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title: "Funciones de dos variables"
book: "Matemáticas universitarias — Grado 1"
subject: math
language: es
chapter: 25
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/25-funciones-de-dos-variables
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# Capítulo 25 — Funciones de dos variables

El año termina con un primer paseo por la dimensión superior: las funciones $f(x, y)$ de dos variables reales. Todo se generaliza — límites, [continuidad](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#def-b1-continuity-continuous), [derivadas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/14-derivacion#def-b1-derivative-def), extremos — pero cada noción gana un matiz: a un límite se puede tender por todas las direcciones a la vez, las [derivadas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/14-derivacion#def-b1-derivative-def) se desdoblan en parciales y el [gradiente](#def-b1-multivar-partial) señala el camino cuesta arriba. La teoría completa (diferenciales, $\R^n$ general, subvariedades) pertenece al segundo año; aquí fijamos el vocabulario y los primeros teoremas honestos.

## 25.1 El plano $\R^2$; continuidad

**Definición 25.1.**

En $\R^2$ se usa la norma euclídea $\norm{(x,y)} = \sqrt{x^2 + y^2}$ ([Capítulo 23](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/23-espacios-euclideos#ch-b1-euclid)). Las bolas [abiertas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/12-topologia-de-la-recta-real#def-b1-topology-open), los [entornos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/12-topologia-de-la-recta-real#def-b1-topology-open) y los *subconjuntos [abiertos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/12-topologia-de-la-recta-real#def-b1-topology-open)* de $\R^2$ se definen exactamente como en [Capítulo 12](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/12-topologia-de-la-recta-real#ch-b1-topology), con bolas en lugar de [intervalos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals). Una función $f \colon U \to \R$ ($U \subseteq \R^2$ [abierto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/12-topologia-de-la-recta-real#def-b1-topology-open)) es *[continua](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#def-b1-continuity-continuous) en* $a \in U$ cuando

$$
\forall\varepsilon > 0,\ \exists\delta > 0, \quad
\norm{X - a} \leq \delta \implies \abs{f(X) - f(a)} \leq
\varepsilon,
$$

con la misma caracterización secuencial que en una variable. Sumas, productos, cocientes y composiciones con funciones [continuas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#def-b1-continuity-continuous) de una variable preservan la [continuidad](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#def-b1-continuity-continuous); las aplicaciones [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#prop-b1-vspaces-coordinates) son [continuas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#def-b1-continuity-continuous), y por tanto también lo son los [polinomios](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) en $(x,y)$.

**Ejemplo 25.2 (La cota polar, la manera limpia de probar un límite).**

Demuéstrese que $f(x, y) = \dfrac{x^2y^2}{x^2 + y^2}$ (con $f(0,0) =
0$) es [continua](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#def-b1-continuity-continuous) en el origen. En [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#prop-b1-vspaces-coordinates) polares $x =
\rho\cos\theta$, $y = \rho\sin\theta$:

$$
\abs{f} = \frac{\rho^4\cos^2\theta\sin^2\theta}{\rho^2}
= \rho^2\,(\cos\theta\sin\theta)^2 \leq \frac{\rho^2}{4}
\xrightarrow[\rho \to 0]{} 0 ,
$$

una cota *independiente de $\theta$*: sea cual sea la dirección de aproximación, los valores quedan atrapados hacia $0$. Esa uniformidad en $\theta$ es toda la cuestión — una cota como $\abs g =
\abs{\cos\theta\sin\theta}$ (sin $\rho$ alguno) no prueba nada, y de hecho ese $g$ es la trampa radial discontinua del ejemplo siguiente.

**Ejemplo 25.3 (La trampa radial).**

Sea $f(x, y) = \dfrac{xy}{x^2 + y^2}$ para $(x,y) \neq (0,0)$, $f(0,
0) = 0$. A lo largo de cada eje, $f = 0 \to 0$; pero a lo largo de la diagonal $y
= x$, $f(x, x) = \frac12 \not\to 0$. *No hay límite en el origen*: aproximarse por todas las rectas, e incluso hallar el mismo límite por cada una, no basta (aquí los límites por rectas discrepan; hay ejemplos peores que coinciden por todas las rectas y fallan por una parábola, [Ejercicio 25.3](#exo-b1-multivar-3)). La [continuidad](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#def-b1-continuity-continuous) en cada variable por separado no implica la [continuidad](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#def-b1-continuity-continuous).

## 25.2 Derivadas parciales

**Definición 25.4.**

Las *derivadas parciales* de $f$ en $(a, b)$ son las [derivadas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/14-derivacion#def-b1-derivative-def) de una variable a lo largo de los ejes:

$$
\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)
= \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h, b) - f(a,b)}{h},
\qquad
\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)
= \lim_{k \to 0} \frac{f(a, b + k) - f(a,b)}{k}.
$$

$f$ es de clase $C^1$ en $U$ cuando ambas existen y son [continuas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#def-b1-continuity-continuous) en $U$. El *gradiente* es $\nabla f(a,b) =
\bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\, \frac{\partial f}{\partial
y}\bigr)(a,b)$.

**Teorema 25.5 (C1C^1C1 implica un plano tangente).**

Sea $f$ de clase $C^1$ en $U$ y sea $(a,b) \in U$. Entonces, cuando $(h, k) \to
(0,0)$:

$$
f(a + h, b + k) = f(a, b)
+ h\,\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)
+ k\,\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)
+ o\bigl(\norm{(h,k)}\bigr) .
$$

En particular $f$ es [continua](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#def-b1-continuity-continuous), y la gráfica $z = f(x,y)$ tiene en cada punto el plano tangente que se lee en la fórmula.

**Ejemplo 25.6 (La aproximación lineal en acción).**

Estímese $f(1.02,\ 0.99)$ para $f(x, y) = x^3y^2$. En $(1, 1)$: $f = 1$, $\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2y^2 = 3$, $\frac{\partial f}{\partial y} = 2x^3y = 2$, luego [Teorema 25.5](#thm-b1-multivar-c1) da

$$
f(1.02,\ 0.99) \approx 1 + 3\,(0.02) + 2\,(-0.01) = 1.04 ,
$$

frente al valor verdadero $1.02^3 \times 0.99^2 = 1.04006\dots$ — el error es de segundo orden en los incrementos, como promete el $o(\norm{(h,k)})$. El plano tangente a la gráfica en $(1, 1, 1)$ es $z = 1 + 3(x - 1) + 2(y - 1)$, la ecuación implícita en la estimación.

**Demostración.** Se mueve una coordenada cada vez:

$$
f(a+h, b+k) - f(a,b)
= \bigl[f(a+h, b+k) - f(a, b+k)\bigr] + \bigl[f(a, b+k) -
f(a,b)\bigr].
$$

Por el teorema del valor medio en una variable ([Teorema 14.9](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/14-derivacion#thm-b1-derivative-mvt)), el primer corchete vale $h\,
\frac{\partial f}{\partial x}(a + \theta h,\, b + k)$ para cierto $\theta \in \intoo{0}{1}$, y el segundo $k\,\frac{\partial
f}{\partial y}(a,\, b + \theta' k)$. La [continuidad](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#def-b1-continuity-continuous) de las parciales en $(a,b)$ permite escribir cada uno como (valor en $(a,b)$) $+$ (error $\to 0$); el error total es $h\,\varepsilon_1 +
k\,\varepsilon_2 = o(\norm{(h,k)})$ ya que $\abs h, \abs k \leq
\norm{(h,k)}$. ∎

**Teorema 25.7 (Regla de la cadena).**

Sea $f$ de clase $C^1$ en $U$ y sea $t \mapsto (x(t), y(t))$ de clase $C^1$ de un [intervalo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals) en $U$. Entonces $g(t) = f\bigl(x(t), y(t)\bigr)$ es $C^1$, con

$$
g'(t) = x'(t)\,\frac{\partial f}{\partial x}\bigl(x(t),y(t)\bigr)
+ y'(t)\,\frac{\partial f}{\partial y}\bigl(x(t),y(t)\bigr)
= \bigl\langle \nabla f,\ (x', y')\bigr\rangle .
$$

**Demostración.** Aplíquese [Teorema 25.5](#thm-b1-multivar-c1) en $(x(t), y(t))$ con $(h, k) =
(x(t+s) - x(t),\, y(t+s) - y(t))$: cuando $s \to 0$, la [derivabilidad](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/14-derivacion#def-b1-derivative-def) en una variable da $h = s\,x'(t) + o(s)$ y $k = s\,y'(t)
+ o(s)$, luego $\norm{(h, k)} = O(s)$ y

$$
g(t+s) - g(t)
= h\,\frac{\partial f}{\partial x} + k\,\frac{\partial
f}{\partial y} + o\bigl(\norm{(h,k)}\bigr)
= s\,\Bigl(x'\,\frac{\partial f}{\partial x} +
y'\,\frac{\partial f}{\partial y}\Bigr) + o(s) ,
$$

donde el error final absorbe tanto los $o(s)$ de $h$ y $k$ (multiplicados por los valores fijos de las parciales) como el $o(O(s))$ de la estimación del plano tangente. Divídase por $s$ y hágase $s \to 0$. La [continuidad](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#def-b1-continuity-continuous) de $g'$ se sigue de la de todos los ingredientes. ∎

**Ejemplo 25.8 (La regla de la cadena, comprobada por los dos caminos).**

Sean $f(x, y) = x^2 y$ y $g(t) = f(t, t^2)$. Directamente: $g(t) =
t^2\cdot t^2 = t^4$, luego $g'(t) = 4t^3$. Por la regla de la cadena: $\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy$ y $\frac{\partial
f}{\partial y} = x^2$, evaluadas a lo largo de la curva $(t, t^2)$:

$$
g'(t) = 1\cdot 2t\cdot t^2 + 2t\cdot t^2 = 2t^3 + 2t^3 = 4t^3 .
$$

Los dos cálculos coinciden, y el desglose es significativo: $2t^3$ del crecimiento proviene de moverse *hacia la derecha* por la pendiente en $x$, y $2t^3$ de moverse *hacia arriba* por la pendiente en $y$. En las curvas donde no existe forma [cerrada](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/12-topologia-de-la-recta-real#def-b1-topology-closed) para $g$, solo sobrevive el segundo cálculo — ese es el sentido del teorema.

