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title: "Matrices"
book: "Matemáticas universitarias — Grado 1"
subject: math
language: es
chapter: 21
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/21-matrices
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# Capítulo 21 — Matrices

Una matriz es una [aplicación lineal](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/20-aplicaciones-lineales#def-b1-linmaps-def) escrita en [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#prop-b1-vspaces-coordinates). Este capítulo establece el diccionario —la composición pasa a ser el producto de matrices, la [biyectividad](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj) pasa a ser la invertibilidad y el [cambio de base](#def-b1-matrices-changeofbasis) pasa a ser la conjugación— y también el lado algorítmico: las [operaciones por filas](#met-b1-matrices-gauss) y el cálculo de rangos e inversas. Vistas por primera vez en el volumen anterior, las matrices quedan ahora fundadas en la teoría de los Capítulos [18](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#ch-b1-vspaces), [19](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/19-dimension-finita#ch-b1-findim) y [20](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/20-aplicaciones-lineales#ch-b1-linmaps).

## 21.1 Matrices y aplicaciones lineales

**Definición 21.1.**

$\mathcal{M}_{n,p}(K)$ es el [espacio vectorial](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-def) de las tablas $n \times p$ de escalares $A = (a_{ij})$ ($i$: fila, $j$: columna), de dimensión $np$ ([base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free): las matrices $E_{ij}$ con un único $1$). Dadas [bases](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_p)$ de $E$ y $\mathcal{C}$ de $F$ ($\dim F = n$), la *matriz de $u \in \mathcal{L}(E, F)$* es la tabla cuya columna $j$-ésima enumera las [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#prop-b1-vspaces-coordinates) de $u(e_j)$ en $\mathcal{C}$:

$$
\operatorname{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u) = (a_{ij}),
\qquad u(e_j) = \sum_{i=1}^{n} a_{ij}\, f_i .
$$

La [aplicación](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-map) $u \mapsto \operatorname{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)$ es un isomorfismo de $\mathcal{L}(E, F)$ sobre $\mathcal{M}_{n,p}(K)$ ([Proposición 20.2](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/20-aplicaciones-lineales#prop-b1-linmaps-basis): una [aplicación lineal](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/20-aplicaciones-lineales#def-b1-linmaps-def) es exactamente una elección de imágenes de los $e_j$).

**Ejemplo 21.2 (La derivada, como matriz).**

Sea $D(P) = P'$ en $\R_3[X]$. En la [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) monomial $(1, X, X^2, X^3)$: $D(1) = 0$, $D(X) = 1$, $D(X^2) = 2X$, $D(X^3) = 3X^2$, luego

$$
\operatorname{Mat}(D) =
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 2 & 0\\
0 & 0 & 0 & 3\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.
$$

En la [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) *dividida* $\bigl(1,\ X,\ \frac{X^2}2,\ \frac{X^3}6\bigr)$, cada vector de la [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) va al anterior ($D\bigl(\frac{X^k}{k!}\bigr) = \frac{X^{k-1}}{(k-1)!}$) y la matriz se convierte en el desplazamiento puro: unos en la superdiagonal y ceros en el resto. Dos moralejas: la matriz pertenece a la *pareja* ([aplicación](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-map), [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free)), no a la [aplicación](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-map) sola; y una buena [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) vuelve visible la estructura de un vistazo — la forma de desplazamiento muestra al instante que $D^4 = 0$ en $\R_3[X]$, pues cada potencia de la matriz empuja su diagonal de unos un paso más lejos.

**Definición 21.3 (Producto).**

Para $A \in \mathcal{M}_{n,p}$ y $B \in \mathcal{M}_{p,q}$:

$$
(AB)_{ik} = \sum_{j=1}^{p} a_{ij}\, b_{jk}
\qquad (1 \leq i \leq n,\ 1 \leq k \leq q).
$$

Esta es precisamente la matriz de la composición: $\operatorname{Mat}(v \circ u) = \operatorname{Mat}(v)\,
\operatorname{Mat}(u)$ (con las [bases](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) coincidiendo en el medio). De igual modo, si $X$ es la columna de [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#prop-b1-vspaces-coordinates) de $x$, la columna de $u(x)$ es $AX$.

**Demostración de la fórmula de la composición.**

$$
v(u(e_k)) = v\Bigl(\sum_j b_{jk} f_j\Bigr) = \sum_j b_{jk}\, v(f_j)
= \sum_j b_{jk} \sum_i a_{ij}\, g_i
= \sum_i \Bigl(\sum_j a_{ij} b_{jk}\Bigr) g_i . \qedhere
$$

∎

**Proposición 21.4 (El álgebra Mn(K)\mathcal{M}_n(K)Mn​(K)).**

Las matrices cuadradas $\mathcal{M}_n(K)$ forman un [anillo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/7-estructuras-algebraicas#def-b1-structures-ring) (no conmutativo para $n \geq 2$), con unidad $I_n$; su [grupo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/7-estructuras-algebraicas#def-b1-structures-group) de unidades es el *grupo lineal general* $GL_n(K)$, que corresponde a los endomorfismos [biyectivos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj). Para $A, B \in \mathcal{M}_n(K)$:

$$
AB = I_n \implies A \in GL_n(K) \text{ y } B = A^{-1}
$$

(las inversas por un lado lo son por los dos, por el [Corolario 20.9](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/20-aplicaciones-lineales#cor-b1-linmaps-samedim)).

**Demostración.** Los axiomas de [anillo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/7-estructuras-algebraicas#def-b1-structures-ring) se transportan desde $\mathcal{L}(E)$ por el isomorfismo de la [Definición 21.1](#def-b1-matrices-def): convierte la composición en producto y la suma en suma, de modo que la asociatividad, la distributividad y el papel de $I_n$ se heredan de los hechos correspondientes sobre aplicaciones, sin ninguna comprobación entrada a entrada. No conmutatividad: $E_{12}E_{21} = E_{11} \neq E_{22} = E_{21}E_{12}$. Si $AB = I_n$: el endomorfismo $a$ de $A$ cumple $a \circ b = \mathrm{id}$, luego $a$ es [sobreyectivo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj) ($x = a(b(x))$ exhibe una [imagen recíproca](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-map) de cada $x$) y, por tanto, [biyectivo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj) en [dimensión finita](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/19-dimension-finita#def-b1-findim-def) ([Corolario 20.9](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/20-aplicaciones-lineales#cor-b1-linmaps-samedim)); componiendo $a \circ b = \mathrm{id}$ con $a^{-1}$ por la izquierda se obtiene $b = a^{-1}$ y, entonces, también $b\circ a = \mathrm{id}$: la inversa por un lado lo era por los dos desde el principio — un favor estrictamente [de dimensión finita](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/19-dimension-finita#def-b1-findim-def). ∎

**Definición 21.5 (Traspuesta; traza).**

La *traspuesta* de $A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_{n,p}$ es $A^{\mathsf T} = (a_{ji}) \in \mathcal{M}_{p,n}$; cumple $(AB)^{\mathsf T} = B^{\mathsf T} A^{\mathsf T}$ y $(A^{\mathsf T})^{\mathsf T} = A$. La *traza* de una matriz cuadrada es $\operatorname{tr} A = \sum_i a_{ii}$; es [lineal](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/20-aplicaciones-lineales#def-b1-linmaps-def), y

$$
\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)
\qquad (A \in \mathcal{M}_{n,p},\ B \in \mathcal{M}_{p,n}).
$$

**Demostración de la identidad de la traza.** $\operatorname{tr}(AB) = \sum_i \sum_j a_{ij} b_{ji}$ y $\operatorname{tr}(BA) = \sum_j \sum_i b_{ji} a_{ij}$: la misma suma doble. ∎

**Ejemplo 21.6 (La traza en acción).**

La [proyección](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/20-aplicaciones-lineales#def-b1-linmaps-projection) del [Capítulo 20](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/20-aplicaciones-lineales#ch-b1-linmaps) sobre $\operatorname{Vect}(1,1)$ paralelamente a $\operatorname{Vect}(0,1)$, $p(x, y) = (x, x)$, tiene matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ en la [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) canónica: en efecto, $A^2 = A$, y

$$
\operatorname{tr} A = 1 = \operatorname{rk} A ,
$$

lo que ilustra el [Ejercicio 21.8](#exo-b1-matrices-8): para los idempotentes, la [traza](#def-b1-matrices-transpose) *cuenta* la dimensión de la [imagen](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/20-aplicaciones-lineales#def-b1-linmaps-kerim), sea cual sea la [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) torcida en la que esté escrita la matriz. El mecanismo de la invariancia es la identidad $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$:

$$
\operatorname{tr}\bigl(P^{-1}(AP)\bigr) =
\operatorname{tr}\bigl((AP)P^{-1}\bigr) = \operatorname{tr} A ,
$$

de modo que todas las [matrices semejantes](#thm-b1-matrices-conjugation) a $A$ comparten su [traza](#def-b1-matrices-transpose) — el primer *invariante numérico* de un endomorfismo, al que se sumará el determinante en el [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/22-determinantes-y-sistemas-lineales#ch-b1-det) (la pareja $(s, p)$ del problema del fin de semana de más abajo).

