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title: "Números complejos"
book: "Matemáticas universitarias — Grado 1"
subject: math
language: es
chapter: 3
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/3-numeros-complejos
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# Capítulo 3 — Números complejos

Los números complejos aparecieron en el volumen anterior como un recurso de cálculo para las ecuaciones de segundo grado. Este capítulo los trata como un objeto central: la forma exponencial y sus consecuencias (De Moivre, raíces $n$-ésimas, [raíces de la unidad](#def-b1-complex-unity)), la traducción sistemática entre $\C$ y la geometría del plano, y el uso de $\eu^{\iu\theta}$ como máquina de demostrar identidades trigonométricas.

## 3.1 El cuerpo $\C$, módulo y conjugado

**Definición 3.1 (El cuerpo de los complejos).**

$\C = \{a + \iu b : a, b \in \R\}$ con la suma usual y la multiplicación determinada por $\iu^2 = -1$. Todo $z = a + \iu b$ no nulo tiene inverso: $z^{-1} = \frac{a - \iu b}{a^2 + b^2}$ — en el lenguaje del [Capítulo 7](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/7-estructuras-algebraicas#ch-b1-structures), $\C$ es un cuerpo. Se escribe $a = \Re(z)$, $b = \Im(z)$, $\conj{z} = a - \iu b$ (el *conjugado*) y $\abs{z} = \sqrt{a^2 + b^2}$ (el *módulo*).

**Proposición 3.2 (Reglas del conjugado y del módulo).**

Para $z, w \in \C$:

1. $\conj{z + w} = \conj z + \conj w$ , $\conj{zw} = \conj z\,  \conj w$ , $\conj{\conj z} = z$ ;
2. $z \conj z = \abs z^2$ ; $\;\Re(z) = \frac{z + \conj z}{2}$ , $\Im(z) = \frac{z - \conj z}{2\iu}$ ;
3. $\abs{zw} = \abs z\, \abs w$ , y $\abs{z^{-1}} =  \abs{z}^{-1}$ para $z \neq 0$ ;
4. (desigualdad triangular) $\abs{z + w} \leq \abs z + \abs w$ , con igualdad si y solo si $z$ y $w$ están en una misma semirrecta desde $0$ ( $w =  \lambda z$ o $z = \lambda w$ con $\lambda \geq 0$ );
5. (desigualdad triangular inversa) $\bigl|\abs z - \abs w\bigr|  \leq \abs{z - w}$ .

**Demostración.** (1) y (2) son cálculos directos sobre las partes real e imaginaria. (3): $\abs{zw}^2 = zw\,\conj{zw} = z\conj z\, w \conj w = \abs z^2
\abs w^2$, y se toman raíces cuadradas; aplíquese a $z \cdot z^{-1} =
1$ para el inverso.

(4) Los dos miembros son no negativos, así que se comparan cuadrados:

$$
\abs{z+w}^2 = (z+w)(\conj z + \conj w)
= \abs z^2 + \abs w^2 + 2\,\Re(z \conj w),
$$

y $\Re(z\conj w) \leq \abs{z \conj w} = \abs z \abs w$ da $\abs{z+w}^2 \leq (\abs z + \abs w)^2$. La igualdad obliga a $\Re(z \conj w) = \abs{z \conj w}$, es decir, $z \conj w \in \R_+$; si $w \neq 0$, esto da $z = \frac{z\conj w}{\abs w^2}\, w = \lambda w$ con $\lambda \geq 0$ (y el caso $w = 0$ es trivial).

(5) $\abs z = \abs{(z - w) + w} \leq \abs{z-w} + \abs w$ da $\abs z - \abs w \leq \abs{z - w}$; intercámbiense $z$ y $w$ para el otro signo. ∎

**Ejemplo 3.3 (Un ejercicio completo de módulo y argumento).**

Póngase $w = \dfrac{3 + 4\iu}{1 - 2\iu}$ en forma algebraica y calcúlese su [módulo](#def-b1-complex-field) de dos maneras. Multiplicando por el [conjugado](#def-b1-complex-field) del denominador:

$$
w = \frac{(3 + 4\iu)(1 + 2\iu)}{(1 - 2\iu)(1 + 2\iu)}
= \frac{3 + 6\iu + 4\iu - 8}{1 + 4}
= \frac{-5 + 10\iu}{5} = -1 + 2\iu .
$$

Directamente: $\abs w = \sqrt{1 + 4} = \sqrt5$. Por la regla del cociente ([Proposición 3.2](#prop-b1-complex-rules) (3)): $\abs w = \frac{\abs{3 +
4\iu}}{\abs{1 - 2\iu}} = \frac5{\sqrt5} = \sqrt5$ — la misma respuesta, sin necesidad de forma algebraica. La lección se generaliza: [módulos](#def-b1-complex-field) y argumentos viajan bien a través de productos y cocientes; las partes real e imaginaria, a través de sumas. Elíjase la representación que se ajuste a las operaciones en juego y conviértase solo cuando no quede más remedio.

**Ejemplo 3.4 (Ecuaciones con el conjugado).**

Resuélvase en $\C$: $\;z + 2\conj z = 6 + 2\iu$. Una ecuación que mezcla $z$ y $\conj z$ *no* es polinómica en $z$; lo fiable es separar en coordenadas reales. Con $z = x + \iu y$:

$$
z + 2\conj z = 3x - \iu y ,
$$

la ecuación se lee $3x = 6$ y $-y = 2$: la única solución es $z = 2 - 2\iu$. (Comprobación: $(2 - 2\iu) + 2(2 + 2\iu) = 6 + 2\iu$.) Alternativamente, se conjuga toda la ecuación para obtener $\conj z + 2z = 6 - 2\iu$ y se resuelve el sistema lineal en las incógnitas $z, \conj z$ — la misma respuesta, y un truco útil cuando los coeficientes son complejos. Las ecuaciones en $z$ y $\conj z$ son en realidad sistemas de dos ecuaciones reales; esperar «grado $1$, una solución» es seguro aquí, pero $z\conj z = -1$ (sin solución) muestra que la intuición polinómica falla en cuanto aparecen productos.

## 3.2 Forma exponencial

**Definición 3.5 (Exponencial compleja de argumento imaginario).**

Para $\theta \in \R$ se define

$$
\eu^{\iu\theta} = \cos\theta + \iu \sin\theta .
$$

Todo $z \neq 0$ se puede escribir $z = r\,\eu^{\iu\theta}$ con $r = \abs z > 0$; $\theta$ es un *argumento* de $z$, determinado salvo múltiplos de $2\pi$. El valor de $\intoc{-\pi}{\pi}$ es el *argumento principal*, escrito $\arg z$.

**Ejemplo 3.6 (Primeros valores, y una identidad célebre).**

Leyendo la definición en los ángulos notables:

$$
\eu^{\iu\pi/2} = \iu, \qquad
\eu^{\iu\pi} = -1, \qquad
\eu^{2\iu\pi} = 1, \qquad
\eu^{\iu\pi/4} = \frac{\sqrt2}2\,(1 + \iu) .
$$

La segunda, reescrita como $\eu^{\iu\pi} + 1 = 0$, es la célebre identidad de Euler, que enlaza $\eu$, $\iu$, $\pi$, $1$ y $0$; a esta altura del libro es un desarrollo de la definición más que un teorema, y su contenido real — por qué la función exponencial analítica del [Capítulo 4](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/4-funciones-usuales#ch-b1-functions), extendida a argumentos imaginarios, merece el mismo nombre — lo zanjan las series de potencias del [Capítulo 17](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/17-series-numericas#ch-b1-series). Entretanto, conviene memorizar la fórmula anterior como tabla de conversión: se usa en silencio cada vez que se lee un argumento en un dibujo.

**Teorema 3.7 (La ecuación funcional).**

Para todos $\theta, \varphi \in \R$:

$$
\eu^{\iu\theta}\, \eu^{\iu\varphi} = \eu^{\iu(\theta + \varphi)},
\qquad
\abs{\eu^{\iu\theta}} = 1,
\qquad
\conj{\eu^{\iu\theta}} = \eu^{-\iu\theta} = (\eu^{\iu\theta})^{-1}.
$$

En consecuencia, $\abs{zw} = \abs z \abs w$ arrastra también los argumentos: $\arg(zw) \equiv \arg z + \arg w \pmod{2\pi}$.

**Demostración.** Se desarrolla el producto y se usan las fórmulas de adición:

$$
(\cos\theta + \iu\sin\theta)(\cos\varphi + \iu\sin\varphi)
= (\cos\theta\cos\varphi - \sin\theta\sin\varphi)
+ \iu\,(\sin\theta\cos\varphi + \cos\theta\sin\varphi),
$$

que es $\cos(\theta+\varphi) + \iu\sin(\theta+\varphi)$. El [módulo](#def-b1-complex-field) vale $\sqrt{\cos^2\theta + \sin^2\theta} = 1$, y la fórmula del [conjugado](#def-b1-complex-field) es la paridad del coseno y del seno; esta invierte $\eu^{\iu\theta}$, ya que $\eu^{\iu\theta}\eu^{-\iu\theta} = \eu^0 = 1$. ∎

**Corolario 3.8 (Fórmula de De Moivre).**

Para $\theta \in \R$ y $n \in \Z$: $\;(\cos\theta + \iu\sin\theta)^n = \cos(n\theta) +
\iu\sin(n\theta)$.

