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title: "Espacios vectoriales"
book: "Matemáticas universitarias — Grado 1"
subject: math
language: es
chapter: 18
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales
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# Capítulo 18 — Espacios vectoriales

El álgebra lineal empieza aquí: los axiomas de los [espacios vectoriales](#def-b1-vspaces-def) aíslan lo que tienen en común $\R^2$, $\R^3$, los espacios de [polinomios](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) y los espacios de funciones — que se puede sumar y multiplicar por escalares. Dos capítulos construyen la teoría (el [Capítulo 19](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/19-dimension-finita#ch-b1-findim) añade la dimensión); y el lenguaje que establecen —subespacio generado, [familia libre](#def-b1-vspaces-free), [base](#def-b1-vspaces-free), suma directa— es el pan de cada día de todos los capítulos posteriores. En todo el capítulo, $K$ designa $\R$ o $\C$ (los *escalares*).

## 18.1 Definición y ejemplos

**Definición 18.1 (Espacio vectorial).**

Un *$K$-espacio vectorial* es un [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) $E$ con una suma que hace de $(E, +)$ un [grupo abeliano](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/7-estructuras-algebraicas#def-b1-structures-group) (con cero escrito $0_E$ o $0$) y una multiplicación por escalares $K \times E \to E$ tal que, para todos $\lambda, \mu \in K$ y $x, y \in E$:

$$
\lambda(x + y) = \lambda x + \lambda y,\quad
(\lambda + \mu) x = \lambda x + \mu x,\quad
\lambda(\mu x) = (\lambda\mu) x,\quad
1\,x = x .
$$

Consecuencias: $0\,x = 0_E$, $\lambda\,0_E = 0_E$, $(-1)x = -x$ y $\lambda x = 0_E \implies \lambda = 0$ o $x = 0_E$ (multiplíquese por $\lambda^{-1}$).

**Demostración de las consecuencias.** Para $0\,x = 0_E$: de $(0 + 0)x = 0x + 0x$ y $(0+0)x = 0x$, cancélese $0x$ en el [grupo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/7-estructuras-algebraicas#def-b1-structures-group) $(E, +)$. Para $\lambda\,0_E$: el mismo truco sobre $\lambda(0_E + 0_E)$. Para $(-1)x$: súmese $x$,

$$
x + (-1)x = 1\,x + (-1)x = \bigl(1 + (-1)\bigr)x = 0\,x = 0_E ,
$$

de modo que $(-1)x$ es el opuesto de $x$. Por último, si $\lambda x = 0_E$ con $\lambda \neq 0$: multiplíquese por $\lambda^{-1}$ (los escalares forman un [cuerpo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/7-estructuras-algebraicas#def-b1-structures-field)) y úsense los dos axiomas $\lambda^{-1}(\lambda x) = (\lambda^{-1}\lambda)x = 1x = x$ junto con $\lambda^{-1}0_E = 0_E$: $x = 0_E$. Por pequeñas que sean, estas cuatro reglas se usan en silencio en cada página de las que siguen — y la última es justo donde hacen falta los [cuerpos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/7-estructuras-algebraicas#def-b1-structures-field): sobre los escalares $\Z$, el «espacio» $\Z/2\Z$ la violaría con $2\,x = 0$. ∎

**Ejemplo 18.2.**

$K^n$ (operaciones coordenada a coordenada); los [polinomios](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) $K[X]$; las funciones $\mathcal{F}(A, K)$ de un [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) $A$ cualquiera en $K$ (operaciones punto a punto) — que contienen las funciones [continuas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#def-b1-continuity-continuous), las sucesiones $\mathcal{F}(\N, \R)$, etc.; y $\C$ como [espacio vectorial](#def-b1-vspaces-def) sobre $\R$. En cada caso, los axiomas se heredan de los de $K$.

**Definición 18.3 (Subespacio).**

$F \subseteq E$ es un *subespacio* cuando $0_E \in F$ y $F$ es estable por la suma y por la multiplicación por escalares — equivalentemente:

$$
F \neq \emptyset
\qquad\text{and}\qquad
\forall x, y \in F,\ \forall \lambda \in K,\quad
x + \lambda y \in F .
$$

Un subespacio es él mismo un [espacio vectorial](#def-b1-vspaces-def). Toda intersección de subespacios es un subespacio; una unión casi nunca lo es (misma demostración que en el [Ejercicio 7.6](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/7-estructuras-algebraicas#exo-b1-structures-6)).

**Ejemplo 18.4.**

En $\mathcal{F}(\R, \R)$: las funciones [continuas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#def-b1-continuity-continuous), las [derivables](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/14-derivacion#def-b1-derivative-def), los [polinomios](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) de grado $\leq n$ (escrito $K_n[X]$ dentro de $K[X]$), las soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea (el [Teorema 5.10](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/5-ecuaciones-diferenciales-lineales#thm-b1-diffeq-homogeneous2) decía justo eso). No ejemplos: $\{f : f(0) = 1\}$ (no contiene el cero), o el grado exactamente $n$ (no estable por la suma).

**Ejemplo 18.5 (Subespacio o no: cuatro veredictos, argumentados).**

En el espacio de las sucesiones reales:

- $\{u : u \text{ acotada}\}$ *sí* es un [subespacio](#def-b1-vspaces-subspace) : $0$ está acotada y, si $\abs{u_n} \leq M$ y $\abs{v_n} \leq M'$ , entonces $\abs{u_n + \lambda v_n} \leq M + \abs\lambda M'$ .
- $\{u : u_n \to 1\}$ *no* lo es: falta la sucesión nula (y la suma de dos miembros tiende a $2$ ).
- $\{u : u \text{ monótona}\}$ *no* lo es: $u_n = n$ y $v_n = -n + (-1)^n$ son monótonas y su suma $(-1)^n$ no lo es; el axioma que falla es la estabilidad por la suma, aunque el [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) contenga a $0$ y todos los múltiplos escalares de sus miembros.
- $\{u : u_{n+1} = u_n^2\}$ *no* lo es: contiene a $0$ , pero $2u$ se escapa en cuanto $u$ es un miembro no nulo ( $2u_{n+1} \neq (2u_n)^2$ en general) — elevar al cuadrado es la no linealidad.

El orden de trabajo es siempre el mismo: pruébese primero el $0$ (lo más barato) y después la estabilidad — y, para refutar, una pareja explícita de contraejemplo gana a cualquier cantidad de dudas.

## 18.2 Subespacio generado, sumas, sumas directas

**Definición 18.6 (Combinaciones lineales, subespacio generado).**

Una *combinación lineal* de la familia $(x_1, \dots, x_p)$ de vectores de $E$ es cualquier $\lambda_1 x_1 + \dots + \lambda_p x_p$ ($\lambda_i \in K$). El [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) de todas ellas es el *subespacio generado* $\operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_p)$: es un [subespacio](#def-b1-vspaces-subspace), el menor que contiene a la familia.

**Demostración de las dos afirmaciones.** Estabilidad: una suma de dos combinaciones lineales $\sum\lambda_i x_i + \sum\mu_i x_i = \sum(\lambda_i + \mu_i)x_i$ vuelve a ser una, y también lo es un múltiplo escalar $\mu\sum\lambda_i x_i = \sum(\mu\lambda_i) x_i$; y la combinación nula muestra que $0$ pertenece: el [subespacio generado](#def-b1-vspaces-span) es un [subespacio](#def-b1-vspaces-subspace). Minimalidad: sea $H$ un [subespacio](#def-b1-vspaces-subspace) cualquiera que contenga a $x_1, \dots, x_p$. Por la estabilidad por escalares, cada $\lambda_i x_i \in H$ y, por la estabilidad por la suma, su suma está en $H$: toda combinación lineal pertenece a $H$, es decir, $\operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_p) \subseteq H$. Así, el [subespacio generado](#def-b1-vspaces-span) está contenido en todo [subespacio](#def-b1-vspaces-subspace) que contenga a la familia: es el menor. ∎

**Definición 18.7 (Suma, suma directa).**

Para [subespacios](#def-b1-vspaces-subspace) $F, G$ de $E$:

$$
F + G = \{\,u + v : u \in F,\ v \in G\,\}
$$

es un [subespacio](#def-b1-vspaces-subspace) (el menor que contiene a $F \cup G$). La suma es *directa*, y se escribe $F \oplus G$, cuando todo elemento de $F + G$ se descompone de forma *única* como $u + v$; equivalentemente (véase más abajo), cuando $F \cap G = \{0\}$. Cuando $E = F \oplus G$, los [subespacios](#def-b1-vspaces-subspace) son *suplementarios* en $E$.

**Ejemplo 18.8 (Una suma de dos rectas).**

En $\R^3$, sean $F = \operatorname{Vect}\bigl((1,0,1)\bigr)$ y $G = \operatorname{Vect}\bigl((0,1,1)\bigr)$. Su suma es

$$
F + G = \{\,a(1,0,1) + b(0,1,1)\,\}
= \{(a,\ b,\ a + b)\} = \{(x, y, z) : z = x + y\},
$$

el plano que pasa por el origen y contiene las dos rectas. Es estrictamente mayor que la unión $F \cup G$ (la mera cruz de las dos rectas): el vector $(1, 1, 2) = (1,0,1) + (0,1,1)$ está en la suma pero en ninguna de las dos rectas. Y $F \cap G = \{0\}$ (un vector común exigiría $a(1,0,1) = b(0,1,1)$, cuyas dos primeras [coordenadas](#prop-b1-vspaces-coordinates) fuerzan $a = b = 0$): la suma es directa, y $F \oplus G$ es exactamente ese plano.