**Ejemplo 21.7 (Simétrica más antisimétrica).**

Dígase que $A$ es *simétrica* cuando $A^{\mathsf T} = A$, y *antisimétrica* cuando $A^{\mathsf T} = -A$. Toda matriz cuadrada se parte de forma única como una más la otra:

$$
A = \underbrace{\frac{A + A^{\mathsf T}}{2}}_{\text{simétrica}}
+ \underbrace{\frac{A - A^{\mathsf T}}{2}}_{\text{antisimétrica}},
$$

y una matriz que sea las dos cosas es nula ($A = -A$): los dos [conjuntos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) son [subespacios suplementarios](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-sum) de $\mathcal{M}_n(K)$ — el análogo exacto de la separación par/impar de las funciones ([Ejemplo 18.11](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#ex-b1-vspaces-evenodd)), con la [trasposición](#def-b1-matrices-transpose) en el papel de $x \mapsto -x$. Dimensiones: una matriz simétrica es [libre](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) en la diagonal y por encima, y una antisimétrica, estrictamente por encima (diagonal nula):

$$
\frac{n(n+1)}{2} + \frac{n(n-1)}{2} = n^2 ,
$$

y el que la cuenta cuadre es la confirmación de Grassmann de que la suma es directa. Para $n = 2$: $\begin{pmatrix} 1 & 5\\ 1 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3\\
3 & 2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 2\\ -2 & 0\end{pmatrix}$. Las matrices simétricas vuelven como los datos de segunda [derivada](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/14-derivacion#def-b1-derivative-def) del [Capítulo 25](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/25-funciones-de-dos-variables#ch-b1-multivar) (la terna de Monge $r, s, t$), y las simétricas ortogonales se clasifican en el [Ejercicio 23.12](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/23-espacios-euclideos#exo-b1-euclid-12).

## 21.2 Cambio de base

**Definición 21.8.**

Sean $\mathcal{B}, \mathcal{B}'$ [bases](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) de $E$. La *matriz de cambio de base* $P = P_{\mathcal{B}\to\mathcal{B}'}$ tiene por columnas las [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#prop-b1-vspaces-coordinates) de los vectores de la [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) *nueva* en la [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) *antigua*. Es invertible, $P^{-1} =
P_{\mathcal{B}'\to\mathcal{B}}$, y las [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#prop-b1-vspaces-coordinates) se transforman por $X = PX'$ (antiguas $=$ $P\,\cdot$ nuevas).

**Ejemplo 21.9 (Leer la matriz de cambio de base).**

En $\R^2$, de la canónica $\mathcal B$ a $\mathcal B' = \bigl((1,1), (1,-1)\bigr)$:

$$
P = P_{\mathcal B\to\mathcal B'} =
\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix}
$$

(los vectores nuevos escritos en [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#prop-b1-vspaces-coordinates) antiguas, columna a columna). El vector de [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#prop-b1-vspaces-coordinates) antiguas $X = (3, 1)^{\mathsf T}$ tiene [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#prop-b1-vspaces-coordinates) nuevas $X' = P^{-1}X = \frac12(3 + 1,\ 3 - 1)^{\mathsf T} =
(2, 1)^{\mathsf T}$: en efecto, $2(1,1) + 1(1,-1) = (3,1)$. Ojo con el sentido — la matriz $P$ se construye con la [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) *nueva* pero convierte *de nuevas a antiguas* las [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#prop-b1-vspaces-coordinates) ($X = PX'$); pasar de antiguas a nuevas cuesta la inversa. Escribir la comprobación $2(1,1) + (1,-1) = (3,1)$ tras cada conversión atrapa el error de invertir $P$, que es el fallo más frecuente del capítulo.

**Teorema 21.10 (Cambio de base para una aplicación).**

Sea $u \in \mathcal{L}(E)$ con matriz $A$ en $\mathcal{B}$ y $A'$ en $\mathcal{B}'$, y sea $P = P_{\mathcal{B}\to\mathcal{B}'}$. Entonces

$$
A' = P^{-1} A\, P .
$$

Dos matrices relacionadas así se llaman *semejantes*. (Para $u \colon E \to F$ con dos parejas de [bases](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free), la fórmula es $A' = Q^{-1} A P$ — matrices *equivalentes*.)

**Demostración.** Para cualquier $x$: $X = PX'$ y la [imagen](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/20-aplicaciones-lineales#def-b1-linmaps-kerim) cumple $Y = AX$, $Y = PY'$. Luego $PY' = APX'$, es decir, $Y' = (P^{-1}AP)X'$ para todo $X'$: la matriz de $u$ en la [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) nueva es $P^{-1}AP$ (tómense como $X'$ las columnas canónicas). ∎

**Ejemplo 21.11 (Una buena base vuelve transparente una aplicación).**

Sea $u(x, y) = (y, x)$ (el intercambio), con matriz $A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ en la [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) canónica. En la base $\mathcal B' = \bigl((1,1), (1,-1)\bigr)$:

$$
P = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix},
\qquad
P^{-1} = \frac12\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix},
\qquad
P^{-1} A P = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}.
$$

En realidad no hacía falta ningún producto de matrices: $u$ deja fijo $(1,1)$ e invierte $(1,-1)$, así que en $\mathcal B'$ su matriz *tiene* que ser $\operatorname{diag}(1, -1)$ — el intercambio es la reflexión respecto de la recta $y = x$. Hallar, para un endomorfismo dado, una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) en la que su matriz sea diagonal es el problema central del volumen del segundo año (la teoría de reducción); y el problema del fin de semana de más abajo muestra hasta dónde llegan ya las solas identidades polinómicas.

**Ejemplo 21.12 (Cambio de base, al revés).**

La [proyección](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/20-aplicaciones-lineales#def-b1-linmaps-projection) sobre $F = \operatorname{Vect}(1,1)$ paralelamente a $G = \operatorname{Vect}(1,-1)$ tiene, en la [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) adaptada $\mathcal B' = \bigl((1,1),(1,-1)\bigr)$, la matriz transparente $A' = \operatorname{diag}(1, 0)$. Para obtener su matriz en la [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) canónica, ejecútese al revés el [Teorema 21.10](#thm-b1-matrices-conjugation), $A = P A' P^{-1}$:

$$
P = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix},
\quad
P^{-1} = \frac12\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix},
\quad
A = P\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}P^{-1}
= \frac12\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}.
$$

Comprobación: $A^2 = A$ (idempotente), $\operatorname{tr} A = 1 = \operatorname{rk} A$ y $A\binom{1}{1} = \binom11$, $A\binom{1}{-1} = 0$, como se prescribió. Este sentido inverso —diséñese la matriz en la [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) buena y conjúguese después de vuelta— es como se producen en la práctica las matrices de rotación, de reflexión y de [proyección](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/20-aplicaciones-lineales#def-b1-linmaps-projection).

**Teorema 21.13 (Forma normal del rango).**

El *rango* de una matriz (el rango de sus columnas, equivalentemente el de la [aplicación lineal](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/20-aplicaciones-lineales#def-b1-linmaps-def) asociada) es el único invariante de la equivalencia: toda $A \in \mathcal{M}_{n,p}$ de rango $r$ es equivalente a

$$
J_r = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},
$$

y $\operatorname{rk}(A^{\mathsf T}) = \operatorname{rk}(A)$: el rango por filas es igual al rango por columnas.

**Demostración.** Sea $u \colon E \to F$ de rango $r$. Elíjase un [suplementario](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-sum) $S$ de $\ker u$ ($\dim S = r$, [Teorema 20.7](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/20-aplicaciones-lineales#thm-b1-linmaps-ranknullity)) con base $(e_1, \dots, e_r)$, completada por una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) de $\ker u$ hasta una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) de $E$; las imágenes $f_i = u(e_i)$, $i \leq r$, forman una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) de $\operatorname{im} u$ (la restricción es un isomorfismo), completada hasta una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) de $F$. En esas [bases](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free), la matriz de $u$ es exactamente $J_r$. Luego $A = Q J_r P^{-1}$ con $P, Q$ invertibles.

