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title: "Determinantes y sistemas lineales"
book: "Matemáticas universitarias — Grado 1"
subject: math
language: es
chapter: 22
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/22-determinantes-y-sistemas-lineales
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# Capítulo 22 — Determinantes y sistemas lineales

El determinante condensa en un solo escalar la respuesta a «¿son estos $n$ vectores una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free)?» — y, geométricamente, mide el volumen que generan. Lo caracterizamos por sus propiedades (multilineal, alternado, normalizado), lo calculamos en las dimensiones $2$ y $3$ y, en general, por [desarrollo por cofactores](#thm-b1-det-cofactor), y lo ponemos a trabajar sobre los [sistemas lineales](#def-b1-det-system), junto al algoritmo para todo uso: la [eliminación de Gauss](#met-b1-det-gauss).

## 22.1 El determinante

**Teorema 22.1 (Caracterización).**

Hay exactamente una [aplicación](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-map) $\det \colon \mathcal{M}_n(K) \to K$, vista como función de las $n$ columnas, que sea:

1. *[lineal](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/20-aplicaciones-lineales#def-b1-linmaps-def) en cada columna* (con las demás fijas);
2. *alternada* : intercambiar dos columnas cambia el signo (y, por tanto, dos columnas iguales dan $0$ );
3. *normalizada* : $\det I_n = 1$ .

Para $n = 2$ y $3$:

$$
\begin{vmatrix} a & b\\ c & d\end{vmatrix} = ad - bc,
\qquad
\begin{vmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i\end{vmatrix}
= aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh
$$

(la regla de Sarrus $3 \times 3$: los productos de las diagonales descendentes menos los de las ascendentes).

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Observación 22.2.**

Para $n = 2$: desarrollar por bilinealidad sobre las columnas canónicas da la fórmula, que recíprocamente cumple los axiomas — una demostración completa; $n = 3$ es idéntico, con más términos. El caso general (la existencia por la suma sobre las permutaciones, la unicidad por el mismo desarrollo) exige la signatura de una [permutación](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/2-combinatoria#def-b1-counting-objects) y queda aplazado al segundo año; usamos con libertad los axiomas y las consecuencias de más abajo.

El desarrollo para $n = 2$ al completo, ya que es la plantilla: con columnas $C_1 = a\,e_1 + c\,e_2$ y $C_2 = b\,e_1 + d\,e_2$, la bilinealidad da

$$
\det(C_1, C_2) = ab\det(e_1, e_1) + ad\det(e_1, e_2)
+ cb\det(e_2, e_1) + cd\det(e_2, e_2),
$$

y la alternancia mata las parejas repetidas y voltea $\det(e_2, e_1) = -\det(e_1, e_2)$: toda la [aplicación](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-map) se colapsa en $(ad - bc)\det(e_1, e_2) = ad - bc$ por la normalización. La unicidad es visible en el propio cálculo —los axiomas no dejaron elección en ningún paso— y este es exactamente el hecho de unicidad con escala que se usa en la demostración de la regla del producto de más abajo.

**Teorema 22.3 (Propiedades).**

Para $A, B \in \mathcal{M}_n(K)$:

1. sumar a una columna un múltiplo de otra no cambia el determinante; y multiplicar una columna por $\lambda$ lo multiplica por $\lambda$ (de modo que $\det(\lambda A) = \lambda^n \det A$ );
2. $\det(AB) = \det A\, \det B$ ;
3. $A$ es invertible $\iff$ $\det A \neq 0$ $\iff$ las columnas forman una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) de $K^n$ ; y entonces $\det(A^{-1}) = (\det A)^{-1}$ ;
4. $\det(A^{\mathsf T}) = \det A$ — de modo que toda regla para columnas es también una regla para filas;
5. el determinante de una matriz triangular es el producto de sus entradas diagonales.

**Demostración.** (1) Por linealidad, $\det(\dots, C_i + \lambda C_j, \dots) = \det A +
\lambda\det(\dots, C_j, \dots)$, donde el segundo determinante tiene dos columnas iguales: cero.

(2) Fíjese $A$ y considérese $\varphi(B) = \det(AB)$ como función de las columnas de $B$: como $AB$ tiene columnas $AB_j$, $\varphi$ es multilineal y alternada en las $B_j$. Admitimos, con el [Teorema 22.1](#thm-b1-det-def), su [enunciado](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-statement) de unicidad en forma escalada: *toda* [aplicación](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-map) $\varphi$ multilineal y alternada de las columnas es igual a $\varphi(I_n) \cdot \det$. Aquí $\varphi(I_n) = \det A$, luego $\det(AB) = \det A \cdot \det B$.

(3) Si $A$ es invertible: $\det A\,\det A^{-1} = \det I = 1$, luego $\det A \neq 0$ y vale la fórmula de la inversa. Y si $A$ no es invertible, sus columnas son ligadas ([Corolario 20.9](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/20-aplicaciones-lineales#cor-b1-linmaps-samedim) y [Proposición 20.2](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/20-aplicaciones-lineales#prop-b1-linmaps-basis)); expresar una columna mediante las demás y desarrollar por linealidad deja determinantes con dos columnas iguales: $\det A = 0$. El [enunciado](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-statement) sobre la [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) es la [Proposición 19.8](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/19-dimension-finita#prop-b1-findim-twoofthree).

(4) Admitido con la construcción general (es inmediato sobre la fórmula con permutaciones); lo registramos para usar [operaciones por filas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/21-matrices#met-b1-matrices-gauss).

(5) Si alguna entrada diagonal se anula, las primeras $k$ columnas son ligadas para algún $k$ (consideraciones de rango) y $\det = 0 =$ el producto. En caso contrario, límpiese cada columna por debajo y a la izquierda con operaciones de tipo (1) —posible en la forma triangular—, llegando a la matriz diagonal, cuyo determinante es el producto de las entradas por multilinealidad desde $I_n$. ∎

**Ejemplo 22.4 (Las reglas, comprobadas con números).**

Tómense $A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\end{pmatrix}$ ($\det A = -2$) y $B = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$ ($\det B = -1$). Entonces

$$
AB = \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 4 & 7\end{pmatrix},
\quad \det(AB) = 14 - 12 = 2 = (-2)(-1) ;
\qquad
\det(A^{\mathsf T}) = \begin{vmatrix} 1 & 3\\ 2 & 4
\end{vmatrix} = -2 = \det A .
$$

Multiplicatividad e invariancia por [trasposición](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/21-matrices#def-b1-matrices-transpose) confirmadas — y la aditividad *falsa* falla con la misma pareja:

$$
\det(A + B) = \begin{vmatrix} 1 & 3\\ 4 & 5\end{vmatrix} = -7
\neq \det A + \det B = -3 .
$$

Treinta segundos de aritmética de este tipo, tras invocar cualquier identidad de determinantes, es el seguro contra errores más barato que existe.

**Ejemplo 22.5 (Los determinantes como áreas).**

El paralelogramo generado por $u = (2, 0)$ y $v = (1, 3)$ tiene base $2$ y altura $3$: área $6$. Y

$$
\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 0 & 3\end{vmatrix} = 6 :
$$

el determinante $2\times2$ *es* el área con signo del paralelogramo de sus columnas. Los axiomas vuelven a contar la geometría: sumar a una columna un múltiplo de la otra es una *cizalla*, que desliza el paralelogramo paralelamente a un lado sin cambiar la [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) ni la altura (operación (1) del [Teorema 22.3](#thm-b1-det-props)); escalar una columna escala el área; e intercambiar las columnas voltea la orientación, de ahí el signo, $\det(v, u) = -6$. En $\R^3$ la misma lectura da volúmenes con signo, y $\abs{\det}$ se convierte en el factor universal de escala de volúmenes de las [aplicaciones lineales](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/20-aplicaciones-lineales#def-b1-linmaps-def) — el hecho que hay detrás de la fórmula del [cambio de variables](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/15-integracion-en-un-segmento#thm-b1-integration-parts) para [integrales](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/15-integracion-en-un-segmento#thm-b1-integration-def) múltiples en el volumen del segundo año.

