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title: "Polinomios"
book: "Matemáticas universitarias — Grado 1"
subject: math
language: es
chapter: 8
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios
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# Capítulo 8 — Polinomios

Los [polinomios](#def-b1-poly-def) son las funciones favoritas del algebrista — salvo que aquí no se tratan como funciones, sino como expresiones formales en una indeterminada $X$, que se suman y multiplican con las reglas de un [anillo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/7-estructuras-algebraicas#def-b1-structures-ring) conmutativo. La teoría corre asombrosamente en paralelo con la del [Capítulo 6](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/6-aritmetica-de-los-enteros#ch-b1-arith): una división euclídea, un mcd y relaciones de Bézout, elementos irreducibles y una factorización única. En todo el capítulo, $K$ denota $\Q$, $\R$ o $\C$.

## 8.1 El anillo $K[X]$

**Definición 8.1 (Polinomio, grado).**

Un *polinomio* con coeficientes en $K$ es una suma formal

$$
P = a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + \dots + a_n X^n
= \sum_{k} a_k X^k,
$$

con $a_k \in K$ todos nulos a partir de cierto índice. Con la suma natural y el producto

$$
\Bigl(\sum_i a_i X^i\Bigr)\Bigl(\sum_j b_j X^j\Bigr)
= \sum_k \Bigl(\sum_{i+j=k} a_i b_j\Bigr) X^k,
$$

el [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) $K[X]$ es un [anillo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/7-estructuras-algebraicas#def-b1-structures-ring) conmutativo. El *grado* $\deg P$ de $P \neq 0$ es el mayor $n$ con $a_n \neq 0$; $a_n$ es el *coeficiente principal* ($P$ es *mónico* cuando $a_n = 1$), y por convenio $\deg 0 = -\infty$. Todo polinomio define una función $x \mapsto P(x)$ en $K$ por sustitución.

**Proposición 8.2 (Reglas de los grados; dominio de integridad).**

Para $P, Q \in K[X]$:

$$
\deg(P + Q) \leq \max(\deg P, \deg Q),
\qquad
\deg(PQ) = \deg P + \deg Q .
$$

En consecuencia, $K[X]$ es un [dominio de integridad](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/7-estructuras-algebraicas#def-b1-structures-field), y sus unidades son las constantes no nulas.

**Demostración.** La regla de la suma es clara (los coeficientes más allá del máximo se anulan). Para el producto, sean $a_m$ y $b_n$ los coeficientes principales: el coeficiente de $X^{m+n}$ en $PQ$ es $a_m b_n \neq 0$ ($K$ es un [cuerpo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/7-estructuras-algebraicas#def-b1-structures-field) y, por tanto, un [dominio de integridad](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/7-estructuras-algebraicas#def-b1-structures-field)), y todos los coeficientes superiores se anulan. Si $P, Q \neq 0$, entonces $\deg PQ = \deg P + \deg Q \geq 0$, luego $PQ \neq 0$: [dominio de integridad](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/7-estructuras-algebraicas#def-b1-structures-field). Si $PQ = 1$, entonces $\deg P + \deg Q = 0$ obliga a $\deg P = \deg Q = 0$: los elementos invertibles son las constantes invertibles, es decir, todo $K^*$. ∎

**Teorema 8.3 (División euclídea).**

Sean $A, B \in K[X]$ con $B \neq 0$. Existe exactamente un par $(Q, R)$ de [polinomios](#def-b1-poly-def) con

$$
A = BQ + R, \qquad \deg R < \deg B .
$$

**Demostración.** *Existencia*, por inducción fuerte sobre $\deg A$. Si $\deg A < \deg B$, tómese $(Q, R) = (0, A)$. En caso contrario, escríbanse $A = a X^m + \dots$, $B = b X^n + \dots$ con $m \geq n$; el [polinomio](#def-b1-poly-def) $A_1 = A - \frac ab X^{m-n} B$ tiene grado $< m$ (los términos principales se cancelan), luego, por inducción, $A_1 = BQ_1 + R$ con $\deg R < \deg B$, y $A = B(Q_1 + \frac ab X^{m-n}) + R$.

*Unicidad*: si $BQ + R = BQ' + R'$, entonces $B(Q - Q') = R' - R$ con $\deg(R' - R) < \deg B$; por la regla de los grados, esto obliga a $Q - Q' = 0$ y después a $R = R'$. ∎

**Ejemplo 8.4.**

Divídase $A = X^4 + X^3 - 2X + 1$ entre $B = X^2 + 1$:

$$
X^4 + X^3 - 2X + 1 = (X^2 + 1)(X^2 + X - 1) + (-3X + 2).
$$

(Cálculo: réstese $X^2 B$, después $X B$ y después $-B$; el resto $-3X + 2$ tiene grado $1 < 2$.)

**Método 8.5 (Esquema de Horner).**

Para evaluar $P = a_nX^n + \dots + a_0$ en $x$, o para dividir $P$ entre $X - x$, evítese calcular potencias: léanse los coeficientes de izquierda a derecha e itérese *multiplicar por $x$ y sumar el coeficiente siguiente*:

$$
b_n = a_n, \qquad b_{k} = a_{k} + x\,b_{k+1}
\quad (k = n-1, \dots, 0) .
$$

Entonces $b_0 = P(x)$, y los $b_k$ anteriores son los coeficientes del cociente: $P = (X - x)(b_nX^{n-1} + \dots + b_1) + b_0$ (desarróllese y compárese). Ejemplo: $P = X^4 - 5X^3 + 6X^2 + 4X - 8$ en $x = 2$: los $b$ son $1, -3, 0, 4, 0$, luego $P(2) = 0$ y $P = (X-2)(X^3 - 3X^2 + 4)$ — una línea en lugar de una división larga, y $n$ multiplicaciones en lugar de las $\approx n^2/2$ de la evaluación ingenua. Iterar el esquema en el mismo punto extrae las [multiplicidades](#def-b1-poly-derivative) (compárese con el [Ejemplo 8.12](#ex-b1-poly-multexample)).

**Observación 8.6 (Aritmética de K[X]K[X]K[X]).**

Con la división euclídea en la mano, toda la aritmética del [Capítulo 6](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/6-aritmetica-de-los-enteros#ch-b1-arith) se traslada a $K[X]$, con las mismas demostraciones y haciendo el grado el papel del valor absoluto: mcd (normalizado para que sea [mónico](#def-b1-poly-def)), [algoritmo de Euclides](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/6-aritmetica-de-los-enteros#met-b1-arith-euclid) extendido, identidad de Bézout, lema de Gauss, [polinomios](#def-b1-poly-def) irreducibles y factorización única. Usaremos libremente estos resultados trasladados, y el [Ejercicio 8.6](#exo-b1-poly-6) ensaya uno de ellos.

## 8.2 Raíces

**Teorema 8.7 (Teorema del factor).**

Sean $P \in K[X]$ y $a \in K$. El resto de la división de $P$ entre $X - a$ es la constante $P(a)$. En particular,

$$
P(a) = 0 \iff (X - a) \mid P .
$$

Más en general, raíces distintas $a_1, \dots, a_r$ de $P$ dan la factorización $P = (X - a_1)\cdots(X - a_r)\, Q$.

**Demostración.** Divídase: $P = (X - a) Q + R$ con $\deg R < 1$, luego $R$ es una constante $c$; sustituyendo $X = a$ (la sustitución respeta sumas y productos) se obtiene $P(a) = c$. La equivalencia se sigue. Para varias raíces, hágase inducción sobre $r$: el caso $r = 1$ es la equivalencia recién demostrada. Supóngase el [enunciado](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-statement) para $r - 1$ raíces y sean $a_1, \dots, a_r$ raíces distintas de $P$. Escríbase $P = (X - a_1)Q_1$; para cada $i \geq 2$, sustituyendo $a_i$:

$$
0 = P(a_i) = (a_i - a_1)\,Q_1(a_i),
\qquad a_i - a_1 \neq 0 ,
$$

y, como $K$ no tiene divisores de cero, $Q_1(a_i) = 0$: los $r - 1$ puntos distintos $a_2, \dots, a_r$ son raíces de $Q_1$. La hipótesis de inducción factoriza $Q_1 = (X - a_2)\cdots(X - a_r)\,Q$, y sustituyendo hacia atrás se obtiene lo afirmado. ∎

**Corolario 8.8 (Un polinomio de grado nnn tiene a lo sumo nnn raíces).**

Un $P \in K[X]$ no nulo de grado $n$ tiene a lo sumo $n$ raíces distintas en $K$. En consecuencia, un [polinomio](#def-b1-poly-def) (de grado $\leq n$) que se anula en $n + 1$ puntos distintos es el [polinomio](#def-b1-poly-def) nulo, y dos [polinomios](#def-b1-poly-def) de grado $\leq n$ que coinciden en $n+1$ puntos son iguales.

**Demostración.** Si $a_1, \dots, a_r$ son raíces distintas, el [Teorema 8.7](#thm-b1-poly-factor) da $P = (X-a_1)\cdots(X-a_r) Q$, luego $n = \deg P \geq r$. Las dos consecuencias se siguen por reducción al absurdo y por diferencia. ∎

**Ejemplo 8.9 (El truco del polinomio auxiliar).**

Sea $P$ el [polinomio](#def-b1-poly-def) de grado $\leq n$ con

$$
P(k) = \frac{k}{k+1} \qquad (k = 0, 1, \dots, n) ;
$$

existe y es único por la [interpolación de Lagrange](#thm-b1-poly-lagrange) de más abajo. ¿Cuánto vale $P(n+1)$? Quítense denominadores: el [polinomio](#def-b1-poly-def) $Q = (X+1)P - X$ tiene grado $\leq n + 1$ y se anula en los $n + 1$ puntos $0, 1, \dots, n$, luego, por el [Teorema 8.7](#thm-b1-poly-factor),

$$
Q = c\,X(X-1)(X-2)\cdots(X-n)
$$

para cierta constante $c$. Evalúese donde $Q$ se conoce de forma independiente: en $X = -1$, $Q(-1) = 0 \cdot P(-1) + 1 = 1$, mientras que el producto vale $(-1)(-2)\cdots(-1-n) = (-1)^{n+1}(n+1)!$; de ahí $c = \frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}$. Evalúese ahora en $X = n + 1$:

$$
(n+2)\,P(n+1) - (n+1) = Q(n+1) = c\,(n+1)! = (-1)^{n+1} ,
$$

de modo que $P(n+1) = \dfrac{(n+1) + (-1)^{n+1}}{n+2}$: igual a $1$ para $n$ impar y a $\frac{n}{n+2}$ para $n$ par — el [polinomio](#def-b1-poly-def) interpolador *no* continúa el patrón $\frac{n+1}{n+2}$. El truco que hay que recordar: codifíquense los datos como raíces de un [polinomio](#def-b1-poly-def) auxiliar, identifíquese la constante desconocida en un punto ajeno a los datos, y recójase la cosecha.

