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title: "Dimensión finita"
book: "Matemáticas universitarias — Grado 1"
subject: math
language: es
chapter: 19
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/19-dimension-finita
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# Capítulo 19 — Dimensión finita

Un espacio generado por finitos vectores lleva una *dimensión* bien definida — el tamaño común de todas sus [bases](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free). Las demostraciones de más abajo salen todas de un mismo motor combinatorio, el lema del intercambio: una [familia libre](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) nunca puede superar en número a una generadora. Con la dimensión llegan las herramientas que se usan en todo lo que sigue: el teorema de la [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) incompleta, el [rango](#def-b1-findim-rank) de una familia y la fórmula de Grassmann.

## 19.1 Existencia de bases

**Definición 19.1.**

$E$ es *de dimensión finita* cuando tiene una familia generadora finita. (En caso contrario, *de dimensión infinita*: lo es $K[X]$, cuyas familias finitas solo generan [polinomios](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) de grado acotado.)

**Teorema 19.2 (Lema del intercambio).**

Sea $(g_1, \dots, g_n)$ una familia generadora de $E$ y sea $(f_1, \dots, f_p)$ [libre](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) en $E$. Entonces $p \leq n$.

**Demostración.** Demostramos por inducción sobre $k \leq p$: *tras renumerar los $g_j$, la familia $(f_1, \dots, f_k, g_{k+1}, \dots, g_n)$ genera $E$* — lo que fuerza $k \leq n$ en cada etapa y $p \leq n$ al final.

$k = 0$: es la hipótesis. Paso: supóngase para $k - 1$; entonces $f_k$ es combinación de $(f_1, \dots, f_{k-1},$ $g_k, \dots, g_n)$. En esa combinación, algún $g_j$ ($j \geq k$) tiene coeficiente no nulo — si no, $f_k$ sería combinación de $f_1, \dots, f_{k-1}$, en contradicción con que la familia es [libre](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free). Renumérese de modo que $j = k$ y despéjese $g_k$: $g_k$ es combinación de $(f_1, \dots, f_k, g_{k+1}, \dots, g_n)$. Todo vector de $E$, expresado mediante la familia de $(k-1)$ elementos, se puede entonces reexpresar mediante la de $k$: esta genera. (Si $k - 1 = n$, no queda ningún $g$ y $f_k$ sería combinación de los $f_i$ solos: imposible; así que $k \leq n$.) ∎

**Ejemplo 19.3 (El intercambio, visto una vez).**

En $\R^2$, tómense la familia generadora $\bigl(g_1, g_2\bigr) = \bigl((1,0), (0,1)\bigr)$ y la [familia libre](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) $\bigl(f_1, f_2\bigr) = \bigl((1,2), (3,4)\bigr)$. Paso $1$: $f_1 = 1\cdot g_1 + 2\cdot g_2$; el coeficiente de $g_2$ es no nulo, así que intercámbiese $g_2$ por $f_1$: la familia $\bigl(f_1, g_1\bigr)$ sigue generando ($g_2 = \frac12(f_1 - g_1)$). Paso $2$: $f_2 = (3,4) = 2\,f_1 + 1\cdot g_1$; el coeficiente del $g_1$ restante es no nulo (tiene que serlo: $f_2$ no es múltiplo de $f_1$), así que intercámbiese otra vez: $\bigl(f_1, f_2\bigr)$ genera $\R^2$. Si hubiera habido un tercer vector [libre](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) $f_3$, no quedaría ningún $g$ para absorberlo — que es precisamente como el lema prohíbe $3$ vectores [libres](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) en $\R^2$. La demostración anterior es esta contabilidad hecha en general.

**Teorema 19.4 (Bases en dimensión finita).**

Sea $E \neq \{0\}$ [de dimensión finita](#def-b1-findim-def).

1. De toda familia generadora finita se puede extraer una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) .
2. (Teorema de la [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) incompleta) Toda [familia libre](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) se extiende a una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) , usando vectores de cualquier familia generadora elegida.
3. Todas las [bases](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) de $E$ son finitas y con el mismo número de elementos: la *dimensión* $\dim E$ . (Convenio: $\dim\{0\} = 0$ .)

**Demostración.** (1) Descártese, de uno en uno, cualquier vector que sea combinación de los demás; la familia sigue siendo generadora, pues en cualquier expresión que use el vector descartado se puede sustituir por su combinación de los supervivientes. El proceso termina —cada paso encoge en uno una familia finita— y se detiene exactamente cuando ningún vector restante es combinación de los demás. La familia final sigue siendo generadora, y es [libre](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free): una combinación nula no trivial llevaría algún coeficiente no nulo y, dividiendo por él, se despejaría el vector correspondiente en función de los demás, con lo que sería descartable — en contradicción con que el proceso se había detenido.

(2) Sea $(f_1, \dots, f_p)$ [libre](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) y $(g_1, \dots, g_n)$ generadora. Recórranse $g_1, \dots, g_n$ añadiendo $g_j$ a la familia en curso cada vez que no esté ya en su [subespacio generado](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-span) (la [Proposición 18.19](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#prop-b1-vspaces-freecriteria) (2) mantiene [libre](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) la familia). La familia final es [libre](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free), y generadora: todo $g_j$ está en su [subespacio generado](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-span) — o bien se añadió, o bien ya era combinación.

(3) Dos [bases](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) son cada una [libre](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) y cada una generadora: el lema del intercambio da las dos desigualdades entre sus [cardinales](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/2-combinatoria#def-b1-counting-card). (Finitud: una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) es [libre](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) y, por el intercambio, no mayor que una familia generadora finita.) ∎

**Ejemplo 19.5.**

$\dim K^n = n$ ([base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) canónica); $\dim K_n[X] = n + 1$ (los monomios); $\dim_\R \C = 2$; y el espacio de soluciones de $y'' + ay' + by = 0$ tiene dimensión $2$ ([Teorema 5.10](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/5-ecuaciones-diferenciales-lineales#thm-b1-diffeq-homogeneous2): las soluciones están parametrizadas [biyectiva](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj) y linealmente por $(\lambda, \mu) \in K^2$).

**Ejemplo 19.6 (El mismo conjunto, dos dimensiones).**

El [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) $\C^2$ de las parejas de números complejos es un [espacio vectorial](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-def) sobre $\C$ de dimensión $2$ ([base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) canónica $e_1, e_2$) — y un [espacio vectorial](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-def) sobre $\R$ de dimensión $4$, con [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free)

$$
(1, 0),\quad (\iu, 0),\quad (0, 1),\quad (0, \iu):
$$

pues todo $(z, w) = (a + \iu b,\ c + \iu d)$ tiene [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#prop-b1-vspaces-coordinates) reales $(a, b, c, d)$, de forma única. La dimensión no es una propiedad del [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) de vectores por sí solo: cuenta los grados de libertad *relativos a los escalares permitidos*, y reducir a la mitad el suministro de escalares, de $\C$ a $\R$, duplica la cuenta. (El problema del fin de semana explota el caso extremo de esta sensibilidad, con los escalares encogidos hasta $\Q$.)

**Ejemplo 19.7 (Ejecutar el algoritmo de compleción).**

Complétese la [familia libre](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) $\bigl((1,1,1)\bigr)$ hasta una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) de $\R^3$ usando los vectores canónicos. Ejecútese la demostración del [Teorema 19.4](#thm-b1-findim-bases) (2) sobre la familia generadora $(e_1, e_2, e_3)$: ¿está $e_1 \in \operatorname{Vect}(1,1,1)$? No (los múltiplos de $(1,1,1)$ tienen las [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#prop-b1-vspaces-coordinates) iguales) — añádase. ¿Está $e_2 \in \operatorname{Vect}\bigl((1,1,1),
e_1\bigr)$? Una combinación $\alpha(1,1,1) + \beta e_1$ tiene iguales la segunda y la tercera [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#prop-b1-vspaces-coordinates), y $e_2$ no — añádase. La familia $\bigl((1,1,1), e_1, e_2\bigr)$ es [libre](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) con $3$ vectores: alto, es una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) (la [Proposición 19.8](#prop-b1-findim-twoofthree) oficializará este reflejo). Nótese que el resultado depende del orden en que se recorran los $g_j$: la compleción es un algoritmo, no una fórmula.

**Proposición 19.8 (La regla de dos de tres).**

Sea $\dim E = n$ y sea $\mathcal{F}$ una familia de exactamente $n$ vectores de $E$. Entonces

$$
\mathcal{F} \text{ libre} \iff \mathcal{F} \text{ generadora} \iff
\mathcal{F} \text{ base}.
$$

Además, toda [familia libre](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) tiene $\leq n$ vectores, y toda familia generadora, $\geq n$.

**Demostración.** Las cotas para los [cardinales](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/2-combinatoria#def-b1-counting-card) son el lema del intercambio frente a una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free). Si $\mathcal{F}$ (de tamaño $n$) es [libre](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) pero no generadora, algún $x$ está fuera de su [subespacio generado](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-span); añadir $x$ da una [familia libre](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) de $n + 1$ vectores: imposible. Y si $\mathcal{F}$ es generadora pero no [libre](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free), extraer una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) ([Teorema 19.4](#thm-b1-findim-bases) (1)) da una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) de $< n$ vectores: imposible. ∎

**Ejemplo 19.9 (Dos de tres, ahorrando la mitad del trabajo).**

¿Es $\bigl((1,1,0), (0,1,1), (1,0,1)\bigr)$ una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) de $\R^3$? Cuéntese: tres vectores, dimensión tres — así que decide solamente la libertad. Una combinación nula da $a + c = 0$, $a + b = 0$, $b + c = 0$; sumando las tres, $2(a + b + c) = 0$ y, restando cada ecuación original de $a + b + c = 0$, queda $b = c = a = 0$: [libre](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free), luego una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free), con la mitad generadora de la comprobación suministrada gratis por el teorema. Compárese con el [Ejemplo 18.18](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#ex-b1-vspaces-testbasis), donde la misma doble comprobación hubo que hacerla a mano — un capítulo de teoría se convierte exactamente en ese ahorro, en cada comprobación de [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) del resto del libro.