**Teorema 22.6 (Desarrollo por cofactores).**

Sea $A \in \mathcal{M}_n(K)$ y sea $\Delta_{ij}$ el determinante de $A$ suprimiendo la fila $i$ y la columna $j$. Entonces, para cualquier columna $j$ fija (o fila, por [trasposición](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/21-matrices#def-b1-matrices-transpose)):

$$
\det A = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j}\, a_{ij}\, \Delta_{ij} .
$$

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Ejemplo 22.7.**

Desarrollando a lo largo de la primera columna:

$$
\begin{vmatrix}
2 & 1 & 0\\
1 & 2 & 1\\
0 & 1 & 2
\end{vmatrix}
= 2\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2\end{vmatrix}
- 1\begin{vmatrix} 1 & 0\\ 1 & 2\end{vmatrix}
= 2 \times 3 - 2 = 4 .
$$

Estrategia: créense ceros primero ([operaciones por filas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/21-matrices#met-b1-matrices-gauss) o columnas) y desarróllese después por la línea más vacía.

**Ejemplo 22.8 (La inversa por cofactores, una vez a mano).**

Para $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 &
1\end{pmatrix}$: $\det A = 1(1) - 1(-1) + 0 = 2$. Los nueve cofactores $(-1)^{i+j}\Delta_{ij}$ se ensamblan en

$$
\operatorname{Com}(A) = \begin{pmatrix}
1 & 1 & -1\\
-1 & 1 & 1\\
1 & -1 & 1
\end{pmatrix},
\qquad
A^{-1} = \frac{1}{\det A}\operatorname{Com}(A)^{\mathsf T}
= \frac12\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1\\
1 & 1 & -1\\
-1 & 1 & 1
\end{pmatrix},
$$

la fórmula citada en el [Ejercicio 22.8](#exo-b1-det-8). Compruébese una pareja fila-columna: (fila $1$ de $A$)(columna $1$ de $A^{-1}$) $= \frac12(1 + 1 + 0) = 1$, y contra la columna $2$: $\frac12(-1 + 1 + 0) = 0$. Nueve determinantes $2\times2$ para una inversa $3\times3$: ya a este tamaño, la reducción por filas ([Ejercicio 22.3](#exo-b1-det-3)) es más barata — el valor de la fórmula de los cofactores es teórico (la integralidad en el [Ejercicio 22.8](#exo-b1-det-8), la [derivabilidad](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/14-derivacion#def-b1-derivative-def) de la inversa en volúmenes posteriores), no computacional.

**Ejemplo 22.9 (La regla triangular por bloques, en tamaño 444).**

Afirmación: $\det\begin{pmatrix} M & N\\ 0 & P\end{pmatrix} = \det M\,\det P$ para bloques $2\times2$. Límpiese el bloque $N$ con operaciones de columna: sumar a las columnas $3, 4$ combinaciones adecuadas de las columnas $1, 2$ elimina $N$ *cuando $M$ es invertible* (resuélvase $M\Lambda = -N$ para los coeficientes $\Lambda$ de la combinación), dejando $\det\begin{pmatrix} M & 0\\ 0 & P\end{pmatrix}$; y entonces el [desarrollo por cofactores](#thm-b1-det-cofactor) a lo largo de la primera columna, dos veces, da $\det M\det P$ para esa forma diagonal por bloques. Si $M$ no es invertible, sus columnas son ligadas, luego las dos primeras columnas de la matriz grande son ligadas (sus mitades inferiores son nulas): los dos miembros se anulan. La regla se extiende a bloques de cualquier tamaño con el mismo argumento de dos casos — y es el motor del [Ejercicio 22.10](#exo-b1-det-10).

**Ejemplo 22.10 (Un determinante 4×44 \times 44×4, con estrategia).**

$$
\Delta = \begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 & 4\\
2 & 3 & 4 & 1\\
3 & 4 & 1 & 2\\
4 & 1 & 2 & 3
\end{vmatrix}.
$$

Todas las filas suman $10$: la operación $C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3 + C_4$ vuelve constante la primera columna, y sacar factor $10$ deja unos. Después, $L_i \leftarrow L_i - L_1$ ($i \geq 2$) limpia la primera columna:

$$
\Delta = 10\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 & 4\\
0 & 1 & 1 & -3\\
0 & 2 & -2 & -2\\
0 & -1 & -1 & -1
\end{vmatrix}
= 10\begin{vmatrix}
1 & 1 & -3\\
2 & -2 & -2\\
-1 & -1 & -1
\end{vmatrix}
= 10 \times 16 = 160,
$$

expandiendo el último determinante $3\times3$ por su primera fila: $1(2 - 2) - 1(-2 - 2) + (-3)(-2 - 2) = 0 + 4 + 12 = 16$. Moraleja: una operación bien elegida (advertir que las filas suman lo mismo) gana a dieciséis cofactores.

**Método 22.11 (Elegir una estrategia para un determinante).**

Recórrase la matriz con la vista antes de calcular nada.

1. *Sumas de filas o de columnas constantes* : súmese todo en una sola línea y sáquese factor común el valor común ( [Ejemplo 22.10](#ex-b1-det-fourbyfour) , [Ejercicio 22.7](#exo-b1-det-7) ).
2. *Estructura repetitiva* : réstense filas o columnas vecinas para crear ceros; los patrones en escalera se colapsan hacia la forma triangular, cuyo determinante se lee en la diagonal.
3. *Ceros aislados* : desarróllese por la línea más vacía ( [Ejemplo 22.7](#ex-b1-det-cofactor) ); las familias recursivas (tridiagonales, [Ejercicio 22.6](#exo-b1-det-6) ) dan así recurrencias.
4. *Un parámetro* : el determinante es un [polinomio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) en él; hállense sus raíces detectando los valores degenerados (filas iguales, columnas proporcionales) y fíjese después el [polinomio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) por el grado y el coeficiente director. Para la matriz del [Ejercicio 22.7](#exo-b1-det-7) : $m = 1$ da tres filas iguales (rango $1$ , una raíz doble) y $m = -2$ hace que las filas sumen cero (una raíz más); el determinante tiene grado $3$ en $m$ con término dominante $-m^3$ (el producto de la antidiagonal $m\cdot m\cdot m$ , cuyo signo de Sarrus es $-1$ ), así que tiene que ser $-(m+2)(m-1)^2$ — sin desarrollar nada, y los dos métodos se comprueban entre sí.

**Ejemplo 22.12 (Determinante de Vandermonde).**

Para escalares $x_1, \dots, x_n$:

$$
V(x_1, \dots, x_n) =
\begin{vmatrix}
1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1}\\
1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1}\\
\vdots & & & & \vdots\\
1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1}
\end{vmatrix}
= \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i) .
$$

Esbozo de la demostración (detallada en el [Ejercicio 22.5](#exo-b1-det-5)): las operaciones de columna $C_k \leftarrow C_k - x_1 C_{k-1}$ desde la derecha limpian la primera fila, y sacar factor común en cada fila restante reduce a $V(x_2, \dots, x_n)$. Es no nulo si y solo si los $x_i$ son distintos dos a dos — el determinante que hay detrás de la [interpolación de Lagrange](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#thm-b1-poly-lagrange) ([Ejemplo 20.10](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/20-aplicaciones-lineales#ex-b1-linmaps-interpolation)).

## 22.2 Sistemas lineales

**Definición 22.13.**

Un sistema [lineal](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/20-aplicaciones-lineales#def-b1-linmaps-def) de $n$ ecuaciones con $p$ incógnitas es $AX = B$ con $A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)$, $B \in K^n$; es *homogéneo* cuando $B = 0$. Su [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) de soluciones, cuando es no vacío, es $X_0 + \ker A$: una solución particular más la solución general homogénea — un [subespacio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-subspace) afín de dimensión $p - \operatorname{rk} A$ (teorema del rango).

**Ejemplo 22.14 (La estructura afín, hecha visible).**

Resuélvase

$$
\begin{cases}
x + y + z = 3\\
x - y + 2z = 2 .
\end{cases}
$$

Restando las ecuaciones: $2y - z = 1$, luego $z = 2y - 1$ y $x = 3 - y - z = 4 - 3y$. Las soluciones forman la recta

$$
(x, y, z) = (4,\ 0,\ -1) + y\,(-3,\ 1,\ 2)
\qquad (y \in \R):
$$

la solución particular $X_0 = (4, 0, -1)$ (la elección $y = 0$) más la recta núcleo $\ker A = \operatorname{Vect}(-3, 1, 2)$ del sistema homogéneo asociado — compruébese: $(-3) + 1 + 2 = 0$ y $(-3) - 1 + 4 = 0$. Geométricamente, dos planos no paralelos de $\R^3$ se cortan en una recta, y el recuento de dimensiones $p - \operatorname{rk} A = 3 - 2 = 1$ ya lo sabía antes de resolver nada. Cambiar la solución particular (digamos $y = 1$: $X_0' = (1, 1, 1)$) cambia la descripción, no la recta: un [subespacio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-subspace) afín tiene muchos orígenes y una sola dirección.

