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title: "Ecuaciones diferenciales lineales"
book: "Matemáticas universitarias — Grado 1"
subject: math
language: es
chapter: 5
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/5-ecuaciones-diferenciales-lineales
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# Capítulo 5 — Ecuaciones diferenciales lineales

Vistas por primera vez en el volumen anterior, las ecuaciones diferenciales se tratan aquí con demostraciones completas y con mayor generalidad: ecuaciones lineales de primer orden con coeficientes variables (resueltas por completo con el método de [variación de las constantes](#thm-b1-diffeq-voc)) y ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes constantes, el modelo de las oscilaciones. Los dos casos exhiben la misma estructura: *solución general $=$ una solución particular $+$ solución general de la ecuación homogénea*.

## 5.1 Ecuaciones lineales de primer orden

**Definición 5.1.**

Sean $I$ un intervalo y $a, b \colon I \to \R$ (o $\C$) continuas. La ecuación

$$
(E)\colon\quad y' + a(x)\,y = b(x),
$$

en la incógnita, una función derivable $y \colon I \to \R$ (o $\C$), es una *ecuación diferencial lineal de primer orden*. La ecuación $(H)\colon y' + a(x) y = 0$ es su ecuación *homogénea*.

**Teorema 5.2 (Resolución de la ecuación homogénea).**

Sea $A$ una primitiva de $a$ en $I$ (existe: [Capítulo 15](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/15-integracion-en-un-segmento#ch-b1-integration)). Las soluciones de $(H)$ en $I$ son exactamente las funciones

$$
y(x) = \lambda\, \eu^{-A(x)}, \qquad \lambda \in \R \text{ (or } \C).
$$

**Demostración.** Estas funciones son soluciones: $y' = -\lambda A' \eu^{-A} = -a y$. Recíprocamente, sea $y$ solución de $(H)$ y póngase $z(x) = y(x)\, \eu^{A(x)}$. Entonces

$$
z' = y' \eu^{A} + y\, a\, \eu^{A} = (y' + ay)\, \eu^{A} = 0 ,
$$

luego $z$ es constante en el intervalo $I$, digamos $z = \lambda$: $y = \lambda \eu^{-A}$. (Obsérvese la lógica: no se pierde ninguna solución, porque *toda* solución se ha escrito en la forma anunciada.) ∎

**Ejemplo 5.3 (Una ecuación homogénea de coeficiente variable).**

Resuélvase $y' + (\cos x)\,y = 0$ en $\R$. Una primitiva de $a(x) = \cos x$ es $A(x) = \sin x$, luego las soluciones son

$$
y(x) = \lambda\,\eu^{-\sin x}, \qquad \lambda \in \R .
$$

Dos lecturas. Toda solución es periódica (de período $2\pi$) y no se anula nunca salvo si $\lambda = 0$ — el signo de $\lambda$ es para siempre el signo de $y$, pues una exponencial no puede cruzar el cero. Y la solución con $y(0) = y_0$ es $y_0\eu^{-\sin x}$: exactamente una curva de la familia por cada punto inicial, la imagen unidimensional del [Teorema 5.4](#thm-b1-diffeq-voc) (2).

**Teorema 5.4 (Variación de las constantes; problema de Cauchy).**

Con la notación anterior:

1. Las soluciones de $(E)$ en $I$ son exactamente $$y(x) = \Bigl(\lambda + \int_{x_0}^{x} b(t)\, \eu^{A(t)} \dd t  \Bigr)\, \eu^{-A(x)},  \qquad \lambda \in \R,$$ donde $x_0 \in I$ está fijado. Equivalentemente: solución general de $(H)$ más una solución particular de $(E)$.
2. Para todos $x_0 \in I$ e $y_0$ , el *problema de Cauchy* « $(E)$ e $y(x_0) = y_0$ » tiene exactamente una solución en $I$ .

**Demostración.** (1) Siguiendo el método llamado *variación de las constantes*, se buscan soluciones de la forma $y = \mu(x)\, \eu^{-A(x)}$ con $\mu$ derivable — no se pierde generalidad, ya que toda función de $I$ se puede escribir así ($\mu = y\,\eu^{A}$). Sustituyendo,

$$
y' + ay = \mu' \eu^{-A} - \mu a \eu^{-A} + a\mu\eu^{-A}
= \mu'\, \eu^{-A},
$$

luego $y$ es solución de $(E)$ si y solo si $\mu'(x) = b(x)\,\eu^{A(x)}$, si y solo si $\mu(x) = \lambda + \int_{x_0}^x b(t)\eu^{A(t)}\dd t$ para alguna constante $\lambda$ (dos primitivas de una misma función continua en un intervalo difieren en una constante).

(2) En la fórmula, $y(x_0) = \lambda\,\eu^{-A(x_0)}$: la condición $y(x_0) = y_0$ determina $\lambda = y_0 \eu^{A(x_0)}$ de manera única. ∎

**Ejemplo 5.5.**

Resuélvase $y' + \dfrac{y}{x} = x^2$ en $I = \intoo{0}{+\infty}$. Aquí $a(x) = \frac 1x$, $A(x) = \ln x$, $\eu^{-A(x)} = \frac 1x$. Soluciones homogéneas: $\frac{\lambda}{x}$. [Variación de las constantes](#thm-b1-diffeq-voc): $\mu'(x) = x^2 \cdot x = x^3$, luego $\mu = \frac{x^4}{4} + \lambda$, y

$$
y(x) = \frac{x^3}{4} + \frac{\lambda}{x}, \qquad \lambda \in \R .
$$

Con la condición inicial $y(1) = 0$: $\lambda = -\frac14$. *Comprobación:* $y' + \frac yx = \frac{3x^2}{4} -
\frac{\lambda}{x^2} + \frac{x^2}{4} + \frac{\lambda}{x^2} = x^2$.

**Ejemplo 5.6 (Adivinar gana a integrar).**

Resuélvase $y' + 2x\,y = x$ en $\R$. La [variación de las constantes](#thm-b1-diffeq-voc) funciona ($A = x^2$, $\mu' = x\,\eu^{x^2}$, $\mu = \frac12\eu^{x^2} + \lambda$), pero observar que la *constante* $y_p = \frac12$ resuelve la ecuación ($0 + 2x\cdot\frac12 = x$) es más rápido. Con las soluciones homogéneas $\lambda\,\eu^{-x^2}$:

$$
y(x) = \frac12 + \lambda\,\eu^{-x^2}, \qquad \lambda \in \R .
$$

Toda solución converge a $\frac12$ con enorme rapidez cuando $x \to \pm\infty$: la solución particular constante es un *equilibrio* al que se unen todas las demás. La idea clave: antes de lanzar el método general, dedíquense diez segundos a buscar una solución particular evidente (constante, monomio, múltiplo del miembro derecho); el teorema de estructura remata después el trabajo.

**Observación 5.7 (Los intervalos importan).**

El teorema vive en un *intervalo* donde $a$ y $b$ son continuas. Para $y' + \frac yx = 0$ en $\R^*$, las soluciones son $\frac{\lambda}{x}$ en $\intoo{0}{+\infty}$ y $\frac{\mu}{x}$ en $\intoo{-\infty}{0}$ con constantes *independientes*: no hay ninguna razón para que una sola fórmula pegue las dos ramas a través de la singularidad en $0$.

**Ejemplo 5.8 (Un miembro derecho complejo, dos respuestas reales).**

Resuélvanse $y' - y = \cos x$ e $y' - y = \sin x$ de una vez. Se trabaja en $\C$ con el miembro derecho $\eu^{\iu x}$: probando $y_p = c\,\eu^{\iu x}$ se obtiene $c(\iu - 1)\eu^{\iu x} = \eu^{\iu x}$, luego

$$
c = \frac1{\iu - 1} = \frac{-1 - \iu}2,
\qquad
y_p = -\frac{(1 + \iu)(\cos x + \iu\sin x)}2
= \frac{\sin x - \cos x}2 + \iu\,\frac{-\sin x - \cos x}2 .
$$

Como la ecuación tiene coeficientes reales, las partes real e imaginaria se separan: $\frac{\sin x - \cos x}2$ resuelve $y' - y = \cos x$, y $-\frac{\sin x + \cos x}2$ resuelve $y' - y = \sin x$ (compruébese la primera: su derivada, $\frac{\cos x + \sin x}2$, menos la función da $\cos x$). Una línea compleja ha sustituido a dos pasadas de [variación de las constantes](#thm-b1-diffeq-voc) — la misma economía que el [Método 5.13](#met-b1-diffeq-particular) sistematiza para el segundo orden, y un dividendo recurrente del [Capítulo 3](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/3-numeros-complejos#ch-b1-complex).

## 5.2 Ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes constantes

**Definición 5.9.**

Sean $a, b \in \R$ y $f \colon I \to \R$ continua. La ecuación

$$
(E)\colon\quad y'' + a\,y' + b\,y = f(x)
$$

es una *ecuación lineal de segundo orden con coeficientes constantes*; $(H)\colon y'' + ay' + by = 0$ es su ecuación homogénea, y $\chi(r) = r^2 + ar + b$ su *polinomio característico*.

**Teorema 5.10 (Soluciones homogéneas).**

Sea $\Delta = a^2 - 4b$ el discriminante de $\chi$. Las soluciones reales de $(H)$ en $\R$ son:

1. si $\Delta > 0$ , con $r_1 \neq r_2$ las dos raíces reales: $\;y = \lambda\, \eu^{r_1 x} + \mu\, \eu^{r_2 x}$ ;
2. si $\Delta = 0$ , con $r_0$ la raíz doble: $\;y = (\lambda + \mu x)\, \eu^{r_0 x}$ ;
3. si $\Delta < 0$ , con raíces $\alpha \pm \iu\omega$ ( $\omega > 0$ ): $\;y = \eu^{\alpha x} (\lambda \cos\omega x + \mu  \sin\omega x)$ ;

en cada caso con $(\lambda, \mu)$ recorriendo $\R^2$.

