---
title: "البنى الجبرية"
book: "الرياضيات الجامعية — السنة 1"
subject: math
language: ar
chapter: 7
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/7-algebraic-structures
---

# الفصل 7 — البنى الجبرية

تعود قواعد الحساب نفسها إلى الظهور مرارًا: في الأعداد الصحيحة والأعداد الحقيقية والأعداد العقدية وصفوف [التوافق](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/6-integer-arithmetic#def-b1-arith-congruence)، وقريبًا في كثيرات الحدود ([الفصل 8](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials#ch-b1-poly)) والمتجهات والمصفوفات (الفصول [18](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#ch-b1-vspaces) و[21](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/21-matrices#ch-b1-matrices)). ويستخرج الجبر الأنماط المشتركة ويسمّيها: *[الزمرة](#def-b1-structures-group)* و*[الحلقة](#def-b1-structures-ring)* و*[الحقل](#def-b1-structures-field)*. والبرهان على واقعة مرة واحدة، على مستوى البنية، يبرهن عليها من أجل كل مثال دفعةً واحدة.

## 7.1 قوانين التركيب

**تعريف 7.1.**

*قانون التركيب* على [مجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $E$ هو [تطبيق](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) $E \times E \to E$، يُكتب $(x, y) \mapsto x * y$. ويكون *تجميعيًا* عندما يكون $(x*y)*z = x*(y*z)$ دائمًا، و*تبديليًا* عندما يكون $x * y = y * x$ دائمًا. ويكون العنصر $e$ *محايدًا* عندما يكون $e * x = x * e = x$ لكل $x$؛ وعندئذ يكون $x'$ *مقلوبًا* للعنصر $x$ عندما يكون $x * x' = x' * x = e$.

**قضية 7.2 (الوحدانية).**

للقانون عنصر محايد واحد على الأكثر؛ ومن أجل قانون تجميعي ذي عنصر محايد، يكون لكل عنصر مقلوب واحد على الأكثر.

**برهان.** إذا كان $e$ و $e'$ محايدين: $e = e * e' = e'$. وإذا قلب $x'$ و $x''$ العنصرَ $x$: $x' = x' * e = x' * (x * x'') = (x' * x) * x'' = e * x''
= x''$. ∎

## 7.2 الزمر

**تعريف 7.3 (الزمرة).**

*الزمرة* $(G, *)$ مجموعةٌ ذات قانون تجميعي يقبل عنصرًا محايدًا ولكل عنصر فيها مقلوب. وتكون الزمرة *تبديلية* عندما يكون القانون تبديليًا.

**مثال 7.4.**

$(\Z, +)$ و $(\Q, +)$ و $(\R, +)$ و $(\C, +)$؛ و $(\Q^*, \times)$ و $(\R^*, \times)$ و $(\C^*, \times)$ و$(\mathbb{U}_n, \times)$ ([جذور الوحدة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/3-complex-numbers#def-b1-complex-unity)، [التعريف 3.17](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/3-complex-numbers#def-b1-complex-unity))؛ [ومجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $\mathfrak{S}(E)$ المكوَّنة من تقابلات [مجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $E$ على نفسها، بالتركيب — وهي *الزمرة المتناظرة* [للمجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $E$، وهي غير [تبديلية](#def-b1-structures-group) بمجرد أن يكون $\abs E \geq 3$. وليست زمرًا: $(\N, +)$ (فلا مقلوبات)، و $(\Z, \times)$ (فلا يقبل القلب إلا $\pm 1$).

**قضية 7.5 (قواعد الحساب).**

في [زمرة](#def-b1-structures-group) $G$ (مكتوبة ضربيًا، وعنصرها المحايد $e$):

1. الاختصار: $ax = ay \implies x = y$ و $xa = ya \implies  x = y$ ؛
2. $(ab)^{-1} = b^{-1} a^{-1}$ و $(a^{-1})^{-1} = a$ ؛
3. من أجل $a, b \in G$ ، لكلٍّ من المعادلتين $ax = b$ و $xa = b$ حلٌّ وحيد ( $x = a^{-1}b$ و $x = b a^{-1}$ على التوالي).

**برهان.** (1) اضرب في $a^{-1}$ من الجهة المناسبة، مستعملًا التجميعية. (2) $(b^{-1}a^{-1})(ab) = b^{-1}(a^{-1}a)b = b^{-1}b =
e$ وبالتناظر كذلك؛ وتُتمّ وحدانية المقلوب البرهان؛ والنقطة الثانية هي [القضية 7.2](#prop-b1-structures-unique) مطبَّقة على $a^{-1}$. (3) عوّض واستعمل (1) من أجل الوحدانية. ∎

**مثال 7.6 (تناظرات المستطيل).**

يقبل المستطيل (غير المربع) أربعة تقايسات على نفسه بالضبط: [التطبيق](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) المطابق $e$، والتناظر بالنسبة إلى المحور الأفقي $h$، والتناظر بالنسبة إلى المحور العمودي $v$، ونصف الدورة $r$ حول المركز. ويجعل التركيب هذه [المجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) الرباعية [زمرة](#def-b1-structures-group): فكل عنصر مقلوب نفسه ($h^2 = v^2 = r^2 = e$)، ويكون جداء أيّ عنصرين متمايزين غير محايدين هو الثالث ($hv = vh = r$: فالتناظر بالنسبة إلى المحورين هو نصف الدورة). و الجدول الكامل متناظر، [فالزمرة تبديلية](#def-b1-structures-group) — ومع ذلك فهي *ليست* [الزمرة](#def-b1-structures-group) نفسها التي هي [زمرة](#def-b1-structures-group) الدورانات $\mathbb U_4$ في [المثال 7.15](#ex-b1-structures-order): فهناك [رتبة](#def-b1-structures-order) $\iu$ تساوي $4$، بينما هنا [رتبة](#def-b1-structures-order) كل عنصر $\leq 2$. فزمرتان لهما الحجم نفسه قد يكون لهما بنيتا ضرب مختلفتان حقًّا — ويعرض الرسم أدناه الجدولين جنبًا إلى جنب. وتعود هذه [الزمرة](#def-b1-structures-group) الرباعية في صورة $\{\pm1\} \times \{\pm1\}$، ويشرح [التمرين 7.7](#exo-b1-structures-7) لماذا يجب على أيّ [زمرة](#def-b1-structures-group) كل مربعاتها محايدة أن تكون، مثل هذه، [تبديلية](#def-b1-structures-group).

![زمرتان ذواتا أربعة عناصر: U_4 = \e, , -1, - \ (إلى اليسار) وزمرة المستطيل (إلى اليمين)، مع تظليل مواضع العنصر المحايد. فإلى اليسار يتعرّج المحايد (إذ يولّد عنصر واحد من الرتبة 4 كل شيء)؛ وإلى اليمين يملأ القطر (فمربع كل عنصر هو e). ولا يمكن لأيّ إعادة تسمية أن تحوّل أحد الجدولين إلى الآخر: فالزمرتان غير متماثلتين.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-structures/fig-b3780f21ef36.svg)

*زمرتان ذواتا أربعة عناصر: $\mathbb U_4 = \{e, \iu,
-1, -\iu\}$ (إلى اليسار) [وزمرة](#def-b1-structures-group) المستطيل (إلى اليمين)، مع تظليل مواضع العنصر المحايد. فإلى اليسار يتعرّج المحايد (إذ يولّد عنصر واحد من [الرتبة](#def-b1-structures-order) $4$ كل شيء)؛ وإلى اليمين يملأ القطر (فمربع كل عنصر هو $e$). ولا يمكن لأيّ إعادة تسمية أن تحوّل أحد الجدولين إلى الآخر: فالزمرتان غير متماثلتين.*

**تعريف 7.7 (الزمرة الجزئية).**

الجزء $H$ من [زمرة](#def-b1-structures-group) $G$ يكون *زمرة جزئية* (ويُكتب $H \leq G$) عندما يحتوي $e$ ويكون مستقرًّا بالقانون وبالقلب. وعندئذ تكون $H$ زمرةً بنفسها.

*المعيار:* الجزء غير الخالي $H \subseteq G$ يكون [زمرة](#def-b1-structures-group) جزئية إذا وفقط إذا كان

$$
\forall x, y \in H, \quad x y^{-1} \in H .
$$

**برهان المعيار.** [الزمرة الجزئية](#def-b1-structures-subgroup) تحققه بداهةً. وبالعكس، لتكن $H \neq \emptyset$ تحققه، ولنأخذ $x_0 \in H$. عندئذ $e = x_0 x_0^{-1} \in H$؛ ومن أجل $y \in H$ لدينا $y^{-1} = e\,y^{-1} \in H$؛ ومن أجل $x, y \in H$ لدينا $xy =
x (y^{-1})^{-1} \in H$. ∎

**مثال 7.8.**

$\mathbb{U}_n \leq (\C^*, \times)$: فهي غير خالية، ومن أجل $z, w \in
\mathbb{U}_n$ لدينا $(zw^{-1})^n = z^n (w^n)^{-1} = 1$. والزمر الجزئية [للزمرة](#def-b1-structures-group) $(\Z, +)$ هي بالضبط $n\Z$ (المبرهن عليه في [المبرهنة 6.4](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/6-integer-arithmetic#thm-b1-arith-gcd)). وتقاطع زمر جزئية زمرةٌ جزئية دائمًا، لكن اتحادها لا يكون كذلك في الغالب الأعمّ ([التمرين 7.6](#exo-b1-structures-6)).

**ملاحظة 7.9 (مزالق شائعة مع البنى).**

1. *الاستقرار بالقانون لا يكفي.* [المجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $\N$ مستقرة بالجمع داخل $\Z$ ، وتحتوي $0$ ، ومع ذلك ليست [زمرة جزئية](#def-b1-structures-subgroup) : فالمقلوبات ناقصة. والمعيار $xy^{-1} \in H$ يختبر كل شيء دفعة واحدة — لكن بعد التحقق من أن $H \neq \emptyset$ .
2. *المنعكسات غير [التبديلية](#def-b1-structures-group).* في [زمرة](#def-b1-structures-group) عامة، $(ab)^2 =  abab$ ، وهو $a^2b^2$ عندما يتبادل $a$ و $b$ لا غير؛ وبالمثل $(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$ ، بترتيب معكوس. فكل متطابقة مستوردة من جبر المدرسة يجب أن تُستخرج من جديد من البديهيات أو يُنبَّه إلى أنها [تبديلية](#def-b1-structures-group) .
3. *[النواة](#def-b1-structures-morphism) في مقابل الصورة.* تحيا $\ker f$ في *[مجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) التعريف* ، ويحيا $\operatorname{im} f$ في [مجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) الوصول؛ [وعبارة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-statement) « $f$ متباين إذا وفقط إذا كانت $\ker f$ محايدة» ( [القضية 7.11](#prop-b1-structures-kernel) ) لا نظير لها مع الصورة (إذ إن $\operatorname{im} f = G'$ هو الشمول).
4. *الحلقات ليست زمرًا بالنسبة إلى $\times$.* في [حلقة](#def-b1-structures-ring) ، لا يلزم أن يكون معظم العناصر قابلًا للقلب، ويقتضي الاختصار بالعنصر $a$ أن يكون $a$ قابلًا للقلب أو أن تكون [الحلقة تامة](#def-b1-structures-field) : ففي $\Z/12\Z$ ، $\overline3\,\overline2 =  \overline3\,\overline6$ ومع ذلك $\overline2 \neq \overline6$ ( [المثال 7.27](#ex-b1-structures-zncomputation) ).