**Observación 25.9 (Lectura del gradiente).**

A lo largo de una dirección unitaria $u$, la regla de la cadena aplicada a $t \mapsto f(a + tu)$ da la *[derivada](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/14-derivacion#def-b1-derivative-def) direccional* $\langle \nabla f(a),
u\rangle$: máxima cuando $u$ apunta en el sentido de $\nabla f(a)$ (por Cauchy–Schwarz, [Teorema 23.4](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/23-espacios-euclideos#thm-b1-euclid-cs)). El [gradiente](#def-b1-multivar-partial) es la dirección de máxima pendiente de subida, y es [ortogonal](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/23-espacios-euclideos#def-b1-euclid-orthogonal) a las curvas de nivel $\{f = c\}$ (derívese $f$ a lo largo de una curva trazada en un [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) de nivel: la regla de la cadena da $\langle\nabla f,\,
\text{tangente}\rangle = 0$).

**Ejemplo 25.10 (Curvas de nivel y gradientes, sobre una sola función).**

Tómese $f(x, y) = x^2 - y^2$. Sus [conjuntos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) de nivel: $\{f = c\}$ es una hipérbola que se abre a izquierda y derecha si $c > 0$, hacia arriba y abajo si $c < 0$, y el par de rectas cruzadas $y = \pm x$ si $c = 0$ — el mapa de curvas de nivel de un puerto de montaña, con el [punto de silla](#met-b1-multivar-monge) en el origen donde se cruzan las dos rectas de nivel cero. [Gradiente](#def-b1-multivar-partial): $\nabla
f = (2x, -2y)$. En el punto $(2, 1)$ (sobre el nivel $c = 3$): $\nabla f = (4, -2)$, mientras que el vector tangente de la curva de nivel, parametrizada cerca de ese punto por $\bigl(t,
\sqrt{t^2 - 3}\bigr)$, es $\bigl(1, \frac{t}{\sqrt{t^2 -
3}}\bigr) = (1, 2)$ en $t = 2$ — y en efecto

$$
\langle (4, -2),\ (1, 2)\rangle = 4 - 4 = 0 :
$$

[gradiente](#def-b1-multivar-partial) perpendicular a la curva de nivel, apuntando hacia valores mayores de $f$ (aquí: alejándose del eje $y$). Dos lecturas más: el [gradiente](#def-b1-multivar-partial) se anula exactamente en el [punto de silla](#met-b1-multivar-monge), donde el mapa de niveles se estrangula; y la *recta* tangente a la curva de nivel en $(2,1)$ es $4(x - 2) - 2(y - 1) = 0$, es decir, $2x -
y = 3$ — la ecuación «$\langle \nabla f,\ M - M_0\rangle =
0$» que generaliza la tangente a la elipse de [Ejercicio 24.11](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/24-curvas-planas#exo-b1-curves-11).

**Teorema 25.11 (Schwarz).**

Si $f$ es de clase $C^2$ (las parciales de las parciales existen y son [continuas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#def-b1-continuity-continuous)), entonces

$$
\frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y}
= \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x} .
$$

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

## 25.3 Extremos locales

**Método 25.12 (Estudio de extremos, organizado).**

1. *Resuélvase $\nabla f = 0$ por completo.* Factorícese cada parcial siempre que sea posible (los productos de factores [lineales](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/20-aplicaciones-lineales#def-b1-linmaps-def) descomponen el sistema en casos transparentes, como en [Ejemplo 25.16](#ex-b1-multivar-fourpoints) más abajo); un caso olvidado es un [punto crítico](#thm-b1-multivar-critical) olvidado.
2. *Clasifíquese cada punto* con los datos de Monge $r, s,  t$ — recalculados *en cada punto* , nunca una sola vez para todos.
3. *Si $rt - s^2 = 0$* , examínese $f$ directamente a lo largo de curvas bien elegidas que pasen por el punto (primero rectas, luego parábolas), buscando o bien dos signos (no hay extremo) o bien un signo fijo con un argumento que cubra todas las direcciones.
4. *Retrocédase para ver el cuadro global* : revísese el comportamiento en el infinito (un mínimo local puede no ser global) y, si el dominio no es [abierto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/12-topologia-de-la-recta-real#def-b1-topology-open) , trátese su [frontera](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/12-topologia-de-la-recta-real#def-b1-topology-closure) aparte ( [Ejercicio 25.12](#exo-b1-multivar-12) ) — el teorema del [punto crítico](#thm-b1-multivar-critical) solo ve puntos [interiores](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/12-topologia-de-la-recta-real#def-b1-topology-closure) .

**Teorema 25.13 (Puntos críticos).**

Si $f$ (de clase $C^1$ en el [abierto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/12-topologia-de-la-recta-real#def-b1-topology-open) $U$) tiene un extremo local en $(a,b)
\in U$, entonces $\nabla f(a,b) = (0,0)$: el punto es *crítico*.

**Demostración.** Las funciones de una variable $x \mapsto f(x, b)$ e $y \mapsto f(a,
y)$ tienen extremos locales [interiores](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/12-topologia-de-la-recta-real#def-b1-topology-closure) en $a$ y en $b$ respectivamente: [Proposición 14.7](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/14-derivacion#prop-b1-derivative-fermat) anula ambas parciales. ∎

**Método 25.14 (Criterio de segundo orden (notación de Monge)).**

En un [punto crítico](#thm-b1-multivar-critical) de una función $C^2$, póngase

$$
r = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2},
\qquad
s = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y},
\qquad
t = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}
\qquad (\text{valores en el punto}).
$$

- Si $rt - s^2 > 0$ : extremo local — mínimo si $r > 0$ , máximo si $r < 0$ ;
- si $rt - s^2 < 0$ : no hay extremo (un *punto de silla* );
- si $rt - s^2 = 0$ : el criterio calla; examínese directamente.

(La justificación — un desarrollo de Taylor–Young de orden $2$ y el estudio del signo de la forma cuadrática $r h^2 + 2shk + tk^2$ — se lleva a cabo en el segundo año; aquí el criterio se usa como herramienta de trabajo.)

**Ejemplo 25.15.**

$f(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy$. [Puntos críticos](#thm-b1-multivar-critical): $\nabla f = (3x^2 -
3y,\; 3y^2 - 3x) = 0$ da $y = x^2$ y $x = y^2$, luego $x = x^4$: $x \in \{0, 1\}$: los puntos $(0,0)$ y $(1,1)$.

[Derivadas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/14-derivacion#def-b1-derivative-def) segundas: $r = 6x$, $s = -3$, $t = 6y$. En $(0,0)$: $rt -
s^2 = -9 < 0$: [punto de silla](#met-b1-multivar-monge). En $(1,1)$: $rt - s^2 = 36 - 9 > 0$, $r = 6
> 0$: mínimo local, $f(1,1) = -1$. (No global: $f(x, 0) = x^3 \to
-\infty$.)

**Ejemplo 25.16 (Un estudio de cuatro puntos, completo).**

$f(x, y) = xy\,(3 - x - y) = 3xy - x^2y - xy^2$. [Gradiente](#def-b1-multivar-partial):

$$
\frac{\partial f}{\partial x} = y\,(3 - 2x - y),
\qquad
\frac{\partial f}{\partial y} = x\,(3 - x - 2y).
$$

[Puntos críticos](#thm-b1-multivar-critical): si $y = 0$, la segunda ecuación da $x \in
\{0, 3\}$; si $x = 0$, la primera da $y \in \{0, 3\}$; si $xy
\neq 0$, se resuelve $2x + y = 3$, $x + 2y = 3$: $x = y = 1$. Cuatro puntos: $(0,0)$, $(3,0)$, $(0,3)$, $(1,1)$. [Derivadas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/14-derivacion#def-b1-derivative-def) segundas: $r = -2y$, $s = 3 - 2x - 2y$, $t = -2x$.

- $(1,1)$ : $r = -2$ , $s = -1$ , $t = -2$ : $rt - s^2 = 3 >  0$ , $r < 0$ : máximo local, $f(1,1) = 1$ .
- $(0,0)$ : $r = t = 0$ , $s = 3$ : $rt - s^2 = -9 < 0$ : [punto de silla](#met-b1-multivar-monge) ; lo mismo en $(3, 0)$ ( $s = -3$ ) y en $(0, 3)$ : tres [puntos de silla](#met-b1-multivar-monge) .

El máximo es solo local: $f(-T, -T) = T^2(3 + 2T) \to
+\infty$. Comprobación de simetría: $f(x, y) = f(y, x)$, y en efecto el [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) crítico y la clasificación son simétricos en $x
\leftrightarrow y$. Interpretación: entre los rectángulos con holgura $x, y \geq 0$, $x + y \leq 3$, el producto $xy(3 - x - y)$ de las tres «partes» de $3$ es máximo cuando las partes son iguales — una sombra en dos variables de la desigualdad entre medias.