**Proposición 18.9.**

$F + G$ es directa si y solo si $F \cap G = \{0\}$.

**Demostración.** Si algún $w \neq 0$ está en $F \cap G$: $w = w + 0 = 0 + w$ son dos descomposiciones de $w$. Recíprocamente, si $u + v = u' + v'$ con $u, u' \in F$ y $v, v' \in G$, entonces $u - u' = v' - v$ pertenece a $F \cap G = \{0\}$: las descomposiciones son únicas. ∎

**Método 18.10 (Demostrar que E=F⊕GE = F \oplus GE=F⊕G).**

Dos cosas que comprobar, cada una con su apertura estándar.

1. *Intersección trivial.* Tómese $x \in F \cap G$ , escríbanse las dos condiciones de pertenencia y apriétese hasta $x = 0$ . (Nunca se razone con un dibujo: cf. los errores frecuentes de más abajo.)
2. *La suma lo es todo.* Tómese un $x \in E$ arbitrario y *prodúzcase* la descomposición $x = f + g$ — o bien adivinando $f$ a partir del objetivo ( $f$ debe cumplir la propiedad que define $F$ , lo que suele dictar su fórmula), o bien resolviendo el sistema lineal que expresa $x$ frente a generadores de $F$ y de $G$ .

Cuando la fórmula de la descomposición se adivina, la unicidad es automática por el paso 1; y cuando lo único dudoso es la existencia, el trabajo está en el paso 2. Los dos ejemplos de más abajo ejecutan el método: para las funciones pares e impares, la fórmula de $f$ la fuerza evaluar la identidad deseada en $x$ y en $-x$; y para los [polinomios](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) que se anulan en un punto, evaluar en $a$.

**Ejemplo 18.11.**

En $\mathcal{F}(\R, \R)$, las funciones pares $\mathcal{P}$ y las impares $\mathcal{I}$ son suplementarias: toda $f$ se escribe

$$
f(x) = \underbrace{\frac{f(x) + f(-x)}{2}}_{\text{even}}
+ \underbrace{\frac{f(x) - f(-x)}{2}}_{\text{odd}},
$$

y una función a la vez par e impar es nula. (Aplicado a $\exp$, esto es la pareja $(\cosh, \sinh)$ del [Capítulo 4](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/4-funciones-usuales#ch-b1-functions).)

**Ejemplo 18.12 (Una pareja suplementaria en Kn[X]K_n[X]Kn​[X]).**

Fíjese $a \in K$ y póngase $F = \{P \in K_n[X] : P(a) = 0\}$, $G = \operatorname{Vect}(1)$ (las constantes). Entonces $K_n[X] = F \oplus G$. En efecto, $F \cap G$ consta de las constantes que se anulan en $a$, es decir, $\{0\}$; y todo $P$ se descompone como

$$
P = \underbrace{\bigl(P - P(a)\bigr)}_{\in F}
+ \underbrace{P(a)}_{\in G} .
$$

La descomposición merece memorizarse: restar el valor en un punto es la forma estándar de proyectar sobre las «funciones que se anulan en $a$». Nótese que $F$ es un [subespacio](#def-b1-vspaces-subspace) grande y $G$ uno pequeño; una pareja de [suplementarios](#def-b1-vspaces-sum) no tiene por qué estar equilibrada en ningún sentido.

**Ejemplo 18.13 (Un subespacio suplementario nunca es único).**

En $\R^2$, sea $F = \operatorname{Vect}\bigl((1,0)\bigr)$ (el eje $x$). Tanto $G = \operatorname{Vect}\bigl((0,1)\bigr)$ como $G' = \operatorname{Vect}\bigl((1,1)\bigr)$ son [suplementarios](#def-b1-vspaces-sum) de $F$: cada uno corta a $F$ solo en $0$, y cada pareja suma $\R^2$. Las descomposiciones de un mismo vector difieren:

$$
(2,\ 1.5) = \underbrace{(2, 0)}_{\in F} +
\underbrace{(0, 1.5)}_{\in G}
= \underbrace{(0.5,\ 0)}_{\in F} +
\underbrace{(1.5,\ 1.5)}_{\in G'} .
$$

De hecho, *toda* recta distinta del propio $F$ es un [suplementario](#def-b1-vspaces-sum) de $F$ en $\R^2$: los [suplementarios](#def-b1-vspaces-sum) abundan, y hablar de «el» [suplementario](#def-b1-vspaces-sum) no significa nada mientras una estructura adicional (un producto escalar, [Capítulo 23](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/23-espacios-euclideos#ch-b1-euclid)) no señale a uno.

![Dos descomposiciones de un mismo punto de ℝ2 a lo largo de F (el eje x): con el suplementario G (caída vertical) y con el suplementario G' (caída oblicua). Las componentes en F difieren: una proyección depende de la dirección del descenso.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-vspaces/fig-0062614d6c02.svg)

*Dos descomposiciones de un mismo punto de $\R^2$ a lo largo de $F$ (el eje $x$): con el [suplementario](#def-b1-vspaces-sum) $G$ (caída vertical) y con el [suplementario](#def-b1-vspaces-sum) $G'$ (caída oblicua). Las componentes en $F$ difieren: una proyección depende de la dirección del descenso.*

## 18.3 Familias libres, familias generadoras, bases

**Definición 18.14.**

Una familia $(x_1, \dots, x_p)$ de vectores de $E$ es:

- *generadora* (de $E$ ) cuando $\operatorname{Vect}(x_1,\dots,x_p) = E$ ;
- *libre* (sus vectores son *linealmente independientes*) cuando $$\lambda_1 x_1 + \dots + \lambda_p x_p = 0  \implies \lambda_1 = \dots = \lambda_p = 0 ;$$ y en caso contrario, *ligada*;
- una *base* cuando es libre y generadora.

**Proposición 18.15 (Coordenadas).**

$(e_1, \dots, e_n)$ es una [base](#def-b1-vspaces-free) de $E$ si y solo si todo $x \in E$ es de forma *única* una combinación $x = \lambda_1 e_1 + \dots + \lambda_n e_n$; los escalares $\lambda_i$ son las *coordenadas* de $x$ en la [base](#def-b1-vspaces-free).

**Demostración.** Generadora $=$ existencia de la descomposición. Unicidad $=$ ser [libre](#def-b1-vspaces-free): dos descomposiciones de un mismo $x$ difieren en una combinación igual a $0$; y ser [libre](#def-b1-vspaces-free) obliga a que se anulen todos sus coeficientes — las diferencias de [coordenadas](#prop-b1-vspaces-coordinates). Recíprocamente, una combinación nula no trivial da las dos descomposiciones $0 = \sum \lambda_i e_i = \sum 0\,e_i$. ∎

**Ejemplo 18.16.**

La *[base](#def-b1-vspaces-free) canónica* de $K^n$: $e_i = (0, \dots, 1, \dots, 0)$ ($1$ en el lugar $i$). Los monomios $(1, X, X^2, \dots, X^n)$: una [base](#def-b1-vspaces-free) de $K_n[X]$ (es [libre](#def-b1-vspaces-free): una combinación nula es el [polinomio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) nulo, luego todos los coeficientes se anulan, [Definición 8.1](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def)). En $\C$ sobre $\R$: la base $(1, \iu)$.

**Observación 18.17 (Las coordenadas son un trabajo de equipo).**

La primera coordenada de $x$ en una base $(e_1, \dots, e_n)$ depende de *todos* los vectores de la [base](#def-b1-vspaces-free), no solo de $e_1$. En $\R^2$: el vector $(3, 1)$ tiene primera coordenada $3$ en la [base](#def-b1-vspaces-free) canónica, pero primera coordenada $2$ en la base $\bigl((1,0), (1,1)\bigr)$ — resuélvase $(3,1) = a(1,0) + b(1,1)$: $b = 1$, $a = 2$. Cambiar un vector de la [base](#def-b1-vspaces-free) baraja de nuevo *todas* las [coordenadas](#prop-b1-vspaces-coordinates); el [Capítulo 21](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/21-matrices#ch-b1-matrices) empaquetará ese barajado en la matriz de cambio de [base](#def-b1-vspaces-free).

**Ejemplo 18.18 (Comprobar una base candidata, de principio a fin).**

¿Es $\mathcal{F} = (1 + X,\ 1 + X^2,\ X + X^2)$ una [base](#def-b1-vspaces-free) de $\R_2[X]$? Escríbanse $u_1, u_2, u_3$ para los tres [polinomios](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def). *Es [libre](#def-b1-vspaces-free)*: una combinación nula $a\,u_1 + b\,u_2 + c\,u_3 = 0$ da, coeficiente a coeficiente,

$$
a + b = 0, \qquad a + c = 0, \qquad b + c = 0 ;
$$

restando las dos primeras, $b = c$, y la tercera da $2b = 0$: $a = b = c = 0$, [libre](#def-b1-vspaces-free). *Generadora*: en lugar de resolver tres sistemas, obsérvese la combinación simétrica

$$
u_1 + u_2 - u_3 = (1 + X) + (1 + X^2) - (X + X^2) = 2 ,
$$

luego $1 = \frac12(u_1 + u_2 - u_3)$; y entonces

$$
X = u_1 - 1 = \tfrac12\bigl(u_1 - u_2 + u_3\bigr),
\qquad
X^2 = u_2 - 1 = \tfrac12\bigl(-u_1 + u_2 + u_3\bigr).
$$

Los monomios están en el [subespacio generado](#def-b1-vspaces-span), luego todo lo está: $\mathcal{F}$ es una [base](#def-b1-vspaces-free). Como propina, juntando las tres fórmulas se obtienen las [coordenadas](#prop-b1-vspaces-coordinates) de cualquier $P = \alpha + \beta X + \gamma X^2$:

$$
P = \frac{\alpha + \beta - \gamma}{2}\,u_1
+ \frac{\alpha - \beta + \gamma}{2}\,u_2
+ \frac{-\alpha + \beta + \gamma}{2}\,u_3 .
$$

(Comprobación con $P = X$: [coordenadas](#prop-b1-vspaces-coordinates) $\bigl(\frac12, -\frac12, \frac12\bigr)$, como se halló antes.) Dos lecciones: la simetría de una familia suele esconder una combinación atajo; y en cuanto se disponga de la dimensión ([Capítulo 19](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/19-dimension-finita#ch-b1-findim)), toda la mitad generadora de este trabajo saldrá gratis — tres vectores [libres](#def-b1-vspaces-free) de un espacio de dimensión $3$ siempre forman una [base](#def-b1-vspaces-free).