**Teorema 22.15 (Sistemas de Cramer cuadrados).**

Si $A \in GL_n(K)$, el sistema $AX = B$ tiene la solución única $X = A^{-1}B$, cuyas [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#prop-b1-vspaces-coordinates) son

$$
x_j = \frac{\det A_j}{\det A},
\qquad A_j = A \text{ con la columna } j \text{ sustituida por } B .
$$

**Demostración.** La unicidad y la existencia son la invertibilidad. Para la fórmula: escríbase $B = \sum_k x_k C_k$ (las columnas de $A$); entonces, por multilinealidad y alternancia,

$$
\det A_j = \det\Bigl(C_1, \dots, \sum_k x_k C_k, \dots, C_n\Bigr)
= \sum_k x_k \det(C_1, \dots, C_k, \dots, C_n)
= x_j \det A ,
$$

teniendo todos los términos salvo $k = j$ una columna repetida. ∎

**Ejemplo 22.16 (Cramer con un parámetro, al completo).**

Para $m \in \R$, resuélvase

$$
\begin{cases}
x + m y = 1\\
m x + y = 2 .
\end{cases}
$$

El determinante es $1 - m^2$. *Caso genérico* $m \neq \pm1$: Cramer da

$$
x = \frac{\begin{vmatrix} 1 & m\\ 2 & 1\end{vmatrix}}{1 - m^2}
= \frac{1 - 2m}{1 - m^2},
\qquad
y = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 1\\ m & 2\end{vmatrix}}{1 - m^2}
= \frac{2 - m}{1 - m^2},
$$

una solución limpia para cada $m$ admisible (compruébese en $m = 0$: $(1, 2)$, obviamente correcto). *Casos degenerados*: en $m = 1$ las ecuaciones dicen $x + y = 1$ y $x + y = 2$: incompatibles; y en $m = -1$ dicen $x - y = 1$ y $-x + y = 2$, es decir, $x - y = 1$ y $x - y = -2$: incompatibles otra vez. Que el determinante se anule anuncia que *algo* degenera, pero nunca dice qué — si es vacío o infinito hay que decidirlo mirando el miembro derecho. Obsérvese también cómo las fórmulas señalan sus propios límites: cuando $m \to 1^{-}$, $x = \frac{1 - 2m}{1 - m^2} \to -\infty$; el punto solución se escapa conforme las dos rectas se vuelven paralelas.

**Método 22.17 (Eliminación de Gauss sobre sistemas).**

Redúzcase por filas la matriz ampliada $(A \mid B)$ a forma escalonada.

1. Si aparece un pivote en la última columna (una línea $0 = 1$ ): no hay solución.
2. En caso contrario, las incógnitas se reparten en *incógnitas principales* e *incógnitas [libres](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free)* (los parámetros); y la sustitución hacia atrás expresa las primeras en función de las segundas: el [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) de soluciones es un [subespacio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-subspace) afín de dimensión $=$ el número de incógnitas [libres](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) .

Las fórmulas de Cramer son para la teoría y los sistemas pequeños; la eliminación es el algoritmo práctico.

**Ejemplo 22.18 (Una discusión con parámetro).**

Para $m \in \R$, considérese

$$
\begin{cases}
x + y + mz = 1\\
x + my + z = 1\\
mx + y + z = 1 .
\end{cases}
$$

La matriz tiene determinante $-(m+2)(m-1)^2$ (calculado en el [Ejercicio 22.7](#exo-b1-det-7) sumando todas las columnas a la primera). Para $m \neq 1, -2$: solución única $x = y = z = \frac{1}{m+2}$ (por simetría). Para $m = 1$: una sola ecuación repetida tres veces, un plano de soluciones. Y para $m = -2$: sumando las tres ecuaciones se obtiene $0 = 3$, sin solución.

**Observación 22.19 (Errores frecuentes).**

*El determinante no es [lineal](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/20-aplicaciones-lineales#def-b1-linmaps-def) en la matriz*: $\det(A + B) \neq \det A + \det B$ (ya $\det(I_2 + I_2) = 4 \neq 2$); es [lineal](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/20-aplicaciones-lineales#def-b1-linmaps-def) en cada *columna* por separado, que es una cosa completamente distinta. *Escala*: $\det(\lambda A) = \lambda^n\det A$, no $\lambda\det A$ — se escalan las $n$ columnas. *Las [operaciones por filas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/21-matrices#met-b1-matrices-gauss) no salen todas gratis*: $L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j$ conserva el determinante, pero un intercambio cambia el signo y $L_i \leftarrow \lambda L_i$ lo multiplica por $\lambda$ — los errores de contabilidad aquí son la fuente clásica de signos equivocados en los cálculos basados en la eliminación. *Un determinante nulo es el principio, no el final*: dice «rango $< n$», pero no qué rango; solo un trabajo adicional (la forma escalonada, o los menores del [Ejercicio 22.12](#exo-b1-det-12)) lo localiza — cf. el caso $m = 1$ frente a $m = -2$ en el [Ejemplo 22.18](#ex-b1-det-parameter). *Cramer necesita la invertibilidad*: cuando $\det A = 0$, las fórmulas $x_j = \det A_j/\det A$ no significan nada, y el sistema puede perfectamente tener (infinitas) soluciones. *Solo las matrices cuadradas tienen determinante*: para un sistema rectangular, la eliminación es la única herramienta.

**Observación 22.20 (Adónde van los determinantes).**

A este escalar le esperan tres vidas. *Geométrica*: $\abs{\det}$ es el factor de escala de áreas o volúmenes de la [aplicación](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-map) asociada — precisado para el plano en el [Capítulo 23](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/23-espacios-euclideos#ch-b1-euclid) y, como jacobiano de un [cambio de variables](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/15-integracion-en-un-segmento#thm-b1-integration-parts), en las [integrales](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/15-integracion-en-un-segmento#thm-b1-integration-def) múltiples del volumen del segundo año. *Algebraica*: $\det(A - \lambda I)$, el [polinomio característico](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/5-ecuaciones-diferenciales-lineales#def-b1-diffeq-linear2), abre la teoría de valores propios del segundo año — la identidad $A^2 - (\operatorname{tr} A)A + (\det A)I = 0$ del problema del fin de semana del [Capítulo 21](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/21-matrices#ch-b1-matrices) es su primera sombra. *Analítica*: los determinantes de ciertas matrices especiales (Vandermonde, Cauchy, Gram) deciden cuándo están bien planteados los problemas de interpolación, de descomposición y de [proyección](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/20-aplicaciones-lineales#def-b1-linmaps-projection); y el problema del fin de semana de más abajo evalúa por completo las dos primeras familias.

**Observación 22.21 (Perspectivas dentro del libro 3).**

Este capítulo cierra la espina dorsal de álgebra lineal del volumen, y los dos capítulos restantes cobran los dividendos. En el [Capítulo 23](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/23-espacios-euclideos#ch-b1-euclid): la matriz de Gram $\bigl(\langle v_i, v_j\rangle\bigr)$ comprueba la libertad con un determinante ([Ejercicio 23.11](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/23-espacios-euclideos#exo-b1-euclid-11)), y las isometrías del plano se reparten en rotaciones y reflexiones según el signo de su determinante — la clasificación del problema del fin de semana de allí corre sobre ello. En el [Capítulo 25](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/25-funciones-de-dos-variables#ch-b1-multivar): la cantidad de Monge $rt - s^2$ es el determinante de la matriz simétrica de segundas [derivadas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/14-derivacion#def-b1-derivative-def), y las ecuaciones normales de los mínimos cuadrados son un sistema de Cramer cuya matriz es una matriz de Gram (y, por tanto, de momentos) — invertible precisamente por los criterios de sabor Vandermonde establecidos aquí. Cuando aquellos capítulos afirmen «invertible» o «positiva», los recibos están en este.

## 22.3 Ejercicios

**Ejercicio 22.1 ★.**

Calcúlense:

$$
\begin{vmatrix} 3 & 1\\ 5 & 2 \end{vmatrix},
\qquad
\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9\end{vmatrix},
\qquad
\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 4\\ 1 & 3 & 9\end{vmatrix}.
$$

**Solución de Ejercicio 22.1.**

$3 \times 2 - 1 \times 5 = 1$.

Segundo: $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$, $L_3 \leftarrow L_3 - L_2$ (sobre las filas originales) dan las filas $(1,2,3), (3,3,3),
(3,3,3)$: dos filas iguales, determinante $0$. (Sarrus lo confirma: $45 + 84 + 96 - 105 - 48 - 72 = 0$.)

