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title: "Fórmulas de Taylor y desarrollos asintóticos"
book: "Matemáticas universitarias — Grado 1"
subject: math
language: es
chapter: 16
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/16-formulas-de-taylor-y-desarrollos-asintoticos
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# Capítulo 16 — Fórmulas de Taylor y desarrollos asintóticos

Cerca de un punto, una función regular vale tanto como un [polinomio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) — con un error controlable. Las fórmulas de Taylor lo hacen exacto en tres versiones (resto [integral](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/15-integracion-en-un-segmento#thm-b1-integration-def), resto de Lagrange, resto de Young), y los *desarrollos asintóticos* resultantes, manipulados algebraicamente, se convierten en la herramienta más afilada del análisis elemental: límites, equivalentes, comportamiento local, asíntotas.

## 16.1 Notación de comparación

**Definición 16.1 (Notación de Landau).**

Sean $f, g$ definidas cerca de $x_0$ ($x_0 \in \R$ o $\pm\infty$). Se escribe, cuando $x \to x_0$:

- $f = o(g)$ («o pequeña») cuando $f = \varepsilon g$ con $\varepsilon(x) \to 0$ ;
- $f = O(g)$ («O grande») cuando $f = u g$ con $u$ acotada cerca de $x_0$ ;
- $f \sim g$ («equivalente») cuando $f = (1 + \varepsilon) g$ con $\varepsilon \to 0$ — equivalentemente, $f - g = o(g)$ .

La misma notación se aplica a las sucesiones ($n \to \infty$).

**Proposición 16.2 (Reglas).**

Cuando $x \to x_0$:

1. $\sim$ es una [relación de equivalencia](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-equiv) ; $f \sim g$ implica que $f$ y $g$ comparten los límites, los signos (cerca de $x_0$ ) y la ausencia de ceros;
2. los equivalentes se *multiplican y [dividen](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/6-aritmetica-de-los-enteros#def-b1-arith-divides)* : $f_1 \sim g_1$ , $f_2 \sim g_2$ implican $f_1 f_2 \sim g_1 g_2$ y $\frac{f_1}{f_2} \sim \frac{g_1}{g_2}$ ;
3. los equivalentes *no* se suman: $x + 1 \sim x$ y $-x \sim -x + 2$ en $+\infty$ y, sin embargo, las sumas $1$ y $2$ no son equivalentes. Para sumar hay que volver a los desarrollos con términos $o(\cdot)$ explícitos;
4. $o(g) + o(g) = o(g)$ , $\;u \cdot o(g) = o(ug)$ , $\;o(o(g)) = o(g)$ , y $f \sim g \iff f = g + o(g)$ .

**Demostración.** Cada una es una manipulación breve de las definiciones; por ejemplo, $f_1 f_2 = (1+\varepsilon_1)(1+\varepsilon_2) g_1 g_2$ y $(1 + \varepsilon_1)(1+\varepsilon_2) \to 1$. Dos puntos de (4) merecen su línea. $u\cdot o(g) = o(ug)$: si $f = \varepsilon g$ con $\varepsilon \to 0$, entonces $uf = \varepsilon\,(ug)$ con el mismo $\varepsilon$. $o(o(g)) = o(g)$: si $f = \varepsilon_1 h$ y $h = \varepsilon_2 g$ con los dos $\varepsilon_i \to 0$, entonces $f = (\varepsilon_1\varepsilon_2) g$, y el producto de los dos infinitésimos lo es. La equivalencia $f \sim g \iff f = g + o(g)$ es la definición leída dos veces: $f - g = \varepsilon g$. El contraejemplo de (3) es la demostración de (3). ∎

**Ejemplo 16.3 (La escala de comparación).**

Cuando $x \to +\infty$, la escala estándar dice, en orden creciente de fuerza:

$$
1 \;=\; o(\ln x), \quad
\ln x = o(x^{0.01}), \quad
x^{0.01} = o(\sqrt x), \quad
\sqrt x = o(x^{10}), \quad
x^{10} = o(\eu^{x}), \quad
\eu^x = o(\eu^{2x}) ,
$$

siendo cada paso una instancia de las comparaciones de crecimiento de la [Proposición 4.6](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/4-funciones-usuales#prop-b1-functions-powerrules) (las potencias ganan a los logaritmos, las exponenciales ganan a las potencias y, dentro de una misma familia, decide el exponente). Dos hábitos que conviene adquirir: primero, un $O(\cdot)$ que cae en una clase menor asciende en silencio ($O(\ln x)$ también es $o(x^{0.01})$); segundo, en $x \to 0^+$ toda la escalera se invierte con la sustitución $x \mapsto \frac1x$ —ahí $\ln x = o(x^{-0.01})$—, de modo que «$x^\alpha \ln x \to 0$» vale para todo $\alpha > 0$. Tener clara la escala es la mitad de todo argumento asintótico del [Capítulo 17](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/17-series-numericas#ch-b1-series).

**Ejemplo 16.4 (Unicidad de los desarrollos, y un dividendo de paridad).**

Si una función admite dos desarrollos en $0$ al mismo orden,

$$
a_0 + a_1 x + \dots + a_n x^n + o(x^n)
= b_0 + b_1 x + \dots + b_n x^n + o(x^n),
$$

entonces $a_k = b_k$ para todo $k$: restando y poniendo $c_k = a_k - b_k$, evalúese la identidad $c_0 + c_1 x + \dots + c_n x^n = o(x^n)$ cuando $x \to 0$ para obtener $c_0 = 0$; divídase por $x$ y repítase — cada división es legítima porque la expresión restante vuelve a ser $o(x^{n-k})$. Los coeficientes son, por tanto, intrínsecos, y se pueden calcular por *cualquier* camino ([derivadas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/14-derivacion#def-b1-derivative-def) de Taylor, álgebra sobre desarrollos conocidos, integración): todos los caminos han de coincidir. Dividendo: una función *par* solo tiene potencias pares en su desarrollo —sustitúyase $x$ por $-x$ e invóquese la unicidad—, e igualmente las impares tienen potencias impares. Por eso $\cos$ lleva $o(x^{2p+1})$ y no $o(x^{2p})$ en la tabla de más abajo: el término impar ausente es información gratis, un orden de precisión por nada.

## 16.2 Las tres fórmulas de Taylor

**Teorema 16.5 (Taylor con resto integral).**

Sea $f$ de clase $C^{n+1}$ en un [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) que contiene a $a$ y a $x$. Entonces

$$
f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}\,(x - a)^k
+ \int_a^x \frac{(x - t)^n}{n!}\, f^{(n+1)}(t)\, \dd t .
$$

**Demostración.** Inducción sobre $n$. Para $n = 0$: $f(x) = f(a) + \int_a^x f'(t)\dd t$ es el teorema fundamental ([Teorema 15.9](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/15-integracion-en-un-segmento#thm-b1-integration-ftc)). Paso: intégrese el resto por partes,

$$
\int_a^x \frac{(x-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t)\,\dd t
= \Bigl[-\frac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)!} f^{(n+1)}(t)\Bigr]_a^x
+ \int_a^x \frac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)!} f^{(n+2)}(t)\,\dd t ,
$$

contribuyendo el corchete con el término $\frac{f^{(n+1)}(a)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1}$. ∎

**Ejemplo 16.6 (Un desarrollo exacto con su resto).**

Para $\ln(1 + x)$, el resto [integral](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/15-integracion-en-un-segmento#thm-b1-integration-def) se puede hacer completamente explícito sin derivar nada $n$ veces: intégrese la identidad geométrica finita $\frac{1}{1+t} = \sum_{k=0}^{n-1}(-t)^k + \frac{(-t)^n}{1+t}$ de $0$ a $x$:

$$
\ln(1 + x) = \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}x^k}{k}
+ (-1)^n \int_0^x \frac{t^n}{1 + t}\,\dd t ,
$$

y para $0 \leq x \leq 1$ el resto está acotado por $\int_0^x t^n\,\dd t = \frac{x^{n+1}}{n+1}$. Esto es más fuerte que Taylor–Young en dos sentidos: es una *identidad* válida para un $x$ fijo (no solo cuando $x \to 0$), y la cota del error es numérica. El problema del fin de semana ([Problema 16.1](#pb-b1-taylor-1)) vive de formas exactas así; Taylor–Young, más abajo, es la herramienta ligera para los límites, donde solo importa la forma del error.

**Teorema 16.7 (Desigualdad de Taylor–Lagrange).**

Sea $f$ de clase $C^{n+1}$ con $\abs{f^{(n+1)}} \leq M$ entre $a$ y $x$. Entonces

$$
\Bigl| f(x) - \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k \Bigr|
\leq M\, \frac{\abs{x - a}^{n+1}}{(n+1)!} .
$$

**Demostración.** Acótese el resto [integral](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/15-integracion-en-un-segmento#thm-b1-integration-def): $\bigl|\int_a^x \frac{(x-t)^n}{n!}
f^{(n+1)}(t)\,\dd t\bigr| \leq M \bigl|\int_a^x
\frac{\abs{x-t}^n}{n!}\dd t\bigr| = M\frac{\abs{x-a}^{n+1}}{(n+1)!}$. ∎

**Ejemplo 16.8 (Cálculo numérico certificado).**

¿Cuánto vale $\sqrt{1.02}$? Aplíquese Taylor–Lagrange a $f(t) = \sqrt{1 + t}$ en $a = 0$, al orden $2$, con $x = 0.02$:

$$
\sqrt{1.02} \approx 1 + \frac{0.02}{2} - \frac{0.02^2}{8}
= 1.00995 ,
\qquad
\abs{f'''(t)} = \frac{3}{8}(1+t)^{-5/2} \leq \frac 38 ,
$$

luego el error es a lo sumo $\frac38 \cdot \frac{0.02^3}{6} = 5\cdot10^{-7}$: $\sqrt{1.02} = 1.00995$ con seis decimales certificados (valor verdadero $1.0099504938\dots$ — la cota es casi óptima). La idea de cierre: Taylor–Young dice solamente *con qué rapidez* se anula el error; Taylor–Lagrange convierte el mismo [polinomio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) en un *certificado*, un número más una barra de error demostrada. Cada vez que en este libro se afirma un decimal, hay detrás una cota de tipo Lagrange; el problema del fin de semana ([Problema 16.1](#pb-b1-taylor-1)) industrializa la idea.

