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title: "Topologie de la droite réelle"
book: "Mathématiques universitaires — Licence 1"
subject: math
language: fr
chapter: 12
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle
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# Chapitre 12 — Topologie de la droite réelle

Les limites renvoient sans cesse au même vocabulaire géométrique : des points « proches » d’un [ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets), des [ensembles](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) « sans fuite par la [frontière](#def-b1-topology-closure) », des [intervalles](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) dont les suites ne peuvent s’échapper. Ce chapitre fixe ce vocabulaire — [ouverts](#def-b1-topology-open) et [fermés](#def-b1-topology-closed), [intérieur](#def-b1-topology-closure) et [adhérence](#def-b1-topology-closure), [densité](#def-b1-topology-dense) — sur la droite réelle, et démontre la compacité des segments sous sa forme séquentielle. Les mêmes notions, dans les espaces vectoriels normés, relèvent de la deuxième année ; sur $\R$ elles sont à notre portée et immédiatement utiles pour le [Chapitre 13](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#ch-b1-continuity).

## 12.1 Ouverts, fermés

**Définition 12.1 (Voisinage, ouvert).**

Une partie $V \subseteq \R$ est un *voisinage* de $x \in \R$ lorsqu’elle contient un [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) $\intoo{x - r}{x + r}$ pour un certain $r > 0$. Une partie $U \subseteq \R$ est *ouverte* lorsqu’elle est un voisinage de chacun de ses points :

$$
\forall x \in U,\ \exists r > 0, \quad \intoo{x - r}{x + r}
\subseteq U .
$$

**Exemple 12.2.**

Les [intervalles](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) [ouverts](#def-b1-topology-open) sont des [ouverts](#def-b1-topology-open) : pour $x \in \intoo{a}{b}$, prendre $r = \min(x - a,\, b - x) > 0$. Les demi-droites $\intoo{a}{+\infty}$ sont [ouvertes](#def-b1-topology-open) ; $\R$ et $\emptyset$ sont [ouverts](#def-b1-topology-open) (le second trivialement). $\intcc{0}{1}$ n’est *pas* [ouvert](#def-b1-topology-open) : aucun [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) autour de $0$ n’y reste contenu.

**Proposition 12.3 (Stabilité des ouverts).**

Toute réunion d’[ouverts](#def-b1-topology-open) est un [ouvert](#def-b1-topology-open) ; une intersection *finie* d’[ouverts](#def-b1-topology-open) est un [ouvert](#def-b1-topology-open). Les intersections infinies peuvent échouer : $\bigcap_{n \geq 1} \intoo{-\frac 1n}{\frac 1n} = \{0\}$, qui n’est pas [ouvert](#def-b1-topology-open).

**Démonstration.** Réunion : si $x \in \bigcup_i U_i$, alors $x \in U_{i_0}$ pour un certain $i_0$, et l’[intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) fourni par $U_{i_0}$ est contenu dans la réunion. Intersection finie : si $x \in U_1 \cap \dots \cap U_k$, prendre $r = \min(r_1, \dots, r_k) > 0$ parmi les rayons fournis par chaque $U_j$. Pour le contre-exemple : tout [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) autour de $0$ contient un $\frac{1}{n}$ (Archimède), donc sort de l’intersection. ∎

**Exemple 12.4 (Certifier l’ouverture par des rayons explicites).**

L’[ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) $U = \{x \in \R : x^2 > 2\}$ est-il [ouvert](#def-b1-topology-open) ? Oui, et le certificat peut s’écrire explicitement : $U = \intoo{-\infty}{-\sqrt2}
\cup \intoo{\sqrt2}{+\infty}$, réunion de deux demi-droites [ouvertes](#def-b1-topology-open), [ouverte](#def-b1-topology-open) d’après la [Proposition 12.3](#prop-b1-topology-openstable). On peut aussi raisonner point par point : pour $x \in U$ avec $x > \sqrt 2$, prendre $r = x - \sqrt2 > 0$ : tout $y \in \intoo{x - r}{x + r}$ vérifie $y > \sqrt 2$, donc $y^2 > 2$ ; symétriquement à gauche. Les deux styles comptent — le style structurel (construire à partir d’[ouverts](#def-b1-topology-open) connus par réunions et intersections finies) passe mieux à l’échelle, le style en $\varepsilon$ fonctionne lorsque aucune structure n’est visible ; et le [Chapitre 13](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#ch-b1-continuity) en ajoutera un troisième, le plus puissant : $U$ est l’[image réciproque](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-map) de l’[ouvert](#def-b1-topology-open) $\intoo{2}{+\infty}$ par l’[application](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-map) continue $x \mapsto x^2$.

**Définition 12.5 (Fermé).**

Une partie $F \subseteq \R$ est *fermée* lorsque son complémentaire $\R \setminus F$ est [ouvert](#def-b1-topology-open). Par les lois de de Morgan et la [Proposition 12.3](#prop-b1-topology-openstable) : toute intersection de fermés est fermée, toute réunion finie de fermés est fermée.

**Théorème 12.6 (Caractérisation séquentielle des fermés).**

$F$ est [fermé](#def-b1-topology-closed) si et seulement si : pour toute suite $(u_n)$ de points de $F$ convergeant vers un $\ell \in \R$, la limite $\ell$ appartient à $F$. (« [Fermé](#def-b1-topology-closed) » $=$ « stable par passage à la limite ».)

**Démonstration.** ($\Rightarrow$) Soit $F$ [fermé](#def-b1-topology-closed), $u_n \in F$, $u_n \to \ell$, et supposons $\ell \notin F$. Le complémentaire est [ouvert](#def-b1-topology-open) : un certain $\intoo{\ell - r}{\ell + r}$ évite $F$. Mais la convergence place $u_n$ dans cet [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) pour $n$ grand : contradiction avec $u_n \in F$.

($\Leftarrow$) Supposons $F$ non [fermé](#def-b1-topology-closed) : le complémentaire n’est pas [ouvert](#def-b1-topology-open), donc il existe $x \notin F$ tel qu’aucun [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) $\intoo{x - r}{x + r}$ ne soit contenu dans le complémentaire ; en prenant $r = \frac{1}{n+1}$, choisissons $u_n \in F$ avec $\abs{u_n - x} < \frac{1}{n+1}$. Alors $u_n \in F$, $u_n \to x \notin
F$ : la propriété séquentielle est en défaut. ∎

**Exemple 12.7 (Le test séquentiel, dans les deux sens).**

*[Fermé](#def-b1-topology-closed) :* $F = \Z \cup \bigl\{n + \frac1n : n \geq 2\bigr\}$. Soit $u_k \in F$ avec $u_k \to \ell$. La fenêtre $\intcc{\ell -
1}{\ell + 1}$ ne contient qu’un nombre fini de points de $F$ (un nombre fini d’entiers, un nombre fini de $n + \frac1n$), et à partir d’un certain rang tous les $u_k$ y sont : la suite ne prend alors qu’un nombre fini de valeurs et, convergeant, est stationnaire (comme dans l’[Exercice 12.3](#exo-b1-topology-3)) : $\ell \in F$. [Fermé](#def-b1-topology-closed) — bien que $F$ contienne des couples de points à distance $\frac1n$, arbitrairement proches.