Trasponiendo: $A^{\mathsf T} = (P^{-1})^{\mathsf T} J_r^{\mathsf T} Q^{\mathsf T}$ con $J_r^{\mathsf T}$ de la misma forma (rango $r$) y los factores exteriores invertibles (la [traspuesta](#def-b1-matrices-transpose) de una invertible es invertible, aplicando $(AB)^{\mathsf T} = B^{\mathsf T}A^{\mathsf T}$ a $AA^{-1} = I$): $\operatorname{rk} A^{\mathsf T} = r$. ∎

## 21.3 Operaciones por filas

**Método 21.14 (Eliminación de Gauss sobre matrices).**

Las tres *operaciones elementales por filas* —intercambiar dos filas, multiplicar una fila por $\lambda \neq 0$, sumar a una fila un múltiplo de otra— no cambian el rango (cada una es una multiplicación por la izquierda por una matriz invertible). Algoritmo: créese un pivote (la entrada no nula más a la izquierda), límpiese su columna por debajo y pásese a la fila y la columna siguientes; el número de pivotes de la forma escalonada resultante es el rango.

*Cálculo de la inversa:* ejecútese el algoritmo sobre el bloque $(A \mid I_n)$ hasta que el bloque izquierdo sea $I_n$ (posible si y solo si $A$ es invertible); el bloque derecho es entonces $A^{-1}$ — en efecto, el producto de las matrices elementales usadas es igual a $A^{-1}$.

**Ejemplo 21.15.**

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$: redúzcase $(A \mid I_2)$:

$$
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0\\ 3 & 4 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0\\ 0 & -2 & -3 & 1 \end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 1\\ 0 & 1 & \tfrac32 & -\tfrac12
\end{pmatrix},
$$

(operaciones: $L_2 \leftarrow L_2 - 3L_1$; después $L_1 \leftarrow L_1 + L_2$, $L_2 \leftarrow -\frac12 L_2$). Luego $A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \tfrac32 &
-\tfrac12\end{pmatrix}$. *Comprobación:* $AA^{-1} = I_2$.

**Ejemplo 21.16 (Rango con un parámetro, solo por filas).**

Para $m \in \R$, el rango de $M_m = \begin{pmatrix} 1 & 1 & m\\ 1 & m & 1\\ m & 1 &
1\end{pmatrix}$. Redúzcase: $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$ y $L_3 \leftarrow L_3 - mL_1$ dan las filas

$$
(1,\ 1,\ m), \qquad (0,\ m - 1,\ 1 - m), \qquad
(0,\ 1 - m,\ 1 - m^2).
$$

*Caso $m = 1$*: las dos últimas filas se anulan — un pivote, $\operatorname{rk} M_1 = 1$ (las tres filas originales eran iguales). *Caso $m \neq 1$*: escálese $L_2$ por $\frac1{m-1}$ y $L_3$ por $\frac1{1-m}$ para obtener $(0, 1, -1)$ y $(0, 1, 1 + m)$, y después $L_3 \leftarrow L_3 - L_2 = (0, 0, m + 2)$. Si $m = -2$: dos pivotes, rango $2$; en los demás casos, tres pivotes, rango $3$. Resumen:

$$
\operatorname{rk} M_m =
\begin{cases}
1 & m = 1,\\
2 & m = -2,\\
3 & \text{en los demás casos}.
\end{cases}
$$

Los mismos umbrales saldrán de un solo cálculo de determinante en el [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/22-determinantes-y-sistemas-lineales#ch-b1-det) (el [polinomio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) $-(m+2)(m-1)^2$ del [Ejercicio 22.7](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/22-determinantes-y-sistemas-lineales#exo-b1-det-7)) — pero obsérvese lo que da la eliminación y no da el determinante: el *valor* del rango en los casos degenerados, y no solo el hecho de que haya bajado.

**Ejemplo 21.17 (Calcular potencias).**

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = I + N$ con $N = E_{12}$, $N^2 = 0$. Como $I$ y $N$ conmutan, el teorema del binomio ([Proposición 7.20](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/7-estructuras-algebraicas#prop-b1-structures-binomial)) se trunca:

$$
A^k = I + kN = \begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
\qquad (k \in \N, \text{ y } k \in \Z \text{ usando } A^{-1} = I -
N).
$$

**Método 21.18 (Calcular AnA^nAn: los tres caminos).**

1. *Camino binomial* : si $A = \lambda I + N$ con $N$ nilpotente, el teorema del binomio se trunca ( [Ejemplo 21.17](#ex-b1-matrices-powers) , [Ejercicio 21.5](#exo-b1-matrices-5) ); y se aplica porque $\lambda I$ conmuta con todo.
2. *Camino polinómico* : hállese una identidad polinómica que cumpla $A$ (en dimensión $2$ , siempre $A^2 = sA - pI$ ) y redúzcase $X^n$ [módulo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/3-numeros-complejos#def-b1-complex-field) ella; el problema del fin de semana de más abajo construye este camino por completo.
3. *Camino de la semejanza* : hállese una $P$ invertible con $P^{-1}AP = D$ sencilla (diagonal, o de desplazamiento), calcúlese $D^n$ y deshágase: $A^n = P D^n P^{-1}$ ( [Teorema 21.10](#thm-b1-matrices-conjugation) , [Ejemplo 21.11](#ex-b1-matrices-conjugationrun) ); la búsqueda sistemática de esa $P$ es la teoría de reducción del segundo año.

Sea cual sea el camino, compruébese el resultado en $n = 0, 1, 2$: tres pruebas baratas que atrapan casi todos los resbalones.

**Observación 21.19 (Errores frecuentes: el precio de la no conmutatividad).**

Toda identidad del álgebra escalar cuya demostración reordene factores muere en $\mathcal{M}_n(K)$, $n \geq 2$. *Cuadrados*: $(A + B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2$, y el centro se colapsa a $2AB$ solo si $AB = BA$ ([Ejercicio 21.1](#exo-b1-matrices-1)). *Potencias de productos*: $(AB)^k$ es $ABAB\cdots$, no $A^kB^k$. *Divisores de cero*: $E_{12}E_{12} = 0$ con $E_{12} \neq 0$; y, en consecuencia, *no hay cancelación*: $AB = AC$ implica $B = C$ solo cuando $A$ es invertible (multiplíquese por $A^{-1}$ — por el lado correcto). *[Trazas](#def-b1-matrices-transpose)*: $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$ siempre, pero $\operatorname{tr}(AB) \neq
\operatorname{tr}A\operatorname{tr}B$ en general (tómese $A = B = I_2$: $2 \neq 4$), y $\operatorname{tr}(ABC) =
\operatorname{tr}(BCA)$ (cíclica) mientras que $\operatorname{tr}(ACB)$ puede ser distinta. *Las [traspuestas](#def-b1-matrices-transpose) invierten el orden*: $(AB)^{\mathsf T} =
B^{\mathsf T}A^{\mathsf T}$ — olvidar la inversión es el error más frecuente en los cálculos de ortogonalidad ([Capítulo 23](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/23-espacios-euclideos#ch-b1-euclid)). En caso de duda, pruébese toda identidad supuesta con $E_{12}$ y $E_{21}$: la pareja no conmutativa más pequeña refuta en una línea casi todas las fórmulas falsas.

**Observación 21.20 (Adónde va el diccionario).**

El diccionario matricial se usa en todas las páginas restantes de este volumen: el [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/22-determinantes-y-sistemas-lineales#ch-b1-det) asocia a cada matriz cuadrada un único número que decide la invertibilidad, y resuelve $AX = B$ de forma sistemática; el [Capítulo 23](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/23-espacios-euclideos#ch-b1-euclid) señala las matrices que conservan las longitudes (las matrices ortogonales); y en el [Capítulo 25](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/25-funciones-de-dos-variables#ch-b1-multivar), el comportamiento de segundo orden de una función de dos variables es una matriz simétrica $2 \times 2$. La [traza](#def-b1-matrices-transpose), introducida arriba casi de pasada, se convierte en un invariante potente: los Ejercicios [21.6](#exo-b1-matrices-6) y [21.8](#exo-b1-matrices-8) dan un primer sabor, y el volumen del segundo año construye sobre ella la teoría de valores propios. El problema del fin de semana desarrolla el otro caballo de batalla: las identidades polinómicas que cumple una matriz, que convierten el cálculo de $A^n$ en una [recurrencia lineal](#pb-b1-matrices-1) de dos términos.

**Observación 21.21 (Perspectivas dentro del libro 3).**

Tres familias de matrices presentadas aquí tienen cita más adelante en este volumen. Las *matrices simétricas* ([Ejemplo 21.7](#ex-b1-matrices-symsplit)) llevan los datos de segundo orden de las funciones de dos variables: el test de Monge del [Capítulo 25](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/25-funciones-de-dos-variables#ch-b1-multivar) es un [enunciado](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-statement) sobre el comportamiento del signo de una matriz simétrica $2\times2$, y su determinante $rt - s^2$ lo calcula la maquinaria del [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/22-determinantes-y-sistemas-lineales#ch-b1-det). Las *matrices ortogonales* ($A^{\mathsf T}A = I$) son las isometrías del [Capítulo 23](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/23-espacios-euclideos#ch-b1-euclid), donde la [traspuesta](#def-b1-matrices-transpose) adquiere por fin su significado geométrico: es la sombra algebraica del producto escalar. Y las *matrices invertibles* encuentran su prueba práctica en el [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/22-determinantes-y-sistemas-lineales#ch-b1-det) —un solo número, $\det A \neq 0$—, cerrando la búsqueda que este capítulo empezó con la reducción por filas. La [traza](#def-b1-matrices-transpose) y el determinante viajan después como la pareja invariante $(s, p)$ del problema del fin de semana, hasta la teoría de valores propios del segundo año.