**Demostración.** Obsérvese primero que, para $r \in \C$, la función $x \mapsto \eu^{rx}$ resuelve $(H)$ si y solo si $\chi(r) = 0$ (sustitúyase: $(r^2 + ar + b)\eu^{rx} = 0$). Por eso las exponenciales son la primera conjetura natural: derivar actúa sobre $\eu^{rx}$ como multiplicar por el número $r$, de modo que la ecuación diferencial se convierte en la ecuación numérica $\chi(r) = 0$ — todo el problema analítico queda comprimido en hallar las raíces de una cuadrática.

El paso clave es un cambio de incógnita que rebaja el orden. Sea $r$ una raíz (posiblemente compleja) de $\chi$ y escríbase $y = z\, \eu^{rx}$, lo que no pierde generalidad. Entonces

$$
y'' + ay' + by
= \bigl(z'' + (2r + a) z' + \chi(r) z\bigr)\eu^{rx}
= \bigl(z'' + (2r + a) z'\bigr)\eu^{rx},
$$

de modo que $(H)$ se convierte en la ecuación de *primer orden* $u' + (2r + a) u = 0$ para $u = z'$.

*Caso $\Delta \neq 0$:* tómese $r = r_1$; entonces $2r_1 + a = r_1 - r_2$ (pues $r_1 + r_2 = -a$). Por el [Teorema 5.2](#thm-b1-diffeq-homogeneous1), $z' = c\,\eu^{(r_2 - r_1)x}$ para alguna constante $c$; integrando en $\R$, $z = \mu\, \eu^{(r_2 - r_1)x} + \lambda$ con $\mu = \frac{c}{r_2 - r_1}$, y por tanto $y = z\,\eu^{r_1 x} = \lambda\,\eu^{r_1x} + \mu\,\eu^{r_2x}$. Cuando $\Delta < 0$, las raíces son $\alpha \pm \iu\omega$ y las soluciones complejas son $y = c_1\eu^{(\alpha+\iu\omega)x} +
c_2\eu^{(\alpha-\iu\omega)x}$ con $c_1, c_2 \in \C$. ¿Cuáles de ellas toman valores reales? Como $\conj{\eu^{(\alpha+\iu\omega)x}} =
\eu^{(\alpha-\iu\omega)x}$, el [conjugado](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/3-numeros-complejos#def-b1-complex-field) de $y$ es $\conj{c_2}\,
\eu^{(\alpha+\iu\omega)x} + \conj{c_1}\,\eu^{(\alpha-\iu\omega)x}$, y que $y = \conj y$ para todo $x$ obliga a $c_2 = \conj{c_1}$ (las dos exponenciales son linealmente independientes: evalúese en dos puntos, o compárese en $x=0$ tras dividir por $\eu^{\alpha x}$). Escribiendo $c_1 = \frac{\lambda - \iu\mu}2$ con $\lambda, \mu$ reales:

$$
y = 2\,\Re\Bigl(c_1\,\eu^{\alpha x}(\cos\omega x +
\iu\sin\omega x)\Bigr)
= \eu^{\alpha x}\bigl(\lambda\cos\omega x + \mu\sin\omega
x\bigr),
$$

y, recíprocamente, toda función así es solución (parte real de una solución compleja de una ecuación real): el espacio de soluciones reales es el anunciado.

*Caso $\Delta = 0$:* $r = r_0$, $2r_0 + a = 0$, luego $z'' = 0$: $z = \lambda + \mu x$ e $y = (\lambda + \mu x)\eu^{r_0 x}$. ∎

**Ejemplo 5.11 (Un problema de Cauchy, de principio a fin).**

Resuélvase $y'' - 3y' + 2y = 0$ con $y(0) = 0$, $y'(0) = 1$. El [polinomio característico](#def-b1-diffeq-linear2) $r^2 - 3r + 2 = (r - 1)(r - 2)$ tiene las raíces reales $1$ y $2$: solución general $y = \lambda\eu^{x} +
\mu\eu^{2x}$. Las dos condiciones dan el sistema lineal

$$
\lambda + \mu = 0, \qquad \lambda + 2\mu = 1 ,
$$

luego $\mu = 1$, $\lambda = -1$:

$$
y(x) = \eu^{2x} - \eu^{x} .
$$

Comprobación: $y(0) = 0$; $y' = 2\eu^{2x} - \eu^x$ cumple $y'(0) = 1$; y $y'' - 3y' + 2y = (4 - 6 + 2)\eu^{2x} + (-1 + 3 - 2)\eu^x = 0$. Obsérvese la forma de la respuesta: cerca de $-\infty$ domina el modo lento $-\eu^x$; cerca de $+\infty$, el modo rápido $\eu^{2x}$. Leer las soluciones como superposiciones de modos con distintas tasas de crecimiento o de decaimiento es el hábito rentable — así se organiza el reparto entre transitorio y régimen permanente del problema del fin de semana.

![Los tres regímenes de y'' + ay' + by = 0 con soluciones que decaen: oscilación amortiguada (raíces complejas), retorno crítico (raíz doble) y decaimiento sobreamortiguado (dos raíces reales). Qué régimen se da se lee solo del signo de = a2 - 4b — antes de resolver nada.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-diffeq/fig-31ef696b89f8.svg)

*Los tres regímenes de $y'' + ay' + by = 0$ con soluciones que decaen: oscilación amortiguada (raíces complejas), retorno crítico (raíz doble) y decaimiento sobreamortiguado (dos raíces reales). Qué régimen se da se lee solo del signo de $\Delta = a^2 - 4b$ — antes de resolver nada.*

**Teorema 5.12 (Estructura y problema de Cauchy).**

1. Si $y_p$ es una solución particular de $(E)$ , las soluciones de $(E)$ son exactamente $y_p + y_h$ , con $y_h$ recorriendo las soluciones de $(H)$ .
2. (Superposición) Si $y_1$ resuelve $y'' + ay' + by = f_1$ e $y_2$ resuelve $y'' + ay' + by = f_2$ , entonces $y_1 + y_2$ resuelve la ecuación con miembro derecho $f_1 + f_2$ .
3. Para todos $x_0 \in I$ y $(y_0, y_0')$ , el [problema de Cauchy](#thm-b1-diffeq-voc) « $(E)$ , $y(x_0) = y_0$ , $y'(x_0) = y_0'$ » tiene exactamente una solución en $I$ . *(La existencia, dada una solución particular; la unicidad, en general.)*

**Demostración.** (1) $y$ resuelve $(E)$ si y solo si $y - y_p$ resuelve $(H)$, por linealidad de $y \mapsto y'' + ay' + by$. (2) es la misma linealidad.

(3) Por (1) basta demostrar que las constantes $(\lambda, \mu)$ siempre se pueden ajustar, de manera única, a cualesquiera datos $(y_0, y_0')$. Trasladando la variable, supóngase $x_0 = 0$. En el caso (1) del [Teorema 5.10](#thm-b1-diffeq-homogeneous2), $y = \lambda\eu^{r_1x} +
\mu\eu^{r_2x}$ da

$$
y(0) = \lambda + \mu, \qquad y'(0) = r_1\lambda + r_2\mu :
$$

un sistema lineal en $(\lambda, \mu)$ cuyo determinante es $r_2 - r_1 \neq 0$; al resolverlo explícitamente, $\mu = \frac{y_0' - r_1y_0}{r_2 - r_1}$ y $\lambda = y_0 - \mu$: exactamente una solución. En el caso (2), $y(0) = \lambda$ y $y'(0) = r_0\lambda + \mu$: el sistema es triangular de determinante $1$, resuelto por $\lambda = y_0$, $\mu = y_0' - r_0y_0$. En el caso (3), $y(0) = \lambda$ e $y'(0) = \alpha\lambda + \omega\mu$: determinante $\omega \neq 0$, resuelto por $\lambda = y_0$, $\mu = \frac{y_0' - \alpha y_0}\omega$. En cada caso, la [aplicación](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-map) $(\lambda, \mu) \mapsto (y(x_0), y'(x_0))$ es una [biyección](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj) lineal — el lenguaje del [Capítulo 20](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/20-aplicaciones-lineales#ch-b1-linmaps) comprimirá esta discusión por casos en una sola frase. ∎

**Método 5.13 (Solución particular para f(x)=P(x) eγxf(x) = P(x)\,\eu^{\gamma x}f(x)=P(x)eγx).**

Cuando el miembro derecho es $P(x)\,\eu^{\gamma x}$ con $P$ polinomio y $\gamma \in \R$ (lo que cubre polinomios, exponenciales y, con $\gamma$ complejo o por superposición, $\cos$ y $\sin$), búsquese una solución particular de la forma

$$
y_p(x) = x^{m}\, Q(x)\, \eu^{\gamma x},
\qquad
m = \text{multiplicidad de } \gamma \text{ como raíz de } \chi
\ (m = 0, 1 \text{ o } 2),
$$

con $Q$ un polinomio del mismo grado que $P$, cuyos coeficientes se hallan sustituyendo e identificando. Para $f = K\cos\omega x$ (o $\sin$), resuélvase con miembro derecho $K\eu^{\iu\omega x}$ y tómese la parte real (resp. imaginaria).

**Ejemplo 5.14 (La superposición en acción).**

Resuélvase $y'' - y = \eu^{x} + 4$ en $\R$. Homogénea: $\chi(r) = r^2 - 1$, raíces $\pm1$, luego $y_h = \lambda\eu^x + \mu\eu^{-x}$. Sepárese el miembro derecho y trátese cada trozo con el método. *Trozo $\eu^x$:* aquí $\gamma = 1$ es raíz simple de $\chi$, así que se prueba $y_1 = c\,x\,\eu^x$: entonces $y_1'' - y_1 = c(x + 2)\eu^x - cx\eu^x = 2c\,\eu^x$, de donde $c = \frac12$. *Trozo $4$:* $\gamma = 0$ no es raíz; sirve la constante $y_2 = -4$. Por superposición ([Teorema 5.12](#thm-b1-diffeq-structure2) (2)):

$$
y = \frac{x\,\eu^x}2 - 4 + \lambda\,\eu^x + \mu\,\eu^{-x},
\qquad (\lambda, \mu) \in \R^2 .
$$

Obsérvese cómo los dos trozos han exigido formas *distintas* ($m = 1$ frente a $m = 0$): el criterio de multiplicidad se aplica a cada exponente por separado, que es justamente la razón de separar el miembro derecho antes de conjeturar.

