--- title: "كثيرات الحدود" book: "الرياضيات الجامعية — السنة 1" subject: math language: ar chapter: 8 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials --- # الفصل 8 — كثيرات الحدود كثيرات الحدود هي دوال الجبريّ المفضلة — إلا أنها لا تُعامَل هنا بوصفها دوالّ، بل بوصفها عبارات صورية في مجهول $X$، تُجمع وتُضرب بقواعد [حلقة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-ring) [تبديلية](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-group). وتجري النظرية موازيةً على نحو لافت لما في [الفصل 6](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/6-integer-arithmetic#ch-b1-arith): قسمة إقليدية، وقاسم مشترك أكبر وعلاقات بيزو، وعناصر لا تتجزأ ووحدانية التفكيك. وفي كل ما يلي، يرمز $K$ إلى $\Q$ أو $\R$ أو $\C$. ## 8.1 الحلقة $K[X]$ **تعريف 8.1 (كثير الحدود، الدرجة).** *كثير الحدود* ذو المعاملات في $K$ مجموعٌ صوريّ $$ P = a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + \dots + a_n X^n = \sum_{k} a_k X^k, $$ حيث $a_k \in K$ معدومة كلها ابتداءً من دليل ما. ومع الجمع الطبيعي والجداء $$ \Bigl(\sum_i a_i X^i\Bigr)\Bigl(\sum_j b_j X^j\Bigr) = \sum_k \Bigl(\sum_{i+j=k} a_i b_j\Bigr) X^k, $$ تكون [المجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $K[X]$ حلقةً [تبديلية](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-group). و*درجة* $\deg P$ لكثير الحدود $P \neq 0$ هي أكبر $n$ يحقق $a_n \neq 0$؛ ويكون $a_n$ *المعامل المهيمن* (ويكون $P$ *واحديًا* عندما $a_n = 1$)، ونصطلح على $\deg 0 = -\infty$. ويعرّف كل كثير حدود دالةً $x \mapsto P(x)$ على $K$ بالتعويض. **قضية 8.2 (قواعد الدرجة؛ الحلقة التامة).** من أجل $P, Q \in K[X]$: $$ \deg(P + Q) \leq \max(\deg P, \deg Q), \qquad \deg(PQ) = \deg P + \deg Q . $$ ومنه فإن $K[X]$ [حلقة تامة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-field)، وعناصرها القابلة للقلب هي الثوابت غير المعدومة. **برهان.** قاعدة المجموع بيّنة (فالمعاملات بعد الأكبر تنعدم). وأمّا الجداء، فليكن $a_m$ و $b_n$ المعاملين المهيمنين: يكون معامل $X^{m+n}$ في $PQ$ هو $a_m b_n \neq 0$ (فإن $K$ [حقل](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-field)، فهو إذن [حلقة تامة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-field))، وتنعدم كل المعاملات الأعلى. وإذا كان $P, Q \neq 0$ فإن $\deg PQ = \deg P + \deg Q \geq 0$، ومنه $PQ \neq 0$: أي [حلقة تامة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-field). وإذا كان $PQ = 1$ فإن $\deg P + \deg Q = 0$ يفرض $\deg P = \deg Q = 0$: فالعناصر القابلة للقلب هي الثوابت القابلة للقلب، أي كل $K^*$. ∎ **مبرهنة 8.3 (القسمة الإقليدية).** ليكن $A, B \in K[X]$ حيث $B \neq 0$. يوجد زوج واحد بالضبط $(Q, R)$ من كثيرات الحدود يحقق $$ A = BQ + R, \qquad \deg R < \deg B . $$ **برهان.** *الوجود*، بالاستقراء القوي على $\deg A$. إذا كان $\deg A < \deg B$ فخذ $(Q, R) = (0, A)$. وإلا فاكتب $A = a X^m + \dots$ و$B = b X^n + \dots$ مع $m \geq n$؛ فيكون [لكثير الحدود](#def-b1-poly-def) $A_1 = A - \frac ab X^{m-n} B$ درجةٌ $< m$ (إذ تختصر الحدود المهيمنة)، ومنه بالاستقراء $A_1 = BQ_1 + R$ مع $\deg R < \deg B$، و$A = B(Q_1 + \frac ab X^{m-n}) + R$. *الوحدانية*: إذا كان $BQ + R = BQ' + R'$ فإن $B(Q - Q') = R' - R$ مع $\deg(R' - R) < \deg B$؛ وبقاعدة الدرجة يفرض هذا $Q - Q' = 0$، ثم $R = R'$. ∎ **مثال 8.4.** اقسم $A = X^4 + X^3 - 2X + 1$ على $B = X^2 + 1$: $$ X^4 + X^3 - 2X + 1 = (X^2 + 1)(X^2 + X - 1) + (-3X + 2). $$ (والحساب: اطرح $X^2 B$، ثم $X B$، ثم $-B$؛ فالباقي $-3X + 2$ درجته $1 < 2$.) **طريقة 8.5 (خوارزمية هورنر).** لحساب قيمة $P = a_nX^n + \dots + a_0$ عند $x$، أو لقسمة $P$ على $X - x$، تجنّب حساب القوى: اقرأ المعاملات من اليسار إلى اليمين، وكرّر *اضرب في $x$ ثم أضف المعامل التالي*: $$ b_n = a_n, \qquad b_{k} = a_{k} + x\,b_{k+1} \quad (k = n-1, \dots, 0) . $$ عندئذ $b_0 = P(x)$، وتكون $b_k$ السابقة معاملات خارج القسمة: $P = (X - x)(b_nX^{n-1} + \dots + b_1) + b_0$ (انشر وقارن). مثال: $P = X^4 - 5X^3 + 6X^2 + 4X - 8$ عند $x = 2$: تكون قيم $b$ هي $1, -3, 0, 4, 0$، ومنه $P(2) = 0$ و$P = (X-2)(X^3 - 3X^2 + 4)$ — أي سطر واحد بدل قسمة طويلة، و $n$ عملية ضرب بدل $\approx n^2/2$ في الحساب الساذج. وتكرار الخوارزمية عند النقطة نفسها يستخرج التضاعفات (قارن [المثال 8.12](#ex-b1-poly-multexample)). **ملاحظة 8.6 (حساب الحلقة K[X]K[X]K[X]).** بامتلاك القسمة الإقليدية، ينتقل حساب [الفصل 6](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/6-integer-arithmetic#ch-b1-arith) كله إلى $K[X]$، بالبراهين نفسها، مع قيام الدرجة بدور القيمة المطلقة: [القاسم المشترك الأكبر](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/6-integer-arithmetic#thm-b1-arith-gcd) (مسوًّى ليكون [واحديًا](#def-b1-poly-def))، [وخوارزمية إقليدس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/6-integer-arithmetic#met-b1-arith-euclid) الممدَّدة، ومتطابقة بيزو، ومبرهنة غاوس المساعدة، وكثيرات الحدود التي لا تتجزأ ووحدانية التفكيك. ونستعمل هذه النتائج المنقولة بحرية، ويعيد [التمرين 8.6](#exo-b1-poly-6) إجراء إحداها. ## 8.2 الجذور **مبرهنة 8.7 (مبرهنة العامل).** ليكن $P \in K[X]$ و $a \in K$. باقي قسمة $P$ على $X - a$ هو الثابت $P(a)$. وبوجه خاص $$ P(a) = 0 \iff (X - a) \mid P . $$ وبعمومية أكبر، تعطي الجذور المتمايزة $a_1, \dots, a_r$ للعدد $P$ التعميلَ $P = (X - a_1)\cdots(X - a_r)\, Q$. **برهان.** اقسم: $P = (X - a) Q + R$ مع $\deg R < 1$، فيكون $R$ ثابتًا $c$؛ وبتعويض $X = a$ (فالتعويض يحترم المجاميع والجداءات) نجد $P(a) = c$. ومنه ينتج التكافؤ. وأمّا من أجل عدة جذور، فاستقرِ على $r$: فالحالة $r = 1$ هي التكافؤ المبرهن عليه للتوّ. ولنفترض [العبارة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-statement) صحيحة من أجل $r - 1$ جذرًا وليكن $a_1, \dots, a_r$ جذورًا متمايزة للعدد $P$. اكتب $P = (X - a_1)Q_1$؛ ومن أجل كل $i \geq 2$، بتعويض $a_i$: $$ 0 = P(a_i) = (a_i - a_1)\,Q_1(a_i), \qquad a_i - a_1 \neq 0 , $$ وبما أن $K$ بلا قواسم للصفر، يكون $Q_1(a_i) = 0$: فالنقاط المتمايزة $a_2, \dots, a_r$ التي عددها $r - 1$ جذورٌ للعدد $Q_1$. ويعمّل فرض الاستقراء $Q_1 = (X - a_2)\cdots(X - a_r)\,Q$، وبالتعويض من جديد نحصل على الدعوى. ∎ **نتيجة 8.8 (لكثير حدود من الدرجة nnn عدد جذور لا يفوق nnn).** [لكثير الحدود](#def-b1-poly-def) غير المعدوم $P \in K[X]$ من الدرجة $n$ عددُ جذور متمايزة في $K$ لا يفوق $n$. ومنه فإن [كثير الحدود](#def-b1-poly-def) (من الدرجة $\leq n$) الذي ينعدم عند $n + 1$ نقطة متمايزة هو [كثير الحدود](#def-b1-poly-def) المعدوم، وكثيرَي حدود من الدرجة $\leq n$ يتوافقان عند $n+1$ نقطة متساويان. **برهان.** إذا كانت $a_1, \dots, a_r$ جذورًا متمايزة فإن [المبرهنة 8.7](#thm-b1-poly-factor) يعطي $P = (X-a_1)\cdots(X-a_r) Q$، ومنه $n = \deg P \geq r$. وتنتج النتيجتان بالخلف وبأخذ الفرق. ∎ **مثال 8.9 (حيلة كثير الحدود المساعد).** ليكن $P$ [كثير الحدود](#def-b1-poly-def) من الدرجة $\leq n$ الذي يحقق $$ P(k) = \frac{k}{k+1} \qquad (k = 0, 1, \dots, n) ; $$ وهو موجود ووحيد [بمقايسة لاغرانج](#thm-b1-poly-lagrange) أدناه. فما $P(n+1)$؟ أزل المقامات: [فكثير الحدود](#def-b1-poly-def) $Q = (X+1)P - X$ درجته $\leq n + 1$ وينعدم عند النقاط $n + 1$ التي هي $0, 1, \dots, n$، ومنه حسب [المبرهنة 8.7](#thm-b1-poly-factor) $$ Q = c\,X(X-1)(X-2)\cdots(X-n) $$ من أجل ثابت $c$ ما. واحسب حيث يكون $Q$ معلومًا باستقلال: عند $X = -1$، $Q(-1) = 0 \cdot P(-1) + 1 = 1$، بينما يساوي الجداء $(-1)(-2)\cdots(-1-n) = (-1)^{n+1}(n+1)!