**Teorema 16.9 (Taylor–Young).**

Sea $f$ $n$ veces [derivable](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/14-derivacion#def-b1-derivative-def) en $a$. Entonces, cuando $x \to a$:

$$
f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}\,(x-a)^k
+ o\bigl((x-a)^n\bigr) .
$$

**Demostración.** Inducción sobre $n$. Para $n = 1$, esto es la definición de la [derivada](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/14-derivacion#def-b1-derivative-def) ([Definición 14.1](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/14-derivacion#def-b1-derivative-def)). Supóngase el [enunciado](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-statement) al orden $n - 1$ y sea $f$ $n$ veces [derivable](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/14-derivacion#def-b1-derivative-def) en $a$. Aplíquese la hipótesis de inducción a $f'$ (que es $n-1$ veces [derivable](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/14-derivacion#def-b1-derivative-def) en $a$):

$$
f'(t) = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{f^{(k+1)}(a)}{k!}(t-a)^k + r(t),
\qquad r(t) = o\bigl((t-a)^{n-1}\bigr).
$$

Sea $g(x) = f(x) - \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$; entonces $g' = r$ y $g(a) = 0$. Dado $\varepsilon > 0$, elíjase $\delta$ con $\abs{r(t)} \leq \varepsilon\abs{t - a}^{n-1}$ para $\abs{t-a} \leq \delta$; la desigualdad del valor medio ([Teorema 14.9](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/14-derivacion#thm-b1-derivative-mvt)) aplicada en el segmento de $a$ a $x$ (donde $\abs{g'} \leq \varepsilon\abs{x-a}^{n-1}$) da $\abs{g(x)} \leq \varepsilon\abs{x - a}^n$: exactamente $g(x) = o((x-a)^n)$. ∎

**Observación 16.10 (Tres fórmulas, tres precios, tres productos).**

Las hipótesis se gradúan exactamente con las conclusiones. Taylor–Young pide lo mínimo ($n$ [derivadas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/14-derivacion#def-b1-derivative-def) *en el punto*, nada más) y da lo mínimo: un $o((x-a)^n)$ cualitativo, perfecto para los límites e inútil para cifras certificadas. La desigualdad de Lagrange pide $C^{n+1}$ *en el [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals)* y una cota $M$ ahí, y devuelve una barra numérica de error. La forma integral pide la misma regularidad y devuelve lo máximo: el error como objeto explícito que se puede transformar (integrar por partes, acotar a trozos, cambiar de variable) — es la forma que movía la máquina de irracionalidad del [Problema 15.1](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/15-integracion-en-un-segmento#pb-b1-integration-1). Elegir la fórmula más débil que sostiene el objetivo no es pedantería: la función plana del [Problema 16.1](#pb-b1-taylor-1) cumple Taylor–Young a todos los órdenes, mientras que toda conclusión más fuerte sobre ella es falsa lejos de $0$.

**Proposición 16.11 (Desarrollos usuales en 000).**

Cuando $x \to 0$, para todo orden $n$ fijo:

$$
\begin{align*}
\eu^x &= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n),\\
\cos x &= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots
+ \frac{(-1)^p x^{2p}}{(2p)!} + o(x^{2p+1}),\\
\sin x &= x - \frac{x^3}{3!} + \dots + \frac{(-1)^p
x^{2p+1}}{(2p+1)!} + o(x^{2p+2}),\\
\frac{1}{1 - x} &= 1 + x + x^2 + \dots + x^n + o(x^n),\\
\ln(1 + x) &= x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots +
\frac{(-1)^{n-1} x^n}{n} + o(x^n),\\
(1 + x)^\alpha &= 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 +
\dots + \binom{\alpha}{n} x^n + o(x^n),
\end{align*}
$$

donde $\binom{\alpha}{n} = \frac{\alpha(\alpha - 1)\cdots(\alpha - n
+ 1)}{n!}$ para $\alpha$ real. ($\cosh$ y $\sinh$: igual que $\cos$ y $\sin$, pero sin los signos alternados.)

**Demostración.** Cada función es regular cerca de $0$ con [derivadas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/14-derivacion#def-b1-derivative-def) fáciles de evaluar: $(\eu^x)^{(k)} = \eu^x$; las [derivadas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/14-derivacion#def-b1-derivative-def) de $\sin$ y de $\cos$ son cíclicas de período $4$; $\bigl((1+x)^\alpha\bigr)^{(k)} = \alpha(\alpha - 1)\cdots(\alpha - k
+ 1)(1+x)^{\alpha - k}$; $\bigl(\ln(1+x)\bigr)^{(k)} = \frac{(-1)^{k-1}(k-1)!}{(1+x)^k}$. Aplíquese Taylor–Young en $a = 0$. (El geométrico es exacto: $\frac{1}{1-x} - \sum_0^n x^k = \frac{x^{n+1}}{1 - x} = o(x^n)$.) ∎

**Método 16.12 (Calcular con desarrollos).**

1. *Fíjese primero el orden objetivo* $n$ y trúnquese ahí todo resultado intermedio — arrastrar términos de orden superior es trabajo perdido, y dejar caer los inferiores es un error.
2. *Sumas y productos* : desarróllese cada factor al orden $n$ y multiplíquese, descartando más allá de $x^n$ .
3. *Composición* $f(u(x))$ con $u(x) \to 0$ : sustitúyase el desarrollo de $u$ en el de $f$ , orden a orden.
4. *Cocientes* : escríbase $\frac{1}{1 + v}$ con $v \to 0$ y úsese el desarrollo geométrico.
5. *Intégrese* un desarrollo término a término (derivar exige más cuidado — justificación: la [integral](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/15-integracion-en-un-segmento#thm-b1-integration-def) de $o(t^n)$ de $0$ a $x$ es $o(x^{n+1})$ , por acotación directa).

**Ejemplo 16.13 (Composición, con la contabilidad a la vista).**

Desarróllese $\eu^{\sin x}$ al orden $3$. Desarrollo [interior](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/12-topologia-de-la-recta-real#def-b1-topology-closure): $u = \sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$, que en efecto tiende a $0$. Exterior: $\eu^u = 1 + u + \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{6} +
o(u^3)$, y $o(u^3) = o(x^3)$ puesto que $u \sim x$. Potencias de $u$, truncadas en $x^3$:

$$
u^2 = x^2 + o(x^3), \qquad u^3 = x^3 + o(x^3)
$$

(el término cruzado $2x\cdot(-\frac{x^3}{6})$ ya es $x^4$). Ensámblese:

$$
\eu^{\sin x} = 1 + \Bigl(x - \frac{x^3}{6}\Bigr) + \frac{x^2}{2}
+ \frac{x^3}{6} + o(x^3)
= 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^3) :
$$

las dos contribuciones en $x^3$ se cancelan exactamente. La idea de cierre: $\eu^{\sin x}$ y $\eu^x$ coinciden hasta el orden $3$ — no porque $\sin x \approx x$ groseramente, sino porque el primer desacuerdo de los exponentes ($-\frac{x^3}{6}$) entra multiplicado por $\eu^0 = 1$ y se topa después con el término cúbico de la exponencial exterior; la contabilidad orden a orden detecta esas conspiraciones, y el ojo nunca. (El término siguiente es $-\frac{x^4}{8}$: la tregua acaba en el orden $4$.)

**Ejemplo 16.14.**

Desarrollo de $\tan$ al orden $5$. Escríbase $\tan x = \sin x \cdot \frac{1}{\cos x}$:

$$
\frac{1}{\cos x} = \frac{1}{1 - \bigl(\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24}
+ o(x^5)\bigr)}
= 1 + \Bigl(\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24}\Bigr)
+ \Bigl(\frac{x^2}{2}\Bigr)^{\!2} + o(x^5)
= 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24} + o(x^5),
$$

y después

$$
\tan x = \Bigl(x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}\Bigr)
\Bigl(1 + \frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24}\Bigr) + o(x^5)
= x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + o(x^5) .
$$

![El seno (oscuro) frente a sus polinomios de Taylor en 0: T_1 = x, T_3 = x - x3/6 (a trazos) y T_5 = x - x3/6 + x5/120 (punteado). Cada nuevo par de términos abraza la curva en una ventana visiblemente más ancha, pero todo polinomio acaba despegándose: un desarrollo de Taylor es un contrato local, afinado en 0 y mudo a lo lejos. La cota de Taylor–Lagrange |x|n+1(n+1)! cuantifica la ventana; y la función plana del muestra que el contrato puede incluso ser vacío más allá del propio punto.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-taylor/fig-7578dfaf5f91.svg)

*El seno (oscuro) frente a sus [polinomios](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) de Taylor en $0$: $T_1 = x$, $T_3 = x - \frac{x^3}{6}$ (a trazos) y $T_5 = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}$ (punteado). Cada nuevo par de términos abraza la curva en una ventana visiblemente más ancha, pero todo [polinomio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) acaba despegándose: un desarrollo de Taylor es un contrato *local*, afinado en $0$ y mudo a lo lejos. La cota de Taylor–Lagrange $\frac{\abs{x}^{n+1}}{(n+1)!}$ cuantifica la ventana; y la función plana del [Problema 16.1](#pb-b1-taylor-1) muestra que el contrato puede incluso ser vacío más allá del propio punto.*

## 16.3 Aplicaciones

**Ejemplo 16.15 (Límites).**

$$
\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}:
\qquad
x - \sin x = \frac{x^3}{6} + o(x^3) \sim \frac{x^3}{6},
\qquad\text{luego el límite es } \frac16
$$