**Ejemplo 5.15 (La regla de la multiplicidad en acción).**

Resuélvase $y'' + y' = x$ en $\R$. El miembro derecho es $P(x)\eu^{0 \cdot x}$ con $P(x) = x$, y $\gamma = 0$ es raíz *simple* de $\chi(r) = r^2 + r = r(r + 1)$: luego $m = 1$, y la conjetura correcta es $y_p = x\,(\alpha x + \beta) = \alpha x^2 +
\beta x$, un grado más que $P$. Sustituyendo:

$$
y_p'' + y_p' = 2\alpha + (2\alpha x + \beta)
= 2\alpha x + (2\alpha + \beta) ,
$$

e identificando con $x$ se obtiene $\alpha = \frac12$, $\beta = -1$: $y_p = \frac{x^2}2 - x$. Solución general: $y = \frac{x^2}2 - x + \lambda + \mu\,\eu^{-x}$. Si se hubiese conjeturado $y_p = \alpha x + \beta$ (ignorando la multiplicidad), la sustitución daría $y_p'' + y_p' = \alpha$, una constante — ninguna elección de $\alpha, \beta$ puede igualar a $x$, y el fracaso es estructural: las constantes ya resuelven la ecuación homogénea, así que son invisibles para el miembro izquierdo. El factor $x^m$ existe precisamente para salir del espacio de soluciones homogéneas.

**Observación 5.16 (La póliza de seguros de treinta segundos).**

Toda ecuación resuelta en este capítulo termina con una comprobación por sustitución, y no es un adorno. Un cálculo con ecuaciones diferenciales encadena muchos pasos pequeños (una primitiva, una regla del producto, dos constantes), y un solo error de signo se propaga invisible; sustituir la fórmula final en la ecuación los caza casi todos al precio de una derivación. Cultívese el reflejo en tres capas: compruébese la *solución particular* sola (la parte homogénea se cancela de todos modos), compruébense las *condiciones iniciales* en la solución completa y, cuando haya un parámetro, compruébese un *valor degenerado* (¿reproduce la fórmula para $\Omega$ general la respuesta conocida en $\Omega = 0$?). El hábito cuesta medio minuto y convierte «probablemente correcto» en «verificado».

**Observación 5.17 (Errores frecuentes).**

1. *Normalícese primero.* Las fórmulas suponen que la ecuación se lee $y' + a(x)y = b(x)$ — coeficiente $1$ en $y'$ . Para $xy' - 2y = x^3$ , divídase por $x$ (en un intervalo que evite $0$ ) antes de identificar $a$ y $b$ , como en el [Ejercicio 5.2](#exo-b1-diffeq-2) .
2. *Una constante por dimensión, fijada al final.* La solución general de primer orden lleva una constante; la de segundo orden, dos; las condiciones iniciales se imponen sobre la solución *completa* $y_p + y_h$ , nunca sobre $y_h$ sola — imponerlas antes de sumar $y_p$ es el error estructural más frecuente.
3. *Ojo con la multiplicidad.* Una conjetura de solución particular que resuelva la ecuación homogénea es invisible para el miembro izquierdo; el factor $x^m$ del [Método 5.13](#met-b1-diffeq-particular) no es opcional ( [Ejemplo 5.15](#ex-b1-diffeq-multiplicity) ).
4. *Los intervalos forman parte de la respuesta.* Las soluciones viven en intervalos donde los coeficientes son continuos; pegar a través de una singularidad puede crear constantes espurias ( [Ejercicio 5.12](#exo-b1-diffeq-12) ) o destruir la unicidad. «Resuélvase en $\R^*$ » significa dos problemas independientes.

**Ejemplo 5.18 (Excitación fuera de resonancia).**

Resuélvase $y'' + 4y = \sin x$ en $\R$. Frecuencia propia $2$, frecuencia de excitación $1$: como $\iu$ *no* es raíz de $\chi(r) = r^2 + 4$, la multiplicidad es $m = 0$ y basta con una sinusoide simple. Probando $y_p = \alpha\sin x$ (no hace falta coseno: la ecuación no tiene término en $y'$ y $\sin$ regenera $\sin$):

$$
y_p'' + 4y_p = -\alpha\sin x + 4\alpha\sin x = 3\alpha\sin x ,
$$

luego $\alpha = \frac13$ y la solución general es

$$
y = \frac{\sin x}3 + \lambda\cos 2x + \mu\sin 2x .
$$

Toda solución permanece acotada: una superposición de dos oscilaciones, de frecuencias $1$ (forzada) y $2$ (propia). Compárese con el ejemplo siguiente, donde excitar *a* la frecuencia propia cambia la forma misma de la respuesta.

**Ejemplo 5.19 (Una oscilación forzada).**

Resuélvase $y'' + y = \cos x$, $y(0) = 0$, $y'(0) = 0$.

*Homogénea:* $\chi(r) = r^2 + 1$, raíces $\pm\iu$: $y_h = \lambda\cos x + \mu \sin x$.

*Particular:* miembro derecho $\Re(\eu^{\iu x})$ con $\gamma = \iu$ raíz simple de $\chi$: pruébese $z_p = c\, x\,
\eu^{\iu x}$ ($c \in \C$). Entonces $z_p'' + z_p = c\,(2\iu)\eu^{\iu x}$, que vale $\eu^{\iu x}$ para $c = \frac{1}{2\iu} = -\frac\iu2$. Luego $z_p = -\frac{\iu}{2} x (\cos x + \iu \sin x)$ e $y_p = \Re(z_p) = \frac{x \sin x}{2}$.

*Solución general:* $y = \frac{x\sin x}{2} + \lambda\cos x +
\mu\sin x$. Condiciones: $y(0) = \lambda = 0$; $y' = \frac{\sin x +
x\cos x}{2} + \mu\cos x$, luego $y'(0) = \mu = 0$. Respuesta: $y = \frac{x\sin x}{2}$ — una oscilación cuya amplitud crece linealmente: el fenómeno de *resonancia*, causado por excitar el sistema a su frecuencia propia.

![Resonancia: la solución y = x x/2 de y'' + y = x oscila entre las rectas y = ± x2 (a trazos), con amplitud siempre creciente.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-diffeq/fig-7a7af5de9757.svg)

*[Resonancia](#ex-b1-diffeq-oscillation): la solución $y = \frac{x \sin x}{2}$ de $y'' + y = \cos x$ oscila entre las rectas $y = \pm\frac x2$ (a trazos), con amplitud siempre creciente.*

**Observación 5.20 (Interludio: la linealidad es una geometría).**

Obsérvese la forma de todos los [conjuntos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) de soluciones de este capítulo: una solución especial más un espacio de soluciones homogéneas con una constante libre (primer orden) o dos (segundo orden). Los capítulos de álgebra lineal (Capítulos [18](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#ch-b1-vspaces), [19](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/19-dimension-finita#ch-b1-findim) y [20](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/20-aplicaciones-lineales#ch-b1-linmaps)) aportarán el vocabulario exacto: la [aplicación](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-map) $L(y) = y'' + ay' + by$ es *lineal*, sus soluciones homogéneas forman el *núcleo* de $L$, un espacio vectorial cuya *dimensión* es el orden de la ecuación — ese es el contenido honesto de «una constante por orden» — y el [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) de soluciones de $L(y) = f$ es un *subespacio afín*, un trasladado del núcleo. Incluso la [aplicación](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-map) de Cauchy $(\lambda, \mu) \mapsto (y(x_0), y'(x_0))$ del [Teorema 5.12](#thm-b1-diffeq-structure2) es una [biyección](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj) lineal entre dos planos, es decir, un sistema $2 \times 2$ invertible ([Capítulo 21](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/21-matrices#ch-b1-matrices)). Nada de este capítulo habrá que rehacerlo — solo habrá que rebautizarlo, y ese rebautizo es el mejor calentamiento posible para el álgebra lineal: allí, toda definición abstracta ya se ha ganado la vida aquí.

**Observación 5.21 (Dónde se usa este capítulo).**

El teorema de estructura — las soluciones de $(E)$ son «una solución particular más las soluciones de $(H)$» — es la primera aparición de un patrón que los Capítulos [18](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#ch-b1-vspaces) y [20](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/20-aplicaciones-lineales#ch-b1-linmaps) bautizarán: el [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) de soluciones de $(H)$ es el *núcleo* de la [aplicación](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-map) lineal $y \mapsto y'' + ay' + by$, y el [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) de soluciones de $(E)$ es un trasladado afín suyo. El [polinomio característico](#def-b1-diffeq-linear2) reaparece como [polinomio característico](#def-b1-diffeq-linear2) de una matriz en el [Capítulo 21](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/21-matrices#ch-b1-matrices): una ecuación de segundo orden es un sistema de primer orden $2 \times 2$ disfrazado, punto de vista que el volumen del segundo año sistematiza. Las integrales que exige la [variación de las constantes](#thm-b1-diffeq-voc) las suministra el [Capítulo 15](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/15-integracion-en-un-segmento#ch-b1-integration), y el problema del fin de semana — el oscilador amortiguado y forzado — es el caso modelo de toda cuestión de oscilaciones en las ciencias, de los circuitos a los puentes colgantes.

## 5.3 Ejercicios

**Ejercicio 5.1 ★.**

Resuélvase en $\R$: $\;y' + 2y = \eu^{3x}$; después el [problema de Cauchy](#thm-b1-diffeq-voc) $y(0) = 1$.

