيق](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) متعدد الخطية متناوب $\varphi$ للأعمدة يساوي $\varphi(I_n) \cdot \det$. وهنا $\varphi(I_n) = \det A$، ومنه $\det(AB) = \det A \cdot \det B$.

(3) إذا كانت $A$ قابلة للقلب: $\det A\,\det A^{-1} = \det I = 1$، ومنه $\det A \neq 0$ وتصحّ صيغة المعكوس. وإذا لم تكن $A$ قابلة للقلب، فأعمدتها مرتبطة ([النتيجة 20.9](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/20-linear-maps#cor-b1-linmaps-samedim) و [القضية 20.2](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/20-linear-maps#prop-b1-linmaps-basis))؛ وبالتعبير عن عمود بالبقية والنشر بالخطية تبقى محددات ذات عمودين متساويين: ومنه $\det A = 0$. [وعبارة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-statement) [الأساس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) هي [القضية 19.8](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/19-finite-dimension#prop-b1-findim-twoofthree).

(4) مقبولة مع البناء العام (فهي مباشرة على صيغة التبديلات)؛ ونسجّلها لاستعمال [العمليات على السطور](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/21-matrices#met-b1-matrices-gauss).

(5) إذا انعدمت مركّبة قطرية ما، فإن الأعمدة $k$ الأولى مرتبطة من أجل $k$ ما (باعتبارات الرتبة) و $\det = 0 =$ الجداء. وإلا فنظّف كل عمود تحت وإلى اليسار بعمليات من النوع (1) — وهذا ممكن في الشكل المثلثي — فتُبلغ المصفوفة القطرية، ومحددها جداء المركّبات بتعدد الخطية انطلاقًا من $I_n$. ∎

**مثال 22.4 (القواعد، متحققًا منها على أعداد).**

خذ $A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\end{pmatrix}$ ($\det A =
-2$) و $B = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$ ($\det
B = -1$). عندئذ

$$
AB = \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 4 & 7\end{pmatrix},
\quad \det(AB) = 14 - 12 = 2 = (-2)(-1) ;
\qquad
\det(A^{\mathsf T}) = \begin{vmatrix} 1 & 3\\ 2 & 4
\end{vmatrix} = -2 = \det A .
$$

فتتأكد الضربية والحفظ بالنقل — بينما تفشل الجمعية *الخاطئة* على الزوج نفسه:

$$
\det(A + B) = \begin{vmatrix} 1 & 3\\ 4 & 5\end{vmatrix} = -7
\neq \det A + \det B = -3 .
$$

وثلاثون ثانية من حساب من هذا النوع، بعد استدعاء أيّ متطابقة محددات، هي أرخص تأمين متوفر ضد الأخطاء.

**مثال 22.5 (المحددات مساحاتٍ).**

متوازي الأضلاع المولَّد بالمقدارين $u = (2, 0)$ و $v = (1, 3)$ له قاعدة $2$ وارتفاع $3$: فمساحته $6$. و

$$
\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 0 & 3\end{vmatrix} = 6 :
$$

فالمحدد $2\times2$ *هو* المساحة الموقَّعة لمتوازي أضلاع عموديه. وتعيد البديهيات سرد الهندسة: فإضافة مضاعف لعمود إلى الآخر *قصّ*، ينزلق بمتوازي الأضلاع موازيًا لضلع دون تغيير القاعدة أو الارتفاع (العملية (1) في [المبرهنة 22.3](#thm-b1-det-props))؛ وضرب عمود في سلّم يضرب المساحة؛ ومبادلة العمودين تقلب التوجيه، ومنه الإشارة، $\det(v, u) = -6$. وفي $\R^3$ تعطي القراءة نفسها حجومًا موقَّعة، ويصير $\abs{\det}$ عاملَ تسليم الحجم الشامل للتطبيقات الخطية — وهي الواقعة وراء صيغة تغيير المتغيرات في التكاملات المضاعفة في مجلّد السنة الثانية.

**مبرهنة 22.6 (النشر بالعوامل المرافقة).**

لتكن $A \in \mathcal{M}_n(K)$ وليكن $\Delta_{ij}$ محدد $A$ بعد حذف السطر $i$ والعمود $j$. عندئذ، من أجل أيّ عمود مثبَّت $j$ (أو سطر، بالنقل):

$$
\det A = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j}\, a_{ij}\, \Delta_{ij} .
$$

**برهان.** *نقبله في هذا المستوى.* ∎

**مثال 22.7.**

بالنشر على امتداد العمود الأول:

$$
\begin{vmatrix}
2 & 1 & 0\\
1 & 2 & 1\\
0 & 1 & 2
\end{vmatrix}
= 2\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2\end{vmatrix}
- 1\begin{vmatrix} 1 & 0\\ 1 & 2\end{vmatrix}
= 2 \times 3 - 2 = 4 .
$$

والاستراتيجية: أنشئ أصفارًا أولًا ([بعمليات على السطور](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/21-matrices#met-b1-matrices-gauss) أو الأعمدة)، ثم انشر على امتداد أخلى سطر أو عمود.

**مثال 22.8 (معكوس العوامل المرافقة، مرة واحدة باليد).**

من أجل $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 &
1\end{pmatrix}$: $\det A = 1(1) - 1(-1) + 0 = 2$. وتتجمّع العوامل المرافقة التسعة $(-1)^{i+j}\Delta_{ij}$ في

$$
\operatorname{Com}(A) = \begin{pmatrix}
1 & 1 & -1\\
-1 & 1 & 1\\
1 & -1 & 1
\end{pmatrix},
\qquad
A^{-1} = \frac{1}{\det A}\operatorname{Com}(A)^{\mathsf T}
= \frac12\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1\\
1 & 1 & -1\\
-1 & 1 & 1
\end{pmatrix},
$$

وهي الصيغة المذكورة في [التمرين 22.8](#exo-b1-det-8). وتحقق من زوج سطر-عمود واحد: (السطر $1$ من $A$)(العمود $1$ من $A^{-1}$) $= \frac12(1 + 1
+ 0) = 1$، وإزاء العمود $2$: $\frac12(-1 + 1 + 0) = 0$. أي تسعة محددات $2\times2$ من أجل معكوس $3\times3$ واحد: فأصلًا عند هذا الحجم، يكون تقليص السطور ([التمرين 22.3](#exo-b1-det-3)) أرخص — وقيمة صيغة العوامل المرافقة نظرية (الصحيحية في [التمرين 22.8](#exo-b1-det-8)، وقابلية اشتقاق المعكوس في مجلّدات لاحقة)، لا حسابية.

**مثال 22.9 (قاعدة الكتل المثلثية، في الحجم 444).**

الادعاء: $\det\begin{pmatrix} M & N\\ 0 & P\end{pmatrix} = \det
M\,\det P$ من أجل كتل $2\times2$. نظّف كتلة $N$ بعمليات على الأعمدة: فإضافة تركيبات مناسبة من العمودين $1, 2$ إلى العمودين $3, 4$ تزيل $N$ *عندما تكون $M$ قابلة للقلب* (بحلّ $M\Lambda = -N$ من أجل معاملات التركيبة $\Lambda$)، فيبقى $\det\begin{pmatrix} M & 0\\ 0 & P\end{pmatrix}$؛ ثم يعطي [النشر بالعوامل المرافقة](#thm-b1-det-cofactor) على امتداد العمود الأول، مرتين، المقدارَ $\det
M\det P$ من أجل هذا الشكل الكتلي القطري. وإذا لم تكن $M$ قابلة للقلب، فأعمدتها مرتبطة، ومنه فالعمودان الأولان من المصفوفة الكبيرة مرتبطان (لأن نصفيهما السفليين معدومان): فينعدم الطرفان. وتمتدّ القاعدة إلى أيّ أحجام كتل بالحجة ذات الحالتين نفسها — وهي محرّك [التمرين 22.10](#exo-b1-det-10).

**مثال 22.10 (محدد 4×44 \times 44×4، باستراتيجية).**

$$
\Delta = \begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 & 4\\
2 & 3 & 4 & 1\\
3 & 4 & 1 & 2\\
4 & 1 & 2 & 3
\end{vmatrix}.
$$

مجموع كل سطر هو $10$: ومنه فالعملية $C_1 \leftarrow C_1 + C_2 +
C_3 + C_4$ تجعل العمود الأول ثابتًا، وبتعميل $10$ تبقى آحاد. ثم ينظّف $L_i \leftarrow L_i - L_1$ ($i \geq 2$) العمودَ الأول:

$$
\Delta = 10\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 & 4\\
0 & 1 & 1 & -3\\
0 & 2 & -2 & -2\\
0 & -1 & -1 & -1
\end{vmatrix}
= 10\begin{vmatrix}
1 & 1 & -3\\
2 & -2 & -2\\
-1 & -1 & -1
\end{vmatrix}
= 10 \times 16 = 160,
$$

وينشر المحدد $3\times3$ الأخير على امتداد سطره الأول: $1(2 - 2) - 1(-2 - 2) + (-3)(-2 - 2) = 0 + 4 + 12 = 16$. والعبرة: عمليةٌ واحدة محسنة الاختيار (بملاحظة ثبات مجموع السطر) تغلب ستة عشر عاملًا مرافقًا.

