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title: "Funciones usuales"
book: "Matemáticas universitarias — Grado 1"
subject: math
language: es
chapter: 4
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/4-funciones-usuales
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# Capítulo 4 — Funciones usuales

El análisis vale lo que valga el repertorio de funciones que uno domine. A la colección heredada de la enseñanza anterior — potencias, exponencial, logaritmo, funciones trigonométricas — este capítulo añade sus funciones inversas ($\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$) y la familia hiperbólica. Las derivadas se usan con libertad al nivel del volumen anterior; la teoría que hay detrás de las funciones inversas se completa en los Capítulos [13](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#ch-b1-continuity) y [14](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/14-derivacion#ch-b1-derivative).

## 4.1 Exponencial, logaritmo, potencias

**Proposición 4.1 (Repaso y caracterización).**

$\exp \colon \R \to \intoo{0}{+\infty}$ y $\ln \colon
\intoo{0}{+\infty} \to \R$ son biyecciones recíprocas, estrictamente crecientes, con

$$
\exp(x + y) = \exp x \exp y, \qquad \ln(xy) = \ln x + \ln y,
\qquad \exp' = \exp, \qquad \ln'(x) = \frac 1x .
$$

Además, $\exp$ es la *única* función derivable $f \colon
\R \to \R$ con $f' = f$ y $f(0) = 1$.

**Demostración.** El repaso es materia del volumen anterior. Para la unicidad, sea $f' = f$, $f(0) = 1$, y póngase $g(x) = f(x)\,\eu^{-x}$. Entonces $g' = f'\eu^{-x} - f\eu^{-x} = 0$, luego $g$ es constante igual a $g(0) = 1$: $f = \exp$. ∎

**Definición 4.2 (Potencias de exponente real).**

Para $x > 0$ y $\alpha \in \R$: $\;x^\alpha = \eu^{\alpha \ln x}$. Para $a > 0$, $a \neq 1$, el *logaritmo en base $a$* es $\log_a x =
\frac{\ln x}{\ln a}$, la inversa de $x \mapsto a^x$.

**Ejemplo 4.3 (Resolver ecuaciones exponenciales).**

Resuélvase $2^x = 5^{\,x-1}$ en $\R$. Los dos miembros son positivos, así que se toman logaritmos — un paso reversible:

$$
x\ln2 = (x - 1)\ln5
\iff x(\ln2 - \ln5) = -\ln5
\iff x = \frac{\ln5}{\ln5 - \ln2} = \frac{\ln 5}{\ln\frac52}
\approx 1.756 .
$$

A continuación, resuélvase $x^{\sqrt2} = 3$ para $x > 0$: elévese a la potencia $\frac1{\sqrt2}$ (es decir, aplíquese la [biyección](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj) recíproca): $x = 3^{1/\sqrt2} = \eu^{(\ln 3)/\sqrt2} \approx 2.175$. La idea clave: toda ecuación que mezcle potencias se desenreda con $\ln$ y $\exp$, porque la definición $x^\alpha = \eu^{\alpha\ln x}$ reduce toda manipulación de potencias a la aritmética de los exponentes — pero solo en el dominio $x > 0$ donde esa definición vive.

**Ejemplo 4.4 (Tiempos de duplicación).**

Una magnitud crece un $3\,\%$ en cada paso: tras $n$ pasos queda multiplicada por $(1.03)^n$. ¿Cuándo se duplica? Resuélvase $(1.03)^n \geq 2$:

$$
n\ln(1.03) \geq \ln2
\iff n \geq \frac{\ln 2}{\ln 1.03}
= \frac{0.6931}{0.02956} \approx 23.4 ,
$$

de modo que la primera duplicación ocurre en el paso $24$. (La «regla del $72$» de los financieros, que estima el tiempo de duplicación como $72$ dividido por la tasa en tanto por ciento, es este mismo cálculo con la aproximación $\ln(1 + x) \approx x$, cuantificada en el [Capítulo 16](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/16-formulas-de-taylor-y-desarrollos-asintoticos#ch-b1-taylor).) Los procesos exponenciales se razonan mejor a través de sus logaritmos: en esa escala el crecimiento es lineal y las preguntas se vuelven divisiones.

**Ejemplo 4.5 (¿Cuánto ocupa 220262^{2026}22026?).**

El número de cifras decimales de un entero $N \geq 1$ es $\floor{\log_{10} N} + 1$ (en efecto, $N$ tiene $d$ cifras exactamente cuando $10^{d-1} \leq N < 10^d$, es decir, $d - 1 \leq \log_{10}N < d$). Para $N = 2^{2026}$:

$$
\log_{10} 2^{2026} = 2026\,\log_{10}2
= 2026 \times 0.301030 = 609.887 ,
$$

luego $2^{2026}$ tiene $610$ cifras. La parte fraccionaria trae una prima: $10^{0.887} \approx 7.7$, así que el número *empieza* por $7$. Una multiplicación ha respondido a una pregunta sobre un número que nadie escribirá nunca — los logaritmos comprimen el tamaño multiplicativo en tamaño aditivo, que es su razón de ser histórica (el [Ejemplo 7.12](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/7-estructuras-algebraicas#ex-b1-structures-expmorphism) hace precisa esa frase).

**Proposición 4.6 (Reglas de las potencias y comparación de crecimientos).**

Para $x, y > 0$ y $\alpha, \beta \in \R$:

$$
x^{\alpha+\beta} = x^\alpha x^\beta, \quad
(x^\alpha)^\beta = x^{\alpha\beta}, \quad
(xy)^\alpha = x^\alpha y^\alpha, \quad
(x^\alpha)' = \alpha\, x^{\alpha - 1}.
$$

Escala de crecimiento cuando $x \to +\infty$, para todos $\alpha > 0$ y $\beta > 0$:

$$
\frac{(\ln x)^\beta}{x^\alpha} \longrightarrow 0,
\qquad
\frac{x^\alpha}{\eu^{\beta x}} \longrightarrow 0 .
$$

**Demostración.** Las identidades transcriben las de $\exp$ y $\ln$ a través de la definición. Con detalle, la segunda (la menos evidente): $x^\alpha
> 0$ y $\ln(x^\alpha) = \alpha\ln x$ (aplíquese $\ln$ a la definición), luego

$$
(x^\alpha)^\beta = \eu^{\beta\ln(x^\alpha)}
= \eu^{\beta\alpha\ln x} = x^{\alpha\beta} ;
$$

la primera y la tercera son los mismos desarrollos de dos líneas mediante $\exp(u + v) = \exp u\exp v$ y $\ln(xy) = \ln x + \ln y$. La derivada es la regla de la cadena: $(\eu^{\alpha\ln x})' =
\frac{\alpha}{x} \eu^{\alpha\ln x}$.

Comparaciones: de $\frac{\ln t}{t} \to 0$ (demostrado en el volumen anterior), sustitúyase $t = x^{\alpha/\beta}$: $\frac{\ln x}{x^{\alpha/\beta}} \to 0$, y elévese después a la potencia $\beta$. Para la segunda, sustitúyase $x = \ln u$ en la primera. ∎

**Ejemplo 4.7 (Dos límites que conviene tener siempre a mano).**

¿Cuánto valen $\lim_{x \to 0^+} x^x$ y $\lim_{x \to +\infty}
x^{1/x}$? Las dos potencias se definen mediante la exponencial, así que lo primero es resolver el exponente:

$$
x^x = \eu^{x\ln x}, \qquad
x\ln x = -\frac{\ln(1/x)}{1/x} \longrightarrow 0
\quad (x \to 0^+),
\qquad\text{so } x^x \longrightarrow \eu^0 = 1 ;
$$

y $x^{1/x} = \eu^{(\ln x)/x} \to \eu^0 = 1$ cuando $x \to +\infty$, directamente por la [comparación de crecimientos](#prop-b1-functions-powerrules). La idea clave: una potencia indeterminada (de la forma $0^0$ o $\infty^0$) se trata *siempre* reescribiéndola $u^v = \eu^{v\ln u}$ y analizando el producto $v \ln u$ — nunca adivinando por separado a partir de la base y del exponente. La función $x \mapsto \frac{\ln x}{x}$ que ha decidido los dos límites se estudia a fondo en el problema del fin de semana de este capítulo.

![La escala de crecimiento de la : cerca del borde derecho, x apenas ha pasado de 1.6 mientras que x ya se ha salido del marco. Todos los cocientes (logaritmo entre potencia, potencia entre exponencial) tienden a 0 — el dibujo solo lo insinúa; las sustituciones de la demostración lo hacen exacto.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-functions/fig-e212b0476b06.svg)

*La escala de crecimiento de la [Proposición 4.6](#prop-b1-functions-powerrules): cerca del borde derecho, $\ln x$ apenas ha pasado de $1.6$ mientras que $\eu^x$ ya se ha salido del marco. Todos los cocientes (logaritmo entre potencia, potencia entre exponencial) tienden a $0$ — el dibujo solo lo insinúa; las sustituciones de la demostración lo hacen exacto.*

**Observación 4.8 (Errores frecuentes con potencias y logaritmos).**

1. *Dominios.* $x^\alpha$ con $\alpha$ irracional exige $x > 0$ ; conviene evitar $(-8)^{1/3}$ y hablar de «la raíz cúbica real de $-8$ », porque la regla $(x^\alpha)^\beta = x^{\alpha\beta}$ falla en silencio sobre los negativos: $\bigl((-8)^2\bigr)^{1/6} = 2 \neq -2$ .
2. *$\sqrt{x^2} = \abs x$* , no $x$ : olvidar el valor absoluto es la fuente clásica de soluciones negativas perdidas.
3. *$\ln(xy) = \ln x + \ln y$ exige $x, y > 0$.* Para argumentos negativos, $\ln(xy)$ puede estar definido sin que lo esté el miembro derecho.
4. *¿Qué es lo que crece?* En $x^\alpha$ varía la *base* ; en $a^x$ , el *exponente* . Sus crecimientos son radicalmente distintos ( [Proposición 4.6](#prop-b1-functions-powerrules) ), y las expresiones híbridas como $x^{\ln x}$ o $x^{1/x}$ hay que reescribirlas como $\eu^{(\cdot)}$ antes de razonar — como en el [Ejemplo 4.7](#ex-b1-functions-xx) .