**Solución de Ejercicio 5.1.**

Homogénea: $y_h = \lambda\,\eu^{-2x}$. Particular: pruébese $y_p = c\,\eu^{3x}$ ($3$ no es raíz de $r + 2$): $3c + 2c = 1$, $c = \frac15$. Solución general: $y = \frac{\eu^{3x}}{5} +
\lambda\,\eu^{-2x}$. Con $y(0) = 1$: $\frac15 + \lambda = 1$, $\lambda = \frac45$, luego $y = \frac{\eu^{3x} + 4\,\eu^{-2x}}{5}$.

**Ejercicio 5.2 ★.**

Resuélvase en $\intoo{0}{+\infty}$: $\;x y' - 2y = x^3$ *(póngase primero la ecuación en forma normalizada)*.

**Solución de Ejercicio 5.2.**

En $\intoo{0}{+\infty}$, divídase por $x$: $y' - \frac{2}{x}\,y = x^2$. Aquí $A(x) = -2\ln x$, $\eu^{-A(x)} = x^2$: soluciones homogéneas $\lambda x^2$. [Variación de las constantes](#thm-b1-diffeq-voc): $\mu'(x) = x^2 \cdot x^{-2} =
1$, luego $\mu = x + \lambda$ y

$$
y(x) = x^3 + \lambda x^2, \qquad \lambda \in \R .
$$

*Comprobación:* $x(3x^2 + 2\lambda x) - 2(x^3 + \lambda x^2) = x^3$.

**Ejercicio 5.3 ★.**

Resuélvanse en $\R$, dando la solución general real: $\;y'' - 3y' + 2y = 0$; $\;y'' + 4y' + 4y = 0$; $\;y'' - 2y' + 5y =
0$.

**Solución de Ejercicio 5.3.**

$y'' - 3y' + 2y = 0$: raíces $1$ y $2$; $\;y = \lambda\,\eu^{x} +
\mu\,\eu^{2x}$.

$y'' + 4y' + 4y = 0$: raíz doble $-2$; $\;y = (\lambda + \mu
x)\,\eu^{-2x}$.

$y'' - 2y' + 5y = 0$: raíces $1 \pm 2\iu$; $\;y = \eu^{x}(\lambda\cos
2x + \mu\sin 2x)$.

**Ejercicio 5.4 ★.**

Resuélvase $y'' - y = x^2$ en $\R$, y después el [problema de Cauchy](#thm-b1-diffeq-voc) $y(0) = 0$, $y'(0) = 1$.

**Solución de Ejercicio 5.4.**

Homogénea: raíces $\pm 1$, $y_h = \lambda\,\eu^x + \mu\,\eu^{-x}$. Particular con miembro derecho polinómico ($\gamma = 0$ no es raíz): $y_p = ax^2 + bx + c$; sustituyendo, $2a - (ax^2 + bx + c) = x^2$ da $a = -1$, $b = 0$, $c = 2a = -2$: $y_p = -x^2 - 2$. Solución general $y = -x^2 - 2 + \lambda\eu^x + \mu\eu^{-x}$.

Cauchy: $y(0) = -2 + \lambda + \mu = 0$ e $y'(0) = \lambda - \mu = 1$: $\lambda = \frac32$, $\mu = \frac12$. Luego $y = -x^2 - 2 + \frac{3\eu^x + \eu^{-x}}{2}$.

**Ejercicio 5.5 ★★.**

Resuélvase en $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$: $\;y' + y\tan x = \sin 2x$.

**Solución de Ejercicio 5.5.**

$a(x) = \tan x$, $A(x) = -\ln(\cos x)$ (válido: $\cos > 0$ en el intervalo), $\eu^{-A} = \cos x$: soluciones homogéneas $\lambda\cos x$. [Variación de las constantes](#thm-b1-diffeq-voc): $\mu'(x) = \sin 2x \cdot \frac{1}{\cos x} =
2\sin x$, luego $\mu = -2\cos x + \lambda$ y

$$
y(x) = -2\cos^2 x + \lambda \cos x .
$$

*Comprobación:* $y' = 4\cos x \sin x - \lambda\sin x$ y $y\tan x = -2\cos x\sin x + \lambda \sin x$; su suma es $2\cos x\sin x = \sin 2x$, como se pedía.

**Ejercicio 5.6 ★★.**

Resuélvase $y'' - 4y' + 3y = (2x + 1)\,\eu^{x}$ en $\R$. *(Ojo con la multiplicidad: ¿es $1$ raíz del [polinomio característico](#def-b1-diffeq-linear2)?)*

**Solución de Ejercicio 5.6.**

$\chi(r) = r^2 - 4r + 3 = (r-1)(r-3)$: $\gamma = 1$ es raíz simple ($m = 1$). Pruébese $y_p = x(ax + b)\,\eu^x$. Con $u = ax^2 + bx$,

$$
y_p'' - 4y_p' + 3y_p = \bigl(u'' + (2 - 4)u' + \chi(1) u\bigr)\eu^x
= \bigl(2a - 2(2ax + b)\bigr)\eu^x .
$$

Identifíquese con $(2x + 1)\eu^x$: $-4a = 2$ y $2a - 2b = 1$, luego $a = -\frac12$, $b = -1$. Solución general:

$$
y = -\Bigl(\frac{x^2}{2} + x\Bigr)\eu^{x} + \lambda\,\eu^{x} +
\mu\,\eu^{3x}, \qquad (\lambda, \mu) \in \R^2 .
$$

**Ejercicio 5.7 ★★.**

Resuélvase $y'' + 4y = \sin 2x + x$ en $\R$ *(superposición; trátese cada miembro derecho por separado)*.

**Solución de Ejercicio 5.7.**

Homogénea: $y_h = \lambda\cos 2x + \mu\sin 2x$.

Miembro derecho $x$ ($\gamma = 0$ no es raíz): $y_1 = ax + b$ con $4(ax + b) = x$: $y_1 = \frac x4$.

Miembro derecho $\sin 2x = \Im(\eu^{2\iu x})$, con $2\iu$ raíz simple de $r^2 + 4$: pruébese $z = c\,x\,\eu^{2\iu x}$; entonces $z'' + 4z = 4\iu c\,\eu^{2\iu x}$, igual a $\eu^{2\iu x}$ para $c = \frac{1}{4\iu} = -\frac{\iu}{4}$. Luego $z = -\frac{\iu x}{4}(\cos 2x +
\iu \sin 2x)$ e $y_2 = \Im(z) = -\frac{x\cos 2x}{4}$.

Por superposición:

$$
y = \frac{x}{4} - \frac{x\cos 2x}{4} + \lambda\cos 2x + \mu\sin 2x .
$$

**Ejercicio 5.8 ★★.**

Una taza de café a temperatura $T_0 = 80\,^\circ$C está en una habitación a $20\,^\circ$C. La ley de enfriamiento de Newton dice que $T' = -k\,(T - 20)$ con $k > 0$. Resuélvase para $T(t)$ y, sabiendo que el café está a $50\,^\circ$C al cabo de $10$ minutos, hállese cuándo llega a $25\,^\circ$C.

**Solución de Ejercicio 5.8.**

La ecuación $T' + kT = 20k$ tiene la solución particular constante $20$ y soluciones homogéneas $\lambda\eu^{-kt}$: $T(t) = 20 +
\lambda\,\eu^{-kt}$, y $T(0) = 80$ da $\lambda = 60$:

$$
T(t) = 20 + 60\,\eu^{-kt} .
$$

$T(10) = 50$: $\eu^{-10k} = \frac12$, luego $k = \frac{\ln 2}{10}$. Después, $T(t) = 25$ exige $\eu^{-kt} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}$, es decir,

$$
t = \frac{\ln 12}{k} = 10\,\frac{\ln 12}{\ln 2} \approx 35.8
\text{ minutos.}
$$

**Ejercicio 5.9 ★★★.**

(Oscilador amortiguado) Para $\varepsilon \geq 0$, considérese $y'' + 2\varepsilon y' + y = 0$.

1. Resuélvase para $\varepsilon \in \intco{0}{1}$ , $\varepsilon = 1$ y $\varepsilon > 1$ .
2. Pruébese que, para todo $\varepsilon > 0$ , todas las soluciones tienden a $0$ en $+\infty$ , y que para $\varepsilon = 0$ las soluciones no nulas no lo hacen.
3. Para $\varepsilon \in \intoo{0}{1}$ , pruébese que los ceros de una solución no nula están regularmente espaciados, con paso $\frac{\pi}{\sqrt{1 - \varepsilon^2}}$ .

**Solución de Ejercicio 5.9.**

1. $\chi(r) = r^2 + 2\varepsilon r + 1$ , $\Delta = 4(\varepsilon^2  - 1)$ . Para $\varepsilon \in \intco{0}{1}$ : raíces $-\varepsilon \pm  \iu\sqrt{1 - \varepsilon^2}$ , luego $y = \eu^{-\varepsilon t}\bigl(\lambda\cos\omega t +  \mu\sin\omega t\bigr)$ con $\omega = \sqrt{1 -  \varepsilon^2}$ . Para $\varepsilon = 1$ : raíz doble $-1$ , $y = (\lambda + \mu  t)\,\eu^{-t}$ . Para $\varepsilon > 1$ : raíces reales $r_\pm = -\varepsilon \pm  \sqrt{\varepsilon^2 - 1}$ , ambas $< 0$ , y $y =  \lambda\eu^{r_+t} + \mu\eu^{r_-t}$ .
2. Para $\varepsilon \in \intoo{0}{1}$ : $\abs y \leq  \eu^{-\varepsilon t}(\abs\lambda + \abs\mu) \to 0$ . Para $\varepsilon = 1$ : $(\lambda + \mu t)\eu^{-t} \to 0$ (la exponencial gana al polinomio, [Proposición 4.6](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/4-funciones-usuales#prop-b1-functions-powerrules) ). Para $\varepsilon > 1$ : las dos exponenciales decaen, pues $r_\pm < 0$ (en efecto, $\sqrt{\varepsilon^2 - 1} < \varepsilon$ ). Para $\varepsilon = 0$ : $y = \lambda\cos t + \mu\sin t$ tiene amplitud constante $\sqrt{\lambda^2 + \mu^2} \neq 0$ salvo si $y = 0$ .
3. Escríbase $\lambda\cos\omega t + \mu\sin\omega t =  R\cos(\omega t - \varphi)$ con $R = \sqrt{\lambda^2 + \mu^2}  > 0$ . Los ceros de $y$ son los de $\cos(\omega t -  \varphi)$ (el factor $\eu^{-\varepsilon t}$ no se anula nunca): $\omega t - \varphi \equiv \frac\pi2 \pmod \pi$ , una progresión aritmética de paso $\frac{\pi}{\omega} =  \frac{\pi}{\sqrt{1 - \varepsilon^2}}$ .