**Proposición 18.19 (Criterios útiles de libertad).**

1. Una familia de *[polinomios](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) no nulos de grados distintos dos a dos* es [libre](#def-b1-vspaces-free) .
2. Añadir un vector a una [familia libre](#def-b1-vspaces-free) la mantiene [libre](#def-b1-vspaces-free) si y solo si el vector está fuera del [subespacio generado](#def-b1-vspaces-span) por la familia.
3. Toda subfamilia de una [familia libre](#def-b1-vspaces-free) es [libre](#def-b1-vspaces-free) ; y toda familia que contenga a una familia generadora es generadora.

**Demostración.** (1) En una combinación nula, mírese el mayor grado presente: su coeficiente tiene que anularse (nada cancela ese grado), y se desciende en cascada.

(2) Si $x \in \operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_p)$, la relación $x - \sum\lambda_i x_i = 0$ es no trivial. Recíprocamente, una combinación nula no trivial de $(x_1, \dots, x_p, x)$ tiene que involucrar a $x$ con coeficiente no nulo (si no, contradiría que la familia pequeña es [libre](#def-b1-vspaces-free)), y despejar $x$ lo mete en el [subespacio generado](#def-b1-vspaces-span).

(3) Subfamilia: una combinación nula de la subfamilia es una de la familia entera con los coeficientes que faltan puestos a $0$; y ser [libre](#def-b1-vspaces-free) la familia grande los mata todos. Superfamilia: todo vector de $E$ ya es combinación de la parte generadora; dese coeficiente $0$ a los vectores extra. ∎

**Ejemplo 18.20 (El principio de la escalera).**

Sean $P_0, P_1, \dots, P_n \in K_n[X]$ con $\deg P_k = k$ para cada $k$ (una «escalera» de grados). Entonces $(P_0, \dots, P_n)$ es una [base](#def-b1-vspaces-free) de $K_n[X]$. Que es [libre](#def-b1-vspaces-free) lo da la [Proposición 18.19](#prop-b1-vspaces-freecriteria) (1). Para la propiedad generadora, razónese por descenso finito sobre el grado: sea $Q \in K_n[X]$, $Q \neq 0$, de grado $d$ y con coeficiente director $a$, y sea $b \neq 0$ el coeficiente director de $P_d$. Entonces $Q - \frac ab P_d$ tiene grado $< d$ (los términos de cabeza se cancelan); sustituyendo $Q$ por esa diferencia e iterando, tras a lo sumo $n + 1$ pasos se llega al [polinomio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) nulo, y deshaciendo las restas se expresa $Q$ como combinación de los $P_k$. Dos escaleras ya encontradas: las potencias desplazadas $\bigl((X-a)^k\bigr)_{0 \leq k \leq n}$ ([Ejercicio 18.4](#exo-b1-vspaces-4)) y los productos de Newton $\bigl((X - x_0)(X - x_1)\cdots(X - x_{k-1})\bigr)_{0 \leq k \leq n}$, puestos a trabajar en el problema del fin de semana.

**Ejemplo 18.21 (Libertad en espacios de funciones).**

En $\mathcal{F}(\R,\R)$, la familia $(\eu^{a_1 x}, \dots, \eu^{a_p x})$ con $a_1 < \dots < a_p$ es [libre](#def-b1-vspaces-free): divídase una combinación nula por $\eu^{a_p x}$ y hágase $x \to +\infty$; el último coeficiente muere y se desciende en cascada (el [Ejercicio 18.8](#exo-b1-vspaces-8) detalla esto y sus variantes). La libertad de funciones se demuestra *evaluando*: en puntos bien elegidos, en el infinito o tras derivar.

**Ejemplo 18.22 (Una relación oculta encoge un subespacio generado).**

En $\mathcal{F}(\R, \R)$, ¿qué es $\operatorname{Vect}(1,\ \cos^2,\ \sin^2)$? La identidad $\cos^2 + \sin^2 = 1$ es una combinación nula no trivial

$$
1\cdot\mathbf{1} + (-1)\cos^2 + (-1)\sin^2 = 0 :
$$

la familia es ligada, y el [subespacio generado](#def-b1-vspaces-span) ya lo genera $(1, \cos^2)$ por sí sola ($\sin^2 = 1 - \cos^2$). Y esa familia menor es [libre](#def-b1-vspaces-free): $a + b\cos^2 x = 0$ para todo $x$ da, en $x = 0$ y $x = \frac\pi2$: $a + b = 0$ y $a = 0$. Así, el [subespacio generado](#def-b1-vspaces-span) es un *plano* dentro del espacio de funciones — y también contiene a $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$: las familias de funciones trigonométricas de aspecto lineal se derrumban rutinariamente bajo las identidades, y por eso la libertad hay que *demostrarla*, nunca suponerla por la longitud de la lista.

**Observación 18.23 (Errores frecuentes).**

Cuatro trampas clásicas. *Dos a dos no basta*: en $\R^2$, los vectores $(1,0)$, $(0,1)$, $(1,1)$ no son proporcionales dos a dos y, aun así, son ligados — la libertad es una propiedad de la familia *entera*, que se comprueba con una sola combinación global, nunca de dos en dos. *El vector nulo lo envenena todo*: toda familia que contenga a $0$ es ligada ($1\cdot 0 = 0$ es una relación no trivial), por inocentes que sean los demás vectores. *Unión no es suma*: $F \cup G$ casi nunca es un [subespacio](#def-b1-vspaces-subspace) ([Definición 18.3](#def-b1-vspaces-subspace)); el menor [subespacio](#def-b1-vspaces-subspace) que contiene a los dos es $F + G$, normalmente mucho mayor que la unión — en $\R^2$, dos rectas distintas tienen por unión una cruz y por suma todo el plano. *Directa exige intersección trivial, no disjunción*: dos [subespacios](#def-b1-vspaces-subspace) nunca son disjuntos (los dos contienen a $0$); la condición correcta es $F \cap G = \{0\}$, y hay que *demostrarla*, no leerla en un dibujo — cf. el [Ejemplo 18.13](#ex-b1-vspaces-manysupplements), donde funcionan muchos $G$ distintos. *La libertad depende de los escalares*: la pareja $(1, \iu)$ es [libre](#def-b1-vspaces-free) en $\C$ visto como [espacio vectorial](#def-b1-vspaces-def) sobre $\R$, pero ligada en $\C$ visto como [espacio vectorial](#def-b1-vspaces-def) sobre $\C$ ($\iu\cdot 1 + (-1)\cdot\iu = 0$). Sépase siempre qué [cuerpo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/7-estructuras-algebraicas#def-b1-structures-field) actúa antes de declarar [libre](#def-b1-vspaces-free) una familia — el problema del fin de semana del [Capítulo 19](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/19-dimension-finita#ch-b1-findim) convierte justo esta sensibilidad en demostraciones de irracionalidad.

**Observación 18.24 (Adónde va este lenguaje).**

Todo lo posterior a este capítulo habla el lenguaje establecido aquí. [Capítulo 19](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/19-dimension-finita#ch-b1-findim) cuenta vectores de una [base](#def-b1-vspaces-free) y convierte «[libre](#def-b1-vspaces-free)» y «generadora» en desigualdades sobre un único entero, la dimensión. [Capítulo 20](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/20-aplicaciones-lineales#ch-b1-linmaps) estudia las aplicaciones compatibles con las dos operaciones; y allí las [sumas directas](#def-b1-vspaces-sum) pasan a ser proyectores. [Capítulo 21](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/21-matrices#ch-b1-matrices) codifica los vectores por sus [coordenadas](#prop-b1-vspaces-coordinates) en una [base](#def-b1-vspaces-free) —la [Proposición 18.15](#prop-b1-vspaces-coordinates) es la licencia para esa codificación— y el [Capítulo 23](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/23-espacios-euclideos#ch-b1-euclid) añade longitudes y ángulos encima de la estructura lineal. En el volumen del segundo año, los mismos axiomas, palabra por palabra, corren sobre [cuerpos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/7-estructuras-algebraicas#def-b1-structures-field) arbitrarios y en dimensión infinita; nada de este capítulo ha usado la finitud en ningún sitio.