**Método 19.10 (Calcular una dimensión).**

Tres caminos estándar, en orden decreciente de frecuencia.

1. *Parametrizar y leer una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free).* Resuélvanse las restricciones que lo definen, exprésese el elemento general de forma lineal en los parámetros supervivientes y compruébese que los vectores que multiplican a los parámetros son [libres](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) : la dimensión es el número de parámetros. (Ejecutado más abajo sobre un [subespacio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-subspace) concreto de $\R^4$ .)
2. *Exhibir una parametrización lineal [biyectiva](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj).* Cuando los elementos quedan determinados por finitos valores —condiciones iniciales de una recurrencia ( [Ejercicio 19.10](#exo-b1-findim-10) ), coeficientes de una fórmula de solución ( [Ejemplo 19.5](#ex-b1-findim-dims) )—, la dimensión es el número de esos valores.
3. *Usar las fórmulas.* Grassmann para intersecciones y sumas, el [rango](#def-b1-findim-rank) para los [subespacios generados](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-span) y, más tarde, el teorema del [rango](#def-b1-findim-rank) para núcleos e imágenes: las dimensiones normalmente se *calculan* , no se adivinan.

En los tres caminos, la regla de dos de tres es el remate: en cuanto la cuenta cuadra, basta con la libertad o con la generación.

**Ejemplo 19.11 (Camino 1, completo).**

Dimensión de $H = \{(x, y, z, t) \in \R^4 : x + y + z + t = 0
\text{ y } x = t\}$. Resuélvase: $t = x$ y $y + z = -2x$, luego $z = -2x - y$ con $x, y$ [libres](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free):

$$
(x,\ y,\ -2x - y,\ x) = x\,(1, 0, -2, 1) + y\,(0, 1, -1, 0) .
$$

Los dos vectores son [libres](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) (mírense las dos primeras [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#prop-b1-vspaces-coordinates): $(x, y) = (0,0)$), de modo que forman una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) de $H$ y $\dim H = 2$. La cuenta era previsible —dos restricciones lineales independientes en $\R^4$ deberían comerse una dimensión cada una—, pero la parametrización lo demuestra *y* entrega una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free), cosa que la previsión sola nunca hace; el [Ejercicio 19.9](#exo-b1-findim-9) convierte en teorema el eslogan «cada ecuación se come a lo sumo una dimensión».

**Ejemplo 19.12 (Camino 2, completo).**

Dimensión de $W = \{P \in \R_n[X] : P(1) = P(2) = 0\}$ (para $n \geq 2$). Por el teorema del factor aplicado dos veces ([Teorema 8.7](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#thm-b1-poly-factor); las raíces $1$ y $2$ son distintas), $P \in W$ exactamente cuando $P = (X - 1)(X - 2)\,Q$ con $\deg Q \leq n - 2$. La correspondencia $Q \mapsto (X-1)(X-2)Q$ es lineal, alcanza todo $W$ y es [inyectiva](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj) (un producto es nulo solo si $Q = 0$): $W$ está parametrizado [biyectiva](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj) y linealmente por $\R_{n-2}[X]$, luego

$$
\dim W = \dim \R_{n-2}[X] = n - 1 .
$$

Una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) viene con la parametrización: las imágenes de los monomios, $\bigl((X-1)(X-2),\ (X-1)(X-2)X,\ \dots,\
(X-1)(X-2)X^{n-2}\bigr)$. Cada nueva restricción de evaluación en un punto nuevo cuesta exactamente una dimensión — el esqueleto de recuento de la [interpolación de Lagrange](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#thm-b1-poly-lagrange) ([Teorema 8.23](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#thm-b1-poly-lagrange)).

**Ejemplo 19.13 (Una restricción integral también cuesta una dimensión).**

Dimensión de $H = \{P \in \R_2[X] : \int_0^1 P = 0\}$. Escribiendo $P = a + bX + cX^2$, la restricción dice $a + \frac b2 + \frac c3 = 0$; despéjese $a$ y parametrícese:

$$
P = b\Bigl(X - \frac12\Bigr) + c\Bigl(X^2 - \frac13\Bigr),
$$

luego $H = \operatorname{Vect}\bigl(X - \frac12,\ X^2 -
\frac13\bigr)$, de dimensión $2$ (los dos [polinomios](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) tienen grados distintos: [libres](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free)). Una condición lineal —ya sea una evaluación, una [integral](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/15-integracion-en-un-segmento#thm-b1-integration-def) o cualquier otra receta lineal— quita a lo sumo una dimensión, y exactamente una en cuanto la condición no es idénticamente nula. [Capítulo 20](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/20-aplicaciones-lineales#ch-b1-linmaps) llamará a esas recetas *formas lineales* y a sus [conjuntos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) de soluciones, *hiperplanos*; y los vectores de la [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) hallados aquí reaparecen en el [Capítulo 23](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/23-espacios-euclideos#ch-b1-euclid) como el comienzo de la familia de Legendre.

## 19.2 Subespacios, rango, Grassmann

**Teorema 19.14 (Subespacios).**

Sea $E$ [de dimensión finita](#def-b1-findim-def) y $F$ un [subespacio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-subspace). Entonces $F$ es [de dimensión finita](#def-b1-findim-def), $\dim F \leq \dim E$, con igualdad si y solo si $F = E$. Además, todo [subespacio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-subspace) tiene un [subespacio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-subspace) [suplementario](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-sum).

**Demostración.** Las [familias libres](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) de $F$ tienen a lo sumo $\dim E$ vectores (lema del intercambio en $E$: una [familia libre](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) de $F$ es en particular [libre](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) en $E$, y $E$ tiene una familia generadora finita). De entre las [familias libres](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) de $F$, tómese una de tamaño *máximo* $p$ — es posible, pues los tamaños son enteros acotados por $\dim E$. Esa familia genera $F$: si no, algún $x \in F$ estaría fuera de su [subespacio generado](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-span), y añadir $x$ daría una [familia libre](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) de $F$ de tamaño $p + 1$ ([Proposición 18.19](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#prop-b1-vspaces-freecriteria) (2)), en contradicción con la maximalidad. Siendo [libre](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) y generadora, es una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) de $F$, y $\dim F = p \leq \dim E$. Si $p = \dim E = n$: una [familia libre](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) de $n$ vectores de $E$ es una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) de $E$ ([Proposición 19.8](#prop-b1-findim-twoofthree)), luego $F \supseteq \operatorname{span} = E$. [Suplementario](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-sum): complétese una base $(f_1, \dots, f_p)$ de $F$ hasta una base $(f_1, \dots, f_p, g_{p+1}, \dots, g_n)$ de $E$ (teorema de la [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) incompleta); entonces $G = \operatorname{Vect}(g_{p+1}, \dots, g_n)$ cumple $E = F \oplus G$ (la existencia y la unicidad de las descomposiciones son las [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#prop-b1-vspaces-coordinates) en la [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) grande). ∎

**Definición 19.15 (Rango de una familia).**

El *rango* de una familia finita de vectores es la dimensión de su [subespacio generado](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-span): $\operatorname{rk}(x_1, \dots, x_p) = \dim
\operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_p) \leq \min(p, \dim E)$, con igualdad a $p$ si y solo si la familia es [libre](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free).

**Ejemplo 19.16 (Calcular un rango por eliminación).**

[Rango](#def-b1-findim-rank) de $\bigl((1,2,3), (2,3,4), (3,4,5), (1,1,1)\bigr)$ en $\R^3$. El [subespacio generado](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-span) no cambia cuando se resta a un vector una combinación de los demás (las dos familias generan las mismas combinaciones): sustitúyase $(2,3,4)$ por $(2,3,4) - (1,2,3) =
(1,1,1)$ y $(3,4,5)$ por $(3,4,5) - (1,2,3) = (2,2,2)$. El [subespacio generado](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-span) es ahora $\operatorname{Vect}\bigl((1,2,3), (1,1,1), (2,2,2),
(1,1,1)\bigr) = \operatorname{Vect}\bigl((1,2,3), (1,1,1)\bigr)$, y esos dos vectores no son proporcionales: el [rango](#def-b1-findim-rank) es $2$. Este procedimiento de restar y descartar se sistematiza como eliminación de Gauss en el [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/22-determinantes-y-sistemas-lineales#ch-b1-det).

**Ejemplo 19.17 (Sumar por concatenación).**

Tómense, en $\R^3$,

$$
F = \operatorname{Vect}\bigl((1,2,3),\ (1,1,1)\bigr),
\qquad
G = \operatorname{Vect}\bigl((2,3,4)\bigr) .
$$

La suma $F + G$ está generada por la familia concatenada de los tres generadores, y

$$
(2, 3, 4) = (1, 2, 3) + (1, 1, 1)
$$

muestra que el tercero es redundante: $F + G = F$, de dimensión $2$ — equivalentemente, $G \subseteq F$, que es lo que exhibe la relación. Grassmann lo confirma: $\dim(F \cap G) = 2 + 1 - 2 = 1 =
\dim G$. Las sumas se calculan concatenando generadores y reduciendo después el montón con el algoritmo del [rango](#def-b1-findim-rank); nunca hace falta ninguna técnica nueva.