**تعريف 7.10 (تشاكل الزمر).**

لتكن $(G, *)$ و $(G', \star)$ زمرتين. [التطبيق](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) $f \colon G \to G'$ يكون *تشاكلًا* عندما يكون

$$
\forall x, y \in G, \qquad f(x * y) = f(x) \star f(y).
$$

وعندئذ $f(e_G) = e_{G'}$ و$f(x^{-1}) = f(x)^{-1}$. و *نواة* $f$ و*صورتها* هما

$$
\ker f = f^{-1}(\{e_{G'}\}) \leq G,
\qquad
\operatorname{im} f = f(G) \leq G' .
$$

والتشاكل التقابلي يُسمّى *تماثلًا*؛ ويكون تطبيقه العكسي عندئذ تشاكلًا تلقائيًا.

**برهان الدعاوى.** $f(e) = f(e * e) = f(e)\star f(e)$، وباختصار $f(e)$ نجد $e_{G'} = f(e)$. ثم يعيّن $f(x)\star f(x^{-1}) = f(x x^{-1}) = e_{G'}$ المقدارَ $f(x^{-1})$ بوصفه المقلوب. وأمّا [النواة](#def-b1-structures-morphism): فلدينا $e \in \ker f$؛ وإذا كان $x, y \in \ker f$ فإن $f(xy^{-1}) = f(x)f(y)^{-1} = e$؛ فينطبق المعيار. وأمّا الصورة: فالمعيار نفسه مع $f(x)f(y)^{-1} = f(xy^{-1})$. ومقلوب التماثل: من أجل $u, v \in G'$، اكتب $u = f(x)$ و$v =
f(y)$؛ عندئذ $f^{-1}(u \star v) = f^{-1}(f(xy)) = xy =
f^{-1}(u) f^{-1}(v)$. ∎

**قضية 7.11 (التباين عبر النواة).**

تشاكل الزمر $f$ متباين إذا وفقط إذا كان $\ker f =
\{e\}$.

**برهان.** إذا كان $f$ [متباينًا](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj) فلا يمكن أن تحتوي $\ker f$ إلا سابقة $e_{G'}$ الوحيدة، وهي $e$. وبالعكس، إذا كان $\ker f = \{e\}$ و$f(x) =
f(y)$ فإن $f(xy^{-1}) = f(x) f(y)^{-1} = e_{G'}$، ومنه $xy^{-1} = e$، أي $x = y$. ∎

**مثال 7.12.**

[التطبيق](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) $\exp \colon (\R, +) \to (\R_+^*, \times)$ تشاكل ($\eu^{x+y} = \eu^x \eu^y$)، وهو تقابليّ ([القضية 4.1](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/4-standard-functions#prop-b1-functions-expln)): فالبنيتان الجمعية والضربية متماثلتان — وهذا هو مبرر وجود اللوغاريتمات تاريخيًا. وتشاكل آخر: $\theta \mapsto \eu^{\iu\theta}$ من $(\R, +)$ على دائرة الوحدة $(\mathbb{U}, \times)$، ونواته $2\pi\Z$.

**مثال 7.13 (تشاكل الإشارة).**

[التطبيق](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) $s \colon (\R^*, \times) \to (\{\pm1\}, \times)$ الذي يرسل $x$ إلى إشارته تشاكلٌ: فإشارة الجداء هي جداء الإشارتين. ونواته $\intoo0{+\infty}$ (وهي [زمرة جزئية](#def-b1-structures-subgroup)، كما يعد [التعريف 7.10](#def-b1-structures-morphism))، وصورته كل $\{\pm1\}$: فهو شامل، وغير متباين بإفراط. وفي ذلك درسان عامّان مصغَّران. أولًا، قد يسحق التشاكل المعلومة: [فالتطبيق](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) $s$ لا يتذكر من $x$ إلا بتّة واحدة، وتلك فضيلته — إذ إن حجج الإشارة هي بالضبط الحسابات التي تمرّ عبر $s$. وثانيًا، التشاكلات نحو $\{\pm1\}$ هي أبسط «الثوابت»: فتوقيع التبديلات، المبنيّ في مسألة نهاية الأسبوع من هذا الفصل، هو الظاهرة نفسها على [الزمرة](#def-b1-structures-group) $\mathfrak S_n$، وكل حجج الزوجية التي يشغّلها تنحدر عبر تشاكل ثنائي القيمة كهذا.

**تعريف 7.14 (القوى، رتبة عنصر).**

في [زمرة](#def-b1-structures-group) $G$ (بالترميز الضربي)، نضع $x^0 = e$ و$x^{k+1} =
x^k x$ و $x^{-k} = (x^k)^{-1}$ من أجل $k \in \N$؛ عندئذ $x^{k+l} = x^k
x^l$ لكل $k, l \in \Z$، فيكون $k \mapsto x^k$ [تشاكلًا](#def-b1-structures-morphism) $(\Z,
+) \to G$ صورته $\langle x \rangle = \{x^k : k \in \Z\}$ زمرةٌ جزئية، هي [الزمرة الجزئية](#def-b1-structures-subgroup) *المولَّدة* بالعنصر $x$. و *رتبة* $x$ هي أصغر $m \geq
1$ يحقق $x^m = e$ إن وُجد (وعندئذ يكون [للمجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $\langle x\rangle = \{e, x,
\dots, x^{m-1}\}$ بالضبط $m$ عنصرًا، و$x^k = e \iff m
\mid k$)، وتكون $\infty$ فيما عدا ذلك.

**مثال 7.15.**

في $(\C^*, \times)$: [رتبة](#def-b1-structures-order) $\iu$ هي $4$، مع $\langle \iu \rangle
= \{1, \iu, -1, -\iu\} = \mathbb{U}_4$؛ وبعمومية أكبر، [رتبة](#def-b1-structures-order) $\omega =
\eu^{2\iu\pi/n}$ هي $n$ و$\langle\omega\rangle =
\mathbb{U}_n$. وفي $(\Z, +)$، لكل $x \neq 0$ [رتبة](#def-b1-structures-order) لا نهائية. ولماذا تصحّ الدعاوى الواردة في التعريف: إذا كانت [رتبة](#def-b1-structures-order) $x$ هي $m$، فاقسم أيّ $k$ على $m$ (أي $k = mq + r$ حيث $0 \leq r < m$، [المبرهنة 6.2](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/6-integer-arithmetic#thm-b1-arith-division)): عندئذ $x^k = (x^m)^q x^r = x^r$، فتدور القوى بدور $m$، وتكون العناصر المسرودة متمايزة مثنى مثنى بأصغرية $m$، ويفرض $x^k = e$ أن $r = 0$. وتُحسب رتب التبديلات في مسألة نهاية الأسبوع أدناه.

**مثال 7.16 (الرتب داخل U12\mathbb U_{12}U12​).**

ما [رتبة](#def-b1-structures-order) $\omega^k$ في $\mathbb U_n$، من أجل $\omega =
\eu^{2\iu\pi/n}$؟ لدينا $(\omega^k)^m = 1$ إذا وفقط إذا كان $n \mid km$، و بكتابة $d = \gcd(n, k)$ و $n = dn'$ و $k = dk'$ حيث $\gcd(n', k')
= 1$: يكون $n \mid km \iff n' \mid k'm \iff n' \mid m$ (بمبرهنة غاوس المساعدة، [المبرهنة 6.8](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/6-integer-arithmetic#thm-b1-arith-gauss)). وأصغر $m \geq 1$ كهذا هو $n' = \frac{n}{\gcd(n,k)}$. ففي $\mathbb U_{12}$ مثلًا، [رتبة](#def-b1-structures-order) $\omega^8$ هي $\frac{12}{\gcd(12,8)} = 3$ (وبالفعل $\omega^8 = \eu^{4\iu\pi/3} \in \mathbb U_3$)، بينما [رتبة](#def-b1-structures-order) $\omega^5$ هي $12$: فهو يولّد [الزمرة](#def-b1-structures-group) كلها، وإن لم يكن المولّد «المعياري». وعدّ المولّدات — أي الأعداد $k$ التي تحقق $\gcd(k, n) = 1$ — يستعيد عدّ الأعداد [الأولية فيما بينها](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/6-integer-arithmetic#cor-b1-arith-bezout) في [المثال 2.25](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/2-counting#ex-b1-counting-coprime): فتلتقي نظرية الزمر بالعدّ.

## 7.3 الحلقات والحقول

**تعريف 7.17 (الحلقة).**

*الحلقة* $(A, +, \times)$ مجموعةٌ ذات قانونين بحيث تكون: $(A, +)$ زمرةً [تبديلية](#def-b1-structures-group) (عنصرها المحايد $0$)؛ ويكون $\times$ تجميعيًا ذا عنصر محايد $1$؛ ويكون $\times$ توزيعيًا على $+$ من الجهتين. وتكون الحلقة *[تبديلية](#def-b1-structures-group)* عندما يكون $\times$ كذلك. ويكون العنصر $a$ *قابلًا للقلب* عندما يكون $ab = ba = 1$ من أجل $b$ ما؛ وتكوّن العناصر القابلة للقلب زمرةً $(A^\times, \times)$.

**برهان أن العناصر القابلة للقلب تكوّن زمرة.** الاستقرار: إذا كان $a, a'$ قابلين للقلب ومقلوباهما $b, b'$ فإن

$$
(aa')(b'b) = a(a'b')b = a\,1\,b = ab = 1,
\qquad (b'b)(aa') = 1
$$

وبالتناظر كذلك، ومنه فإن $aa'$ قابل للقلب. والعنصر $1$ قابل للقلب (وهو مقلوب نفسه)، والتجميعية موروثة من $A$، ومقلوب العنصر القابل للقلب $a$، وهو $b$، قابل للقلب بنفسه (ومقلوبه $a$). ومنه فإن $(A^\times, \times)$ يحقق كل بديهيات [الزمرة](#def-b1-structures-group). وكل [زمرة](#def-b1-structures-group) في هذا الكتاب غير مبنيّة من التبديلات تنشأ على هذا النحو: $\Q^* = \Q^\times$ و $\R^*$ و $\C^*$، والعناصر القابلة للقلب في $\Z/n\Z$ أدناه، ولاحقًا المصفوفات القابلة للقلب ([الفصل 21](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/21-matrices#ch-b1-matrices)). ∎

**مثال 7.18.**

المجموعات $\Z, \Q, \R, \C$ حلقات [تبديلية](#def-b1-structures-group)؛ و$\Z^\times = \{1, -1\}$ و $\Q^\times = \Q^*$. ولاحقًا: حلقات كثيرات الحدود $K[X]$ ([الفصل 8](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials#ch-b1-poly))، وحلقات المصفوفات (وهي غير [تبديلية](#def-b1-structures-group)، [الفصل 21](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/21-matrices#ch-b1-matrices))، و $\Z/n\Z$ أدناه. وفي كل [حلقة](#def-b1-structures-ring)، $0 \times
a = 0$ (من التوزيعية: $0a = (0+0)a = 0a + 0a$)، و $(-1)a = -a$.

**مثال 7.19 (العناصر الجامدة: ظواهر جديدة في حلقات جديدة).**

في $\Z$، ليس للمعادلة $x^2 = x$، أي $x(x - 1) = 0$، إلا الحلان $0$ و $1$. وفي $\Z/6\Z$، بتجريب كل الصفوف: $\overline0^2 = \overline0$ و$\overline1^2 = \overline1$ و $\overline3^2 = \overline9 = \overline3$ و$\overline4^2 =
\overline{16} = \overline4$ — أي *أربعة* عناصر جامدة. والعنصران الغريبان يأتيان من قواسم الصفر: $\overline3\,(\overline3 -
\overline1) = \overline3 \times \overline2 = \overline6 =
\overline0$ دون أن ينعدم أيّ من العاملين. وحسابات كهذه تعاير الحدس: فالوقائع المألوفة عن المعادلات تصمد في الحلقات التامة والحقول، لكن [الحلقة](#def-b1-structures-ring) العامة يمكن أن تسلك سلوكًا مختلفًا وهي تفعل — وانظر كذلك الحلقات البوليانية في [التمرين 7.10](#exo-b1-structures-10)، حيث يكون *كل* عنصر جامدًا.