![Las dos curvas f = 0 para f = x3 + y3 - 3xy se cortan en los puntos críticos (0,0) (punto de silla) y (1,1) (mínimo local).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-multivar/fig-db8d026fc457.svg)

*Las dos curvas $\nabla f = 0$ para $f = x^3 + y^3 - 3xy$ se cortan en los [puntos críticos](#thm-b1-multivar-critical) $(0,0)$ ([punto de silla](#met-b1-multivar-monge)) y $(1,1)$ (mínimo local).*

**Observación 25.17 (Errores frecuentes).**

*Las [derivadas parciales](#def-b1-multivar-partial) pueden existir en un punto de discontinuidad*: la trampa radial $g(x,y) = \frac{xy}{x^2+y^2}$ de [Ejemplo 25.3](#ex-b1-multivar-trap) tiene $\frac{\partial g}{\partial
x}(0,0) = \frac{\partial g}{\partial y}(0,0) = 0$ (ambas restricciones a los ejes son idénticamente nulas), y sin embargo $g$ no tiene límite en el origen — las parciales sondean solo dos direcciones y la [continuidad](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#def-b1-continuity-continuous) las necesita todas; solo la hipótesis $C^1$ restablece el orden ([Teorema 25.5](#thm-b1-multivar-c1)). *Los límites por rectas nunca bastan*: la función del [Ejercicio 25.3](#exo-b1-multivar-3) tiene límite $0$ por toda recta y aun así no tiene límite — pruébense siempre las parábolas (o cotas polares válidas uniformemente en $\theta$). *Ser crítico es necesario, no suficiente*: los [puntos de silla](#met-b1-multivar-monge) abundan (tres de los cuatro puntos de [Ejemplo 25.16](#ex-b1-multivar-fourpoints)); y el teorema vale solo en *[abiertos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/12-topologia-de-la-recta-real#def-b1-topology-open)*: en [conjuntos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) como un disco [cerrado](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/12-topologia-de-la-recta-real#def-b1-topology-closed), los extremos pueden estar en la [frontera](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/12-topologia-de-la-recta-real#def-b1-topology-closure) con [gradiente](#def-b1-multivar-partial) no nulo ([Ejercicio 25.12](#exo-b1-multivar-12)). *El caso mudo $rt - s^2 = 0$ es genuinamente mudo*: $x^4
+ y^4$ (mínimo) y $x^3 + y^3$ (ninguno de los dos) tienen ambos $r = s = t
= 0$ en el origen; solo un estudio directo del signo decide ([Ejercicio 25.6](#exo-b1-multivar-6), función $h$). *El [gradiente](#def-b1-multivar-partial) es [ortogonal](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/23-espacios-euclideos#def-b1-euclid-orthogonal) a las curvas de nivel, no tangente a ellas*: para seguir una curva de nivel hay que moverse perpendicularmente a $\nabla
f$; para subir lo más deprisa posible, en su dirección — mezclar ambas cosas invierte la geometría de todo mapa de niveles.

**Observación 25.18 (Adónde llevan las dos variables).**

Este capítulo es una puerta. El [gradiente](#def-b1-multivar-partial) y la regla de la cadena se extienden literalmente a $n$ variables en el volumen del segundo año, donde el $o(\norm{(h,k)})$ de [Teorema 25.5](#thm-b1-multivar-c1) se convierte en la *diferencial* y el criterio de Monge se demuestra por completo mediante la fórmula de Taylor de orden dos y las formas cuadráticas. El caso especial que puede resolverse *este* año — las funciones cuadráticas, para las que el desarrollo de segundo orden es exacto — es el objeto del problema de fin de semana, y resulta ser el caso que gobierna el ajuste de datos en todo el mundo: la regresión por [mínimos cuadrados](#pb-b1-multivar-1). Los extremos con restricciones ([Ejercicio 25.5](#exo-b1-multivar-5) fue un anticipo) se convierten en los multiplicadores de Lagrange del segundo año; las funciones armónicas ([Ejercicio 25.7](#exo-b1-multivar-7)) reaparecen en el análisis complejo del volumen del tercer año.

**Observación 25.19 (Perspectivas dentro del Libro 3: el año, cerrado).**

En este capítulo se dan la mano las dos mitades del volumen. La mitad de análisis aportó sus herramientas una [derivada](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/14-derivacion#def-b1-derivative-def) cada vez: el teorema del valor medio impulsa [Teorema 25.5](#thm-b1-multivar-c1), los desarrollos de Taylor impulsan los criterios de extremos, y los $\varepsilon$ de [Capítulo 12](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/12-topologia-de-la-recta-real#ch-b1-topology) han vuelto con bolas en lugar de [intervalos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/10-numeros-reales#prop-b1-reals-intervals). La mitad de álgebra aportó la geometría: el [gradiente](#def-b1-multivar-partial) se lee a través del [producto escalar](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/23-espacios-euclideos#def-b1-euclid-def) de [Capítulo 23](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/23-espacios-euclideos#ch-b1-euclid) (Cauchy–Schwarz lo convierte en la dirección de máxima pendiente), los datos de Monge $(r, s, t)$ forman una matriz simétrica de [Capítulo 21](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/21-matrices#ch-b1-matrices) con el criterio del determinante de [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/22-determinantes-y-sistemas-lineales#ch-b1-det), y el problema de fin de semana ejecuta una [proyección ortogonal](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/23-espacios-euclideos#thm-b1-euclid-projection) sobre vectores de datos. Incluso las curvas de [Capítulo 24](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/24-curvas-planas#ch-b1-curves) vuelven como [conjuntos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) de nivel. Quien sea capaz de reconstruir por qué funciona cada uno de estos cinco relevos habrá, en efecto, repasado el año entero — que es el verdadero propósito de este capítulo final.

![Los mínimos cuadrados en una imagen: cuatro puntos de datos, la recta de regresión y = 1.4x - 0.1, y los residuos verticales (a trazos) cuyos cuadrados minimiza la recta — en total 0.2, el mínimo alcanzable. El problema de fin de semana calcula esta recta, demuestra que es el único minimizador e identifica toda la construcción con una proyección ortogonal en ℝ4.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-multivar/fig-c07cb4f9038d.svg)

*Los [mínimos cuadrados](#pb-b1-multivar-1) en una imagen: cuatro puntos de datos, la [recta de regresión](#pb-b1-multivar-1) $y = 1.4x - 0.1$, y los residuos verticales (a trazos) cuyos cuadrados minimiza la recta — en total $0.2$, el mínimo alcanzable. El problema de fin de semana calcula esta recta, demuestra que es el único minimizador e identifica toda la construcción con una [proyección ortogonal](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/23-espacios-euclideos#thm-b1-euclid-projection) en $\R^4$.*

## 25.4 Ejercicios

**Ejercicio 25.1 ★.**

Calcúlense las [derivadas parciales](#def-b1-multivar-partial): $f(x,y) = x^2 y + \eu^{xy}$; $\;g(x,y) = \ln(x^2 + y^2)$ (en $\R^2\setminus\{0\}$); $\;h(x,y) = \arctan\frac yx$ (en $x > 0$).

**Solución de Ejercicio 25.1.**

$\dfrac{\partial f}{\partial x} = 2xy + y\,\eu^{xy}$, $\dfrac{\partial f}{\partial y} = x^2 + x\,\eu^{xy}$.

$\dfrac{\partial g}{\partial x} = \dfrac{2x}{x^2+y^2}$, $\dfrac{\partial g}{\partial y} = \dfrac{2y}{x^2+y^2}$.

$\dfrac{\partial h}{\partial x} = \dfrac{-y/x^2}{1 + y^2/x^2} =
\dfrac{-y}{x^2+y^2}$, $\dfrac{\partial h}{\partial y} = \dfrac{x}{x^2+y^2}$.

**Ejercicio 25.2 ★.**

Estúdiese la [continuidad](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#def-b1-continuity-continuous) en $(0,0)$ (con valor $0$ allí) de:

$$
f(x,y) = \frac{x^2 y}{x^2 + y^2},
\qquad
g(x,y) = \frac{xy}{x^2 + y^2},
\qquad
h(x,y) = \frac{x^3 + y^3}{x^2 + y^2}.
$$

*(Las [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#prop-b1-vspaces-coordinates) polares $x = \rho\cos\theta$, $y = \rho\sin\theta$ ayudan: acótese por una función solo de $\rho$ cuando sea posible.)*

**Solución de Ejercicio 25.2.**

En [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#prop-b1-vspaces-coordinates) polares ($\rho \to 0$):

$\abs{f} = \dfrac{\rho^3\abs{\cos^2\theta\sin\theta}}{\rho^2} \leq
\rho \to 0$: [continua](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#def-b1-continuity-continuous).

$g = \cos\theta\sin\theta$: independiente de $\rho$, y toma valores distintos a lo largo de rayos distintos (cf. [Ejemplo 25.3](#ex-b1-multivar-trap)): no hay límite, no es [continua](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#def-b1-continuity-continuous).

$\abs h \leq \dfrac{\rho^3(\abs{\cos^3\theta} +
\abs{\sin^3\theta})}{\rho^2} \leq 2\rho \to 0$: [continua](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#def-b1-continuity-continuous).

**Ejercicio 25.3 ★★.**

Sea $f(x,y) = \dfrac{x^2 y}{x^4 + y^2}$ ($f(0,0) = 0$). Demuéstrese que $f$ tiene límite $0$ en el origen *a lo largo de toda recta*, pero que $f\bigl(x, x^2\bigr) = \frac12$: $f$ no es [continua](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#def-b1-continuity-continuous) en $(0,0)$.