**Teorema 19.18 (Fórmula de Grassmann).**

Para [subespacios](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-subspace) $F, G$ de $E$ [de dimensión finita](#def-b1-findim-def):

$$
\dim(F + G) = \dim F + \dim G - \dim(F \cap G) .
$$

En particular, $F + G$ es directa si y solo si $\dim(F + G) = \dim F + \dim G$.

**Demostración.** Pártase de una base $(e_1, \dots, e_r)$ de $F \cap G$; complétese hasta una base $(e_1, \dots, e_r, f_1, \dots, f_s)$ de $F$ y hasta una base $(e_1, \dots, e_r, g_1, \dots, g_t)$ de $G$ ([Teorema 19.4](#thm-b1-findim-bases) (2)). Afirmamos que

$$
\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_r, f_1, \dots, f_s, g_1, \dots, g_t)
$$

es una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) de $F + G$; y la fórmula se sigue contando: $(r + s) + (r + t) - r = r + s + t$.

$\mathcal{B}$ genera $F + G$: todo $u + v$ ($u \in F$, $v \in G$) se desarrolla en ella. Libertad: supóngase $\sum \alpha_i e_i + \sum \beta_j f_j + \sum \gamma_k g_k = 0$. El vector $w = \sum \gamma_k g_k = -\sum\alpha_i e_i - \sum\beta_j f_j$ está en $G \cap F$, luego se desarrolla solo sobre los $(e_i)$; pero $w$ también se desarrolla sobre los $(g_k)$ y, en la [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) de $G$, esas dos expresiones tienen que coincidir: todos los $\gamma_k = 0$ (y las [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#prop-b1-vspaces-coordinates) en $e$ cuadran). La relación se reduce a $\sum\alpha_i e_i + \sum\beta_j f_j = 0$, una relación en la [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) de $F$: todos los coeficientes restantes se anulan. ∎

**Ejemplo 19.19.**

Dos planos distintos $F, G$ (de dimensión $2$) de $\R^3$ cumplen $F + G = \R^3$ (su suma contiene estrictamente un plano), luego $\dim(F \cap G) = 2 + 2 - 3 = 1$: siempre se cortan en una recta — no hay «planos paralelos» que pasen por el origen.

**Ejemplo 19.20 (Grassmann en acción, en R4\R^4R4).**

Sean $F = \operatorname{Vect}\bigl(e_1,\ e_2,\ (1,1,1,0)\bigr)$ y $G = \operatorname{Vect}(e_3, e_4)$ en $\R^4$. Dimensiones: $\dim F = 3$ (el tercer generador tiene tercera coordenada no nula, fuera de $\operatorname{Vect}(e_1, e_2)$) y $\dim G = 2$. Suma: $F + G$ contiene $e_1, e_2, e_4$ y $e_3 = (1,1,1,0) - e_1 - e_2$: es todo $\R^4$. Grassmann *calcula* entonces el tamaño de la intersección sin ninguna eliminación:

$$
\dim(F \cap G) = 3 + 2 - 4 = 1 .
$$

Para identificar la recta, mírese dentro de $G$: un vector $(0, 0, c, d)$ está en $F$ exactamente cuando es $a e_1 + b e_2 + \lambda(1,1,1,0)$, lo que fuerza $\lambda = -a = -b$ y $d = 0$: la intersección es $\operatorname{Vect}(e_3)$ — coherente, ya que $e_3$ se exhibió arriba en $F$ y está en $G$ por definición. Reparto de tareas típico: Grassmann predice *cuánto* hay que buscar, y el sistema lineal encuentra después *qué*.

**Ejemplo 19.21 (Intersecar por ecuaciones).**

Cuando los dos [subespacios](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-subspace) vienen como [conjuntos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) de soluciones, intersecar es sencillamente apilar las ecuaciones. En $\R^3$: $F = \{x + y + z = 0\}$ y $G = \{x = y\}$ dan

$$
F \cap G = \{x = y,\ 2x + z = 0\}
= \{(x,\ x,\ -2x)\} = \operatorname{Vect}(1, 1, -2),
$$

una recta. Comprobación cruzada por Grassmann: $F + G = \R^3$ (los planos son distintos, luego su suma contiene estrictamente un plano), de donde $\dim(F\cap G) = 2 + 2 - 3 = 1$. Las dos descripciones de un [subespacio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-subspace) —por ecuaciones y por generadores— vuelven trivial una operación cada una: las ecuaciones se intersecan apilando y los generadores se suman concatenando; y convertir unas en otros es exactamente lo que significa resolver un sistema lineal ([Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/22-determinantes-y-sistemas-lineales#ch-b1-det)).

**Observación 19.22 (Errores frecuentes).**

*Las dimensiones no se suman en las sumas* salvo que la suma sea directa: dos planos de $\R^3$ tienen $\dim(F + G) = 3$, no $4$; corríjase siempre con el término de la intersección (Grassmann). *Una inclusión necesita la dimensión *y* la inclusión*: $\dim F = \dim G$ por sí solo nunca da $F = G$ (dos rectas distintas de $\R^2$); el caso de igualdad del [Teorema 19.14](#thm-b1-findim-subspaces) exige antes $F \subseteq G$. *Contar parámetros todavía no es una demostración*: «dos ecuaciones en $\R^4$, luego dimensión $2$» falla cuando las ecuaciones son dependientes ($x + y = 0$ y $2x + 2y = 0$ dejan dimensión $3$); solo lo deciden una parametrización efectiva o un cálculo de [rango](#def-b1-findim-rank). *No se hable de la dimensión de algo que no es [subespacio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-subspace)*: los [conjuntos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) de soluciones de los sistemas *no homogéneos* no contienen a $0$; su «dimensión» es la del espacio de soluciones homogéneo asociado ([Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/22-determinantes-y-sistemas-lineales#ch-b1-det) lo precisa). *La dimensión infinita existe*: $K[X]$ contiene [familias libres](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) de todos los tamaños (los monomios), de modo que no puede existir ninguna familia generadora finita — los [enunciados](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-statement) como la regla de dos de tres son estrictamente [de dimensión finita](#def-b1-findim-def) y fallan estrepitosamente en $K[X]$ (el [Corolario 20.9](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/20-aplicaciones-lineales#cor-b1-linmaps-samedim) mostrará lo mismo para la [inyectividad](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj) y la [sobreyectividad](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj)). *El [rango](#def-b1-findim-rank) es del [subespacio generado](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-span), no de la lista*: repetir un vector, reordenar o reescalar por constantes no nulas deja el [rango](#def-b1-findim-rank) intacto, y $\operatorname{rk} = p$ (el número de vectores) es una *propiedad que hay que demostrar* — es exactamente la libertad. Una familia de $5$ vectores de [rango](#def-b1-findim-rank) $2$ lleva una redundancia equivalente a tres vectores, que la eliminación ([Ejemplo 19.16](#ex-b1-findim-rankcomputation)) localiza explícitamente.

**Observación 19.23 (Dónde se pone a trabajar la dimensión).**

La dimensión es el argumento de recuento favorito del libro a partir de aquí. [Capítulo 20](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/20-aplicaciones-lineales#ch-b1-linmaps) demuestra el teorema del [rango](#def-b1-findim-rank), la versión funcional de la fórmula de Grassmann; [Capítulo 21](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/21-matrices#ch-b1-matrices) calcula [rangos](#def-b1-findim-rank) por reducción por filas; [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/22-determinantes-y-sistemas-lineales#ch-b1-det) convierte «$n$ vectores de $K^n$ forman una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free)» en que un número sea no nulo. El problema del fin de semana de más abajo muestra a la dimensión haciendo *aritmética*: contar dimensiones sobre el [cuerpo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/7-estructuras-algebraicas#def-b1-structures-field) $\Q$ demuestra [enunciados](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-statement) de irracionalidad que parecen intocables a mano. En el volumen del tercer año, los mismos recuentos de dimensiones, afinados por la teoría de [grupos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/7-estructuras-algebraicas#def-b1-structures-group), deciden qué problemas clásicos de construcción son resolubles — esa historia es la teoría de Galois.

**Observación 19.24 (Perspectivas dentro del libro 3).**

La dimensión es la magnitud conservada del resto de este volumen, y merece la pena nombrar de antemano sus leyes de conservación. [Capítulo 20](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/20-aplicaciones-lineales#ch-b1-linmaps) demuestra $\dim E = \dim\ker u + \operatorname{rk} u$: lo que una [aplicación](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-map) lineal aplasta más lo que conserva suma siempre el espacio de partida. [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/22-determinantes-y-sistemas-lineales#ch-b1-det) lo afina en la estructura de los [conjuntos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) de soluciones: $p$ incógnitas menos $\operatorname{rk} A$ pivotes deja la dimensión del espacio de soluciones, que la eliminación de Gauss exhibe como parámetros [libres](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free). [Capítulo 23](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/23-espacios-euclideos#ch-b1-euclid) parte $\dim E = \dim F + \dim F^\perp$ de forma ortogonal, y el problema del fin de semana del [Capítulo 25](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/25-funciones-de-dos-variables#ch-b1-multivar) gasta exactamente ese presupuesto: $n$ datos, $2$ parámetros ajustados, $n - 2$ dimensiones de residuo. Siempre que una cuenta se niegue a cuadrar en un capítulo posterior, el error es un núcleo olvidado o una suma no directa — vuélvase primero a la fórmula de Grassmann.