**قضية 7.20 (مبرهنة ثنائي الحدّ في حلقة تبديلية).**

إذا كان $a, b$ عنصرين من [حلقة](#def-b1-structures-ring) [تبديلية](#def-b1-structures-group) (وبعمومية أكبر، إذا كان $ab = ba$)، فإنه من أجل $n \in \N$:

$$
(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom nk a^k b^{n-k},
\qquad
a^n - b^n = (a - b) \sum_{k=0}^{n-1} a^k b^{\,n-1-k} .
$$

**برهان.** لا يستعمل برهانا [المبرهنة 2.16](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/2-counting#thm-b1-counting-binomial) والمتطابقة الهندسية إلا التجميعية وتبديل العنصرين والتوزيعية — فهما ينطبقان حرفيًا. ∎

**مثال 7.21 (مبرهنة ثنائي الحدّ في حلقة غير مألوفة).**

فائدتان سريعتان من هذه العمومية. ففي $\Z/p\Z$ (حيث $p$ أوليّ)، تنعدم المعاملات الثنائية الوسطى (وهي الخطوة الأولى من [المبرهنة 6.23](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/6-integer-arithmetic#thm-b1-arith-fermat))، فتنهار المبرهنة إلى *حلم المبتدئ*

$$
(a + b)^p = a^p + b^p \qquad \text{في } \Z/p\Z ,
$$

وهي متطابقة حقيقية هناك، مهما بدت إجرامية فوق $\R$. وفي أيّ [حلقة](#def-b1-structures-ring) [تبديلية](#def-b1-structures-group) تحوي عنصرًا $\varepsilon$ يحقق $\varepsilon^2 = 0$، تُبتر المبرهنة: $(a + \varepsilon)^n = a^n + n\,a^{n-1}\varepsilon$، إذ تحمل كل الحدود الأعلى عاملًا $\varepsilon^2 = 0$. والمعامل $n\,a^{n-1}$ للمقدار $\varepsilon$ هو مشتقة $x^n$ — وليس هذا مصادفة، وهو أول إشارة إلى أن المشتقات جبرٌ بقدر ما هي تحليل (قارن المشتقة الصورية في [الفصل 8](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials#ch-b1-poly)).

**تعريف 7.22 (الحلقة التامة، الحقل).**

[الحلقة](#def-b1-structures-ring) [التبديلية](#def-b1-structures-group) $A \neq \{0\}$ تكون *حلقة تامة* عندما لا تكون فيها قواسم للصفر: أي $ab = 0
\implies a = 0$ أو $b = 0$. وتكون *حقلًا* عندما يكون كل عنصر غير معدوم قابلًا للقلب. وكل حقل حلقةٌ تامة (إذ $ab = 0$ مع $a \neq 0$ يعطيان $b = a^{-1}ab = 0$).

**مثال 7.23.**

المجموعات $\Q$ و $\R$ و $\C$ حقول؛ و $\Z$ [حلقة تامة](#def-b1-structures-field) لكنها ليست [حقلًا](#def-b1-structures-field). وفي [حلقة تامة](#def-b1-structures-field) يصحّ الاختصار بالنسبة إلى $\times$: إذ $ab =
ac$ و $a \neq 0$ يستلزمان $b = c$.

## 7.4 الحلقة $\Z/n\Z$

**تعريف 7.24.**

ثبّت $n \in \N^*$. تكوّن صفوف [التوافق](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/6-integer-arithmetic#def-b1-arith-congruence) بترديد $n$ ([المثال 1.32](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#ex-b1-logic-congruence)) مجموعةً $\Z/n\Z$ ذات $n$ عنصر، وتُكتب $\overline 0,
\overline 1, \dots, \overline{n-1}$. والعمليتان

$$
\overline a + \overline b = \overline{a + b},
\qquad
\overline a \times \overline b = \overline{ab}
$$

معرَّفتان تعريفًا سليمًا — فصفوف النتائج لا تتعلق بالممثلين، وذلك بالضبط لأن [التوافق](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/6-integer-arithmetic#def-b1-arith-congruence) متوافق مع $+$ و $\times$ ([التعريف 6.18](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/6-integer-arithmetic#def-b1-arith-congruence)) — وتجعلان $\Z/n\Z$ [حلقة](#def-b1-structures-ring) [تبديلية](#def-b1-structures-group).

**مبرهنة 7.25 (العناصر القابلة للقلب في Z/nZ\Z/n\ZZ/nZ؛ الحقول Z/pZ\Z/p\ZZ/pZ).**

1. الصف $\overline a$ قابل للقلب في $\Z/n\Z$ إذا وفقط إذا كان $\gcd(a, n) = 1$ .
2. [الحلقة](#def-b1-structures-ring) $\Z/n\Z$ حقلٌ إذا وفقط إذا كان $n$ [أوليًا](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/6-integer-arithmetic#def-b1-arith-prime) .

**برهان.** (1) هي [القضية 6.20](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/6-integer-arithmetic#prop-b1-arith-invmod) معادة الصياغة بالصفوف.

(2) إذا كان $n = p$ [أوليًا](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/6-integer-arithmetic#def-b1-arith-prime) فإن كل $\overline a \neq \overline 0$ يحقق $p
\nmid a$، ومنه $\gcd(a, p) = 1$: فهو قابل للقلب حسب (1) — أي [حقل](#def-b1-structures-field). وإذا كان $n =
ab$ مع $1 < a, b < n$ فإن $\overline a\, \overline b = \overline
n = \overline 0$ مع $\overline a, \overline b \neq \overline 0$: أي قواسم للصفر، فلا تكون حتى [حلقة تامة](#def-b1-structures-field)؛ و $n = 1$ يعطي [الحلقة](#def-b1-structures-ring) الصفرية، وهي مستبعدة. ∎

**مثال 7.26 (كم جذرًا تربيعيًا للعدد 111؟).**

حُلَّ $x^2 = \overline 1$ في $\Z/8\Z$ وفي $\Z/7\Z$. وبتجريب الصفوف الثمانية بترديد $8$: $1^2 = 1$ و $3^2 = 9 \equiv 1$ و$5^2 = 25
\equiv 1$ و $7^2 = 49 \equiv 1$ — أي *أربعة* حلول $\{\overline1, \overline3, \overline5, \overline7\}$، وإن كانت درجة كثير الحدود $X^2 - 1$ هي $2$. وعلى النقيض، في [الحقل](#def-b1-structures-field) $\Z/7\Z$ تعني $x^2 = \overline1$ أن $(x - \overline1)(x +
\overline1) = \overline0$، وليس في [الحقل](#def-b1-structures-field) قواسم للصفر: ومنه $x =
\pm\overline1$، أي حلّان لا غير. والإخفاق بترديد $8$ قابل للتعقب: $(3-1)(3+1) = 2 \times 4 = 8 \equiv 0$ دون أن ينعدم أيّ من العاملين. والعبرة: أن القاعدة المألوفة «للمعادلة من الدرجة $d$ $d$ جذرًا على الأكثر» مبرهنةٌ عن *الحلقات التامة* (ويبرهن عليها [النتيجة 8.8](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials#cor-b1-poly-nroots) فوق الحقول)؛ وهي تخفق ضمنًا في الحلقات ذات قواسم الصفر — وهذا بالضبط سبب حاجة برهان الازدواج لمبرهنة ويلسون ([التمرين 6.11](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/6-integer-arithmetic#exo-b1-arith-11)) إلى $p$ الأوليّ.

**مثال 7.27 (الحساب في Z/nZ\Z/n\ZZ/nZ).**

في $\Z/12\Z$: العناصر القابلة للقلب هي $\overline 1, \overline 5, \overline 7,
\overline{11}$ (أي الصفوف الأولية مع $12$)، وكلٌّ منها مقلوب نفسه ($5^2 = 25 \equiv 1$ و $7^2 = 49 \equiv 1$ و$11^2 = 121 \equiv
1$). وللمعادلة $\overline 3\, x = \overline 6$ *ثلاثة* حلول ($x \in \{\overline 2, \overline 6, \overline{10}\}$): فبلا قابلية للقلب لا اختصار. وعلى النقيض، في $\Z/11\Z$ يكون لكل معادلة $\overline a x = \overline b$ حيث $\overline a \neq
\overline 0$ حلٌّ واحد بالضبط.

**مثال 7.28 (بديهيات الزمرة رخصةً للحلّ).**

في [الزمرة](#def-b1-structures-group) $\bigl((\Z/7\Z)^*, \times\bigr)$، حُلَّ $\overline
3\,x = \overline 5$. حسب [القضية 7.5](#prop-b1-structures-rules) (3) يكون الحلّ موجودًا ووحيدًا ويساوي $\overline3^{-1}\,
\overline5$؛ وبما أن $\overline3 \times \overline5 = \overline{15}
= \overline1$، يكون مقلوب $\overline 3$ هو $\overline 5$، ومنه

$$
x = \overline5 \times \overline5 = \overline{25} = \overline4,
\qquad\text{وللتحقق: } \overline3 \times \overline4 =
\overline{12} = \overline5 .
$$

والمهم هنا أقلّ من الجواب: إنه الضمان. ففي [زمرة](#def-b1-structures-group)، تكون كل معادلة كهذه قابلة للحل حلًّا وحيدًا *قبل* أيّ حساب، فلا يمكن لإجراء الحلّ أن يصطدم [بعبارة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-statement) «لا حلّ» ولا [بعبارة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-statement) «عدة حلول». وقارن ذلك بالمعادلة $\overline3\,x = \overline6$ في $\Z/12\Z$ أعلاه، حيث يخفق الضمان — فمعرفة أيّ بنية نحن فيها هي معرفة ما يجوز التسليم به.

**مثال 7.29 (الجداءات المباشرة).**

إذا كانت $G$ و $H$ زمرتين، فإن [المجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) الجدائية $G \times H$ مع القانون المركّبة مركّبةً $(g, h)(g', h') = (gg', hh')$ زمرةٌ: إذ تُتحقَّق البديهيات إحداثيةً إحداثية، وعنصرها المحايد $(e_G, e_H)$ ومقلوباتها $(g^{-1}, h^{-1})$. وتتركّب الرتب [بالمضاعف المشترك الأصغر](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/6-integer-arithmetic#def-b1-arith-lcm): فالمقدار $(g, h)^m = (g^m, h^m)$ هو العنصر المحايد إذا وفقط إذا قسمت [رتبة](#def-b1-structures-order) $g$ [ورتبة](#def-b1-structures-order) $h$ كلتاهما $m$. ومنه ففي $\Z/2\Z
\times \Z/2\Z$ (الجمعية) لكل عنصر غير معدوم رتبةٌ $2$ — وهذه بالضبط [زمرة](#def-b1-structures-group) المستطيل في [المثال 7.6](#ex-b1-structures-klein) بالإحداثيات — بينما في $\Z/4\Z$ عنصر رتبته $4$: وهو برهان ثانٍ، بلا حساب، على أن الزمرتين ذواتي الحجم $4$ غير متماثلتين (فالتماثل يحفظ الرتب). والجداءات أسهل سبيل إلى تصنيع زمر جديدة من قديمة، والمستوي $\R^2 = \R \times
\R$ في [الفصل 18](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#ch-b1-vspaces) هو أهمّ حالات هذا الإنشاء.