**Solución de Ejercicio 25.3.**

A lo largo de $y = mx$: $f(x, mx) = \dfrac{m x^3}{x^4 + m^2 x^2} =
\dfrac{mx}{x^2 + m^2} \to 0$ (para $m \neq 0$; a lo largo de $y = 0$ y del eje $y$, $f = 0$). Así que todo límite por rectas vale $0$. Pero sobre la parábola $y = x^2$:

$$
f(x, x^2) = \frac{x^4}{x^4 + x^4} = \frac12 :
$$

la sucesión $\bigl(\frac1n, \frac{1}{n^2}\bigr) \to (0,0)$ cumple $f \to \frac12 \neq 0$. No es [continua](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#def-b1-continuity-continuous): las rectas no bastan para probar límites en dos variables.

**Ejercicio 25.4 ★.**

Verifíquese a mano el teorema de Schwarz en $f(x, y) = x^3 y^2 + \sin(xy)$.

**Solución de Ejercicio 25.4.**

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2y^2 + y\cos(xy)$; entonces

$$
\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}
= 6x^2 y + \cos(xy) - xy\sin(xy) .
$$

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2x^3 y + x\cos(xy)$; entonces

$$
\frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y}
= 6x^2 y + \cos(xy) - xy\sin(xy) :
$$

iguales, como promete Schwarz.

**Ejercicio 25.5 ★★.**

Sea $f$ de clase $C^1$ en $\R^2$ y sea $g(t) = f(\cos t, \sin t)$. Exprésese $g'(t)$ mediante la regla de la cadena. Dedúzcase que $f$ restringida a la circunferencia unidad alcanza sus extremos en los puntos donde $\nabla f$ es paralelo al vector radial.

**Solución de Ejercicio 25.5.**

Por [Teorema 25.7](#thm-b1-multivar-chain) con $(x, y) = (\cos t, \sin t)$:

$$
g'(t) = -\sin t\,\frac{\partial f}{\partial x}(\cos t, \sin t)
+ \cos t\,\frac{\partial f}{\partial y}(\cos t, \sin t)
= \bigl\langle \nabla f,\ (-\sin t, \cos t)\bigr\rangle .
$$

En un extremo de $g$, $g'(t) = 0$: $\nabla f$ es [ortogonal](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/23-espacios-euclideos#def-b1-euclid-orthogonal) al vector tangente $(-\sin t, \cos t)$ de la circunferencia, y por tanto paralelo al vector radial $(\cos t, \sin t)$ (en el plano, el [complemento ortogonal](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/23-espacios-euclideos#def-b1-euclid-orthogonal) de un vector unitario es la recta que este genera, tomada perpendicular). Es el caso más simple de un multiplicador de Lagrange.

**Ejercicio 25.6 ★★.**

Hállense y clasifíquense los [puntos críticos](#thm-b1-multivar-critical) de:

$$
f(x, y) = x^2 + xy + y^2 - 3x,
\qquad
g(x, y) = x^2 - y^2 + 4y,
\qquad
h(x, y) = x^4 + y^4 - 2(x - y)^2 .
$$

*(Para $h$, el criterio del determinante calla en el origen: examínense $h(x, x)$ y $h(x, -x)$.)*

**Solución de Ejercicio 25.6.**

$f$: $\nabla f = (2x + y - 3,\; x + 2y) = 0$: $y = -\frac x2$ y $2x - \frac x2 = 3$: $x = 2$, $y = -1$. Segundo orden: $r = 2$, $s =
1$, $t = 2$: $rt - s^2 = 3 > 0$, $r > 0$: mínimo local (de hecho global — es cuadrática) en $(2, -1)$, de valor $f(2,-1) = -3$.

$g$: $\nabla g = (2x,\; -2y + 4) = 0$: el punto $(0, 2)$; $r = 2$, $s
= 0$, $t = -2$: $rt - s^2 = -4 < 0$: [punto de silla](#met-b1-multivar-monge).

$h$: $\nabla h = \bigl(4x^3 - 4(x - y),\; 4y^3 + 4(x-y)\bigr) = 0$. Sumando: $x^3 + y^3 = 0$, luego $y = -x$; sustituyendo: $4x^3 - 8x = 0$: $x \in \{0, \pm\sqrt2\}$. [Puntos críticos](#thm-b1-multivar-critical): $(0,0)$, $(\sqrt2, -\sqrt2)$, $(-\sqrt2, \sqrt2)$. En $(\pm\sqrt2, \mp\sqrt2)$: $r = 12x^2 - 4 = 20$, $s = 4$, $t =
20$: $rt - s^2 > 0$, $r > 0$: mínimos locales (de valor $h = 4 + 4 - 16 =
-8$). En $(0,0)$: $r = t = -4$, $s = 4$: $rt - s^2 = 0$: el criterio calla. Examínese: $h(x, x) = 2x^4 > 0$ y $h(x, -x) = 2x^4 - 8x^2 < 0$ para $x \neq 0$ pequeño: ambos signos en todo [entorno](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/12-topologia-de-la-recta-real#def-b1-topology-open) — no hay extremo en el origen.

**Ejercicio 25.7 ★★.**

Una función $f$ es *armónica* cuando $\frac{\partial^2 f}{\partial
x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0$. Compruébese que $x^2 -
y^2$, $xy$, $\eu^x\cos y$ y $\ln(x^2 + y^2)$ (fuera del origen) son armónicas.

**Solución de Ejercicio 25.7.**

$x^2 - y^2$: parciales segundas $2$ y $-2$: suma $0$. $xy$: ambas parciales segundas puras se anulan. $\eu^x\cos y$: $\frac{\partial^2}{\partial
x^2} = \eu^x\cos y$, $\frac{\partial^2}{\partial y^2} =
-\eu^x\cos y$: suma $0$. $\ln(x^2+y^2)$: por [Ejercicio 25.1](#exo-b1-multivar-1),

$$
\frac{\partial^2}{\partial x^2}\ln(x^2+y^2)
= \frac{2(x^2+y^2) - 4x^2}{(x^2+y^2)^2}
= \frac{2(y^2 - x^2)}{(x^2+y^2)^2},
$$

y la versión en $y$ es su opuesta: suma $0$.

**Ejercicio 25.8 ★★★.**

Hállese el punto del plano $\{x + 2y - z = 4\} \subseteq \R^3$ más cercano al origen de dos maneras: por [proyección ortogonal](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/23-espacios-euclideos#thm-b1-euclid-projection) ([Capítulo 23](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/23-espacios-euclideos#ch-b1-euclid)) y minimizando la función de dos variables $f(x, y) = x^2 + y^2 + (x + 2y - 4)^2$ obtenida al eliminar $z$.

**Solución de Ejercicio 25.8.**

*[Proyección](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/20-aplicaciones-lineales#def-b1-linmaps-projection):* el plano $P$ tiene por normal $n = (1, 2, -1)$ y pasa por $A = (4, 0, 0)$. El punto más cercano al origen es $O$ proyectado: $p = O + \frac{\langle A - O, n\rangle}{\norm
n^2}\,n = \frac{4}{6}(1,2,-1) = \bigl(\frac23, \frac43,
-\frac23\bigr)$, a distancia $\frac{4}{\sqrt 6}$. (Fórmula: la distancia del origen al plano $\langle X, n \rangle = c$ es $\frac{\abs c}{\norm n}$ con $c = 4$.)

*Minimización:* $f(x,y) = x^2 + y^2 + (x + 2y - 4)^2$. Escribiendo $w = x + 2y - 4$ para el último factor:

$$
\nabla f = \bigl(2x + 2w,\; 2y + 4w\bigr) = 0
\iff x = -w \text{ y } y = -2w .
$$

Sustituyendo en la definición de $w$: $w = -w - 4w - 4$, luego $w =
-\frac23$, lo que da $x = \frac23$, $y = \frac43$ y $z = w =
-\frac23$. El mismo punto que por [proyección](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/20-aplicaciones-lineales#def-b1-linmaps-projection), a distancia $\sqrt{\frac49 + \frac{16}{9} + \frac49} = \frac{2\sqrt 6}{3} =
\frac{4}{\sqrt6}$; es un mínimo porque $f \to \infty$ en el infinito (una cuadrática definida positiva más términos [lineales](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/20-aplicaciones-lineales#def-b1-linmaps-def)).

**Ejercicio 25.9 ★★★.**

(El laplaciano en [coordenadas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#prop-b1-vspaces-coordinates) polares, primer contacto) Sea $f$ de clase $C^2$ en $\R^2 \setminus \{0\}$ y *radial*: $f(x, y) =
\varphi\bigl(\sqrt{x^2+y^2}\bigr)$ con $\varphi$ de clase $C^2$ en $\intoo{0}{+\infty}$. Demuéstrese que

$$
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial
y^2} = \varphi''(\rho) + \frac{\varphi'(\rho)}{\rho},
\qquad \rho = \sqrt{x^2 + y^2},
$$

y hállense todas las funciones armónicas radiales en el plano perforado.

**Solución de Ejercicio 25.9.**

Con $\rho = \sqrt{x^2+y^2}$: $\frac{\partial \rho}{\partial x} =
\frac{x}{\rho}$, luego

$$
\frac{\partial f}{\partial x} = \varphi'(\rho)\,\frac{x}{\rho},
\qquad
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}
= \varphi''(\rho)\,\frac{x^2}{\rho^2}
+ \varphi'(\rho)\,\Bigl(\frac{1}{\rho} -
\frac{x^2}{\rho^3}\Bigr),
$$

(reglas del cociente y de la cadena). Sumando la expresión simétrica en $y$: los términos en $\varphi''$ recogen $\frac{x^2 + y^2}{\rho^2} = 1$, y los términos en $\varphi'$ recogen $\frac{2}{\rho} - \frac{x^2 +
y^2}{\rho^3} = \frac{1}{\rho}$:

$$
\Delta f = \varphi'' + \frac{\varphi'}{\rho} .
$$

Armónicas radiales: se resuelve $\varphi'' + \frac{\varphi'}{\rho} = 0$: la ecuación de primer orden $u' + \frac u\rho = 0$ para $u = \varphi'$ da $u = \frac{c}{\rho}$ ([Teorema 5.2](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/5-ecuaciones-diferenciales-lineales#thm-b1-diffeq-homogeneous1)), y luego $\varphi = c\ln\rho + d$. Las funciones armónicas radiales son $c\,\ln\sqrt{x^2 + y^2} + d$ — el potencial logarítmico de [Ejercicio 25.7](#exo-b1-multivar-7) y las constantes, nada más.

