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title: "Aplicaciones lineales"
book: "Matemáticas universitarias — Grado 1"
subject: math
language: es
chapter: 20
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/20-aplicaciones-lineales
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# Capítulo 20 — Aplicaciones lineales

Las aplicaciones que merece la pena estudiar entre [espacios vectoriales](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-def) son las compatibles con la estructura: las *[aplicaciones lineales](#def-b1-linmaps-def)*. Sus dos [subespacios](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-subspace) fundamentales —núcleo e imagen— miden la [inyectividad](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj) y la [sobreyectividad](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj) y, en [dimensión finita](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/19-dimension-finita#def-b1-findim-def), el teorema del [rango](#def-b1-linmaps-rank) ata sus tamaños en una sola ley de conservación. Las proyecciones y las [simetrías](#def-b1-linmaps-projection), y después las [formas lineales](#def-b1-linmaps-forms) y los [hiperplanos](#def-b1-linmaps-forms), cierran el capítulo.

## 20.1 Definiciones y primeras propiedades

**Definición 20.1.**

Sean $E, F$ [espacios vectoriales](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-def) sobre $K$. Una [aplicación](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-map) $u \colon E \to F$ es *lineal* cuando

$$
\forall x, y \in E,\ \forall \lambda \in K, \qquad
u(x + \lambda y) = u(x) + \lambda u(y).
$$

Entonces $u(0) = 0$ y $u(\sum \lambda_i x_i) = \sum \lambda_i u(x_i)$. El [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) $\mathcal{L}(E, F)$ de las aplicaciones lineales es él mismo un [espacio vectorial](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-def); la composición de aplicaciones lineales es lineal, y bilineal en la pareja. Un *endomorfismo* es una [aplicación](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-map) lineal $E \to E$; un *isomorfismo* es una [aplicación](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-map) lineal [biyectiva](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj) (cuya inversa es entonces automáticamente lineal); y $u^{-1}$ de un isomorfismo, así como las composiciones de isomorfismos, son isomorfismos.

**Demostración de que la inversa es lineal.** Sea $u$ [lineal](#def-b1-linmaps-def) y [biyectiva](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj), sean $y, y' \in F$ y $\lambda \in K$. Póngase $x = u^{-1}(y)$ y $x' = u^{-1}(y')$. Entonces

$$
u\bigl(x + \lambda x'\bigr) = u(x) + \lambda u(x')
= y + \lambda y' ,
$$

y, aplicando $u^{-1}$ a los dos extremos: $u^{-1}(y + \lambda y') = x + \lambda x' = u^{-1}(y) +
\lambda\,u^{-1}(y')$. No se ha calculado nada de $u^{-1}$: la linealidad se transporta solo por la propiedad que define $u$ — un patrón que conviene recordar, pues la estructura suele viajar gratis a lomos de las biyecciones. ∎

**Proposición 20.2 (Una aplicación lineal se conoce en una base).**

Sea $(e_1, \dots, e_n)$ una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) de $E$ y sean $(v_1, \dots, v_n)$ vectores arbitrarios de $F$. Hay exactamente una [aplicación lineal](#def-b1-linmaps-def) $u \colon E \to F$ con $u(e_i) = v_i$ para todo $i$. Además:

$$
u \text{ inyectiva} \iff (v_i) \text{ libre};
\qquad
u \text{ sobreyectiva} \iff (v_i) \text{ genera } F .
$$

**Demostración.** Existencia y unicidad: todo $x$ tiene [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#prop-b1-vspaces-coordinates) únicas $x = \sum \lambda_i e_i$ ([Proposición 18.15](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#prop-b1-vspaces-coordinates)); la linealidad fuerza $u(x) = \sum \lambda_i v_i$, y esa fórmula sí define una [aplicación lineal](#def-b1-linmaps-def).

[Inyectividad](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj): por la [Proposición 20.5](#prop-b1-linmaps-kernel) de más abajo, $u$ es [inyectiva](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj) si y solo si su [núcleo](#def-b1-linmaps-kerim) es trivial. Ahora bien, $u\bigl(\sum\lambda_i e_i\bigr) = 0$ significa exactamente $\sum\lambda_i v_i = 0$. Si $(v_i)$ es [libre](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free), esto fuerza que todos los $\lambda_i = 0$, es decir, que el [núcleo](#def-b1-linmaps-kerim) se reduzca a $0$: [inyectiva](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj). Y si $(v_i)$ es ligada, una relación no trivial $\sum\lambda_i v_i = 0$ produce el vector no nulo $\sum\lambda_i e_i$ en el [núcleo](#def-b1-linmaps-kerim) ($(e_i)$ es [libre](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free)): no [inyectiva](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj). Las dos condiciones se corresponden término a término.

[Sobreyectividad](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj): la [imagen](#def-b1-linmaps-kerim) de $u$ es el [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) de todos los $\sum\lambda_i v_i$, es decir, exactamente $\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_n)$, que es igual a $F$ si y solo si la familia genera. ∎

**Definición 20.3 (Núcleo e imagen).**

Para $u \in \mathcal{L}(E, F)$:

$$
\ker u = \{x \in E : u(x) = 0\} \subseteq E,
\qquad
\operatorname{im} u = u(E) \subseteq F ,
$$

los dos [subespacios](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-subspace) (comprobación directa con el criterio).

**Método 20.4 (Núcleo e imagen, en la práctica).**

*[Núcleo](#def-b1-linmaps-kerim)*: escríbase $u(x) = 0$ como un sistema sobre las [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#prop-b1-vspaces-coordinates) (o los coeficientes) de $x$, resuélvase y parametrícese — el [núcleo](#def-b1-linmaps-kerim) sale con una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) incorporada ([Método 19.10](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/19-dimension-finita#met-b1-findim-computedim)). *[Imagen](#def-b1-linmaps-kerim)*: es el [subespacio generado](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-span) por las imágenes de *cualquier* familia generadora de $E$ —normalmente una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free), con lo que $\operatorname{im} u = \operatorname{Vect}\bigl(u(e_1), \dots,
u(e_n)\bigr)$—; elimínense después las imágenes redundantes para extraer una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free). *Atajo*: calcúlese el más fácil de los dos y obténgase gratis la dimensión del otro por el teorema del [rango](#def-b1-linmaps-rank) ([Teorema 20.7](#thm-b1-linmaps-ranknullity)); y cuando se conoce un [subespacio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-subspace) candidato plausible para la [imagen](#def-b1-linmaps-kerim), comparar dimensiones eleva la inclusión fácil a igualdad ([Teorema 19.14](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/19-dimension-finita#thm-b1-findim-subspaces)). Los dos atajos se usan en el [Ejemplo 20.11](#ex-b1-linmaps-delta) de más abajo.

**Proposición 20.5.**

$u$ es [inyectiva](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj) $\iff$ $\ker u = \{0\}$; y $u$ es [sobreyectiva](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj) $\iff$ $\operatorname{im} u = F$.

**Demostración.** Como en los [grupos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/7-estructuras-algebraicas#def-b1-structures-group) ([Proposición 7.11](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/7-estructuras-algebraicas#prop-b1-structures-kernel)): $u(x) = u(y) \iff u(x - y) = 0 \iff x - y \in \ker u$. El segundo punto es la definición. ∎

## 20.2 El teorema del rango

**Definición 20.6.**

El *rango* de $u \in \mathcal{L}(E, F)$ (con $E$ [de dimensión finita](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/19-dimension-finita#def-b1-findim-def)) es $\operatorname{rk} u = \dim \operatorname{im} u$ — también el rango de la familia $\bigl(u(e_1), \dots, u(e_n)\bigr)$ para cualquier base $(e_i)$ de $E$.

**Teorema 20.7 (Teorema del rango).**

Sea $E$ [de dimensión finita](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/19-dimension-finita#def-b1-findim-def) y $u \in \mathcal{L}(E, F)$. Entonces

$$
\dim E = \dim \ker u + \operatorname{rk} u .
$$

Con más precisión: si $S$ es un [subespacio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-subspace) [suplementario](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-sum) cualquiera de $\ker u$ en $E$, entonces $u$ se restringe a un *isomorfismo* de $S$ sobre $\operatorname{im} u$.

**Demostración.** Sea $S$ tal que $E = \ker u \oplus S$ ([Teorema 19.14](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/19-dimension-finita#thm-b1-findim-subspaces)) y sea $v \colon S \to \operatorname{im} u$ la restricción de $u$.

$v$ es [inyectiva](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj): $\ker v = S \cap \ker u = \{0\}$.

$v$ es [sobreyectiva](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj): cualquier $u(x)$ con $x = k + s$ ($k \in \ker u$, $s \in S$) es igual a $u(s) = v(s)$.

Luego $v$ es un isomorfismo; y un isomorfismo lleva una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) a una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) ([Proposición 20.2](#prop-b1-linmaps-basis)), de modo que $\dim S = \dim\operatorname{im} u$, y $\dim E = \dim\ker u + \dim S$ concluye. ∎

**Ejemplo 20.8 (Construir una aplicación a medida).**

Constrúyase $u \in \mathcal{L}(\R^3)$ con $\ker u = \operatorname{Vect}(1,1,1)$ y $\operatorname{im} u = \{z = 0\}$. Primero, coherencia: el teorema del [rango](#def-b1-linmaps-rank) exige $1 + 2 = 3$ — cuadra, así que puede existir solución. Elíjase una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) adaptada al [núcleo](#def-b1-linmaps-kerim), digamos $\bigl((1,1,1),\ e_1,\ e_2\bigr)$ ([Ejemplo 19.7](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/19-dimension-finita#ex-b1-findim-completion)), y prescríbanse las imágenes ([Proposición 20.2](#prop-b1-linmaps-basis)):

$$
u(1,1,1) = 0, \qquad u(e_1) = e_1, \qquad u(e_2) = e_2 .
$$

Entonces $\ker u \supseteq \operatorname{Vect}(1,1,1)$ y $\operatorname{im} u = \operatorname{Vect}(e_1, e_2) = \{z = 0\}$; y el teorema del [rango](#def-b1-linmaps-rank) fuerza $\dim\ker u = 1$, de modo que el [núcleo](#def-b1-linmaps-kerim) es exactamente la recta prescrita. Explícitamente, descomponiendo $(x, y, z) = z(1,1,1) + (x - z)e_1 + (y - z)e_2$:

$$
u(x, y, z) = (x - z,\ y - z,\ 0).
$$

La receta se generaliza: existe una [aplicación lineal](#def-b1-linmaps-def) con [núcleo](#def-b1-linmaps-kerim) prescrito $N$ e [imagen](#def-b1-linmaps-kerim) prescrita $I$ exactamente cuando $\dim N + \dim I = \dim E$ — la necesidad es el teorema del [rango](#def-b1-linmaps-rank) y la suficiencia es esta construcción.