## 4.2 Funciones trigonométricas inversas

**Definición 4.9 (arcsin⁡\arcsinarcsin, arccos⁡\arccosarccos, arctan⁡\arctanarctan).**

Las restricciones

$$
\sin \colon \intcc{-\tfrac\pi2}{\tfrac\pi2} \to \intcc{-1}{1},
\qquad
\cos \colon \intcc{0}{\pi} \to \intcc{-1}{1},
\qquad
\tan \colon \intoo{-\tfrac\pi2}{\tfrac\pi2} \to \R
$$

son biyecciones estrictamente monótonas. Sus aplicaciones inversas se escriben $\arcsin$, $\arccos$ y $\arctan$. Así, por ejemplo, $y = \arcsin x$ ($x \in \intcc{-1}{1}$) es *el* ángulo de $\intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ cuyo seno vale $x$.

![De izquierda a derecha: , , . Cada una hereda su gráfica de la función directa restringida por reflexión en la recta y = x.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-functions/fig-2fc622239438.svg)

*De izquierda a derecha: $\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$. Cada una hereda su gráfica de la función directa restringida por reflexión en la recta $y = x$.*

**Proposición 4.10 (Derivadas).**

En el interior de sus dominios:

$$
\arcsin' x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}},
\qquad
\arccos' x = \frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}},
\qquad
\arctan' x = \frac{1}{1 + x^2}.
$$

**Demostración.** Anticipando la regla de derivación de la función inversa, demostrada en el [Capítulo 14](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/14-derivacion#ch-b1-derivative): si $f$ es una [biyección](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj) derivable con $f' \neq 0$, entonces $(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$. Para $\arcsin$: con $y = \arcsin x$,

$$
\arcsin' x = \frac{1}{\cos y}
= \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 y}} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}},
$$

donde $\cos y = +\sqrt{1 - \sin^2 y}$ porque $y \in
\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ obliga a $\cos y > 0$. Análogamente, $\arccos' x = \frac{1}{-\sin y}$ con $\sin y > 0$ en $\intoo{0}{\pi}$, y $\arctan' x = \frac{1}{1 + \tan^2 y} = \frac{1}{1 + x^2}$ usando $\tan' = 1 + \tan^2$. ∎

**Ejemplo 4.11 (Reconocer una constante escondida).**

Estúdiese $g(x) = \arctan\dfrac{1 - x}{1 + x}$ en $\intoo{-1}{+\infty}$. Regla de la cadena y un cálculo breve:

$$
g'(x) = \frac{1}{1 + \bigl(\frac{1-x}{1+x}\bigr)^2}\cdot
\frac{-(1+x) - (1-x)}{(1+x)^2}
= \frac{-2}{(1+x)^2 + (1-x)^2}
= \frac{-1}{1 + x^2} ,
$$

puesto que $(1+x)^2 + (1-x)^2 = 2 + 2x^2$. Así pues, $g' = -\arctan'$: la función $g + \arctan$ tiene derivada nula en el *intervalo* $\intoo{-1}{+\infty}$ y, por tanto, es constante ahí; su valor en $x = 0$ es $\arctan 1 + \arctan 0 = \frac\pi4$. Conclusión:

$$
\arctan\frac{1 - x}{1 + x} = \frac\pi4 - \arctan x
\qquad (x > -1) .
$$

En $\intoo{-\infty}{-1}$ vale el mismo cálculo de la derivada, pero la constante es otra ($-\frac{3\pi}4$: evalúese el límite cuando $x \to -\infty$). La idea clave: «derivada nula implica constante» es un [enunciado](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-statement) intervalo por intervalo — exactamente la sutileza que explotan los [Ejercicio 4.6](#exo-b1-functions-6) y [Ejercicio 4.10](#exo-b1-functions-10).

**Proposición 4.12 (Identidades usuales).**

1. Para $x \in \intcc{-1}{1}$ : $\arcsin x + \arccos x =  \dfrac{\pi}{2}$ .
2. Para $x > 0$ : $\arctan x + \arctan\dfrac 1x = \dfrac{\pi}{2}$ (y $-\frac\pi2$ para $x < 0$ ).
3. $\sin(\arccos x) = \cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2}$ ; $\;\tan(\arcsin x) = \dfrac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$ para $\abs x < 1$ .

**Demostración.** (1) La derivada de $x \mapsto \arcsin x + \arccos x$ es nula en $\intoo{-1}{1}$ ([Proposición 4.10](#prop-b1-functions-arcderiv)), luego la función es constante ahí, igual a su valor $\frac\pi2$ en $0$; los valores en los extremos $\pm 1$ se comprueban directamente ($\frac\pi2 + 0$ y $-\frac\pi2 + \pi$).

(2) El mismo método en $\intoo{0}{+\infty}$: la derivada vale $\frac{1}{1+x^2} + \frac{-1/x^2}{1 + 1/x^2} = \frac{1}{1+x^2} -
\frac{1}{x^2 + 1} = 0$, y en $x = 1$ la suma es $2\arctan 1 =
\frac\pi2$. Para $x < 0$, úsese que $\arctan$ es impar.

(3) Con $y = \arccos x \in \intcc{0}{\pi}$: $\sin y \geq 0$, luego $\sin y = \sqrt{1 - \cos^2 y} = \sqrt{1 - x^2}$; análogamente para $\cos(\arcsin x)$, y la fórmula de la tangente es el cociente. ∎

**Observación 4.13.**

$\arcsin(\sin\theta) = \theta$ se cumple *solo* para $\theta \in
\intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$: por ejemplo, $\arcsin(\sin\pi) = 0 \neq \pi$. La composición en el otro sentido, $\sin(\arcsin x) = x$, vale en todo $\intcc{-1}{1}$.

**Ejemplo 4.14 (Volver al intervalo principal).**

Calcúlense

$$
\arctan\Bigl(\tan\frac{3\pi}4\Bigr)
\qquad\text{y}\qquad
\arctan\Bigl(\tan\frac{17\pi}5\Bigr).
$$

La receta: sustitúyase el ángulo por el único ángulo de $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ con la misma tangente, es decir, réstese el múltiplo adecuado de $\pi$ (el período de $\tan$). Primero: $\frac{3\pi}4 - \pi = -\frac\pi4$, luego la respuesta es $-\frac\pi4$. Segundo: $\frac{17\pi}5 - 3\pi = \frac{2\pi}5 \in
\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$, luego la respuesta es $\frac{2\pi}5$. El cálculo es una división euclídea del ángulo por $\pi$ disfrazada — y las recetas análogas para $\arcsin$ (llevar por reflexión a $\intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$, período $2\pi$) y $\arccos$ (llevar a $\intcc0\pi$) mueven el [Ejercicio 4.1](#exo-b1-functions-1) y la respuesta a trozos del [Ejercicio 4.10](#exo-b1-functions-10).

**Ejemplo 4.15 (Sumar arcotangentes sin riesgos).**

Demostremos que

$$
\arctan\frac12 + \arctan\frac15 + \arctan\frac18 = \frac\pi4 .
$$

Dos ingredientes: la fórmula de la tangente de una suma y — el paso que olvidan los principiantes — una *localización* de la suma. Primero, $\tan(u + v) = \frac{\tan u + \tan v}{1 - \tan u\tan v}$ con $u = \arctan\frac12$, $v = \arctan\frac15$ da

$$
\tan(u + v) = \frac{\frac12 + \frac15}{1 - \frac1{10}}
= \frac{7/10}{9/10} = \frac79,
\qquad\text{y después}\qquad
\tan\Bigl(u + v + \arctan\frac18\Bigr)
= \frac{\frac79 + \frac18}{1 - \frac7{72}}
= \frac{65/72}{65/72} = 1 .
$$

Segundo, cada uno de los tres ángulos está en $\intoo0{\frac\pi4}$ (sus argumentos son menores que $1$), luego la suma está en $\intoo0{\frac{3\pi}4}$; el único ángulo de ahí con tangente $1$ es $\frac\pi4$. Sin la localización, la conclusión sería «$\frac\pi4$ salvo múltiplos de $\pi$» — media demostración. La misma disciplina en dos pasos mueve los [Ejercicio 4.8](#exo-b1-functions-8) y [Ejercicio 4.12](#exo-b1-functions-12).

