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title: "Fracciones racionales"
book: "Matemáticas universitarias — Grado 1"
subject: math
language: es
chapter: 9
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/9-fracciones-racionales
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# Capítulo 9 — Fracciones racionales

Una [fracción racional](#def-b1-fractions-field) es un cociente de [polinomios](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def). El teorema central de este capítulo breve — la descomposición en fracciones simples — rompe cualquier cociente así en una suma de ladrillos elementales $\frac{c}{(X - a)^k}$. Más allá de su interés algebraico, es la máquina estándar para integrar funciones racionales ([Capítulo 15](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/15-integracion-en-un-segmento#ch-b1-integration)) y para sumar ciertas series ([Capítulo 17](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/17-series-numericas#ch-b1-series)).

## 9.1 El cuerpo $K(X)$

**Definición 9.1.**

Una *fracción racional* sobre $K$ ($= \R$ o $\C$) es un cociente $F = \frac{A}{B}$ con $A, B \in K[X]$, $B \neq 0$; dos cocientes $\frac AB$ y $\frac{A'}{B'}$ se identifican cuando $AB' = A'B$. Toda fracción tiene una *forma irreducible* con $\gcd(A, B) = 1$, única salvo constantes. Con las operaciones naturales, el [conjunto](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-sets) $K(X)$ de las fracciones racionales es un [cuerpo](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/7-estructuras-algebraicas#def-b1-structures-field).

Los *polos* de $F$ (en forma irreducible) son las raíces de $B$; el *orden* de un polo es su [multiplicidad](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-derivative) como raíz de $B$. El *grado* de $F$ es $\deg F = \deg A - \deg B \in \Z \cup \{-\infty\}$.

**Ejemplo 9.2 (Leer polos, órdenes y grado).**

Sea $F = \dfrac{X^3 - X}{X^4 - 2X^3 + X^2}$. Factorícense las dos capas: numerador $X(X-1)(X+1)$, denominador $X^2(X-1)^2$; cancélese el factor común $X(X-1)$:

$$
F = \frac{X + 1}{X(X - 1)} \quad\text{(reduced form).}
$$

[Polos](#def-b1-fractions-field): $0$ y $1$, los dos *simples* — los órdenes se leen en el denominador reducido, así que las aparentes raíces dobles del original son irrelevantes. Grado: $\deg F = 1 - 2 = -1$, visible asintóticamente ($xF(x) \to 1$ cuando $x \to \infty$). El grado se comporta como el grado polinómico ($\deg FG = \deg F + \deg G$, $\deg(F + G) \leq \max$), regla contable que se usa constantemente en las cazas de coeficientes de más abajo: cada argumento del tipo «límite de $xF(x)$» es un recuento de grados disfrazado.

**Proposición 9.3 (Parte entera).**

Todo $F = \frac AB \in K(X)$ se escribe de manera única $F = E + \frac RB$ con $E \in K[X]$ (la *parte entera*, o parte polinómica, de $F$) y $\deg R < \deg B$. Se tiene $E \neq 0$ si y solo si $\deg F \geq 0$.

**Demostración.** División euclídea $A = BE + R$ ([Teorema 8.3](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#thm-b1-poly-division)), dividida entre $B$. Unicidad: si $E + \frac RB = E' + \frac{R'}{B}$, entonces $(E - E')B = R' - R$ con $\deg(R' - R) < \deg B$, lo que obliga a $E = E'$ y después a $R = R'$. ∎

**Ejemplo 9.4 (Redúzcase primero, divídase después).**

Hállese la parte entera de $F = \dfrac{X^3 + 1}{X^2 - 1}$. Dividiendo a ciegas: $X^3 + 1 = (X^2 - 1)X + (X + 1)$, luego $F = X + \frac{X + 1}{X^2 - 1}$. Pero la fracción no era irreducible: $X^3 + 1 = (X + 1)(X^2 - X + 1)$ y $X^2 - 1 = (X+1)(X-1)$ comparten el factor $X + 1$, y

$$
F = \frac{X^2 - X + 1}{X - 1} = X + \frac{1}{X - 1} :
$$

la misma parte entera $X$, pero la parte fraccionaria se reduce a un único ladrillo, y el «[polo](#def-b1-fractions-field)» en $-1$ nunca fue un [polo](#def-b1-fractions-field). Redúzcase siempre a forma irreducible antes de cazar [polos](#def-b1-fractions-field): los [polos](#def-b1-fractions-field) de $F$ son las raíces del denominador *reducido*. (La parte entera es insensible a la simplificación, como garantiza la unicidad de la [Proposición 9.3](#prop-b1-fractions-integerpart).)

## 9.2 Descomposición en fracciones simples sobre $\C$

**Teorema 9.5 (Descomposición sobre C\CC).**

Sea $F = \frac AB \in \C(X)$ en forma irreducible, con $B = c\,(X - a_1)^{m_1} \cdots (X - a_r)^{m_r}$. Entonces $F$ es, de manera única,

$$
F = E + \sum_{i=1}^{r} \sum_{k=1}^{m_i}
\frac{c_{i,k}}{(X - a_i)^k},
\qquad E \in \C[X],\ c_{i,k} \in \C ,
$$

siendo $E$ la parte entera de $F$.

**Demostración.** Por la [Proposición 9.3](#prop-b1-fractions-integerpart) podemos suponer $\deg A < \deg B$ y demostrar la descomposición en suma con $E = 0$.

*Separación de los [polos](#def-b1-fractions-field).* Escríbase $B = (X - a_1)^{m_1} B_1$ con $B_1(a_1) \neq 0$. Los [polinomios](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) $(X-a_1)^{m_1}$ y $B_1$ son [coprimos](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/6-aritmetica-de-los-enteros#cor-b1-arith-bezout) (no tienen raíces comunes), luego, por Bézout en $\C[X]$ (véase la observación del [Capítulo 8](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#ch-b1-poly)), existen $U_0, V_0$ con $U_0 (X-a_1)^{m_1} + V_0 B_1 = 1$; multiplicando por $A$ y poniendo $U = AU_0$, $V = AV_0$, y dividiendo después entre $B$:

$$
\frac AB = \frac{V}{(X - a_1)^{m_1}} + \frac{U}{B_1} .
$$

Las condiciones de grado se pueden imponer: divídase $V$ entre $(X-a_1)^{m_1}$, digamos $V = (X-a_1)^{m_1}Q + V_1$ con $\deg V_1 < m_1$, y absórbase el cociente en el segundo término ($U_1 = U + QB_1$):

$$
\frac AB = \frac{V_1}{(X - a_1)^{m_1}} + \frac{U_1}{B_1},
\qquad \deg V_1 < m_1 ;
$$

comparando grados ($\deg A < \deg B$ y $\deg V_1 < m_1$) se obliga también a $\deg U_1 < \deg B_1$. Iterando sobre $\frac{U_1}{B_1}$, [polo](#def-b1-fractions-field) tras [polo](#def-b1-fractions-field), todo se reduce al caso de un solo [polo](#def-b1-fractions-field) de más abajo.

*Un solo [polo](#def-b1-fractions-field).* Para $\frac{A}{(X-a)^m}$ con $\deg A < m$: desarróllese $A$ en potencias de $(X - a)$, $A = \sum_{j=0}^{m-1} \alpha_j (X - a)^j$ (desarrollo de Taylor de un [polinomio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def), como en la demostración de la [Proposición 8.11](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#prop-b1-poly-multiplicity)); al dividir aparecen exactamente los ladrillos $\frac{\alpha_j}{(X-a)^{m-j}}$. En concreto, para $\frac{X^2 + 1}{(X+2)^3}$: sustituyendo $X = Y - 2$,

$$
X^2 + 1 = (Y - 2)^2 + 1 = Y^2 - 4Y + 5 ,
\qquad\text{so}\qquad
\frac{X^2+1}{(X+2)^3} = \frac1{Y} - \frac4{Y^2} + \frac5{Y^3}
$$

con $Y = X + 2$: los tres ladrillos aparecen con la mera división del desarrollo desplazado — la vía más rápida siempre que haya un único [polo](#def-b1-fractions-field) de orden alto, y la recomendada para el [Ejercicio 9.3](#exo-b1-fractions-3).