**Ejercicio 5.10 ★★★.**

Hállense todas las funciones $f \colon \R \to \R$, dos veces derivables, tales que

$$
\forall x, y \in \R, \qquad f(x + y) + f(x - y) = 2 f(x) f(y),
$$

con $f(0) \ne 0$ y $f$ no constante. *Indicación: fíjese $y$ y derívese dos veces respecto de $x$ en $0$; pruébese que $f(0) = 1$ y que $f'' = c f$ para alguna constante $c$; resuélvase después según el signo de $c$ y compruébese qué soluciones satisfacen la ecuación funcional.*

**Solución de Ejercicio 5.10.**

Hágase $x = y = 0$: $2f(0) = 2f(0)^2$, y $f(0) \neq 0$ da $f(0) = 1$. Fíjese $x$ y derívese dos veces la ecuación respecto de $y$:

$$
f''(x+y) + f''(x-y) = 2 f(x) f''(y) .
$$

Haciendo $y = 0$: $\;2f''(x) = 2 f(x) f''(0)$, es decir,

$$
f''(x) = c\,f(x), \qquad c = f''(0).
$$

*Caso $c = \omega^2 > 0$:* $f(x) = \lambda\cosh\omega x +
\mu\sinh\omega x$; $f(0) = 1$ da $\lambda = 1$. Al llevarlo a la ecuación funcional y usar las fórmulas de adición ([Proposición 4.18](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/4-funciones-usuales#prop-b1-functions-hyprules)), la ecuación obliga a $\mu = 0$ (compárense los coeficientes de $\sinh\omega x \sinh\omega y$, o evalúese en $x = y$): $f = \cosh\omega x$, que en efecto cumple $\cosh(x+y) + \cosh(x-y) = 2\cosh x\cosh y$.

*Caso $c = -\omega^2 < 0$:* análogamente, $f(x) = \cos\omega x$ ($\omega \neq 0$), que cumple la ecuación.

*Caso $c = 0$:* $f$ afín con $f(0) = 1$: $f(x) = 1 + \mu x$; la ecuación obliga a $\mu = 0$, excluido ($f$ no es constante).

Conclusión: las soluciones son $f(x) = \cos\omega x$ y $f(x) = \cosh\omega x$, con $\omega > 0$.

**Ejercicio 5.11 ★★.**

(Ecuación de Euler) Resuélvase $x^2 y'' - x y' + y = 0$ en $\intoo{0}{+\infty}$. *Indicación: póngase $z(t) = y(\eu^t)$, es decir, sustitúyase $x = \eu^t$, y véase que $z$ cumple una ecuación lineal de coeficientes constantes.*

**Solución de Ejercicio 5.11.**

Póngase $z(t) = y(\eu^t)$, de modo que $y(x) = z(\ln x)$ para $x > 0$. Entonces

$$
y'(x) = \frac{z'(\ln x)}x,
\qquad
y''(x) = \frac{z''(\ln x) - z'(\ln x)}{x^2} ,
$$

y sustituyendo en la ecuación:

$$
x^2y'' - xy' + y = \bigl(z'' - z'\bigr) - z' + z
= z'' - 2z' + z = 0 .
$$

[Polinomio característico](#def-b1-diffeq-linear2) $(r - 1)^2$: raíz doble $1$, luego $z(t) = (\lambda + \mu t)\,\eu^t$ y, de vuelta a la variable $x = \eu^t$:

$$
y(x) = (\lambda + \mu\ln x)\,x,
\qquad \lambda, \mu \in \R .
$$

**Ejercicio 5.12 ★★★.**

Considérese la ecuación $x\,y' = 2y$ en toda la recta real, en la incógnita, una función derivable $y \colon \R \to \R$.

1. Resuélvase en $\intoo{0}{+\infty}$ y en $\intoo{-\infty}{0}$ .
2. Pruébese que, para constantes $a, b \in \R$ *cualesquiera* , la función que vale $ax^2$ para $x \geq 0$ y $bx^2$ para $x < 0$ es derivable en $\R$ y resuelve la ecuación en todas partes.
3. Conclúyase que el [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) de soluciones en $\R$ es una familia de dos parámetros, y explíquese por qué esto no contradice la unicidad del [Teorema 5.4](#thm-b1-diffeq-voc) .

**Solución de Ejercicio 5.12.**

1. En forma normalizada $y' - \frac2x\,y = 0$ en cada intervalo: $A(x) = -2\ln\abs x$ , luego las soluciones son $y = a x^2$ en $\intoo0{+\infty}$ e $y = b x^2$ en $\intoo{-\infty}0$ , con constantes independientes ( [Teorema 5.2](#thm-b1-diffeq-homogeneous1) ).
2. Sea $y = ax^2$ para $x \geq 0$ y $bx^2$ para $x < 0$ . En cada semirrecta abierta, $y$ es derivable y cumple $xy' = 2y$ . En $0$ : los cocientes incrementales $\frac{y(h) - y(0)}h = ah$ o $bh$ tienden a $0$ , luego $y'(0) = 0$ existe, y la ecuación en $x = 0$ dice $0 \cdot y'(0) = 2y(0) = 0$ : se cumple. Así pues, $y$ resuelve la ecuación en todo $\R$ .
3. Las soluciones en $\R$ son exactamente estas funciones pegadas: una familia de *dos* parámetros para una ecuación de primer orden. No hay contradicción con el [Teorema 5.4](#thm-b1-diffeq-voc) , cuyas hipótesis fallan aquí: escrita como $y' + a(x)y = 0$ , el coeficiente $a(x) = -\frac2x$ no es continuo en $0$ — ni siquiera está definido —, de modo que $\R$ no es un intervalo donde el teorema se aplique. La singularidad en $0$ desconecta las dos semirrectas, y el valor $y(0) = 0$ queda forzado sin transportar información de un lado a otro. Todo dato de Cauchy en $x_0 \neq 0$ determina la solución solo en la semirrecta que contiene a $x_0$ .

## 5.4 Problema: el oscilador amortiguado y forzado

**Problema 5.1.**

Una sola ecuación gobierna una masa unida a un muelle en un medio viscoso, la carga de un circuito RLC y un edificio que oscila con el viento:

$$
(E_\Omega)\colon\quad
x'' + 2\lambda x' + \omega_0^2\,x = A\cos(\Omega t),
$$

con $\lambda \geq 0$ el amortiguamiento, $\omega_0 > 0$ la frecuencia propia y $A > 0$, $\Omega > 0$ la amplitud y la frecuencia de la excitación. Este problema extrae su comportamiento completo: el decaimiento de los transitorios, el único régimen permanente periódico, la curva de [resonancia](#ex-b1-diffeq-oscillation) y su agudeza (el *[factor de calidad](#pb-b1-diffeq-1)*), las [pulsaciones](#pb-b1-diffeq-1) del caso sin amortiguamiento y el balance energético que sostiene la oscilación. Salvo indicación en contra, $0 < \lambda < \omega_0$ (régimen subamortiguado) y se escribe $\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \lambda^2}$.

**Parte I — El oscilador libre.** Aquí $A = 0$.

1. Resuélvase la ecuación homogénea $(H)$ para $0 < \lambda < \omega_0$ y para $\lambda = 0$ . (Los regímenes $\lambda \geq \omega_0$ se trataron en el [Ejercicio 5.9](#exo-b1-diffeq-9) ; cítense.)
2. Pruébese que, para todo $\lambda > 0$ , todas las soluciones de $(H)$ tienden a $0$ en $+\infty$ — en los tres regímenes.
3. Defínase la energía $\mathcal E(t) = \frac12 x'(t)^2 +  \frac12\omega_0^2\,x(t)^2$ a lo largo de una solución de $(H)$ . Pruébese que $\mathcal E'(t) = -2\lambda\,x'(t)^2 \leq 0$ y dedúzcase (sin resolver nada) que el [problema de Cauchy](#thm-b1-diffeq-voc) « $(H)$ , $x(t_0) = x'(t_0) = 0$ » solo tiene la solución nula, para todo $\lambda \geq 0$ .
4. Para $0 < \lambda < \omega_0$ , escríbase la solución no nula como $x(t) = R\,\eu^{-\lambda t}\cos(\omega_d t - \varphi)$ y sea $T_d = \frac{2\pi}{\omega_d}$ el seudoperíodo. Pruébese que $x(t + T_d) = \eu^{-\lambda T_d}\,x(t)$ : cada oscilación es la anterior encogida por el factor constante $\eu^{-\delta}$ , con $\delta = \frac{2\pi\lambda}{\omega_d}$ (el *decremento logarítmico* ). Calcúlese $\delta$ para $\omega_0 = 1$ , $\lambda = 0.1$ .
5. Defínase el *[factor de calidad](#pb-b1-diffeq-1)* $Q =  \dfrac{\omega_0}{2\lambda}$ . Pruébese que, tras el tiempo $\frac1\lambda$ (una división de la amplitud por $\eu$ ), el oscilador ha completado $\frac{\omega_d}{2\pi\lambda}$ seudoperíodos, que para amortiguamiento débil ( $\lambda \ll \omega_0$ ) es aproximadamente $\frac Q\pi$ : el [factor de calidad](#pb-b1-diffeq-1) cuenta, salvo el factor $\pi$ , las oscilaciones que sobreviven antes de que la amplitud se divida por $\eu$ .

