--- title: "الكسور الناطقة" book: "الرياضيات الجامعية — السنة 1" subject: math language: ar chapter: 9 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/9-rational-fractions --- # الفصل 9 — الكسور الناطقة [الكسر الناطق](#def-b1-fractions-field) قسمةُ كثيرَي حدود. والمبرهنة المحورية في هذا الفصل القصير — تفكيك الكسر إلى عناصر بسيطة — تفتّت أيّ قسمة كهذه إلى مجموع لبنات أوّلية $\frac{c}{(X - a)^k}$. وإلى جانب فائدته الجبرية، هو الآلة المعيارية لمكاملة الدوال الناطقة ([الفصل 15](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/15-integration-on-a-segment#ch-b1-integration)) ولجمع بعض المتسلسلات ([الفصل 17](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/17-numerical-series#ch-b1-series)). ## 9.1 الحقل $K(X)$ **تعريف 9.1.** *الكسر الناطق* فوق $K$ ($= \R$ أو $\C$) هو قسمة $F = \frac{A}{B}$ حيث $A, B \in K[X]$ و$B \neq 0$؛ ونطابق بين القسمتين $\frac AB$ و $\frac{A'}{B'}$ عندما يكون $AB' = A'B$. ولكل كسر *صورة مختزلة* تحقق $\gcd(A, B) = 1$، وهي وحيدة بغضّ النظر عن الثوابت. ومع العمليات الطبيعية، تكون [مجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) الكسور الناطقة $K(X)$ [حقلًا](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-field). و*أقطاب* $F$ (في الصورة المختزلة) هي جذور $B$؛ و*رتبة* القطب هي تضاعفه بوصفه جذرًا للمقدار $B$. و*درجة* $F$ هي $\deg F = \deg A - \deg B \in \Z \cup \{-\infty\}$. **مثال 9.2 (قراءة الأقطاب والرتب والدرجة).** لتكن $F = \dfrac{X^3 - X}{X^4 - 2X^3 + X^2}$. عمّل الطبقتين: البسط $X(X-1)(X+1)$، والمقام $X^2(X-1)^2$؛ واختصر العامل المشترك $X(X-1)$: $$ F = \frac{X + 1}{X(X - 1)} \quad\text{(الصورة المختزلة).} $$ [والأقطاب](#def-b1-fractions-field): $0$ و $1$، وكلاهما *بسيط* — فالرتب تُقرأ على المقام المختزل، ومنه فالجذور المضاعفة الظاهرة في المقام الأصلي لا شأن لها. والدرجة: $\deg F = 1 - 2 = -1$، وهي مرئية مقاربيًا (إذ $xF(x) \to 1$ عندما $x \to \infty$). و تسلك الدرجة سلوك درجة [كثير الحدود](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) ($\deg FG = \deg F + \deg G$ و$\deg(F + G) \leq \max$)، وهي قاعدة محاسبة تُستعمل باستمرار في مطاردات المعاملات أدناه: فكل حجة من نوع «نهاية $xF(x)$» عدُّ درجات متنكّر. **قضية 9.3 (الجزء الصحيح).** كل $F = \frac AB \in K(X)$ يُكتب على نحو وحيد $F = E + \frac RB$ حيث $E \in K[X]$ (وهو *الجزء الصحيح*، أو الجزء الكثيرالحدود، للمقدار $F$) و $\deg R < \deg B$. ويكون $E \neq 0$ إذا وفقط إذا كان $\deg F \geq 0$. **برهان.** القسمة الإقليدية $A = BE + R$ ([المبرهنة 8.3](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials#thm-b1-poly-division))، مقسومةً على $B$. وأمّا الوحدانية: فإذا كان $E + \frac RB = E' + \frac{R'}{B}$ فإن $(E - E')B = R' - R$ مع $\deg(R' - R) < \deg B$، فيُفرض $E = E'$ ثم $R = R'$. ∎ **مثال 9.4 (اختزل أولًا ثم اقسم).** جد الجزء الصحيح للكسر $F = \dfrac{X^3 + 1}{X^2 - 1}$. فبالقسمة العمياء: $X^3 + 1 = (X^2 - 1)X + (X + 1)$، ومنه $F = X + \frac{X + 1}{X^2 - 1}$. لكن الكسر لم يكن مختزلًا: إذ يشترك $X^3 + 1 = (X + 1)(X^2 - X + 1)$ و $X^2 - 1 = (X+1)(X-1)$ في العامل $X + 1$، و $$ F = \frac{X^2 - X + 1}{X - 1} = X + \frac{1}{X - 1} : $$ فالجزء الصحيح $X$ نفسه، لكن الجزء الكسري ينهار إلى لبنة واحدة، ولم يكن «[القطب](#def-b1-fractions-field)» عند $-1$ قطبًا البتة. فاختزل دائمًا إلى أبسط صورة قبل مطاردة [الأقطاب](#def-b1-fractions-field): [فأقطاب](#def-b1-fractions-field) $F$ هي جذور المقام *المختزل*. (أمّا الجزء الصحيح فلا يتأثر بالاختزال، كما تضمنه الوحدانية في [القضية 9.3](#prop-b1-fractions-integerpart).) ## 9.2 التفكيك إلى عناصر بسيطة فوق $\C$ **مبرهنة 9.5 (التفكيك فوق C\CC).** ليكن $F = \frac AB \in \C(X)$ في صورته المختزلة، حيث $B = c\,(X - a_1)^{m_1} \cdots (X - a_r)^{m_r}$. عندئذ يُكتب $F$، على نحو وحيد، $$ F = E + \sum_{i=1}^{r} \sum_{k=1}^{m_i} \frac{c_{i,k}}{(X - a_i)^k}, \qquad E \in \C[X],\ c_{i,k} \in \C , $$ حيث $E$ هو الجزء الصحيح للمقدار $F$. **برهان.** حسب [القضية 9.3](#prop-b1-fractions-integerpart) يمكننا أن نفترض $\deg A < \deg B$ وأن نبرهن على تفكيك المجموع مع $E = 0$. *فصل [الأقطاب](#def-b1-fractions-field).* اكتب $B = (X - a_1)^{m_1} B_1$ حيث $B_1(a_1) \neq 0$. وكثيرا الحدود $(X-a_1)^{m_1}$ و $B_1$ [أوليّان فيما بينهما](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/6-integer-arithmetic#cor-b1-arith-bezout) (فلا جذر مشترك)، ومنه بمتطابقة بيزو في $\C[X]$ (انظر الملاحظة في [الفصل 8](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials#ch-b1-poly)) يوجد $U_0, V_0$ يحققان $U_0 (X-a_1)^{m_1} + V_0 B_1 = 1$؛ وبالضرب في $A$ ووضع $U = AU_0$ و$V = AV_0$، ثم القسمة على $B$: $$ \frac AB = \frac{V}{(X - a_1)^{m_1}} + \frac{U}{B_1} . $$ ويمكن فرض شروط الدرجة: اقسم $V$ على $(X-a_1)^{m_1}$، وليكن $V = (X-a_1)^{m_1}Q + V_1$ حيث $\deg V_1 < m_1$، وامتصّ خارج القسمة في الحدّ الثاني ($U_1 = U + QB_1$): $$ \frac AB = \frac{V_1}{(X - a_1)^{m_1}} + \frac{U_1}{B_1}, \qquad \deg V_1 < m_1 ; $$ ومقارنة الدرجات ($\deg A < \deg B$ و $\deg V_1 < m_1$) تفرض $\deg U_1 < \deg B_1$ كذلك. وبتكرار ذلك على $\frac{U_1}{B_1}$، قطبًا بعد [قطب](#def-b1-fractions-field)، يُردّ كل شيء إلى حالة [القطب](#def-b1-fractions-field) الواحد أدناه. *[قطب](#def-b1-fractions-field) واحد.* من أجل $\frac{A}{(X-a)^m}$ حيث $\deg A < m$: انشر $A$ بقوى $(X - a)$، $A = \sum_{j=0}^{m-1} \alpha_j (X - a)^j$ (وهو نشر تايلور [لكثير حدود](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def)، كما في برهان [القضية 8.11](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials#prop-b1-poly-multiplicity))؛ وتعطي القسمة اللبنات بالضبط $\frac{\alpha_j}{(X-a)^{m-j}}$. وعمليًا، من أجل $\frac{X^2 + 1}{(X+2)^3}$: بتعويض $X = Y - 2$، $$ X^2 + 1 = (Y - 2)^2 + 1 = Y^2 - 4Y + 5 , \qquad\text{ومنه}\qquad \frac{X^2+1}{(X+2)^3} = \frac1{Y} - \frac4{Y^2} + \frac5{Y^3} $$ حيث $Y = X + 2$: فتظهر اللبنات الثلاث بمجرد قسمة النشر المنسحب — وهو أسرع طريق كلما دخل [قطب](#def-b1-fractions-field) واحد عالي الرتبة، وهو الطريق المنصوح به من أجل [التمرين 9.3](#exo-b1-fractions-3). *الوحدانية.