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title: "Integración en un segmento"
book: "Matemáticas universitarias — Grado 1"
subject: math
language: es
chapter: 15
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/15-integracion-en-un-segmento
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# Capítulo 15 — Integración en un segmento

La [integral](#thm-b1-integration-def) del volumen anterior se fundaba en áreas tomadas de forma intuitiva. Este capítulo la construye: primero para las [funciones escalonadas](#def-b1-integration-step), donde la [integral](#thm-b1-integration-def) es una suma finita, y después para las funciones [continuas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#def-b1-continuity-continuous) (y [continuas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#def-b1-continuity-continuous) a trozos) por aproximación uniforme — el lugar donde el teorema de Heine ([Teorema 13.22](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#thm-b1-continuity-heine)) se gana el sueldo. El teorema fundamental del cálculo conecta después la construcción con las primitivas, y las [sumas de Riemann](#thm-b1-integration-riemann) la conectan con los promedios discretos.

En todo el capítulo, $a < b$ son reales.

## 15.1 Funciones escalonadas

**Definición 15.1.**

$\varphi \colon \intcc{a}{b} \to \R$ es una *función escalonada* cuando existe una subdivisión $a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b$ tal que $\varphi$ es constante, igual a $c_i$, en cada [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) [abierto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/12-topologia-de-la-recta-real#def-b1-topology-open) $\intoo{x_{i-1}}{x_i}$ (los valores en los nodos no están sujetos a restricción). Su [integral](#thm-b1-integration-def) es

$$
\int_a^b \varphi = \sum_{i=1}^{n} c_i\,(x_i - x_{i-1}),
$$

independiente de la subdivisión elegida (refínense dos subdivisiones por la común: cada miembro queda invariante al refinar).

**Proposición 15.2.**

Sobre las [funciones escalonadas](#def-b1-integration-step), la [integral](#thm-b1-integration-def) es lineal, creciente ($\varphi \leq \psi \implies \int\varphi \leq \int\psi$) y cumple la relación de Chasles $\int_a^b = \int_a^c + \int_c^b$ para $a < c < b$.

**Demostración.** El motor es la *invariancia por refinamiento*, enunciada en la definición: insertar un nodo más $t \in \intoo{x_{i-1}}{x_i}$ en una subdivisión sustituye el término $c_i(x_i - x_{i-1})$ por $c_i(t - x_{i-1}) + c_i(x_i - t)$ —el mismo número—, de modo que la [integral](#thm-b1-integration-def) no cambia por ningún refinamiento finito. Tómense ahora $\varphi$ con subdivisión $\sigma$ y $\psi$ con subdivisión $\sigma'$: sobre el refinamiento común $\sigma \cup \sigma'$ las dos son [funciones escalonadas](#def-b1-integration-step) con los *mismos* nodos y, en cada trozo, $\varphi + \lambda\psi$ es constante igual a $c_i + \lambda d_i$: la linealidad se reduce a la linealidad de las sumas finitas. Crecimiento: $c_i \leq d_i$ en cada trozo da $\sum c_i \Delta_i \leq \sum d_i \Delta_i$ (las longitudes son $\Delta_i \geq 0$). Chasles: insértese el nodo $c$ y pártase la suma en él. ∎

## 15.2 Integral de una función continua

**Teorema 15.3 (Aproximación uniforme).**

Sea $f$ [continua](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#def-b1-continuity-continuous) en $\intcc{a}{b}$. Para todo $\varepsilon > 0$ hay [funciones escalonadas](#def-b1-integration-step) $\varphi, \psi$ con

$$
\varphi \leq f \leq \psi
\qquad\text{y}\qquad
\psi - \varphi \leq \varepsilon \text{ en } \intcc{a}{b}.
$$

**Demostración.** Por el teorema de Heine ([Teorema 13.22](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#thm-b1-continuity-heine)), $f$ es [uniformemente continua](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#def-b1-continuity-uniform): tómese $\delta$ para $\varepsilon$ y una subdivisión de paso $< \delta$ (equidistante, digamos, con $n > \frac{b - a}{\delta}$ trozos). En cada trozo [cerrado](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/12-topologia-de-la-recta-real#def-b1-topology-closed) $\intcc{x_{i-1}}{x_i}$, $f$ alcanza un mínimo $m_i$ y un máximo $M_i$ ([Teorema 13.13](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#thm-b1-continuity-evt)), y $M_i - m_i \leq \varepsilon$ (los dos puntos extremales distan menos de $\delta$). Defínanse $\varphi = m_i$ y $\psi = M_i$ en $\intoo{x_{i-1}}{x_i}$ (y $\varphi = \psi = f$ en los nodos). ∎

**Teorema 15.4 (Definición de la integral).**

Sea $f$ [continua](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#def-b1-continuity-continuous) en $\intcc{a}{b}$. Los dos números

$$
I_-(f) = \sup\Bigl\{\int_a^b \varphi : \varphi \text{ escalonada},\
\varphi \leq f\Bigr\},
\qquad
I_+(f) = \inf\Bigl\{\int_a^b \psi : \psi \text{ escalonada},\ \psi \geq
f\Bigr\}
$$

son iguales; su valor común es la *integral* $\int_a^b f$ (que también se escribe $\int_a^b f(t)\,\dd t$). Coincide con la noción anterior sobre las [funciones escalonadas](#def-b1-integration-step), y se extiende a las funciones [continuas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#def-b1-continuity-continuous) a trozos partiendo $\intcc{a}{b}$ en las discontinuidades (Chasles como definición en ese caso).

**Demostración.** Los dos [conjuntos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) son no vacíos ($f$ está acotada) y toda [integral](#thm-b1-integration-def) escalonada inferior es $\leq$ que toda superior (monotonía sobre las [funciones escalonadas](#def-b1-integration-step)): luego $I_-(f) \leq I_+(f)$. Por el [Teorema 15.3](#thm-b1-integration-approx), para cada $\varepsilon$ hay una pareja con $\int\psi - \int\varphi \leq \varepsilon(b - a)$: el [supremo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#def-b1-reals-bounds) y el [ínfimo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#def-b1-reals-bounds) quedan apretados uno contra otro, $I_- = I_+$. ∎

**Ejemplo 15.5 (Continua a trozos, sin dramas).**

La función [parte entera](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#thm-b1-reals-floor) en $\intcc{0}{3}$ es una [función escalonada](#def-b1-integration-step) disfrazada: partiendo en sus saltos,

$$
\int_0^3 \lfloor t \rfloor\,\dd t
= \int_0^1 0 + \int_1^2 1 + \int_2^3 2 = 0 + 1 + 2 = 3 ,
$$

y los valores *en* los puntos de salto $1, 2$ son irrelevantes: cambiar una función en finitos puntos no cambia ninguna [integral](#thm-b1-integration-def) (las [funciones escalonadas](#def-b1-integration-step) del encuadre no se ven afectadas). Ese es todo el contenido de la extensión «[continua](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#def-b1-continuity-continuous) a trozos»: córtese en las finitas discontinuidades, intégrese cada trozo [continuo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#def-b1-continuity-continuous) y súmese — Chasles como definición.

**Ejemplo 15.6 (La definición calcula, una vez).**

Sea $f(x) = x$ en $\intcc{0}{1}$ y córtese en $n$ trozos iguales. Las mejores [funciones escalonadas](#def-b1-integration-step) constantes en los trozos son $\varphi = \frac{k-1}{n}$ y $\psi = \frac kn$ en el $k$-ésimo trozo, con

$$
\int_0^1 \varphi = \sum_{k=1}^{n} \frac{k-1}{n}\cdot\frac1n
= \frac{n-1}{2n},
\qquad
\int_0^1 \psi = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n}\cdot\frac1n
= \frac{n+1}{2n} .
$$

Toda [integral](#thm-b1-integration-def) inferior es $\leq I_-(f) \leq I_+(f) \leq$ que toda superior, luego $\frac{n-1}{2n} \leq I_-(f) \leq I_+(f) \leq
\frac{n+1}{2n}$ para todo $n$: las dos se aprietan sobre $\frac12$, y $\int_0^1 x\,\dd x = \frac12$ sale directamente de la definición. La idea de cierre: esta es la primera y la última vez que integramos a partir de la definición — el teorema fundamental de más abajo sustituye todos esos cálculos por una consulta de primitiva, que es todo el sentido económico de este capítulo.

**Teorema 15.7 (Propiedades).**

Para $f, g$ [continuas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#def-b1-continuity-continuous) (o [continuas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#def-b1-continuity-continuous) a trozos) en $\intcc{a}{b}$ y $\lambda \in \R$:

1. linealidad: $\int (f + \lambda g) = \int f + \lambda \int g$ ;
2. monotonía: $f \leq g \implies \int_a^b f \leq \int_a^b g$ ; y $\bigl|\int_a^b f\bigr| \leq \int_a^b \abs f \leq (b -  a)\, \sup\abs f$ ;
3. Chasles: $\int_a^b = \int_a^c + \int_c^b$ (con el convenio $\int_b^a = -\int_a^b$ , válido para cualquier orden de los límites);
4. positividad estricta: si $f$ es [continua](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#def-b1-continuity-continuous) , $f \geq 0$ y $\int_a^b f = 0$ , entonces $f = 0$ en todo $\intcc{a}{b}$ .

**Demostración.** (1)–(3) pasan de las [funciones escalonadas](#def-b1-integration-step) al límite por medio de la definición con sup e ínf. La linealidad merece los detalles una vez: dado $\varepsilon > 0$, encuádrense $\varphi_f \leq f \leq \psi_f$ y $\varphi_g \leq g \leq \psi_g$ con huecos $\leq \varepsilon$ ([Teorema 15.3](#thm-b1-integration-approx)). Para $\lambda \geq 0$, $\varphi_f + \lambda\varphi_g \leq f + \lambda g \leq \psi_f +
\lambda\psi_g$ es un encuadre por [funciones escalonadas](#def-b1-integration-step) con hueco $\leq (1 + \lambda)\varepsilon$, y sus [integrales](#thm-b1-integration-def) escalonadas valen $\int \varphi_f + \lambda\int\varphi_g$, etc. ([Proposición 15.2](#prop-b1-integration-stepprops)): haciendo $\varepsilon \to 0$ se aprieta $\int(f + \lambda g)$ sobre $\int f + \lambda\int g$. Para $\lambda < 0$, multiplicar por $\lambda$ *invierte* el encuadre de $g$ —la [función escalonada](#def-b1-integration-step) inferior de $\lambda g$ es $\lambda \psi_g$— y el mismo apretón funciona con los papeles intercambiados. La cota $\abs{\int f} \leq \int \abs f$ sale de $-\abs f \leq f \leq \abs f$ y de la monotonía.