**Definición 8.10 (Derivada, multiplicidad).**

La *derivada formal* de $P = \sum a_k X^k$ es $P' = \sum_{k \geq 1} k\,a_k X^{k-1}$; cumple las reglas habituales $(P+Q)' = P' + Q'$, $(PQ)' = P'Q + PQ'$ (se comprueban en los monomios y se extienden por linealidad). Una raíz $a$ de $P$ tiene *multiplicidad* $m \geq 1$ cuando $(X-a)^m \mid P$ pero $(X-a)^{m+1} \nmid P$; la raíz es *simple* si $m = 1$ y *múltiple* si $m \geq 2$.

**Proposición 8.11 (Multiplicidad mediante derivadas).**

$a$ es raíz de $P$ de [multiplicidad](#def-b1-poly-derivative) $\geq m$ si y solo si

$$
P(a) = P'(a) = \dots = P^{(m-1)}(a) = 0 .
$$

En particular, $a$ es raíz múltiple de $P$ si y solo si $P(a) = P'(a) = 0$.

**Demostración.** Escríbase $P = (X - a)^m Q + R$, donde $R$ es el resto de la división entre $(X-a)^m$, con $\deg R < m$. Derivando $k \leq m - 1$ veces y evaluando en $a$: el primer término aporta $0$ (cada derivada conserva un factor $(X-a)$), luego $P^{(k)}(a) = R^{(k)}(a)$.

Ahora bien, un [polinomio](#def-b1-poly-def) $R$ de grado $< m$ queda determinado por $R(a), R'(a), \dots, R^{(m-1)}(a)$: escribiendo $R = \sum_{k < m} c_k (X - a)^k$ (es posible: desarróllense las potencias de $X = (X - a) + a$), se obtiene $R^{(k)}(a) = k!\, c_k$. Por tanto: todos los $P^{(k)}(a) = 0$ para $k < m$ $\iff$ todos los $c_k = 0$ $\iff$ $R = 0$ $\iff$ $(X-a)^m \mid P$. ∎

**Ejemplo 8.12 (Cálculo de una multiplicidad).**

¿Cuál es la [multiplicidad](#def-b1-poly-derivative) de la raíz $2$ en $P = X^4 - 5X^3 + 6X^2 + 4X - 8$? Evalúense las derivadas sucesivas en $2$:

$$
P(2) = 16 - 40 + 24 + 8 - 8 = 0, \qquad
P'(2) = 32 - 60 + 24 + 4 = 0,
$$

$$
P''(2) = 48 - 60 + 12 = 0, \qquad
P'''(2) = 48 - 30 = 18 \neq 0
$$

(con $P' = 4X^3 - 15X^2 + 12X + 4$, $P'' = 12X^2 - 30X + 12$, $P''' = 24X - 30$). Tres valores nulos y después uno no nulo: [multiplicidad](#def-b1-poly-derivative) exactamente $3$. Dividiendo, $P = (X - 2)^3(X + 1)$ — lo que se comprueba desarrollando $(X-2)^3 = X^3 - 6X^2 + 12X - 8$ y multiplicando por $X + 1$. La idea clave: las [multiplicidades](#def-b1-poly-derivative) se leen en *evaluaciones*, sin necesidad de factorizar — que es exactamente como se detectan cuando la factorización está fuera de alcance.

**Ejemplo 8.13 (Detectar raíces múltiples con un mcd).**

Cuando no se conoce ninguna raíz, la [Proposición 8.11](#prop-b1-poly-multiplicity) sigue dando un detector *global* de raíces múltiples: $a$ es raíz múltiple de $P$ si y solo si es raíz común de $P$ y $P'$, luego $P$ tiene una raíz múltiple (en $\C$) si y solo si $\gcd(P, P') \neq 1$ — calculable con el [algoritmo de Euclides](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/6-aritmetica-de-los-enteros#met-b1-arith-euclid) sin resolver nada. Muestra: $P = X^3 - 3X + 2$, $P' = 3X^2 - 3 = 3(X - 1)(X + 1)$. Probando las raíces $\pm1$ de $P'$ dentro de $P$: $P(1) = 0$ pero $P(-1) = 4$, luego

$$
\gcd(P, P') = X - 1 :
$$

la raíz $1$ es múltiple; dividiendo dos veces, $P = (X - 1)^2(X + 2)$. El mcd informa incluso del [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) completo de raíces múltiples, cada una con la [multiplicidad](#def-b1-poly-derivative) rebajada en uno — hecho que aprovecha todo sistema de álgebra por computador para «factorizar libre de cuadrados» antes de buscar raíz alguna, y el gemelo polinómico de los argumentos sin raíces múltiples del [Ejercicio 8.9](#exo-b1-poly-9).

**Teorema 8.14 (Teorema fundamental del álgebra).**

Todo [polinomio](#def-b1-poly-def) no constante de $\C[X]$ tiene una raíz en $\C$.

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Observación 8.15.**

A pesar de su nombre, el teorema es un [enunciado](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-statement) de *análisis*: toda demostración conocida usa de algún modo la completitud de $\R$, y ninguna es puramente algebraica — la demostración honesta se da en el volumen del tercer año, una vez disponibles la integración compleja o los argumentos de compacidad. Lo que este capítulo demuestra de verdad es la *reducción*: concedida una raíz para todo [polinomio](#def-b1-poly-def) no constante, las factorizaciones completas sobre $\C$ y sobre $\R$ de más abajo se siguen por puro álgebra.

**Corolario 8.16 (Factorización sobre C\CC y sobre R\RR).**

1. Todo $P \in \C[X]$ no nulo se factoriza como $$P = c\, (X - a_1)^{m_1} \cdots (X - a_r)^{m_r},$$ con $c$ el coeficiente principal, $a_i$ las raíces complejas distintas y $\sum m_i = \deg P$: *contadas con [multiplicidad](#def-b1-poly-derivative), un [polinomio](#def-b1-poly-def) de grado $n$ tiene exactamente $n$ raíces complejas*.
2. Todo $P \in \R[X]$ no nulo se factoriza sobre $\R$ como $$P = c \prod_i (X - a_i)^{m_i} \prod_j (X^2 + p_j X +  q_j)^{n_j},$$ siendo los factores cuadráticos distintos y con $p_j^2 - 4q_j < 0$ (sin raíces reales).

**Demostración.** (1) Inducción sobre el grado, separando una raíz cada vez mediante el [Teorema 8.7](#thm-b1-poly-factor); el recuento de grados cuadra en cada paso.

(2) Sea $P$ de coeficientes reales. Si $z$ es una raíz compleja de [multiplicidad](#def-b1-poly-derivative) $m$, también lo es $\conj z$: conjugando $P(z) = 0$ se obtiene $P(\conj z) = \conj{P(z)} = 0$ (los coeficientes son sus propios [conjugados](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/3-numeros-complejos#def-b1-complex-field)), y lo mismo vale para las derivadas ([Proposición 8.11](#prop-b1-poly-multiplicity)). Agrúpense las raíces no reales en pares [conjugados](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/3-numeros-complejos#def-b1-complex-field): cada par aporta

$$
(X - z)(X - \conj z) = X^2 - 2\Re(z)\, X + \abs z^2 ,
$$

un [polinomio](#def-b1-poly-def) real de segundo grado con discriminante negativo. Las raíces reales aportan los factores lineales. ∎

**Ejemplo 8.17.**

$X^4 + 4$ se factorizó sobre $\R$ en el [Ejercicio 3.5](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/3-numeros-complejos#exo-b1-complex-5) emparejando las cuatro raíces complejas $\pm 1 \pm \iu$: $X^4 + 4 = (X^2 - 2X + 2)(X^2 + 2X + 2)$. Ninguno de los dos factores se descompone sobre $\R$ (discriminantes $-4$). Obsérvese: un [polinomio](#def-b1-poly-def) real *irreducible* tiene grado $1$ o $2$ — que es exactamente lo que dice el teorema de factorización. El mismo emparejamiento de [conjugados](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/3-numeros-complejos#def-b1-complex-field) aplicado a $X^4 + 1$, cuyas raíces son $\eu^{\pm\iu\pi/4}$ y $\eu^{\pm3\iu\pi/4}$: cada par aporta $X^2 -
2\cos\theta\,X + 1$, luego

$$
X^4 + 1 = \bigl(X^2 - \sqrt2\,X + 1\bigr)
\bigl(X^2 + \sqrt2\,X + 1\bigr) ,
$$

identidad invisible para los intentos ingenuos de factorizar sobre $\Q$ — el precio de insistir en coeficientes reales (aquí incluso irracionales), y un ingrediente estándar para integrar $\frac1{x^4 + 1}$ en el [Capítulo 15](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/15-integracion-en-un-segmento#ch-b1-integration).