**Observación 18.25 (Tres hilos que seguir a lo largo del libro 3).**

Obsérvese crecer tres ideas concretas de este capítulo. *El principio de la escalera* ([Ejemplo 18.20](#ex-b1-vspaces-staircase)) reaparece como la [base](#def-b1-vspaces-free) de Newton en el problema del fin de semana de este capítulo, como la [base](#def-b1-vspaces-free) binomial $(B_k)$ de ahí mismo y como el truco del alternante polinómico del problema del fin de semana del [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/22-determinantes-y-sistemas-lineales#ch-b1-det): un lema, tres dividendos sin determinantes. *La evaluación como test de libertad* ([Ejemplo 18.21](#ex-b1-vspaces-functionfree)) se convierte en el isomorfismo de interpolación del [Capítulo 20](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/20-aplicaciones-lineales#ch-b1-linmaps), después en el criterio de Vandermonde del [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/22-determinantes-y-sistemas-lineales#ch-b1-det) y después en el test de Gram del [Capítulo 23](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/23-espacios-euclideos#ch-b1-euclid): el mismo reflejo, afilado tres veces. *Las [sumas directas](#def-b1-vspaces-sum)* ([Definición 18.7](#def-b1-vspaces-sum)) se convierten en proyectores en el [Capítulo 20](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/20-aplicaciones-lineales#ch-b1-linmaps), en descomposiciones ortogonales $E = F \oplus F^\perp$ en el [Capítulo 23](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/23-espacios-euclideos#ch-b1-euclid) y en la descomposición explicado-más-residuo de los mínimos cuadrados en el problema del fin de semana del [Capítulo 25](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/25-funciones-de-dos-variables#ch-b1-multivar). Muy poco de este libro no es, en el fondo, una de estas tres ideas con ropa nueva.

## 18.4 Ejercicios

**Ejercicio 18.1 ★.**

¿Cuáles de los siguientes son [subespacios](#def-b1-vspaces-subspace)?

1. $\{(x, y, z) \in \R^3 : x + 2y - z = 0\}$ ;
2. $\{(x, y, z) \in \R^3 : x + 2y - z = 1\}$ ;
3. $\{(x, y) \in \R^2 : xy \geq 0\}$ ;
4. $\{P \in \R[X] : P(1) = 0\}$ ;
5. $\{f \in \mathcal{F}(\R,\R) : f \text{ acotada}\}$ .

**Solución de Ejercicio 18.1.**

1. Sí: contiene a $0$ y la ecuación que lo define es lineal (estable por $x + \lambda y$ ).
2. No: no contiene a $(0,0,0)$ .
3. No: $(1, 0)$ y $(0, -1)$ pertenecen ( $xy = 0$ ) y su suma $(1, -1)$ no ( $xy = -1 < 0$ ).
4. Sí: $0$ se anula en $1$ ; y $(P + \lambda Q)(1) = P(1) + \lambda Q(1) = 0$ .
5. Sí: la función nula está acotada; y si $\abs f \leq M$ y $\abs g \leq M'$ , entonces $\abs{f + \lambda g} \leq M + \abs\lambda M'$ .

**Ejercicio 18.2 ★.**

En $\R^3$, ¿está $(1, 2, 1)$ en $\operatorname{Vect}\bigl((1,0,1),\, (1,1,0)\bigr)$? ¿Y $(2, 1, 1)$? Descríbase $\operatorname{Vect}\bigl((1,0,1),(1,1,0)\bigr)$ mediante una ecuación.

**Solución de Ejercicio 18.2.**

$(1,2,1) = a(1,0,1) + b(1,1,0)$ exige $a + b = 1$, $b = 2$, $a = 1$: incompatible ($a + b = 3 \neq 1$): no está en el [subespacio generado](#def-b1-vspaces-span). $(2,1,1) = a(1,0,1) + b(1,1,0)$: $b = 1$, $a = 1$, $a + b = 2$: compatible, luego $(2,1,1) = (1,0,1) + (1,1,0)$, sí está en el [subespacio generado](#def-b1-vspaces-span).

Ecuación: $(x, y, z) = (a + b, b, a)$ significa $x = y + z$: el [subespacio generado](#def-b1-vspaces-span) es el plano $\{x - y - z = 0\}$.

**Ejercicio 18.3 ★.**

Decídase la libertad en $\R^3$: $\;\bigl((1,1,0), (1,0,1),
(0,1,1)\bigr)$; $\;\bigl((1,2,3), (2,4,6)\bigr)$; $\;\bigl((1,0,0), (1,1,0), (1,1,1), (0,1,1)\bigr)$.

**Solución de Ejercicio 18.3.**

Primera familia: $\lambda(1,1,0) + \mu(1,0,1) + \nu(0,1,1) = 0$ da $\lambda + \mu = 0$, $\lambda + \nu = 0$, $\mu + \nu = 0$: sumando, $2(\lambda + \mu + \nu) = 0$ y, restando cada ecuación, $\lambda = \mu = \nu = 0$: [libre](#def-b1-vspaces-free).

Segunda: $(2,4,6) = 2(1,2,3)$: ligada.

Tercera: cuatro vectores en $\R^3$ — necesariamente ligados en cuanto se disponga de la dimensión ([Capítulo 19](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/19-dimension-finita#ch-b1-findim)); directamente: $(0,1,1) = -(1,0,0) + 0\cdot(1,1,0) + (1,1,1)$, pues en efecto $(-1,0,0) + (1,1,1) = (0,1,1)$: una relación no trivial.

**Ejercicio 18.4 ★.**

Demuéstrese que $(1, X - 1, (X-1)^2, (X-1)^3)$ es una [base](#def-b1-vspaces-free) de $\R_3[X]$, y dense las [coordenadas](#prop-b1-vspaces-coordinates) de $X^3$ en ella. *(¡Taylor en $1$!)*

**Solución de Ejercicio 18.4.**

Los [polinomios](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) $1, (X-1), (X-1)^2, (X-1)^3$ tienen grados distintos $0, 1, 2, 3$: [libres](#def-b1-vspaces-free) ([Proposición 18.19](#prop-b1-vspaces-freecriteria) (1)); y son cuatro vectores [libres](#def-b1-vspaces-free) y generadores (todo $P \in \R_3[X]$ se desarrolla en potencias de $X - 1$, por ejemplo por Taylor para [polinomios](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def), cf. la demostración de la [Proposición 8.11](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#prop-b1-poly-multiplicity)): una [base](#def-b1-vspaces-free). Para $X^3$, Taylor en $1$: $P = X^3$, $P(1) = 1$, $P'(1) = 3$, $P''(1) = 6$, $P'''(1) = 6$:

$$
X^3 = 1 + 3(X - 1) + 3(X-1)^2 + (X-1)^3 ,
$$

[coordenadas](#prop-b1-vspaces-coordinates) $(1, 3, 3, 1)$ (la fila de Pascal, como cabía esperar de $X^3 = ((X-1)+1)^3$).

**Ejercicio 18.5 ★★.**

En $\R^4$, sean $F = \{(x,y,z,t) : x = y = z\}$ y $G = \{(x,y,z,t) : x = t = 0\}$. Demuéstrese que $F \oplus G = \R^4$ y descompóngase $(1,2,3,4)$ en consecuencia.

**Solución de Ejercicio 18.5.**

$F \cap G$: las condiciones $x = y = z$ y $x = t = 0$ juntas dan $x = 0$, luego $y = z = 0$, y $t = 0$: la intersección es $\{0\}$. Suma: dado $(x,y,z,t)$, búsquense $(a,a,a,b) \in F$ y $(0,c,d,0) \in G$ que sumen ese vector: $a = x$, $b = t$, $c = y - x$, $d = z - x$: siempre es posible. Luego $\R^4 = F \oplus G$, y

$$
(1,2,3,4) = (1,1,1,4) + (0,1,2,0) .
$$

**Ejercicio 18.6 ★★.**

En el espacio de las sucesiones, sea $F$ el [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) de las sucesiones convergentes y $G = \operatorname{Vect}(u)$ con $u_n = (-1)^n$. Demuéstrese que $F \cap G = \{0\}$. ¿Es $F + G$ todo el espacio de las sucesiones?

**Solución de Ejercicio 18.6.**

Un elemento de $G$ es $\lambda u$; si converge, entonces (dado que $\lambda u_n = \lambda(-1)^n$ tiene los dos límites de subsucesiones $\pm \lambda$) necesariamente $\lambda = 0$: $F \cap G = \{0\}$.

$F + G$ no lo es todo: consta de las sucesiones de la forma $c_n + \lambda(-1)^n$ con $(c_n)$ convergente. La sucesión $v_n = n$ no es de esa forma ($v_n - \lambda(-1)^n$ no está acotada, luego nunca converge). Así, $F \oplus G \subsetneq$ (espacio de todas las sucesiones).

**Ejercicio 18.7 ★★.**

Sean $F, G, H$ [subespacios](#def-b1-vspaces-subspace) de $E$. Demuéstrese que

$$
F \cap (G + (F \cap H)) = (F \cap G) + (F \cap H),
$$

y véase con un ejemplo en $\R^2$ que la distributividad sin restricciones $F \cap (G + H) = (F\cap G) + (F \cap H)$ falla.

**Solución de Ejercicio 18.7.**

($\supseteq$) Tanto $F \cap G$ como $F \cap H$ están en $F$, y su suma está en $G + (F \cap H)$: la inclusión se sigue porque el miembro izquierdo es un [subespacio](#def-b1-vspaces-subspace) que contiene las dos piezas — concretamente, un elemento $g + h$ con $g \in F\cap G$ y $h \in F \cap H$ está en $F$ (suma de dos elementos de $F$) y en $G + (F \cap H)$.

($\subseteq$) Sea $x \in F$ con $x = g + h$, $g \in G$, $h \in F \cap H$. Entonces $g = x - h \in F$ (diferencia de elementos de $F$), luego $g \in F \cap G$ y $x = g + h \in (F \cap G) + (F \cap H)$.