— lo que zanja la cuestión planteada en el [Ejercicio 4.9](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/4-funciones-usuales#exo-b1-functions-9). Del mismo modo, $\displaystyle\lim_{x\to0}\Bigl(\frac{\sin x}{x}\Bigr)^{1/x^2}$: el logaritmo es

$$
\frac{1}{x^2}\ln\Bigl(1 - \frac{x^2}{6} + o(x^2)\Bigr)
= \frac{1}{x^2}\Bigl(-\frac{x^2}{6} + o(x^2)\Bigr)
\longrightarrow -\frac16,
\qquad\text{límite } \eu^{-1/6}.
$$

**Observación 16.16 (Errores frecuentes con los desarrollos).**

(i) *No se suman ni se restan nunca equivalentes*: de $\tan x \sim x$ y $\sin x \sim x$ *no* se puede concluir $\tan x - \sin x \sim 0$ (que no significa nada) — el camino honesto son los desarrollos:

$$
\tan x - \sin x
= \Bigl(x + \frac{x^3}{3}\Bigr) - \Bigl(x - \frac{x^3}{6}\Bigr)
+ o(x^3) = \frac{x^3}{2} + o(x^3) \sim \frac{x^3}{2} .
$$

(ii) *Desarróllese más allá de la masacre*: en ese mismo cálculo, el orden $1$ solo ve $x - x = 0$; siempre que los términos dominantes se cancelen, súbase el orden hasta que sobreviva un coeficiente no nulo y solo entonces vuélvase a un equivalente. (iii) *Los equivalentes no pasan por las exponenciales*: $n^2 + n \sim n^2$ y, sin embargo, $\eu^{n^2+n} = \eu^{n}\,\eu^{n^2}$ *no* es equivalente a $\eu^{n^2}$ — exponéncense solo *desarrollos del exponente* cuyo error tienda a $0$, nunca equivalentes del exponente. (Los logaritmos son más benignos: si $u_n \sim v_n \to \ell \neq 1$, con $\ell > 0$, entonces $\ln u_n \sim \ln v_n$.) (iv) *El cálculo con $o(\cdot)$ es de un solo sentido*: $o(x^2) + o(x^2) = o(x^2)$, $5\,o(x^2) = o(x^2)$, $x\cdot o(x^2) = o(x^3)$ — pero un $o(x^2)$ no es una función concreta, así que no se cancelen nunca dos de ellos entre sí: $o(x^2) - o(x^2)$ es $o(x^2)$, no $0$.

**Proposición 16.17 (Comportamiento local).**

Supóngase $f(x) = f(a) + c\,(x - a)^p + o\bigl((x-a)^p\bigr)$ con $c \neq 0$ (primer término no nulo tras la constante; $p \geq 2$ en un punto crítico).

- Si $p$ es par: $f$ tiene un mínimo local en $a$ si $c > 0$ , y un máximo local si $c < 0$ .
- Si $p$ es impar: no hay extremo ( $f - f(a)$ cambia de signo); y si además el desarrollo empieza tras un término lineal $f'(a)(x - a)$ , la gráfica cruza su tangente: es un *punto de inflexión* .

**Demostración.** Cerca de $a$, $f(x) - f(a) = (x-a)^p\bigl(c + o(1)\bigr)$ tiene el signo de $c\,(x-a)^p$: constante si $p$ es par, cambiante si $p$ es impar. ∎

**Ejemplo 16.18 (Los exponentes hay que desarrollarlos hasta el o(1)o(1)o(1)).**

Hállese un equivalente de $u_n = \bigl(1 + \frac1n\bigr)^{n^2}$. Desarróllese el *exponente* hasta que su error tienda a $0$:

$$
n^2 \ln\Bigl(1 + \frac1n\Bigr)
= n^2\Bigl(\frac1n - \frac{1}{2n^2} +
O\Bigl(\frac{1}{n^3}\Bigr)\Bigr)
= n - \frac12 + O\Bigl(\frac1n\Bigr),
$$

luego $u_n = \eu^{\,n - 1/2}\,\eu^{O(1/n)}$ con $\eu^{O(1/n)} \to
1$:

$$
u_n \;\sim\; \eu^{\,n - \frac12} .
$$

Obsérvese qué habría salido mal con menos cuidado: detener el exponente en $n^2\cdot\frac1n = n + O(1)$ deja un factor $\eu^{O(1)}$ —acotado, pero que no tiende a $1$— y no se puede afirmar ningún equivalente. La regla de los errores frecuentes de más arriba, en versión positiva: un equivalente de $\eu^{a_n}$ exige el desarrollo de $a_n$ *hasta un término que tienda a cero*, conservando exactamente todos los coeficientes anteriores.

**Ejemplo 16.19 (Clasificar un punto crítico plano).**

Estúdiese $f(x) = \cos x + \frac{x^2}{2}$ cerca de $0$. Se tiene $f'(0) = 0$ y $f''(0) = -\cos 0 + 1 = 0$: el criterio de la segunda [derivada](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/14-derivacion#def-b1-derivative-def) enmudece. Desarróllese en su lugar:

$$
f(x) = \Bigl(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} +
o(x^4)\Bigr) + \frac{x^2}{2}
= 1 + \frac{x^4}{24} + o(x^4) :
$$

primer término no nulo $c\,x^p$ con $p = 4$ par y $c = \frac{1}{24} > 0$: un mínimo local, de una planitud inusual (la gráfica abandona su valor mínimo como $x^4$, no como $x^2$). La idea de cierre: el desarrollo ve en una línea lo que la derivación iterada oscurece — y la [Proposición 16.17](#prop-b1-taylor-local) es el diccionario sistemático que va del «primer término superviviente» a la «forma local».

**Ejemplo 16.20 (Desarrollos en el infinito).**

Dos cálculos en los que la variable se va a $+\infty$ y la sustitución $h = \frac1x \to 0^+$ importa todo el utillaje. Primero,

$$
x - x^2\ln\Bigl(1 + \frac1x\Bigr)
= x - x^2\Bigl(\frac1x - \frac{1}{2x^2} +
O\Bigl(\frac{1}{x^3}\Bigr)\Bigr)
= \frac12 + O\Bigl(\frac1x\Bigr) \longrightarrow \frac12 .
$$

Segundo, el [arcotangente](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/4-funciones-usuales#def-b1-functions-arc) en el infinito: de $\arctan x + \arctan\frac1x = \frac\pi2$ para $x > 0$ ([Proposición 4.12](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/4-funciones-usuales#prop-b1-functions-arcidentities)) y del desarrollo de $\arctan$ en $0$ ([Ejercicio 16.3](#exo-b1-taylor-3)),

$$
\arctan x = \frac\pi2 - \arctan\frac1x
= \frac\pi2 - \frac1x + \frac{1}{3x^3} +
o\Bigl(\frac{1}{x^3}\Bigr) :
$$

la gráfica se acerca a su asíntota $y = \frac\pi2$ por debajo, a velocidad $\frac1x$. La idea de cierre: no hay una teoría aparte de los desarrollos en el infinito — una sola sustitución recíproca los reduce a desarrollos en $0$, siempre que todo $O$ y todo $o$ intermedio se arrastre con honestidad.

**Ejemplo 16.21 (Asíntota por desarrollo).**

Cuando $x \to +\infty$,

$$
\sqrt{x^2 + x} = x\sqrt{1 + \tfrac1x}
= x\Bigl(1 + \frac{1}{2x} - \frac{1}{8x^2} + o\bigl(\tfrac{1}{x^2}\bigr)\Bigr)
= x + \frac12 - \frac{1}{8x} + o\bigl(\tfrac 1x\bigr):
$$

la recta $y = x + \frac12$ es una asíntota, alcanzada *por debajo* (el término siguiente $-\frac{1}{8x}$ es negativo).

**Observación 16.22 (Dónde funcionan los desarrollos a continuación).**

Los desarrollos asintóticos son el idioma corriente del resto del libro: en el [Capítulo 17](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/17-series-numericas#ch-b1-series) deciden la convergencia (los equivalentes alimentan los criterios de comparación, y el estudio de $\sum \frac{1}{n^\alpha}$ es un desarrollo disfrazado); en el volumen del segundo año se convierten en *series de potencias*, donde el [polinomio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) de Taylor adquiere infinitos términos y un radio de convergencia; y toda linealización en física —el péndulo, la perturbación de primer orden— es un [enunciado](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-statement) de Taylor–Young con el $o(\cdot)$ suprimido en silencio. El único aviso que merece grabarse: un desarrollo describe una función solo *cerca de un punto* — véase la función plana del problema del fin de semana, cuyo desarrollo en $0$ es idénticamente nulo sin que la función lo sea.

**Observación 16.23 (Perspectivas dentro de este volumen).**

Los desarrollos son el idioma de trabajo del análisis restante y de la geometría que viene. [Capítulo 17](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/17-series-numericas#ch-b1-series) los convierte en veredictos de convergencia: un equivalente del término general es un desarrollo truncado en su primer término, y los criterios más finos (los alternados con control del error) consumen también el segundo. [Capítulo 24](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/24-curvas-planas#ch-b1-curves) lee la geometría local en los desarrollos de las dos funciones coordenadas: que una curva parametrizada se cruce, sea tangente o presente un punto de retroceso se decide por qué potencias de $t$ sobreviven en $x(t)$ e $y(t)$ — la versión plana de la [Proposición 16.17](#prop-b1-taylor-local). Y el [Capítulo 25](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/25-funciones-de-dos-variables#ch-b1-multivar) se detiene en el orden uno a propósito: el plano tangente es un [enunciado](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-statement) de Taylor–Young en dos variables, y toda la teoría de segundo orden (hessianas, puntos de silla) queda aplazada al volumen del segundo año. El hilo común: toda pregunta «local» de este libro se responde escribiendo el primer término superviviente de un desarrollo.