**Parte II — El régimen permanente.** Ahora $A > 0$ y $\lambda > 0$.

6. Búsquese una solución particular como parte real de $z\,\eu^{\iu\Omega t}$ con $z \in \C$ ([Método 5.13](#met-b1-diffeq-particular)). Pruébese que funciona con $$z = \frac{A}{\omega_0^2 - \Omega^2 + 2\iu\lambda\Omega} .$$
7. Dedúzcase el régimen permanente en forma amplitud–fase: $x_p(t) = R(\Omega)\cos\bigl(\Omega t -  \varphi(\Omega)\bigr)$ con $$R(\Omega) = \frac{A}{\sqrt{(\omega_0^2 - \Omega^2)^2 +  4\lambda^2\Omega^2}},  \qquad  \tan\varphi = \frac{2\lambda\Omega}{\omega_0^2 -  \Omega^2},  \quad \varphi \in \intoo0\pi .$$
8. Interprétense los dos regímenes extremos: calcúlense los límites de $R$ y de $\varphi$ cuando $\Omega \to 0^+$ (respuesta cuasiestática $A/\omega_0^2$ , fase $0$ ) y cuando $\Omega \to +\infty$ ( $R \sim A/\Omega^2 \to 0$ , fase $\to \pi$ : la masa se mueve en sentido opuesto a una excitación demasiado rápida).
9. Pruébese que *toda* solución de $(E_\Omega)$ es $x_p$ más una solución de $(H)$ y que, por tanto, converge al régimen permanente $x_p$ cuando $t \to +\infty$ , sean cuales sean las condiciones iniciales: una vez muerto el transitorio, el oscilador no recuerda cómo empezó.
10. Pruébese que $x_p$ es la *única* solución periódica de $(E_\Omega)$ .
11. Resuélvase un [problema de Cauchy](#thm-b1-diffeq-voc) hasta el final: para $x'' + 2x' + 2x = \cos t$ con $x(0) = x'(0) = 0$, pruébese que la solución es $$x(t) = \frac{\cos t + 2\sin t}5  - \eu^{-t}\,\frac{\cos t + 3\sin t}5 ,$$ e identifíquense las partes transitoria y permanente.

**Parte III — La curva de [resonancia](#ex-b1-diffeq-oscillation).** Estudio de $\Omega \mapsto R(\Omega)$ en $\intoo0{+\infty}$.

12. Poniendo $u = \Omega^2$ y $g(u) = (\omega_0^2 - u)^2 +  4\lambda^2 u$, pruébese que, si $2\lambda^2 < \omega_0^2$, entonces $R$ alcanza un máximo estricto en la *frecuencia de [resonancia](#ex-b1-diffeq-oscillation)* $\Omega_r =  \sqrt{\omega_0^2 - 2\lambda^2}$, con $$R_{\max} = R(\Omega_r)  = \frac{A}{2\lambda\sqrt{\omega_0^2 - \lambda^2}} .$$
13. Pruébese que $\dfrac{R_{\max}}{R(0)} = Q\,\bigl(1 -  \tfrac{\lambda^2}{\omega_0^2}\bigr)^{-1/2} \geq Q$ : en [resonancia](#ex-b1-diffeq-oscillation) , la excitación se amplifica (esencialmente) por el [factor de calidad](#pb-b1-diffeq-1) .
14. Demuéstrese que la amplitud de la *velocidad* $V(\Omega) = \Omega\,R(\Omega)$ es máxima exactamente en $\Omega = \omega_0$ (no en $\Omega_r$ ), y que la fase ahí vale $\varphi(\omega_0) = \frac\pi2$ : en $\Omega = \omega_0$ , la velocidad está exactamente en fase con la fuerza.
15. (Ancho de banda) Resuélvase exactamente $g(u) = 2\,g(u_r)$ , donde $u_r = \omega_0^2 - 2\lambda^2$ , y dedúzcase que las dos frecuencias $\Omega_\pm$ en las que $R = R_{\max}/\sqrt2$ cumplen $\Omega_+^2 - \Omega_-^2 = 4\lambda\sqrt{\omega_0^2 -  \lambda^2}$ ; conclúyase que, para amortiguamiento débil, el ancho de banda es $\Omega_+ - \Omega_- \approx 2\lambda$ , es decir, $Q \approx \frac{\omega_0}{\Omega_+ - \Omega_-}$ : los picos de [resonancia](#ex-b1-diffeq-oscillation) agudos son sistemas de $Q$ alto.
16. Retrato numérico para $\omega_0 = 1$ , $\lambda = 0.05$ ( $Q = 10$ ), $A = 1$ : calcúlense $\Omega_r$ , $R_{\max}$ , la respuesta estática $R(0)$ y el ancho de banda aproximado.
17. Pruébese que, si $2\lambda^2 \geq \omega_0^2$ , entonces $R$ es estrictamente decreciente en $\intoo0{+\infty}$ : los sistemas muy amortiguados no tienen pico de [resonancia](#ex-b1-diffeq-oscillation) alguno.

**Parte IV — Sin amortiguamiento: [pulsaciones](#pb-b1-diffeq-1) y [resonancia](#ex-b1-diffeq-oscillation).** Aquí $\lambda = 0$.

18. Para $\Omega \neq \omega_0$ , hállese la solución general de $x'' + \omega_0^2 x = A\cos(\Omega t)$ .
19. Resuélvase el [problema de Cauchy](#thm-b1-diffeq-voc) $x(0) = x'(0) = 0$ y transfórmese la respuesta en la forma de producto $$x(t) = \frac{2A}{\omega_0^2 - \Omega^2}\,  \sin\Bigl(\frac{(\omega_0 - \Omega)t}2\Bigr)  \sin\Bigl(\frac{(\omega_0 + \Omega)t}2\Bigr) .$$
20. Para $\Omega$ próximo a $\omega_0$ , léase el producto como una oscilación rápida de frecuencia $\frac{\omega_0 + \Omega}2$ modulada por una envolvente lenta de frecuencia $\frac{\abs{\omega_0 - \Omega}}2$ : las *pulsaciones* . Dense el período de la envolvente y la amplitud máxima, y obsérvese cómo ambos estallan cuando $\Omega \to \omega_0$ .
21. Fíjese $t$ y hágase $\Omega \to \omega_0$ en la fórmula de la pregunta 19: pruébese que el límite es $$x_\infty(t) = \frac{A\,t\,\sin(\omega_0 t)}{2\omega_0} ,$$ y compruébese directamente que $x_\infty$ resuelve la ecuación resonante $x'' + \omega_0^2 x = A\cos(\omega_0 t)$ con $x(0) = x'(0) = 0$ (compárese con el [Ejemplo 5.19](#ex-b1-diffeq-oscillation)): la [resonancia](#ex-b1-diffeq-oscillation) es el límite de [pulsaciones](#pb-b1-diffeq-1) cada vez más lentas y más amplias.
22. Contrástense los dos destinos de la [resonancia](#ex-b1-diffeq-oscillation) : crecimiento lineal $\frac{At}{2\omega_0}$ sin amortiguamiento frente a saturación en $R_{\max} \approx Q\,\frac{A}{\omega_0^2}$ con amortiguamiento débil. En una frase: ¿qué mecanismo físico convierte el primero en la segunda?

**Parte V — Balance energético y síntesis.**

23. En el régimen permanente de la parte II, calcúlese el promedio en un período $\frac{2\pi}\Omega$ de (a) la potencia aportada por la excitación, $P_{\mathrm{in}}(t) =  A\cos(\Omega t) \cdot x_p'(t)$ , y (b) la potencia disipada por el amortiguamiento, $P_{\mathrm{diss}}(t) =  2\lambda\,x_p'(t)^2$ . Pruébese que los dos promedios valen $\lambda\,R^2\Omega^2$ : la excitación aporta exactamente lo que el amortiguamiento quema — por eso el régimen permanente es permanente.
24. ¿Dónde ha usado exactamente el problema: (i) el teorema de estructura [Teorema 5.12](#thm-b1-diffeq-structure2) ; (ii) el método de la exponencial compleja; (iii) un estudio de función de variable real al estilo del [Capítulo 4](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/4-funciones-usuales#ch-b1-functions) ? Una frase para cada uno.
25. Síntesis: descríbase el mapa completo de comportamientos de $(E_\Omega)$ — libre frente a forzado, amortiguado frente a no amortiguado, el papel de $Q$ como único mando adimensional que ajusta altura del pico, ancho de banda y vida del transitorio — y menciónese dónde continúa la historia: sistemas de primer orden $2 \times 2$ ( [Capítulo 21](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/21-matrices#ch-b1-matrices) y el volumen del segundo año) y la descomposición de una excitación periódica general en sinusoides (series de Fourier, en el volumen del tercer año), para la cual el caso sinusoidal de este problema es el ladrillo fundamental.

**Solución de Problema 5.1.**

**1.** $\chi(r) = r^2 + 2\lambda r + \omega_0^2$, $\Delta = 4(\lambda^2 - \omega_0^2) < 0$ para $0 < \lambda < \omega_0$: raíces $-\lambda \pm \iu\omega_d$, luego, por el [Teorema 5.10](#thm-b1-diffeq-homogeneous2),

$$
x(t) = \eu^{-\lambda t}\bigl(\lambda_1\cos\omega_d t +
\mu_1\sin\omega_d t\bigr), \qquad (\lambda_1, \mu_1) \in \R^2 .
$$

Para $\lambda = 0$: $x = \lambda_1\cos\omega_0 t + \mu_1\sin\omega_0 t$. Los regímenes crítico ($\lambda = \omega_0$) y sobreamortiguado ($\lambda > \omega_0$) son los del [Ejercicio 5.9](#exo-b1-diffeq-9) (tras reescalar el tiempo): $(\lambda_1 + \mu_1 t)\eu^{-\lambda t}$, resp. combinaciones de $\eu^{r_\pm t}$ con $r_\pm = -\lambda \pm \sqrt{\lambda^2 - \omega_0^2}$.