**Corolario 20.9.**

Si $\dim E = \dim F$ (finita), entonces, para $u \in \mathcal{L}(E, F)$:

$$
u \text{ inyectiva} \iff u \text{ sobreyectiva} \iff u \text{
biyectiva}.
$$

En particular, esto vale para los endomorfismos en [dimensión finita](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/19-dimension-finita#def-b1-findim-def). (Falla en dimensión infinita: en $K[X]$, la [derivada](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/14-derivacion#def-b1-derivative-def) es [sobreyectiva](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj) pero no [inyectiva](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj), y $P \mapsto XP$ es [inyectiva](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj) pero no [sobreyectiva](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj).)

**Demostración.** [Inyectiva](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj) $\iff \dim\ker u = 0 \iff \operatorname{rk} u = \dim E =
\dim F \iff \operatorname{im} u = F$ (un [subespacio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-subspace) de dimensión máxima lo es todo, [Teorema 19.14](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/19-dimension-finita#thm-b1-findim-subspaces)) $\iff$ [sobreyectiva](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj). ∎

**Ejemplo 20.10 (La interpolación, estructuralmente).**

Fíjense $x_0, \dots, x_n$ distintos y sea $u \colon \R_n[X] \to \R^{n+1}$, $P \mapsto (P(x_0), \dots, P(x_n))$: [lineal](#def-b1-linmaps-def). Su [núcleo](#def-b1-linmaps-kerim) es $\{P : \deg P \leq n,\ n+1 \text{ raíces}\} = \{0\}$ ([Corolario 8.8](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#cor-b1-poly-nroots)). Dimensiones iguales $n + 1$: $u$ es un isomorfismo — la existencia *y* la unicidad del interpolador de Lagrange ([Teorema 8.23](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#thm-b1-poly-lagrange)) en una línea.

El mismo patrón de una línea trata datos que mezclan valores y [derivadas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/14-derivacion#def-b1-derivative-def): $v \colon \R_3[X] \to \R^4$, $P \mapsto \bigl(P(0), P'(0), P(1), P'(1)\bigr)$ es [lineal](#def-b1-linmaps-def), y su [núcleo](#def-b1-linmaps-kerim) consta de los [polinomios](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) de grado $\leq 3$ con raíces dobles en $0$ *y* en $1$, es decir, divisibles por $X^2(X-1)^2$, de grado $4$: solo $P = 0$. Otra vez dimensiones iguales: cada cuádrupla de datos $(P(0), P'(0), P(1), P'(1))$ la realiza exactamente una cúbica — la interpolación de Hermite, concedida por un cálculo de [núcleo](#def-b1-linmaps-kerim) antes de escribir ninguna fórmula (el problema del fin de semana del [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/22-determinantes-y-sistemas-lineales#ch-b1-det) se encuentra con su determinante).

**Ejemplo 20.11 (El teorema del rango en acción: el operador de diferencias).**

Sea $\Delta \colon \R_n[X] \to \R_n[X]$, $P \mapsto P(X+1) - P(X)$: [lineal](#def-b1-linmaps-def). [Núcleo](#def-b1-linmaps-kerim): si $\Delta P = 0$, entonces $P(0) = P(1) = P(2) = \dots$, luego $P - P(0)$ tiene infinitas raíces y se anula ([Corolario 8.8](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#cor-b1-poly-nroots)): $\ker\Delta$ es la recta de las constantes. Teorema del [rango](#def-b1-linmaps-rank): $\operatorname{rk}\Delta = (n + 1) - 1 = n$. Y como $\deg \Delta P < \deg P$ para $P$ no constante (los términos de cabeza se cancelan), $\operatorname{im}\Delta \subseteq \R_{n-1}[X]$, que tiene dimensión exactamente $n$: la inclusión es una igualdad. Conclusión, sin calcular ninguna [imagen recíproca](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-map): *todo* [polinomio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) $Q$ de grado $\leq n - 1$ es una diferencia $Q = P(X+1) - P(X)$ — la primitiva discreta existe. (Compárese con el problema del fin de semana del [Capítulo 18](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#ch-b1-vspaces), donde $\Delta$ se invirtió explícitamente en la [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) binomial.)

**Ejemplo 20.12 (Contabilidad del rango a lo largo de una composición).**

En $\R_2[X]$, compóngase la [derivada](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/14-derivacion#def-b1-derivative-def) $D(P) = P'$ (de [rango](#def-b1-linmaps-rank) $2$: [imagen](#def-b1-linmaps-kerim) $\R_1[X]$, [núcleo](#def-b1-linmaps-kerim) las constantes) consigo misma. Entonces $D \circ D = D^2$ lleva $P \mapsto P''$, con [imagen](#def-b1-linmaps-kerim) $\R_0[X]$: [rango](#def-b1-linmaps-rank) $1$. Compárese con las cotas generales: la tosca da $\operatorname{rk} D^2 \leq \min(2, 2) = 2$; y la fórmula exacta del [Ejercicio 20.12](#exo-b1-linmaps-12) explica la pérdida con precisión,

$$
\operatorname{rk} D^2 = \operatorname{rk} D -
\dim\bigl(\ker D \cap \operatorname{im} D\bigr) = 2 - 1 = 1 ,
$$

ya que las constantes ([núcleo](#def-b1-linmaps-kerim) del $D$ exterior) están dentro de $\R_1[X]$ ([imagen](#def-b1-linmaps-kerim) del $D$ [interior](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/12-topologia-de-la-recta-real#def-b1-topology-closure)) con dimensión $1$. El [rango](#def-b1-linmaps-rank) se pierde exactamente donde el [núcleo](#def-b1-linmaps-kerim) exterior embosca a la [imagen](#def-b1-linmaps-kerim) [interior](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/12-topologia-de-la-recta-real#def-b1-topology-closure) — la frase que hay que recordar cuando los [rangos](#def-b1-linmaps-rank) de una composición se portan mal.

**Ejemplo 20.13 (Núcleo e imagen del operador de Euler).**

En $\R_n[X]$, sea $u(P) = X\,P'$ ([lineal](#def-b1-linmaps-def): lo son derivar y multiplicar por $X$). *[Núcleo](#def-b1-linmaps-kerim)*: $XP' = 0$ fuerza $P' = 0$ (un producto de [polinomios](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) se anula solo si lo hace un factor), luego $\ker u$ es la recta de las constantes. *[Imagen](#def-b1-linmaps-kerim)*: sobre la [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) monomial,

$$
u(X^k) = k\,X^{k} \qquad (k = 0, 1, \dots, n),
$$

luego $\operatorname{im} u = \operatorname{Vect}(X, 2X^2, \dots,
nX^n) = \operatorname{Vect}(X, X^2, \dots, X^n)$: los [polinomios](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) con término constante nulo. Comprobación con el teorema del [rango](#def-b1-linmaps-rank): $\operatorname{rk} u = (n + 1) - 1 = n$, que es en efecto la dimensión hallada. Dos observaciones que conviene guardar. Primera: aquí $\operatorname{im} u \oplus \ker u = \R_n[X]$ — pero eso es un *feliz accidente* de este operador, no un teorema: para el $v(P) = P'$, de tipo desplazamiento, en $\R_1[X]$ se tiene $\ker v = \operatorname{im} v = \R_0[X]$ y la suma no es directa. Segunda: la relación $u(X^k) = kX^k$ dice que cada monomio simplemente se reescala con $u$ — una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) adaptada a la [aplicación](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-map), el germen de la idea de valor propio que se desarrolla en el volumen del segundo año.

## 20.3 Proyecciones y simetrías

**Definición 20.14.**

Sea $E = F \oplus G$. La *proyección sobre $F$ paralelamente a $G$* lleva $x = f + g$ (descomposición única) a $p(x) = f$; la *simetría* asociada es $s(x) = f - g$. Las dos son [lineales](#def-b1-linmaps-def), y $s = 2p - \mathrm{id}$.

**Teorema 20.15 (Algebraic characterization).**

1. Un endomorfismo $p$ es una [proyección](#def-b1-linmaps-projection) (sobre cierto $F$ paralelamente a cierto $G$ ) si y solo si $p \circ p = p$ ; y entonces $F = \operatorname{im} p = \ker(p - \mathrm{id})$ y $G = \ker p$ .
2. Un endomorfismo $s$ es una [simetría](#def-b1-linmaps-projection) si y solo si $s \circ s = \mathrm{id}$ ; y entonces $E = \ker(s - \mathrm{id}) \oplus \ker(s + \mathrm{id})$ .

**Demostración.** (1) Una [proyección](#def-b1-linmaps-projection) cumple $p(f + g) = f$ y $p(f) = f$: $p^2 = p$. Recíprocamente, sea $p^2 = p$; póngase $F = \operatorname{im} p$, $G = \ker p$. Todo $x$ se escribe $x = p(x) + (x - p(x))$ con $p(x) \in F$ y $p\bigl(x - p(x)\bigr) = p(x) - p^2(x) = 0$: $E = F + G$. Si $y \in F \cap G$: $y = p(z)$ y $p(y) = 0$, luego $y = p(z) = p^2(z) = p(y) = 0$: [suma directa](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-sum), y $p$ es la [proyección](#def-b1-linmaps-projection) sobre $F$ paralelamente a $G$. Por último, en $F$: $y = p(z)$ da $p(y) = y$, luego $F \subseteq \ker(p - \mathrm{id})$; y, recíprocamente, $p(y) = y$ mete a $y$ en la [imagen](#def-b1-linmaps-kerim).