*Non [fermé](#def-b1-topology-closed) :* $G = \bigl\{\frac1m + \frac1n : m, n \in
\N^*\bigr\}$. La suite $\frac1n + \frac1n \in G$ tend vers $0$, et $0 \notin G$ (somme de deux termes strictement positifs) : le test séquentiel échoue, $G$ n’est pas [fermé](#def-b1-topology-closed). Fait remarquable, chaque $\frac1m$ appartient *bel et bien* à $\overline G \cap G$ : en effet $\frac1m = \frac{1}{m+1} + \frac{1}{m(m+1)} \in G$. L’idée à retenir : pour démontrer qu’un [ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) est [fermé](#def-b1-topology-closed), il faut contrôler *toutes* les suites convergentes d’un coup (en général par un argument de finitude locale ou de formule [fermée](#def-b1-topology-closed)) ; pour le réfuter, une seule suite fuyante bien choisie suffit — cette asymétrie fait du sens négatif le plus facile, et les contre-exemples de ce chapitre ont tous cette forme en une ligne.

**Exemple 12.8.**

Les segments $\intcc{a}{b}$, les demi-droites $\intco{a}{+\infty}$, les [ensembles finis](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/2-denombrement#def-b1-counting-card), $\Z$ (une suite convergente d’entiers est stationnaire) sont [fermés](#def-b1-topology-closed). $\intoc{0}{1}$ n’est ni [ouvert](#def-b1-topology-open) (cela échoue en $1$) ni [fermé](#def-b1-topology-closed) ($\frac 1n \to 0 \notin$ l’[ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets)) : la plupart des parties ne sont ni l’un ni l’autre. $\R$ et $\emptyset$ sont à la fois [ouverts](#def-b1-topology-open) et [fermés](#def-b1-topology-closed) — et ce sont les seules parties de $\R$ dans ce cas ([Exercice 12.9](#exo-b1-topology-9)).

**Exemple 12.9 (Un ouvert assemblé à partir d’une infinité de morceaux).**

$\R \setminus \Z = \bigcup_{n \in \Z} \intoo{n}{n+1}$ : une réunion infinie d’[intervalles](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) [ouverts](#def-b1-topology-open), [ouverte](#def-b1-topology-open) d’après la [Proposition 12.3](#prop-b1-topology-openstable) — donc $\Z$ est [fermé](#def-b1-topology-closed) sans le moindre argument séquentiel. Notons le partage des tâches dans les règles de stabilité : les *réunions* d’[ouverts](#def-b1-topology-open) peuvent être quelconques (chaque point n’a besoin que de son propre certificat, fourni par l’unique [ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) qui le contient), tandis que les *intersections* doivent rester finies (les certificats doivent être intersectés, et une infinité de rayons peuvent se contracter jusqu’à rien). [Exercice 12.10](#exo-b1-topology-10) montrera que cet exemple est la forme générale : tout [ouvert](#def-b1-topology-open) de $\R$ est une réunion dénombrable disjointe d’[intervalles](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) [ouverts](#def-b1-topology-open).

## 12.2 Intérieur, adhérence, densité

**Définition 12.10 (Intérieur, adhérence, frontière).**

Soit $A \subseteq \R$.

- Un point $x$ est *intérieur* à $A$ lorsque $A$ est un [voisinage](#def-b1-topology-open) de $x$ ; l’ *intérieur* $\mathring{A}$ est l’ [ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) des points intérieurs.
- Un point $x$ est *adhérent* à $A$ lorsque tout [voisinage](#def-b1-topology-open) de $x$ rencontre $A$ ; l’ *adhérence* $\overline{A}$ est l’ [ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) des points adhérents.
- La *frontière* est $\partial A = \overline A \setminus  \mathring A$ .

On a alors $\mathring A \subseteq A \subseteq \overline A$.

**Proposition 12.11 (Propriétés principales).**

1. $\mathring A$ est le plus grand [ouvert](#def-b1-topology-open) contenu dans $A$ ; $A$ est [ouvert](#def-b1-topology-open) si et seulement si $A = \mathring A$ .
2. $\overline A$ est le plus petit [fermé](#def-b1-topology-closed) contenant $A$ ; $A$ est [fermé](#def-b1-topology-closed) si et seulement si $A = \overline A$ .
3. (Caractérisation séquentielle de l’ [adhérence](#def-b1-topology-closure) ) $x \in \overline  A$ si et seulement si $x$ est limite d’une suite de points de $A$ .
4. Le passage au complémentaire échange les notions : $\R \setminus  \overline A = \bigl(\R \setminus A\bigr)^{\!\circ}$ .

**Démonstration.** (4) $x \notin \overline A$ $\iff$ un [voisinage](#def-b1-topology-open) de $x$ évite $A$ $\iff$ un [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) autour de $x$ est contenu dans $\R \setminus A$ $\iff$ $x$ est [intérieur](#def-b1-topology-closure) à $\R \setminus A$.

(1) $\mathring A$ est [ouvert](#def-b1-topology-open) : si $x \in \mathring A$, un certain $\intoo{x-r}{x+r} \subseteq A$ ; tout point $y$ de cet [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) admet autour de lui un [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) plus petit contenu dedans, donc contenu dans $A$ : l’[intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) tout entier est dans $\mathring A$. Tout [ouvert](#def-b1-topology-open) $U \subseteq A$ est formé de points [intérieurs](#def-b1-topology-closure) à $A$, donc $U \subseteq \mathring A$ : c’est bien le plus grand. La caractérisation des [ouverts](#def-b1-topology-open) s’en déduit.

(2) En détail. D’après (4), $\R \setminus \overline A$ est l’[intérieur](#def-b1-topology-closure) de $\R \setminus A$, un [ouvert](#def-b1-topology-open) d’après (1) : donc $\overline A$ est [fermé](#def-b1-topology-closed), et il contient $A$. Minimalité : soit $F \supseteq A$ un [fermé](#def-b1-topology-closed). Alors $\R \setminus F$ est [ouvert](#def-b1-topology-open) et contenu dans $\R \setminus A$, donc par la maximalité de (1),

$$
\R \setminus F \subseteq \bigl(\R \setminus A\bigr)^{\!\circ}
= \R \setminus \overline A ,
$$

et en repassant au complémentaire : $\overline A \subseteq F$. Ainsi $\overline A$ est le plus petit [fermé](#def-b1-topology-closed) contenant $A$. Caractérisation : si $A = \overline A$ alors $A$ est [fermé](#def-b1-topology-closed) (ce qu’on vient de voir) ; si $A$ est [fermé](#def-b1-topology-closed), il est lui-même un [fermé](#def-b1-topology-closed) contenant $A$, donc la minimalité impose $\overline A \subseteq A$, d’où l’égalité.