Tercero: es un Vandermonde con $x = 1, 2, 3$ ([Ejemplo 22.12](#ex-b1-det-vandermonde)): $(2-1)(3-1)(3-2) = 2$.

**Ejercicio 22.2 ★.**

¿Para qué $\lambda \in \R$ es la familia $\bigl((1, 1, \lambda), (1, \lambda, 1), (\lambda, 1, 1)\bigr)$ una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) de $\R^3$?

**Solución de Ejercicio 22.2.**

El determinante es (súmense todas las columnas a la primera y sáquese factor común) $(\lambda + 2)$ por

$$
\begin{vmatrix}
1 & 1 & \lambda\\ 1 & \lambda & 1\\ 1 & 1 & 1
\end{vmatrix}
= -(\lambda - 1)^2
$$

(límpiese con $L_1 \leftarrow L_1 - L_3$, $L_2 \leftarrow L_2 - L_3$ y desarróllese), lo que da $\det = -(\lambda+2)(\lambda-1)^2$. Es base $\iff \det \neq 0 \iff \lambda \notin \{1, -2\}$.

**Ejercicio 22.3 ★.**

Resuélvanse por la regla de Cramer:

$$
\begin{cases}
2x + y = 5\\
3x - 2y = 4 ,
\end{cases}
\qquad\text{y después}\qquad
\begin{cases}
x + y + z = 6\\
x - y + z = 2\\
2x + y - z = 1 .
\end{cases}
$$

**Solución de Ejercicio 22.3.**

Primer sistema: $\det = -7$; $x = \frac{1}{-7}\begin{vmatrix} 5 & 1\\ 4 & -2\end{vmatrix}
= \frac{-14}{-7} = 2$, $y = \frac{1}{-7}\begin{vmatrix} 2 & 5\\ 3 & 4\end{vmatrix}
= \frac{-7}{-7} = 1$. Comprobación: $2(2) + 1 = 5$; $3(2) - 2 = 4$.

Segundo sistema: tras $L_2 - L_1$ y $L_3 - 2L_1$, las filas pasan a ser $(1,1,1)$, $(0,-2,0)$, $(0,-1,-3)$, luego

$$
\det A = \begin{vmatrix} 1&1&1\\ 1&-1&1\\ 2&1&-1\end{vmatrix}
= 1 \times \begin{vmatrix} -2 & 0\\ -1 & -3\end{vmatrix} = 6 .
$$

Cramer, sustituyendo columnas por $(6,2,1)^{\mathsf T}$:

$$
x = \frac{6}{6} = 1, \qquad
y = \frac{12}{6} = 2, \qquad
z = \frac{18}{6} = 3
$$

(los numeradores calculados igual). Comprobación: $1 + 2 + 3 = 6$; $1 - 2 + 3 = 2$; $2 + 2 - 3 = 1$.

**Ejercicio 22.4 ★.**

Resuélvase por [eliminación de Gauss](#met-b1-det-gauss), describiendo el [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) de soluciones:

$$
\begin{cases}
x + 2y - z + t = 1\\
2x + 4y + z - t = 5\\
x + 2y + 2z - 2t = 4 .
\end{cases}
$$

**Solución de Ejercicio 22.4.**

Redúzcase la matriz ampliada: $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$, $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$:

$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 & 1 & 1\\
0 & 0 & 3 & -3 & 3\\
0 & 0 & 3 & -3 & 3
\end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1 & -1 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.
$$

Incógnitas principales $x, z$; incógnitas [libres](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) $y, t$. Sustitución hacia atrás: $z = 1 + t$, $x = 1 - 2y + z - t = 2 - 2y$. [Conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) de soluciones:

$$
\{(2 - 2y,\; y,\; 1 + t,\; t) : y, t \in \R\}
= (2, 0, 1, 0) + \operatorname{Vect}\bigl((-2,1,0,0),\,
(0,0,1,1)\bigr),
$$

un plano afín (de dimensión $2 = 4 - \operatorname{rk} 2$) de $\R^4$.

**Ejercicio 22.5 ★★.**

Demuéstrese la fórmula de Vandermonde del [Ejemplo 22.12](#ex-b1-det-vandermonde) por inducción sobre $n$, con las operaciones de columna $C_k \leftarrow C_k - x_1 C_{k-1}$ realizadas desde $k = n$ hasta $k = 2$.

**Solución de Ejercicio 22.5.**

Inducción; $n = 1$ es el producto vacío $= 1$. Para el paso, háganse $C_k \leftarrow C_k - x_1 C_{k-1}$ para $k = n, n-1, \dots, 2$ (en ese orden, de modo que cada operación use una columna aún no modificada). La primera fila pasa a ser $(1, 0, \dots, 0)$; y en la fila $i \geq 2$, la entrada $k$-ésima pasa a ser $x_i^{k-1} - x_1 x_i^{k-2} = x_i^{k-2}(x_i - x_1)$. Desarrollando por la primera fila y sacando factor $(x_i - x_1)$ de cada fila $i$:

$$
V(x_1, \dots, x_n)
= \prod_{i=2}^{n} (x_i - x_1)\cdot V(x_2, \dots, x_n),
$$

y la hipótesis de inducción completa el producto $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$.

**Ejercicio 22.6 ★★.**

(Tridiagonal) Sea $D_n$ el determinante $n \times n$ con $2$ en la diagonal, $1$ en las dos diagonales adyacentes y $0$ en el resto. Desarrollando por la primera fila, demuéstrese $D_n = 2D_{n-1} - D_{n-2}$ y calcúlese $D_n$ ($D_1 = 2$, $D_2 = 3$).

**Solución de Ejercicio 22.6.**

Desarrollando $D_n$ por la primera fila: $D_n = 2 D_{n-1} - 1\cdot\begin{vmatrix} 1 & \ast\\ 0 &
D_{n-2}\text{-bloque} \end{vmatrix}$; y el segundo determinante, desarrollado por su primera columna, es $D_{n-2}$. Luego $D_n = 2D_{n-1} - D_{n-2}$, es decir, $D_n - D_{n-1} = D_{n-1} - D_{n-2}$: las diferencias son constantes e iguales a $D_2 - D_1 = 1$. Por tanto, $D_n = D_1 + (n - 1) = n + 1$. (Compruébese: $D_2 = 3$, y el caso $3\times3$ es el [Ejemplo 22.7](#ex-b1-det-cofactor): $D_3 = 4$.)

**Ejercicio 22.7 ★★.**

Complétese el [Ejemplo 22.18](#ex-b1-det-parameter): calcúlese el determinante $\begin{vmatrix} 1 & 1 & m\\ 1 & m & 1\\ m & 1 & 1\end{vmatrix}$ con la operación $C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$, y llévese a cabo la discusión completa del sistema.

**Solución de Ejercicio 22.7.**

$C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$ vuelve constante la primera columna, igual a $(m+2)$; sáquese factor común:

$$
\det = (m+2)\begin{vmatrix}
1 & 1 & m\\ 1 & m & 1\\ 1 & 1 & 1
\end{vmatrix}
\overset{L_1 - L_3,\ L_2 - L_3}{=}
(m+2)\begin{vmatrix}
0 & 0 & m-1\\ 0 & m-1 & 0\\ 1 & 1 & 1
\end{vmatrix}
= (m+2)\cdot\bigl(-(m-1)^2\bigr)
$$

(desarróllese por la primera columna: la única entrada $1$ lleva signo $+$, y el determinante $2 \times 2$ restante es $0 \cdot 0 - (m-1)(m-1) = -(m-1)^2$).

Discusión. $m \notin \{1, -2\}$: sistema de Cramer; por la simetría de las ecuaciones, $x = y = z$, y cada ecuación da $(m + 2)x = 1$: solución única $\bigl(\frac{1}{m+2}, \frac{1}{m+2}, \frac{1}{m+2}\bigr)$. $m = 1$: las tres ecuaciones dicen todas $x + y + z = 1$: las soluciones forman el plano afín $x + y + z = 1$. $m = -2$: sumando las tres ecuaciones se obtiene $0 = 3$: [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) de soluciones vacío.