*Unicidad.* Supóngase que dos descomposiciones coinciden; su diferencia es una identidad $0 = \sum_{i,k} \frac{d_{i,k}}{(X -
a_i)^k}$. Multiplíquese todo por $(X - a_1)^{m_1}$: todo término adquiere un factor que se anula en $a_1$ *salvo* el de $i = 1$, $k = m_1$, cuyo coeficiente queda como $d_{1,m_1}$ más términos con al menos un factor $(X - a_1)$. Evaluando en $a_1$ (es lícito: tras la multiplicación ya no queda [polo](#def-b1-fractions-field) en $a_1$) se obtiene $d_{1,m_1} = 0$. Eliminado el coeficiente superior, repítase con $(X - a_1)^{m_1 - 1}$ y así sucesivamente hasta $k = 1$; pásese después al [polo](#def-b1-fractions-field) siguiente. Todos los $d_{i,k}$ se anulan: la descomposición es única. ∎

**Método 9.6 (Cálculo de los coeficientes).**

En la práctica, evítese Bézout y combínense:

1. *tapado para la potencia más alta*: el coeficiente de $\frac{1}{(X-a)^m}$ (con $m$ el orden del [polo](#def-b1-fractions-field) $a$) es $$c_{a,m} = \Bigl[\,(X - a)^m F\,\Bigr]_{X = a};$$ y, para un [polo](#def-b1-fractions-field) *simple* de $F = \frac AB$, vale $\frac{A(a)}{B'(a)}$;
2. *evaluaciones* en puntos cómodos y *límites* de $xF(x)$ cuando $x \to \infty$ , para reunir relaciones lineales entre los coeficientes restantes;
3. *simetrías* de paridad o de conjugación, cuando las haya, para reducir el trabajo a la mitad.

**Observación 9.7 (Errores frecuentes con las fracciones simples).**

1. *Saltarse la parte entera.* La descomposición en ladrillos se aplica a fracciones de grado $< 0$ ; cuando $\deg A \geq \deg B$ , divídase primero ( [Proposición 9.3](#prop-b1-fractions-integerpart) ), o la caza de coeficientes producirá contradicciones.
2. *Usar el tapado fuera de su alcance.* Multiplicar por $(X - a)^k$ y evaluar en $a$ da el coeficiente solo para $k = m$ , el orden *completo* del [polo](#def-b1-fractions-field) ; los coeficientes de orden menor exigen otras relaciones (límites, evaluaciones) — véase el [Ejemplo 9.9](#ex-b1-fractions-multiple) .
3. *Olvidarse de reducir.* Los [polos](#def-b1-fractions-field) se leen en la forma *irreducible* ; un factor común entre numerador y denominador crea [polos](#def-b1-fractions-field) fantasma ( [Ejemplo 9.4](#ex-b1-fractions-integerpart) ).
4. *Ladrillos de forma equivocada sobre $\R$.* Sobre un factor cuadrático irreducible, los numeradores son *afines* ( $\alpha X + \beta$ ), no constantes; escribir solo $\frac{c}{X^2 + 1}$ pierde soluciones — las formas correctas las dicta el [Teorema 9.10](#thm-b1-fractions-real) , nunca la improvisación.

**Demostración de la fórmula del polo simple.** Cerca de un [polo](#def-b1-fractions-field) simple $a$: $B = (X - a) Q$ con $Q(a) \neq 0$, y $B' = Q + (X - a) Q'$, luego $B'(a) = Q(a)$. El valor por tapado es $\frac{A(a)}{Q(a)} = \frac{A(a)}{B'(a)}$. ∎

**Ejemplo 9.8.**

Descompóngase $F = \dfrac{1}{X(X-1)(X-2)}$. Tres [polos](#def-b1-fractions-field) simples; tapado en cada uno:

$$
c_0 = \frac{1}{(0-1)(0-2)} = \frac12,
\quad
c_1 = \frac{1}{1 \times (1 - 2)} = -1,
\quad
c_2 = \frac{1}{2 \times 1} = \frac12,
$$

luego $F = \dfrac{1/2}{X} - \dfrac{1}{X-1} + \dfrac{1/2}{X-2}$. *Comprobación en $X = 3$:* directamente, $F(3) = \frac{1}{3\cdot2\cdot1} = \frac16$; y con la descomposición, $\frac{1/2}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1/2}{1} = \frac16 - \frac12 + \frac12 = \frac16$.

**Ejemplo 9.9 (Polo múltiple).**

Descompóngase $F = \dfrac{X}{(X-1)^2 (X+1)}$. Forma: $\frac{a}{(X-1)^2} + \frac{b}{X-1} + \frac{c}{X+1}$.

- Tapado en el [polo](#def-b1-fractions-field) doble: $a = \bigl[\frac{X}{X+1}\bigr]_{X=1}  = \frac12$ .
- Tapado en $-1$ : $c = \bigl[\frac{X}{(X-1)^2}\bigr]_{X=-1} =  -\frac14$ .
- Límite de $xF(x)$ en $\infty$ : $0 = b + c$ , luego $b = \frac14$ .

$$
F = \frac{1/2}{(X-1)^2} + \frac{1/4}{X-1} - \frac{1/4}{X+1} .
$$

*Comprobación en $X = 0$:* $F(0) = 0$ y $\frac12 - \frac14 - \frac14 = 0$.

## 9.3 Descomposición sobre $\R$

**Teorema 9.10 (Descomposición sobre R\RR).**

Sea $F \in \R(X)$ en forma irreducible con denominador

$$
B = c \prod_i (X - a_i)^{m_i} \prod_j (X^2 + p_j X + q_j)^{n_j}
\qquad (p_j^2 - 4q_j < 0).
$$

Entonces $F$ se descompone de manera única como su parte entera más términos

$$
\frac{c_{i,k}}{(X - a_i)^k} \quad (1 \leq k \leq m_i),
\qquad
\frac{\alpha_{j,l}\, X + \beta_{j,l}}{(X^2 + p_j X + q_j)^{l}}
\quad (1 \leq l \leq n_j),
$$

con coeficientes reales.

**Demostración.** Descompóngase sobre $\C$ ([Teorema 9.5](#thm-b1-fractions-complex)). Como $F$ es real, el coeficiente sobre el [polo](#def-b1-fractions-field) $\conj a$ (en cada orden) es el [conjugado](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/3-numeros-complejos#def-b1-complex-field) del coeficiente sobre $a$ (aplíquese la conjugación a la descomposición e invóquese la unicidad). Agrúpese cada par [conjugado](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/3-numeros-complejos#def-b1-complex-field):

$$
\frac{c}{(X - z)^l} + \frac{\conj c}{(X - \conj z)^l}
= \frac{c\,(X - \conj z)^l + \conj c\,(X - z)^l}{\bigl(X^2 - 2\Re(z)X
+ \abs z^2\bigr)^{l}},
$$

cuyo numerador es su propio [conjugado](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/3-numeros-complejos#def-b1-complex-field), luego es real, de grado $\leq l$; separar múltiplos del factor cuadrático real lo baja a grado $\leq 1$ en cada nivel $l$ (una pequeña inducción descendente). Los [polos](#def-b1-fractions-field) reales conservan sus coeficientes reales (la conjugación los deja fijos). La unicidad se sigue de la unicidad sobre $\C$. ∎

**Ejemplo 9.11 (Ver el emparejamiento de conjugados).**

El mecanismo de la demostración, en el caso más pequeño: sobre $\C$, los [polos](#def-b1-fractions-field) de $\frac1{X^2+1}$ son $\pm\iu$, con coeficientes por tapado $\frac1{2\iu}$ en $\iu$ y $\frac1{-2\iu}$ en $-\iu$ — [conjugados](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/3-numeros-complejos#def-b1-complex-field) el uno del otro, como predice el teorema:

$$
\frac{1}{X^2 + 1}
= \frac{1/(2\iu)}{X - \iu} - \frac{1/(2\iu)}{X + \iu} .
$$

Recombinando sobre el denominador común:

$$
\frac{1}{2\iu}\cdot\frac{(X + \iu) - (X - \iu)}{X^2 + 1}
= \frac{1}{2\iu}\cdot\frac{2\iu}{X^2 + 1} = \frac{1}{X^2+1} :
$$

las partes imaginarias se cancelan y el ladrillo real reaparece intacto. Para integrandos reales normalmente no se sale nunca de $\R$ — pero, al evaluar *sumas* en puntos complejos (como hace el problema del fin de semana con las [raíces de la unidad](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/3-numeros-complejos#def-b1-complex-unity)), los ladrillos complejos son la moneda natural, y este emparejamiento es el tipo de cambio entre las dos descomposiciones.