**Ejemplo 4.16 (Una ecuación con arcotangentes).**

Resuélvase $\arctan x + \arctan 2x = \dfrac\pi4$. Localícese primero: el miembro izquierdo tiene el signo de $x$ (los dos términos lo tienen), así que toda solución cumple $x > 0$, y entonces la suma está en $\intoo0\pi$. Tómense tangentes ([inyectiva](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj) en ningún intervalo de longitud $\pi$, pero junto con la localización bastará): la fórmula de la suma da

$$
\tan\bigl(\arctan x + \arctan 2x\bigr)
= \frac{3x}{1 - 2x^2} = 1
\iff 2x^2 + 3x - 1 = 0
\iff x = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}4 .
$$

La raíz negativa queda descartada por la localización; para el candidato positivo $x_0 = \frac{\sqrt{17} - 3}4 \approx 0.28$, la suma está en $\intoo0\pi$ con tangente $1$, y el único ángulo así es $\frac\pi4$ (en $\intoo{\frac\pi2}\pi$ la tangente es negativa): $x_0$ es la única solución. Obsérvese la forma del argumento: tomar tangentes puede crear soluciones, nunca perderlas, así que se resuelve la ecuación polinómica y *después* se filtra por localización — la misma disciplina de comprobación posterior que al elevar al cuadrado una ecuación.

## 4.3 Funciones hiperbólicas

**Definición 4.17 (cosh⁡\coshcosh, sinh⁡\sinhsinh, tanh⁡\tanhtanh).**

Para $x \in \R$:

$$
\cosh x = \frac{\eu^x + \eu^{-x}}{2},
\qquad
\sinh x = \frac{\eu^x - \eu^{-x}}{2},
\qquad
\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}
$$

(*coseno, seno y tangente hiperbólicos*). $\cosh$ es par; $\sinh$ y $\tanh$ son impares.

**Proposición 4.18 (Propiedades básicas).**

Para todos $x, y \in \R$:

1. $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ ;
2. $\cosh' = \sinh$ , $\;\sinh' = \cosh$ , $\;\tanh' = 1 - \tanh^2  = \dfrac{1}{\cosh^2}$ ;
3. $\cosh(x+y) = \cosh x\cosh y + \sinh x \sinh y$ y $\sinh(x+y) = \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y$ ;
4. $\sinh$ es una [biyección](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj) estrictamente creciente de $\R$ sobre $\R$ ; $\cosh$ restringido a $\R_+$ es una [biyección](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj) estrictamente creciente sobre $\intco{1}{+\infty}$ ; $\tanh$ es una [biyección](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj) estrictamente creciente de $\R$ sobre $\intoo{-1}{1}$ .

**Demostración.** (1) $\bigl(\frac{\eu^x + \eu^{-x}}{2}\bigr)^2 - \bigl(\frac{\eu^x -
\eu^{-x}}{2}\bigr)^2 = \frac{(\eu^{2x} + 2 + \eu^{-2x}) - (\eu^{2x} -
2 + \eu^{-2x})}{4} = 1$.

(2) Se derivan las fórmulas de definición; para $\tanh$, la regla del cociente da $\frac{\cosh^2 - \sinh^2}{\cosh^2}$, que es a la vez $1 - \tanh^2$ y $\frac{1}{\cosh^2}$ por (1).

(3) Se desarrollan los miembros derechos con las definiciones. Con detalle para la primera fórmula:

$$
\cosh x\cosh y + \sinh x\sinh y
= \frac{(\eu^x + \eu^{-x})(\eu^y + \eu^{-y})
+ (\eu^x - \eu^{-x})(\eu^y - \eu^{-y})}{4} ;
$$

de los ocho productos, los cuatro «mixtos» ($\eu^{x-y}$, $\eu^{y-x}$) se cancelan por parejas, mientras que $\eu^{x+y}$ y $\eu^{-(x+y)}$ aparecen cada uno dos veces: el total es $\frac{2\eu^{x+y} + 2\eu^{-(x+y)}}{4} = \cosh(x+y)$. La fórmula del seno es idéntica, sobreviviendo los términos mixtos en lugar de los otros.

(4) $\sinh' = \cosh \geq 1 > 0$, luego $\sinh$ es estrictamente creciente, con límites $\pm\infty$ (término dominante $\pm\frac{\eu^{\abs x}}{2}$); el [enunciado](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-statement) sobre la [biyección](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj) se sigue entonces del teorema del valor intermedio (usado al nivel del volumen anterior; tratamiento sistemático en el [Capítulo 13](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#ch-b1-continuity)). En $\R_+$, $\cosh' = \sinh \geq 0$ se anula solo en $0$: estrictamente creciente desde $\cosh 0 = 1$ hasta $+\infty$. Y $\tanh' > 0$ con límites $\pm 1$ en $\pm\infty$: con detalle, detail,

$$
\tanh x = \frac{\eu^x - \eu^{-x}}{\eu^x + \eu^{-x}}
= \frac{1 - \eu^{-2x}}{1 + \eu^{-2x}}
\xrightarrow[x \to +\infty]{} 1 ,
$$

tras dividir numerador y denominador por $\eu^x$, y la imparidad da el límite $-1$ en $-\infty$; la función estrictamente creciente $\tanh$ envía por tanto $\R$ sobre $\intoo{-1}1$. ∎

![A la izquierda: y , asintóticamente pegados a x/2 (a trazos). A la derecha: , creciente de -1 a 1.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-functions/fig-714927f508af.svg)

*A la izquierda: $\cosh$ y $\sinh$, asintóticamente pegados a $\frac{\eu^x}{2}$ (a trazos). A la derecha: $\tanh$, creciente de $-1$ a $1$.*

**Observación 4.19 (¿Por qué «hiperbólicas»?).**

El punto $(\cosh t, \sinh t)$ recorre la rama $x > 0$ de la hipérbola $x^2 - y^2 = 1$ (por la [Proposición 4.18](#prop-b1-functions-hyprules) (1)), exactamente como $(\cos t, \sin t)$ recorre la circunferencia $x^2 + y^2 = 1$. Toda identidad circular tiene una hermana hiperbólica, con cambios de signo gobernados por $\sinh^2 \leftrightarrow -\sin^2$.

**Ejemplo 4.20 (La fórmula de adición de tanh⁡\tanhtanh).**

Dividiendo por $\cosh x\cosh y$ las dos fórmulas de adición de la [Proposición 4.18](#prop-b1-functions-hyprules) (3):

$$
\tanh(x + y)
= \frac{\sinh x\cosh y + \cosh x\sinh y}
{\cosh x\cosh y + \sinh x\sinh y}
= \frac{\tanh x + \tanh y}{1 + \tanh x\,\tanh y} ,
$$

la hermana hiperbólica de la fórmula de adición de la tangente — con un $+$ donde la trigonometría tiene un $-$. Un dividendo: como $\abs{\tanh} < 1$, el miembro derecho es una regla de «suma de velocidades» que nunca sale de $\intoo{-1}1$: si $u, v \in \intoo{-1}1$, entonces $\frac{u + v}{1 + uv} \in \intoo{-1}1$ también (escríbanse $u = \tanh a$, $v = \tanh b$, posible por [biyectividad](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj), y léase la fórmula al revés). Comprobarlo por álgebra, sin [funciones hiperbólicas](#def-b1-functions-hyperbolic), es un ejercicio algo penoso; parametrizar con $\tanh$ lo convierte en una línea — la misma estrategia que las funciones circulares brindan para la circunferencia unidad.

**Proposición 4.21 (Funciones hiperbólicas inversas).**

Las inversas que garantiza la [Proposición 4.18](#prop-b1-functions-hyprules) (4) tienen forma cerrada:

$$
\operatorname{arsinh} x = \ln\bigl(x + \sqrt{x^2 + 1}\bigr)
\ (x \in \R),
\qquad
\operatorname{arcosh} x = \ln\bigl(x + \sqrt{x^2 - 1}\bigr)
\ (x \geq 1),
$$

$$
\operatorname{artanh} x = \frac 12 \ln\frac{1 + x}{1 - x}
\ (\abs x < 1),
$$

con derivadas $\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$, $\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$ ($x > 1$) y $\frac{1}{1 - x^2}$, respectivamente.

**Demostración.** Para $\operatorname{arsinh}$: resuélvase $x = \sinh y = \frac{\eu^y -
\eu^{-y}}{2}$. Poniendo $u = \eu^y > 0$: $u^2 - 2xu - 1 = 0$, luego $u = x + \sqrt{x^2 + 1}$ (la raíz $x - \sqrt{x^2+1}$ es negativa), y $y = \ln(x + \sqrt{x^2+1})$. Las otras dos son cálculos idénticos ($u^2 - 2xu + 1 = 0$ para $\operatorname{arcosh}$, quedándose con la raíz $\geq 1$; una reordenación de dos líneas para $\operatorname{artanh}$). Derivadas: se derivan las expresiones logarítmicas; por ejemplo,

$$
\bigl(\ln(x + \sqrt{x^2+1})\bigr)'
= \frac{1 + \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x + \sqrt{x^2+1}}
= \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} . \qedhere
$$

∎

**Ejemplo 4.22 (Las formas cerradas en acción).**

La solución de $\cosh t = 2$ con $t \geq 0$ es, por la forma cerrada, $t = \operatorname{arcosh} 2 = \ln(2 + \sqrt3) \approx 1.317$; la otra solución es $-t$, por paridad — y, en efecto, $\ln(2 - \sqrt3) = \ln\frac1{2 + \sqrt3} = -\ln(2 + \sqrt3)$: las dos raíces $u = \eu^t$ de la cuadrática $u^2 - 4u + 1 = 0$ son inversas la una de la otra, como exige su producto $1$ (Vieta). Este cálculo mínimo muestra el patrón general: las ecuaciones hiperbólicas se convierten en cuadráticas en $\eu^t$, y la simetría $t \mapsto -t$ aparece como la simetría $u \mapsto 1/u$ de la cuadrática — conviene recordarlo al resolver el [Ejercicio 4.7](#exo-b1-functions-7).