**ملاحظة 7.30 (فيرما، بنيويًا).**

في [الحقل](#def-b1-structures-field) $\Z/p\Z$، تكوّن الصفوف غير المعدومة زمرةً ضربية ذات $p - 1$ عنصر، وتقول مبرهنة فيرما الصغرى ([المبرهنة 6.23](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/6-integer-arithmetic#thm-b1-arith-fermat)): إن كل عنصر $x$ من هذه [الزمرة](#def-b1-structures-group) يحقق $x^{p-1} = \overline 1$. وهذه حالة خاصة من واقعة عامة عن الزمر المنتهية (مبرهنة لاغرانج)، مبرهن عليها في السنة الثانية؛ وكان لبرهان الازدواج لمبرهنة ويلسون ([التمرين 6.11](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/6-integer-arithmetic#exo-b1-arith-11)) هذا النكهة الزمرية أصلًا.

**ملاحظة 7.31 (استراحة: ماذا يشتري التجريد).**

من المنصف أن يُسأل عمّا رُبح بالبرهان على [القضية 7.2](#prop-b1-structures-unique) من أجل قانون مجرد بدل البرهان عليها من أجل الأعداد. والجواب هو الرافعة. فتلك الحجة ذات السطرين تغطي الآن، دفعةً واحدة: مقلوبات الدوال بالتركيب ([المبرهنة 1.24](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#thm-b1-logic-inverse)، الذي يكرر برهان وحدانيتها حرفًا بحرف)، والمقلوبات بترديد $n$ ([القضية 6.20](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/6-integer-arithmetic#prop-b1-arith-invmod))، ومقلوبات الأعداد الحقيقية غير المعدومة، و مقلوبات العناصر القابلة للقلب في أيّ [حلقة](#def-b1-structures-ring)، و— من غير أن نراها — مقلوبات المصفوفات القابلة للقلب في [الفصل 21](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/21-matrices#ch-b1-matrices)، حيث لن تحتاج وحدانية $A^{-1}$ إلى سطر برهان واحد. والاقتصاد نفسه يصحّ من أجل [القضية 7.11](#prop-b1-structures-kernel) (معيار تباين واحد، يُعاد استعماله من أجل التطبيقات الخطية في [الفصل 20](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/20-linear-maps#ch-b1-linmaps)) ومن أجل معيار [الزمرة الجزئية](#def-b1-structures-subgroup). فالتجريد هنا ليس عمومية لذاتها: بل هو رفض البرهان على المبرهنة المساعدة نفسها خمس مرات بخمسة أسماء. والثمن — أي تتبّع أيّ البديهيات استعملتها كل [عبارة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-statement) فعلًا — هو بالضبط ما تدرّبه تمارين هذا الفصل.

**ملاحظة 7.32 (أين يُستعمل هذا الفصل).**

مفردات هذا الفصل هي نحو بقية المجلد. فالحلقات والحقول تنظّم [الفصل 8](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials#ch-b1-poly) ([فالحلقة](#def-b1-structures-ring) $K[X]$ تحاكي $\Z$) و[الفصل 9](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/9-rational-fractions#ch-b1-fractions) ([فالمجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $K(X)$ هي [حقل](#def-b1-structures-field) كسورها)؛ والفضاءات المتجهية ([الفصل 18](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#ch-b1-vspaces)) زمرٌ [تبديلية](#def-b1-structures-group) يؤثر فيها [حقل](#def-b1-structures-field)؛ والمصفوفات ([الفصل 21](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/21-matrices#ch-b1-matrices)) تكوّن أول [حلقة](#def-b1-structures-ring) غير [تبديلية](#def-b1-structures-group) جدّيًا في المجلد، وتكوّن عناصرها القابلة للقلب زمرةً دراستها هي الجبر الخطي نفسه. وتعود التشاكلات والنوى في صورة تطبيقات خطية وفضاءات [نواة](#def-b1-structures-morphism) في [الفصل 20](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/20-linear-maps#ch-b1-linmaps) — إذ إن [القضية 7.11](#prop-b1-structures-kernel) *هي* معيار التباين في ذلك الفصل، المبرهن عليه مرة واحدة إلى الأبد هنا. و [الزمرة المتناظرة](#ex-b1-structures-groups)، نجمة مسألة نهاية الأسبوع أدناه، توفّر التوقيع الذي تُبنى عليه المحددات في [الفصل 22](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/22-determinants-and-linear-systems#ch-b1-det).

## 7.5 تمارين

**تمرين 7.1 ★.**

على $E = \R \setminus \{1\}$، عرّف $x * y = x + y - xy$. برهن على أن $(E, *)$ [زمرة تبديلية](#def-b1-structures-group). *(عيّن العنصر المحايد ومقلوب $x$؛ وتحقق من الاستقرار: لماذا يكون $x * y \neq 1$؟)*

**حل التمرين 7.1.**

*الاستقرار:* $x * y = 1 \iff x + y - xy = 1 \iff (1-x)(1-y) = 0$، وهذا مستحيل من أجل $x, y \neq 1$. وبالفعل، المتطابقة المفتاحية هي

$$
1 - x * y = (1 - x)(1 - y):
$$

[فالتطبيق](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) $\varphi(x) = 1 - x$ يرسل $(E, *)$ إلى $(\R^*, \times)$ مع $\varphi(x * y) = \varphi(x)\varphi(y)$ — أي تشاكل تقابليّ. وتنتقل الآن كل البديهيات: فالتجميعية [والتبديلية](#def-b1-structures-group) تنتجان من نظيرتيهما عند $\times$؛ والعنصر المحايد هو $\varphi^{-1}(1) = 0$ (وللتحقق: $x *
0 = x$)؛ ومقلوب $x$ هو $\varphi^{-1}\bigl((1-x)^{-1}\bigr) =
1 - \frac{1}{1-x} = \frac{x}{x - 1}$ (وهو $\neq 1$). إذن $(E, *)$ [زمرة تبديلية](#def-b1-structures-group).

**تمرين 7.2 ★.**

أيٌّ ممّا يلي [زمرة](#def-b1-structures-group)؟

1. $(\intoo{0}{+\infty}, \times)$ ؛
2. $(\{-1, 0, 1\}, +)$ ؛
3. $(\Q^*, \times)$ ؛
4. [مجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) الأعداد الصحيحة الفردية بالجمع.

**حل التمرين 7.2.**

1. نعم: فجداء موجبين موجب، والعنصر المحايد $1$ ، والمقلوب $\frac 1x$ ، والتجميعية موروثة من $\R^*$ .
2. لا: فهي غير مستقرة ( $1 + 1 = 2 \notin \{-1,0,1\}$ ).
3. نعم: وهو المثال المعياري.
4. لا: فهي غير مستقرة (فرديّ $+$ فرديّ $=$ زوجيّ)، ولا عنصر محايد ( $0$ زوجيّ).

**تمرين 7.3 ★.**

اكتب جدول التركيب [للزمرة المتناظرة](#ex-b1-structures-groups) $\mathfrak{S}_3$ [للمجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $\{1,2,3\}$ (وفيها ستة تقابلات: [التطبيق](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) المطابق، وثلاث منقولات، ودورتان من [الرتبة](#def-b1-structures-order) $3$)، وأبرز عنصرين لا يتبادلان.

**حل التمرين 7.3.**

اكتب $\mathrm{id}$ والمنقولات $\tau_{12}, \tau_{13},
\tau_{23}$ (التي تبادل النقطتين المسمّاتين) والدورتين $c =
(1\,2\,3)$ (أي $1 \mapsto 2 \mapsto 3 \mapsto 1$) و$c^2 =
(1\,3\,2)$. وجدول $\sigma\rho$ (السطر $\sigma$، والعمود $\rho$، مع [تطبيق](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) $\rho$ أولًا):

| $\sigma\backslash\rho$ | $\mathrm{id}$ | $c$ | $c^2$ | $\tau_{12}$ | $\tau_{13}$ | $\tau_{23}$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $\mathrm{id}$ | $\mathrm{id}$ | $c$ | $c^2$ | $\tau_{12}$ | $\tau_{13}$ | $\tau_{23}$ |
| $c$ | $c$ | $c^2$ | $\mathrm{id}$ | $\tau_{13}$ | $\tau_{23}$ | $\tau_{12}$ |
| $c^2$ | $c^2$ | $\mathrm{id}$ | $c$ | $\tau_{23}$ | $\tau_{12}$ | $\tau_{13}$ |
| $\tau_{12}$ | $\tau_{12}$ | $\tau_{23}$ | $\tau_{13}$ | $\mathrm{id}$ | $c^2$ | $c$ |
| $\tau_{13}$ | $\tau_{13}$ | $\tau_{12}$ | $\tau_{23}$ | $c$ | $\mathrm{id}$ | $c^2$ |
| $\tau_{23}$ | $\tau_{23}$ | $\tau_{13}$ | $\tau_{12}$ | $c^2$ | $c$ | $\mathrm{id}$ |

وزوج لا يتبادل: $\tau_{12}\tau_{13} = c^2$ بينما $\tau_{13}\tau_{12} = c$. (وللتحقق من مدخلة واحدة: يرسل $\tau_{12}\tau_{13}$ العناصر هكذا $1 \xmapsto{\tau_{13}} 3
\xmapsto{\tau_{12}} 3$ و$3 \mapsto 1 \mapsto 2$ و$2 \mapsto 2 \mapsto
1$: وهذا هو $1 \mapsto 3 \mapsto 2 \mapsto 1$، أي الدورة $c^2 =
(1\,3\,2)$.)

**تمرين 7.4 ★.**

برهن على أن $H = \{z \in \C^* : \abs z = 1\}$ [زمرة جزئية](#def-b1-structures-subgroup) من $(\C^*,
\times)$، وأن $\R_+^*$ [زمرة جزئية](#def-b1-structures-subgroup) أخرى؛ وهل $H \cup \R_+^*$ [زمرة جزئية](#def-b1-structures-subgroup)؟

**حل التمرين 7.4.**

[المجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $H$: لدينا $1 \in H$؛ ومن أجل $z, w \in H$، $\abs{zw^{-1}} = \abs z / \abs w =
1$: فينطبق المعيار. [والمجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $\R_+^*$: الأمر نفسه، مع إحلال الموجبية محلّ $\abs{xy^{-1}}$. والاتحاد: لدينا $\iu \in H$ و $2 \in \R_+^*$، لكن [مقياس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/3-complex-numbers#def-b1-complex-field) $2\iu$ هو $2 \neq 1$ وهو ليس عددًا حقيقيًا موجبًا: أي $2\iu \notin H \cup
\R_+^*$، فلا يكون الاتحاد مستقرًّا — وليس [زمرة جزئية](#def-b1-structures-subgroup) (كما يتنبأ به [التمرين 7.6](#exo-b1-structures-6)، إذ لا تحتوي أيّ من الزمرتين الجزئيتين الأخرى).

**تمرين 7.5 ★★.**

لتكن $f \colon (\R, +) \to (\C^*, \times)$ و$\theta \mapsto
\eu^{\iu\theta}$. برهن على أن $f$ تشاكل، واحسب $\ker f$ و $\operatorname{im} f$، واستنتج من [القضية 7.11](#prop-b1-structures-kernel) أن $f$ غير متباين. وقيّد [مجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) التعريف لجعله [متباينًا](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj) على أوسع مجال ممكن.

