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title: "Topología de la recta real"
book: "Matemáticas universitarias — Grado 1"
subject: math
language: es
chapter: 12
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/12-topologia-de-la-recta-real
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# Capítulo 12 — Topología de la recta real

Los límites remiten una y otra vez al mismo vocabulario geométrico: puntos «próximos a» un [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets), [conjuntos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) «sin fugas por la [frontera](#def-b1-topology-closure)», [intervalos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) de los que las sucesiones no pueden escapar. Este capítulo fija ese vocabulario — [conjuntos abiertos](#def-b1-topology-open) y [cerrados](#def-b1-topology-closed), [interior](#def-b1-topology-closure) y [clausura](#def-b1-topology-closure), [densidad](#def-b1-topology-dense) — sobre la recta real, y demuestra la compacidad de los segmentos en su forma secuencial. Las mismas nociones, en espacios vectoriales normados, son materia del segundo año; sobre $\R$ están al alcance y son inmediatamente útiles para el [Capítulo 13](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#ch-b1-continuity).

## 12.1 Conjuntos abiertos, conjuntos cerrados

**Definición 12.1 (Entorno, conjunto abierto).**

Un [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) $V \subseteq \R$ es un *entorno* de $x \in \R$ cuando contiene un [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) $\intoo{x - r}{x + r}$ para algún $r > 0$. Un [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) $U \subseteq \R$ es *abierto* cuando es entorno de cada uno de sus puntos:

$$
\forall x \in U,\ \exists r > 0, \quad \intoo{x - r}{x + r}
\subseteq U .
$$

**Ejemplo 12.2.**

Los [intervalos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) [abiertos](#def-b1-topology-open) son [abiertos](#def-b1-topology-open): para $x \in \intoo{a}{b}$, tómese $r = \min(x - a,\, b - x) > 0$. Las semirrectas $\intoo{a}{+\infty}$ son [abiertas](#def-b1-topology-open); $\R$ y $\emptyset$ son [abiertos](#def-b1-topology-open) (el segundo, por vacuidad). $\intcc{0}{1}$ *no* es [abierto](#def-b1-topology-open): ningún [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) en torno a $0$ se queda dentro.

**Proposición 12.3 (Estabilidad de los abiertos).**

Toda unión de [abiertos](#def-b1-topology-open) es [abierta](#def-b1-topology-open); una intersección *finita* de [abiertos](#def-b1-topology-open) es [abierta](#def-b1-topology-open). Las intersecciones infinitas pueden fallar: $\bigcap_{n \geq 1} \intoo{-\frac 1n}{\frac 1n} = \{0\}$, que no es [abierto](#def-b1-topology-open).

**Demostración.** Unión: si $x \in \bigcup_i U_i$, entonces $x \in U_{i_0}$ para algún $i_0$, y el [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) que proporciona $U_{i_0}$ queda dentro de la unión. Intersección finita: si $x \in U_1 \cap \dots \cap U_k$, tómese $r = \min(r_1, \dots, r_k) > 0$ de los radios que proporciona cada $U_j$. Para el contraejemplo: todo [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) en torno a $0$ contiene algún $\frac{1}{n}$ (Arquímedes) y, por tanto, sale de la intersección. ∎

**Ejemplo 12.4 (Certificar que un conjunto es abierto con radios explícitos).**

¿Es [abierto](#def-b1-topology-open) $U = \{x \in \R : x^2 > 2\}$? Sí, y el certificado se puede escribir: $U = \intoo{-\infty}{-\sqrt2} \cup
\intoo{\sqrt2}{+\infty}$, unión de dos semirrectas [abiertas](#def-b1-topology-open), luego [abierto](#def-b1-topology-open) por la [Proposición 12.3](#prop-b1-topology-openstable). Alternativamente, razónese punto por punto: para $x \in U$ con $x > \sqrt 2$, tómese $r = x - \sqrt2 > 0$: todo $y \in \intoo{x - r}{x + r}$ cumple $y > \sqrt 2$ y, por tanto, $y^2 > 2$; simétricamente por la izquierda. Los dos estilos importan — el estructural (construir a partir de [abiertos](#def-b1-topology-open) conocidos con uniones e intersecciones finitas) escala mejor, y el de $\varepsilon$ funciona cuando no se ve ninguna estructura; y el [Capítulo 13](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#ch-b1-continuity) añadirá un tercero, el más potente: $U$ es la [imagen recíproca](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-map) del [abierto](#def-b1-topology-open) $\intoo{2}{+\infty}$ por la función continua $x \mapsto x^2$.

**Definición 12.5 (Conjunto cerrado).**

Un [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) $F \subseteq \R$ es *cerrado* cuando su complementario $\R \setminus F$ es [abierto](#def-b1-topology-open). Por De Morgan y la [Proposición 12.3](#prop-b1-topology-openstable): toda intersección de [conjuntos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) cerrados es cerrada, y las uniones finitas de cerrados son cerradas.

**Teorema 12.6 (Caracterización secuencial de los cerrados).**

$F$ es [cerrado](#def-b1-topology-closed) si y solo si, para toda sucesión $(u_n)$ de puntos de $F$ que converja a algún $\ell \in \R$, el límite $\ell$ pertenece a $F$. («[Cerrado](#def-b1-topology-closed)» $=$ «estable por paso al límite».)

**Demostración.** ($\Rightarrow$) Sean $F$ [cerrado](#def-b1-topology-closed), $u_n \in F$, $u_n \to \ell$, y supóngase $\ell \notin F$. El complementario es [abierto](#def-b1-topology-open): algún $\intoo{\ell - r}{\ell + r}$ evita $F$. Pero la convergencia mete $u_n$ en ese [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) para $n$ grande: contradicción con $u_n \in F$.

($\Leftarrow$) Supóngase que $F$ no es [cerrado](#def-b1-topology-closed): el complementario no es [abierto](#def-b1-topology-open), luego algún $x \notin F$ no tiene ningún [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) $\intoo{x - r}{x + r}$ dentro del complementario; tomando $r = \frac{1}{n+1}$, elíjase $u_n \in F$ con $\abs{u_n - x} < \frac{1}{n+1}$. Entonces $u_n \in F$ y $u_n \to x \notin F$: la propiedad secuencial falla. ∎

**Ejemplo 12.7 (El test secuencial, en los dos sentidos).**

*[Cerrado](#def-b1-topology-closed):* $F = \Z \cup \bigl\{n + \frac1n : n \geq 2\bigr\}$. Sea $u_k \in F$ con $u_k \to \ell$. La ventana $\intcc{\ell - 1}{\ell + 1}$ contiene solo finitos puntos de $F$ (finitos enteros, finitos $n + \frac1n$) y, más allá de cierto rango, todos los $u_k$ están en ella: la sucesión toma entonces finitos valores y, siendo convergente, acaba siendo constante (como en el [Ejercicio 12.3](#exo-b1-topology-3)): $\ell \in F$. [Cerrado](#def-b1-topology-closed) — aunque $F$ contenga pares de puntos a distancia $\frac1n$, arbitrariamente próximos.

*No [cerrado](#def-b1-topology-closed):* $G = \bigl\{\frac1m + \frac1n : m, n \in
\N^*\bigr\}$. La sucesión $\frac1n + \frac1n \in G$ tiende a $0$, y $0 \notin G$ (suma de dos términos positivos): el test secuencial falla, $G$ no es [cerrado](#def-b1-topology-closed). Curiosamente, cada $\frac1m$ *sí* pertenece a $\overline G \cap G$: en efecto, $\frac1m = \frac{1}{m+1} + \frac{1}{m(m+1)} \in G$. La idea de cierre: para demostrar que un [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) es [cerrado](#def-b1-topology-closed) hay que controlar *todas* las sucesiones convergentes a la vez (normalmente con un argumento de finitud local o de fórmula [cerrada](#def-b1-topology-closed)); para refutarlo basta una sucesión bien elegida que se escape — la asimetría hace fácil la dirección negativa, y todos los contraejemplos de este capítulo tienen esa forma de una línea.

**Ejemplo 12.8.**

Los segmentos $\intcc{a}{b}$, las semirrectas $\intco{a}{+\infty}$, los [conjuntos finitos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/2-combinatoria#def-b1-counting-card) y $\Z$ (una sucesión convergente de enteros acaba siendo constante) son [cerrados](#def-b1-topology-closed). $\intoc{0}{1}$ no es [abierto](#def-b1-topology-open) (falla en $1$) ni [cerrado](#def-b1-topology-closed) ($\frac 1n \to 0 \notin$ el [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets)): la mayoría de los [conjuntos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) no son ni una cosa ni la otra. $\R$ y $\emptyset$ son a la vez [abiertos](#def-b1-topology-open) y [cerrados](#def-b1-topology-closed) — y son los únicos subconjuntos de $\R$ así ([Ejercicio 12.9](#exo-b1-topology-9)).

**Ejemplo 12.9 (Un abierto ensamblado con infinitas piezas).**

$\R \setminus \Z = \bigcup_{n \in \Z} \intoo{n}{n+1}$: una unión infinita de [intervalos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) [abiertos](#def-b1-topology-open), [abierta](#def-b1-topology-open) por la [Proposición 12.3](#prop-b1-topology-openstable) — de modo que $\Z$ es [cerrado](#def-b1-topology-closed) sin necesidad de ningún argumento secuencial. Obsérvese el reparto de tareas en las reglas de estabilidad: las *uniones* de [abiertos](#def-b1-topology-open) pueden ser arbitrarias (cada punto solo necesita su propio certificado, suministrado por el [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) que lo contiene), mientras que las *intersecciones* deben ser finitas (hay que intersecar los certificados, e infinitos radios pueden encogerse hasta nada). [Ejercicio 12.10](#exo-b1-topology-10) mostrará que este ejemplo es la forma general: todo [abierto](#def-b1-topology-open) de $\R$ es una unión numerable y disjunta de [intervalos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) [abiertos](#def-b1-topology-open).

## 12.2 Interior, clausura, densidad

**Definición 12.10 (Interior, clausura, frontera).**

Sea $A \subseteq \R$.

- Un punto $x$ es *interior* a $A$ cuando $A$ es [entorno](#def-b1-topology-open) de $x$ ; el *interior* $\mathring{A}$ es el [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) de los puntos interiores.
- Un punto $x$ es *adherente* a $A$ cuando todo [entorno](#def-b1-topology-open) de $x$ corta a $A$ ; la *clausura* $\overline{A}$ es el [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) de los puntos adherentes.
- La *frontera* es $\partial A = \overline A \setminus  \mathring A$ .

Se tiene $\mathring A \subseteq A \subseteq \overline A$.

**Proposición 12.11 (Propiedades principales).**

1. $\mathring A$ es el mayor [abierto](#def-b1-topology-open) contenido en $A$ ; $A$ es [abierto](#def-b1-topology-open) si y solo si $A = \mathring A$ .
2. $\overline A$ es el menor [cerrado](#def-b1-topology-closed) que contiene a $A$ ; $A$ es [cerrado](#def-b1-topology-closed) si y solo si $A = \overline A$ .
3. (Caracterización secuencial de la adherencia) $x \in \overline A$ si y solo si $x$ es límite de una sucesión de puntos de $A$ .
4. La complementación intercambia las nociones: $\R \setminus  \overline A = \bigl(\R \setminus A\bigr)^{\!\circ}$ .