**Ejercicio 22.8 ★★.**

Sea $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ con entradas *enteras*. Demuéstrese que $A$ tiene inversa con entradas enteras si y solo si $\det A = \pm 1$. *(Para el sentido directo, tómense determinantes; y para el recíproco, admítase —o demuéstrese para $n \leq 3$ con cofactores— que $A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\operatorname{Com}(A)^{\mathsf T}$ con matriz de cofactores entera.)*

**Solución de Ejercicio 22.8.**

($\Rightarrow$) Si $A^{-1}$ tiene entradas enteras: $\det A \cdot \det A^{-1} = 1$ con los dos determinantes enteros (sumas de productos de entradas): dos enteros de producto $1$ son los dos $\pm1$.

($\Leftarrow$) La fórmula de los cofactores $A^{-1} = \frac{1}{\det A}\operatorname{Com}(A)^{\mathsf T}$ (comprobada para $n \leq 3$ por desarrollo directo y admitida en general) tiene $\operatorname{Com}(A)$ con entradas enteras (cada cofactor es un determinante entero); y dividir por $\det A = \pm 1$ mantiene los enteros.

**Ejercicio 22.9 ★★★.**

Calcúlese el determinante $n \times n$ de la matriz $aI + bJ$ ([Ejercicio 21.9](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/21-matrices#exo-b1-matrices-9)), es decir, con $a + b$ en la diagonal y $b$ en el resto. *(Súmense todas las columnas a la primera, sáquese factor común y límpiese.)* Recupérese la condición de invertibilidad $a \neq 0$, $a + nb \neq 0$.

**Solución de Ejercicio 22.9.**

Súmense todas las columnas a la primera: cada entrada de la nueva primera columna es $a + nb$; sáquese factor común, de modo que la primera columna sea de unos. Después, las [operaciones por filas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/21-matrices#met-b1-matrices-gauss) $L_i \leftarrow L_i - L_1$ ($i \geq 2$) limpian todas las entradas por debajo del $1$ superior izquierdo y dejan $a$ en la diagonal y $0$ en el resto de esas filas: la matriz es triangular superior con diagonal $(1, a, \dots, a)$. Por tanto,

$$
\det(aI + bJ) = (a + nb)\, a^{\,n-1} ,
$$

no nulo si y solo si $a \neq 0$ y $a + nb \neq 0$: la condición del [Ejercicio 21.9](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/21-matrices#exo-b1-matrices-9).

**Ejercicio 22.10 ★★★.**

Sean $A, B \in \mathcal{M}_n(\R)$. Demuéstrese que

$$
\det\begin{pmatrix} A & B\\ B & A \end{pmatrix}
= \det(A + B)\,\det(A - B),
$$

con operaciones por columnas y por filas en bloques ($C_1 \leftarrow C_1 + C_2$ y después $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$, en forma de bloques), suponiendo la regla natural triangular por bloques $\det\begin{pmatrix} M & N\\ 0 & P\end{pmatrix} = \det M \det P$ — demostrada para bloques $2 \times 2$ en el [Ejemplo 22.9](#ex-b1-det-blocktriangular).

**Solución de Ejercicio 22.10.**

Operaciones por bloques (cada una, una composición de las $n$ operaciones escalares correspondientes, permitidas por el [Teorema 22.3](#thm-b1-det-props) (1)):

$$
\begin{vmatrix} A & B\\ B & A\end{vmatrix}
\overset{C_1 \leftarrow C_1 + C_2}{=}
\begin{vmatrix} A + B & B\\ A + B & A\end{vmatrix}
\overset{L_2 \leftarrow L_2 - L_1}{=}
\begin{vmatrix} A + B & B\\ 0 & A - B\end{vmatrix}
= \det(A+B)\,\det(A-B),
$$

usando en el último paso la regla triangular por bloques.

**Ejercicio 22.11 ★★.**

(Circulante de orden $3$) Sean $a, b, c \in \C$ y

$$
\Delta = \begin{vmatrix}
a & b & c\\
c & a & b\\
b & c & a
\end{vmatrix}.
$$

Demuéstrese que $\Delta = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$, y factorícese por completo sobre $\C$ usando $j = \eu^{2\iu\pi/3}$:

$$
\Delta = (a + b + c)(a + jb + j^2c)(a + j^2b + jc) .
$$

*(Empiécese con $C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$; y para la forma compleja, obsérvese que la columna $(1, j, j^2)^{\mathsf T}$ casi se comporta como un vector propio.)*

**Solución de Ejercicio 22.11.**

$C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$ vuelve constante la primera columna, igual a $(a + b + c)$; sáquese factor común y háganse después $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$, $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$:

$$
\Delta = (a+b+c)\begin{vmatrix}
1 & b & c\\
0 & a - b & b - c\\
0 & c - b & a - c
\end{vmatrix}
= (a+b+c)\bigl[(a-b)(a-c) + (b-c)^2\bigr],
$$

y, desarrollando, $(a-b)(a-c) + (b-c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca$. Sobre $\C$, con $j^3 = 1$ y $1 + j + j^2 = 0$:

$$
\begin{align*}
(a + jb + j^2c)(a + j^2b + jc)
&= a^2 + b^2 + c^2 + (j + j^2)(ab + bc + ca)\\
&= a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca ,
\end{align*}
$$

de donde la factorización completa. (Estructuralmente: la columna $(1, j, j^2)^{\mathsf T}$ cumple $M\,(1, j, j^2)^{\mathsf T} = (a + jb + j^2c)(1, j,
j^2)^{\mathsf T}$, y análogamente para $j^2$ y $1$: los tres factores son los tres «valores propios» del circulante, historia que se sistematiza en el volumen del segundo año.)

**Ejercicio 22.12 ★★★.**

(Rango y menores) Sea $A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)$. Demuéstrese que $\operatorname{rk} A$ es igual al mayor tamaño $r$ de una submatriz $r \times r$ invertible de $A$ (una submatriz conserva las entradas en los cruces de $r$ filas y $r$ columnas elegidas). *(Si $\operatorname{rk} A = r$, selecciónense $r$ columnas [libres](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) y después $r$ filas [libres](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) del bloque $n \times r$ resultante; recíprocamente, una submatriz invertible fuerza que las columnas correspondientes de $A$ sean [libres](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free).)*

**Solución de Ejercicio 22.12.**

Escríbase $r = \operatorname{rk} A$.

*Existe una submatriz $r \times r$ invertible.* Elíjanse $r$ columnas [libres](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) de $A$ y sea $B \in \mathcal{M}_{n,r}$ la matriz que forman: $\operatorname{rk} B = r$. Como el rango por filas es igual al rango por columnas ([Teorema 21.13](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/21-matrices#thm-b1-matrices-rank)), $B$ tiene $r$ filas [libres](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free); y quedarse con esas filas da una submatriz $r \times r$ de $A$ de rango $r$, es decir, invertible.

*No hay ninguna mayor.* Sea $S$ una submatriz $s \times s$ invertible, tomada de las columnas $j_1, \dots, j_s$ y las filas $i_1, \dots, i_s$ de $A$. Si se anula una combinación $\sum_k \lambda_k C_{j_k} = 0$ de las columnas *completas* correspondientes, entonces leer solo las filas $i_1, \dots, i_s$ da $\sum_k \lambda_k S_k = 0$ sobre las columnas de $S$, luego todos los $\lambda_k = 0$ ($S$ es invertible): las columnas $C_{j_1}, \dots, C_{j_s}$ de $A$ son [libres](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) y $s \leq \operatorname{rk} A = r$.

Por tanto, $\operatorname{rk} A$ es exactamente el mayor tamaño de una submatriz invertible.

## 22.4 Problema: el doble alternante de Cauchy

**Problema 22.1.**

Dos determinantes gobiernan las aplicaciones de este capítulo: el [determinante de Vandermonde](#ex-b1-det-vandermonde), evaluado en el [Ejercicio 22.5](#exo-b1-det-5), y el *[determinante de Cauchy](#pb-b1-det-1)* $\det\bigl(\frac{1}{a_i + b_j}\bigr)$, evaluado aquí. En torno a ellos, este problema reúne el utillaje de los alternantes: trucos de columnas con [polinomios](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def), la interpolación por Cramer, la [matriz de Hilbert](#pb-b1-det-1), el discriminante de una cúbica y el método de los [polinomios](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) alternados. En todo el problema, $V(x_1, \dots, x_n) = \prod_{i < j}(x_j - x_i)$ designa el valor de Vandermonde.