**Ejercicio 25.10 ★★.**

Dese la ecuación del plano tangente a la gráfica $z = xy$ en el punto $(1, 1, 1)$. Hállense después todos los puntos de la gráfica de $f(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy$ donde el plano tangente es *horizontal*, y relaciónese la respuesta con [Ejemplo 25.15](#ex-b1-multivar-extrema).

**Solución de Ejercicio 25.10.**

Para $z = xy$ en $(1,1)$: parciales $y = 1$ y $x = 1$, plano tangente $z = 1 + (x - 1) + (y - 1) = x + y - 1$. Que el plano tangente sea horizontal significa que ambas parciales se anulan, es decir, $\nabla f = 0$: por [Ejemplo 25.15](#ex-b1-multivar-extrema), exactamente los [puntos críticos](#thm-b1-multivar-critical) $(0, 0)$ y $(1, 1)$, con planos horizontales $z = 0$ y $z =
-1$. «Plano tangente horizontal» y «[punto crítico](#thm-b1-multivar-critical)» son la misma noción, vista en la gráfica y en la fórmula.

**Ejercicio 25.11 ★★.**

Sea $f$ de clase $C^1$ en $\R^2$.

1. Si $\frac{\partial f}{\partial x} = 0$ en todo punto, demuéstrese que $f(x, y)$ solo depende de $y$ .
2. Hállense todas las soluciones $C^1$ de la ecuación $\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial  f}{\partial y}$ en $\R^2$ . *(Póngase $g(u, v) =  f\bigl(\frac{u+v}2, \frac{u-v}2\bigr)$ y calcúlese $\frac{\partial g}{\partial v}$ por la regla de la cadena.)*

**Solución de Ejercicio 25.11.**

1. Para $y$ fijo, la función de una variable $x \mapsto  f(x,y)$ tiene [derivada](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/14-derivacion#def-b1-derivative-def) nula en $\R$ y por tanto es constante ( [Teorema 14.9](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/14-derivacion#thm-b1-derivative-mvt) ): $f(x, y) = f(0, y)$ para todo $x$ : $f$ solo depende de $y$ .
2. Sea $g(u, v) = f\bigl(\frac{u+v}2, \frac{u-v}2\bigr)$. Por la regla de la cadena ([Teorema 25.7](#thm-b1-multivar-chain), aplicada en la variable $v$ con $u$ congelada): $$\frac{\partial g}{\partial v}  = \frac12\,\frac{\partial f}{\partial x}  - \frac12\,\frac{\partial f}{\partial y} = 0 .$$ Por (1), $g$ solo depende de $u$: $g(u, v) = \varphi(u)$ con $\varphi$ de clase $C^1$ y, deshaciendo el [cambio de variables](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/15-integracion-en-un-segmento#thm-b1-integration-parts) ($u = x + y$, $v = x - y$), $$f(x, y) = \varphi(x + y).$$ Recíprocamente, toda $f$ de esa forma cumple $f_x = f_y =  \varphi'$: las soluciones son exactamente las funciones $C^1$ de $x + y$.

**Ejercicio 25.12 ★★★.**

Hállense el máximo y el mínimo globales de $f(x, y) = xy$ en el disco [cerrado](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/12-topologia-de-la-recta-real#def-b1-topology-closed) $x^2 + y^2 \leq 1$. *(Admítase el teorema de los valores extremos en dos variables: una función [continua](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#def-b1-continuity-continuous) en el disco [cerrado](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/12-topologia-de-la-recta-real#def-b1-topology-closed) alcanza sus cotas — se demuestra en el volumen del segundo año. Trátese el disco [abierto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/12-topologia-de-la-recta-real#def-b1-topology-open) por [puntos críticos](#thm-b1-multivar-critical) y la circunferencia [frontera](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/12-topologia-de-la-recta-real#def-b1-topology-closure) por la parametrización de [Ejercicio 25.5](#exo-b1-multivar-5).)*

**Solución de Ejercicio 25.12.**

En el disco [abierto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/12-topologia-de-la-recta-real#def-b1-topology-open), un extremo sería crítico: $\nabla f = (y,
x) = 0$ solo en $(0,0)$, donde $f = 0$; es un [punto de silla](#met-b1-multivar-monge) ($f(\pm
\varepsilon, \pm\varepsilon) = \varepsilon^2 > 0 > -\varepsilon^2
= f(\pm\varepsilon, \mp\varepsilon)$), así que allí no hay extremo. Por el teorema de los valores extremos admitido, las cotas se alcanzan, necesariamente en la circunferencia [frontera](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/12-topologia-de-la-recta-real#def-b1-topology-closure). Allí, con [Ejercicio 25.5](#exo-b1-multivar-5),

$$
f(\cos t, \sin t) = \cos t\sin t = \frac{\sin 2t}{2}
\in \intcc{-\tfrac12}{\tfrac12},
$$

con máximo $\frac12$ en $t = \frac\pi4, \frac{5\pi}4$ (puntos $\pm\frac{1}{\sqrt2}(1,1)$) y mínimo $-\frac12$ en $t =
\frac{3\pi}4, \frac{7\pi}4$ (puntos $\pm\frac{1}{\sqrt2}(1,-1)$). Máximo global $\frac12$, mínimo global $-\frac12$.

## 25.5 Problema: mínimos cuadrados y recta de regresión

**Problema 25.1.**

Dados $n$ puntos de datos, ¿qué recta pasa «lo más cerca» de todos ellos? Legendre y Gauss respondieron: la recta que minimiza la suma de los errores verticales *al cuadrado* — porque esa minimización se resuelve exactamente con álgebra lineal. Este problema demuestra primero de forma honesta el criterio de Monge de [Método 25.14](#met-b1-multivar-monge) para las funciones cuadráticas (el único caso en que el desarrollo de segundo orden es exacto), y construye después las [ecuaciones normales](#pb-b1-multivar-1), la [recta de regresión](#pb-b1-multivar-1) y el coeficiente de correlación sobre la geometría euclídea de [Capítulo 23](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/23-espacios-euclideos#ch-b1-euclid).

**Parte I — Funciones cuadráticas: el criterio de Monge, demostrado.** Fíjense números reales $r, s, t$ y sea $q(h, k) = r h^2 + 2s hk +
t k^2$.

1. Supóngase $r \neq 0$. Establézcase la forma con el cuadrado completado $$q(h, k) = r\Bigl(h + \frac{s}{r}k\Bigr)^{\!2}  + \frac{rt - s^2}{r}\,k^2 ,$$ y dedúzcase: si $rt - s^2 > 0$, $q$ tiene el signo estricto de $r$ fuera del origen; si $rt - s^2 < 0$, $q$ toma ambos signos.
2. Resuélvanse los casos restantes: $r = 0$ , $t \neq 0$ (simétrico); y $r = t = 0$ ( $q = 2shk$ ). Conclúyase: $q$ toma ambos signos si y solo si $rt - s^2 < 0$ , y $q$ se anula solo en el origen si y solo si $rt - s^2 > 0$ .
3. Sea ahora $f(x, y) = \frac12\bigl(r x^2 + 2s xy + t  y^2\bigr) + \beta x + \gamma y + \delta$ una función cuadrática con un [punto crítico](#thm-b1-multivar-critical) $X_0 = (a, b)$. Demuéstrese el desarrollo *exacto* $$f(X_0 + (h,k)) = f(X_0) + \tfrac12\,q(h, k)  \qquad (\text{sin resto}),$$ y dedúzcase la clasificación de Monge para las funciones cuadráticas: mínimo global estricto si $rt - s^2 > 0$, $r >  0$; máximo global estricto si $rt - s^2 > 0$, $r < 0$; [punto de silla](#met-b1-multivar-monge) si $rt - s^2 < 0$.
4. Supóngase $rt - s^2 > 0$ y $r > 0$ (luego también $t > 0$). Demuéstrese la cota explícita de coercividad $$q(h, k) \geq c\,(h^2 + k^2),  \qquad  c = \frac{rt - s^2}{r + t} > 0 .$$ *(Muéstrese que la forma cuadrática $q - c(h^2 + k^2)$, de coeficientes $r - c$, $s$, $t - c$, sigue teniendo datos no negativos en el criterio del discriminante.)*
5. Dedúzcase que una función cuadrática con parte cuadrática definida positiva tiende a $+\infty$ cuando $\norm{(x,y)} \to  \infty$ , y que por tanto tiene un *único minimizador global* : su [punto crítico](#thm-b1-multivar-critical) . Contrástese con [Ejemplo 25.15](#ex-b1-multivar-extrema) , donde un mínimo local de una función no cuadrática no era global.