## 21.4 Ejercicios

**Ejercicio 21.1 ★.**

Sean $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$. Calcúlense $AB$, $BA$, $A^2 - B^2$ y $(A+B)(A-B)$; explíquese por qué los dos últimos difieren.

**Solución de Ejercicio 21.1.**

$$
AB = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix},
\quad
BA = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 2\end{pmatrix},
\quad
A^2 - B^2 = \begin{pmatrix} 1 & 4\\ 0 & 1\end{pmatrix} - I
= \begin{pmatrix} 0 & 4\\ 0 & 0\end{pmatrix},
$$

$$
(A+B)(A-B) = A^2 - AB + BA - B^2
= \begin{pmatrix} 0 & 4\\ 0 & 0\end{pmatrix} +
\begin{pmatrix} -2 & 0\\ 0 & 2 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} -2 & 4\\ 0 & 2\end{pmatrix}.
$$

Difieren en $BA - AB \neq 0$: la identidad $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ exige la conmutatividad, que aquí falla.

**Ejercicio 21.2 ★.**

Calcúlese el rango de

$$
M = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
2 & 4 & 6\\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix},
\qquad
N = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 2\\
0 & 1 & 1 & 1\\
1 & 2 & 1 & 3
\end{pmatrix}.
$$

**Solución de Ejercicio 21.2.**

$M$: $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ mata la segunda fila; $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ da $(0, -1, -2)$. Dos pivotes: $\operatorname{rk} M = 2$.

$N$: $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ da $(0,1,1,1) = L_2$; después $L_3 \leftarrow L_3 - L_2 = 0$. Dos pivotes: $\operatorname{rk} N = 2$.

**Ejercicio 21.3 ★.**

Inviértase, por reducción por filas, $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\
2 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$, y compruébese con un producto.

**Solución de Ejercicio 21.3.**

Reduciendo $(A \mid I_3)$: $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$, $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$:

$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 1 & -1 & -2 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\xrightarrow{L_3 \leftarrow L_3 - L_2}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 1 & -1 & -2 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 1
\end{pmatrix},
$$

después $L_1 \leftarrow L_1 - L_3$, $L_2 \leftarrow L_2 + L_3$:

$$
A^{-1} = \begin{pmatrix}
0 & 1 & -1\\
-1 & 0 & 1\\
1 & -1 & 1
\end{pmatrix}.
$$

*Comprobación:* la primera fila de $A$ por la primera columna de $A^{-1}$: $1 \cdot 0 + 0\cdot(-1) + 1\cdot 1 = 1$; por la segunda columna: $1 - 0 - 1 = 0$; por la tercera: $-1 + 0 + 1 = 0$.

**Ejercicio 21.4 ★.**

Escríbase la matriz, en la [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) canónica de $\R_2[X]$, del endomorfismo $u(P) = P(X + 1)$. Explíquese, sin calcular, por qué es invertible, y dese la matriz de $u^{-1}$.

**Solución de Ejercicio 21.4.**

$u(1) = 1$, $u(X) = X + 1$, $u(X^2) = X^2 + 2X + 1$: las columnas de [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#prop-b1-vspaces-coordinates) en $(1, X, X^2)$ dan

$$
M = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
0 & 1 & 2\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
$$

$u$ es invertible porque tiene la inversa obvia $P \mapsto P(X - 1)$ (composición de sustituciones). Su matriz se obtiene igual a partir de $u^{-1}(X^k) = (X-1)^k$:

$$
M^{-1} = \begin{pmatrix}
1 & -1 & 1\\
0 & 1 & -2\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
$$

**Ejercicio 21.5 ★★.**

Sea $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2\end{pmatrix}$. Escríbase $A = 2I + N$, calcúlese $N^2$ y dedúzcase $A^k$ para todo $k \in \N$ con el teorema del binomio.

**Solución de Ejercicio 21.5.**

$N = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$, $N^2 = 0$. Como $2I$ y $N$ conmutan, el desarrollo binomial se trunca tras dos términos:

$$
A^k = (2I + N)^k = 2^k I + k\,2^{k-1} N
= \begin{pmatrix} 2^k & k\,2^{k-1}\\ 0 & 2^k\end{pmatrix}.
$$

(Compruébese $k = 2$: $A^2 = \begin{pmatrix}4 & 4\\ 0 & 4\end{pmatrix}$, correcto por producto directo.)

**Ejercicio 21.6 ★★.**

Demuéstrese que no hay matrices $A, B \in \mathcal{M}_n(K)$ (con $K = \R$ o $\C$) tales que $AB - BA = I_n$. *(Tómense [trazas](#def-b1-matrices-transpose).)*

**Solución de Ejercicio 21.6.**

[Trazas](#def-b1-matrices-transpose): $\operatorname{tr}(AB - BA) = \operatorname{tr}(AB) -
\operatorname{tr}(BA) = 0$ ([Definición 21.5](#def-b1-matrices-transpose)), mientras que $\operatorname{tr}(I_n) = n \neq 0$ en $\R$ o en $\C$. No hay solución. (En espacios de dimensión infinita, la identidad *sí* es realizable —la derivación y la multiplicación por $x$ la cumplen— precisamente porque allí no existe ninguna [traza](#def-b1-matrices-transpose).)

**Ejercicio 21.7 ★★.**

Una matriz $A$ es *nilpotente* cuando $A^m = 0$ para algún $m$. Demuéstrese que entonces $I - A$ es invertible, con

$$
(I - A)^{-1} = I + A + A^2 + \dots + A^{m-1} .
$$

Aplicación: inviértase $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0
& 1\end{pmatrix}$.

**Solución de Ejercicio 21.7.**

Producto telescópico, conmutando todas las potencias de $A$:

$$
(I - A)(I + A + \dots + A^{m-1}) = I - A^m = I ,
$$

y la [Proposición 21.4](#prop-b1-matrices-ring) eleva la inversa por un lado. Para la [aplicación](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-map): la matriz dada es $I + N$ con

$$
N = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 2\\ 0&0&0 \end{pmatrix},
\quad
N^2 = \begin{pmatrix} 0&0&4\\ 0&0&0\\ 0&0&0\end{pmatrix},
\quad N^3 = 0 ,
$$

luego, sustituyendo $A$ por $-N$ en la fórmula:

$$
(I + N)^{-1} = I - N + N^2 =
\begin{pmatrix}
1 & -2 & 1\\
0 & 1 & -2\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
$$

**Ejercicio 21.8 ★★.**

Sea $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ con $A^2 = A$ (idempotente). Demuéstrese que $\operatorname{tr} A = \operatorname{rk} A$. *(Interprétese $A$ como una [proyección](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/20-aplicaciones-lineales#def-b1-linmaps-projection) y elíjase una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) adaptada; el [Teorema 21.10](#thm-b1-matrices-conjugation) dice que la [traza](#def-b1-matrices-transpose) no depende de la [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free), ya que $\operatorname{tr}(P^{-1}MP) =
\operatorname{tr} M$.)*

**Solución de Ejercicio 21.8.**

$A^2 = A$: el endomorfismo $a$ es una [proyección](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/20-aplicaciones-lineales#def-b1-linmaps-projection) ([Teorema 20.15](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/20-aplicaciones-lineales#thm-b1-linmaps-projchar)), $E = \operatorname{im} a \oplus \ker a$ con $\dim\operatorname{im} a = r = \operatorname{rk} A$. En una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) adaptada a esa descomposición ($r$ vectores de la [imagen](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/20-aplicaciones-lineales#def-b1-linmaps-kerim) y después una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) del núcleo), la matriz de $a$ es $\begin{pmatrix} I_r & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}$, de [traza](#def-b1-matrices-transpose) $r$. Y la [traza](#def-b1-matrices-transpose) es invariante por [cambio de base](#def-b1-matrices-changeofbasis): $\operatorname{tr}(P^{-1}MP) = \operatorname{tr}(MPP^{-1}) =
\operatorname{tr} M$ por la identidad cíclica. Por tanto, $\operatorname{tr} A = r = \operatorname{rk} A$.

**Ejercicio 21.9 ★★★.**

Sea $J \in \mathcal{M}_n(\R)$ la matriz de todo unos. Calcúlese $J^2$ y dedúzcase, para $a, b \in \R$, la condición de invertibilidad de $M = aI + bJ$ junto con $M^{-1}$ *(búsquese una inversa de la misma forma $\alpha I + \beta J$)*.