(3) Si $u_n \in A$, $u_n \to x$ : tout [voisinage](#def-b1-topology-open) de $x$ contient un $u_n \in A$, donc $x \in \overline A$. Réciproquement, si $x \in
\overline A$ : chaque [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) $\intoo{x - \frac{1}{n+1}}{x +
\frac{1}{n+1}}$ rencontre $A$ en un point $u_n$, et $u_n \to x$. ∎

**Exemple 12.12.**

$\overline{\intoo{0}{1}} = \intcc{0}{1}$ ; $\mathring{\intcc{0}{1}} = \intoo{0}{1}$ ; $\partial\intoo{0}{1} =
\{0, 1\}$. Pour $A = \{\frac 1n : n \in \N^*\}$ : $\overline A = A
\cup \{0\}$, $\mathring A = \emptyset$, $\partial A = A \cup \{0\}$. Pour $\Q$ : par [densité](#def-b1-topology-dense) ([Théorème 10.14](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#thm-b1-reals-density)) tout réel est adhérent à $\Q$, donc $\overline{\Q} = \R$ tandis que $\mathring{\Q} =
\emptyset$ (tout [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) contient des irrationnels) : la [frontière](#def-b1-topology-closure) de $\Q$ est $\R$ tout entier.

**Exemple 12.13 (Une anatomie complète).**

Soit $A = \intoc{0}{1} \,\cup\, \bigl(\Q \cap \intoo{2}{3}\bigr)
\,\cup\, \{4\}$. Calculons les trois [ensembles](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) de la [Définition 12.10](#def-b1-topology-closure), morceau par morceau.

*[Intérieur](#def-b1-topology-closure).* Un point de $\intoo{0}{1}$ possède tout un [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) contenu dans $A$ : il est [intérieur](#def-b1-topology-closure). Le point $1$ : tout [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) autour de lui déborde à droite de $1$, où $A$ ne contient rien jusqu’à $2$ : il n’est pas [intérieur](#def-b1-topology-closure). Aucun point de $\Q \cap \intoo{2}{3}$ n’est [intérieur](#def-b1-topology-closure) (tout [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) contient des irrationnels, [Théorème 10.14](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#thm-b1-reals-density)) ; le point isolé $4$ non plus. Donc $\mathring A = \intoo{0}{1}$.

*[Adhérence](#def-b1-topology-closure).* Les limites de points de $A$ : tout $\intcc{0}{1}$ ($0 = \lim \frac1n$ avec $\frac 1n \in A$) ; tout $\intcc{2}{3}$ (tout réel de cet [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) est limite de rationnels de l’[intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals), [densité](#def-b1-topology-dense) encore) ; et $4$. Rien d’autre : un point hors de $\intcc{0}{1} \cup \intcc{2}{3} \cup
\{4\}$ est à distance strictement positive de ce [fermé](#def-b1-topology-closed). Donc $\overline A = \intcc{0}{1} \cup \intcc{2}{3} \cup \{4\}$.

*[Frontière](#def-b1-topology-closure).* $\partial A = \overline A \setminus \mathring A
= \{0, 1\} \cup \intcc{2}{3} \cup \{4\}$.

L’idée à retenir : les trois opérations agissent *localement* — chaque morceau de $A$ contribue selon sa nature propre (un [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) plein garde son [intérieur](#def-b1-topology-closure), un morceau [dense](#def-b1-topology-dense) mais poreux se transforme entièrement en [frontière](#def-b1-topology-closure), un point isolé est [frontière](#def-b1-topology-closure) pure), et un croquis de $A$ en deux traits prédit toutes les réponses avant qu’aucune démonstration ne soit écrite.

**Remarque 12.14 (Pièges classiques du raisonnement topologique).**

(i) *« Non [ouvert](#def-b1-topology-open) » ne signifie pas « [fermé](#def-b1-topology-closed) »* : la plupart des parties ne sont ni l’un ni l’autre ($\intoc{0}{1}$), et deux parties sont les deux à la fois ($\emptyset$, $\R$) — [ouvert](#def-b1-topology-open) et [fermé](#def-b1-topology-closed) ne sont pas des contraires mais des duaux par passage au complémentaire. (ii) *L’[intérieur](#def-b1-topology-closure) et l’[adhérence](#def-b1-topology-closure) ne commutent pas* : pour $A = \Q$,

$$
\overline{\mathring A} = \overline\emptyset = \emptyset
\qquad\text{tandis que}\qquad
\bigl(\,\overline A\,\bigr)^{\!\circ} = \mathring \R = \R :
$$

les deux opérateurs itérés diffèrent autant que deux [ensembles](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) le peuvent. (iii) *Une réunion infinie de [fermés](#def-b1-topology-closed) peut ne pas être [fermée](#def-b1-topology-closed)* : $\bigcup_{n\geq1} \intcc{\frac1n}{1} = \intoc{0}{1}$ — le miroir du contre-exemple sur les intersections de la [Proposition 12.3](#prop-b1-topology-openstable). (iv) *[Dense](#def-b1-topology-dense) ne veut pas dire gros* : $\Q$ est [dense](#def-b1-topology-dense), dénombrable, d’[intérieur](#def-b1-topology-closure) vide, et son complémentaire est [dense](#def-b1-topology-dense) lui aussi ; la [densité](#def-b1-topology-dense) dit « arbitrairement proche de tout », et non « presque tout » — l’[ensemble de Cantor](#pb-b1-topology-1) du devoir maison ([Problème 12.1](#pb-b1-topology-1)) illustre le point opposé, un [ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) topologiquement petit et pourtant non dénombrable, donc énorme.

**Exemple 12.15 (Une adhérence calculée exactement).**

Soit $G = \bigl\{\frac1m + \frac1n : m, n \in \N^*\bigr\}$ (venu de l’[Exemple 12.7](#ex-b1-topology-seqtest)). Affirmation :

$$
\overline G = G \,\cup\, \Bigl\{\frac1m : m \in \N^*\Bigr\}
\,\cup\, \{0\} .
$$

($\supseteq$) $\frac1m = \lim_n \bigl(\frac1m + \frac1n\bigr)$ et $0 = \lim_n \frac2n$ : adhérents par la caractérisation séquentielle. ($\subseteq$) Soit $x = \lim_k \bigl(
\frac{1}{m_k} + \frac{1}{n_k}\bigr)$ ; ordonnons chaque couple de sorte que $m_k \leq n_k$. Si $(m_k)$ n’est pas bornée, une [suite extraite](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/11-suites#def-b1-seq-subsequence) vérifie $m_k \to \infty$, donc $n_k \to \infty$ aussi et $x = 0$. Sinon $(m_k)$ ne prend qu’un nombre fini de valeurs, dont l’une, disons $m$, une infinité de fois ; le long de cette [suite extraite](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/11-suites#def-b1-seq-subsequence), $\frac{1}{n_k} \to x - \frac1m$ : si $(n_k)$ est bornée, elle prend une valeur $n$ une infinité de fois et $x =
\frac1m + \frac1n \in G$ ; sinon, $x = \frac1m$. Tous les cas retombent dans l’[ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) annoncé. L’idée à retenir : calculer une [adhérence](#def-b1-topology-closure), c’est mener une disjonction de cas sur les indices à la manière de la compacité — un indice borné signifie un nombre fini de valeurs ([principe des tiroirs](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/2-denombrement#cor-b1-counting-pigeonhole)), un indice non borné signifie qu’une limite s’échappe — et la réponse fait apparaître la structure typique à deux étages des points limites : l’[ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets), ses limites de première génération, et leur limite $0$.