**Parte II — Las [ecuaciones normales](#pb-b1-multivar-1).** Sean $C_1,
C_2, b \in \R^n$ ([producto escalar](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/23-espacios-euclideos#def-b1-euclid-def) canónico), y

$$
f(u, v) = \norm{u\,C_1 + v\,C_2 - b}^2 .
$$

6. Desarróllese $f$ y muéstrese que es una función cuadrática de $(u,  v)$ cuya parte cuadrática tiene coeficientes $r = 2\norm{C_1}^2$ , $s = 2\langle C_1, C_2\rangle$ , $t = 2\norm{C_2}^2$ .
7. Muéstrese que $rt - s^2 > 0$ si y solo si $(C_1, C_2)$ es [libre](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) *(el caso de igualdad de Cauchy–Schwarz, [Teorema 23.4](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/23-espacios-euclideos#thm-b1-euclid-cs))* ; supóngase esto en adelante.
8. Muéstrese que las ecuaciones críticas $\nabla f = 0$ son las *[ecuaciones normales](#pb-b1-multivar-1)* $$\begin{pmatrix}  \norm{C_1}^2 & \langle C_1, C_2\rangle\\  \langle C_1, C_2\rangle & \norm{C_2}^2  \end{pmatrix}  \begin{pmatrix} u\\ v\end{pmatrix}  =  \begin{pmatrix} \langle C_1, b\rangle\\ \langle C_2,  b\rangle\end{pmatrix}$$ — con la matriz de Gram de [Ejercicio 23.11](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/23-espacios-euclideos#exo-b1-euclid-11) a la izquierda — y que dicen exactamente: $b - (uC_1 + vC_2)  \perp C_1, C_2$. Conclúyase con la Parte I y [Teorema 23.10](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/23-espacios-euclideos#thm-b1-euclid-projection): el único minimizador da $p = uC_1 + vC_2 =$ la [proyección ortogonal](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/23-espacios-euclideos#thm-b1-euclid-projection) de $b$ sobre $\operatorname{Vect}(C_1, C_2)$.
9. Muéstrese que el valor mínimo es $\norm{b}^2 - \langle p,  b\rangle = \norm{b - p}^2$ , y dibújese la figura pitagórica.

**Parte III — La [recta de regresión](#pb-b1-multivar-1).** Puntos de datos $(x_1, y_1), \dots, (x_n, y_n)$, con los $x_i$ no todos iguales. Minimícese

$$
E(\alpha, \beta) = \sum_{i=1}^{n}\bigl(y_i - \alpha - \beta
x_i\bigr)^2 .
$$

Escríbanse $\bar x = \frac1n\sum x_i$, $\bar y = \frac1n\sum y_i$, $v_x = \frac1n\sum x_i^2 - \bar x^2$, $v_y = \frac1n\sum y_i^2 -
\bar y^2$, $c_{xy} = \frac1n\sum x_i y_i - \bar x\bar y$.

10. Reconózcase la Parte II con $C_1 = (1, \dots, 1)$, $C_2 =  (x_1, \dots, x_n)$, $b = (y_1, \dots, y_n)$, y escríbanse las [ecuaciones normales](#pb-b1-multivar-1) $$n\alpha + \Bigl(\sum x_i\Bigr)\beta = \sum y_i,  \qquad  \Bigl(\sum x_i\Bigr)\alpha + \Bigl(\sum  x_i^2\Bigr)\beta = \sum x_i y_i .$$
11. Resuélvanse: $$\beta = \frac{c_{xy}}{v_x},  \qquad  \alpha = \bar y - \beta\,\bar x ,$$ y obsérvese que la *[recta de regresión](#pb-b1-multivar-1)* $y = \alpha  + \beta x$ pasa por el punto medio $(\bar x, \bar  y)$.
12. Compruébese que $v_x > 0$ exactamente cuando los $x_i$ no son todos iguales, y relaciónese esto con la pregunta 7.
13. Demuéstrese que el error mínimo es $$E_{\min} = n\Bigl(v_y - \frac{c_{xy}^2}{v_x}\Bigr)  = n\,v_y\,(1 - \rho^2),  \qquad  \rho = \frac{c_{xy}}{\sqrt{v_x v_y}}  \quad (v_y \neq 0).$$ Dedúzcase $\abs\rho \leq 1$, con $\abs\rho = 1$ si y solo si los datos están perfectamente alineados.
14. Ejemplo resuelto: para los datos $(0,0)$ , $(1,1)$ , $(2,3)$ , $(3,4)$ , calcúlense $\bar x, \bar y, v_x, c_{xy}$ , la [recta de regresión](#pb-b1-multivar-1) , los cuatro residuos y $E_{\min}$ .
15. Demuéstrese que los residuos $\varepsilon_i = y_i - \alpha -  \beta x_i$ de la recta óptima cumplen $\sum_i  \varepsilon_i = 0$ y $\sum_i x_i\varepsilon_i = 0$ , e interprétense ambas igualdades mediante la [ortogonalidad](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/23-espacios-euclideos#def-b1-euclid-orthogonal) .

**Parte IV — Variantes y aplicaciones.**

16. (La mejor constante) Muéstrese que la constante $\alpha$ que minimiza $\sum_i (y_i - \alpha)^2$ es la media $\bar  y$ , y que el valor mínimo es $n\,v_y$ : la varianza mide hasta qué punto los datos no son constantes.
17. (Recta por el origen) Muéstrese que la pendiente que minimiza $\sum_i (y_i - \beta x_i)^2$ es $\beta_0 = \frac{\sum  x_iy_i}{\sum x_i^2}$ , y dese una condición sobre los datos para que $\beta_0$ coincida con la pendiente $c_{xy}/v_x$ de la pregunta 11.
18. (La distancia a una recta, de nuevo) Para un punto $M$ y la recta $D$ que pasa por $P_0$ con vector director unitario $w$ , minimícese $g(\tau) = \norm{P_0 + \tau w - M}^2$ y dedúzcase $d(M, D)^2 = \norm{M - P_0}^2 - \langle M - P_0,  w\rangle^2$ ; recupérese la fórmula $d = \frac{\abs{a x_0 +  b y_0 + c}}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ para la recta $ax + by + c  = 0$ del plano.
19. (Análisis de la varianza) Demuéstrese la descomposición $v_y =  \beta^2 v_x + \frac{E_{\min}}n$ : la varianza de los $y_i$ se reparte entre la parte explicada por la recta y la varianza residual.
20. (Ajuste parabólico) Para ajustar $y = a + bx + cx^2$, muéstrese que las [ecuaciones normales](#pb-b1-multivar-1) son el sistema $3 \times 3$ con la matriz de momentos $$\begin{pmatrix}  n & \sum x_i & \sum x_i^2\\  \sum x_i & \sum x_i^2 & \sum x_i^3\\  \sum x_i^2 & \sum x_i^3 & \sum x_i^4  \end{pmatrix},$$ una matriz de Gram que es invertible en cuanto tres de los $x_i$ son distintos *(libertad de $(1, X, X^2)$ muestreada en los datos, [Ejercicio 23.11](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/23-espacios-euclideos#exo-b1-euclid-11); compárense las matrices de momentos del problema de fin de semana de [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/22-determinantes-y-sistemas-lineales#ch-b1-det))*.

**Parte V — Robustez y síntesis.**

21. Clasifíquense los [puntos críticos](#thm-b1-multivar-critical) de las tres funciones cuadráticas $$x^2 + xy + y^2, \qquad x^2 + 3xy + y^2, \qquad  x^2 + 2xy + y^2 ,$$ mediante la Parte I, tratando a mano el tercer caso degenerado (¿dónde se alcanza el mínimo?).
22. (Experimento con un dato atípico) Añádase el punto $(10, 0)$ a los datos de la pregunta 14 y recalcúlese la pendiente $\beta$ . ¿Qué ha ocurrido y por qué es el error *al cuadrado* tan sensible a un solo punto lejano?
23. ( [Mínimos cuadrados](#pb-b1-multivar-1) ponderados) Dados pesos $w_i > 0$ , minimícese $\sum_i w_i(y_i - \alpha - \beta x_i)^2$ : muéstrese que la solución viene dada por las mismas fórmulas que en la pregunta 11 con medias, varianza y covarianza ponderadas (defínanse).
24. Muéstrese que, para la recta óptima, $E_{\min} = 0$ obliga a que todos los puntos estén exactamente sobre ella, y conéctese con el caso de igualdad $\abs\rho = 1$ de la pregunta 13; pruébese con los datos alineados $(1,1), (2,3), (3,5)$ .
25. Síntesis, en cuatro frases: por qué las funciones cuadráticas son la única clase en la que el criterio de segundo orden de este capítulo no necesita ningún teorema admitido; cómo las [ecuaciones normales](#pb-b1-multivar-1) identifican la minimización analítica con la [proyección ortogonal](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/23-espacios-euclideos#thm-b1-euclid-projection) de [Capítulo 23](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/23-espacios-euclideos#ch-b1-euclid) ; qué mide el coeficiente de correlación y qué desigualdad lo acota; y qué piezas de los capítulos 18–23 ( [bases](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) , matrices de Gram y de momentos, proyecciones) han reaparecido. Nómbrense el método y las ecuaciones estudiados en las Partes II–III.

**Solución de Problema 25.1.**

**1.** Desarrollando el miembro derecho:

$$
r\Bigl(h + \frac srk\Bigr)^{\!2} + \frac{rt - s^2}{r}k^2
= rh^2 + 2shk + \frac{s^2}{r}k^2 + \frac{rt - s^2}{r}k^2
= q(h,k) .
$$

Si $rt - s^2 > 0$: ambos cuadrados llevan el signo del factor $r$, y $q(h,k) = 0$ obliga a $k = 0$ y luego a $h = 0$: signo estricto de $r$ fuera del origen. Si $rt - s^2 < 0$: $q(1, 0) = r$ mientras que $q\bigl(-\frac sr, 1\bigr) = \frac{rt - s^2}{r}$ tiene el signo opuesto: aparecen ambos signos.