* نفترض تطابق تفكيكين؛ فيكون فرقهما متطابقةً $0 = \sum_{i,k} \frac{d_{i,k}}{(X - a_i)^k}$. اضرب الجميع في $(X - a_1)^{m_1}$: فيكتسب كل حدّ عاملًا ينعدم عند $a_1$ *عدا* الحدّ الذي فيه $i = 1$ و $k = m_1$، الذي يصير معامله $d_{1,m_1}$ زائد حدود تحمل عاملًا $(X - a_1)$ على الأقل. والحساب عند $a_1$ (وهذا مشروع: إذ لم يبقَ بعد الضرب أيّ [قطب](#def-b1-fractions-field) عند $a_1$) يعطي $d_{1,m_1} = 0$. وبزوال المعامل الأعلى، كرّر مع $(X - a_1)^{m_1 - 1}$، وهكذا نزولًا حتى $k = 1$؛ ثم انتقل إلى [القطب](#def-b1-fractions-field) التالي. فتنعدم كل المعاملات $d_{i,k}$: أي أن التفكيك وحيد. ∎ **طريقة 9.6 (حساب المعاملات).** عمليًا، تجنّب متطابقة بيزو؛ واجمع بين ما يلي: 1. *التغطية من أجل القوة العليا*: معامل $\frac{1}{(X-a)^m}$ (حيث $m$ رتبة [القطب](#def-b1-fractions-field) $a$) هو $$c_{a,m} = \Bigl[\,(X - a)^m F\,\Bigr]_{X = a};$$ ومن أجل [قطب](#def-b1-fractions-field) *بسيط* للكسر $F = \frac AB$، يكون هذا $\frac{A(a)}{B'(a)}$؛ 2. *الحسابات* عند نقاط ملائمة و *نهايات* $xF(x)$ عندما $x \to \infty$ لجمع علاقات خطية من أجل المعاملات الباقية؛ 3. *الزوجية* أو تناظرات المرافقة، عند وجودها، لتنصيف العمل. **ملاحظة 9.7 (مزالق شائعة مع العناصر البسيطة).** 1. *تخطّي الجزء الصحيح.* ينطبق تفكيك اللبنات على الكسور ذات الدرجة $< 0$ ؛ فإذا كان $\deg A \geq \deg B$ فاقسم أولًا ( [القضية 9.3](#prop-b1-fractions-integerpart) )، وإلا أنتجت مطاردة المعاملات تناقضات. 2. *التغطية خارج نطاقها.* الضرب في $(X - a)^k$ والحساب عند $a$ لا يعطيان المعامل إلا من أجل $k = m$ ، أي رتبة [القطب](#def-b1-fractions-field) *الكاملة* ؛ أمّا معاملات الرتب الأدنى فتقتضي علاقات أخرى (نهايات، وحسابات) — انظر [المثال 9.9](#ex-b1-fractions-multiple) . 3. *نسيان الاختزال.* تُقرأ [الأقطاب](#def-b1-fractions-field) على الصورة *المختزلة* ؛ فعاملٌ مشترك بين البسط والمقام يخلق أقطابًا وهمية ( [المثال 9.4](#ex-b1-fractions-integerpart) ). 4. *صور اللبنات الخاطئة فوق $\R$.* فوق [كثير حدود](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) من الدرجة الثانية لا يتجزأ تكون البسوط *تآلفية* ( $\alpha X + \beta$ )، لا ثابتة؛ وكتابة $\frac{c}{X^2 + 1}$ وحدها تفقد حلولًا — فصور اللبنات تمليها [المبرهنة 9.10](#thm-b1-fractions-real) ، ولا تُرتجل أبدًا. **برهان صيغة القطب البسيط.** قرب [قطب](#def-b1-fractions-field) بسيط $a$: $B = (X - a) Q$ حيث $Q(a) \neq 0$، و$B' = Q + (X - a) Q'$، ومنه $B'(a) = Q(a)$. وقيمة التغطية هي $\frac{A(a)}{Q(a)} = \frac{A(a)}{B'(a)}$. ∎ **مثال 9.8.** فكّك $F = \dfrac{1}{X(X-1)(X-2)}$. ثلاثة [أقطاب](#def-b1-fractions-field) بسيطة؛ وبالتغطية عند كلٍّ منها: $$ c_0 = \frac{1}{(0-1)(0-2)} = \frac12, \quad c_1 = \frac{1}{1 \times (1 - 2)} = -1, \quad c_2 = \frac{1}{2 \times 1} = \frac12, $$ ومنه $F = \dfrac{1/2}{X} - \dfrac{1}{X-1} + \dfrac{1/2}{X-2}$. *وللتحقق عند $X = 3$:* مباشرةً، $F(3) = \frac{1}{3\cdot2\cdot1} = \frac16$؛ ومن التفكيك، $\frac{1/2}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1/2}{1} = \frac16 - \frac12 + \frac12 = \frac16$. **مثال 9.9 (قطب مضاعف).** فكّك $F = \dfrac{X}{(X-1)^2 (X+1)}$. والصورة: $\frac{a}{(X-1)^2} + \frac{b}{X-1} + \frac{c}{X+1}$. - التغطية عند [القطب](#def-b1-fractions-field) المضاعف: $a = \bigl[\frac{X}{X+1}\bigr]_{X=1} = \frac12$ . - التغطية عند $-1$ : $c = \bigl[\frac{X}{(X-1)^2}\bigr]_{X=-1} = -\frac14$ . - نهاية $xF(x)$ عند $\infty$ : $0 = b + c$ ، ومنه $b = \frac14$ . $$ F = \frac{1/2}{(X-1)^2} + \frac{1/4}{X-1} - \frac{1/4}{X+1} . $$ *وللتحقق عند $X = 0$:* $F(0) = 0$ و$\frac12 - \frac14 - \frac14 = 0$. ## 9.3 التفكيك فوق $\R$ **مبرهنة 9.10 (التفكيك فوق R\RR).** ليكن $F \in \R(X)$ في صورته المختزلة ومقامه $$ B = c \prod_i (X - a_i)^{m_i} \prod_j (X^2 + p_j X + q_j)^{n_j} \qquad (p_j^2 - 4q_j < 0). $$ عندئذ يتفكك $F$ على نحو وحيد إلى جزئه الصحيح زائد حدود $$ \frac{c_{i,k}}{(X - a_i)^k} \quad (1 \leq k \leq m_i), \qquad \frac{\alpha_{j,l}\, X + \beta_{j,l}}{(X^2 + p_j X + q_j)^{l}} \quad (1 \leq l \leq n_j), $$ بمعاملات حقيقية. **برهان.** فكّك فوق $\C$ ([المبرهنة 9.5](#thm-b1-fractions-complex)). وبما أن $F$ حقيقي، يكون المعامل فوق [القطب](#def-b1-fractions-field) $\conj a$ (عند كل رتبة) مرافقَ المعامل فوق $a$ (طبّق المرافقة على التفكيك واستدعِ الوحدانية). وجمّع كل زوج مترافق: $$ \frac{c}{(X - z)^l} + \frac{\conj c}{(X - \conj z)^l} = \frac{c\,(X - \conj z)^l + \conj c\,(X - z)^l}{\bigl(X^2 - 2\Re(z)X + \abs z^2\bigr)^{l}}, $$ وبسطه مرافق نفسه، فهو إذن حقيقي، ودرجته $\leq l$؛ وفصل مضاعفات [كثير الحدود](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) الحقيقي من الدرجة الثانية يخفضها إلى الدرجة $\leq 1$ عند كل مستوى $l$ (باستقراء نزولي صغير). وتحتفظ [الأقطاب](#def-b1-fractions-field) الحقيقية بمعاملاتها الحقيقية (فالمرافقة تصمد عندها). وتنتج الوحدانية من الوحدانية فوق $\C$. ∎ **مثال 9.11 (مراقبة ازدواج المرافقات).** آلية البرهان، على أصغر حالة: فوق $\C$، تكون [أقطاب](#def-b1-fractions-field) $\frac1{X^2+1}$ هي $\pm\iu$، ومعاملا التغطية $\frac1{2\iu}$ عند $\iu$ و $\frac1{-2\iu}$ عند $-\iu$ — وهما مترافقان، كما تتنبأ به المبرهنة: $$ \frac{1}{X^2 + 1} = \frac{1/(2\iu)}{X - \iu} - \frac{1/(2\iu)}{X + \iu} . $$ وبإعادة الجمع على المقام المشترك: $$ \frac{1}{2\iu}\cdot\frac{(X + \iu) - (X - \iu)}{X^2 + 1} = \frac{1}{2\iu}\cdot\frac{2\iu}{X^2 + 1} = \frac{1}{X^2+1} : $$ فيختصر الجزآن التخيليان وتعود اللبنة الحقيقية سليمة. ومن أجل المكاملات الحقيقية لا يغادر المرء $\R$ عادةً — لكن عند حساب *مجاميع* عند نقاط عقدية (كما تفعل مسألة نهاية الأسبوع [بجذور الوحدة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/3-complex-numbers#def-b1-complex-unity))، تكون اللبنات العقدية هي العملة الطبيعية، ويكون هذا الازدواج سعرَ الصرف بين التفكيكين. **مثال 9.12.