**Método 4.23 (Elegir la primitiva adecuada).**

Los tres patrones de derivada que hay que memorizar para la integración ([Capítulo 15](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/15-integracion-en-un-segmento#ch-b1-integration)):

$$
\int \frac{\dd x}{1 + x^2} = \arctan x + C,
\qquad
\int \frac{\dd x}{\sqrt{1 - x^2}} = \arcsin x + C,
\qquad
\int \frac{\dd x}{\sqrt{x^2 + 1}} = \operatorname{arsinh} x + C,
$$

y, para una cuadrática cualquiera, se reduce a estos completando cuadrados y reescalando.

**Observación 4.24 (Dónde se usa este capítulo).**

Este capítulo es el vocabulario de trabajo de todo el análisis que viene. La escala de crecimiento de la [Proposición 4.6](#prop-b1-functions-powerrules) decide cuestiones de convergencia en los Capítulos [11](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/11-sucesiones#ch-b1-seq) y [17](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/17-series-numericas#ch-b1-series); las fórmulas de derivación de las [Proposición 4.10](#prop-b1-functions-arcderiv) y [Proposición 4.21](#prop-b1-functions-invhyp) son las primitivas que más falta hacen en el [Capítulo 15](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/15-integracion-en-un-segmento#ch-b1-integration), vía el [Método 4.23](#met-b1-functions-primitive); las [funciones hiperbólicas](#def-b1-functions-hyperbolic) parametrizan las soluciones de la ecuación $y'' = y$ en el [Capítulo 5](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/5-ecuaciones-diferenciales-lineales#ch-b1-diffeq) exactamente como las circulares parametrizan las de $y'' = -y$. La caracterización de $\exp$ por $f' = f$, $f(0) = 1$ ([Proposición 4.1](#prop-b1-functions-expln)) es la semilla unidimensional de la teoría de las ecuaciones diferenciales lineales, y la catenaria $y = \cosh x$ vuelve entre las curvas planas del [Capítulo 24](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/24-curvas-planas#ch-b1-curves).

**Observación 4.25 (Interludio: el programa de la función inversa).**

Este capítulo ha ejecutado cuatro veces el mismo programa: restringir una función hasta que sea una [biyección](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj) estrictamente monótona, dar nombre a la inversa y transportar por ella todas las fórmulas. Lo que se ha *usado* en cada paso — que una función continua y estrictamente monótona en un intervalo es una [biyección](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj) sobre un intervalo, y que su inversa es continua y después derivable fuera de los puntos críticos — se ha tomado a crédito del volumen anterior. La deuda se salda dentro de este volumen: el [Capítulo 13](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#ch-b1-continuity) demuestra el [enunciado](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-statement) sobre la [biyección](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj) (el teorema de la inversa monótona, apoyado en el teorema del valor intermedio), y el [Capítulo 14](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/14-derivacion#ch-b1-derivative) demuestra la regla de derivación $(f^{-1})' = 1/(f' \circ f^{-1})$ que ha producido en silencio todas las fórmulas de las [Proposición 4.10](#prop-b1-functions-arcderiv) y [Proposición 4.21](#prop-b1-functions-invhyp). Leer esos capítulos teniendo en mente $\arcsin$ y $\operatorname{arsinh}$ — como los ejemplos resueltos que la teoría se construyó para justificar — es la manera prevista de sortear la aparente circularidad.

## 4.4 Ejercicios

**Ejercicio 4.1 ★.**

Calcúlense sin calculadora: $\arcsin\frac{\sqrt 3}{2}$; $\;\arccos\bigl(-\frac 12\bigr)$; $\;\arctan(-1)$; $\;\arcsin\bigl(\sin\frac{5\pi}{6}\bigr)$; $\;\arccos\bigl(\cos\frac{7\pi}{4}\bigr)$.

**Solución de Ejercicio 4.1.**

$\arcsin\frac{\sqrt 3}{2} = \frac\pi3$; $\;\arccos\bigl(-\frac12\bigr) = \frac{2\pi}{3}$; $\;\arctan(-1) = -\frac\pi4$.

$\arcsin\bigl(\sin\frac{5\pi}{6}\bigr)$: $\sin\frac{5\pi}{6} =
\frac12$, y el ángulo de $\intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ con seno $\frac12$ es $\frac\pi6$ (no $\frac{5\pi}{6}$).

$\arccos\bigl(\cos\frac{7\pi}{4}\bigr)$: $\cos\frac{7\pi}{4} =
\frac{\sqrt 2}{2}$, y el ángulo de $\intcc{0}{\pi}$ con ese coseno es $\frac\pi4$.

**Ejercicio 4.2 ★.**

Dese el dominio de definición de $f(x) = \arcsin(2x - 1)$ y calcúlese $f'$ donde exista. Las mismas preguntas para $g(x) = \arctan\sqrt{x}$.

**Solución de Ejercicio 4.2.**

$f(x) = \arcsin(2x - 1)$ exige $-1 \leq 2x - 1 \leq 1$, es decir, $x \in \intcc{0}{1}$. En $\intoo{0}{1}$, la regla de la cadena y la [Proposición 4.10](#prop-b1-functions-arcderiv) dan

$$
f'(x) = \frac{2}{\sqrt{1 - (2x-1)^2}} = \frac{2}{\sqrt{4x - 4x^2}}
= \frac{1}{\sqrt{x(1 - x)}} .
$$

$g(x) = \arctan\sqrt x$ está definida para $x \geq 0$, y para $x > 0$:

$$
g'(x) = \frac{1}{1 + x} \cdot \frac{1}{2\sqrt x}
= \frac{1}{2\sqrt x\,(1 + x)} .
$$

**Ejercicio 4.3 ★.**

Demuéstrese que, para todo $x \in \R$, $\cosh x + \sinh x = \eu^x$ y $(\cosh x + \sinh x)^n = \cosh nx + \sinh nx$ para todo $n \in \Z$ (una fórmula de De Moivre hiperbólica).

**Solución de Ejercicio 4.3.**

$\cosh x + \sinh x = \frac{\eu^x + \eu^{-x}}{2} + \frac{\eu^x -
\eu^{-x}}{2} = \eu^x$. Por tanto, para $n \in \Z$:

$$
(\cosh x + \sinh x)^n = (\eu^x)^n = \eu^{nx}
= \cosh nx + \sinh nx .
$$

**Ejercicio 4.4 ★.**

Simplifíquense $\cos(2\arcsin x)$ y $\sin(2\arctan x)$ hasta obtener expresiones algebraicas de $x$.

**Solución de Ejercicio 4.4.**

Con $y = \arcsin x$: $\cos 2y = 1 - 2\sin^2 y = 1 - 2x^2$, luego $\cos(2\arcsin x) = 1 - 2x^2$.

Con $y = \arctan x$: $\sin 2y = 2 \sin y \cos y = 2 \tan y \cos^2 y =
\frac{2\tan y}{1 + \tan^2 y}$, luego $\sin(2\arctan x) =
\dfrac{2x}{1 + x^2}$.

**Ejercicio 4.5 ★.**

Ordénense, para $x$ grande, las funciones $x^{100}$, $\;\eu^{\sqrt x}$, $\;(\ln x)^{1000}$, $\;\eu^{x/100}$, $\;x^{\ln x}$, del crecimiento más lento al más rápido, con justificaciones basadas en la [Proposición 4.6](#prop-b1-functions-powerrules).

**Solución de Ejercicio 4.5.**

Del crecimiento más lento al más rápido:

$$
(\ln x)^{1000} \;\ll\; x^{100} \;\ll\; x^{\ln x} \;\ll\;
\eu^{\sqrt x} \;\ll\; \eu^{x/100} .
$$

Justificaciones: $(\ln x)^{1000}/x^{100} \to 0$ por la [Proposición 4.6](#prop-b1-functions-powerrules) (los logaritmos pierden frente a las potencias). $x^{100} = \eu^{100\ln x}$ y $x^{\ln x} =
\eu^{(\ln x)^2}$: como $(\ln x)^2 - 100\ln x \to +\infty$, gana la segunda. $x^{\ln x} = \eu^{(\ln x)^2} \ll \eu^{\sqrt x}$ porque $(\ln x)^2/\sqrt x \to 0$ (los logaritmos pierden frente a la potencia $x^{1/4}$, elevada al cuadrado). Por último, $\sqrt x - x/100 \to
-\infty$, luego $\eu^{\sqrt x} \ll \eu^{x/100}$.

**Ejercicio 4.6 ★★.**

Estúdiese la función $f(x) = \arctan\dfrac{2x}{1 - x^2}$ en su dominio: calcúlese $f'$, compárese con $(2\arctan x)'$ y exprésese $f(x)$ en términos de $\arctan x$ en cada uno de los tres intervalos del dominio.