**Demostración.** Para $n \geq 0$, se procede por inducción. El caso $n = 0$ dice $1 = 1$. Suponiendo la fórmula para $n$, la ecuación funcional ([Teorema 3.7](#thm-b1-complex-funceq)) da

$$
\bigl(\eu^{\iu\theta}\bigr)^{n+1}
= \bigl(\eu^{\iu\theta}\bigr)^{n}\,\eu^{\iu\theta}
= \eu^{\iu n\theta}\,\eu^{\iu\theta}
= \eu^{\iu(n+1)\theta} ,
$$

que es la fórmula en el rango $n + 1$. Para $n < 0$, escríbase $n = -m$ con $m > 0$: como $\eu^{\iu m\theta}$ tiene inverso $\eu^{-\iu m\theta}$ (de nuevo [Teorema 3.7](#thm-b1-complex-funceq)),

$$
\bigl(\eu^{\iu\theta}\bigr)^{-m}
= \bigl(\eu^{\iu m\theta}\bigr)^{-1}
= \eu^{\iu(-m)\theta} . \qedhere
$$

∎

**Ejemplo 3.9 (Desarrollo de cos⁡3θ\cos 3\thetacos3θ por De Moivre).**

Escríbase $c = \cos\theta$, $s = \sin\theta$. De Moivre y el teorema del binomio dan

$$
\cos 3\theta + \iu \sin 3\theta = (c + \iu s)^3
= c^3 - 3cs^2 + \iu\,(3c^2 s - s^3),
$$

e igualando partes reales y sustituyendo después $s^2 = 1 - c^2$:

$$
\cos 3\theta = c^3 - 3c(1 - c^2) = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta .
$$

La parte imaginaria da gratis $\sin 3\theta = 3\sin\theta -
4\sin^3\theta$: una identidad compleja arrastra siempre *dos* reales. Leída al revés, la identidad anterior es la clave de la clásica ecuación de la trisección: construir $\cos(\theta/3)$ a partir de $\cos\theta$ equivale a resolver la cúbica $4x^3 - 3x = \cos\theta$, que es donde toma el relevo el álgebra del [Capítulo 8](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#ch-b1-poly).

**Proposición 3.10 (Fórmulas de Euler).**

$$
\cos\theta = \frac{\eu^{\iu\theta} + \eu^{-\iu\theta}}{2},
\qquad
\sin\theta = \frac{\eu^{\iu\theta} - \eu^{-\iu\theta}}{2\iu}.
$$

**Demostración.** Súmense, respectivamente réstense, $\eu^{\iu\theta} = \cos\theta +
\iu\sin\theta$ y $\eu^{-\iu\theta} = \cos\theta - \iu\sin\theta$. ∎

**Método 3.11 (Trigonometría mediante exponenciales).**

1. *Linealizar* $\cos^p\theta \sin^q\theta$ (convertir potencias en una suma de $\cos k\theta$ , $\sin k\theta$ ): sustitúyanse las fórmulas de Euler, desarróllese con el teorema del binomio ( [Teorema 2.16](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/2-combinatoria#thm-b1-counting-binomial) ) y agrúpense los términos [conjugados](#def-b1-complex-field) .
2. *Desarrollar* $\cos n\theta$ como polinomio en $\cos\theta$ : escríbase $\cos n\theta = \Re\bigl((\cos\theta +  \iu\sin\theta)^n\bigr)$ , desarróllese y conviértanse las potencias pares de $\sin$ mediante $\sin^2 = 1 - \cos^2$ .
3. *Sumar series trigonométricas* como $\sum_k \cos k\theta$ : recuérdese que son la parte real de una suma geométrica $\sum_k (\eu^{\iu\theta})^k$ .
4. La *factorización por el ángulo mitad*: para todos $p, q$, $$\eu^{\iu p} + \eu^{\iu q}  = 2 \cos\tfrac{p - q}{2}\; \eu^{\iu \frac{p+q}{2}},  \qquad  \eu^{\iu p} - \eu^{\iu q}  = 2\iu \sin\tfrac{p - q}{2}\; \eu^{\iu \frac{p+q}{2}} .$$

**Ejemplo 3.12 (Linealización).**

$$
\cos^3\theta
= \Bigl(\frac{\eu^{\iu\theta} + \eu^{-\iu\theta}}{2}\Bigr)^{\!3}
= \frac{\eu^{3\iu\theta} + 3\eu^{\iu\theta} + 3\eu^{-\iu\theta} +
\eu^{-3\iu\theta}}{8}
= \frac{\cos 3\theta + 3\cos\theta}{4}.
$$

Esta forma se integra de inmediato — justamente por eso importa la linealización en el [Capítulo 15](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/15-integracion-en-un-segmento#ch-b1-integration). Un producto mixto funciona igual, solo que con las dos fórmulas de Euler a la vez:

$$
\sin^2\theta\cos^2\theta
= \Bigl(\frac{\sin2\theta}2\Bigr)^{\!2}
= \frac{1}{4}\cdot
\Bigl(\frac{\eu^{2\iu\theta} - \eu^{-2\iu\theta}}{2\iu}
\Bigr)^{\!2}
= \frac{2 - \eu^{4\iu\theta} - \eu^{-4\iu\theta}}{16}
= \frac{1 - \cos4\theta}{8} ,
$$

donde el atajo del ángulo doble en el primer paso ahorró un desarrollo binomial — siempre conviene buscarlo antes de mecanizar.

**Ejemplo 3.13 (Una suma trigonométrica binomial).**

Para $n \in \N$ y $\theta \in \R$, calcúlese $S = \sum_{k=0}^{n}\binom nk \cos k\theta$. Reconózcase la parte real de un desarrollo binomial:

$$
S = \Re\sum_{k=0}^n \binom nk \bigl(\eu^{\iu\theta}\bigr)^k
= \Re\bigl(1 + \eu^{\iu\theta}\bigr)^n ,
$$

y factorícese después el ángulo mitad ([Método 3.11](#met-b1-complex-trig) (4)): $1 + \eu^{\iu\theta} = 2\cos\frac\theta2\,\eu^{\iu\theta/2}$, luego

$$
S = \Re\Bigl(2^n\cos^n\frac\theta2\;\eu^{\iu n\theta/2}\Bigr)
= 2^n \cos^n\frac\theta2\,\cos\frac{n\theta}2 .
$$

La parte imaginaria da gratis $\sum_k\binom nk\sin k\theta =
2^n\cos^n\frac\theta2\sin\frac{n\theta}2$. Comprobaciones: $\theta = 0$ recupera $\sum\binom nk = 2^n$, y $\theta = \pi$ da $S = 0$ para $n \geq 1$ (cada factor $\cos\frac\pi2$ se anula), es decir, la suma alternada de una fila del [Ejemplo 2.17](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/2-combinatoria#ex-b1-counting-binomial). El método —«ver la suma de cosenos como la sombra de una potencia compleja y factorizar después ángulos mitad»— es exactamente el del [Ejercicio 3.6](#exo-b1-complex-6), con el teorema del binomio en lugar de la serie geométrica.

## 3.3 Raíces de números complejos

**Teorema 3.14 (Raíces nnn-ésimas).**

Sean $a = r\,\eu^{\iu\alpha} \neq 0$ y $n \in \N^*$. La ecuación $z^n = a$ tiene exactamente $n$ soluciones:

$$
z_k = r^{1/n}\, \eu^{\iu\left(\frac{\alpha}{n} +
\frac{2k\pi}{n}\right)},
\qquad k = 0, 1, \dots, n - 1 .
$$

**Demostración.** Escríbase $z = \rho\,\eu^{\iu\theta}$ ($\rho > 0$). Entonces $z^n = \rho^n \eu^{\iu n\theta} = r \eu^{\iu\alpha}$ si y solo si $\rho^n = r$ ([módulos](#def-b1-complex-field)) y $n\theta \equiv \alpha \pmod{2\pi}$ (argumentos), es decir, $\rho = r^{1/n}$ y $\theta = \frac{\alpha}{n} + \frac{2k\pi}{n}$ para algún $k \in \Z$. Queda por ver cuándo dos enteros $k, k'$ dan el mismo número: eso ocurre exactamente cuando los ángulos difieren en un múltiplo de $2\pi$,

$$
\frac{2k\pi}n - \frac{2k'\pi}n \in 2\pi\Z
\iff \frac{k - k'}n \in \Z
\iff n \mid k - k' .
$$

Por la división euclídea, todo $k \in \Z$ es congruente [módulo](#def-b1-complex-field) $n$ con exactamente un elemento de $\{0, 1, \dots, n-1\}$, de modo que ese rango enumera cada solución una sola vez y el recuento es exactamente $n$. (El mismo argumento, hecho dentro de $\mathbb U_n$, muestra que las raíces forman un $n$-ágono regular: los valores consecutivos de $k$ giran el ángulo fijo $\frac{2\pi}n$.) ∎

**Ejemplo 3.15 (Raíces cúbicas de −27-27−27).**

Resuélvase $z^3 = -27$. Forma exponencial del miembro derecho: $-27 = 27\,\eu^{\iu\pi}$, así que las tres raíces son

$$
z_k = 3\,\eu^{\iu(\frac\pi3 + \frac{2k\pi}3)}, \quad k = 0, 1, 2 :
\qquad
z_0 = 3\eu^{\iu\pi/3} = \frac32 + \frac{3\sqrt3}2\,\iu,
\quad
z_1 = -3,
\quad
z_2 = \conj{z_0} .
$$

Dos comprobaciones. Primera: la raíz real $-3$ es la evidente, y las otras dos son sus rotaciones de $\pm\frac{2\pi}3$ — equivalentemente, $-3j$ y $-3j^2$. Segunda: el álgebra lo confirma, $z^3 + 27 = (z + 3)(z^2 - 3z + 9)$, y la cuadrática tiene discriminante $9 - 36 = -27 < 0$ con raíces $\frac{3 \pm 3\iu\sqrt3}2 = z_0,
\conj{z_0}$. La idea clave: para miembros derechos reales, las raíces no reales vienen siempre en pares [conjugados](#def-b1-complex-field), de modo que el dibujo del [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) de soluciones es simétrico respecto del eje real — un anticipo del teorema de factorización real del [Capítulo 8](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#ch-b1-poly).