** فكّك $F = \dfrac{4}{(X^2+1)(X-1)^2}$ فوق $\R$. والصورة: $\frac{aX + b}{X^2 + 1} + \frac{c}{(X-1)^2} + \frac{d}{X - 1}$. التغطية عند [القطب](#def-b1-fractions-field) المضاعف: $c = \bigl[\frac{4}{X^2+1}\bigr]_{X=1} = 2$. والتغطية عند [القطب](#def-b1-fractions-field) العقدي $\iu$ (بحساب البسط فوق $X^2 + 1$ عبر التفكيك العقدي، أو مباشرةً): اضرب في $X^2 + 1$ وضع $X = \iu$: $$ a\iu + b = \frac{4}{(\iu - 1)^2} = \frac{4}{-2\iu} = 2\iu , $$ ومنه $a = 2$ و $b = 0$. ونهاية $xF(x)$ عند اللانهاية: $0 = a + d$، ومنه $d = -2$. ومنه $$ F = \frac{2X}{X^2+1} + \frac{2}{(X-1)^2} - \frac{2}{X-1} . $$ *وللتحقق عند $X = 0$:* $F(0) = 4$ و $0 + 2 + 2 = 4$. **مثال 9.13 (مقام من الدرجة الثالثة، من أوله إلى آخره).** فكّك $F = \dfrac{1}{X^3 + 1}$ فوق $\R$. عمّل أولًا: $X^3 + 1 = (X + 1)(X^2 - X + 1)$، ومميّز [كثير الحدود](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) من الدرجة الثانية $-3 < 0$. والصورة: $\frac{a}{X+1} + \frac{bX + c}{X^2 - X + 1}$. والتغطية عند [القطب](#def-b1-fractions-field) البسيط $-1$: $a = \bigl[\frac1{X^2 - X + 1}\bigr]_{X=-1} = \frac13$. ونهاية $xF(x)$ عند اللانهاية: $0 = a + b$، ومنه $b = -\frac13$. والحساب عند $X = 0$: $1 = a + c$، ومنه $c = \frac23$. ومنه $$ \frac{1}{X^3+1} = \frac13\Bigl(\frac{1}{X+1} + \frac{-X + 2}{X^2 - X + 1}\Bigr) , $$ وقد تأكد عند $X = 1$: فالطرف الأيسر $\frac12$، والطرف الأيمن $\frac13\bigl(\frac12 + 1\bigr) = \frac12$. ولاحظ الاقتصاد: ثلاثة مجاهيل، وثلاث وقائع خطية رخيصة (تغطية واحدة، ونهاية واحدة، وحساب واحد)، دون نشر أيّ شيء — وهو منهج [الطريقة 9.6](#met-b1-fractions-compute) في صورته الخالصة. **ملاحظة 9.14 (فيمَ يُستعمل).** بمجرد التفكيك، تُكامل الدالة الناطقة حدًّا حدًّا: فللبنات $\frac{1}{(x-a)^k}$ دوال أصلية أوّلية، وتُردّ اللبنات $\frac{\alpha x + \beta}{(x^2 + px + q)^l}$ إلى $\ln$ و $\arctan$ ([الفصل 15](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/15-integration-on-a-segment#ch-b1-integration)). والمجاميع التلسكوبية هي [التطبيق](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) المعياري الآخر ([التمرين 9.8](#exo-b1-fractions-8)). **ملاحظة 9.15 (أين يُستعمل هذا الفصل).** العناصر البسيطة قبل كل شيء خطوة *تحضير*: فيمرّر فصل المكاملة ([الفصل 15](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/15-integration-on-a-segment#ch-b1-integration)) كل مكامَل ناطق عبر [المبرهنة 9.10](#thm-b1-fractions-real) قبل المكاملة، ويقوم فصل المتسلسلات ([الفصل 17](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/17-numerical-series#ch-b1-series)) بتلسكوب الحدود الناطقة تمامًا كما في [التمرين 9.8](#exo-b1-fractions-8) وفي مسألة نهاية الأسبوع أدناه — التي تدفع التقنية حتى $\sum 1/k^2 = \pi^2/6$. وتعود المشتقة اللوغاريتمية $P'/P = \sum m_i/(X - a_i)$ ([التمرين 8.11](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials#exo-b1-poly-11)) كلما دُرست مواضع الجذور. وخارج هذا المجلد، يقوم تفكيك $1/\chi(X)$ من أجل [كثير حدود](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) مميِّز $\chi$ بأساس حساب قوى المصفوفات وتحويلات لابلاس في مجلد السنة 2: فاللبنات $\frac{c}{(X - a)^k}$ هي الظلّ الجبري للحلول $t^{k-1}\eu^{at}$ المقابَلة في [الفصل 5](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/5-linear-differential-equations#ch-b1-diffeq). ![الدالة F(x) = 1x+1 + 1x + 1x-1 من نمط : متناقصة تمامًا على كل مجال بين أقطابها -1, 0, 1 (المتقطعة). ويُقطع كل مستوى أفقي > 0 مرة واحدة بالضبط في كل مجال إلى يمين القطب الأول (النقاط المؤشَّرة): فحلول F = تتشابك مع الأقطاب.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-fractions/fig-0d4a101aa56d.svg) *الدالة $F(x) = \frac1{x+1} + \frac1x + \frac1{x-1}$ من نمط [التمرين 9.12](#exo-b1-fractions-12): متناقصة تمامًا على كل مجال بين أقطابها $-1, 0, 1$ (المتقطعة). ويُقطع كل مستوى أفقي $\lambda > 0$ مرة واحدة بالضبط في كل مجال إلى يمين [القطب](#def-b1-fractions-field) الأول (النقاط المؤشَّرة): فحلول $F = \lambda$ تتشابك مع [الأقطاب](#def-b1-fractions-field).* ## 9.4 تمارين **تمرين 9.1 ★.** فكّك فوق $\R$: $\dfrac{1}{X^2 - 1}$؛ و$\;\dfrac{X}{X^2 - 3X + 2}$؛ و$\;\dfrac{X^2 + 1}{X(X-1)}$ *(انتبه إلى الجزء الصحيح)*. **حل التمرين 9.1.** $\dfrac{1}{X^2 - 1}$: قطبان بسيطان $\pm 1$؛ وبالتغطية: $\dfrac{1/2}{X-1} - \dfrac{1/2}{X+1}$. $\dfrac{X}{X^2 - 3X + 2} = \dfrac{X}{(X-1)(X-2)}$: تعطي التغطية $\frac{1}{1-2} = -1$ عند $1$ و $\frac{2}{2-1} = 2$ عند $2$: $\dfrac{-1}{X-1} + \dfrac{2}{X-2}$. $\dfrac{X^2+1}{X(X-1)}$: الدرجة $0$، ومنه يوجد جزء صحيح: فبالقسمة، $X^2 + 1 = (X^2 - X) + (X + 1)$، ومنه $F = 1 + \frac{X+1}{X(X-1)}$. وبالتغطية على الباقي: $\frac{1}{-1} = -1$ عند $0$، و $\frac{2}{1} = 2$ عند $1$: $$ F = 1 - \frac{1}{X} + \frac{2}{X-1} . $$ **تمرين 9.2 ★.** فكّك فوق $\R$: $\dfrac{1}{X(X^2 + 1)}$ و $\dfrac{X^3}{X^2 + X + 1}$. **حل التمرين 9.2.** $\dfrac{1}{X(X^2+1)}$: الصورة $\frac aX + \frac{bX + c}{X^2 + 1}$. والتغطية عند $0$: $a = 1$. ونهاية $xF$: $0 = a + b$، ومنه $b = -1$. والحساب عند $X = 1$: $\frac12 = 1 + \frac{c - 1}{2}$، ومنه $c = 0$: $$ \frac{1}{X(X^2+1)} = \frac 1X - \frac{X}{X^2+1} . $$ $\dfrac{X^3}{X^2+X+1}$: بالقسمة: $X^3 = (X^2+X+1)(X - 1) + 1$، ومنه $$ \frac{X^3}{X^2+X+1} = X - 1 + \frac{1}{X^2 + X + 1} , $$ وهو في الصورة المفكَّكة الحقيقية أصلًا (فمميّز [كثير الحدود](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) من الدرجة الثانية سالب). **تمرين 9.3 ★.** فكّك $\dfrac{1}{X^2(X - 1)}$ و$\dfrac{X + 1}{(X - 1)^3}$ *(ومن أجل الثاني، عوّض $Y = X - 1$)*. **حل التمرين 9.3.