## 16.4 Ejercicios

**Ejercicio 16.1 ★.**

Dense los desarrollos en $0$: de $\eu^{2x}$ al orden $3$; de $\;\ln(1 - x)$ al orden $4$; de $\;\sqrt{1 + x}$ al orden $3$; de $\;\dfrac{1}{1 + x^2}$ al orden $6$.

**Solución de Ejercicio 16.1.**

$$
\eu^{2x} = 1 + 2x + 2x^2 + \frac{4x^3}{3} + o(x^3);
\qquad
\ln(1 - x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} +
o(x^4);
$$

$$
\sqrt{1+x} = 1 + \frac x2 - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + o(x^3);
\qquad
\frac{1}{1 + x^2} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + o(x^6),
$$

el último sustituyendo $-x^2$ en el desarrollo geométrico.

**Ejercicio 16.2 ★.**

Calcúlense los límites:

$$
\lim_{x\to 0} \frac{\eu^x - 1 - x}{x^2},
\qquad
\lim_{x\to 0} \frac{\cos x - \sqrt{1 - x^2}}{x^4},
\qquad
\lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+x) - \sin x}{x^2}.
$$

**Solución de Ejercicio 16.2.**

$\eu^x - 1 - x = \frac{x^2}{2} + o(x^2)$: límite $\dfrac12$.

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)$ y $\sqrt{1 - x^2} = 1 - \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{8} + o(x^4)$: diferencia $\frac{x^4}{24} + \frac{x^4}{8} = \frac{x^4}{6} + o(x^4)$: límite $\dfrac16$.

$\ln(1+x) - \sin x = \bigl(x - \frac{x^2}{2}\bigr) - x + o(x^2) =
-\frac{x^2}{2} + o(x^2)$: límite $-\dfrac12$.

**Ejercicio 16.3 ★.**

Desarróllese $\arctan x$ en $0$ al orden $5$ integrando el desarrollo de $\frac{1}{1 + x^2}$, y $\arcsin x$ al orden $5$ integrando el de $(1 - x^2)^{-1/2}$.

**Solución de Ejercicio 16.3.**

$\frac{1}{1+t^2} = 1 - t^2 + t^4 + o(t^5)$; integrando de $0$ a $x$ ([Método 16.12](#met-b1-taylor-compute) (5)):

$$
\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + o(x^5)\ \ (\text{incluso
}o(x^6)\text{, por imparidad}).
$$

$(1 - t^2)^{-1/2} = 1 + \frac{t^2}{2} + \frac38 t^4 + o(t^5)$ (desarrollo binomial con $\alpha = -\frac12$, $x = -t^2$: $\binom{-1/2}{2} = \frac{(-\frac12)(-\frac32)}{2} = \frac38$); integrando:

$$
\arcsin x = x + \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} + o(x^5) .
$$

**Ejercicio 16.4 ★.**

Usando Taylor–Lagrange para $\exp$ en $\intcc{0}{1}$, demuéstrese que

$$
\Bigl| \eu - \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \Bigr| \leq
\frac{3}{(n+1)!},
$$

y determínese un $n$ que garantice $6$ decimales exactos de $\eu$.

**Solución de Ejercicio 16.4.**

Taylor–Lagrange ([Teorema 16.7](#thm-b1-taylor-lagrange)) para $\exp$ en $a = 0$, $x = 1$: la [derivada](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/14-derivacion#def-b1-derivative-def) de orden $(n+1)$ es $\eu^t \leq \eu < 3$ en $\intcc{0}{1}$, luego

$$
\Bigl|\eu - \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}\Bigr| \leq
\frac{3}{(n+1)!} .
$$

Para $6$ decimales exactos se quiere $\frac{3}{(n+1)!} < 5\times 10^{-7}$, es decir, $(n+1)! > 6\times 10^{6}$: como $10! = 3\,628\,800$ y $11! = 39\,916\,800$, basta $n + 1 = 11$, es decir, $n = 10$.

**Ejercicio 16.5 ★★.**

Desarróllese al orden $2$ en $\frac1n$ y dedúzcanse el límite y la velocidad de convergencia:

$$
\Bigl(1 + \frac 1n\Bigr)^{\!n}
= \eu\Bigl(1 - \frac{1}{2n} + \frac{11}{24n^2} +
o\Bigl(\frac{1}{n^2}\Bigr)\Bigr).
$$

**Solución de Ejercicio 16.5.**

$n\ln\bigl(1 + \frac1n\bigr) = n\Bigl(\frac1n - \frac{1}{2n^2} +
\frac{1}{3n^3} + o\bigl(\frac{1}{n^3}\bigr)\Bigr) = 1 - \frac{1}{2n}
+ \frac{1}{3n^2} + o\bigl(\frac{1}{n^2}\bigr)$. Exponenciando, con $u = -\frac{1}{2n} + \frac{1}{3n^2}$ y $\eu^u = 1 + u + \frac{u^2}2
+ o(u^2)$:

$$
\Bigl(1 + \frac1n\Bigr)^n = \eu\cdot \eu^{u}
= \eu\Bigl(1 - \frac{1}{2n} + \frac{1}{3n^2} + \frac{1}{8n^2}
+ o\Bigl(\frac{1}{n^2}\Bigr)\Bigr)
= \eu\Bigl(1 - \frac{1}{2n} + \frac{11}{24n^2} +
o\Bigl(\frac{1}{n^2}\Bigr)\Bigr).
$$

Límite $\eu$; el error es $\sim \dfrac{\eu}{2n}$: lento (una cifra por cada multiplicación de $n$ por diez).

**Ejercicio 16.6 ★★.**

Estúdiese el comportamiento local en $0$ de $f(x) = x^2 - x^4$ y de $g(x) = x^3 + x^5$; y hállese la posición de la gráfica de $h(x) = \eu^x$ respecto de su tangente en $a = 1$, primero localmente y después globalmente.

**Solución de Ejercicio 16.6.**

$f(x) = x^2 - x^4 = x^2(1 + o(1))$: primer término $x^2$, $p = 2$ par, coeficiente $> 0$: mínimo local en $0$ (no global: $f(2) = -12$).

$g(x) = x^3 + x^5$: primer término $x^3$, con $p$ impar: no hay extremo; $g$ cruza su tangente (horizontal): punto de inflexión en $0$.

$h = \exp$ en $a = 1$: $h(x) = \eu + \eu(x-1) + \frac{\eu}{2}(x-1)^2 + o((x-1)^2)$; la diferencia con la tangente es $\frac{\eu}{2}(x-1)^2 + o(\cdot) > 0$ localmente. Globalmente: $\eu^x - \eu x \geq 0$ para todo $x$ por [convexidad](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/14-derivacion#def-b1-derivative-convex) ([Teorema 14.19](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/14-derivacion#thm-b1-derivative-convexchar) (3)): la gráfica queda por encima de toda tangente, con igualdad solo en el punto de contacto.

**Ejercicio 16.7 ★★.**

Determínense las asíntotas en $\pm\infty$ de $f(x) = \sqrt[3]{x^3 + x^2}$ y la posición de la curva respecto de ellas.

**Solución de Ejercicio 16.7.**

Para $x \to +\infty$:

$$
f(x) = x\Bigl(1 + \frac1x\Bigr)^{1/3}
= x\Bigl(1 + \frac{1}{3x} - \frac{1}{9x^2} +
o\Bigl(\frac{1}{x^2}\Bigr)\Bigr)
= x + \frac13 - \frac{1}{9x} + o\Bigl(\frac1x\Bigr):
$$

asíntota $y = x + \frac13$, con la curva por debajo cerca de $+\infty$. Cuando $x \to -\infty$, el mismo cálculo vale (la raíz cúbica está definida para todos los reales y $\frac1x \to 0$): la misma asíntota $y = x + \frac13$, pero ahora $-\frac{1}{9x} > 0$: la curva queda *por encima* de la recta.

**Ejercicio 16.8 ★★.**

Hállese el equivalente, cuando $n \to \infty$, de

$$
u_n = \sqrt{n+1} - \sqrt n, \qquad
v_n = \ln(n+1) - \ln n, \qquad
w_n = \sin\frac{1}{n} - \tan\frac{1}{n},
$$

cada uno como una potencia de $n$ por una constante.

**Solución de Ejercicio 16.8.**

$u_n = \sqrt n\bigl(\sqrt{1 + \tfrac1n} - 1\bigr) = \sqrt
n\bigl(\frac{1}{2n} + o(\frac1n)\bigr) \sim \dfrac{1}{2\sqrt n}$.

$v_n = \ln\bigl(1 + \frac1n\bigr) \sim \dfrac 1n$.

$w_n$: con $h = \frac1n \to 0$, $\sin h - \tan h = \bigl(h -
\frac{h^3}{6}\bigr) - \bigl(h + \frac{h^3}{3}\bigr) + o(h^3) =
-\frac{h^3}{2} + o(h^3)$, luego $w_n \sim -\dfrac{1}{2n^3}$.

**Ejercicio 16.9 ★★★.**

Sea $f$ de clase $C^2$ en $\R$. Demuéstrese que para todos $x$ y $h > 0$:

$$
\abs{f'(x)} \leq \frac{\abs{f(x+h) - f(x-h)}}{2h} +
\frac{h}{2}\sup_{\intcc{x-h}{x+h}}\abs{f''} ,
$$

y dedúzcase la desigualdad de tipo Landau–Kolmogórov: si $\abs f \leq M_0$ y $\abs{f''} \leq M_2$ en $\R$, entonces $\abs{f'} \leq \sqrt{2 M_0 M_2}$ en todas partes. *(Optimícese en $h$.)*

**Solución de Ejercicio 16.9.**

Taylor–Lagrange al orden $1$ en torno a $x$, por los dos lados:

$$
f(x + h) = f(x) + h f'(x) + R_+,\quad
f(x - h) = f(x) - h f'(x) + R_-,
\qquad \abs{R_\pm} \leq \frac{h^2}{2} \sup \abs{f''} .
$$

Restando: $f(x+h) - f(x-h) = 2h f'(x) + (R_+ - R_-)$, luego

$$
\abs{f'(x)} \leq \frac{\abs{f(x+h) - f(x-h)}}{2h} +
\frac{h}{2}\sup_{\intcc{x-h}{x+h}}\abs{f''} .
$$

Con cotas globales: $\abs{f'(x)} \leq \frac{M_0}{h} + \frac{M_2 h}{2}$ para todo $h > 0$. El miembro derecho se minimiza en $h = \sqrt{2M_0/M_2}$ ([derivada](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/14-derivacion#def-b1-derivative-def) nula), con valor $\sqrt{2M_0M_2}$ — luego $\abs{f'} \leq \sqrt{2M_0M_2}$. (Si $M_2 = 0$, hágase $h \to \infty$: $f' = 0$, coherente.)