**Ejemplo 3.16 (Un miembro derecho no real).**

Resuélvase $z^4 = -8 + 8\iu\sqrt3$. Forma exponencial del miembro derecho: [módulo](#def-b1-complex-field) $\sqrt{64 + 192} = 16$ y argumento $\theta$ con $\cos\theta = -\frac12$, $\sin\theta = \frac{\sqrt3}2$, es decir, $\theta = \frac{2\pi}3$. Las cuatro raíces son

$$
z_k = 2\,\eu^{\iu(\frac\pi6 + \frac{k\pi}2)}, \quad k = 0, 1, 2,
3 :
\qquad
z_0 = \sqrt3 + \iu,\quad z_1 = \iu z_0 = -1 + \iu\sqrt3,
$$

$$
z_2 = -z_0 = -\sqrt3 - \iu,\qquad z_3 = -\iu z_0 = 1 - \iu\sqrt3 .
$$

(Comprobación: $z_0^2 = 2 + 2\iu\sqrt3$, luego $z_0^4 = (2 +
2\iu\sqrt3)^2 = 4 - 12 + 8\iu\sqrt3 = -8 + 8\iu\sqrt3$.) Una vez hallada *una* raíz, las otras tres salen gratis: son sus rotaciones sucesivas de $\frac\pi2$, es decir, sus productos por las raíces cuartas de la unidad — la estructura general que hay detrás del [Teorema 3.14](#thm-b1-complex-roots), y que conviene aprovechar antes de recalcular cada raíz desde cero. Esta vez no hay simetría de conjugación: el miembro derecho no es real.

**Definición 3.17 (Raíces de la unidad).**

Las *raíces $n$-ésimas de la unidad* son las soluciones de $z^n = 1$:

$$
\mathbb{U}_n = \bigl\{\, \omega^k : k = 0, \dots, n-1 \,\bigr\},
\qquad \omega = \eu^{2\iu\pi/n}.
$$

Forman un grupo con la multiplicación ([Capítulo 7](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/7-estructuras-algebraicas#ch-b1-structures)) y se sitúan en los vértices de un $n$-ágono regular inscrito en la circunferencia unidad.

![Las raíces quintas de la unidad, = 2 π/5: un pentágono regular sobre la circunferencia unidad.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-complex/fig-8a472e96bb29.svg)

*Las raíces quintas de la unidad, $\omega = \eu^{2\iu\pi/5}$: un pentágono regular sobre la circunferencia unidad.*

**Proposición 3.18 (Suma de las raíces de la unidad).**

Para $n \geq 2$, las raíces $n$-ésimas de la unidad suman cero: $\sum_{k=0}^{n-1} \omega^k = 0$.

**Demostración.** Suma geométrica de razón $\omega \neq 1$: $\sum_{k=0}^{n-1} \omega^k = \frac{\omega^n - 1}{\omega - 1} = 0$, puesto que $\omega^n = 1$. ∎

**Ejemplo 3.19 (Leer las partes real e imaginaria).**

Separar $\sum_{k=0}^{n-1}\omega^k = 0$ en partes real e imaginaria da gratis dos identidades trigonométricas:

$$
\sum_{k=0}^{n-1}\cos\frac{2k\pi}n = 0,
\qquad
\sum_{k=0}^{n-1}\sin\frac{2k\pi}n = 0
\qquad (n \geq 2).
$$

Geométricamente: el baricentro de un $n$-ágono regular inscrito en la circunferencia unidad es su centro: los vértices se compensan exactamente. Para $n = 5$, la primera da $1 + 2\cos\frac{2\pi}5 + 2\cos\frac{4\pi}5 = 0$ (emparejando $k$ con $n - k$), punto de partida del cálculo de $\cos\frac{2\pi}5$ del [Ejercicio 3.8](#exo-b1-complex-8).

**Ejemplo 3.20 (Raíces cuadradas en forma algebraica).**

Para resolver $z^2 = 3 + 4\iu$ sin trigonometría, póngase $z = x + \iu y$:

$$
x^2 - y^2 = 3, \qquad 2xy = 4, \qquad x^2 + y^2 = \abs{3 + 4\iu} = 5 .
$$

Sumando la primera y la última: $x^2 = 4$, luego $x = \pm 2$, y entonces $y = 2/x = \pm 1$ con el *mismo* emparejamiento de signos ($xy = 2 > 0$): $z = \pm(2 + \iu)$. Combinado con la fórmula habitual, esto resuelve toda ecuación de segundo grado con coeficientes complejos ([Ejercicio 3.7](#exo-b1-complex-7)).

## 3.4 Números complejos y geometría del plano

**Proposición 3.21 (Diccionario geométrico).**

Identifíquese el punto $M(x, y)$ del plano con su *afijo* $z = x + \iu y$. Para puntos distintos $A, B, C$ de afijos $a, b, c$:

1. $\abs{b - a}$ es la distancia $AB$ ;
2. $\arg\dfrac{c - a}{b - a}$ es el ángulo entre los vectores $\vect{AB}$ y $\vect{AC}$ ( [módulo](#def-b1-complex-field) $2\pi$ );
3. $A, B, C$ están alineados si y solo si $\dfrac{c - a}{b - a} \in  \R$ ; las rectas $AB$ y $AC$ son perpendiculares si y solo si $\dfrac{c - a}{b - a} \in \iu\R$ .

**Demostración.** (1) es la definición de [módulo](#def-b1-complex-field) aplicada a $b - a$, el afijo de $\vect{AB}$. (2): escríbanse $b - a = r\eu^{\iu\theta}$, $c - a = s\eu^{\iu\varphi}$; entonces $\frac{c-a}{b-a} = \frac sr
\eu^{\iu(\varphi - \theta)}$ tiene argumento $\varphi - \theta$, el ángulo de $\vect{AB}$ a $\vect{AC}$. (3): estar alineados significa ángulo $0$ o $\pi$, es decir, argumento en $\pi\Z$, es decir, cociente real; ser perpendiculares significa ángulo $\pm\frac\pi2$, es decir, cociente imaginario puro. (El cociente no es nulo, pues $C \neq A$.) ∎

**Observación 3.22 (Interludio: C\CC es el plano con una multiplicación).**

Vale la pena detenerse en lo que hace posible este capítulo: el plano $\R^2$ tiene sumas en todas las direcciones, pero ninguna multiplicación dada de antemano — y $\C$ *es* el plano dotado de una, en la que multiplicar por un número fijo gira y escala. Esta única estructura se exprimirá tres veces más en este volumen. En el [Capítulo 21](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/21-matrices#ch-b1-matrices), la multiplicación por $a + \iu b$ reaparece como la matriz $2 \times 2$ de filas $(a, -b)$ y $(b, a)$: la aritmética compleja es una primera familia de productos de matrices, enteramente concreta. En el [Capítulo 23](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/23-espacios-euclideos#ch-b1-euclid), la fórmula $\Re(\conj z\,w)$ resulta ser el producto escalar, y $\abs z$ la norma euclídea: la desigualdad triangular demostrada aquí es el modelo de la historia de Cauchy–Schwarz de allí. Y en el [Capítulo 24](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/24-curvas-planas#ch-b1-curves), un punto móvil se escribe mejor $t \mapsto z(t)$, de modo que velocidad y aceleración se vuelven derivadas de valores complejos — el movimiento circular, por ejemplo, es sin más $z(t) = R\,\eu^{\iu\omega t}$. Una buena multiplicación, cuatro capítulos de dividendos.

**Proposición 3.23 (Las aplicaciones z↦az+bz \mapsto az + bz↦az+b).**

Sean $a \in \C^*$, $b \in \C$. La transformación $f(z) = az + b$ del plano:

- es una traslación si $a = 1$ ;
- en caso contrario tiene un único punto fijo $\zeta = \frac{b}{1-a}$ , y $f(z) - \zeta = a\,(z - \zeta)$ : $f$ es la rotación de centro $\zeta$ y ángulo $\arg a$ , compuesta con la homotecia de centro $\zeta$ y razón $\abs a$ .

En particular, $z \mapsto \eu^{\iu\theta} z$ es la rotación de ángulo $\theta$ alrededor del origen, y $\conj z$ es la simetría respecto del eje real.

**Demostración.** Si $a = 1$, $f(z) = z + b$ traslada según el vector de afijo $b$. Si $a \neq 1$, la ecuación de punto fijo $z = az + b$ tiene la única solución $\zeta = \frac{b}{1-a}$, y entonces $f(z) - \zeta = az + b -
(a\zeta + b) = a(z - \zeta)$. Escribiendo $a = \abs a\, \eu^{\iu\arg a}$, multiplicar por $a$ escala las distancias a $\zeta$ por $\abs a$ y suma $\arg a$ a los ángulos en $\zeta$, que es la composición anunciada. ∎

**Ejemplo 3.24 (Clasificar una aplicación z↦az+bz \mapsto az+bz↦az+b).**

Tómese $f(z) = \iu z + 1$. Aquí $a = \iu \neq 1$: el punto fijo es

$$
\zeta = \frac{b}{1 - a} = \frac1{1 - \iu}
= \frac{1 + \iu}{2},
$$

y, como $\abs a = 1$, no hay escala alguna: $f$ es la rotación pura de centro $\frac{1+\iu}2$ y ángulo $\arg \iu = \frac\pi2$. Comprobación: $f(\zeta) = \iu\,\frac{1+\iu}2 + 1 = \frac{\iu - 1}2 + 1 =
\frac{1 + \iu}2 = \zeta$, y $f(0) = 1$, $f(1) = 1 + \iu$, $f(1 + \iu) = \iu\,(1 + \iu) + 1 = \iu$: los cuatro puntos $0, 1, 1+\iu, \iu$ del cuadrado unidad rotan alrededor de su centro $\zeta$, un cuarto de vuelta cada vez — exactamente lo que debe hacer una rotación de $\frac\pi2$ alrededor del centro del cuadrado.