**Solución de Ejercicio 4.6.**

Dominio: $x \neq \pm 1$, tres intervalos. En cada uno,

$$
f'(x) = \frac{\bigl(\frac{2x}{1-x^2}\bigr)'}{1 +
\frac{4x^2}{(1-x^2)^2}}
= \frac{\frac{2(1-x^2) + 4x^2}{(1-x^2)^2}}
{\frac{(1-x^2)^2 + 4x^2}{(1-x^2)^2}}
= \frac{2(1 + x^2)}{(1 + x^2)^2} = \frac{2}{1 + x^2}
= (2\arctan x)' .
$$

Así pues, $f(x) - 2\arctan x$ es constante en cada intervalo. Valores: en $x = 0$, $f(0) = 0$: la constante vale $0$ en $\intoo{-1}{1}$. Cuando $x \to +\infty$, $\frac{2x}{1-x^2} \to 0^-$, luego $f \to 0$, mientras que $2\arctan x \to \pi$: la constante vale $-\pi$ en $\intoo{1}{+\infty}$. Por imparidad, vale $+\pi$ en $\intoo{-\infty}{-1}$. Resumen: $f = 2\arctan x$ en $\intoo{-1}{1}$, $f = 2\arctan x - \pi$ para $x > 1$, $f = 2\arctan x + \pi$ para $x < -1$. (Es la fórmula del ángulo doble de la tangente, leída a través de $\arctan$.)

**Ejercicio 4.7 ★★.**

Resuélvanse en $\R$: $\;\cosh x = 2$; después $5\cosh x - 4 \sinh x = 3$ (exprésense las soluciones con logaritmos). *Indicación para la segunda: escríbase todo con $u = \eu^x$.*

**Solución de Ejercicio 4.7.**

$\cosh x = 2$: con $u = \eu^x > 0$, $u + u^{-1} = 4$, luego $u^2 - 4u + 1 = 0$, $u = 2 \pm \sqrt 3$: $x = \ln(2 + \sqrt 3)$ o $x = \ln(2 - \sqrt 3) = -\ln(2 + \sqrt 3)$ (las dos soluciones son opuestas, pues $\cosh$ es par; ambas valen). Equivalentemente, $x = \pm \operatorname{arcosh} 2$.

$5\cosh x - 4\sinh x = 3$: sustituyendo las definiciones exponenciales, $\frac{5(u + u^{-1}) - 4(u - u^{-1})}{2} = 3$, es decir, $u + 9u^{-1} = 6$, o sea, $u^2 - 6u + 9 = (u - 3)^2 = 0$: $u = 3$, y una sola solución $x = \ln 3$.

**Ejercicio 4.8 ★★.**

Demuéstrese la identidad $\arctan\frac{1}{2} + \arctan\frac{1}{3} =
\frac{\pi}{4}$ y después la fórmula de Machin

$$
4\arctan\frac 15 - \arctan\frac{1}{239} = \frac{\pi}{4}.
$$

*Indicación: calcúlese la tangente de los dos miembros con la fórmula de adición y contrólese en qué intervalo cae cada uno.*

**Solución de Ejercicio 4.8.**

Sea $\alpha = \arctan\frac12 + \arctan\frac13$. Fórmula de adición:

$$
\tan\alpha = \frac{\frac12 + \frac13}{1 - \frac12\cdot\frac13}
= \frac{5/6}{5/6} = 1 .
$$

Las dos [arcotangentes](#def-b1-functions-arc) están en $\intoo{0}{\frac\pi4}$ (sus argumentos están en $\intoo{0}{1}$), luego $\alpha \in \intoo{0}{\frac\pi2}$; el único ángulo de ahí con tangente $1$ es $\frac\pi4$.

Machin: sea $\beta = \arctan\frac15$. Ángulo doble dos veces:

$$
\tan 2\beta = \frac{2/5}{1 - 1/25} = \frac{5}{12},
\qquad
\tan 4\beta = \frac{2 \cdot 5/12}{1 - 25/144} = \frac{120}{119}.
$$

Entonces

$$
\tan\Bigl(4\beta - \frac\pi4\Bigr)
= \frac{\frac{120}{119} - 1}{1 + \frac{120}{119}}
= \frac{1/119}{239/119} = \frac{1}{239}.
$$

Localización: $\beta < \arctan 1 = \frac\pi4$ y, de hecho, $\tan 4\beta = \frac{120}{119}$ está cerca de $1$ con $4\beta \in \intoo{0}{\frac\pi2}$ (pues $\beta < \frac\pi8$, ya que $\tan\frac\pi8 = \sqrt 2 - 1 > \frac15$); luego $4\beta - \frac\pi4 \in \intoo{-\frac\pi4}{\frac\pi4}$, donde $\arctan$ invierte a $\tan$: $4\beta - \frac\pi4 =
\arctan\frac{1}{239}$, que es la fórmula de Machin.

**Ejercicio 4.9 ★★.**

Demuéstrese que, para todo $x \geq 0$, $\;x - \dfrac{x^3}{6} \leq \sin x
\leq x$ *(estúdiense las derivadas sucesivas de las diferencias)*, y dedúzcase que $\lim_{x \to 0^+} \frac{x - \sin x}{x^3} = \frac 16$ es plausible — el límite en sí se establece en el [Capítulo 16](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/16-formulas-de-taylor-y-desarrollos-asintoticos#ch-b1-taylor).

**Solución de Ejercicio 4.9.**

Sea $f(x) = x - \sin x$: $f(0) = 0$ y $f'(x) = 1 - \cos x \geq 0$, luego $f \geq 0$ en $\R_+$: $\sin x \leq x$.

Sea $g(x) = \sin x - x + \frac{x^3}{6}$: $g(0) = 0$, $g'(x) = \cos x - 1 + \frac{x^2}{2}$, $g'(0) = 0$, $g''(x) = -\sin x + x = f(x) \geq 0$ en $\R_+$. Así, $g'$ es creciente con $g'(0) = 0$, luego $g' \geq 0$, luego $g$ es creciente con $g(0) = 0$: $g \geq 0$, es decir, $x - \frac{x^3}{6} \leq \sin x$ en $\R_+$.

En consecuencia, $0 \leq \frac{x - \sin x}{x^3} \leq \frac 16$ para $x > 0$: el cociente queda atrapado en la escala de $\frac16$, y el [Capítulo 16](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/16-formulas-de-taylor-y-desarrollos-asintoticos#ch-b1-taylor) muestra que su límite es exactamente $\frac 16$.

**Ejercicio 4.10 ★★★.**

Para $x \in \intcc{-1}{1}$, póngase $h(x) = \arcsin\bigl(2x\sqrt{1 - x^2}\,\bigr) - 2\arcsin x$. Cabría esperar $h = 0$ a partir de la identidad $\sin 2y = 2\sin y\cos y$ — pero $h$ *no* es idénticamente nula. Calcúlese $h'$ en los intervalos abiertos donde exista, evalúese $h$ en puntos bien elegidos y dese la descripción completa de $h$ como función constante a trozos en $\intcc{-1}{1}$.

**Solución de Ejercicio 4.10.**

Escríbase $y = \arcsin x$, de modo que $2x\sqrt{1 - x^2} = 2\sin y\cos y
= \sin 2y$ y $h(x) = \arcsin(\sin 2y) - 2y$.

Para $\abs x \leq \frac{\sqrt 2}{2}$: $2y \in
\intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$, luego $\arcsin(\sin 2y) = 2y$ y $h = 0$.

Para $x \in \intoc{\frac{\sqrt 2}{2}}{1}$: $2y \in
\intoc{\frac\pi2}{\pi}$, y el ángulo de $\intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ con seno $\sin 2y$ es $\pi - 2y$: luego $h(x) = \pi - 4\arcsin x$. (Comprobación por la derivada: ahí $h'(x) = \frac{2(1 - 2x^2)}{\abs{1 - 2x^2}\sqrt{1 - x^2}} -
\frac{2}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{-4}{\sqrt{1 - x^2}}$, la derivada de $-4\arcsin x$; y en $x = 1$, $h(1) = \arcsin 0 - 2\cdot\frac\pi2
= -\pi = \pi - 4\cdot\frac\pi2$.)

Para $x \in \intco{-1}{-\frac{\sqrt 2}{2}}$, por imparidad de $h$: $h(x) = -\pi - 4\arcsin x$.

**Ejercicio 4.11 ★★★.**

(Gudermanniana) Sea $g(x) = \arctan(\sinh x)$ para $x \in \R$. Demuéstrese que $g$ es una [biyección](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj) impar y estrictamente creciente de $\R$ sobre $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$, que $g'(x) =
\frac{1}{\cosh x}$ y que $\tan g(x) = \sinh x$, $\;\sin g(x) = \tanh x$, $\;\cos g(x) = \frac{1}{\cosh x}$: la función $g$ enlaza la trigonometría circular con la hiperbólica sin números complejos.