** $\dfrac{1}{X^2(X-1)}$: الصورة $\frac{a}{X^2} + \frac bX + \frac{c}{X-1}$. والتغطية عند [القطب](#def-b1-fractions-field) المضاعف $0$: $a = \bigl[\frac{1}{X-1}\bigr]_{0} = -1$. والتغطية عند $1$: $c = 1$. ونهاية $xF$: $0 = b + c$، ومنه $b = -1$: $$ \frac{1}{X^2(X-1)} = -\frac{1}{X^2} - \frac1X + \frac{1}{X-1} . $$ $\dfrac{X+1}{(X-1)^3}$: مع $Y = X - 1$، يكون البسط $Y + 2$: $$ \frac{Y + 2}{Y^3} = \frac{1}{Y^2} + \frac{2}{Y^3} = \frac{1}{(X-1)^2} + \frac{2}{(X-1)^3} . $$ **تمرين 9.4 ★★.** فكّك فوق $\C$، ثم فوق $\R$: $\dfrac{1}{X^4 - 1}$. **حل التمرين 9.4.** [الأقطاب](#def-b1-fractions-field) هي الجذور الرابعة للوحدة $1, \iu, -1, -\iu$، وكلها بسيطة. وبصيغة [القطب](#def-b1-fractions-field) البسيط مع $B' = 4X^3$: يكون المعامل عند $a$ هو $\frac{1}{4a^3} = \frac{a}{4a^4} = \frac a4$ (باستعمال $a^4 = 1$). ومنه، فوق $\C$: $$ \frac{1}{X^4 - 1} = \frac{1/4}{X - 1} - \frac{1/4}{X + 1} + \frac{\iu/4}{X - \iu} - \frac{\iu/4}{X + \iu} . $$ وبتجميع الزوج المترافق (بالمقام المشترك $X^2 + 1$): $\frac{\iu}{4}\bigl(\frac{1}{X-\iu} - \frac{1}{X+\iu}\bigr) = \frac{\iu}{4}\cdot\frac{2\iu}{X^2+1} = \frac{-1/2}{X^2+1}$. وفوق $\R$: $$ \frac{1}{X^4 - 1} = \frac{1/4}{X-1} - \frac{1/4}{X+1} - \frac{1/2}{X^2 + 1} . $$ *وللتحقق عند $X = 0$:* $-1 = -\frac14 - \frac14 - \frac12$. **تمرين 9.5 ★★.** فكّك فوق $\R$: $\dfrac{X^2}{(X^2 + 1)^2}$، واستنتج دالة أصلية للدالة $x \mapsto \dfrac{x^2}{(x^2+1)^2}$ مع العلم أن $\int \frac{\dd x}{(x^2+1)^2} = \frac12\bigl(\arctan x + \frac{x}{x^2+1}\bigr) + C$. **حل التمرين 9.5.** $\dfrac{X^2}{(X^2+1)^2} = \dfrac{(X^2 + 1) - 1}{(X^2+1)^2} = \dfrac{1}{X^2+1} - \dfrac{1}{(X^2+1)^2}$. ومنه دالة أصلية: $$ \int \frac{x^2\,\dd x}{(x^2+1)^2} = \arctan x - \frac12\Bigl(\arctan x + \frac{x}{x^2+1}\Bigr) + C = \frac12\arctan x - \frac{x}{2(x^2+1)} + C . $$ **تمرين 9.6 ★★.** من أجل $n \in \N^*$، فكّك $F_n = \dfrac{n!}{X(X+1)\cdots(X+n)}$ *([أقطاب](#def-b1-fractions-field) بسيطة عند $0, -1, \dots, -n$؛ استعمل صيغة التغطية وتعرّف على المعاملات الثنائية)*. **حل التمرين 9.6.** [الأقطاب](#def-b1-fractions-field) $0, -1, \dots, -n$ بسيطة. وبالتغطية عند $-k$: $$ c_k = \frac{n!}{\prod_{j \neq k} (-k + j)} = \frac{n!}{\bigl(\prod_{j=0}^{k-1}(j - k)\bigr) \bigl(\prod_{j=k+1}^{n}(j-k)\bigr)} = \frac{n!}{(-1)^k k!\,(n-k)!} = (-1)^k \binom nk . $$ ومنه $$ \frac{n!}{X(X+1)\cdots(X+n)} = \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k \binom nk}{X + k} . $$ (وللتحقق من أجل $n = 1$: $\frac{1}{X(X+1)} = \frac1X - \frac{1}{X+1}$.) **تمرين 9.7 ★★.** باستعمال متطابقة [التمرين 8.11](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials#exo-b1-poly-11) من أجل $P = X^n - 1$، برهن على أن $$ \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{X - \omega^k} = \frac{n X^{n-1}}{X^n - 1}, \qquad \omega = \eu^{2\iu\pi/n}, $$ واحسب الطرفين عند $X = 2$ من أجل $n = 4$ للتحقق. **حل التمرين 9.7.** [لكثير الحدود](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) $P = X^n - 1$ الجذور البسيطة $\omega^k$ التي عددها $n$ ([المبرهنة 3.14](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/3-complex-numbers#thm-b1-complex-roots))، ومنه فإن متطابقة المشتقة اللوغاريتمية في [التمرين 8.11](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials#exo-b1-poly-11) تُقرأ $$ \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{X - \omega^k} = \frac{P'(X)}{P(X)} = \frac{n X^{n-1}}{X^n - 1} . $$ وعند $X = 2$ و $n = 4$: الطرف الأيمن $= \frac{4 \times 8}{15} = \frac{32}{15}$. والطرف الأيسر: $\frac{1}{2-1} + \frac{1}{2+1} + \frac{1}{2 - \iu} + \frac{1}{2 + \iu} = 1 + \frac13 + \frac{4}{5} = \frac{15 + 5 + 12}{15} = \frac{32}{15}$، باستعمال $\frac{1}{2-\iu} + \frac{1}{2+\iu} = \frac{4}{5}$. **تمرين 9.8 ★★.** فكّك $\dfrac{1}{k(k+1)(k+2)}$ واحسب $$ S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)}, \qquad\text{ثم}\qquad \lim_{n \to \infty} S_n . $$ **حل التمرين 9.8.** بالتغطية: $\dfrac{1}{k(k+1)(k+2)} = \dfrac{1/2}{k} - \dfrac{1}{k+1} + \dfrac{1/2}{k+2}$. وأعد كتابته في صورة فرق تلسكوبي: $$ \frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac12\Bigl(\frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)}\Bigr), $$ (انشر للتحقق — أو اطرح التفكيكين). وبالجمع: $$ S_n = \frac12\Bigl(\frac{1}{1 \times 2} - \frac{1}{(n+1)(n+2)}\Bigr) = \frac14 - \frac{1}{2(n+1)(n+2)} \xrightarrow[n \to \infty]{} \frac14 . $$ **تمرين 9.9 ★★★.** ليكن $P \in \R[X]$ [واحديًا](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) من الدرجة $n$ وله $n$ جذرًا حقيقيًا متمايزًا $x_1 < \dots < x_n$. برهن على أن $$ \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{P'(x_i)} = 0 \quad (n \geq 2), \qquad \sum_{i=1}^{n} \frac{x_i^{\,n-1}}{P'(x_i)} = 1 . $$ *إرشاد: فكّك $\frac{X^m}{P}$ من أجل $m \leq n - 1$ وانظر إلى تناقص المعاملات عند اللانهاية — أو استعمل [مقايسة لاغرانج](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials#thm-b1-poly-lagrange) ([المبرهنة 8.23](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials#thm-b1-poly-lagrange)) للحدّانية $X^m$ عند العقد $x_i$.* **حل التمرين 9.9.** فكّك، من أجل $0 \leq m \leq n - 1$، الكسرَ $\frac{X^m}{P}$ (ودرجته $m - n \leq -1$، وأقطابه بسيطة): تعطي صيغة [القطب](#def-b1-fractions-field) البسيط $$ \frac{X^m}{P} = \sum_{i=1}^{n} \frac{x_i^m / P'(x_i)}{X - x_i} . $$ اضرب في $X$ واجعل $X \to +\infty$: يؤول الطرف الأيسر إلى نهاية $X^{m+1}/P$، وهي $0$ إذا كان $m \leq n - 2$ و $1$ إذا كان $m = n - 1$ (فإن $P$ واحديّ من الدرجة $n$)؛ ويؤول الطرف الأيمن إلى $\sum_i \frac{x_i^m}{P'(x_i)}$. ومنه $$ \sum_{i=1}^{n} \frac{x_i^{m}}{P'(x_i)} = \begin{cases} 0 & \text{من أجل } 0 \leq m \leq n-2,\\ 1 & \text{من أجل } m = n - 1, \end{cases} $$ وهذا يحوي المتطابقتين المعلنتين (فالحالة $m = 0$ تقتضي $n \geq 2$). (والتفسير عبر [المبرهنة 8.23](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials#thm-b1-poly-lagrange): هذه المجاميع هي المعاملات المهيمنة لمقايسات لاغرانج للمقدار $X^m$، ومقايسة [كثير حدود](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) درجته $\leq n-1$ عند $n$ نقطة تعيد إنتاجه بالضبط.) **تمرين 9.10 ★★.