**طريقة 22.11 (اختيار استراتيجية للمحدد).**

امسح المصفوفة قبل حساب أيّ شيء.

1. *مجاميع سطور أو أعمدة ثابتة* : اجمع كل شيء في سطر واحد، وعمّل القيمة المشتركة ( [المثال 22.10](#ex-b1-det-fourbyfour) و [التمرين 22.7](#exo-b1-det-7) ).
2. *بنية متكررة* : اطرح السطور أو الأعمدة المتجاورة لإنشاء أصفار؛ فتنهار الأنماط السلّمية نحو الشكل المثلثي، ومحدده يُقرأ على القطر.
3. *أصفار معزولة* : انشر على امتداد أخلى سطر ( [المثال 22.7](#ex-b1-det-cofactor) )؛ وتعطي العائلات التراجعية (ثلاثية الأقطار، [التمرين 22.6](#exo-b1-det-6) ) علاقات تراجعية بهذه الكيفية.
4. *وسيط* : يكون المحدد كثيرَ حدود فيه؛ فجد جذوره بملاحظة القيم المنحلّة (سطور متساوية، أعمدة متناسبة)، ثم ثبّت [كثير الحدود](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) بالدرجة والمعامل المهيمن. ومن أجل مصفوفة [التمرين 22.7](#exo-b1-det-7) : يعطي $m = 1$ ثلاثة سطور متساوية (بالرتبة $1$ ، وجذر مضاعف)، ويجعل $m = -2$ مجموع السطور معدومًا (جذر آخر)؛ ودرجة المحدد $3$ في $m$ بحدّ مهيمن $-m^3$ (وهو جداء القطر المضاد $m\cdot m\cdot m$ ، وإشارته حسب ساروس $-1$ )، ومنه يجب أن يكون $-(m+2)(m-1)^2$ — دون أيّ نشر، وتتحقق الطريقتان إحداهما من الأخرى.

**مثال 22.12 (محدد فاندرموند).**

من أجل السلالم $x_1, \dots, x_n$:

$$
V(x_1, \dots, x_n) =
\begin{vmatrix}
1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1}\\
1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1}\\
\vdots & & & & \vdots\\
1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1}
\end{vmatrix}
= \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i) .
$$

وتخطيط البرهان (مفصَّلًا في [التمرين 22.5](#exo-b1-det-5)): تنظّف عمليات الأعمدة $C_k \leftarrow C_k - x_1 C_{k-1}$ من اليمين السطرَ الأول، ويردّ تعميل كل سطر باقٍ الأمرَ إلى $V(x_2, \dots, x_n)$. وهو غير معدوم إذا وفقط إذا كانت المقادير $x_i$ متمايزة مثنى مثنى — وهو المحدد وراء [مقايسة لاغرانج](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials#thm-b1-poly-lagrange) ([المثال 20.10](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/20-linear-maps#ex-b1-linmaps-interpolation)).

## 22.2 الجمل الخطية

**تعريف 22.13.**

الجملة الخطية ذات $n$ معادلة في $p$ مجهولًا هي $AX = B$ مع $A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)$ و $B \in
K^n$؛ وتكون *متجانسة* إذا كان $B = 0$. [ومجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) حلولها، إذا كانت غير خالية، هي $X_0 + \ker A$: أي حلٌّ خاص زائد الحلّ المتجانس العام — وهي فضاء أفيني جزئي بُعده $p -
\operatorname{rk} A$ (بمبرهنة الرتبة).

**مثال 22.14 (البنية الأفينية، مجعولةً مرئية).**

حُلَّ

$$
\begin{cases}
x + y + z = 3\\
x - y + 2z = 2 .
\end{cases}
$$

بطرح المعادلتين: $2y - z = 1$، ومنه $z = 2y - 1$ و $x =
3 - y - z = 4 - 3y$. وتكوّن الحلول المستقيمَ

$$
(x, y, z) = (4,\ 0,\ -1) + y\,(-3,\ 1,\ 2)
\qquad (y \in \R):
$$

أي الحلّ الخاص $X_0 = (4, 0, -1)$ (بالاختيار $y = 0$) زائد مستقيم النواة $\ker A = \operatorname{Vect}(-3, 1, 2)$ للجملة المتجانسة المرتبطة — وللتحقق: $(-3) + 1 + 2 = 0$ و $(-3) - 1 + 4 = 0$. وهندسيًا، يتقاطع مستويان غير متوازيين من $\R^3$ على امتداد مستقيم، وكان عدّ الأبعاد $p -
\operatorname{rk} A = 3 - 2 = 1$ يعلم ذلك قبل أن نحلّ أيّ شيء. وتغيير الحلّ الخاص (ولنقل $y = 1$: $X_0' =
(1, 1, 1)$) يغيّر الوصف لا المستقيم: فللفضاء الأفيني الجزئي مبادئ كثيرة واتجاه واحد.

**مبرهنة 22.15 (جمل كرامر المربعة).**

إذا كان $A \in GL_n(K)$، فللجملة $AX = B$ حلٌّ وحيد $X =
A^{-1}B$، وإحداثياته

$$
x_j = \frac{\det A_j}{\det A},
\qquad A_j = A \text{ مع العمود } j \text{ مستبدَلًا بالمقدار } B .
$$

**برهان.** الوحدانية والوجود هما القابلية للقلب. وأمّا الصيغة: فاكتب $B = \sum_k x_k C_k$ (بأعمدة $A$)؛ عندئذ، بتعدد الخطية والتناوب،

$$
\det A_j = \det\Bigl(C_1, \dots, \sum_k x_k C_k, \dots, C_n\Bigr)
= \sum_k x_k \det(C_1, \dots, C_k, \dots, C_n)
= x_j \det A ,
$$

لأن لكل حدّ عدا $k = j$ عمودًا مكررًا. ∎

**مثال 22.16 (كرامر بوسيط، كاملًا).**

من أجل $m \in \R$، حُلَّ

$$
\begin{cases}
x + m y = 1\\
m x + y = 2 .
\end{cases}
$$

المحدد هو $1 - m^2$. *والحالة العامة* $m \neq \pm1$: يعطي كرامر

$$
x = \frac{\begin{vmatrix} 1 & m\\ 2 & 1\end{vmatrix}}{1 - m^2}
= \frac{1 - 2m}{1 - m^2},
\qquad
y = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 1\\ m & 2\end{vmatrix}}{1 - m^2}
= \frac{2 - m}{1 - m^2},
$$

أي حلًا نظيفًا واحدًا من أجل كل $m$ مقبول (وللتحقق عند $m = 0$: $(1, 2)$، وهو صحيح بداهةً). *والحالات المنحلّة*: عند $m = 1$ تُقرأ المعادلتان $x + y = 1$ و $x + y = 2$: فهما غير متوافقتين؛ وعند $m = -1$ تُقرآن $x - y = 1$ و $-x + y = 2$، أي $x - y =
1$ و $x - y = -2$: فهما غير متوافقتين مرة أخرى. وانعدام المحدد يعلن أن *شيئًا* ما ينحلّ، لكنه لا يقول أبدًا ماذا — فالخالي أو غير المنتهي يجب أن يُفصل فيه بالنظر في الطرف الأيمن. ولاحظ كذلك كيف تشير الصيغ إلى حدودها هي: فعندما $m \to 1^{-}$، $x = \frac{1 - 2m}{1 - m^2} \to
-\infty$؛ وتهرب نقطة الحلّ كلما صار المستقيمان متوازيين.

**طريقة 22.17 (إزاحة غاوس على الجمل).**

قلّص بالسطور المصفوفةَ الموسَّعة $(A \mid B)$ إلى الصورة الدرجية.

1. إذا ظهر محور في العمود الأخير (سطر $0 = 1$ ): فلا حلّ.
2. وإلا فتنقسم المجاهيل إلى *مجاهيل محورية* و *مجاهيل [حرة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free)* (وسائط)؛ ويعبّر التعويض الرجعي عن الأولى بالثانية: فتكون [مجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) الحلول فضاءً أفينيًا جزئيًا بُعده $=$ عدد المجاهيل [الحرة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) .

وصيغ كرامر للنظرية وللجمل الصغيرة؛ والإزاحة هي الخوارزمية العملية.