$؛ ومنه $c = \frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}$. والآن احسب عند $X = n + 1$: $$ (n+2)\,P(n+1) - (n+1) = Q(n+1) = c\,(n+1)! = (-1)^{n+1} , $$ ومنه $P(n+1) = \dfrac{(n+1) + (-1)^{n+1}}{n+2}$: أي يساوي $1$ من أجل $n$ الفرديّ، و $\frac{n}{n+2}$ من أجل $n$ الزوجيّ — [فكثير الحدود](#def-b1-poly-def) المقايس *لا* يواصل النمط $\frac{n+1}{n+2}$. والحيلة الجديرة بالتذكر: رمّز المعطيات في صورة جذور [لكثير حدود](#def-b1-poly-def) مساعد، وعيّن الثابت المجهول عند نقطة خارج المعطيات، ثم اجنِ الثمار. **تعريف 8.10 (المشتقة، التضاعف).** *المشتقة الصورية* [لكثير الحدود](#def-b1-poly-def) $P = \sum a_k X^k$ هي $P' = \sum_{k \geq 1} k\,a_k X^{k-1}$؛ وهي تحقق القاعدتين المعتادتين $(P+Q)' = P' + Q'$ و $(PQ)' = P'Q + PQ'$ (ويُتحقَّق منهما على الحدّانيات ثم تُمدَّدان بالخطية). ويكون للجذر $a$ [لكثير الحدود](#def-b1-poly-def) $P$ *تضاعف* $m \geq 1$ عندما يكون $(X-a)^m \mid P$ و $(X-a)^{m+1} \nmid P$؛ ويكون الجذر *بسيطًا* إذا كان $m = 1$، و*مضاعفًا* إذا كان $m \geq 2$. **قضية 8.11 (التضاعف عبر المشتقات).** يكون $a$ جذرًا [لكثير الحدود](#def-b1-poly-def) $P$ تضاعفه $\geq m$ إذا وفقط إذا كان $$ P(a) = P'(a) = \dots = P^{(m-1)}(a) = 0 . $$ وبوجه خاص، يكون $a$ جذرًا مضاعفًا [لكثير الحدود](#def-b1-poly-def) $P$ إذا وفقط إذا كان $P(a) = P'(a) = 0$. **برهان.** اكتب $P = (X - a)^m Q + R$ حيث $R$ باقي القسمة على $(X-a)^m$ و $\deg R < m$. وباشتقاق $k \leq m - 1$ مرة ثم الحساب عند $a$: يسهم الحدّ الأول بالمقدار $0$ (فكل مشتقة تحتفظ بعامل $(X-a)$)، ومنه $P^{(k)}(a) = R^{(k)}(a)$. والآن، [كثير الحدود](#def-b1-poly-def) $R$ من الدرجة $< m$ محدَّد بالقيم $R(a), R'(a), \dots, R^{(m-1)}(a)$: فبكتابة $R = \sum_{k < m} c_k (X - a)^k$ (وهذا ممكن: انشر قوى $X = (X - a) + a$)، نجد $R^{(k)}(a) = k!\, c_k$. ومنه: تكون كل $P^{(k)}(a) = 0$ من أجل $k < m$ $\iff$ تكون كل $c_k = 0$ $\iff$ يكون $R = 0$ $\iff$ يكون $(X-a)^m \mid P$. ∎ **مثال 8.12 (حساب تضاعف).** ما [تضاعف الجذر](#def-b1-poly-derivative) $2$ في $P = X^4 - 5X^3 + 6X^2 + 4X - 8$؟ احسب المشتقات المتتالية عند $2$: $$ P(2) = 16 - 40 + 24 + 8 - 8 = 0, \qquad P'(2) = 32 - 60 + 24 + 4 = 0, $$ $$ P''(2) = 48 - 60 + 12 = 0, \qquad P'''(2) = 48 - 30 = 18 \neq 0 $$ (مع $P' = 4X^3 - 15X^2 + 12X + 4$ و$P'' = 12X^2 - 30X + 12$ و $P''' = 24X - 30$). ثلاث قيم معدومة ثم قيمة غير معدومة: أي [تضاعف](#def-b1-poly-derivative) يساوي $3$ بالضبط. وبالقسمة، $P = (X - 2)^3(X + 1)$ — ويُتحقَّق من ذلك بنشر $(X-2)^3 = X^3 - 6X^2 + 12X - 8$ و الضرب في $X + 1$. والفكرة النافذة: تُقرأ التضاعفات من *الحسابات*، دون حاجة إلى تعميل — وهذا بالضبط كيف نكشفها عندما يكون التعميل بعيد المنال. **مثال 8.13 (كشف الجذور المضاعفة بقاسم مشترك أكبر).** عندما لا يُعرف أيّ جذر، تظلّ [القضية 8.11](#prop-b1-poly-multiplicity) تعطي كاشفًا *إجماليًا* للجذور المضاعفة: فيكون $a$ جذرًا مضاعفًا للمقدار $P$ إذا وفقط إذا كان جذرًا مشتركًا للمقدار $P$ و $P'$، ومنه فلكثير الحدود $P$ جذر مضاعف (في $\C$) إذا وفقط إذا كان $\gcd(P, P') \neq 1$ — وهو قابل للحساب [بخوارزمية إقليدس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/6-integer-arithmetic#met-b1-arith-euclid) دون حلّ أيّ شيء. مثال: $P = X^3 - 3X + 2$ و$P' = 3X^2 - 3 = 3(X - 1)(X + 1)$. وبتجريب جذرَي $P'$ اللذين هما $\pm1$ داخل $P$: $P(1) = 0$ لكن $P(-1) = 4$، ومنه $$ \gcd(P, P') = X - 1 : $$ فالجذر $1$ مضاعف؛ وبالقسمة مرتين، $P = (X - 1)^2(X + 2)$. بل إن [القاسم المشترك الأكبر](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/6-integer-arithmetic#thm-b1-arith-gcd) يفيد [بمجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) الجذور المضاعفة كاملةً، كلٌّ منها [بتضاعف](#def-b1-poly-derivative) منقوص بواحد — وهي الواقعة التي يستثمرها كل نظام جبر حاسوبي «للتعميل الخالي من المربعات» قبل أيّ مطاردة للجذور، وهي التوأم الكثيرحدودي لحجج [التمرين 8.9](#exo-b1-poly-9) في نفي الجذور المضاعفة. **مبرهنة 8.14 (المبرهنة الأساسية في الجبر).** لكل [كثير حدود](#def-b1-poly-def) غير ثابت من $\C[X]$ جذرٌ في $\C$. **برهان.** *نقبله في هذا المستوى.* ∎ **ملاحظة 8.15.** رغم اسمها، المبرهنة عبارةُ *تحليل*: فكل برهان معروف لها يستعمل تمام $\R$ في صورة ما، ولا يكون أيٌّ منها جبريًا خالصًا — والبرهان الأمين يُعطى في مجلد السنة 3، بمجرد أن يتوفر التكامل العقدي أو حجج التراص. أمّا ما يبرهن عليه هذا الفصل حقًّا فهو *الردّ*: فبمنح جذر واحد لكل [كثير حدود](#def-b1-poly-def) غير ثابت، ينتج التعميلان الكاملان فوق $\C$ و $\R$ أدناه بالجبر الخالص. **نتيجة 8.16 (التعميل فوق C\CC وفوق R\RR).** 1. كل $P \in \C[X]$ غير معدوم يُعمَّل هكذا $$P = c\, (X - a_1)^{m_1} \cdots (X - a_r)^{m_r},$$ حيث $c$ المعامل المهيمن و $a_i$ الجذور العقدية المتمايزة و $\sum m_i = \deg P$: *أي أن [لكثير حدود](#def-b1-poly-def) من الدرجة $n$، بالعدّ مع [التضاعف](#def-b1-poly-derivative)، $n$ جذرًا عقديًا بالضبط*. 2. كل $P \in \R[X]$ غير معدوم يُعمَّل فوق $\R$ هكذا $$P = c \prod_i (X - a_i)^{m_i} \prod_j (X^2 + p_j X + q_j)^{n_j},$$ وتكون العوامل من الدرجة الثانية متمايزة مع $p_j^2 - 4q_j < 0$ (أي بلا جذور حقيقية). **برهان.** (1) بالاستقراء على الدرجة، بفصل جذر في كل مرة حسب [المبرهنة 8.7](#thm-b1-poly-factor)؛ ويتطابق عدّ الدرجات في كل خطوة. (2) ليكن [لكثير الحدود](#def-b1-poly-def) $P$ معاملات حقيقية. إذا كان $z$ جذرًا عقديًا تضاعفه $m$، فكذلك $\conj z$: إذ إن مرافقة $P(z) = 0$ تعطي $P(\conj z) = \conj{P(z)} = 0$ (فالمعاملات مرافقات أنفسها)، والأمر نفسه ينطبق على المشتقات ([القضية 8.11](#prop-b1-poly-multiplicity)). وبتجميع الجذور غير الحقيقية في أزواج مترافقة، يسهم كل زوج بالمقدار $$ (X - z)(X - \conj z) = X^2 - 2\Re(z)\, X + \abs z^2 , $$ وهو [كثير حدود](#def-b1-poly-def) حقيقي من الدرجة الثانية بمميّز سالب. وتسهم الجذور الحقيقية بالعوامل من الدرجة الأولى. ∎ **مثال 8.17.** عُمِّل $X^4 + 4$ فوق $\R$ في [التمرين 3.5](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/3-complex-numbers#exo-b1-complex-5) بازدواج الجذور العقدية الأربعة $\pm 1 \pm \iu$: $X^4 + 4 = (X^2 - 2X + 2)(X^2 + 2X + 2)$. ولا ينشقّ أيٌّ من كثيرَي الحدود من الدرجة الثانية فوق $\R$ (فمميّزاهما $-4$). ولاحظ: أن [كثير الحدود](#def-b1-poly-def) الحقيقي *الذي لا يتجزأ* درجته $1$ أو $2$ — وهذا بالضبط ما تقوله مبرهنة التعميل. وبإجراء ازدواج المرافقات نفسه على $X^4 + 1$، وجذوره $\eu^{\pm\iu\pi/4}$ و $\eu^{\pm3\iu\pi/4}$: يسهم كل زوج بالمقدار $X^2 - 2\cos\theta\,X + 1$، ومنه $$ X^4 + 1 = \bigl(X^2 - \sqrt2\,X + 1\bigr) \bigl(X^2 + \sqrt2\,X + 1\bigr) , $$ وهي متطابقة غير مرئية لمحاولات التعميل الساذجة فوق $\Q$ — وهي ثمن الإصرار على معاملات حقيقية (بل صمّاء هنا)، ومدخل معياريّ لمكاملة $\frac1{x^4 + 1}$ في [الفصل 15](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/15-integration-on-a-segment#ch-b1-integration). ![كثير حدود تشيبيشيف T_5 = 16X5 - 20X3 + 5X على ∈tcc-11: فهو يتذبذب بين -1 و 1 بالضبط، ملامسًا الحاصرين عند ستّ نقاط (مؤشَّرة). وهذا التذبذب المتساوي هو ما يجعل 2-4T_5 كثير الحدود الواحديّ من الدرجة الخامسة الأصغر معيارًا أعلى على المجال ( ومسألة نهاية الأسبوع).