**Ejercicio 16.10 ★★★.**

La sucesión $u_0 \in \intoo{0}{\pi}$, $u_{n+1} = \sin u_n$ decrece hacia $0$ (justifíquese brevemente). Para hallar su velocidad, considérese $v_n = \frac{1}{u_n^2}$:

1. usando el desarrollo de $\sin$ , demuéstrese $v_{n+1} - v_n \to \frac13$ ;
2. con Cesàro ( [Ejercicio 11.10](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/11-sucesiones#exo-b1-seq-10) ), dedúzcase $\frac{v_n}{n} \to \frac13$ y después el equivalente $u_n \sim \sqrt{\dfrac{3}{n}}$ .

**Solución de Ejercicio 16.10.**

En $\intoo{0}{\pi}$: $0 < \sin u < u$, luego $(u_n)$ es estrictamente decreciente y positiva, y por tanto convergente; el límite es un punto fijo de $\sin$ en $\intcc{0}{\pi}$, y $\sin \ell = \ell$ obliga a $\ell = 0$ (ya que $\sin x < x$ para $x > 0$).

1. Usando $\sin u = u - \frac{u^3}{6} + o(u^3)$ cuando $u \to 0$: $$v_{n+1} - v_n = \frac{1}{\sin^2 u_n} - \frac{1}{u_n^2}  = \frac{1}{u_n^2}\Bigl(\Bigl(1 - \frac{u_n^2}{6} +  o(u_n^2)\Bigr)^{\!-2} - 1\Bigr)  = \frac{1}{u_n^2}\Bigl(\frac{u_n^2}{3} + o(u_n^2)\Bigr)  \longrightarrow \frac13 .$$
2. Por el [Ejercicio 11.10](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/11-sucesiones#exo-b1-seq-10) (3) (Cesàro para diferencias), $\frac{v_n}{n} \to \frac13$, es decir, $v_n \sim \frac n3$, es decir, $u_n^2 \sim \frac 3n$: como $u_n > 0$, $$u_n \sim \sqrt{\frac{3}{n}} .$$

**Ejercicio 16.11 ★★.**

(Diferencias de infinitos) Calcúlense

$$
\lim_{x \to 0} \Bigl(\frac{1}{x^2} - \frac{1}{\sin^2 x}\Bigr)
\qquad\text{y}\qquad
\lim_{x \to 0^+} \Bigl(\frac 1x - \frac{1}{\ln(1 + x)}\Bigr)
$$

reduciendo a común denominador y desarrollando numerador y denominador por separado.

**Solución de Ejercicio 16.11.**

Denominadores comunes. Primer límite:

$$
\frac{1}{x^2} - \frac{1}{\sin^2 x}
= \frac{\sin^2 x - x^2}{x^2\sin^2 x},
\qquad
\sin^2 x = \Bigl(x - \frac{x^3}{6} + o(x^4)\Bigr)^{\!2}
= x^2 - \frac{x^4}{3} + o(x^5) ,
$$

de modo que el numerador es $-\frac{x^4}{3} + o(x^4)$ mientras que el denominador es $\sim x^4$: el límite es $-\dfrac13$.

Segundo: $\dfrac1x - \dfrac{1}{\ln(1+x)} = \dfrac{\ln(1+x) -
x}{x\ln(1+x)}$; el numerador es $-\frac{x^2}{2} + o(x^2)$ y el denominador, $x\bigl(x + o(x)\bigr) \sim x^2$: el límite es $-\dfrac12$.

**Ejercicio 16.12 ★★★.**

(Asintótica de raíces implícitas) Véase que para todo $k \in \N^*$ la ecuación $\tan x = x$ tiene exactamente una solución $x_k$ en $\intoo{k\pi - \frac\pi2}{k\pi + \frac\pi2}$, que $x_k = k\pi + \frac\pi2 - \varepsilon_k$ con $\varepsilon_k = \arctan\frac{1}{x_k}$, y dedúzcase el desarrollo

$$
x_k = k\pi + \frac\pi2 - \frac{1}{k\pi} + o\Bigl(\frac
1k\Bigr) \qquad (k \to \infty).
$$

**Solución de Ejercicio 16.12.**

En $I_k = \intoo{k\pi - \frac\pi2}{k\pi + \frac\pi2}$, la función $g(x) = \tan x - x$ tiene [derivada](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/14-derivacion#def-b1-derivative-def) $\tan^2 x \geq 0$, que se anula solo en el único punto $k\pi$: $g$ es estrictamente creciente en $I_k$ ([Corolario 14.12](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/14-derivacion#cor-b1-derivative-monotone) (2)), con límites $-\infty$ y $+\infty$ en los extremos: exactamente un cero $x_k$. Para $k \geq 1$, $g(k\pi) = -k\pi < 0$, luego $x_k \in \intoo{k\pi}{k\pi + \frac\pi2}$: escríbase $x_k = k\pi + \frac\pi2 - \varepsilon_k$ con $\varepsilon_k \in \intoo{0}{\frac\pi2}$. Entonces

$$
x_k = \tan x_k = \tan\Bigl(\frac\pi2 - \varepsilon_k\Bigr)
= \frac{1}{\tan\varepsilon_k}
\quad\Longrightarrow\quad
\varepsilon_k = \arctan\frac{1}{x_k} ,
$$

usando $\tan\varepsilon_k = \frac{1}{x_k}$ y $\varepsilon_k \in \intoo{0}{\frac\pi2}$. Como $x_k \geq k\pi \to \infty$: $\varepsilon_k \to 0$, y

$$
\varepsilon_k = \arctan\frac{1}{x_k} = \frac{1}{x_k} +
O\Bigl(\frac{1}{x_k^3}\Bigr)
= \frac{1}{k\pi + O(1)} + O\Bigl(\frac{1}{k^3}\Bigr)
= \frac{1}{k\pi} + O\Bigl(\frac{1}{k^2}\Bigr) ,
$$

de donde $x_k = k\pi + \frac\pi2 - \frac{1}{k\pi} +
o\bigl(\frac1k\bigr)$.

## 16.5 Problema: sumas alternadas, cifras certificadas y la irracionalidad de $\cos 1$

**Problema 16.1.**

Problema del fin de semana — la estimación alternada $\abs{S - S_n} \leq a_{n+1}$: $\ln 2$ y $\pi$ con decimales demostrados, la fórmula de Machin y $\cos 1 \notin \Q$

Una suma alternada de términos decrecientes es el objeto más amable del análisis numérico: su error está acotado por el primer término omitido, *con signo conocido*. Este problema demuestra ese principio con el teorema de las [sucesiones adyacentes](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/11-sucesiones#thm-b1-seq-adjacent) y después lo gasta de tres maneras: decimales certificados para $\ln 2$ (tres caminos rivales) y para $\pi$ (Leibniz y después la fórmula de Machin de 1706, todavía la idea que hay detrás de los cálculos récord durante siglos), la irracionalidad de $\cos 1$, $\sin 1$ y $\cosh 1$ y, como contrapeso, la *igualdad* de Taylor–Lagrange y la función plana cuyo desarrollo de Taylor miente. En todo el problema, el lenguaje de «series» es informal: toda suma de aquí es una *sucesión de sumas parciales*, como en el [Ejemplo 11.12](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/11-sucesiones#ex-b1-seq-e); la teoría propiamente dicha se abre en el [Capítulo 17](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/17-series-numericas#ch-b1-series).

**Parte I — La estimación alternada.** Sea $(a_k)_{k \geq 0}$ decreciente hacia $0$ y $S_n = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k a_k$.

1. Véase que $(S_{2n+1})$ es no decreciente, que $(S_{2n})$ es no creciente y que son adyacentes ([Teorema 11.11](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/11-sucesiones#thm-b1-seq-adjacent)): las dos convergen a un mismo $S$ con, para todo $n$, $$S_{2n+1} \leq S \leq S_{2n},  \qquad  \abs{S - S_n} \leq a_{n+1} ,$$ teniendo el error el signo del primer término omitido. Véase además que si el decrecimiento es *estricto*, todas estas desigualdades son estrictas.
2. Primer dividendo: para $x = 1$ en la serie exponencial, compárese con el [Teorema 16.7](#thm-b1-taylor-lagrange) en $a = 0$ : véase que $T_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!}$ converge a $\eu^{-1}$ con $\abs{\eu^{-1} - T_n} < \frac{1}{(n+1)!}$ .
3. (Leibniz, 1674) A partir de la identidad finita *exacta* $$\frac{1}{1 + t^2} = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k t^{2k}  + \frac{(-1)^{n+1} t^{2n+2}}{1 + t^2} ,$$ integrada en $\intcc{0}{1}$, demuéstrese $$\frac\pi4 = \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{2k+1} + \rho_n,  \qquad \abs{\rho_n} \leq \frac{1}{2n+3} .$$
4. Lentitud: ¿cuántos términos de Leibniz garantizan seis decimales exactos de $\pi$ ? (Unos dos millones.) Evalúese $4 S_4 = 4\bigl(1 - \frac13 + \frac15 - \frac17 +  \frac19\bigr)$ y su distancia a $\pi$ , para sentir el dolor.