**مثال 22.18 (مناقشة بوسيط).**

من أجل $m \in \R$، انظر في

$$
\begin{cases}
x + y + mz = 1\\
x + my + z = 1\\
mx + y + z = 1 .
\end{cases}
$$

للمصفوفة محدد $-(m+2)(m-1)^2$ (محسوبًا في [التمرين 22.7](#exo-b1-det-7) بإضافة كل الأعمدة إلى الأول). ومن أجل $m
\neq 1, -2$: حلٌّ وحيد $x = y = z = \frac{1}{m+2}$ (بالتناظر). ومن أجل $m =
1$: معادلة واحدة مكررة ثلاث مرات، أي مستوي حلول. ومن أجل $m =
-2$: يعطي جمع المعادلات الثلاث $0 = 3$، فلا حلّ.

**ملاحظة 22.19 (مزالق شائعة).**

*المحدد ليس [خطيًا](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/20-linear-maps#def-b1-linmaps-def) في المصفوفة*: $\det(A + B)
\neq \det A + \det B$ (بل أصلًا $\det(I_2 + I_2) = 4 \neq 2$)؛ فهو خطي في كل *عمود* على حدة، وهذا شيء مختلف تمامًا. *السلّمة*: $\det(\lambda A) = \lambda^n\det A$، لا $\lambda\det A$ — لأن كل عمود من الأعمدة $n$ يُضرب في سلّم. *ليست كل [العمليات على السطور](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/21-matrices#met-b1-matrices-gauss) مجانية*: فالعملية $L_i \leftarrow L_i +
\lambda L_j$ تحفظ المحدد، لكن المبادلة تغيّر الإشارة و $L_i \leftarrow \lambda L_i$ يضربه في $\lambda$ — وأخطاء مسك الدفاتر هنا هي المصدر الكلاسيكي للإشارات الخاطئة في الحسابات القائمة على الإزاحة. *المحدد المعدوم بداية لا نهاية*: فهو يقول «الرتبة $< n$» لكن لا يقول أيّ رتبة؛ ولا يحدّدها إلا عمل إضافي (الصورة الدرجية، أو المحددات الجزئية في [التمرين 22.12](#exo-b1-det-12)) — قارن حالة $m = 1$ إزاء $m = -2$ في [المثال 22.18](#ex-b1-det-parameter). *كرامر يحتاج إلى القابلية للقلب*: فعندما $\det A = 0$ تكون الصيغ $x_j = \det A_j/\det A$ بلا معنى، وقد يكون للجملة حلول (لا تُحصى) تمامًا. *المصفوفات المربعة وحدها لها محددات*: فمن أجل جملة مستطيلة، تكون الإزاحة الأداةَ الوحيدة.

**ملاحظة 22.20 (إلى أين تذهب المحددات).**

ثلاث حيوات تنتظر هذا السلّم. *هندسية*: فالمقدار $\abs{\det}$ هو عامل تسليم المساحة أو الحجم [للتطبيق](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) المرتبط — وهو مدقَّق من أجل المستوي في [الفصل 23](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/23-euclidean-spaces#ch-b1-euclid) و، بوصفه يعقوبيَّ تغيير متغيرات، في التكاملات المضاعفة في مجلّد السنة الثانية. *وجبرية*: فالمقدار $\det(A - \lambda I)$، وهو [كثير الحدود](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) المميّز، يفتح نظرية القيم الذاتية في السنة الثانية — والمتطابقة $A^2 - (\operatorname{tr} A)A + (\det A)I = 0$ في مسألة نهاية الأسبوع في [الفصل 21](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/21-matrices#ch-b1-matrices) ظلُّه الأول. *وتحليلية*: فمحددات مصفوفات خاصة (فاندرموند و كوشي وغرام) تفصل متى تكون مسائل المقايسة والتفكيك و [الإسقاط](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/20-linear-maps#def-b1-linmaps-projection) مطروحة طرحًا حسنًا؛ وتقوّم مسألة نهاية الأسبوع أدناه العائلتين الأوليين تقويمًا كاملًا.

**ملاحظة 22.21 (منظورات داخل الكتاب 3).**

يغلق هذا الفصل عمود الجبر الخطي في المجلّد، و يصرف فصلاه الباقيان الأرباح. ففي [الفصل 23](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/23-euclidean-spaces#ch-b1-euclid): تختبر مصفوفة غرام $\bigl(\langle v_i, v_j\rangle\bigr)$ الحريةَ بمحدد ([التمرين 23.11](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/23-euclidean-spaces#exo-b1-euclid-11))، وتنقسم تقايسات المستوي إلى دورانات وانعكاسات حسب إشارة محددها — ويجري تصنيف مسألة نهاية الأسبوع هناك عليها. وفي [الفصل 25](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/25-functions-of-two-variables#ch-b1-multivar): يكون مقدار مونج $rt -
s^2$ محددَ المصفوفة المتماثلة للمشتقات الثانية، وتكون المعادلات الناظمية للمربعات الصغرى جملةَ كرامر مصفوفتها مصفوفة غرام (ومنه مصفوفة عزوم) — قابلةً للقلب بالضبط بالمحكات ذات النكهة الفاندرموندية المؤسَّسة هنا. وحين تؤكد تلك الفصول «قابلة للقلب» أو «موجبة»، فالإيصالات في هذا الفصل.

## 22.3 تمارين

**تمرين 22.1 ★.**

احسب:

$$
\begin{vmatrix} 3 & 1\\ 5 & 2 \end{vmatrix},
\qquad
\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9\end{vmatrix},
\qquad
\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 4\\ 1 & 3 & 9\end{vmatrix}.
$$

**حل التمرين 22.1.**

$3 \times 2 - 1 \times 5 = 1$.

والثاني: يعطي $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$ و $L_3 \leftarrow L_3 - L_2$ (على السطور الأصلية) السطور $(1,2,3), (3,3,3), (3,3,3)$: أي سطران متساويان، فالمحدد $0$. (ويؤكد ساروس: $45 + 84 + 96 - 105 - 48 -
72 = 0$.)

والثالث: هو فاندرموند مع $x = 1, 2, 3$ ([المثال 22.12](#ex-b1-det-vandermonde)): $(2-1)(3-1)(3-2) = 2$.

**تمرين 22.2 ★.**

من أجل أيّ $\lambda \in \R$ تكون العائلة $\bigl((1, 1, \lambda),
(1, \lambda, 1), (\lambda, 1, 1)\bigr)$ [أساسًا](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) للمقدار $\R^3$؟

**حل التمرين 22.2.**

المحدد يساوي (بإضافة كل الأعمدة إلى الأول، والتعميل) $(\lambda + 2)$ مضروبًا في

$$
\begin{vmatrix}
1 & 1 & \lambda\\ 1 & \lambda & 1\\ 1 & 1 & 1
\end{vmatrix}
= -(\lambda - 1)^2
$$

(نظّف بالمقدارين $L_1 \leftarrow L_1 - L_3$ و $L_2 \leftarrow L_2 - L_3$ وانشر)، فينتج $\det = -(\lambda+2)(\lambda-1)^2$. فيكون [أساسًا](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) $\iff \det \neq 0 \iff \lambda \notin \{1, -2\}$.

**تمرين 22.3 ★.**

حُلَّ بقاعدة كرامر:

$$
\begin{cases}
2x + y = 5\\
3x - 2y = 4 ,
\end{cases}
\qquad\text{ثم}\qquad
\begin{cases}
x + y + z = 6\\
x - y + z = 2\\
2x + y - z = 1 .
\end{cases}
$$

**حل التمرين 22.3.**

الجملة الأولى: $\det = -7$؛ $x = \frac{1}{-7}\begin{vmatrix} 5 & 1\\ 4 & -2\end{vmatrix}
= \frac{-14}{-7} = 2$، $y = \frac{1}{-7}\begin{vmatrix} 2 & 5\\ 3 & 4\end{vmatrix}
= \frac{-7}{-7} = 1$. وللتحقق: $2(2) + 1 = 5$؛ و $3(2) - 2 = 4$.

والجملة الثانية: بعد $L_2 - L_1$ و $L_3 - 2L_1$، تصير السطور $(1,1,1)$ و $(0,-2,0)$ و $(0,-1,-3)$، ومنه

$$
\det A = \begin{vmatrix} 1&1&1\\ 1&-1&1\\ 2&1&-1\end{vmatrix}
= 1 \times \begin{vmatrix} -2 & 0\\ -1 & -3\end{vmatrix} = 6 .
$$

وبكرامر، باستبدال الأعمدة بالمقدار $(6,2,1)^{\mathsf T}$:

$$
x = \frac{6}{6} = 1, \qquad
y = \frac{12}{6} = 2, \qquad
z = \frac{18}{6} = 3
$$

(والبسوط محسوبة بالكيفية نفسها). وللتحقق: $1 + 2 + 3 = 6$؛ و $1 -
2 + 3 = 2$؛ و $2 + 2 - 3 = 1$.