![El polinomio de Chebyshev T_5 = 16X5 - 20X3 + 5X en ∈tcc-11: oscila exactamente entre -1 y 1, tocando las cotas en seis puntos (marcados). Esta equioscilación es lo que hace de 2-4T_5 la quíntica mónica de menor norma del supremo en el intervalo ( y el problema del fin de semana).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-poly/fig-ce798e953ef6.svg)

*El [polinomio](#def-b1-poly-def) de Chebyshev $T_5 = 16X^5 - 20X^3 + 5X$ en $\intcc{-1}1$: oscila exactamente entre $-1$ y $1$, tocando las cotas en seis puntos (marcados). Esta *equioscilación* es lo que hace de $2^{-4}T_5$ la quíntica mónica de menor norma del supremo en el intervalo ([Ejercicio 8.10](#exo-b1-poly-10) y el problema del fin de semana).*

**Observación 8.18 (Errores frecuentes con polinomios).**

1. *[Polinomio](#def-b1-poly-def) frente a función.* Sobre $K = \Q, \R, \C$ las dos nociones coinciden (funciones iguales tienen coeficientes iguales, por el [Corolario 8.8](#cor-b1-poly-nroots) y ser $K$ infinito), pero conceptualmente un [polinomio](#def-b1-poly-def) *es* su lista de coeficientes: sobre el [cuerpo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/7-estructuras-algebraicas#def-b1-structures-field) de dos elementos $\Z/2\Z$ del [Capítulo 7](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/7-estructuras-algebraicas#ch-b1-structures) , $X^2 + X$ se anula en los dos puntos y, sin embargo, no es el [polinomio](#def-b1-poly-def) nulo.
2. *Grados al sumar.* $\deg(P + Q)$ puede caer por debajo de $\max(\deg P, \deg Q)$ cuando los términos principales se cancelan; escribir « $\deg(P + Q) = \max(\dots)$ » solo es seguro con grados distintos.
3. *Contar bien las raíces.* « $n$ raíces» en el [Corolario 8.16](#cor-b1-poly-factorization) significa *con [multiplicidad](#def-b1-poly-derivative) y en $\C$* : $X^2 + 1$ no tiene raíces reales, y $(X-1)^2$ tiene una raíz distinta pero dos con [multiplicidad](#def-b1-poly-derivative) . Los [enunciados](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-statement) que mezclan los tres recuentos son la fuente más frecuente de demostraciones falsas.
4. *La irreducibilidad depende del [cuerpo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/7-estructuras-algebraicas#def-b1-structures-field).* $X^2 - 2$ es irreducible sobre $\Q$ y se descompone sobre $\R$ ; $X^2 + 1$ es irreducible sobre $\R$ y se descompone sobre $\C$ . La palabra «irreducible» a secas no significa nada mientras no se nombre el [cuerpo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/7-estructuras-algebraicas#def-b1-structures-field) de coeficientes.

## 8.3 Coeficientes y raíces

**Teorema 8.19 (Fórmulas de Vieta).**

Sea $P = X^n + c_{n-1} X^{n-1} + \dots + c_0$ [mónico](#def-b1-poly-def) con raíces $a_1, \dots, a_n \in \C$ (con [multiplicidad](#def-b1-poly-derivative)). Entonces

$$
\sum_i a_i = -c_{n-1},
\qquad
\sum_{i < j} a_i a_j = c_{n-2},
\qquad \dots, \qquad
a_1 a_2 \cdots a_n = (-1)^n c_0 ,
$$

siendo la $k$-ésima función simétrica de las raíces $(-1)^k c_{n-k}$.

**Demostración.** Por el [Corolario 8.16](#cor-b1-poly-factorization), $P = (X - a_1)\cdots(X - a_n)$ ([mónico](#def-b1-poly-def), con todas las raíces enumeradas). Desarrollar el producto por distributividad produce un término por cada manera de elegir, en cada factor, o bien $X$ o bien el término de raíz $-a_i$: elegir las raíces en los factores de índices $i_1 < \dots < i_k$ y $X$ en los $n - k$ restantes aporta $(-a_{i_1})\cdots(-a_{i_k})\,X^{n-k}$. Agrupando por potencias de $X$:

$$
P = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k
\Bigl(\sum_{i_1 < \dots < i_k} a_{i_1}\cdots a_{i_k}\Bigr)
X^{n-k} ,
$$

e identificando con $P = \sum_k c_{n-k}X^{n-k}$ (los coeficientes son únicos, [Definición 8.1](#def-b1-poly-def)) se obtiene $c_{n-k} = (-1)^k \sigma_k$, es decir, $\sigma_k = (-1)^kc_{n-k}$, donde $\sigma_k$ denota la $k$-ésima función simétrica mostrada arriba. Los tres casos mostrados son $k = 1$, $k = 2$ y $k = n$. ∎

**Ejemplo 8.20.**

Para la cuadrática $X^2 - sX + p$: suma de raíces $s$, producto $p$ — ya usado repetidamente ([Ejercicio 3.8](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/3-numeros-complejos#exo-b1-complex-8)). Para una cúbica mónica $X^3 + aX^2 + bX + c$ con raíces $\alpha, \beta, \gamma$:

$$
\alpha + \beta + \gamma = -a,
\quad
\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = b,
\quad
\alpha\beta\gamma = -c ,
$$

lo que permite calcular cantidades simétricas como $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = a^2 - 2b$ sin resolver.

**Ejemplo 8.21 (Transformar las raíces sin hallarlas).**

Sean $\alpha, \beta$ las raíces de $X^2 - 3X + 1$. ¿Qué cuadrática mónica tiene por raíces $\alpha^2, \beta^2$? Por Vieta, $\alpha + \beta = 3$ y $\alpha\beta = 1$, luego

$$
\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta = 7,
\qquad
\alpha^2\beta^2 = (\alpha\beta)^2 = 1 :
$$

la respuesta es $X^2 - 7X + 1$ — obtenida sin calcular $\alpha = \frac{3 + \sqrt5}2$. (Comprobación: $\alpha^2 = \frac{7 + 3\sqrt5}2$ y, en efecto, $\alpha^2 + \beta^2 = 7$.) La misma estrategia sirve para los inversos (transformaciones del tipo $X^2 - \frac ba X + \frac ca$), para los desplazamientos y para cualquier dato simétrico: Vieta convierte preguntas sobre raíces *desconocidas* en álgebra sobre coeficientes *conocidos*. Servirá constantemente cuando las raíces sean valores propios ([Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/22-determinantes-y-sistemas-lineales#ch-b1-det)).

**Ejemplo 8.22 (Ecuaciones palindrómicas).**

Resuélvase $X^4 + X^3 - 4X^2 + X + 1 = 0$. Los coeficientes se leen igual en los dos sentidos, así que $0$ no es raíz y dividir entre $X^2$ no pierde soluciones:

$$
X^2 + X - 4 + \frac1X + \frac1{X^2} = 0 .
$$

Póngase $y = X + \frac1X$: entonces $X^2 + \frac1{X^2} = y^2 - 2$ y la ecuación se reduce a

$$
y^2 + y - 6 = 0 \iff (y + 3)(y - 2) = 0 .
$$

Desenróllese cada valor mediante $X^2 - yX + 1 = 0$: para $y = 2$, $X^2 - 2X + 1 = (X - 1)^2$ da la raíz doble $1$; para $y = -3$, $X^2 + 3X + 1 = 0$ da $X = \frac{-3 \pm \sqrt5}2$. Cuatro raíces con [multiplicidad](#def-b1-poly-derivative) para una cuártica, como exige el [Corolario 8.16](#cor-b1-poly-factorization) — obtenidas resolviendo dos cuadráticas. El truco cubre todo [polinomio](#def-b1-poly-def) *palindrómico*: sus raíces vienen en pares de inversos $\{x, 1/x\}$ (sustitúyase $X$ por $1/X$ y quítense denominadores), e $y = X + \frac1X$ es precisamente la cantidad constante sobre esos pares, lo que reduce el grado a la mitad.

**Teorema 8.23 (Interpolación de Lagrange).**

Sean $x_0, \dots, x_n$ puntos distintos de $K$ e $y_0, \dots, y_n \in K$. Existe exactamente un $P \in K[X]$ de grado $\leq n$ con $P(x_i) = y_i$ para todo $i$, a saber

$$
P = \sum_{i=0}^{n} y_i\, L_i,
\qquad
L_i = \prod_{j \neq i} \frac{X - x_j}{x_i - x_j} .
$$

**Demostración.** Cada $L_i$ tiene grado $n$ y cumple $L_i(x_i) = 1$, $L_i(x_j) = 0$ para $j \neq i$ (cada factor se anula en el $x_j$ correspondiente). Así pues, el $P$ mostrado tiene grado $\leq n$ e interpola. Unicidad: dos [polinomios](#def-b1-poly-def) interpoladores de grado $\leq n$ coinciden en los $n+1$ puntos $x_i$ y, por tanto, son iguales ([Corolario 8.8](#cor-b1-poly-nroots)). ∎

**Observación 8.24 (Interludio: los polinomios también son vectores).**

Un cambio de punto de vista que el [Capítulo 18](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/18-espacios-vectoriales#ch-b1-vspaces) hará oficial: los [polinomios](#def-b1-poly-def) de grado $\leq n$ forman un espacio en el que la suma y el escalado se comportan exactamente como coordenadas — un [polinomio](#def-b1-poly-def) *es* su lista de $n + 1$ coeficientes. Tres [enunciados](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-statement) de este capítulo son álgebra lineal encubierta. La [interpolación de Lagrange](#thm-b1-poly-lagrange) ([Teorema 8.23](#thm-b1-poly-lagrange)) dice que los datos de evaluación $(P(x_0), \dots, P(x_n))$ determinan $P$ de manera única: evaluar en $n + 1$ puntos es una [biyección](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj) lineal, y los $L_i$ son la base adaptada a ella. El desarrollo $R = \sum c_k(X - a)^k$ de la demostración de la [Proposición 8.11](#prop-b1-poly-multiplicity) dice que las potencias de $(X - a)$ forman otro sistema de coordenadas, con $c_k = R^{(k)}(a)/k!$ como coordenadas. Y el [Corolario 8.8](#cor-b1-poly-nroots) — más raíces que el grado obliga al [polinomio](#def-b1-poly-def) nulo — es el motor de todas las unicidades: se convertirá en «una [aplicación](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-map) lineal [inyectiva](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj) sobre un espacio de dimensión $n + 1$» en el [Capítulo 19](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/19-dimension-finita#ch-b1-findim). Cuando lleguen esos capítulos, el espacio $K_n[X]$ será su ejemplo favorito; vale la pena llegar allí ya familiarizado con él.