## 19.3 Ejercicios

**Ejercicio 19.1 ★.**

Dense una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) y la dimensión de:

1. $F = \{(x,y,z) \in \R^3 : x + y + z = 0\}$ ;
2. $G = \{(x,y,z,t) \in \R^4 : x = y,\ z = 2t\}$ ;
3. $H = \{P \in \R_3[X] : P(1) = P'(1) = 0\}$ .

**Solución de Ejercicio 19.1.**

1. $z = -x - y$ : $F = \{(x, y, -x-y)\} =  \operatorname{Vect}\bigl((1,0,-1), (0,1,-1)\bigr)$ ; los dos vectores son [libres](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) ( [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#prop-b1-vspaces-coordinates) ): $\dim F = 2$ .
2. $G = \{(x, x, 2t, t)\} =  \operatorname{Vect}\bigl((1,1,0,0), (0,0,2,1)\bigr)$ : [libre](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) , $\dim G = 2$ .
3. $P(1) = P'(1) = 0$ significa $(X-1)^2 \mid P$ ( [Proposición 8.11](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#prop-b1-poly-multiplicity) ): $P = (X-1)^2(aX + b)$ . [Base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) $\bigl((X-1)^2, X(X-1)^2\bigr)$ , dimensión $2$ .

**Ejercicio 19.2 ★.**

Calcúlese el [rango](#def-b1-findim-rank) de la familia $\bigl((1,1,1), (1,2,3), (3,5,7), (0,1,2)\bigr)$ en $\R^3$, y extráigase una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) de su [subespacio generado](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-span).

**Solución de Ejercicio 19.2.**

$(3,5,7) = (1,1,1) + 2(1,2,3)$ y $(0,1,2) = (1,2,3) - (1,1,1)$: los dos son combinaciones de los dos primeros, que son [libres](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) (no proporcionales). [Rango](#def-b1-findim-rank) $2$; [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) del [subespacio generado](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-span): $\bigl((1,1,1), (1,2,3)\bigr)$.

**Ejercicio 19.3 ★.**

Complétese la [familia libre](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) $\bigl((1,1,0,0), (0,0,1,1)\bigr)$ hasta una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) de $\R^4$ usando vectores canónicos, y justifíquese.

**Solución de Ejercicio 19.3.**

Pruébese a añadir $e_1 = (1,0,0,0)$ y $e_3 = (0,0,1,0)$. La familia $\bigl((1,1,0,0), (0,0,1,1), e_1, e_3\bigr)$ es [libre](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free): una combinación nula $\alpha(1,1,0,0) + \beta(0,0,1,1) + \gamma e_1 +
\delta e_3 = 0$ dice $(\alpha + \gamma, \alpha, \beta + \delta,
\beta) = 0$, luego $\alpha = \beta = 0$ y después $\gamma = \delta = 0$. Cuatro vectores [libres](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) en dimensión $4$: una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) ([Proposición 19.8](#prop-b1-findim-twoofthree)).

**Ejercicio 19.4 ★.**

Demuéstrese que $\bigl(1, X, X(X-1), X(X-1)(X-2)\bigr)$ es una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) de $\R_3[X]$ y hállense las [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#prop-b1-vspaces-coordinates) de $X^3$ en ella.

**Solución de Ejercicio 19.4.**

Grados $0, 1, 2, 3$ distintos dos a dos: [libres](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) ([Proposición 18.19](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#prop-b1-vspaces-freecriteria)), y son cuatro vectores en dimensión $4$: [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free). Para $X^3$, desarróllese hacia abajo,

$$
X(X-1)(X-2) = X^3 - 3X^2 + 2X,
\qquad
X(X-1) = X^2 - X,
$$

luego $X^3 - X(X-1)(X-2) = 3X^2 - 2X$; y $3X^2 - 2X = 3(X^2 - X) + X = 3\,X(X-1) + X$. Por tanto,

$$
X^3 = X(X-1)(X-2) + 3\,X(X-1) + 1\cdot X + 0\cdot 1 :
$$

[coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#prop-b1-vspaces-coordinates) $(0, 1, 3, 1)$ sobre $\bigl(1, X, X(X-1),
X(X-1)(X-2)\bigr)$. (Son números de Stirling disfrazados.)

**Ejercicio 19.5 ★★.**

Sean $F$ y $G$ [subespacios](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-subspace) de dimensiones $4$ y $5$ de un espacio $E$ con $\dim E = 7$. ¿Qué valores puede tomar $\dim(F \cap G)$? Dese un ejemplo que realice cada valor con $E = \R^7$.

**Solución de Ejercicio 19.5.**

Grassmann: $\dim(F \cap G) = 4 + 5 - \dim(F + G)$, y $F + G$ es un [subespacio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-subspace) de $E$ que contiene a $G$: $5 \leq \dim(F+G) \leq 7$. Por tanto, $\dim(F \cap G) \in \{2, 3, 4\}$. Realizaciones en $\R^7$ con la [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) canónica $(e_1, \dots, e_7)$, tomando $G = \operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_5)$:

- $F = \operatorname{Vect}(e_1, e_2, e_6, e_7)$ : $F + G = \R^7$ , intersección $\operatorname{Vect}(e_1, e_2)$ , dimensión $2$ ;
- $F = \operatorname{Vect}(e_1, e_2, e_3, e_6)$ : intersección de dimensión $3$ ;
- $F = \operatorname{Vect}(e_1, e_2, e_3, e_4) \subseteq G$ : dimensión $4$ .

**Ejercicio 19.6 ★★.**

Sea $H = \{P \in \R_n[X] : P(1) = 0\}$. Demuéstrese que $H$ es un hiperplano de $\R_n[X]$ (un [subespacio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-subspace) de dimensión $n$), exhíbase una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) de $H$ *(piénsese en el teorema del factor: $P = (X-1)Q$)* y dese una recta suplementaria.

**Solución de Ejercicio 19.6.**

$H$ es un [subespacio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-subspace) (el [Ejercicio 18.1](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#exo-b1-vspaces-1) (4) al pie de la letra). Por el teorema del factor ([Teorema 8.7](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#thm-b1-poly-factor)), $P \in H \iff P = (X-1)Q$ con $\deg Q \leq n - 1$: la [aplicación](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-map) $Q \mapsto (X-1)Q$ es una [biyección](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj) lineal de $\R_{n-1}[X]$ sobre $H$, de modo que una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) de $H$ es

$$
\bigl((X-1),\ (X-1)X,\ (X-1)X^2,\ \dots,\ (X-1)X^{n-1}\bigr),
\qquad \dim H = n .
$$

Una recta suplementaria: $\operatorname{Vect}(1)$ (las constantes). En efecto, $H \cap \operatorname{Vect}(1) = \{0\}$ (una constante no nula no se anula en $1$) y las dimensiones suman $n + 1$: por Grassmann, $H \oplus \operatorname{Vect}(1) = \R_n[X]$.

**Ejercicio 19.7 ★★.**

Sean $u_1, \dots, u_p$ vectores de [rango](#def-b1-findim-rank) $r$. Demuéstrese que quitar un vector da una familia de [rango](#def-b1-findim-rank) $r$ o $r - 1$, y que añadir uno da [rango](#def-b1-findim-rank) $r$ o $r + 1$. Dedúzcase que el [rango](#def-b1-findim-rank) cambia a lo sumo en $1$ por cada inserción o supresión.

**Solución de Ejercicio 19.7.**

Supresión: al quitar $u_p$, el [subespacio generado](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-span) solo puede encoger; y encoge a lo sumo una dimensión, ya que devolver $u_p$ a una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) del [subespacio generado](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-span) menor da una familia generadora del mayor con a lo sumo un vector extra. Simétricamente, al añadir un vector $v$: el nuevo [subespacio generado](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-span) contiene al antiguo con a lo sumo un generador extra, de modo que su dimensión es $r$ (si $v$ ya estaba en el [subespacio generado](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-span)) o $r + 1$ (si no, por la [Proposición 18.19](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#prop-b1-vspaces-freecriteria) (2) una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) se extiende). Los dos [enunciados](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-statement) juntos dan la conclusión «el [rango](#def-b1-findim-rank) es $1$-lipschitziano».

**Ejercicio 19.8 ★★★.**

Sean $F_1 \subseteq F_2 \subseteq \dots \subseteq F_k$ [subespacios](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-subspace) de $E$ ($\dim E = n$) con $F_i \neq F_{i+1}$ para todo $i$. Demuéstrese que $k \leq n + 1$. Dedúzcase que una cadena estrictamente creciente de [subespacios](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-subspace) de $\R^n$ tiene longitud a lo sumo $n + 1$, y exhíbase una de longitud máxima.

**Solución de Ejercicio 19.8.**

A lo largo de una cadena estrictamente creciente, las dimensiones crecen estrictamente ($F_i \subseteq F_{i+1}$, $F_i \neq F_{i+1}$ y el [Teorema 19.14](#thm-b1-findim-subspaces): la igualdad de dimensiones forzaría la igualdad de los espacios). Así, $\dim F_1 < \dim F_2 < \dots < \dim F_k$ es una sucesión estrictamente creciente de enteros de $\intint{0}{n}$: a lo sumo $n + 1$ valores, $k \leq n + 1$. Cadena máxima en $\R^n$:

$$
\{0\} \subsetneq \operatorname{Vect}(e_1) \subsetneq
\operatorname{Vect}(e_1, e_2) \subsetneq \dots \subsetneq \R^n ,
$$

de longitud exactamente $n + 1$.

**Ejercicio 19.9 ★★★.**

Sea $E$ de dimensión $n$ y sean $F$, $G$ dos hiperplanos (de dimensión $n - 1$), $F \neq G$. Calcúlese $\dim(F \cap G)$. Generalícese: la intersección de $k$ hiperplanos tiene dimensión $\geq n - k$.