**حل التمرين 7.5.**

التشاكل: $\eu^{\iu(\theta + \varphi)} =
\eu^{\iu\theta}\eu^{\iu\varphi}$ ([المبرهنة 3.7](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/3-complex-numbers#thm-b1-complex-funceq)). [والنواة](#def-b1-structures-morphism): $\eu^{\iu\theta} = 1 \iff \theta \in 2\pi\Z$، ومنه $\ker f =
2\pi\Z \neq \{0\}$: فهو غير متباين. والصورة: كل عدد عقدي أحاديّ [المقياس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/3-complex-numbers#def-b1-complex-field) هو $\eu^{\iu\theta}$ من أجل $\theta$ ما (بالشكل القطبي)، ومنه $\operatorname{im} f = \mathbb{U}$، أي دائرة الوحدة. وقصر $f$ على مجال نصف مفتوح طوله $2\pi$، مثل $\intco{0}{2\pi}$ أو $\intoc{-\pi}{\pi}$، متباين (إذ إن زاويتين لهما الصورة نفسها تختلفان بمضاعف للعدد $2\pi$، ولا يسع المجالَ إلا ممثل واحد من كل صف)؛ ولا يفي أيّ مجال أطول بالغرض، لأنه يحوي نقطتين المسافة بينهما $2\pi$.

**تمرين 7.6 ★★.**

لتكن $H, K$ زمرتين جزئيتين من $G$. برهن على أن $H \cap K$ [زمرة جزئية](#def-b1-structures-subgroup)، وأن $H \cup K$ لا تكون [زمرة جزئية](#def-b1-structures-subgroup) *إلا* عندما $H \subseteq K$ أو $K \subseteq H$. *(إذا كان $h \in H \setminus K$ و$k \in K
\setminus H$، فأين يمكن أن يحيا $hk$؟)*

**حل التمرين 7.6.**

التقاطع: $e \in H \cap K$، ويعطي $x, y \in H \cap K$ أن $xy^{-1}$ في كلٍّ من $H$ و $K$. والاتحاد: إذا كان $H \subseteq K$ كان الاتحاد $K$، وهو [زمرة جزئية](#def-b1-structures-subgroup) (وبالتناظر كذلك). وبالعكس، نفترض ألا يتحقق أيّ احتواء: خذ $h \in H \setminus K$ و$k \in K \setminus
H$، ونفترض أن $H \cup K$ [زمرة جزئية](#def-b1-structures-subgroup)؛ عندئذ $hk \in H \cup K$. فإذا كان $hk \in H$ فإن $k = h^{-1}(hk) \in H$: وهذا تناقض. وإذا كان $hk \in
K$ فإن $h = (hk)k^{-1} \in K$: وهذا تناقض. إذن $H \cup K$ ليست [زمرة جزئية](#def-b1-structures-subgroup).

**تمرين 7.7 ★★.**

[زمرة](#def-b1-structures-group) $G$ تحقق $x^2 = e$ لكل $x \in G$. برهن على أن $G$ [تبديلية](#def-b1-structures-group). *(انشر $(xy)^2$.)*

**حل التمرين 7.7.**

لاحظ أولًا أن $x^2 = e$ تعني $x^{-1} = x$ لكل $x$. عندئذ، من أجل $x, y \in G$:

$$
xy = (xy)^{-1} = y^{-1} x^{-1} = yx ,
$$

باستعمال [القضية 7.5](#prop-b1-structures-rules) (2). إذن $G$ [تبديلية](#def-b1-structures-group).

**تمرين 7.8 ★★.**

في $\Z/18\Z$: اسرد العناصر القابلة للقلب وجد مقلوب $\overline 5$؛ وحُلَّ $\overline 5\, x = \overline 7$؛ وحُلَّ $\overline 6\, x =
\overline 3$ و$\overline 6\, x = \overline{12}$.

**حل التمرين 7.8.**

العناصر القابلة للقلب في $\Z/18\Z$: الصفوف الأولية مع $18 = 2 \times 3^2$: $\overline 1, \overline 5, \overline 7, \overline{11}, \overline{13},
\overline{17}$. ومقلوب $\overline 5$: $5 \times 11 = 55 = 3\times
18 + 1$، ومنه $\overline 5^{-1} = \overline{11}$.

$\overline 5 x = \overline 7$: اضرب في $\overline{11}$: $x =
\overline{77} = \overline 5$ (لأن $77 = 4\times 18 + 5$). أي حلّ وحيد.

$\overline 6 x = \overline 3$: تعني المعادلة $6x \equiv 3 \pmod{18}$ أن $18 \mid 6x - 3$. لكن $6x - 3 = 3(2x - 1)$ فرديّ، بينما $18$ زوجيّ: ولا يمكن لعدد زوجيّ أن [يقسم](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/6-integer-arithmetic#def-b1-arith-divides) عددًا فرديًا. فلا حلّ.

$\overline 6 x = \overline{12}$: $6x \equiv 12 \pmod{18} \iff x
\equiv 2 \pmod 3$: فالحلول $x \in \{\overline 2, \overline 5,
\overline 8, \overline{11}, \overline{14}, \overline{17}\}$ — أي ستة حلول.

**تمرين 7.9 ★★.**

برهن على أن [المجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $\Z[\sqrt 2] = \{a + b\sqrt 2 : a, b \in \Z\}$ [حلقة](#def-b1-structures-ring) ([حلقة](#def-b1-structures-ring) جزئية من $\R$)، وأن $1 + \sqrt 2$ عنصر قابل للقلب فيها وله قوى متمايزة لا نهائية العدد — ومنه فإن $\Z[\sqrt 2]^\times$ لا نهائية، بخلاف $\Z^\times$.

**حل التمرين 7.9.**

تحوي $\Z[\sqrt 2]$ العنصرين $0$ و $1$، وهي مستقرة بالطرح وبالجداء:

$$
(a + b\sqrt 2)(c + d\sqrt 2) = (ac + 2bd) + (ad + bc)\sqrt 2 ,
$$

فهي إذن [حلقة](#def-b1-structures-ring) جزئية من $\R$ ([والتبديلية](#def-b1-structures-group) والتجميعية والتوزيعية موروثة). وأمّا القابلية للقلب: $(1 + \sqrt 2)(-1 + \sqrt 2) =
2 - 1 = 1$، ومنه فإن $1 + \sqrt 2$ قابل للقلب ومقلوبه $\sqrt 2 - 1
\in \Z[\sqrt 2]$. وقواه $(1 + \sqrt 2)^n$ متزايدة تمامًا (فالأساس $> 1$)، فهي إذن متمايزة مثنى مثنى، وكلٌّ منها قابل للقلب ($\bigl((1+\sqrt2)^n\bigr)^{-1} = (\sqrt 2 - 1)^n$): [فزمرة](#def-b1-structures-group) العناصر القابلة للقلب لا نهائية.

**تمرين 7.10 ★★★.**

(الحلقات البوليانية) لتكن $A$ [حلقة](#def-b1-structures-ring) تحقق $x^2 = x$ من أجل كل $x$. برهن على أن $x + x = 0$ لكل $x$، وأن $A$ [تبديلية](#def-b1-structures-group). *(انشر $(x+x)^2$ و $(x+y)^2$.)* وأعط مثالًا على [حلقة](#def-b1-structures-ring) كهذه [بالمجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $\mathcal{P}(E)$، بأخذ الفرق المتناظر جمعًا والتقاطع ضربًا.

**حل التمرين 7.10.**

$x + x = (x + x)^2 = x^2 + x^2 + x^2 + x^2 = 4x^2 = 4x$ — ومنه $2x =
4x$، فينتج $2x = 0$، أي $x + x = 0$ (فكل عنصر مقلوبه الجمعي هو نفسه). ثم

$$
x + y = (x+y)^2 = x^2 + xy + yx + y^2 = x + xy + yx + y ,
$$

ومنه $xy + yx = 0$، أي $xy = -yx = yx$ (باستعمال $-z = z$). ومنه فإن $A$ [تبديلية](#def-b1-structures-group).

مثال: على $\mathcal{P}(E)$، عرّف $A + B = (A \cup B) \setminus (A
\cap B)$ (وهو الفرق المتناظر) و$A \times B = A \cap B$. ونتحقق ممّا يلي: $(\mathcal{P}(E), +)$ [زمرة تبديلية](#def-b1-structures-group) عنصرها المحايد $\emptyset$ وكل [مجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) مقلوب نفسها؛ والعملية $\cap$ تجميعية [وتبديلية](#def-b1-structures-group) وعنصرها المحايد $E$؛ وتتحقق التوزيعية $A \cap (B + C) = (A
\cap B) + (A \cap C)$ (فالعنصر يقع في الطرف الأيسر إذا وفقط إذا كان في $A$ وفي واحدة بالضبط من $B, C$). ولدينا $A \cap A = A$: فكل عنصر جامد، وهو المطلوب.

**تمرين 7.11 ★★★.**

لتكن $G$ [زمرة](#def-b1-structures-group) يتحقق فيها، من أجل $n \geq 1$ مثبَّت، $(xy)^n =
x^n y^n$ و$(xy)^{n+1} = x^{n+1}y^{n+1}$ و$(xy)^{n+2} =
x^{n+2}y^{n+2}$ لكل $x, y$. برهن على أن $G$ [تبديلية](#def-b1-structures-group). *(انطلاقًا من المتطابقات الثلاث، استخرج أولًا $y^n x = x y^n$، ثم $y^{n+1} x = x y^{n+1}$، واستنتج.)*

**حل التمرين 7.11.**

اكتب الفرض من أجل $n$ ومن أجل $n+1$:

$$
(xy)^{n+1} = x^{n+1} y^{n+1}
\quad\text{و}\quad
(xy)^{n+1} = (xy)(xy)^n = xy\,x^n y^n .
$$

وبالمطابقة: $x^{n+1} y^{n+1} = x\,y\,x^n\,y^n$؛ واختصر $x$ من اليسار و $y^n$ من اليمين: $x^n y = y x^n$. والحساب نفسه بدرجة أعلى ($n+1$ و $n+2$) يعطي $x^{n+1} y = y x^{n+1}$. ثم

$$
y\,x^{n+1} = x^{n+1} y = x\,(x^n y) = x\,y\,x^n ,
$$

وباختصار $x^n$ من يمين $y x \cdot x^n = x y \cdot x^n$: نجد $yx = xy$. إذن $G$ [تبديلية](#def-b1-structures-group).

**تمرين 7.12 ★★.**

1. عيّن كل تشاكلات الزمر من $(\Z, +)$ إلى $(\Z, +)$ .
2. برهن على أن التشاكل الوحيد من $(\Q, +)$ إلى $(\Z, +)$ هو التشاكل المعدوم. *(من أجل $x \in \Q$ و $n \in \N^*$، قارن $f(x)$ مع $n\,f(x/n)$.)*

**حل التمرين 7.12.**

1. ليكن $f \colon \Z \to \Z$ جمعيًا و $a = f(1)$ . بالاستقراء يكون $f(k) = ka$ من أجل $k \in \N$ ، و $f(-k) = -f(k) =  -ka$ : ومنه فإن $f$ هو الضرب في $a$ . وبالعكس فإن كل [تطبيق](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) $k \mapsto ak$ تشاكل: فتشاكلات $(\Z,+) \to (\Z,+)$ هي بالضبط عمليات الضرب في عدد صحيح مثبَّت.
2. ليكن $f \colon \Q \to \Z$ [تشاكلًا](#def-b1-structures-morphism) وليكن $x \in \Q$ و $n \in \N^*$. عندئذ $$f(x) = f\Bigl(\underbrace{\tfrac xn + \dots +  \tfrac xn}_{n}\Bigr) = n\,f\Bigl(\frac xn\Bigr) ,$$ فيقبل العدد الصحيح $f(x)$ القسمة على كل $n \geq 1$. والعدد الوحيد كذلك هو $0$: أي $f \equiv 0$.