**Ejemplo 9.12.**

Descompóngase $F = \dfrac{4}{(X^2+1)(X-1)^2}$ sobre $\R$. Forma: $\frac{aX + b}{X^2 + 1} + \frac{c}{(X-1)^2} + \frac{d}{X - 1}$. Tapado en el [polo](#def-b1-fractions-field) doble: $c = \bigl[\frac{4}{X^2+1}\bigr]_{X=1} = 2$. Tapado en el [polo](#def-b1-fractions-field) complejo $\iu$ (el numerador sobre $X^2 + 1$ evaluado con la descomposición compleja, o directamente): multiplíquese por $X^2 + 1$ y hágase $X = \iu$:

$$
a\iu + b = \frac{4}{(\iu - 1)^2} = \frac{4}{-2\iu} = 2\iu ,
$$

luego $a = 2$, $b = 0$. Límite de $xF(x)$ en el infinito: $0 = a + d$, luego $d = -2$. Por tanto

$$
F = \frac{2X}{X^2+1} + \frac{2}{(X-1)^2} - \frac{2}{X-1} .
$$

*Comprobación en $X = 0$:* $F(0) = 4$ y $0 + 2 + 2 = 4$.

**Ejemplo 9.13 (Un denominador cúbico, de principio a fin).**

Descompóngase $F = \dfrac{1}{X^3 + 1}$ sobre $\R$. Factorícese primero: $X^3 + 1 = (X + 1)(X^2 - X + 1)$, teniendo la cuadrática discriminante $-3 < 0$. Forma: $\frac{a}{X+1} + \frac{bX + c}{X^2 - X + 1}$. Tapado en el [polo](#def-b1-fractions-field) simple $-1$: $a = \bigl[\frac1{X^2 - X + 1}\bigr]_{X=-1} =
\frac13$. Límite de $xF(x)$ en el infinito: $0 = a + b$, luego $b = -\frac13$. Evaluación en $X = 0$: $1 = a + c$, luego $c = \frac23$. Por tanto

$$
\frac{1}{X^3+1} = \frac13\Bigl(\frac{1}{X+1}
+ \frac{-X + 2}{X^2 - X + 1}\Bigr) ,
$$

confirmado en $X = 1$: el miembro izquierdo vale $\frac12$ y el derecho $\frac13\bigl(\frac12 + 1\bigr) = \frac12$. Obsérvese la economía: tres incógnitas, tres hechos lineales baratos (un tapado, un límite, una evaluación) y ningún desarrollo — el flujo de trabajo del [Método 9.6](#met-b1-fractions-compute) en estado puro.

**Observación 9.14 (Para qué sirve).**

Una vez descompuesta, una función racional se integra término a término: los ladrillos $\frac{1}{(x-a)^k}$ tienen primitivas elementales, y los ladrillos $\frac{\alpha x + \beta}{(x^2 + px + q)^l}$ se reducen a $\ln$ y $\arctan$ ([Capítulo 15](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/15-integracion-en-un-segmento#ch-b1-integration)). Las sumas telescópicas son la otra [aplicación](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-map) estándar ([Ejercicio 9.8](#exo-b1-fractions-8)).

**Observación 9.15 (Dónde se usa este capítulo).**

Las fracciones simples son ante todo un paso de *preprocesamiento*: el capítulo de integración ([Capítulo 15](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/15-integracion-en-un-segmento#ch-b1-integration)) pasa todo integrando racional por el [Teorema 9.10](#thm-b1-fractions-real) antes de integrar, y el capítulo de series ([Capítulo 17](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/17-series-numericas#ch-b1-series)) telescopa términos racionales exactamente como en el [Ejercicio 9.8](#exo-b1-fractions-8) y en el problema del fin de semana — que lleva la técnica hasta $\sum 1/k^2 = \pi^2/6$. La derivada logarítmica $P'/P = \sum m_i/(X - a_i)$ ([Ejercicio 8.11](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#exo-b1-poly-11)) reaparece siempre que se estudia la localización de las raíces. Más allá de este volumen, la descomposición de $1/\chi(X)$ para un [polinomio característico](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/5-ecuaciones-diferenciales-lineales#def-b1-diffeq-linear2) $\chi$ sostiene el cálculo de potencias de matrices y de transformadas de Laplace en el volumen del segundo año: los ladrillos $\frac{c}{(X - a)^k}$ son la sombra algebraica de las soluciones $t^{k-1}\eu^{at}$ del [Capítulo 5](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/5-ecuaciones-diferenciales-lineales#ch-b1-diffeq).

![La función F(x) = 1x+1 + 1x + 1x-1, del tipo del : estrictamente decreciente en cada intervalo entre sus polos -1, 0, 1 (a trazos). Cada nivel horizontal > 0 se cruza exactamente una vez por intervalo a la derecha del primer polo (puntos marcados): las soluciones de F = se entrelazan con los polos.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-fractions/fig-0d4a101aa56d.svg)

*La función $F(x) = \frac1{x+1} + \frac1x + \frac1{x-1}$, del tipo del [Ejercicio 9.12](#exo-b1-fractions-12): estrictamente decreciente en cada intervalo entre sus [polos](#def-b1-fractions-field) $-1, 0, 1$ (a trazos). Cada nivel horizontal $\lambda > 0$ se cruza exactamente una vez por intervalo a la derecha del primer [polo](#def-b1-fractions-field) (puntos marcados): las soluciones de $F = \lambda$ se entrelazan con los [polos](#def-b1-fractions-field).*

## 9.4 Ejercicios

**Ejercicio 9.1 ★.**

Descompóngase sobre $\R$: $\dfrac{1}{X^2 - 1}$; $\;\dfrac{X}{X^2 - 3X + 2}$; $\;\dfrac{X^2 + 1}{X(X-1)}$ *(ojo con la parte entera)*.

**Solución de Ejercicio 9.1.**

$\dfrac{1}{X^2 - 1}$: [polos](#def-b1-fractions-field) simples $\pm 1$; por tapado: $\dfrac{1/2}{X-1} - \dfrac{1/2}{X+1}$.

$\dfrac{X}{X^2 - 3X + 2} = \dfrac{X}{(X-1)(X-2)}$: el tapado da $\frac{1}{1-2} = -1$ en $1$ y $\frac{2}{2-1} = 2$ en $2$: $\dfrac{-1}{X-1} + \dfrac{2}{X-2}$.

$\dfrac{X^2+1}{X(X-1)}$: el grado es $0$, así que hay parte entera: dividiendo, $X^2 + 1 = (X^2 - X) + (X + 1)$, luego $F = 1 + \frac{X+1}{X(X-1)}$. Tapado sobre el resto: $\frac{1}{-1} = -1$ en $0$ y $\frac{2}{1} = 2$ en $1$:

$$
F = 1 - \frac{1}{X} + \frac{2}{X-1} .
$$

**Ejercicio 9.2 ★.**

Descompóngase sobre $\R$: $\dfrac{1}{X(X^2 + 1)}$ y $\dfrac{X^3}{X^2 + X + 1}$.

**Solución de Ejercicio 9.2.**

$\dfrac{1}{X(X^2+1)}$: forma $\frac aX + \frac{bX + c}{X^2 + 1}$. Tapado en $0$: $a = 1$. Límite de $xF$: $0 = a + b$, luego $b = -1$. Evaluación en $X = 1$: $\frac12 = 1 + \frac{c - 1}{2}$, luego $c = 0$:

$$
\frac{1}{X(X^2+1)} = \frac 1X - \frac{X}{X^2+1} .
$$

$\dfrac{X^3}{X^2+X+1}$: división: $X^3 = (X^2+X+1)(X - 1) + 1$, luego

$$
\frac{X^3}{X^2+X+1} = X - 1 + \frac{1}{X^2 + X + 1} ,
$$

ya en forma real descompuesta (la cuadrática tiene discriminante negativo).

**Ejercicio 9.3 ★.**

Descompóngase $\dfrac{1}{X^2(X - 1)}$ y $\dfrac{X + 1}{(X - 1)^3}$ *(para la segunda, sustitúyase $Y = X - 1$)*.

**Solución de Ejercicio 9.3.**

$\dfrac{1}{X^2(X-1)}$: forma $\frac{a}{X^2} + \frac bX +
\frac{c}{X-1}$. Tapado en el [polo](#def-b1-fractions-field) doble $0$: $a = \bigl[\frac{1}{X-1}\bigr]_{0} = -1$. Tapado en $1$: $c = 1$. Límite de $xF$: $0 = b + c$, luego $b = -1$:

$$
\frac{1}{X^2(X-1)} = -\frac{1}{X^2} - \frac1X + \frac{1}{X-1} .
$$

$\dfrac{X+1}{(X-1)^3}$: con $Y = X - 1$, el numerador es $Y + 2$:

$$
\frac{Y + 2}{Y^3} = \frac{1}{Y^2} + \frac{2}{Y^3}
= \frac{1}{(X-1)^2} + \frac{2}{(X-1)^3} .
$$

**Ejercicio 9.4 ★★.**

Descompóngase sobre $\C$ y después sobre $\R$: $\dfrac{1}{X^4 - 1}$.