**Parte II — $\ln 2$ de tres maneras.**

5. (Camino 1: la armónica alternada) De $\frac{1}{1+t} = \sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k t^k +  \frac{(-1)^n t^n}{1+t}$ integrada en $\intcc{0}{1}$: $$\ln 2 = \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{k} + (-1)^n  R_n, \qquad \frac{1}{2(n+1)} \leq R_n \leq  \frac{1}{n+1} :$$ el error es de orden exactamente $\frac 1n$ — un millón de términos para seis decimales.
6. (Camino 2: la serie rápida) Intégrese $\frac{1}{1 - t^2} = \sum_{k=0}^{n} t^{2k} +  \frac{t^{2n+2}}{1-t^2}$ de $0$ a $x \in \intoo{0}{1}$ y evalúese en $x = \frac13$ (nótese $\frac{1 + 1/3}{1 - 1/3} = 2$): $$\ln 2 = 2\sum_{k=0}^{n} \frac{(1/3)^{2k+1}}{2k+1} +  \tilde\rho_n,  \qquad  0 < \tilde\rho_n \leq \frac{9}{4}\cdot  \frac{(1/3)^{2n+3}}{2n+3} :$$ convergencia geométrica, aproximadamente una cifra por término.
7. (Camino 3: [sumas de Riemann](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/15-integracion-en-un-segmento#thm-b1-integration-riemann) y una identidad oculta) Demuéstrese por inducción la identidad $$\sum_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^{k-1}}{k} = H_{2n} - H_n =  \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n + k} ,$$ y recupérese $\ln 2$ como el límite de [sumas de Riemann](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/15-integracion-en-un-segmento#thm-b1-integration-riemann) del [Ejemplo 15.21](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/15-integracion-en-un-segmento#ex-b1-integration-riemannexample): los caminos 1 y 3 son en secreto el mismo número visto dos veces.
8. Duelo con seis términos: compárese $\sum_{k=1}^{6} \frac{(-1)^{k-1}}{k} = 0.6167$ con el camino 2 en $n = 5$ , que ya da $\ln 2 = 0.693147$ con error $\leq 1.1\cdot10^{-7}$ . Explíquese la razón estructural (punto de evaluación bien dentro del [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) de convergencia frente a en su [frontera](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/12-topologia-de-la-recta-real#def-b1-topology-closure) ).
9. ¿Cuántos términos del camino 2 certifican *diez* decimales de $\ln 2$ ? Véase que basta $n = 10$ .

**Parte III — La fórmula de Machin.**

10. Calcúlese $(5 + \iu)^4$ y compruébese la identidad compleja $$(5 + \iu)^4 = 2\,(1 + \iu)\,(239 + \iu) .$$ Tomando argumentos (con los convenios del [Capítulo 3](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/3-numeros-complejos#ch-b1-complex)), dedúzcase la fórmula de Machin $$\frac\pi4 = 4\arctan\frac15 - \arctan\frac{1}{239} .$$ (Compruébese que ningún argumento sale de $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$.)
11. Como en la pregunta 3, establézcase, para $0 < x < 1$: $$\arctan x = \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k  x^{2k+1}}{2k+1} + r_n(x), \qquad \abs{r_n(x)} \leq  \frac{x^{2n+3}}{2n+3} .$$
12. Certifíquense siete decimales de $\pi$ con seis términos: acótese el error total de $$\pi \approx 16\sum_{k=0}^{4}  \frac{(-1)^k (1/5)^{2k+1}}{2k+1}  - 4\Bigl(\frac{1}{239} - \frac{1}{3\cdot239^3}\Bigr)$$ por $16\,\frac{(1/5)^{11}}{11} + 4\,\frac{(1/239)^5}{5} <  5\cdot10^{-8}$, y dese el valor resultante $3.1415926\dots$
13. Compárense los tres caminos hacia $\pi$ ya disponibles —Leibniz (pregunta 4), las [integrales](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/15-integracion-en-un-segmento#thm-b1-integration-def) de Dalzell del [Problema 15.1](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/15-integracion-en-un-segmento#pb-b1-integration-1) (error $4^{1-5m}$ ) y Machin (error $\approx 16\cdot 5^{-(2n+3)}$ )— en cifras por término, y explíquese por qué encoger el punto de evaluación gana a todo lo demás.

**Parte IV — La trampa del entero, edición alternada.**

14. Supóngase $\cos 1 = \frac pq$ . Multiplíquese el encuadre alternado estricto de $\sum_{k} \frac{(-1)^k}{(2k)!}$ (pregunta 1) por $(2n)!$ con $2n \geq q$ y dedúzcase una contradicción: $\cos 1$ es irracional.
15. Adáptese a $\sin 1 = \sum_k \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}$ (multiplíquese por $(2n+1)!$ ): $\sin 1 \notin \Q$ . Los dos irracionales y, sin embargo, $\cos^2 1 + \sin^2 1 = 1$ : la irracionalidad no es estable por operaciones algebraicas.
16. El [primo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/6-aritmetica-de-los-enteros#def-b1-arith-prime) no alternado: $\cosh 1 = \sum_k \frac{1}{(2k)!}$ (en el sentido de sumas parciales, con la cota bilateral de la cola $0 < \cosh 1 - \sum_{k \leq n} \frac{1}{(2k)!} <  \frac{2}{(2n+2)!}$ , que hay que demostrar). Conclúyase $\cosh 1 \notin \Q$ con la misma trampa.
17. Empújese hasta $\cos\frac 1m$ para todo entero $m \geq 1$ : multiplíquese por $m^{2n}(2n)!$ y conclúyase $\cos\frac1m \notin \Q$ . ¿Dónde se rompe el mismo intento para $\cos\frac ab$ con $b > 1$ general? (Identifíquese el denominador que ya no se elimina.)

**Parte V — Más fino y más oscuro: la forma con igualdad, y una función que engaña a Taylor.**

18. (Taylor–Lagrange, forma con igualdad) Sea $f$ $n + 1$ veces [derivable](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/14-derivacion#def-b1-derivative-def) entre $a$ y $x$. Defínase $g(t) = f(x) - \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(t)}{k!}(x - t)^k  - A\,\frac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)!}$ con la constante $A$ elegida de modo que $g(a) = 0$. Calcúlese $g'$ (la suma telescopa), aplíquese Rolle en $\intcc{a}{x}$ y conclúyase que existe $c$ estrictamente entre $a$ y $x$ con $$f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k  + \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}\,(x-a)^{n+1} .$$
19. Dividendo de la igualdad: para $x > 0$ véase que $$\eu^x > 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots +  \frac{x^n}{n!}$$ (estrictamente, para todo $n$), y localícese dónde se invierte la desigualdad para $x < 0$ según la paridad de $n$.
20. Compárense los restos sobre $\sin(0.5)$ al orden $3$ : Young da solo $o(x^3)$ (ningún número); Lagrange da $\abs{\sin 0.5 - (0.5 - \frac{0.5^3}{6})} \leq  \frac{0.5^5}{120} = 2.61\cdot10^{-4}$ ; y la estimación alternada da la misma cota *más* la información del signo $\sin 0.5 > 0.5 - \frac{0.5^3}{6}$ . Compárese con el error verdadero $2.59\cdot10^{-4}$ : la cota casi se alcanza. ¿A qué herramienta se echaría mano, y cuándo?
21. (La función plana) Sea $f(x) = \eu^{-1/x^2}$ para $x \neq 0$ y $f(0) = 0$ . Véase que $f$ es [continua](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#def-b1-continuity-continuous) en $0$ , que $f'(0) = 0$ y, más en general —demostrando que toda [derivada](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/14-derivacion#def-b1-derivative-def) tiene la forma $f^{(k)}(x) = P_k\bigl(\frac1x\bigr)\eu^{-1/x^2}$ para un [polinomio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) $P_k$ (inducción)—, que $f^{(k)}(0) = 0$ para todo $k$ *([comparación de crecimientos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/4-funciones-usuales#prop-b1-functions-powerrules), [Proposición 4.6](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/4-funciones-usuales#prop-b1-functions-powerrules))* . Conclúyase: todos los [polinomios](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) de Taylor de $f$ en $0$ se anulan y, sin embargo, $f(x) > 0$ para $x \neq 0$ : Taylor–Young vale a todos los órdenes y no dice nada de $f$ lejos de $0$ . Los desarrollos describen *gérmenes* , no funciones.

**Parte VI — Síntesis.**

22. Hágase correr la trampa una vez más, sobre $\eu^{-1} = \sum_k \frac{(-1)^k}{k!}$ : multiplíquese el encuadre alternado estricto por $n!$ y conclúyase $\eu^{-1} \notin \Q$ , y por tanto $\eu \notin \Q$ — la tercera demostración de este hecho en el volumen. Enumérense las tres ( [sucesiones adyacentes](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/11-sucesiones#thm-b1-seq-adjacent) , [Ejercicio 11.9](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/11-sucesiones#exo-b1-seq-9) ; [integrales](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/15-integracion-en-un-segmento#thm-b1-integration-def) , [Problema 15.1](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/15-integracion-en-un-segmento#pb-b1-integration-1) ; sumas alternadas, aquí) y lo que necesitó cada una.
23. La letra pequeña: la monotonía no es decorativa. Sea $b_k = \frac1k$ para $k$ impar y $b_k = \frac{1}{k^2}$ para $k$ par: los $b_k$ son positivos y tienden a $0$ y, sin embargo, las sumas parciales de $\sum (-1)^k b_k$ divergen a $-\infty$ . Demuéstrese *(pártase la suma parcial en la parte par, acotada mediante el [Ejemplo 11.22](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/11-sucesiones#ex-b1-seq-basel), y la parte impar, que domina la mitad de la serie armónica, [Ejercicio 11.5](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/11-sucesiones#exo-b1-seq-5))* , y dígase exactamente qué paso de la pregunta 1 usó la monotonía.
24. Compruébese la identidad más sencilla de Euler $\arctan\frac12 + \arctan\frac13 = \frac\pi4$ mediante $(2 + \iu)(3 + \iu) = 5(1 + \iu)$ , estímense los términos necesarios para seis decimales de $\pi$ por este camino (basta $n = 10$ ) y colóquese entre Leibniz y Machin en la clasificación de la pregunta 13.
25. Síntesis, una frase para cada punto: (i) enúnciese la estimación alternada y sus dos productos (cota y signo); (ii) por qué las identidades finitas exactas con restos explícitos ganan a los [enunciados](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-statement) con límites para el cálculo numérico certificado; (iii) inventario del problema ( $\pi$ con error $10^{-7}$ a mano, $\ln 2$ con diez decimales, cuatro demostraciones de irracionalidad, un teorema con igualdad, un ejemplo de aviso); (iv) cuáles de estos hilos recogerá el [Capítulo 17](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/17-series-numericas#ch-b1-series) (el criterio de las series alternadas, la convergencia absoluta frente a la condicional y el drama de las reordenaciones de su problema del fin de semana).