## 7.6 مسألة: الزمرة المتناظرة ولغز الثمانية

**مسألة 7.1.**

[الزمرة](#def-b1-structures-group) $\mathfrak S_n$ المكوَّنة من تبديلات $\intint1n$ أقدم [زمرة](#def-b1-structures-group) في الرياضيات وأكثرها إفادةً إلى اليوم. وتبني هذه المسألة نظرية بنيتها من الصفر — الدورات، والتوليد بالمنقولات، وتشاكل *التوقيع* $\varepsilon \colon \mathfrak S_n \to \{\pm1\}$ (الذي يكون وجوده غير بديهي حقًّا)، [والزمرة المتناوبة](#pb-b1-structures-1) $\mathfrak A_n$ المولَّدة بالدورات من [الرتبة](#def-b1-structures-order) $3$ — ثم تصرف ذلك على لغز كلاسيكي: ففي لعبة البلاطات المنزلقة $3 \times 3$، لا يمكن لأيّ متتالية حركات أن تبادل بلاطتين وتترك كل شيء آخر في مكانه. تؤثر التبديلات في $\intint1n$؛ والجداءات $\sigma\tau$ تعني «طبّق $\tau$ أولًا»؛ ويرمز $[\,v_1, \dots, v_n]$ إلى [التبديلة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/2-counting#def-b1-counting-objects) التي ترسل $i$ إلى $v_i$.

**الجزء 1 — الدورات والمنقولات.**

1. برّر أن $\abs{\mathfrak S_n} = n!$ ( [المبرهنة 2.12](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/2-counting#thm-b1-counting-counts) ). وفي $\mathfrak S_3$ ، احسب جداءَي $\sigma = [2, 3, 1]$ و $\tau =  [1, 3, 2]$ بالترتيبين، واستنتج أن $\mathfrak S_3$ غير [تبديلية](#def-b1-structures-group) .
2. *الدورة من [الرتبة](#def-b1-structures-order) $k$* $(a_1\ a_2\ \dots\ a_k)$ (حيث $k \geq 2$ ، والعناصر $a_i$ متمايزة مثنى مثنى) ترسل $a_1 \mapsto a_2  \mapsto \dots \mapsto a_k \mapsto a_1$ وتصمد عند كل ما عدا ذلك؛ و *حاملها* هو $\{a_1, \dots,  a_k\}$ . برهن على أن دورتين ذواتي حاملين منفصلين تتبادلان.
3. برهن على أن كل $\sigma \in \mathfrak S_n$ جداءُ دورات ذوات حوامل منفصلة مثنى مثنى، وأن هذا التفكيك وحيد بغضّ النظر عن ترتيب العوامل. *(تأمّل، من أجل كل $i$، المتتالية $i, \sigma(i),  \sigma^2(i), \dots$: فلا بدّ أن تعود إلى $i$؛ وتجزّئ *المدارات* الناتجة المجموعةَ $\intint1n$، وتؤثر $\sigma$ في كلٍّ منها بوصفها دورة.)*
4. فكّك $\sigma = [4, 1, 5, 2, 3, 7, 8, 6] \in  \mathfrak S_8$ إلى دورات منفصلة. وبتعريف *[رتبة](#def-b1-structures-order)* $\sigma$ كما في [التعريف 7.14](#def-b1-structures-order) ، برهن على أن [رتبة](#def-b1-structures-order) جداء دورات منفصلة هي [المضاعف المشترك الأصغر](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/6-integer-arithmetic#def-b1-arith-lcm) لأطوالها، واحسب [رتبة](#def-b1-structures-order) هذه $\sigma$ .
5. برهن على المتطابقة التلسكوبية $$(a_1\ a_2\ \dots\ a_k)  = (a_1\ a_k)(a_1\ a_{k-1})\cdots(a_1\ a_2) ,$$ واستنتج أن كل [تبديلة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/2-counting#def-b1-counting-objects) جداءُ منقولات. واكتب $\sigma$ من السؤال 4 في صورة جداء كهذا.
6. بيّن كذلك أن المنقولات *المتجاورة* $(i\ \ i{+}1)$ تكفي: فمن أجل $a < b$، $$(a\ b) = (a\ \ a{+}1)(a{+}1\ \ a{+}2)\cdots(b{-}1\ \ b)  \cdots(a{+}1\ \ a{+}2)(a\ \ a{+}1),$$ وهو جداء $2(b - a) - 1$ منقولة متجاورة — أي عدد *فرديّ* (وستهمّ هذه الزوجية مرتين أدناه).

**الجزء 2 — التوقيع موجود.** من أجل $\sigma
\in \mathfrak S_n$، ليكن

$$
N(\sigma) = \#\bigl\{(i, j) : i < j,\ \sigma(i) >
\sigma(j)\bigr\}
$$

عدد *انقلاباتها*، ولنضع $\varepsilon(\sigma) =
(-1)^{N(\sigma)}$.

7. احسب $N$ و $\varepsilon$ من أجل [التطبيق](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) المطابق، ومن أجل منقولة $(i\ \ i{+}1)$ ، ومن أجل $[2, 3, 1]$ .
8. برهن على أنه من أجل كل $\sigma$ وكل منقولة متجاورة $\tau = (i\ \ i{+}1)$ : $N(\sigma\tau) = N(\sigma) \pm 1$ . *(فالتركيب مع $\tau$ من اليمين يبادل القيمتين في الموضعين $i$ و $i + 1$؛ فيتغير زوج واحد بالضبط في حالة انقلابه.)*
9. استنتج، باستعمال السؤال 6، أنه من أجل *أيّ* منقولة $\tau$ يكون $\varepsilon(\sigma\tau) =  -\varepsilon(\sigma)$ ؛ واستنتج أنه إذا كانت $\sigma$ جداءَ $p$ منقولة فإن $\varepsilon(\sigma)  = (-1)^p$ — وبوجه خاص لا تتعلق زوجية $p$ إلا [بالتبديلة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/2-counting#def-b1-counting-objects) $\sigma$ ، لا بالتعميل المختار — وأن $\varepsilon \colon \mathfrak S_n \to \{\pm 1\}$ تشاكل زمر.
10. بيّن أن توقيع الدورة من [الرتبة](#def-b1-structures-order) $k$ هو $(-1)^{k-1}$ ، وأنه في الحالة العامة $\varepsilon(\sigma) = (-1)^{n -  c(\sigma)}$ ، حيث $c(\sigma)$ عدد مدارات $\sigma$ (بما فيها النقاط الصامدة).
11. *[الزمرة المتناوبة](#pb-b1-structures-1)* هي $\mathfrak A_n =  \ker\varepsilon$ . برّر أنها [زمرة جزئية](#def-b1-structures-subgroup) ، وبرهن على أن $\abs{\mathfrak A_n} = \frac{n!}2$ من أجل $n \geq 2$ . *(ثبّت منقولة $\tau_0$ وتأمّل $\sigma  \mapsto \sigma\tau_0$.)*
12. تحقق اتساق على $\sigma = [4, 1, 5, 2, 3, 7, 8, 6]$ : احسب $\varepsilon(\sigma)$ بثلاث طرق — بعدّ الانقلابات، ومن نمط الدورات عبر السؤال 10، ومن عدّ منقولاتك في السؤال 5.

**الجزء 3 — [الزمرة](#def-b1-structures-group) $\mathfrak A_n$ مولَّدة بالدورات من [الرتبة](#def-b1-structures-order) $3$.**

13. ليكن $a, b, c, d$ متمايزة مثنى مثنى. تحقق من المتطابقتين $$(a\ b)(a\ c) = (a\ c\ b),  \qquad  (a\ b)(c\ d) = (a\ c\ b)(a\ c\ d) .$$
14. برهن على أنه من أجل $n \geq 3$ ، يكون كل عنصر من $\mathfrak  A_n$ جداءَ دورات من [الرتبة](#def-b1-structures-order) $3$ . *([فالتبديلة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/2-counting#def-b1-counting-objects) الزوجية جداءُ عدد زوجيّ من المنقولات؛ فامتصّها اثنتين اثنتين.)*
15. اكتب $(1\ 2)(3\ 4)$ والدورة من [الرتبة](#def-b1-structures-order) $5$ التي هي $(1\ 2\ 3\ 4\ 5)$ صراحةً في صورة جداءات دورات من [الرتبة](#def-b1-structures-order) $3$ .
16. برهن على صيغة المرافقة: من أجل كل $\sigma \in  \mathfrak S_n$، $$\sigma\,(a_1\ \dots\ a_k)\,\sigma^{-1}  = \bigl(\sigma(a_1)\ \dots\ \sigma(a_k)\bigr) .$$

**الجزء 4 — لغز الثمانية.** تنزلق البلاطات $1, \dots, 8$ في إطار $3 \times 3$ فيه خانة خالية واحدة؛ و*الحركة* تُزلق بلاطة مجاورة للخانة الخالية إليها. رقّم الخانات $1, \dots, 9$ (سطرًا بعد سطر؛ والوضع المحلول تكون فيه البلاطة $i$ في الخانة $i$ والخانة الخالية في الخانة $9$). وعامل الخانة الخالية بوصفها بلاطةً تاسعة، فيكون الوضع تبديلةً $\sigma \in \mathfrak
S_9$ (فالبلاطة $\sigma(i)$ تقع في الخانة $i$).

17. بيّن أن الحركة تضع مكان $\sigma$ التبديلةَ $\sigma \circ \tau$ حيث $\tau$ منقولة الخانتين المعنيتين؛ واستنتج أن كل حركة تقلب $\varepsilon(\sigma)$ .
18. لتكن $d(\sigma)$ المسافة (عدد الأسطر زائد عدد الأعمدة) بين خانة الخانة الخالية الحالية و خانتها الأصلية $9$. بيّن أن كل حركة تغيّر $d$ بمقدار $\pm1$، فتقلب كل حركة كذلك $(-1)^{d(\sigma)}$. واستنتج أن $$I(\sigma) = \varepsilon(\sigma)\cdot(-1)^{d(\sigma)}$$ *لا يتغير* بأيّ حركة.
19. برهن على استحالة اللغز الكلاسيكية: أي أن الوضع الذي يبادل البلاطتين $7$ و $8$ ويترك كل شيء آخر (بما فيه الخانة الخالية) في مكانه لا يمكن بلوغه من الوضع المحلول.
20. ونقبل العكس (وبرهانه استقراء مفيد لكن طويل): أي أن كل وضع يحقق $I = +1$ قابل للبلوغ. استنتج أن نصف الأوضاع $8!$ التي تكون فيها الخانة الخالية في مكانها بالضبط قابل للحلّ، أي $\frac{8!}2 = 20\,160$ .
21. استنتج من السؤال 20 أن ترتيبات البلاطات القابلة للبلوغ والتي تكون فيها الخانة الخالية في مكانها تكوّن بالضبط [الزمرة الجزئية](#def-b1-structures-subgroup) $\mathfrak A_8 \leq \mathfrak S_8$ .
22. تطبيقات الثابت: هل يمكن بلوغ (أ) الوضع الذي تُبدَّل فيه البلاطات $1, 2, 3$ تبديلًا دائريًا ويكون كل شيء آخر، بما فيه الخانة الخالية، في مكانه؟ و (ب) الوضع الذي تبادلت فيه البلاطة $5$ والخانة الخالية موضعيهما وتكون كل البلاطات الأخرى في مكانها؟ برّر الجوابين بالمقدار $I$ .