(4) Por contrarrecíproco: si $f(x_0) = m > 0$, la [continuidad](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#def-b1-continuity-continuous) proporciona un subintervalo de longitud $\eta > 0$ en el que $f \geq \frac m2$; la [función escalonada](#def-b1-integration-step) que vale $\frac m2$ ahí y $0$ fuera es $\leq f$, luego $\int f \geq \frac{m\eta}{2} > 0$. ∎

**Ejemplo 15.8 (Chasles en acción: integrales con valores absolutos).**

Para integrar un valor absoluto, córtese donde cambia el signo.

$$
\int_0^2 \abs{x - 1}\,\dd x
= \int_0^1 (1 - x)\,\dd x + \int_1^2 (x - 1)\,\dd x
= \frac12 + \frac12 = 1 ,
$$

y, cortando $\intcc{0}{2\pi}$ en $\pi$:

$$
\int_0^{2\pi} \abs{\sin t}\,\dd t
= \int_0^{\pi} \sin t\,\dd t - \int_{\pi}^{2\pi} \sin t\,\dd t
= 2 + 2 = 4 ,
$$

mientras que $\int_0^{2\pi} \sin t\,\dd t = 0$: la cancelación es real, y por eso el [enunciado](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-statement) de positividad estricta ([Teorema 15.7](#thm-b1-integration-props) (4)) lleva la hipótesis $f \geq 0$ — sin ella, una [integral](#thm-b1-integration-def) nula no demuestra nada sobre $f$. La idea de cierre: $\int \abs f$ mide *área* y $\int f$ mide *balance con signo*; la desigualdad $\abs{\int f} \leq \int\abs f$ es el registro exacto de lo que la cancelación puede destruir.

## 15.3 El teorema fundamental del cálculo

**Teorema 15.9 (Teorema fundamental del cálculo).**

Sea $f$ [continua](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#def-b1-continuity-continuous) en un [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) $I$ y sea $a \in I$. La función

$$
F(x) = \int_a^x f(t)\, \dd t
$$

es de clase $C^1$ en $I$, con $F' = f$: toda función [continua](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#def-b1-continuity-continuous) en un [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) tiene primitivas. En consecuencia, para *cualquier* primitiva $G$ de $f$:

$$
\int_a^b f(t)\,\dd t = G(b) - G(a) .
$$

**Demostración.** Fíjense $x_0 \in I$ y $\varepsilon > 0$; la [continuidad](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#def-b1-continuity-continuous) en $x_0$ proporciona $\delta$ con $\abs{f(t) - f(x_0)} \leq \varepsilon$ para $\abs{t - x_0} \leq \delta$. Para $0 < \abs{h} \leq \delta$ (y $x_0 + h \in I$), Chasles da

$$
\frac{F(x_0 + h) - F(x_0)}{h} - f(x_0)
= \frac 1h \int_{x_0}^{x_0+h} \bigl(f(t) - f(x_0)\bigr)\dd t ,
$$

cuyo valor absoluto es $\leq \frac{1}{\abs h}\cdot \abs h\, \varepsilon = \varepsilon$ (cota (2), válida para cualquier orden de los límites). Luego $F'(x_0) = f(x_0)$; y $F' = f$ es [continua](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#def-b1-continuity-continuous): $F$ es de clase $C^1$. Si también $G' = f$, entonces $(G - F)' = 0$ en el [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals), luego $G = F + c$ ([Corolario 14.12](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/14-derivacion#cor-b1-derivative-monotone)), y $G(b) - G(a) = F(b) - F(a) = \int_a^b f$. ∎

**Ejemplo 15.10 (La simetría antes que el cálculo).**

En un [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) simétrico, la paridad hace el trabajo: si $f$ es impar, el cambio $t \mapsto -t$ manda $\int_{-a}^{0} f$ a $-\int_0^a f$, luego

$$
\int_{-a}^{a} f(t)\,\dd t = 0 ;
\qquad\text{si $f$ es par,}\quad
\int_{-a}^{a} f = 2\int_0^a f .
$$

Así, $\int_{-1}^{1} \frac{t^3\cos t}{1 + t^4}\,\dd t = 0$ sin ninguna primitiva a la vista (el integrando es impar), y $\int_{-\pi}^{\pi} t^2\cos t\,\dd t = 2\int_0^\pi t^2\cos t\, \dd t$. Compruébese la simetría antes de echar mano de las técnicas: la [integral](#thm-b1-integration-def) más rápida es la que nunca se calcula.

**Ejemplo 15.11 (Reconocer una derivada a simple vista).**

Calcúlese $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \frac{\dd x}{1 + \cos x}$. La identidad del ángulo mitad $1 + \cos x = 2\cos^2\frac x2$ convierte el integrando en $\frac{1}{2}\bigl(1 + \tan^2\frac x2\bigr)$, que es exactamente la [derivada](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/14-derivacion#def-b1-derivative-def) de $\tan\frac x2$:

$$
\int_0^{\pi/2} \frac{\dd x}{1 + \cos x}
= \Bigl[\tan\frac x2\Bigr]_0^{\pi/2} = \tan\frac\pi4 = 1 .
$$

No ha hecho falta maquinaria de [cambios de variable](#thm-b1-integration-parts) — solo el reflejo de leer un integrando como la [derivada](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/14-derivacion#def-b1-derivative-def) de alguien, y el teorema fundamental hace el resto. (La herramienta sistemática que hay detrás de esas [integrales](#thm-b1-integration-def) trigonométricas, el cambio $t = \tan\frac x2$, pertenece al utillaje estándar construido a partir del [Teorema 15.15](#thm-b1-integration-parts) (2).)

**Ejemplo 15.12 (Funciones definidas por integrales).**

El teorema fundamental fabrica funciones. Sea

$$
F(x) = \int_0^x \eu^{-t^2}\,\dd t .
$$

Ninguna combinación de funciones clásicas tiene [derivada](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/14-derivacion#def-b1-derivative-def) $\eu^{-t^2}$ (un teorema de Liouville, admitido); y, sin embargo, $F$ existe, es de clase $C^1$ con $F'(x) = \eu^{-x^2} > 0$, estrictamente creciente, impar (sustitúyase $t \mapsto -t$) y acotada: para $x \geq 1$,

$$
F(x) - F(1) = \int_1^x \eu^{-t^2}\dd t
\leq \int_1^x \eu^{-t}\dd t \leq \eu^{-1} ,
$$

luego $F \leq F(1) + \eu^{-1} \leq 1 + \eu^{-1}$. (El límite exacto, $\frac{\sqrt\pi}{2}$, se calcula con [integrales](#thm-b1-integration-def) dobles en el volumen del tercer año.) Regla de la cadena para límites móviles: $\frac{\dd}{\dd x}\int_x^{x^2} \eu^{-t^2}\dd t =
2x\,\eu^{-x^4} - \eu^{-x^2}$. La idea de cierre: la integración *crea* funciones nuevas a partir de las viejas, con todas sus propiedades legibles en el integrando — la primitiva que no se puede escribir es aun así una función que se controla por completo.

**Ejemplo 15.13 (Estimar sin evaluar).**

Las [integrales](#thm-b1-integration-def) $R_n = \int_0^1 \frac{t^n}{1 + t}\,\dd t$ no tienen ninguna expresión [cerrada](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/12-topologia-de-la-recta-real#def-b1-topology-closed) agradable y, aun así, la monotonía las sujeta con precisión: en $\intcc{0}{1}$, $\frac12 \leq \frac{1}{1+t} \leq 1$, luego

$$
\frac{1}{2(n+1)} = \frac12\int_0^1 t^n\,\dd t
\;\leq\; R_n \;\leq\; \int_0^1 t^n \,\dd t = \frac{1}{n+1} :
$$

el orden exacto de decrecimiento ($R_n \sim$ un múltiplo de $\frac1n$; de hecho, $R_n \sim \frac{1}{2n}$) con dos líneas y sin ninguna primitiva. Los problemas del fin de semana de este capítulo y del siguiente corren sobre encuadres exactamente así — el primer instinto del analista ante una [integral](#thm-b1-integration-def) debe ser *acotarla* y, solo después, si hace falta, calcularla.

**Ejemplo 15.14 (Valores medios).**

La *media* de una $f$ [continua](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#def-b1-continuity-continuous) en $\intcc{a}{b}$ es $\frac{1}{b-a}\int_a^b f$. Para el arco del seno:

$$
\frac{1}{\pi}\int_0^\pi \sin t\,\dd t
= \frac{1}{\pi}\bigl[-\cos t\bigr]_0^\pi = \frac{2}{\pi}
\approx 0.637 :
$$

un arco positivo completo no promedia $\frac12$, sino $\frac2\pi$ — la curva pasa más tiempo arriba de lo que pasaría un triángulo. Por el [Ejercicio 15.11](#exo-b1-integration-11) (teorema del valor medio para [integrales](#thm-b1-integration-def), con $g = 1$), la media es un *valor*: $\sin c = \frac2\pi$ para algún $c \in \intoo{0}{\pi}$. Y por las [sumas de Riemann](#thm-b1-integration-riemann) de este capítulo, la media es el límite de promedios ordinarios de $n$ muestras — el puente entre la media discreta de unos datos y la media [continua](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#def-b1-continuity-continuous) de una señal, que es como entra la [integral](#thm-b1-integration-def) en la física.

**Teorema 15.15 (Integración por partes; cambio de variable).**

1. Si $u, v$ son de clase $C^1$ en $\intcc{a}{b}$: $$\int_a^b u'v = \bigl[uv\bigr]_a^b - \int_a^b uv' .$$
2. Si $\varphi$ es de clase $C^1$ en $\intcc{\alpha}{\beta}$ y $f$ es [continua](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#def-b1-continuity-continuous) en $\varphi(\intcc{\alpha}{\beta})$: $$\int_{\alpha}^{\beta} f\bigl(\varphi(t)\bigr)\,\varphi'(t)\,  \dd t = \int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)} f(x)\, \dd x .$$

**Demostración.** (1) $(uv)' = u'v + uv'$; intégrese en $\intcc{a}{b}$ y aplíquese el teorema fundamental a la función de clase $C^1$, $uv$.