** فكّك $\dfrac{1}{X(X+1)^2}$ فوق $\R$. وبقبول القيمة $\sum_{k \geq 1} \frac1{k^2} = \frac{\pi^2}6$ (المبرهن عليها في مسألة نهاية الأسبوع من هذا الفصل)، استنتج $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)^2} = 2 - \frac{\pi^2}{6} . $$ **حل التمرين 9.10.** الصورة $\frac aX + \frac b{X+1} + \frac c{(X+1)^2}$. والتغطية عند $0$: $a = 1$؛ والتغطية عند [القطب](#def-b1-fractions-field) المضاعف: $c = \bigl[\frac1X \bigr]_{X=-1} = -1$؛ ونهاية $xF(x)$ عند اللانهاية: $0 = a + b$، ومنه $b = -1$: $$ \frac{1}{X(X+1)^2} = \frac1X - \frac1{X+1} - \frac1{(X+1)^2} . $$ وبالجمع من أجل $n = 1, \dots, N$: تتلسكب اللبنتان الأوليان إلى $1 - \frac1{N+1}$، وتسهم الثالثة بالمقدار $-\sum_{k=2}^{N+1} \frac1{k^2}$. وبجعل $N \to \infty$ وباستعمال $\sum_{k\geq1} \frac1{k^2} = \frac{\pi^2}6$: $$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)^2} = 1 - \Bigl(\frac{\pi^2}6 - 1\Bigr) = 2 - \frac{\pi^2}6 \approx 0.355 . $$ **تمرين 9.11 ★★.** فكّك فوق $\R$: $\dfrac{1}{(X^2+1)(X^2+4)}$، ثم $\dfrac{X^2}{(X^2+1)(X^2+4)}$. *إرشاد: كلا المقامين [كثير حدود](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) في $X^2$: ففكّك $\frac1{(Y+1)(Y+4)}$ أولًا.* **حل التمرين 9.11.** في المتغير $Y$: $\frac1{(Y+1)(Y+4)} = \frac{1/3}{Y+1} - \frac{1/3}{Y+4}$ (بالتغطية عند $-1$ وعند $-4$)، ومنه $$ \frac{1}{(X^2+1)(X^2+4)} = \frac13\,\frac1{X^2+1} - \frac13\,\frac1{X^2+4} . $$ وبالمثل $\frac{Y}{(Y+1)(Y+4)} = \frac{-1/3}{Y+1} + \frac{4/3}{Y+4}$، ومنه $$ \frac{X^2}{(X^2+1)(X^2+4)} = -\frac13\,\frac1{X^2+1} + \frac43\,\frac1{X^2+4} . $$ (وللتحقق عند $X = 0$: $0 = \frac13(-1 + 1)$.) وهذان هما التفكيكان الحقيقيان أصلًا: إذ تصادف أن تكون البسوط فوق كثيرات الحدود التي لا تتجزأ من الدرجة الثانية ثوابت. **تمرين 9.12 ★★★.** (المعادلات الدهرية) لتكن $F = \sum_{i=1}^{r} \frac{c_i}{X - p_i}$ حيث $p_1 < p_2 < \dots < p_r$ حقيقية وكل $c_i > 0$. 1. بيّن أن $F$ متناقصة تمامًا على كل مجال من [مجموعة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) تعريفها، وأعط نهاياتها عند $\pm\infty$ وعلى جانبَي كل [قطب](#def-b1-fractions-field) . 2. استنتج أنه من أجل كل $\lambda > 0$ ، يكون للمعادلة $F(x) = \lambda$ بالضبط $r$ حلًّا حقيقيًا، واحد في كل مجال $\intoo{p_i}{p_{i+1}}$ وواحد بعد $p_r$ . (ومعادلات كهذه تحكم اضطرابات القيم الذاتية؛ ومبرهنة القيم الوسطى مستعملة هنا على مستوى الثانوية ومبرهن عليها في [الفصل 13](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/13-limits-and-continuity#ch-b1-continuity) .) **حل التمرين 9.12.** 1. على كل مجال يتفادى [الأقطاب](#def-b1-fractions-field) ، $F'(x) = -\sum_i \frac{c_i}{(x - p_i)^2} < 0$ : أي متناقصة تمامًا. وعندما $x \to \pm\infty$ ، تؤول كل لبنة إلى $0$ : ومنه $F \to 0$ ، من فوق عند $+\infty$ (فكل اللبنات موجبة هناك) ومن تحت عند $-\infty$ . وعندما $x \to p_i^+$ ، تنفجر اللبنة $\frac{c_i}{x - p_i}$ إلى $+\infty$ وتبقى الأخريات محدودة: ومنه $F \to +\infty$ ؛ وبالمثل $F \to -\infty$ عندما $x \to p_i^-$ . 2. ثبّت $\lambda > 0$ . على $\intoo{-\infty}{p_1}$ : تتناقص $F$ من $0^-$ إلى $-\infty$ ، ومنه $F < 0 < \lambda$ : فلا حلّ. وعلى كل $\intoo{p_i}{p_{i+1}}$ (حيث $1 \leq i \leq r-1$ ): تتناقص $F$ من $+\infty$ إلى $-\infty$ ، فتأخذ القيمة $\lambda$ مرة واحدة بالضبط (بخاصية القيم الوسطى مع الرتابة التامة). وعلى $\intoo{p_r}{+\infty}$ : تتناقص $F$ من $+\infty$ إلى $0^+$ ، فحلّ واحد بالضبط من جديد. والمجموع: $r$ حلًّا بالضبط، متشابكة مع [الأقطاب](#def-b1-fractions-field) . ## 9.5 مسألة: العناصر البسيطة محرّكًا **مسألة 9.1.** يبدو تفكيك الكسر إلى عناصر بسيطة محاسبةً؛ وتبيّن هذه المسألة أنه محرّك. فإذا غُذّي بالكسر $\frac1{X(X+1)\cdots(X+k)}$، تلسكب عائلات كاملة من المجاميع في صورة مغلقة؛ وإذا غُذّي بالمقدار $\frac1{X^n - 1}$ أنتج متطابقات مثلثية مثل $$ \sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{\sin^2\frac{k\pi}{n}} = \frac{n^2-1}{3} ; $$ وإذا دُفع خطوة أخرى، عصرت تلك المتطابقة واحدةً من أشهر الصيغ في الرياضيات، صيغة أويلر $$ \sum_{k=1}^{\infty}\frac1{k^2} = \frac{\pi^2}{6} $$ — وقد حُصل عليها هنا بلا شيء يتجاوز جبر هذا الفصل و مثلثات الثانوية. وفي كل ما يلي، $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$؛ ونهايات المتتاليات مستعملة على مستوى الثانوية (ويصوغها [الفصل 11](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/11-sequences#ch-b1-seq)). **الجزء 1 — التلسكوب.** 1. فكّك $\frac1{X(X+1)}$ واحسب $\sum_{n=1}^{N} \frac1{n(n+1)}$ بالضبط؛ واستنتج أن المجموع يؤول إلى $1$ . 2. الأمر نفسه من أجل $\frac1{X(X+2)}$ : بيّن أن $\sum_{n=1}^{N} \frac1{n(n+2)} = \frac12\bigl(\frac32 - \frac1{N+1} - \frac1{N+2}\bigr) \to \frac34$ . (فمع فجوة، يبقى *حدّان* طرفيان عند كل نهاية.) 3. صُغ الآلية: إذا كان $F(X) = G(X) - G(X+1)$ من أجل [كسر ناطق](#def-b1-fractions-field) $G$ ما بلا [أقطاب](#def-b1-fractions-field) في $\intco1{+\infty}$ ، فإن $\sum_{n=1}^N F(n) = G(1) - G(N+1)$ . واسترجع القيمة $\frac14$ في [التمرين 9.8](#exo-b1-fractions-8) بإبراز الشاهد $G$ من أجل $F = \frac1{X(X+1)(X+2)}$ . 4. برهن على التلسكوب العاملي العام: من أجل $k \geq 1$، $$\frac{1}{X(X+1)\cdots(X+k)} = \frac1k\biggl(\frac{1}{X(X+1)\cdots(X+k-1)} - \frac{1}{(X+1)\cdots(X+k)}\biggr),$$ واستنتج $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)\cdots(n+k)} = \frac{1}{k \cdot k!