**Solución de Ejercicio 21.9.**

$J^2 = nJ$ (cada entrada de $J^2$ suma $n$ unos). Búsquese $M^{-1} = \alpha I + \beta J$:

$$
(aI + bJ)(\alpha I + \beta J)
= a\alpha\, I + (a\beta + b\alpha + nb\beta)\, J .
$$

Esto es igual a $I$ si y solo si $a\alpha = 1$ y $a\beta + b\alpha + nb\beta = 0$, es decir, $\alpha = \frac1a$ y $\beta(a + nb) = -\frac ba$. Si $a \neq 0$ y $a + nb \neq 0$:

$$
M^{-1} = \frac 1a I - \frac{b}{a(a + nb)}\, J .
$$

Recíprocamente, si $a = 0$: $M = bJ$ tiene rango $\leq 1 < n$ (para $n \geq 2$): no invertible ($n = 1$ es el caso escalar). Si $a + nb = 0$: el vector $v = (1, \dots, 1)^{\mathsf T}$ cumple $Mv = (a + nb)v = 0$ con $v \neq 0$: no invertible. Luego $M \in GL_n \iff a \neq 0$ y $a + nb \neq 0$.

**Ejercicio 21.10 ★★★.**

(Desigualdades de rango) Para $A, B \in \mathcal{M}_n(K)$, demuéstrese

$$
\operatorname{rk}(A + B) \leq \operatorname{rk} A +
\operatorname{rk} B,
\qquad
\operatorname{rk}(AB) \geq \operatorname{rk} A + \operatorname{rk}
B - n .
$$

*(Para la segunda —la desigualdad de Sylvester— aplíquese el teorema del rango a la restricción de la [aplicación](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-map) de $A$ a $\operatorname{im} B$.)*

**Solución de Ejercicio 21.10.**

*Suma:* $\operatorname{im}(A + B) \subseteq \operatorname{im} A +
\operatorname{im} B$ (cada $(A+B)x = Ax + Bx$), y Grassmann acota la dimensión de una suma por la suma de las dimensiones.

*Sylvester:* sea $a$ la [aplicación](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-map) de $A$ restringida a $V = \operatorname{im} B$ (de dimensión $\operatorname{rk} B$). Su [imagen](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/20-aplicaciones-lineales#def-b1-linmaps-kerim) es $\operatorname{im}(AB)$ ($a(Bx) = ABx$), y el teorema del rango en $V$:

$$
\operatorname{rk} B = \dim\ker(a_{|V}) + \operatorname{rk}(AB) .
$$

Ahora bien, $\ker(a_{|V}) \subseteq \ker A$, de dimensión $n - \operatorname{rk} A$: luego

$$
\operatorname{rk}(AB) \geq \operatorname{rk} B - (n -
\operatorname{rk} A) = \operatorname{rk} A + \operatorname{rk} B -
n . \qedhere
$$

**Ejercicio 21.11 ★★.**

Sea $D = \operatorname{diag}(d_1, \dots, d_n)$ con los $d_i$ *distintos dos a dos*.

1. Demuéstrese que una matriz $A$ conmuta con $D$ si y solo si $A$ es diagonal. *(Compárense las entradas $(i,j)$ de $AD$ y de $DA$.)*
2. Dedúzcase el *centro* de $\mathcal{M}_n(K)$ : las matrices que conmutan con *todas* las matrices son exactamente las matrices escalares $\lambda I_n$ . *(Pruébese contra $D$ y después contra las $E_{ij}$.)*

**Solución de Ejercicio 21.11.**

1. Entrada a entrada, $(AD)_{ij} = a_{ij}\,d_j$ y $(DA)_{ij} = d_i\,a_{ij}$ . Luego $AD = DA$ si y solo si $a_{ij}(d_j - d_i) = 0$ para todos $i, j$ ; y cuando $i \neq j$ el factor $d_j - d_i$ es no nulo, lo que fuerza $a_{ij} = 0$ : $A$ es diagonal. Recíprocamente, las matrices diagonales conmutan entre sí.
2. Si $A$ conmuta con todas las matrices, conmuta con $\operatorname{diag}(1, 2, \dots, n)$ , luego $A = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ por (1). Entonces $A E_{ij} = \lambda_i E_{ij}$ (solo sobrevive la fila $i$ de $E_{ij}$ ), mientras que $E_{ij} A = \lambda_j E_{ij}$ : conmutar con $E_{ij}$ fuerza $\lambda_i = \lambda_j$ . Por tanto, $A = \lambda I_n$ ; y las matrices escalares sí conmutan con todo. El centro de $\mathcal{M}_n(K)$ es $K\,I_n$ .

**Ejercicio 21.12 ★★★.**

(Matrices de rango uno) Sea $A \in \mathcal{M}_n(K)$, $A \neq 0$.

1. Demuéstrese que $\operatorname{rk} A = 1$ si y solo si $A = CL$ para cierta columna no nula $C \in \mathcal{M}_{n,1}$ y cierta fila no nula $L \in \mathcal{M}_{1,n}$ .
2. Para una $A$ así, demuéstrese $A^2 = (\operatorname{tr} A)\,A$ ; dedúzcase que una matriz de rango uno es nilpotente si y solo si su [traza](#def-b1-matrices-transpose) es nula.
3. Si $\operatorname{tr} A \neq -1$, demuéstrese que $I_n + A$ es invertible con $$(I_n + A)^{-1} = I_n - \frac{1}{1 + \operatorname{tr}  A}\,A ,$$ y que $I_n + A$ *no* es invertible cuando $\operatorname{tr} A = -1$. *(Hállese un vector que mate $I_n + A$.)*

**Solución de Ejercicio 21.12.**

1. Si $\operatorname{rk} A = 1$ : la [imagen](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/20-aplicaciones-lineales#def-b1-linmaps-kerim) de $A$ es una recta $\operatorname{Vect}(C)$ , $C \neq 0$ , de modo que la columna $j$ -ésima de $A$ es $\ell_j\,C$ para ciertos escalares $\ell_j$ (no todos nulos), es decir, $A = C L$ con $L = (\ell_1, \dots, \ell_n) \neq 0$ . Recíprocamente, si $A = CL \neq 0$ , todas las columnas son múltiplos de $C$ : rango $1$ .
2. $A^2 = C\,(L C)\,L$ , y $LC$ es el escalar $\sum_i \ell_i c_i = \operatorname{tr}(CL) =  \operatorname{tr} A$ . Luego $A^2 = (\operatorname{tr} A)\,A$ y, por inducción, $A^m = (\operatorname{tr} A)^{m-1} A$ . Si $\operatorname{tr} A \neq 0$ , ninguna potencia se anula; y si $\operatorname{tr} A = 0$ , entonces $A^2 = 0$ : una matriz de rango uno es nilpotente si y solo si su [traza](#def-b1-matrices-transpose) es nula.
3. Con $t = \operatorname{tr} A \neq -1$: $$(I_n + A)\Bigl(I_n - \frac{A}{1 + t}\Bigr)  = I_n + A - \frac{A + A^2}{1 + t}  = I_n + A - \frac{(1 + t)A}{1 + t} = I_n ,$$ usando $A^2 = tA$. Si $t = -1$: $(I_n + A)A = A + A^2 = A - A = 0$ con $A \neq 0$, de modo que $I_n + A$ mata todas las columnas (no nulas) de $A$: no es [inyectiva](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj) ni invertible.

## 21.5 Problema: potencias de una matriz por división polinómica

**Problema 21.1.**

Calcular $A^{100}$ entrada a entrada es desesperado; calcularlo mediante una identidad polinómica que cumpla $A$ son tres líneas. Este problema construye el método desde cero: la división euclídea de $X^n$, la identidad $A^2 - sA + pI = 0$ que cumple toda matriz $2 \times 2$ (el teorema de Cayley–Hamilton en dimensión $2$) y el diccionario entre las potencias de una matriz y las [recurrencias lineales](#pb-b1-matrices-1) — con los [números de Fibonacci](#pb-b1-matrices-1) como ejemplo recurrente.