**Demostración.** (4) $x \notin \overline A$ $\iff$ algún [entorno](#def-b1-topology-open) de $x$ evita $A$ $\iff$ algún [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) en torno a $x$ está en $\R \setminus A$ $\iff$ $x$ es [interior](#def-b1-topology-closure) a $\R \setminus A$.

(1) $\mathring A$ es [abierto](#def-b1-topology-open): si $x \in \mathring A$, algún $\intoo{x-r}{x+r} \subseteq A$; todo punto $y$ de ese [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) tiene a su alrededor un [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) menor contenido en él y, por tanto, en $A$: todo el [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) está en $\mathring A$. Todo [abierto](#def-b1-topology-open) $U \subseteq A$ consta de puntos [interiores](#def-b1-topology-closure) de $A$, luego $U \subseteq \mathring A$: es el mayor. La caracterización de los [abiertos](#def-b1-topology-open) se sigue.

(2) Con detalle. Por (4), $\R \setminus \overline A$ es el [interior](#def-b1-topology-closure) de $\R \setminus A$, un [abierto](#def-b1-topology-open) por (1): luego $\overline A$ es [cerrado](#def-b1-topology-closed), y contiene a $A$. Minimalidad: sea $F \supseteq A$ [cerrado](#def-b1-topology-closed). Entonces $\R \setminus F$ es [abierto](#def-b1-topology-open) y está contenido en $\R \setminus A$, luego, por la maximalidad de (1),

$$
\R \setminus F \subseteq \bigl(\R \setminus A\bigr)^{\!\circ}
= \R \setminus \overline A ,
$$

y, tomando complementarios otra vez, $\overline A \subseteq F$. Así pues, $\overline A$ es el menor [cerrado](#def-b1-topology-closed) que lo contiene. Caracterización: si $A = \overline A$, entonces $A$ es [cerrado](#def-b1-topology-closed) (recién visto); y si $A$ es [cerrado](#def-b1-topology-closed), es él mismo un [cerrado](#def-b1-topology-closed) que contiene a $A$, luego la minimalidad obliga a $\overline A \subseteq A$, y hay igualdad.

(3) Si $u_n \in A$, $u_n \to x$: todo [entorno](#def-b1-topology-open) de $x$ contiene algún $u_n \in A$, luego $x \in \overline A$. Recíprocamente, si $x \in \overline A$: cada [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) $\intoo{x - \frac{1}{n+1}}{x +
\frac{1}{n+1}}$ corta a $A$ en algún $u_n$, y $u_n \to x$. ∎

**Ejemplo 12.12.**

$\overline{\intoo{0}{1}} = \intcc{0}{1}$; $\mathring{\intcc{0}{1}} = \intoo{0}{1}$; $\partial\intoo{0}{1} = \{0, 1\}$. Para $A = \{\frac 1n : n \in \N^*\}$: $\overline A = A \cup \{0\}$, $\mathring A = \emptyset$, $\partial A = A \cup \{0\}$. Para $\Q$: por [densidad](#def-b1-topology-dense) ([Teorema 10.14](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#thm-b1-reals-density)), todo real es adherente a $\Q$, luego $\overline{\Q} = \R$, mientras que $\mathring{\Q} = \emptyset$ (todo [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) contiene irracionales): la [frontera](#def-b1-topology-closure) de $\Q$ es todo $\R$.

**Ejemplo 12.13 (Una anatomía completa).**

Sea $A = \intoc{0}{1} \,\cup\, \bigl(\Q \cap \intoo{2}{3}\bigr)
\,\cup\, \{4\}$. Calculemos los tres [conjuntos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) de la [Definición 12.10](#def-b1-topology-closure), pieza a pieza.

*[Interior](#def-b1-topology-closure).* Un punto de $\intoo{0}{1}$ tiene todo un [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) dentro de $A$: es [interior](#def-b1-topology-closure). El punto $1$: todo [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) a su alrededor se escapa a la derecha de $1$, donde $A$ no tiene nada hasta $2$: no es [interior](#def-b1-topology-closure). Ningún punto de $\Q \cap \intoo{2}{3}$ es [interior](#def-b1-topology-closure) (todo [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) contiene irracionales, [Teorema 10.14](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#thm-b1-reals-density)); tampoco el aislado $4$. Luego $\mathring A = \intoo{0}{1}$.

*[Clausura](#def-b1-topology-closure).* Límites de puntos de $A$: todo $\intcc{0}{1}$ ($0 = \lim \frac1n$ con $\frac 1n \in A$); todo $\intcc{2}{3}$ (todo real de ahí es límite de racionales del [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals), otra vez la [densidad](#def-b1-topology-dense)); y $4$. Nada más: un punto fuera de $\intcc{0}{1} \cup \intcc{2}{3} \cup \{4\}$ está a distancia positiva de ese [cerrado](#def-b1-topology-closed). Luego $\overline A = \intcc{0}{1} \cup
\intcc{2}{3} \cup \{4\}$.

*[Frontera](#def-b1-topology-closure).* $\partial A = \overline A \setminus \mathring A
= \{0, 1\} \cup \intcc{2}{3} \cup \{4\}$.

La idea de cierre: las tres operaciones actúan *localmente* — cada pieza de $A$ aporta según su propia naturaleza (un [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) macizo conserva su [interior](#def-b1-topology-closure), una pieza [densa](#def-b1-topology-dense) pero porosa se convierte enteramente en [frontera](#def-b1-topology-closure), un punto aislado es pura [frontera](#def-b1-topology-closure)) — y un dibujo de $A$ de dos líneas predice todas las respuestas antes de escribir demostración alguna.

**Observación 12.14 (Errores frecuentes al razonar con conjuntos de puntos).**

(i) *«No [abierto](#def-b1-topology-open)» no significa «[cerrado](#def-b1-topology-closed)»*: la mayoría de los [conjuntos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) no son ninguna de las dos cosas ($\intoc{0}{1}$) y dos son las dos ($\emptyset$, $\R$) — [abierto](#def-b1-topology-open) y [cerrado](#def-b1-topology-closed) no son opuestos, sino duales por complementación. (ii) *[Interior](#def-b1-topology-closure) y [clausura](#def-b1-topology-closure) no conmutan*: para $A = \Q$,

$$
\overline{\mathring A} = \overline\emptyset = \emptyset
\qquad\text{mientras que}\qquad
\bigl(\,\overline A\,\bigr)^{\!\circ} = \mathring \R = \R :
$$

los dos operadores iterados difieren tanto como pueden diferir dos [conjuntos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets). (iii) *Las uniones infinitas de [cerrados](#def-b1-topology-closed) pueden no ser [cerradas](#def-b1-topology-closed)*: $\bigcup_{n\geq1} \intcc{\frac1n}{1} = \intoc{0}{1}$ — el espejo del contraejemplo de intersecciones de la [Proposición 12.3](#prop-b1-topology-openstable). (iv) *[Denso](#def-b1-topology-dense) no significa grande*: $\Q$ es [denso](#def-b1-topology-dense), numerable y de [interior](#def-b1-topology-closure) vacío, y su complementario también es [denso](#def-b1-topology-dense); la [densidad](#def-b1-topology-dense) dice «arbitrariamente cerca de todo», no «casi todo» — el [conjunto de Cantor](#pb-b1-topology-1) del problema del fin de semana ([Problema 12.1](#pb-b1-topology-1)) señala lo contrario: un [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) topológicamente pequeño que es no numerablemente grande.

**Ejemplo 12.15 (Una clausura calculada exactamente).**

Sea $G = \bigl\{\frac1m + \frac1n : m, n \in \N^*\bigr\}$ (del [Ejemplo 12.7](#ex-b1-topology-seqtest)). Afirmación:

$$
\overline G = G \,\cup\, \Bigl\{\frac1m : m \in \N^*\Bigr\}
\,\cup\, \{0\} .
$$

($\supseteq$) $\frac1m = \lim_n \bigl(\frac1m + \frac1n\bigr)$ y $0 = \lim_n \frac2n$: adherentes por la caracterización secuencial. ($\subseteq$) Sea $x = \lim_k \bigl(\frac{1}{m_k} +
\frac{1}{n_k}\bigr)$; ordénese cada par de modo que $m_k \leq n_k$. Si $(m_k)$ no está acotada, una [subsucesión](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/11-sucesiones#def-b1-seq-subsequence) tiene $m_k \to \infty$, luego también $n_k \to \infty$ y $x = 0$. En caso contrario, $(m_k)$ toma finitos valores, uno de ellos, digamos $m$, infinitas veces; a lo largo de esa [subsucesión](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/11-sucesiones#def-b1-seq-subsequence), $\frac{1}{n_k} \to x - \frac1m$: si $(n_k)$ está acotada, toma algún valor $n$ infinitas veces y $x = \frac1m + \frac1n \in G$; y si no, $x = \frac1m$. Todos los casos caen en el [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) anunciado. La idea de cierre: calcular una [clausura](#def-b1-topology-closure) es un análisis por casos al estilo de la compacidad sobre los índices — índice acotado significa finitos valores (palomar), índice no acotado significa que un límite se escapa — y la respuesta exhibe la típica estructura en dos capas de los puntos límite: el [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets), sus límites de primera generación y el límite de estos, $0$.

**Definición 12.16 (Densidad, forma topológica).**

$A$ es *denso* en $\R$ cuando $\overline A = \R$ — equivalentemente, todo [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) [abierto](#def-b1-topology-open) no vacío corta a $A$; y, equivalentemente (por la [Proposición 12.11](#prop-b1-topology-closureprops) (3)), todo real es límite de elementos de $A$. Ejemplos: $\Q$, $\R \setminus \Q$, los diádicos ([Ejercicio 10.8](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#exo-b1-reals-8)), los [subgrupos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/7-estructuras-algebraicas#def-b1-structures-subgroup) densos ([Ejercicio 10.9](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#exo-b1-reals-9)).

**Ejemplo 12.17 (La densidad es relativa).**

«[Denso](#def-b1-topology-dense)» tal como se ha definido aquí significa [denso](#def-b1-topology-dense) *en $\R$*; un [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) puede en cambio ser [denso](#def-b1-topology-dense) solo en una parte de la recta. Los diádicos de $\intcc{0}{1}$, es decir, $D \cap \intcc{0}{1}$ ([Ejercicio 10.8](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#exo-b1-reals-8)), cortan a todo [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) [abierto](#def-b1-topology-open) incluido en $\intcc{0}{1}$, pero por supuesto no tocan $\intoo{2}{3}$: son [densos](#def-b1-topology-dense) *en* $\intcc{0}{1}$, es decir, $\overline{D \cap \intcc{0}{1}} =
\intcc{0}{1}$. La frase general «$A$ es [denso](#def-b1-topology-dense) en $B$» abrevia $B \subseteq \overline A$ — nómbrese siempre el [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) ambiente, pues los extremos del problema del fin de semana son [densos](#def-b1-topology-dense) *en el [conjunto de Cantor](#pb-b1-topology-1)* y a la vez [densos](#def-b1-topology-dense) en ninguna parte *de $\R$*: el mismo [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets), dos descripciones veraces y de sonido opuesto.