![La aplicación f(z) = z + 1 del : una rotación de un cuarto de vuelta alrededor del punto fijo = 1+ 2. Los vértices del cuadrado unidad recorren el ciclo 0 1 1+ 0; ningún punto se mueve en línea recta y, sin embargo, todo el cuadrado gira rígidamente.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-complex/fig-93c487327b70.svg)

*La [aplicación](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-map) $f(z) = \iu z + 1$ del [Ejemplo 3.24](#ex-b1-complex-classify): una rotación de un cuarto de vuelta alrededor del punto fijo $\zeta = \frac{1+\iu}2$. Los vértices del cuadrado unidad recorren el ciclo $0 \to 1 \to 1{+}\iu \to \iu \to 0$; ningún punto se mueve en línea recta y, sin embargo, todo el cuadrado gira rígidamente.*

**Observación 3.25 (Errores frecuentes con módulos y argumentos).**

1. *En $\C$ no hay desigualdades.* Escribir $z \leq w$ para números no reales carece de sentido; solo se pueden comparar [módulos](#def-b1-complex-field) , partes reales y partes imaginarias.
2. *$\sqrt{\phantom z}$ está reservado para $\R_+$.* Todo complejo no nulo tiene *dos* raíces cuadradas y ninguna es privilegiada: escríbase «sea $\delta$ una raíz cuadrada de $\Delta$ » (calculada como en [Ejemplo 3.20](#ex-b1-complex-sqrt) ), nunca $\sqrt\Delta$ — la regla $\sqrt{ab} = \sqrt a\sqrt b$ ya falla en $a = b = -1$ .
3. *Los argumentos viven [módulo](#def-b1-complex-field) $2\pi$.* De $\eu^{\iu\alpha} = \eu^{\iu\beta}$ dedúzcase $\alpha  \equiv \beta \pmod{2\pi}$ , no $\alpha = \beta$ ; olvidar el $2k\pi$ es como los [conjuntos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) de soluciones de $z^n = a$ pierden $n - 1$ de sus $n$ elementos.
4. *$\abs{z + w}$ no es $\abs z + \abs w$.* La igualdad en la desigualdad triangular es el caso excepcional de alineación ( [Proposición 3.2](#prop-b1-complex-rules) (4)); en general, el [módulo](#def-b1-complex-field) de una suma hay que acotarlo, no calcularlo.

**Ejemplo 3.26.**

$A, B, C$ (de afijos $a, b, c$, distintos dos a dos) forman un triángulo equilátero con los vértices en orden directo (antihorario) si y solo si $\frac{c - a}{b - a} = \eu^{\iu\pi/3}$: la rotación de centro $A$ y ángulo $\frac\pi3$ envía $B$ a $C$. Las dos orientaciones juntas quedan recogidas en la ecuación simétrica $a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc +
ca$ ([Ejercicio 3.10](#exo-b1-complex-10)).

**Observación 3.27 (Dónde se usa este capítulo).**

La forma exponencial es el recurso de cálculo más reutilizado del volumen. Las [raíces de la unidad](#def-b1-complex-unity) se convierten en el ejemplo estándar de grupo cíclico en el [Capítulo 7](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/7-estructuras-algebraicas#ch-b1-structures) y mueven la factorización de $X^n - 1$ en el [Capítulo 8](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#ch-b1-poly); agrupar allí las raíces [conjugadas](#def-b1-complex-field) produce las factorizaciones reales que usan las fracciones simples del [Capítulo 9](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/9-fracciones-racionales#ch-b1-fractions). La linealización ([Método 3.11](#met-b1-complex-trig)) es la preparación estándar para integrar potencias trigonométricas en el [Capítulo 15](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/15-integracion-en-un-segmento#ch-b1-integration), y las ecuaciones características del [Capítulo 5](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/5-ecuaciones-diferenciales-lineales#ch-b1-diffeq) tienen raíces complejas cuyas partes real e imaginaria producen las soluciones oscilantes $\eu^{\lambda t}\cos\omega t$. El diccionario geométrico vuelve con ropaje matricial: las rotaciones y las semejanzas se convierten en las matrices ortogonales de los Capítulos [21](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/21-matrices#ch-b1-matrices) y [23](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/23-espacios-euclideos#ch-b1-euclid), y las curvas parametrizadas del [Capítulo 24](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/24-curvas-planas#ch-b1-curves) se escriben a menudo mejor como aplicaciones $t \mapsto z(t) \in \C$.

## 3.5 Ejercicios

**Ejercicio 3.1 ★.**

Póngase en forma exponencial: $1 + \iu$; $\;\sqrt 3 - \iu$; $\;-5$; $\;\dfrac{1 + \iu}{\sqrt 3 - \iu}$. Dedúzcanse $\cos\frac{5\pi}{12}$ y $\sin\frac{5\pi}{12}$.

**Solución de Ejercicio 3.1.**

$1 + \iu = \sqrt 2\, \eu^{\iu\pi/4}$; $\;\sqrt 3 - \iu = 2\, \eu^{-\iu\pi/6}$; $\;-5 = 5\, \eu^{\iu\pi}$;

$$
\frac{1 + \iu}{\sqrt 3 - \iu}
= \frac{\sqrt 2}{2}\, \eu^{\iu(\pi/4 + \pi/6)}
= \frac{\sqrt 2}{2}\, \eu^{5\iu\pi/12}.
$$

Calculando el mismo cociente por vía algebraica (multiplicando por el [conjugado](#def-b1-complex-field)):

$$
\frac{(1 + \iu)(\sqrt 3 + \iu)}{4}
= \frac{(\sqrt 3 - 1) + \iu(\sqrt 3 + 1)}{4}.
$$

Identificando con $\frac{\sqrt 2}{2}(\cos\frac{5\pi}{12} +
\iu\sin\frac{5\pi}{12})$:

$$
\cos\frac{5\pi}{12} = \frac{\sqrt 6 - \sqrt 2}{4},
\qquad
\sin\frac{5\pi}{12} = \frac{\sqrt 6 + \sqrt 2}{4}.
$$

**Ejercicio 3.2 ★.**

Calcúlese $(1 + \iu)^{20}$. ¿Para qué $n \in \N$ es $(1 + \iu)^n$ un número real?

**Solución de Ejercicio 3.2.**

$(1+\iu)^2 = 2\iu$, luego $(1+\iu)^{20} = (2\iu)^{10} = 2^{10}\,\iu^{10}
= 1024 \times (-1) = -1024$.

En forma exponencial, $(1+\iu)^n = 2^{n/2}\, \eu^{\iu n\pi/4}$, que es real si y solo si $\sin\frac{n\pi}{4} = 0$, es decir, $4 \mid n$. Así pues, $(1+\iu)^n \in \R$ exactamente para los múltiplos de $4$ (con valor $(-4)^{n/4}$).

**Ejercicio 3.3 ★.**

Descríbase geométricamente el [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) de los $z \in \C$ tales que: $\abs{z - 2} = \abs{z + \iu}$; $\;\abs{z - 1} = 2$; $\;\dfrac{z - 1}{z + 1} \in \iu\R$ (para $z \neq -1$).

**Solución de Ejercicio 3.3.**

$\abs{z - 2} = \abs{z + \iu}$: equidistancia de los puntos $2$ y $-\iu$ — la mediatriz del segmento que une $(2, 0)$ y $(0, -1)$.

$\abs{z - 1} = 2$: la circunferencia de centro $1$ y radio $2$.

$\frac{z-1}{z+1} \in \iu\R$: por la [Proposición 3.21](#prop-b1-complex-geometry) (3), los puntos $M(z)$, $A(1)$, $B(-1)$ cumplen que las rectas $MA$ y $MB$ son perpendiculares (o bien $z = 1$, donde el cociente vale $0 \in \iu\R$). El [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) es la circunferencia de diámetro $[-1, 1]$ (la circunferencia unidad) menos el punto $-1$, donde el cociente no está definido. *Comprobación por cálculo:* $z = \eu^{\iu\theta}$ da $\frac{z-1}{z+1} =
\frac{\eu^{\iu\theta/2}(\eu^{\iu\theta/2} -
\eu^{-\iu\theta/2})}{\eu^{\iu\theta/2}(\eu^{\iu\theta/2} +
\eu^{-\iu\theta/2})} = \iu\tan\frac\theta2 \in \iu\R$.

**Ejercicio 3.4 ★.**

Linealícese $\sin^4\theta$ y desarróllese $\cos 4\theta$ como polinomio en $\cos\theta$.

**Solución de Ejercicio 3.4.**

Linealización:

$$
\sin^4\theta
= \Bigl(\frac{\eu^{\iu\theta} - \eu^{-\iu\theta}}{2\iu}\Bigr)^{\!4}
= \frac{\eu^{4\iu\theta} - 4\eu^{2\iu\theta} + 6 - 4\eu^{-2\iu\theta}
+ \eu^{-4\iu\theta}}{16}
= \frac{\cos 4\theta - 4\cos 2\theta + 3}{8}.
$$

Desarrollo: por De Moivre, $\cos 4\theta = \Re\bigl((c +
\iu s)^4\bigr) = c^4 - 6c^2 s^2 + s^4$ con $c = \cos\theta$, $s = \sin\theta$; sustituyendo $s^2 = 1 - c^2$:

$$
\cos 4\theta = c^4 - 6c^2(1 - c^2) + (1 - c^2)^2
= 8c^4 - 8c^2 + 1 .
$$

**Ejercicio 3.5 ★.**

Resuélvase $z^3 = 8\iu$ y sitúense las soluciones en un dibujo. Resuélvase $z^4 = -4$ y factorícese $X^4 + 4$ en dos polinomios reales de segundo grado.

**Solución de Ejercicio 3.5.**

$8\iu = 8\,\eu^{\iu\pi/2}$, luego las raíces cúbicas son $2\,\eu^{\iu(\pi/6 + 2k\pi/3)}$, $k = 0, 1, 2$:

$$
z_0 = 2\eu^{\iu\pi/6} = \sqrt 3 + \iu,\quad
z_1 = 2\eu^{5\iu\pi/6} = -\sqrt 3 + \iu,\quad
z_2 = 2\eu^{3\iu\pi/2} = -2\iu :
$$

un triángulo equilátero sobre la circunferencia de radio $2$.

$-4 = 4\eu^{\iu\pi}$, así que $z^4 = -4$ tiene soluciones $\sqrt 2\,
\eu^{\iu(\pi/4 + k\pi/2)}$: $\;1 + \iu$, $-1 + \iu$, $-1 - \iu$, $1 - \iu$. Emparejando las raíces [conjugadas](#def-b1-complex-field):

$$
X^4 + 4 = \bigl(X^2 - 2X + 2\bigr)\bigl(X^2 + 2X + 2\bigr),
$$

puesto que $(X - (1+\iu))(X - (1-\iu)) = X^2 - 2X + 2$, y análogamente para el otro par. (Desarróllese para comprobarlo.)