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-poly/fig-ce798e953ef6.svg) *[كثير حدود](#def-b1-poly-def) تشيبيشيف $T_5 = 16X^5 - 20X^3 + 5X$ على $\intcc{-1}1$: فهو يتذبذب بين $-1$ و $1$ بالضبط، ملامسًا الحاصرين عند ستّ نقاط (مؤشَّرة). وهذا *التذبذب المتساوي* هو ما يجعل $2^{-4}T_5$ [كثير الحدود](#def-b1-poly-def) الواحديّ من الدرجة الخامسة الأصغر معيارًا أعلى على المجال ([التمرين 8.10](#exo-b1-poly-10) ومسألة نهاية الأسبوع).* **ملاحظة 8.18 (مزالق شائعة مع كثيرات الحدود).** 1. *[كثير الحدود](#def-b1-poly-def) في مقابل الدالة.* فوق $K = \Q, \R, \C$ يتطابق المفهومان (فالدالتان المتساويتان لهما المعاملات نفسها، حسب [النتيجة 8.8](#cor-b1-poly-nroots) ولكون $K$ لا نهائية)، لكن [كثير الحدود](#def-b1-poly-def) مفهوميًا هو قائمة معاملاته: ففوق [الحقل](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-field) ذي العنصرين $\Z/2\Z$ في [الفصل 7](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/7-algebraic-structures#ch-b1-structures) ، ينعدم $X^2 + X$ عند النقطتين، ومع ذلك ليس [كثير الحدود](#def-b1-poly-def) المعدوم. 2. *الدرجات عند الجمع.* قد تهبط $\deg(P + Q)$ دون $\max(\deg P, \deg Q)$ عندما تختصر الحدود المهيمنة؛ فكتابة « $\deg(P + Q) = \max(\dots)$ » لا تسلم إلا من أجل درجتين متمايزتين. 3. *عدّ الجذور عدًّا صحيحًا.* [عبارة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-statement) « $n$ جذرًا» في [النتيجة 8.16](#cor-b1-poly-factorization) تعني *مع [التضاعف](#def-b1-poly-derivative)، في $\C$* : فللمقدار $X^2 + 1$ لا جذور حقيقية، و للمقدار $(X-1)^2$ جذر متمايز واحد لكن جذران مع [التضاعف](#def-b1-poly-derivative) . والعبارات التي تخلط بين العدّات الثلاث أشيع مصادر البراهين الخاطئة. 4. *عدم التجزؤ يتعلق [بالحقل](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-field).* فإن $X^2 - 2$ لا يتجزأ فوق $\Q$ ، وينشقّ فوق $\R$ ؛ و $X^2 + 1$ لا يتجزأ فوق $\R$ ، وينشقّ فوق $\C$ . فكلمة «لا يتجزأ» وحدها لا تعني شيئًا حتى يُسمّى [حقل](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-field) المعاملات. ## 8.3 المعاملات والجذور **مبرهنة 8.19 (صيغ فييت).** ليكن $P = X^n + c_{n-1} X^{n-1} + \dots + c_0$ [واحديًا](#def-b1-poly-def) وجذوره $a_1, \dots, a_n \in \C$ (مع [التضاعف](#def-b1-poly-derivative)). عندئذ $$ \sum_i a_i = -c_{n-1}, \qquad \sum_{i < j} a_i a_j = c_{n-2}, \qquad \dots, \qquad a_1 a_2 \cdots a_n = (-1)^n c_0 , $$ وتكون الدالة المتناظرة ذات الرتبة $k$ للجذور مساويةً $(-1)^k c_{n-k}$. **برهان.** حسب [النتيجة 8.16](#cor-b1-poly-factorization)، $P = (X - a_1)\cdots(X - a_n)$ (فهو واحديّ وكل الجذور مسرودة). ونشر الجداء توزيعيًا يُنتج حدًّا واحدًا لكل طريقة لاختيار، في كل عامل، إمّا $X$ وإمّا حدّ الجذر $-a_i$: فاختيار الجذور في العوامل المفهرسة بالمقدار $i_1 < \dots < i_k$ واختيار $X$ في العوامل $n - k$ الأخرى يسهم بالمقدار $(-a_{i_1})\cdots(-a_{i_k})\,X^{n-k}$. وبالتجميع بحسب قوة $X$: $$ P = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \Bigl(\sum_{i_1 < \dots < i_k} a_{i_1}\cdots a_{i_k}\Bigr) X^{n-k} , $$ وبالمطابقة مع $P = \sum_k c_{n-k}X^{n-k}$ (فالمعاملات وحيدة، [التعريف 8.1](#def-b1-poly-def)) نجد $c_{n-k} = (-1)^k \sigma_k$، أي $\sigma_k = (-1)^kc_{n-k}$، حيث يرمز $\sigma_k$ إلى الدالة المتناظرة ذات الرتبة $k$ المعروضة أعلاه. والحالات الثلاث المعروضة هي $k = 1$ و $k = 2$ و $k = n$. ∎ **مثال 8.20.** من أجل المعادلة من الدرجة الثانية $X^2 - sX + p$: مجموع الجذرين $s$ وجداؤهما $p$ — وقد استُعمل ذلك مرارًا ([التمرين 3.8](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/3-complex-numbers#exo-b1-complex-8)). ومن أجل [كثير حدود](#def-b1-poly-def) واحديّ من الدرجة الثالثة $X^3 + aX^2 + bX + c$ جذوره $\alpha, \beta, \gamma$: $$ \alpha + \beta + \gamma = -a, \quad \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = b, \quad \alpha\beta\gamma = -c , $$ وهذا يتيح حساب مقادير متناظرة مثل $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = a^2 - 2b$ دون حلّ. **مثال 8.21 (تحويل الجذور دون إيجادها).** ليكن $\alpha, \beta$ جذرَي $X^2 - 3X + 1$. فأيّ [كثير حدود](#def-b1-poly-def) واحديّ من الدرجة الثانية جذراه $\alpha^2, \beta^2$؟ حسب صيغ فييت، $\alpha + \beta = 3$ و $\alpha\beta = 1$، ومنه $$ \alpha^2 + \beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta = 7, \qquad \alpha^2\beta^2 = (\alpha\beta)^2 = 1 : $$ فالجواب هو $X^2 - 7X + 1$ — وقد حُصل عليه دون حساب $\alpha = \frac{3 + \sqrt5}2$. (وللتحقق: $\alpha^2 = \frac{7 + 3\sqrt5}2$ وبالفعل $\alpha^2 + \beta^2 = 7$.) والاستراتيجية نفسها تعالج المقلوبات (التحويلات من نمط $X^2 - \frac ba X + \frac ca$) والانسحابات وأيّ معطيات متناظرة: فصيغ فييت تحوّل الأسئلة عن الجذور *المجهولة* إلى جبر على المعاملات *المعلومة*. وستفيد باستمرار عندما تكون الجذور قيمًا ذاتية ([الفصل 22](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/22-determinants-and-linear-systems#ch-b1-det)). **مثال 8.22 (المعادلات الطردية العكسية).** حُلَّ $X^4 + X^3 - 4X^2 + X + 1 = 0$. المعاملات تُقرأ كما هي في الاتجاهين، ومنه فإن $0$ ليس جذرًا والقسمة على $X^2$ لا تفقد أيّ حلّ: $$ X^2 + X - 4 + \frac1X + \frac1{X^2} = 0 . $$ ضع $y = X + \frac1X$: عندئذ $X^2 + \frac1{X^2} = y^2 - 2$، و تنهار المعادلة إلى $$ y^2 + y - 6 = 0 \iff (y + 3)(y - 2) = 0 . $$ وافتح كل قيمة عبر $X^2 - yX + 1 = 0$: فمن أجل $y = 2$، تعطي $X^2 - 2X + 1 = (X - 1)^2$ الجذرَ المضاعف $1$؛ ومن أجل $y = -3$، تعطي $X^2 + 3X + 1 = 0$ الجذرين $X = \frac{-3 \pm \sqrt5}2$. أي أربعة جذور مع [التضاعف](#def-b1-poly-derivative) من أجل معادلة من الدرجة الرابعة، كما تقتضيه [النتيجة 8.16](#cor-b1-poly-factorization) — وقد حُصل عليها بحلّ معادلتين من الدرجة الثانية. والحيلة تشمل كل [كثير حدود](#def-b1-poly-def) *طرديّ عكسيّ*: فجذوره تأتي في أزواج مقلوبة $\{x, 1/x\}$ (عوّض $X$ بالمقدار $1/X$ وأزل المقامات)، والمقدار $y = X + \frac1X$ هو بالضبط المقدار الثابت على أزواج كهذه، فينصّف الدرجة. **مبرهنة 8.23 (مقايسة لاغرانج).** لتكن $x_0, \dots, x_n$ نقاطًا متمايزة من $K$ ولتكن $y_0, \dots, y_n \in K$. يوجد $P \in K[X]$ واحد بالضبط من الدرجة $\leq n$ يحقق $P(x_i) = y_i$ لكل $i$، وهو $$ P = \sum_{i=0}^{n} y_i\, L_i, \qquad L_i = \prod_{j \neq i} \frac{X - x_j}{x_i - x_j} . $$ **برهان.** لكل $L_i$ درجةٌ $n$ ويحقق $L_i(x_i) = 1$ و$L_i(x_j) = 0$ من أجل $j \neq i$ (إذ ينعدم كل عامل عند $x_j$ المقابل). ومنه فإن $P$ المعروض درجته $\leq n$ ويقايس. وأمّا الوحدانية: فكثيرا حدود مقايسين من الدرجة $\leq n$ يتوافقان عند النقاط $n+1$ التي هي $x_i$، فهما إذن متساويان ([النتيجة 8.8](#cor-b1-poly-nroots)). ∎ **ملاحظة 8.24 (استراحة: كثيرات الحدود متجهات كذلك).** تغييرُ منظور سيجعله [الفصل 18](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/18-vector-spaces#ch-b1-vspaces) رسميًا: كثيرات الحدود من الدرجة $\leq n$ تكوّن فضاءً يسلك فيه الجمع والضرب السلّمي سلوك الإحداثيات تمامًا — [فكثير الحدود](#def-b1-poly-def) *هو* قائمة معاملاته $n + 1$. وثلاث عبارات من هذا الفصل هي جبر خطيّ مستتر. [فمقايسة لاغرانج](#thm-b1-poly-lagrange) ([المبرهنة 8.23](#thm-b1-poly-lagrange)) تقول إن معطيات الحساب $(P(x_0), \dots, P(x_n))$ تحدّد $P$ تحديدًا وحيدًا: فالحساب عند $n + 1$ نقطة تقابلٌ خطيّ، وتكون $L_i$ الأساس المكيَّف له. والنشر $R = \sum c_k(X - a)^k$ في برهان [القضية 8.11](#prop-b1-poly-multiplicity) يقول إن قوى $(X - a)$ تكوّن نسق إحداثيات آخر، مع $c_k = R^{(k)}(a)/k!