**Solución de Ejercicio 9.4.**

Los [polos](#def-b1-fractions-field) son las raíces cuartas de la unidad $1, \iu, -1, -\iu$, todos simples. Fórmula del [polo](#def-b1-fractions-field) simple con $B' = 4X^3$: el coeficiente en $a$ es $\frac{1}{4a^3} = \frac{a}{4a^4} = \frac a4$ (usando $a^4 = 1$). Así pues, sobre $\C$:

$$
\frac{1}{X^4 - 1}
= \frac{1/4}{X - 1} - \frac{1/4}{X + 1}
+ \frac{\iu/4}{X - \iu} - \frac{\iu/4}{X + \iu} .
$$

Agrupando el par [conjugado](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/3-numeros-complejos#def-b1-complex-field) (denominador común $X^2 + 1$): $\frac{\iu}{4}\bigl(\frac{1}{X-\iu} - \frac{1}{X+\iu}\bigr) =
\frac{\iu}{4}\cdot\frac{2\iu}{X^2+1} = \frac{-1/2}{X^2+1}$. Sobre $\R$:

$$
\frac{1}{X^4 - 1}
= \frac{1/4}{X-1} - \frac{1/4}{X+1} - \frac{1/2}{X^2 + 1} .
$$

*Comprobación en $X = 0$:* $-1 = -\frac14 - \frac14 - \frac12$.

**Ejercicio 9.5 ★★.**

Descompóngase sobre $\R$: $\dfrac{X^2}{(X^2 + 1)^2}$, y dedúzcase una primitiva de $x \mapsto \dfrac{x^2}{(x^2+1)^2}$ sabiendo que $\int \frac{\dd x}{(x^2+1)^2} = \frac12\bigl(\arctan x +
\frac{x}{x^2+1}\bigr) + C$.

**Solución de Ejercicio 9.5.**

$\dfrac{X^2}{(X^2+1)^2} = \dfrac{(X^2 + 1) - 1}{(X^2+1)^2} =
\dfrac{1}{X^2+1} - \dfrac{1}{(X^2+1)^2}$.

De ahí una primitiva:

$$
\int \frac{x^2\,\dd x}{(x^2+1)^2}
= \arctan x - \frac12\Bigl(\arctan x + \frac{x}{x^2+1}\Bigr) + C
= \frac12\arctan x - \frac{x}{2(x^2+1)} + C .
$$

**Ejercicio 9.6 ★★.**

Para $n \in \N^*$, descompóngase $F_n = \dfrac{n!}{X(X+1)\cdots(X+n)}$ *([polos](#def-b1-fractions-field) simples en $0, -1, \dots, -n$; úsese la fórmula del tapado y reconózcanse [coeficientes binomiales](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/2-combinatoria#def-b1-counting-objects))*.

**Solución de Ejercicio 9.6.**

Los [polos](#def-b1-fractions-field) $0, -1, \dots, -n$ son simples. Tapado en $-k$:

$$
c_k = \frac{n!}{\prod_{j \neq k} (-k + j)}
= \frac{n!}{\bigl(\prod_{j=0}^{k-1}(j - k)\bigr)
\bigl(\prod_{j=k+1}^{n}(j-k)\bigr)}
= \frac{n!}{(-1)^k k!\,(n-k)!} = (-1)^k \binom nk .
$$

Luego

$$
\frac{n!}{X(X+1)\cdots(X+n)}
= \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k \binom nk}{X + k} .
$$

(Comprobación para $n = 1$: $\frac{1}{X(X+1)} = \frac1X -
\frac{1}{X+1}$.)

**Ejercicio 9.7 ★★.**

Usando la identidad del [Ejercicio 8.11](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#exo-b1-poly-11) para $P = X^n - 1$, demuéstrese que

$$
\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{X - \omega^k} = \frac{n X^{n-1}}{X^n - 1},
\qquad \omega = \eu^{2\iu\pi/n},
$$

y evalúense los dos miembros en $X = 2$ para $n = 4$ como comprobación.

**Solución de Ejercicio 9.7.**

$P = X^n - 1$ tiene las $n$ raíces simples $\omega^k$ ([Teorema 3.14](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/3-numeros-complejos#thm-b1-complex-roots)), así que la identidad de la derivada logarítmica del [Ejercicio 8.11](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#exo-b1-poly-11) dice

$$
\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{X - \omega^k}
= \frac{P'(X)}{P(X)} = \frac{n X^{n-1}}{X^n - 1} .
$$

En $X = 2$, $n = 4$: el miembro derecho $= \frac{4 \times 8}{15} = \frac{32}{15}$. El izquierdo: $\frac{1}{2-1} + \frac{1}{2+1} + \frac{1}{2 - \iu} + \frac{1}{2 + \iu}
= 1 + \frac13 + \frac{4}{5} = \frac{15 + 5 + 12}{15} = \frac{32}{15}$, usando $\frac{1}{2-\iu} + \frac{1}{2+\iu} = \frac{4}{5}$.

**Ejercicio 9.8 ★★.**

Descompóngase $\dfrac{1}{k(k+1)(k+2)}$ y calcúlense

$$
S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)},
\qquad\text{y después}\qquad
\lim_{n \to \infty} S_n .
$$

**Solución de Ejercicio 9.8.**

Tapado: $\dfrac{1}{k(k+1)(k+2)} = \dfrac{1/2}{k} - \dfrac{1}{k+1} +
\dfrac{1/2}{k+2}$. Reescríbase como diferencia telescópica:

$$
\frac{1}{k(k+1)(k+2)}
= \frac12\Bigl(\frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)}\Bigr),
$$

(desarróllese para comprobarlo — o réstense las dos descomposiciones). Sumando:

$$
S_n = \frac12\Bigl(\frac{1}{1 \times 2} - \frac{1}{(n+1)(n+2)}\Bigr)
= \frac14 - \frac{1}{2(n+1)(n+2)}
\xrightarrow[n \to \infty]{} \frac14 .
$$

**Ejercicio 9.9 ★★★.**

Sea $P \in \R[X]$ [mónico](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) de grado $n$ con $n$ raíces reales distintas $x_1 < \dots < x_n$. Demuéstrese que

$$
\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{P'(x_i)} = 0 \quad (n \geq 2),
\qquad
\sum_{i=1}^{n} \frac{x_i^{\,n-1}}{P'(x_i)} = 1 .
$$

*Indicación: descompóngase $\frac{X^m}{P}$ para $m \leq n - 1$ y obsérvese el decaimiento de los coeficientes en el infinito — o úsese la [interpolación de Lagrange](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#thm-b1-poly-lagrange) ([Teorema 8.23](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#thm-b1-poly-lagrange)) del monomio $X^m$ en los nodos $x_i$.*

**Solución de Ejercicio 9.9.**

Descompóngase, para $0 \leq m \leq n - 1$, la fracción $\frac{X^m}{P}$ (de grado $m - n \leq -1$, con [polos](#def-b1-fractions-field) simples): la fórmula del [polo](#def-b1-fractions-field) simple da

$$
\frac{X^m}{P} = \sum_{i=1}^{n} \frac{x_i^m / P'(x_i)}{X - x_i} .
$$

Multiplíquese por $X$ y hágase $X \to +\infty$: el miembro izquierdo tiende al límite de $X^{m+1}/P$, que es $0$ si $m \leq n - 2$ y $1$ si $m = n - 1$ ($P$ es [mónico](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) de grado $n$); el derecho tiende a $\sum_i \frac{x_i^m}{P'(x_i)}$. Por tanto

$$
\sum_{i=1}^{n} \frac{x_i^{m}}{P'(x_i)} =
\begin{cases}
0 & \text{for } 0 \leq m \leq n-2,\\
1 & \text{for } m = n - 1,
\end{cases}
$$

que contiene las dos identidades anunciadas ($m = 0$ exige $n \geq 2$). (Interpretación con el [Teorema 8.23](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#thm-b1-poly-lagrange): esas sumas son los coeficientes principales de los interpoladores de Lagrange de $X^m$, e interpolar un [polinomio](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) de grado $\leq n-1$ en $n$ puntos lo reproduce exactamente.)