**Ejercicio 3.6 ★★.**

Para $\theta \in \R$ con $\eu^{\iu\theta} \neq 1$ y $n \in \N$, calcúlense

$$
C_n = \sum_{k=0}^{n} \cos k\theta
\qquad\text{y}\qquad
S_n = \sum_{k=0}^{n} \sin k\theta
$$

sumando la serie geométrica $\sum_k \eu^{\iu k\theta}$ y usando la factorización por el ángulo mitad.

**Solución de Ejercicio 3.6.**

$C_n + \iu S_n = \sum_{k=0}^{n} \eu^{\iu k\theta} =
\frac{\eu^{\iu(n+1)\theta} - 1}{\eu^{\iu\theta} - 1}$ (suma geométrica de razón $\eu^{\iu\theta} \neq 1$). Factorización por el ángulo mitad ([Método 3.11](#met-b1-complex-trig) (4)) en numerador y denominador:

$$
\frac{2\iu\sin\frac{(n+1)\theta}{2}\, \eu^{\iu(n+1)\theta/2}}
{2\iu\sin\frac{\theta}{2}\, \eu^{\iu\theta/2}}
= \frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}\,
\eu^{\iu n\theta/2}.
$$

Tomando partes real e imaginaria:

$$
C_n = \frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}
\cos\frac{n\theta}{2},
\qquad
S_n = \frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}
\sin\frac{n\theta}{2}.
$$

**Ejercicio 3.7 ★★.**

Resuélvase en $\C$: $z^2 - (3 + 4\iu) z + (-1 + 5\iu) = 0$. *(Calcúlese el discriminante y extráiganse sus raíces cuadradas como en [Ejemplo 3.20](#ex-b1-complex-sqrt).)*

**Solución de Ejercicio 3.7.**

Discriminante: $\Delta = (3 + 4\iu)^2 - 4(-1 + 5\iu) = 9 + 24\iu - 16 +
4 - 20\iu = -3 + 4\iu$. Raíces cuadradas de $-3 + 4\iu$: resuélvase $x^2 - y^2 = -3$, $2xy = 4$, $x^2 + y^2 = 5$; entonces $x^2 = 1$, $y = 2/x$, con los mismos signos: $\delta = \pm(1 + 2\iu)$. Por tanto

$$
z = \frac{(3 + 4\iu) \pm (1 + 2\iu)}{2}
\in \{\, 2 + 3\iu,\; 1 + \iu \,\}.
$$

*Comprobación:* suma $= 3 + 4\iu$ y producto $(2+3\iu)(1+\iu) = -1 + 5\iu$, como exigen los coeficientes.

**Ejercicio 3.8 ★★.**

Sea $\omega = \eu^{2\iu\pi/5}$.

1. Justifíquese $1 + \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = 0$ .
2. Póngase $u = \omega + \omega^4$ y $v = \omega^2 + \omega^3$ . Calcúlense $u + v$ y $uv$ , y dedúzcase que $u$ y $v$ son las raíces de $X^2 + X - 1$ .
3. Conclúyase que $\cos\frac{2\pi}{5} = \frac{\sqrt 5 - 1}{4}$ .

**Solución de Ejercicio 3.8.**

1. [Proposición 3.18](#prop-b1-complex-sumroots) con $n = 5$ .
2. $u + v = \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = -1$ por (1). Para el producto, desarróllese y redúzcanse los exponentes [módulo](#def-b1-complex-field) $5$: $$uv = (\omega + \omega^4)(\omega^2 + \omega^3)  = \omega^3 + \omega^4 + \omega^6 + \omega^7  = \omega^3 + \omega^4 + \omega + \omega^2 = -1 .$$ Así pues, $u$ y $v$ tienen suma $-1$ y producto $-1$: son las dos raíces de $X^2 + X - 1$.
3. $u = \omega + \conj\omega = 2\cos\frac{2\pi}{5} > 0$ (el ángulo es agudo), y la raíz positiva de $X^2 + X - 1$ es $\frac{-1 + \sqrt 5}{2}$ . Luego $\cos\frac{2\pi}{5} =  \frac{\sqrt 5 - 1}{4}$ .

**Ejercicio 3.9 ★★.**

Demuéstrese que, para todos $z, w \in \C$ (identidad del paralelogramo):

$$
\abs{z + w}^2 + \abs{z - w}^2 = 2\abs z^2 + 2\abs w^2 ,
$$

e interprétese geométricamente en el paralelogramo de vértices $0, z,
w, z + w$.

**Solución de Ejercicio 3.9.**

Desarróllense los dos cuadrados como en la demostración de la [Proposición 3.2](#prop-b1-complex-rules) (4):

$$
\abs{z + w}^2 = \abs z^2 + \abs w^2 + 2\Re(z\conj w),
\qquad
\abs{z - w}^2 = \abs z^2 + \abs w^2 - 2\Re(z\conj w),
$$

y súmense. Geométricamente, $\abs{z+w}$ y $\abs{z-w}$ son las longitudes de las dos diagonales del paralelogramo de vértices $0, z, z+w, w$, mientras que $\abs z$ y $\abs w$ son las longitudes de los lados: la suma de los cuadrados de las diagonales es igual a la suma de los cuadrados de los cuatro lados.

**Ejercicio 3.10 ★★★.**

Demuéstrese que tres puntos distintos dos a dos, de afijos $a, b, c$, forman un triángulo equilátero (con cualquier orientación) si y solo si

$$
a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca .
$$

*Indicación: el caso directo es $\frac{c-a}{b-a} = -j^2$ y el indirecto $\frac{c-a}{b-a} = -j$, donde $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ cumple $j^2 + j + 1 = 0$; o bien factorícense $a + jb + j^2c$ y $a + j^2 b
+ jc$.*

**Solución de Ejercicio 3.10.**

Sea $j = \eu^{2\iu\pi/3}$, de modo que $j^2 + j + 1 = 0$ y $\eu^{\iu\pi/3} = -j^2$, $\eu^{-\iu\pi/3} = -j$. El triángulo es equilátero directo si y solo si $c - a = -j^2 (b - a)$, e indirecto si y solo si $c - a = -j(b - a)$ ([Ejemplo 3.26](#ex-b1-complex-equilateral)).

Considérense $P = a + jb + j^2 c$ y $Q = a + j^2 b + jc$. Usando $1 + j^2 = -j$ y $j^3 = 1$:

$$
c - a + j^2(b - a) = c + j^2 b - (1 + j^2)\,a = c + j^2 b + ja
= j\,(a + jb + j^2 c) = jP,
$$

de modo que el caso directo se lee $jP = 0 \iff P = 0$; el mismo cálculo con $j$ en lugar de $j^2$ da $c - a + j(b - a) = j^2 Q$, así que el caso indirecto se lee $Q = 0$. Por tanto: equilátero (con cualquier orientación) $\iff PQ = 0$. Desarrollando, con $j + j^2 = -1$:

$$
PQ = a^2 + b^2 + c^2 + (j + j^2)(ab + bc + ca)
= a^2 + b^2 + c^2 - (ab + bc + ca).
$$

Luego el triángulo es equilátero si y solo si $a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca$.

**Ejercicio 3.11 ★★★.**

Para $n \in \N^*$, calcúlese $P = \prod_{k=1}^{n-1}
\bigl(1 - \omega^k\bigr)$, donde $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$. *Indicación: $X^n - 1 = \prod_{k=0}^{n-1} (X - \omega^k)$; divídase por $X - 1$ y evalúese en $X = 1$.* Dedúzcase $\prod_{k=1}^{n-1} \sin\frac{k\pi}{n} = \dfrac{n}{2^{n-1}}$.

**Solución de Ejercicio 3.11.**

Como los $\omega^k$, $k = 0, \dots, n-1$, son exactamente las $n$ raíces de $X^n - 1$ ([Teorema 3.14](#thm-b1-complex-roots)), y el polinomio es mónico:

$$
X^n - 1 = \prod_{k=0}^{n-1} (X - \omega^k)
= (X - 1) \prod_{k=1}^{n-1} (X - \omega^k).
$$

Dividiendo por $X - 1$: $\;1 + X + \dots + X^{n-1} =
\prod_{k=1}^{n-1} (X - \omega^k)$. Evaluando en $X = 1$ se obtiene $P = n$.

Ahora bien, $1 - \omega^k = -\eu^{\iu k\pi/n}\bigl(\eu^{\iu k\pi/n} -
\eu^{-\iu k\pi/n}\bigr) = -2\iu\,\eu^{\iu k\pi/n} \sin\frac{k\pi}{n}$, de modo que, tomando [módulos](#def-b1-complex-field) en $P = n$ (cada $\sin\frac{k\pi}n > 0$ para $1 \leq k \leq n-1$):

$$
n = \abs P = \prod_{k=1}^{n-1} 2\sin\frac{k\pi}{n}
= 2^{n-1} \prod_{k=1}^{n-1} \sin\frac{k\pi}{n},
\qquad\text{luego}\qquad
\prod_{k=1}^{n-1} \sin\frac{k\pi}{n} = \frac{n}{2^{n-1}} .
$$

**Ejercicio 3.12 ★★.**

Sea $n \geq 2$. Resuélvase la ecuación $(z + 1)^n = (z - 1)^n$ en $\C$: véase que tiene exactamente $n - 1$ soluciones, todas imaginarias puras, a saber,

$$
z_k = -\iu\,\frac{\cos\frac{k\pi}{n}}{\sin\frac{k\pi}{n}},
\qquad k = 1, \dots, n - 1 .
$$

*Indicación: $z = 1$ no es solución, así que se divide y se usan las [raíces de la unidad](#def-b1-complex-unity); aplíquese después la factorización por el ángulo mitad del [Método 3.11](#met-b1-complex-trig).*

**Solución de Ejercicio 3.12.**

$z = 1$ no es solución ($2^n \neq 0$), así que la ecuación equivale a $\bigl(\frac{z+1}{z-1}\bigr)^n = 1$, es decir, $\frac{z+1}{z-1} = \omega^k$ con $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$ y $k \in \{0, \dots, n-1\}$. El valor $k = 0$ queda excluido ($z + 1 =
z - 1$ es imposible). Para $1 \leq k \leq n - 1$, resolver $z + 1 = \omega^k(z - 1)$ da $z(1 - \omega^k) = -1 - \omega^k$, de modo que, con $\varphi = \frac{2k\pi}{n}$ y las factorizaciones por el ángulo mitad $1 + \eu^{\iu\varphi} = 2\cos\frac\varphi2\,
\eu^{\iu\varphi/2}$, $\eu^{\iu\varphi} - 1 = 2\iu\sin\frac\varphi2
\,\eu^{\iu\varphi/2}$:

$$
z_k = \frac{1 + \omega^k}{\omega^k - 1}
= \frac{2\cos\frac{k\pi}{n}}{2\iu\,\sin\frac{k\pi}{n}}
= -\iu\,\frac{\cos\frac{k\pi}{n}}{\sin\frac{k\pi}{n}} ,
$$

imaginarios puros, como se afirmaba. La [aplicación](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-map) $t \mapsto \cos t/\sin t$ es [inyectiva](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj) en $\intoo0\pi$ (es estrictamente decreciente), luego los $n - 1$ valores $z_k$ son distintos dos a dos: la ecuación, de grado $n - 1$ una vez desarrollada (los términos $z^n$ se cancelan), tiene exactamente estas $n - 1$ soluciones.