**Observación 8.25 (Dónde se usa este capítulo).**

La factorización sobre $\R$ y sobre $\C$ ([Corolario 8.16](#cor-b1-poly-factorization)) es el motor de las fracciones simples del [Capítulo 9](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/9-fracciones-racionales#ch-b1-fractions) y, por tanto, de una amplia clase de integrales del [Capítulo 15](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/15-integracion-en-un-segmento#ch-b1-integration). El desarrollo de un [polinomio](#def-b1-poly-def) en potencias de $(X - a)$, encontrado en la demostración de la [Proposición 8.11](#prop-b1-poly-multiplicity), es la sombra algebraica de las fórmulas de Taylor del [Capítulo 16](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/16-formulas-de-taylor-y-desarrollos-asintoticos#ch-b1-taylor). Los [polinomios característicos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/5-ecuaciones-diferenciales-lineales#def-b1-diffeq-linear2) ya aparecieron para las ecuaciones diferenciales ([Capítulo 5](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/5-ecuaciones-diferenciales-lineales#ch-b1-diffeq)) y vuelven para las matrices en el [Capítulo 22](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/22-determinantes-y-sistemas-lineales#ch-b1-det); la [interpolación de Lagrange](#thm-b1-poly-lagrange) es el primer teorema de existencia y unicidad del análisis numérico, y los [polinomios de Chebyshev](#pb-b1-poly-1) del [Ejercicio 8.10](#exo-b1-poly-10) — cuya optimalidad establece el problema del fin de semana — le dicen a esa disciplina *dónde* interpolar. Por último, toda la aritmética de $K[X]$, copiada del [Capítulo 6](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/6-aritmetica-de-los-enteros#ch-b1-arith), alimenta el estudio de los ideales de $K[X]$ y de los [anillos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/7-estructuras-algebraicas#def-b1-structures-ring) cociente en el volumen del segundo año.

## 8.4 Ejercicios

**Ejercicio 8.1 ★.**

Háganse las divisiones euclídeas: $X^5 - 1$ entre $X^2 + X + 1$; y después $2X^4 + X^3 - X + 3$ entre $X^2 - 2$.

**Solución de Ejercicio 8.1.**

$X^5 - 1 = (X^2 + X + 1)(X^3 - X^2 + 1) + (-X - 2)$. Pasos: réstese $X^3 B$, después $-X^2 B$ y después $B$; el resto $-X - 2$ tiene grado $1 < 2$. *Comprobación en $X = 1$:* $\;0 = 3 \times 1 + (-3)$.

$2X^4 + X^3 - X + 3 = (X^2 - 2)(2X^2 + X + 4) + (X + 11)$. *Comprobación en $X = 0$:* $\;3 = (-2)(4) + 11$.

**Ejercicio 8.2 ★.**

¿Para qué $n \in \N$ [divide](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/6-aritmetica-de-los-enteros#def-b1-arith-divides) $X^2 + X + 1$ a $X^{2n} + X^n + 1$? *Indicación: las raíces de $X^2 + X + 1$ son $j$ y $j^2$ con $j = \eu^{2\iu\pi/3}$; discútase $n$ [módulo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/3-numeros-complejos#def-b1-complex-field) $3$.*

**Solución de Ejercicio 8.2.**

$X^2 + X + 1 = (X - j)(X - j^2)$ con $j = \eu^{2\iu\pi/3}$, $j^3 = 1$. [Divide](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/6-aritmetica-de-los-enteros#def-b1-arith-divides) a $Q_n = X^{2n} + X^n + 1$ si y solo si $j$ y $j^2$ son raíces de $Q_n$; como $Q_n$ tiene coeficientes reales, $Q_n(j^2) = \conj{Q_n(j)}$, así que la condición es simplemente $Q_n(j) = 0$. Ahora bien, $Q_n(j) = j^{2n} + j^n + 1$ depende de $n$ [módulo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/3-numeros-complejos#def-b1-complex-field) $3$:

- $n \equiv 0$ : $Q_n(j) = 1 + 1 + 1 = 3 \neq 0$ ;
- $n \equiv 1$ : $Q_n(j) = j^2 + j + 1 = 0$ ;
- $n \equiv 2$ : $Q_n(j) = j^4 + j^2 + 1 = j + j^2 + 1 = 0$ .

Luego $X^2 + X + 1 \mid X^{2n} + X^n + 1$ exactamente cuando $3 \nmid n$.

**Ejercicio 8.3 ★.**

Determínense los reales $a, b$ para que $(X-1)^2$ divida a $P = X^4 + aX^3 + bX^2 + 1$, y factorícese después $P$ sobre $\R$ para esos valores.

**Solución de Ejercicio 8.3.**

Por la [Proposición 8.11](#prop-b1-poly-multiplicity), $(X-1)^2 \mid P$ si y solo si $P(1) = P'(1) = 0$:

$$
P(1) = 2 + a + b = 0, \qquad P'(1) = 4 + 3a + 2b = 0 .
$$

Resolviendo: $b = -a - 2$ y $4 + 3a - 2a - 4 = a = 0$, luego $a = 0$, $b = -2$: $P = X^4 - 2X^2 + 1 = (X^2 - 1)^2 = (X-1)^2 (X+1)^2$, que es la factorización real.

**Ejercicio 8.4 ★.**

Factorícense sobre $\C$ y sobre $\R$: $X^3 - 1$; $\;X^4 + X^2 + 1$; $\;X^6 - 1$.

**Solución de Ejercicio 8.4.**

$X^3 - 1 = (X - 1)(X - j)(X - j^2)$ sobre $\C$ ($j = \eu^{2\iu\pi/3}$), y $(X - 1)(X^2 + X + 1)$ sobre $\R$.

$X^4 + X^2 + 1 = (X^2 + X + 1)(X^2 - X + 1)$ sobre $\R$ (desarróllese, o obsérvese que $X^4 + X^2 + 1 = (X^2+1)^2 - X^2$); sobre $\C$, cada factor cuadrático se descompone: raíces $j, j^2$ y $-j, -j^2$, es decir, $\eu^{\pm 2\iu\pi/3}, \eu^{\pm\iu\pi/3}$.

$X^6 - 1 = \prod_{k=0}^{5} (X - \eu^{\iu k\pi/3})$ sobre $\C$ y, sobre $\R$:

$$
X^6 - 1 = (X-1)(X+1)(X^2 + X + 1)(X^2 - X + 1),
$$

agrupando los pares [conjugados](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/3-numeros-complejos#def-b1-complex-field) $\eu^{\pm 2\iu\pi/3}$ y $\eu^{\pm \iu\pi/3}$.

**Ejercicio 8.5 ★★.**

Sea $P = X^3 - 6X^2 + 11X - 6$.

1. Hállense las raíces racionales *(una raíz racional $p/q$ irreducible de un [polinomio](#def-b1-poly-def) entero [mónico](#def-b1-poly-def) es un entero que [divide](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/6-aritmetica-de-los-enteros#def-b1-arith-divides) al término constante — demuéstrese)* , y factorícese $P$ .
2. Sin resolver, calcúlense la suma de los cuadrados y la suma de los inversos de las raíces mediante Vieta, y compruébese con la factorización.

**Solución de Ejercicio 8.5.**

1. Sea $p/q$ (fracción irreducible) una raíz del [polinomio](#def-b1-poly-def) entero [mónico](#def-b1-poly-def) $X^3 + \dots + c_0$ : quitando denominadores en $P(p/q) = 0$ se obtiene $p^3 = -q\,(\text{entero})$ , luego $q \mid p^3$ ; ser [coprimos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/6-aritmetica-de-los-enteros#cor-b1-arith-bezout) obliga a $q = \pm 1$ : la raíz es un entero $p$ , y $p \mid c_0$ (aíslese $c_0$ ). Aquí los candidatos [dividen](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/6-aritmetica-de-los-enteros#def-b1-arith-divides) a $6$ : probando, $P(1) = 0$ , $P(2) = 0$ , $P(3) = 0$ . Luego $P = (X-1)(X-2)(X-3)$ .
2. Vieta: $s_1 = 6$ , $s_2 = 11$ , $s_3 = 6$ . Suma de cuadrados: $s_1^2 - 2s_2 = 36 - 22 = 14 = 1 + 4 + 9$ , como se esperaba. Suma de inversos: $\frac{s_2}{s_3} = \frac{11}{6} = 1 + \frac12 + \frac13$ , como se esperaba.

**Ejercicio 8.6 ★★.**

Calcúlese $\gcd(X^4 - 1,\; X^3 - X^2 + X - 1)$ con el [algoritmo de Euclides](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/6-aritmetica-de-los-enteros#met-b1-arith-euclid), y escríbase como combinación $AU + BV$ de los dos [polinomios](#def-b1-poly-def).

**Solución de Ejercicio 8.6.**

Primer paso de división del [algoritmo de Euclides](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/6-aritmetica-de-los-enteros#met-b1-arith-euclid):

$$
(X + 1)(X^3 - X^2 + X - 1)
= X^4 - X^3 + X^2 - X + X^3 - X^2 + X - 1 = X^4 - 1 ,
$$

luego la división de $X^4 - 1$ entre $X^3 - X^2 + X - 1$ es exacta (cociente $X + 1$, resto $0$) y el algoritmo se detiene de inmediato:

$$
\gcd(X^4 - 1,\; X^3 - X^2 + X - 1) = X^3 - X^2 + X - 1
$$

(ya [mónico](#def-b1-poly-def)). La relación de Bézout es la trivial: $\gcd = 0 \cdot (X^4 - 1) + 1 \cdot (X^3 - X^2 + X - 1)$. Comprobación de coherencia factorizando: $X^3 - X^2 + X - 1 = (X - 1)(X^2 + 1)$, que es en efecto el producto de los factores irreducibles comunes de $X^4 - 1 = (X-1)(X+1)(X^2+1)$.