$ إحداثيات. و [النتيجة 8.8](#cor-b1-poly-nroots) — أي أن جذورًا أكثر من الدرجة تفرض [كثير الحدود](#def-b1-poly-def) المعدوم — هي محرك كل وحدانية: وستصير «[تطبيق](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) خطيّ متباين على فضاء بُعده $n + 1$» في [الفصل 19](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/19-finite-dimension#ch-b1-findim). وعندما تأتي تلك الفصول، سيكون الفضاء $K_n[X]$ مثالها المفضل؛ ويجدر بلوغها متقنًا له سلفًا. **ملاحظة 8.25 (أين يُستعمل هذا الفصل).** التعميل فوق $\R$ و $\C$ ([النتيجة 8.16](#cor-b1-poly-factorization)) هو محرك الكسور الجزئية في [الفصل 9](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/9-rational-fractions#ch-b1-fractions)، ومنه محرك صنف واسع من التكاملات في [الفصل 15](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/15-integration-on-a-segment#ch-b1-integration). ونشر [كثير الحدود](#def-b1-poly-def) بقوى $(X - a)$، الذي قوبل في برهان [القضية 8.11](#prop-b1-poly-multiplicity)، هو الظلّ الجبري لصيغ تايلور في [الفصل 16](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/16-taylor-formulas-and-asymptotic-expansions#ch-b1-taylor). وقد ظهرت كثيرات الحدود المميِّزة سلفًا من أجل المعادلات التفاضلية ([الفصل 5](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/5-linear-differential-equations#ch-b1-diffeq)) وتعود من أجل المصفوفات في [الفصل 22](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/22-determinants-and-linear-systems#ch-b1-det)؛ [ومقايسة لاغرانج](#thm-b1-poly-lagrange) هي أول مبرهنة وجود ووحدانية في التحليل العددي، وتقول [كثيرات حدود تشيبيشيف](#pb-b1-poly-1) في [التمرين 8.10](#exo-b1-poly-10) — التي ترسي مسألة نهاية الأسبوع أدناه أمثليتها — لذلك الاختصاص *أين* يقايس. وأخيرًا فإن حساب $K[X]$ كله، المنسوخ من [الفصل 6](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/6-integer-arithmetic#ch-b1-arith)، يغذّي دراسة مثاليات $K[X]$ وحلقات القسمة في مجلد السنة 2. ## 8.4 تمارين **تمرين 8.1 ★.** أجرِ القسمتين الإقليديتين: $X^5 - 1$ على $X^2 + X + 1$؛ ثم $2X^4 + X^3 - X + 3$ على $X^2 - 2$. **حل التمرين 8.1.** $X^5 - 1 = (X^2 + X + 1)(X^3 - X^2 + 1) + (-X - 2)$. والخطوات: اطرح $X^3 B$، ثم $-X^2 B$، ثم $B$؛ فالباقي $-X - 2$ درجته $1 < 2$. *وللتحقق عند $X = 1$:* $\;0 = 3 \times 1 + (-3)$. $2X^4 + X^3 - X + 3 = (X^2 - 2)(2X^2 + X + 4) + (X + 11)$. *وللتحقق عند $X = 0$:* $\;3 = (-2)(4) + 11$. **تمرين 8.2 ★.** من أجل أيّ $n \in \N$ [يقسم](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/6-integer-arithmetic#def-b1-arith-divides) $X^2 + X + 1$ المقدارَ $X^{2n} + X^n + 1$؟ *إرشاد: جذرا $X^2 + X + 1$ هما $j$ و $j^2$ حيث $j = \eu^{2\iu\pi/3}$؛ وناقش $n$ بترديد $3$.* **حل التمرين 8.2.** $X^2 + X + 1 = (X - j)(X - j^2)$ حيث $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ و$j^3 = 1$. وهو [يقسم](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/6-integer-arithmetic#def-b1-arith-divides) $Q_n = X^{2n} + X^n + 1$ إذا وفقط إذا كان $j$ و $j^2$ جذرين للمقدار $Q_n$؛ وبما أن معاملات $Q_n$ حقيقية، فإن $Q_n(j^2) = \conj{Q_n(j)}$، ومنه فالشرط هو $Q_n(j) = 0$ لا غير. والآن يتعلق $Q_n(j) = j^{2n} + j^n + 1$ بقيمة $n$ بترديد $3$: - $n \equiv 0$ : $Q_n(j) = 1 + 1 + 1 = 3 \neq 0$ ؛ - $n \equiv 1$ : $Q_n(j) = j^2 + j + 1 = 0$ ؛ - $n \equiv 2$ : $Q_n(j) = j^4 + j^2 + 1 = j + j^2 + 1 = 0$ . ومنه $X^2 + X + 1 \mid X^{2n} + X^n + 1$ تحديدًا عندما $3 \nmid n$. **تمرين 8.3 ★.** عيّن العددين الحقيقيين $a, b$ بحيث [يقسم](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/6-integer-arithmetic#def-b1-arith-divides) $(X-1)^2$ المقدارَ $P = X^4 + aX^3 + bX^2 + 1$، ثم عمّل $P$ فوق $\R$ من أجل هاتين القيمتين. **حل التمرين 8.3.** حسب [القضية 8.11](#prop-b1-poly-multiplicity)، يكون $(X-1)^2 \mid P$ إذا وفقط إذا كان $P(1) = P'(1) = 0$: $$ P(1) = 2 + a + b = 0, \qquad P'(1) = 4 + 3a + 2b = 0 . $$ وبالحلّ: $b = -a - 2$ و$4 + 3a - 2a - 4 = a = 0$، ومنه $a = 0$ و$b = -2$: أي $P = X^4 - 2X^2 + 1 = (X^2 - 1)^2 = (X-1)^2 (X+1)^2$، وهو التعميل الحقيقي. **تمرين 8.4 ★.** عمّل فوق $\C$ وفوق $\R$: $X^3 - 1$؛ و $\;X^4 + X^2 + 1$؛ و $\;X^6 - 1$. **حل التمرين 8.4.** $X^3 - 1 = (X - 1)(X - j)(X - j^2)$ فوق $\C$ (حيث $j = \eu^{2\iu\pi/3}$)، و $(X - 1)(X^2 + X + 1)$ فوق $\R$. $X^4 + X^2 + 1 = (X^2 + X + 1)(X^2 - X + 1)$ فوق $\R$ (انشر الجداء، أو لاحظ $X^4 + X^2 + 1 = (X^2+1)^2 - X^2$)؛ وفوق $\C$ ينشقّ كل [كثير حدود](#def-b1-poly-def) من الدرجة الثانية: فالجذور $j, j^2$ و $-j, -j^2$، أي $\eu^{\pm 2\iu\pi/3}, \eu^{\pm\iu\pi/3}$. $X^6 - 1 = \prod_{k=0}^{5} (X - \eu^{\iu k\pi/3})$ فوق $\C$، وفوق $\R$: $$ X^6 - 1 = (X-1)(X+1)(X^2 + X + 1)(X^2 - X + 1), $$ بتجميع الزوجين المترافقين $\eu^{\pm 2\iu\pi/3}$ و$\eu^{\pm \iu\pi/3}$. **تمرين 8.5 ★★.** لتكن $P = X^3 - 6X^2 + 11X - 6$. 1. جد الجذور الناطقة *(فالجذر الناطق $p/q$ في أبسط صورة [لكثير حدود](#def-b1-poly-def) صحيح واحديّ عددٌ صحيح [يقسم](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/6-integer-arithmetic#def-b1-arith-divides) الحدّ الثابت — فبرهن على ذلك)* ، وعمّل $P$ . 2. دون حلّ، احسب مجموع مربعات الجذور ومجموع مقلوباتها بصيغ فييت، وتحقق من ذلك على التعميل. **حل التمرين 8.5.** 1. ليكن $p/q$ (في أبسط صورة) جذرًا [لكثير الحدود](#def-b1-poly-def) الصحيح الواحديّ $X^3 + \dots + c_0$ : فبإزالة المقامات في $P(p/q) = 0$ نجد $p^3 = -q\,(\text{عدد صحيح})$ ، ومنه $q \mid p^3$ ؛ وتفرض الأولية فيما بينهما أن $q = \pm 1$ : فالجذر عدد صحيح $p$ ، و $p \mid c_0$ (بعزل $c_0$ ). وهنا تقسم المرشحات العددَ $6$ : وبالتجريب، $P(1) = 0$ و $P(2) = 0$ و $P(3) = 0$ . ومنه $P = (X-1)(X-2)(X-3)$ . 2. بصيغ فييت: $s_1 = 6$ و $s_2 = 11$ و $s_3 = 6$ . ومجموع المربعات: $s_1^2 - 2s_2 = 36 - 22 = 14 = 1 + 4 + 9$ ، كما هو متوقع. ومجموع المقلوبات: $\frac{s_2}{s_3} = \frac{11}{6} = 1 + \frac12 + \frac13$ ، كما هو متوقع. **تمرين 8.6 ★★.** احسب $\gcd(X^4 - 1,\; X^3 - X^2 + X - 1)$ [بخوارزمية إقليدس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/6-integer-arithmetic#met-b1-arith-euclid)، واكتبه في صورة تركيبة $AU + BV$ لكثيرَي الحدود. **حل التمرين 8.6.** خطوة القسمة الأولى في [خوارزمية إقليدس](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/6-integer-arithmetic#met-b1-arith-euclid): $$ (X + 1)(X^3 - X^2 + X - 1) = X^4 - X^3 + X^2 - X + X^3 - X^2 + X - 1 = X^4 - 1 , $$ ومنه فإن قسمة $X^4 - 1$ على $X^3 - X^2 + X - 1$ مضبوطة (خارج القسمة $X + 1$ والباقي $0$)، وتتوقف الخوارزمية فورًا: $$ \gcd(X^4 - 1,\; X^3 - X^2 + X - 1) = X^3 - X^2 + X - 1 $$ (وهو واحديّ أصلًا). وعلاقة بيزو هي البديهية: $\gcd = 0 \cdot (X^4 - 1) + 1 \cdot (X^3 - X^2 + X - 1)$. وللتحقق من الاتساق بالتعميل: $X^3 - X^2 + X - 1 = (X - 1)(X^2 + 1)$، وهو بالفعل جداء العوامل المشتركة التي لا تتجزأ للمقدارين $X^4 - 1 = (X-1)(X+1)(X^2+1)$. **تمرين 8.7 ★★.** ليكن $P \in \R[X]$ حيث $P(x) \geq 0$ لكل $x \in \R$. برهن على أن $P$ مجموع مربعَي كثيرَي حدود حقيقيين: $P = A^2 + B^2$. *إرشاد: في التعميل الحقيقي، تكون تضاعفات الجذور الحقيقية زوجية؛ فاكتب العوامل من الدرجة الثانية على الصورة $(X - z)(X - \conj z)$ واستعمل $\abs{\,\cdot\,}^2 = (\Re)^2 + (\Im)^2$ على جداء المقادير $(X - z)$.* **حل التمرين 8.7.