**Ejercicio 9.10 ★★.**

Descompóngase $\dfrac{1}{X(X+1)^2}$ sobre $\R$. Admitiendo el valor $\sum_{k \geq 1} \frac1{k^2} = \frac{\pi^2}6$ (demostrado en el problema del fin de semana de este capítulo), dedúzcase

$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)^2} = 2 - \frac{\pi^2}{6} .
$$

**Solución de Ejercicio 9.10.**

Forma $\frac aX + \frac b{X+1} + \frac c{(X+1)^2}$. Tapado en $0$: $a = 1$; tapado en el [polo](#def-b1-fractions-field) doble: $c = \bigl[\frac1X \bigr]_{X=-1} = -1$; límite de $xF(x)$ en el infinito: $0 = a + b$, luego $b = -1$:

$$
\frac{1}{X(X+1)^2} = \frac1X - \frac1{X+1} - \frac1{(X+1)^2} .
$$

Sumando para $n = 1, \dots, N$: los dos primeros ladrillos telescopan a $1 - \frac1{N+1}$, y el tercero aporta $-\sum_{k=2}^{N+1}\frac1{k^2}$. Haciendo $N \to \infty$ y usando $\sum_{k\geq1}\frac1{k^2} = \frac{\pi^2}6$:

$$
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)^2}
= 1 - \Bigl(\frac{\pi^2}6 - 1\Bigr) = 2 - \frac{\pi^2}6
\approx 0.355 .
$$

**Ejercicio 9.11 ★★.**

Descompóngase sobre $\R$: $\dfrac{1}{(X^2+1)(X^2+4)}$, y después $\dfrac{X^2}{(X^2+1)(X^2+4)}$. *Indicación: los dos denominadores son [polinomios](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#def-b1-poly-def) en $X^2$: descompóngase antes $\frac1{(Y+1)(Y+4)}$.*

**Solución de Ejercicio 9.11.**

En la variable $Y$: $\frac1{(Y+1)(Y+4)} = \frac{1/3}{Y+1} -
\frac{1/3}{Y+4}$ (tapado en $-1$ y en $-4$), luego

$$
\frac{1}{(X^2+1)(X^2+4)}
= \frac13\,\frac1{X^2+1} - \frac13\,\frac1{X^2+4} .
$$

Análogamente, $\frac{Y}{(Y+1)(Y+4)} = \frac{-1/3}{Y+1} +
\frac{4/3}{Y+4}$, luego

$$
\frac{X^2}{(X^2+1)(X^2+4)}
= -\frac13\,\frac1{X^2+1} + \frac43\,\frac1{X^2+4} .
$$

(Comprobación en $X = 0$: $0 = \frac13(-1 + 1)$.) Estas son ya las descomposiciones reales: los numeradores sobre las cuadráticas irreducibles resultan ser constantes.

**Ejercicio 9.12 ★★★.**

(Ecuaciones seculares) Sea $F = \sum_{i=1}^{r} \frac{c_i}{X - p_i}$ con $p_1 < p_2 < \dots < p_r$ reales y todos los $c_i > 0$.

1. Véase que $F$ es estrictamente decreciente en cada intervalo de su dominio, y dense sus límites en $\pm\infty$ y a los dos lados de cada [polo](#def-b1-fractions-field) .
2. Dedúzcase que, para todo $\lambda > 0$ , la ecuación $F(x) = \lambda$ tiene exactamente $r$ soluciones reales, una en cada intervalo $\intoo{p_i}{p_{i+1}}$ y otra más allá de $p_r$ . (Ecuaciones así gobiernan las perturbaciones de valores propios; el teorema del valor intermedio se usa aquí al nivel del volumen anterior y se demuestra en el [Capítulo 13](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/13-limites-y-continuidad#ch-b1-continuity) .)

**Solución de Ejercicio 9.12.**

1. En cada intervalo que evite los [polos](#def-b1-fractions-field) , $F'(x) = -\sum_i \frac{c_i}{(x - p_i)^2} < 0$ : estrictamente decreciente. Cuando $x \to \pm\infty$ , todos los ladrillos tienden a $0$ : $F \to 0$ , por arriba en $+\infty$ (allí todos los ladrillos son positivos) y por abajo en $-\infty$ . Cuando $x \to p_i^+$ , el ladrillo $\frac{c_i}{x - p_i}$ se dispara a $+\infty$ y los demás quedan acotados: $F \to +\infty$ ; análogamente, $F \to -\infty$ cuando $x \to p_i^-$ .
2. Fíjese $\lambda > 0$ . En $\intoo{-\infty}{p_1}$ : $F$ decrece de $0^-$ a $-\infty$ , luego $F < 0 < \lambda$ : sin solución. En cada $\intoo{p_i}{p_{i+1}}$ ( $1 \leq i \leq r-1$ ): $F$ decrece de $+\infty$ a $-\infty$ , luego toma el valor $\lambda$ exactamente una vez (propiedad del valor intermedio más monotonía estricta). En $\intoo{p_r}{+\infty}$ : $F$ decrece de $+\infty$ a $0^+$ , de nuevo exactamente una solución. En total: exactamente $r$ soluciones, entrelazadas con los [polos](#def-b1-fractions-field) .

## 9.5 Problema: las fracciones simples como motor

**Problema 9.1.**

La descomposición en fracciones simples parece contabilidad; este problema muestra que es un motor. Alimentado con la fracción $\frac1{X(X+1)\cdots(X+k)}$, telescopa familias enteras de sumas en forma cerrada; alimentado con $\frac1{X^n - 1}$, produce identidades trigonométricas como

$$
\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{\sin^2\frac{k\pi}{n}} = \frac{n^2-1}{3} ;
$$

y, empujada un paso más, esa identidad exprime una de las fórmulas más célebres de las matemáticas, la de Euler:

$$
\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{k^2} = \frac{\pi^2}{6}
$$

— obtenida aquí sin nada más que el álgebra de este capítulo y la trigonometría anterior. En todo el problema, $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$; los límites de sucesiones se usan al nivel del volumen anterior (el [Capítulo 11](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/11-sucesiones#ch-b1-seq) los formaliza).

**Parte I — El telescopio.**

1. Descompóngase $\frac1{X(X+1)}$ y calcúlese exactamente $\sum_{n=1}^{N} \frac1{n(n+1)}$ ; conclúyase que la suma tiende a $1$ .
2. Lo mismo para $\frac1{X(X+2)}$ : véase que $\sum_{n=1}^{N} \frac1{n(n+2)} = \frac12\bigl(\frac32 -  \frac1{N+1} - \frac1{N+2}\bigr) \to \frac34$ . (Con un hueco sobreviven *dos* términos de borde en cada extremo.)
3. Formalícese el mecanismo: si $F(X) = G(X) - G(X+1)$ para alguna racional $G$ sin [polos](#def-b1-fractions-field) en $\intco1{+\infty}$ , entonces $\sum_{n=1}^N F(n) = G(1) - G(N+1)$ . Recupérese el valor $\frac14$ del [Ejercicio 9.8](#exo-b1-fractions-8) exhibiendo el testigo $G$ para $F = \frac1{X(X+1)(X+2)}$ .
4. Demuéstrese el telescopio factorial general: para $k \geq 1$, $$\frac{1}{X(X+1)\cdots(X+k)}  = \frac1k\biggl(\frac{1}{X(X+1)\cdots(X+k-1)}  - \frac{1}{(X+1)\cdots(X+k)}\biggr),$$ y dedúzcase $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)\cdots(n+k)}  = \frac{1}{k \cdot k!} .$$ Compruébese el caso $k = 2$ con la pregunta 3.
5. Evalúese la descomposición del [Ejercicio 9.6](#exo-b1-fractions-6) en puntos bien elegidos para demostrar $$\sum_{j=0}^{n}(-1)^j\binom nj\,\frac1{j+1}  = \frac1{n+1},  \qquad  \sum_{j=0}^{n}(-1)^j\binom nj\,\frac1{j+2}  = \frac1{(n+1)(n+2)} .$$

**Parte II — La fracción $1/(X^n - 1)$.**

6. Véase, con la fórmula del tapado, que $$\frac{1}{X^n - 1}  = \frac1n\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\omega^k}{X - \omega^k} .$$
7. Dos comprobaciones: verifíquese la fórmula directamente para $n = 2$ y véase que la suma de los $n$ coeficientes se anula para $n \geq 2$ — explíquese por qué tiene que ser así (considérese $xF(x)$ cuando $x \to \infty$ ).
8. Redúzcase de nuevo por tapado la identidad del [Ejercicio 9.7](#exo-b1-fractions-7) : $\frac{nX^{n-1}}{X^n-1} = \sum_k \frac1{X - \omega^k}$ .
9. Agrúpense los [polos](#def-b1-fractions-field) [conjugados](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/3-numeros-complejos#def-b1-complex-field) para demostrar la descomposición real: con $\theta_k = \frac{2k\pi}n$, $$\frac{\omega^k}{X - \omega^k} +  \frac{\omega^{n-k}}{X - \omega^{n-k}}  = \frac{2\cos\theta_k\,X - 2}  {X^2 - 2\cos\theta_k\,X + 1} ,$$ y escríbase la descomposición real completa de $\frac1{X^n-1}$ (distínganse $n$ impar y $n$ par).
10. Particularícese a $n = 4$ y compárese con el [Ejercicio 9.4](#exo-b1-fractions-4) .