(2) Sea $F$ una primitiva de $f$ en el [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) imagen ([Teorema 15.9](#thm-b1-integration-ftc)). Entonces $(F \circ \varphi)' = (f \circ \varphi)\,\varphi'$ (regla de la cadena), luego los dos miembros valen $F(\varphi(\beta)) - F(\varphi(\alpha))$. ∎

**Ejemplo 15.16.**

$\int_0^1 t\,\eu^t \dd t = \bigl[t\,\eu^t\bigr]_0^1 - \int_0^1
\eu^t\dd t = \eu - (\eu - 1) = 1$. Y con el [cambio de variable](#thm-b1-integration-parts) $x = \sin t$ ($t \in \intcc{0}{\frac\pi2}$):

$$
\int_0^1 \sqrt{1 - x^2}\, \dd x
= \int_0^{\pi/2} \cos t \cdot \cos t \, \dd t
= \int_0^{\pi/2} \frac{1 + \cos 2t}{2}\, \dd t = \frac\pi4 ,
$$

— un cuarto del disco unidad, como exige la geometría. (La linealización del [Método 3.11](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/3-numeros-complejos#met-b1-complex-trig) en acción.)

**Observación 15.17 (Errores frecuentes en el cálculo integral).**

(i) *Los [cambios de variable](#thm-b1-integration-parts) deben ser de clase $C^1$ en todo el [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals)*: el cambio $x = \frac1t$ es ilegal a caballo de $0$; aplicado a ciegas a $\int_{-1}^{1}\frac{\dd x}{1 + x^2}$ «demuestra» que la [integral](#thm-b1-integration-def) es igual a su propia opuesta. Cuando un [cambio de variable](#thm-b1-integration-parts) tiene una singularidad, córtese antes el [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) (Chasles), háganse los cambios en cada trozo y solo entonces recompóngase. (ii) *Las primitivas logarítmicas necesitan valores absolutos*: $\int \frac{\dd x}{x - 2} = \ln\abs{x - 2} + C$ a cada lado de $2$ por separado — escribir $\ln(x - 2)$ en $\intoo{0}{1}$ es escribir el logaritmo de un número negativo; y la constante $C$ puede ser distinta a los dos lados de la singularidad. (iii) *Una [integral](#thm-b1-integration-def) nula no mata a la función*: $\int_0^{2\pi}\sin = 0$; hace falta la positividad del integrando antes de concluir $f = 0$ ([Ejemplo 15.8](#ex-b1-integration-chasleswork)). (iv) *Las [sumas de Riemann](#thm-b1-integration-riemann) hay que calibrarlas*: en $\frac{b-a}{n}\sum f\bigl(a + k\frac{b-a}{n}\bigr)$, el paso de fuera y los puntos de dentro deben corresponder a la misma subdivisión — el error frecuente es una suma $\sum_{k=1}^{n} f\bigl(\frac kn\bigr)$ *sin* el factor $\frac1n$, que diverge en vez de converger a $\int_0^1 f$. Lista de comprobación antes de invocar el [Teorema 15.20](#thm-b1-integration-riemann): sáquese el factor $\frac1n$, reescríbase el sumando como $f$ de $\frac kn$, nómbrese $f$ y compruébese su [continuidad](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#def-b1-continuity-continuous).

**Ejemplo 15.18 (Adivinar, derivar, ajustar).**

¿Cuánto vale $\int_1^x (\ln t)^2\,\dd t$? Adivínese una primitiva de la forma $t\,P(\ln t)$ con $P$ [polinomio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) y derívese:

$$
\bigl(t\,P(\ln t)\bigr)' = P(\ln t) + P'(\ln t) .
$$

Hace falta $P(u) + P'(u) = u^2$: tómese $P(u) = u^2 - 2u + 2$ (igualando coeficientes hacia abajo desde $u^2$). Por tanto,

$$
\int_1^x (\ln t)^2\,\dd t
= \bigl[t\bigl((\ln t)^2 - 2\ln t + 2\bigr)\bigr]_1^x
= x(\ln x)^2 - 2x\ln x + 2x - 2 ,
$$

un resultado al que se llega, si no, con dos [integraciones por partes](#thm-b1-integration-parts). La idea de cierre: para integrandos de la forma ([polinomio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) en $\ln t$) o ([polinomio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) por $\eu^{\lambda t}$), la primitiva tiene la misma forma — derivar una conjetura con forma convierte la integración en álgebra lineal sobre los coeficientes, más rápida y menos propensa a errores que las partes iteradas.

**Ejemplo 15.19 (La integral bumerán).**

Calcúlese $I = \int_0^{\pi/2} \eu^x \cos x\,\dd x$. Intégrese dos veces por partes, derivando cada vez el factor trigonométrico:

$$
I = \bigl[\eu^x \sin x\bigr]_0^{\pi/2}
- \int_0^{\pi/2} \eu^x \sin x\,\dd x
= \eu^{\pi/2} - J,
\qquad
J = \bigl[-\eu^x\cos x\bigr]_0^{\pi/2}
+ \int_0^{\pi/2} \eu^x\cos x\,\dd x = 1 + I .
$$

La [integral](#thm-b1-integration-def) ha vuelto sobre sí misma: $I = \eu^{\pi/2} - 1 - I$, de donde

$$
I = \frac{\eu^{\pi/2} - 1}{2} .
$$

La idea de cierre: cuando el integrando es un producto de dos funciones que se reproducen al derivar ($\eu^{ax}$, $\cos bx$, $\sin bx$), dos [integraciones por partes](#thm-b1-integration-parts) producen una ecuación lineal para la [integral](#thm-b1-integration-def) desconocida — resuélvase en lugar de integrar; equivalentemente, pásese por $\eu^{(a + \iu b)x}$ ([Capítulo 3](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/3-numeros-complejos#ch-b1-complex)) y tómense partes reales. Los dos caminos dan la misma respuesta, y comprobar que lo hacen es una prueba de coherencia gratuita.

## 15.4 Sumas de Riemann

**Teorema 15.20 (Sumas de Riemann).**

Sea $f$ [continua](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#def-b1-continuity-continuous) en $\intcc{a}{b}$. Entonces

$$
S_n = \frac{b - a}{n} \sum_{k=0}^{n-1}
f\Bigl(a + k\,\frac{b-a}{n}\Bigr)
\xrightarrow[n \to \infty]{} \int_a^b f(t)\, \dd t ,
$$

y lo mismo con cualquier punto de evaluación dentro de los subintervalos.

**Demostración.** $S_n$ es la [integral](#thm-b1-integration-def) de la [función escalonada](#def-b1-integration-step) $\varphi_n$ igual a $f(a + k\frac{b-a}{n})$ en el $k$-ésimo subintervalo. Dado $\varepsilon > 0$, la [continuidad uniforme](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#def-b1-continuity-uniform) (Heine) proporciona $\delta$; para $n > \frac{b-a}{\delta}$, todo punto de un subintervalo dista menos de $\delta$ de su punto de evaluación, luego $\abs{f - \varphi_n} \leq \varepsilon$ en $\intcc{a}{b}$, de donde

$$
\Bigl| \int_a^b f - S_n \Bigr|
= \Bigl| \int_a^b (f - \varphi_n) \Bigr|
\leq (b-a)\,\varepsilon . \qedhere
$$

∎

![Una suma de Riemann por la izquierda con n = 8 rectángulos: conforme el paso se encoge, la continuidad uniforme lleva el área de la escalera hacia ∈t_ab f.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-integration/fig-3ce085fec6e3.svg)

*Una suma de Riemann por la izquierda con $n = 8$ rectángulos: conforme el paso se encoge, la [continuidad uniforme](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#def-b1-continuity-uniform) lleva el área de la escalera hacia $\int_a^b f$.*

**Ejemplo 15.21.**

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n + k} = \frac 1n
\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + k/n} \xrightarrow[n\to\infty]{}
\int_0^1 \frac{\dd x}{1 + x} = \ln 2$: un límite invisible para las acotaciones elementales y transparente como suma de Riemann.

**Ejemplo 15.22 (Una segunda suma de Riemann, con calibración).**

Hállese $\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{n}{(n+k)^2}$. Calíbrese:

$$
\sum_{k=1}^{n} \frac{n}{(n+k)^2}
= \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \frac{n^2}{(n+k)^2}
= \frac1n \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\bigl(1 + \frac kn\bigr)^2} ,
$$

una suma de Riemann de la función [continua](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#def-b1-continuity-continuous) $f(x) = \frac{1}{(1+x)^2}$ en $\intcc{0}{1}$: el límite es

$$
\int_0^1 \frac{\dd x}{(1 + x)^2}
= \Bigl[-\frac{1}{1+x}\Bigr]_0^1 = \frac12 .
$$

La idea de cierre: todo el arte está en la línea de en medio — fórcese el sumando a la forma $f(\frac kn)$ al precio de extraer exactamente un factor $\frac1n$; una vez que la forma es la correcta, el teorema hace el análisis y el teorema fundamental hace la aritmética.

**Observación 15.23 (Dónde funciona la integral a continuación).**

Cada una de las construcciones del capítulo tiene continuación. Las [sumas de Riemann](#thm-b1-integration-riemann) vuelven en el [Capítulo 17](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/17-series-numericas#ch-b1-series) como puente entre las series y las [integrales](#thm-b1-integration-def) (comparación de $\sum \frac{1}{n^\alpha}$ con $\int \frac{\dd t}{t^\alpha}$); el resto [integral](#thm-b1-integration-def) es la forma más fina de la fórmula de Taylor en el [Capítulo 16](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/16-formulas-de-taylor-y-desarrollos-asintoticos#ch-b1-taylor); y la definición basada en el $\sup$ es el prototipo de la [integral](#thm-b1-integration-def) de Lebesgue del volumen del tercer año, donde las mismas tres propiedades (linealidad, monotonía y un teorema de convergencia) se reconstruyen sobre una clase de funciones mucho mayor. Y el problema del fin de semana de más abajo convierte la [integración por partes](#thm-b1-integration-parts) en aritmética: la irracionalidad de $\pi^2$.