**Parte I — El utillaje de Vandermonde.**

1. Calcúlese $V(1, 2, 3, 4)$ y recuérdese por qué la interpolación en $n$ nodos distintos dos a dos es un sistema de Cramer.
2. (Alternante polinómico) Sean $P_0, \dots, P_{n-1}$ *[mónicos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def)* con $\deg P_k = k$. Demuéstrese $$\det\bigl(P_{j-1}(x_i)\bigr)_{1 \leq i, j \leq n}  = V(x_1, \dots, x_n) :$$ las operaciones de columna sustituyen cada columna de potencias por cualquier escalera mónica, gratis.
3. Aplíquese la pregunta 2 a los [polinomios](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) binomiales $B_k = \frac{X(X-1)\cdots(X-k+1)}{k!}$: demuéstrese que para *enteros* $m_1 < m_2 < \dots < m_n$, $$\frac{V(m_1, \dots, m_n)}{0!\,1!\,2!\cdots(n-1)!}  \in \N :$$ el producto de todas las diferencias dos a dos de $n$ enteros es divisible por el superfactorial $0!\,1!\cdots(n-1)!$.
4. Demuéstrese $\det\bigl(x_i^{\,j}\bigr)_{1 \leq i, j \leq n}  = x_1 x_2 \cdots x_n\, V(x_1, \dots, x_n)$ (con las potencias empezando ahora en $1$ ).
5. (Matriz de momentos) Sea $S = \bigl(p_{i+j-2}\bigr)_{1 \leq i, j \leq n}$, donde $p_k = x_1^k + \dots + x_n^k$. Demuéstrese que $S = W^{\mathsf T} W$ para la matriz $W = (x_i^{\,j-1})_{ij}$, dedúzcase $$\det S = V(x_1, \dots, x_n)^2 ,$$ y conclúyase: $n$ números *reales* son distintos dos a dos si y solo si su matriz de momentos es invertible, y $\det S \geq 0$ siempre.

**Parte II — La interpolación, revisitada.** Nodos $x_1 < \dots < x_n$, valores $y_1, \dots, y_n$.

6. Escríbanse las condiciones « $P = c_0 + c_1X + \dots +  c_{n-1}X^{n-1}$ interpola» como un [sistema lineal](#def-b1-det-system) en las $c_k$ con matriz $W$ , y recupérense de $\det W = V \neq 0$ la existencia y la unicidad del interpolador (compárense las dos demostraciones anteriores, [Teorema 8.23](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#thm-b1-poly-lagrange) y [Ejemplo 20.10](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/20-aplicaciones-lineales#ex-b1-linmaps-interpolation) ).
7. Con la regla de Cramer y el [desarrollo por cofactores](#thm-b1-det-cofactor) del determinante pertinente a lo largo de su última columna, demuéstrese que el coeficiente director del interpolador es $$c_{n-1} = \sum_{i=1}^{n}  \frac{y_i}{\prod_{j \neq i}(x_i - x_j)} .$$
8. (Vandermonde confluente) Calcúlese $$\begin{vmatrix}  1 & x_1 & x_1^2\\  0 & 1 & 2x_1\\  1 & x_2 & x_2^2  \end{vmatrix}  = (x_2 - x_1)^2 ,$$ e interprétese: los datos $\bigl(P(x_1), P'(x_1), P(x_2)\bigr)$ determinan un único $P \in \R_2[X]$ cuando $x_1 \neq x_2$ (interpolación de Hermite).
9. Hállese el único $P \in \R_2[X]$ con $P(0) = 1$ , $P'(0)  = 0$ , $P(1) = 2$ , y compruébese la respuesta con la pregunta 8.

**Parte III — El [determinante de Cauchy](#pb-b1-det-1).** Sean $a_1, \dots, a_n$ y $b_1, \dots, b_n$ escalares con $a_i + b_j \neq 0$ para todos $i, j$, y

$$
C_n = \det\Bigl(\frac{1}{a_i + b_j}\Bigr)_{1 \leq i, j \leq n} .
$$

10. Calcúlese $C_2$ a mano y póngase en la forma «productos de diferencias entre productos de sumas».
11. Para $n \geq 2$, háganse $L_i \leftarrow L_i - L_n$ ($i < n$) y sáquense factores comunes de filas y columnas para demostrar $$C_n = \frac{\prod_{i<n}(a_n - a_i)}{\prod_{j}(a_n +  b_j)}\;\det M,$$ donde $M$ coincide con la matriz de Cauchy en las filas $i < n$ y tiene por última fila $(1, 1, \dots, 1)$.
12. Háganse $C_j \leftarrow C_j - C_n$ ($j < n$) sobre $M$, sáquense factores de nuevo y conclúyase por inducción el *doble alternante de Cauchy*: $$C_n = \frac{\prod_{1 \leq i < j \leq n}(a_j - a_i)(b_j -  b_i)}{\prod_{i, j}(a_i + b_j)} .$$
13. Dedúzcase el criterio de invertibilidad (los $a_i$ distintos dos a dos y los $b_j$ distintos dos a dos). Para la *[matriz de Hilbert](#pb-b1-det-1)* $H_n = \bigl(\frac{1}{i + j - 1}\bigr)$ : calcúlense $\det H_2$ y $\det H_3$ con la fórmula, y compruébese que $H_2^{-1}$ tiene entradas enteras.
14. Véase que, para $b_j$ distintos dos a dos y cualquier miembro derecho, el sistema $\sum_j \frac{c_j}{a_i + b_j} = y_i$ ( $i = 1, \dots, n$ ) tiene solución única, y relaciónese esto con la existencia y la unicidad de las descomposiciones en fracciones simples con [polos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/9-fracciones-racionales#def-b1-fractions-field) simples ( [Teorema 9.5](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/9-fracciones-racionales#thm-b1-fractions-complex) ).

**Parte IV — El discriminante de una cúbica.** Sean $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ las raíces (en $\C$) de $X^3 + pX + q$, y $p_k = \lambda_1^k + \lambda_2^k + \lambda_3^k$.

15. Usando $\lambda^3 = -p\lambda - q$ en cada raíz y Vieta ( $p_1 = 0$ ), calcúlense $p_2 = -2p$ , $p_3 = -3q$ y $p_4 = 2p^2$ .
16. Con la pregunta 5 (sobre $\C$, manteniendo $\det S = V^2$), calcúlese $$\operatorname{disc} = V(\lambda_1, \lambda_2,  \lambda_3)^2 = \begin{vmatrix}  3 & 0 & -2p\\  0 & -2p & -3q\\  -2p & -3q & 2p^2  \end{vmatrix}  = -4p^3 - 27q^2 .$$
17. Dedúzcase: $X^3 + pX + q$ tiene una raíz múltiple si y solo si $4p^3 + 27q^2 = 0$ ; compruébese con $X^3 - 3X + 2 = (X - 1)^2(X + 2)$ .
18. Supóngase $p, q$ reales. Demuéstrese que la cúbica tiene tres raíces reales distintas si y solo si $\operatorname{disc} > 0$ , y una real más dos [conjugadas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/3-numeros-complejos#def-b1-complex-field) no reales si y solo si $\operatorname{disc} < 0$ . *(Si $\lambda_3 = \conj{\lambda_2} \neq \lambda_2$ y $\lambda_1 \in \R$, véase que $V$ es imaginario puro.)*

**Parte V — Dividendos, y el método de los alternados.**

19. Para $0 < a_1 < a_2 < \dots < a_n$ , véase que $\det\bigl(\frac{1}{a_i + a_j}\bigr) > 0$ .
20. Calcúlese $\det\bigl(\binom{m_i}{j-1}\bigr)_{1 \leq i, j  \leq 3}$ para $(m_1, m_2, m_3) = (2, 4, 7)$ , primero con las preguntas 2–3 y después por desarrollo directo.
21. Sean $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ distintos dos a dos y no nulos. Usando una matriz de Vandermonde invertible, demuéstrese de nuevo que las sucesiones geométricas $\bigl((\lambda_i^{\,k})_{k \geq 0}\bigr)_{1 \leq i \leq n}$ forman una [familia libre](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) del espacio de las sucesiones.
22. Calcúlese $\det\bigl(\frac{1}{i + j}\bigr)_{1 \leq i, j  \leq 3}$ con el doble alternante.
23. ( [Polinomios](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) alternados) Dígase que un [polinomio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) $F$ en $x_1, \dots, x_n$ es *alternado* cuando intercambiar dos variables cualesquiera le cambia el signo. Véase que un $F$ alternado se anula siempre que $x_i = x_j$ ( $i \neq j$ ), y dedúzcase —de una variable en una, por el teorema del factor— que $F$ es divisible por $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ .
24. Úsese la pregunta 23 para volver a demostrar la fórmula de Vandermonde sin inducción: el determinante $\det(x_i^{\,j-1})$ es un [polinomio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) alternado de grado total $\binom n2$ y, por tanto, un múltiplo *constante* de $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ ; identifíquese la constante comparando un monomio.
25. Síntesis, en cuatro frases: qué única propiedad del determinante (qué axioma) genera todas las factorizaciones de este problema; por qué la identidad de la matriz de momentos de la pregunta 5 convierte un [enunciado](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-statement) sobre distinción *compleja* en un test de signo *real* calculable; qué dos matrices clásicas se evaluaron aquí por completo y qué problemas [lineales](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/20-aplicaciones-lineales#def-b1-linmaps-def) gobiernan; y cómo el método de los alternados de las preguntas 23–24 explica de un golpe por qué $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ no deja de aparecer. Nómbrese el teorema de la parte III.