**Parte III — Sumas trigonométricas y el $\pi^2/6$ de Euler.** Sea $P = 1 + X + \dots + X^{n-1}$, cuyas raíces son $\omega, \omega^2, \dots, \omega^{n-1}$ (todas simples).

11. Usando $\frac{P'}P = \sum_{k=1}^{n-1}\frac1{X - \omega^k}$ ([Ejercicio 8.11](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#exo-b1-poly-11)), demuéstrese $$\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{1 - \omega^k} = \frac{n-1}2 .$$
12. Demuéstrese que $\dfrac1{1 - \eu^{\iu\theta}} = \dfrac12 +  \dfrac\iu2\,\frac{\cos(\theta/2)}{\sin(\theta/2)}$ para $\theta \notin 2\pi\Z$ (factorización por el ángulo mitad, [Método 3.11](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/3-numeros-complejos#met-b1-complex-trig) ) y dedúzcase de la pregunta 11 que $\sum_{k=1}^{n-1} \frac{\cos(k\pi/n)}{\sin(k\pi/n)} = 0$ — visible también por la simetría $k \leftrightarrow n - k$ .
13. Derivando la identidad de la pregunta 11 (es decir, usando $\bigl(\frac{P'}P\bigr)' = \frac{P''}P -  \bigl(\frac{P'}P\bigr)^2$ evaluado en $X = 1$), demuéstrese $$\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{(1 - \omega^k)^2}  = \frac{(n-1)(5-n)}{12} .$$
14. Escribiendo $\cot t = \frac{\cos t}{\sin t}$, dedúzcanse de las preguntas 12–13 las dos formas cerradas $$\sum_{k=1}^{n-1}\cot^2\frac{k\pi}n = \frac{(n-1)(n-2)}3,  \qquad  \sum_{k=1}^{n-1}\frac1{\sin^2\frac{k\pi}n}  = \frac{n^2-1}3 .$$
15. Compruébense las dos fórmulas a mano para $n = 3$ y $n = 4$ .
16. Demuéstrense las desigualdades $\cot t < \frac1t <  \frac1{\sin t}$ para $t \in \intoo0{\frac\pi2}$ (a partir de $\sin t < t < \tan t$) y dedúzcase, para $n = 2m + 1$ y $1 \leq k \leq m$: $$\cot^2\frac{k\pi}n \;<\; \frac{n^2}{k^2\pi^2}  \;<\; \frac1{\sin^2\frac{k\pi}n} .$$
17. Súmense estas desigualdades para $k = 1, \dots, m$ (usando la simetría $k \leftrightarrow n - k$ para reducir a la mitad las fórmulas de la pregunta 14) y aplíquese el emparedado: $$\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{k^2} = \frac{\pi^2}6 .$$

**Parte IV — Ladrillos de orden superior.**

18. Elevando al cuadrado la descomposición de $\frac1{X^2-1}$ y redescomponiendo el término cruzado, demuéstrese $$\frac1{(X^2-1)^2}  = \frac14\Bigl(\frac1{(X-1)^2} + \frac1{(X+1)^2}\Bigr)  - \frac14\Bigl(\frac1{X-1} - \frac1{X+1}\Bigr),$$ y compruébese en $X = 0$.
19. Combínense la pregunta 18, el telescopio y el valor de Euler (pregunta 17) para demostrar $$\sum_{n=2}^{\infty}\frac1{(n^2-1)^2}  = \frac{\pi^2}{12} - \frac{11}{16} ,$$ y confírmese el valor numéricamente con tres decimales.
20. Derívese la identidad de la pregunta 8 para obtener una forma cerrada de $\sum_{k=0}^{n-1}\frac1{(X - \omega^k)^2}$ , y compruébese en $X = 2$ , $n = 2$ .
21. Demuéstrese que, para $k \geq 2$, $$\sum_{n=k}^{\infty}\frac{1}{\binom nk} = \frac{k}{k-1} .$$ *(Redúzcase a la pregunta 4 escribiendo $1/\binom nk$ con factoriales.)*
22. Para $k = 3$ , dese la suma parcial exacta $\sum_{n=3}^{N}\frac1{\binom n3}$ y su límite.

**Parte V — Síntesis.**

23. Como cálculo de cierre, escríbase la descomposición real completa de $\dfrac1{X^6 - 1}$ y compruébese en $X = 0$ .
24. ¿Dónde ha usado exactamente el problema: (i) la unicidad de la descomposición; (ii) las [raíces de la unidad](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/3-numeros-complejos#def-b1-complex-unity) del [Capítulo 3](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/3-numeros-complejos#ch-b1-complex) ; (iii) la derivada logarítmica del [Ejercicio 8.11](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#exo-b1-poly-11) ? Una frase para cada uno.
25. Síntesis, en un párrafo breve: una sola identidad algebraica — romper una fracción en ladrillos — ha generado sumas exactas, identidades trigonométricas y $\pi^2/6$ . Coméntese el reparto de tareas entre el álgebra (descomposiciones exactas, válidas en todas partes) y el análisis (límites, emparedados), y señálese dónde se industrializa cada hilo: telescopios y comparación en el [Capítulo 17](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/17-series-numericas#ch-b1-series) , integración de los ladrillos en el [Capítulo 15](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/15-integracion-en-un-segmento#ch-b1-integration) .

**Solución de Problema 9.1.**

**1.** Tapado: $\frac1{X(X+1)} = \frac1X - \frac1{X+1}$. La suma telescopa:

$$
\sum_{n=1}^{N}\Bigl(\frac1n - \frac1{n+1}\Bigr)
= 1 - \frac1{N+1} \longrightarrow 1 .
$$

**2.** $\frac1{X(X+2)} = \frac{1/2}X - \frac{1/2}{X+2}$. Al sumar, los términos $\frac1n$ sobreviven para $n = 1, 2$ y los términos $-\frac1{n+2}$ sobreviven para $n = N-1, N$:

$$
\sum_{n=1}^{N}\frac1{n(n+2)}
= \frac12\Bigl(1 + \frac12 - \frac1{N+1} - \frac1{N+2}\Bigr)
\longrightarrow \frac34 .
$$

**3.** Si $F(X) = G(X) - G(X+1)$, entonces $\sum_{n=1}^N F(n) = \sum_{n=1}^N\bigl(G(n) - G(n+1)\bigr) = G(1) -
G(N+1)$: todos los valores intermedios se cancelan por parejas. Para $F = \frac1{X(X+1)(X+2)}$, el testigo es $G(X) = \frac1{2X(X+1)}$:

$$
G(X) - G(X+1)
= \frac{(X+2) - X}{2X(X+1)(X+2)} = F(X) ,
$$

luego $\sum_{n=1}^N F(n) = \frac14 - \frac1{2(N+1)(N+2)} \to \frac14$, el valor del [Ejercicio 9.8](#exo-b1-fractions-8).

**4.** Póngase el miembro derecho sobre el denominador común $X(X+1)\cdots(X+k)$:

$$
\frac1k\cdot\frac{(X + k) - X}{X(X+1)\cdots(X+k)}
= \frac{1}{X(X+1)\cdots(X+k)} ,
$$

que es la identidad. Así pues, $F_k(X) = \frac1k\bigl(G_k(X) - G_k(X+1)\bigr)$ con $G_k(X) = \frac1{X(X+1)\cdots(X+k-1)}$, y el mecanismo de la pregunta 3 da

$$
\sum_{n=1}^{N}\frac1{n(n+1)\cdots(n+k)}
= \frac1k\Bigl(\frac1{k!} - G_k(N+1)\Bigr)
\longrightarrow \frac1{k\cdot k!} ,
$$

puesto que $G_k(1) = \frac1{k!}$ y $G_k(N+1) \to 0$. Para $k = 2$: $\frac1{2\cdot2} = \frac14$, que coincide con la pregunta 3.