Contraejemplo para la distributividad completa en $\R^2$: $F = \operatorname{Vect}(1,1)$, $G = \operatorname{Vect}(1,0)$, $H = \operatorname{Vect}(0,1)$. Entonces $G + H = \R^2$, luego $F \cap (G+H) = F$, mientras que $F \cap G = F \cap H = \{0\}$: el miembro derecho es $\{0\} \neq F$.

**Ejercicio 18.8 ★★★.**

Demuéstrese que las siguientes familias de $\mathcal{F}(\R, \R)$ son [libres](#def-b1-vspaces-free):

1. $(\eu^{a_1 x}, \dots, \eu^{a_p x})$ para $a_1 < \dots < a_p$ ;
2. $(\cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x)$ ;
3. $(x \mapsto \abs{x - a_1}, \dots, x \mapsto \abs{x - a_p})$ para $a_i$ distintos *(la [derivabilidad](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/14-derivacion#def-b1-derivative-def) falla en exactamente un punto por función)* .

**Solución de Ejercicio 18.8.**

1. Supóngase $\sum_{i} \lambda_i \eu^{a_i x} = 0$ para todo $x$ . Multiplíquese por $\eu^{-a_p x}$ : $\lambda_p +  \sum_{i < p} \lambda_i \eu^{(a_i - a_p)x} \to \lambda_p$ cuando $x \to +\infty$ (cada exponente $a_i - a_p < 0$ ). El miembro izquierdo es idénticamente $0$ , luego $\lambda_p = 0$ ; e itérese hacia abajo.
2. Sea $a\cos x + b \sin x + c \cos 2x + d\sin 2x = 0$ para todo $x$ . Evalúese en $x = 0$ : $a + c = 0$ ; en $x = \pi$ : $-a + c = 0$ ; luego $a = c = 0$ , y la relación se reduce a $b\sin x + d \sin 2x = 0$ . Evalúese en $x = \frac\pi2$ : $b = 0$ ; y después en $x = \frac\pi4$ : $d = 0$ .
3. Supóngase $\sum \lambda_i \abs{x - a_i} = 0$ para todo $x$ . La función $\sum_{i \neq j} \lambda_i\abs{x - a_i}$ es [derivable](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/14-derivacion#def-b1-derivative-def) en $a_j$ (cada término lo es, lejos de su propio pico), luego $-\lambda_j \abs{x - a_j}$ , que es su diferencia, también tiene que ser [derivable](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/14-derivacion#def-b1-derivative-def) en $a_j$ — lo que fuerza $\lambda_j = 0$ ( $\abs{\,\cdot\,}$ tiene un pico). Y esto vale para todo $j$ .

**Ejercicio 18.9 ★★★.**

Sea $E$ un $K$-espacio vectorial y sean $F, G, H$ [subespacios](#def-b1-vspaces-subspace) con $F + G = F + H$, $F \cap G = F \cap H$ y $G \subseteq H$. Demuéstrese que $G = H$. Dese un contraejemplo sin la hipótesis $G \subseteq H$.

**Solución de Ejercicio 18.9.**

Sea $h \in H$. Como $h \in H \subseteq F + H = F + G$, escríbase $h = f + g$ con $f \in F$, $g \in G$. Entonces $f = h - g \in H$ (los dos términos están en $H$, usando $G \subseteq H$), luego $f \in F \cap H = F \cap G \subseteq G$, y $h = f + g \in G$. Por tanto, $H \subseteq G$ y, con la hipótesis $G \subseteq H$: igualdad.

Contraejemplo sin $G \subseteq H$: en $\R^2$, tómense $F = \operatorname{Vect}(1,0)$, $G = \operatorname{Vect}(0,1)$, $H = \operatorname{Vect}(1,1)$: entonces $F + G = F + H = \R^2$ y $F \cap G = F \cap H = \{0\}$ y, sin embargo, $G \neq H$.

**Ejercicio 18.10 ★★.**

En $\R[X]$, sea $\mathcal P$ el [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) de los [polinomios](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) *pares* ($P(-X) = P(X)$) y $\mathcal I$ el [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) de los *impares* ($P(-X) = -P(X)$). Demuéstrese que $\R[X] = \mathcal P \oplus \mathcal I$ y véase que $\mathcal P = \operatorname{Vect}(1, X^2, X^4, \dots)$, es decir, que los [polinomios](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) pares son exactamente los [polinomios](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) en $X^2$.

**Solución de Ejercicio 18.10.**

Los dos [conjuntos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) son [subespacios](#def-b1-vspaces-subspace) (las condiciones que los definen son lineales y valen para $0$). Descomposición: para $P \in \R[X]$,

$$
P(X) = \underbrace{\frac{P(X) + P(-X)}{2}}_{\in\,\mathcal P}
+ \underbrace{\frac{P(X) - P(-X)}{2}}_{\in\,\mathcal I},
$$

y un [polinomio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) a la vez par e impar cumple $P = -P$, luego $P = 0$: la suma es directa y vale $\R[X]$.

Sea ahora $P = \sum_k a_k X^k$ par. Entonces $P(X) - P(-X) = 2 \sum_{k \text{ impar}} a_k X^k$ es el [polinomio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) nulo, de modo que todos los coeficientes de grado impar se anulan ([Definición 8.1](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def)): $P \in \operatorname{Vect}(1, X^2, X^4,
\dots)$, es decir, $P = Q(X^2)$ para cierto [polinomio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) $Q$. Recíprocamente, todo [polinomio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) en $X^2$ es par.

**Ejercicio 18.11 ★★.**

Sea $(x_1, x_2, x_3)$ una [familia libre](#def-b1-vspaces-free) de un [espacio vectorial](#def-b1-vspaces-def) real $E$. Demuéstrese que $(x_1 + x_2,\ x_2 + x_3,\ x_3 + x_1)$ es [libre](#def-b1-vspaces-free). ¿Es [libre](#def-b1-vspaces-free) la familia análoga de cuatro vectores $(x_1 + x_2,\ x_2 + x_3,\ x_3 + x_4,\ x_4 + x_1)$ cuando $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ lo es?

**Solución de Ejercicio 18.11.**

Supóngase $a(x_1 + x_2) + b(x_2 + x_3) + c(x_3 + x_1) = 0$. Reagrupando sobre la [familia libre](#def-b1-vspaces-free) $(x_1, x_2, x_3)$:

$$
(a + c)\,x_1 + (a + b)\,x_2 + (b + c)\,x_3 = 0
\implies a + c = a + b = b + c = 0 .
$$

Restando las dos primeras ecuaciones se obtiene $c = b$; la tercera da entonces $2b = 0$, luego $b = c = 0$ y después $a = 0$: la familia es [libre](#def-b1-vspaces-free).

Para cuatro vectores, la familia análoga es *siempre* ligada:

$$
(x_1 + x_2) - (x_2 + x_3) + (x_3 + x_4) - (x_4 + x_1) = 0
$$

es una combinación nula no trivial (coeficientes $1, -1, 1, -1$), sea cual sea $(x_1, x_2, x_3, x_4)$. Lo decide la paridad de la longitud del ciclo.

**Ejercicio 18.12 ★★★.**

Sea $E$ un [espacio vectorial](#def-b1-vspaces-def) sobre $\R$ (o $\C$) y sean $F_1, \dots, F_k$ [subespacios](#def-b1-vspaces-subspace) *propios* de $E$ (cada $F_i \neq E$).

1. Trátese el caso $k = 2$ directamente: si $F_1 \not\subseteq F_2$ y $F_2 \not\subseteq F_1$ , tómense $x \in F_1 \setminus F_2$ e $y \in F_2 \setminus F_1$ y localícese $x + y$ .
2. Demuéstrese en general que $E \neq F_1 \cup \dots \cup F_k$ : un [espacio vectorial](#def-b1-vspaces-def) sobre un [cuerpo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/7-estructuras-algebraicas#def-b1-structures-field) infinito nunca es unión finita de [subespacios](#def-b1-vspaces-subspace) propios. *(Tómese $k$ mínimo, tómese $x \in F_1$ fuera de los demás $F_i$, tómese $y \notin F_1$ y síguase la recta $t \mapsto y + tx$.)*

**Solución de Ejercicio 18.12.**

1. Si $F_1 \subseteq F_2$ o $F_2 \subseteq F_1$ , la unión es uno de los dos y, por tanto, es propia. En caso contrario, tómense $x \in F_1 \setminus F_2$ e $y \in F_2 \setminus F_1$ y considérese $x + y$ . Si $x + y \in F_1$ , entonces $y = (x + y) - x \in F_1$ : contradicción. Si $x + y \in F_2$ , entonces $x \in F_2$ : contradicción. Luego $x + y \notin F_1 \cup F_2$ y $E \neq F_1 \cup F_2$ .
2. Supóngase por reducción al absurdo que $E = F_1 \cup \dots \cup F_k$ , con $k$ elegido *mínimo* entre todos esos recubrimientos. La minimalidad prohíbe $F_1 \subseteq F_2 \cup \dots \cup F_k$ (si no, quítese $F_1$ ), luego hay $x \in F_1$ con $x \notin F_i$ para todo $i \geq 2$ . Como $F_1$ es propio, tómese $y \notin F_1$ . Para cada escalar $t$ , el vector $y + t x$ está en algún $F_i$ . Y nunca está en $F_1$ : si no, $y = (y + tx) - tx \in F_1$ (pues $x \in F_1$ ). El [cuerpo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/7-estructuras-algebraicas#def-b1-structures-field) es infinito, así que elíjanse $k$ escalares distintos $t_1, \dots, t_k$ : los $k$ vectores $y + t_j x$ caen en los $k - 1$ [subespacios](#def-b1-vspaces-subspace) $F_2, \dots, F_k$ , y dos de ellos, digamos $y + t x$ e $y + t' x$ con $t \neq t'$ , están en el mismo $F_i$ ( $i \geq 2$ ). Entonces su diferencia $(t - t')x \in F_i$ , luego $x \in F_i$ : contradicción. Por tanto, no existe ningún recubrimiento finito por [subespacios](#def-b1-vspaces-subspace) propios.