**Parte I — El cálculo con restos.** Fíjense $s, p \in K$ y $D = X^2 - sX + p$.

1. Justifíquese que para cada $n \in \N$ hay unos únicos $Q_n \in K[X]$ y $(a_n, b_n) \in K^2$ con $$X^n = Q_n\,D + a_n X + b_n ,$$ y calcúlense $(a_0, b_0)$ y $(a_1, b_1)$.
2. Multiplicando por $X$ y dividiendo de nuevo, establézcanse las recurrencias $$a_{n+1} = s\,a_n + b_n,  \qquad  b_{n+1} = -p\,a_n ,$$ y dedúzcase $a_{n+2} = s\,a_{n+1} - p\,a_n$: la sucesión de coeficientes obedece la [recurrencia lineal](#pb-b1-matrices-1) asociada a $D$.
3. Supóngase que $D$ tiene dos raíces distintas $\lambda \neq \mu$. Evaluando la identidad de la división, demuéstrese $$a_n = \frac{\lambda^n - \mu^n}{\lambda - \mu},  \qquad  b_n = \frac{\lambda\mu^n - \mu\lambda^n}{\lambda - \mu} .$$
4. Supóngase $D = (X - \lambda)^2$ . Usando la [derivada](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/14-derivacion#def-b1-derivative-def) de la identidad de la división, demuéstrese $a_n = n\lambda^{n-1}$ y $b_n = (1 - n)\lambda^{n}$ .
5. Véase que sustituir una matriz fija $M \in \mathcal{M}_k(K)$ en los [polinomios](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) respeta las sumas y los productos: $(PQ)(M) = P(M)\,Q(M)$. Dedúzcase que si $D(M) = 0$, entonces $$M^n = a_n\,M + b_n\,I \qquad (n \in \N).$$

**Parte II — Dimensión 2: [traza](#def-b1-matrices-transpose), número determinante, Cayley–Hamilton.** Para $A = \begin{pmatrix} a & b\\ c & d\end{pmatrix}$, póngase $s = a + d = \operatorname{tr} A$ y $p = ad - bc$ (el número que el [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/22-determinantes-y-sistemas-lineales#ch-b1-det) llamará determinante).

6. Compruébese por cálculo directo la *identidad de Cayley–Hamilton en dimensión $2$*: $$A^2 - s\,A + p\,I_2 = 0 .$$
7. Demuéstrese, desarrollando directamente, que $p$ es multiplicativo: con notación evidente, $p(AB) = p(A)\,p(B)$. Véase después que $A$ es invertible si y solo si $p \neq 0$, y en ese caso $$A^{-1} = \frac1p\,\bigl(s\,I_2 - A\bigr).$$
8. Sea $A = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 2\end{pmatrix}$ . Calcúlense $s$ , $p$ y las raíces de $D$ , y dedúzcase una fórmula [cerrada](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/12-topologia-de-la-recta-real#def-b1-topology-closed) para $A^n$ ; compruébese con un cálculo directo de $A^2$ .
9. Sea $A = \begin{pmatrix} 3 & 1\\ -1 & 1\end{pmatrix}$ . Véase que $D$ tiene una raíz doble y calcúlese $A^n$ ; compruébese en $n = 2$ .
10. Sea $F = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ y defínanse los [números de Fibonacci](#pb-b1-matrices-1) por $F_0 = 0$, $F_1 = 1$, $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$. Demuéstrese $$F^n = \begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n\\ F_n &  F_{n-1}\end{pmatrix} \quad (n \geq 1),$$ dedúzcase la fórmula de Binet $F_n = \dfrac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt5}$, donde $\varphi = \frac{1 + \sqrt5}2$, $\psi = \frac{1 - \sqrt5}2$ y, usando la pregunta 7, la identidad de Cassini $F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2 = (-1)^n$.

**Parte III — [Recurrencias lineales](#pb-b1-matrices-1), estructuralmente.** Fíjense $s, p \in K$ con $p \neq 0$, y sea $E_D$ el [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) de las sucesiones con $u_{n+2} = s\,u_{n+1} - p\,u_n$ para todo $n$.

11. Véase que $E_D$ es un [espacio vectorial](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-def) de dimensión $2$ (adáptese el [Ejercicio 19.10](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/19-dimension-finita#exo-b1-findim-10) ).
12. Véase que la sucesión $(a_n)$ de la parte I es el elemento de $E_D$ con valores iniciales $0, 1$, y que todo $u \in E_D$ cumple $$u_n = u_1\,a_n + u_0\,b_n \qquad (n \in \N),$$ con $(b_n)$ como en la parte I: los restos de la división resuelven *todas* las recurrencias a la vez.
13. Si $\lambda \neq \mu$ son las raíces de $D$ , véase que $\bigl((\lambda^n), (\mu^n)\bigr)$ es una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) de $E_D$ ; y si $D = (X-\lambda)^2$ con $\lambda \neq 0$ , véase que lo es $\bigl((\lambda^n), (n\lambda^n)\bigr)$ .
14. Resuélvase por completo: $u_{n+2} = u_{n+1} + 6u_n$ , $u_0 = 1$ , $u_1 = 8$ ; compruébese la respuesta en $u_2$ y $u_3$ .
15. Sea $C = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -p & s\end{pmatrix}$ (la *matriz compañera* de $D$). Véase que $$\begin{pmatrix} u_{n}\\ u_{n+1}\end{pmatrix}  = C^n \begin{pmatrix} u_0\\ u_1\end{pmatrix}  \quad (u \in E_D),$$ y que $\operatorname{tr} C = s$ y $p(C) = p$: la recurrencia y la matriz llevan el mismo [polinomio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) $D$.

**Parte IV — Grado tres.** Sea $D_3 = X^3 - \alpha X^2 - \beta X - \gamma$ y

$$
C_3 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \gamma & \beta &
\alpha \end{pmatrix}.
$$

16. Véase que $D_3(C_3) = 0$ . *(Calcúlense las imágenes de los vectores de la [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) canónica por las potencias de $C_3$: la [aplicación](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-map) de $C_3$ manda $e_1 \mapsto \dots \mapsto$ una combinación que fuerza la última fila.)*
17. Véase que si $D_3$ tiene tres raíces distintas $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ , el resto $R_n$ de $X^n$ dividido entre $D_3$ es el *interpolador de Lagrange* de los valores $\lambda_i^n$ en los nodos $\lambda_i$ ( [Teorema 8.23](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#thm-b1-poly-lagrange) ); dedúzcase que toda entrada de $C_3^{\,n}$ es una combinación lineal fija de $\lambda_1^n, \lambda_2^n, \lambda_3^n$ .
18. Resuélvase: $u_{n+3} = 2u_{n+2} + u_{n+1} - 2u_n$ con $u_0 = 0$ , $u_1 = 1$ , $u_2 = 1$ . *(Factorícese $D_3 = (X - 1)(X + 1)(X - 2)$.)* Compruébese en $u_3$ .
19. Calcúlese el resto de $X^n$ [módulo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/3-numeros-complejos#def-b1-complex-field) $(X - \lambda)^3$ *(desarrollo de Taylor de $X^n$ en $\lambda$)* , y dedúzcase una fórmula para $(\lambda I + N)^n$ cuando $N^3 = 0$ y $N$ conmuta con todo lo que hay a la vista; compruébese con el teorema del binomio.
20. Véase que, para $D_3$ con raíces distintas, la solución general de la recurrencia de orden $3$ es $u_n = c_1 \lambda_1^n + c_2\lambda_2^n + c_3\lambda_3^n$ : demuéstrese que las tres sucesiones geométricas forman una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) del espacio de soluciones. *(Para la libertad, evalúese una combinación nula en $n = 0, 1, 2$ y reconózcase un sistema de interpolación en los nodos distintos $\lambda_i$.)*

**Parte V — Dividendos de Fibonacci, y síntesis.**

21. Demuéstrese $F_1 + F_2 + \dots + F_n = F_{n+2} - 1$ .
22. De $F^{m+n} = F^m F^n$, dedúzcase la fórmula de adición $$F_{m+n} = F_{m+1}F_n + F_m F_{n-1},$$ y dedúzcase $F_{2n} = F_n(F_{n+1} + F_{n-1})$.
23. Demuéstrese que $F_n$ es el entero más próximo a $\varphi^n/\sqrt5$ para todo $n \geq 0$ .
24. Sea $t_n = \operatorname{tr}(F^n) = F_{n+1} + F_{n-1}$ (los *números de Lucas* $L_n$ ). Véase que $t_{n+2} = t_{n+1} + t_n$ , $t_1 = 1$ , $t_2 = 3$ , que $L_n = \varphi^n + \psi^n$ , y recupérese $F_{2n} = F_n L_n$ .
25. Síntesis, en cuatro frases: por qué las potencias de una matriz $2 \times 2$ viven en el plano $\operatorname{Vect}(I, A)$ de $\mathcal{M}_2(K)$ (qué argumento de dimensión garantiza una identidad cuadrática y qué identidad explícita produjo la parte II); cómo la división euclídea convierte la exponenciación en una recurrencia de dos términos; qué [enunciado](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-statement) de este problema es el caso $n = 2$ de un teorema válido en todas las dimensiones (nómbrese, y dígase dónde se demuestra en esta [serie](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/17-series-numericas#def-b1-series-def) ); y qué añade al cuadro la construcción de la matriz compañera.

**Solución de Problema 21.1.**

**1.** División euclídea de $X^n$ entre el [polinomio mónico](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) de grado $2$, $D$ ([Teorema 8.3](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#thm-b1-poly-division)): el cociente y el resto existen y son únicos, y el resto tiene grado $\leq 1$: $X^n = Q_n D + a_n X + b_n$. Para $n = 0$: $Q_0 = 0$, $(a_0, b_0) = (0, 1)$; y para $n = 1$: $(a_1, b_1) = (1, 0)$.