**Solución de Problema 16.1.**

**1.** $S_{2n+1} - S_{2n-1} = a_{2n} - a_{2n+1} \geq 0$ y $S_{2n+2} - S_{2n} = a_{2n+2} - a_{2n+1} \leq 0$, mientras que $S_{2n} - S_{2n+1} = a_{2n+1} \to 0$: las sucesiones $(S_{2n+1})$ y $(S_{2n})$ son adyacentes y convergen a un mismo $S$ ([Teorema 11.11](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/11-sucesiones#thm-b1-seq-adjacent)) con $S_{2n+1} \leq S \leq S_{2n}$. Para $n$ par: $S_{n+1} \leq S \leq S_n$ da $-a_{n+1} \leq S - S_n \leq 0$; y para $n$ impar: $0 \leq S - S_n \leq a_{n+1}$. En los dos casos, $\abs{S - S_n} \leq a_{n+1}$ y $S - S_n$ tiene el signo de $(-1)^{n+1}$, el primer término omitido. El decrecimiento estricto hace estricta toda desigualdad anterior, en particular $0 < \abs{S - S_n} < a_{n+1}$.

**2.** $a_k = \frac{1}{k!}$ decrece estrictamente hacia $0$: se aplica la pregunta 1. Taylor–Lagrange ([Teorema 16.7](#thm-b1-taylor-lagrange)) para $\exp$ entre $-1$ y $0$: $\abs{\eu^{-1} - T_n} \leq \frac{1}{(n+1)!}$ (la [derivada](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/14-derivacion#def-b1-derivative-def) $\eu^t$ es $\leq 1$ ahí), luego $T_n \to \eu^{-1}$, y el límite $S$ de la pregunta 1 *es* $\eu^{-1}$, con las cotas estrictas $0 < \abs{\eu^{-1} - T_n} < \frac{1}{(n+1)!}$.

**3.** Integrando la identidad en $\intcc{0}{1}$: el miembro izquierdo es $\arctan 1 = \frac\pi4$ (teorema fundamental), el término $k$-ésimo da $\frac{(-1)^k}{2k+1}$, y

$$
\rho_n = (-1)^{n+1}\int_0^1 \frac{t^{2n+2}}{1+t^2}\dd t,
\qquad
\abs{\rho_n} \leq \int_0^1 t^{2n+2}\dd t = \frac{1}{2n+3} .
$$

**4.** El error sobre $\pi$ es $4\abs{\rho_n} \leq \frac{4}{2n+3}$: bajar de $10^{-6}$ exige $2n + 3 > 4\cdot10^6$, unos dos millones de términos. Mientras tanto, $4S_4 = 4\bigl(1 - \frac13 + \frac15 - \frac17 +
\frac19\bigr) = 4 \times 0.834921 = 3.339683$, a casi $0.2$ de $\pi$: cinco términos y ni siquiera una cifra.

**5.** Integrando en $\intcc{0}{1}$: $\ln 2 = \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{k} + (-1)^n R_n$ con $R_n = \int_0^1 \frac{t^n}{1+t}\dd t$; y de $\frac12 \leq \frac{1}{1+t} \leq 1$: $\frac{1}{2(n+1)} \leq R_n \leq \frac{1}{n+1}$. El error queda atrapado entre dos múltiplos de $\frac1n$: seis decimales cuestan alrededor de un millón de términos.

**6.** Integrando de $0$ a $x$: $\frac12\ln\frac{1 + x}{1 - x} = \sum_{k=0}^{n}
\frac{x^{2k+1}}{2k+1} + \int_0^x \frac{t^{2n+2}}{1-t^2}\dd t$. En $x = \frac13$: $\frac{1 + 1/3}{1 - 1/3} = 2$, y en $\intcc{0}{\frac13}$ se tiene $\frac{1}{1 - t^2} \leq \frac98$:

$$
\ln 2 = 2\sum_{k=0}^{n} \frac{(1/3)^{2k+1}}{2k+1} +
\tilde\rho_n,
\qquad
0 < \tilde\rho_n \leq \frac{9}{4}\cdot
\frac{(1/3)^{2n+3}}{2n+3} :
$$

cada término adicional [divide](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/6-aritmetica-de-los-enteros#def-b1-arith-divides) el error por unos $9$.

**7.** Inducción: para $n = 1$: $1 - \frac12 = \frac12 = H_2 - H_1$. Paso:

$$
H_{2n+2} - H_{n+1} = (H_{2n} - H_n) + \frac{1}{2n+1} +
\frac{1}{2n+2} - \frac{1}{n+1}
= (H_{2n} - H_n) + \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+2},
$$

que es exactamente el incremento de la suma alternada. Y $H_{2n} - H_n = \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k}$ es la suma de Riemann del [Ejemplo 15.21](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/15-integracion-en-un-segmento#ex-b1-integration-riemannexample), que converge a $\ln 2$: las sumas parciales pares del camino 1 *son* las [sumas de Riemann](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/15-integracion-en-un-segmento#thm-b1-integration-riemann) del camino 3.

**8.** $\sum_{k=1}^{6}\frac{(-1)^{k-1}}{k} = 0.61667$, con error $0.0765$; el camino 2 en $n = 5$ da $0.6931471$ con error $\leq \frac94\cdot\frac{(1/3)^{13}}{13} = 1.1\cdot10^{-7}$. La razón: el camino 1 evalúa la serie del logaritmo en el punto de la [frontera](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/12-topologia-de-la-recta-real#def-b1-topology-closure) $x = 1$, donde los términos decrecen como $\frac1k$; el camino 2 evalúa en $x = \frac13$, bien dentro, donde cada término lleva un factor fresco $\frac19$.

**9.** Diez decimales: se quiere $\tilde\rho_n \leq 5\cdot10^{-11}$. En $n = 10$: $\frac94 \cdot \frac{(1/3)^{23}}{23} =
\frac94\cdot\frac{1.06\cdot10^{-11}}{23} \approx 1.0\cdot10^{-12} <
5\cdot10^{-11}$: bastan once términos.

**10.** $(5+\iu)^2 = 24 + 10\iu$, y después $(5+\iu)^4 = (24 + 10\iu)^2 = 476 + 480\iu$; y $2(1+\iu)(239+\iu) = 2(238 + 240\iu) = 476 + 480\iu$: iguales. Argumentos: $\arg(5 + \iu) = \arctan\frac15$, luego el miembro izquierdo tiene argumento $4\arctan\frac15 \approx 0.79 \in \intoo{0}{\pi}$; y el miembro derecho tiene argumento $\frac\pi4 + \arctan\frac{1}{239} \in \intoo{0}{\pi}$. Dos complejos iguales con argumentos en un mismo [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) de longitud $< 2\pi$:

$$
4\arctan\frac15 = \frac\pi4 + \arctan\frac{1}{239} ,
$$

que es la fórmula de Machin.

**11.** Intégrese $\frac{1}{1+t^2} = \sum_{k=0}^n (-1)^k
t^{2k} + \frac{(-1)^{n+1}t^{2n+2}}{1+t^2}$ de $0$ a $x$:

$$
\arctan x = \sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k x^{2k+1}}{2k+1} +
r_n(x),
\qquad
\abs{r_n(x)} \leq \int_0^x t^{2n+2}\dd t =
\frac{x^{2n+3}}{2n+3} .
$$

**12.** Errores: $16\,\frac{(1/5)^{11}}{11} = 3.0\cdot 10^{-8}$ y $4\,\frac{(1/239)^5}{5} \approx 1\cdot10^{-12}$: en total $< 5\cdot10^{-8}$. La suma anterior vale $3.14159268\dots$, luego $\pi = 3.1415926\dots$ certificado con error $5\cdot10^{-8}$: siete decimales a partir de seis términos (cinco en $\frac15$ y dos en $\frac1{239}$, contando con generosidad).

**13.** Leibniz: error $\sim \frac1n$, de modo que cada cifra nueva multiplica el trabajo por diez. Dalzell ([Problema 15.1](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/15-integracion-en-un-segmento#pb-b1-integration-1), pregunta 22): error $4^{1-5m}$, unas tres cifras por paso, y cada paso con un [polinomio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) más pesado. Machin: razón de error $\frac{1}{25}$ por término, unas $1.4$ cifras por término, y cada término una división. La moraleja: el resto de un desarrollo de tipo geométrico escala como $x^{2n}$, así que hacer $x$ pequeño compra cifras a un coste *fijo* por término — la identidad compleja de Machin es precisamente una máquina de encoger $x$.

**14.** $a_k = \frac{1}{(2k)!}$ decrece estrictamente hacia $0$; por la pregunta 1 y la [Proposición 16.11](#prop-b1-taylor-standard) (cota de Lagrange como en la pregunta 2), $\sum_{k \leq n}\frac{(-1)^k}{(2k)!} \to \cos 1$ con el encuadre *estricto* $0 < \bigl|\cos 1 - S'_n\bigr| < \frac{1}{(2n+2)!}$. Supóngase $\cos 1 = \frac pq$ y tómese $2n \geq q$: entonces $(2n)!\,S'_n = \sum_{k\leq n} (-1)^k \frac{(2n)!}{(2k)!} \in \Z$ y $(2n)!\,\frac pq \in \Z$, mientras que

$$
0 < \Bigl|(2n)!\cos 1 - (2n)!S'_n\Bigr| <
\frac{(2n)!}{(2n+2)!} = \frac{1}{(2n+1)(2n+2)} < 1 :
$$

un entero no nulo de valor absoluto $< 1$. Contradicción: $\cos 1 \notin \Q$.