## 15.5 Ejercicios

**Ejercicio 15.1 ★.**

Calcúlense: $\displaystyle\int_0^1 \frac{\dd x}{x^2 - 4}$ *(fracciones simples, [Capítulo 9](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/9-fracciones-racionales#ch-b1-fractions))*; $\displaystyle\int_1^{\eu} \ln t \,\dd t$; $\displaystyle\int_0^{\pi} t \sin t\, \dd t$.

**Solución de Ejercicio 15.1.**

$\dfrac{1}{x^2-4} = \dfrac{1/4}{x - 2} - \dfrac{1/4}{x+2}$ (por tapado), luego

$$
\int_0^1 \frac{\dd x}{x^2 - 4}
= \frac14\Bigl[\ln\abs{x-2} - \ln\abs{x+2}\Bigr]_0^1
= \frac14\Bigl(\ln\frac{1}{3} - \ln 1\Bigr) = -\frac{\ln 3}{4}.
$$

Por partes ($u' = 1$, $v = \ln t$): $\int_1^{\eu} \ln t\,\dd t =
\bigl[t\ln t\bigr]_1^{\eu} - \int_1^{\eu} \dd t = \eu - (\eu - 1) =
1$.

Por partes ($u' = \sin t$, $v = t$): $\int_0^\pi t\sin t\,\dd t =
\bigl[-t\cos t\bigr]_0^\pi + \int_0^\pi \cos t\,\dd t = \pi + 0 =
\pi$.

**Ejercicio 15.2 ★.**

Calcúlense $\displaystyle\int_0^{1} \frac{t}{(t^2+1)^2}\,\dd t$ ([cambio de variable](#thm-b1-integration-parts)) y $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos^3 t\, \dd t$ (escríbase $\cos^3 = \cos(1 - \sin^2)$).

**Solución de Ejercicio 15.2.**

[Cambio de variable](#thm-b1-integration-parts) $u = t^2 + 1$, $\dd u = 2t\,\dd t$:

$$
\int_0^1 \frac{t\,\dd t}{(t^2+1)^2}
= \frac12 \int_1^2 \frac{\dd u}{u^2}
= \frac12\Bigl[-\frac1u\Bigr]_1^2 = \frac14 .
$$

Con $u = \sin t$: $\int_0^{\pi/2} \cos^3 t\,\dd t = \int_0^{\pi/2}
(1 - \sin^2 t)\cos t\,\dd t = \bigl[\sin t - \frac{\sin^3
t}{3}\bigr]_0^{\pi/2} = 1 - \frac13 = \frac23$.

**Ejercicio 15.3 ★.**

Hállense los límites, como [sumas de Riemann](#thm-b1-integration-riemann):

$$
u_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^2 + k^2},
\qquad
v_n = \frac{1}{n}\sqrt[n]{\frac{(2n)!}{n!\,n^n}}
\ \emph{(tómense logaritmos)}.
$$

**Solución de Ejercicio 15.3.**

$u_n = \dfrac1n \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{1 + (k/n)^2}$: una suma de Riemann de $x \mapsto \frac{1}{1+x^2}$ en $\intcc{0}{1}$, luego $u_n \to \int_0^1 \frac{\dd x}{1+x^2} = \arctan 1 = \dfrac\pi4$.

$\ln v_n = \dfrac1n \sum_{k=1}^{n} \ln\dfrac{n+k}{n} = \dfrac 1n
\sum_{k=1}^n \ln\Bigl(1 + \dfrac kn\Bigr) \to \int_0^1 \ln(1+x)\,\dd
x = \bigl[(1+x)\ln(1+x) - x\bigr]_0^1 = 2\ln 2 - 1$. Por tanto, $v_n \to \eu^{2\ln 2 - 1} = \dfrac 4\eu$. (Comprobación de la identificación: $\frac{(2n)!}{n!\,n^n} = \prod_{k=1}^{n} \frac{n+k}{n}$.)

**Ejercicio 15.4 ★.**

Sea $f$ [continua](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#def-b1-continuity-continuous) en $\intcc{0}{1}$. Calcúlese $\lim_{n\to\infty} \int_0^1 x^n f(x)\,\dd x$. *(Córtese $\intcc{0}{1}$ en $1 - \delta$.)*

**Solución de Ejercicio 15.4.**

El límite es $0$. Sean $M = \sup \abs f$ y $\varepsilon \in \intoo{0}{1}$. Córtese en $1 - \varepsilon$:

$$
\Bigl| \int_0^1 x^n f \Bigr|
\leq \int_0^{1 - \varepsilon} x^n \abs f + \int_{1-\varepsilon}^1
x^n \abs f
\leq M\,(1-\varepsilon)^n + M\varepsilon .
$$

Como $(1 - \varepsilon)^n \to 0$ ([Ejercicio 11.3](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/11-sucesiones#exo-b1-seq-3)), el límite superior del miembro izquierdo es $\leq M\varepsilon$ para todo $\varepsilon$: la [integral](#thm-b1-integration-def) tiende a $0$.

**Ejercicio 15.5 ★★.**

(Cauchy–Schwarz) Para $f, g$ [continuas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#def-b1-continuity-continuous) en $\intcc{a}{b}$, demuéstrese

$$
\Bigl(\int_a^b fg\Bigr)^{\!2} \leq \int_a^b f^2 \cdot \int_a^b g^2 ,
$$

desarrollando $\int_a^b (f + \lambda g)^2 \geq 0$ como trinomio en $\lambda$. ¿Cuándo hay igualdad?

**Solución de Ejercicio 15.5.**

$Q(\lambda) = \int_a^b (f + \lambda g)^2 = \int f^2 + 2\lambda \int
fg + \lambda^2 \int g^2 \geq 0$ para todo $\lambda$. Si $\int g^2 = 0$, entonces $g = 0$ (positividad estricta, [Teorema 15.7](#thm-b1-integration-props) (4)) y la desigualdad es $0 \leq 0$. En caso contrario, $Q$ es un verdadero trinomio de segundo grado, siempre $\geq 0$: su discriminante es $\leq 0$, es decir, $\bigl(\int fg\bigr)^2 \leq \int f^2 \int g^2$.

Hay igualdad si y solo si se anula el discriminante, si y solo si $Q(\lambda_0) = 0$ para algún $\lambda_0$, es decir, $\int (f + \lambda_0 g)^2 = 0$, es decir (otra vez la positividad estricta), $f = -\lambda_0 g$: hay igualdad exactamente cuando $f$ y $g$ son proporcionales.

**Ejercicio 15.6 ★★.**

Sea $f$ [continua](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#def-b1-continuity-continuous) en $\R$ y $T$-periódica. Demuéstrese que $\int_a^{a+T} f$ no depende de $a$, y que $\frac1x \int_0^x f(t)\,\dd t \to \frac 1T \int_0^T f$ cuando $x \to +\infty$.

**Solución de Ejercicio 15.6.**

Sea $\Phi(a) = \int_a^{a+T} f$. Por el teorema fundamental ([Teorema 15.9](#thm-b1-integration-ftc)), $\Phi$ es [derivable](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/14-derivacion#def-b1-derivative-def) con $\Phi'(a) = f(a + T) - f(a) = 0$: constante.

Para $x > 0$, escríbase $x = nT + r$, $0 \leq r < T$ ($n = \lfloor x/T \rfloor$). Chasles:

$$
\int_0^x f = n \int_0^T f + \int_{nT}^{nT + r} f,
\qquad
\Bigl| \int_{nT}^{nT+r} f \Bigr| \leq T \sup_{\intcc{0}{T}} \abs f
= C .
$$

Entonces $\frac 1x \int_0^x f = \frac{nT}{x}\cdot\frac 1T \int_0^T f +
O\bigl(\frac 1x\bigr)$, y $\frac{nT}{x} \to 1$: el límite es $\frac1T \int_0^T f$.

**Ejercicio 15.7 ★★.**

Para $f$ [continua](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#def-b1-continuity-continuous) en $\intcc{0}{1}$ con $\int_0^1 f = \frac12$, demuéstrese que $f$ tiene un punto fijo en $\intcc{0}{1}$. *(Intégrese $f(x) - x$ y úsese la positividad estricta, [Teorema 15.7](#thm-b1-integration-props) (4), por su contrarrecíproco combinado con el teorema del valor intermedio.)*

**Solución de Ejercicio 15.7.**

Sea $g(x) = f(x) - x$: [continua](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#def-b1-continuity-continuous), con

$$
\int_0^1 g = \int_0^1 f - \frac12 = 0 .
$$

Si $g$ no se anulara nunca, el teorema del valor intermedio forzaría un signo constante (una función [continua](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#def-b1-continuity-continuous) en un [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) que toma los dos signos se anula); digamos $g > 0$. Entonces, por la positividad estricta ([Teorema 15.7](#thm-b1-integration-props) (4) aplicada a $g > 0$, que da $\int g > 0$): contradicción con $\int g = 0$. Luego $g(c) = 0$ para algún $c$: $f(c) = c$.

**Ejercicio 15.8 ★★★.**

([Integrales](#thm-b1-integration-def) de Wallis) Sea $W_n = \int_0^{\pi/2} \sin^n t\,\dd t$.

1. Demuéstrese la recurrencia $n W_n = (n-1) W_{n-2}$ ( $n \geq 2$ ) por partes, y calcúlense $W_0, W_1$ y después $W_{2p}$ y $W_{2p+1}$ en forma [cerrada](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/12-topologia-de-la-recta-real#def-b1-topology-closed) .
2. Demuéstrese que $(W_n)$ es decreciente con $\frac{W_{n+1}}{W_n} \to 1$ ; demuéstrese que la cantidad $(n+1)\,W_{n+1} W_n$ es constante e igual a $\frac\pi2$ ; y dedúzcase el equivalente $W_n \sim \sqrt{\dfrac{\pi}{2n}}$ .