**2.** Subamortiguado: $\abs x \leq \eu^{-\lambda
t}(\abs{\lambda_1} + \abs{\mu_1}) \to 0$. Crítico: $(\lambda_1 + \mu_1 t)\eu^{-\lambda t} \to 0$, pues las exponenciales ganan a los polinomios ([Proposición 4.6](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/4-funciones-usuales#prop-b1-functions-powerrules)). Sobreamortiguado: $r_- < r_+ = -\lambda + \sqrt{\lambda^2 -
\omega_0^2} < 0$ porque $\sqrt{\lambda^2 - \omega_0^2} < \lambda$; las dos exponenciales decaen.

**3.** A lo largo de una solución de $(H)$, usando $x'' = -2\lambda x' - \omega_0^2 x$:

$$
\mathcal E'(t) = x'x'' + \omega_0^2 x x'
= x'\bigl(-2\lambda x' - \omega_0^2 x\bigr) + \omega_0^2 xx'
= -2\lambda\,x'^2 \leq 0 .
$$

Si $x(t_0) = x'(t_0) = 0$, entonces $\mathcal E(t_0) = 0$; $\mathcal E$ es no negativa y no creciente, luego $\mathcal E \equiv 0$ en $\intco{t_0}{+\infty}$, lo que obliga a $x \equiv 0$ ahí; para $t \leq t_0$ se repite el argumento con $\tilde x(t) = x(2t_0 - t)$, que resuelve la ecuación con amortiguamiento $-\lambda$ pero cumple $\tilde{\mathcal E}(t_0) = 0$ y $\tilde{\mathcal E}' =
+2\lambda\tilde x'^2 \geq 0$ con $\tilde{\mathcal E} \geq 0$; ser no negativa, no decreciente y nula en el extremo derecho de $\intoc{-\infty}{t_0}$ significa ser nula en todo el intervalo. Luego $x \equiv 0$ en $\R$ — una demostración energética de la unicidad, válida para todo $\lambda \geq 0$.

**4.** $x(t + T_d) = R\,\eu^{-\lambda t}\eu^{-\lambda
T_d}\cos(\omega_d t + 2\pi - \varphi) = \eu^{-\lambda T_d}x(t)$. El factor de encogimiento por seudoperíodo es $\eu^{-\delta}$ con $\delta = \lambda T_d = \frac{2\pi\lambda}{\omega_d}$. Para $\omega_0 = 1$, $\lambda = 0.1$: $\omega_d = \sqrt{0.99} = 0.99499$, luego $\delta = \frac{0.62832}{0.99499} = 0.6315$: cada oscilación conserva $\eu^{-0.63} \approx 53\,\%$ de su amplitud.

**5.** El factor de amplitud es $\eu^{-\lambda t}$, que se divide por $\eu$ en el tiempo $t = \frac1\lambda$. Ese intervalo contiene $\frac{1/\lambda}{T_d} = \frac{\omega_d}{2\pi\lambda}$ seudoperíodos. Para $\lambda \ll \omega_0$, $\omega_d \approx \omega_0$ y eso vale $\approx \frac{\omega_0}{2\pi\lambda} = \frac Q\pi$. Una cuerda de guitarra con $Q = 300$ suena unos cien períodos; un amortiguador de puerta con $Q = 1$ no completa ni uno.

**6.** Sustituyendo $z\,\eu^{\iu\Omega t}$ en el miembro izquierdo se obtiene $z\,(-\Omega^2 + 2\iu\lambda\Omega +
\omega_0^2)\,\eu^{\iu\Omega t}$, que es igual a $A\,\eu^{\iu\Omega t}$ exactamente para $z = \frac{A}{\omega_0^2 -
\Omega^2 + 2\iu\lambda\Omega}$ (el denominador no es nulo: su parte imaginaria es $2\lambda\Omega > 0$). Como los coeficientes son reales, la parte real $x_p = \Re\bigl(z\eu^{\iu\Omega t}\bigr)$ resuelve la ecuación con miembro derecho $\Re\bigl(A\eu^{\iu\Omega t}\bigr) =
A\cos\Omega t$.

**7.** Escríbase $\omega_0^2 - \Omega^2 + 2\iu\lambda\Omega =
\sqrt{D}\,\eu^{\iu\varphi}$ con $D = (\omega_0^2 - \Omega^2)^2 +
4\lambda^2\Omega^2$ y $\varphi \in \intoo0\pi$ (la parte imaginaria $2\lambda\Omega$ es positiva), de modo que $\tan\varphi =
\frac{2\lambda\Omega}{\omega_0^2 - \Omega^2}$. Entonces $z = \frac{A}{\sqrt D}\eu^{-\iu\varphi}$ y

$$
x_p(t) = \Re\Bigl(\frac A{\sqrt D}\,\eu^{\iu(\Omega t -
\varphi)}\Bigr) = R\cos(\Omega t - \varphi),
\qquad R = \frac A{\sqrt D} .
$$

**8.** Cuando $\Omega \to 0^+$: $D \to \omega_0^4$, luego $R \to A/\omega_0^2$ y $\tan\varphi \to 0^+$ con $\varphi \in \intoo0{\frac\pi2}$: $\varphi \to 0$. La masa sigue a la fuerza de forma cuasiestática, desplazada en fuerza partido por rigidez. Cuando $\Omega \to +\infty$: $D \sim \Omega^4$, luego $R \sim A/\Omega^2 \to 0$, y $\varphi \to \pi$ (el complejo $\omega_0^2 - \Omega^2 + 2\iu\lambda\Omega$ se va al segundo cuadrante con argumento $\to \pi$): la masa apenas se mueve, y en oposición de fase — domina la inercia.

**9.** Por el [Teorema 5.12](#thm-b1-diffeq-structure2) (1), toda solución es $x = x_p + x_h$ con $x_h$ solución de $(H)$; por la pregunta 2, $x_h(t) \to 0$, luego $x(t) - x_p(t) \to 0$: todas las soluciones convergen al mismo régimen permanente. Las condiciones iniciales solo dan forma al transitorio.

**10.** Si $x$ es una solución periódica, $x - x_p = x_h$ es una solución periódica de $(H)$ que tiende a $0$ en $+\infty$; y una función periódica con límite $0$ es idénticamente $0$ (sus valores en un período se repiten para siempre, de modo que todo valor es límite de una subsucesión que tiende a $0$). Luego $x = x_p$.

**11.** Aquí $\lambda = 1$, $\omega_0^2 = 2$, $\Omega = 1$, $A = 1$: $z = \frac1{2 - 1 + 2\iu} = \frac{1 - 2\iu}5$, luego

$$
x_p = \Re\Bigl(\frac{(1 - 2\iu)(\cos t + \iu\sin t)}5\Bigr)
= \frac{\cos t + 2\sin t}5 .
$$

Homogénea: las raíces de $r^2 + 2r + 2$ son $-1 \pm \iu$: $x_h = \eu^{-t}(C\cos t + S\sin t)$. Condiciones: $x(0) = \frac15 + C = 0$ da $C = -\frac15$; derivando, $x'(0) = \frac25 - C + S = 0$ da $S = C - \frac25 = -\frac35$. Por tanto

$$
x(t) = \underbrace{\frac{\cos t + 2\sin t}5}_{\text{permanente}}
- \underbrace{\eu^{-t}\,\frac{\cos t + 3\sin
t}5}_{\text{transitorio}} ,
$$

con el transitorio muriendo como $\eu^{-t}$.

**12.** Desarrollando, $g(u) = u^2 - 2(\omega_0^2 - 2\lambda^2)u
+ \omega_0^4 = (u - u_r)^2 + g(u_r)$ con $u_r = \omega_0^2 -
2\lambda^2$ y

$$
g(u_r) = \omega_0^4 - u_r^2 = (\omega_0^2 - u_r)(\omega_0^2 +
u_r) = 2\lambda^2\bigl(2\omega_0^2 - 2\lambda^2\bigr) =
4\lambda^2(\omega_0^2 - \lambda^2) .
$$

Si $2\lambda^2 < \omega_0^2$, entonces $u_r > 0$ es un cuadrado de frecuencia admisible: $g$ tiene ahí un mínimo estricto, luego $R = A/\sqrt g$ tiene un máximo estricto en $\Omega_r = \sqrt{u_r} = \sqrt{\omega_0^2 - 2\lambda^2}$, con $R_{\max} = A/\sqrt{g(u_r)} = \frac{A}{2\lambda\sqrt{\omega_0^2 -
\lambda^2}}$.

**13.** $R(0) = A/\omega_0^2$, luego

$$
\frac{R_{\max}}{R(0)}
= \frac{\omega_0^2}{2\lambda\sqrt{\omega_0^2 - \lambda^2}}
= \frac{\omega_0}{2\lambda}\cdot
\frac{\omega_0}{\sqrt{\omega_0^2 - \lambda^2}}
= Q\,\Bigl(1 - \frac{\lambda^2}{\omega_0^2}\Bigr)^{-1/2}
\geq Q .
$$

Para amortiguamiento débil, el factor de corrección está próximo a $1$: la [resonancia](#ex-b1-diffeq-oscillation) multiplica el desplazamiento estático esencialmente por $Q$.

**14.** $V(\Omega)^2 = \frac{A^2 u}{g(u)}$ con $u = \Omega^2$. Su derivada tiene el signo de $g(u) - u\,g'(u) = (\omega_0^2 - u)^2 +
4\lambda^2 u - u\bigl(2(u - \omega_0^2) + 4\lambda^2\bigr) =
(\omega_0^2 - u)^2 + 2u(\omega_0^2 - u) = (\omega_0^2 - u)(\omega_0^2 +
u)$, positivo para $u < \omega_0^2$ y negativo más allá: máximo estricto exactamente en $\Omega = \omega_0$, sea cual sea el amortiguamiento. Ahí $\tan\varphi$ estalla con $\varphi \in
\intoo0\pi$: $\varphi = \frac\pi2$, y $x_p'(t) = -R\Omega\sin(\Omega t
- \frac\pi2) = R\Omega\cos(\Omega t)$ está exactamente en fase con la fuerza: transferencia óptima de potencia.