**Ejercicio 8.7 ★★.**

Sea $P \in \R[X]$ con $P(x) \geq 0$ para todo $x \in \R$. Demuéstrese que $P$ es suma de dos cuadrados de [polinomios](#def-b1-poly-def) reales: $P = A^2 + B^2$. *Indicación: en la factorización real, las raíces reales tienen [multiplicidad](#def-b1-poly-derivative) par; escríbanse los factores cuadráticos como $(X - z)(X - \conj z)$ y úsese $\abs{\,\cdot\,}^2 = (\Re)^2 +
(\Im)^2$ sobre el producto de los $(X - z)$.*

**Solución de Ejercicio 8.7.**

Como $P \geq 0$ en $\R$, sus raíces reales tienen [multiplicidad](#def-b1-poly-derivative) par (en una raíz de [multiplicidad](#def-b1-poly-derivative) impar, $P$ cambia de signo). Usando el [Corolario 8.16](#cor-b1-poly-factorization) y emparejando, escríbase

$$
P = c \prod_i (X - a_i)^{2k_i} \prod_j \bigl((X - z_j)(X - \conj
z_j)\bigr)^{n_j},
$$

con $c > 0$ (comportamiento en $+\infty$). Sea

$$
S = \sqrt c\, \prod_i (X - a_i)^{k_i} \prod_j (X - z_j)^{n_j}
\in \C[X],
$$

de modo que $P = S\,\conj S$, donde $\conj S$ tiene los coeficientes [conjugados](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/3-numeros-complejos#def-b1-complex-field). Sepárese $S = A + \iu B$ con $A, B \in \R[X]$: entonces

$$
P = (A + \iu B)(A - \iu B) = A^2 + B^2 .
$$

**Ejercicio 8.8 ★★.**

Hállese el [polinomio](#def-b1-poly-def) $P$ de grado $\leq 2$ con $P(0) = 1$, $P(1) = 3$, $P(2) = 2$, primero con la fórmula de Lagrange y después resolviendo el sistema lineal sobre los coeficientes. Compruébese que ambas coinciden.

**Solución de Ejercicio 8.8.**

Lagrange ([Teorema 8.23](#thm-b1-poly-lagrange)) con nodos $0, 1, 2$:

$$
P = 1\cdot\frac{(X-1)(X-2)}{(0-1)(0-2)} + 3\cdot\frac{X(X-2)}{1\cdot(1-2)}
+ 2\cdot\frac{X(X-1)}{2\cdot 1}
= \frac{(X-1)(X-2)}{2} - 3X(X-2) + X(X-1).
$$

Desarrollando: $\frac{X^2 - 3X + 2}{2} - 3X^2 + 6X + X^2 - X =
-\frac{3}{2}X^2 + \frac{7}{2}X + 1$.

Sistema: $P = aX^2 + bX + c$ con $c = 1$; $a + b + 1 = 3$; $4a + 2b + 1 = 2$. Restando de la tercera el doble de la segunda: $2a - 1 = -4$, luego $a = -\frac32$, $b = \frac72$. El mismo [polinomio](#def-b1-poly-def): $P = -\frac32 X^2 + \frac72 X + 1$. (Compruébese $P(2) = -6 + 7 + 1 = 2$.)

**Ejercicio 8.9 ★★.**

Demuéstrese que $P = X^{2n+1} - 1$ tiene exactamente una raíz real, y que, para todo $n \geq 1$, el [polinomio](#def-b1-poly-def) $1 + X + \frac{X^2}{2!} +
\dots + \frac{X^n}{n!}$ no tiene raíces múltiples *(compárense $P$ y $P'$)*.

**Solución de Ejercicio 8.9.**

$P = X^{2n+1} - 1$: $P' = (2n+1)X^{2n} \geq 0$, luego la función polinómica es creciente (estrictamente salvo en $0$), con límites $\mp\infty$: se anula exactamente una vez en $\R$ (en $x = 1$).

Sea $E_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{X^k}{k!}$. Entonces $E_n' = E_{n-1} = E_n - \frac{X^n}{n!}$. Una raíz múltiple $a$ cumpliría $E_n(a) = E_n'(a) = 0$ ([Proposición 8.11](#prop-b1-poly-multiplicity)), luego $\frac{a^n}{n!} = E_n(a) - E_n'(a) = 0$, de donde $a = 0$; pero $E_n(0) = 1 \neq 0$. No hay raíces múltiples.

**Ejercicio 8.10 ★★★.**

([Polinomios de Chebyshev](#pb-b1-poly-1)) Defínanse $T_0 = 1$, $T_1 = X$ y $T_{n+1} = 2X\,T_n - T_{n-1}$.

1. Demuéstrese por inducción que $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ para todo $\theta$ .
2. Dedúzcanse las $n$ raíces de $T_n$ y su coeficiente principal.
3. Demuéstrese que $\sup_{x \in \intcc{-1}{1}} \abs{T_n(x)} = 1$ , alcanzado en $n + 1$ puntos de $\intcc{-1}{1}$ .

**Solución de Ejercicio 8.10.**

1. Inducción (los dos casos base se cumplen). Usando $\cos(n+1)\theta + \cos(n-1)\theta = 2\cos\theta\cos n\theta$: $$T_{n+1}(\cos\theta) = 2\cos\theta \cos n\theta -  \cos(n-1)\theta = \cos(n+1)\theta .$$
2. $T_n(\cos\theta) = 0$ si y solo si $n\theta \equiv \frac\pi2  \pmod \pi$: los números $$x_k = \cos\Bigl(\frac{(2k+1)\pi}{2n}\Bigr),  \qquad k = 0, 1, \dots, n-1,$$ son $n$ puntos distintos de $\intoo{-1}{1}$ (los ángulos están en $\intoo{0}{\pi}$, donde $\cos$ es [inyectivo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj)) y todos son raíces de $T_n$; como $\deg T_n = n$ (de la recurrencia, con coeficiente principal $2^{n-1}$ para $n \geq 1$, por inducción), esas son *todas* las raíces, y todas simples.
3. Para $x = \cos\theta \in \intcc{-1}{1}$ : $\abs{T_n(x)} =  \abs{\cos n\theta} \leq 1$ , con igualdad si y solo si $n\theta \equiv 0 \pmod\pi$ , es decir, en los $n+1$ puntos $y_k = \cos\frac{k\pi}{n}$ , $k = 0, \dots, n$ , donde $T_n(y_k) = (-1)^k$ . (Esta equioscilación hace de $2^{1-n}T_n$ el [polinomio mónico](#def-b1-poly-def) de grado $n$ con menor norma del supremo en $\intcc{-1}{1}$ — demostrado en el problema del fin de semana de este capítulo.)

**Ejercicio 8.11 ★★★.**

Sea $P \in \C[X]$ no constante, con raíces distintas $a_1, \dots, a_r$ (de [multiplicidades](#def-b1-poly-derivative) $m_1, \dots, m_r$). Demuéstrese la identidad de funciones racionales

$$
\frac{P'(X)}{P(X)} = \sum_{i=1}^{r} \frac{m_i}{X - a_i},
$$

y dedúzcase el teorema de Gauss–Lucas: toda raíz de $P'$ está en la envolvente convexa de las raíces de $P$ *(evalúese la identidad en una raíz $w$ de $P'$ que no sea raíz de $P$, tómense [conjugados](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/3-numeros-complejos#def-b1-complex-field) y léase el resultado como que $w$ es una media ponderada de los $a_i$)*.

**Solución de Ejercicio 8.11.**

Escríbase $P = c\prod_i (X - a_i)^{m_i}$. La regla del producto (extendida a varios factores) da

$$
P' = c\sum_{i} m_i (X - a_i)^{m_i - 1} \prod_{k \neq i} (X -
a_k)^{m_k},
$$

y, dividiendo entre $P$: $\frac{P'}{P} = \sum_i \frac{m_i}{X - a_i}$ (como funciones racionales, es decir, fuera de las raíces).

Sea $w$ una raíz de $P'$. Si $w$ es uno de los $a_i$, está en la envolvente convexa trivialmente. En caso contrario, evaluando en $w$:

$$
0 = \sum_i \frac{m_i}{w - a_i}
= \sum_i m_i\, \frac{\conj w - \conj a_i}{\abs{w - a_i}^2} .
$$

Conjugando: $\sum_i \lambda_i (w - a_i) = 0$, donde $\lambda_i = \frac{m_i}{\abs{w - a_i}^2} > 0$. Por tanto

$$
w = \frac{\sum_i \lambda_i a_i}{\sum_i \lambda_i} :
$$

una combinación convexa (pesos positivos que suman $1$ tras normalizar) de las raíces $a_i$. Así pues, toda raíz de $P'$ está en la envolvente convexa de las raíces de $P$.

**Ejercicio 8.12 ★★.**

(Filtro de [raíces de la unidad](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/3-numeros-complejos#def-b1-complex-unity)) Sean $n \in \N^*$ y $j = \eu^{2\iu\pi/3}$. Evaluando $(1 + X)^n$ en $1$, $j$ y $j^2$, demuéstrese que

$$
\sum_{k \geq 0} \binom{n}{3k}
= \frac{2^n + 2\cos\frac{n\pi}{3}}{3} ,
$$

y compruébese la fórmula para $n = 3$ y $n = 6$. *Indicación: $1 + j^m + j^{2m}$ vale $3$ si $3 \mid m$ y $0$ en caso contrario; y $1 + j = \eu^{\iu\pi/3}$.*

**Solución de Ejercicio 8.12.**

Súmense las evaluaciones de $(1 + X)^n$ en las tres raíces cúbicas de la unidad:

$$
2^n + (1 + j)^n + (1 + j^2)^n
= \sum_{k=0}^n \binom nk\,\bigl(1 + j^k + j^{2k}\bigr)
= 3\sum_{k\,:\,3\mid k}\binom nk ,
$$

pues $1 + j^k + j^{2k}$ es una suma geométrica igual a $3$ cuando $3 \mid k$ y a $\frac{j^{3k} - 1}{j^k - 1} = 0$ en caso contrario. Ahora bien, $1 + j = \frac12 + \iu\frac{\sqrt3}2 = \eu^{\iu\pi/3}$ y $1 + j^2 = \conj{1 + j} = \eu^{-\iu\pi/3}$, luego $(1+j)^n + (1+j^2)^n = 2\cos\frac{n\pi}3$ y

$$
\sum_{k\geq0}\binom n{3k} = \frac{2^n + 2\cos\frac{n\pi}3}{3} .
$$

Comprobaciones: $n = 3$: $\frac{8 + 2\cos\pi}3 = 2 = \binom30 +
\binom33$; $n = 6$: $\frac{64 + 2}3 = 22 = 1 + 20 + 1$.