} .$$ وتحقق من الحالة $k = 2$ في مقابل السؤال 3. 5. احسب تفكيك [التمرين 9.6](#exo-b1-fractions-6) عند نقاط حسنة الاختيار للبرهان على أن $$\sum_{j=0}^{n}(-1)^j\binom nj\,\frac1{j+1} = \frac1{n+1}, \qquad \sum_{j=0}^{n}(-1)^j\binom nj\,\frac1{j+2} = \frac1{(n+1)(n+2)} .$$ **الجزء 2 — الكسر $1/(X^n - 1)$.** 6. بيّن بصيغة التغطية أن $$\frac{1}{X^n - 1} = \frac1n\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\omega^k}{X - \omega^k} .$$ 7. تحققان: تأكّد من الصيغة مباشرةً من أجل $n = 2$ ، وبيّن أن مجموع المعاملات $n$ ينعدم من أجل $n \geq 2$ — واشرح لماذا يجب أن ينعدم (تأمّل $xF(x)$ عندما $x \to \infty$ ). 8. استخرج بالتغطية من جديد متطابقة [التمرين 9.7](#exo-b1-fractions-7) : $\frac{nX^{n-1}}{X^n-1} = \sum_k \frac1{X - \omega^k}$ . 9. جمّع [الأقطاب](#def-b1-fractions-field) المترافقة للبرهان على التفكيك الحقيقي: مع $\theta_k = \frac{2k\pi}n$، $$\frac{\omega^k}{X - \omega^k} + \frac{\omega^{n-k}}{X - \omega^{n-k}} = \frac{2\cos\theta_k\,X - 2} {X^2 - 2\cos\theta_k\,X + 1} ,$$ واكتب التفكيك الحقيقي الكامل للكسر $\frac1{X^n-1}$ (مميّزًا بين $n$ الفرديّ و $n$ الزوجيّ). 10. خصّص إلى $n = 4$ وتحقق في مقابل [التمرين 9.4](#exo-b1-fractions-4) . **الجزء 3 — مجاميع مثلثية، وصيغة أويلر $\pi^2/6$.** لتكن $P = 1 + X + \dots + X^{n-1}$، وجذورها $\omega, \omega^2, \dots, \omega^{n-1}$ (وكلها بسيطة). 11. باستعمال $\frac{P'}P = \sum_{k=1}^{n-1}\frac1{X - \omega^k}$ ([التمرين 8.11](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials#exo-b1-poly-11))، برهن على أن $$\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{1 - \omega^k} = \frac{n-1}2 .$$ 12. برهن على أن $\dfrac1{1 - \eu^{\iu\theta}} = \dfrac12 + \dfrac\iu2\,\frac{\cos(\theta/2)}{\sin(\theta/2)}$ من أجل $\theta \notin 2\pi\Z$ (بتعميل نصف الزاوية، [الطريقة 3.11](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/3-complex-numbers#met-b1-complex-trig) )، واستنتج من السؤال 11 أن $\sum_{k=1}^{n-1} \frac{\cos(k\pi/n)}{\sin(k\pi/n)} = 0$ — وهو مرئيّ كذلك بالتناظر $k \leftrightarrow n - k$ . 13. باشتقاق متطابقة السؤال 11 (أي باستعمال $\bigl(\frac{P'}P\bigr)' = \frac{P''}P - \bigl(\frac{P'}P\bigr)^2$ محسوبةً عند $X = 1$)، برهن على أن $$\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{(1 - \omega^k)^2} = \frac{(n-1)(5-n)}{12} .$$ 14. بكتابة $\cot t = \frac{\cos t}{\sin t}$، استنتج من السؤالين 12–13 الصيغتين المغلقتين $$\sum_{k=1}^{n-1}\cot^2\frac{k\pi}n = \frac{(n-1)(n-2)}3, \qquad \sum_{k=1}^{n-1}\frac1{\sin^2\frac{k\pi}n} = \frac{n^2-1}3 .$$ 15. تحقق من الصيغتين باليد من أجل $n = 3$ ومن أجل $n = 4$ . 16. برهن على المتراجحتين $\cot t < \frac1t < \frac1{\sin t}$ من أجل $t \in \intoo0{\frac\pi2}$ (من $\sin t < t < \tan t$)، واستنتج، من أجل $n = 2m + 1$ و $1 \leq k \leq m$: $$\cot^2\frac{k\pi}n \;<\; \frac{n^2}{k^2\pi^2} \;<\; \frac1{\sin^2\frac{k\pi}n} .$$ 17. اجمع هذه المتراجحات من أجل $k = 1, \dots, m$ (مستعملًا التناظر $k \leftrightarrow n - k$ لتنصيف صيغ السؤال 14) واحصر: $$\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{k^2} = \frac{\pi^2}6 .$$ **الجزء 4 — لبنات أعلى.** 18. بتربيع تفكيك $\frac1{X^2-1}$ وإعادة تفكيك الحدّ المتقاطع، برهن على أن $$\frac1{(X^2-1)^2} = \frac14\Bigl(\frac1{(X-1)^2} + \frac1{(X+1)^2}\Bigr) - \frac14\Bigl(\frac1{X-1} - \frac1{X+1}\Bigr),$$ وتحقق من ذلك عند $X = 0$. 19. اجمع بين السؤال 18 والتلسكوب وقيمة أويلر (السؤال 17) للبرهان على أن $$\sum_{n=2}^{\infty}\frac1{(n^2-1)^2} = \frac{\pi^2}{12} - \frac{11}{16} ,$$ وأكّد القيمة عدديًا بثلاثة أرقام عشرية. 20. اشتقّ متطابقة السؤال 8 للحصول على صيغة مغلقة للمقدار $\sum_{k=0}^{n-1}\frac1{(X - \omega^k)^2}$ ، وتحقق منها عند $X = 2$ و $n = 2$ . 21. برهن على أنه من أجل $k \geq 2$، $$\sum_{n=k}^{\infty}\frac{1}{\binom nk} = \frac{k}{k-1} .$$ *(ردّ ذلك إلى السؤال 4 بكتابة $1/\binom nk$ بالعوامل.)* 22. من أجل $k = 3$ ، أعط المجموع الجزئي المضبوط $\sum_{n=3}^{N}\frac1{\binom n3}$ ونهايته. **الجزء 5 — توليفة ختامية.** 23. حسابًا ختاميًا، اكتب التفكيك الحقيقي الكامل للكسر $\dfrac1{X^6 - 1}$ وتحقق منه عند $X = 0$ . 24. أين استعملت المسألة بالضبط: (أ) وحدانية التفكيك؛ (ب) [جذور الوحدة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/3-complex-numbers#def-b1-complex-unity) في [الفصل 3](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/3-complex-numbers#ch-b1-complex) ؛ (ج) المشتقة اللوغاريتمية في [التمرين 8.11](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials#exo-b1-poly-11) ؟ جملة واحدة لكلٍّ منها. 25. توليفة، في فقرة قصيرة: متطابقة جبرية واحدة — أي تفتيت كسر إلى لبنات — ولّدت مجاميع مضبوطة ومتطابقات مثلثية والقيمة $\pi^2/6$ . علّق على توزيع العمل بين الجبر (التفكيكات المضبوطة، الصالحة في كل مكان) والتحليل (النهايات والحصر)، وأشر إلى أين يُصنَّع كل خيط: التلسكوب والمقارنة في [الفصل 17](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/17-numerical-series#ch-b1-series) ، ومكاملة اللبنات في [الفصل 15](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/15-integration-on-a-segment#ch-b1-integration) . **حل المسألة 9.1.** **1.** بالتغطية: $\frac1{X(X+1)} = \frac1X - \frac1{X+1}$. ويتلسكب المجموع: $$ \sum_{n=1}^{N}\Bigl(\frac1n - \frac1{n+1}\Bigr) = 1 - \frac1{N+1} \longrightarrow 1 . $$ **2.** $\frac1{X(X+2)} = \frac{1/2}X - \frac{1/2}{X+2}$. وبالجمع، يبقى الحدّان $\frac1n$ من أجل $n = 1, 2$ ويبقى الحدّان $-\frac1{n+2}$ من أجل $n = N-1, N$: $$ \sum_{n=1}^{N}\frac1{n(n+2)} = \frac12\Bigl(1 + \frac12 - \frac1{N+1} - \frac1{N+2}\Bigr) \longrightarrow \frac34 . $$ **3.