**Solución de Ejercicio 19.9.**

$F + G$ contiene estrictamente a $F$ (ya que $G \not\subseteq F$), luego $\dim(F + G) = n$ y Grassmann da $\dim(F \cap G) = (n-1) + (n-1) - n = n - 2$.

Afirmación general, por inducción sobre $k$: la intersección $I_k$ de $k$ hiperplanos cumple $\dim I_k \geq n - k$. Cierto para $k = 1$. Paso: $I_{k+1} = I_k \cap H_{k+1}$, y Grassmann dentro de $E$:

$$
\dim(I_k \cap H_{k+1}) = \dim I_k + (n - 1) - \dim(I_k + H_{k+1})
\geq \dim I_k + (n-1) - n \geq n - k - 1 . \qedhere
$$

**Ejercicio 19.10 ★★.**

Sea $E$ el [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) de las sucesiones reales que cumplen $u_{n+2} = 3u_{n+1} - 2u_n$ para todo $n$.

1. Véase que $E$ es un [subespacio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-subspace) del espacio de las sucesiones y que una sucesión de $E$ queda enteramente determinada, de forma lineal, por la pareja $(u_0, u_1)$ ; dedúzcase $\dim E = 2$ .
2. Compruébese que la sucesión constante $(1)$ y la sucesión geométrica $(2^n)$ están en $E$ y forman una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) de $E$ .
3. Hállese la sucesión de $E$ con $u_0 = 0$ , $u_1 = 1$ .

**Solución de Ejercicio 19.10.**

1. La condición $u_{n+2} - 3u_{n+1} + 2u_n = 0$ es lineal y la cumple la sucesión nula: $E$ es un [subespacio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-subspace) . Por inducción, $u_0$ y $u_1$ determinan todos los $u_n$ , y la dependencia es lineal (cada paso es una combinación lineal de los dos valores anteriores); recíprocamente, cada pareja $(a, b)$ proviene de exactamente una sucesión de $E$ (defínase $u_n$ por la recurrencia). Como en el [Ejemplo 19.5](#ex-b1-findim-dims) , $E$ está parametrizado [biyectiva](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj) y linealmente por $(u_0, u_1) \in \R^2$ : $\dim E = 2$ .
2. Constantes: $3\cdot1 - 2\cdot1 = 1$ . Geométrica: $3\cdot 2^{n+1} - 2\cdot 2^n = (6 - 2)2^n = 2^{n+2}$ . Las dos están en $E$ . Libertad: $a\cdot 1 + b\cdot 2^n = 0$ para todo $n$ da, en $n = 0$ y $n = 1$ : $a + b = 0$ , $a + 2b = 0$ , luego $a = b = 0$ . Dos vectores [libres](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) en dimensión $2$ : una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) ( [Proposición 19.8](#prop-b1-findim-twoofthree) ).
3. Resuélvase $a + b = 0$ , $a + 2b = 1$ : $b = 1$ , $a = -1$ , luego $u_n = 2^n - 1$ (la sucesión de Mersenne).

**Ejercicio 19.11 ★★.**

Sea $E$ de dimensión $n$.

1. Si $F, G$ son [subespacios](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-subspace) con $\dim F + \dim G > n$ , demuéstrese que $F \cap G \neq \{0\}$ . Ilústrese: dos [subespacios](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-subspace) de dimensiones $51$ y $50$ de $\R^{100}$ siempre comparten un vector no nulo.
2. Si $H$ es un hiperplano y $F$ un [subespacio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-subspace) con $F \cap H = \{0\}$ , demuéstrese que $\dim F \leq 1$ .

**Solución de Ejercicio 19.11.**

1. Grassmann: $\dim(F \cap G) = \dim F + \dim G - \dim(F +  G) \geq \dim F + \dim G - n > 0$ , luego $F \cap G \neq \{0\}$ . Con $n = 100$ : $51 + 50 - 100 = 1 >  0$ , la intersección contiene una recta.
2. Si $F \cap H = \{0\}$ , la suma es directa y $\dim F + (n - 1) = \dim(F \oplus H) \leq n$ , luego $\dim F \leq 1$ . (Recíprocamente, una recta no contenida en $H$ sí lo cumple: los hiperplanos no se pierden casi nada.)

**Ejercicio 19.12 ★★★.**

([Suplementario](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-sum) común) Sean $F, G$ [subespacios](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-subspace) de $E$ ([de dimensión finita](#def-b1-findim-def)) con $\dim F = \dim G$. Demuéstrese que $F$ y $G$ admiten un [suplementario](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-sum) *común*: hay un [subespacio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-subspace) $S$ con $E = F \oplus S = G \oplus S$. *(Inducción descendente sobre $\dim F$: si $F \neq G \neq E$, tómese $x \notin F \cup G$ — el [Ejercicio 18.12](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#exo-b1-vspaces-12) lo permite— y considérense $F \oplus \operatorname{Vect}(x)$ y $G \oplus \operatorname{Vect}(x)$.)*

**Solución de Ejercicio 19.12.**

Inducción descendente sobre $d = \dim F = \dim G$, desde $d = n$ hasta $d = 0$. Si $d = n$: $F = G = E$ y sirve $S = \{0\}$. Supóngase el [enunciado](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-statement) para parejas de [subespacios](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-subspace) de dimensión $d + 1 \leq n$, y sea $\dim F = \dim G = d < n$.

Si $F = G$: tómese como $S$ un [suplementario](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-sum) cualquiera de $F$ ([Teorema 19.14](#thm-b1-findim-subspaces)). Si $F \neq G$: los dos son propios, luego por el [Ejercicio 18.12](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#exo-b1-vspaces-12) existe $x \notin F \cup G$. Las sumas $F' = F \oplus \operatorname{Vect}(x)$ y $G' = G \oplus \operatorname{Vect}(x)$ son directas ($x \notin F$, $x \notin G$) y tienen dimensión $d + 1$; por la hipótesis de inducción admiten un [suplementario](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-sum) común $S'$: $E = F' \oplus S' = G' \oplus S'$. Póngase $S = \operatorname{Vect}(x) \oplus S'$ — directa, porque $S' \cap \operatorname{Vect}(x) \subseteq S' \cap F' = \{0\}$.

Entonces $F + S = F + \operatorname{Vect}(x) + S' = F' + S' = E$, y $F \cap S = \{0\}$: si $f = \lambda x + s'$ con $f \in F$, $s' \in S'$, entonces $s' = f - \lambda x \in F' \cap S' = \{0\}$, luego $f = \lambda x$, lo que fuerza $\lambda = 0$ ($x \notin F$) y $f = 0$. Por tanto, $E = F \oplus S$ y, simétricamente, $E = G \oplus S$.

## 19.4 Problema: la ley de la torre de Dedekind

**Problema 19.1.**

Nada en los capítulos 18–19 ha usado de los escalares más que los axiomas de [cuerpo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/7-estructuras-algebraicas#def-b1-structures-field) ([Definición 7.22](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/7-estructuras-algebraicas#def-b1-structures-field)): se puede, por tanto, tomar $K = \Q$ y medir [conjuntos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) de *números reales* con la vara de la $\Q$-dimensión. Este problema calcula la dimensión de $\Q(\sqrt2, \sqrt3)$, demuestra la *[ley de la torre](#pb-b1-findim-1) de Dedekind* $\dim_\Q M = \dim_\Q K \cdot \dim_K M$ y cosecha teoremas de irracionalidad por puro recuento de dimensiones — sin $\varepsilon$, sin decimales, solo con [bases](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free).

**Parte I — Escalares racionales.**

1. Compruébese que $\Q$ es un [cuerpo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/7-estructuras-algebraicas#def-b1-structures-field) y que toda definición y toda demostración de los capítulos 18–19 usa únicamente los axiomas de [cuerpo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/7-estructuras-algebraicas#def-b1-structures-field) de los escalares; conclúyase que $\R$ es un $\Q$ -espacio vectorial y que el lema del intercambio, los teoremas de [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) y la fórmula de Grassmann valen sobre $\Q$ . Señálese el único paso de la demostración del [Teorema 19.2](#thm-b1-findim-exchange) donde se [divide](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/6-aritmetica-de-los-enteros#def-b1-arith-divides) por un escalar no nulo.
2. Véase que $(1, \sqrt2)$ es [libre](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) sobre $\Q$ pero ligada sobre $\R$ . Póngase $\Q(\sqrt2) = \operatorname{Vect}_\Q(1,  \sqrt2) = \{a + b\sqrt2 : a, b \in \Q\}$ ; ¿cuánto vale $\dim_\Q \Q(\sqrt2)$ ?
3. Véase que $\Q(\sqrt2)$ es estable por la multiplicación. Para $u = a + b\sqrt2$ , póngase $\sigma(u) = a - b\sqrt2$ y $N(u) = u\,\sigma(u) = a^2 - 2b^2$ . Véase que $\sigma(uv) = \sigma(u)\sigma(v)$ , dedúzcase $N(uv) = N(u)N(v)$ y véase que $N(u) \neq 0$ siempre que $u \neq 0$ .
4. Dedúzcase que todo $u \in \Q(\sqrt2)$ no nulo tiene su inverso en $\Q(\sqrt2)$ , a saber, $u^{-1} = \sigma(u)/N(u)$ : $\Q(\sqrt2)$ es un subcuerpo de $\R$ . Calcúlense $\dfrac1{3 + 2\sqrt2}$ y $\dfrac1{1 + \sqrt2}$ .