## 8.5 Problema: los polinomios de Chebyshev y el polinomio más plano

**Problema 8.1.**

Entre todos los [polinomios](#def-b1-poly-def) *[mónicos](#def-b1-poly-def)* de grado $n$, ¿cuál se mantiene más cerca de cero en $\intcc{-1}1$? La respuesta — el teorema de Chebyshev, partida de nacimiento de la teoría de la aproximación — es $2^{1-n}T_n$, donde $T_n$ es el [polinomio](#def-b1-poly-def) de Chebyshev del [Ejercicio 8.10](#exo-b1-poly-10), y ningún competidor [mónico](#def-b1-poly-def) puede mejorar su desviación $2^{1-n}$. Este problema desarrolla el álgebra de la familia $(T_n)$ ([ley de composición](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/7-estructuras-algebraicas#def-b1-structures-law), coeficientes explícitos, la familia de segunda especie $U_n$, una ecuación diferencial), demuestra el teorema de extremalidad con su caso de igualdad y recoge aplicaciones: nodos óptimos de interpolación, el valor exacto de $\cos 36^\circ$ y una [congruencia](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/6-aritmetica-de-los-enteros#def-b1-arith-congruence) $T_p \equiv X^p \pmod p$. En todo el problema, $T_0 = 1$, $T_1 = X$, $T_{n+1} = 2X\,T_n - T_{n-1}$, y usamos libremente $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ del [Ejercicio 8.10](#exo-b1-poly-10).

**Parte I — La familia $(T_n)$.**

1. Calcúlense $T_2, T_3, T_4, T_5$ con la recurrencia. (Compárese $T_3$ con la identidad $\cos3\theta = 4\cos^3\theta -  3\cos\theta$ del [Ejemplo 3.9](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/3-numeros-complejos#ex-b1-complex-cos3) .)
2. Demuéstrese por inducción que $\deg T_n = n$ con coeficiente principal $2^{n-1}$ para $n \geq 1$ , y que $T_n$ tiene la paridad de $n$ (solo aparecen potencias pares, o solo impares).
3. Demuéstrese el principio de unicidad: $T_n$ es el *único* [polinomio](#def-b1-poly-def) que cumple $P(\cos\theta) = \cos n\theta$ para todo $\theta$ . (Dos [polinomios](#def-b1-poly-def) que coinciden en $\intcc{-1}1$ coinciden en todas partes: [Corolario 8.8](#cor-b1-poly-nroots) .)
4. Dedúzcanse las [leyes de composición](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/7-estructuras-algebraicas#def-b1-structures-law) y de producto: $$T_m \circ T_n = T_{mn},  \qquad  2\,T_m T_n = T_{m+n} + T_{\abs{m-n}} .$$
5. Recuérdense del [Ejercicio 8.10](#exo-b1-poly-10) las raíces $x_k = \cos\frac{(2k+1)\pi}{2n}$ y los puntos de equioscilación $y_k = \cos\frac{k\pi}n$ con $T_n(y_k) = (-1)^k$ . Escríbase la factorización completa de $T_n$ sobre $\R$ y justifíquese que los $y_k$ se entrelazan: $y_n < x_{n-1} < y_{n-1} < \dots <  x_0 < y_0$ .
6. Demuéstrese que $T_n(\cosh t) = \cosh(nt)$ para todo $t \in \R$ (misma inducción, usando la [Proposición 4.18](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/4-funciones-usuales#prop-b1-functions-hyprules)) y dedúzcase, para $x \geq 1$, la forma cerrada $$T_n(x) = \frac{\bigl(x + \sqrt{x^2 - 1}\bigr)^n +  \bigl(x - \sqrt{x^2 - 1}\bigr)^n}{2} ,$$ de modo que $T_n(x) > 1$ para $x > 1$: fuera de $\intcc{-1}1$ el [polinomio](#def-b1-poly-def) se dispara de inmediato.

**Parte II — Coeficientes, la familia $U_n$, una ecuación diferencial.**

7. A partir de la fórmula de De Moivre ([Corolario 3.8](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/3-numeros-complejos#cor-b1-complex-demoivre)), demuéstrese la expresión explícita $$T_n(x) = \sum_{0 \leq 2j \leq n} \binom{n}{2j}\,  x^{\,n-2j}\,(x^2 - 1)^j ,$$ y compruébese para $n = 3$.
8. Calcúlense $T_n(1)$ , $T_n(-1)$ y $T_n(0)$ para todo $n$ .
9. Defínase $U_n$ ( *de segunda especie* ) por $U_0 = 1$ , $U_1 = 2X$ , $U_{n+1} = 2X\,U_n - U_{n-1}$ . Demuéstrese que $U_n(\cos\theta) = \frac{\sin(n+1)\theta}{\sin\theta}$ para $\theta \notin \pi\Z$ , y que $T_n' = n\,U_{n-1}$ para $n \geq 1$ .
10. Demuéstrese que $\abs{\sin n\theta} \leq n\,\abs{\sin\theta}$ para todo $\theta$ (inducción) y dedúzcase la cota de tipo Markov $$\abs{T_n'(x)} \leq n^2  \quad\text{on } \intcc{-1}1,  \qquad\text{with } T_n'(\pm1) = (\pm1)^{n-1}\,n^2 .$$
11. Véase que $y = T_n$ cumple la ecuación diferencial $$(1 - x^2)\,y'' - x\,y' + n^2\,y = 0 ,$$ derivando la identidad $\sin\theta\, T_n'(\cos\theta) = n\sin n\theta$ respecto de $\theta$; compruébese directamente para $T_2$.

**Parte III — El teorema de extremalidad de Chebyshev.** Sea $\widetilde T_n = 2^{1-n}\,T_n$ ([mónico](#def-b1-poly-def) por la pregunta 2) y escríbase $\norm{P}_\infty = \sup_{x \in \intcc{-1}1}\abs{P(x)}$.

12. Justifíquese que $\norm{\widetilde T_n}_\infty = 2^{1-n}$ , alcanzado con signos alternados en los $n + 1$ puntos $y_n < \dots < y_0$ .
13. Supóngase que algún $P$ [mónico](#def-b1-poly-def) de grado $n$ tuviese $\norm P_\infty < 2^{1-n}$ , y póngase $D = \widetilde T_n - P$ . Véase que $\deg D \leq n - 1$ y que $D(y_k)$ tiene el signo estricto de $(-1)^k$ para cada $k = 0, \dots, n$ .
14. Dedúzcase que $D$ tiene al menos $n$ raíces reales distintas (una en cada hueco, por la propiedad del valor intermedio, usada aquí al nivel del volumen anterior y demostrada en el [Capítulo 13](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#ch-b1-continuity)) y conclúyase el *teorema de Chebyshev*: todo $P$ [mónico](#def-b1-poly-def) de grado $n$ cumple $$\norm{P}_\infty \geq 2^{1-n} .$$
15. (Caso de igualdad, primer paso) Supóngase ahora $\norm P_\infty = 2^{1-n}$ exactamente, con $P$ [mónico](#def-b1-poly-def) de grado $n$ , y sea $D = \widetilde T_n - P$ . Véase que $(-1)^kD(y_k) \geq 0$ para todo $k$ , y que si $D(y_k) = 0$ en un punto *interior* $y_k$ ( $0 < k < n$ ), entonces también $D'(y_k) = 0$ . *(En un $y_k$ interior, tanto $\widetilde T_n$ como $P$ alcanzan un extremo de valor absoluto $\norm{\cdot}_\infty$; una función derivable tiene derivada nula en un extremo interior — usado aquí al nivel del volumen anterior y demostrado en el [Capítulo 14](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/14-derivacion#ch-b1-derivative).)*
16. (Caso de igualdad, conclusión) Cuéntense las raíces de $D$ con [multiplicidad](#def-b1-poly-derivative) para ver que $D = 0$ : el minimizador es *único* , $P = \widetilde T_n$ .
17. Transpórtese a un segmento arbitrario $\intcc ab$ : véase que la norma del supremo mínima de un [polinomio mónico](#def-b1-poly-def) de grado $n$ en $\intcc ab$ es $2\bigl(\frac{b-a}4\bigr)^n$ , alcanzada por un [polinomio](#def-b1-poly-def) de Chebyshev reescalado. *(Sustitúyase $x = \frac{a+b}2 + \frac{b-a}2\,t$ y síganse los coeficientes principales.)*

**Parte IV — Aplicaciones.**

18. Hágase a mano el caso $n = 3$ : localícense los extremos de $\widetilde T_3 = X^3 - \frac34X$ en $\intcc{-1}1$ , compruébese la equioscilación cuádruple con valor $\frac14$ y conclúyase que ninguna cúbica mónica lo hace mejor.
19. (Nodos óptimos de interpolación) Para $n + 1$ nodos $x_0, \dots, x_n \in \intcc{-1}1$ , el error de interpolación está gobernado por $\omega(X) = \prod_i (X - x_i)$ (como cuantificará el [Capítulo 16](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/16-formulas-de-taylor-y-desarrollos-asintoticos#ch-b1-taylor) ). Demuéstrese que la elección que minimiza $\norm\omega_\infty$ es el [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) de las $n + 1$ raíces de $T_{n+1}$ , con $\norm\omega_\infty =  2^{-n}$ : los nodos de Chebyshev son los lugares adecuados para interpolar.
20. Usando $T_5$, demuéstrese que $c = \cos 36^\circ$ cumple $16c^5 - 20c^3 + 5c + 1 = 0$, factorícese este [polinomio](#def-b1-poly-def) como $(x + 1)(4x^2 - 2x - 1)^2$ y conclúyase $$\cos 36^\circ = \frac{1 + \sqrt5}4 .$$ Compruébese la coherencia con $\cos 72^\circ =  \frac{\sqrt5 - 1}4$ del [Ejercicio 3.8](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/3-numeros-complejos#exo-b1-complex-8).
21. Estímese $T_{10}(1.1)$ con la forma cerrada de la pregunta 6 (bastan dos cifras significativas) e interprétese: un [polinomio](#def-b1-poly-def) acotado por $1$ en $\intcc{-1}1$ puede superar ya $40$ en $x = 1.1$ . (Que $T_n$ crezca lo *más deprisa* entre esos [polinomios](#def-b1-poly-def) es otra propiedad extremal de la familia, más allá de este problema.)
22. Demuéstrese la [congruencia](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/6-aritmetica-de-los-enteros#def-b1-arith-congruence) : para todo [primo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/6-aritmetica-de-los-enteros#def-b1-arith-prime) impar $p$ , todos los coeficientes de $T_p - X^p$ son divisibles por $p$ . *(Úsese la pregunta 7 y $p \mid \binom p{2j}$ para $0 < 2j < p$, de la demostración del [Teorema 6.23](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/6-aritmetica-de-los-enteros#thm-b1-arith-fermat).)* Compruébese en $T_3$ y $T_5$ .