** بما أن $P \geq 0$ على $\R$، تكون تضاعفات جذوره الحقيقية زوجية (إذ تتغير إشارة $P$ عند جذر تضاعفه فرديّ). وباستعمال [النتيجة 8.16](#cor-b1-poly-factorization) وبالازدواج، اكتب $$ P = c \prod_i (X - a_i)^{2k_i} \prod_j \bigl((X - z_j)(X - \conj z_j)\bigr)^{n_j}, $$ حيث $c > 0$ (من السلوك عند $+\infty$). ولتكن $$ S = \sqrt c\, \prod_i (X - a_i)^{k_i} \prod_j (X - z_j)^{n_j} \in \C[X], $$ بحيث يكون $P = S\,\conj S$ حيث [لكثير الحدود](#def-b1-poly-def) $\conj S$ المعاملات المرافقة. وافصل $S = A + \iu B$ حيث $A, B \in \R[X]$: عندئذ $$ P = (A + \iu B)(A - \iu B) = A^2 + B^2 . $$ **تمرين 8.8 ★★.** جد [كثير الحدود](#def-b1-poly-def) $P$ من الدرجة $\leq 2$ الذي يحقق $P(0) = 1$ و$P(1) = 3$ و $P(2) = 2$، أولًا بصيغة لاغرانج، ثم بحلّ الجملة الخطية على المعاملات. وتحقق من [توافق](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/6-integer-arithmetic#def-b1-arith-congruence) الجوابين. **حل التمرين 8.8.** [بمقايسة لاغرانج](#thm-b1-poly-lagrange) ([المبرهنة 8.23](#thm-b1-poly-lagrange)) بالعقد $0, 1, 2$: $$ P = 1\cdot\frac{(X-1)(X-2)}{(0-1)(0-2)} + 3\cdot\frac{X(X-2)}{1\cdot(1-2)} + 2\cdot\frac{X(X-1)}{2\cdot 1} = \frac{(X-1)(X-2)}{2} - 3X(X-2) + X(X-1). $$ وبالنشر: $\frac{X^2 - 3X + 2}{2} - 3X^2 + 6X + X^2 - X = -\frac{3}{2}X^2 + \frac{7}{2}X + 1$. وبالجملة: $P = aX^2 + bX + c$ مع $c = 1$؛ و $a + b + 1 = 3$؛ و$4a + 2b + 1 = 2$. وبطرح ضعف الثانية من الثالثة: $2a - 1 = -4$، ومنه $a = -\frac32$ و $b = \frac72$. وهو [كثير الحدود](#def-b1-poly-def) نفسه: $P = -\frac32 X^2 + \frac72 X + 1$. (وللتحقق $P(2) = -6 + 7 + 1 = 2$.) **تمرين 8.9 ★★.** برهن على أن [لكثير الحدود](#def-b1-poly-def) $P = X^{2n+1} - 1$ جذرًا حقيقيًا واحدًا بالضبط، وعلى أنه من أجل كل $n \geq 1$ لا يكون [لكثير الحدود](#def-b1-poly-def) $1 + X + \frac{X^2}{2!} + \dots + \frac{X^n}{n!}$ جذر مضاعف *(قارن $P$ مع $P'$)*. **حل التمرين 8.9.** $P = X^{2n+1} - 1$: لدينا $P' = (2n+1)X^{2n} \geq 0$، ومنه فالدالة الكثيرةُ الحدود متزايدة (تمامًا فيما عدا $0$)، ونهايتاها $\mp\infty$: فهي تنعدم مرة واحدة بالضبط على $\R$ (عند $x = 1$). ولتكن $E_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{X^k}{k!}$. عندئذ $E_n' = E_{n-1} = E_n - \frac{X^n}{n!}$. والجذر المضاعف $a$ يحقق $E_n(a) = E_n'(a) = 0$ ([القضية 8.11](#prop-b1-poly-multiplicity))، ومنه $\frac{a^n}{n!} = E_n(a) - E_n'(a) = 0$، فيكون $a = 0$؛ لكن $E_n(0) = 1 \neq 0$. فلا جذر مضاعف. **تمرين 8.10 ★★★.** ([كثيرات حدود تشيبيشيف](#pb-b1-poly-1)) عرّف $T_0 = 1$ و $T_1 = X$ و$T_{n+1} = 2X\,T_n - T_{n-1}$. 1. برهن بالاستقراء على أن $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ من أجل كل $\theta$ . 2. استنتج جذور $T_n$ التي عددها $n$ ومعامله المهيمن. 3. برهن على أن $\sup_{x \in \intcc{-1}{1}} \abs{T_n(x)} = 1$ ، وأنه يُبلغ عند $n + 1$ نقطة من $\intcc{-1}{1}$ . **حل التمرين 8.10.** 1. بالاستقراء (وتتحقق حالتا البداية). وباستعمال $\cos(n+1)\theta + \cos(n-1)\theta = 2\cos\theta\cos n\theta$: $$T_{n+1}(\cos\theta) = 2\cos\theta \cos n\theta - \cos(n-1)\theta = \cos(n+1)\theta .$$ 2. يكون $T_n(\cos\theta) = 0$ إذا وفقط إذا كان $n\theta \equiv \frac\pi2 \pmod \pi$: فالأعداد $$x_k = \cos\Bigl(\frac{(2k+1)\pi}{2n}\Bigr), \qquad k = 0, 1, \dots, n-1,$$ هي $n$ نقطة متمايزة من $\intoo{-1}{1}$ (إذ تقع الزوايا في $\intoo{0}{\pi}$ حيث يكون $\cos$ [متباينًا](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj))، وكلها جذور للمقدار $T_n$؛ وبما أن $\deg T_n = n$ (من التراجع، مع معامل مهيمن $2^{n-1}$ من أجل $n \geq 1$، بالاستقراء)، فهذه *كل* الجذور، وكلٌّ منها بسيط. 3. من أجل $x = \cos\theta \in \intcc{-1}{1}$ : $\abs{T_n(x)} = \abs{\cos n\theta} \leq 1$ ، مع التساوي إذا وفقط إذا كان $n\theta \equiv 0 \pmod\pi$ ، أي عند النقاط $n+1$ التي هي $y_k = \cos\frac{k\pi}{n}$ حيث $k = 0, \dots, n$ ، حيث $T_n(y_k) = (-1)^k$ . (وهذا التذبذب المتساوي هو ما يجعل $2^{1-n}T_n$ [كثير الحدود](#def-b1-poly-def) الواحديّ من الدرجة $n$ الأصغر معيارًا أعلى على $\intcc{-1}{1}$ — وهو مبرهن عليه في مسألة نهاية الأسبوع من هذا الفصل.) **تمرين 8.11 ★★★.** ليكن $P \in \C[X]$ غير ثابت وجذوره المتمايزة $a_1, \dots, a_r$ (بتضاعفات $m_1, \dots, m_r$). برهن على متطابقة الكسور الناطقة $$ \frac{P'(X)}{P(X)} = \sum_{i=1}^{r} \frac{m_i}{X - a_i}, $$ واستنتج مبرهنة غاوس–لوكاس: أن كل جذر للمقدار $P'$ يقع في المحدَّب المولَّد بجذور $P$ *(احسب المتطابقة عند جذر $w$ للمقدار $P'$ ليس جذرًا للمقدار $P$، وخذ المرافقات، ثم اقرأ النتيجة بوصف $w$ متوسطًا موزونًا للأعداد $a_i$)*. **حل التمرين 8.11.** اكتب $P = c\prod_i (X - a_i)^{m_i}$. وتعطي قاعدة الجداء (ممدَّدةً إلى عدة عوامل) $$ P' = c\sum_{i} m_i (X - a_i)^{m_i - 1} \prod_{k \neq i} (X - a_k)^{m_k}, $$ وبالقسمة على $P$: $\frac{P'}{P} = \sum_i \frac{m_i}{X - a_i}$ (بوصفها كسورًا ناطقة، أي بعيدًا عن الجذور). وليكن $w$ جذرًا للمقدار $P'$. فإذا كان $w$ أحد الأعداد $a_i$ وقع في المحدَّب المولَّد بداهةً. وإلا فبالحساب عند $w$: $$ 0 = \sum_i \frac{m_i}{w - a_i} = \sum_i m_i\, \frac{\conj w - \conj a_i}{\abs{w - a_i}^2} . $$ وبالمرافقة: $\sum_i \lambda_i (w - a_i) = 0$ حيث $\lambda_i = \frac{m_i}{\abs{w - a_i}^2} > 0$. ومنه $$ w = \frac{\sum_i \lambda_i a_i}{\sum_i \lambda_i} : $$ وهي تركيبة محدَّبة (بأوزان موجبة مجموعها $1$ بعد التسوية) من الجذور $a_i$. إذن كل جذر للمقدار $P'$ يقع في المحدَّب المولَّد بجذور $P$. **تمرين 8.12 ★★.** (مرشِّح [جذور الوحدة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/3-complex-numbers#def-b1-complex-unity)) ليكن $n \in \N^*$ و $j = \eu^{2\iu\pi/3}$. بحساب $(1 + X)^n$ عند $1$ و $j$ و $j^2$، برهن على أن $$ \sum_{k \geq 0} \binom{n}{3k} = \frac{2^n + 2\cos\frac{n\pi}{3}}{3} , $$ وتحقق من الصيغة من أجل $n = 3$ ومن أجل $n = 6$. *إرشاد: $1 + j^m + j^{2m}$ يساوي $3$ إذا كان $3 \mid m$ و $0$ فيما عدا ذلك؛ و$1 + j = \eu^{\iu\pi/3}$.* **حل التمرين 8.12.** اجمع حسابات $(1 + X)^n$ عند الجذور التكعيبية الثلاثة للوحدة: $$ 2^n + (1 + j)^n + (1 + j^2)^n = \sum_{k=0}^n \binom nk\,\bigl(1 + j^k + j^{2k}\bigr) = 3\sum_{k\,:\,3\mid k}\binom nk , $$ لأن $1 + j^k + j^{2k}$ مجموع هندسي يساوي $3$ عندما $3 \mid k$ ويساوي $\frac{j^{3k} - 1}{j^k - 1} = 0$ فيما عدا ذلك. والآن $1 + j = \frac12 + \iu\frac{\sqrt3}2 = \eu^{\iu\pi/3}$ و$1 + j^2 = \conj{1 + j} = \eu^{-\iu\pi/3}$، ومنه $(1+j)^n + (1+j^2)^n = 2\cos\frac{n\pi}3$ و $$ \sum_{k\geq0}\binom n{3k} = \frac{2^n + 2\cos\frac{n\pi}3}{3} . $$ وللتحقق: من أجل $n = 3$: $\frac{8 + 2\cos\pi}3 = 2 = \binom30 + \binom33$؛ ومن أجل $n = 6$: $\frac{64 + 2}3 = 22 = 1 + 20 + 1$. ## 8.5 مسألة: كثيرات حدود تشيبيشيف وأكثر كثيرات الحدود انبساطًا **مسألة 8.1.** من بين كل كثيرات الحدود *الواحدية* من الدرجة $n$، أيّها يبقى أقرب إلى الصفر على $\intcc{-1}1$؟ الجواب — مبرهنة تشيبيشيف، وهي شهادة ميلاد نظرية التقريب — هو $2^{1-n}T_n$، حيث $T_n$ [كثير حدود](#def-b1-poly-def) تشيبيشيف في [التمرين 8.10](#exo-b1-poly-10)، ولا يمكن لأيّ منافس واحديّ أن يتفوق على انحرافه $2^{1-n}$. وتطوّر هذه المسألة جبر العائلة $(T_n)$ ([قانون التركيب](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-law)، والمعاملات الصريحة، والعائلة من النوع الثاني $U_n$، ومعادلة تفاضلية)، وتبرهن على مبرهنة الأمثلية مع حالة تساويها، وتجمع التطبيقات: عقد المقايسة المثلى، والقيمة المضبوطة للمقدار $\cos 36^\circ$، [وتوافق](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/6-integer-arithmetic#def-b1-arith-congruence) $T_p \equiv X^p \pmod p$. وفي كل ما يلي، $T_0 = 1$ و $T_1 = X$ و $T_{n+1} = 2X\,T_n - T_{n-1}$، ونستعمل بحرية $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ من [التمرين 8.10](#exo-b1-poly-10). **الجزء 1 — العائلة $(T_n)$.