**2.** Si $r = 0 \neq t$, se intercambian los papeles de $h$ y $k$ (el cuadrado completado en $k$), con las mismas conclusiones; obsérvese que $rt - s^2 = -s^2 < 0$ en cuanto $s \neq 0$, y en efecto $q =
2shk + tk^2$ toma entonces ambos signos ($k$ pequeño frente a $h$). Si $r = t = 0$: $q = 2shk$, ambos signos si y solo si $s \neq 0$, es decir, si y solo si $rt - s^2 = -s^2 < 0$. Resumen: $q$ toma ambos signos $\iff rt -
s^2 < 0$; $q$ se anula solo en el origen (es definida) $\iff rt -
s^2 > 0$ (lo que obliga a $r \neq 0$, ya que $r = 0$ da $q(1,0) =
0$).

**3.** Con $f_x = rx + sy + \beta$ y $f_y = sx + ty +
\gamma$, el desarrollo directo da

$$
f(a + h, b + k) = f(a, b) + h\,f_x(a,b) + k\,f_y(a,b)
+ \tfrac12 q(h, k),
$$

sin términos de orden superior (la función es un [polinomio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) de grado $2$). En un [punto crítico](#thm-b1-multivar-critical) la parte [lineal](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/20-aplicaciones-lineales#def-b1-linmaps-def) se anula: $f(X_0 + H)
- f(X_0) = \frac12 q(H)$ *exactamente*, de modo que el estudio del signo de las preguntas 1–2 clasifica: mínimo global estricto ($rt - s^2 >
0$, $r > 0$), máximo global estricto ($rt - s^2 > 0$, $r < 0$), [punto de silla](#met-b1-multivar-monge) — ambos signos en todo [entorno](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/12-topologia-de-la-recta-real#def-b1-topology-open) — cuando $rt - s^2 <
0$. Esto demuestra [Método 25.14](#met-b1-multivar-monge) para las funciones cuadráticas.

**4.** La forma $q - c(h^2 + k^2)$ tiene por datos $r - c$, $s$, $t - c$. Con $c = \frac{rt - s^2}{r + t}$ (nótese que $t > 0$ porque $rt > s^2 \geq 0$ y $r > 0$):

$$
(r - c)(t - c) - s^2 = rt - s^2 - c(r + t) + c^2 = c^2 \geq 0,
$$

y $r - c \geq 0$ ($c \leq r \iff rt - s^2 \leq r^2 + rt$, cierto). Si $r - c > 0$, el cuadrado completado de la pregunta 1 muestra que $q - c(h^2 + k^2) \geq 0$; si $r - c = 0$, entonces $s = 0$ (pues $-s^2 = -c^2 \leq \dots$ obliga a que la cantidad mostrada sea $\geq 0$ con primer factor $0$) y la forma es $(t - c)k^2 \geq
0$. En ambos casos $q(h,k) \geq c(h^2 + k^2)$.

**5.** Por las preguntas 3–4, $f(X) = f(X_0) + \frac12 q(X -
X_0) \geq f(X_0) + \frac c2\norm{X - X_0}^2 \to +\infty$ cuando $\norm X \to \infty$: $f$ es coerciva, y la desigualdad es estricta para $X \neq X_0$: el [punto crítico](#thm-b1-multivar-critical) es el único minimizador global. Para la cúbica $f = x^3 + y^3 - 3xy$ de [Ejemplo 25.15](#ex-b1-multivar-extrema) no vale tal conclusión: $f(x,0)
= x^3 \to -\infty$, y el mínimo local en $(1,1)$ no es global — lo que falla es la exactitud del desarrollo cuadrático.

**6.** Desarrollando la norma al cuadrado:

$$
f(u,v) = u^2\norm{C_1}^2 + 2uv\,\langle C_1, C_2\rangle +
v^2\norm{C_2}^2 - 2u\,\langle C_1, b\rangle - 2v\,\langle C_2,
b\rangle + \norm b^2 ,
$$

una función cuadrática de $(u, v)$ cuya parte cuadrática es $\frac12(ru^2 + 2suv + tv^2)$ con $r = 2\norm{C_1}^2$, $s =
2\langle C_1, C_2\rangle$, $t = 2\norm{C_2}^2$.

**7.** $rt - s^2 = 4\bigl(\norm{C_1}^2\norm{C_2}^2 -
\langle C_1, C_2\rangle^2\bigr) \geq 0$ por Cauchy–Schwarz ([Teorema 23.4](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/23-espacios-euclideos#thm-b1-euclid-cs)), con igualdad exactamente cuando $C_1, C_2$ son proporcionales (o uno de ellos es nulo), es decir, cuando el par es ligado. Así que $rt - s^2 > 0 \iff (C_1, C_2)$ es [libre](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free).

**8.** $\nabla f = 0$ se escribe

$$
\norm{C_1}^2 u + \langle C_1, C_2\rangle v = \langle C_1,
b\rangle,
\qquad
\langle C_1, C_2\rangle u + \norm{C_2}^2 v = \langle C_2,
b\rangle,
$$

las [ecuaciones normales](#pb-b1-multivar-1) con la matriz de Gram a la izquierda; dicen que $\langle uC_1 + vC_2 - b,\ C_i\rangle = 0$ para $i = 1, 2$, es decir, $b - p \perp \operatorname{Vect}(C_1, C_2)$ con $p = uC_1 +
vC_2$. Por la Parte I (preguntas 3 y 5), el único [punto crítico](#thm-b1-multivar-critical) es el único minimizador global y, por [Teorema 23.10](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/23-espacios-euclideos#thm-b1-euclid-projection), la caracterización «$p \in
F$, $b - p \perp F$» identifica $p$ como la [proyección ortogonal](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/23-espacios-euclideos#thm-b1-euclid-projection) de $b$ sobre $F = \operatorname{Vect}(C_1, C_2)$.

**9.** $\norm{b - p}^2 = \norm b^2 - 2\langle b, p\rangle +
\norm p^2$, y $\langle p, b - p\rangle = 0$ da $\norm p^2 =
\langle p, b\rangle$: el mínimo vale $\norm b^2 - \langle p,
b\rangle$. Pitágoras: $\norm b^2 = \norm p^2 + \norm{b - p}^2$ — el vector de datos se descompone en su parte explicada $p$ y su parte residual $b - p$, [ortogonales](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/23-espacios-euclideos#def-b1-euclid-orthogonal) entre sí.

**10.** $E(\alpha, \beta) = \norm{\alpha C_1 + \beta C_2 -
b}^2$ con los $C_1, C_2, b$ indicados; las [ecuaciones normales](#pb-b1-multivar-1) de la pregunta 8 son, componente a componente,

$$
n\alpha + \Bigl(\sum x_i\Bigr)\beta = \sum y_i,
\qquad
\Bigl(\sum x_i\Bigr)\alpha + \Bigl(\sum x_i^2\Bigr)\beta = \sum
x_i y_i .
$$

**11.** Dividiendo por $n$: $\alpha + \beta\bar x = \bar y$ y $\alpha\bar x + \beta\bigl(v_x + \bar x^2\bigr) = c_{xy} +
\bar x\bar y$. Sustituyendo $\alpha = \bar y - \beta\bar x$ en la segunda: $\beta v_x = c_{xy}$, luego

$$
\beta = \frac{c_{xy}}{v_x}, \qquad \alpha = \bar y - \beta\bar
x ,
$$

y la primera ecuación dice precisamente que $(\bar x, \bar y)$ está sobre la recta.

**12.** $v_x = \frac1n\sum(x_i - \bar x)^2 \geq 0$, y es nulo si y solo si todo $x_i$ vale $\bar x$. Y $rt - s^2 = 4\bigl(n\sum
x_i^2 - (\sum x_i)^2\bigr) = 4n^2 v_x$: la condición de libertad de la pregunta 7 es $v_x > 0$, es decir, que los $x_i$ no sean todos iguales.

**13.** Con $\alpha = \bar y - \beta\bar x$, se centran los datos ($\tilde x_i = x_i - \bar x$, $\tilde y_i = y_i - \bar y$):

$$
E(\alpha, \beta) = \sum_i(\tilde y_i - \beta\tilde x_i)^2
= n\,v_y - 2\beta\,n\,c_{xy} + \beta^2 n\,v_x ,
$$

que se minimiza en $\beta = c_{xy}/v_x$ con valor $E_{\min} =
n\bigl(v_y - \frac{c_{xy}^2}{v_x}\bigr) = n v_y(1 - \rho^2)$. Como $E_{\min} \geq 0$ y $v_y > 0$: $\rho^2 \leq 1$, y $\abs\rho = 1$ si y solo si $E_{\min} = 0$, es decir, si y solo si todo residuo se anula: los puntos están exactamente sobre la recta.

**14.** $n = 4$: $\bar x = \frac64 = 1.5$, $\bar y = 2$, $\sum x_i^2 = 14$ luego $v_x = 3.5 - 2.25 = 1.25$, $\sum x_iy_i =
0 + 1 + 6 + 12 = 19$ luego $c_{xy} = 4.75 - 3 = 1.75$. Por tanto

$$
\beta = \frac{1.75}{1.25} = 1.4,
\qquad
\alpha = 2 - 1.4\times1.5 = -0.1 :
\qquad y = 1.4\,x - 0.1 .
$$

Valores ajustados $-0.1,\ 1.3,\ 2.7,\ 4.1$; residuos $0.1,\ -0.3,\
0.3,\ -0.1$; $E_{\min} = 0.01 + 0.09 + 0.09 + 0.01 = 0.2$ (comprobación: $v_y = \frac{26}4 - 4 = 2.5$ y $4(2.5 -
\frac{1.75^2}{1.25}) = 4(2.5 - 2.45) = 0.2$).