**Solución de Ejercicio 15.8.**

1. Por partes con $u' = \sin t$, $v = \sin^{n-1} t$: $$W_n = \bigl[-\cos t\sin^{n-1}t\bigr]_0^{\pi/2}  + (n-1)\int_0^{\pi/2} \cos^2 t\,\sin^{n-2} t\,\dd t  = (n-1)(W_{n-2} - W_n),$$ luego $nW_n = (n-1)W_{n-2}$. De $W_0 = \frac\pi2$, $W_1 = 1$: $$W_{2p} = \frac{(2p-1)(2p-3)\cdots 1}{(2p)(2p-2)\cdots 2}\,  \frac{\pi}{2} = \frac{(2p)!}{4^p (p!)^2}\,\frac\pi2,  \qquad  W_{2p+1} = \frac{(2p)(2p-2)\cdots 2}{(2p+1)(2p-1)\cdots 3}  = \frac{4^p (p!)^2}{(2p+1)!} .$$
2. En $\intoo{0}{\frac\pi2}$, $0 < \sin t < 1$, luego $\sin^{n+1} < \sin^n$ y $(W_n)$ es (estrictamente) decreciente y positiva. Encuadrando con la recurrencia: $$\frac{n}{n+1} = \frac{W_{n+1}}{W_{n-1}}  \leq \frac{W_{n+1}}{W_n} \leq 1  \quad\implies\quad \frac{W_{n+1}}{W_n} \to 1 .$$ Invariante: $a_n = (n+1)W_{n+1}W_n$ cumple $a_n = a_{n-1}$ por la recurrencia $(n+1)W_{n+1} = nW_{n-1}$, luego $a_n = a_0 = 1 \cdot W_1 W_0 = \frac\pi2$. Entonces $$n W_n^2 \sim (n+1) W_{n+1} W_n = \frac\pi2  \quad\implies\quad  W_n \sim \sqrt{\frac{\pi}{2n}} .$$

**Ejercicio 15.9 ★★★.**

(Niven: $\pi$ es irracional) Supóngase $\pi = \frac ab$ con $a, b \in \N^*$ y póngase, para un $n$ que se elegirá,

$$
P(x) = \frac{x^n (a - bx)^n}{n!},
\qquad
I_n = \int_0^{\pi} P(x)\sin x\, \dd x .
$$

1. Demuéstrese que $0 < I_n \leq \pi\,\frac{(\pi a)^n}{n!}$ , que es $< 1$ para $n$ grande.
2. Demuéstrese que $P$ y todas sus [derivadas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/14-derivacion#def-b1-derivative-def) toman valores *enteros* en $0$ y en $\pi = \frac ab$ . *(Desarrollo binomial: los coeficientes de $P$ por $k!$ son enteros para $k \geq n$; y $P(\pi - x) = P(x)$.)*
3. Póngase $Q = P - P'' + P^{(4)} - \dots$ (suma finita). Compruébese que $\bigl(Q'\sin x - Q\cos x\bigr)' = P \sin x$ , y dedúzcase que $I_n = Q(\pi) + Q(0)$ es un entero.
4. Conclúyase.

**Solución de Ejercicio 15.9.**

1. En $\intoo{0}{\pi}$ : $x > 0$ , $a - bx = b(\frac ab - x) =  b(\pi - x) > 0$ y $\sin x > 0$ , luego el integrando es $> 0$ y $I_n > 0$ (positividad estricta). Cota: en $\intcc{0}{\pi}$ , $x \leq \pi$ y $a - bx \leq a$ , luego $P \leq \frac{\pi^n a^n}{n!}$ y $I_n \leq \pi\,\frac{(\pi a)^n}{n!}$ , que tiende a $0$ (el factorial gana al término geométrico: es el término general de la serie exponencial convergente, cf. [Ejemplo 11.12](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/11-sucesiones#ex-b1-seq-e) ); en particular, $I_n < 1$ para $n$ grande.
2. Desarróllese $x^n(a - bx)^n = \sum_{j=0}^{n} \binom nj  a^{n-j} (-b)^j x^{n+j}$ : así, $P = \frac{1}{n!}\sum_j c_j  x^{n+j}$ con $c_j$ enteros. Entonces $P^{(k)}(0) = 0$ para $k < n$ (valuación) y, para $n \leq k \leq 2n$ , $P^{(k)}(0) = \frac{k!}{n!} c_{k-n}$ , un entero porque $n! \mid k!$ . Además, $P(\pi - x) = P(x)$ (sustitúyase: $\pi - x$ intercambia los factores, usando $a - b(\pi - x) = bx$ ), luego $P^{(k)}(\pi) = \pm  P^{(k)}(0)$ : también enteros.
3. Con $Q = P - P'' + P^{(4)} - \dots$ (finita: $P$ tiene grado $2n$): $Q + Q'' = P$, y $$\bigl(Q'\sin x - Q\cos x\bigr)' = (Q + Q'')\sin x = P\sin x .$$ Por tanto, $I_n = \bigl[Q'\sin x - Q\cos x\bigr]_0^{\pi} =  Q(\pi) + Q(0)$, una suma de valores $P^{(2k)}$ en $0$ y en $\pi$: un entero por (2).
4. Para $n$ grande, $I_n$ es un entero con $0 < I_n < 1$ : imposible. La hipótesis $\pi = \frac ab$ falla: $\pi$ es irracional.

**Ejercicio 15.10 ★★★.**

Sea $f$ de clase $C^1$ en $\intcc{a}{b}$. Demuéstrese el límite de tipo Riemann–Lebesgue

$$
\int_a^b f(t)\sin(\lambda t)\,\dd t \xrightarrow[\lambda \to
+\infty]{} 0
$$

integrando por partes. Demuéstrese después de nuevo para $f$ solo [continua](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#def-b1-continuity-continuous), por aproximación uniforme con [funciones escalonadas](#def-b1-integration-step) ([Teorema 15.3](#thm-b1-integration-approx)).

**Solución de Ejercicio 15.10.**

Caso $C^1$: por partes,

$$
\int_a^b f(t)\sin\lambda t\,\dd t
= \Bigl[-f(t)\frac{\cos\lambda t}{\lambda}\Bigr]_a^b
+ \frac{1}{\lambda}\int_a^b f'(t)\cos\lambda t\,\dd t,
$$

acotado en valor absoluto por $\frac{2\sup\abs f + (b - a)\sup\abs{f'}} {\lambda} \to 0$.

Caso [continuo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#def-b1-continuity-continuous): sea $\varepsilon > 0$ y tómese una [función escalonada](#def-b1-integration-step) $\varphi$ con $\abs{f - \varphi} \leq \varepsilon$ (el [Teorema 15.3](#thm-b1-integration-approx) proporciona $\varphi \leq f \leq \psi$ con hueco $\leq\varepsilon$; tómese $\varphi$). Entonces

$$
\Bigl|\int_a^b f\sin\lambda t\Bigr|
\leq \int_a^b \abs{f - \varphi}
+ \Bigl|\int_a^b \varphi \sin\lambda t\Bigr|
\leq (b-a)\varepsilon
+ \sum_i \abs{c_i}\,\Bigl|\int_{x_{i-1}}^{x_i} \sin\lambda t\,\dd
t\Bigr| ,
$$

y cada $\bigl|\int \sin \lambda t\bigr| = \bigl|\frac{\cos\lambda
x_{i-1} - \cos\lambda x_i}{\lambda}\bigr| \leq \frac{2}{\lambda}$: el segundo término tiende a $0$. Luego el límite superior es $\leq (b-a)\varepsilon$ para todo $\varepsilon$: el límite es $0$.

**Ejercicio 15.11 ★★.**

(Teorema del valor medio para [integrales](#thm-b1-integration-def)) Sean $f, g$ [continuas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#def-b1-continuity-continuous) en $\intcc{a}{b}$ con $g \geq 0$. Demuéstrese que existe $c \in \intcc{a}{b}$ con

$$
\int_a^b f(t)\,g(t)\,\dd t = f(c)\int_a^b g(t)\,\dd t ,
$$

y véase con un ejemplo que no se puede prescindir de la hipótesis $g \geq 0$.

**Solución de Ejercicio 15.11.**

Sean $m = \min f$ y $M = \max f$, alcanzados por el teorema de los valores extremos. Como $g \geq 0$: $m\,g \leq fg \leq M\,g$, luego, por monotonía,

$$
m \int_a^b g \;\leq\; \int_a^b fg \;\leq\; M \int_a^b g .
$$

Si $\int_a^b g = 0$: la positividad estricta ([Teorema 15.7](#thm-b1-integration-props) (4)) obliga a $g \equiv 0$, los dos miembros se anulan y sirve cualquier $c$. En caso contrario, $t = \frac{\int fg}{\int g}$ está en $\intcc{m}{M} = f(\intcc{a}{b})$ (Teoremas [13.13](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#thm-b1-continuity-evt) y [13.10](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#thm-b1-continuity-ivt)), luego $t = f(c)$ para algún $c$.

El signo importa: en $\intcc{-1}{1}$ con $f(t) = g(t) = t$: $\int fg = \int_{-1}^1 t^2 = \frac23$, mientras que $f(c)\int_{-1}^1 t\,\dd t = 0$ para todo $c$.

**Ejercicio 15.12 ★★★.**

(Los momentos fuerzan ceros) Sea $f$ [continua](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#def-b1-continuity-continuous) en $\intcc{a}{b}$ con

$$
\int_a^b f(t)\,t^k\,\dd t = 0 \qquad \text{para } k = 0, 1,
\dots, n .
$$

Demuéstrese que $f$ se anula en $n + 1$ puntos distintos de $\intoo{a}{b}$. *(Si $f$ cambia de signo solo en $z_1 < \dots < z_m$ con $m \leq n$, intégrese $f$ contra $P(t) = (t - z_1) \cdots (t - z_m)$ y úsese la positividad estricta.)*

**Solución de Ejercicio 15.12.**

Si $f \equiv 0$, la afirmación es vacía (todo punto es un cero). Así que supóngase $f \not\equiv 0$ y que tiene a lo sumo $n$ ceros distintos en $\intoo{a}{b}$; sean $z_1 < \dots < z_m$ ($m \leq n$) aquellos ceros en los que $f$ *cambia de signo* (posiblemente ninguno). Póngase $P(t) = \prod_{i=1}^{m}(t - z_i)$ (producto vacío $= 1$), de grado $m \leq n$. En cada subintervalo determinado por los $z_i$, tanto $f$ como $P$ tienen signo constante, y los dos cambian de signo al cruzar algún $z_i$: el producto $fP$ tiene un signo constante en todo $\intoo{a}{b}$. Siendo [continuo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#def-b1-continuity-continuous), no idénticamente nulo y de signo constante, cumple $\bigl|\int_a^b fP\bigr| > 0$ (la positividad estricta aplicada a $\abs{fP}$). Pero $\int f P$ es una combinación lineal de los momentos $\int f\,t^k$, $k \leq n$, todos nulos: contradicción. Luego $f$ tiene al menos $n + 1$ ceros distintos en $\intoo{a}{b}$.