**Solución de Ejercicio 4.11.**

$g = \arctan \circ \sinh$ es una composición de funciones impares y estrictamente crecientes, luego es impar y estrictamente creciente; cuando $x \to +\infty$, $\sinh x \to +\infty$, luego $g(x) \to \frac\pi2$, y $g$ es una [biyección](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj) sobre $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ (continuidad más teorema del valor intermedio). Regla de la cadena con la [Proposición 4.18](#prop-b1-functions-hyprules) (1):

$$
g'(x) = \frac{\cosh x}{1 + \sinh^2 x} = \frac{\cosh x}{\cosh^2 x}
= \frac{1}{\cosh x} .
$$

Por construcción, $\tan g(x) = \sinh x$. Además, como $g(x) \in \intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ tiene coseno positivo,

$$
\begin{align*}
\cos g(x) &= \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 g(x)}}
= \frac{1}{\sqrt{1 + \sinh^2 x}} = \frac{1}{\cosh x},\\
\sin g(x) &= \tan g(x) \cos g(x) = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \tanh x .
\end{align*}
$$

**Ejercicio 4.12 ★★.**

Demuéstrese que

$$
\arctan 1 + \arctan 2 + \arctan 3 = \pi .
$$

*Indicación: calcúlese primero $\arctan 2 + \arctan 3$, localizando la suma como en el [Ejemplo 4.15](#ex-b1-functions-arctansum); cuidado, aquí el denominador de la fórmula de adición es negativo.*

**Solución de Ejercicio 4.12.**

Póngase $u = \arctan 2$ y $v = \arctan 3$; los dos están en $\intoo{\frac\pi4}{\frac\pi2}$ (sus argumentos son mayores que $1$), luego $u + v \in \intoo{\frac\pi2}{\pi}$. La fórmula de adición da

$$
\tan(u + v) = \frac{2 + 3}{1 - 6} = -1 ,
$$

y el único ángulo de $\intoo{\frac\pi2}{\pi}$ con tangente $-1$ es $\frac{3\pi}4$: así pues, $\arctan 2 + \arctan 3 = \frac{3\pi}4$. (Aplicar $\arctan$ a ciegas sobre la tangente daría $-\frac\pi4$, con un error de $\pi$ — la localización es lo que salva el cálculo, y el denominador negativo $1 - 6$ es precisamente la señal de que la suma se ha salido de $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$.) Sumando $\arctan 1 = \frac\pi4$:

$$
\arctan 1 + \arctan 2 + \arctan 3 = \frac\pi4 + \frac{3\pi}4 = \pi .
$$

## 4.5 Problema: la ecuación $x^y = y^x$

**Problema 4.1.**

¿Qué pares de números positivos cumplen $x^y = y^x$? Todo el mundo conoce un ejemplo de apariencia accidental, $2^4 = 4^2 = 16$; este problema muestra que en él no hay nada de accidental. Toda la ecuación está gobernada por las variaciones de una única función

$$
f(t) = \frac{\ln t}{t} \qquad (t > 0),
$$

cuyo estudio proporciona: el [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) completo de soluciones (una diagonal más una rama curva que pasa por $(\eu, \eu)$), una parametrización racional de la rama, el hecho de que $(2, 4)$ es su *único* punto entero y la clasificación de todos sus puntos racionales — además de, como dividendos, la comparación de $\eu^\pi$ con $\pi^\eu$ y la convergencia monótona de $\bigl(1 + \frac1n\bigr)^n$ hacia $\eu$.

**Parte I — La función $f(t) = \ln t / t$.**

1. Justifíquese que $f$ es derivable en $\intoo0{+\infty}$ , calcúlese $f'$ y hágase la tabla de variación: $f$ crece estrictamente en $\intoc0\eu$ y decrece estrictamente en $\intco\eu{+\infty}$ , con máximo $f(\eu) = \frac1\eu$ .
2. Determínense los límites de $f$ en $0^+$ y en $+\infty$ ( [Proposición 4.6](#prop-b1-functions-powerrules) ), el signo de $f$ (negativo en $\intoo01$ , nulo en $1$ , positivo más allá) y esbócese la gráfica.
3. Compruébese por cálculo directo que $f(2) = f(4)$ . (Téngase presente esta igualdad: de ella nace todo el problema.)
4. Sea $c \in \R$ . Discútase, según el valor de $c$ , el número de soluciones de $f(t) = c$ : exactamente una para $c \leq 0$ ; exactamente dos (una en $\intoo1\eu$ y otra en $\intoo\eu{+\infty}$ ) para $0 < c < \frac1\eu$ ; exactamente una para $c = \frac1\eu$ ; ninguna para $c > \frac1\eu$ .
5. Dedúzcase que $\eu^x > x^\eu$ para todo $x > 0$ con $x \neq \eu$ y, en particular, decídase cuál es mayor, $\eu^\pi$ o $\pi^\eu$ .

**Parte II — La ecuación y su curva.** En esta parte, $x, y > 0$.

6. Pruébese que $x^y = y^x \iff f(x) = f(y)$ .
7. Dedúzcase la estructura del [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) de soluciones: todos los pares diagonales $(x, x)$ ; y los pares *no triviales* ( $x \neq y$ ), que cumplen que las dos coordenadas son $> 1$ y que una está en $\intoo1\eu$ mientras la otra está en $\intoo\eu{+\infty}$ .
8. Parametrícense los pares no triviales: escribiendo $y = tx$ con $t > 0$, $t \neq 1$, pruébese que $x^y = y^x$ obliga a $$x(t) = t^{\frac1{t-1}},  \qquad  y(t) = t\,x(t) = t^{\frac{t}{t-1}},$$ y que, recíprocamente, todo par así es solución.
9. Compruébese que $t = 2$ da $(2, 4)$ y demuéstrese la simetría $x(1/t) = y(t)$ , $y(1/t) = x(t)$ : invertir el parámetro intercambia las dos coordenadas.
10. Determínense los límites de $x(t)$ e $y(t)$ cuando $t \to 1$ (los dos tienden a $\eu$ ), cuando $t \to +\infty$ ( $x \to 1$ , $y \to +\infty$ ) y cuando $t \to 0^+$ ( $x \to +\infty$ , $y \to 1$ ). Descríbase la rama resultante: una curva asintótica a las rectas $x = 1$ e $y = 1$ , que corta a la diagonal en $(\eu, \eu)$ .
11. Pruébese que $t \mapsto x(t)$ es estrictamente decreciente en $\intoo1{+\infty}$ . *(Estúdiese $h(t) = 1 - \frac1t - \ln  t$, cuyo signo controla la derivada de $\ln x(t) =  \frac{\ln t}{t - 1}$.)*
12. Conclúyase que las soluciones no triviales definen una [biyección](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj) estrictamente decreciente $\varphi \colon \intoo1\eu  \to \intoo\eu{+\infty}$ con $x^{\varphi(x)} = \varphi(x)^x$ , y que $\varphi$ es una involución de la rama: $\varphi(\varphi(x)) = x$ donde ambos miembros estén definidos.

**Parte III — Puntos enteros y racionales.**

13. Demuéstrese que $(2, 4)$ y $(4, 2)$ son las únicas soluciones *enteras* no triviales de $x^y = y^x$ .
14. Para $n \in \N^*$, aplíquese la parametrización con $t = 1 + \frac1n$ y pruébese que $$x_n = \Bigl(1 + \frac1n\Bigr)^{n},  \qquad  y_n = \Bigl(1 + \frac1n\Bigr)^{n+1}$$ es una solución *racional* no trivial para todo $n$, con $(x_1, y_1) = (2, 4)$.
15. Recíprocamente, sea $(x, y)$ una solución racional no trivial con $y > x$ , y escríbase $t = y/x = 1 + \frac rs$ como fracción irreducible ( $r, s \in \N^*$ ). Usando $x = t^{s/r}$ y admitiendo la unicidad de la factorización en primos (conocida de la enseñanza anterior; demostrada en el [Capítulo 6](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/6-aritmetica-de-los-enteros#ch-b1-arith) ), pruébese que ser $x$ racional obliga a que $s$ y $s + r$ sean ambos potencias $r$ -ésimas de enteros.
16. Pruébese con el teorema del binomio que $a^r - b^r = r$ no tiene soluciones enteras $a > b \geq 1$ cuando $r \geq 2$ , y conclúyase: las soluciones racionales de $x^y = y^x$ son exactamente los pares $(x_n, y_n)$ de la pregunta 14 (y los pares intercambiados).
17. Verifíquese numéricamente el caso $n = 2$ : calcúlense $f(9/4)$ y $f(27/8)$ con cuatro decimales y compruébese que coinciden.