**Définition 12.16 (Densité, forme topologique).**

$A$ est *dense* dans $\R$ lorsque $\overline A = \R$ — de façon équivalente, tout [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) [ouvert](#def-b1-topology-open) non vide rencontre $A$ ; de façon équivalente encore (par [Proposition 12.11](#prop-b1-topology-closureprops) (3)), tout réel est limite d’éléments de $A$. Exemples : $\Q$, $\R \setminus \Q$, les nombres dyadiques ([Exercice 10.8](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#exo-b1-reals-8)), les [sous-groupes](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/7-structures-algebriques#def-b1-structures-subgroup) denses ([Exercice 10.9](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#exo-b1-reals-9)).

**Exemple 12.17 (La densité est relative).**

« [Dense](#def-b1-topology-dense) » au sens défini ici signifie [dense](#def-b1-topology-dense) *dans $\R$* ; un [ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) peut au contraire n’être [dense](#def-b1-topology-dense) que dans une partie de la droite. Les dyadiques de $\intcc{0}{1}$, c’est-à-dire $D \cap
\intcc{0}{1}$ ([Exercice 10.8](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#exo-b1-reals-8)), rencontrent tout [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) [ouvert](#def-b1-topology-open) inclus dans $\intcc{0}{1}$ mais manquent bien sûr entièrement $\intoo{2}{3}$ : ils sont [denses](#def-b1-topology-dense) *dans* $\intcc{0}{1}$, au sens où $\overline{D \cap \intcc{0}{1}} =
\intcc{0}{1}$. La formule générale « $A$ est [dense](#def-b1-topology-dense) dans $B$ » abrège $B \subseteq \overline A$ — nommez toujours l’[ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) ambiant, car les extrémités du devoir maison sont [denses](#def-b1-topology-dense) *dans l’[ensemble de Cantor](#pb-b1-topology-1)* tout en étant nulle part [denses](#def-b1-topology-dense) *dans $\R$* : le même [ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets), deux descriptions véridiques et d’apparence opposée.

**Exemple 12.18 (Manipuler la densité).**

Trois gestes rapides qui reviennent constamment. *Agrandir* : si $A$ est [dense](#def-b1-topology-dense) et $A \subseteq B$, alors $B$ est [dense](#def-b1-topology-dense) (tout [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) rencontre déjà $A$). *Transporter* : si $A$ est [dense](#def-b1-topology-dense), alors $\lambda A + \mu$ l’est aussi pour $\lambda \neq 0$ — un [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) $I$ rencontre $\lambda A + \mu$ si et seulement si l’[intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) $\frac{I - \mu}{\lambda}$ rencontre $A$ ; ainsi les multiples impairs de $10^{-9}$, par exemple, sont [denses](#def-b1-topology-dense). *Intersecter échoue* : deux [ensembles](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) [denses](#def-b1-topology-dense) peuvent se manquer entièrement ($\Q$ et $\R \setminus \Q$) : la [densité](#def-b1-topology-dense) survit aux réunions et aux [applications](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-map) affines, jamais aux intersections.

## 12.3 Compacité des segments

**Théorème 12.19 (Les segments sont séquentiellement compacts).**

Soient $a \leq b$. De toute suite de points de $\intcc{a}{b}$ on peut extraire une suite convergeant vers un point *de* $\intcc{a}{b}$.

Plus généralement, les parties de $\R$ possédant cette propriété (de toute suite on peut extraire une suite convergeant dans la partie) sont exactement les parties *[fermées](#def-b1-topology-closed) et bornées*.

**Démonstration.** Une suite à valeurs dans $\intcc{a}{b}$ est bornée, donc le [théorème de Bolzano–Weierstrass](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/11-suites#thm-b1-seq-bw) permet d’en extraire une suite convergente ([Théorème 11.16](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/11-suites#thm-b1-seq-bw)) ; sa limite reste dans $\intcc{a}{b}$ car les segments sont [fermés](#def-b1-topology-closed) ([Théorème 12.6](#thm-b1-topology-seqclosed)).

Cas général. *([Fermé](#def-b1-topology-closed) borné $\Rightarrow$ compact)* : soit $F$ [fermé](#def-b1-topology-closed) et borné, et $(u_n)$ une suite de $F$. Le caractère borné de $F$ borne la suite, donc Bolzano–Weierstrass en extrait $u_{\varphi(n)} \to \ell$ ; et $\ell \in F$ car $F$ est [fermé](#def-b1-topology-closed) et la [suite extraite](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/11-suites#def-b1-seq-subsequence) est une suite convergente de points de $F$ ([Théorème 12.6](#thm-b1-topology-seqclosed)) : les deux hypothèses sont consommées une par une, le caractère borné pour l’existence de la limite, le caractère [fermé](#def-b1-topology-closed) pour son appartenance. *(Compact $\Rightarrow$ [fermé](#def-b1-topology-closed) et borné)* : si $F$ n’est pas borné, choisissons $u_n \in F$ avec $\abs{u_n} \geq n$ ; toute [suite extraite](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/11-suites#def-b1-seq-subsequence) est non bornée, donc divergente ([Proposition 11.4](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/11-suites#prop-b1-seq-first)) : aucune [suite extraite](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/11-suites#def-b1-seq-subsequence) ne converge. Si $F$ n’est pas [fermé](#def-b1-topology-closed), prenons $u_n \in F$ avec $u_n \to \ell \notin F$ ([Théorème 12.6](#thm-b1-topology-seqclosed)) : toute [suite extraite](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/11-suites#def-b1-seq-subsequence) converge vers $\ell \notin F$, donc aucune [suite extraite](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/11-suites#def-b1-seq-subsequence) ne converge *dans* $F$. ∎