## 3.6 Problema: el teorema de Napoleón

**Problema 3.1.**

Levántese un triángulo equilátero hacia fuera sobre cada lado de un triángulo *arbitrario*: los tres centros de esos triángulos forman siempre un triángulo equilátero. Este es el teorema de Napoleón — un [enunciado](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-statement) sin razón visible para ser cierto, que el álgebra de $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ demuestra en tres líneas de cálculo. Este problema construye toda la caja de herramientas (rotaciones, semejanzas directas, el criterio de $j$ del [Ejercicio 3.10](#exo-b1-complex-10)), demuestra el teorema de Napoleón interior y exterior, localiza el caso degenerado y cierra con otra joya de la misma escuela: el teorema de Van Schooten sobre triángulos equiláteros y la desigualdad de Ptolomeo. En todo el problema, los puntos del plano se identifican con sus afijos.

**Parte I — El número $j$ y las rotaciones.**

1. Calcúlese la forma algebraica de $j$ , y después $j^2$ , $j^3$ , $1 + j + j^2$ , $\conj j$ y $j^{-1}$ . Sitúense $1$ , $j$ , $j^2$ en un esbozo de la circunferencia unidad.
2. Pruébese que la rotación de centro $a$ y ángulo $\theta$ es $r(z) = a + \eu^{\iu\theta}(z - a)$ , y que la composición de dos rotaciones, de ángulos $\theta$ y $\theta'$ , es una rotación de ángulo $\theta + \theta'$ si $\theta + \theta'  \notin 2\pi\Z$ , y una traslación en caso contrario. (Úsese la [Proposición 3.23](#prop-b1-complex-similitude) .)
3. Sea $b \neq c$ . Pruébese que hay exactamente dos puntos $p$ que hacen equilátero a $(b, c, p)$ , a saber, $p = b +  \eu^{\pm\iu\pi/3}(c - b)$ . Para un triángulo *directo* $(a, b, c)$ , compruébese en el ejemplo $a = 0$ , $b = 1$ , $c =  \iu$ que la elección $\eu^{-\iu\pi/3}$ es la que queda al otro lado de la recta $BC$ respecto de $a$ — el vértice *exterior* .
4. De la solución del [Ejercicio 3.10](#exo-b1-complex-10), $(a, b, c)$ es equilátero directo si y solo si $a + jb + j^2c = 0$. Demuéstrense las dos identidades de rotación $$b + jc + j^2a = j^2\,(a + jb + j^2c),  \qquad  c + ja + j^2b = j\,(a + jb + j^2c),$$ y dedúzcase que el criterio es invariante por [permutación](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/2-combinatoria#def-b1-counting-objects) cíclica de $(a, b, c)$.
5. Pruébese que si $a + jb + j^2c = 0$ y dos de los tres puntos coinciden, entonces los tres coinciden. (De modo que el criterio caracteriza exactamente: triángulo equilátero directo, o un solo punto.)

**Parte II — Semejanzas directas.**

6. Pruébese que las aplicaciones $f(z) = az + b$ con $a \in \C^*$ ( *semejanzas directas* ) son estables por composición e inversión: la composición de dos de ellas, y la inversa de cualquiera de ellas, vuelve a ser de esta forma. (En el lenguaje del [Capítulo 7](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/7-estructuras-algebraicas#ch-b1-structures) : forman un grupo.)
7. Dados $z_1 \neq z_2$ y $w_1 \neq w_2$ , pruébese que hay una *única* semejanza directa $f$ con $f(z_1) = w_1$ y $f(z_2) = w_2$ , y dense $a$ y $b$ explícitamente.
8. Pruébese que una semejanza directa $f(z) = az + b$ multiplica todas las distancias por $\abs a$ y conserva la *forma* $\frac{c - a'}{b' - a'}$ de todo triángulo $(a', b', c')$ *(numerador y denominador quedan ambos multiplicados por $a$)* . Dedúzcase que dos triángulos son directamente semejantes exactamente cuando sus formas coinciden.
9. Determínese por completo la semejanza directa con $f(0) = 1$ y $f(1) = \iu$ : dense $a$ , $b$ , el punto fijo, la razón y el ángulo.
10. Sea $\alpha + \beta = 1$ . Pruébese que el «punto ponderado» $g(a', b') = \alpha a' + \beta b'$ conmuta con toda semejanza directa: $f(\alpha a' + \beta b') = \alpha f(a') + \beta f(b')$ . Dedúzcase que baricentros, puntos medios y los centros de Napoleón de más abajo son transportados por las semejanzas — la licencia algebraica que hay detrás de todo argumento del tipo «sin pérdida de generalidad, tómese la circunferencia circunscrita como circunferencia unidad».

**Parte III — El teorema de Napoleón.** Sea $(a, b, c)$ un triángulo directo. Sobre cada lado levántese el triángulo equilátero exterior (pregunta 3) y sean $n_a$, $n_b$, $n_c$ los centros (baricentros) de los triángulos levantados sobre $[b, c]$, $[c, a]$, $[a, b]$, respectivamente.

11. Pruébese que $$n_a = \alpha b + \beta c, \qquad  n_b = \alpha c + \beta a, \qquad  n_c = \alpha a + \beta b,  \qquad\text{con}\quad  \alpha = \frac{3 + \iu\sqrt3}{6},\ \beta = \conj\alpha .$$
12. Compruébese que $\alpha + \beta = 1$ y dedúzcase que el triángulo $(n_a, n_b, n_c)$ tiene el *mismo baricentro* que $(a, b, c)$ .
13. Usando las identidades de la pregunta 4, pruébese que $$n_a + j\,n_b + j^2 n_c  = (\alpha j^2 + \beta j)\,(a + jb + j^2c) .$$
14. Calcúlese $\alpha j + \beta$ y conclúyase: $\alpha j^2 +  \beta j = j(\alpha j + \beta) = 0$ , luego $n_a + j n_b + j^2  n_c = 0$ para *todo* triángulo: el triángulo de Napoleón exterior es equilátero directo (o un punto). El teorema de Napoleón queda demostrado.
15. Levántense ahora los triángulos equiláteros *hacia dentro* (elección $\eu^{+\iu\pi/3}$ en la pregunta 3) y sean $m_a, m_b, m_c$ sus centros. Pruébese que $m_a = \beta b +  \alpha c$ (y cíclicamente), y demuéstrese después que $m_a + j^2 m_b + j\,m_c = 0$ : el triángulo de Napoleón interior también es equilátero, con la orientación opuesta.
16. Localícese la degeneración: pruébese que $n_a = n_b = n_c$ ocurre exactamente cuando $a + j^2 b + jc = 0$ , es decir, cuando $(a, b, c)$ es un triángulo equilátero *indirecto* . *(Dos de los puntos $n_a, n_b, n_c$ coinciden si y solo si los tres coinciden, por la pregunta 5; úsese después $n_a + j^2 n_b + j n_c = j(\alpha + \beta j)(a +  j^2b + jc)$ y compruébese que $\alpha + \beta j \neq 0$.)*
17. Hágase todo el cálculo con el triángulo $a = 0$ , $b = 1$ , $c = \iu$ : dense $n_a, n_b, n_c$ exactamente y verifíquese, por cálculo directo de las tres longitudes al cuadrado de los lados, que el triángulo es equilátero, de lado al cuadrado $\frac{2 + \sqrt3}{3}$ .

**Parte IV — Ptolomeo y Van Schooten.**

18. Demuéstrese la identidad, válida para todos los complejos $a, b, c, d$: $$(a - b)(c - d) + (a - d)(b - c) = (a - c)(b - d) .$$
19. Dedúzcase la *desigualdad de Ptolomeo*: para cuatro puntos cualesquiera $A, B, C, D$, $$AC \cdot BD \;\leq\; AB \cdot CD + AD \cdot BC ,$$ con igualdad si y solo si $(a-b)(c-d)$ y $(a-d)(b-c)$ están en una misma semirrecta desde $0$.
20. Pruébese que, para $\theta, \varphi \in \R$ , $\abs{\eu^{\iu\theta} - \eu^{\iu\varphi}} =  2\,\abs{\sin\frac{\theta - \varphi}2}$ .
21. (Teorema de Van Schooten) Sea $(a, b, c) = (1, j, j^2)$ — por la parte II esto no supone pérdida de generalidad entre los triángulos equiláteros directos — y sea $p = \eu^{\iu\theta}$ con $\theta \in  \intoo{2\pi/3}{4\pi/3}$, un punto de la circunferencia circunscrita en el arco $BC$ que no contiene a $A$. Demuéstrese $$PA = PB + PC .$$ *(Exprésense las tres distancias con la pregunta 20 y úsese una fórmula de transformación de suma en producto.)*
22. Verifíquese en $p = -1$ que esto es exactamente el caso de igualdad de la desigualdad de Ptolomeo para el orden cíclico $A, B, P, C$ : calcúlense $(a - b)(p - c)$ y $(a - c)(b - p)$ y compruébese que su cociente es un real positivo.