(2) La correspondencia $s = 2p - \mathrm{id}$, $p = \frac{s + \mathrm{id}}2$ es una [biyección](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj) entre endomorfismos, y mediante ella

$$
s^2 = 4p^2 - 4p + \mathrm{id} = \mathrm{id}
\iff 4p^2 = 4p \iff p^2 = p :
$$

las [simetrías](#def-b1-linmaps-projection) se corresponden exactamente con las proyecciones. Traduciendo los [subespacios](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-subspace): $s(x) = x \iff p(x) = x$, luego $\ker(s - \mathrm{id}) = \operatorname{im} p = F$; y $s(x) = -x \iff 2p(x) = 0 \iff x \in \ker p = G$, luego $\ker(s + \mathrm{id}) = G$. La [suma directa](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-sum) $E = F \oplus G$ del punto (1) se convierte en la descomposición anunciada en los vectores fijos y los vectores invertidos por $s$. ∎

**Ejemplo 20.16 (Una proyección y su simetría, explícitamente).**

En $\R^2$, proyéctese sobre $F = \operatorname{Vect}(1,1)$ paralelamente a $G = \operatorname{Vect}(0,1)$. Descompóngase $(x, y) = a(1,1) + b(0,1)$: la primera coordenada da $a = x$ y la segunda, $b = y - x$. Por tanto,

$$
p(x, y) = (x, x),
\qquad
s(x, y) = 2p(x,y) - (x,y) = (x,\ 2x - y).
$$

Compruébese el álgebra: $p(p(x,y)) = p(x,x) = (x,x)$ y $s(s(x,y)) = s(x, 2x - y) = (x, 2x - (2x - y)) = (x, y)$. Geométricamente, $s$ es la «reflexión oblicua» respecto de la recta $y = x$ en la dirección vertical: deja $F$ fijo punto a punto e invierte $G$. Si hubiéramos proyectado sobre el mismo $F$ pero paralelamente a $G' = \operatorname{Vect}(1,-1)$, la fórmula cambiaría a $p'(x,y) = \bigl(\frac{x+y}2, \frac{x+y}2\bigr)$: una [proyección](#def-b1-linmaps-projection) queda determinada por su [imagen](#def-b1-linmaps-kerim) *y* su [núcleo](#def-b1-linmaps-kerim), nunca por la [imagen](#def-b1-linmaps-kerim) sola.

![La proyección sobre F = Vect(1,1) paralelamente a G = Vect(0,1) y su simetría, sobre el punto M = (2,\ 0.5): deslizándose verticalmente, M llega a F en p(M) = (2,2) y aterriza en s(M) = 2p(M) - M = (2,\ 3.5), tan por encima de F (medido a lo largo de G) como M estaba por debajo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-linmaps/fig-53ebff90a100.svg)

*La [proyección](#def-b1-linmaps-projection) sobre $F = \operatorname{Vect}(1,1)$ paralelamente a $G = \operatorname{Vect}(0,1)$ y su [simetría](#def-b1-linmaps-projection), sobre el punto $M = (2,\ 0.5)$: deslizándose verticalmente, $M$ llega a $F$ en $p(M) = (2,2)$ y aterriza en $s(M) = 2p(M) - M = (2,\ 3.5)$, tan por encima de $F$ (medido a lo largo de $G$) como $M$ estaba por debajo.*

## 20.4 Formas lineales e hiperplanos

**Definición 20.17.**

Una *forma lineal* en $E$ es una [aplicación lineal](#def-b1-linmaps-def) $\varphi \colon E \to K$. Un *hiperplano* de $E$ ($\dim E = n$) es un [subespacio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-subspace) de dimensión $n - 1$.

**Ejemplo 20.18 (Una forma de evaluación y su hiperplano).**

En $\R_2[X]$, la evaluación $\varphi(P) = P(2)$ es una [forma lineal](#def-b1-linmaps-forms) no nula ($\varphi(1) = 1$). Su [núcleo](#def-b1-linmaps-kerim) es el [hiperplano](#def-b1-linmaps-forms) de los [polinomios](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) que se anulan en $2$, es decir (teorema del factor, [Teorema 8.7](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#thm-b1-poly-factor)), los múltiplos de $X - 2$ dentro de $\R_2[X]$:

$$
\ker\varphi = \operatorname{Vect}\bigl(X - 2,\ X(X - 2)\bigr),
\qquad \dim = 2 .
$$

En [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#prop-b1-vspaces-coordinates) sobre $(1, X, X^2)$, $\varphi(a + bX + cX^2) = a + 2b + 4c$: toda [forma lineal](#def-b1-linmaps-forms) en un espacio [de dimensión finita](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/19-dimension-finita#def-b1-findim-def) es, una vez fijada una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free), una expresión [lineal](#def-b1-linmaps-def) fija en las [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#prop-b1-vspaces-coordinates) — las formas son «vectores fila», como el [Capítulo 21](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/21-matrices#ch-b1-matrices) volverá literal, y la fila de coeficientes de aquí, $(1, 2, 4)$, es una fila de Vandermonde: las formas de evaluación son la puerta por la que entra en el álgebra lineal la teoría de interpolación del problema del fin de semana del [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/22-determinantes-y-sistemas-lineales#ch-b1-det).

**Teorema 20.19.**

Los [hiperplanos](#def-b1-linmaps-forms) de $E$ son exactamente los [núcleos](#def-b1-linmaps-kerim) de las [formas lineales](#def-b1-linmaps-forms) no nulas. Y dos formas no nulas tienen el mismo [núcleo](#def-b1-linmaps-kerim) si y solo si son proporcionales.

**Demostración.** Si $\varphi \neq 0$: $\operatorname{rk}\varphi = 1$ (la [imagen](#def-b1-linmaps-kerim) es un [subespacio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-subspace) no nulo de $K$), luego $\dim\ker\varphi = n - 1$: un [hiperplano](#def-b1-linmaps-forms). Recíprocamente, sea $H$ un [hiperplano](#def-b1-linmaps-forms) y $(e_1, \dots, e_{n-1})$ una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) de $H$ completada por $e_n$: la forma «última coordenada» tiene [núcleo](#def-b1-linmaps-kerim) $H$.

Dos formas proporcionales comparten su [núcleo](#def-b1-linmaps-kerim). Recíprocamente, supóngase $\ker\varphi = \ker\psi = H$ y tómese $a \notin H$: todo $x$ se escribe $x = h + \lambda a$ (pues $E = H \oplus Ka$), y

$$
\varphi(x) = \lambda \varphi(a), \qquad \psi(x) = \lambda\psi(a):
$$

luego $\varphi = \frac{\varphi(a)}{\psi(a)}\,\psi$. ∎

**Ejemplo 20.20.**

En $K^n$, un [hiperplano](#def-b1-linmaps-forms) es un [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) de soluciones $\{a_1 x_1 + \dots + a_n x_n = 0\}$ con los $a_i$ no todos nulos — la conocida ecuación de un plano que pasa por el origen en $\R^3$. En los espacios de funciones, las formas de evaluación $P \mapsto P(1)$ o $f \mapsto \int_0^1 f$ definen [hiperplanos](#def-b1-linmaps-forms) de $\R_n[X]$ y de $C(\intcc{0}{1})$ (cf. [Ejercicio 19.6](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/19-dimension-finita#exo-b1-findim-6)).

**Ejemplo 20.21 (Un hiperplano, trabajado de tres maneras).**

Tómense $\varphi(x, y, z) = x - 2y + 3z$ en $\R^3$ y $H = \ker\varphi$. *[Base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free)*: resuélvase $x = 2y - 3z$:

$$
(2y - 3z,\ y,\ z) = y\,(2, 1, 0) + z\,(-3, 0, 1),
$$

dos vectores [libres](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free): $\dim H = 2$, un [hiperplano](#def-b1-linmaps-forms), como predice el [Teorema 20.19](#thm-b1-linmaps-hyperplanes) a partir de $\varphi \neq 0$. *Recta suplementaria*: cualquier vector fuera de $H$ genera una, por ejemplo $a = (1, 0, 0)$ ($\varphi(a) = 1 \neq 0$); y la descomposición de un $v$ arbitrario es explícita:

$$
v = \underbrace{\bigl(v - \varphi(v)\,a\bigr)}_{\in\,H}
+ \underbrace{\varphi(v)\,a}_{\in\,\operatorname{Vect}(a)},
$$

ya que $\varphi\bigl(v - \varphi(v)a\bigr) = \varphi(v) -
\varphi(v)\varphi(a) = 0$. *Proporcionalidad*: si $\psi(x,y,z) = -2x + 4y - 6z$, entonces $\psi = -2\varphi$ y las dos tienen [núcleo](#def-b1-linmaps-kerim) $H$; recíprocamente, toda forma que se anule en $H$ es múltiplo de $\varphi$ ([Ejercicio 20.8](#exo-b1-linmaps-8)) — la ecuación de un [hiperplano](#def-b1-linmaps-forms) es única salvo escala, hecho que se usa constantemente para los planos en geometría.

**Observación 20.22 (Errores frecuentes).**

*El [núcleo](#def-b1-linmaps-kerim) y la [imagen](#def-b1-linmaps-kerim) viven en espacios distintos*: $\ker u \subseteq E$, $\operatorname{im} u \subseteq F$; la suma $\ker u + \operatorname{im} u$ solo tiene sentido para endomorfismos y, aun así, no tiene por qué ser directa ($u(x, y) = (y, 0)$ tiene $\ker u = \operatorname{im} u$; el [Ejercicio 20.7](#exo-b1-linmaps-7) caracteriza cuándo sí lo es). *$u^2 = 0$ no significa $u = 0$*: ese mismo $u(x,y) = (y, 0)$ tiene cuadrado nulo sin anularse — lo que $u^2 = 0$ dice de verdad es $\operatorname{im} u \subseteq \ker u$ ([Ejercicio 20.5](#exo-b1-linmaps-5)). *[Inyectiva](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj) $\iff$ [sobreyectiva](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj) exige dimensiones finitas iguales*: en $K[X]$, la [derivada](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/14-derivacion#def-b1-derivative-def) es [sobreyectiva](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj) y no [inyectiva](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj), y $P \mapsto XP$ es [inyectiva](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj) y no [sobreyectiva](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj) ([Corolario 20.9](#cor-b1-linmaps-samedim)); y entre espacios de dimensiones *distintas*, una de las dos implicaciones es sencillamente imposible ($\operatorname{rk} u \leq \min(\dim E, \dim F)$). *Prescribir imágenes funciona sobre una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free), no sobre una familia cualquiera*: exigir $u(1, 0) = a$, $u(0, 1) = b$, $u(1, 1) = c$ sobredetermina $u$ salvo que $c = a + b$; una [aplicación lineal](#def-b1-linmaps-def) es [libre](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) en una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) y esclava en todo lo demás. *El [rango](#def-b1-linmaps-rank) no se conserva al componer*: solo puede bajar, $\operatorname{rk}(vu) \leq \min(\operatorname{rk} u,
\operatorname{rk} v)$ ([Ejercicio 20.4](#exo-b1-linmaps-4)), con la pérdida exacta medida en el [Ejercicio 20.12](#exo-b1-linmaps-12).