**Exemple 12.20 (Compacts emboîtés).**

Un premier exercice d’application du théorème. Soient $K_0 \supseteq
K_1 \supseteq K_2 \supseteq \dots$ des parties compactes ([fermées](#def-b1-topology-closed) bornées) non vides de $\R$. Alors $\bigcap_n K_n \neq \emptyset$. En effet, choisissons $x_n \in K_n$ pour chaque $n$ : la suite vit dans le compact $K_0$, donc une [suite extraite](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/11-suites#def-b1-seq-subsequence) $x_{\varphi(n)}$ converge vers un certain $x$ ([Théorème 12.19](#thm-b1-topology-compact)). Pour tout $m$ fixé, les termes $x_{\varphi(n)}$ avec $\varphi(n) \geq m$ appartiennent tous au [fermé](#def-b1-topology-closed) $K_m$, donc la limite $x$ appartient à $K_m$ ([Théorème 12.6](#thm-b1-topology-seqclosed)) ; comme $m$ était quelconque, $x \in \bigcap_n K_n$. Un compagnon utile : si un [ouvert](#def-b1-topology-open) $U$ contient $\bigcap_n K_n$, alors $U \supseteq K_n$ pour un certain $n$ — appliquer le même argument à des points $x_n \in K_n
\setminus U$ ; la limite $x$ appartiendrait à $\bigcap K_n \subseteq
U$, or $U$ [ouvert](#def-b1-topology-open) force $x_{\varphi(n)} \in U$ à partir d’un certain rang, contradiction. Les deux énoncés tombent en défaut sans compacité : $\bigcap_n \intoo{0}{\frac 1n} = \emptyset$ et $\bigcap_n \intco{n}{+\infty} = \emptyset$. L’idée à retenir : la compacité convertit une chaîne infinie d’[assertions](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-statement) de non-vacuité en un unique point limite — c’est l’outil qui survit au passage à l’intersection infinie, et le devoir maison ([Problème 12.1](#pb-b1-topology-1)) s’y appuiera deux fois.

![Les quatre premières étapes de la construction par tiers médians : chaque segment de C_n perd son tiers médian ouvert, laissant les 2n+1 segments de C_n+1, de longueur totale (2/3)n+1. L’ensemble de Cantor C = _n C_n — objet du devoir maison — est le résidu compact non vide garanti par l’argument des compacts emboîtés ci-dessus : longueur nulle, et pourtant une infinité non dénombrable de points survivent.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-topology/fig-8f10851209c3.svg)

*Les quatre premières étapes de la construction par tiers médians : chaque segment de $C_n$ perd son tiers médian [ouvert](#def-b1-topology-open), laissant les $2^{n+1}$ segments de $C_{n+1}$, de longueur totale $(\frac23)^{n+1}$. L’[ensemble de Cantor](#pb-b1-topology-1) $C = \bigcap_n C_n$ — objet du devoir maison [Problème 12.1](#pb-b1-topology-1) — est le résidu compact non vide garanti par l’argument des compacts emboîtés ci-dessus : longueur nulle, et pourtant une infinité non dénombrable de points survivent.*

**Remarque 12.21.**

C’est le moteur du théorème des bornes atteintes ([Chapitre 13](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#ch-b1-continuity)) et du théorème de Heine sur la continuité uniforme. Le mot « compact » recevra sa définition générale (par recouvrements) en deuxième année ; sur $\R$, la compacité séquentielle suffit, et « compact $=$ [fermé](#def-b1-topology-closed) $+$ borné » est l’énoncé à retenir.

**Exemple 12.22 (Frontières et réunions).**

On a toujours $\partial(A \cup B) \subseteq \partial A \cup \partial
B$ : un point de $\partial(A \cup B)$ a tous ses [voisinages](#def-b1-topology-open) qui rencontrent $A \cup B$ (donc $A$ ou $B$, l’un des deux une infinité de fois) et qui rencontrent le complémentaire de $A \cup
B$, lequel est contenu dans les deux complémentaires — une brève vérification place alors le point dans $\partial A$ ou dans $\partial B$. L’inclusion peut être spectaculairement stricte : avec $A = \Q$ et $B = \R\setminus\Q$,

$$
\partial(A \cup B) = \partial \R = \emptyset ,
\qquad
\partial A \cup \partial B = \R \cup \R = \R :
$$

deux [ensembles](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) déchiquetés peuvent se recoller en un [ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) sans couture, leurs [frontières](#def-b1-topology-closure) s’annihilant l’une l’autre. L’idée à retenir : l’[intérieur](#def-b1-topology-closure) et l’[adhérence](#def-b1-topology-closure) se comportent *monotonement* vis-à-vis des réunions et des intersections, mais pas les [frontières](#def-b1-topology-closure) — traitez $\partial$ comme une quantité dérivée ($\overline A \setminus \mathring A$), jamais comme un opérateur doté d’une algèbre propre.

**Remarque 12.23 (Perspectives à l’intérieur de ce volume).**

Le vocabulaire construit ici est réemployé deux fois encore dans ce livre. Dans le [Chapitre 13](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#ch-b1-continuity), chaque théorème est un énoncé de topologie déguisé : le théorème des valeurs intermédiaires dit que les [applications](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-map) continues préservent la propriété d’[intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals), le théorème des bornes atteintes qu’elles préservent la compacité — et les démonstrations appellent les Théorèmes [12.6](#thm-b1-topology-seqclosed) et [12.19](#thm-b1-topology-compact) par leur nom. Dans le [Chapitre 25](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/25-fonctions-de-deux-variables#ch-b1-multivar), les mêmes définitions sont relues dans $\R^2$ avec des disques à la place des [intervalles](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) : [ouverts](#def-b1-topology-open), [adhérences](#def-b1-topology-closure) et compacité se transposent mot pour mot, et le théorème des bornes atteintes à deux variables repose de nouveau sur Bolzano–Weierstrass (extraire sur chaque coordonnée). La seule notion qui ne se généralise *pas* sans douleur est l’[intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) lui-même — dans le plan, la connexité remplace la convexité, une histoire qui commence avec le « seuls $\emptyset$ et $\R$ sont à la fois [ouverts](#def-b1-topology-open) et [fermés](#def-b1-topology-closed) » de l’[Exercice 12.9](#exo-b1-topology-9).

## 12.4 Exercices

**Exercice 12.1 ★.**

Pour chacune des parties suivantes, dire si elle est [ouverte](#def-b1-topology-open), [fermée](#def-b1-topology-closed), les deux, ou ni l’une ni l’autre (avec justification) : $\intoo{0}{1} \cup \intoo{2}{3}$ ; $\;\intco{0}{1}$ ; $\;\{0\} \cup \intcc{1}{2}$ ; $\;\R \setminus \Z$ ; $\;\Q \cap
\intoo{0}{1}$.

**Solution de Exercice 12.1.**

$\intoo{0}{1} \cup \intoo{2}{3}$ : [ouvert](#def-b1-topology-open) (réunion d’[ouverts](#def-b1-topology-open)), non [fermé](#def-b1-topology-closed) ($\frac 1n \to 0$, qui est en dehors).

$\intco{0}{1}$ : ni l’un ni l’autre. Non [ouvert](#def-b1-topology-open) (aucun [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) autour de $0$ n’y est contenu) ; non [fermé](#def-b1-topology-closed) ($1 - \frac1n \to 1 \notin$ l’[ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets)).

$\{0\} \cup \intcc{1}{2}$ : [fermé](#def-b1-topology-closed) (réunion finie de [fermés](#def-b1-topology-closed)), non [ouvert](#def-b1-topology-open) (cela échoue en $0$).