**Solución de Problema 22.1.**

**1.** $V(1,2,3,4) = (2-1)(3-1)(4-1)(3-2)(4-2)(4-3) =
1 \cdot 2\cdot 3\cdot 1\cdot 2\cdot 1 = 12$. La interpolación en nodos distintos pide los coeficientes de $P$ que resuelven $W c = y$ con $W = (x_i^{\,j-1})$, y $\det W = V \neq 0$: un sistema de Cramer.

**2.** Recórranse las columnas de izquierda a derecha. $C_1$ es la columna constante $P_0(x_i) = 1$ ($P_0$ es [mónico](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) de grado $0$). Supóngase que las columnas $1, \dots, j-1$ ya se han reducido a las potencias puras $1, x_i, \dots, x_i^{\,j-2}$. Como $P_{j-1} = X^{j-1} + \sum_{k < j-1}\alpha_k X^k$, restar a $C_j$ la combinación $\sum_k \alpha_k\,(\text{columna de } x_i^k)$ —una operación que no cambia el determinante— deja la columna de potencias puras $x_i^{\,j-1}$. Tras la última columna, la matriz es la de Vandermonde: $\det = V(x_1, \dots, x_n)$.

**3.** Los [polinomios](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) $(j-1)!\,B_{j-1}$ son [mónicos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) de grado $j - 1$, así que la pregunta 2 da

$$
\det\bigl(B_{j-1}(m_i)\bigr)
= \frac{V(m_1, \dots, m_n)}{0!\,1!\cdots(n-1)!} .
$$

El miembro izquierdo es el determinante de una matriz con entradas *enteras* ($B_k$ es de valores enteros en $\Z$: preguntas 16–17 del problema del fin de semana [Problema 18.1](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#pb-b1-vspaces-1)) y, por tanto, un entero; y es positivo, ya que $V(m_1, \dots, m_n) > 0$ para $m_1 < \dots < m_n$. Luego el superfactorial [divide](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/6-aritmetica-de-los-enteros#def-b1-arith-divides) al producto de todas las diferencias dos a dos.

**4.** Sáquese factor $x_i$ de cada fila $i$: $\det(x_i^{\,j})_{j = 1..n} = x_1\cdots x_n\, \det(x_i^{\,j-1}) =
x_1\cdots x_n\,V$.

**5.** $(W^{\mathsf T}W)_{ij} = \sum_k x_k^{\,i-1}
x_k^{\,j-1} = p_{i+j-2}$: $S = W^{\mathsf T}W$. Por tanto, $\det S = \det(W^{\mathsf T})\det W = V^2$ ([Teorema 22.3](#thm-b1-det-props) (2),(4)). Para $x_i$ reales: $\det S = V^2 \geq 0$, y $S$ es invertible si y solo si $V \neq 0$, si y solo si los $x_i$ son distintos dos a dos — un test de signo definido y calculable solo a partir de las sumas de potencias.

**6.** Las condiciones de interpolación $\sum_{k} c_k\,x_i^{\,k} = y_i$ forman el sistema $Wc = y$; y $\det W = V \neq 0$ da de golpe la existencia y la unicidad. Esta es la tercera demostración del libro: fórmula explícita en el [Teorema 8.23](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#thm-b1-poly-lagrange), argumento de núcleo en el [Ejemplo 20.10](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/20-aplicaciones-lineales#ex-b1-linmaps-interpolation) y Cramer aquí.

**7.** Cramer: $c_{n-1} = \det W'/\det W$, donde $W'$ es $W$ con su última columna sustituida por $y$. Desarrollando $\det W'$ por esa columna:

$$
\det W' = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+n} y_i\,V(x_1, \dots, \widehat{x_i},
\dots, x_n) .
$$

Ahora bien, $V = V(\setminus i)\cdot\prod_{j<i}(x_i -
x_j)\prod_{j>i} (x_j - x_i)$, y convertir el segundo producto cuesta $(-1)^{n-i}$:

$$
(-1)^{i+n}\,\frac{V(\setminus i)}{V}
= \frac{(-1)^{i+n}(-1)^{n-i}}{\prod_{j\neq i}(x_i - x_j)}
= \frac{1}{\prod_{j\neq i}(x_i - x_j)} ,
$$

de donde $c_{n-1} = \sum_i y_i/\prod_{j \neq i}(x_i - x_j)$ — otra vez la fórmula de las [diferencias divididas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#pb-b1-vspaces-1).

**8.** $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ da las filas $(1, x_1, x_1^2)$, $(0, 1, 2x_1)$, $(0,\ x_2 - x_1,\ (x_2-x_1)(x_2+x_1))$; desarrollando por la primera columna y sacando factor $(x_2 - x_1)$:

$$
(x_2 - x_1)\begin{vmatrix} 1 & 2x_1\\ 1 & x_2 + x_1
\end{vmatrix} = (x_2 - x_1)(x_2 - x_1) = (x_2 - x_1)^2 .
$$

No nulo para $x_1 \neq x_2$: el [sistema lineal](#def-b1-det-system) que expresa $P(x_1) = u$, $P'(x_1) = v$, $P(x_2) = w$ sobre los coeficientes de $P \in \R_2[X]$ es de Cramer — la interpolación de Hermite con un nodo doble está bien planteada.

**9.** $P = a + bX + cX^2$ con $a = P(0) = 1$, $b = P'(0) = 0$, $a + b + c = P(1) = 2$: $c = 1$, luego $P = 1 + X^2$, único. Coherencia: aquí $x_1 = 0$, $x_2 = 1$ y el determinante de la pregunta 8 es $(1 - 0)^2 = 1 \neq 0$.

**10.** Cálculo directo:

$$
C_2 = \frac{1}{(a_1+b_1)(a_2+b_2)} - \frac{1}{(a_1+b_2)(a_2+b_1)}
= \frac{(a_1+b_2)(a_2+b_1) - (a_1+b_1)(a_2+b_2)}
{\prod_{i,j}(a_i+b_j)} ,
$$

y el numerador se desarrolla como $a_1b_1 + a_2b_2 - a_1b_2 - a_2b_1 = (a_2 - a_1)(b_2 - b_1)$: diferencias entre sumas.

**11.** Para $i < n$, la nueva entrada de la fila $i$ es

$$
\frac{1}{a_i + b_j} - \frac{1}{a_n + b_j}
= \frac{a_n - a_i}{(a_i + b_j)(a_n + b_j)} .
$$

Sáquese factor $(a_n - a_i)$ de cada fila $i < n$ y después $\frac1{a_n + b_j}$ de cada columna $j$: lo que queda tiene entradas $\frac1{a_i + b_j}$ en las filas $i < n$ y constante $1$ en la fila $n$ — la matriz $M$, con el prefactor anunciado.

**12.** Sobre $M$, para $j < n$ la operación $C_j \leftarrow C_j - C_n$ convierte la fila $n$ en $(0, \dots, 0, 1)$ y, en la fila $i < n$,

$$
\frac{1}{a_i + b_j} - \frac{1}{a_i + b_n}
= \frac{b_n - b_j}{(a_i + b_j)(a_i + b_n)} .
$$

Sáquese factor $(b_n - b_j)$ de cada columna $j < n$ y $\frac1{a_i + b_n}$ de cada fila $i < n$, y desarróllese después por la última fila (con signo $(-1)^{n+n} = +1$): el determinante restante es $C_{n-1}$. Reuniendo los factores de las preguntas 11–12:

$$
C_n = \frac{\prod_{i<n}(a_n - a_i)\,\prod_{j<n}(b_n - b_j)}
{\prod_{j}(a_n + b_j)\,\prod_{i<n}(a_i + b_n)}\;C_{n-1},
$$

y la inducción (con base $C_1 = \frac1{a_1+b_1}$) ensambla exactamente el doble alternante de Cauchy: los factores $(a_j - a_i)(b_j - b_i)$ para todas las parejas, entre todas las sumas $(a_i + b_j)$.