**تمرين 22.4 ★.**

حُلَّ [بإزاحة غاوس](#met-b1-det-gauss)، واصفًا [مجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) الحلول:

$$
\begin{cases}
x + 2y - z + t = 1\\
2x + 4y + z - t = 5\\
x + 2y + 2z - 2t = 4 .
\end{cases}
$$

**حل التمرين 22.4.**

قلّص المصفوفة الموسَّعة: $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ و $L_3
\leftarrow L_3 - L_1$:

$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 & 1 & 1\\
0 & 0 & 3 & -3 & 3\\
0 & 0 & 3 & -3 & 3
\end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1 & -1 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.
$$

فالمجهولان المحوريان $x, z$؛ والمجهولان الحران $y, t$. وبالتعويض الرجعي: $z =
1 + t$ و $x = 1 - 2y + z - t = 2 - 2y$. [ومجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) الحلول:

$$
\{(2 - 2y,\; y,\; 1 + t,\; t) : y, t \in \R\}
= (2, 0, 1, 0) + \operatorname{Vect}\bigl((-2,1,0,0),\,
(0,0,1,1)\bigr),
$$

أي مستوٍ أفيني (بُعده $2 = 4 - \operatorname{rk} 2$) من $\R^4$.

**تمرين 22.5 ★★.**

برهن على صيغة فاندرموند في [المثال 22.12](#ex-b1-det-vandermonde) بالاستقراء على $n$، مع عمليات الأعمدة $C_k \leftarrow C_k -
x_1 C_{k-1}$ منفَّذةً من $k = n$ نزولًا إلى $k = 2$.

**حل التمرين 22.5.**

بالاستقراء؛ و $n = 1$ جداءٌ خالٍ $= 1$. ومن أجل الخطوة، نفّذ $C_k \leftarrow C_k - x_1 C_{k-1}$ من أجل $k = n, n-1, \dots, 2$ (بهذا الترتيب، بحيث تستعمل كل عملية عمودًا لم يُعدَّل بعد). فيصير السطر الأول $(1, 0, \dots, 0)$؛ وفي السطر $i \geq 2$، تصير المركّبة $k$ هي $x_i^{k-1} - x_1 x_i^{k-2} = x_i^{k-2}(x_i - x_1)$. وبالنشر على امتداد السطر الأول وتعميل $(x_i - x_1)$ من كل سطر $i$:

$$
V(x_1, \dots, x_n)
= \prod_{i=2}^{n} (x_i - x_1)\cdot V(x_2, \dots, x_n),
$$

ويُتمّ فرض الاستقراء الجداءَ $\prod_{i<j}(x_j
- x_i)$.

**تمرين 22.6 ★★.**

(ثلاثية الأقطار) ليكن $D_n$ المحدد $n \times n$ ذا $2$ على القطر و $1$ على القطرين المجاورين و $0$ فيما عداهما. وبالنشر على امتداد السطر الأول، برهن على $D_n = 2D_{n-1} - D_{n-2}$ و احسب $D_n$ ($D_1 = 2$ و $D_2 = 3$).

**حل التمرين 22.6.**

بنشر $D_n$ على امتداد السطر الأول: $D_n = 2 D_{n-1} -
1\cdot\begin{vmatrix} 1 & \ast\\ 0 & D_{n-2}\text{-كتلة}
\end{vmatrix}$؛ والمحدد الثاني، منشورًا على امتداد عموده الأول، هو $D_{n-2}$. ومنه $D_n = 2D_{n-1} - D_{n-2}$، أي $D_n -
D_{n-1} = D_{n-1} - D_{n-2}$: فالفروق ثابتة وتساوي $D_2 - D_1 = 1$. ومنه $D_n = D_1 + (n - 1) = n + 1$. (وللتحقق: $D_2 = 3$، وحالة $3\times3$ هي [المثال 22.7](#ex-b1-det-cofactor): أي $D_3 = 4$.)

**تمرين 22.7 ★★.**

أكمل [المثال 22.18](#ex-b1-det-parameter): احسب المحدد $\begin{vmatrix} 1 & 1 & m\\ 1 & m & 1\\ m & 1 & 1\end{vmatrix}$ بالعملية $C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$، ونفّذ المناقشة الكاملة للجملة.

**حل التمرين 22.7.**

تجعل $C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$ العمودَ الأول ثابتًا $(m+2)$؛ فعمّله:

$$
\det = (m+2)\begin{vmatrix}
1 & 1 & m\\ 1 & m & 1\\ 1 & 1 & 1
\end{vmatrix}
\overset{L_1 - L_3,\ L_2 - L_3}{=}
(m+2)\begin{vmatrix}
0 & 0 & m-1\\ 0 & m-1 & 0\\ 1 & 1 & 1
\end{vmatrix}
= (m+2)\cdot\bigl(-(m-1)^2\bigr)
$$

(وانشر على امتداد العمود الأول: فالمركّبة المفردة $1$ تحمل الإشارة $+$، والمحدد $2 \times 2$ الباقي هو $0 \cdot 0 -
(m-1)(m-1) = -(m-1)^2$).

والمناقشة. $m \notin \{1, -2\}$: أي جملة كرامر؛ وبتناظر المعادلات، $x = y = z$، وتعطي كل معادلة $(m + 2)x = 1$: فالحلّ الوحيد $\bigl(\frac{1}{m+2}, \frac{1}{m+2},
\frac{1}{m+2}\bigr)$. و $m = 1$: تُقرأ المعادلات الثلاث كلها $x + y
+ z = 1$: فتكوّن الحلول المستوي الأفيني $x + y + z = 1$. و $m = -2$: يعطي جمع المعادلات الثلاث $0 = 3$: [فمجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) الحلول خالية.

**تمرين 22.8 ★★.**

لتكن $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ ذات مركّبات *صحيحة*. برهن على أن للمقدار $A$ معكوسًا بمركّبات صحيحة إذا وفقط إذا كان $\det A
= \pm 1$. *(ومن أجل الاتجاه المباشر، خذ المحددات؛ ومن أجل العكس، اقبل — أو برهن من أجل $n \leq 3$ عبر العوامل المرافقة — أن $A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\operatorname{Com}(A)^{\mathsf T}$ بمصفوفة عوامل مرافقة صحيحة.)*

**حل التمرين 22.8.**

($\Rightarrow$) إذا كانت مركّبات $A^{-1}$ صحيحة: فإن $\det A \cdot \det
A^{-1} = 1$ بمحددين صحيحين كليهما (لأنهما مجاميع جداءات المركّبات): وعددان صحيحان جداؤهما $1$ كلاهما $\pm1$.

($\Leftarrow$) لصيغة العوامل المرافقة $A^{-1} = \frac{1}{\det
A}\operatorname{Com}(A)^{\mathsf T}$ (المتحقَّق منها من أجل $n \leq 3$ بالنشر المباشر، والمقبولة عمومًا) $\operatorname{Com}(A)$ بمركّبات صحيحة (لأن كل عامل مرافق محدد صحيح)؛ والقسمة على $\det A = \pm 1$ تبقي الأعداد صحيحة.

**تمرين 22.9 ★★★.**

احسب المحدد $n \times n$ للمصفوفة $aI + bJ$ ([التمرين 21.9](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/21-matrices#exo-b1-matrices-9))، أي ذات $a + b$ على القطر و $b$ فيما عداه. *(أضف كل الأعمدة إلى الأول، وعمّل، ثم نظّف.)* واستعد شرط القابلية للقلب $a \neq 0$ و $a + nb
\neq 0$.

**حل التمرين 22.9.**

أضف كل الأعمدة إلى الأول: فتصير كل مركّبة من العمود الأول الجديد $a + nb$؛ فعمّلها، بحيث يصير العمود الأول كله آحادًا. ثم تنظّف عمليات السطور $L_i \leftarrow L_i - L_1$ ($i \geq 2$) كلَّ مركّبة تحت المقدار $1$ في أعلى اليسار وتترك $a$ على القطر و $0$ فيما عداه في تلك السطور: فتكون المصفوفة مثلثية عليا بقطر $(1, a, \dots, a)$. ومنه

$$
\det(aI + bJ) = (a + nb)\, a^{\,n-1} ,
$$

وهو غير معدوم إذا وفقط إذا كان $a \neq 0$ و $a + nb \neq 0$: وهو شرط [التمرين 21.9](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/21-matrices#exo-b1-matrices-9).

**تمرين 22.10 ★★★.**

لتكن $A, B \in \mathcal{M}_n(\R)$. برهن على أن

$$
\det\begin{pmatrix} A & B\\ B & A \end{pmatrix}
= \det(A + B)\,\det(A - B),
$$

بعمليات كتلية على الأعمدة والسطور ($C_1 \leftarrow C_1 + C_2$، ثم $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$، في صورة كتلية)، مفترضًا قاعدة الكتل المثلثية الطبيعية $\det\begin{pmatrix} M & N\\ 0 &
P\end{pmatrix} = \det M \det P$ — المبرهن عليها من أجل كتل $2 \times 2$ في [المثال 22.9](#ex-b1-det-blocktriangular).