**Parte II — Adjuntar $\sqrt3$.**

5. Demuéstrese que $\sqrt6 \notin \Q$ *(compárese el exponente de $2$ en los dos miembros de $6q^2 = p^2$, como en el [Ejercicio 6.7](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/6-aritmetica-de-los-enteros#exo-b1-arith-7))* y después que $\sqrt3 \notin \Q(\sqrt2)$ *(elévese al cuadrado $\sqrt3 = a + b\sqrt2$ y discútanse los casos $ab \neq 0$, $b = 0$, $a = 0$)* .
6. Sea $M = \operatorname{Vect}_\Q(1, \sqrt2, \sqrt3,  \sqrt6)$ . Véase que $M$ es estable por la multiplicación *(basta una tabla de los productos de los vectores de la [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free))* .
7. Escríbase $K = \Q(\sqrt2)$ . Véase que $(1, \sqrt3)$ es [libre](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) *sobre el [cuerpo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/7-estructuras-algebraicas#def-b1-structures-field) $K$* , y dedúzcase que $M = K + K\sqrt3$ es un $K$ -espacio vectorial de dimensión $2$ con base $(1, \sqrt3)$ .
8. Demuéstrese que $(1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6)$ es [libre](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) sobre $\Q$ , luego $\dim_\Q M = 4$ . *(Agrúpese una relación nula como $(a + b\sqrt2) + (c + d\sqrt2)\sqrt3 = 0$ y aplíquense las preguntas 7 y después 2.)*

**Parte III — La [ley de la torre](#pb-b1-findim-1).** Sea $\Q \subseteq K \subseteq M \subseteq \R$, donde $K$ y $M$ son subcuerpos, $(e_1, \dots, e_m)$ es una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) de $K$ como $\Q$-espacio vectorial y $(f_1, \dots, f_n)$ una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) de $M$ como $K$-espacio vectorial.

9. Véase que los $mn$ productos $(e_i f_j)$ generan $M$ sobre $\Q$ .
10. Véase que la familia $(e_i f_j)$ es [libre](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) sobre $\Q$ . *(Reorganícese una $\Q$-combinación nula como $\sum_j \bigl(\sum_i \lambda_{ij} e_i\bigr) f_j$, cuyos coeficientes [interiores](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/12-topologia-de-la-recta-real#def-b1-topology-closure) viven en $K$.)*
11. Conclúyase con la *[ley de la torre](#pb-b1-findim-1) de Dedekind*: $$\dim_\Q M \;=\; \dim_\Q K \,\cdot\, \dim_K M ,$$ y compruébese sobre $\Q \subseteq \Q(\sqrt2) \subseteq M$ con las preguntas 7 y 8.
12. ( [Cuerpos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/7-estructuras-algebraicas#def-b1-structures-field) gratis) Sea $A \subseteq \R$ un $\Q$ -subespacio [de dimensión finita](#def-b1-findim-def) que contiene a $1$ y es estable por la multiplicación, y sea $u \in A$ , $u \neq 0$ . Véase que si $(a_1, \dots, a_d)$ es una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) de $A$ , entonces $(u a_1, \dots, u a_d)$ vuelve a ser una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) de $A$ ; dedúzcase que $u$ tiene inverso *en $A$* : $A$ es un subcuerpo de $\R$ . ¿Qué preguntas anteriores recupera esto?
13. Véase que para todo $x \in A$ (como en la pregunta 12, con $\dim_\Q A = d$ ) la familia $(1, x, x^2, \dots, x^{d})$ es ligada: todo elemento de $A$ es raíz de un [polinomio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) no nulo con coeficientes racionales, de grado a lo sumo $d$ .

**Parte IV — Un número lo genera todo.** Póngase $s = \sqrt2 + \sqrt3$.

14. Calcúlense las [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#prop-b1-vspaces-coordinates) de $s^2$ , $s^3$ y $s^4$ en la base $(1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6)$ de $M$ .
15. Véase que $(1, s, s^2, s^3)$ es [libre](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) sobre $\Q$ y dedúzcase $\operatorname{Vect}_\Q(1, s, s^2, s^3) = M$ : todo elemento de $M$ es un [polinomio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) racional en $s$ . Exprésense $\sqrt2$ y $\sqrt3$ como tales [polinomios](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) .
16. Compruébese $s^4 - 10s^2 + 1 = 0$ y véase que $X^4 - 10X^2 + 1$ es el *[polinomio mónico](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) de menor grado* que se anula en $s$ . Determínense sus cuatro raíces reales.
17. Dedúzcase: $1/s = 10s - s^3$ ; identifíquese ese número. Véase que $a + b\sqrt2 + c\sqrt3 + d\sqrt6$ ( $a,b,c,d \in \Q$ ) es racional si y solo si $b = c = d = 0$ ; en particular, $\sqrt2 + \sqrt3 + \sqrt6$ es irracional (reforzando el [Ejercicio 10.7](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#exo-b1-reals-7) ).

**Parte V — La raíz cúbica se queda fuera.** Póngase $t = 2^{1/3}$.

18. Véase que $X^3 - 2$ no tiene raíz racional *(el criterio de la raíz racional del [Ejercicio 8.5](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#exo-b1-poly-5), o un recuento de valuaciones)* ; dedúzcase que $(1, t)$ es [libre](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) sobre $\Q$ .
19. Véase que $(1, t, t^2)$ es [libre](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) sobre $\Q$ . *(Si algún $P \in \Q[X]$ no nulo de grado $\leq 2$ mata a $t$, tómese uno de grado mínimo y divídase $X^3 - 2$ entre él, [Teorema 8.3](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#thm-b1-poly-division); conclúyase que $X^3 - 2$ tendría una raíz racional.)* Dedúzcase que $A = \operatorname{Vect}_\Q(1, t, t^2)$ tiene dimensión $3$ , es estable por la multiplicación y es un subcuerpo de $\R$ .
20. Demuéstrese que $t \notin M$ : si no, $M$ sería un [espacio vectorial](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-def) sobre el [cuerpo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/7-estructuras-algebraicas#def-b1-structures-field) $A$ y la [ley de la torre](#pb-b1-findim-1) forzaría $3 \mid 4$ . Así que $2^{1/3}$ no es combinación racional de $1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6$ .
21. Dedúzcase que $t \notin \Q(\sqrt2)$ , que $t + \sqrt2$ es irracional y que no hay racionales $a, b$ que cumplan $2^{1/3} = a + b\sqrt3$ .

**Parte VI — Todos los subcuerpos, y síntesis.**

22. Demuéstrese la [divisibilidad](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/6-aritmetica-de-los-enteros#def-b1-arith-divides) de los grados: si $\Q \subseteq A \subseteq B \subseteq \R$ son subcuerpos con $\dim_\Q B$ finita, entonces $\dim_\Q A$ [divide](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/6-aritmetica-de-los-enteros#def-b1-arith-divides) a $\dim_\Q B$ . ¿Qué dimensiones pueden tener los subcuerpos de $M$ ?
23. Determínense *todos* los subcuerpos de $M$ de dimensión $2$ sobre $\Q$ . *(Redúzcase a hallar los $w = a +  b\sqrt2 + c\sqrt3 + d\sqrt6 \in M \setminus \Q$ con $w^2 \in \Q$: desarróllese $w^2$ y anúlense las tres [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#prop-b1-vspaces-coordinates) irracionales.)*
24. Exprésese $\dfrac1{1 + \sqrt2 + \sqrt3}$ en la base $(1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6)$ *(multiplíquese por [conjugados](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/3-numeros-complejos#def-b1-complex-field) bien elegidos)* .
25. Síntesis, en cuatro frases: por qué la $\Q$ -dimensión es un invariante *aritmético* de un [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) de reales; qué fuerza la finitud de la dimensión sobre todo elemento (pregunta 13); cómo la regla de dos de tres produjo inversos de la nada (pregunta 12); y qué prohíbe la [ley de la torre](#pb-b1-findim-1) (pregunta 20). Nómbrese el teorema demostrado en la parte III.

**Solución de Problema 19.1.**

**1.** $\Q$ contiene $0 \neq 1$, es estable por la suma, el producto y los opuestos, y todo racional no nulo tiene inverso racional: es un [cuerpo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/7-estructuras-algebraicas#def-b1-structures-field) ([Definición 7.22](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/7-estructuras-algebraicas#def-b1-structures-field)). Las definiciones de [subespacio generado](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-span), de libertad y de [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free), y las demostraciones de los capítulos 18–19, usan solo la suma de vectores, la distributividad y la aritmética de escalares en un [cuerpo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/7-estructuras-algebraicas#def-b1-structures-field) — nunca un valor absoluto, un orden ni un límite. Así que $\R$, con su propia suma y con la multiplicación $\Q \times \R \to \R$, es un $\Q$-espacio vectorial, y todos los teoremas se aplican. La división por un escalar aparece una vez en la demostración del [Teorema 19.2](#thm-b1-findim-exchange): para «despejar $g_k$» se [divide](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/6-aritmetica-de-los-enteros#def-b1-arith-divides) por su coeficiente no nulo.

**2.** Si $a + b\sqrt2 = 0$ con $a, b \in \Q$ no ambos nulos: $b \neq 0$ daría $\sqrt2 = -a/b \in \Q$, en contradicción con la irracionalidad de $\sqrt2$ ([Ejercicio 6.7](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/6-aritmetica-de-los-enteros#exo-b1-arith-7) con $p = 2$); luego $b = 0$ y después $a = 0$: [libre](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) sobre $\Q$. Sobre $\R$, la relación $\sqrt2\cdot 1 + (-1)\cdot\sqrt2 = 0$ es no trivial: ligada. Por tanto, $\dim_\Q \Q(\sqrt2) = 2$, con [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#prop-b1-vspaces-coordinates) únicas $(a, b)$.