**Observación 15.24 (Perspectivas dentro de este volumen).**

Tres capítulos posteriores se apoyan directamente en este. [Capítulo 16](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/16-formulas-de-taylor-y-desarrollos-asintoticos#ch-b1-taylor) lleva el resto [integral](#thm-b1-integration-def) — la más fina de las tres fórmulas de Taylor es una [integración por partes](#thm-b1-integration-parts) iterada $n$ veces. [Capítulo 17](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/17-series-numericas#ch-b1-series) convierte el encuadre de sumas por [integrales](#thm-b1-integration-def) en el criterio decisivo para $\sum n^{-\alpha}$, y su problema del fin de semana afina ese encuadre hasta la constante de Euler. [Capítulo 24](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/24-curvas-planas#ch-b1-curves) vuelve geométrica la [integral](#thm-b1-integration-def): la longitud de un arco parametrizado es $\int \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}\,\dd t$, una [integral](#thm-b1-integration-def) de una función [continua](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#def-b1-continuity-continuous) en un segmento — justo el objeto construido aquí, sin necesidad de teoría impropia alguna. Y el hecho más reutilizado será el más humilde: $\bigl|\int f\bigr| \leq (b - a)\sup\abs{f}$, la desigualdad que convierte toda estimación puntual en una estimación [integral](#thm-b1-integration-def).

## 15.6 Problema: la máquina integral de irracionalidad

**Problema 15.1.**

Problema del fin de semana — $\eu$ y $\pi^2$ son irracionales, $\eu$ con seis decimales, y $\frac{22}{7} > \pi$ con demostración

Un solo mecanismo mueve todo este problema: *una expresión que tiene que ser un entero positivo y que, sin embargo, es demostrablemente menor que $1$ no puede existir*. [Ejercicio 15.9](#exo-b1-integration-9) (Niven) lo hizo funcionar una vez para demostrar $\pi \notin \Q$; aquí lo industrializamos. La máquina necesita tres piezas: una entrada de *integralidad* (valores en los extremos de [polinomios](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) bien elegidos), una entrada de *pequeñez* (un factor $\frac{1}{n!}$ que aplasta la [integral](#thm-b1-integration-def)) y un *puente* (la [integración por partes](#thm-b1-integration-parts)) que las conecta. Demostramos que $\eu$ es irracional y lo calculamos con error certificado, demostramos el teorema más fino de Legendre de que $\pi^2$ es irracional, y terminamos con la [integral](#thm-b1-integration-def) más encantadora del análisis: $\int_0^1 \frac{x^4(1 - x)^4}{1 + x^2}\dd x =
\frac{22}{7} - \pi$, que encuadra $\pi$ a mano.

**Parte I — Combustible.**

1. Demuéstrese que $\dfrac{c^{\,n}}{n!} \to 0$ para todo $c > 0$ fijo *(más allá de $n \geq 2c$, cada paso al menos [divide](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/6-aritmetica-de-los-enteros#def-b1-arith-divides) por dos el término)* .
2. ([Integrales](#thm-b1-integration-def) beta) Demuéstrese, por inducción sobre $m$ con [integración por partes](#thm-b1-integration-parts): $$\int_0^1 x^{\,k}\,(1 - x)^{\,m}\,\dd x =  \frac{k!\,m!}{(k + m + 1)!}  \qquad (k, m \in \N).$$
3. Dedúzcase $\displaystyle\int_0^1 \bigl(x(1-x)\bigr)^n \dd x  = \frac{1}{(2n+1)\binom{2n}{n}}$ y —comparando con la cota $x(1 - x) \leq \frac14$ — la estimación $\binom{2n}{n} \geq \dfrac{4^n}{2n+1}$ , acorde con $\binom{2n}{n}^{1/n} \to 4$ del [Problema 11.1](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/11-sucesiones#pb-b1-seq-1) .
4. Demuéstrese el lema de pequeñez que se usa dos veces más abajo: para toda función [continua](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#def-b1-continuity-continuous) $g > 0$ en $\intoo{0}{1}$, $$0 < \int_0^1 \bigl(x(1-x)\bigr)^n g(x)\,\dd x  \leq \frac{\sup_{\intcc{0}{1}}\abs g}{4^{\,n}} .$$

**Parte II — $\eu$: irracionalidad y después seis decimales.** Póngase $A_n = \displaystyle\int_0^1 x^n \eu^x \dd x$.

5. Calcúlense $A_0$ y $A_1$ , demuéstrese la recurrencia $A_n = \eu - n A_{n-1}$ y las cotas $0 < A_n \leq \dfrac{\eu}{n+1}$ .
6. Véase por inducción que $A_n = \alpha_n + \beta_n \eu$ con $\alpha_n, \beta_n \in \Z$ .
7. Dedúzcase que $\eu$ es irracional *(si $\eu = \frac  pq$, entonces $q A_n$ es un entero atrapado en $\intoo{0}{1}$ para $n$ grande)* . Compárese con la demostración del [Ejercicio 11.9](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/11-sucesiones#exo-b1-seq-9) : misma conclusión, distinto combustible.
8. Demuéstrese, por inducción y [integración por partes](#thm-b1-integration-parts), la fórmula exacta del resto $$\eu = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} + R_n,  \qquad  R_n = \frac{1}{n!}\int_0^1 (1 - t)^n\,\eu^{\,t}\,\dd t,  \qquad  \frac{1}{(n+1)!} \leq R_n \leq \frac{\eu}{(n+1)!} .$$
9. Tómese $n = 9$ : acótese $R_9$ usando $\eu < 2.75$ (a partir de $b_2 = 2.75$ en el [Ejemplo 11.12](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/11-sucesiones#ex-b1-seq-e) ), evalúese la suma y conclúyase el encuadre certificado $2.7182818 \leq \eu \leq 2.7182823$ — seis decimales, $\eu \approx 2.718282$ , con demostración.

**Parte III — El teorema de Legendre: $\pi^2$ es irracional.** Sea $f(x) = \dfrac{x^n (1 - x)^n}{n!}$, y supóngase $\pi^2 = \frac ab$ con $a, b \in \N^*$.

10. Véase que $f(1 - x) = f(x)$ y que $0 < f \leq \dfrac{1}{4^n\,n!}$ en $\intoo{0}{1}$ .
11. Véase que $f^{(k)}(0)$ y $f^{(k)}(1)$ son enteros para todo $k \geq 0$ *(desarróllese $x^n(1-x)^n$ con coeficientes enteros; $\frac{k!}{n!} \in \Z$ para $k \geq n$; y úsese después la simetría)* .
12. Defínase $$G = b^{\,n} \sum_{k=0}^{n} (-1)^k\,  \pi^{2n - 2k} f^{(2k)} .$$ Véase que $G(0)$ y $G(1)$ son enteros *(cada $b^n \pi^{2n-2k} = a^{\,n-k}\,b^{\,k}$)*.
13. Compruébese el telescopaje $G'' + \pi^2 G = b^n \pi^{2n+2} f  = \pi^2 a^n f$, y después $$\frac{\dd}{\dd x}\Bigl(G'(x)\sin \pi x - \pi\,G(x)\cos  \pi x\Bigr) = \pi^2 a^n f(x)\sin \pi x .$$
14. Intégrese en $\intcc{0}{1}$ y conclúyase $$\pi\,a^n \int_0^1 f(x)\sin(\pi x)\,\dd x = G(0) + G(1)  \in \Z ,$$ un entero *positivo* acotado por $\dfrac{\pi a^n}{4^n\,n!}$.
15. Conclúyase con la pregunta 1 que $\pi^2$ es irracional (Legendre, 1794), y que esto refuerza el [Ejercicio 15.9](#exo-b1-integration-9) : ¿por qué la irracionalidad de $\pi^2$ implica la de $\pi$ , y no al revés?

**Parte IV — Entender la máquina.**

16. Localícense las dos fuerzas opuestas (la integralidad de los datos en los extremos; la pequeñez analítica de la [integral](#thm-b1-integration-def) ) y el puente, en las partes II y III. Explíquese después por qué el factor $\frac{1}{n!}$ de $f$ es el quid: si se quita, la integralidad sobrevive, pero ¿qué desigualdad muere, y para qué supuestas fracciones $\frac ab$ falla entonces la demostración?
17. Efectividad: supóngase que alguien afirma que $\pi^2 = \frac ab$ con $a \leq 10$ . Véase que la contradicción llega ya en $n = 7$ : calcúlese $\pi\,(10/4)^7/7! \approx 0.38 < 1$ . La máquina no solo refuta; refuta en una etapa fija y calculable.
18. Compruébese el puente de forma incondicional: demuéstrese, con dos [integraciones por partes](#thm-b1-integration-parts), que $$\int_0^1 x(1 - x)\sin(\pi x)\,\dd x = \frac{4}{\pi^3},$$ y concíliese con la pregunta 14 en $n = 1$ (manténgase $\pi^2$ simbólico: la identidad telescopada dice $\pi^3 \int_0^1 f_1 \sin \pi x = -(f_1''(0) + f_1''(1)) = 4$).
19. ¿Qué hace elegibles a $\eu^x$ y a $\sin \pi x$ como núcleos de la máquina? Identifíquese la propiedad (cada una cumple una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes, de modo que la [integración por partes](#thm-b1-integration-parts) repetida vuelve al punto de partida) y nómbrese la [frontera](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/12-topologia-de-la-recta-real#def-b1-topology-closure) : la misma máquina, afinada por Hermite y Lindemann, demuestra que $\eu$ y $\pi$ son *trascendentes* — fuera de este volumen.