**Parte IV — Dividendos.**

18. Úsense las preguntas 7 y 11 para demostrar, sin ningún cálculo adicional, que la sucesión $x_n = \bigl(1 + \frac1n\bigr)^n$ es estrictamente creciente con $x_n < \eu$ , que $y_n = \bigl(1 + \frac1n\bigr)^{n+1}$ es estrictamente decreciente con $y_n > \eu$ , y que ambas convergen a $\eu$ . (El parámetro $t_n = 1 + \frac1n$ decrece hacia $1$ .)
19. Establézcase la regla general de comparación para $1 < a < b$ : si $\eu \leq a$ , entonces $a^b > b^a$ ; si $b \leq \eu$ , entonces $a^b < b^a$ ; y véase con los dos ejemplos $(2, 3)$ y $(2, 5)$ que en el caso mixto $a < \eu < b$ se dan realmente los dos resultados.
20. Supóngase que la involución $\varphi$ de la pregunta 12 es derivable en $\eu$ (lo es). Derívese la identidad $\varphi(\varphi(x)) = x$ en $x = \eu$ y dedúzcase $\varphi'(\eu) = -1$ : la rama corta a la diagonal perpendicularmente.
21. Hállese en forma cerrada el único par solución con $y = 3x$ y compruébese numéricamente con cuatro decimales mediante $f$ .
22. Entre los números $\sqrt2$ , $\sqrt[3]3$ , $\sqrt[4]4$ , $\sqrt[5]5$ , determínese el mayor e identifíquense los dos que son iguales. *(Compárense $n^{1/n} = \eu^{f(n)}$.)*

**Parte V — Síntesis.**

23. Descríbase el [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) completo de soluciones de $x^y = y^x$ en el cuadrante $x, y > 0$ — diagonal más rama, su intersección $(\eu, \eu)$ , las asíntotas, el punto entero $(2, 4)$ , los puntos racionales que se acumulan en $(\eu, \eu)$ — de una forma que se pueda esbozar de memoria.
24. ¿Dónde ha usado exactamente el problema: (i) las comparaciones de crecimiento de la [Proposición 4.6](#prop-b1-functions-powerrules) ; (ii) el teorema del valor intermedio (a través de los [enunciados](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-statement) sobre biyecciones); (iii) la unicidad admitida de la factorización en primos? Una frase para cada uno.
25. Moraleja, en un párrafo breve: una sola tabla de variación ha resuelto una ecuación con dos incógnitas, ha clasificado sus puntos racionales y ha demostrado la convergencia monótona de $\bigl(1 + \frac1n\bigr)^n$ — coméntese esta economía y nómbrese dónde se industrializa cada hilo más adelante en el volumen ( [Capítulo 11](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/11-sucesiones#ch-b1-seq) para la sucesión, [Capítulo 14](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/14-derivacion#ch-b1-derivative) para las tablas de variación, [Capítulo 16](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/16-formulas-de-taylor-y-desarrollos-asintoticos#ch-b1-taylor) para la precisión que a la tabla le falta).

**Solución de Problema 4.1.**

**1.** $f$ es un cociente de funciones derivables con denominador no nulo en $\intoo0{+\infty}$, y

$$
f'(t) = \frac{\frac1t \cdot t - \ln t}{t^2} = \frac{1 - \ln
t}{t^2} ,
$$

positiva para $t < \eu$, nula en $t = \eu$ y negativa para $t > \eu$: $f$ crece estrictamente en $\intoc0\eu$ y decrece estrictamente en $\intco\eu{+\infty}$, con máximo $f(\eu) = \frac1\eu$.

**2.** Cuando $t \to 0^+$: $\ln t \to -\infty$ y $\frac1t \to +\infty$, luego $f(t) \to -\infty$. Cuando $t \to +\infty$: $f(t) \to 0$ por la [comparación de crecimientos](#prop-b1-functions-powerrules) de la [Proposición 4.6](#prop-b1-functions-powerrules) ($\beta = \alpha = 1$). Signo: el de $\ln t$, luego $f < 0$ en $\intoo01$, $f(1) = 0$ y $f > 0$ en $\intoo1{+\infty}$. La gráfica sube desde $-\infty$, cruza el cero en $1$, alcanza su cima en $(\eu, \frac1\eu)$ y decae después hacia $0^+$.

**3.** $f(4) = \frac{\ln 4}4 = \frac{2\ln 2}4 = \frac{\ln 2}2
= f(2)$.

**4.** Por la tabla de variación y el teorema del valor intermedio (usado al nivel del volumen anterior; formalizado en el [Capítulo 13](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#ch-b1-continuity)). Para $c < 0$: solo puede haber soluciones donde $f < 0$, es decir, en $\intoo01$, donde $f$ es una [biyección](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj) estrictamente creciente sobre $\intoo{-\infty}0$: exactamente una. Para $c = 0$: solo $t = 1$. Para $0 < c < \frac1\eu$: en $\intoo1\eu$, $f$ crece de $0$ a $\frac1\eu$, una solución; en $\intoo\eu{+\infty}$, $f$ decrece de $\frac1\eu$ a $0$, una más; dos en total. Para $c = \frac1\eu$: solo el punto de máximo $t = \eu$. Para $c > \frac1\eu$: ninguna.

**5.** Para $x \neq \eu$, la maximalidad estricta da $f(x) < f(\eu)$, es decir, $\frac{\ln x}x < \frac1\eu$, o sea, $\eu\ln x < x$, es decir, $\ln(x^\eu) < \ln(\eu^x)$: $x^\eu < \eu^x$. Con $x = \pi$: $\eu^\pi > \pi^\eu$ (numéricamente, $23.14 > 22.46$).

**6.** Para $x, y > 0$ los dos miembros son positivos, luego

$$
x^y = y^x \iff y\ln x = x\ln y \iff \frac{\ln x}x = \frac{\ln y}y
\iff f(x) = f(y) ,
$$

dividiendo por $xy > 0$.

**7.** Sea $f(x) = f(y) = c$ con $x \neq y$. Si $c \leq 0$ o $c = \frac1\eu$, la pregunta 4 dice que la ecuación $f = c$ tiene una sola solución: imposible. Luego $0 < c < \frac1\eu$ y, de nuevo por la pregunta 4, las dos soluciones son un punto de $\intoo1\eu$ y otro de $\intoo\eu{+\infty}$: las dos coordenadas son mayores que $1$ y $\eu$ queda entre ellas.

**8.** Sustituyendo $y = tx$ en $y\ln x = x\ln y$:

$$
tx\ln x = x(\ln t + \ln x)
\iff (t - 1)\ln x = \ln t
\iff \ln x = \frac{\ln t}{t - 1} ,
$$

luego $x = t^{1/(t-1)}$ e $y = tx = t^{1 + \frac1{t-1}} = t^{t/(t-1)}$. Recíprocamente, para estos valores, $\ln y = \frac{t\ln t}{t-1} =
t\ln x$ e $y = tx$, luego $\frac{\ln y}y = \frac{t\ln x}{tx} =
\frac{\ln x}x$: es solución. Toda solución no trivial tiene alguna razón $t = y/x \in \intoo0{+\infty} \setminus \{1\}$, de modo que la parametrización es completa.

**9.** $t = 2$: $x = 2^{1/1} = 2$, $y = 2^{2/1} = 4$. Y

$$
x(1/t) = (1/t)^{\frac1{\frac1t - 1}}
= (t^{-1})^{\frac{t}{1 - t}}
= t^{\frac{t}{t - 1}} = y(t) ,
$$

y después $y(1/t) = \frac1t\,x(1/t) = \frac{y(t)}t = x(t)$: el cambio de parámetro $t \mapsto 1/t$ intercambia las coordenadas, como exige la simetría de la ecuación.

**10.** Cuando $t \to 1$: $\frac{\ln t}{t-1} \to 1$ (es el cociente incremental de $\ln$ en $1$), luego $x \to \eu^1 = \eu$ e $y = tx \to \eu$. Cuando $t \to +\infty$: $\ln x = \frac{\ln t}{t-1}
\to 0$, luego $x \to 1$, mientras que $\ln y = \frac{t\ln t}{t-1} \to
+\infty$, luego $y \to +\infty$. Cuando $t \to 0^+$: $\ln x = \frac{\ln t}{t-1} \to \frac{-\infty}{-1} = +\infty$, luego $x \to +\infty$, mientras que $\ln y = \frac{t\ln t}{t-1} \to
\frac{0}{-1} = 0$, luego $y \to 1$ (usando $t\ln t \to 0$, [Ejemplo 4.7](#ex-b1-functions-xx)). La rama va, pues, desde la asíntota $y = 1$ (a la derecha del todo), pasa por $(\eu, \eu)$ sobre la diagonal y se escapa a lo largo de la asíntota $x = 1$ (arriba del todo) — simétrica respecto de la diagonal por la pregunta 9.

**11.** $\ln x(t) = g(t) = \frac{\ln t}{t-1}$, y

$$
g'(t) = \frac{\frac{t-1}t - \ln t}{(t-1)^2}
= \frac{h(t)}{(t-1)^2},
\qquad h(t) = 1 - \frac1t - \ln t .
$$

$h(1) = 0$ y $h'(t) = \frac1{t^2} - \frac1t = \frac{1 - t}{t^2} < 0$ para $t > 1$: $h < 0$ en $\intoo1{+\infty}$, luego $g' < 0$ y $x = \eu^g$ es estrictamente decreciente ahí (de $\eu$ a $1$, por la pregunta 10).

**12.** Por la pregunta 11, $t \mapsto x(t)$ es una [biyección](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj) estrictamente decreciente de $\intoo1{+\infty}$ sobre $\intoo1\eu$; escríbase $t(x)$ para su inversa (también estrictamente decreciente) y póngase $\varphi(x) = y(t(x))$. Obsérvese que $h < 0$ también en $\intoo01$ (ahí $h' > 0$ y $h(1) = 0$), de modo que $x(\cdot)$ es decreciente también en $\intoo01$; por tanto, $y(t) = x(1/t)$ (pregunta 9) es *creciente* en $t$ sobre $\intoo1{+\infty}$, de $\eu$ a $+\infty$. Componiendo: $\varphi = y \circ t(\cdot)$ es estrictamente decreciente de $\intoo1\eu$ sobre $\intoo\eu{+\infty}$, y $x^{\varphi(x)} = \varphi(x)^x$ por la pregunta 8. Por último, para un valor común $c = f(x) \in \intoo0{\frac1\eu}$, el par $\{x, \varphi(x)\}$ es *el* [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) de las dos soluciones de $f = c$ (pregunta 4); extendiendo $\varphi$ a $\intoo\eu{+\infty}$ como la [aplicación](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-map) inversa, $\varphi(\varphi(x))$ devuelve el otro (es decir, el original) elemento: $\varphi \circ \varphi = \mathrm{id}$.