**Ejemplo 12.18 (Manejar la densidad).**

Tres movimientos rápidos que se repiten constantemente. *Agrandar*: si $A$ es [denso](#def-b1-topology-dense) y $A \subseteq B$, entonces $B$ es [denso](#def-b1-topology-dense) (todo [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) ya corta a $A$). *Transportar*: si $A$ es [denso](#def-b1-topology-dense), también lo es $\lambda A + \mu$ para $\lambda \neq 0$ — un [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) $I$ corta a $\lambda A + \mu$ si y solo si el [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) $\frac{I - \mu}{\lambda}$ corta a $A$; así, los múltiplos impares de $10^{-9}$, por ejemplo, son [densos](#def-b1-topology-dense). *Intersecar falla*: dos [conjuntos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) [densos](#def-b1-topology-dense) pueden no cortarse en absoluto ($\Q$ y $\R \setminus \Q$): la [densidad](#def-b1-topology-dense) sobrevive a las uniones y a las aplicaciones afines, nunca a las intersecciones.

## 12.3 Compacidad de los segmentos

**Teorema 12.19 (Los segmentos son secuencialmente compactos).**

Sea $a \leq b$. Toda sucesión de puntos de $\intcc{a}{b}$ tiene una [subsucesión](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/11-sucesiones#def-b1-seq-subsequence) que converge a un punto *de* $\intcc{a}{b}$.

Más en general, los subconjuntos de $\R$ con esta propiedad (toda sucesión tiene una [subsucesión](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/11-sucesiones#def-b1-seq-subsequence) que converge dentro del [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets)) son exactamente los [conjuntos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) *[cerrados](#def-b1-topology-closed) y acotados*.

**Demostración.** Una sucesión de $\intcc{a}{b}$ está acotada, luego Bolzano–Weierstrass ([Teorema 11.16](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/11-sucesiones#thm-b1-seq-bw)) extrae una [subsucesión](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/11-sucesiones#def-b1-seq-subsequence) convergente; y su límite se queda en $\intcc{a}{b}$ porque los segmentos son [cerrados](#def-b1-topology-closed) ([Teorema 12.6](#thm-b1-topology-seqclosed)).

Caso general. *([Cerrado](#def-b1-topology-closed) y acotado $\Rightarrow$ compacto)*: sean $F$ [cerrado](#def-b1-topology-closed) y acotado y $(u_n)$ una sucesión de $F$. La acotación de $F$ acota la sucesión, luego Bolzano–Weierstrass extrae $u_{\varphi(n)} \to \ell$; y $\ell \in F$ porque $F$ es [cerrado](#def-b1-topology-closed) y la [subsucesión](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/11-sucesiones#def-b1-seq-subsequence) es una sucesión convergente de puntos de $F$ ([Teorema 12.6](#thm-b1-topology-seqclosed)): las dos hipótesis se consumen una cada una, la acotación para la existencia del límite y el ser [cerrado](#def-b1-topology-closed) para su pertenencia. *(Compacto $\Rightarrow$ [cerrado](#def-b1-topology-closed) y acotado)*: si $F$ no está acotado, tómese $u_n \in F$ con $\abs{u_n} \geq n$; toda [subsucesión](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/11-sucesiones#def-b1-seq-subsequence) no está acotada y, por tanto, diverge ([Proposición 11.4](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/11-sucesiones#prop-b1-seq-first)): no hay ninguna [subsucesión](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/11-sucesiones#def-b1-seq-subsequence) convergente. Si $F$ no es [cerrado](#def-b1-topology-closed), tómese $u_n \in F$ con $u_n \to \ell \notin F$ ([Teorema 12.6](#thm-b1-topology-seqclosed)): toda [subsucesión](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/11-sucesiones#def-b1-seq-subsequence) converge a $\ell \notin F$, luego ninguna converge *en* $F$. ∎

**Ejemplo 12.20 (Compactos encajados).**

Un primer ejercicio con el teorema. Sean $K_0 \supseteq K_1 \supseteq K_2 \supseteq \dots$ subconjuntos compactos ([cerrados](#def-b1-topology-closed) y acotados) no vacíos de $\R$. Entonces $\bigcap_n K_n \neq \emptyset$. En efecto, tómese $x_n \in K_n$ para cada $n$: la sucesión vive en el compacto $K_0$, luego una [subsucesión](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/11-sucesiones#def-b1-seq-subsequence) $x_{\varphi(n)}$ converge a cierto $x$ ([Teorema 12.19](#thm-b1-topology-compact)). Para cada $m$ fijo, los términos $x_{\varphi(n)}$ con $\varphi(n) \geq m$ están todos en el [cerrado](#def-b1-topology-closed) $K_m$, luego el límite $x$ está en $K_m$ ([Teorema 12.6](#thm-b1-topology-seqclosed)); y como $m$ era arbitrario, $x \in \bigcap_n K_n$. Un compañero útil: si un [abierto](#def-b1-topology-open) $U$ contiene $\bigcap_n K_n$, entonces $U \supseteq K_n$ para algún $n$ — aplíquese el mismo argumento a puntos $x_n \in K_n \setminus U$; el límite $x$ estaría en $\bigcap K_n \subseteq U$ y, sin embargo, ser $U$ [abierto](#def-b1-topology-open) obliga a que $x_{\varphi(n)} \in U$ a la larga, una contradicción. Los dos [enunciados](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-statement) fallan sin compacidad: $\bigcap_n \intoo{0}{\frac 1n} = \emptyset$ y $\bigcap_n \intco{n}{+\infty} = \emptyset$. La idea de cierre: la compacidad convierte una cadena infinita de afirmaciones de no vacuidad en un único punto límite — es la herramienta que sobrevive al paso a la intersección infinita, y el problema del fin de semana ([Problema 12.1](#pb-b1-topology-1)) se apoyará en ella dos veces.

![Las cuatro primeras etapas de la construcción por tercios centrales: cada segmento de C_n pierde su tercio central abierto, dejando los 2n+1 segmentos de C_n+1, de longitud total (2/3)n+1. El conjunto de Cantor C = _n C_n — objeto del problema del fin de semana — es el residuo compacto no vacío que garantiza el argumento de compactos encajados de más arriba: longitud cero y, aun así, sobreviven no numerablemente muchos puntos.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-topology/fig-8f10851209c3.svg)

*Las cuatro primeras etapas de la construcción por tercios centrales: cada segmento de $C_n$ pierde su tercio central [abierto](#def-b1-topology-open), dejando los $2^{n+1}$ segmentos de $C_{n+1}$, de longitud total $(\frac23)^{n+1}$. El [conjunto de Cantor](#pb-b1-topology-1) $C = \bigcap_n C_n$ — objeto del problema del fin de semana [Problema 12.1](#pb-b1-topology-1) — es el residuo compacto no vacío que garantiza el argumento de compactos encajados de más arriba: longitud cero y, aun así, sobreviven no numerablemente muchos puntos.*

**Observación 12.21.**

Este es el motor que hay detrás del teorema de los valores extremos ([Capítulo 13](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#ch-b1-continuity)) y del teorema de Heine sobre la continuidad uniforme. El nombre «compacto» adquirirá su definición general (por recubrimientos) en el segundo año; sobre $\R$, la compacidad secuencial es todo lo que hace falta, y «compacto $=$ [cerrado](#def-b1-topology-closed) $+$ acotado» es el [enunciado](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-statement) que hay que recordar.

**Ejemplo 12.22 (Fronteras bajo uniones).**

Siempre $\partial(A \cup B) \subseteq \partial A \cup \partial B$: un punto de $\partial(A \cup B)$ tiene todo [entorno](#def-b1-topology-open) cortando a $A \cup B$ (luego a $A$ o a $B$, y a uno de ellos infinitas veces) y cortando al complementario de $A \cup B$, que está en los dos complementarios — una comprobación breve sitúa entonces el punto en $\partial A$ o en $\partial B$. La inclusión puede ser espectacularmente estricta: con $A = \Q$ y $B = \R\setminus\Q$,

$$
\partial(A \cup B) = \partial \R = \emptyset ,
\qquad
\partial A \cup \partial B = \R \cup \R = \R :
$$

dos [conjuntos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) deshilachados pueden pegarse en uno sin costuras, aniquilándose sus [fronteras](#def-b1-topology-closure). La idea de cierre: los [interiores](#def-b1-topology-closure) y las [clausuras](#def-b1-topology-closure) se comportan *monótonamente* bajo uniones e intersecciones, pero las [fronteras](#def-b1-topology-closure) no — trátese $\partial$ como una cantidad derivada ($\overline A \setminus \mathring A$), nunca como un operador con álgebra propia.

**Observación 12.23 (Perspectivas dentro de este volumen).**

El vocabulario construido aquí se consume dos veces más en este libro. En el [Capítulo 13](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#ch-b1-continuity), todo teorema es un [enunciado](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-statement) de topología disfrazado: el teorema del valor intermedio dice que las aplicaciones continuas conservan la propiedad de ser [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals), y el de los valores extremos, que conservan la compacidad — y las demostraciones llaman por su nombre a los Teoremas [12.6](#thm-b1-topology-seqclosed) y [12.19](#thm-b1-topology-compact). En el [Capítulo 25](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/25-funciones-de-dos-variables#ch-b1-multivar), las mismas definiciones se releen en $\R^2$ con discos en lugar de [intervalos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals): [abiertos](#def-b1-topology-open), [clausuras](#def-b1-topology-closure) y compacidad se trasladan palabra por palabra, y el teorema de los valores extremos en dos variables cabalga de nuevo sobre Bolzano–Weierstrass (extráigase en cada coordenada). La única noción que *no* se generaliza sin dolor es el propio [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) — en el plano, la conexión sustituye a la convexidad, historia que empieza con el «solo $\emptyset$ y $\R$ son [abiertos](#def-b1-topology-open) y [cerrados](#def-b1-topology-closed)» del [Ejercicio 12.9](#exo-b1-topology-9).

## 12.4 Ejercicios

**Ejercicio 12.1 ★.**

Dígase, para cada [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets), si es [abierto](#def-b1-topology-open), [cerrado](#def-b1-topology-closed), las dos cosas o ninguna (con justificación): $\intoo{0}{1} \cup \intoo{2}{3}$; $\;\intco{0}{1}$; $\;\{0\} \cup \intcc{1}{2}$; $\;\R \setminus \Z$; $\;\Q \cap \intoo{0}{1}$.

**Solución de Ejercicio 12.1.**

$\intoo{0}{1} \cup \intoo{2}{3}$: [abierto](#def-b1-topology-open) (unión de [abiertos](#def-b1-topology-open)), no [cerrado](#def-b1-topology-closed) ($\frac 1n \to 0$, que queda fuera).

$\intco{0}{1}$: ninguna de las dos cosas. No [abierto](#def-b1-topology-open) (ningún [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) en torno a $0$ está dentro); no [cerrado](#def-b1-topology-closed) ($1 - \frac1n \to 1 \notin$ el [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets)).

$\{0\} \cup \intcc{1}{2}$: [cerrado](#def-b1-topology-closed) (unión finita de [cerrados](#def-b1-topology-closed)), no [abierto](#def-b1-topology-open) (falla en $0$).