**5.** El [Ejercicio 9.6](#exo-b1-fractions-6) da $\frac{n!}{X(X+1)\cdots(X+n)} = \sum_{j=0}^n
\frac{(-1)^j\binom nj}{X + j}$. Evalúese en $X = 1$: el miembro izquierdo es $\frac{n!}{(n+1)!} = \frac1{n+1}$ y el derecho, $\sum_j(-1)^j\binom nj\frac1{1+j}$: primera identidad. En $X = 2$: el izquierdo es $\frac{n!}{2\cdot3\cdots(n+2)} = \frac{n!\cdot1}{(n+2)!} =
\frac1{(n+1)(n+2)}$ y el derecho, $\sum_j(-1)^j\binom nj\frac1{2+j}$: segunda identidad.

**6.** Los [polos](#def-b1-fractions-field) $\omega^k$ son simples, y la fórmula del [polo](#def-b1-fractions-field) simple del [Método 9.6](#met-b1-fractions-compute) da el coeficiente

$$
\frac{1}{\bigl(nX^{n-1}\bigr)_{X = \omega^k}}
= \frac{1}{n\,\omega^{k(n-1)}}
= \frac{\omega^k}{n\,\omega^{kn}} = \frac{\omega^k}n ,
$$

usando $\omega^{kn} = 1$. Por tanto, $\frac1{X^n-1} = \frac1n\sum_k \frac{\omega^k}{X - \omega^k}$.

**7.** Para $n = 2$ ($\omega = -1$): $\frac12\bigl(\frac1{X-1} - \frac1{X+1}\bigr) =
\frac12\cdot\frac{2}{X^2-1} = \frac1{X^2-1}$: correcto. Los coeficientes suman $\frac1n\sum_k\omega^k = 0$ para $n \geq 2$ ([Proposición 3.18](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/3-numeros-complejos#prop-b1-complex-sumroots)). Y tienen que hacerlo: $x\,F(x) \to \sum_k c_k$ cuando $x \to \infty$ para cualquier descomposición con [polos](#def-b1-fractions-field) simples, mientras que aquí $xF(x) = \frac{x}{x^n-1} \to 0$, pues $n \geq 2$.

**8.** Tapado para $\frac{X^{n-1}}{X^n - 1}$ en $\omega^k$: $\frac{A(\omega^k)}{B'(\omega^k)} =
\frac{\omega^{k(n-1)}}{n\omega^{k(n-1)}} = \frac1n$, luego $\frac{X^{n-1}}{X^n-1} = \frac1n\sum_k\frac1{X - \omega^k}$ — de nuevo la identidad del [Ejercicio 9.7](#exo-b1-fractions-7).

**9.** Con $c = \omega^k$, $\conj c = \omega^{n-k}$ y $c\conj c = 1$, $c + \conj c = 2\cos\theta_k$:

$$
\frac{c}{X - c} + \frac{\conj c}{X - \conj c}
= \frac{c(X - \conj c) + \conj c(X - c)}
{(X - c)(X - \conj c)}
= \frac{2\cos\theta_k\,X - 2}{X^2 - 2\cos\theta_k\,X + 1} .
$$

Agrupando $k$ con $n - k$ en la pregunta 6: para $n$ impar,

$$
\frac1{X^n - 1} = \frac1n\Biggl(\frac1{X-1} +
\sum_{k=1}^{(n-1)/2}
\frac{2\cos\theta_k X - 2}{X^2 - 2\cos\theta_k X + 1}\Biggr) ;
$$

para $n$ par, el [polo](#def-b1-fractions-field) adicional emparejado consigo mismo $\omega^{n/2} = -1$ aporta $\frac{-1}{X+1}$ dentro del paréntesis y la suma de pares llega hasta $\frac n2 - 1$.

**10.** $n = 4$: $\theta_1 = \frac\pi2$, $\cos\theta_1 = 0$, luego el término del par es $\frac{-2}{X^2+1}$ y

$$
\frac1{X^4-1} = \frac14\Bigl(\frac1{X-1} - \frac1{X+1}
- \frac2{X^2+1}\Bigr) ,
$$

la descomposición del [Ejercicio 9.4](#exo-b1-fractions-4).

**11.** $P = \prod_{k=1}^{n-1}(X - \omega^k)$ (divídase $X^n - 1$ entre $X - 1$), luego, por el [Ejercicio 8.11](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/8-polinomios#exo-b1-poly-11), $\frac{P'}P = \sum_{k=1}^{n-1}\frac1{X-\omega^k}$. En $X = 1$: $P(1) = n$ y $P'(1) = \sum_{j=1}^{n-1}j = \frac{n(n-1)}2$, de donde

$$
\sum_{k=1}^{n-1}\frac1{1 - \omega^k}
= \frac{P'(1)}{P(1)} = \frac{n-1}2 .
$$

**12.** Ángulo mitad: $1 - \eu^{\iu\theta} = -2\iu\sin\frac\theta2\,\eu^{\iu\theta/2}$, luego

$$
\frac1{1 - \eu^{\iu\theta}}
= \frac{\eu^{-\iu\theta/2}}{-2\iu\sin\frac\theta2}
= \frac{\iu\cos\frac\theta2 + \sin\frac\theta2}
{2\sin\frac\theta2}
= \frac12 + \frac\iu2\,
\frac{\cos\frac\theta2}{\sin\frac\theta2} .
$$

Con $\theta = \theta_k = \frac{2k\pi}n$: $\frac1{1-\omega^k} =
\frac12 + \frac\iu2\cot\frac{k\pi}n$. Sumando en $k = 1, \dots, n-1$ y comparando con el valor real $\frac{n-1}2$ de la pregunta 11: las partes reales ya dan cuenta de todo, de modo que $\sum_k\cot\frac{k\pi}n = 0$ — como también muestra la simetría $\cot\frac{(n-k)\pi}n = -\cot\frac{k\pi}n$.

**13.** Derivando $\frac{P'}P = \sum_k\frac1{X - \omega^k}$:

$$
\frac{P''}P - \Bigl(\frac{P'}P\Bigr)^2
= -\sum_{k=1}^{n-1}\frac1{(X - \omega^k)^2} .
$$

En $X = 1$: $P''(1) = \sum_{j=2}^{n-1}j(j-1) = 2\binom n3 =
\frac{n(n-1)(n-2)}3$ (identidad del palo de hockey, o inducción), luego

$$
\sum_{k=1}^{n-1}\frac1{(1 - \omega^k)^2}
= \Bigl(\frac{n-1}2\Bigr)^2 - \frac{(n-1)(n-2)}3
= \frac{(n-1)\bigl(3(n-1) - 4(n-2)\bigr)}{12}
= \frac{(n-1)(5-n)}{12} .
$$

**14.** Elevando al cuadrado la fórmula de la pregunta 12, con $c_k = \cot\frac{k\pi}n$:

$$
\frac1{(1-\omega^k)^2}
= \Bigl(\frac12 + \frac\iu2 c_k\Bigr)^2
= \frac14 - \frac{c_k^2}4 + \frac\iu2\,c_k .
$$

Sumando y usando $\sum c_k = 0$ (pregunta 12) y la pregunta 13: $\frac{n-1}4 - \frac14\sum_k c_k^2 = \frac{(n-1)(5-n)}{12}$, luego

$$
\sum_{k=1}^{n-1}\cot^2\frac{k\pi}n
= (n-1) - \frac{(n-1)(5-n)}3 = \frac{(n-1)(n-2)}3 .
$$

Después, $\frac1{\sin^2t} = 1 + \cot^2t$ da $\sum_k\frac1{\sin^2\frac{k\pi}n} = (n-1) + \frac{(n-1)(n-2)}3 =
\frac{n^2-1}3$.

**15.** $n = 3$: $\cot^2\frac\pi3 + \cot^2\frac{2\pi}3 =
\frac13 + \frac13 = \frac23 = \frac{2\cdot1}3$; y las de $\frac1{\sin^2}$ suman $\frac43 + \frac43 = \frac83 = \frac{9-1}3$. $n = 4$: $1 + 0 + 1 = 2 = \frac{3\cdot2}3$; y $2 + 1 + 2 = 5 =
\frac{16-1}3$. Las dos fórmulas se comprueban.