**Observación 20.23 (Adónde van estas aplicaciones).**

Las [aplicaciones lineales](#def-b1-linmaps-def) están a punto de convertirse en *matrices*: una vez fijadas las [bases](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free), el [Capítulo 21](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/21-matrices#ch-b1-matrices) codifica cada $u \in \mathcal{L}(E, F)$ mediante una tabla rectangular, y la composición pasa a ser el producto de matrices — y el teorema del [rango](#def-b1-linmaps-rank) dirige después la teoría de los sistemas [lineales](#def-b1-linmaps-def) en el [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/22-determinantes-y-sistemas-lineales#ch-b1-det). Las proyecciones vuelven en el [Capítulo 23](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/23-espacios-euclideos#ch-b1-euclid) en su caso particular más útil, la [proyección](#def-b1-linmaps-projection) *ortogonal*, donde el [núcleo](#def-b1-linmaps-kerim) se elige perpendicular a la [imagen](#def-b1-linmaps-kerim). El problema del fin de semana de más abajo lleva el álgebra de proyectores tan lejos como alcanzan las herramientas de primer año, hasta el lema de Fitting; y el volumen del segundo año va más allá, con la traza y con la teoría de valores propios, para la que los proyectores sobre [subespacios](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-subspace) estables son las piezas básicas.

**Observación 20.24 (Perspectivas dentro del libro 3: el teorema del rango tres veces más).**

La ley de conservación $\dim E = \dim\ker u + \operatorname{rk} u$ se releerá tres veces antes de que acabe el volumen. En el [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/22-determinantes-y-sistemas-lineales#ch-b1-det) se convierte en la forma de los [conjuntos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) de soluciones: un sistema compatible con $p$ incógnitas y [rango](#def-b1-linmaps-rank) $r$ tiene un [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) de soluciones de dimensión $p - r$ — la dimensión del [núcleo](#def-b1-linmaps-kerim) disfrazada. En el [Capítulo 23](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/23-espacios-euclideos#ch-b1-euclid) se parte de forma ortogonal, $\dim F + \dim F^\perp = \dim E$, y mueve todo cálculo de distancias. Y en el problema del fin de semana del [Capítulo 25](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/25-funciones-de-dos-variables#ch-b1-multivar) es el contable de los mínimos cuadrados: $n$ observaciones, $2$ parámetros ajustados, $n - 2$ dimensiones de residuo, y la identidad pitagórica $\norm b^2 = \norm p^2 + \norm{b - p}^2$ es la sombra euclídea del teorema del [rango](#def-b1-linmaps-rank). Un teorema, cuatro disfraces.

## 20.5 Ejercicios

**Ejercicio 20.1 ★.**

¿Qué aplicaciones son [lineales](#def-b1-linmaps-def)?

1. $\R^2 \to \R^2$ , $(x, y) \mapsto (x + y, x - 2y)$ ;
2. $\R^2 \to \R$ , $(x, y) \mapsto xy$ ;
3. $\R[X] \to \R[X]$ , $P \mapsto P' + XP$ ;
4. $\mathcal{F}(\R,\R) \to \R$ , $f \mapsto f(3)$ .

**Solución de Ejercicio 20.1.**

(1) [Lineal](#def-b1-linmaps-def): las [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#prop-b1-vspaces-coordinates) son expresiones [lineales](#def-b1-linmaps-def). (2) No [lineal](#def-b1-linmaps-def): $u(2(1,1)) = 4 \neq 2 = 2u(1,1)$. (3) [Lineal](#def-b1-linmaps-def): lo son derivar y multiplicar por $X$, y las sumas de [aplicaciones lineales](#def-b1-linmaps-def) también. (4) [Lineal](#def-b1-linmaps-def): la evaluación respeta las operaciones punto a punto.

**Ejercicio 20.2 ★.**

Sea $u \colon \R^3 \to \R^3$, $(x,y,z) \mapsto (x + y - z,\; 2x + y + z,\; 3x + 2y)$. Determínense $\ker u$ ([base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) y dimensión), $\operatorname{rk} u$ y una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) de $\operatorname{im} u$. ¿Es $u$ [inyectiva](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj)? ¿[sobreyectiva](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj)?

**Solución de Ejercicio 20.2.**

[Núcleo](#def-b1-linmaps-kerim): resuélvase $x + y - z = 0$, $2x + y + z = 0$, $3x + 2y = 0$. De la tercera, $y = -\frac{3x}{2}$; la primera da $z = x + y =
-\frac x2$; y compruébese en la segunda: $2x - \frac{3x}{2} - \frac x2 = 0$: se cumple. Luego $\ker u = \operatorname{Vect}\bigl((2, -3, -1)\bigr)$ (tomando $x = 2$), de dimensión $1$.

Teorema del [rango](#def-b1-linmaps-rank): $\operatorname{rk} u = 3 - 1 = 2$. [Imagen](#def-b1-linmaps-kerim): generada por las imágenes de la [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) canónica, $u(e_1) = (1,2,3)$, $u(e_2) = (1,1,2)$, $u(e_3) = (-1,1,0)$; las dos primeras son [libres](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) y el [rango](#def-b1-linmaps-rank) es $2$: base $\bigl((1,2,3), (1,1,2)\bigr)$.

No es [inyectiva](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj) ($\ker \neq \{0\}$) ni [sobreyectiva](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj) ([rango](#def-b1-linmaps-rank) $2 < 3$): coherente con el [Corolario 20.9](#cor-b1-linmaps-samedim).

**Ejercicio 20.3 ★.**

Sea $u \colon \R_n[X] \to \R_n[X]$, $P \mapsto P - P'$. Demuéstrese que $u$ es un isomorfismo: una vez por $\ker u$ y otra exhibiendo la inversa *(considérese $P + P' + P'' + \dots$)*.

**Solución de Ejercicio 20.3.**

*[Núcleo](#def-b1-linmaps-kerim):* $P = P'$ fuerza $\deg P = \deg P'$ salvo que $P = 0$; pero $\deg P' < \deg P$ para $P \neq 0$: luego $\ker u = \{0\}$ y $u$, endomorfismo [inyectivo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj) del $\R_n[X]$ [de dimensión finita](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/19-dimension-finita#def-b1-findim-def), es un isomorfismo ([Corolario 20.9](#cor-b1-linmaps-samedim)).

*Inversa:* sea $v(P) = P + P' + P'' + \dots + P^{(n)}$ (suma finita en $\R_n[X]$). Entonces

$$
v\bigl(u(P)\bigr) = \sum_{k=0}^{n} (P - P')^{(k)}
= \sum_{k=0}^{n} P^{(k)} - \sum_{k=0}^{n} P^{(k+1)}
= P - P^{(n+1)} = P ,
$$

telescopando, ya que $P^{(n+1)} = 0$. Luego $v = u^{-1}$.

**Ejercicio 20.4 ★.**

Sean $u \in \mathcal{L}(E, F)$ y $v \in \mathcal{L}(F, G)$, con los espacios [de dimensión finita](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/19-dimension-finita#def-b1-findim-def). Demuéstrese:

$$
\operatorname{rk}(v \circ u) \leq
\min\bigl(\operatorname{rk} u,\ \operatorname{rk} v\bigr).
$$

**Solución de Ejercicio 20.4.**

$\operatorname{im}(v \circ u) = v(\operatorname{im} u) \subseteq
\operatorname{im} v$: [rango](#def-b1-linmaps-rank) $\leq \operatorname{rk} v$. Y $v$ restringida a $\operatorname{im} u$ tiene [imagen](#def-b1-linmaps-kerim) $\operatorname{im}(vu)$; con el teorema del [rango](#def-b1-linmaps-rank) dentro de $\operatorname{im} u$: $\operatorname{rk}(vu) \leq
\dim\operatorname{im} u = \operatorname{rk} u$.

**Ejercicio 20.5 ★★.**

Sea $u$ un endomorfismo de $E$ ([de dimensión finita](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/19-dimension-finita#def-b1-findim-def)) con $u^2 = 0$. Demuéstrese que $\operatorname{im} u \subseteq \ker u$ y, por tanto, que $\operatorname{rk} u \leq \frac{\dim E}{2}$. Para $E = \R^2$, dese un ejemplo con igualdad.

**Solución de Ejercicio 20.5.**

$u^2 = 0$ significa $u(u(x)) = 0$ para todo $x$: todo $u(x)$ está en $\ker u$, es decir, $\operatorname{im} u \subseteq \ker u$. Y entonces el teorema del [rango](#def-b1-linmaps-rank):

$$
\dim E = \dim\ker u + \operatorname{rk} u \geq 2\operatorname{rk} u .
$$

Ejemplo con igualdad en $\R^2$: $u(x, y) = (y, 0)$: $u^2 = 0$ y $\operatorname{rk} u = 1 = \frac{\dim E}{2}$.

**Ejercicio 20.6 ★★.**

Sean $p, q$ proyecciones de $E$ con $p \circ q = q \circ p$. Demuéstrese que $p \circ q$ es una [proyección](#def-b1-linmaps-projection), con

$$
\operatorname{im}(pq) = \operatorname{im} p \cap \operatorname{im}
q ,
\qquad
\ker (pq) = \ker p + \ker q .
$$

**Solución de Ejercicio 20.6.**

$(pq)^2 = pqpq = ppqq = pq$ (por la conmutación): una [proyección](#def-b1-linmaps-projection) ([Teorema 20.15](#thm-b1-linmaps-projchar)).