**15.** $R = R_{\max}/\sqrt2 \iff g(u) = 2g(u_r) \iff (u -
u_r)^2 = g(u_r) = 4\lambda^2(\omega_0^2 - \lambda^2)$, lo que da

$$
u_\pm = u_r \pm 2\lambda\sqrt{\omega_0^2 - \lambda^2},
\qquad
\Omega_+^2 - \Omega_-^2 = 4\lambda\sqrt{\omega_0^2 - \lambda^2} .
$$

Después, $\Omega_+ - \Omega_- = \frac{\Omega_+^2 -
\Omega_-^2}{\Omega_+ + \Omega_-}$ y, para $\lambda \ll \omega_0$, los dos $\Omega_\pm \approx \omega_0$: $\Omega_+ - \Omega_- \approx
\frac{4\lambda\omega_0}{2\omega_0} = 2\lambda$, luego $\frac{\omega_0}{\Omega_+ - \Omega_-} \approx
\frac{\omega_0}{2\lambda} = Q$. Medir el ancho de un pico de [resonancia](#ex-b1-diffeq-oscillation) es medir su [factor de calidad](#pb-b1-diffeq-1).

**16.** $Q = 10$; $\Omega_r = \sqrt{1 - 2(0.05)^2} =
\sqrt{0.995} = 0.9975$; $R_{\max} = \frac1{2 \times 0.05
\sqrt{1 - 0.0025}} = \frac1{0.1 \times 0.99875} = 10.01$; respuesta estática $R(0) = 1$; ancho de banda $\approx 2\lambda = 0.1$. Un pico alto y estrecho de altura $\approx Q$ sobre una meseta de altura $1$.

**17.** Si $2\lambda^2 \geq \omega_0^2$, entonces $u_r \leq 0$ y $g'(u) = 2(u - u_r) > 0$ para todo $u > 0$: $g$ crece estrictamente en $\intoo0{+\infty}$, luego $R = A/\sqrt g$ decrece estrictamente desde $R(0) = A/\omega_0^2$: la respuesta es máxima a frecuencia cero y no hay pico alguno.

**18.** $\gamma = \iu\Omega$ no es raíz de $r^2 + \omega_0^2$ (pues $\Omega \neq \omega_0$), así que el [Método 5.13](#met-b1-diffeq-particular) con $m = 0$ da $x_p = \frac{A\cos\Omega t}{\omega_0^2 - \Omega^2}$ (sustitúyase y compruébese: $-\Omega^2 + \omega_0^2$ multiplicado por el coseno). Solución general:

$$
x(t) = \frac{A\cos\Omega t}{\omega_0^2 - \Omega^2}
+ \lambda_1\cos\omega_0 t + \mu_1\sin\omega_0 t .
$$

**19.** $x(0) = 0$ obliga a $\lambda_1 = -\frac A{\omega_0^2 -
\Omega^2}$, y $x'(0) = 0$ obliga a $\mu_1 = 0$:

$$
x(t) = \frac{A}{\omega_0^2 - \Omega^2}\,
\bigl(\cos\Omega t - \cos\omega_0 t\bigr)
= \frac{2A}{\omega_0^2 - \Omega^2}\,
\sin\Bigl(\frac{(\omega_0 - \Omega)t}2\Bigr)
\sin\Bigl(\frac{(\omega_0 + \Omega)t}2\Bigr) ,
$$

por la fórmula de producto $\cos a - \cos b =
2\sin\frac{b - a}2\sin\frac{b + a}2$ aplicada con $a = \Omega t$, $b = \omega_0 t$.

**20.** Para $\Omega$ próximo a $\omega_0$, el segundo seno oscila a la frecuencia rápida $\frac{\omega_0 + \Omega}2 \approx \omega_0$, mientras que el primero es una envolvente lenta de frecuencia $\frac{\abs{\omega_0 - \Omega}}2$: la amplitud de la oscilación rápida crece y decrece con período de envolvente $\frac{2\pi}{\abs{\omega_0 - \Omega}}$ (dos [pulsaciones](#pb-b1-diffeq-1) por período de envolvente), alcanzando máximos $\frac{2A}{\abs{\omega_0^2 - \Omega^2}}$. Cuando $\Omega \to \omega_0$, las [pulsaciones](#pb-b1-diffeq-1) se vuelven a la vez más lentas (período $\to \infty$) y más altas (amplitud $\to \infty$).

**21.** Fíjese $t$. Cuando $\Omega \to \omega_0$:

$$
\frac{2A}{\omega_0^2 - \Omega^2}\sin\Bigl(\frac{(\omega_0 -
\Omega)t}2\Bigr)
= \frac{2A}{\omega_0 + \Omega}\cdot
\frac{\sin\bigl(\frac{(\omega_0 - \Omega)t}2\bigr)}
{\omega_0 - \Omega}
\longrightarrow \frac{2A}{2\omega_0}\cdot\frac t2
= \frac{At}{2\omega_0} ,
$$

mientras que $\sin\bigl(\frac{(\omega_0 + \Omega)t}2\bigr) \to
\sin(\omega_0 t)$: el límite es $x_\infty(t) =
\frac{At\sin\omega_0 t}{2\omega_0}$. Comprobación directa: con $C = \frac A{2\omega_0}$, $x_\infty = Ct\sin\omega_0 t$ cumple $x_\infty'' = 2C\omega_0\cos\omega_0 t - C\omega_0^2 t
\sin\omega_0 t$, luego $x_\infty'' + \omega_0^2 x_\infty =
2C\omega_0\cos\omega_0 t = A\cos\omega_0 t$, con $x_\infty(0) = 0$ y $x_\infty'(0) = C\sin 0 + C\omega_0 \cdot 0 \cdot \cos 0 = 0$ — para $\omega_0 = A = 1$ esto es exactamente el [Ejemplo 5.19](#ex-b1-diffeq-oscillation). La [resonancia](#ex-b1-diffeq-oscillation) es la degeneración de las [pulsaciones](#pb-b1-diffeq-1): la primera crecida de la envolvente, estirada hasta una longitud infinita.

**22.** Sin amortiguamiento, la amplitud resonante crece linealmente y sin cota; con amortiguamiento $\lambda > 0$, el crecimiento se satura en $R_{\max} \approx Q\,\frac A{\omega_0^2}$. El mecanismo: la disipación retira energía a un ritmo que crece con la amplitud (pregunta 23), de modo que la acumulación se detiene exactamente cuando el amortiguamiento quema energía tan deprisa como la aporta la excitación.

**23.** Con $x_p' = -R\Omega\sin(\Omega t - \varphi)$, y siendo los promedios en un período $\langle\cos^2\rangle =
\langle\sin^2\rangle = \frac12$ y $\langle\sin\cos\rangle = 0$:

$$
\langle P_{\mathrm{diss}}\rangle
= 2\lambda\,R^2\Omega^2\,\langle\sin^2(\Omega t -
\varphi)\rangle = \lambda R^2\Omega^2 ;
$$

y, desarrollando $\sin(\Omega t - \varphi) = \sin\Omega t\cos\varphi
- \cos\Omega t\sin\varphi$:

$$
\langle P_{\mathrm{in}}\rangle
= -AR\Omega\,\bigl\langle\cos\Omega t\,\sin(\Omega t -
\varphi)\bigr\rangle
= AR\Omega\,\frac{\sin\varphi}2 .
$$

Como $\sin\varphi = \frac{2\lambda\Omega}{\sqrt D} =
\frac{2\lambda\Omega R}A$, esto vale $\frac{AR\Omega}2 \cdot
\frac{2\lambda\Omega R}A = \lambda R^2\Omega^2$: las potencias aportada y disipada se equilibran exactamente — la propiedad que define un régimen permanente.

**24.** (i) El teorema de estructura separó cada solución en régimen permanente más transitorio (preguntas 9–11) y redujo la unicidad al problema homogéneo. (ii) El método complejo convirtió la búsqueda de una solución particular en una única división de números complejos (pregunta 6), leyéndose la amplitud y la fase en un [módulo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/3-numeros-complejos#def-b1-complex-field) y un argumento. (iii) La curva de [resonancia](#ex-b1-diffeq-oscillation) es un puro estudio de función — una cuadrática en $u = \Omega^2$, su mínimo, sus [conjuntos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) de nivel — al estilo del [Capítulo 4](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/4-funciones-usuales#ch-b1-functions) (preguntas 12–17).

**25.** Libre y amortiguado: seudooscilaciones que decaen, con vida $\frac1\lambda$ y unas $\frac Q\pi$ oscilaciones. Forzado y amortiguado: los transitorios mueren y sobrevive un único régimen permanente sinusoidal a la frecuencia de excitación, con amplitud que alcanza su pico cerca de $\omega_0$ (altura $\approx Q \times$ la estática, anchura $\approx \frac{\omega_0}Q$) y fase que barre de $0$ a $\pi$ pasando por $\frac\pi2$ en $\omega_0$. Libre y sin amortiguar: oscilación perpetua. Forzado y sin amortiguar: [pulsaciones](#pb-b1-diffeq-1), que degeneran en [resonancia](#ex-b1-diffeq-oscillation) de crecimiento lineal cuando la sintonía es exacta. Un solo número adimensional, $Q = \frac{\omega_0}{2\lambda}$, lo ajusta todo — altura del pico, ancho de banda y vida del transitorio son tres lecturas del mismo mando. La continuación: reescribir $x'' + 2\lambda x' + \omega_0^2x$ como sistema de primer orden abre los métodos matriciales del [Capítulo 21](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/21-matrices#ch-b1-matrices) y del volumen del segundo año, y descomponer una excitación periódica arbitraria en sinusoides (series de Fourier, volumen del tercer año) convierte el análisis de este problema, a una sola frecuencia, en el ladrillo universal: resuélvase para cada frecuencia y superpóngase.