** إذا كان $F(X) = G(X) - G(X+1)$ فإن $\sum_{n=1}^N F(n) = \sum_{n=1}^N\bigl(G(n) - G(n+1)\bigr) = G(1) - G(N+1)$: إذ تختصر كل القيم الوسيطة مثنى مثنى. ومن أجل $F = \frac1{X(X+1)(X+2)}$، يكون الشاهد $G(X) = \frac1{2X(X+1)}$: $$ G(X) - G(X+1) = \frac{(X+2) - X}{2X(X+1)(X+2)} = F(X) , $$ ومنه $\sum_{n=1}^N F(n) = \frac14 - \frac1{2(N+1)(N+2)} \to \frac14$، وهي قيمة [التمرين 9.8](#exo-b1-fractions-8). **4.** ضع الطرف الأيمن على المقام المشترك $X(X+1)\cdots(X+k)$: $$ \frac1k\cdot\frac{(X + k) - X}{X(X+1)\cdots(X+k)} = \frac{1}{X(X+1)\cdots(X+k)} , $$ وهي المتطابقة. ومنه $F_k(X) = \frac1k\bigl(G_k(X) - G_k(X+1)\bigr)$ حيث $G_k(X) = \frac1{X(X+1)\cdots(X+k-1)}$، وتعطي آلية السؤال 3 $$ \sum_{n=1}^{N}\frac1{n(n+1)\cdots(n+k)} = \frac1k\Bigl(\frac1{k!} - G_k(N+1)\Bigr) \longrightarrow \frac1{k\cdot k!} , $$ لأن $G_k(1) = \frac1{k!}$ و $G_k(N+1) \to 0$. ومن أجل $k = 2$: $\frac1{2\cdot2} = \frac14$، وهذا يطابق السؤال 3. **5.** [التمرين 9.6](#exo-b1-fractions-6) يعطي $\frac{n!}{X(X+1)\cdots(X+n)} = \sum_{j=0}^n \frac{(-1)^j\binom nj}{X + j}$. واحسب عند $X = 1$: الطرف الأيسر هو $\frac{n!}{(n+1)!} = \frac1{n+1}$، والطرف الأيمن هو $\sum_j(-1)^j\binom nj\frac1{1+j}$: وهي المتطابقة الأولى. وعند $X = 2$: الطرف الأيسر هو $\frac{n!}{2\cdot3\cdots(n+2)} = \frac{n!\cdot1}{(n+2)!} = \frac1{(n+1)(n+2)}$، والطرف الأيمن $\sum_j(-1)^j\binom nj\frac1{2+j}$: وهي المتطابقة الثانية. **6.** [الأقطاب](#def-b1-fractions-field) $\omega^k$ بسيطة، وتعطي صيغة [القطب](#def-b1-fractions-field) البسيط في [الطريقة 9.6](#met-b1-fractions-compute) المعاملَ $$ \frac{1}{\bigl(nX^{n-1}\bigr)_{X = \omega^k}} = \frac{1}{n\,\omega^{k(n-1)}} = \frac{\omega^k}{n\,\omega^{kn}} = \frac{\omega^k}n , $$ باستعمال $\omega^{kn} = 1$. ومنه $\frac1{X^n-1} = \frac1n\sum_k \frac{\omega^k}{X - \omega^k}$. **7.** من أجل $n = 2$ (حيث $\omega = -1$): $\frac12\bigl( \frac1{X-1} - \frac1{X+1}\bigr) = \frac12\cdot\frac{2}{X^2-1} = \frac1{X^2-1}$: وهذا صحيح. ويكون مجموع المعاملات $\frac1n\sum_k\omega^k = 0$ من أجل $n \geq 2$ ([القضية 3.18](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/3-complex-numbers#prop-b1-complex-sumroots)). ويجب أن يكون كذلك: إذ $x\,F(x) \to \sum_k c_k$ عندما $x \to \infty$ من أجل أيّ تفكيك [بأقطاب](#def-b1-fractions-field) بسيطة، بينما هنا $xF(x) = \frac{x}{x^n-1} \to 0$ لأن $n \geq 2$. **8.** بالتغطية من أجل $\frac{X^{n-1}}{X^n - 1}$ عند $\omega^k$: $\frac{A(\omega^k)}{B'(\omega^k)} = \frac{\omega^{k(n-1)}}{n\omega^{k(n-1)}} = \frac1n$، ومنه $\frac{X^{n-1}}{X^n-1} = \frac1n\sum_k\frac1{X - \omega^k}$ — وهي متطابقة [التمرين 9.7](#exo-b1-fractions-7) من جديد. **9.** مع $c = \omega^k$ و$\conj c = \omega^{n-k}$ و $c\conj c = 1$ و$c + \conj c = 2\cos\theta_k$: $$ \frac{c}{X - c} + \frac{\conj c}{X - \conj c} = \frac{c(X - \conj c) + \conj c(X - c)} {(X - c)(X - \conj c)} = \frac{2\cos\theta_k\,X - 2}{X^2 - 2\cos\theta_k\,X + 1} . $$ وبتجميع $k$ مع $n - k$ في السؤال 6: من أجل $n$ الفرديّ، $$ \frac1{X^n - 1} = \frac1n\Biggl(\frac1{X-1} + \sum_{k=1}^{(n-1)/2} \frac{2\cos\theta_k X - 2}{X^2 - 2\cos\theta_k X + 1}\Biggr) ; $$ ومن أجل $n$ الزوجيّ، يسهم [القطب](#def-b1-fractions-field) الزائد المزدوج مع نفسه $\omega^{n/2} = -1$ بالمقدار $\frac{-1}{X+1}$ داخل القوس ويجري مجموع الأزواج حتى $\frac n2 - 1$. **10.** من أجل $n = 4$: $\theta_1 = \frac\pi2$ و $\cos\theta_1 = 0$، ومنه فحدّ الزوج هو $\frac{-2}{X^2+1}$ و $$ \frac1{X^4-1} = \frac14\Bigl(\frac1{X-1} - \frac1{X+1} - \frac2{X^2+1}\Bigr) , $$ وهو تفكيك [التمرين 9.4](#exo-b1-fractions-4). **11.** $P = \prod_{k=1}^{n-1}(X - \omega^k)$ (بقسمة $X^n - 1$ على $X - 1$)، ومنه حسب [التمرين 8.11](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/8-polynomials#exo-b1-poly-11) يكون $\frac{P'}P = \sum_{k=1}^{n-1}\frac1{X-\omega^k}$. وعند $X = 1$: $P(1) = n$ و $P'(1) = \sum_{j=1}^{n-1}j = \frac{n(n-1)}2$، ومنه $$ \sum_{k=1}^{n-1}\frac1{1 - \omega^k} = \frac{P'(1)}{P(1)} = \frac{n-1}2 . $$ **12.** بنصف الزاوية: $1 - \eu^{\iu\theta} = -2\iu\sin\frac\theta2\,\eu^{\iu\theta/2}$، ومنه $$ \frac1{1 - \eu^{\iu\theta}} = \frac{\eu^{-\iu\theta/2}}{-2\iu\sin\frac\theta2} = \frac{\iu\cos\frac\theta2 + \sin\frac\theta2} {2\sin\frac\theta2} = \frac12 + \frac\iu2\, \frac{\cos\frac\theta2}{\sin\frac\theta2} . $$ ومع $\theta = \theta_k = \frac{2k\pi}n$: $\frac1{1-\omega^k} = \frac12 + \frac\iu2\cot\frac{k\pi}n$. وبالجمع على $k = 1, \dots, n-1$ ومقارنة ذلك بالقيمة الحقيقية $\frac{n-1}2$ في السؤال 11: تفسّر الأجزاء الحقيقية كل شيء أصلًا، ومنه $\sum_k\cot\frac{k\pi}n = 0$ — كما يبيّنه كذلك التناظر $\cot\frac{(n-k) \pi}n = -\cot\frac{k\pi}n$. **13.** باشتقاق $\frac{P'}P = \sum_k\frac1{X - \omega^k}$: $$ \frac{P''}P - \Bigl(\frac{P'}P\Bigr)^2 = -\sum_{k=1}^{n-1}\frac1{(X - \omega^k)^2} . $$ وعند $X = 1$: $P''(1) = \sum_{j=2}^{n-1}j(j-1) = 2\binom n3 = \frac{n(n-1)(n-2)}3$ (بمتطابقة عصا الهوكي، أو بالاستقراء)، ومنه $$ \sum_{k=1}^{n-1}\frac1{(1 - \omega^k)^2} = \Bigl(\frac{n-1}2\Bigr)^2 - \frac{(n-1)(n-2)}3 = \frac{(n-1)\bigl(3(n-1) - 4(n-2)\bigr)}{12} = \frac{(n-1)(5-n)}{12} . $$ **14.** بتربيع صيغة السؤال 12، مع $c_k = \cot\frac{k\pi}n$: $$ \frac1{(1-\omega^k)^2} = \Bigl(\frac12 + \frac\iu2 c_k\Bigr)^2 = \frac14 - \frac{c_k^2}4 + \frac\iu2\,c_k . $$ وبالجمع وباستعمال $\sum c_k = 0$ (السؤال 12) والسؤال 13: $\frac{n-1}4 - \frac14\sum_k c_k^2 = \frac{(n-1)(5-n)}{12}$، ومنه $$ \sum_{k=1}^{n-1}\cot^2\frac{k\pi}n = (n-1) - \frac{(n-1)(5-n)}3 = \frac{(n-1)(n-2)}3 . $$ ثم يعطي $\frac1{\sin^2t} = 1 + \cot^2t$ أن $\sum_k\frac1{\sin^2\frac{k\pi}n} = (n-1) + \frac{(n-1)(n-2)}3 = \frac{n^2-1}3$. **15.