**15.** Las dos [ecuaciones normales](#pb-b1-multivar-1) de la pregunta 10 son exactamente $\sum_i\varepsilon_i = 0$ y $\sum_i x_i\varepsilon_i =
0$: el vector de residuos es [ortogonal](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/23-espacios-euclideos#def-b1-euclid-orthogonal) a $C_1 = (1, \dots, 1)$ y a $C_2 = (x_i)$ — a todo el espacio del modelo. En particular, la recta óptima siempre equilibra sus errores: estos suman cero.

**16.** $\frac{\dd}{\dd\alpha}\sum(y_i - \alpha)^2 =
-2\sum(y_i - \alpha) = 0$ da $\alpha = \bar y$ (y la [derivada](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/14-derivacion#def-b1-derivative-def) segunda $2n > 0$ lo convierte en el mínimo global, al ser la función una cuadrática coerciva de una variable). Valor mínimo $\sum(y_i - \bar y)^2 = n v_y$: la varianza es el error cuadrático irreducible de un modelo constante.

**17.** $\frac{\dd}{\dd\beta}\sum(y_i - \beta x_i)^2 =
-2\sum x_i(y_i - \beta x_i) = 0$ da $\beta_0 = \frac{\sum
x_iy_i}{\sum x_i^2}$. Escribiendo ambas pendientes con cantidades centradas: $\beta_0 = \frac{c_{xy} + \bar x\bar y}{v_x + \bar
x^2}$ coincide con $\frac{c_{xy}}{v_x}$ si y solo si $c_{xy}\bar x^2 = \bar
x\bar y\,v_x$, es decir, si y solo si $\bar x = 0$ (abscisas centradas) o $\bar y = \beta\bar x$ — lo segundo significa $\alpha = 0$: la [recta de regresión](#pb-b1-multivar-1) completa ya pasa por el origen.

**18.** $g(\tau) = \norm{M - P_0}^2 - 2\tau\langle M - P_0,
w\rangle + \tau^2$ es mínima en $\tau^* = \langle M - P_0,
w\rangle$, con valor $d(M,D)^2 = \norm{M - P_0}^2 - \langle M -
P_0, w\rangle^2$. En el plano, complétese $w$ con un vector [ortogonal](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/23-espacios-euclideos#def-b1-euclid-orthogonal) hasta una [base](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) [ortonormal](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/23-espacios-euclideos#def-b1-euclid-orthogonal) $(w, n)$ con $n = \frac{(a, b)}{\sqrt{a^2+b^2}}$ (normal unitaria de $D$): entonces $\norm{M - P_0}^2 = \langle M - P_0,
w\rangle^2 + \langle M - P_0, n\rangle^2$, luego $d(M, D) =
\abs{\langle M - P_0, n\rangle}$ y, con $aP_{0x} + bP_{0y} =
-c$:

$$
d = \frac{\abs{a x_0 + b y_0 + c}}{\sqrt{a^2 + b^2}} .
$$

**19.** De $E_{\min}/n = v_y - \frac{c_{xy}^2}{v_x}$ y $\beta^2 v_x = \frac{c_{xy}^2}{v_x}$:

$$
v_y = \beta^2 v_x + \frac{E_{\min}}n :
$$

varianza total $=$ varianza a lo largo de la recta ajustada $+$ varianza residual. (Dividiendo por $v_y$: $1 = \rho^2 + (1 - \rho^2)$, la parte de varianza «explicada» por la recta es $\rho^2$.)

**20.** El espacio del modelo es $\operatorname{Vect}\bigl(C_1, C_2, C_3\bigr)$ con $C_1 = (1)$, $C_2 = (x_i)$, $C_3 = (x_i^2)$; minimizar $\norm{aC_1 + bC_2 +
cC_3 - b}^2$ conduce, exactamente como en la pregunta 8, al sistema de Gram $3\times3$, cuya matriz tiene por entradas $\langle C_i, C_j\rangle =
\sum_k x_k^{\,i+j-2}$: la matriz de momentos mostrada. Es invertible si y solo si $(C_1, C_2, C_3)$ es [libre](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) ([Ejercicio 23.11](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/23-espacios-euclideos#exo-b1-euclid-11)); una relación $a + bx_k + cx_k^2 = 0$ para todo $k$ hace de cada $x_k$ una raíz de un mismo [polinomio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) de grado $\leq 2$, imposible con tres valores distintos salvo que $a
= b = c = 0$. Compárense las matrices de momentos del problema de fin de semana de [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/22-determinantes-y-sistemas-lineales#ch-b1-det), cuyos determinantes eran valores de Vandermonde al cuadrado.

**21.** Primera: $r = 2, s = 1, t = 2$, $rt - s^2 = 3 > 0$, $r > 0$: mínimo global estricto en el origen. Segunda: $r = 2, s
= 3, t = 2$, $rt - s^2 = -5 < 0$: [punto de silla](#met-b1-multivar-monge). Tercera: $r = s = t =
2$, $rt - s^2 = 0$: degenerada — pero $x^2 + 2xy + y^2 = (x +
y)^2 \geq 0$ se anula en toda la recta $y = -x$: un mínimo global (no estricto) alcanzado a lo largo de una recta, invisible para el criterio del determinante.

**22.** Nuevas sumas ($n = 5$): $\bar x = 3.2$, $\bar y =
1.6$, $\sum x_iy_i = 19$ luego $c_{xy} = 3.8 - 5.12 = -1.32$, $\sum x_i^2 = 114$ luego $v_x = 22.8 - 10.24 = 12.56$. Nueva pendiente:

$$
\beta = \frac{-1.32}{12.56} \approx -0.105 :
$$

un solo punto convirtió una tendencia claramente creciente ($\beta = 1.4$) en otra ligeramente decreciente. El error cuadrático cobra un residuo $\varepsilon^2$, de modo que un único punto lejano — con $\abs{x_{i} - \bar x}$ grande *y* residuo grande — domina tanto $c_{xy}$ como $v_x$: los [mínimos cuadrados](#pb-b1-multivar-1) son eficientes pero no robustos.

**23.** Póngase $W = \sum w_i$ y defínanse $\bar x_w =
\frac1W\sum w_ix_i$, $\bar y_w$ análogamente, $v_x^w = \frac1W\sum
w_ix_i^2 - \bar x_w^2$, $c^w_{xy} = \frac1W\sum w_ix_iy_i - \bar
x_w\bar y_w$. La [aplicación](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-map) $\langle u, v\rangle_w = \sum_i w_iu_iv_i$ es un [producto escalar](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/23-espacios-euclideos#def-b1-euclid-def) en $\R^n$ ($w_i > 0$ da el carácter definido), así que la Parte II se aplica literalmente y las [ecuaciones normales](#pb-b1-multivar-1) se [dividen](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/6-aritmetica-de-los-enteros#def-b1-arith-divides) por $W$ quedando

$$
\alpha + \beta\bar x_w = \bar y_w,
\qquad
\alpha\bar x_w + \beta(v^w_x + \bar x_w^2) = c^w_{xy} + \bar
x_w\bar y_w ,
$$

de donde $\beta = c^w_{xy}/v^w_x$ y $\alpha = \bar y_w -
\beta\bar x_w$: las mismas fórmulas, con todas las medias ponderadas.

**24.** $E_{\min} = \sum\varepsilon_i^2 = 0$ obliga a que todo $\varepsilon_i = 0$: todos los puntos exactamente sobre la recta; por la pregunta 13 este es el caso $\abs\rho = 1$. Prueba: para $(1,1), (2,3),
(3,5)$: $\bar x = 2$, $\bar y = 3$, $v_x = \frac{14}3 - 4 =
\frac23$, $c_{xy} = \frac{22}3 - 6 = \frac43$: $\beta = 2$, $\alpha = -1$, y en efecto $y_i = 2x_i - 1$ para los tres puntos; $v_y = \frac{35}3 - 9 = \frac83$ y $\rho^2 =
\frac{(4/3)^2}{(2/3)(8/3)} = 1$.

**25.** (i) Para las funciones cuadráticas el desarrollo de orden dos es una *identidad*, de modo que el estudio del signo de la forma cuadrática — álgebra pura, preguntas 1–2 — clasifica los [puntos críticos](#thm-b1-multivar-critical) sin ningún teorema de Taylor admitido. (ii) Las [ecuaciones normales](#pb-b1-multivar-1) dicen «residuo [ortogonal](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/23-espacios-euclideos#def-b1-euclid-orthogonal) al espacio del modelo», así que el mínimo analítico *es* la [proyección ortogonal](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/23-espacios-euclideos#thm-b1-euclid-projection) del vector de datos: el cálculo y la geometría euclídea calculan el mismo objeto. (iii) La correlación $\rho = c_{xy}/\sqrt{v_xv_y}$ mide la parte $\rho^2$ de la varianza explicada por la recta, y Cauchy–Schwarz la acota: $\abs\rho \leq 1$, con igualdad solo para datos alineados. (iv) Las [bases](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#def-b1-vspaces-free) y la libertad (capítulo 18), las matrices de Gram y de momentos y sus determinantes (capítulos 22–23), y la [proyección ortogonal](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/23-espacios-euclideos#thm-b1-euclid-projection) (capítulo 23) reaparecieron todas como las piezas de trabajo de un solo algoritmo. Las Partes II–III desarrollan el *método de los [mínimos cuadrados](#pb-b1-multivar-1)* (Legendre, Gauss) a través de sus *[ecuaciones normales](#pb-b1-multivar-1)*.