**13.** La fórmula se anula si y solo si algún $a_j = a_i$ o $b_j = b_i$: la matriz de Cauchy es invertible si y solo si las dos familias son distintas dos a dos. Hilbert: $a_i = i$, $b_j = j - 1$. Para $n = 2$: numerador $(2-1)(1-0) = 1$, denominador $1\cdot2\cdot2\cdot3 = 12$: $\det H_2 = \frac1{12}$. Para $n = 3$: numerador $\bigl[(1)(2)(1)\bigr]^2 = 4$, denominador $(1\cdot2\cdot3) (2\cdot3\cdot4)(3\cdot4\cdot5) = 6\cdot24\cdot60 =
8640$: $\det H_3 = \frac{4}{8640} = \frac1{2160}$. Inversa para $n = 2$:

$$
H_2^{-1} = 12\begin{pmatrix} \frac13 & -\frac12\\[2pt]
-\frac12 & 1\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 4 & -6\\ -6 & 12 \end{pmatrix},
$$

todas enteras (fenómeno cierto para todo $n$).

**14.** La matriz del sistema es la de Cauchy, invertible por la pregunta 13 cuando los $b_j$ (y los $a_i$) son distintos dos a dos: solución única. Interpretación: una función racional $R = \sum_j \frac{c_j}{X + b_j}$ con [polos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/9-fracciones-racionales#def-b1-fractions-field) simples queda determinada por $n$ de sus valores $R(a_1), \dots, R(a_n)$ y, recíprocamente, cualquier hoja de datos así se realiza exactamente una vez — la contrapartida por muestreo del teorema de existencia y unicidad de las fracciones simples ([Teorema 9.5](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/9-fracciones-racionales#thm-b1-fractions-complex)).

**15.** Vieta para $X^3 + pX + q$: $\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = 0$, $\sum_{i<j}\lambda_i\lambda_j = p$, luego $p_1 = 0$ y $p_2 = p_1^2 - 2p = -2p$. Cada raíz cumple $\lambda^3 = -p\lambda - q$; sumando: $p_3 = -p\,p_1 - 3q = -3q$. Y multiplicando por $\lambda$ y sumando: $p_4 = -p\,p_2 - q\,p_1 = 2p^2$.

**16.** Por la pregunta 5 (la identidad $S = W^{\mathsf T}W$ y $\det S = V^2$ valen sobre $\C$),

$$
V^2 = \begin{vmatrix}
3 & 0 & -2p\\
0 & -2p & -3q\\
-2p & -3q & 2p^2
\end{vmatrix}
= 3\bigl(-4p^3 - 9q^2\bigr) + (-2p)\bigl(0 - 4p^2\bigr)
= -4p^3 - 27q^2 ,
$$

desarrollando por la primera fila.

**17.** Una raíz múltiple significa dos $\lambda_i$ iguales, es decir, $V = 0$, es decir, $\operatorname{disc} = -4p^3 - 27q^2 = 0$. Para $X^3 - 3X + 2$: $4(-3)^3 + 27\cdot4 = -108 + 108 = 0$, acorde con la raíz doble $1$ de $(X-1)^2(X+2)$.

**18.** Las raíces no reales de una cúbica real vienen en parejas [conjugadas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/3-numeros-complejos#def-b1-complex-field), así que solo se dan dos casos cuando $\operatorname{disc} \neq 0$. Tres raíces reales distintas: $V$ es real y no nulo, luego $\operatorname{disc} = V^2 > 0$. Una raíz real $\lambda_1$ y $\lambda_3 = \conj{\lambda_2} \notin \R$: entonces

$$
(\lambda_2 - \lambda_1)(\lambda_3 - \lambda_1) =
\abs{\lambda_2 - \lambda_1}^2 > 0,
\qquad
\lambda_3 - \lambda_2 = -2\iu\,\operatorname{Im}\lambda_2 \neq 0,
$$

luego $V$ es un número imaginario puro no nulo y $\operatorname{disc} = V^2 < 0$. Los dos signos caracterizan los dos casos.

**19.** Tómese $b_i = a_i$ en el doble alternante: el numerador es $\prod_{i<j}(a_j - a_i)^2 > 0$ y el denominador, $\prod_{i,j}(a_i + a_j) > 0$ (todas las entradas positivas): el determinante es positivo. (En lenguaje posterior: el núcleo $\frac1{x+y}$ es definido positivo.)

**20.** Por las preguntas 2–3, el determinante vale $V(2,4,7)/(0!\,1!\,2!) = \frac{(4-2)(7-2)(7-4)}{2} =
\frac{30}{2} = 15$. Directamente, la matriz es

$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1\\
1 & 4 & 6\\
1 & 7 & 21
\end{pmatrix},
\qquad
\det = (84 - 42) - 2(21 - 6) + (7 - 4) = 42 - 30 + 3 = 15 .
$$

**21.** Supóngase $\sum_i c_i\,(\lambda_i^{\,k})_{k} = 0$ como sucesión. Leyendo $k = 0, 1, \dots, n-1$ se obtiene $W^{\mathsf T}c = 0$ con $W = (\lambda_i^{\,j-1})$ invertible ($\det = V \neq 0$, con los $\lambda_i$ distintos): $c = 0$. Las sucesiones geométricas son [libres](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free).

**22.** $a = b = (1, 2, 3)$: numerador $\bigl[(2-1)(3-1) (3-2)\bigr]^2 = 4$; denominador $\prod_{i,j}(i + j) = (2\cdot3\cdot4)(3\cdot4\cdot5)(4\cdot5\cdot6)
= 24\cdot60\cdot120 = 172800$. Por tanto, $\det\bigl(\frac1{i+j}\bigr) = \frac{4}{172800} = \frac1{43200}$.

**23.** Si $x_i = x_j$, el intercambio de las dos variables deja fijo el punto, pero tiene que cambiar el signo de $F$: $F = -F$, luego $F = 0$ ahí. [Divisibilidad](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/6-aritmetica-de-los-enteros#def-b1-arith-divides): véase $F$ como [polinomio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) en la única variable $x_n$ con coeficientes en las demás; se anula en los $n - 1$ «valores» $x_1, \dots, x_{n-1}$, de modo que factorizar repetidamente ([Teorema 8.7](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#thm-b1-poly-factor)) da $F = \prod_{i<n}(x_n - x_i)\cdot G$ con $G$ [polinomio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def). El prefactor es invariante por los intercambios de dos índices $i, j < n$, así que $G$ es alternado en $x_1, \dots, x_{n-1}$, y la inducción remata: $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ [divide](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/6-aritmetica-de-los-enteros#def-b1-arith-divides) a $F$.

**24.** $D = \det(x_i^{\,j-1})$ es un [polinomio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) en los $x_i$; intercambiar dos variables intercambia dos filas, luego $D$ es alternado y, por la pregunta 23, $D = c\,\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ para cierto [polinomio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) $c$. Grados totales: $D$ tiene grado $\leq 0 + 1 + \dots + (n-1) = \binom n2$ y el producto tiene grado exactamente $\binom n2$: $c$ es una constante. El monomio $x_2\,x_3^2\cdots x_n^{\,n-1}$ tiene coeficiente $1$ en $D$ (el producto diagonal) y $1$ en el producto (elíjase en cada factor la variable de índice mayor): $c = 1$, y la fórmula de Vandermonde cae sin ninguna inducción.

**25.** (i) La alternancia —el axioma «dos columnas iguales matan el determinante»— es el motor: produjo todos los factores $(x_j - x_i)$, $(a_j - a_i)$, $(b_j - b_i)$ del problema. (ii) La identidad $\det S = V^2$ sustituye las raíces complejas individuales, inalcanzables, por sus sumas de potencias, que son [polinomios](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) reales en los coeficientes, de modo que la distinción pasa a ser el signo de un número real calculable. (iii) El [determinante de Vandermonde](#ex-b1-det-vandermonde) gobierna la interpolación polinómica, y el [determinante de Cauchy](#pb-b1-det-1) gobierna las fracciones simples y las funciones racionales muestreadas (con la [matriz de Hilbert](#pb-b1-det-1) como su caso particular más famoso). (iv) Todo [polinomio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) alternado es divisible por $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$, y un recuento de grados fija después un [polinomio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) así salvo una constante — y por eso este producto no deja de reaparecer allí donde un determinante se anula sobre las coincidencias. El teorema de la parte III es el *doble alternante de Cauchy*.