** 1. احسب $T_2, T_3, T_4, T_5$ من التراجع. (وقارن $T_3$ بالمتطابقة $\cos3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ في [المثال 3.9](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/3-complex-numbers#ex-b1-complex-cos3) .) 2. برهن بالاستقراء: أن $\deg T_n = n$ ومعامله المهيمن $2^{n-1}$ من أجل $n \geq 1$ ، وأن للمقدار $T_n$ زوجية $n$ (فلا تظهر إلا القوى الزوجية أو الفردية وحدها). 3. برهن على مبدأ الوحدانية: أن $T_n$ هو [كثير الحدود](#def-b1-poly-def) *الوحيد* الذي يحقق $P(\cos\theta) = \cos n\theta$ من أجل كل $\theta$ . (فكثيرا حدود يتوافقان على $\intcc{-1}1$ يتوافقان في كل مكان: [النتيجة 8.8](#cor-b1-poly-nroots) .) 4. استنتج قانونَي التركيب والجداء: $$T_m \circ T_n = T_{mn}, \qquad 2\,T_m T_n = T_{m+n} + T_{\abs{m-n}} .$$ 5. استرجع من [التمرين 8.10](#exo-b1-poly-10) الجذور $x_k = \cos\frac{(2k+1)\pi}{2n}$ ونقاط التذبذب المتساوي $y_k = \cos\frac{k\pi}n$ حيث $T_n(y_k) = (-1)^k$ . واكتب التعميل الكامل للمقدار $T_n$ فوق $\R$ ، وبرّر أن النقاط $y_k$ تتشابك: $y_n < x_{n-1} < y_{n-1} < \dots < x_0 < y_0$ . 6. برهن على أن $T_n(\cosh t) = \cosh(nt)$ لكل $t \in \R$ (بالاستقراء نفسه، باستعمال [القضية 4.18](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/4-standard-functions#prop-b1-functions-hyprules))، واستنتج من أجل $x \geq 1$ الصيغةَ المغلقة $$T_n(x) = \frac{\bigl(x + \sqrt{x^2 - 1}\bigr)^n + \bigl(x - \sqrt{x^2 - 1}\bigr)^n}{2} ,$$ ومنه $T_n(x) > 1$ من أجل $x > 1$: أي أن [كثير الحدود](#def-b1-poly-def) يهرب فورًا خارج $\intcc{-1}1$. **الجزء 2 — المعاملات، والعائلة $U_n$، ومعادلة تفاضلية.** 7. انطلاقًا من صيغة دي موافر ([النتيجة 3.8](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/3-complex-numbers#cor-b1-complex-demoivre))، برهن على [العبارة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-statement) الصريحة $$T_n(x) = \sum_{0 \leq 2j \leq n} \binom{n}{2j}\, x^{\,n-2j}\,(x^2 - 1)^j ,$$ وتحقق منها من أجل $n = 3$. 8. احسب $T_n(1)$ و $T_n(-1)$ و $T_n(0)$ من أجل كل $n$ . 9. عرّف $U_n$ ( *من النوع الثاني* ) بالمقدار $U_0 = 1$ و $U_1 = 2X$ و $U_{n+1} = 2X\,U_n - U_{n-1}$ . برهن على أن $U_n(\cos\theta) = \frac{\sin(n+1)\theta}{\sin\theta}$ من أجل $\theta \notin \pi\Z$ ، وعلى أن $T_n' = n\,U_{n-1}$ من أجل $n \geq 1$ . 10. برهن على أن $\abs{\sin n\theta} \leq n\,\abs{\sin\theta}$ لكل $\theta$ (بالاستقراء)، واستنتج الحاصر من نمط ماركوف $$\abs{T_n'(x)} \leq n^2 \quad\text{على } \intcc{-1}1, \qquad\text{حيث } T_n'(\pm1) = (\pm1)^{n-1}\,n^2 .$$ 11. بيّن أن $y = T_n$ يحقق المعادلة التفاضلية $$(1 - x^2)\,y'' - x\,y' + n^2\,y = 0 ,$$ وذلك باشتقاق المتطابقة $\sin\theta\, T_n'(\cos\theta) = n\sin n\theta$ بالنسبة إلى $\theta$؛ وتحقق من ذلك مباشرةً من أجل $T_2$. **الجزء 3 — مبرهنة تشيبيشيف في الأمثلية.** لتكن $\widetilde T_n = 2^{1-n}\,T_n$ (وهي واحدية حسب السؤال 2) ولنكتب $\norm{P}_\infty = \sup_{x \in \intcc{-1}1}\abs{P(x)}$. 12. برّر أن $\norm{\widetilde T_n}_\infty = 2^{1-n}$ ، وأنه يُبلغ بإشارات متناوبة عند النقاط $n + 1$ التي هي $y_n < \dots < y_0$ . 13. نفترض أن [كثير حدود](#def-b1-poly-def) [واحديًا](#def-b1-poly-def) $P$ من الدرجة $n$ يحقق $\norm P_\infty < 2^{1-n}$ ، ونضع $D = \widetilde T_n - P$ . بيّن أن $\deg D \leq n - 1$ ، وأن $D(y_k)$ له إشارة $(-1)^k$ التامة من أجل كل $k = 0, \dots, n$ . 14. استنتج أن للمقدار $D$ على الأقل $n$ جذرًا حقيقيًا متمايزًا (واحدًا في كل فجوة، بخاصية القيم الوسطى، المستعملة هنا على مستوى الثانوية والمبرهن عليها في [الفصل 13](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/13-limits-and-continuity#ch-b1-continuity))، واستنتج *مبرهنة تشيبيشيف*: أن كل [كثير حدود](#def-b1-poly-def) واحديّ $P$ من الدرجة $n$ يحقق $$\norm{P}_\infty \geq 2^{1-n} .$$ 15. (حالة التساوي، الخطوة الأولى) نفترض الآن $\norm P_\infty = 2^{1-n}$ بالضبط، مع $P$ واحديّ من الدرجة $n$ ، ولتكن $D = \widetilde T_n - P$ . بيّن أن $(-1)^kD(y_k) \geq 0$ من أجل كل $k$ ، وأنه إذا كان $D(y_k) = 0$ عند نقطة *داخلية* $y_k$ (حيث $0 < k < n$ ) فإن $D'(y_k) = 0$ كذلك. *(فعند $y_k$ داخلية، يبلغ كلٌّ من $\widetilde T_n$ و $P$ قيمة حدّية قيمتها المطلقة $\norm{\cdot} _\infty$؛ ومشتقة الدالة القابلة للاشتقاق تنعدم عند قيمة حدّية داخلية — وهذا مستعمل على مستوى الثانوية، ومبرهن عليه في [الفصل 14](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/14-differentiation#ch-b1-derivative).)* 16. (حالة التساوي، الخاتمة) عُدَّ جذور $D$ مع [التضاعف](#def-b1-poly-derivative) لتبيّن أن $D = 0$ : أي أن مبلغ الصغرى *وحيد* ، $P = \widetilde T_n$ . 17. انقل ذلك إلى قطعة كيفية $\intcc ab$ : بيّن أن أصغر معيار أعلى [لكثير حدود](#def-b1-poly-def) واحديّ من الدرجة $n$ على $\intcc ab$ هو $2\bigl(\frac{b-a}4\bigr)^n$ ، ويُبلغ [بكثير حدود](#def-b1-poly-def) تشيبيشيف بعد إعادة السلّم. *(عوّض $x = \frac{a+b}2 + \frac{b-a}2\,t$ وتتبّع المعامل المهيمن.)* **الجزء 4 — تطبيقات.** 18. أنجز الحالة $n = 3$ باليد: حدّد القيم الحدّية للمقدار $\widetilde T_3 = X^3 - \frac34X$ على $\intcc{-1}1$ ، وتحقق من التذبذب المتساوي الرباعي بالقيمة $\frac14$ ، واستنتج أن لا [كثير حدود](#def-b1-poly-def) واحديّ من الدرجة الثالثة يفعل أفضل. 19. (عقد المقايسة المثلى) من أجل $n + 1$ عقدة $x_0, \dots, x_n \in \intcc{-1}1$ ، يحكم خطأَ المقايسة المقدارُ $\omega(X) = \prod_i (X - x_i)$ (كما سيكمّمه [الفصل 16](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/16-taylor-formulas-and-asymptotic-expansions#ch-b1-taylor) ). برهن على أن الاختيار الذي يصغّر $\norm\omega_\infty$ هو [مجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) جذور $T_{n+1}$ التي عددها $n + 1$ ، مع $\norm\omega_\infty = 2^{-n}$ : فعقد تشيبيشيف هي المواضع الصحيحة للمقايسة. 20. باستعمال $T_5$، برهن على أن $c = \cos 36^\circ$ يحقق $16c^5 - 20c^3 + 5c + 1 = 0$، وعمّل [كثير الحدود](#def-b1-poly-def) هذا هكذا $(x + 1)(4x^2 - 2x - 1)^2$، واستنتج $$\cos 36^\circ = \frac{1 + \sqrt5}4 .$$ وتحقق من الاتساق مع $\cos 72^\circ = \frac{\sqrt5 - 1}4$ في [التمرين 3.8](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/3-complex-numbers#exo-b1-complex-8). 21. قدّر $T_{10}(1.1)$ بالصيغة المغلقة من السؤال 6 (ويكفي رقمان معنويان)، وفسّر: [فكثير حدود](#def-b1-poly-def) محدود بالمقدار $1$ على $\intcc{-1}1$ يمكن أن يتجاوز $40$ أصلًا عند $x = 1.1$ . (وكون $T_n$ ينمو *أسرع* من أمثاله خاصية أمثلية أخرى للعائلة، وهي خارج هذه المسألة.) 22. برهن على [التوافق](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/6-integer-arithmetic#def-b1-arith-congruence) التالي: من أجل كل عدد أوليّ فرديّ $p$ ، تقبل كل معاملات $T_p - X^p$ القسمة على $p$ . *(استعمل السؤال 7 و $p \mid \binom p{2j}$ من أجل $0 < 2j < p$، من برهان [المبرهنة 6.23](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/6-integer-arithmetic#thm-b1-arith-fermat).)* وتحقق من ذلك على $T_3$ و $T_5$ . **الجزء 5 — توليفة ختامية.