**3.** $(a + b\sqrt2)(c + d\sqrt2) = (ac + 2bd) + (ad +
bc)\sqrt2 \in \Q(\sqrt2)$. Entonces

$$
\sigma(uv) = (ac + 2bd) - (ad + bc)\sqrt2
= (a - b\sqrt2)(c - d\sqrt2) = \sigma(u)\sigma(v),
$$

luego $N(uv) = uv\,\sigma(uv) = u\sigma(u)\,v\sigma(v) = N(u)N(v)$. Si $N(u) = a^2 - 2b^2 = 0$ con $u \neq 0$: $b \neq 0$ daría $(a/b)^2 = 2$, una raíz cuadrada racional de $2$; luego $b = 0$, y entonces $a = 0$ y $u = 0$: contradicción. Por tanto, $N(u) \neq 0$ para $u \neq 0$.

**4.** $u \cdot \dfrac{\sigma(u)}{N(u)} = \dfrac{N(u)}{N(u)}
= 1$, y $\sigma(u)/N(u) \in \Q(\sqrt2)$: todo elemento no nulo es invertible dentro de $\Q(\sqrt2)$, que es, por tanto, un subcuerpo de $\R$. Ejemplos: $N(3 + 2\sqrt2) = 9 - 8 = 1$, luego

$$
\frac1{3 + 2\sqrt2} = 3 - 2\sqrt2 ;
\qquad
N(1 + \sqrt2) = -1, \quad
\frac1{1 + \sqrt2} = \sqrt2 - 1 .
$$

**5.** Si $\sqrt6 = p/q$, entonces $6q^2 = p^2$; el exponente de $2$ es $1 + 2v_2(q)$, impar, a la izquierda, y $2v_2(p)$, par, a la derecha: imposible. Supóngase ahora $\sqrt3 = a + b\sqrt2$ con $a, b \in \Q$. Elevando al cuadrado: $3 = a^2 + 2b^2 + 2ab\sqrt2$. Si $ab \neq 0$, entonces $\sqrt2 = (3 - a^2 - 2b^2)/(2ab) \in \Q$: imposible. Si $b = 0$: $\sqrt3 = a \in \Q$, en contradicción con el [Ejercicio 6.7](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/6-aritmetica-de-los-enteros#exo-b1-arith-7) ($p = 3$). Y si $a = 0$: $\sqrt3 = b\sqrt2$ y, multiplicando por $\sqrt2$: $\sqrt6 = 2b \in \Q$: imposible. Así que $\sqrt3 \notin \Q(\sqrt2)$.

**6.** Los productos de los vectores de la [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) son

$$
\sqrt2\,\sqrt3 = \sqrt6,\quad
\sqrt2\,\sqrt6 = 2\sqrt3,\quad
\sqrt3\,\sqrt6 = 3\sqrt2,\quad
(\sqrt2)^2 = 2,\ (\sqrt3)^2 = 3,\ (\sqrt6)^2 = 6,
$$

todos en $M$. Un producto de dos elementos de $M$ se desarrolla por bilinealidad en combinaciones racionales de estos: $M$ es estable por la multiplicación.

**7.** Sea $x + y\sqrt3 = 0$ con $x, y \in K = \Q(\sqrt2)$. Si $y \neq 0$, entonces $\sqrt3 = -x/y \in K$ (pregunta 4: $K$ es un [cuerpo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/7-estructuras-algebraicas#def-b1-structures-field)), en contradicción con la pregunta 5. Luego $y = 0$ y después $x = 0$: $(1, \sqrt3)$ es [libre](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) sobre $K$. Y genera: $K + K\sqrt3 = \{(a + b\sqrt2) + (c + d\sqrt2)\sqrt3\} =
\operatorname{Vect}_\Q (1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6) = M$. Por tanto, $\dim_K M = 2$.

**8.** Una relación $a + b\sqrt2 + c\sqrt3 + d\sqrt6 = 0$ se reagrupa como $(a + b\sqrt2) + (c + d\sqrt2)\sqrt3 = 0$ con coeficientes en $K$; por la pregunta 7 los dos se anulan y, por la pregunta 2, $a = b = 0$ y $c = d = 0$. Así que la familia es [libre](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) y $\dim_\Q M = 4$.

**9.** Todo $x \in M$ se escribe $x = \sum_j y_j f_j$ con $y_j \in K$ ([base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) de $M$ sobre $K$), y cada $y_j = \sum_i \lambda_{ij} e_i$ con $\lambda_{ij} \in \Q$ ([base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) de $K$ sobre $\Q$); sustituyendo, $x = \sum_{i,j} \lambda_{ij}\, e_i f_j$: los productos generan $M$ sobre $\Q$.

**10.** Supóngase $\sum_{i,j} \lambda_{ij}\, e_i f_j = 0$ con $\lambda_{ij} \in \Q$. Reagrúpese: $\sum_j \bigl(\sum_i \lambda_{ij} e_i\bigr) f_j = 0$, y las sumas [interiores](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/12-topologia-de-la-recta-real#def-b1-topology-closure) están en $K$. Que $(f_j)$ sea [libre](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) sobre $K$ da $\sum_i \lambda_{ij} e_i = 0$ para cada $j$; y que $(e_i)$ sea [libre](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) sobre $\Q$ da entonces $\lambda_{ij} = 0$ para todos $i, j$.

**11.** Por las preguntas 9 y 10, $(e_i f_j)_{i \leq m,\, j \leq n}$ es una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) de $M$ sobre $\Q$ con $mn$ elementos:

$$
\dim_\Q M = m\,n = \dim_\Q K \cdot \dim_K M .
$$

Comprobación: $\dim_\Q K = 2$ y $\dim_K M = 2$ (preguntas 2 y 7) dan $\dim_\Q M = 4$, que es la pregunta 8.

**12.** Los vectores $u a_1, \dots, u a_d$ están en $A$ (por la estabilidad). Son [libres](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free): si $\sum_i \lambda_i\, u a_i = 0$, entonces $u \sum_i \lambda_i a_i = 0$ en $\R$, y $u \neq 0$ fuerza $\sum_i \lambda_i a_i = 0$, luego $\lambda_i = 0$ (los $a_i$ forman una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free)). Así, $(u a_1, \dots, u a_d)$ es una [familia libre](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) de $d$ vectores en $A$, con $\dim_\Q A = d$: una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) ([Proposición 19.8](#prop-b1-findim-twoofthree)). En particular, $1 \in A$ se descompone como $1 = \sum_i \mu_i\, u a_i = u\,v$ con $v = \sum_i \mu_i a_i \in A$: el inverso de $u$ está en $A$. Esto recupera la pregunta 4 ($A = \Q(\sqrt2)$) y demuestra de golpe que $M$ es un subcuerpo de $\R$ (con la pregunta 6).

**13.** Los $d + 1$ vectores $1, x, x^2, \dots, x^{d}$ están todos en $A$ (estabilidad por productos); y una [familia libre](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) de $A$ tiene a lo sumo $d$ vectores ([Proposición 19.8](#prop-b1-findim-twoofthree)), así que son ligados: hay racionales $\lambda_0, \dots, \lambda_d$, no todos nulos, con $\sum_k \lambda_k x^k = 0$. El [polinomio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) $P = \sum_k \lambda_k X^k$ es no nulo, tiene coeficientes racionales, grado $\leq d$ y $P(x) = 0$.

**14.** $s^2 = 2 + 2\sqrt6 + 3 = 5 + 2\sqrt6$: [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#prop-b1-vspaces-coordinates) $(5, 0, 0, 2)$. Después,

$$
s^3 = s\,s^2 = (\sqrt2 + \sqrt3)(5 + 2\sqrt6)
= 5\sqrt2 + 2\sqrt{12} + 5\sqrt3 + 2\sqrt{18}
= 11\sqrt2 + 9\sqrt3 ,
$$

[coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#prop-b1-vspaces-coordinates) $(0, 11, 9, 0)$ (usando $\sqrt{12} = 2\sqrt3$, $\sqrt{18} = 3\sqrt2$). Por último, $s^4 = (s^2)^2 = 25 + 20\sqrt6 + 24 = 49 + 20\sqrt6$: [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#prop-b1-vspaces-coordinates) $(49, 0, 0, 20)$.

**15.** Supóngase $a + bs + cs^2 + ds^3 = 0$. Leyendo las cuatro [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#prop-b1-vspaces-coordinates) sobre $(1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6)$:

$$
a + 5c = 0,\qquad b + 11d = 0,\qquad b + 9d = 0,\qquad 2c = 0 .
$$

Luego $c = 0$ y después $a = 0$; restando las ecuaciones centrales, $2d = 0$ y después $b = 0$: $(1, s, s^2, s^3)$ es [libre](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free). Cuatro vectores [libres](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) en $M$, de dimensión $4$: una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free), luego $\operatorname{Vect}_\Q(1, s, s^2, s^3) = M$. De la pregunta 14, $s^3 - 9s = 2\sqrt2$ y $11s - s^3 = 2\sqrt3$:

$$
\sqrt2 = \frac{s^3 - 9s}{2},
\qquad
\sqrt3 = \frac{11s - s^3}{2} .
$$

**16.** $s^4 - 10s^2 + 1 = (49 + 20\sqrt6) - 10(5 + 2\sqrt6) +
1 = 0$. Un [polinomio mónico](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) de grado $\leq 3$ que se anulara en $s$ produciría una combinación nula no trivial de $(1, s, s^2, s^3)$, en contradicción con la pregunta 15: $X^4 - 10X^2 + 1$ es de grado mínimo. Sus raíces: $X^2 = 5 \pm 2\sqrt6 = (\sqrt3 \pm \sqrt2)^2$, así que las cuatro raíces reales son $\pm(\sqrt3 + \sqrt2)$ y $\pm(\sqrt3 - \sqrt2)$, es decir, $\pm\sqrt2 \pm \sqrt3$.