**الجزء 5 — توليفة ختامية.**

23. برهن على أنه من أجل $n \geq 3$ لا تكون تشاكلات الزمر $f  \colon \mathfrak S_n \to \{\pm 1\}$ إلا التشاكلَ الثابت و $\varepsilon$ . *(باستعمال السؤال 16 و [تبديلية](#def-b1-structures-group) $\{\pm1\}$، بيّن أن $f$ يأخذ القيمة نفسها على كل المنقولات.)*
24. أين استعملت المسألة بالضبط: (أ) مفهوم التشاكل و [القضية 7.11](#prop-b1-structures-kernel) ؛ (ب) مبادئ العدّ في [الفصل 2](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/2-counting#ch-b1-counting) ؛ (ج) مسألة سلامة التعريف التي يحسمها السؤالان 8–9؟ جملة واحدة لكلٍّ منها.
25. توليفة، في فقرة قصيرة: دالة زوجية واحدة، مبرهن على سلامة تعريفها مرة واحدة، تنظّم في آن واحد البنية الداخلية [للزمرة](#def-b1-structures-group) $\mathfrak S_n$ (أي [الزمرة الجزئية](#def-b1-structures-subgroup) $\mathfrak A_n$ )، وتحسم لغزًا ماديًا، و— عبر الصيغة $\det = \sum_\sigma  \varepsilon(\sigma)\cdots$ — ستعرّف المحددات في [الفصل 22](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/22-determinants-and-linear-systems#ch-b1-det) . علّق على النمط المتكرر: فالثوابت تحوّل «جرّب كل متتاليات الحركات» إلى حساب واحد.

**حل المسألة 7.1.**

**1.** [التبديلة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/2-counting#def-b1-counting-objects) تقابلٌ [للمجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $\intint1n$، أي ترتيبة من [الرتبة](#def-b1-structures-order) $n$ على $n$ غرضًا: وعددها $n!$ ([المبرهنة 2.12](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/2-counting#thm-b1-counting-counts)). ومع $\sigma = [2,3,1]$ و$\tau =
[1,3,2]$: يرسل $\sigma\tau$ العناصر هكذا $1 \mapsto 1 \mapsto 2$ و$2 \mapsto 3
\mapsto 1$ و$3 \mapsto 2 \mapsto 3$: أي $\sigma\tau = [2,1,3]$؛ ويرسل $\tau\sigma$ العناصر هكذا $1 \mapsto 2 \mapsto 3$ و$2 \mapsto 3 \mapsto
2$ و$3 \mapsto 1 \mapsto 1$: أي $\tau\sigma = [3,2,1] \neq
\sigma\tau$.

**2.** لتكن $\gamma, \gamma'$ ذواتَي حاملين منفصلين $S, S'$. من أجل $x \in S$: لدينا $\gamma'(x) = x$ و $\gamma(x) \in S$، ومنه $\gamma\gamma'(x) = \gamma(x) = \gamma'\gamma(x)$. وبالتناظر من أجل $x \in S'$؛ ويصمد الطرفان عند كل $x \notin S \cup S'$. إذن $\gamma\gamma' = \gamma'\gamma$.

**3.** من أجل $i \in \intint1n$، تحيا القيم $i, \sigma(i),
\sigma^2(i), \dots$ في [مجموعة منتهية](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/2-counting#def-b1-counting-card)، ومنه $\sigma^a(i) =
\sigma^b(i)$ من أجل $a < b$ ما؛ ويعطي التباين أن $\sigma^{b-a}(i)
= i$: فتعود المتتالية إلى $i$. وسمِّ *مدار* $i$ المجموعةَ $\{i, \sigma(i), \dots, \sigma^{k-1}(i)\}$ حيث $k \geq 1$ أصغريّ يحقق $\sigma^k(i) = i$. ومداران يلتقيان في نقطة واحدة يتطابقان (فكلاهما صور $\sigma$ الأمامية لتلك النقطة)، ومنه تجزّئ المدارات المجموعةَ $\intint1n$؛ وتؤثر $\sigma$ في كل مدار حجمه $k \geq 2$ بوصفها الدورة من [الرتبة](#def-b1-structures-order) $k$ $(i\ \sigma(i)\ \cdots\
\sigma^{k-1}(i))$ وتصمد عند المجموعات الأحادية. وجداء هذه الدورات المنفصلة يوافق $\sigma$ في كل مكان. وأمّا الوحدانية: ففي أيّ تفكيك إلى دورات منفصلة، يجب أن تكون الدورة المارّة بالعنصر $i$ هي $(i\ \sigma(i)\ \cdots)$ — فالدورات مفروضة بأن تكون المدارات بأثرها المستدعى.

**4.** باتباع المدارات: $1 \to 4 \to 2 \to 1$ و$3 \to 5
\to 3$ و $6 \to 7 \to 8 \to 6$:

$$
\sigma = (1\ 4\ 2)(3\ 5)(6\ 7\ 8) .
$$

وإذا كانت $\sigma = \gamma_1\cdots\gamma_r$ بدورات منفصلة أطوالها $k_1, \dots, k_r$، أعطى التبادل (السؤال 2) أن $\sigma^m = \gamma_1^m\cdots\gamma_r^m$، وبما أن الحوامل منفصلة، يكون $\sigma^m = \mathrm{id}$ إذا وفقط إذا كان كل $\gamma_i^m =
\mathrm{id}$ إذا وفقط إذا كان $k_i \mid m$ لكل $i$ ([فرتبة](#def-b1-structures-order) الدورة من [الرتبة](#def-b1-structures-order) $k$ هي $k$: إذ يرسل $\gamma^m$ العنصر $a_1$ إلى $a_{1 + (m \bmod k)}$). وأصغر $m$ كهذا هو $\operatorname{lcm}(k_1, \dots, k_r)$. وهنا: $\operatorname{lcm}(3, 2, 3) = 6$.

**5.** طبّق الطرف الأيمن على كل نقطة، بدءًا بالعامل الأيمن. فيرسل $(a_1\ a_2)$ العنصر $a_1 \mapsto a_2$، ثم يصمد كل عامل لاحق عند $a_2$: فالمحصلة $a_1 \mapsto a_2$. ومن أجل $2 \leq i < k$: لا يُمسّ $a_i$ حتى يرسله $(a_1\ a_i)$ إلى $a_1$، ثم يرسل العامل التالي مباشرةً $(a_1\ a_{i+1})$ العنصرَ $a_1$ إلى $a_{i+1}$، وبعد ذلك لا يحركه شيء: فالمحصلة $a_i \mapsto a_{i+1}$. وأخيرًا يصمد $a_k$ عند كل العوامل عدا الأيسر، الذي يرسله إلى $a_1$. وهذه هي الدورة بالضبط. وبما أن كل [تبديلة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/2-counting#def-b1-counting-objects) جداءُ دورات (السؤال 3)، فهي جداء منقولات. ومن أجل $\sigma$ في السؤال 4:

$$
\sigma = (1\ 2)(1\ 4)\;(3\ 5)\;(6\ 8)(6\ 7),
$$

أي خمس منقولات.

**6.** بالاستقراء على $b - a$. من أجل $b = a + 1$ تكون المتطابقة بديهية (أي عامل واحد، إذ $1 = 2\cdot1 - 1$). ومن أجل $b > a + 1$، تحقق مباشرةً من أن $(a\ b) = (a\ \ a{+}1)\,(a{+}1\ \ b)\,(a\ \ a{+}1)$: فالطرف الأيمن يرسل $a \mapsto a{+}1 \mapsto b \mapsto b$ و$b
\mapsto b \mapsto a{+}1 \mapsto a$ و$a{+}1 \mapsto a \mapsto a
\mapsto a{+}1$، ويصمد عند الباقي. وبالاستقراء يكون $(a{+}1\ \ b)$ جداءً طرديًا عكسيًا فيه $2(b - a - 1) - 1$ منقولة متجاورة، ومنه يكون $(a\ b)$ جداءً فيه $2(b - a) - 1$ منها: أي عدد فرديّ.

**7.** $N(\mathrm{id}) = 0$ و $\varepsilon = +1$. ومن أجل $(i\ \
i{+}1)$، يكون الزوج المنقلب الوحيد هو $(i, i+1)$: أي $N = 1$ و $\varepsilon = -1$. ومن أجل $[2, 3, 1]$: يكون الزوجان المنقلبان $(1,
3)$ (فالقيمتان $2 > 1$) و $(2, 3)$ (فالقيمتان $3 > 1$): أي $N = 2$ و $\varepsilon = +1$.

**8.** تختلف قائمتا قيم $\sigma$ و $\sigma\tau$ بمبادلة الموضعين $i$ و $i + 1$ لا غير. ومن أجل زوج مواضع لا يشمل $i, i+1$، لا يتغير شيء. ومن أجل $k < i$، يتبادل الزوجان $(k, i)$ و $(k, i+1)$ حالتَي انقلابهما (فالقيمتان نفسهما تُقارنان مع $\sigma(k)$، بترتيب المواضع الآخر): فيبقى إسهامهما الكلي دون تغيير؛ وكذلك من أجل $k > i + 1$. ويقلب الزوج الوحيد الباقي $(i,
i+1)$ حالته. ومنه $N(\sigma\tau) = N(\sigma) \pm 1$.

**9.** لتكن $\tau = (a\ b)$ منقولةً كيفية: فحسب السؤال 6 هي جداء عدد فرديّ من المنقولات المتجاورة، ومنه فإن الضرب من اليمين في $\tau$ يغيّر $N$ بمقدار فرديّ إجمالًا (بالسؤال 8، مطبَّقًا مرارًا): أي $\varepsilon(\sigma
\tau) = -\varepsilon(\sigma)$. والآن إذا كانت $\sigma = \tau_1\cdots
\tau_p$ (بمنقولات)، فابنِها من [التطبيق](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) المطابق بعدد $p$ من عمليات الضرب من اليمين: $\varepsilon(\sigma) =
(-1)^p\varepsilon(\mathrm{id}) = (-1)^p$. وبما أن $\varepsilon(\sigma)$ معرَّف بالانقلابات — باستقلال عن أيّ تعميل — تكون زوجية $p$ ثابتًا يخصّ $\sigma$. وأمّا التشاكل: فبكتابة $\sigma$ بعدد $p$ من المنقولات و $\sigma'$ بعدد $q$ منها، يستعمل $\sigma\sigma'$ منها $p + q$: $\varepsilon(\sigma\sigma') = (-1)^{p+q} =
\varepsilon(\sigma)\varepsilon(\sigma')$.

**10.** الدورة من [الرتبة](#def-b1-structures-order) $k$ جداءُ $k - 1$ منقولة (السؤال 5): ومنه $\varepsilon = (-1)^{k-1}$. ومن أجل $\sigma$ عامة مداراتها أحجامها $k_1, \dots, k_r$ (حيث $k_i \geq 2$) مع $f$ نقطة صامدة، يكون $c(\sigma) = r + f$ و$n = k_1 + \dots + k_r + f$، ومنه

$$
\varepsilon(\sigma) = \prod_{i=1}^r (-1)^{k_i - 1}
= (-1)^{\sum_i k_i - r} = (-1)^{n - f - r} = (-1)^{n -
c(\sigma)} .
$$

**11.** [المجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $\mathfrak A_n = \ker\varepsilon$ [زمرة جزئية](#def-b1-structures-subgroup) بوصفها [نواة](#def-b1-structures-morphism) تشاكل ([التعريف 7.10](#def-b1-structures-morphism)). ثبّت منقولة $\tau_0$ (وهي موجودة من أجل $n \geq 2$). [والتطبيق](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) $\sigma
\mapsto \sigma\tau_0$ تقابلٌ [للمجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $\mathfrak S_n$ (وهو مقلوب نفسه) يبادل بين $\mathfrak A_n$ [ومجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) التبديلات الفردية (السؤال 9). والمجموعتان تجزّئان $\mathfrak S_n$ ولهما الحجم نفسه: ومنه $\abs{\mathfrak A_n} = \frac{n!}2$.