**حل التمرين 22.10.**

عمليات كتلية (وكلٌّ منها تركيبٌ للعمليات السلّمية $n$ المقابلة، ويسمح بها [المبرهنة 22.3](#thm-b1-det-props) (1)):

$$
\begin{vmatrix} A & B\\ B & A\end{vmatrix}
\overset{C_1 \leftarrow C_1 + C_2}{=}
\begin{vmatrix} A + B & B\\ A + B & A\end{vmatrix}
\overset{L_2 \leftarrow L_2 - L_1}{=}
\begin{vmatrix} A + B & B\\ 0 & A - B\end{vmatrix}
= \det(A+B)\,\det(A-B),
$$

باستعمال قاعدة الكتل المثلثية في الخطوة الأخيرة.

**تمرين 22.11 ★★.**

(الدائرية من الرتبة $3$) ليكن $a, b, c \in \C$ و

$$
\Delta = \begin{vmatrix}
a & b & c\\
c & a & b\\
b & c & a
\end{vmatrix}.
$$

برهن على أن $\Delta = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc -
ca)$، وعمّل تعميلًا كاملًا على $\C$ باستعمال $j =
\eu^{2\iu\pi/3}$:

$$
\Delta = (a + b + c)(a + jb + j^2c)(a + j^2b + jc) .
$$

*(ابدأ بالمقدار $C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$؛ ومن أجل الصورة العقدية، لاحظ أن العمود $(1, j, j^2)^{\mathsf T}$ يكاد يسلك سلوك متجهة ذاتية.)*

**حل التمرين 22.11.**

تجعل $C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$ العمودَ الأول ثابتًا $(a + b + c)$؛ فعمّله، ثم $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$ و $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$:

$$
\Delta = (a+b+c)\begin{vmatrix}
1 & b & c\\
0 & a - b & b - c\\
0 & c - b & a - c
\end{vmatrix}
= (a+b+c)\bigl[(a-b)(a-c) + (b-c)^2\bigr],
$$

وبالنشر، $(a-b)(a-c) + (b-c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc
- ca$. وعلى $\C$، مع $j^3 = 1$ و $1 + j + j^2 = 0$:

$$
\begin{align*}
(a + jb + j^2c)(a + j^2b + jc)
&= a^2 + b^2 + c^2 + (j + j^2)(ab + bc + ca)\\
&= a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca ,
\end{align*}
$$

ومنه التعميل الكامل. (وبنيويًا: يحقق العمود $(1, j, j^2)^{\mathsf T}$ الشرطَ $M\,(1, j, j^2)^{\mathsf T}
= (a + jb + j^2c)(1, j, j^2)^{\mathsf T}$، وكذلك من أجل $j^2$ و $1$: فالعوامل الثلاثة هي «القيم الذاتية» الثلاث للدائرية، وهي قصة تُنظَّم في مجلّد السنة الثانية.)

**تمرين 22.12 ★★★.**

(الرتبة والمحددات الجزئية) لتكن $A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)$. برهن على أن $\operatorname{rk} A$ يساوي أكبر حجم $r$ لمصفوفة جزئية $r \times r$ قابلة للقلب من $A$ (والمصفوفة الجزئية تحتفظ بالمركّبات عند تقاطعات $r$ سطرًا مختارًا و $r$ عمودًا مختارًا). *(إذا كان $\operatorname{rk} A = r$، فاختر $r$ عمودًا حرًا، ثم $r$ سطرًا حرًا من الكتلة $n \times r$ الناتجة؛ وبالعكس، تفرض مصفوفة جزئية قابلة للقلب أن تكون الأعمدة المقابلة من $A$ [حرة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free).)*

**حل التمرين 22.12.**

اكتب $r = \operatorname{rk} A$.

*وجود مصفوفة جزئية $r \times r$ قابلة للقلب.* اختر $r$ عمودًا حرًا من $A$ ولتكن $B \in \mathcal{M}_{n,r}$ المصفوفة التي تكوّنها: $\operatorname{rk} B = r$. ولأن رتبة السطور تساوي رتبة الأعمدة ([المبرهنة 21.13](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/21-matrices#thm-b1-matrices-rank))، فللمقدار $B$ عدد $r$ سطرًا حرًا؛ والاحتفاظ بتلك السطور يعطي مصفوفة جزئية $r \times r$ من $A$ رتبتها $r$، أي قابلة للقلب.

*ولا وجود لأكبر منها.* لتكن $S$ مصفوفة جزئية $s \times s$ قابلة للقلب، مأخوذة من الأعمدة $j_1, \dots, j_s$ والسطور $i_1,
\dots, i_s$ من $A$. فإذا انعدمت تركيبة $\sum_k \lambda_k
C_{j_k} = 0$ من الأعمدة *الكاملة* المقابلة، فإن قراءة السطور $i_1, \dots, i_s$ وحدها تعطي $\sum_k
\lambda_k S_k = 0$ على أعمدة $S$، ومنه كل $\lambda_k = 0$ (لأن $S$ قابلة للقلب): ومنه فالأعمدة $C_{j_1}, \dots, C_{j_s}$ من $A$ [حرة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free)، و $s \leq \operatorname{rk} A = r$.

ومنه فالمقدار $\operatorname{rk} A$ هو بالضبط أكبر حجم لمصفوفة جزئية قابلة للقلب.

## 22.4 مسألة: المتناوب المزدوج لكوشي

**مسألة 22.1.**

محددان يحكمان تطبيقات هذا الفصل: [محدد فاندرموند](#ex-b1-det-vandermonde)، المقوَّم في [التمرين 22.5](#exo-b1-det-5)، و *[محدد كوشي](#pb-b1-det-1)* $\det\bigl(\frac{1}{a_i +
b_j}\bigr)$، المقوَّم هنا. وحول هذين يجمع هذا العمل عدّةَ المتناوبات: حيل الأعمدة الكثيرةالحدود، والمقايسة بكرامر، [ومصفوفة هيلبرت](#pb-b1-det-1)، ومميّز [كثير حدود](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) تكعيبي، و طريقة كثيرات الحدود المتناوبة. وفي كل ما يأتي، يرمز $V(x_1,
\dots, x_n) = \prod_{i < j}(x_j - x_i)$ إلى قيمة فاندرموند.

**الجزء 1 — عدّة فاندرموند.**

1. احسب $V(1, 2, 3, 4)$ ، وتذكّر لماذا تكون المقايسة عند $n$ عقدة متمايزة مثنى مثنى جملةَ كرامر.
2. (المتناوب الكثيرالحدود) ليكن $P_0, \dots, P_{n-1}$ *واحديات* مع $\deg P_k = k$. برهن على $$\det\bigl(P_{j-1}(x_i)\bigr)_{1 \leq i, j \leq n}  = V(x_1, \dots, x_n) :$$ فعمليات الأعمدة تستبدل بكل عمود قوى أيَّ سلّم واحديّ، بالمجّان.
3. طبّق السؤال 2 على كثيرات الحدود الثنائية $B_k =  \frac{X(X-1)\cdots(X-k+1)}{k!}$: وبرهن على أنه من أجل *أعداد صحيحة* $m_1 < m_2 < \dots < m_n$، $$\frac{V(m_1, \dots, m_n)}{0!\,1!\,2!\cdots(n-1)!}  \in \N :$$ أي إن جداء كل الفروق مثنى مثنى لعدد $n$ من الأعداد الصحيحة يقبل القسمة على العاملي الفائق $0!\,1!\cdots(n-1)!$.
4. برهن على $\det\bigl(x_i^{\,j}\bigr)_{1 \leq i, j \leq n} =  x_1 x_2 \cdots x_n\, V(x_1, \dots, x_n)$ (والقوى تبدأ الآن من $1$ ).
5. (مصفوفة العزوم) لتكن $S = \bigl(p_{i+j-2}\bigr)_{1 \leq  i, j \leq n}$ حيث $p_k = x_1^k + \dots + x_n^k$. برهن على أن $S = W^{\mathsf T} W$ من أجل المصفوفة $W =  (x_i^{\,j-1})_{ij}$، واستنتج $$\det S = V(x_1, \dots, x_n)^2 ,$$ واختم بأن: $n$ عددًا *حقيقيًا* تكون متمايزة مثنى مثنى إذا وفقط إذا كانت مصفوفة عزومها قابلة للقلب، وأن $\det S \geq 0$ دائمًا.