**Parte V — Síntesis.**

23. Calcúlese el triángulo de Napoleón exterior del propio triángulo equilátero $(1, j, j^2)$ y descríbase el resultado geométricamente.
24. ¿Dónde ha usado exactamente el problema: (i) la multiplicación como rotación; (ii) la estructura de grupo de las semejanzas y el invariante de forma; (iii) la factorización por el ángulo mitad del [Método 3.11](#met-b1-complex-trig) ? Una frase para cada uno.
25. En un párrafo breve, formúlese la moraleja del problema: qué aporta el diccionario entre la geometría del plano y el álgebra de $\C$ , qué cuesta y cuál de los dos pasos de la demostración — la identidad $\alpha j + \beta = 0$ o el dibujo clásico — *explica* mejor, en su opinión, el teorema de Napoleón. Menciónese un lugar donde el diccionario reaparecerá en forma matricial más adelante en este volumen.

**Solución de Problema 3.1.**

**1.** $j = \cos\frac{2\pi}3 + \iu\sin\frac{2\pi}3 = -\frac12
+ \iu\frac{\sqrt3}2$; $j^2 = \eu^{4\iu\pi/3} = -\frac12 -
\iu\frac{\sqrt3}2 = \conj j$; $j^3 = 1$; $1 + j + j^2 = 0$ (suma de las raíces cúbicas de la unidad, [Proposición 3.18](#prop-b1-complex-sumroots)); $j^{-1} = j^2$ (pues $j \cdot j^2 = 1$). Sobre la circunferencia unidad, $1$, $j$, $j^2$ son los vértices de un triángulo equilátero directo.

**2.** La rotación de centro $a$ y ángulo $\theta$ fija $a$ y gira un ángulo $\theta$ todo vector con origen en $a$: $r(z) - a =
\eu^{\iu\theta}(z - a)$, es decir, $r(z) = a + \eu^{\iu\theta}(z - a)$. Componiendo $r(z) = a + \eu^{\iu\theta}(z-a)$ y $r'(z) = a' +
\eu^{\iu\theta'}(z-a')$:

$$
r' \circ r\,(z) = \eu^{\iu(\theta + \theta')} z +
\text{constante},
$$

una [aplicación](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-map) de la forma $Az + B$ con $A = \eu^{\iu(\theta+\theta')}$ de [módulo](#def-b1-complex-field) $1$. Por la [Proposición 3.23](#prop-b1-complex-similitude), es una rotación de ángulo $\arg A = \theta + \theta'$ si $A \neq 1$, y una traslación si $A = 1$, es decir, si $\theta + \theta' \in 2\pi\Z$.

**3.** $(b, c, p)$ es equilátero si y solo si $\abs{p - b} =
\abs{c - b} = \abs{p - c}$. Escribiendo $q = \frac{p - b}{c - b}$, la primera igualdad dice $\abs q = 1$ y la segunda $\abs{q - 1} = 1$; juntas, $q = \eu^{\pm\iu\pi/3}$ (los dos puntos de corte de las circunferencias $\abs q = 1$ y $\abs{q - 1} = 1$ son $\frac12 \pm \iu\frac{\sqrt3}2$). Luego $p = b + \eu^{\pm\iu\pi/3}(c - b)$. Para $a = 0$, $b = 1$, $c = \iu$ (triángulo directo), la elección $\eu^{-\iu\pi/3}$ da

$$
p = 1 + \Bigl(\tfrac12 - \iu\tfrac{\sqrt3}2\Bigr)(\iu - 1)
= \tfrac{1 + \sqrt3}2\,(1 + \iu) \approx 1.37 + 1.37\,\iu ,
$$

que queda al otro lado de la recta $BC$ ($x + y = 1$) respecto de $a = 0$: hacia fuera. La elección $\eu^{+\iu\pi/3}$ da $p \approx -0.37 - 0.37\,\iu$, del mismo lado que $a$: hacia dentro.

**4.** Multiplíquese $P = a + jb + j^2c$ por $j^2$: $j^2 P = j^2 a +
j^3 b + j^4 c = b + jc + j^2 a$ (usando $j^3 = 1$, $j^4 = j$); y por $j$: $jP = ja + j^2 b + c$. Estas son las dos identidades. Si $P = 0$, entonces $j^2 P = jP = 0$: el criterio se cumple también para $(b, c, a)$ y $(c, a, b)$ — invariancia cíclica (como debe ser: a un triángulo equilátero le da igual qué vértice se enumere primero).

**5.** Si $a = b$: $0 = a(1 + j) + j^2 c = -j^2 a + j^2 c$ (usando $1 + j = -j^2$), luego $c = a$. Si $b = c$: $0 = a + b(j + j^2) = a - b$, luego $a = b$. Si $a = c$: $0 = a(1 + j^2) + jb = -ja + jb$, luego $a = b$. En cada caso, los tres puntos coinciden.

**6.** $(a'z + b') \circ (az + b) = a'a\,z + (a'b + b')$ con $a'a \neq 0$: la misma forma. La inversa de $z \mapsto az + b$ es $z \mapsto \frac1a z - \frac ba$, de nuevo de la misma forma. Con la [aplicación](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-map) identidad como elemento neutro, las semejanzas directas forman un grupo con la composición.

**7.** $f(z) = az + b$ cumple $f(z_1) = w_1$, $f(z_2) = w_2$ si y solo si $a z_1 + b = w_1$ y $a z_2 + b = w_2$; restando, $a(z_2 - z_1) = w_2 - w_1$, de modo que

$$
a = \frac{w_2 - w_1}{z_2 - z_1} \;(\neq 0), \qquad
b = w_1 - a z_1
$$

quedan forzados y, recíprocamente, esta elección sirve: existencia y unicidad.

**8.** $\abs{f(z) - f(w)} = \abs{a(z - w)} = \abs a\,\abs{z - w}$: todas las distancias quedan multiplicadas por $\abs a$. Para la forma:

$$
\frac{f(c') - f(a')}{f(b') - f(a')} = \frac{a(c' -
a')}{a(b' - a')} = \frac{c' - a'}{b' - a'} .
$$

Si dos triángulos $(a', b', c')$ y $(a'', b'', c'')$ tienen la misma forma, sea $f$ la única semejanza directa con $f(a') = a''$ y $f(b') = b''$ (pregunta 7); entonces la forma de $(a'', b'', f(c'))$ coincide con la de $(a', b', c')$ y, por tanto, con la de $(a'', b'', c'')$, y la forma determina el tercer vértice a partir de los dos primeros: $f(c') = c''$. Recíprocamente, la igualdad de formas se sigue de la invariancia anterior.

**9.** $b = f(0) = 1$; $a + b = f(1) = \iu$ da $a = \iu - 1$. Razón $\abs a = \sqrt2$, ángulo $\arg(\iu - 1) = \frac{3\pi}4$. Punto fijo:

$$
\zeta = \frac{b}{1 - a} = \frac1{2 - \iu} = \frac{2 + \iu}5 .
$$

Así pues, $f$ es la semejanza directa de centro $\frac{2+\iu}5$, razón $\sqrt2$ y ángulo $\frac{3\pi}4$.

**10.** Con $\alpha + \beta = 1$ y $f(z) = az + b$:

$$
f(\alpha a' + \beta b') = a\alpha a' + a\beta b' + b
= \alpha(a a' + b) + \beta(a b' + b)
= \alpha f(a') + \beta f(b') ,
$$

siendo la clave $b = (\alpha + \beta)b$. Los puntos medios ($\alpha = \beta = \frac12$), los baricentros (iterando) y los centros de Napoleón $\alpha b + \beta c$ de más abajo son, por tanto, *equivariantes*: transformar el triángulo los transforma en consecuencia. Así, demostrar un [enunciado](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-statement) invariante por semejanza para un triángulo bien colocado lo demuestra para todos — la licencia usada en la pregunta 21.

**11.** El vértice exterior sobre $[b, c]$ es $p_a = b + \eu^{-\iu\pi/3}(c - b)$ (pregunta 3), luego el centro es

$$
n_a = \frac{b + c + p_a}3
= \frac{2b + c + \frac{1 - \iu\sqrt3}2\,(c - b)}3
= \frac{(3 + \iu\sqrt3)\,b + (3 - \iu\sqrt3)\,c}6
= \alpha b + \beta c ,
$$

con $\alpha = \frac{3 + \iu\sqrt3}6$ y $\beta = \frac{3 -
\iu\sqrt3}6 = \conj\alpha$. El mismo cálculo sobre los lados $[c, a]$ y $[a, b]$ da $n_b = \alpha c + \beta a$ y $n_c = \alpha a + \beta b$ (desplazamiento cíclico de los papeles).

**12.** $\alpha + \beta = \frac{3 + \iu\sqrt3 + 3 -
\iu\sqrt3}6 = 1$. Por tanto

$$
\frac{n_a + n_b + n_c}3
= \frac{(\alpha + \beta)(a + b + c)}3 = \frac{a + b + c}3 :
$$

los dos triángulos comparten baricentro.

**13.** Agrúpese por $\alpha$ y $\beta$ y apliquénse las identidades de la pregunta 4 a $P = a + jb + j^2c$:

$$
n_a + j n_b + j^2 n_c
= \alpha\,(b + jc + j^2 a) + \beta\,(c + ja + j^2 b)
= \alpha\,j^2 P + \beta\,j P
= (\alpha j^2 + \beta j)\,P .
$$

**14.** Con $j = \frac{-1 + \iu\sqrt3}2$:

$$
\alpha j = \frac{(3 + \iu\sqrt3)(-1 + \iu\sqrt3)}{12}
= \frac{-3 + 3\iu\sqrt3 - \iu\sqrt3 - 3}{12}
= \frac{-3 + \iu\sqrt3}6 = -\beta ,
$$

de modo que $\alpha j + \beta = 0$, luego $\alpha j^2 + \beta j =
j(\alpha j + \beta) = 0$, y la pregunta 13 da $n_a + jn_b + j^2n_c = 0$ para todo triángulo $(a, b, c)$. Por el criterio (preguntas 4–5), los centros forman un triángulo equilátero directo o un solo punto: el teorema de Napoleón.