**Parte V — $\frac{22}{7}$ frente a $\pi$, y la moraleja.**

20. Establézcase la división de [polinomios](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) $$\frac{x^4(1-x)^4}{1 + x^2}  = x^6 - 4x^5 + 5x^4 - 4x^2 + 4 - \frac{4}{1 + x^2},$$ y dedúzcase la célebre identidad $$\int_0^1 \frac{x^4 (1-x)^4}{1 + x^2}\,\dd x  = \frac{22}{7} - \pi .$$
21. El integrando es positivo: conclúyase $\pi < \frac{22}{7}$. Después, acotando $\frac{1}{1+x^2}$ entre $\frac12$ y $1$ y usando $\int_0^1 (x(1-x))^4 = \frac{1}{630}$ (pregunta 3), demuéstrese $$\frac{22}{7} - \frac{1}{630} \;\leq\; \pi \;\leq\;  \frac{22}{7} - \frac{1}{1260} ,$$ es decir, $3.14126 \leq \pi \leq 3.14207$: dos decimales correctos, a mano.
22. Generalícese: dividiendo $x^{4m}(1-x)^{4m}$ entre $1 + x^2$, véase que el resto es la constante $(-4)^m$ *(trabájese [módulo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/3-numeros-complejos#def-b1-complex-field) $x^2 + 1$: $(1-x)^2 \equiv -2x$)*, dedúzcanse racionales $r_m$ con $$\abs{\pi - r_m} \leq 4^{\,1 - 5m} ,$$ y compruébese que $m = 1$ reproduce las preguntas 20–21.
23. Confróntense estos racionales con la teoría de aproximación del [Problema 14.1](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/14-derivacion#pb-b1-derivative-1) : calcúlese $\abs{\pi - \frac{22}{7}} \approx 1.26\cdot10^{-3}$ frente a la garantía de Dirichlet $\frac{1}{49}$ , y cítese $\abs{\pi - \frac{355}{113}} \approx 2.7\cdot10^{-7}$ frente a $\frac{1}{113^2} \approx 7.8\cdot10^{-5}$ : para $\pi$ existen aproximaciones racionales excepcionalmente buenas — coherente, ya que no se sabe que $\pi$ sea mal aproximable.
24. (La trampa del entero, abstraída) Demuéstrese el lema que lo unifica todo: *si $x \in \R$ y existen enteros $a_n, b_n$ con $0 < \abs{a_n + b_n x} \to 0$, entonces $x$ es irracional.* Enumérense sus instancias en este problema, en el [Ejercicio 15.9](#exo-b1-integration-9) , en el [Ejercicio 11.9](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/11-sucesiones#exo-b1-seq-9) y en el [Problema 14.1](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/14-derivacion#pb-b1-derivative-1) .
25. Síntesis, una frase para cada punto: (i) las tres piezas de la máquina y dónde vive cada una en el utillaje de este capítulo; (ii) qué aporta la [integral](#thm-b1-integration-def) que el teorema del valor medio del [Problema 14.1](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/14-derivacion#pb-b1-derivative-1) no podía aportar; (iii) el inventario de resultados extraídos (dos irracionalidades, una constante con seis decimales, un encuadre de $\pi$ , una cota binomial); (iv) la [frontera](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/12-topologia-de-la-recta-real#def-b1-topology-closure) (Hermite, Lindemann; y la misma trampa, aplicada a $\zeta(2)$ y $\zeta(3)$ , en la aritmética del siglo XX).

**Solución de Problema 15.1.**

**1.** Sea $N = \lceil 2c \rceil$. Para $n \geq N$: $\frac{c^{n+1}/(n+1)!}{c^n/n!} = \frac{c}{n+1} \leq \frac12$, luego $0 < \frac{c^n}{n!} \leq \frac{c^N}{N!}\,2^{-(n - N)} \to 0$: por emparedado.

**2.** Fíjese $k$; inducción sobre $m$. Para $m = 0$: $\int_0^1 x^k = \frac{1}{k+1} = \frac{k!\,0!}{(k+1)!}$. Paso, por partes ($u = (1-x)^m$, $v' = x^k$):

$$
\int_0^1 x^k (1-x)^m \dd x
= \Bigl[\frac{x^{k+1}}{k+1}(1-x)^m\Bigr]_0^1
+ \frac{m}{k+1}\int_0^1 x^{k+1}(1-x)^{m-1}\dd x
= \frac{m}{k+1}\cdot\frac{(k+1)!\,(m-1)!}{(k+m+1)!} ,
$$

que es $\frac{k!\,m!}{(k+m+1)!}$.

**3.** $k = m = n$: $\int_0^1 (x(1-x))^n = \frac{(n!)^2}{(2n+1)!} =
\frac{1}{(2n+1)\binom{2n}{n}}$. Como $x(1-x) \leq \frac14$ en $\intcc{0}{1}$, la [integral](#thm-b1-integration-def) es $\leq 4^{-n}$, de donde $\binom{2n}{n} \geq \frac{4^n}{2n+1}$ — acorde con $\binom{2n}{n}^{1/n} \to 4$ ([Problema 11.1](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/11-sucesiones#pb-b1-seq-1)).

**4.** El integrando es [continuo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#def-b1-continuity-continuous), $\geq 0$ y positivo en $\intoo{0}{1}$, luego no es idénticamente nulo: su [integral](#thm-b1-integration-def) es $> 0$ ([Teorema 15.7](#thm-b1-integration-props) (4)). [Cota superior](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#def-b1-reals-bounds): $(x(1-x))^n \leq 4^{-n}$ y $g \leq \sup\abs g$, y después la monotonía.

**5.** $A_0 = \eu - 1$; $A_1 = [x\eu^x]_0^1 - \int_0^1 \eu^x = \eu - (\eu - 1) = 1$. Por partes: $A_n = [x^n \eu^x]_0^1 - n\int_0^1 x^{n-1}\eu^x =
\eu - n A_{n-1}$. Cotas: el integrando es positivo, luego $A_n > 0$; y $\eu^x \leq \eu$ da $A_n \leq \eu\int_0^1 x^n = \frac{\eu}{n+1}$.

**6.** $A_0 = -1 + 1\cdot\eu$. Si $A_{n-1} = \alpha_{n-1} + \beta_{n-1}\eu$ con entradas enteras, entonces

$$
A_n = \eu - n\alpha_{n-1} - n\beta_{n-1}\eu
= \underbrace{(-n\,\alpha_{n-1})}_{\alpha_n}
+ \underbrace{(1 - n\,\beta_{n-1})}_{\beta_n}\,\eu ,
$$

los dos enteros.

**7.** Si $\eu = \frac pq$: $q A_n = q\alpha_n + p\beta_n
\in \Z$, y $0 < qA_n \leq \frac{q\eu}{n+1} < 1$ para $n$ grande: un entero estrictamente entre $0$ y $1$ — imposible. Luego $\eu \notin \Q$. En el [Ejercicio 11.9](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/11-sucesiones#exo-b1-seq-9) el entero atrapado era $q!\,\frac pq - q!\,a_q$; aquí es $qA_n$: la misma trampa, con combustible [integral](#thm-b1-integration-def).

**8.** $n = 0$: $R_0 = \int_0^1 \eu^t = \eu - 1$, luego $\eu = 1 + R_0$. Por partes ($u = \eu^t$, $v = -\frac{(1-t)^{n+1}}{n+1}$):

$$
R_n = \frac{1}{n!}\Bigl(\Bigl[-\frac{(1-t)^{n+1}}{n+1}
\eu^t\Bigr]_0^1 + \frac{1}{n+1}\int_0^1 (1-t)^{n+1}\eu^t\Bigr)
= \frac{1}{(n+1)!} + R_{n+1} ,
$$

de modo que la fórmula se propaga de $n$ a $n + 1$. Cotas: $1 \leq \eu^t \leq \eu$ en $\intcc{0}{1}$ y $\int_0^1 (1-t)^n = \frac{1}{n+1}$ dan $\frac{1}{(n+1)!} \leq R_n \leq \frac{\eu}{(n+1)!}$.

**9.** $\sum_{k=0}^{9} \frac{1}{k!} = \frac{986410}{362880}
= 2.71828152\dots$, y

$$
\frac{1}{10!} = 2.76\cdot10^{-7} \leq R_9 \leq
\frac{2.75}{10!} = 7.58\cdot10^{-7} ,
$$

luego $2.7182818 \leq \eu \leq 2.7182823$: con demostración, $\eu = 2.718282$ con seis decimales (valor verdadero $2.7182818\dots$).

**10.** $f(1 - x) = \frac{(1-x)^n x^n}{n!} = f(x)$. En $\intoo{0}{1}$: $0 < x(1-x) \leq \frac14$, luego $0 < f \leq \frac{1}{4^n\,n!}$.

**11.** $x^n(1-x)^n = \sum_{j=0}^{n} (-1)^j\binom
nj\,x^{n+j}$, luego $f = \frac{1}{n!}\sum_j c_j\,x^{n+j}$ con $c_j \in \Z$. Por tanto, $f^{(k)}(0) = 0$ para $k < n$ o $k > 2n$, y para $n \leq k \leq 2n$: $f^{(k)}(0) = \frac{k!}{n!}\, c_{k-n}$, un entero porque $n! \mid k!$. La simetría da $f^{(k)}(1) = (-1)^k f^{(k)}(0) \in \Z$.

**12.** $b^n \pi^{2n-2k} = b^n\bigl(\frac
ab\bigr)^{\,n-k} = a^{\,n-k}\,b^{\,k} \in \Z$, luego $G(0) = \sum_k (-1)^k a^{n-k} b^k f^{(2k)}(0)$ y, análogamente, $G(1)$ son enteros por la pregunta 11.

**13.** En $\pi^2 G + G''$, el término $k$ de $\pi^2 G$ lleva $\pi^{2n-2k+2}f^{(2k)}$ y el término $j = k - 1$ de $G''$ lleva $(-1)^{k-1}\pi^{2n-2k+2}f^{(2k)}$: todo se cancela salvo $k = 0$ en la primera suma y $j = n$ en la segunda, es decir,

$$
G'' + \pi^2 G = b^n\bigl(\pi^{2n+2} f + (-1)^n f^{(2n+2)}\bigr)
= b^n \pi^{2n+2} f = \pi^2 a^n f
$$

($f$ tiene grado $2n$, luego $f^{(2n+2)} = 0$; y $b^n\pi^{2n} = a^n$). Entonces

$$
\bigl(G'\sin\pi x - \pi G\cos\pi x\bigr)'
= (G'' + \pi^2 G)\sin \pi x = \pi^2 a^n f\sin\pi x .
$$

**14.** Integrando en $\intcc{0}{1}$:

$$
\pi^2 a^n \int_0^1 f\sin(\pi x)\,\dd x
= \bigl[G'\sin\pi x - \pi G\cos\pi x\bigr]_0^1
= \pi\bigl(G(1) + G(0)\bigr) ,
$$

luego $\pi a^n \int_0^1 f\sin\pi x = G(0) + G(1) \in \Z$. En $\intoo{0}{1}$, $f > 0$ y $\sin\pi x > 0$: el miembro izquierdo es positivo, luego $G(0) + G(1) \geq 1$; y $\sin \leq 1$ junto con la pregunta 10 lo acota por $\frac{\pi a^n}{4^n\,n!}$.