**الجزء 2 — المقايسة، مُعادًا النظر فيها.** العقد $x_1 < \dots < x_n$، والقيم $y_1, \dots, y_n$.

6. اكتب الشروط « $P = c_0 + c_1X + \dots +  c_{n-1}X^{n-1}$ يقايس» جملةً خطية في المقادير $c_k$ مصفوفتها $W$ ، واستعد من $\det W = V \neq  0$ وجود المقايِس ووحدانيته (وقارن البرهانين السابقين، [المبرهنة 8.23](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials#thm-b1-poly-lagrange) و [المثال 20.10](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/20-linear-maps#ex-b1-linmaps-interpolation) ).
7. بقاعدة كرامر وبالنشر بالعوامل المرافقة للمحدد المعني على امتداد عموده الأخير، برهن على أن المعامل المهيمن للمقايِس هو $$c_{n-1} = \sum_{i=1}^{n}  \frac{y_i}{\prod_{j \neq i}(x_i - x_j)} .$$
8. (فاندرموند الملتحم) احسب $$\begin{vmatrix}  1 & x_1 & x_1^2\\  0 & 1 & 2x_1\\  1 & x_2 & x_2^2  \end{vmatrix}  = (x_2 - x_1)^2 ,$$ وفسّر: فالمعطيات $\bigl(P(x_1), P'(x_1),  P(x_2)\bigr)$ تحدّد $P \in \R_2[X]$ وحيدًا عندما يكون $x_1 \neq x_2$ (وهي مقايسة إرميت).
9. جد $P \in \R_2[X]$ الوحيد الذي يحقق $P(0) = 1$ و $P'(0)  = 0$ و $P(1) = 2$ ، وتحقق من جوابك إزاء السؤال 8.

**الجزء 3 — [محدد كوشي](#pb-b1-det-1).** ليكن $a_1,
\dots, a_n$ و $b_1, \dots, b_n$ سلالم تحقق $a_i + b_j
\neq 0$ من أجل كل $i, j$، ولتكن

$$
C_n = \det\Bigl(\frac{1}{a_i + b_j}\Bigr)_{1 \leq i, j \leq n} .
$$

10. احسب $C_2$ باليد وضعه في الصورة «جداءات فروق على جداءات مجاميع».
11. من أجل $n \geq 2$، نفّذ $L_i \leftarrow L_i - L_n$ ($i <  n$) وعمّل السطور والأعمدة لتبرهن على $$C_n = \frac{\prod_{i<n}(a_n - a_i)}{\prod_{j}(a_n +  b_j)}\;\det M,$$ حيث تتفق $M$ مع مصفوفة كوشي على السطور $i < n$ ولها السطر الأخير $(1, 1, \dots, 1)$.
12. نفّذ $C_j \leftarrow C_j - C_n$ ($j < n$) على $M$، و عمّل مرة أخرى، واختم بالاستقراء *المتناوب المزدوج لكوشي*: $$C_n = \frac{\prod_{1 \leq i < j \leq n}(a_j - a_i)(b_j -  b_i)}{\prod_{i, j}(a_i + b_j)} .$$
13. استنتج محك القابلية للقلب (المقادير $a_i$ متمايزة مثنى مثنى والمقادير $b_j$ متمايزة مثنى مثنى). ومن أجل *[مصفوفة هيلبرت](#pb-b1-det-1)* $H_n = \bigl(\frac{1}{i + j -  1}\bigr)$ : احسب $\det H_2$ و $\det H_3$ من الصيغة، وتحقق من أن $H_2^{-1}$ ذات مركّبات صحيحة.
14. بيّن أنه من أجل $b_j$ متمايزة مثنى مثنى وأيّ طرف أيمن، يكون للجملة $\sum_j \frac{c_j}{a_i + b_j} = y_i$ ( $i = 1, \dots, n$ ) حلٌّ وحيد، واربط ذلك بوجود التفكيك إلى عناصر بسيطة ذات [أقطاب](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/9-rational-fractions#def-b1-fractions-field) بسيطة ووحدانيته ( [المبرهنة 9.5](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/9-rational-fractions#thm-b1-fractions-complex) ).

**الجزء 4 — مميّز [كثير حدود](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) تكعيبي.** ليكن $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ جذور $X^3
+ pX + q$ (في $\C$)، ولتكن $p_k = \lambda_1^k + \lambda_2^k + \lambda_3^k$.

15. باستعمال $\lambda^3 = -p\lambda - q$ عند كل جذر و فييت ( $p_1 = 0$ )، احسب $p_2 = -2p$ و $p_3 = -3q$ و $p_4 = 2p^2$ .
16. مع السؤال 5 (على $\C$، مع الاحتفاظ بالمقدار $\det S = V^2$)، احسب $$\operatorname{disc} = V(\lambda_1, \lambda_2,  \lambda_3)^2 = \begin{vmatrix}  3 & 0 & -2p\\  0 & -2p & -3q\\  -2p & -3q & 2p^2  \end{vmatrix}  = -4p^3 - 27q^2 .$$
17. استنتج: [لكثير الحدود](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) $X^3 + pX + q$ جذر مضاعف إذا وفقط إذا كان $4p^3 + 27q^2 = 0$ ؛ وتحقق على $X^3 - 3X + 2 = (X -  1)^2(X + 2)$ .
18. افترض $p, q$ حقيقيين. برهن على أن للتكعيبي ثلاثة جذور حقيقية متمايزة إذا وفقط إذا كان $\operatorname{disc}  > 0$ ، وجذرًا حقيقيًا واحدًا مع جذرين عقديين مرافقين إذا وفقط إذا كان $\operatorname{disc} < 0$ . *(إذا كان $\lambda_3 = \conj{\lambda_2} \neq \lambda_2$ و $\lambda_1 \in \R$، فبيّن أن $V$ تخيّلي محض.)*

**الجزء 5 — الأرباح، وطريقة التناوب.**

19. من أجل $0 < a_1 < a_2 < \dots < a_n$ ، بيّن $\det\bigl(\frac{1}{a_i + a_j}\bigr) > 0$ .
20. احسب $\det\bigl(\binom{m_i}{j-1}\bigr)_{1 \leq i, j  \leq 3}$ من أجل $(m_1, m_2, m_3) = (2, 4, 7)$ ، أولًا بالسؤالين 2–3، ثم بالنشر المباشر.
21. ليكن $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ متمايزة مثنى مثنى وغير معدومة. وباستعمال مصفوفة فاندرموند قابلة للقلب، برهن مرة أخرى على أن المتتاليات الهندسية $\bigl((\lambda_i^{\,k})_{k \geq 0}\bigr)_{1 \leq i \leq  n}$ تكوّن [عائلة حرة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free) من فضاء المتتاليات.
22. احسب $\det\bigl(\frac{1}{i + j}\bigr)_{1 \leq i, j  \leq 3}$ من المتناوب المزدوج.
23. (كثيرات الحدود المتناوبة) سمِّ [كثير حدود](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) $F$ في $x_1,  \dots, x_n$ *متناوبًا* إذا كانت مبادلة أيّ متغيرين تغيّر إشارته. بيّن أن [كثير الحدود](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) المتناوب $F$ ينعدم كلما كان $x_i = x_j$ ( $i \neq j$ )، واستنتج — متغيرًا في كل مرة، بمبرهنة العامل — أن $F$ يقبل القسمة على $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ .
24. استعمل السؤال 23 لتعيد البرهان على صيغة فاندرموند دون أيّ استقراء: فالمحدد $\det(x_i^{\,j-1})$ كثيرُ حدود متناوب درجته الكلية $\binom n2$ ، ومنه فهو مضاعفٌ *ثابت* للمقدار $\prod_{i<j}(x_j -  x_i)$ ؛ وعيّن الثابت بمقارنة وحيد حدّ واحد.
25. توليفة، في أربع جمل: أيّ خاصية وحيدة من خصائص المحدد (أيّ بديهية) تولّد كل التعميلات في هذه المسألة؛ ولماذا تحوّل متطابقة مصفوفة العزوم في السؤال 5 عبارةً عن التمايز *العقدي* إلى اختبار إشارة *حقيقي* قابل للحساب؛ وأيّ مصفوفتين كلاسيكيتين قُوّمتا تقويمًا كاملًا هنا وأيّ مسائل خطية تحكمانها؛ وكيف تفسّر طريقة التناوب في السؤالين 23–24، دفعة واحدة، سببَ استمرار ظهور $\prod_{i<j}(x_j -  x_i)$ . وسمِّ مبرهنة الجزء 3.

**حل المسألة 22.1.**

**1.** $V(1,2,3,4) = (2-1)(3-1)(4-1)(3-2)(4-2)(4-3) = 1
\cdot 2\cdot 3\cdot 1\cdot 2\cdot 1 = 12$. والمقايسة عند عقد متمايزة تطلب معاملات $P$ التي تحلّ $W c =
y$ مع $W = (x_i^{\,j-1})$، و $\det W = V \neq 0$: أي جملة كرامر.