[Imagen](#def-b1-linmaps-kerim): $\operatorname{im}(pq) \subseteq \operatorname{im} p$ y $= \operatorname{im}(qp) \subseteq \operatorname{im} q$: está contenida en la intersección. Recíprocamente, si $x \in \operatorname{im} p \cap \operatorname{im} q$, entonces $p(x) = x$ y $q(x) = x$ (los puntos fijos caracterizan la [imagen](#def-b1-linmaps-kerim) de una [proyección](#def-b1-linmaps-projection)), luego $pq(x) = x$: $x \in \operatorname{im}(pq)$.

[Núcleo](#def-b1-linmaps-kerim): $\ker p \subseteq \ker(qp) = \ker(pq)$ y, análogamente, $\ker q \subseteq \ker(pq)$: la suma está contenida. Recíprocamente, sea $pq(x) = 0$ y escríbase

$$
x = \underbrace{q(x)}_{\in\, \ker p} +
\underbrace{(x - q(x))}_{\in\, \ker q} :
$$

el primer término cumple $p(q(x)) = 0$, luego está en $\ker p$; y el segundo está en $\ker q$, ya que $q(x - q(x)) = q(x) - q^2(x) = 0$. Por tanto, $x \in \ker p + \ker q$.

**Ejercicio 20.7 ★★.**

Sea $u \in \mathcal{L}(E)$, con $E$ [de dimensión finita](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/19-dimension-finita#def-b1-findim-def). Demuéstrese la equivalencia de:

1. $E = \ker u \oplus \operatorname{im} u$ ;
2. $\ker u = \ker u^2$ ;
3. $\operatorname{im} u = \operatorname{im} u^2$ .

**Solución de Ejercicio 20.7.**

Nótense primero las inclusiones generales $\ker u \subseteq \ker u^2$ y $\operatorname{im} u^2 \subseteq \operatorname{im} u$ y, por el teorema del [rango](#def-b1-linmaps-rank), (2) $\iff$ (3) ([núcleos](#def-b1-linmaps-kerim) iguales $\iff$ [rangos](#def-b1-linmaps-rank) iguales $\iff$ imágenes iguales, dadas las inclusiones).

(1 $\Rightarrow$ 2): sea $u^2(x) = 0$; entonces $u(x) \in \ker u \cap \operatorname{im} u = \{0\}$, luego $x \in \ker u$.

(2 $\Rightarrow$ 1): por Grassmann y el teorema del [rango](#def-b1-linmaps-rank), $\dim(\ker u + \operatorname{im} u) = \dim\ker u +
\operatorname{rk} u - \dim(\ker u \cap \operatorname{im} u) =
\dim E - \dim(\ker u \cap \operatorname{im} u)$: la suma es $E$ si y solo si la intersección es $\{0\}$. Sea $y \in \ker u \cap \operatorname{im} u$: $y = u(x)$ y $u(y) = 0$, luego $u^2(x) = 0$ y, por (2), $u(x) = 0$: $y = 0$. Por tanto, $E = \ker u \oplus \operatorname{im} u$.

**Ejercicio 20.8 ★★.**

Sean $\varphi, \psi$ [formas lineales](#def-b1-linmaps-forms) en $E$ con $\ker\varphi \subseteq \ker\psi$. Demuéstrese que $\psi = \lambda\varphi$ para algún $\lambda \in K$ (incluidos los casos degenerados).

**Solución de Ejercicio 20.8.**

Si $\varphi = 0$: entonces $\ker\varphi = E \subseteq \ker\psi$ fuerza $\psi = 0 = 0\cdot\varphi$. Si $\varphi \neq 0$: $\ker\varphi$ es un [hiperplano](#def-b1-linmaps-forms); tómese $a \notin \ker\varphi$ y póngase $\lambda = \frac{\psi(a)}{\varphi(a)}$. La forma $\psi - \lambda\varphi$ se anula en $\ker\varphi$ (las dos lo hacen, por la inclusión) y en $a$: se anula en $\ker\varphi \oplus Ka = E$. Luego $\psi = \lambda\varphi$.

**Ejercicio 20.9 ★★★.**

Sea $u \in \mathcal{L}(E)$ con $\dim E = n$, y supóngase $u^n = 0$ pero $u^{n-1} \neq 0$ (un endomorfismo *nilpotente máximo*). Tómese $x$ con $u^{n-1}(x) \neq 0$; demuéstrese que $\bigl(x, u(x), \dots, u^{n-1}(x)\bigr)$ es una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) de $E$. *(Aplíquense potencias de $u$ a una combinación nula, empezando por $u^{n-1}$.)*

**Solución de Ejercicio 20.9.**

Supóngase $\lambda_0 x + \lambda_1 u(x) + \dots + \lambda_{n-1}
u^{n-1}(x) = 0$. Aplíquese $u^{n-1}$: mueren todos los términos con un factor $u^{\geq n}$ y queda $\lambda_0 u^{n-1}(x) = 0$, luego $\lambda_0 = 0$. Aplíquese $u^{n-2}$ a la relación restante: $\lambda_1 u^{n-1}(x) = 0$, luego $\lambda_1 = 0$; y así sucesivamente. La familia es [libre](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) y, al ser de tamaño $n = \dim E$, es una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) ([Proposición 19.8](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/19-dimension-finita#prop-b1-findim-twoofthree)). (En esa [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free), $u$ actúa como un desplazamiento — el modelo de la nilpotencia máxima.)

**Ejercicio 20.10 ★★★.**

Sea $f \in \mathcal{L}(\R^n)$ con $f \circ f = -\mathrm{id}$.

1. Demuéstrese que $f$ es un isomorfismo y que ningún $x \neq 0$ cumple $f(x) = \lambda x$ con $\lambda \in \R$ .
2. Demuéstrese que $n$ es par. *Indicación: tómese $x_1 \neq 0$; véase que $\operatorname{Vect}(x_1, f(x_1))$ es un plano estable por $f$; elíjase $x_2$ fuera de él e itérese, demostrando que $\bigl(x_1, f(x_1), x_2, f(x_2), \dots\bigr)$ sigue [libre](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free).*

**Solución de Ejercicio 20.10.**

1. $f \circ f = -\mathrm{id}$ es [biyectiva](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj) , luego $f$ lo es ( [Proposición 1.26](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#prop-b1-logic-comp) adaptada: $f$ tiene la inversa bilátera $-f$ ). Si $f(x) = \lambda x$ con $x \neq 0$ : aplicando $f$ , $-x = \lambda^2 x$ , luego $\lambda^2 = -1$ : imposible en $\R$ .
2. Constrúyase la familia con voracidad. Tómese $x_1 \neq 0$: $(x_1, f(x_1))$ es [libre](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) por (1). Si el $\operatorname{Vect}$ de la familia en curso $\bigl(x_1, f(x_1), \dots, x_k, f(x_k)\bigr)$, llamémoslo $V_k$ —un [subespacio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-subspace) estable por $f$ (cada generador va a otro generador o a su opuesto: $f(f(x_i)) = -x_i$)—, no es todo $E$, elíjase $x_{k+1} \notin V_k$. *Afirmación: la familia ampliada es [libre](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free).* Supóngase $\alpha x_{k+1} + \beta f(x_{k+1}) + v = 0$ con $v \in V_k$ y $(\alpha, \beta) \neq (0,0)$. Aplíquese $f$: $\alpha f(x_{k+1}) - \beta x_{k+1} + f(v) = 0$ con $f(v) \in V_k$. Elimínese $f(x_{k+1})$ entre las dos relaciones (multiplíquese la primera por $\alpha$, la segunda por $-\beta$ y súmense): $$(\alpha^2 + \beta^2)\, x_{k+1} \in V_k ,$$ y $\alpha^2 + \beta^2 \neq 0$ fuerza $x_{k+1} \in V_k$: contradicción. Así que la construcción continúa, añadiendo vectores *de dos en dos*, hasta que $V_k = E$: la familia final es una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) de tamaño par, y $n$ es par.

**Ejercicio 20.11 ★★.**

Sean $u, v \in \mathcal{L}(E, F)$, con los espacios [de dimensión finita](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/19-dimension-finita#def-b1-findim-def). Demuéstrese la cota por los dos lados

$$
\abs{\operatorname{rk} u - \operatorname{rk} v}
\;\leq\; \operatorname{rk}(u + v)
\;\leq\; \operatorname{rk} u + \operatorname{rk} v .
$$

*(Para la [cota superior](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#def-b1-reals-bounds), compárese $\operatorname{im}(u+v)$ con $\operatorname{im} u + \operatorname{im} v$; y para la inferior, aplíquese hábilmente la [cota superior](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#def-b1-reals-bounds).)*

**Solución de Ejercicio 20.11.**

[Cota superior](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#def-b1-reals-bounds): para todo $x$, $(u + v)(x) = u(x) + v(x) \in \operatorname{im} u +
\operatorname{im} v$, luego

$$
\operatorname{rk}(u + v)
\leq \dim(\operatorname{im} u + \operatorname{im} v)
\leq \operatorname{rk} u + \operatorname{rk} v
$$

(Grassmann, [Teorema 19.18](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/19-dimension-finita#thm-b1-findim-grassmann)). Cota inferior: aplíquese la [cota superior](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#def-b1-reals-bounds) a la pareja $(u + v, -v)$, cuya suma es $u$:

$$
\operatorname{rk} u \leq \operatorname{rk}(u + v) +
\operatorname{rk}(-v) = \operatorname{rk}(u + v) +
\operatorname{rk} v,
$$

luego $\operatorname{rk} u - \operatorname{rk} v \leq
\operatorname{rk}(u+v)$; e intercambiando $u$ y $v$ se obtiene el valor absoluto.

**Ejercicio 20.12 ★★★.**

(Desigualdad de Frobenius) Sean $u \in \mathcal{L}(E, F)$, $w \in \mathcal{L}(F, G)$ y $v \in \mathcal{L}(G, H)$, con todos los espacios [de dimensión finita](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/19-dimension-finita#def-b1-findim-def). Demuéstrese la fórmula exacta

$$
\operatorname{rk}(v \circ w) = \operatorname{rk} w -
\dim\bigl(\ker v \cap \operatorname{im} w\bigr),
$$

y dedúzcase la desigualdad de Frobenius

$$
\operatorname{rk}(v \circ w) + \operatorname{rk}(w \circ u)
\;\leq\; \operatorname{rk} w + \operatorname{rk}(v \circ w \circ
u) .
$$

Compruébese que el caso $w = \mathrm{id}_F$ es la desigualdad de Sylvester, demostrada en forma matricial en el [Ejercicio 21.10](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/21-matrices#exo-b1-matrices-10).