## 18.5 Problema: interpolación, tres bases para un mismo espacio

**Problema 18.1.**

Fíjense $n + 1$ puntos *distintos* $x_0, x_1, \dots, x_n$ de $\R$. Este problema revisita la [interpolación de Lagrange](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#thm-b1-poly-lagrange) ([Teorema 8.23](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#thm-b1-poly-lagrange)) con los ojos de este capítulo: el espacio $\R_n[X]$ lleva tres [bases](#def-b1-vspaces-free) naturales —la de Lagrange, la de Newton y (para puntos equiespaciados) la [base](#def-b1-vspaces-free) binomial— y cada [base](#def-b1-vspaces-free) vuelve fácil una pregunta distinta. El camino acaba en un teorema aritmético genuino: la caracterización de Pólya de los [polinomios](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) que llevan $\Z$ dentro de $\Z$.

**Parte I — La [base](#def-b1-vspaces-free) de Lagrange.** Para $0 \leq i \leq n$, póngase

$$
L_i \;=\; \prod_{j \neq i} \frac{X - x_j}{x_i - x_j} \;\in\;
\R_n[X].
$$

1. Compruébese que $\deg L_i = n$ y que $L_i(x_j) = 1$ si $j = i$ , y $0$ si $j \neq i$ .
2. Demuéstrese que la familia $(L_0, \dots, L_n)$ es [libre](#def-b1-vspaces-free) .
3. Demuéstrese que para todo $P \in \R_n[X]$, $$P \;=\; \sum_{i=0}^{n} P(x_i)\, L_i ,$$ y conclúyase que $(L_0, \dots, L_n)$ es una [base](#def-b1-vspaces-free) de $\R_n[X]$. *(Considérese la diferencia de los dos miembros y cuéntense sus raíces, [Corolario 8.8](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#cor-b1-poly-nroots).)*
4. Dedúzcase el teorema de interpolación: para cualesquiera valores $y_0, \dots, y_n \in \R$ existe un *único* $P \in \R_n[X]$ con $P(x_i) = y_i$ para todo $i$ . En la [base](#def-b1-vspaces-free) de Lagrange, ¿cuáles son las [coordenadas](#prop-b1-vspaces-coordinates) de un [polinomio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) $P$ ?
5. Demuéstrense las identidades $$\sum_{i=0}^{n} L_i = 1  \qquad\text{y, para } 0 \leq k \leq n,\qquad  \sum_{i=0}^{n} x_i^{k}\, L_i = X^{k} .$$

**Parte II — La [base](#def-b1-vspaces-free) de Newton y las [diferencias divididas](#pb-b1-vspaces-1).** Póngase $N_0 = 1$ y $N_k = (X - x_0)(X - x_1) \cdots (X - x_{k-1})$ para $1 \leq k \leq n$. Para una función $f$ definida en los nodos, defínanse las *[diferencias divididas](#pb-b1-vspaces-1)* por $f[x_i] = f(x_i)$ y

$$
f[x_i, \dots, x_{i+k}] \;=\;
\frac{f[x_{i+1}, \dots, x_{i+k}] - f[x_i, \dots, x_{i+k-1}]}
{x_{i+k} - x_i} .
$$

6. Demuéstrese que $(N_0, N_1, \dots, N_n)$ es una [base](#def-b1-vspaces-free) de $\R_n[X]$ .
7. Calcúlense $f[x_0, x_1]$ y $f[x_0, x_1, x_2]$ en función de los valores de $f$ , y calcúlense después todas las [diferencias divididas](#pb-b1-vspaces-1) de $f(x) = x^2$ en tres nodos arbitrarios.
8. (Lema de Aitken) Sea $R$ el interpolador de $f$ en $x_0, \dots, x_{n-1}$ y $Q$ el interpolador de $f$ en $x_1, \dots, x_n$, los dos de grado $\leq n - 1$. Demuéstrese que $$S \;=\; \frac{(X - x_0)\,Q - (X - x_n)\,R}{x_n - x_0}$$ interpola $f$ en $x_0, x_1, \dots, x_n$.
9. Dedúzcase, por inducción sobre el número de nodos, que el coeficiente de $X^{k}$ en el interpolador de $f$ en $x_0, \dots, x_k$ es exactamente $f[x_0, \dots, x_k]$ .
10. Demuéstrese la *fórmula de interpolación de Newton*: el interpolador de $f$ en $x_0, \dots, x_n$ es $$P \;=\; \sum_{k=0}^{n} f[x_0, \dots, x_k]\, N_k ,$$ y dedúzcase la fórmula [cerrada](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/12-topologia-de-la-recta-real#def-b1-topology-closed) $$f[x_0, \dots, x_k] \;=\; \sum_{i=0}^{k}  \frac{f(x_i)}{\prod_{j \neq i,\, j \leq k} (x_i - x_j)} ,$$ que muestra que $f[x_0, \dots, x_k]$ no depende del orden de los nodos.

**Parte III — Nodos equiespaciados: el operador de diferencias.** A partir de aquí los nodos son $0, 1, 2, \dots$ y, para un [polinomio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) $P$, ponemos

$$
\Delta P(X) = P(X + 1) - P(X),
\qquad
B_k = \frac{X(X-1)\cdots(X-k+1)}{k!} \quad (B_0 = 1).
$$

11. Véase que si $\deg P = m \geq 1$ con coeficiente director $a$ , entonces $\deg \Delta P = m - 1$ con coeficiente director $m\,a$ , y que $\Delta$ mata las constantes.
12. Véase que $(B_0, B_1, \dots, B_n)$ es una [base](#def-b1-vspaces-free) de $\R_n[X]$ y que $\Delta B_k = B_{k-1}$ para $k \geq 1$ .
13. (Fórmula de las diferencias progresivas de Newton) Demuéstrese que todo $P \in \R_n[X]$ cumple $$P \;=\; \sum_{k=0}^{n} \bigl(\Delta^{k} P\bigr)(0)\, B_k .$$
14. Demuéstrese que para todo $k \geq 0$, $$\bigl(\Delta^{k} P\bigr)(0) \;=\;  \sum_{j=0}^{k} (-1)^{k-j} \binom{k}{j} P(j) .$$
15. Véase que si $\deg P = n$ con coeficiente director $a_n$ , entonces $\Delta^{n} P$ es la constante $n!\,a_n$ y $\Delta^{n+1} P = 0$ .

**Parte IV — [Polinomios de valores enteros](#pb-b1-vspaces-1).** Un [polinomio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) $P \in \R[X]$ es *de valores enteros* cuando $P(m) \in \Z$ para todo $m \in \Z$.

16. Demuéstrese que cada $B_k$ es de valores enteros. *(Trátense por separado $m \geq k$, $0 \leq m < k$ y $m < 0$; para $m = -q < 0$, véase que $B_k(-q) = (-1)^k \binom{q + k - 1}{k}$.)*
17. Demuéstrese la *caracterización de Pólya* : $P \in \R_n[X]$ es de valores enteros si y solo si sus [coordenadas](#prop-b1-vspaces-coordinates) en la base $(B_0, \dots, B_n)$ son enteras.
18. Dedúzcase: si $P \in \R_n[X]$ toma valores enteros en $n + 1$ enteros *consecutivos* $a, a+1, \dots, a+n$ , entonces $P$ es de valores enteros. *(Desplácese: aplíquese el estudio a $Q(X) = P(X + a)$.)*
19. Dedúzcase de la pregunta 16 que un producto de $k$ enteros consecutivos siempre es divisible por $k!$ .
20. Sea $P = \dfrac{X(X+1)(2X+1)}{6}$ . Calcúlese su tabla de Newton en $0, 1, 2, 3$ , escríbase $P$ en la base $(B_k)$ y conclúyase que $P$ es de valores enteros aunque ninguno de sus coeficientes monomiales sea entero. Compruébese $\Delta P = (X+1)^2$ y dedúzcase $P(m) = 1^2 + 2^2 + \dots + m^2$ para $m \in \N$ .

**Parte V — Dividendos.**

21. Sea $P \in \R_n[X]$ el interpolador de los valores $2^i$ en $i = 0, 1, \dots, n$ . Véase que $P = B_0 + B_1 + \dots + B_n$ y que $P(n + 1) = 2^{n+1} - 1$ : el «patrón de duplicación» siempre se rompe justo en el punto siguiente.
22. (Primitiva discreta) Demuéstrese que para todos los enteros $m \geq 1$ y $k \geq 0$, $$\sum_{j=0}^{m-1} B_k(j) \;=\; B_{k+1}(m),$$ es decir, la identidad del palo de hockey $\sum_{j=k}^{m-1} \binom{j}{k} = \binom{m}{k+1}$.
23. Desarróllense $X^2$ y $X^3$ en la base $(B_k)$ y dedúzcanse fórmulas [cerradas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/12-topologia-de-la-recta-real#def-b1-topology-closed) para $\sum_{j=0}^{m-1} j^2$ y $\sum_{j=0}^{m-1} j^3$ ; recupérese la identidad de Nicómaco $1^3 + \dots + m^3 = (1 + \dots + m)^2$ .
24. Tómense $n = 2$ y los nodos $0, 1, 2$ . Escríbanse las [coordenadas](#prop-b1-vspaces-coordinates) de $X^2$ en las tres [bases](#def-b1-vspaces-free) de este problema: la [base](#def-b1-vspaces-free) monomial, la [base](#def-b1-vspaces-free) de Lagrange y la [base](#def-b1-vspaces-free) de Newton. Compruébense las tres respuestas con las preguntas 4 y 9.
25. Síntesis. En cuatro frases: qué concepto de [espacio vectorial](#def-b1-vspaces-def) vuelve automática la pregunta 4; por qué la [base](#def-b1-vspaces-free) de Newton calcula las [coordenadas](#prop-b1-vspaces-coordinates) de forma *recursiva* mientras que la [base](#def-b1-vspaces-free) de Lagrange las lee *al instante* ; qué criterio de libertad comparten las dos [bases](#def-b1-vspaces-free) ; y en qué sentido preciso el teorema de Pólya dice que la integralidad de un [polinomio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) es una propiedad de sus [coordenadas](#prop-b1-vspaces-coordinates) *en la [base](#def-b1-vspaces-free) adecuada* .