**12.** *انقلابات* $[4, 1, 5, 2, 3, 7, 8, 6]$: من القيمة $4$: فوق $1, 2, 3$: ثلاثة؛ ومن $5$: فوق $2, 3$: اثنان؛ ومن $7$: فوق $6$: واحد؛ ومن $8$: فوق $6$: واحد. أي $N = 7$ و $\varepsilon = -1$. و*نمط الدورات*: $c = 3$ مدارات و $n = 8$: ومنه $\varepsilon = (-1)^{8-3} = -1$. و*عدّ المنقولات*: خمس منقولات في السؤال 5: أي $(-1)^5 = -1$. والثلاثة متفقة.

**13.** $(a\ b)(a\ c)$ (بالعامل الأيمن أولًا): $a \mapsto c
\mapsto c$؛ و$c \mapsto a \mapsto b$؛ و$b \mapsto b \mapsto a$: أي الدورة من [الرتبة](#def-b1-structures-order) $3$ التي هي $(a\ c\ b)$. و $(a\ c\ b)(a\ c\ d)$: $a \mapsto c
\mapsto b$؛ و$b \mapsto b \mapsto a$؛ و$c \mapsto d \mapsto d$؛ و$d
\mapsto a \mapsto c$: وهذا هو $(a\ b)(c\ d)$، وهو المدّعى.

**14.** لتكن $\sigma \in \mathfrak A_n$: فحسب السؤال 9، $\sigma = \tau_1\cdots\tau_{2m}$ بعدد زوجيّ من المنقولات. اجمعها في أزواج متتالية $\tau_{2i-1}\tau_{2i}$: فإذا تساوت المنقولتان كان الزوج [التطبيق](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) المطابق واختفى؛ وإذا اشتركتا في نقطة واحدة بالضبط، كتبت المتطابقة الأولى من السؤال 13 الزوجَ في صورة دورة واحدة من [الرتبة](#def-b1-structures-order) $3$؛ وإذا كانتا منفصلتين كتبته المتطابقة الثانية في صورة دورتين من [الرتبة](#def-b1-structures-order) $3$. ومنه فإن $\sigma$ جداءُ دورات من [الرتبة](#def-b1-structures-order) $3$ (أو [التطبيق](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) المطابق، وهو جداء خالٍ — ومن أجل $n \geq 3$ يساوي كذلك $(1\ 2\
3)^3$).

**15.** $(1\ 2)(3\ 4) = (1\ 3\ 2)(1\ 3\ 4)$ (بالسؤال 13 مع $a{=}1, b{=}2, c{=}3, d{=}4$). وأمّا الدورة من [الرتبة](#def-b1-structures-order) $5$: فحسب السؤال 5، $(1\ 2\ 3\ 4\ 5) = (1\ 5)(1\ 4)(1\ 3)(1\ 2)$، و بالازدواج: $(1\ 5)(1\ 4) = (1\ 4\ 5)$ و$(1\ 3)(1\ 2) = (1\ 2\ 3)$:

$$
(1\ 2\ 3\ 4\ 5) = (1\ 4\ 5)(1\ 2\ 3) .
$$

(وللتحقق على $3$: ترسل $(1\ 2\ 3)$ العنصر $3 \to 1$، ثم ترسل $(1\ 4\ 5)$ العنصر $1 \to 4$: فالمحصلة $3 \to 4$، وهذا صحيح.)

**16.** طبّق الطرفين على نقطة كيفية. من أجل $i =
\sigma(a_j)$: يعطي الطرف الأيسر $\sigma\bigl((a_1\ \dots\
a_k)(a_j)\bigr) = \sigma(a_{j+1})$ (والأدلة بترديد $k$)، وهو ما يفعله الطرف الأيمن بالعنصر $\sigma(a_j)$. ومن أجل $i$ ليس على هذه الصورة: يقع $\sigma^{-1}(i)$ خارج الحامل، فيصمد الطرف الأيسر عند $i$، وكذلك الطرف الأيمن. فهما متساويان في كل مكان.

**17.** إزلاق بلاطة الخانة $c'$ إلى الخانة الخالية $c$ يبادل محتويَي الخانتين $c$ و $c'$ (فالبلاطة $9$، أي الفراغ، تنتقل إلى $c'$). وإذا كانت البلاطة $\sigma(i)$ في الخانة $i$، كان الوضع الجديد $\sigma' = \sigma \circ (c\ c')$: أي المحتويات نفسها عدا أن الخانتين $c, c'$ تقرأ كلٌّ منهما محتوى الأخرى السابق. وحسب السؤال 9، $\varepsilon(\sigma') = -\varepsilon(\sigma)$.

**18.** ترسل الحركة الخانة الخالية إلى خانة مجاورة: فيتغير سطرها أو عمودها بمقدار $1$ بالضبط، ومنه تتغير المسافة $d$ إلى الخانة $9$ بمقدار $\pm1$، وينقلب $(-1)^d$. وبما أن كل حركة تقلب $\varepsilon(\sigma)$ و $(-1)^{d(\sigma)}$ معًا، يبقى جداؤهما $I(\sigma)$ دون تغيير بأيّ حركة: أي أنه ثابت.

**19.** الوضع المحلول له $\varepsilon = +1$ و $d = 0$: أي $I = +1$. وأمّا الهدف (البلاطتان $7, 8$ متبادلتان والفراغ في مكانه) فهو منقولة محتويَي الخانتين $7$ و $8$: أي $\varepsilon
= -1$ و $d = 0$: أي $I = -1$. وبما أن $I$ ثابت والقيمتين مختلفتان، فلا متتالية حركات تصل بينهما.

**20.** الوضع الذي يكون فيه الفراغ في مكانه تبديلةٌ للبلاطات $8$ بين الخانات $1, \dots, 8$، أي عنصر من $\mathfrak S_8$؛ وله $d = 0$، ومنه $I = \varepsilon(\sigma)$. وقابلية البلوغ تفرض $I = +1$، أي $\sigma \in \mathfrak A_8$؛ ويقول العكس المقبول إن كل $\mathfrak A_8$ تُبلغ. والعدّ: $\abs{\mathfrak A_8} = \frac{8!}2 = 20\,160$ (السؤال 11).

**21.** حسب السؤال 20، تكوّن الترتيبات القابلة للبلوغ والتي فيها الفراغ في مكانه بالضبط $\mathfrak A_8$ — وبوجه خاص *[زمرة جزئية](#def-b1-structures-subgroup)* من $\mathfrak S_8$: فتركيب خلطتين قابلتين للحلّ، أو قلب إحداهما، يبقى قابلًا للحلّ، وهذا أبعد ما يكون عن البداهة بالاستدلال على اللغز وحده.

**22.** (أ) دورة من [الرتبة](#def-b1-structures-order) $3$ للبلاطات مع الفراغ في مكانه: $\varepsilon = +1$ (السؤال 10) و $d = 0$، ومنه $I = +1$: فهي قابلة للبلوغ (بالعكس المقبول) — أي يمكن تدوير ثلاث بلاطات. (ب) البلاطة $5$ والفراغ متبادلان: يكون الوضع منقولة محتويَي الخانتين $5$ و $9$، ومنه $\varepsilon = -1$؛ ويقع الفراغ في المركز، على مسافة $d = 2$ من مكانه، ومنه $(-1)^d = +1$ و $I = -1$: فهي غير قابلة للبلوغ. فلا يمكن ببساطة «إيقاف الفراغ في الوسط» مع بقاء البلاطات مرتّبة فيما عدا ذلك.

**23.** ليكن $f \colon \mathfrak S_n \to \{\pm1\}$ [تشاكلًا](#def-b1-structures-morphism). من أجل أيّ منقولتين $\tau, \tau'$، يوفّر السؤال 16 تبديلةً $\sigma$ تحقق $\sigma\tau\sigma^{-1} = \tau'$ (بإرسال النقطتين المتحركتين إلى النقطتين الأخريين؛ ويضمن $n \geq 3$ المتسع لذلك، وإن كانت الحالة $n = 2$ بديهية هنا). عندئذ $f(\tau') =
f(\sigma)f(\tau)f(\sigma)^{-1} = f(\tau)$ لأن $\{\pm1\}$ [تبديلية](#def-b1-structures-group): أي أن $f$ ثابت على المنقولات. فإذا كان ذلك الثابت $+1$ كان $f = 1$ على كل جداءات المنقولات، أي في كل مكان (السؤال 5). وإذا كان $-1$ فإن $f(\sigma) =
(-1)^p = \varepsilon(\sigma)$ على جداء $p$ منقولة. ومنه $f \in \{1, \varepsilon\}$.

**24.** (أ) أعطت خاصية التشاكل للمقدار $\varepsilon$ و آلية [النواة](#def-b1-structures-morphism) [للزمرة](#def-b1-structures-group) $\mathfrak A_n$ بنيتها بوصفها [زمرة جزئية](#def-b1-structures-subgroup) و حجمها، ويسري الاستدلال على نهج [القضية 7.11](#prop-b1-structures-kernel) في السؤالين 11 و 21. (ب) وأمّا العدّ: فإن $\abs{\mathfrak S_n} = n!$ وحجة التنصيف في السؤال 11 والعدّ $20\,160$ في السؤال 20 كلها [الفصل 2](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/2-counting#ch-b1-counting) في العمل. (ج) ويحسم السؤالان 8–9 مسألة سلامة تعريف حقيقية — إذ إن [عبارة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-statement) «زوجية عدد المنقولات» تفترض ألا تتعلق هذه الزوجية بالتعميل، تمامًا كما اقتضت عمليات $\Z/n\Z$ استقلالها عن الممثلين في [التعريف 7.24](#def-b1-structures-zn).

**25.** التوقيع حسابٌ واحد ذو قيم في $\{\pm1\}$، بُرهن مرة واحدة على سلامة تعريفه، ويؤدي ثلاث مهامّ في آن: فداخليًا يشقّ $\mathfrak S_n$ نصفين و يعزل $\mathfrak A_n$ بمولّداتها من الدورات من [الرتبة](#def-b1-structures-order) $3$؛ وخارجيًا يحسم في سطر واحد سؤالًا («هل يمكن مبادلة هاتين البلاطتين؟») ما كان بحث أعمى ليحسمه أبدًا، إذ إن لا قائمة منتهية من متتاليات الحركات الفاشلة تبرهن على الاستحالة؛ و بنيويًا هو محرك تناوب الإشارة داخل الصيغة $\det A = \sum_\sigma \varepsilon(\sigma)\,
a_{1\sigma(1)}\cdots a_{n\sigma(n)}$ في [الفصل 22](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/22-determinants-and-linear-systems#ch-b1-det). والنمط — أي أن تجد مقدارًا تحفظه كل حركة أوّلية، وتحسبه عند البداية وعند الهدف — هو سلاح الرياضياتي المعياري في وجه أسئلة «هل هذا ممكن؟»، وسيعود كلما أثّرت [زمرة](#def-b1-structures-group) في [مجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) من الحالات.