**15.** El vértice interior es $b + \eu^{+\iu\pi/3}(c - b)$, y el cálculo de la pregunta 11 con $\eu^{+\iu\pi/3} = \frac{1 +
\iu\sqrt3}2$ intercambia $\alpha$ y $\beta$: $m_a = \beta b + \alpha
c$, $m_b = \beta c + \alpha a$, $m_c = \beta a + \alpha b$. Usando las identidades análogas $b + j^2c + ja = j\,Q$ y $c + j^2a + jb = j^2 Q$ para $Q = a + j^2b + jc$:

$$
m_a + j^2 m_b + j m_c
= \beta(b + j^2 c + ja) + \alpha(c + j^2 a + jb)
= (\beta j + \alpha j^2)\, Q = j(\beta + \alpha j)\,Q = 0 ,
$$

puesto que $\alpha j = -\beta$ (pregunta 14). Así pues, los centros interiores cumplen el criterio de equilátero *indirecto*: equilátero con la orientación opuesta (o un punto).

**16.** Por la pregunta 5 aplicada a la terna $(n_a, n_b, n_c)$ (que cumple el criterio directo), dos centros coinciden si y solo si coinciden los tres; y los tres coinciden si y solo si se cumplen *los dos* criterios, es decir, si además $n_a + j^2 n_b + j n_c =
0$. Calcúlese como en la pregunta 13, con las identidades $b + j^2c + ja = jQ$, $c + j^2a + jb = j^2Q$:

$$
n_a + j^2 n_b + j n_c
= \alpha\,jQ + \beta\,j^2 Q = j(\alpha + \beta j)\,Q .
$$

Directamente: $\beta j = \frac{(3 -
\iu\sqrt3)(-1 + \iu\sqrt3)}{12} = \frac{-3 + 3\iu\sqrt3 +
\iu\sqrt3 + 3}{12} = \frac{\iu\sqrt3}3$, luego $\alpha + \beta j =
\frac{3 + \iu\sqrt3 + 2\iu\sqrt3}6 = \frac{1 + \iu\sqrt3}2 \neq 0$. Por tanto, el triángulo de Napoleón exterior degenera si y solo si $Q = a + j^2b + jc = 0$, es decir, si y solo si $(a, b, c)$ es un triángulo equilátero indirecto — en ese caso las construcciones «hacia fuera» apuntan todas hacia dentro y comparten un mismo centro.

**17.** Con $a = 0$, $b = 1$, $c = \iu$:

$$
n_a = \alpha + \beta\iu = \frac{(3 + \sqrt3)(1 + \iu)}6,
\qquad
n_b = \alpha\iu = \frac{-\sqrt3 + 3\iu}6,
\qquad
n_c = \beta = \frac{3 - \iu\sqrt3}6 .
$$

Lados al cuadrado: $n_a - n_b = \frac{(3 + 2\sqrt3) +
\iu\sqrt3}6$ da $\abs{n_a - n_b}^2 = \frac{(3 + 2\sqrt3)^2 +
3}{36} = \frac{24 + 12\sqrt3}{36} = \frac{2 + \sqrt3}3$; $n_b - n_c = \frac{(3 + \sqrt3)(-1 + \iu)}6$ da $\abs{n_b - n_c}^2 =
\frac{2(3 + \sqrt3)^2}{36} = \frac{24 + 12\sqrt3}{36}$; $n_c - n_a = \frac{-\sqrt3 - \iu(3 + 2\sqrt3)}6$ da otra vez el mismo valor. Los tres lados al cuadrado valen $\frac{2 + \sqrt3}3$: equilátero, como se prometía.

**18.** Desarróllese:

$$
(a - b)(c - d) + (a - d)(b - c)
= (ac - ad - bc + bd) + (ab - ac - bd + cd)
= ab - ad - bc + cd ,
$$

y $(a - c)(b - d) = ab - ad - bc + cd$: iguales.

**19.** Tómense [módulos](#def-b1-complex-field) en la pregunta 18 y aplíquese la desigualdad triangular ([Proposición 3.2](#prop-b1-complex-rules) (4)):

$$
AC \cdot BD = \abs{(a-b)(c-d) + (a-d)(b-c)}
\leq \abs{a-b}\,\abs{c-d} + \abs{a-d}\,\abs{b-c}
= AB \cdot CD + AD \cdot BC ,
$$

con igualdad si y solo si los dos sumandos están en una misma semirrecta desde $0$ (el caso de igualdad de la desigualdad triangular).

**20.** Factorización por el ángulo mitad ([Método 3.11](#met-b1-complex-trig) (4)): $\eu^{\iu\theta} - \eu^{\iu\varphi} = 2\iu\,\sin\frac{\theta -
\varphi}2\;\eu^{\iu(\theta + \varphi)/2}$, y tomar [módulos](#def-b1-complex-field) elimina los factores unimodulares: $\abs{\eu^{\iu\theta} - \eu^{\iu\varphi}}
= 2\,\abs{\sin\frac{\theta - \varphi}2}$.

**21.** Con $p = \eu^{\iu\theta}$, $\theta \in
\intoo{2\pi/3}{4\pi/3}$, la pregunta 20 da

$$
PA = 2\,\abs{\sin\tfrac\theta2},
\quad
PB = 2\,\abs{\sin\bigl(\tfrac\theta2 - \tfrac\pi3\bigr)},
\quad
PC = 2\,\abs{\sin\bigl(\tfrac\theta2 - \tfrac{2\pi}3\bigr)} .
$$

Sobre el arco, $\frac\theta2 \in \intoo{\pi/3}{2\pi/3}$: entonces $\sin\frac\theta2 > 0$; $\frac\theta2 - \frac\pi3 \in
\intoo0{\pi/3}$, luego el segundo seno es positivo; $\frac\theta2 -
\frac{2\pi}3 \in \intoo{-\pi/3}0$, luego el tercero es negativo y $PC = 2\sin\bigl(\frac{2\pi}3 - \frac\theta2\bigr)$. Transformando la suma en producto:

$$
\sin\Bigl(\frac\theta2 - \frac\pi3\Bigr) +
\sin\Bigl(\frac{2\pi}3 - \frac\theta2\Bigr)
= 2\,\sin\frac\pi6\,\cos\Bigl(\frac\theta2 - \frac\pi2\Bigr)
= \sin\frac\theta2 ,
$$

luego $PB + PC = 2\sin\frac\theta2 = PA$: el teorema de Van Schooten.

**22.** En $p = -1$: $PA = 2$, $PB = PC = 1$, y todos los lados del triángulo equilátero miden $\sqrt3$, de modo que los dos miembros de Ptolomeo valen $2\sqrt3$. Algebraicamente, usando $-1 - j^2 = j$ y $1 + j = -j^2$:

$$
(a - b)(p - c) = (1 - j)\,(-1 - j^2) = (1 - j)j = j - j^2
= \iu\sqrt3 ,
$$

$$
(a - c)(b - p) = (1 - j^2)(j + 1) = 1 + j - j^2 - j^3
= j - j^2 = \iu\sqrt3 .
$$

Los dos términos son iguales, luego su cociente es $1 \in \R_{>0}$: el caso de igualdad de la pregunta 19, que reproduce exactamente $PA \cdot BC = PB \cdot AC + PC \cdot AB$.

**23.** Para $(a, b, c) = (1, j, j^2)$: $n_a = \alpha j +
\beta j^2 = -\beta + \beta j^2$ (pregunta 14) $= \beta(j^2 - 1)$; numéricamente, $\beta(j^2 - 1) = \frac{(3 - \iu\sqrt3)}6 \cdot
\bigl(-\frac32 - \iu\frac{\sqrt3}2\bigr) = -1$. Análogamente, $n_b = \alpha j^2 + \beta = -j$ y $n_c = \alpha + \beta j = -j^2$. El triángulo de Napoleón exterior de $(1, j, j^2)$ es $(-1, -j, -j^2)$: el triángulo de partida reflejado a través de su baricentro $0$ — del mismo tamaño, girado media vuelta. Un triángulo equilátero es una forma fija de la construcción de Napoleón, no un límite que se encoge.

**24.** (i) La multiplicación por un número unimodular como rotación construyó los vértices y los centros (preguntas 2–3 y 11) y convirtió distancias sobre la circunferencia en senos (pregunta 20). (ii) La estructura de grupo y el invariante de forma justificaron normalizar la circunferencia circunscrita a la circunferencia unidad y el triángulo a $(1, j, j^2)$ en la pregunta 21, mediante la equivariancia de la pregunta 10. (iii) La factorización por el ángulo mitad movió tanto la pregunta 20 como el paso de suma a producto que remata Van Schooten.

**25.** El diccionario convierte los [enunciados](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-statement) geométricos en identidades polinómicas en las que toda hipótesis es una ecuación: lo que aporta es mecanización — el teorema de Napoleón reducido a $\alpha j + \beta = 0$, una línea de aritmética en $\Q(\iu\sqrt3)$ —; lo que cuesta es visibilidad geométrica — el cálculo certifica, pero no muestra *por qué* los centros se cierran en un triángulo equilátero. Una respuesta razonable es que la identidad explica la *inevitabilidad* del teorema (se cumple idénticamente en $a, b, c$, de modo que no interviene ninguna astucia de configuración), mientras que el dibujo explica su *contenido*. El mismo diccionario vuelve en forma matricial cuando las rotaciones se convierten en las matrices ortogonales $2 \times 2$ de los [Capítulo 21](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/21-matrices#ch-b1-matrices) y [Capítulo 23](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/23-espacios-euclideos#ch-b1-euclid), donde «multiplicar por $\eu^{\iu\theta}$» es el prototipo de isometría lineal.