** من أجل $n = 3$: $\cot^2\frac\pi3 + \cot^2\frac{2\pi}3 = \frac13 + \frac13 = \frac23 = \frac{2\cdot1}3$؛ و مجموع $\frac1{\sin^2}$ يساوي $\frac43 + \frac43 = \frac83 = \frac{9-1}3$. ومن أجل $n = 4$: $1 + 0 + 1 = 2 = \frac{3\cdot2}3$؛ و$2 + 1 + 2 = 5 = \frac{16-1}3$. فالصيغتان تتحققان. **16.** من أجل $t \in \intoo0{\frac\pi2}$، تعطي المقارنة الكلاسيكية $\sin t < t < \tan t$ (بحجة المساحة أو التحدّب، وهي مألوفة من الثانوية)، بأخذ المقلوبات، أن $\cot t < \frac1t < \frac1{\sin t}$، وكلها موجبة هناك؛ والتربيع يحفظ الترتيب. ومع $t = \frac{k\pi}n$ و $1 \leq k \leq m$ و $n = 2m+1$ (فيكون $t < \frac\pi2$): $$ \cot^2\frac{k\pi}n < \frac{n^2}{k^2\pi^2} < \frac1{\sin^2\frac{k\pi}n} . $$ **17.** بالتناظرين $\cot^2\frac{(n-k)\pi}n = \cot^2\frac{k\pi}n$ وكذلك من أجل $\sin^2$، تنتصف مجاميع السؤال 14: $\sum_{k=1}^{m}\cot^2\frac{k\pi}n = \frac{(n-1)(n-2)}6 = \frac{m(2m-1)}3$ و$\sum_{k=1}^m\frac1{\sin^2\frac{k\pi}n} = \frac{n^2-1}6 = \frac{2m(m+1)}3$. وبجمع السؤال 16 على $k = 1, \dots, m$ والضرب في $\frac{\pi^2}{n^2}$: $$ \frac{\pi^2}{(2m+1)^2}\cdot\frac{m(2m-1)}3 \;<\; \sum_{k=1}^{m}\frac1{k^2} \;<\; \frac{\pi^2}{(2m+1)^2}\cdot\frac{2m(m+1)}3 . $$ ويؤول الحاصران معًا إلى $\frac{\pi^2}6$ عندما $m \to \infty$ (إذ تؤول النسبتان $\frac{m(2m-1)}{(2m+1)^2}$ و$\frac{2m(m+1)}{(2m+1)^2}$ كلتاهما إلى $\frac12$)، ومنه بالحصر تتقارب المجاميع الجزئية المتزايدة و $$ \sum_{k=1}^{\infty}\frac1{k^2} = \frac{\pi^2}6 . $$ **18.** ربّع $\frac1{X^2-1} = \frac12\bigl(\frac1{X-1} - \frac1{X+1}\bigr)$: $$ \frac1{(X^2-1)^2} = \frac14\Bigl(\frac1{(X-1)^2} + \frac1{(X+1)^2}\Bigr) - \frac12\cdot\frac1{(X-1)(X+1)} , $$ وأعد تفكيك الحدّ المتقاطع $\frac1{(X-1)(X+1)} = \frac12\bigl(\frac1{X-1} - \frac1{X+1}\bigr)$ للحصول على الصورة المذكورة. وعند $X = 0$: الطرف الأيسر $1$؛ والطرف الأيمن $\frac14(1 + 1) - \frac14(-1 - 1) = \frac12 + \frac12 = 1$. **19.** اجمع السؤال 18 على $n \geq 2$. ومع $S = \sum_{k\geq1}\frac1{k^2} = \frac{\pi^2}6$: $\sum_{n\geq2} \frac1{(n-1)^2} = S$؛ و$\sum_{n\geq2}\frac1{(n+1)^2} = S - 1 - \frac14$؛ والتلسكوب ذو الفجوة المزدوجة $\sum_{n\geq2}\bigl( \frac1{n-1} - \frac1{n+1}\bigr) = 1 + \frac12 = \frac32$. ومنه $$ \sum_{n=2}^{\infty}\frac1{(n^2-1)^2} = \frac14\Bigl(2S - \frac54\Bigr) - \frac14\cdot\frac32 = \frac S2 - \frac{11}{16} = \frac{\pi^2}{12} - \frac{11}{16} \approx 0.135 . $$ وعدديًا: $\frac19 + \frac1{64} + \frac1{225} + \frac1{576} + \frac1{1225} + \dots \approx 0.1111 + 0.0156 + 0.0044 + 0.0017 + 0.0008 + \dots \approx 0.135$: وهذا متسق. **20.** اشتقّ متطابقة السؤال 8 $\sum_k\frac1{X-\omega^k} = \frac{nX^{n-1}}{X^n-1}$: $$ \sum_{k=0}^{n-1}\frac1{(X - \omega^k)^2} = \frac{n^2X^{2n-2} - n(n-1)X^{n-2}(X^n - 1)}{(X^n - 1)^2} . $$ وللتحقق عند $n = 2$ و $X = 2$: الطرف الأيمن $\frac{4\cdot4 - 2\cdot1\cdot3}{9} = \frac{10}9$؛ والطرف الأيسر $\frac1{(2-1)^2} + \frac1{(2+1)^2} = 1 + \frac19 = \frac{10}9$. **21.** $\frac1{\binom nk} = \frac{k!\,(n-k)!}{n!} = \frac{k!}{(n-k+1)(n-k+2)\cdots n}$، وهو جداء $k$ عددًا صحيحًا متتاليًا في المقام. وبتعويض $j = n - k + 1$ (فيجري $j$ على $\N^*$ عندما يجري $n$ ابتداءً من $k$): $$ \sum_{n=k}^{\infty}\frac1{\binom nk} = k!\sum_{j=1}^{\infty}\frac1{j(j+1)\cdots(j+k-1)} = \frac{k!}{(k-1)\,(k-1)!} = \frac{k}{k-1} , $$ حسب السؤال 4 مطبَّقًا مع $k - 1$ بدل $k$ (وهذا صالح لأن $k - 1 \geq 1$). **22.** من أجل $k = 3$: $\frac1{\binom n3} = \frac6{(n-2)(n-1)n}$، ومنه بالمجموع الجزئي في السؤال 3 (منسحبًا)، $$ \sum_{n=3}^{N}\frac1{\binom n3} = 6\sum_{j=1}^{N-2}\frac1{j(j+1)(j+2)} = 6\Bigl(\frac14 - \frac1{2(N-1)N}\Bigr) = \frac32 - \frac3{(N-1)N} \longrightarrow \frac32 , $$ وهي القيمة $\frac k{k-1} = \frac32$ في السؤال 21. **23.** من أجل $n = 6$: الزوجان $k = 1$ (حيث $\theta_1 = \frac\pi3$ و $2\cos\theta_1 = 1$) و $k = 2$ (حيث $\theta_2 = \frac{2\pi}3$ و $2\cos\theta_2 = -1$)، مع القطبين الحقيقيين $\pm1$: $$ \frac1{X^6-1} = \frac16\Bigl(\frac1{X-1} - \frac1{X+1} + \frac{X - 2}{X^2 - X + 1} + \frac{-X - 2}{X^2 + X + 1}\Bigr) . $$ وعند $X = 0$: الطرف الأيسر $-1$؛ والطرف الأيمن $\frac16(-1 - 1 - 2 - 2) = -1$: وهذا صحيح. **24.** (أ) تشرّع الوحدانية كل تعيين للمعاملات — فالتغطية، وتجميع الأزواج المترافقة في السؤال 9، وحيل الاشتقاق (السؤالان 13 و 20) كلها تستند إليها. (ب) ووفّرت [جذور الوحدة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/3-complex-numbers#def-b1-complex-unity) [أقطاب](#def-b1-fractions-field) $X^n - 1$ وتناظراتها ($k \leftrightarrow n-k$) و جبر نصف الزاوية في السؤال 12 ([الطريقة 3.11](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/3-complex-numbers#met-b1-complex-trig)). (ج) وحوّلت المشتقة اللوغاريتمية $\frac{P'}P = \sum\frac{m_i}{X-a_i}$ المعلومةَ عن جذور $P = 1 + X + \dots + X^{n-1}$ إلى المجاميع العددية في السؤالين 11 و 13 — وهي المفصل بين الجزأين 2 و 3. **25.** التفكيك متطابقة جبرية خالصة، صحيحة من أجل كل قيمة للمتغير دفعةً واحدة؛ وهذا ما يجعله محرّكًا. فتعويض الأعداد الصحيحة والجمع حوّله إلى تلسكوبات (الجزء 1)؛ وتعويض [جذور الوحدة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/3-complex-numbers#def-b1-complex-unity) وتجميع المرافقات حوّله إلى متطابقات مثلثية (الجزآن 2 و 3)؛ ولم يدخل التحليل إلا في الخطوة الأخيرة — أي الحصر بين صيغتين مغلقتين — ليسلّم $\frac{\pi^2}6$، وهي [عبارة](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-statement) ما كان لأيّ تعويض منته أن يبلغها. وتوزيع العمل هذا (فالجبر ينتج متطابقات منتهية مضبوطة، والتحليل ينتقل إلى النهاية) هو قالب [الفصل 17](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/17-numerical-series#ch-b1-series)، حيث يصير التلسكوب والمقارنة منهجيين، وقالب [الفصل 15](https://one-course.com/books/math/3/ar/chapter/15-integration-on-a-segment#ch-b1-integration)، حيث تكتسب كل لبنة دالةً أصلية وتحسب التفكيكات نفسها تكاملات بدل مجاميع.