$\R \setminus \Z$ : [ouvert](#def-b1-topology-open) ($\Z$ est [fermé](#def-b1-topology-closed)), non [fermé](#def-b1-topology-closed) : la suite $\bigl(\frac 1n\bigr)$ y est à valeurs, mais sa limite $0$ appartient à $\Z$, c’est-à-dire s’échappe de l’[ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets).

$\Q \cap \intoo{0}{1}$ : ni l’un ni l’autre. Non [ouvert](#def-b1-topology-open) : tout [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) autour d’un rationnel contient des irrationnels. Non [fermé](#def-b1-topology-closed) : il contient des suites tendant vers l’irrationnel $\frac{\sqrt 2}{2}$ ([densité](#def-b1-topology-dense)).

**Exercice 12.2 ★.**

Déterminer $\mathring A$, $\overline A$ et $\partial A$ pour : $A = \intoc{0}{1} \cup \{2\}$ ; $\;A = \R \setminus \Q$ ; $\;A = \bigl\{\frac{(-1)^n n}{n+1} : n \in \N\bigr\}$.

**Solution de Exercice 12.2.**

$A = \intoc{0}{1} \cup \{2\}$ : $\mathring A = \intoo{0}{1}$, $\overline A = \intcc{0}{1} \cup \{2\}$, $\partial A = \{0, 1, 2\}$.

$A = \R \setminus \Q$ : $\mathring A = \emptyset$ (tout [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) contient des rationnels), $\overline A = \R$ ([densité](#def-b1-topology-dense) des irrationnels), $\partial A = \R$.

$A = \bigl\{\frac{(-1)^n n}{n+1}\bigr\}$ : les termes pairs tendent vers $1$, les termes impairs vers $-1$, et aucune de ces deux valeurs n’appartient à $A$. $\mathring A = \emptyset$ (points isolés), $\overline A = A \cup \{-1, 1\}$, $\partial A = \overline A$.

**Exercice 12.3 ★.**

Démontrer qu’un [ensemble fini](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/2-denombrement#def-b1-counting-card) est [fermé](#def-b1-topology-closed), d’abord par le complémentaire, puis par la caractérisation séquentielle.

**Solution de Exercice 12.3.**

*Par le complémentaire.* $F = \{a_1 < a_2 < \dots < a_k\}$ : le complémentaire est la réunion des [intervalles](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) [ouverts](#def-b1-topology-open) $\intoo{-\infty}{a_1}$, $\intoo{a_i}{a_{i+1}}$, $\intoo{a_k}{+\infty}$ — [ouvert](#def-b1-topology-open) d’après la [Proposition 12.3](#prop-b1-topology-openstable).

*Par les suites.* Soit $u_n \in F$, $u_n \to \ell$. Avec $\varepsilon = \min\{\abs{a_i - a_j} : i \neq j\}/2 > 0$ (ou n’importe quel $\varepsilon$ si $F$ est un singleton) : à partir d’un certain rang, tous les termes sont à distance $\leq \varepsilon$ de $\ell$, donc à distance $\leq 2\varepsilon$ les uns des autres, ce qui les force à être un seul et même $a_i$ à partir de ce rang ; alors $\ell = a_i \in F$.

**Exercice 12.4 ★.**

Démontrer que, pour toutes parties $A, B \subseteq \R$ : $\overline{A \cup B} = \overline A \cup \overline B$. Montrer sur un exemple que $\overline{A \cap B}$ peut différer de $\overline A \cap
\overline B$.

**Solution de Exercice 12.4.**

$\subseteq$ : $\overline A \cup \overline B$ est [fermé](#def-b1-topology-closed) (réunion finie) et contient $A \cup B$, donc il contient le *plus petit* [fermé](#def-b1-topology-closed) contenant $A \cup B$, à savoir $\overline{A \cup B}$. $\supseteq$ : $A \subseteq A \cup B$ donne $\overline A \subseteq \overline{A \cup B}$ (l’[adhérence](#def-b1-topology-closure) est croissante : les points adhérents à $A$ le sont au plus grand [ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets)), et de même pour $B$.

Contre-exemple pour les intersections : $A = \intoo{0}{1}$, $B =
\intoo{1}{2}$ : $\overline{A \cap B} = \overline\emptyset = \emptyset$ mais $\overline A \cap \overline B = \{1\}$.

**Exercice 12.5 ★★.**

Soit $u_n \to \ell$ dans $\R$. Démontrer que l’[ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) $\{u_n : n \in
\N\} \cup \{\ell\}$ est [fermé](#def-b1-topology-closed) (donc compact si l’on ajoute qu’il est borné — ce qu’il est).

**Solution de Exercice 12.5.**

Utilisons la caractérisation séquentielle ([Théorème 12.6](#thm-b1-topology-seqclosed)). Posons $S = \{u_n\} \cup \{\ell\}$ et soit $(v_k)$ une suite de $S$ avec $v_k \to m$ ; montrons que $m \in S$. Deux cas. Si une valeur $v \in S$ est prise une infinité de fois par $(v_k)$, une [suite extraite](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/11-suites#def-b1-seq-subsequence) constante donne $m = v \in S$. Sinon, chaque valeur n’est prise qu’un nombre fini de fois ; en particulier, pour chaque $n$, le terme $u_n$ n’apparaît qu’un nombre fini de fois, et $\ell$ aussi. Alors, pour tout $N$, les indices $k$ tels que $v_k \in \{u_0, \dots, u_N, \ell\}$ sont en nombre fini : les $v_k$ restants sont des termes $u_n$ avec $n > N$. Étant donné $\varepsilon > 0$, choisissons $N$ tel que $\abs{u_n - \ell} \leq
\varepsilon$ pour $n > N$ : tous les $v_k$ sauf un nombre fini vérifient $\abs{v_k - \ell} \leq \varepsilon$. Donc $v_k \to \ell$, et $m = \ell \in S$.

**Exercice 12.6 ★★.**

Soient $U$ un [ouvert](#def-b1-topology-open) et $A$ une partie quelconque. Démontrer que $U + A = \{u + a\}$ est [ouvert](#def-b1-topology-open). En déduire que la somme d’un [ouvert](#def-b1-topology-open) et d’une partie quelconque est [ouverte](#def-b1-topology-open), et contraster : exhiber deux *[fermés](#def-b1-topology-closed)* dont la somme n’est pas [fermée](#def-b1-topology-closed). *(Essayer $\Z$ et $\sqrt 2\,\Z$, avec l’[Exercice 10.9](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#exo-b1-reals-9).)*

**Solution de Exercice 12.6.**

$U + A = \bigcup_{a \in A} (U + a)$, et chaque translaté $U + a$ est [ouvert](#def-b1-topology-open) (il suffit de translater les certificats d’[intervalles](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals)). Une réunion d’[ouverts](#def-b1-topology-open) est [ouverte](#def-b1-topology-open) ([Proposition 12.3](#prop-b1-topology-openstable)).