$\R \setminus \Z$: [abierto](#def-b1-topology-open) ($\Z$ es [cerrado](#def-b1-topology-closed)), no [cerrado](#def-b1-topology-closed): la sucesión $\bigl(\frac 1n\bigr)$ está en él, pero su límite $0$ pertenece a $\Z$, es decir, se escapa del [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets).

$\Q \cap \intoo{0}{1}$: ninguna de las dos cosas. No [abierto](#def-b1-topology-open): todo [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) en torno a un racional contiene irracionales. No [cerrado](#def-b1-topology-closed): contiene sucesiones que tienden al irracional $\frac{\sqrt 2}{2}$ ([densidad](#def-b1-topology-dense)).

**Ejercicio 12.2 ★.**

Determínense $\mathring A$, $\overline A$ y $\partial A$ para: $A = \intoc{0}{1} \cup \{2\}$; $\;A = \R \setminus \Q$; $\;A = \bigl\{\frac{(-1)^n n}{n+1} : n \in \N\bigr\}$.

**Solución de Ejercicio 12.2.**

$A = \intoc{0}{1} \cup \{2\}$: $\mathring A = \intoo{0}{1}$, $\overline A = \intcc{0}{1} \cup \{2\}$, $\partial A = \{0, 1, 2\}$.

$A = \R \setminus \Q$: $\mathring A = \emptyset$ (todo [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) contiene racionales), $\overline A = \R$ ([densidad](#def-b1-topology-dense) de los irracionales), $\partial A = \R$.

$A = \bigl\{\frac{(-1)^n n}{n+1}\bigr\}$: los términos pares tienden a $1$ y los impares a $-1$, y ninguno de los dos límites está en $A$. $\mathring A = \emptyset$ (puntos aislados), $\overline A = A \cup \{-1, 1\}$, $\partial A = \overline A$.

**Ejercicio 12.3 ★.**

Demuéstrese que un [conjunto finito](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/2-combinatoria#def-b1-counting-card) es [cerrado](#def-b1-topology-closed), primero con complementarios y después con la caracterización secuencial.

**Solución de Ejercicio 12.3.**

*Complementarios.* $F = \{a_1 < a_2 < \dots < a_k\}$: el complementario es la unión de los [intervalos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) [abiertos](#def-b1-topology-open) $\intoo{-\infty}{a_1}$, $\intoo{a_i}{a_{i+1}}$, $\intoo{a_k}{+\infty}$ — [abierto](#def-b1-topology-open) por la [Proposición 12.3](#prop-b1-topology-openstable).

*Sucesiones.* Sean $u_n \in F$ y $u_n \to \ell$. Con $\varepsilon = \min\{\abs{a_i - a_j} : i \neq j\}/2 > 0$ (o cualquier $\varepsilon$ si $F$ es unitario): más allá de cierto rango, todos los términos distan menos de $\varepsilon$ de $\ell$ y, por tanto, menos de $2\varepsilon$ entre sí, lo que los obliga a ser un único $a_i$ a partir de ese rango; entonces $\ell = a_i \in F$.

**Ejercicio 12.4 ★.**

Demuéstrese que, para todos $A, B \subseteq \R$, $\overline{A \cup B} = \overline A \cup \overline B$. Véase con un ejemplo que $\overline{A \cap B}$ puede diferir de $\overline A \cap \overline B$.

**Solución de Ejercicio 12.4.**

$\subseteq$: $\overline A \cup \overline B$ es [cerrado](#def-b1-topology-closed) (unión finita) y contiene a $A \cup B$, luego contiene al *menor* [cerrado](#def-b1-topology-closed) que lo contiene, $\overline{A \cup B}$. $\supseteq$: de $A \subseteq A \cup B$ se sigue $\overline A \subseteq
\overline{A \cup B}$ (la [clausura](#def-b1-topology-closure) es monótona: los puntos adherentes a $A$ lo son al [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) mayor), e igual para $B$.

Contraejemplo para las intersecciones: $A = \intoo{0}{1}$, $B = \intoo{1}{2}$: $\overline{A \cap B} = \overline\emptyset =
\emptyset$, mientras que $\overline A \cap \overline B = \{1\}$.

**Ejercicio 12.5 ★★.**

Sea $u_n \to \ell$ en $\R$. Demuéstrese que el [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) $\{u_n : n \in \N\} \cup \{\ell\}$ es [cerrado](#def-b1-topology-closed) (y, por tanto, compacto si se añade que está acotado — y lo está).

**Solución de Ejercicio 12.5.**

Úsese la caracterización secuencial ([Teorema 12.6](#thm-b1-topology-seqclosed)). Sean $S = \{u_n\} \cup \{\ell\}$ y $(v_k)$ una sucesión de $S$ con $v_k \to m$; veamos que $m \in S$. Dos casos. Si hay un valor $v \in S$ que $(v_k)$ toma infinitas veces, una [subsucesión](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/11-sucesiones#def-b1-seq-subsequence) constante da $m = v \in S$. En caso contrario, todo valor se toma finitas veces; en particular, para cada $n$ el término $u_n$ aparece finitas veces, y $\ell$ también. Entonces, para cada $N$, los índices $k$ con $v_k \in \{u_0, \dots, u_N, \ell\}$ son finitos: los $v_k$ restantes son términos $u_n$ con $n > N$. Dado $\varepsilon > 0$, elíjase $N$ con $\abs{u_n - \ell} \leq \varepsilon$ para $n > N$: todos los $v_k$ salvo finitos cumplen $\abs{v_k - \ell} \leq \varepsilon$. Luego $v_k \to \ell$ y, por tanto, $m = \ell \in S$.

**Ejercicio 12.6 ★★.**

Sean $U$ [abierto](#def-b1-topology-open) y $A$ arbitrario. Demuéstrese que $U + A = \{u + a\}$ es [abierto](#def-b1-topology-open). Dedúzcase que la suma de un [abierto](#def-b1-topology-open) y un [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) cualquiera es [abierta](#def-b1-topology-open), y contrástese: exhíbanse dos [conjuntos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) *[cerrados](#def-b1-topology-closed)* cuya suma no sea [cerrada](#def-b1-topology-closed). *(Pruébese con $\Z$ y $\sqrt 2\,\Z$, y el [Ejercicio 10.9](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#exo-b1-reals-9).)*

**Solución de Ejercicio 12.6.**

$U + A = \bigcup_{a \in A} (U + a)$, y cada trasladado $U + a$ es [abierto](#def-b1-topology-open) (basta trasladar los certificados de [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals)). Una unión de [abiertos](#def-b1-topology-open) es [abierta](#def-b1-topology-open) ([Proposición 12.3](#prop-b1-topology-openstable)).

[Cerrados](#def-b1-topology-closed): $\Z$ y $\sqrt 2\,\Z$ son [cerrados](#def-b1-topology-closed) (como todo $\alpha\Z$: las sucesiones convergentes acaban siendo constantes, cf. [Ejemplo 12.8](#ex-b1-topology-closed)). Su suma $\Z + \sqrt 2\,\Z$ es [densa](#def-b1-topology-dense) en $\R$ ([Ejercicio 10.9](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#exo-b1-reals-9)) pero no es $\R$ (es numerable o, sencillamente: $\frac{\sqrt 2}{2} \notin \Z + \sqrt2\Z$, pues si no $\sqrt 2$ sería racional — escribir $\frac{\sqrt2}{2} = m + n\sqrt 2$ obliga a $(2n - 1)\sqrt 2 = -2m$, luego $\sqrt 2 \in \Q$ salvo que $n = \frac12$, lo cual es imposible). Un subconjunto propio y [denso](#def-b1-topology-dense) no es [cerrado](#def-b1-topology-closed): su [clausura](#def-b1-topology-closure) es $\R \neq$ él mismo.

**Ejercicio 12.7 ★★.**

Un punto $x \in A$ es *aislado* en $A$ cuando algún [entorno](#def-b1-topology-open) de $x$ corta a $A$ solo en $x$. Demuéstrese que todo punto de $\Z$ es aislado en $\Z$, que $A = \{\frac1n\}$ tiene todos sus puntos aislados y, aun así, $\overline A \neq A$, y que un [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) cuyos puntos sean todos aislados tiene [interior](#def-b1-topology-closure) vacío.

**Solución de Ejercicio 12.7.**

$\Z$: el [entorno](#def-b1-topology-open) $\intoo{n - \frac12}{n + \frac12}$ de $n$ corta a $\Z$ solo en $n$.

$A = \{\frac1n : n \in \N^*\}$: en torno a $\frac 1n$, el [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) de radio $\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{1}{n(n+1)}$ (dividido por dos, digamos) lo aísla de sus vecinos — todos los puntos son aislados. Y, sin embargo, $0 \in \overline A \setminus A$: que los puntos sean aislados no impide que haya adherentes de fuera.

Si todos los puntos de $A$ son aislados, ningún punto de $A$ es [interior](#def-b1-topology-closure), pues un punto [interior](#def-b1-topology-closure) tiene a su alrededor todo un [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) de vecinos de $A$ (un [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) es infinito), en contradicción con el aislamiento. Luego $\mathring A = \emptyset$.

**Ejercicio 12.8 ★★.**

Demuéstrese que la [clausura](#def-b1-topology-closure) de un [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) acotado está acotada y que $\sup \overline A = \sup A$ para $A$ no vacío y acotado superiormente. Dedúzcase que $\sup A \in \overline A$: el [supremo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#def-b1-reals-bounds) es siempre adherente.

**Solución de Ejercicio 12.8.**

Si $A \subseteq \intcc{-M}{M}$, el [cerrado](#def-b1-topology-closed) $\intcc{-M}{M}$ contiene a $A$ y, por tanto, contiene a $\overline A$ (el menor [cerrado](#def-b1-topology-closed) que lo contiene): $\overline A$ está acotado.

Sea $s = \sup A$ (finito). Como $A \subseteq \overline A$, se tiene $\sup \overline A \geq s$. Recíprocamente, $\overline A \subseteq \intoc{-\infty}{s}$: la semirrecta es [cerrada](#def-b1-topology-closed) y contiene a $A$; así, todo elemento de $\overline A$ es $\leq s$, lo que da $\sup\overline A \leq s$. Hay igualdad.

$s \in \overline A$: por la caracterización con $\varepsilon$ ([Proposición 10.4](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-epsilon)), todo [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) $\intoo{s - \varepsilon}{s + \varepsilon}$ contiene un elemento de $A$: $s$ es adherente.