**15.** Idénticamente con $a_k = \frac{1}{(2k+1)!}$, multiplicando por $(2n+1)!$ con $2n + 1 \geq q$: $\sin 1 \notin \Q$. Y, sin embargo, $\cos^2 1 + \sin^2 1 = 1 \in \Q$: los productos y las sumas de irracionales pueden ser racionales — la irracionalidad no pasa gratis por ninguna operación algebraica.

**16.** Cota de la cola: para $m > n$,

$$
\sum_{k=n+1}^{m} \frac{1}{(2k)!}
\leq \frac{1}{(2n+2)!}\Bigl(1 + \frac12 + \frac14 +
\dots\Bigr) \leq \frac{2}{(2n+2)!} ,
$$

puesto que cada razón sucesiva es $\frac{1}{(2k+1)(2k+2)} \leq \frac12$; y la cola es positiva (lo es su primer término). Así, $0 < \cosh 1 - \sum_{k\leq n}\frac{1}{(2k)!} < \frac{2}{(2n+2)!}$, y multiplicando por $(2n)!$ con $2n \geq q$ se vuelve a atrapar un entero no nulo en $\intoo{0}{1}$: $\cosh 1 \notin \Q$.

**17.** $\cos\frac1m = \sum_k \frac{(-1)^k}{m^{2k}(2k)!}$: los términos decrecen estrictamente hacia cero, y $m^{2n}(2n)!\cdot\frac{1}{m^{2k}(2k)!} =
m^{2(n-k)}\frac{(2n)!}{(2k)!} \in \Z$ para $k \leq n$. Si $\cos\frac1m = \frac pq$, multiplíquese el encuadre estricto por $q\,m^{2n}(2n)!$: el error queda acotado por $\frac{q}{m^2(2n+1)(2n+2)} < 1$ para $n$ grande: contradicción. Para $\frac ab$ con $a \geq 2$: quitar denominadores multiplica la cola por $b^{2n}(2n)!$, pero el primer término omitido es $\frac{a^{2n+2}}{b^{2n+2}(2n+2)!}$, y el producto $\frac{a^{2n+2}}{b^2(2n+1)(2n+2)}$ *explota*: el numerador $a^{2n+2}$ ya no se elimina y la trampa se atasca. (El resultado sigue siendo cierto — por maquinaria al estilo de Niven, no por esta.)

**18.** En $t = x$ todos los términos de $g$ se anulan salvo $f(x) - f(x) = 0$: $g(x) = 0$; y $A$ se elige de modo que $g(a) = 0$. Derivando, la suma telescopa:

$$
g'(t) = -\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x - t)^n +
A\,\frac{(x-t)^n}{n!}
= \frac{(x-t)^n}{n!}\bigl(A - f^{(n+1)}(t)\bigr) .
$$

Rolle en el segmento de $a$ a $x$ da $c$ estrictamente entre ambos con $g'(c) = 0$; y como $(x - c)^n \neq 0$: $A = f^{(n+1)}(c)$. Desplegando $g(a) = 0$ se obtiene la igualdad de Taylor con resto $\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$.

**19.** Para $x > 0$, el resto es $\frac{\eu^{c}} {(n+1)!}x^{n+1} > 0$: la exponencial supera estrictamente a cada uno de sus [polinomios](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) de Taylor, a todo orden. Para $x < 0$, el signo del resto es el de $x^{n+1}$: $\eu^x$ queda *por encima* del [polinomio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) si $n$ es impar y *por debajo* si $n$ es par — alternando de lado, como ya muestran las gráficas de $1 + x$ y de $1 + x + \frac{x^2}{2}$ frente a $\eu^x$.

**20.** Error verdadero: $\sin 0.5 - 0.4791667 = 2.59\cdot10^{-4}$, frente a la cota $\frac{0.5^5}{120} = 2.60\cdot10^{-4}$: casi se alcanza (el término siguiente domina la cola). Young: para límites y análisis local, donde no hace falta ninguna constante. Lagrange: para decimales certificados. Alternada: cuando es aplicable, la misma cota *más* la dirección del error — la mejor de las tres, pero la más rara.

**21.** [Continuidad](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#def-b1-continuity-continuous) en $0$: con $u = \frac{1}{x^2} \to +\infty$, $f(x) = \eu^{-u} \to 0 = f(0)$. [Derivada](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/14-derivacion#def-b1-derivative-def) en $0$: $\bigl|\frac{f(h)}{h}\bigr| = \sqrt u\,\eu^{-u} \to 0$ ([Proposición 4.6](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/4-funciones-usuales#prop-b1-functions-powerrules)): $f'(0) = 0$. Para $x \neq 0$, $f'(x) = \frac{2}{x^3}\eu^{-1/x^2}$: la forma $P_1\bigl(\frac1x\bigr)\eu^{-1/x^2}$ con $P_1(X) = 2X^3$; y, por inducción, derivar $P_k(\frac1x)\eu^{-1/x^2}$ da $P_{k+1}(X) = 2X^3 P_k(X) - X^2 P_k'(X)$, un [polinomio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def). Entonces

$$
\frac{f^{(k)}(h) - 0}{h} = v\,P_k(v)\,\eu^{-v^2}
\Big|_{v = 1/h} \longrightarrow 0
$$

([polinomio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) contra $\eu^{-v^2}$, [comparación de crecimientos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/4-funciones-usuales#prop-b1-functions-powerrules) en $\pm\infty$): por inducción, $f^{(k)}(0) = 0$ para todo $k$. Todos los [polinomios](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) de Taylor de $f$ en $0$ se anulan y, sin embargo, $f > 0$ fuera de $0$: Taylor–Young es exacto a todos los órdenes y ciego más allá del germen. Un desarrollo es información local, nada más.

**22.** Por la pregunta 2, $0 < \abs{\eu^{-1} - T_n} < \frac{1}{(n+1)!}$, estrictamente. Si $\eu^{-1} = \frac pq$, tómese $n \geq q$ y multiplíquese por $n!$: $n!\,T_n \in \Z$ y $n!\frac pq \in \Z$, luego un entero no nulo tiene valor absoluto $< \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1} < 1$: contradicción. Por tanto, $\eu^{-1} \notin \Q$, y $\eu = \frac{1}{\eu^{-1}}$ también es irracional. Las tres demostraciones: [sucesiones adyacentes](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/11-sucesiones#thm-b1-seq-adjacent) apretando $q!\,\eu$ ([Ejercicio 11.9](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/11-sucesiones#exo-b1-seq-9)); la recurrencia [integral](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/15-integracion-en-un-segmento#thm-b1-integration-def) $A_n = \eu - nA_{n-1}$ ([Problema 15.1](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/15-integracion-en-un-segmento#pb-b1-integration-1)); y el encuadre alternado (aquí). Una trampa, tres certificados de pequeñez.

**23.** Agrúpense las sumas parciales por parejas: $\sum_{k=1}^{2n} (-1)^k b_k = E_n - O_n$ con $E_n = \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{4j^2}$, acotada (por la cota telescópica del [Ejemplo 11.22](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/11-sucesiones#ex-b1-seq-basel), $E_n \leq \frac12$), y $O_n = \sum_{j=1}^{n}\frac{1}{2j-1} \geq \frac12 H_n \to +\infty$ ([Ejercicio 11.5](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/11-sucesiones#exo-b1-seq-5)): las sumas parciales tienden a $-\infty$. La monotonía se usó en la pregunta 1 exactamente donde $S_{2n+1} - S_{2n-1} = a_{2n} - a_{2n+1}$ necesitaba un signo: sin decrecimiento, las subsucesiones par e impar no tienen por qué ser monótonas, y la adyacencia se derrumba.

**24.** $(2+\iu)(3+\iu) = 5 + 5\iu = 5(1+\iu)$; tomando argumentos (todos en $\intoo{0}{\frac\pi2}$): $\arctan\frac12 + \arctan\frac13 = \frac\pi4$. Coste en términos para seis decimales: error $\leq 4\bigl(\frac{(1/2)^{2n+3}}{2n+3} +
\frac{(1/3)^{2n+3}}{2n+3}\bigr)$, que en $n = 10$ es $\approx 2\cdot10^{-8} < 5\cdot10^{-7}$: once términos. Clasificación: mejor que Leibniz por un margen exponencial, y por detrás de Machin (cuyo punto dominante $\frac15$ es menor que $\frac12$): unas $0.6$ cifras por término frente a las $1.4$ de Machin.

**25.** (i) Para $a_k \to 0$ decreciente, las sumas parciales alternadas convergen con $\abs{S - S_n} \leq a_{n+1}$ y el error lleva el signo del primer término omitido. (ii) Una identidad finita con resto explícito se puede *evaluar y acotar en un punto elegido*, mientras que un [enunciado](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-statement) con límite solo promete proximidad a la larga — certificar exige lo primero. (iii) Extraído: $\pi$ con error $5\cdot10^{-8}$ por Machin, $\ln 2$ con diez decimales por la serie en $\frac13$, la irracionalidad de $\cos 1$, $\sin 1$, $\cosh 1$, $\cos\frac1m$ y $\eu^{-1}$, la igualdad de Taylor–Lagrange y el aviso de la función plana. (iv) [Capítulo 17](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/17-series-numericas#ch-b1-series) eleva la pregunta 1 al criterio de las series alternadas, separa la convergencia absoluta de la condicional y, en su problema del fin de semana, escenifica el drama de las reordenaciones, del que la serie armónica alternada del camino 1 es el testigo estrella.