[Fermés](#def-b1-topology-closed) : $\Z$ et $\sqrt 2\,\Z$ sont [fermés](#def-b1-topology-closed) (comme tout $\alpha\Z$ : les suites convergentes y sont stationnaires, cf. [Exemple 12.8](#ex-b1-topology-closed)). Leur somme $\Z + \sqrt 2\,\Z$ est [dense](#def-b1-topology-dense) dans $\R$ ([Exercice 10.9](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#exo-b1-reals-9)) mais n’est pas $\R$ (elle est dénombrable, ou plus simplement : $\frac{\sqrt 2}{2} \notin \Z +
\sqrt2\Z$, sans quoi $\sqrt 2$ serait rationnel — écrire $\frac{\sqrt2}{2} = m + n\sqrt 2$ force $(2n - 1)\sqrt 2 = -2m$, donc $\sqrt 2 \in \Q$ sauf si $n = \frac12$, ce qui est impossible). Une partie [dense](#def-b1-topology-dense) et propre n’est pas [fermée](#def-b1-topology-closed) : son [adhérence](#def-b1-topology-closure) est $\R$, distincte d’elle-même.

**Exercice 12.7 ★★.**

Un point $x \in A$ est *isolé* dans $A$ lorsqu’un [voisinage](#def-b1-topology-open) de $x$ rencontre $A$ en $x$ seulement. Démontrer que tout point de $\Z$ est isolé dans $\Z$, que $A = \{\frac1n\}$ a tous ses points isolés alors que $\overline A \neq A$, et qu’un [ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) dont tous les points sont isolés est d’[intérieur](#def-b1-topology-closure) vide.

**Solution de Exercice 12.7.**

$\Z$ : le [voisinage](#def-b1-topology-open) $\intoo{n - \frac12}{n + \frac12}$ de $n$ rencontre $\Z$ en $n$ seulement.

$A = \{\frac1n : n \in \N^*\}$ : autour de $\frac 1n$, l’[intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) de rayon $\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{1}{n(n+1)}$ (divisé par deux, disons) le sépare de ses voisins — tous les points sont isolés. Pourtant $0 \in \overline A \setminus A$ : des points isolés n’empêchent pas des adhérents venus de l’extérieur.

Si tous les points de $A$ sont isolés : aucun point de $A$ n’est [intérieur](#def-b1-topology-closure), car un point [intérieur](#def-b1-topology-closure) possède autour de lui tout un [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) de points de $A$ (un [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) est infini), ce qui contredit l’isolement. Donc $\mathring A = \emptyset$.

**Exercice 12.8 ★★.**

Démontrer que l’[adhérence](#def-b1-topology-closure) d’une partie bornée est bornée, et que $\sup \overline A = \sup A$ pour $A$ non vide et majorée. En déduire que $\sup A \in \overline A$ : la [borne supérieure](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#def-b1-reals-bounds) est toujours adhérente.

**Solution de Exercice 12.8.**

Si $A \subseteq \intcc{-M}{M}$, le [fermé](#def-b1-topology-closed) $\intcc{-M}{M}$ contient $A$, donc contient $\overline A$ (plus petit [fermé](#def-b1-topology-closed) contenant $A$) : $\overline A$ est bornée.

Soit $s = \sup A$ (fini). Comme $A \subseteq \overline A$, on a $\sup
\overline A \geq s$. Réciproquement, $\overline A \subseteq
\intoc{-\infty}{s}$ : cette demi-droite est [fermée](#def-b1-topology-closed) et contient $A$ ; donc tout élément de $\overline A$ est $\leq s$, ce qui donne $\sup\overline A \leq s$. D’où l’égalité.

$s \in \overline A$ : par la caractérisation en $\varepsilon$ ([Proposition 10.4](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-epsilon)), tout [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) $\intoo{s -
\varepsilon}{s + \varepsilon}$ contient un élément de $A$ : $s$ est adhérent.

**Exercice 12.9 ★★★.**

Démontrer que les seules parties de $\R$ à la fois [ouvertes](#def-b1-topology-open) et [fermées](#def-b1-topology-closed) sont $\emptyset$ et $\R$. *Indication : supposer $A$ [ouvert](#def-b1-topology-open), [fermé](#def-b1-topology-closed), avec $A \neq \emptyset$ et $\R \setminus A \neq \emptyset$ ; choisir $a \in A$, $b \notin A$, disons $a < b$, et considérer $s =
\sup\,(A \cap \intcc{a}{b})$ ; décider si $s$ peut appartenir à $A$ ou à son complémentaire.*

**Solution de Exercice 12.9.**

Supposons $A$ [ouvert](#def-b1-topology-open) et [fermé](#def-b1-topology-closed), avec $a \in A$ et $b \in \R
\setminus A$ ; quitte à échanger les rôles, $a < b$. L’[ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) $B = A
\cap \intcc{a}{b}$ est non vide (il contient $a$) et borné : posons $s = \sup B$. D’après l’[Exercice 12.8](#exo-b1-topology-8), $s \in \overline B
\subseteq \overline A = A$ ($A$ [fermé](#def-b1-topology-closed)). Remarquons que $s \leq b$ et, puisque $b \notin A$ : $s < b$. Or $A$ est [ouvert](#def-b1-topology-open) : un [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) $\intoo{s - r}{s + r}$ est contenu dans $A$, et on peut prendre $r < b - s$. Alors $s + \frac{r}{2}$ appartient à $A \cap
\intcc{a}{b} = B$ et dépasse $s$ — ce qui contredit $s = \sup B$. Il n’existe donc aucun tel couple $(a, b)$ : l’un des [ensembles](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) $A$, $\R \setminus A$ est vide.

**Exercice 12.10 ★★★.**

(Structure des [ouverts](#def-b1-topology-open)) Soit $U \subseteq \R$ un [ouvert](#def-b1-topology-open) non vide. Pour $x \in U$, soit $I_x$ la réunion de tous les [intervalles](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) [ouverts](#def-b1-topology-open) contenant $x$ et contenus dans $U$. Démontrer que $I_x$ est un [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) [ouvert](#def-b1-topology-open), que deux [ensembles](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) $I_x$, $I_y$ sont égaux ou disjoints, et que $U$ est une réunion *dénombrable* d’[intervalles](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) [ouverts](#def-b1-topology-open) deux à deux disjoints *(choisir un rationnel dans chacun)*.

**Solution de Exercice 12.10.**

$I_x$ est une réunion d’[intervalles](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) [ouverts](#def-b1-topology-open) contenant tous $x$ : il est [ouvert](#def-b1-topology-open), et c’est un [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals), car il est convexe — si $u < z < v$ avec $u, v \in I_x$, alors $u$ et $v$ appartiennent à des [sous-intervalles](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) [ouverts](#def-b1-topology-open) $J_u \ni x$, $J_v \ni x$ de $U$, et $J_u \cup J_v$ est un [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) (tous deux contiennent $x$) inclus dans $U$ et contenant $z$ ; donc $z \in I_x$ ([Proposition 10.19](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals)).