**Ejercicio 12.9 ★★★.**

Demuéstrese que los únicos subconjuntos de $\R$ que son a la vez [abiertos](#def-b1-topology-open) y [cerrados](#def-b1-topology-closed) son $\emptyset$ y $\R$. *Indicación: supóngase $A$ [abierto](#def-b1-topology-open) y [cerrado](#def-b1-topology-closed), con $A \neq \emptyset$ y $\R \setminus A \neq \emptyset$; tómense $a \in
A$, $b \notin A$, digamos $a < b$, y considérese $s = \sup\,(A \cap
\intcc{a}{b})$; decídase si $s$ puede estar en $A$ o en su complementario.*

**Solución de Ejercicio 12.9.**

Supóngase $A$ [abierto](#def-b1-topology-open) y [cerrado](#def-b1-topology-closed), con $a \in A$ y $b \in \R \setminus A$; sin pérdida de generalidad, $a < b$. El [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) $B = A \cap \intcc{a}{b}$ es no vacío ($a$) y acotado: sea $s = \sup B$. Por el [Ejercicio 12.8](#exo-b1-topology-8), $s \in \overline B \subseteq \overline A = A$ ($A$ [cerrado](#def-b1-topology-closed)). Obsérvese que $s \leq b$ y, como $b \notin A$, resulta $s < b$. Ahora bien, $A$ es [abierto](#def-b1-topology-open): algún [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) $\intoo{s - r}{s + r}$ está en $A$, y podemos tomar $r < b - s$. Entonces $s + \frac{r}{2}$ está en $A \cap \intcc{a}{b} = B$ y supera a $s$ — en contradicción con $s = \sup B$. Luego no existe tal par $(a, b)$: uno de los dos [conjuntos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) $A$, $\R \setminus A$ es vacío.

**Ejercicio 12.10 ★★★.**

(Estructura de los [abiertos](#def-b1-topology-open)) Sea $U \subseteq \R$ [abierto](#def-b1-topology-open) y no vacío. Para $x \in U$, sea $I_x$ la unión de todos los [intervalos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) [abiertos](#def-b1-topology-open) que contienen a $x$ y están contenidos en $U$. Demuéstrese que $I_x$ es un [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) [abierto](#def-b1-topology-open), que dos [conjuntos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) $I_x$, $I_y$ son iguales o disjuntos, y que $U$ es unión de *numerablemente muchos* [intervalos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) [abiertos](#def-b1-topology-open) disjuntos dos a dos *(tómese un racional en cada uno)*.

**Solución de Ejercicio 12.10.**

$I_x$ es una unión de [intervalos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) [abiertos](#def-b1-topology-open) que contienen todos a $x$: es [abierto](#def-b1-topology-open), y es un [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) por ser convexo — si $u < z < v$ con $u, v \in I_x$, entonces $u$ y $v$ están en subintervalos [abiertos](#def-b1-topology-open) $J_u \ni x$, $J_v \ni x$ de $U$, y $J_u \cup J_v$ es un [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) (los dos contienen a $x$) dentro de $U$ que contiene a $z$; luego $z \in I_x$ ([Proposición 10.19](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals)).

Si $I_x \cap I_y \neq \emptyset$, entonces $I_x \cup I_y$ es un [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) [abierto](#def-b1-topology-open) (convexo: dos [intervalos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) que se solapan) contenido en $U$ y que contiene a $x$ y a $y$, de modo que $I_x \cup I_y \subseteq I_x$ y $\subseteq I_y$ por la maximalidad de cada uno: $I_x = I_y$.

Así pues, $U$ es la unión disjunta de los [conjuntos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) $I_x$ distintos (cada $x \in U$ está en su propio $I_x$). Numerabilidad: cada [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) [abierto](#def-b1-topology-open) no vacío $I$ de la familia contiene un racional $q_I$ ([Teorema 10.14](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#thm-b1-reals-density)), y a [intervalos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) disjuntos distintos les corresponden racionales distintos: la familia se inyecta en $\Q$, que es numerable (está indexado por pares de enteros). Luego hay a lo sumo numerablemente muchos [intervalos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals).

**Ejercicio 12.11 ★★.**

Un punto $x \in \R$ es *punto de acumulación* de $A$ cuando todo [entorno](#def-b1-topology-open) de $x$ corta a $A \setminus \{x\}$; su [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) es el *[conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) derivado* $A'$. Demuéstrese que $\overline A = A \cup A'$ y que $A$ es [cerrado](#def-b1-topology-closed) si y solo si $A' \subseteq A$. Determínese $A'$ para $A = \{\frac 1n : n \in \N^*\}$, para $A = \Z$ y para $A = \Q$.

**Solución de Ejercicio 12.11.**

$\overline A = A \cup A'$. ($\supseteq$) Siempre $A \subseteq \overline A$; y si $x \in A'$, todo [entorno](#def-b1-topology-open) de $x$ corta a $A \setminus \{x\} \subseteq A$, luego $x$ es adherente. ($\subseteq$) Sea $x \in \overline A$. Si $x \in A$, listo. Si $x \notin A$, todo [entorno](#def-b1-topology-open) de $x$ corta a $A = A \setminus \{x\}$: $x \in A'$.

En consecuencia, $A$ [cerrado](#def-b1-topology-closed) $\iff$ $A = \overline A = A \cup A'$ $\iff$ $A' \subseteq A$.

$A = \{\frac 1n\}$: $0$ es punto de acumulación ($\frac 1n \to 0$, con términos $\neq 0$); cada $\frac 1n$ es aislado ([Ejercicio 12.7](#exo-b1-topology-7)), luego no está en $A'$; y un punto $x \notin A \cup \{0\}$ tiene todo un [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) que evita $A$ (entre los dos vecinos de $x$ en $A \cup \{0\}$, o más allá de $1$). Luego $A' = \{0\}$.

$\Z' = \emptyset$: todo entero es aislado, y todo no entero tiene un [entorno](#def-b1-topology-open) dentro de $\R \setminus \Z$.

$\Q' = \R$: todo [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) en torno a un real cualquiera contiene infinitos racionales ([Teorema 10.14](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#thm-b1-reals-density)), en particular uno distinto del centro.

**Ejercicio 12.12 ★★★.**

Para $A \subseteq \R$ no vacío, defínase $d_A(x) = \inf\{\abs{x - a} : a \in A\}$. Demuéstrese:

1. $\abs{d_A(x) - d_A(y)} \leq \abs{x - y}$ para todos $x, y$ ( $d_A$ es $1$ -lipschitziana);
2. $d_A(x) = 0$ si y solo si $x \in \overline A$ ; en particular, si $F$ es [cerrado](#def-b1-topology-closed) y $x \notin F$ , entonces $d_F(x) > 0$ ;
3. para todo $\varepsilon > 0$ , el [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) $V_\varepsilon =  \{x : d_F(x) < \varepsilon\}$ es [abierto](#def-b1-topology-open) , contiene a $F$ , y $\bigcap_{\varepsilon > 0} V_\varepsilon = F$ para $F$ [cerrado](#def-b1-topology-closed) : todo [cerrado](#def-b1-topology-closed) es una intersección numerable de [abiertos](#def-b1-topology-open) .

**Solución de Ejercicio 12.12.**

1. Para todo $a \in A$ : $\abs{x - a} \leq \abs{x - y} +  \abs{y - a}$ , luego $d_A(x) \leq \abs{x - y} + \abs{y - a}$ ; tomando el [ínfimo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#def-b1-reals-bounds) sobre $a$ : $d_A(x) \leq \abs{x - y} +  d_A(y)$ . Intercambiando $x$ e $y$ se obtiene la otra desigualdad: $\abs{d_A(x) - d_A(y)} \leq \abs{x - y}$ .
2. $d_A(x) = 0$ $\iff$ para todo $\varepsilon > 0$ existe $a \in A$ con $\abs{x - a} < \varepsilon$ $\iff$ todo [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) en torno a $x$ corta a $A$ $\iff$ $x \in \overline A$ . Si $F$ es [cerrado](#def-b1-topology-closed) y $x \notin F = \overline F$ , entonces $d_F(x) \neq 0$ , es decir, $d_F(x) > 0$ .
3. Si $d_F(x) < \varepsilon$ , tómese $r = \varepsilon -  d_F(x) > 0$ : para $\abs{y - x} < r$ , el apartado (1) da $d_F(y) \leq d_F(x) + \abs{x - y} < \varepsilon$ : el [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) $\intoo{x - r}{x + r}$ está en $V_\varepsilon$ , que es por tanto [abierto](#def-b1-topology-open) ; y contiene a $F$ , pues ahí $d_F = 0$ . Por último, $x \in \bigcap_{\varepsilon>0}  V_\varepsilon$ $\iff$ $d_F(x) < \varepsilon$ para todo $\varepsilon$ $\iff$ $d_F(x) = 0$ $\iff$ $x \in \overline  F = F$ . Como $\bigcap_{\varepsilon > 0} V_\varepsilon =  \bigcap_{n \geq 1} V_{1/n}$ , todo [cerrado](#def-b1-topology-closed) es una intersección numerable de [abiertos](#def-b1-topology-open) .

## 12.5 Problema: el conjunto de Cantor, pequeño y enorme a la vez

**Problema 12.1.**

Problema del fin de semana — el [conjunto de Cantor](#pb-b1-topology-1) de los tercios centrales: longitud cero, no numerable, perfecto y $C + C = \intcc{0}{2}$

Quítese a $\intcc{0}{1}$ su tercio central [abierto](#def-b1-topology-open), después el tercio central de cada segmento restante, y repítase para siempre: lo que sobrevive es el *[conjunto de Cantor](#pb-b1-topology-1)* $C$, la fábrica fundamental de contraejemplos del análisis. Este problema lo construye, lo lee con la maquinaria de la base $3$ del [Problema 10.1](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#pb-b1-reals-1) y establece su retrato paradójico: longitud total cero y, aun así, no numerable; [interior](#def-b1-topology-closure) vacío y, aun así, sin ningún punto aislado; totalmente disconexo y, aun así, $C + C$ llena todo el segmento $\intcc{0}{2}$. Formalmente: $C_0 = \intcc{0}{1}$, y $C_{n+1}$ se obtiene de $C_n$ suprimiendo el tercio central [abierto](#def-b1-topology-open) de cada segmento de $C_n$; finalmente, $C = \bigcap_{n \geq 0} C_n$. En todo el problema, un *código ternario* de $x \in \intcc{0}{1}$ es cualquier cadena de cifras $(d_k)_{k\geq1}$ con $d_k \in \{0, 1, 2\}$ cuyo valor $\sup_n \sum_{k=1}^n d_k 3^{-k}$ sea igual a $x$ — se admiten los códigos impropios (finalmente $2$); por el [Problema 10.1](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#pb-b1-reals-1) (preguntas 9–11), todo $x \in \intcc{0}{1}$ tiene uno o dos códigos, y dos exactamente cuando $x = m/3^N \in \intoo{0}{1}$.

**Parte I — La construcción.**

1. Descríbanse $C_1$ y $C_2$ explícitamente como uniones de segmentos, y demuéstrese por inducción que $C_n$ es unión disjunta de $2^n$ segmentos [cerrados](#def-b1-topology-closed) , cada uno de longitud $3^{-n}$ .
2. Véase que $C$ es [cerrado](#def-b1-topology-closed) y acotado —y, por tanto, compacto ( [Teorema 12.19](#thm-b1-topology-compact) )— y no vacío, y que todo extremo de todo segmento de todo $C_n$ pertenece a $C$ .
3. La longitud total de $C_n$ es $\bigl(\frac23\bigr)^n$ . Dedúzcase que, para todo $\varepsilon > 0$ , el [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) $C$ se puede recubrir con finitos segmentos de longitud total $\leq \varepsilon$ : el [conjunto de Cantor](#pb-b1-topology-1) tiene *longitud cero* .
4. Véase que un [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) contenido en $C$ tiene longitud $\leq 3^{-n}$ para todo $n$ y, por tanto, es un [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) unitario o vacío: $\mathring C = \emptyset$ . Siendo [cerrado](#def-b1-topology-closed) con [interior](#def-b1-topology-closure) vacío, $C$ es *[denso](#def-b1-topology-dense) en ninguna parte* .