**Solución de Problema 18.1.**

**1.** $L_i$ es un producto de $n$ factores lineales dividido por una constante no nula (los $x_i$ son distintos), luego $\deg L_i = n$. Evaluando en $x_j$ con $j \neq i$: el factor $X - x_j$ del numerador se anula, luego $L_i(x_j) = 0$. Y en $x_i$, numerador y denominador coinciden: $L_i(x_i) = 1$.

**2.** Supóngase $\sum_i \lambda_i L_i = 0$. Evalúese en $x_j$: todos los términos mueren salvo $\lambda_j L_j(x_j) = \lambda_j$, luego $\lambda_j = 0$ para todo $j$: la familia es [libre](#def-b1-vspaces-free).

**3.** Sea $D = P - \sum_i P(x_i) L_i$. Entonces $\deg D \leq n$ y, por la pregunta 1, $D(x_j) = P(x_j) - P(x_j) = 0$ en los $n + 1$ puntos distintos $x_0, \dots, x_n$. Un [polinomio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) no nulo de grado $\leq n$ tiene a lo sumo $n$ raíces ([Corolario 8.8](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#cor-b1-poly-nroots)), luego $D = 0$. Así, todo $P \in \R_n[X]$ es combinación de los $L_i$: la familia es generadora y, con la pregunta 2, una [base](#def-b1-vspaces-free).

**4.** Dados $y_0, \dots, y_n$, el [polinomio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) $P = \sum_i y_i L_i$ tiene grado $\leq n$ e interpola. Unicidad: un $P$ interpolador tiene, por la pregunta 3, [coordenadas](#prop-b1-vspaces-coordinates) $(P(x_0), \dots, P(x_n)) = (y_0, \dots, y_n)$ en la base $(L_i)$, y las [coordenadas](#prop-b1-vspaces-coordinates) en una [base](#def-b1-vspaces-free) son únicas ([Proposición 18.15](#prop-b1-vspaces-coordinates)). Las [coordenadas](#prop-b1-vspaces-coordinates) de $P$ en la [base](#def-b1-vspaces-free) de Lagrange son sus *valores en los nodos* — ese es todo el sentido de esa [base](#def-b1-vspaces-free).

**5.** Aplíquese la pregunta 3 a $P = X^k$ ($0 \leq k \leq n$):

$$
X^k = \sum_{i=0}^{n} x_i^{k} L_i ,
$$

y $k = 0$ da $\sum_i L_i = 1$.

**6.** $\deg N_k = k$ exactamente: la familia $(N_0, \dots, N_n)$ es una escalera de grados en $\R_n[X]$ y, por tanto, una [base](#def-b1-vspaces-free) por el [Ejemplo 18.20](#ex-b1-vspaces-staircase) (que sea [libre](#def-b1-vspaces-free), por la [Proposición 18.19](#prop-b1-vspaces-freecriteria) (1); que sea generadora, por descenso finito sobre el grado).

**7.** De la recurrencia,

$$
f[x_0, x_1] = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0},
\qquad
f[x_0, x_1, x_2] = \frac{f[x_1, x_2] - f[x_0, x_1]}{x_2 - x_0}.
$$

Para $f(x) = x^2$:

$$
f[x_0, x_1] = \frac{x_1^2 - x_0^2}{x_1 - x_0} = x_0 + x_1,
$$

y entonces

$$
f[x_0, x_1, x_2]
= \frac{(x_1 + x_2) - (x_0 + x_1)}{x_2 - x_0}
= \frac{x_2 - x_0}{x_2 - x_0} = 1 .
$$

**8.** $\deg S \leq n$, ya que $Q, R$ tienen grado $\leq n - 1$. En $x_0$: $S(x_0) = \frac{-(x_0 - x_n) R(x_0)}{x_n - x_0} =
R(x_0) = f(x_0)$. En $x_n$: $S(x_n) = \frac{(x_n - x_0) Q(x_n)}{x_n - x_0} = Q(x_n) = f(x_n)$. Y en un nodo [interior](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/12-topologia-de-la-recta-real#def-b1-topology-closure) $x_i$ ($1 \leq i \leq n-1$), tanto $Q$ como $R$ toman el valor $f(x_i)$, luego

$$
S(x_i) = \frac{(x_i - x_0) - (x_i - x_n)}{x_n - x_0}\, f(x_i)
= f(x_i) .
$$

**9.** Inducción sobre el número de nodos. Con un nodo: el interpolador es la constante $f(x_0) = f[x_0]$. Supóngase la afirmación para $k$ nodos y sea $S$ el interpolador en $x_0, \dots, x_k$; por unicidad (pregunta 4), $S$ viene dado por el lema de Aitken a partir de $R$ (nodos $x_0, \dots, x_{k-1}$) y de $Q$ (nodos $x_1, \dots, x_k$). El coeficiente de $X^{k}$ en $S$ es

$$
\frac{[X^{k-1}]\,Q - [X^{k-1}]\,R}{x_k - x_0}
= \frac{f[x_1, \dots, x_k] - f[x_0, \dots, x_{k-1}]}{x_k - x_0}
= f[x_0, \dots, x_k]
$$

por la hipótesis de inducción y por la recurrencia que las define.

**10.** Sea $P_k$ el interpolador de $f$ en $x_0, \dots, x_k$. La diferencia $P_k - P_{k-1}$ tiene grado $\leq k$ y se anula en $x_0, \dots, x_{k-1}$, de modo que, por el teorema del factor aplicado $k$ veces ([Teorema 8.7](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#thm-b1-poly-factor)), vale $c\,N_k$ para cierta constante $c$; comparando los coeficientes de $X^{k}$ y usando la pregunta 9, $c = f[x_0, \dots, x_k]$. Telescopando desde $P_0 = f(x_0) N_0$ se obtiene la fórmula de Newton. Para la forma [cerrada](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/12-topologia-de-la-recta-real#def-b1-topology-closed), escríbase $P_k = \sum_{i \leq k} f(x_i) L_i$ (Lagrange, sobre los nodos $x_0, \dots, x_k$) y léase el coeficiente de $X^{k}$: cada $L_i$ aporta $\frac{1}{\prod_{j \neq i}(x_i - x_j)}$, de donde

$$
f[x_0, \dots, x_k] = \sum_{i=0}^{k}
\frac{f(x_i)}{\prod_{j \neq i,\, j \leq k}(x_i - x_j)} .
$$

El miembro derecho es invariante por cualquier [permutación](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/2-combinatoria#def-b1-counting-objects) de los nodos, así que la diferencia dividida no depende de su orden.

**11.** Si $P = a X^m + (\text{grados inferiores})$, el teorema del binomio da

$$
\Delta P = a\bigl((X+1)^m - X^m\bigr) + \dots
= a\,m\,X^{m-1} + (\text{lower degrees}),
$$

porque $(X+1)^m - X^m = m X^{m-1} + \dots$ y la parte de grado inferior de $P$ aporta grado $\leq m - 2$ tras $\Delta$ (o términos de grado $\leq m-2$). Luego $\deg \Delta P = m - 1$ con coeficiente director $m a$. Y una constante $c$ da $\Delta c = c - c = 0$.

**12.** $\deg B_k = k$: escalera y, por tanto, [base](#def-b1-vspaces-free) de $\R_n[X]$ ([Ejemplo 18.20](#ex-b1-vspaces-staircase)). Para $\Delta B_k$ ($k \geq 1$), sáquese factor común el producto:

$$
\begin{align*}
k!\,\Delta B_k
&= (X+1)X\cdots(X-k+2) - X(X-1)\cdots(X-k+1) \\
&= X(X-1)\cdots(X-k+2)\,\bigl[(X+1) - (X-k+1)\bigr] \\
&= k\,X(X-1)\cdots(X-k+2),
\end{align*}
$$

luego $\Delta B_k = \frac{X(X-1)\cdots(X-k+2)}{(k-1)!} = B_{k-1}$.

**13.** Escríbase $P = \sum_{k=0}^{n} c_k B_k$ ([base](#def-b1-vspaces-free), pregunta 12). Aplíquese $\Delta^{j}$: por la pregunta 12, $\Delta^{j} P = \sum_{k \geq j} c_k B_{k-j}$. Evalúese en $0$: $B_0(0) = 1$ y $B_m(0) = 0$ para $m \geq 1$ (el factor $X$ se anula), luego $\bigl(\Delta^{j}P\bigr)(0) = c_j$. Esta es la fórmula de las diferencias progresivas.