**Parte V — Síntesis.**

23. Calcúlese explícitamente la cuadrática mónica de norma del supremo mínima en $\intcc01$ y su desviación. (Pregunta 17 con $n = 2$ .)
24. ¿Dónde ha usado exactamente el problema: (i) la rigidez de los [polinomios](#def-b1-poly-def) ( [Corolario 8.8](#cor-b1-poly-nroots) ); (ii) la trigonometría de los [Capítulo 3](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/3-numeros-complejos#ch-b1-complex) y [Capítulo 4](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/4-funciones-usuales#ch-b1-functions) ; (iii) la aritmética de los [coeficientes binomiales](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/2-combinatoria#def-b1-counting-objects) del [Capítulo 6](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/6-aritmetica-de-los-enteros#ch-b1-arith) ? Una frase para cada uno.
25. Síntesis, en un párrafo breve: el teorema dice que el [polinomio mónico](#def-b1-poly-def) más plano es el que *equioscila* , y la demostración convierte la optimalidad en un recuento de raíces. Coméntese este mecanismo, el papel de la sustitución $x = \cos\theta$ como puente entre álgebra y trigonometría, y nómbrense los dos lugares donde el problema ha necesitado hechos de análisis (valor intermedio, extremo interior) que demuestran capítulos posteriores.

**Solución de Problema 8.1.**

**1.** $T_2 = 2X^2 - 1$; $T_3 = 2X(2X^2 - 1) - X = 4X^3 - 3X$; $T_4 = 2X\,T_3 - T_2 = 8X^4 - 8X^2 + 1$; $T_5 = 2X\,T_4 - T_3 = 16X^5 - 20X^3 + 5X$. La identidad $T_3(\cos\theta) = \cos3\theta$ es exactamente $\cos3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ del [Ejemplo 3.9](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/3-numeros-complejos#ex-b1-complex-cos3).

**2.** Cierto para $n = 1, 2$. Si $T_{n-1}$ y $T_n$ tienen grados $n-1$ y $n$ y coeficientes principales $2^{n-2}$ y $2^{n-1}$, entonces $2X\,T_n$ tiene grado $n+1$ y coeficiente principal $2^n$, mientras que $T_{n-1}$ tiene grado menor: $T_{n+1}$ tiene grado $n + 1$ y coeficiente principal $2^n$. Paridad: si $T_{n-1}$ tiene la paridad de $n - 1$ y $T_n$ la de $n$, entonces $2X\,T_n$ y $T_{n-1}$ tienen los dos la paridad de $n + 1$, luego también $T_{n+1}$.

**3.** Si $P(\cos\theta) = \cos n\theta$ para todo $\theta$, entonces $P$ y $T_n$ coinciden en todos los puntos de $\intcc{-1}1$ — un [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) infinito —, luego $P - T_n$ tiene infinitas raíces y es el [polinomio](#def-b1-poly-def) nulo ([Corolario 8.8](#cor-b1-poly-nroots)).

**4.** Para $x = \cos\theta$: $T_m(T_n(\cos\theta)) =
T_m(\cos n\theta) = \cos(mn\theta) = T_{mn}(\cos\theta)$, y $2T_mT_n(\cos\theta) = 2\cos m\theta\cos n\theta = \cos(m+n)\theta
+ \cos\abs{m - n}\theta$. Las dos identidades valen en $\intcc{-1}1$ y, por tanto, como identidades de [polinomios](#def-b1-poly-def), por el argumento de la pregunta 3.

**5.** Los $x_k$ son $n$ raíces simples distintas y el coeficiente principal es $2^{n-1}$:

$$
T_n = 2^{n-1}\prod_{k=0}^{n-1}
\Bigl(X - \cos\frac{(2k+1)\pi}{2n}\Bigr) .
$$

Entrelazado: los ángulos $0 < \frac{\pi}{2n} < \frac\pi n <
\frac{3\pi}{2n} < \frac{2\pi}n < \dots < \pi$ alternan entre los ángulos de los $y$, $\frac{k\pi}n$, y los de los $x$, $\frac{(2k+1)\pi}{2n}$; como $\cos$ es estrictamente decreciente en $\intcc0\pi$, los valores se entrelazan en orden inverso: $y_n < x_{n-1} < y_{n-1} < \dots < x_0 < y_0$. Entre dos extremos consecutivos hay exactamente una raíz, como sugiere un dibujo de $\cos n\theta$.

**6.** Inducción con $2\cosh a\cosh b = \cosh(a + b) +
\cosh(a - b)$ ([Proposición 4.18](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/4-funciones-usuales#prop-b1-functions-hyprules)): $T_{n+1}(\cosh t) = 2\cosh t\cosh nt - \cosh(n-1)t = \cosh(n+1)t$. Para $x \geq 1$, escríbase $x = \cosh t$ con $t \geq 0$; entonces $\eu^t = x + \sqrt{x^2 - 1}$ y $\eu^{-t} = x - \sqrt{x^2 - 1}$, luego

$$
T_n(x) = \cosh(nt)
= \frac{(x + \sqrt{x^2-1})^n + (x - \sqrt{x^2-1})^n}2 .
$$

Para $x > 1$, el primer término supera estrictamente a $\frac12(1)^n$ y crece geométricamente: $T_n(x) > 1$.

**7.** De Moivre: $\cos n\theta = \Re\bigl((\cos\theta +
\iu\sin\theta)^n\bigr) = \sum_{2j \leq n}\binom n{2j}
\cos^{n-2j}\theta\,(\iu\sin\theta)^{2j}$, y $(\iu\sin\theta)^{2j} = (-\sin^2\theta)^j = (\cos^2\theta - 1)^j$. Sustituyendo $x = \cos\theta$ e invocando la pregunta 3:

$$
T_n(x) = \sum_{0\leq 2j\leq n}\binom n{2j}x^{n-2j}(x^2 - 1)^j .
$$

Para $n = 3$: $\binom30 x^3 + \binom32 x(x^2 - 1) = x^3 + 3x^3 - 3x =
4x^3 - 3x$, como en la pregunta 1.

**8.** $T_n(1) = \cos(n\cdot0) = 1$; $T_n(-1) = \cos(n\pi) =
(-1)^n$; $T_n(0) = \cos\frac{n\pi}2$, que vale $0$ para $n$ impar y $(-1)^{n/2}$ para $n$ par.

**9.** Inducción para $U_n(\cos\theta) =
\frac{\sin(n+1)\theta}{\sin\theta}$: cierto para $U_0 = 1$ y $U_1 = 2X$ ($\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$); el paso es la identidad de transformación $\sin(n+2)\theta = 2\cos\theta\, \sin(n+1)\theta -
\sin n\theta$. Derívese ahora $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ respecto de $\theta$: $-\sin\theta\,T_n'(\cos\theta) = -n\sin n\theta$, luego, para $\theta \notin \pi\Z$:

$$
T_n'(\cos\theta) = n\,\frac{\sin n\theta}{\sin\theta}
= n\,U_{n-1}(\cos\theta) ,
$$

y los [polinomios](#def-b1-poly-def) $T_n'$ y $nU_{n-1}$, que coinciden en $\intoo{-1}1$, son iguales.

**10.** $\abs{\sin(n+1)\theta} = \abs{\sin n\theta\cos\theta
+ \cos n\theta\sin\theta} \leq \abs{\sin n\theta} + \abs{\sin\theta}$, y la inducción da $\abs{\sin n\theta} \leq n\abs{\sin\theta}$. Por tanto, $\abs{U_{n-1}} \leq n$ en $\intoo{-1}1$ y $\abs{T_n'} = n\abs{U_{n-1}} \leq n^2$ ahí; en $\pm1$ la cota se extiende por paso al límite (o directamente: $U_{n-1}(1) = n$ por la recurrencia, $U_n(1) = n + 1$ por inducción, y la paridad da $U_{n-1}(-1) = (-1)^{n-1}n$). Así, $T_n'(1) = n^2$ y $T_n'(-1) = (-1)^{n-1}n^2$: la cota $n^2$ se alcanza en los extremos.

**11.** Derívese $\sin\theta\,T_n'(\cos\theta) = n\sin n\theta$ (pregunta 9) respecto de $\theta$:

$$
\cos\theta\,T_n'(\cos\theta) - \sin^2\theta\,T_n''(\cos\theta)
= n^2\cos n\theta = n^2\,T_n(\cos\theta) .
$$

Con $x = \cos\theta$ y $\sin^2\theta = 1 - x^2$: $x\,T_n' - (1 - x^2)T_n'' = n^2T_n$ en $\intcc{-1}1$ y, por tanto, en todas partes: $(1 - x^2)y'' - xy' + n^2y = 0$ para $y = T_n$. Comprobación para $T_2 = 2x^2 - 1$: $(1 - x^2)(4) - x(4x) + 4(2x^2 - 1)
= 4 - 4x^2 - 4x^2 + 8x^2 - 4 = 0$.

**12.** $\widetilde T_n$ es [mónico](#def-b1-poly-def) (pregunta 2) y $\abs{\widetilde T_n} = 2^{1-n}\abs{T_n} \leq 2^{1-n}$ en $\intcc{-1}1$, con $\widetilde T_n(y_k) = (-1)^k2^{1-n}$ en los $n + 1$ puntos $y_k$ ([Ejercicio 8.10](#exo-b1-poly-10)): la norma vale exactamente $2^{1-n}$ y se alcanza con signos alternados.

**13.** $\widetilde T_n$ y $P$ son los dos [mónicos](#def-b1-poly-def) de grado $n$, así que los términos principales se cancelan: $\deg D \leq n - 1$. En $y_k$: $D(y_k) = (-1)^k2^{1-n} - P(y_k)$, y $\abs{P(y_k)} \leq \norm P_\infty < 2^{1-n}$ obliga a que el signo de $D(y_k)$ sea el de $(-1)^k2^{1-n}$, estrictamente.