**13.** Si $(x, y)$ es una solución entera no trivial con $x < y$, la pregunta 7 sitúa $x \in \intoo1\eu$: el único entero de ahí es $x = 2$. Entonces $f(y) = f(2) = \frac{\ln2}2$ con $y > \eu$; por la pregunta 4, la ecuación $f = \frac{\ln2}2$ tiene exactamente una solución más allá de $\eu$, y la pregunta 3 la exhibe: $y = 4$. Luego $(2, 4)$, y su intercambio, son las únicas.

**14.** $t = 1 + \frac1n = \frac{n+1}n$ da $\frac1{t - 1} = n$ y $\frac t{t-1} = n + 1$, luego

$$
x_n = \Bigl(\frac{n+1}n\Bigr)^{n},
\qquad
y_n = \Bigl(\frac{n+1}n\Bigr)^{n+1},
$$

manifiestamente racionales, distintos ($y_n = t\,x_n \neq x_n$), y $n = 1$ da $x_1 = 2$, $y_1 = 4$.

**15.** $t = y/x$ es racional y $> 1$; escríbase $t - 1 = \frac rs$ como fracción irreducible, de modo que $t = \frac{s + r}s$ con $\gcd(s + r, s) = \gcd(r, s) = 1$. La pregunta 8 da $x = t^{s/r}$, luego

$$
x^r = t^s = \frac{(s+r)^s}{s^s} ,
$$

fracción irreducible (ningún primo divide a la vez a $s + r$ y a $s$). Escribiendo $x = \frac pq$ como fracción irreducible, $x^r = \frac{p^r}{q^r}$ también lo es y, por la unicidad de la representación irreducible: $p^r = (s+r)^s$ y $q^r = s^s$. Compárese el exponente de un primo cualquiera $\ell$ en $q^r = s^s$: $r \cdot v_\ell(q) = s \cdot v_\ell(s)$, luego $r$ divide a $s\,v_\ell(s)$; como $\gcd(r, s) = 1$, $r$ divide a $v_\ell(s)$ para todo primo $\ell$ (factorización única, admitida; demostrada en el [Capítulo 6](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/6-aritmetica-de-los-enteros#ch-b1-arith)), luego $s = b^r$ para algún entero $b$. El mismo argumento sobre $p^r = (s+r)^s$ da $s + r = a^r$.

**16.** Supóngase $a^r - b^r = r$ con enteros $a > b \geq 1$ y $r \geq 2$. Entonces $a \geq b + 1$, luego, por el teorema del binomio,

$$
a^r - b^r \geq (b+1)^r - b^r
= \sum_{k=0}^{r-1}\binom rk b^k
\geq \binom r0 + \binom r{r-1} b^{r-1}
\geq 1 + r > r ,
$$

una contradicción. Por la pregunta 15, $a^r - b^r = (s + r) - s = r$ obliga a $r = 1$: $t = 1 + \frac1s$, y la solución es $(x_s, y_s)$ de la pregunta 14. Junto con los pares intercambiados, la clasificación es completa.

**17.** $f\bigl(\tfrac94\bigr) = \frac{\ln 2.25}{2.25} =
\frac{0.81093}{2.25} = 0.3604$ y $f\bigl(\tfrac{27}8\bigr) =
\frac{\ln 3.375}{3.375} = \frac{1.21640}{3.375} = 0.3604$ (cuatro decimales): iguales, como promete la construcción — de modo que $\bigl(\tfrac94\bigr)^{27/8} = \bigl(\tfrac{27}8\bigr)^{9/4}$.

**18.** Los parámetros $t_n = 1 + \frac1n$ decrecen estrictamente hacia $1$. Como $x(\cdot)$ es estrictamente decreciente en $\intoo1{+\infty}$ (pregunta 11), $x_n = x(t_n)$ es estrictamente *creciente*; como $y(\cdot)$ es estrictamente creciente ahí (pregunta 12), $y_n = y(t_n)$ es estrictamente *decreciente*. Por la pregunta 7, $x_n \in \intoo1\eu$ e $y_n \in \intoo\eu{+\infty}$: luego $x_n < \eu < y_n$ para todo $n$. Por último, $t_n \to 1$ y la pregunta 10 dan $x_n \to \eu$ e $y_n \to \eu$. La clásica convergencia monótona de $\bigl(1 + \frac1n\bigr)^n$ cae de la geometría de la rama, sin ninguna desigualdad nueva.

**19.** Si $\eu \leq a < b$: como $f$ es estrictamente decreciente en $\intco\eu{+\infty}$, $f(a) > f(b)$, es decir, $b\ln a > a\ln b$, o sea, $a^b > b^a$. Si $1 < a < b \leq \eu$: $f$ estrictamente creciente da $f(a) < f(b)$, luego $a^b < b^a$. Caso mixto: $2 < \eu < 3$ y $2^3 = 8 < 9 = 3^2$; pero $2 < \eu < 5$ y $2^5 = 32 > 25 = 5^2$: se dan los dos resultados, según de qué lado de la rama caiga el punto $(a, b)$.

**20.** La rama corta a la diagonal en $\eu$ y $\varphi$ se extiende ahí por continuidad con $\varphi(\eu) = \eu$. Derivando $\varphi(\varphi(x)) = x$ en $x = \eu$ con la regla de la cadena: $\varphi'(\varphi(\eu))\,\varphi'(\eu) = \varphi'(\eu)^2 = 1$, luego $\varphi'(\eu) = \pm1$; como $\varphi$ es decreciente, $\varphi'(\eu) = -1$. La rama cruza la diagonal con pendiente $-1$: perpendicularmente.

**21.** $y = 3x$ es el caso $t = 3$: $x = 3^{1/2} = \sqrt3$ e $y = 3^{3/2} = 3\sqrt3$. Comprobación: $f(\sqrt3) =
\frac{0.54931}{1.73205} = 0.3171$ y $f(3\sqrt3) =
\frac{\ln 5.19615}{5.19615} = \frac{1.64792}{5.19615} = 0.3171$: iguales con cuatro decimales, de modo que $(\sqrt3)^{3\sqrt3} = (3\sqrt3)^{\sqrt3}$.

**22.** $n^{1/n} = \eu^{f(n)}$, y $\exp$ es creciente, así que el orden es el de $f(n)$: $f(3) = \frac{\ln3}3 \approx 0.3662$ supera a $f(2) = f(4) = \frac{\ln2}2 \approx 0.3466$ (pregunta 3) y a $f(5) \approx 0.3219$. El mayor es $\sqrt[3]3$, y el par de iguales es $\sqrt2 = \sqrt[4]4$ — el par entero $(2, 4)$ con otro disfraz más.

**23.** El [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) de soluciones es la unión de la diagonal $\{(x, x) : x > 0\}$ y una única rama, simétrica respecto de la diagonal, estrictamente decreciente desde la asíntota $x = 1$ (cuando $y \to +\infty$) hasta la asíntota $y = 1$ (cuando $x \to +\infty$), que cruza la diagonal exactamente una vez, en $(\eu, \eu)$, y ahí con pendiente $-1$. Sobre la rama están los puntos enteros $(2, 4)$ y $(4, 2)$ — los únicos — y los puntos racionales $(x_n, y_n)$, que avanzan monótonamente por la rama hacia $(\eu, \eu)$ sin alcanzarlo nunca ($\eu$ es irracional; los puntos racionales de la rama se acumulan en un rincón irracional).

**24.** (i) Las comparaciones de crecimiento dieron los límites de $f$ en $+\infty$ (pregunta 2) y $t\ln t \to 0$ (pregunta 10), modelando tanto la tabla de variación como las asíntotas. (ii) El teorema del valor intermedio, a través de los [enunciados](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-statement) sobre biyecciones, convirtió la tabla de variación en recuentos exactos de soluciones (pregunta 4) y en la existencia de la [aplicación](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-map) inversa $t(x)$ (pregunta 12). (iii) La factorización única movió las dos identificaciones de fracciones irreducibles de la pregunta 15, el corazón aritmético de la clasificación de los puntos racionales.

**25.** Un solo cálculo de derivada — el signo de $1 - \ln t$ — lo ha generado todo: el recuento de soluciones para cada nivel $c$, la forma y las asíntotas de la rama, la desigualdad extremal $\eu^x \geq x^\eu$, la clasificación de las soluciones enteras y racionales y la convergencia monótona de $\bigl(1 + \frac1n\bigr)^n$. Esta es la economía de pensar con tablas de variación: un estudio unidimensional resuelve una ecuación de dos variables porque la ecuación se factoriza a través de una sola función. El [Capítulo 11](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/11-sucesiones#ch-b1-seq) rehará la convergencia de $(x_n)$ con la teoría general de las sucesiones monótonas; el [Capítulo 14](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/14-derivacion#ch-b1-derivative) funda con rigor las tablas de variación sobre el teorema del valor medio; y el [Capítulo 16](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/16-formulas-de-taylor-y-desarrollos-asintoticos#ch-b1-taylor) aporta lo que la tabla no puede — la *velocidad* de la convergencia $x_n \to \eu$ (es de orden $1/n$).