**2.** Multiplíquese por $X$ y redúzcase $X^2 = D + sX - p$:

$$
X^{n+1} = X Q_n D + a_n X^2 + b_n X
= (X Q_n + a_n)\,D + (s\,a_n + b_n)\,X - p\,a_n .
$$

La última expresión tiene forma de resto (grado $\leq 1$), así que, por unicidad, $a_{n+1} = s a_n + b_n$ y $b_{n+1} = -p a_n$. Sustituyendo $b_{n+1} = -pa_n$ en $a_{n+2} = s a_{n+1} + b_{n+1}$ se obtiene $a_{n+2} = s\,a_{n+1} - p\,a_n$.

**3.** Evalúese $X^n = Q_n D + a_n X + b_n$ en las raíces: $\lambda^n = a_n\lambda + b_n$ y $\mu^n = a_n\mu + b_n$. Restando y dividiendo por $\lambda - \mu \neq 0$:

$$
a_n = \frac{\lambda^n - \mu^n}{\lambda - \mu},
\qquad
b_n = \lambda^n - a_n\lambda
= \frac{\lambda\mu^n - \mu\lambda^n}{\lambda - \mu} .
$$

**4.** En la raíz doble: $\lambda^n = a_n\lambda + b_n$. Derivando la identidad, $nX^{n-1} = Q_n'\,(X - \lambda)^2 + 2Q_n\,(X - \lambda) + a_n$ y evaluando en $\lambda$: $a_n = n\lambda^{n-1}$; y entonces $b_n = \lambda^n - n\lambda^{n} = (1 - n)\lambda^{n}$.

**5.** Para $P = \sum_i p_i X^i$ y $Q = \sum_j q_j X^j$,

$$
P(M)\,Q(M) = \sum_{i,j} p_i q_j M^{i+j} = (PQ)(M),
$$

porque las potencias de una misma matriz $M$ conmutan entre sí (las sumas son claras por linealidad). Si $D(M) = 0$, sustituir $M$ en $X^n = Q_n D + a_n X + b_n$ da $M^n = Q_n(M)\,D(M) + a_n M + b_n I = a_n M + b_n I$.

**6.** Productos directos:

$$
A^2 = \begin{pmatrix}
a^2 + bc & b(a + d)\\
c(a + d) & d^2 + bc
\end{pmatrix},
\qquad
s A = \begin{pmatrix}
a(a+d) & b(a+d)\\
c(a+d) & d(a+d)
\end{pmatrix},
$$

de modo que $A^2 - sA$ tiene nulas las entradas de fuera de la diagonal y, en la diagonal, $a^2 + bc - a^2 - ad = bc - ad = -p$: $A^2 - sA + pI_2 = 0$.

**7.** Con $A' = \begin{pmatrix} a' & b'\\ c' & d'\end{pmatrix}$, desarrollando $p(AA') = (aa' + bc')(cb' + dd') - (ab' + bd')(ca' + dc')$: los términos $aa'cb'$ y $ab'ca'$ se cancelan, los términos $bc'dd'$ y $bd'dc'$ se cancelan, y lo que queda es

$$
aa'dd' - bca'd' + bcb'c' - adb'c'
= (ad - bc)(a'd' - b'c') = p(A)\,p(A').
$$

Si $p \neq 0$, Cayley–Hamilton da $A\,\bigl(\tfrac1p(sI_2 - A)\bigr) = \tfrac1p(sA - A^2) = I_2$, de donde la inversa (y la [Proposición 21.4](#prop-b1-matrices-ring) la vuelve bilátera). Y si $p = 0$ y $A$ fuera invertible, la multiplicatividad daría $1 = p(I_2) = p(A)\,p(A^{-1}) = 0$: imposible. Luego $A \in GL_2 \iff p \neq 0$.

**8.** $s = 3$, $p = 2$, $D = X^2 - 3X + 2 = (X - 1)(X - 2)$: $\lambda = 2$, $\mu = 1$, luego $a_n = 2^n - 1$ y $b_n = 2 - 2^n$ (pregunta 3). Por tanto,

$$
A^n = (2^n - 1)A + (2 - 2^n)I
= \begin{pmatrix} 1 & 2^n - 1\\ 0 & 2^n \end{pmatrix}.
$$

Comprobación: $A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 0 & 4\end{pmatrix}$, tanto por la fórmula como elevando al cuadrado directamente.

**9.** $s = 4$, $p = 3\cdot1 - 1\cdot(-1) = 4$: $D = X^2 - 4X + 4 = (X - 2)^2$, con raíz doble $\lambda = 2$. Pregunta 4: $a_n = n\,2^{n-1}$, $b_n = (1 - n)2^n$, luego

$$
A^n = n\,2^{n-1}A + (1 - n)2^n I
= 2^{n-1}\begin{pmatrix} n + 2 & n\\ -n & 2 - n
\end{pmatrix}.
$$

En $n = 2$: $2\begin{pmatrix} 4 & 2\\ -2 & 0\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 8 & 4\\ -4 & 0 \end{pmatrix}$, que es $A^2$ calculado directamente.

**10.** Inducción: $F^1 = \begin{pmatrix} F_2 & F_1\\ F_1 & F_0\end{pmatrix}$, y

$$
F^{n+1} = F^n F =
\begin{pmatrix} F_{n+1} + F_n & F_{n+1}\\
F_n + F_{n-1} & F_n \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} F_{n+2} & F_{n+1}\\ F_{n+1} & F_n
\end{pmatrix}.
$$

Aquí $s = 1$, $p = -1$, $D = X^2 - X - 1$ con raíces $\varphi,
\psi$ ($\varphi - \psi = \sqrt5$, $\varphi\psi = -1$). La sucesión $(F_n)$ tiene $F_0 = 0 = a_0$, $F_1 = 1 = a_1$ y obedece la misma recurrencia que $(a_n)$: $F_n = a_n = (\varphi^n - \psi^n)/\sqrt5$, la fórmula de Binet. Cassini: aplicando la multiplicatividad de la pregunta 7 a $F^n$,

$$
F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2 = p(F^n) = p(F)^n = (-1)^n .
$$

**11.** La condición es [lineal](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/20-aplicaciones-lineales#def-b1-linmaps-def) y contiene la sucesión nula: un [subespacio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-subspace). Por inducción, $u_0, u_1$ determinan $u$ de [forma lineal](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/20-aplicaciones-lineales#def-b1-linmaps-forms), y cada pareja de valores iniciales la realiza exactamente una solución: como en el [Ejercicio 19.10](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/19-dimension-finita#exo-b1-findim-10), $E_D$ está parametrizado [biyectiva](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj) y linealmente por $(u_0, u_1) \in K^2$: $\dim E_D = 2$.

**12.** $(a_n)$ obedece la recurrencia (pregunta 2) con $a_0 = 0$, $a_1 = 1$. Y $(b_n)$ también: $b_{n+2} = -p\,a_{n+1} = -p(s a_n + b_n) = s\,b_{n+1} - p\,b_n$ (usando dos veces $b_{n+1} = -pa_n$), con $b_0 = 1$, $b_1 = 0$. La combinación $v_n = u_1 a_n + u_0 b_n$ es entonces una solución con $v_0 = u_0$, $v_1 = u_1$; y dos soluciones con los mismos valores iniciales coinciden (inducción), luego $u_n = u_1 a_n + u_0 b_n$ para todo $n$.

**13.** $(\lambda^n)$ es solución si y solo si $\lambda^{n+2} = s\lambda^{n+1} - p\lambda^n$ para todo $n$, es decir, $D(\lambda) = 0$ (tras dividir por $\lambda^n \neq 0$; nótese que $\lambda, \mu \neq 0$, ya que $p = \lambda\mu \neq 0$). Libertad de $\bigl((\lambda^n), (\mu^n)\bigr)$: una relación en $n = 0, 1$ da $c + c' = 0$, $c\lambda + c'\mu = 0$, luego $c(\lambda - \mu) = 0$: $c = c' = 0$. Dos vectores [libres](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) en dimensión $2$: una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free). Raíz doble: $\bigl((n\lambda^n)\bigr)$ es solución, ya que, con $s = 2\lambda$, $p = \lambda^2$:

$$
s(n+1)\lambda^{n+1} - p\,n\lambda^n
= \lambda^{n+2}\bigl(2(n+1) - n\bigr) = (n+2)\lambda^{n+2} ;
$$

libertad en $n = 0, 1$: $c = 0$ y después $c'\lambda = 0$ con $\lambda \neq 0$.