**Parte II — El código ternario.**

5. Demuéstrese la recursión de autosemejanza $$C_{n+1} = \tfrac13 C_n \,\cup\,  \bigl(\tfrac23 + \tfrac13 C_n\bigr),  \qquad\text{luego}\qquad  C = \tfrac13 C \,\cup\, \bigl(\tfrac23 + \tfrac13  C\bigr),$$ siendo las dos piezas disjuntas: $C$ son dos copias de sí mismo a escala $\frac13$.
6. Demuéstrese por inducción sobre $n$ : $x \in C_n$ si y solo si $x$ tiene un código ternario cuyas primeras $n$ cifras están en $\{0, 2\}$ . Dedúzcase, usando que $x$ tiene a lo sumo dos códigos: $x \in C$ si y solo si $x$ tiene un código *sin ninguna cifra igual a $1$* (un código *libre de $1$* ).
7. Códigos en acción: dense códigos libres de $1$ para $0$ , $1$ , $\frac13$ y $\frac23$ ; véase que $\frac14 = (0.\overline{02})_3$ y $\frac34 = (0.\overline{20})_3$ , de modo que los dos están en $C$ ; y compruébese que $\frac14$ *no* es extremo de ningún $C_n$ (los extremos tienen la forma $m/3^n$ ).
8. Véase que cada $x \in C$ tiene *exactamente un* código libre de $1$ *(cuando $x$ tiene dos códigos, demuéstrese que exactamente uno de los dos contiene la cifra $1$)* . Conclúyase: la [aplicación](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-map) valor es una [biyección](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj) de las cadenas de $\{0,2\}$ sobre $C$ .
9. (Diagonal) Sea $k \mapsto x_k$ una [aplicación](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-map) cualquiera $\N^* \to C$ . Constrúyase una cadena de $\{0, 2\}$ que difiera en el índice $k$ del código de $x_k$ , y conclúyase que $C$ no es numerable — mientras que, por contraste, la pregunta 3 dice que es métricamente despreciable.

**Parte III — Retrato topológico.**

10. Reúnase lo obtenido hasta aquí: $C$ es compacto, no numerable, de longitud cero y [denso](#def-b1-topology-dense) en ninguna parte. ¿Qué única contención $C \subseteq C_n$ sostiene cada propiedad?
11. ( $C$ es perfecto) Sea $x \in C$ de código libre de $1$ $(d_k)$ . Cambiar la cifra $d_n$ ( $0 \leftrightarrow 2$ ) produce $x_n \in C$ con $\abs{x_n - x} = 2 \cdot 3^{-n}$ . Conclúyase que $C$ no tiene ningún punto aislado: todo punto de $C$ es límite de *otros* puntos de $C$ .
12. Véase que los extremos de la pregunta 2 forman un subconjunto numerable y [denso](#def-b1-topology-dense) de $C$ *(trúnquese el código tras $n$ cifras y continúese con $0$; la numerabilidad, como en el [Ejercicio 12.10](#exo-b1-topology-10))* . Conclúyase: el punto típico de $C$ — como $\frac14$ — *no* es un extremo: los extremos son un esqueleto numerable dentro de un cuerpo no numerable.
13. (Totalmente disconexo) Sean $x < y$ en $C$ . Elíjase $n$ con $3^{-n} < y - x$ y prodúzcase un punto $z \in \intoo{x}{y}$ con $z \notin C$ . Conclúyase que los únicos [intervalos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) no vacíos contenidos en $C$ son los [conjuntos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) unitarios.

**Parte IV — Aritmética de $C$.**

14. Véase que $1 - C = C$ *(¿qué le hace $x \mapsto 1 - x$ a un código libre de $1$? recuérdese $1 = (0.\overline{2})_3$)* .
15. (Suma de códigos) Véase que si $x$ , $x'$ tienen códigos $(a_k)$ , $(b_k)$ , entonces $x + x' = \lim_n\,(t_n + t'_n)$ , donde $t_n, t'_n$ son las sumas parciales. Dedúzcase: todo $y \in \intcc{0}{1}$ es el *punto medio* de dos puntos de $C$ — dado un código $(e_k)$ de $y$ , elíjanse cifras $a_k, b_k \in \{0, 2\}$ con $\frac{a_k + b_k}{2} = e_k$ .
16. Conclúyase $C + C = \intcc{0}{2}$ y, con la pregunta 14, $C - C = \intcc{-1}{1}$ . Instancia concreta: escríbase $1$ como suma de los dos puntos no extremos hallados en la pregunta 7.
17. Reflexión: un [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) de longitud cero cuyo [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) de diferencias llena $\intcc{-1}{1}$ . ¿Por qué no hay contradicción entre « $C$ es métricamente despreciable» y « $C + C$ tiene longitud completa»? (Una frase; piénsese en qué controla la longitud y qué no.)

**Parte V — Miembros racionales e irracionales.**

18. Combínese la pregunta 8 con el criterio de periodicidad del [Problema 10.1](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#pb-b1-reals-1) : un punto de $C$ es racional si y solo si su código libre de $1$ es finalmente periódico. Ejecútese la división larga en base $3$ para comprobar que $\frac1{13} = (0.\overline{002})_3 \in C$ .
19. Prodúzcase un miembro explícitamente *irracional* de $C$ : el valor del código con $d_k = 2$ en las posiciones triangulares $k = \frac{j(j+1)}{2}$ y $d_k = 0$ en las demás. Justifíquese la irracionalidad con el argumento de los huecos crecientes del [Problema 10.1](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#pb-b1-reals-1) (pregunta 20).
20. (Sobre un segmento completo) Considérese $h$ , que envía el punto de $C$ de código libre de $1$ $(d_k)$ al valor de la cadena *binaria* $\bigl(\frac{d_k}2\bigr)$ , es decir, $h(x) = \sup_n \sum_{k=1}^n \frac{d_k}{2}\,2^{-k}$ . Véase que $h$ envía $C$ *sobre* $\intcc{0}{1}$ . Así pues, el despreciable $C$ se aplica sobreyectivamente sobre un segmento de longitud completa — una segunda demostración de que $C$ no es numerable.
21. (Longitud autosemejante) Supóngase que estuviera definida alguna noción de longitud $L$ para $C$ y sus copias encogidas, respetando el escalado ( $L(\lambda A) = \lambda  L(A)$ ), la invariancia por traslación y la aditividad sobre la descomposición disjunta de la pregunta 5. Véase que entonces $L(C) = \frac23\,L(C)$ , lo que obliga a $L(C) = 0$ : la autosemejanza sola ya condena a $C$ a longitud cero.

**Parte VI — Un [primo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/6-aritmetica-de-los-enteros#def-b1-arith-prime) gordo, y la moraleja.**

22. ( [Conjunto de Cantor](#pb-b1-topology-1) gordo) Repítase la construcción, pero en la etapa $n$ ( $n = 0, 1, 2, \dots$ ) quítese a cada uno de los $2^n$ segmentos actuales solo un [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) central [abierto](#def-b1-topology-open) de longitud $4^{-(n+1)}$ . Véase que las longitudes $l_n$ de los segmentos cumplen $l_{n+1} = \frac{l_n - 4^{-(n+1)}}{2}$ , $l_n = \frac{2^n + 1}{2\cdot 4^n} > 0$ , que el $K = \bigcap  K_n$ resultante es compacto con [interior](#def-b1-topology-closure) vacío y que la longitud total suprimida es $\sum_{n\geq0} 2^n 4^{-(n+1)} =  \frac12$ . Admitiendo la aditividad (intuitiva, del tercer año) de la longitud para uniones finitas de [intervalos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) , y usando los dos [enunciados](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-statement) del [Ejemplo 12.20](#ex-b1-topology-nested) , véase que toda familia finita de [intervalos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) [abiertos](#def-b1-topology-open) que recubra $K$ tiene longitud total $\geq \frac12$ : $K$ es [denso](#def-b1-topology-dense) en ninguna parte pero *no* despreciable. La pequeñez tiene varios significados no equivalentes.
23. (Distancias) Véase que, para $F \subseteq \R$ [cerrado](#def-b1-topology-closed) y no vacío y $x \in \R$, el [ínfimo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#def-b1-reals-bounds) $d(x, F)$ se *alcanza* *(sucesión minimizante más Bolzano–Weierstrass)*. Calcúlese después $$\max_{y \in \intcc{0}{1}} d(y, C) = \frac16 ,$$ alcanzado exactamente en el centro $y = \frac12$ *(un punto de un hueco creado en la etapa $n$ dista menos de $\frac{3^{-n}}{2}$ de los extremos del hueco, que están en $C$)*.
24. (Todo punto, límite de una [subsucesión](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/11-sucesiones#def-b1-seq-subsequence) ) Usando las preguntas 12 y 2, prodúzcase una única sucesión de $C$ cuyo [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) de límites de subsucesiones sea *todo* $C$ . (Compárese: para una sucesión convergente ese [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) es un solo punto — $C$ realiza el extremo opuesto entre los compactos.)
25. Síntesis, una frase para cada punto: (i) ¿qué teoremas de este capítulo ha consumido realmente la construcción (estabilidad de los [cerrados](#def-b1-topology-closed) , compacidad, caracterizaciones secuenciales)? (ii) enumérense las cuatro parejas paradójicas del retrato (longitud cero/no numerable, [cerrado](#def-b1-topology-closed) / [interior](#def-b1-topology-closure) vacío, perfecto/totalmente disconexo, despreciable/ $C+C$ completo); (iii) ¿dónde reaparece $C$ más adelante (la escalera del diablo construida sobre $h$ en la teoría de la continuidad, y la teoría de la medida del volumen del tercer año, donde $C$ separa «numerable» de «despreciable»)?

**Solución de Problema 12.1.**

**1.** $C_1 = \intcc{0}{\frac13} \cup \intcc{\frac23}{1}$ y

$$
C_2 = \intcc{0}{\tfrac19} \cup \intcc{\tfrac29}{\tfrac13}
\cup \intcc{\tfrac23}{\tfrac79} \cup \intcc{\tfrac89}{1} .
$$

Inducción: si $C_n$ es unión disjunta de $2^n$ segmentos [cerrados](#def-b1-topology-closed) de longitud $3^{-n}$, suprimir el tercio central [abierto](#def-b1-topology-open) de cada uno deja dos segmentos [cerrados](#def-b1-topology-closed) de longitud $3^{-n-1}$ por padre: $2^{n+1}$ segmentos, disjuntos dos a dos (los hijos de padres distintos están separados porque lo estaban los padres; los hijos de un mismo padre, por el hueco suprimido).