**16.** Para $t \in \intoo0{\frac\pi2}$, la comparación clásica $\sin t < t < \tan t$ (argumento de áreas o de convexidad, conocido del volumen anterior) da, tomando inversos, $\cot t < \frac1t <
\frac1{\sin t}$, todos positivos ahí; elevar al cuadrado conserva el orden. Con $t = \frac{k\pi}n$, $1 \leq k \leq m$, $n = 2m+1$ (de modo que $t < \frac\pi2$):

$$
\cot^2\frac{k\pi}n < \frac{n^2}{k^2\pi^2} <
\frac1{\sin^2\frac{k\pi}n} .
$$

**17.** Por las simetrías $\cot^2\frac{(n-k)\pi}n =
\cot^2\frac{k\pi}n$ y la análoga para $\sin^2$, las sumas de la pregunta 14 se reducen a la mitad: $\sum_{k=1}^{m}\cot^2\frac{k\pi}n = \frac{(n-1)(n-2)}6 =
\frac{m(2m-1)}3$ y $\sum_{k=1}^m\frac1{\sin^2\frac{k\pi}n} =
\frac{n^2-1}6 = \frac{2m(m+1)}3$. Sumando la pregunta 16 en $k = 1, \dots, m$ y multiplicando por $\frac{\pi^2}{n^2}$:

$$
\frac{\pi^2}{(2m+1)^2}\cdot\frac{m(2m-1)}3
\;<\; \sum_{k=1}^{m}\frac1{k^2} \;<\;
\frac{\pi^2}{(2m+1)^2}\cdot\frac{2m(m+1)}3 .
$$

Las dos cotas tienden a $\frac{\pi^2}6$ cuando $m \to \infty$ (los cocientes $\frac{m(2m-1)}{(2m+1)^2}$ y $\frac{2m(m+1)}{(2m+1)^2}$ tienden los dos a $\frac12$), así que, por el emparedado, las sumas parciales crecientes convergen y

$$
\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{k^2} = \frac{\pi^2}6 .
$$

**18.** Elévese al cuadrado $\frac1{X^2-1} = \frac12\bigl(\frac1{X-1} - \frac1{X+1}\bigr)$:

$$
\frac1{(X^2-1)^2} = \frac14\Bigl(\frac1{(X-1)^2} +
\frac1{(X+1)^2}\Bigr) - \frac12\cdot\frac1{(X-1)(X+1)} ,
$$

y redescompóngase el término cruzado $\frac1{(X-1)(X+1)} = \frac12\bigl(\frac1{X-1} - \frac1{X+1}\bigr)$ para obtener la forma enunciada. En $X = 0$: el miembro izquierdo vale $1$; el derecho, $\frac14(1 + 1) - \frac14(-1 - 1) = \frac12 + \frac12 = 1$.

**19.** Súmese la pregunta 18 para $n \geq 2$. Con $S = \sum_{k\geq1}\frac1{k^2} = \frac{\pi^2}6$: $\sum_{n\geq2}\frac1{(n-1)^2} = S$; $\sum_{n\geq2}\frac1{(n+1)^2} = S - 1 - \frac14$; y el telescopio de paso dos $\sum_{n\geq2}\bigl(\frac1{n-1} - \frac1{n+1}\bigr) =
1 + \frac12 = \frac32$. Por tanto

$$
\sum_{n=2}^{\infty}\frac1{(n^2-1)^2}
= \frac14\Bigl(2S - \frac54\Bigr) - \frac14\cdot\frac32
= \frac S2 - \frac{11}{16}
= \frac{\pi^2}{12} - \frac{11}{16} \approx 0.135 .
$$

Numéricamente: $\frac19 + \frac1{64} + \frac1{225} + \frac1{576} +
\frac1{1225} + \dots \approx 0.1111 + 0.0156 + 0.0044 + 0.0017 +
0.0008 + \dots \approx 0.135$: coherente.

**20.** Derívese la identidad de la pregunta 8, $\sum_k\frac1{X-\omega^k} = \frac{nX^{n-1}}{X^n-1}$:

$$
\sum_{k=0}^{n-1}\frac1{(X - \omega^k)^2}
= \frac{n^2X^{2n-2} - n(n-1)X^{n-2}(X^n - 1)}{(X^n - 1)^2} .
$$

Comprobación en $n = 2$, $X = 2$: el miembro derecho vale $\frac{4\cdot4 - 2\cdot1\cdot3}{9} = \frac{10}9$; el izquierdo, $\frac1{(2-1)^2} + \frac1{(2+1)^2} = 1 + \frac19 = \frac{10}9$.

**21.** $\frac1{\binom nk} = \frac{k!\,(n-k)!}{n!} =
\frac{k!}{(n-k+1)(n-k+2)\cdots n}$, un producto de $k$ enteros consecutivos en el denominador. Sustituyendo $j = n - k + 1$ (de modo que $j$ recorre $\N^*$ cuando $n$ parte de $k$):

$$
\sum_{n=k}^{\infty}\frac1{\binom nk}
= k!\sum_{j=1}^{\infty}\frac1{j(j+1)\cdots(j+k-1)}
= \frac{k!}{(k-1)\,(k-1)!} = \frac{k}{k-1} ,
$$

por la pregunta 4 aplicada con $k - 1$ en lugar de $k$ (válido, pues $k - 1 \geq 1$).

**22.** Para $k = 3$: $\frac1{\binom n3} = \frac6{(n-2)(n-1)n}$, luego, por la suma parcial de la pregunta 3 (desplazada),

$$
\sum_{n=3}^{N}\frac1{\binom n3}
= 6\sum_{j=1}^{N-2}\frac1{j(j+1)(j+2)}
= 6\Bigl(\frac14 - \frac1{2(N-1)N}\Bigr)
= \frac32 - \frac3{(N-1)N}
\longrightarrow \frac32 ,
$$

el valor $\frac k{k-1} = \frac32$ de la pregunta 21.

**23.** $n = 6$: pares $k = 1$ ($\theta_1 = \frac\pi3$, $2\cos\theta_1 = 1$) y $k = 2$ ($\theta_2 = \frac{2\pi}3$, $2\cos\theta_2 = -1$), más los [polos](#def-b1-fractions-field) reales $\pm1$:

$$
\frac1{X^6-1} = \frac16\Bigl(\frac1{X-1} - \frac1{X+1}
+ \frac{X - 2}{X^2 - X + 1}
+ \frac{-X - 2}{X^2 + X + 1}\Bigr) .
$$

En $X = 0$: el miembro izquierdo vale $-1$; el derecho, $\frac16(-1 - 1 - 2 - 2) = -1$: correcto.

**24.** (i) La unicidad legitima toda identificación de coeficientes — el tapado, la agrupación de pares [conjugados](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/3-numeros-complejos#def-b1-complex-field) de la pregunta 9 y los trucos de derivación (preguntas 13 y 20) se apoyan todos en ella. (ii) Las [raíces de la unidad](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/3-numeros-complejos#def-b1-complex-unity) suministraron los [polos](#def-b1-fractions-field) de $X^n - 1$, sus simetrías ($k \leftrightarrow n-k$) y el álgebra del ángulo mitad de la pregunta 12 ([Método 3.11](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/3-numeros-complejos#met-b1-complex-trig)). (iii) La derivada logarítmica $\frac{P'}P = \sum\frac{m_i}{X-a_i}$ convirtió la información sobre las raíces de $P = 1 + X + \dots + X^{n-1}$ en las sumas numéricas de las preguntas 11 y 13 — la bisagra entre las partes II y III.

**25.** La descomposición es una identidad puramente algebraica, cierta a la vez para todos los valores de la variable; eso es lo que la convierte en un motor. Sustituir enteros y sumar la transformó en telescopios (parte I); sustituir [raíces de la unidad](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/3-numeros-complejos#def-b1-complex-unity) y agrupar [conjugados](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/3-numeros-complejos#def-b1-complex-field) la transformó en identidades trigonométricas (partes II y III); y solo en el último paso entró el análisis — un emparedado entre dos formas cerradas — para entregar $\frac{\pi^2}6$, un [enunciado](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/1-logica-conjuntos-y-aplicaciones#def-b1-logic-statement) que ninguna sustitución finita podría alcanzar. Este reparto de tareas (el álgebra produce identidades finitas exactas, el análisis pasa al límite) es la plantilla del [Capítulo 17](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/17-series-numericas#ch-b1-series), donde el telescopio y la comparación se vuelven sistemáticos, y del [Capítulo 15](https://one-course.com/books/math/3/es/chapter/15-integracion-en-un-segmento#ch-b1-integration), donde cada ladrillo adquiere una primitiva y las mismas descomposiciones calculan integrales en lugar de sumas.