**Solución de Ejercicio 20.12.**

*Fórmula exacta.* Sea $v'$ la restricción de $v$ al [subespacio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-subspace) $\operatorname{im} w$. Su [imagen](#def-b1-linmaps-kerim) es $v(w(F)) = \operatorname{im}(v \circ w)$ y su [núcleo](#def-b1-linmaps-kerim) es $\ker v \cap \operatorname{im} w$. Teorema del [rango](#def-b1-linmaps-rank) para $v'$ sobre el espacio $\operatorname{im} w$:

$$
\operatorname{rk} w = \dim\operatorname{im} w
= \operatorname{rk}(v \circ w) + \dim(\ker v \cap
\operatorname{im} w) .
$$

*Frobenius.* Aplíquese dos veces la fórmula exacta, a $w$ y a $w \circ u$:

$$
\operatorname{rk} w - \operatorname{rk}(vw)
= \dim\bigl(\ker v \cap \operatorname{im} w\bigr),
\qquad
\operatorname{rk}(wu) - \operatorname{rk}(vwu)
= \dim\bigl(\ker v \cap \operatorname{im}(wu)\bigr) .
$$

Como $\operatorname{im}(w \circ u) \subseteq \operatorname{im} w$, la segunda intersección está contenida en la primera y su dimensión no es mayor:

$$
\operatorname{rk}(wu) - \operatorname{rk}(vwu)
\;\leq\; \operatorname{rk} w - \operatorname{rk}(vw) ,
$$

que se reordena en la desigualdad de Frobenius. Con $w = \mathrm{id}_F$ (de [rango](#def-b1-linmaps-rank) $\dim F$, y con $\operatorname{im}\, \mathrm{id}_F = F$): $\operatorname{rk} v + \operatorname{rk} u \leq \dim F +
\operatorname{rk}(vu)$, la desigualdad de Sylvester — demostrada de nuevo, en forma matricial, en el [Ejercicio 21.10](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/21-matrices#exo-b1-matrices-10).

## 20.6 Problema: cálculo de proyectores y lema de Fitting

**Problema 20.1.**

Las proyecciones son los endomorfismos que producen las [sumas directas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-sum), y recíprocamente: toda identidad $E = F_1 \oplus \dots \oplus F_k$ es en secreto una familia de proyectores que suman la identidad. Este problema desarrolla ese diccionario —el álgebra de un proyector, de dos, de $k$— y aplica después las mismas ideas de estabilización a un endomorfismo arbitrario, demostrando el *lema de Fitting*: todo endomorfismo de un espacio [de dimensión finita](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/19-dimension-finita#def-b1-findim-def) se parte en una parte nilpotente y una parte invertible. En todo el problema, $E$ es un $K$-espacio vectorial de dimensión $n$, y *proyector* significa $p \in \mathcal{L}(E)$ con $p^2 = p$ ([Teorema 20.15](#thm-b1-linmaps-projchar)).

**Parte I — El álgebra en torno a un proyector.** Sea $p$ un proyector, $p \neq 0$, $p \neq \mathrm{id}$.

1. Véase que $\mathrm{id} - p$ es un proyector e identifíquense $\operatorname{im}(\mathrm{id} - p)$ y $\ker(\mathrm{id} - p)$ .
2. Calcúlese $(\lambda\,\mathrm{id} + \mu\,p)^2$ y determínense todas las parejas $(\lambda, \mu) \in K^2$ para las que $\lambda\,\mathrm{id} + \mu\,p$ es un proyector.
3. Véase que el plano $\operatorname{Vect}(\mathrm{id}, p)$ de $\mathcal{L}(E)$ es estable por composición y que, para todo [polinomio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) $Q \in K[X]$, $$Q(p) = Q(0)\,\mathrm{id} + \bigl(Q(1) -  Q(0)\bigr)\,p .$$
4. Determínese para qué $(\lambda, \mu)$ la [aplicación](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-map) $\lambda\,\mathrm{id} + \mu\,p$ es invertible, y dese su inversa en la forma $\alpha\,\mathrm{id} + \beta\,p$ . Interprétese la respuesta mediante la acción de $\lambda\,\mathrm{id} + \mu\,p$ sobre $\operatorname{im} p$ y sobre $\ker p$ .
5. Sea $p'$ otro proyector con la *misma [imagen](#def-b1-linmaps-kerim)* $\operatorname{im} p' = \operatorname{im} p$ . Véase que $p\,p' = p'$ y $p'\,p = p$ . ¿Qué dicen estas identidades sobre componer proyecciones sobre el mismo [subespacio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-subspace) paralelamente a [núcleos](#def-b1-linmaps-kerim) distintos?

**Parte II — Dos proyectores.** Sean $p, q$ proyectores de $E$; supóngase que la característica no es $2$ (cierto para $K = \R, \C$).

6. Supóngase que $p + q$ es un proyector. Desarrollando $(p + q)^2$ , véase que $pq + qp = 0$ ; componiendo con $p$ por la izquierda y después por la derecha, dedúzcase $pq = qp$ y conclúyase $pq = qp = 0$ .
7. Recíprocamente, supóngase $pq = qp = 0$. Véase que $p + q$ es un proyector, con $$\operatorname{im}(p + q) = \operatorname{im} p \oplus  \operatorname{im} q,  \qquad  \ker(p + q) = \ker p \cap \ker q .$$
8. Véase que $p - q$ es un proyector si y solo si $pq = qp = q$ . *(Aplíquense las preguntas 6–7 a $\mathrm{id} - p$ y a $q$.)*
9. Véase el significado geométrico de $pq = qp = q$ : se cumple si y solo si $\operatorname{im} q \subseteq  \operatorname{im} p$ y $\ker p \subseteq \ker q$ . (Entonces se escribe $q \leq p$ : « $q$ proyecta sobre menos, paralelamente a más».)
10. Supóngase ahora que $p, q$ conmutan. Recuérdese del [Ejercicio 20.6](#exo-b1-linmaps-6) que $pq$ es el proyector sobre $\operatorname{im} p \cap \operatorname{im} q$ paralelamente a $\ker p + \ker q$. Véase que $r = p + q - pq$ es un proyector con $$\operatorname{im} r = \operatorname{im} p +  \operatorname{im} q,  \qquad  \ker r = \ker p \cap \ker q .$$ *(Considérese $\mathrm{id} - r = (\mathrm{id} -  p)(\mathrm{id} - q)$.)*

**Parte III — Descomposiciones de la identidad.**

11. Sea $E = F_1 \oplus \dots \oplus F_k$ y, para $x = x_1 + \dots + x_k$ (descomposición única, $x_i \in F_i$ ), póngase $p_i(x) = x_i$ . Véase que cada $p_i$ es un proyector, que $p_i p_j = 0$ para $i \neq j$ y que $p_1 + \dots + p_k = \mathrm{id}$ ; identifíquense $\operatorname{im} p_i$ y $\ker p_i$ .
12. Recíprocamente, sean $p_1, \dots, p_k \in \mathcal{L}(E)$ con $p_1 + \dots + p_k = \mathrm{id}$ y $p_i p_j = 0$ para todos $i \neq j$ . Véase que cada $p_i$ es un proyector y que $E = \operatorname{im} p_1 \oplus \dots \oplus  \operatorname{im} p_k$ .
13. Dos proyectores con $p + q = \mathrm{id}$ : véase que $pq = qp = 0$ se cumple automáticamente.
14. Tres proyectores con $p + q + r = \mathrm{id}$ : véase que $p + q$ es un proyector y dedúzcase de la pregunta 6 que se anulan *todos* los productos dos a dos — luego $E = \operatorname{im} p \oplus \operatorname{im} q \oplus  \operatorname{im} r$ , sin ninguna hipótesis sobre los productos.
15. Para $k$ proyectores con $p_1 + \dots + p_k = \mathrm{id}$ : véase primero que, para [subespacios](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-subspace) cualesquiera, $\dim (F_1 + \dots + F_k) \leq \dim F_1 + \dots + \dim F_k$ , con igualdad si y solo si la suma es directa; véase después que $E = \operatorname{im} p_1 + \dots + \operatorname{im}  p_k$ , y demuéstrese que *si* además $\sum_i \operatorname{rk} p_i \leq n$ , la suma es directa y $p_i p_j = 0$ para $i \neq j$ .

**Parte IV — [Núcleos](#def-b1-linmaps-kerim) iterados: el lema de Fitting.** Sea $u \in \mathcal{L}(E)$, $\dim E = n$.

16. Véanse las dos cadenas, válidas para todo $k \geq 0$: $$\ker u^k \subseteq \ker u^{k+1},  \qquad  \operatorname{im} u^{k+1} \subseteq \operatorname{im}  u^k .$$
17. Véase que si $\ker u^{r} = \ker u^{r+1}$ para algún $r$ , entonces $\ker u^{k} = \ker u^{r}$ para todo $k \geq r$ ; enúnciese y demuéstrese la estabilización análoga para las imágenes.
18. Dedúzcase que hay un entero mínimo $r$ con $\ker u^{r} = \ker u^{r+1}$ , que $r \leq n$ y que las imágenes se estabilizan en ese mismo $r$ .
19. (Lema de Fitting) Demuéstrese que $$E \;=\; \ker u^{r} \,\oplus\, \operatorname{im} u^{r} .$$
20. Véase que los dos [subespacios](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-subspace) son estables por $u$ , que la restricción de $u$ a $\ker u^{r}$ es nilpotente y que la restricción de $u$ a $\operatorname{im} u^{r}$ es un isomorfismo de $\operatorname{im} u^{r}$ : todo endomorfismo es, sobre una [suma directa](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-sum) canónica, «nilpotente más invertible».
21. Sea $\pi$ el proyector sobre $\ker u^{r}$ paralelamente a $\operatorname{im} u^{r}$ . Véase que $\pi \circ u = u \circ \pi$ .