**2.** Cada $C_n$ es unión finita de segmentos y, por tanto, [cerrado](#def-b1-topology-closed); $C = \bigcap C_n$ es una intersección de [cerrados](#def-b1-topology-closed): [cerrado](#def-b1-topology-closed) ([Definición 12.5](#def-b1-topology-closed)); acotado ($\subseteq \intcc{0}{1}$): compacto por el [Teorema 12.19](#thm-b1-topology-compact). No vacío: $0$ está en el segmento más a la izquierda de todo $C_n$. Sea $a$ un extremo de un segmento $S$ de $C_n$. Para $m \leq n$, $a \in C_n \subseteq C_m$. Para las etapas posteriores: la supresión del tercio central nunca quita un extremo, y $a$ vuelve a ser extremo de uno de los dos hijos de $S$ (el hijo que toca a $a$); por inducción, $a \in C_m$ para todo $m \geq n$: $a \in C$.

**3.** Longitud total de $C_n$: $2^n \cdot 3^{-n} =
(\frac23)^n \to 0$. Dado $\varepsilon > 0$, elíjase $n$ con $(\frac23)^n \leq \varepsilon$: entonces $C \subseteq C_n$, unión de finitos segmentos de longitud total $\leq \varepsilon$.

**4.** Sea $I \subseteq C$ un [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) con dos puntos distintos. Para todo $n$: $I \subseteq C_n$ y, siendo $I$ convexo, debe estar dentro de un *único* segmento de $C_n$ (cortar a dos segmentos obligaría a $I$ a contener un punto del hueco intermedio, que está fuera de $C_n$). Luego la longitud de $I$ es $\leq 3^{-n}$ para todo $n$: contradicción. Así pues, los únicos [intervalos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) dentro de $C$ son el vacío y los unitarios; en particular, ningún $\intoo{x-r}{x+r}$ cabe dentro de $C$: $\mathring C = \emptyset$. Como $C$ es [cerrado](#def-b1-topology-closed), $\overline C = C$ tiene [interior](#def-b1-topology-closure) vacío: $C$ es [denso](#def-b1-topology-dense) en ninguna parte.

**5.** Escríbanse $\varphi_0(x) = \frac x3$ y $\varphi_2(x) = \frac{2 + x}{3}$, biyecciones afines crecientes de $\intcc{0}{1}$ sobre $\intcc{0}{\frac13}$ y $\intcc{\frac23}{1}$. Afirmación: $C_{n+1} = \varphi_0(C_n) \cup \varphi_2(C_n)$. Para $n = 0$, esto es la pregunta 1. Inducción: una [aplicación](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-map) afín creciente envía el tercio central de un segmento al tercio central del segmento imagen, luego suprimir tercios centrales conmuta con $\varphi_0$ y $\varphi_2$; aplicando la etapa de supresión a $C_{n+1} = \varphi_0(C_n) \cup \varphi_2(C_n)$ se obtiene $C_{n+2} = \varphi_0(C_{n+1}) \cup \varphi_2(C_{n+1})$. Intersecando sobre $n$: para $x \leq \frac13$, $x \in C \iff x \in \varphi_0(C_n)$ para todo $n$ $\iff 3x \in \bigcap C_n = C$; igual sobre $\intcc{\frac23}{1}$; y ningún punto de $\intoo{\frac13}{\frac23}$ está en $C_1$. Luego $C = \varphi_0(C) \cup \varphi_2(C)$, de forma disjunta.

**6.** Inducción sobre $n$; el caso $n = 0$ dice que todo $x \in \intcc{0}{1}$ tiene un código, que es el [Problema 10.1](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#pb-b1-reals-1) (pregunta 9 para $x < 1$; $1 = (0.\overline 2)_3$). Supóngase la equivalencia en el rango $n$. Si $x \in C_{n+1}$: por la pregunta 5, $x = \varphi_i(z)$ con $z \in C_n$ e $i \in \{0, 2\}$; si $(e_k)$ es un código de $z$ cuyas primeras $n$ cifras son libres de $1$, entonces $(i, e_1, e_2, \dots)$ tiene sumas parciales $\frac i3 + \frac13\sum_{k\leq m} e_k 3^{-k} \to \varphi_i(z) = x$: un código de $x$ cuyas primeras $n + 1$ cifras son libres de $1$. Recíprocamente, si $x$ tiene un código $(d_k)$ con $d_1, \dots, d_{n+1} \in \{0, 2\}$: la cadena desplazada $(d_2, d_3, \dots)$ tiene cierto valor $z \in \intcc{0}{1}$, sus primeras $n$ cifras son libres de $1$, y el cálculo de las sumas parciales leído al revés da $x = \varphi_{d_1}(z)$; por inducción $z \in C_n$, luego $x \in C_{n+1}$ por la pregunta 5. Por último: un código enteramente libre de $1$ mete a $x$ en todo $C_n$ y, por tanto, en $C$; recíprocamente, si $x \in C$, para cada $n$ uno de los a lo sumo dos códigos de $x$ ([Problema 10.1](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#pb-b1-reals-1), pregunta 11) tiene sus primeras $n$ cifras libres de $1$; un mismo código fijo debe servir para $n$ arbitrariamente grande (palomar entre dos códigos), y un código cuyas primeras $n$ cifras son libres de $1$ para $n$ arbitrariamente grande es libre de $1$ sin más.

**7.** $0 = (0.\overline 0)_3$, $1 = (0.\overline 2)_3$, $\frac13 = (0.0\overline{2})_3$ (el gemelo impropio de $(0.1)_3$), $\frac23 = (0.2\overline{0})_3$. Sumas geométricas:

$$
(0.\overline{02})_3 = \sum_{j\geq1} \frac{2}{9^{\,j}}
= \frac{2/9}{1 - 1/9} = \frac14 ,
\qquad
(0.\overline{20})_3 = \sum_{j\geq1} \frac{2}{3\cdot 9^{\,j-1}}
= \frac{2/3}{1 - 1/9} = \frac34 ,
$$

los dos libres de $1$: $\frac14, \frac34 \in C$. (Las sumas infinitas abrevian [supremos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#def-b1-reals-bounds) de sumas parciales, como en [Problema 10.1](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#pb-b1-reals-1).) Los extremos de los segmentos de $C_n$ son de la forma $m/3^n$ (inducción: los extremos de los hijos son extremos del padre o difieren de uno de ellos en un múltiplo de $3^{-n-1}$). Si $\frac14 = \frac{m}{3^n}$, entonces $3^n = 4m$, y $4 \nmid 3^n$: imposible. Luego $\frac14 \in C$ sin ser nunca un extremo.

**8.** Supóngase que $x$ tuviera dos códigos libres de $1$ distintos. Tener dos códigos significa ([Problema 10.1](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#pb-b1-reals-1), pregunta 11, base $3$) que $x = m/3^N \in \intoo{0}{1}$ y que los dos códigos son: el finito, con última cifra no nula $d_N \in \{1, 2\}$ seguida de $0$, y su gemelo, con $d_N - 1$ en la posición $N$ seguido de $2$. Si $d_N = 1$, el primero contiene un $1$; si $d_N = 2$, el gemelo lleva $d_N - 1 = 1$. En cualquier caso, a lo sumo uno de los dos es libre de $1$: contradicción. Luego cada $x \in C$ tiene exactamente un código libre de $1$ (la existencia, por la pregunta 6), y cadenas de $\{0,2\}$ distintas tienen valores distintos. Toda cadena de $\{0,2\}$ tiene valor en $\intcc{0}{1}$ (sumas parciales $\leq 1$) con todos sus prefijos libres de $1$, y por tanto valor en todo $C_n$, es decir, en $C$: la [aplicación](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-map) valor es una [biyección](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj) de las cadenas de $\{0,2\}$ sobre $C$.

**9.** Sea $(d^{(k)})$ el código libre de $1$ de $x_k$ y tómese $e_k = 2 - d^{(k)}_k \in \{0, 2\}$: una cadena de $\{0,2\}$ cuyo valor $y$ está en $C$ y tiene $(e_k)$ como único código libre de $1$ (pregunta 8). Para cada $k$, los códigos de $y$ y de $x_k$ difieren en la posición $k$, luego $y \neq x_k$: ninguna [aplicación](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-map) $\N^* \to C$ es [sobreyectiva](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj). Un [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) no numerable de longitud cero: grande en [cardinal](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/2-combinatoria#def-b1-counting-card), pequeño en medida — a la vez.

**10.** Compacidad: que la intersección infinita sea [cerrada](#def-b1-topology-closed), más la acotación (pregunta 2) — la única propiedad que no sostiene una sola contención. Longitud cero: $C \subseteq C_n$, de longitud total $(\frac23)^n$ (pregunta 3). [Densidad](#def-b1-topology-dense) en ninguna parte: $C \subseteq C_n$ obliga a que los [intervalos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) dentro de $C$ tengan longitud $\leq 3^{-n}$ (pregunta 4). La no numerabilidad no cabalga sobre ninguna contención: necesita toda la estructura de la intersección, codificada en la [biyección](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj) de la pregunta 8.

**11.** Cámbiese $d_n$ por $2 - d_n$: la nueva cadena sigue siendo una cadena de $\{0,2\}$, luego su valor $x_n$ está en $C$; y las sumas parciales más allá del rango $n$ difieren exactamente en $2\cdot3^{-n}$, de modo que $\abs{x_n - x} = 2\cdot3^{-n}$. Así, $x_n \neq x$ y $x_n \to x$: todo punto de $C$ es límite de otros puntos de $C$ — $C$ es *perfecto*, sin ningún punto aislado.

**12.** Por la inducción de la pregunta 5, los segmentos de $C_n$ son exactamente los $\intcc{t}{t + 3^{-n}}$ donde $t$ recorre los valores de las cadenas de longitud $n$ formadas con $\{0,2\}$. Dado $x \in C$ de código $(d_k)$, la truncatura $t_n$ (cifras $d_1 \dots d_n$ y después $0$) es, por tanto, un extremo izquierdo, y $0 \leq x - t_n \leq 3^{-n}$: los extremos son [densos](#def-b1-topology-dense) en $C$. Forman un subconjunto de $\{m/3^n : m, n\}$, un [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) indexado por pares de enteros y, por tanto, numerable (como $\Q$ en el [Ejercicio 12.10](#exo-b1-topology-10)). Como $C$ no es numerable (pregunta 9), todos los puntos de $C$ salvo numerablemente muchos no son extremos — $\frac14$ (pregunta 7) es la punta visible de ese iceberg.

**13.** Tómese $n$ con $3^{-n} < y - x$. Los dos, $x, y \in
C_n$, y no pueden estar en el mismo segmento (de longitud $3^{-n} < y - x$): el hueco suprimido entre sus segmentos proporciona $z$ con $x < z < y$ y $z \notin C_n \supseteq C$. Así pues, dos puntos cualesquiera de $C$ están separados por el complementario: los únicos subconjuntos convexos de $C$ son los unitarios — $C$ es totalmente disconexo.

**14.** Si $(d_k)$ es el código libre de $1$ de $x$, la cadena $(2 - d_k)$ es de nuevo una cadena de $\{0,2\}$, con sumas parciales

$$
\sum_{k=1}^{n} (2 - d_k)3^{-k} = (1 - 3^{-n}) - \sum_{k=1}^n
d_k 3^{-k} \longrightarrow 1 - x :
$$

luego $1 - x \in C$. Así, $1 - C \subseteq C$ y, aplicando la [aplicación](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-map) dos veces, $1 - C = C$: el [conjunto de Cantor](#pb-b1-topology-1) es simétrico respecto de $\frac12$.