**17.** De $s^4 - 10s^2 + 1 = 0$: $s\,(10s - s^3) = 1$, luego

$$
\frac1s = 10s - s^3 = 10(\sqrt2 + \sqrt3) - (11\sqrt2 + 9\sqrt3)
= \sqrt3 - \sqrt2 ,
$$

en consonancia con $(\sqrt3 + \sqrt2)(\sqrt3 - \sqrt2) = 1$. Si $a + b\sqrt2 + c\sqrt3 + d\sqrt6 = r \in \Q$, entonces $(a - r) + b\sqrt2 + c\sqrt3 + d\sqrt6 = 0$ y la libertad (pregunta 8) fuerza $b = c = d = 0$ (y $a = r$). Para $\sqrt2 + \sqrt3 + \sqrt6$, las [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#prop-b1-vspaces-coordinates) $(0, 1, 1, 1)$ no son de esa forma: irracional — un [enunciado](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-statement) más fuerte que el [Ejercicio 10.7](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#exo-b1-reals-7), obtenido sin ningún truco de elevar al cuadrado.

**18.** Una raíz racional $p/q$ (irreducible) de $X^3 - 2$ cumple $p^3 = 2q^3$, y el criterio del [Ejercicio 8.5](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#exo-b1-poly-5) da $p \mid 2$, $q \mid 1$: candidatas $\pm1, \pm2$, cuyos cubos son $\pm1, \pm8 \neq 2$. No hay raíz racional; en particular, $t = 2^{1/3} \notin \Q$, luego $(1, t)$ es [libre](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) sobre $\Q$ (como en la pregunta 2).

**19.** Supóngase $(1, t, t^2)$ ligada: algún $P \in \Q[X]$ no nulo con $\deg P \leq 2$ cumple $P(t) = 0$; elíjase un $P$ así de grado *mínimo* $d \geq 1$. Por la pregunta 18, $d \neq 1$, luego $d = 2$. División euclídea ([Teorema 8.3](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#thm-b1-poly-division)): $X^3 - 2 = PQ + R$ con $Q, R \in \Q[X]$, $\deg R < 2$. Evaluando en $t$: $0 = P(t)Q(t) + R(t) = R(t)$, luego $R$ se anula en $t$; y la minimalidad de $d$ fuerza $R = 0$. Entonces $X^3 - 2 = PQ$ con $\deg Q = 1$: la raíz racional de $Q$ es una raíz racional de $X^3 - 2$, en contradicción con la pregunta 18. Por tanto, $(1, t, t^2)$ es [libre](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) y $\dim_\Q A = 3$. Estabilidad: $t^3 = 2$ reduce todo producto de $1, t, t^2$ a una combinación de ellos ($t\cdot t^2 = 2$, $t^2\cdot t^2 = 2t$); y $A$ contiene a $1$: por la pregunta 12, $A$ es un subcuerpo de $\R$.

**20.** Supóngase $t \in M$. Entonces $t^2 \in M$ (estabilidad), luego $A \subseteq M$, y $M$ es un [espacio vectorial](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-def) sobre el [cuerpo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/7-estructuras-algebraicas#def-b1-structures-field) $A$: los axiomas son los de la aritmética de $\R$, restringidos. Y es [de dimensión finita](#def-b1-findim-def) sobre $A$ (una familia $\Q$-generadora finita genera a fortiori sobre $A \supseteq \Q$). La [ley de la torre](#pb-b1-findim-1) para $\Q \subseteq A \subseteq M$ da

$$
4 = \dim_\Q M = \dim_\Q A \cdot \dim_A M = 3\,\dim_A M ,
$$

imposible: $3$ no [divide](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/6-aritmetica-de-los-enteros#def-b1-arith-divides) a $4$. Luego $2^{1/3} \notin M$: ninguna combinación racional de $1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6$ es igual a $2^{1/3}$.

**21.** $\Q(\sqrt2) \subseteq M$, luego $t \notin \Q(\sqrt2)$. Si $t + \sqrt2 = r \in \Q$, entonces $t = r - \sqrt2 \in \Q(\sqrt2)$: contradicción — $2^{1/3} + \sqrt2$ es irracional. Y si $t = a + b\sqrt3$, entonces $t \in \operatorname{Vect}_\Q(1, \sqrt3) \subseteq M$: otra contradicción.

**22.** $B$ es un [espacio vectorial](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-def) sobre el [cuerpo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/7-estructuras-algebraicas#def-b1-structures-field) $A$ (restricción de escalares), [de dimensión finita](#def-b1-findim-def) ya que $\dim_\Q B$ es finita. La [ley de la torre](#pb-b1-findim-1) para $\Q \subseteq A \subseteq B$ da $\dim_\Q B = \dim_\Q A \cdot \dim_A B$: el factor de la izquierda [divide](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/6-aritmetica-de-los-enteros#def-b1-arith-divides). Los subcuerpos de $M$ tienen, por tanto, $\Q$-dimensión $1$, $2$ o $4$: la dimensión $1$ es $\Q$ mismo y la $4$ es $M$.

**23.** Sea $F \subseteq M$ un subcuerpo con $\dim_\Q F = 2$ y sea $w \in F \setminus \Q$: $(1, w)$ es [libre](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) y, por tanto, una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) de $F$. Por la pregunta 13 ($d = 2$), $w^2 = \alpha + \beta w$ para ciertos racionales $\alpha, \beta$. Poniendo $v = w - \beta/2 \in F \setminus \Q$:

$$
v^2 = w^2 - \beta w + \frac{\beta^2}4 = \alpha + \frac{\beta^2}4
\;\in\; \Q,
$$

y $F = \operatorname{Vect}(1, v)$. Escríbase ahora $v = a + b\sqrt2 + c\sqrt3 + d\sqrt6$ y desarróllese:

$$
v^2 = (a^2 + 2b^2 + 3c^2 + 6d^2)
+ (2ab + 6cd)\sqrt2 + (2ac + 4bd)\sqrt3 + (2ad + 2bc)\sqrt6 .
$$

Las tres [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#prop-b1-vspaces-coordinates) irracionales se anulan: $ab + 3cd = ac + 2bd = ad + bc = 0$. Si $a \neq 0$: $b = -3cd/a$, y la segunda condición se convierte en $c(a^2 - 6d^2) = 0$; y como $a^2 = 6d^2$ con $d \neq 0$ haría racional $\sqrt6 = \abs{a/d}$, o bien $c = 0$ o bien $d = 0$, y en los dos casos las condiciones restantes fuerzan $b = c = d = 0$, es decir, $v \in \Q$: excluido. Luego $a = 0$, y las condiciones dicen $3cd = 2bd = bc = 0$: a lo sumo uno de $b, c, d$ es no nulo. Por tanto, $v$ es un múltiplo racional de $\sqrt2$, $\sqrt3$ o $\sqrt6$, y

$$
F \in \bigl\{\Q(\sqrt2),\ \Q(\sqrt3),\ \Q(\sqrt6)\bigr\} ,
$$

cada uno de los cuales es, en efecto, un subcuerpo de dimensión $2$ (la estabilidad como en la pregunta 6, los inversos por la pregunta 12): exactamente tres subcuerpos cuadráticos.

**24.** $(1 + \sqrt2 + \sqrt3)(1 + \sqrt2 - \sqrt3) =
(1 + \sqrt2)^2 - 3 = 2\sqrt2$, luego

$$
\frac1{1 + \sqrt2 + \sqrt3}
= \frac{1 + \sqrt2 - \sqrt3}{2\sqrt2}
= \frac{\sqrt2 + 2 - \sqrt6}{4}
= \frac12 + \frac14\sqrt2 + 0\cdot\sqrt3 - \frac14\sqrt6 .
$$

(Compruébese: $(1 + \sqrt2 + \sqrt3)(2 + \sqrt2 - \sqrt6) = 4$ tras desarrollar.)

**25.** (i) La $\Q$-dimensión asocia un *entero* a cada subcuerpo de $\R$, y la [ley de la torre](#pb-b1-findim-1) hace que esos enteros se multipliquen a lo largo de las inclusiones: la dimensión se comporta como un invariante aritmético, y las restricciones de [divisibilidad](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/6-aritmetica-de-los-enteros#def-b1-arith-divides) se convierten en demostraciones de imposibilidad. (ii) La [dimensión finita](#def-b1-findim-def) obliga a que todo elemento cumpla una ecuación polinómica racional no nula de grado a lo sumo la dimensión: finitud significa algebraicidad. (iii) La regla de dos de tres convirtió «multiplicar por $u$ lleva una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) a una [familia libre](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) de tamaño máximo» en [sobreyectividad](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj), produciendo $u^{-1}$ sin ninguna fórmula: los inversos salieron de contar. (iv) La [ley de la torre](#pb-b1-findim-1) prohíbe un [cuerpo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/7-estructuras-algebraicas#def-b1-structures-field) de dimensión $3$ dentro de uno de dimensión $4$, y por eso $2^{1/3}$ no se puede alcanzar desde $\sqrt2$ y $\sqrt3$. El teorema de la parte III es la *[ley de la torre](#pb-b1-findim-1) de Dedekind*, el movimiento de apertura de la teoría de Galois, desarrollada en el volumen del tercer año.