**2.** اعمل على الأعمدة من اليسار إلى اليمين. فالعمود $C_1$ هو العمود الثابت $P_0(x_i) = 1$ ($P_0$ واحديّ من الدرجة $0$). وافترض أن الأعمدة $1, \dots, j-1$ رُدّت أصلًا إلى القوى المحضة $1, x_i, \dots, x_i^{\,j-2}$. ولأن $P_{j-1}
= X^{j-1} + \sum_{k < j-1}\alpha_k X^k$، فإن طرح التركيبة $\sum_k \alpha_k\,(\text{عمود} x_i^k)$ من $C_j$ — وهي عملية لا تغيّر المحدد — يترك عمود القوة المحضة $x_i^{\,j-1}$. وبعد العمود الأخير تكون المصفوفة مصفوفةَ فاندرموند: ومنه $\det = V(x_1, \dots, x_n)$.

**3.** كثيرات الحدود $(j-1)!\,B_{j-1}$ واحدية من الدرجة $j - 1$، ومنه يعطي السؤال 2

$$
\det\bigl(B_{j-1}(m_i)\bigr)
= \frac{V(m_1, \dots, m_n)}{0!\,1!\cdots(n-1)!} .
$$

والطرف الأيسر محدد مصفوفة ذات مركّبات *صحيحة* ($B_k$ صحيح القيم على $\Z$: السؤالان 16–17 من مسألة نهاية الأسبوع [المسألة 18.1](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#pb-b1-vspaces-1))، ومنه فهو عدد صحيح؛ وهو موجب لأن $V(m_1, \dots, m_n) > 0$ من أجل $m_1 <
\dots < m_n$. ومنه فالعاملي الفائق [يقسم](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/6-integer-arithmetic#def-b1-arith-divides) جداء كل الفروق مثنى مثنى.

**4.** عمّل $x_i$ من كل سطر $i$: $\det(x_i^{\,j})_{j = 1..n} = x_1\cdots x_n\,
\det(x_i^{\,j-1}) = x_1\cdots x_n\,V$.

**5.** $(W^{\mathsf T}W)_{ij} = \sum_k x_k^{\,i-1}
x_k^{\,j-1} = p_{i+j-2}$: أي $S = W^{\mathsf T}W$. ومنه $\det S =
\det(W^{\mathsf T})\det W = V^2$ ([المبرهنة 22.3](#thm-b1-det-props) (2),(4)). ومن أجل $x_i$ حقيقية: $\det S = V^2
\geq 0$، وتكون $S$ قابلة للقلب إذا وفقط إذا كان $V \neq 0$ إذا وفقط إذا كانت المقادير $x_i$ متمايزة مثنى مثنى — أي اختبار معيَّن الإشارة قابل للحساب من مجاميع القوى وحدها.

**6.** تكوّن شروط المقايسة $\sum_{k}
c_k\,x_i^{\,k} = y_i$ الجملةَ $Wc = y$؛ ويعطي $\det W = V \neq
0$ الوجودَ والوحدانية دفعة واحدة. وهذا هو البرهان الثالث في الكتاب: صيغة صريحة في [المبرهنة 8.23](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials#thm-b1-poly-lagrange)، وحجة نواة في [المثال 20.10](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/20-linear-maps#ex-b1-linmaps-interpolation)، وكرامر هنا.

**7.** بكرامر: $c_{n-1} = \det W'/\det W$ حيث $W'$ هي $W$ بعد استبدال عمودها الأخير بالمقدار $y$. وبنشر $\det W'$ على امتداد ذلك العمود:

$$
\det W' = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+n} y_i\,V(x_1, \dots, \widehat{x_i},
\dots, x_n) .
$$

والآن $V = V(\setminus i)\cdot\prod_{j<i}(x_i - x_j)\prod_{j>i}
(x_j - x_i)$، وتحويل الجداء الثاني يكلّف $(-1)^{n-i}$:

$$
(-1)^{i+n}\,\frac{V(\setminus i)}{V}
= \frac{(-1)^{i+n}(-1)^{n-i}}{\prod_{j\neq i}(x_i - x_j)}
= \frac{1}{\prod_{j\neq i}(x_i - x_j)} ,
$$

ومنه $c_{n-1} = \sum_i y_i/\prod_{j \neq i}(x_i - x_j)$ — أي صيغة [الفروق المقسومة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#pb-b1-vspaces-1) مرة أخرى.

**8.** تعطي $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ السطور $(1, x_1,
x_1^2)$ و $(0, 1, 2x_1)$ و $(0,\ x_2 - x_1,\ (x_2-x_1)(x_2+x_1))$؛ وبالنشر على امتداد العمود الأول وتعميل $(x_2 - x_1)$:

$$
(x_2 - x_1)\begin{vmatrix} 1 & 2x_1\\ 1 & x_2 + x_1
\end{vmatrix} = (x_2 - x_1)(x_2 - x_1) = (x_2 - x_1)^2 .
$$

وهو غير معدوم من أجل $x_1 \neq x_2$: ومنه [فالجملة الخطية](#def-b1-det-system) التي تعبّر عن $P(x_1) = u$ و $P'(x_1) = v$ و $P(x_2) = w$ على معاملات $P \in \R_2[X]$ جملةُ كرامر — أي إن مقايسة إرميت بعقدة مضاعفة مطروحة طرحًا حسنًا.

**9.** $P = a + bX + cX^2$ مع $a = P(0) = 1$ و $b = P'(0)
= 0$ و $a + b + c = P(1) = 2$: ومنه $c = 1$، أي $P = 1 + X^2$، وهو وحيد. والاتساق: هنا $x_1 = 0$ و $x_2 = 1$ ومحدد السؤال 8 هو $(1 - 0)^2 = 1 \neq 0$.

**10.** بالحساب المباشر:

$$
C_2 = \frac{1}{(a_1+b_1)(a_2+b_2)} - \frac{1}{(a_1+b_2)(a_2+b_1)}
= \frac{(a_1+b_2)(a_2+b_1) - (a_1+b_1)(a_2+b_2)}
{\prod_{i,j}(a_i+b_j)} ,
$$

وينشر البسط إلى $a_1b_1 + a_2b_2 - a_1b_2 - a_2b_1
= (a_2 - a_1)(b_2 - b_1)$: أي فروق على مجاميع.

**11.** من أجل $i < n$، تكون المركّبة الجديدة في السطر $i$

$$
\frac{1}{a_i + b_j} - \frac{1}{a_n + b_j}
= \frac{a_n - a_i}{(a_i + b_j)(a_n + b_j)} .
$$

عمّل $(a_n - a_i)$ من كل سطر $i < n$، ثم $\frac1{a_n + b_j}$ من كل عمود $j$: فيبقى ما مركّباته $\frac1{a_i + b_j}$ في السطور $i < n$ والثابت $1$ في السطر $n$ — أي المصفوفة $M$، بالعامل المعلن.

**12.** على $M$، من أجل $j < n$ تحوّل العملية $C_j \leftarrow
C_j - C_n$ السطرَ $n$ إلى $(0, \dots, 0, 1)$ و، في السطر $i
< n$،

$$
\frac{1}{a_i + b_j} - \frac{1}{a_i + b_n}
= \frac{b_n - b_j}{(a_i + b_j)(a_i + b_n)} .
$$

عمّل $(b_n - b_j)$ من كل عمود $j < n$ و $\frac1{a_i +
b_n}$ من كل سطر $i < n$، ثم انشر على امتداد السطر الأخير (بالإشارة $(-1)^{n+n} = +1$): فيكون المحدد الباقي $C_{n-1}$. وبجمع عوامل السؤالين 11–12:

$$
C_n = \frac{\prod_{i<n}(a_n - a_i)\,\prod_{j<n}(b_n - b_j)}
{\prod_{j}(a_n + b_j)\,\prod_{i<n}(a_i + b_n)}\;C_{n-1},
$$

ويجمّع الاستقراء (بالأساس $C_1 = \frac1{a_1+b_1}$) المتناوبَ المزدوج لكوشي بالضبط: أي العوامل $(a_j - a_i)(b_j
- b_i)$ من أجل كل الأزواج، على كل المجاميع $(a_i + b_j)$.

**13.** تنعدم الصيغة إذا وفقط إذا كان $a_j = a_i$ ما أو $b_j =
b_i$: ومنه فمصفوفة كوشي قابلة للقلب إذا وفقط إذا كانت العائلتان متمايزتين مثنى مثنى. وهيلبرت: $a_i = i$ و $b_j = j - 1$. ومن أجل $n =
2$: البسط $(2-1)(1-0) = 1$، والمقام $1\cdot2\cdot2\cdot3
= 12$: ومنه $\det H_2 = \frac1{12}$. ومن أجل $n = 3$: البسط $\bigl[(1)(2)(1)\bigr]^2 = 4$، والمقام $(1\cdot2\cdot3)
(2\cdot3\cdot4)(3\cdot4\cdot5) = 6\cdot24\cdot60 = 8640$: ومنه $\det H_3 = \frac{4}{8640} = \frac1{2160}$. والمعكوس من أجل $n = 2$:

$$
H_2^{-1} = 12\begin{pmatrix} \frac13 & -\frac12\\[2pt]
-\frac12 & 1\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 4 & -6\\ -6 & 12 \end{pmatrix},
$$

وكلها أعداد صحيحة (وهي ظاهرة صحيحة من أجل كل $n$).