** 23. احسب صراحةً [كثير الحدود](#def-b1-poly-def) الواحديّ من الدرجة الثانية ذا المعيار الأعلى الأصغر على $\intcc01$ وانحرافه. (السؤال 17 مع $n = 2$ .) 24. أين استعملت المسألة بالضبط: (أ) صلابة كثيرات الحدود ( [النتيجة 8.8](#cor-b1-poly-nroots) )؛ (ب) مثلثات [الفصل 3](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/3-complex-numbers#ch-b1-complex) و [الفصل 4](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/4-standard-functions#ch-b1-functions) ؛ (ج) حساب المعاملات الثنائية في [الفصل 6](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/6-integer-arithmetic#ch-b1-arith) ؟ جملة واحدة لكلٍّ منها. 25. توليفة، في فقرة قصيرة: تقول المبرهنة إن أكثر كثيرات الحدود الواحدية انبساطًا هو الذي *يتذبذب تذبذبًا متساويًا* ، ويحوّل البرهان الأمثلية إلى عدّ جذور. علّق على هذه الآلية، وعلى دور التعويض $x = \cos\theta$ جسرًا بين الجبر والمثلثات، وسمِّ الموضعين اللذين احتاجت فيهما المسألة إلى وقائع تحليلية (خاصية القيم الوسطى، والقيمة الحدّية الداخلية) تبرهن عليها فصول لاحقة. **حل المسألة 8.1.** **1.** $T_2 = 2X^2 - 1$؛ و$T_3 = 2X(2X^2 - 1) - X = 4X^3 - 3X$؛ و$T_4 = 2X\,T_3 - T_2 = 8X^4 - 8X^2 + 1$؛ و$T_5 = 2X\,T_4 - T_3 = 16X^5 - 20X^3 + 5X$. والمتطابقة $T_3(\cos\theta) = \cos3\theta$ هي بالضبط $\cos3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ في [المثال 3.9](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/3-complex-numbers#ex-b1-complex-cos3). **2.** صحيحة من أجل $n = 1, 2$. وإذا كان للمقدار $T_{n-1}$ و $T_n$ الدرجتان $n-1$ و $n$ والمعاملان المهيمنان $2^{n-2}$ و $2^{n-1}$، فإن $2X\,T_n$ درجته $n+1$ ومعامله المهيمن $2^n$، بينما درجة $T_{n-1}$ أدنى: ومنه فإن $T_{n+1}$ درجته $n + 1$ ومعامله المهيمن $2^n$. وأمّا الزوجية: فإذا كان للمقدار $T_{n-1}$ زوجية $n - 1$ وللمقدار $T_n$ زوجية $n$، كان لكلٍّ من $2X\,T_n$ و $T_{n-1}$ زوجية $n + 1$، ومنه كذلك $T_{n+1}$. **3.** إذا كان $P(\cos\theta) = \cos n\theta$ لكل $\theta$، [توافق](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/6-integer-arithmetic#def-b1-arith-congruence) $P$ و $T_n$ عند كل نقطة من $\intcc{-1}1$ — وهي [مجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) لا نهائية — ومنه فإن للمقدار $P - T_n$ جذورًا لا نهائية العدد فهو [كثير الحدود](#def-b1-poly-def) المعدوم ([النتيجة 8.8](#cor-b1-poly-nroots)). **4.** من أجل $x = \cos\theta$: $T_m(T_n(\cos\theta)) = T_m(\cos n\theta) = \cos(mn\theta) = T_{mn}(\cos\theta)$، و $2T_mT_n(\cos\theta) = 2\cos m\theta\cos n\theta = \cos(m+n)\theta + \cos\abs{m - n}\theta$. وتتحقق المتطابقتان على $\intcc{-1}1$، فهما إذن متطابقتان كثيرتا الحدود بحجة السؤال 3. **5.** الأعداد $x_k$ هي $n$ جذرًا بسيطًا متمايزًا والمعامل المهيمن $2^{n-1}$: $$ T_n = 2^{n-1}\prod_{k=0}^{n-1} \Bigl(X - \cos\frac{(2k+1)\pi}{2n}\Bigr) . $$ وأمّا التشابك: فالزوايا $0 < \frac{\pi}{2n} < \frac\pi n < \frac{3\pi}{2n} < \frac{2\pi}n < \dots < \pi$ تتناوب بين زوايا $y$ التي هي $\frac{k\pi}n$ وزوايا $x$ التي هي $\frac{(2k+1)\pi}{2n}$؛ وبما أن $\cos$ متناقص تمامًا على $\intcc0\pi$، تتشابك القيم بالترتيب المعكوس: $y_n < x_{n-1} < y_{n-1} < \dots < x_0 < y_0$. وبين قيمتين حدّيتين متتاليتين يقع جذر واحد بالضبط، كما يوحي به رسم $\cos n\theta$. **6.** بالاستقراء مع $2\cosh a\cosh b = \cosh(a + b) + \cosh(a - b)$ ([القضية 4.18](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/4-standard-functions#prop-b1-functions-hyprules)): $T_{n+1}(\cosh t) = 2\cosh t\cosh nt - \cosh(n-1)t = \cosh(n+1)t$. ومن أجل $x \geq 1$، اكتب $x = \cosh t$ حيث $t \geq 0$؛ عندئذ $\eu^t = x + \sqrt{x^2 - 1}$ و$\eu^{-t} = x - \sqrt{x^2 - 1}$، ومنه $$ T_n(x) = \cosh(nt) = \frac{(x + \sqrt{x^2-1})^n + (x - \sqrt{x^2-1})^n}2 . $$ ومن أجل $x > 1$ يتجاوز الحدّ الأول $\frac12(1)^n$ تمامًا و ينمو هندسيًا: أي $T_n(x) > 1$. **7.** بصيغة دي موافر: $\cos n\theta = \Re\bigl((\cos\theta + \iu\sin\theta)^n\bigr) = \sum_{2j \leq n}\binom n{2j} \cos^{n-2j}\theta\,(\iu\sin\theta)^{2j}$، و$(\iu\sin\theta)^{2j} = (-\sin^2\theta)^j = (\cos^2\theta - 1)^j$. وبتعويض $x = \cos\theta$ واستدعاء السؤال 3: $$ T_n(x) = \sum_{0\leq 2j\leq n}\binom n{2j}x^{n-2j}(x^2 - 1)^j . $$ ومن أجل $n = 3$: $\binom30 x^3 + \binom32 x(x^2 - 1) = x^3 + 3x^3 - 3x = 4x^3 - 3x$، كما في السؤال 1. **8.** $T_n(1) = \cos(n\cdot0) = 1$؛ و$T_n(-1) = \cos(n\pi) = (-1)^n$؛ و$T_n(0) = \cos\frac{n\pi}2$، وهو $0$ من أجل $n$ الفرديّ و $(-1)^{n/2}$ من أجل $n$ الزوجيّ. **9.** بالاستقراء من أجل $U_n(\cos\theta) = \frac{\sin(n+1)\theta}{\sin\theta}$: صحيحة من أجل $U_0 = 1$ و$U_1 = 2X$ ($\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$)؛ والخطوة هي متطابقة تحويل المجموع إلى جداء $\sin(n+2)\theta = 2\cos\theta\, \sin(n+1)\theta - \sin n\theta$. والآن اشتقّ $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ بالنسبة إلى $\theta$: $-\sin\theta\,T_n'(\cos\theta) = -n\sin n\theta$، ومنه من أجل $\theta \notin \pi\Z$: $$ T_n'(\cos\theta) = n\,\frac{\sin n\theta}{\sin\theta} = n\,U_{n-1}(\cos\theta) , $$ وكثيرا الحدود $T_n'$ و $nU_{n-1}$، وهما متوافقان على $\intoo{-1}1$، متساويان. **10.** $\abs{\sin(n+1)\theta} = \abs{\sin n\theta\cos\theta + \cos n\theta\sin\theta} \leq \abs{\sin n\theta} + \abs{\sin\theta}$، ويعطي الاستقراء $\abs{\sin n\theta} \leq n\abs{\sin\theta}$. ومنه $\abs{U_{n-1}} \leq n$ على $\intoo{-1}1$ و$\abs{T_n'} = n\abs{U_{n-1}} \leq n^2$ هناك؛ وعند $\pm1$ يمتدّ الحاصر بأخذ النهايات (أو مباشرةً: $U_{n-1}(1) = n$ من التراجع، و $U_n(1) = n + 1$ بالاستقراء، وتعطي الزوجية $U_{n-1}(-1) = (-1)^{n-1}n$). ومنه $T_n'(1) = n^2$ و$T_n'(-1) = (-1)^{n-1}n^2$: فالحاصر $n^2$ يُبلغ عند الطرفين. **11.** اشتقّ $\sin\theta\,T_n'(\cos\theta) = n\sin n\theta$ (السؤال 9) بالنسبة إلى $\theta$: $$ \cos\theta\,T_n'(\cos\theta) - \sin^2\theta\,T_n''(\cos\theta) = n^2\cos n\theta = n^2\,T_n(\cos\theta) . $$ ومع $x = \cos\theta$ و$\sin^2\theta = 1 - x^2$: يكون $x\,T_n' - (1 - x^2)T_n'' = n^2T_n$ على $\intcc{-1}1$، ومنه في كل مكان: $(1 - x^2)y'' - xy' + n^2y = 0$ من أجل $y = T_n$. وللتحقق من أجل $T_2 = 2x^2 - 1$: $(1 - x^2)(4) - x(4x) + 4(2x^2 - 1) = 4 - 4x^2 - 4x^2 + 8x^2 - 4 = 0$. **12.** [كثير الحدود](#def-b1-poly-def) $\widetilde T_n$ واحديّ (السؤال 2) و $\abs{\widetilde T_n} = 2^{1-n}\abs{T_n} \leq 2^{1-n}$ على $\intcc{-1}1$، مع $\widetilde T_n(y_k) = (-1)^k2^{1-n}$ عند النقاط $n + 1$ التي هي $y_k$ ([التمرين 8.10](#exo-b1-poly-10)): فالمعيار هو $2^{1-n}$ بالضبط، ويُبلغ بإشارات متناوبة. **13.** كلٌّ من $\widetilde T_n$ و $P$ واحديّ من الدرجة $n$، فتختصر الحدود المهيمنة: أي $\deg D \leq n - 1$. وعند $y_k$: $D(y_k) = (-1)^k2^{1-n} - P(y_k)$، ويفرض $\abs{P(y_k)} \leq \norm P_\infty < 2^{1-n}$ أن تكون إشارة $D(y_k)$ هي إشارة $(-1)^k2^{1-n}$، بصورة تامة. **14.** تتغير إشارة $D$ بين $y_{k+1}$ و $y_k$ من أجل كل $k = 0, \dots, n-1$: وبخاصية القيم الوسطى، يكون للمقدار $D$ جذر في كلٍّ من هذه المجالات المفتوحة المنفصلة مثنى مثنى التي عددها $n$ — أي $n$ جذرًا متمايزًا [لكثير حدود](#def-b1-poly-def) غير معدوم من الدرجة $\leq n - 1$، وهذا مستحيل. و $D = 0$ مستحيل كذلك (فالمعياران مختلفان). وهذا تناقض: فلا [كثير حدود](#def-b1-poly-def) واحديّ $P$ من الدرجة $n$ يحقق $\norm P_\infty < 2^{1-n}$، وهي مبرهنة تشيبيشيف. **15.