**15.** Las sumas parciales $t_n \to x$ y $t'_n \to x'$ (las sucesiones crecientes convergen a su [supremo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#def-b1-reals-bounds), es decir, al valor), luego $t_n + t'_n \to x + x'$ por el [Teorema 11.5](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/11-sucesiones#thm-b1-seq-operations). Dado $y \in \intcc{0}{1}$ de código $(e_k)$, elíjase $(a_k, b_k) = (0,0), (0,2), (2,2)$ según sea $e_k = 0, 1, 2$: entonces $a_k + b_k = 2e_k$, las cadenas $(a_k)$, $(b_k)$ son cadenas de $\{0,2\}$ con valores $x, x' \in C$, y

$$
x + x' = \lim_n\,(t_n + t'_n) = \lim_n 2\sum_{k=1}^n e_k 3^{-k}
= 2y :
$$

todo $y \in \intcc{0}{1}$ es el punto medio de dos puntos de $C$.

**16.** La pregunta 15 da $\intcc{0}{2} = 2\,\intcc{0}{1}
\subseteq C + C$, y $C + C \subseteq \intcc{0}{1} + \intcc{0}{1} =
\intcc{0}{2}$: igualdad. Después, usando $1 - C = C$:

$$
C - C = C + (C - 1) = (C + C) - 1 = \intcc{-1}{1} .
$$

Instancia concreta: $1 = \frac14 + \frac34$, suma de dos miembros de $C$ que no son extremos.

**17.** La longitud mide cuánto de la recta ocupa el propio [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets); no dice nada del [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) de *sumas*, que es la imagen de la familia de dos parámetros $C \times C$ por $(x, x') \mapsto x + x'$ — las dos cadenas de cifras se eligen de forma independiente, y esa libertad es exactamente lo que llena $\intcc{0}{2}$. Ningún teorema acota la longitud de un [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) suma por las longitudes de los sumandos, y $C$ es la prueba de que ninguno puede hacerlo.

**18.** Por el [Problema 10.1](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#pb-b1-reals-1) (pregunta 18), $x$ es racional si y solo si su desarrollo propio es finalmente periódico. El código libre de $1$ de $x \in C$ es o bien ese desarrollo propio, o bien el gemelo impropio de uno finito; y una cadena finita y su gemelo (finalmente constante igual a $2$) son ambos finalmente periódicos, de modo que la periodicidad del código libre de $1$ equivale a la racionalidad de $x$. División larga de $\frac1{13}$ en base $3$ ($r_0 = 1$): $3 = 13\cdot0 + 3$, $9 = 13\cdot0 + 9$, $27 = 13\cdot2 + 1$, y el resto vuelve a $1$: cifras $\overline{002}$, luego $\frac1{13} = (0.\overline{002})_3$, libre de $1$ y periódico: un miembro racional de $C$. (Comprobación: $\frac{2/27}{1 - 1/27} = \frac{2}{26} = \frac1{13}$.)

**19.** La cadena con $d_k = 2$ en las posiciones triangulares $k = \frac{j(j+1)}{2}$ y $0$ en las demás es una cadena de $\{0,2\}$, luego su valor $x^*$ pertenece a $C$ (pregunta 8). Tiene infinitos $2$ con huecos $j + 1 \to \infty$ entre dos consecutivos, así que no es finalmente periódica (un período $T$ acabaría forzando $2$ a distancias $\leq T$: el argumento de los huecos crecientes del [Problema 10.1](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#pb-b1-reals-1), pregunta 20); por la pregunta 18, $x^* \notin \Q$. Y por la pregunta 9 más la numerabilidad de $\Q$, todos los miembros de $C$ salvo numerablemente muchos son irracionales: $x^*$ es la norma, no la excepción.

**20.** Sea $y \in \intcc{0}{1}$: tiene un código binario $(c_k)$ con $c_k \in \{0, 1\}$ ([Problema 10.1](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#pb-b1-reals-1), pregunta 9, base $2$; para $y = 1$ se toma la cadena de $1$). Entonces $(2c_k)$ es una cadena de $\{0,2\}$, su valor $x$ está en $C$, y $h(x)$ es el valor de $(c_k)$, es decir, $y$: $h$ aplica $C$ sobre $\intcc{0}{1}$. Si $C$ fuese la imagen de una [aplicación](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-map) desde $\N^*$, componer con $h$ enumeraría todo $\intco{0}{1}$, en contradicción con el teorema diagonal del [Problema 10.1](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#pb-b1-reals-1) (pregunta 22): $C$ no es numerable, otra vez. Un [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) de longitud cero que se aplica sobreyectivamente sobre un segmento completo.

**21.** Por la pregunta 5, $C$ es la unión disjunta de $\varphi_0(C)$ y $\varphi_2(C)$, cada uno un trasladado de la copia a escala $\frac13 C$. La aditividad, el escalado y la invariancia por traslación dan

$$
L(C) = L(\varphi_0(C)) + L(\varphi_2(C))
= \tfrac13 L(C) + \tfrac13 L(C) = \tfrac23\,L(C),
$$

luego $\frac13 L(C) = 0$: $L(C) = 0$. La autosemejanza sola condena a $C$ a longitud cero — la pregunta 3 se limitó a ejecutar la sentencia.

**22.** Un segmento de longitud $l_n$ pierde un [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) central de longitud $4^{-(n+1)}$, y quedan dos segmentos de longitud $l_{n+1} = \frac{l_n - 4^{-(n+1)}}{2}$; a partir de $l_0 = 1$, la inducción confirma $l_n = \frac{2^n + 1}{2\cdot4^n}$: en efecto, $\frac12\Bigl(\frac{2^n+1}{2\cdot4^n} - \frac{1}{4^{n+1}}\Bigr)
= \frac{2(2^n + 1) - 1}{2\cdot4^{n+1}} = \frac{2^{n+1} +
1}{2\cdot4^{n+1}}$, y $l_n > 0$ siempre: la construcción nunca se queda sin material. $K = \bigcap K_n$ es [cerrado](#def-b1-topology-closed) y acotado y, por tanto, compacto; y un [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) dentro de $K$ está en un segmento de $K_n$, de longitud $l_n \to 0$: [interior](#def-b1-topology-closure) vacío. Longitud suprimida: $\sum_{n\geq0} 2^n \cdot 4^{-(n+1)} =
\frac14\sum_{n\geq0}\bigl(\frac12\bigr)^n = \frac12$, y cada $K_n$ tiene longitud total $2^n l_n = \frac{2^n + 1}{2^{n+1}} > \frac12$. Sea ahora una familia finita de [intervalos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) [abiertos](#def-b1-topology-open) de unión $U \supseteq K$. Por el [enunciado](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-statement) compañero del [Ejemplo 12.20](#ex-b1-topology-nested), $U \supseteq K_n$ para algún $n$; admitiendo la aditividad de la longitud sobre uniones finitas de [intervalos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals), la longitud total de los [intervalos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) del recubrimiento es al menos la de $K_n$, que supera $\frac12$. Luego $K$ es [denso](#def-b1-topology-dense) en ninguna parte y, sin embargo, no hay recubrimiento barato: la pequeñez topológica ([densidad](#def-b1-topology-dense) en ninguna parte) y la pequeñez métrica (longitud cero) son nociones genuinamente distintas, y $K$ las separa.

**23.** Que se alcanza: sea $d = d(x, F)$ y tómense $a_k \in F$ con $\abs{x - a_k} \leq d + \frac1k$: los $a_k$ están acotados, luego Bolzano–Weierstrass ([Teorema 11.16](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/11-sucesiones#thm-b1-seq-bw)) extrae $a_{\varphi(k)} \to a$, con $a \in F$ ($F$ [cerrado](#def-b1-topology-closed), [Teorema 12.6](#thm-b1-topology-seqclosed)) y $\abs{x - a} = \lim \abs{x - a_{\varphi(k)}} = d$. Ahora el máximo: si $y \in C$, entonces $d(y, C) = 0$; en caso contrario, $y$ está en un hueco suprimido en cierta etapa $n \geq 1$, un [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) [abierto](#def-b1-topology-open) de longitud $3^{-n}$ cuyos dos extremos pertenecen a $C$ (pregunta 2), luego $d(y, C) \leq \frac{3^{-n}}{2} \leq \frac16$, con igualdad solo si $n = 1$ e $y$ es el centro del hueco $\intoo{\frac13}{\frac23}$, es decir, $y = \frac12$; y, en efecto, $d\bigl(\frac12, C\bigr) = \frac16$, pues $C \cap \intoo{\frac13}{\frac23} = \emptyset$ y $\frac13, \frac23 \in C$. Luego $\max_{y\in\intcc{0}{1}} d(y, C) = \frac16$, alcanzado exactamente en $\frac12$.

**24.** Los extremos forman un subconjunto numerable y [denso](#def-b1-topology-dense) de $C$ (pregunta 12): enumérense como una única sucesión $(e_j)_{j\geq1}$, que es una sucesión de $C$. Todos sus límites de subsucesiones están en $C$ ($C$ [cerrado](#def-b1-topology-closed)). Recíprocamente, fíjese $x \in C$: para cada $n$, los segmentos de los $C_m$ que contienen a $x$ ($m \geq n$) tienen sus extremos a distancia $3^{-m} \leq 3^{-n}$ de $x$, luego infinitos extremos distintos están a menos de $3^{-n}$ de $x$; elíjanse índices $j_1 < j_2 < \dots$ con $\abs{e_{j_n} - x} \leq 3^{-n}$: una [subsucesión](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/11-sucesiones#def-b1-seq-subsequence) que converge a $x$. Así pues, el [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) de límites de subsucesiones de $(e_j)$ es exactamente $C$ — una sola sucesión que se acumula en no numerablemente muchos puntos, el extremo opuesto a una sucesión convergente, cuyo [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) de puntos de acumulación es unitario.

**25.** (i) La construcción consumió: la estabilidad de los [cerrados](#def-b1-topology-closed) por intersección arbitraria (la existencia de $C$ como [cerrado](#def-b1-topology-closed)), el teorema de compacidad [Teorema 12.19](#thm-b1-topology-compact) (preguntas 2, 22, 23) y las caracterizaciones secuenciales de la [clausura](#def-b1-topology-closure) y la adherencia (el argumento de compactos encajados del [Ejemplo 12.20](#ex-b1-topology-nested) y la pregunta 23). (ii) Las cuatro parejas: longitud cero y, aun así, no numerable (preguntas 3, 9); [cerrado](#def-b1-topology-closed) y, aun así, de [interior](#def-b1-topology-closure) vacío (pregunta 4); perfecto —sin ningún punto aislado— y, aun así, totalmente disconexo (preguntas 11, 13); despreciable y, aun así, con $C + C = \intcc{0}{2}$ (pregunta 16). (iii) La [sobreyección](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj) $h$ de la pregunta 20, hecha continua y no decreciente, se convierte en la escalera del diablo en la teoría de las funciones continuas; y en la teoría de la medida del volumen del tercer año, $C$ es el testigo estándar de que «despreciable» no significa «numerable», con su [primo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/6-aritmetica-de-los-enteros#def-b1-arith-prime) gordo (pregunta 22) separando «[denso](#def-b1-topology-dense) en ninguna parte» de «despreciable».