**14.** $D$ cambia de signo entre $y_{k+1}$ e $y_k$ para cada $k = 0, \dots, n-1$: por la propiedad del valor intermedio, $D$ tiene una raíz en cada uno de esos $n$ intervalos abiertos disjuntos dos a dos — $n$ raíces distintas para un [polinomio](#def-b1-poly-def) no nulo de grado $\leq n - 1$, imposible. Y $D = 0$ también es imposible (las normas difieren). Contradicción: ningún $P$ [mónico](#def-b1-poly-def) de grado $n$ cumple $\norm P_\infty < 2^{1-n}$, que es el teorema de Chebyshev.

**15.** Ahora solo se tiene $\abs{P(y_k)} \leq 2^{1-n}$, luego $(-1)^k D(y_k) = 2^{1-n} - (-1)^kP(y_k) \geq 2^{1-n} - \abs{P(y_k)}
\geq 0$. Supóngase $D(y_k) = 0$ en un $y_k$ interior ($0 < k < n$): entonces $P(y_k) = (-1)^k2^{1-n}$, de modo que $\abs P$ alcanza su supremo $2^{1-n}$ en el punto interior $y_k$, de donde $P'(y_k) = 0$ (extremo interior); y $T_n'(y_k) = nU_{n-1}(y_k) = 0$, pues $\sin(n\cdot\frac{k\pi}n) = 0$ — luego también $\widetilde T_n'(y_k) = 0$ y $D'(y_k) = 0$: $y_k$ es raíz de $D$ de [multiplicidad](#def-b1-poly-derivative) al menos $2$.

**16.** Cuéntense las raíces de $D$ con [multiplicidad](#def-b1-poly-derivative). Sea $z$ el número de puntos interiores $y_k$ con $D(y_k) = 0$ (cada uno raíz doble, por la pregunta 15) y $e \in \{0, 1, 2\}$ el número de extremos ($y_0$ o $y_n$) con $D = 0$ (cada uno raíz al menos simple). Un hueco $(y_{k+1}, y_k)$ cuyos dos extremos tengan $D \neq 0$ lleva signos estrictamente alternados y, por tanto, una raíz interior. Cada punto interior de anulación estropea a lo sumo sus dos huecos contiguos, y cada extremo de anulación, a lo sumo un hueco: al menos $n - 2z - e$ huecos siguen aportando una raíz cada uno, todas distintas de las raíces $y$. En total: al menos $(n - 2z - e) + 2z + e
= n$ raíces con [multiplicidad](#def-b1-poly-derivative), para un [polinomio](#def-b1-poly-def) de grado $\leq n - 1$: luego $D = 0$ y $P = \widetilde T_n$. El minimizador es único.

**17.** La [aplicación](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-map) afín $t \mapsto x = \frac{a+b}2 +
\frac{b-a}2\,t$ es una [biyección](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-inj) $\intcc{-1}1 \to \intcc ab$. Si $P$ es [mónico](#def-b1-poly-def) de grado $n$, entonces $Q(t) = P(x(t))$ es un [polinomio](#def-b1-poly-def) en $t$ con coeficiente principal $\bigl(\frac{b-a}2\bigr)^n$, y $\sup_{\intcc ab}\abs P = \sup_{\intcc{-1}1}\abs Q$. El [polinomio mónico](#def-b1-poly-def) $Q/\bigl(\frac{b-a}2\bigr)^n$ tiene norma del supremo $\geq 2^{1-n}$ (preguntas 13–14), luego

$$
\sup_{\intcc ab}\abs P \geq \Bigl(\frac{b-a}2\Bigr)^n 2^{1-n}
= 2\Bigl(\frac{b-a}4\Bigr)^n ,
$$

con igualdad exactamente para $P(x) = \bigl(\frac{b-a}2\bigr)^n
\widetilde T_n\bigl(t(x)\bigr)$ (pregunta 16).

**18.** $\widetilde T_3 = \frac{T_3}4 = X^3 - \frac34X$; $\widetilde T_3{}' = 3X^2 - \frac34$ se anula en $\pm\frac12$. Valores: $\widetilde T_3(-1) = -\frac14$, $\widetilde T_3(-\tfrac12) =
\frac14$, $\widetilde T_3(\tfrac12) = -\frac14$, $\widetilde T_3(1) = \frac14$: cuatro extremos alternados de valor absoluto $\frac14$ — luego $\norm{\widetilde T_3}_\infty = \frac14$ y, por el teorema de Chebyshev, ninguna cúbica mónica tiene menor norma del supremo en $\intcc{-1}1$.

**19.** $\omega$ es [mónico](#def-b1-poly-def) de grado $n + 1$, luego $\norm\omega_\infty \geq 2^{-n}$ por el teorema de Chebyshev (grado $n+1$), con igualdad si y solo si $\omega = \widetilde T_{n+1} =
2^{-n}T_{n+1}$ (pregunta 16), es decir, si y solo si los nodos son las $n + 1$ raíces de $T_{n+1}$. Con nodos de Chebyshev, el factor de error $\norm\omega_\infty$ vale $2^{-n}$ — el menor posible.

**20.** $5 \times 36^\circ = 180^\circ$, luego $T_5(c) =
\cos180^\circ = -1$: $16c^5 - 20c^3 + 5c + 1 = 0$. Probando $x = -1$: $-16 + 20 - 5 + 1 = 0$, y el desarrollo confirma

$$
16x^5 - 20x^3 + 5x + 1 = (x + 1)\bigl(4x^2 - 2x - 1\bigr)^2 .
$$

Como $c = \cos36^\circ \neq -1$, $c$ es raíz de $4x^2 - 2x - 1$, cuyas raíces son $\frac{1 \pm \sqrt5}4$; y, siendo $c > 0$,

$$
\cos36^\circ = \frac{1 + \sqrt5}4 .
$$

Coherencia: $\cos72^\circ = T_2(c) = 2c^2 - 1 = 2\cdot\frac{3 +
\sqrt5}8 - 1 = \frac{\sqrt5 - 1}4$, el valor hallado en el [Ejercicio 3.8](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/3-numeros-complejos#exo-b1-complex-8).

**21.** $\sqrt{1.1^2 - 1} = \sqrt{0.21} \approx 0.458$, luego $x + \sqrt{x^2-1} \approx 1.558$ y $(1.558)^{10} \approx 84.5$, mientras que $(1.1 - 0.458)^{10} \approx 0.01$: $T_{10}(1.1) \approx
\frac{84.5 + 0.01}2 \approx 42$. Un [polinomio](#def-b1-poly-def) atrapado en $\intcc{-1}1$ sobre el intervalo ha crecido ya por encima de $40$ una décima más allá de su borde: estar acotado en un segmento no dice nada un dedo fuera de él.

**22.** En la fórmula de $T_p$ de la pregunta 7, el término $j = 0$ es $X^p$; todos los demás llevan $\binom p{2j}$ con $0 < 2j < p$ (obsérvese que $2j \neq p$, pues $p$ es impar), que es divisible por $p$ por el primer paso de la demostración del [Teorema 6.23](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/6-aritmetica-de-los-enteros#thm-b1-arith-fermat). Por tanto, todo coeficiente de $T_p - X^p$ es múltiplo de $p$. Comprobaciones: $T_3 - X^3 = 3X^3 - 3X = 3(X^3 - X)$; $T_5 - X^5 = 15X^5 - 20X^3 + 5X = 5(3X^5 - 4X^3 + X)$.

**23.** Por la pregunta 17 con $\intcc ab = \intcc01$ y $n = 2$: desviación mínima $2\bigl(\frac14\bigr)^2 = \frac18$, alcanzada por $\bigl(\frac12\bigr)^2\widetilde T_2(2x - 1) =
\frac14\bigl((2x-1)^2 - \frac12\bigr) = x^2 - x + \frac18$. La cuadrática mónica más próxima a cero en $\intcc01$ es $x^2 - x + \frac18$, con norma del supremo $\frac18$.

**24.** (i) La rigidez — un [polinomio](#def-b1-poly-def) con más raíces que su grado es nulo — movió el principio de unicidad (pregunta 3), el traslado de identidades trigonométricas a identidades de [polinomios](#def-b1-poly-def) (preguntas 4, 7, 9 y 11) y los dos argumentos de recuento de raíces de la demostración de extremalidad (preguntas 14 y 16). (ii) La trigonometría del [Capítulo 3](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/3-numeros-complejos#ch-b1-complex) (De Moivre, transformación de sumas en productos) y las [funciones hiperbólicas](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/4-funciones-usuales#def-b1-functions-hyperbolic) del [Capítulo 4](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/4-funciones-usuales#ch-b1-functions) suministraron todas las identidades que sostienen la familia; la sustitución $x = \cos\theta$ es el puente. (iii) La [divisibilidad](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/6-aritmetica-de-los-enteros#def-b1-arith-divides) $p \mid \binom p{2j}$ del [Capítulo 6](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/6-aritmetica-de-los-enteros#ch-b1-arith) convirtió la fórmula de los coeficientes en la [congruencia](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/6-aritmetica-de-los-enteros#def-b1-arith-congruence) de la pregunta 22.

**25.** El teorema de Chebyshev convierte una optimización sobre una familia de dimensión infinita (todos los [polinomios mónicos](#def-b1-poly-def)) en combinatoria finita: un competidor mejor que $\widetilde T_n$ diferiría de él en un [polinomio](#def-b1-poly-def) de grado bajo obligado a cambiar de signo $n$ veces — una raíz más de las que su grado permite. El patrón de equioscilación no es, pues, una curiosidad, sino el certificado mismo de optimalidad, y el caso de igualdad afina el recuento de raíces con [multiplicidades](#def-b1-poly-derivative). La sustitución $x = \cos\theta$ merece la última palabra: transporta el mundo rígido y discreto de los [polinomios](#def-b1-poly-def) al mundo periódico de la trigonometría, donde las raíces y los extremos de $T_n$ son sin más la retícula regular de $\cos n\theta$. Los dos hechos de análisis tomados prestados — la propiedad del valor intermedio (pregunta 14; demostrada en el [Capítulo 13](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#ch-b1-continuity)) y la anulación de la derivada en un extremo interior (pregunta 15; demostrada en el [Capítulo 14](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/14-derivacion#ch-b1-derivative)) — son exactamente las herramientas que esos capítulos posteriores devolverán, cerrando el círculo.