** الآن $\abs{P(y_k)} \leq 2^{1-n}$ لا غير، ومنه $(-1)^k D(y_k) = 2^{1-n} - (-1)^kP(y_k) \geq 2^{1-n} - \abs{P(y_k)} \geq 0$. نفترض $D(y_k) = 0$ عند $y_k$ داخلية (حيث $0 < k < n$): عندئذ $P(y_k) = (-1)^k2^{1-n}$، ومنه يبلغ $\abs P$ حدّه الأعلى $2^{1-n}$ عند النقطة الداخلية $y_k$، ومنه $P'(y_k) = 0$ (بالقيمة الحدّية الداخلية)؛ و$T_n'(y_k) = nU_{n-1}(y_k) = 0$ لأن $\sin(n\cdot\frac{k\pi}n) = 0$ — ومنه $\widetilde T_n'(y_k) = 0$ كذلك، و $D'(y_k) = 0$: أي أن $y_k$ جذر للمقدار $D$ تضاعفه $2$ على الأقل. **16.** عُدَّ جذور $D$ مع [التضاعف](#def-b1-poly-derivative). وليكن $z$ عدد النقاط الداخلية $y_k$ التي تحقق $D(y_k) = 0$ (وكلٌّ منها جذر مضاعف، حسب السؤال 15) و $e \in \{0, 1, 2\}$ عدد الطرفين ($y_0$ أو $y_n$) اللذين $D = 0$ عندهما (وكلٌّ منهما جذر بسيط على الأقل). والفجوة $(y_{k+1}, y_k)$ التي يحقق طرفاها معًا $D \neq 0$ تحمل إشارات متناوبة تمامًا، ومنه جذرًا داخليًا. وكل نقطة داخلية معدومة تفسد فجوتيها المجاورتين على الأكثر، وكل طرف معدوم يفسد فجوة واحدة على الأكثر: فتبقى $n - 2z - e$ فجوة على الأقل تسهم كلٌّ منها بجذر، وكلها متمايزة عن جذور $y$. والمجموع: على الأقل $(n - 2z - e) + 2z + e = n$ جذرًا مع [التضاعف](#def-b1-poly-derivative)، من أجل [كثير حدود](#def-b1-poly-def) درجته $\leq n - 1$: ومنه $D = 0$ و $P = \widetilde T_n$. فمبلغ الصغرى وحيد. **17.** [التطبيق](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) التآلفي $t \mapsto x = \frac{a+b}2 + \frac{b-a}2\,t$ تقابلٌ $\intcc{-1}1 \to \intcc ab$. وإذا كان $P$ [واحديًا](#def-b1-poly-def) من الدرجة $n$، كان $Q(t) = P(x(t))$ [كثير حدود](#def-b1-poly-def) في $t$ معامله المهيمن $\bigl(\frac{b-a}2\bigr)^n$، و $\sup_{\intcc ab}\abs P = \sup_{\intcc{-1}1}\abs Q$. [وكثير الحدود](#def-b1-poly-def) الواحديّ $Q/\bigl(\frac{b-a}2\bigr)^n$ معياره الأعلى $\geq 2^{1-n}$ (السؤالان 13–14)، ومنه $$ \sup_{\intcc ab}\abs P \geq \Bigl(\frac{b-a}2\Bigr)^n 2^{1-n} = 2\Bigl(\frac{b-a}4\Bigr)^n , $$ مع التساوي تحديدًا من أجل $P(x) = \bigl(\frac{b-a}2\bigr)^n \widetilde T_n\bigl(t(x)\bigr)$ (السؤال 16). **18.** $\widetilde T_3 = \frac{T_3}4 = X^3 - \frac34X$؛ و$\widetilde T_3{}' = 3X^2 - \frac34$ ينعدم عند $\pm\frac12$. والقيم: $\widetilde T_3(-1) = -\frac14$ و$\widetilde T_3(-\tfrac12) = \frac14$ و$\widetilde T_3(\tfrac12) = -\frac14$ و$\widetilde T_3(1) = \frac14$: أي أربع قيم حدّية متناوبة قيمتها المطلقة $\frac14$ — ومنه $\norm{\widetilde T_3}_\infty = \frac14$، وبمبرهنة تشيبيشيف لا يوجد [كثير حدود](#def-b1-poly-def) واحديّ من الدرجة الثالثة ذو معيار أعلى أصغر على $\intcc{-1}1$. **19.** [كثير الحدود](#def-b1-poly-def) $\omega$ واحديّ من الدرجة $n + 1$، ومنه $\norm\omega_\infty \geq 2^{-n}$ بمبرهنة تشيبيشيف (من الدرجة $n+1$)، مع التساوي إذا وفقط إذا كان $\omega = \widetilde T_{n+1} = 2^{-n}T_{n+1}$ (السؤال 16)، أي إذا وفقط إذا كانت العقد هي جذور $T_{n+1}$ التي عددها $n + 1$. وبعقد تشيبيشيف يكون عامل الخطأ $\norm\omega_\infty$ مساويًا $2^{-n}$ — وهو الأصغر الممكن. **20.** $5 \times 36^\circ = 180^\circ$، ومنه $T_5(c) = \cos180^\circ = -1$: أي $16c^5 - 20c^3 + 5c + 1 = 0$. وبتجريب $x = -1$: $-16 + 20 - 5 + 1 = 0$، ويؤكد النشر أن $$ 16x^5 - 20x^3 + 5x + 1 = (x + 1)\bigl(4x^2 - 2x - 1\bigr)^2 . $$ وبما أن $c = \cos36^\circ \neq -1$، يكون $c$ جذرًا للمقدار $4x^2 - 2x - 1$، وجذراه $\frac{1 \pm \sqrt5}4$؛ وبما أن $c > 0$، $$ \cos36^\circ = \frac{1 + \sqrt5}4 . $$ وللاتساق: $\cos72^\circ = T_2(c) = 2c^2 - 1 = 2\cdot\frac{3 + \sqrt5}8 - 1 = \frac{\sqrt5 - 1}4$، وهي القيمة الموجودة في [التمرين 3.8](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/3-complex-numbers#exo-b1-complex-8). **21.** $\sqrt{1.1^2 - 1} = \sqrt{0.21} \approx 0.458$، ومنه $x + \sqrt{x^2-1} \approx 1.558$ و$(1.558)^{10} \approx 84.5$، بينما $(1.1 - 0.458)^{10} \approx 0.01$: أي $T_{10}(1.1) \approx \frac{84.5 + 0.01}2 \approx 42$. [فكثير حدود](#def-b1-poly-def) محصور في $\intcc{-1}1$ على المجال قد نما بالفعل فوق $40$ على بعد عُشر خارج حافته: فالمحدودية على قطعة لا تقول شيئًا عمّا يقع على مسافة إصبع خارجها. **22.** في صيغة $T_p$ من السؤال 7، يكون الحدّ $j = 0$ هو $X^p$؛ ويحمل كل حدّ آخر المعامل $\binom p{2j}$ حيث $0 < 2j < p$ (ولاحظ أن $2j \neq p$ لأن $p$ فرديّ)، وهو يقبل القسمة على $p$ بالخطوة الأولى من برهان [المبرهنة 6.23](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/6-integer-arithmetic#thm-b1-arith-fermat). ومنه فإن كل معامل من $T_p - X^p$ مضاعف للعدد $p$. وللتحقق: $T_3 - X^3 = 3X^3 - 3X = 3(X^3 - X)$؛ و$T_5 - X^5 = 15X^5 - 20X^3 + 5X = 5(3X^5 - 4X^3 + X)$. **23.** بالسؤال 17 مع $\intcc ab = \intcc01$ و$n = 2$: يكون أصغر انحراف $2\bigl(\frac14\bigr)^2 = \frac18$، ويُبلغ بالمقدار $\bigl(\frac12\bigr)^2\widetilde T_2(2x - 1) = \frac14\bigl((2x-1)^2 - \frac12\bigr) = x^2 - x + \frac18$. [فكثير الحدود](#def-b1-poly-def) الواحديّ من الدرجة الثانية الأقرب إلى الصفر على $\intcc01$ هو $x^2 - x + \frac18$، ومعياره الأعلى $\frac18$. **24.** (أ) الصلابة — أي أن [كثير حدود](#def-b1-poly-def) بجذور أكثر من درجته معدوم — هي ما شغّل مبدأ الوحدانية (السؤال 3)، ونقلَ المتطابقات المثلثية إلى متطابقات كثيرة الحدود (الأسئلة 4 و 7 و 9 و 11)، وحجّتَي عدّ الجذور في برهان الأمثلية (السؤالان 14 و 16). (ب) ووفّرت مثلثات [الفصل 3](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/3-complex-numbers#ch-b1-complex) (دي موافر، وتحويل المجموع إلى جداء) [والدوال الزائدية](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/4-standard-functions#def-b1-functions-hyperbolic) في [الفصل 4](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/4-standard-functions#ch-b1-functions) كل متطابقة وراء العائلة؛ و التعويض $x = \cos\theta$ هو الجسر. (ج) وحوّلت [قابلية القسمة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/6-integer-arithmetic#def-b1-arith-divides) $p \mid \binom p{2j}$ من [الفصل 6](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/6-integer-arithmetic#ch-b1-arith) صيغةَ المعاملات إلى [توافق](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/6-integer-arithmetic#def-b1-arith-congruence) السؤال 22. **25.** تحوّل مبرهنة تشيبيشيف أمثليةً على عائلة لا نهائية البُعد (كل كثيرات الحدود الواحدية) إلى توفيقيات منتهية: فالمنافس الأفضل من $\widetilde T_n$ كان سيختلف عنه [بكثير حدود](#def-b1-poly-def) منخفض الدرجة مفروض عليه أن يغيّر إشارته $n$ مرة — أي بجذر يزيد على ما تسمح به درجته. ومنه فإن نمط التذبذب المتساوي ليس طُرفة بل هو شهادة الأمثلية نفسها، وتصقل حالة التساوي عدّ الجذور بالتضاعفات. ويستحق التعويض $x = \cos\theta$ الكلمة الأخيرة: فهو ينقل عالم كثيرات الحدود الصلب المتقطع إلى عالم المثلثات الدوري، حيث تكون جذور $T_n$ وقيمه الحدّية مجرد شبكة منتظمة للمقدار $\cos n\theta$. أمّا الواقعتان التحليليتان المستعارتان — خاصية القيم الوسطى (السؤال 14؛ المبرهن عليها في [الفصل 13](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/13-limits-and-continuity#ch-b1-continuity)) وانعدام المشتقة عند قيمة حدّية داخلية (السؤال 15؛ المبرهن عليه في [الفصل 14](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/14-differentiation#ch-b1-derivative)) — فهما بالضبط الأداتان اللتان ستردّهما تلك الفصول اللاحقة، فتُغلق [الحلقة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-ring).