**14.** Inducción sobre $k$. Para $k = 0$, la identidad dice $P(0) = P(0)$. Supóngase para $k$ y aplíquese a $\Delta P$:

$$
\bigl(\Delta^{k+1} P\bigr)(0)
= \sum_{j=0}^{k} (-1)^{k-j}\binom kj \bigl(P(j+1) - P(j)\bigr).
$$

Recójase el coeficiente de $P(i)$: es $(-1)^{k-i+1}\binom k{i-1}\cdot(-1)^{0}$ de la primera suma (desplazada) y $-(-1)^{k-i}\binom ki$ de la segunda — juntos,

$$
(-1)^{k+1-i}\Bigl(\binom k{i-1} + \binom ki\Bigr)
= (-1)^{k+1-i}\binom{k+1}i
$$

por la regla de Pascal, que es la identidad en el rango $k + 1$.

**15.** Iterando la pregunta 11 desde el grado $n$ con coeficiente director $a_n$: tras un $\Delta$, grado $n-1$ y coeficiente director $n a_n$; tras dos, $n(n-1)a_n$; y tras $n$ pasos, grado $0$ y valor $n(n-1)\cdots 1\, a_n = n!\,a_n$, una constante. Un $\Delta$ más la mata: $\Delta^{n+1}P = 0$.

**16.** Si $m \geq k$: $B_k(m) = \binom mk \in \N$. Si $0 \leq m < k$: uno de los factores de $m(m-1)\cdots(m-k+1)$ es cero, luego $B_k(m) = 0$. Y si $m = -q$ con $q \geq 1$:

$$
B_k(-q) = \frac{(-q)(-q-1)\cdots(-q-k+1)}{k!}
= (-1)^k\,\frac{q(q+1)\cdots(q+k-1)}{k!}
= (-1)^k \binom{q+k-1}{k},
$$

un entero. Así, todo $B_k$ lleva $\Z$ dentro de $\Z$.

**17.** ($\Leftarrow$) Si $P = \sum_k c_k B_k$ con $c_k \in \Z$, entonces, para $m \in \Z$, $P(m) = \sum_k c_k B_k(m) \in \Z$ por la pregunta 16. ($\Rightarrow$) Si $P$ es de valores enteros, sus [coordenadas](#prop-b1-vspaces-coordinates) son $c_k = \bigl(\Delta^k P\bigr)(0) = \sum_{j=0}^k (-1)^{k-j}\binom kj
P(j)$ (preguntas 13 y 14), una combinación entera de los enteros $P(0), \dots, P(k)$. Esta es la caracterización de Pólya de los [polinomios de valores enteros](#pb-b1-vspaces-1).

**18.** Póngase $Q(X) = P(X + a)$, un [polinomio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) de grado $\leq n$ con $Q(0), Q(1), \dots, Q(n) \in \Z$. Sus [coordenadas](#prop-b1-vspaces-coordinates) en $(B_k)_{k \leq n}$ son $c_k = \sum_{j \leq k}(-1)^{k-j}\binom kj Q(j) \in \Z$ (la pregunta 14 solo usa los valores en $0, \dots, k \leq n$). Por la pregunta 17 ($\Leftarrow$), $Q$ es de valores enteros en todo $\Z$, y por tanto también lo es $P(X) = Q(X - a)$.

**19.** Un producto de $k$ enteros consecutivos es $m(m-1) \cdots(m-k+1) = k!\,B_k(m)$ para cierto $m \in \Z$, y $B_k(m) \in \Z$ por la pregunta 16: el producto es divisible por $k!$.

**20.** Valores de $P = \frac{X(X+1)(2X+1)}{6}$ en $0,1,2,3$: $0, 1, 5, 14$. Tabla de diferencias: fila $\Delta$: $1, 4, 9$; fila $\Delta^2$: $3, 5$; fila $\Delta^3$: $2$. Por tanto, por la pregunta 13,

$$
P = 0\cdot B_0 + 1\cdot B_1 + 3\,B_2 + 2\,B_3 ,
$$

con [coordenadas](#prop-b1-vspaces-coordinates) enteras: $P$ es de valores enteros (pregunta 17), mientras que sus coeficientes monomiales $\frac13, \frac12,
\frac16$ no son enteros. Cálculo directo:

$$
\begin{align*}
\Delta P &= \frac{(X+1)(X+2)(2X+3) - X(X+1)(2X+1)}{6} \\
&= \frac{(X+1)\bigl[(X+2)(2X+3) - X(2X+1)\bigr]}{6}
= \frac{(X+1)(6X+6)}{6} = (X+1)^2 .
\end{align*}
$$

Telescopando, $P(m) = \sum_{j=0}^{m-1}\Delta P(j) = \sum_{j=1}^{m}
j^2$ (con $P(0) = 0$): la fórmula de la suma de cuadrados.

**21.** Los valores $2^i$ en $i = 0, \dots, n$ tienen una tabla de diferencias constantemente igual a $1$ en el borde izquierdo: $\Delta^k$ de la sucesión $(2^i)$ es otra vez $(2^i)$ (ya que $2^{i+1} - 2^i = 2^i$), luego $\bigl(\Delta^k P\bigr)(0) = 2^0 = 1$ para todo $k \leq n$, y $P = B_0 + B_1 + \dots + B_n$ por la pregunta 13. Entonces

$$
P(n+1) = \sum_{k=0}^{n}\binom{n+1}{k}
= 2^{n+1} - \binom{n+1}{n+1} = 2^{n+1} - 1 \neq 2^{n+1}:
$$

el patrón se rompe en el primer punto no controlado.

**22.** Por la pregunta 12, $B_k = \Delta B_{k+1}$, luego

$$
\sum_{j=0}^{m-1} B_k(j)
= \sum_{j=0}^{m-1}\bigl(B_{k+1}(j+1) - B_{k+1}(j)\bigr)
= B_{k+1}(m) - B_{k+1}(0) = B_{k+1}(m).
$$

Para $j < k$ los términos $B_k(j)$ se anulan, así que la suma empieza en realidad en $j = k$: $\sum_{j=k}^{m-1}\binom jk = \binom m{k+1}$, la identidad del palo de hockey.

**23.** Las tablas de diferencias (o el desarrollo directo) dan

$$
X^2 = B_1 + 2 B_2, \qquad X^3 = B_1 + 6 B_2 + 6 B_3
$$

(compruébese: $B_1 + 2B_2 = X + X(X-1) = X^2$; y en $X = 1, 2, 3$ la segunda da $1, 8, 27$). La pregunta 22 da entonces

$$
\sum_{j=0}^{m-1} j^2 = B_2(m) + 2B_3(m)
= \binom m2 + 2\binom m3 = \frac{m(m-1)(2m-1)}{6},
$$

$$
\sum_{j=0}^{m-1} j^3 = B_2(m) + 6B_3(m) + 6B_4(m)
= \binom m2 + 6\binom m3 + 6\binom m4 .
$$

Desarrollando la última expresión: $\binom m2 + 6\binom m3 + 6\binom m4 = \frac{m(m-1)}{2}\bigl[1 +
2(m-2) + \frac{(m-2)(m-3)}{2}\bigr] = \frac{m^2(m-1)^2}{4} =
\binom m2^2$. Sustituyendo $m$ por $m + 1$: $1^3 + \dots + m^3 = \bigl(\frac{m(m+1)}2\bigr)^2 =
(1 + \dots + m)^2$, la identidad de Nicómaco.

**24.** Nodos $0, 1, 2$ y [polinomio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) $X^2$. [Base](#def-b1-vspaces-free) monomial $(1, X, X^2)$: [coordenadas](#prop-b1-vspaces-coordinates) $(0, 0, 1)$. [Base](#def-b1-vspaces-free) de Lagrange: las [coordenadas](#prop-b1-vspaces-coordinates) son los valores $(0, 1, 4)$ (pregunta 4). [Base](#def-b1-vspaces-free) de Newton $(1, X, X(X-1))$: [diferencias divididas](#pb-b1-vspaces-1) $f[0] = 0$, $f[0,1] = 1$, $f[0,1,2] = \frac{3 - 1}{2} = 1$ (pregunta 9), luego [coordenadas](#prop-b1-vspaces-coordinates) $(0, 1, 1)$ — y, en efecto, $X + X(X-1) = X^2$. Tres [bases](#def-b1-vspaces-free), tres vectores de [coordenadas](#prop-b1-vspaces-coordinates), un solo [polinomio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def).

**25.** (i) La pregunta 4 es automática porque $(L_i)$ es una *[base](#def-b1-vspaces-free)*: la existencia y la unicidad de la interpolación son exactamente la existencia y la unicidad de las [coordenadas](#prop-b1-vspaces-coordinates). (ii) La [base](#def-b1-vspaces-free) de Newton es una escalera, de modo que las [coordenadas](#prop-b1-vspaces-coordinates) se calculan por divisiones sucesivas —cada nodo nuevo añade un término sin perturbar los anteriores—, mientras que las [coordenadas](#prop-b1-vspaces-coordinates) de $P$ en la de Lagrange son los valores $P(x_i)$, disponibles sin ningún cálculo. (iii) Las dos [bases](#def-b1-vspaces-free) son [libres](#def-b1-vspaces-free) por los dos mismos criterios de la [Proposición 18.19](#prop-b1-vspaces-freecriteria): grados distintos para Newton y evaluación en los nodos para Lagrange. (iv) El teorema de Pólya dice que «$P(\Z) \subseteq \Z$», una propiedad de los valores, equivale a que sean enteras las [coordenadas](#prop-b1-vspaces-coordinates) en la base $(B_k)$ — la aritmética de un [polinomio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) solo se vuelve visible en la [base](#def-b1-vspaces-free) adaptada a la pregunta.