**14.** $D = X^2 - X - 6 = (X - 3)(X + 2)$. Solución general $u_n = A\,3^n + B(-2)^n$; las condiciones iniciales dan $A + B = 1$ y $3A - 2B = 8$, luego $A = 2$, $B = -1$:

$$
u_n = 2\cdot 3^n - (-2)^n .
$$

Comprobación: $u_2 = 18 - 4 = 14 = u_1 + 6u_0$; $u_3 = 54 + 8 = 62 = u_2 + 6u_1 = 14 + 48$.

**15.** $C\begin{pmatrix} u_n\\ u_{n+1}\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} u_{n+1}\\ -p\,u_n + s\,u_{n+1}\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} u_{n+1}\\ u_{n+2}\end{pmatrix}$, y la inducción da la fórmula con $C^n$. Además, $\operatorname{tr} C = 0 + s = s$ y $p(C) = 0\cdot s - 1\cdot(-p) = p$: la matriz compañera tiene exactamente $D$ como [polinomio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) de Cayley–Hamilton.

**16.** Para cualquier solución $u$ de $u_{n+3} = \alpha u_{n+2} + \beta u_{n+1} + \gamma u_n$, los vectores de estado $v_n = (u_n, u_{n+1}, u_{n+2})^{\mathsf T}$ cumplen $C_3 v_n = v_{n+1}$ (las dos primeras filas desplazan y la última aplica la recurrencia). Por tanto,

$$
D_3(C_3)\,v_0 = v_3 - \alpha v_2 - \beta v_1 - \gamma v_0 ,
$$

cuyas tres componentes son $u_{k+3} - \alpha u_{k+2} - \beta u_{k+1} - \gamma u_k = 0$ ($k = 0, 1, 2$). Y como el estado inicial $v_0 = (u_0, u_1, u_2)^{\mathsf T}$ recorre *todo* $K^3$ (los valores iniciales son [libres](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free)), la matriz $D_3(C_3)$ mata a todos los vectores: $D_3(C_3) = 0$.

**17.** Escríbase $X^n = Q\,D_3 + R_n$ con $\deg R_n \leq 2$ y evalúese en cada raíz: $\lambda_i^n = R_n(\lambda_i)$. Así, $R_n$ es un [polinomio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) de grado $\leq 2$ que interpola los tres valores $\lambda_i^n$ en los tres nodos distintos $\lambda_i$: por la unicidad del [Teorema 8.23](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#thm-b1-poly-lagrange), $R_n = \sum_i \lambda_i^n L_i$, con $(L_i)$ la [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) de Lagrange de los nodos. Sustituyendo $C_3$ (preguntas 5 y 16):

$$
C_3^{\,n} = R_n(C_3) = \sum_{i=1}^{3} \lambda_i^n\,L_i(C_3),
$$

con las tres matrices $L_i(C_3)$ independientes de $n$: toda entrada de $C_3^{\,n}$ es una combinación fija de $\lambda_1^n, \lambda_2^n, \lambda_3^n$.

**18.** $D_3 = X^3 - 2X^2 - X + 2 = (X-1)(X+1)(X-2)$. Solución general $u_n = A + B(-1)^n + C\,2^n$. Condiciones iniciales: $A + B + C = 0$, $A - B + 2C = 1$, $A + B + 4C = 1$. Restando la primera de la tercera: $3C = 1$, $C = \frac13$; entonces $A + B = -\frac13$ y $A - B = \frac13$: $A = 0$, $B = -\frac13$. Por tanto,

$$
u_n = \frac{2^n - (-1)^n}{3}
$$

(los números de Jacobsthal). Comprobación: $u_3 = \frac{8 + 1}{3} = 3 = 2u_2 + u_1 - 2u_0 = 2 + 1 - 0$.

**19.** Desarrollo de Taylor del [polinomio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) $X^n$ en $\lambda$:

$$
X^n = \sum_{k=0}^{n} \binom nk \lambda^{n-k}(X - \lambda)^k ,
$$

y todos los términos con $k \geq 3$ son divisibles por $(X - \lambda)^3$: el resto es

$$
R_n = \lambda^n + n\lambda^{n-1}(X - \lambda) + \binom
n2\lambda^{n-2}(X - \lambda)^2 .
$$

Para $M = \lambda I + N$ con $N^3 = 0$: $(M - \lambda I)^3 = N^3 = 0$, así que la pregunta 5 da

$$
M^n = \lambda^n I + n\lambda^{n-1} N + \binom n2
\lambda^{n-2} N^2 ,
$$

que es exactamente el desarrollo binomial de $(\lambda I + N)^n$ truncado en $N^2$ — los dos métodos coinciden.

**20.** El espacio de soluciones tiene dimensión $3$ (la misma parametrización por $(u_0, u_1, u_2)$ que en la pregunta 11), y cada $(\lambda_i^n)$ es solución. Libertad: supóngase $c_1\lambda_1^n + c_2\lambda_2^n + c_3\lambda_3^n = 0$ para $n = 0, 1, 2$. Fíjese $i$ y sea $L_i = \sum_{k \leq 2} p_k X^k$ el [polinomio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) de Lagrange de los nodos con $L_i(\lambda_j) = \delta_{ij}$. Entonces

$$
0 = \sum_{k=0}^{2} p_k\Bigl(\sum_j c_j\lambda_j^k\Bigr)
= \sum_j c_j\,L_i(\lambda_j) = c_i .
$$

Así, todos los $c_i = 0$: tres soluciones [libres](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) en dimensión $3$, una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free); y la solución general es $c_1\lambda_1^n + c_2\lambda_2^n + c_3\lambda_3^n$.

**21.** De $F_k = F_{k+2} - F_{k+1}$, la suma telescopa:

$$
\sum_{k=1}^{n} F_k = \sum_{k=1}^{n}\bigl(F_{k+2} - F_{k+1}\bigr)
= F_{n+2} - F_2 = F_{n+2} - 1 .
$$

**22.** Tómese la entrada $(1,2)$ de $F^{m+n} = F^m F^n$: el miembro izquierdo es $F_{m+n}$; y el derecho es (la fila $1$ de $F^m$) por (la columna $2$ de $F^n$), es decir, $F_{m+1}F_n + F_m F_{n-1}$. Con $m = n$:

$$
F_{2n} = F_{n+1}F_n + F_nF_{n-1} = F_n\,(F_{n+1} + F_{n-1}).
$$

**23.** Por Binet, $F_n - \dfrac{\varphi^n}{\sqrt5} = -\dfrac{\psi^n}{\sqrt5}$, y $\abs\psi = \frac{\sqrt5 - 1}2 < 1$, luego

$$
\Bigl|F_n - \frac{\varphi^n}{\sqrt5}\Bigr|
\leq \frac{1}{\sqrt5} < \frac12
\qquad (n \geq 0):
$$

$F_n$ es el entero más próximo a $\varphi^n/\sqrt5$.

**24.** $t_n = F_{n+1} + F_{n-1}$ es una combinación de sucesiones de Fibonacci desplazadas, luego cumple la misma recurrencia: $t_{n+2} = t_{n+1} + t_n$; y $t_1 = F_2 + F_0 = 1$, $t_2 = F_3 + F_1 = 3$: son los números de Lucas $L_n$. La sucesión $\varphi^n + \psi^n$ es una solución con los mismos dos primeros valores ($\varphi + \psi = 1$, $\varphi^2 + \psi^2 = ( \varphi + \psi)^2 - 2\varphi\psi = 3$), luego $L_n = \varphi^n + \psi^n$. Por último,

$$
F_n L_n = \frac{(\varphi^n - \psi^n)(\varphi^n +
\psi^n)}{\sqrt5} = \frac{\varphi^{2n} - \psi^{2n}}{\sqrt5} =
F_{2n},
$$

lo que recupera la pregunta 22.

**25.** (i) Las cinco matrices $I, A, A^2, A^3, A^4$ viven en el espacio de dimensión $4$, $\mathcal{M}_2(K)$, así que *algún* [polinomio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) no nulo de grado $\leq 4$ mata a $A$; la parte II afinó esto hasta la cuadrática explícita $A^2 = sA - pI$, que encierra todas las potencias en el plano $\operatorname{Vect}(I, A)$. (ii) La división euclídea reduce $X^n$ [módulo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/3-numeros-complejos#def-b1-complex-field) esa cuadrática, y los dos coeficientes del resto obedecen la recurrencia de dos términos $a_{n+2} = s\,a_{n+1} - p\,a_n$: la exponenciación se ha convertido en iteración. (iii) La pregunta 6 es el caso $n = 2$ del *teorema de Cayley–Hamilton*, válido en toda dimensión y demostrado en el volumen del segundo año. (iv) La matriz compañera cierra el círculo: toda [recurrencia lineal](#pb-b1-matrices-1) *es* una potencia de matriz, con el mismo [polinomio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) $D$ apareciendo como datos de [traza](#def-b1-matrices-transpose) y determinante, de modo que el cálculo con restos resuelve recurrencias y calcula potencias de un solo golpe.