**Parte V — Un caso trabajado, y síntesis.**

22. Sea $u(x, y, z) = (y, 0, z)$ en $\R^3$ . Calcúlense $u^2$ y $u^3$ , determínense el índice de estabilización $r$ , los [subespacios](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-subspace) $\ker u^{r}$ y $\operatorname{im} u^{r}$ y el proyector de Fitting $\pi$ , y compruébese en las fórmulas que $\pi u = u\pi$ y que $u$ es nilpotente en un factor y [biyectiva](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj) en el otro.
23. Véanse las equivalencias: $u$ nilpotente $\iff$ $\ker u^{r} = E$ $\iff$ $\pi = \mathrm{id}$ ; y dedúzcase que un endomorfismo nilpotente de un espacio de dimensión $n$ siempre cumple $u^{n} = 0$ (el índice de nilpotencia nunca supera la dimensión).
24. (Unicidad) Supóngase $E = A \oplus B$ con $A, B$ estables por $u$ , la restricción $u|_A$ nilpotente y $u|_B$ [biyectiva](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj) . Demuéstrese $A = \ker u^{r}$ y $B = \operatorname{im} u^{r}$ : la descomposición de Fitting es única.
25. Síntesis, en cuatro frases: qué diccionario establece la parte III entre las [sumas directas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-sum) y las familias de proyectores; por qué la pregunta 14 no necesitó hipótesis sobre los productos mientras que la 15 necesitó una hipótesis de [rango](#def-b1-linmaps-rank) (y qué herramienta del segundo año, la traza, la elimina); en qué sentido el lema de Fitting es la versión estabilizada del [Ejercicio 20.7](#exo-b1-linmaps-7) ; y en qué se convierten los dos factores de Fitting en la teoría de valores propios del volumen del segundo año. Nómbrese el teorema demostrado en la parte IV.

**Solución de Problema 20.1.**

**1.** $(\mathrm{id} - p)^2 = \mathrm{id} - 2p + p^2 =
\mathrm{id} - p$: un proyector. Si $y = x - p(x)$, entonces $p(y) = p(x) - p^2(x) = 0$ y, recíprocamente, $x \in \ker p$ da $x = (\mathrm{id} - p)(x)$: $\operatorname{im}(\mathrm{id} - p) =
\ker p$. Y $(\mathrm{id} - p)(x) = 0 \iff p(x) = x \iff x \in
\operatorname{im} p$ (los puntos fijos, [Teorema 20.15](#thm-b1-linmaps-projchar)): $\ker(\mathrm{id} - p) =
\operatorname{im} p$.

**2.** $(\lambda\,\mathrm{id} + \mu p)^2 =
\lambda^2\,\mathrm{id} + (2\lambda\mu + \mu^2)\,p$. La pareja $(\mathrm{id}, p)$ es [libre](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) en $\mathcal{L}(E)$: $p = c\,
\mathrm{id}$ daría $c^2 = c$, luego $p = 0$ o $\mathrm{id}$, excluidos. Identificando coeficientes, la [aplicación](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-map) es un proyector si y solo si $\lambda^2 = \lambda$ y $2\lambda\mu + \mu^2 = \mu$. Para $\lambda = 0$: $\mu \in \{0, 1\}$. Para $\lambda = 1$: $\mu^2 + \mu = 0$, $\mu \in \{0, -1\}$. Exactamente cuatro proyectores en el plano: $0$, $p$, $\mathrm{id}$, $\mathrm{id} - p$.

**3.** $(\lambda\,\mathrm{id} + \mu p)(\lambda'\,\mathrm{id}
+ \mu' p) = \lambda\lambda'\,\mathrm{id} + (\lambda\mu' +
\mu\lambda' + \mu\mu')\,p$: el plano es estable por composición. Y como $p^k = p$ para todo $k \geq 1$, para $Q = \sum_k a_k X^k$:

$$
Q(p) = a_0\,\mathrm{id} + \Bigl(\sum_{k \geq 1} a_k\Bigr) p
= Q(0)\,\mathrm{id} + \bigl(Q(1) - Q(0)\bigr)\,p .
$$

**4.** En $\operatorname{im} p$ (donde $p$ actúa como la identidad), $\lambda\,\mathrm{id} + \mu p$ multiplica por $\lambda + \mu$; y en $\ker p$, por $\lambda$. Como $E = \operatorname{im} p \oplus \ker p$, la [aplicación](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-map) es [biyectiva](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj) si y solo si $\lambda \neq 0$ y $\lambda + \mu \neq 0$. Resolviendo $\lambda\alpha = 1$, $\lambda\beta + \mu\alpha + \mu\beta = 0$ en la regla de composición de la pregunta 3:

$$
(\lambda\,\mathrm{id} + \mu p)^{-1}
= \frac1\lambda\,\mathrm{id} -
\frac{\mu}{\lambda(\lambda + \mu)}\,p ,
$$

cuya acción es por $1/\lambda$ en $\ker p$ y por $1/(\lambda + \mu)$ en $\operatorname{im} p$, como debe ser.

**5.** Escríbase $F = \operatorname{im} p = \operatorname{im}
p'$. Para todo $x$, $p'(x) \in F$ y $p$ deja $F$ fijo punto a punto: $p(p'(x)) = p'(x)$, es decir, $p\,p' = p'$; y simétricamente $p'\,p = p$. Cuando dos proyecciones comparten su [imagen](#def-b1-linmaps-kerim), decide la que se aplica *primero*: su salida ya está en $F$, donde la [proyección](#def-b1-linmaps-projection) exterior actúa como la identidad y no cambia nada.

**6.** $(p + q)^2 = p^2 + pq + qp + q^2 = (p + q) + pq + qp$, de modo que ser $p + q$ un proyector fuerza $pq + qp = 0$. Compóngase por la izquierda con $p$: $pq + pqp = 0$; y por la derecha con $p$: $pqp + qp = 0$. Restando, $pq = qp$; entonces $pq + qp = 2pq = 0$ y la característica no es $2$: $pq = qp = 0$.

**7.** Con $pq = qp = 0$, el mismo desarrollo da $(p + q)^2 = p + q$. [Imagen](#def-b1-linmaps-kerim): siempre $\operatorname{im}(p + q) \subseteq \operatorname{im} p +
\operatorname{im} q$. Recíprocamente, para $x \in \operatorname{im}
p$: $q(x) = q(p(x)) = 0$, luego $(p + q)(x) = p(x) = x$ y $x \in \operatorname{im}(p+q)$; igual para $\operatorname{im} q$. Que es directa: $x \in \operatorname{im} p \cap \operatorname{im} q$ da $x = p(x) = p(q(x)) = 0$. [Núcleo](#def-b1-linmaps-kerim): si $p(x) + q(x) = 0$, aplicar $p$ da $p(x) + p(q(x)) = p(x) = 0$, y aplicar $q$ da $q(x) = 0$: $\ker(p + q) = \ker p \cap \ker q$ (la inclusión recíproca es clara).

**8.** $p - q$ es un proyector si y solo si lo es $\mathrm{id} - (p - q) = (\mathrm{id} - p) + q$ (pregunta 1, dos veces). Por las preguntas 6–7 aplicadas a los proyectores $\mathrm{id} - p$ y $q$, esto se cumple si y solo si $(\mathrm{id} - p)q = q(\mathrm{id} - p) = 0$, es decir, si y solo si $pq = q$ y $qp = q$.

**9.** $pq = q$ significa que $p$ deja fijo todo $q(x)$, es decir, $\operatorname{im} q \subseteq \ker(p - \mathrm{id}) =
\operatorname{im} p$. Y $qp = q$ significa $q\bigl((\mathrm{id} - p)(x)\bigr) = 0$ para todo $x$, es decir, que $q$ se anula en $\operatorname{im}(\mathrm{id} - p) = \ker p$: $\ker p \subseteq \ker q$. Los dos pasos son equivalencias: el orden $q \leq p$ dice que $q$ proyecta sobre una [imagen](#def-b1-linmaps-kerim) menor, paralelamente a un [núcleo](#def-b1-linmaps-kerim) mayor.

**10.** Desarrollando, $(\mathrm{id} - p)(\mathrm{id} - q) = \mathrm{id} - p - q + pq =
\mathrm{id} - r$. Los proyectores $\mathrm{id} - p$ y $\mathrm{id} - q$ conmutan, luego, por el [Ejercicio 20.6](#exo-b1-linmaps-6), su producto $\mathrm{id} - r$ es el proyector sobre $\operatorname{im}(\mathrm{id} - p) \cap
\operatorname{im}(\mathrm{id} - q) = \ker p \cap \ker q$ paralelamente a $\ker(\mathrm{id} - p) + \ker(\mathrm{id} - q) =
\operatorname{im} p + \operatorname{im} q$. Por la pregunta 1, $r = \mathrm{id} - (\mathrm{id} - r)$ es entonces el proyector con $\operatorname{im} r = \operatorname{im} p + \operatorname{im} q$ y $\ker r = \ker p \cap \ker q$.

**11.** $p_i$ está bien definida (por la unicidad de la descomposición) y es [lineal](#def-b1-linmaps-def) (la descomposición de $x + \lambda y$ es la suma de las descomposiciones, otra vez por la unicidad). Para $x_i \in F_i$, la descomposición es el propio $x_i$, luego $p_i(x_i) = x_i$: $p_i^2 = p_i$; y $p_j(x_i) = 0$ para $j \neq i$: $p_i p_j = 0$ (pues $p_j(x) \in F_j$). Sumando las componentes, $\sum_i p_i = \mathrm{id}$. Por último, $\operatorname{im} p_i = F_i$ y $\ker p_i = \bigoplus_{j \neq i} F_j$.

**12.** $p_i = p_i \circ \mathrm{id} = p_i\sum_j p_j =
p_i^2 + \sum_{j \neq i} p_i p_j = p_i^2$: cada $p_i$ es un proyector. Todo $x = \mathrm{id}(x) = \sum_i p_i(x)$ está en $\sum_i \operatorname{im} p_i$: las imágenes suman $E$. Que es directa: supóngase $y_1 + \dots + y_k = 0$ con $y_i \in \operatorname{im} p_i$, de modo que $p_i(y_i) = y_i$. Aplíquese $p_j$: $p_j (y_i) = p_j p_i (y_i) = 0$ para $i \neq j$, luego $0 = p_j\bigl(\sum y_i\bigr) = y_j$, para todo $j$. Por tanto, $E = \bigoplus_i \operatorname{im} p_i$.