**14.** مصفوفة الجملة هي مصفوفة كوشي، وهي قابلة للقلب حسب السؤال 13 عندما تكون المقادير $b_j$ (و $a_i$) متمايزة مثنى مثنى: فالحلّ وحيد. والتفسير: الدالة الناطقة $R = \sum_j \frac{c_j}{X + b_j}$ ذات [الأقطاب](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/9-rational-fractions#def-b1-fractions-field) البسيطة تتحدد بالمقدار $n$ من قيمها $R(a_1), \dots, R(a_n)$، و بالعكس تتحقق أيّ ورقة معطيات كهذه مرة واحدة بالضبط — وهو نظير المعاينة لمبرهنة وجود التفكيك إلى عناصر بسيطة ووحدانيته ([المبرهنة 9.5](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/9-rational-fractions#thm-b1-fractions-complex)).

**15.** فييت من أجل $X^3 + pX + q$: $\lambda_1 + \lambda_2 +
\lambda_3 = 0$ و $\sum_{i<j}\lambda_i\lambda_j = p$، ومنه $p_1 = 0$ و $p_2 = p_1^2 - 2p = -2p$. وكل جذر يحقق $\lambda^3 =
-p\lambda - q$؛ وبالجمع: $p_3 = -p\,p_1 - 3q = -3q$. وبالضرب في $\lambda$ والجمع: $p_4 = -p\,p_2 - q\,p_1 = 2p^2$.

**16.** حسب السؤال 5 (فالمتطابقة $S = W^{\mathsf T}W$ و $\det S = V^2$ صحيحتان على $\C$)،

$$
V^2 = \begin{vmatrix}
3 & 0 & -2p\\
0 & -2p & -3q\\
-2p & -3q & 2p^2
\end{vmatrix}
= 3\bigl(-4p^3 - 9q^2\bigr) + (-2p)\bigl(0 - 4p^2\bigr)
= -4p^3 - 27q^2 ,
$$

بالنشر على امتداد السطر الأول.

**17.** الجذر المضاعف يعني تساوي مقدارين $\lambda_i$، أي $V = 0$، أي $\operatorname{disc} = -4p^3 - 27q^2 = 0$. ومن أجل $X^3 - 3X + 2$: $4(-3)^3 + 27\cdot4 = -108 + 108 = 0$، مطابقًا الجذرَ المضاعف $1$ للمقدار $(X-1)^2(X+2)$.

**18.** تأتي الجذور غير الحقيقية لتكعيبي حقيقي في أزواج مرافقة، ومنه تقع حالتان بالضبط عندما $\operatorname{disc} \neq
0$. فثلاثة جذور حقيقية متمايزة: يكون $V$ حقيقيًا وغير معدوم، ومنه $\operatorname{disc} = V^2 > 0$. وجذر حقيقي واحد $\lambda_1$ مع $\lambda_3 = \conj{\lambda_2} \notin \R$: عندئذ

$$
(\lambda_2 - \lambda_1)(\lambda_3 - \lambda_1) =
\abs{\lambda_2 - \lambda_1}^2 > 0,
\qquad
\lambda_3 - \lambda_2 = -2\iu\,\operatorname{Im}\lambda_2 \neq 0,
$$

ومنه فالمقدار $V$ عدد تخيّلي محض غير معدوم و $\operatorname{disc} = V^2 < 0$. والإشارتان تميّزان الحالتين.

**19.** خذ $b_i = a_i$ في المتناوب المزدوج: فيكون البسط $\prod_{i<j}(a_j - a_i)^2 > 0$ والمقام $\prod_{i,j}(a_i + a_j) > 0$ (وكل المركّبات موجبة): ومنه فالمحدد موجب. (وبلغة لاحقة: النواة $\frac1{x+y}$ معيَّنة موجبة.)

**20.** حسب السؤالين 2–3، يساوي المحدد $V(2,4,7)/(0!\,1!\,2!) = \frac{(4-2)(7-2)(7-4)}{2} =
\frac{30}{2} = 15$. ومباشرةً، تكون المصفوفة

$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1\\
1 & 4 & 6\\
1 & 7 & 21
\end{pmatrix},
\qquad
\det = (84 - 42) - 2(21 - 6) + (7 - 4) = 42 - 30 + 3 = 15 .
$$

**21.** افترض $\sum_i c_i\,(\lambda_i^{\,k})_{k} = 0$ متتاليةً. وبقراءة $k = 0, 1, \dots, n-1$ نجد $W^{\mathsf
T}c = 0$ مع $W = (\lambda_i^{\,j-1})$ قابلة للقلب ($\det = V
\neq 0$، بالمقادير $\lambda_i$ المتمايزة): ومنه $c = 0$. فالمتتاليات الهندسية [حرة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#def-b1-vspaces-free).

**22.** $a = b = (1, 2, 3)$: البسط $\bigl[(2-1)(3-1)
(3-2)\bigr]^2 = 4$؛ والمقام $\prod_{i,j}(i + j) =
(2\cdot3\cdot4)(3\cdot4\cdot5)(4\cdot5\cdot6) = 24\cdot60\cdot120
= 172800$. ومنه $\det\bigl(\frac1{i+j}\bigr) = \frac{4}{172800}
= \frac1{43200}$.

**23.** إذا كان $x_i = x_j$، فإن مبادلة المتغيرين تثبّت النقطة لكن يجب أن تغيّر إشارة $F$: أي $F = -F$، ومنه $F = 0$ هناك. والقابلية للقسمة: انظر إلى $F$ كثيرَ حدود في المتغير الوحيد $x_n$ بمعاملات في بقية المتغيرات؛ فهو ينعدم عند «القيم» $n - 1$ $x_1, \dots, x_{n-1}$، ومنه يعطي التعميل المكرَّر ([المبرهنة 8.7](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials#thm-b1-poly-factor)) أن $F =
\prod_{i<n}(x_n - x_i)\cdot G$ مع $G$ [كثير حدود](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def). و العامل السابق محفوظ بمبادلات دليلين $i, j < n$، ومنه فالمقدار $G$ متناوب في $x_1, \dots, x_{n-1}$، ويُتمّ الاستقراء: ومنه [يقسم](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/6-integer-arithmetic#def-b1-arith-divides) $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ المقدارَ $F$.

**24.** $D = \det(x_i^{\,j-1})$ كثيرُ حدود في المقادير $x_i$؛ ومبادلة متغيرين تبادل سطرين، ومنه فالمقدار $D$ متناوب، وحسب السؤال 23، $D = c\,\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ من أجل [كثير حدود](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) $c$ ما. والدرجات الكلية: درجة $D$ هي $\leq 0 +
1 + \dots + (n-1) = \binom n2$، ودرجة الجداء $\binom n2$ بالضبط: ومنه فالمقدار $c$ ثابت. ولوحيد الحدّ $x_2\,x_3^2\cdots
x_n^{\,n-1}$ معاملٌ $1$ في $D$ (بجداء القطر) و $1$ في الجداء (باختيار المتغير ذي الدليل الأكبر في كل عامل): ومنه $c = 1$، وتسقط صيغة فاندرموند دون أيّ استقراء.

**25.** (أ) التناوب — وهو البديهية «العمودان المتساويان يقتلان المحدد» — هو المحرّك: فقد أنتج كل عامل $(x_j - x_i)$ و $(a_j - a_i)$ و $(b_j - b_i)$ في المسألة. (ب) وتستبدل المتطابقة $\det S = V^2$ بالجذور العقدية غير القابلة للبلوغ فرادى مجاميعَ قواها، وهي كثيرات حدود حقيقية في المعاملات، ومنه يصير التمايز إشارةَ عدد حقيقي قابل للحساب. (ج) ويحكم [محدد فاندرموند](#ex-b1-det-vandermonde) مقايسةَ كثيرات الحدود، ويحكم [محدد كوشي](#pb-b1-det-1) العناصرَ البسيطة والدوال الناطقة المعايَنة ([ومصفوفة هيلبرت](#pb-b1-det-1) أشهر حالاته الخاصة). (د) وكل [كثير حدود](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) متناوب يقبل القسمة على $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$، ثم يثبّت عدُّ درجة مثلَ هذا [كثير الحدود](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) بغضّ النظر عن ثابت — ولهذا يستمر ظهور هذا الجداء حيثما ينعدم محدد عند التطابقات. ومبرهنة الجزء 3 هي *المتناوب المزدوج لكوشي*.