**15.** Por la pregunta 1 (con $c = \frac a4$), $\frac{\pi a^n}{4^n n!} \to 0$: para $n$ grande es $< 1$, en contradicción con $G(0) + G(1) \geq 1$. Luego ninguna fracción $\frac ab$ es igual a $\pi^2$: el teorema de Legendre. Y si $\pi$ fuera racional, $\pi^2$ también lo sería: así que $\pi \notin \Q$ — y la implicación solo va en este sentido ($\sqrt2$ es irracional con cuadrado racional), y por eso $\pi^2 \notin \Q$ es estrictamente más fuerte que el [Ejercicio 15.9](#exo-b1-integration-9).

**16.** Integralidad: preguntas 11–12 ([derivadas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/14-derivacion#def-b1-derivative-def) en los extremos); pequeñez: preguntas 10 y 1; puente: preguntas 13–14 (la doble [integración por partes](#thm-b1-integration-parts) telescopada). Sin $\frac{1}{n!}$, los datos en los extremos siguen siendo enteros (incluso más fácilmente), pero la cota pasa a ser $\frac{\pi a^n}{4^n}$, que tiende a $0$ solo cuando $a < 4$ — y todo candidato tiene $a = b\,\pi^2 > 9$. El factorial es exactamente lo que corre más que el crecimiento geométrico $a^n$: sin factorial, no hay teorema.

**17.** Para $a \leq 10$, el entero $G(0) + G(1)$ es positivo y a lo sumo $\pi\,(10/4)^n/n!$. En $n = 7$: $2.5^7 = 610.35\dots$, luego la cota es $\frac{\pi \times 610.35}{5040} \approx 0.38 < 1$ (en $n = 6$ todavía vale $1.07$): la contradicción llega en la séptima etapa, explícitamente.

**18.** Dos [integraciones por partes](#thm-b1-integration-parts):

$$
\int_0^1 x(1-x)\sin\pi x\,\dd x
= \frac1\pi\int_0^1 (1 - 2x)\cos\pi x\,\dd x
= \frac{2}{\pi^2}\int_0^1 \sin\pi x\,\dd x
= \frac{2}{\pi^2}\cdot\frac{2}{\pi} = \frac{4}{\pi^3}
$$

(los términos de los corchetes se anulan: $x(1-x)$ en $0, 1$, y $\sin\pi x$ en $0, 1$). Simbólicamente, el telescopaje de $n = 1$ (sin hipótesis sobre $\pi$) dice $\pi^3\int_0^1 f_1\sin\pi x = -(f_1''(0) + f_1''(1))$ con $f_1 = x(1 - x)$, $f_1'' = -2$: el miembro derecho vale $4$ — los dos cálculos coinciden.

**19.** $\eu^x$ resuelve $y' = y$ y $\sin\pi x$ resuelve $y'' = -\pi^2 y$: ecuaciones lineales con coeficientes constantes, de modo que la [integración por partes](#thm-b1-integration-parts) devuelve el núcleo sobre sí mismo y mantiene todos los datos de [frontera](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/12-topologia-de-la-recta-real#def-b1-topology-closure) dentro de $\Z + \Z\eu$ (resp. [polinomios](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) enteros en $\pi^2$). Esa propiedad de [clausura](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/12-topologia-de-la-recta-real#def-b1-topology-closure) es lo que la máquina necesita. Afinado con núcleos adaptados a varios puntos a la vez, el mismo mecanismo produce el teorema de Hermite ($\eu$ trascendente, 1873) y el de Lindemann ($\pi$ trascendente, 1882) — fuera de este volumen.

**20.** División de [polinomios](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) (o multiplíquese de vuelta y compruébese):

$$
x^4(1-x)^4 = (x^6 - 4x^5 + 5x^4 - 4x^2 + 4)(1 + x^2) - 4 .
$$

Integrando la identidad anterior dividida por $1 + x^2$:

$$
\int_0^1 \frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}\dd x
= \Bigl(\frac17 - \frac46 + 1 - \frac43 + 4\Bigr)
- 4\arctan 1
= \frac{22}{7} - \pi ,
$$

usando $\frac17 - \frac23 + 1 - \frac43 + 4 = 3 + \frac17$ y $\arctan 1 = \frac\pi4$.

**21.** El integrando es [continuo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#def-b1-continuity-continuous) y positivo en $\intoo{0}{1}$: la [integral](#thm-b1-integration-def) es $> 0$, luego $\pi < \frac{22}{7}$. Además, $\frac12 \leq \frac{1}{1+x^2} \leq 1$ en $\intcc{0}{1}$ y $\int_0^1 (x(1-x))^4 = \frac{(4!)^2}{9!} = \frac{1}{630}$ (pregunta 3):

$$
\frac{1}{1260} \leq \frac{22}{7} - \pi \leq \frac{1}{630}
\quad\Longrightarrow\quad
3.14126 < \frac{22}{7} - \frac{1}{630} \leq \pi \leq
\frac{22}{7} - \frac{1}{1260} < 3.14207 .
$$

**22.** [Módulo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/3-numeros-complejos#def-b1-complex-field) $x^2 + 1$: $x^2 \equiv -1$, luego $x^{4m} = (x^2)^{2m} \equiv 1$ y $(1 - x)^2 = 1 - 2x + x^2 \equiv -2x$, de donde $(1-x)^{4m} \equiv (-2x)^{2m} = 4^m (x^2)^m \equiv (-4)^m$: el resto es la constante $(-4)^m$, y el cociente $Q_m$ tiene coeficientes enteros (división por un [polinomio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) entero [mónico](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def)). Dividiendo la identidad por $1 + x^2$ e integrando:

$$
J_m := \int_0^1 \frac{(x(1-x))^{4m}}{1+x^2}\dd x
= s_m + (-4)^m\,\frac{\pi}{4},
\qquad s_m = \int_0^1 Q_m \in \Q .
$$

Despejando $\pi$: con $r_m = (-1)^{m+1}\,4^{\,1-m} s_m \in \Q$, $\;\abs{\pi - r_m} = 4^{\,1-m} J_m \leq 4^{\,1-m}\cdot4^{-4m} =
4^{\,1-5m}$. Para $m = 1$: $s_1 = \frac{22}{7}$, $r_1 = \frac{22}{7}$, y la cota $4^{-4} = \frac{1}{256}$ — otra vez las preguntas 20–21.

**23.** $\bigl|\pi - \frac{22}{7}\bigr| = \frac{22}{7} -
\pi \approx 1.26\cdot10^{-3}$, dieciséis veces mejor que la referencia de orden $2$, $\frac{1}{7^2} \approx 2.0\cdot10^{-2}$, que garantiza Dirichlet ([Problema 14.1](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/14-derivacion#pb-b1-derivative-1), pregunta 4); y $\bigl|\pi - \frac{355}{113}\bigr| \approx 2.7\cdot10^{-7}$ le gana a $\frac{1}{113^2} \approx 7.8\cdot10^{-5}$ por un factor $\approx 300$. Nada de esto contradice lo demostrado: las desigualdades de Liouville *acotan por debajo* los errores de aproximación solo para los [números algebraicos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#pb-b1-logic-1), y a este nivel no se dispone de ninguna cota así para $\pi$ — $\pi$ es libre de dejarse aproximar espectacularmente bien.

**24.** Lema: supóngase $x = \frac pq$ y $0 < \abs{a_n + b_n x} \to 0$. Entonces $\abs{a_n + b_n x} = \frac{\abs{q a_n + p b_n}}{q}$, con $q a_n + p b_n$ entero no nulo (no nulo porque el valor absoluto es $> 0$): luego $\abs{a_n + b_n x} \geq \frac1q$ para todo $n$, en contradicción con la convergencia a $0$. Instancias: la pregunta 7 ($x = \eu$, $a_n = \alpha_n$, $b_n = \beta_n$); el [Ejercicio 11.9](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/11-sucesiones#exo-b1-seq-9) ($x = \eu$ otra vez, con $a_q = -q!\sum_{k \leq q}\frac{1}{k!}$, $b_q = q!$); y el [Problema 14.1](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/14-derivacion#pb-b1-derivative-1), pregunta 1, es su forma geométrica. En la parte III y en el [Ejercicio 15.9](#exo-b1-integration-9) la trampa corre *dentro* de la contradicción: suponer la racionalidad convierte una expresión en un entero, que el análisis aprieta después dentro de $\intoo{0}{1}$ — el mismo principio, traspuesto.

**25.** (i) La integralidad vive en el cálculo con [polinomios](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) en los extremos (preguntas 6, 11–12), la pequeñez en las cotas que da la monotonía del $\sup$ (preguntas 4, 10) y el puente en la [integración por partes](#thm-b1-integration-parts) (preguntas 8, 13–14) — las tres son teoremas de este capítulo. (ii) La [integral](#thm-b1-integration-def) aporta lo que el teorema del valor medio no podía: una identidad *exacta* entre el objeto analítico y los datos aritméticos (una igualdad, no solo una desigualdad con un $c$ desconocido), y por eso la máquina alcanza $\pi^2$ mientras que el [Problema 14.1](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/14-derivacion#pb-b1-derivative-1) solo alcanzaba exponentes de aproximación. (iii) Extraído: $\eu \notin \Q$, $\pi^2 \notin \Q$ (y por tanto $\pi \notin \Q$), $\eu = 2.718282$ certificado, $\frac{22}{7} - \frac{1}{630} \leq \pi \leq \frac{22}{7} -
\frac{1}{1260}$ y $\binom{2n}{n} \geq \frac{4^n}{2n+1}$. (iv) [Frontera](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/12-topologia-de-la-recta-real#def-b1-topology-closure): Hermite y Lindemann llevan la misma máquina hasta la trascendencia; y Apéry (1979) hizo correr la trampa del entero sobre $\zeta(3)$ — la máquina sigue produciendo matemáticas del siglo XX.