**13.** $q = \mathrm{id} - p$, y la pregunta 1 da $pq = p - p^2 = 0 = qp$ directamente: para dos proyectores, sumar la identidad ya fuerza la ortogonalidad de la pareja.

**14.** $p + q = \mathrm{id} - r$ con $r$ proyector, y $(\mathrm{id} - r)$ es un proyector (pregunta 1): luego $p + q$ es un proyector, y la pregunta 6 da $pq = qp = 0$. Por [simetría](#def-b1-linmaps-projection) ($q + r = \mathrm{id} - p$ y $p + r = \mathrm{id} - q$), se anulan todos los productos dos a dos, y la pregunta 12 concluye: $E = \operatorname{im} p \oplus \operatorname{im} q \oplus
\operatorname{im} r$, automáticamente.

**15.** *Lema.* Por inducción con Grassmann ([Teorema 19.18](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/19-dimension-finita#thm-b1-findim-grassmann)):

$$
\dim(F_1 + \dots + F_k) \leq \dim(F_1 + \dots + F_{k-1}) + \dim
F_k \leq \dots \leq \sum_i \dim F_i .
$$

Si el total es una igualdad, lo es cada paso: $(F_1 + \dots + F_{j-1}) \cap F_j = \{0\}$ para todo $j$, y una relación $y_1 + \dots + y_k = 0$ ($y_i \in F_i$) se derrumba desde la derecha: $y_k \in (F_1 + \dots + F_{k-1}) \cap F_k = \{0\}$, después $y_{k-1} = 0$, etc.: la suma es directa. Recíprocamente, una [suma directa](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-sum) tiene dimensiones aditivas (concaténense [bases](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free)). *Aplicación:* $x = \sum_i p_i(x)$ muestra $E = \sum_i \operatorname{im} p_i$, luego $n \leq \sum_i \operatorname{rk} p_i$; la hipótesis da la igualdad y, por tanto, que es directa. Productos: fíjese $j$ y $y \in \operatorname{im} p_j$. Entonces $y = \sum_i p_i(y)$ con $p_i(y) \in \operatorname{im} p_i$, mientras que $y = y$ también es una descomposición (solo la componente $j$); la unicidad fuerza $p_i(y) = 0$ para $i \neq j$. Aplicado a $y = p_j(x)$: $p_i p_j = 0$.

**16.** Si $u^k(x) = 0$, entonces $u^{k+1}(x) = u(0) = 0$. Y $\operatorname{im} u^{k+1} = u^k\bigl(u(E)\bigr) \subseteq
u^k(E) = \operatorname{im} u^k$.

**17.** Supóngase $\ker u^{r} = \ker u^{r+1}$ y sea $x \in \ker u^{r+2}$: entonces $u(x) \in \ker u^{r+1} = \ker u^{r}$, luego $u^{r+1}(x) = 0$: $x \in \ker u^{r+1}$. Con la pregunta 16, $\ker u^{r+1} = \ker u^{r+2}$ y, por inducción, todos los [núcleos](#def-b1-linmaps-kerim) posteriores coinciden con $\ker u^{r}$. Para las imágenes: el teorema del [rango](#def-b1-linmaps-rank) da $\dim\operatorname{im} u^k = n - \dim\ker u^k$, de modo que las dimensiones de las imágenes se congelan exactamente cuando lo hacen las de los [núcleos](#def-b1-linmaps-kerim) y, con las inclusiones de la pregunta 16, dimensiones iguales significan [subespacios](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-subspace) iguales ([Teorema 19.14](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/19-dimension-finita#thm-b1-findim-subspaces)).

**18.** La sucesión $\bigl(\dim\ker u^k\bigr)_k$ es no decreciente con valores en $\intint{0}{n}$; no puede crecer estrictamente $n + 1$ veces, así que para algún $r \leq n$ se tiene $\dim\ker u^{r} = \dim\ker u^{r+1}$ y, por tanto, $\ker u^{r} = \ker u^{r+1}$ (inclusión más igualdad de dimensiones). Tómese el $r$ mínimo; la pregunta 17 lo congela todo a partir de $r$, imágenes incluidas.

**19.** Intersección: sea $x \in \ker u^{r} \cap \operatorname{im} u^{r}$, digamos $x = u^{r}(y)$ con $u^{r}(x) = 0$. Entonces $u^{2r}(y) = 0$, y $\ker u^{2r} = \ker u^{r}$ (pregunta 17), luego $x = u^{r}(y) = 0$. Dimensiones: el teorema del [rango](#def-b1-linmaps-rank) para $u^{r}$ da $\dim\ker u^{r} + \dim\operatorname{im} u^{r} = n$; y con intersección trivial, Grassmann hace de la suma un [subespacio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-subspace) de dimensión $n$: $E = \ker u^{r} \oplus \operatorname{im} u^{r}$.

**20.** Estabilidad: $u^{r}(u(x)) = u(u^{r}(x)) = 0$ para $x \in \ker u^{r}$; y $u(u^{r}(y)) = u^{r}(u(y)) \in \operatorname{im} u^{r}$. En $N = \ker u^{r}$: $(u|_N)^{r} = 0$ por definición de $N$: nilpotente. En $I = \operatorname{im} u^{r}$: $\ker(u|_I) = \ker u \cap I \subseteq \ker u^{r} \cap I = \{0\}$, luego $u|_I$ es un endomorfismo [inyectivo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj) del $I$ [de dimensión finita](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/19-dimension-finita#def-b1-findim-def) y, por tanto, [biyectivo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj) ([Corolario 20.9](#cor-b1-linmaps-samedim)).

**21.** Sea $x = a + b$ con $a \in N$, $b \in I$. Entonces $u(x) = u(a) + u(b)$ con $u(a) \in N$ y $u(b) \in I$ (pregunta 20): esa *es* la descomposición de $u(x)$, luego $\pi(u(x)) = u(a) = u(\pi(x))$: $\pi u = u\pi$.

**22.** $u^2(x,y,z) = u(y, 0, z) = (0, 0, z)$ y $u^3(x,y,z) = u(0,0,z) = (0,0,z) = u^2(x,y,z)$. [Núcleos](#def-b1-linmaps-kerim): $\ker u = \{y = z = 0\} = \operatorname{Vect}(e_1)$, $\ker u^2 = \{z = 0\} = \operatorname{Vect}(e_1, e_2)$, $\ker u^3 = \ker u^2$: estabilización en $r = 2$. Imágenes: $\operatorname{im} u = \operatorname{Vect}(e_1, e_3)$, $\operatorname{im} u^2 = \operatorname{Vect}(e_3)$. Fitting: $\R^3 = \operatorname{Vect}(e_1, e_2) \oplus
\operatorname{Vect}(e_3)$, y $\pi(x, y, z) = (x, y, 0)$. Comprobación: $\pi u(x,y,z) = \pi(y, 0, z) = (y, 0, 0)$ y $u\pi(x,y,z) = u(x, y, 0) = (y, 0, 0)$: iguales. En el primer factor, $u(x, y, 0) = (y, 0, 0)$, cuyo cuadrado es $0$: nilpotente; y en el segundo, $u(0,0,z) = (0,0,z)$: la identidad, [biyectiva](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj).

**23.** Si $u^m = 0$, entonces $\ker u^m = E$; y como los [núcleos](#def-b1-linmaps-kerim) están congelados a partir de $r$, $\ker u^{r} = \ker u^{\max(m, r)} = E$. Recíprocamente, $\ker u^{r} = E$ significa $u^{r} = 0$. Y $\ker u^{r} = E \iff$ el proyector de Fitting es sobre $E$ paralelamente a $\{0\}$, es decir, $\pi = \mathrm{id}$. Por último, $r \leq n$ (pregunta 18) da: todo endomorfismo nilpotente cumple $u^{n} = 0$ — el índice de nilpotencia nunca supera la dimensión.

**24.** Sea $m$ un índice de nilpotencia de $u|_A$: $A \subseteq \ker u^{m} \subseteq \ker u^{\max(m,r)} = \ker u^{r}$. Como $u|_B$ es [biyectiva](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj), $B = u(B) = u^{k}(B) \subseteq \operatorname{im} u^{k}$ para todo $k$; en particular, $B \subseteq \operatorname{im} u^{r}$. Entonces

$$
n = \dim A + \dim B \leq \dim\ker u^{r} +
\dim\operatorname{im} u^{r} = n :
$$

las dos inclusiones son igualdades de dimensiones y, por tanto, de [subespacios](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-subspace): $A = \ker u^{r}$, $B = \operatorname{im} u^{r}$.

**25.** (i) La parte III es un diccionario: las descomposiciones $E = F_1 \oplus \dots \oplus F_k$ se corresponden exactamente con las familias de proyectores con $\sum p_i = \mathrm{id}$ y $p_i p_j = 0$, siendo los $F_i$ las imágenes. (ii) Para $k = 3$, los complementarios $\mathrm{id} - p_i$ son ellos mismos proyectores, lo que cerró el argumento sin ninguna hipótesis extra; para $k$ general hace falta $\sum_i \operatorname{rk} p_i \leq n$, una desigualdad que la traza del segundo año da gratis ($\operatorname{tr} p = \operatorname{rk}
p$ para un proyector, y las trazas suman $\operatorname{tr} \mathrm{id} = n$). (iii) El [Ejercicio 20.7](#exo-b1-linmaps-7) es el lema de Fitting en el caso ya estabilizado $r \leq 1$; en general se deja que las cadenas de [núcleos](#def-b1-linmaps-kerim) e imágenes se congelen, lo que lleva a lo sumo $n$ pasos. (iv) En el volumen del segundo año, aplicado a $u - \lambda\, \mathrm{id}$, el factor nilpotente se convierte en el [subespacio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-subspace) propio generalizado en $\lambda$, y los proyectores de la parte III, en los proyectores espectrales de la teoría de reducción. El teorema de la parte IV es el *lema de Fitting*.