Si $I_x \cap I_y \neq \emptyset$ : $I_x \cup I_y$ est alors un [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) [ouvert](#def-b1-topology-open) (convexe : deux [intervalles](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) qui se chevauchent) contenu dans $U$ et contenant $x$ et $y$, donc $I_x \cup I_y \subseteq
I_x$ et $\subseteq I_y$ par maximalité de chacun : $I_x = I_y$.

Ainsi $U$ est la réunion disjointe des [ensembles](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) $I_x$ distincts (chaque $x \in U$ appartient à son propre $I_x$). Dénombrabilité : chaque [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) [ouvert](#def-b1-topology-open) non vide $I$ de la famille contient un rationnel $q_I$ ([Théorème 10.14](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#thm-b1-reals-density)), et des [intervalles](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) distincts, donc disjoints, reçoivent des rationnels distincts : la famille s’injecte dans $\Q$, qui est dénombrable (il est indexé par des couples d’entiers). Il y a donc au plus une infinité dénombrable d’[intervalles](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals).

**Exercice 12.11 ★★.**

Un point $x \in \R$ est un *point d’accumulation* de $A$ lorsque tout [voisinage](#def-b1-topology-open) de $x$ rencontre $A \setminus \{x\}$ ; leur [ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) est l’*[ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) dérivé* $A'$. Démontrer que $\overline A = A \cup A'$, et que $A$ est [fermé](#def-b1-topology-closed) si et seulement si $A' \subseteq A$. Déterminer $A'$ pour $A = \{\frac 1n : n \in \N^*\}$, pour $A = \Z$, et pour $A = \Q$.

**Solution de Exercice 12.11.**

$\overline A = A \cup A'$. ($\supseteq$) On a toujours $A \subseteq
\overline A$ ; et si $x \in A'$, tout [voisinage](#def-b1-topology-open) de $x$ rencontre $A
\setminus \{x\} \subseteq A$, donc $x$ est adhérent. ($\subseteq$) Soit $x \in \overline A$. Si $x \in A$, c’est fini. Si $x \notin A$, tout [voisinage](#def-b1-topology-open) de $x$ rencontre $A = A \setminus \{x\}$ : $x \in
A'$.

Par conséquent, $A$ est [fermé](#def-b1-topology-closed) $\iff$ $A = \overline A = A \cup A'$ $\iff$ $A' \subseteq A$.

$A = \{\frac 1n\}$ : $0$ est point d’accumulation ($\frac 1n \to
0$, termes $\neq 0$) ; chaque $\frac 1n$ est isolé ([Exercice 12.7](#exo-b1-topology-7)), donc n’est pas dans $A'$ ; et un point $x \notin A \cup \{0\}$ possède tout un [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) évitant $A$ (entre les deux voisins de $x$ dans $A \cup \{0\}$, ou au-delà de $1$). Donc $A' = \{0\}$.

$\Z' = \emptyset$ : tout entier est isolé, tout non-entier possède un [voisinage](#def-b1-topology-open) contenu dans $\R \setminus \Z$.

$\Q' = \R$ : tout [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) autour d’un réel quelconque contient une infinité de rationnels ([Théorème 10.14](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#thm-b1-reals-density)), en particulier un différent du centre.

**Exercice 12.12 ★★★.**

Pour $A \subseteq \R$ non vide, on pose $d_A(x) = \inf\{\abs{x - a}
: a \in A\}$. Démontrer :

1. $\abs{d_A(x) - d_A(y)} \leq \abs{x - y}$ pour tous $x, y$ ( $d_A$ est $1$ -lipschitzienne) ;
2. $d_A(x) = 0$ si et seulement si $x \in \overline A$ ; en particulier, si $F$ est [fermé](#def-b1-topology-closed) et $x \notin F$ , alors $d_F(x) > 0$ ;
3. pour tout $\varepsilon > 0$ , l’ [ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) $V_\varepsilon =  \{x : d_F(x) < \varepsilon\}$ est [ouvert](#def-b1-topology-open) , contient $F$ , et $\bigcap_{\varepsilon > 0} V_\varepsilon = F$ lorsque $F$ est [fermé](#def-b1-topology-closed) : tout [fermé](#def-b1-topology-closed) est une intersection dénombrable d’ [ouverts](#def-b1-topology-open) .

**Solution de Exercice 12.12.**

1. Pour tout $a \in A$ : $\abs{x - a} \leq \abs{x - y} +  \abs{y - a}$ , donc $d_A(x) \leq \abs{x - y} + \abs{y - a}$ ; en passant à la [borne inférieure](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#def-b1-reals-bounds) sur $a$ : $d_A(x) \leq  \abs{x - y} + d_A(y)$ . En échangeant $x$ et $y$ on obtient l’autre inégalité : $\abs{d_A(x) - d_A(y)} \leq \abs{x - y}$ .
2. $d_A(x) = 0$ $\iff$ pour tout $\varepsilon > 0$ il existe $a \in A$ avec $\abs{x - a} < \varepsilon$ $\iff$ tout [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) autour de $x$ rencontre $A$ $\iff$ $x \in \overline A$ . Si $F$ est [fermé](#def-b1-topology-closed) et $x \notin F = \overline F$ , alors $d_F(x) \neq 0$ , c’est-à-dire $d_F(x) > 0$ .
3. Si $d_F(x) < \varepsilon$ , posons $r = \varepsilon -  d_F(x) > 0$ : pour $\abs{y - x} < r$ , le point (1) donne $d_F(y) \leq d_F(x) + \abs{x - y} < \varepsilon$ : l’ [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) $\intoo{x - r}{x + r}$ est contenu dans $V_\varepsilon$ , qui est donc [ouvert](#def-b1-topology-open) ; il contient $F$ puisque $d_F = 0$ sur $F$ . Enfin $x \in  \bigcap_{\varepsilon>0} V_\varepsilon$ $\iff$ $d_F(x) <  \varepsilon$ pour tout $\varepsilon$ $\iff$ $d_F(x) = 0$ $\iff$ $x \in \overline F = F$ . Comme $\bigcap_{\varepsilon > 0} V_\varepsilon =  \bigcap_{n \geq 1} V_{1/n}$ , tout [fermé](#def-b1-topology-closed) est une intersection dénombrable d’ [ouverts](#def-b1-topology-open) .

## 12.5 Problème : l’ensemble de Cantor, minuscule et énorme à la fois

**Problème 12.1.**

Devoir maison — l’[ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) triadique de Cantor : longueur nulle, non dénombrable, parfait, et $C + C =
\intcc{0}{2}$

Retirer de $\intcc{0}{1}$ son tiers médian [ouvert](#def-b1-topology-open), puis le tiers médian de chaque segment restant, et recommencer indéfiniment : ce qui survit est l’*[ensemble de Cantor](#pb-b1-topology-1)* $C$, la fabrique fondamentale de contre-exemples de l’analyse. Ce problème le construit, le lit à travers la machinerie en base $3$ du [Problème 10.1](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#pb-b1-reals-1), et établit son portrait paradoxal : longueur totale nulle, et pourtant non dénombrable ; [intérieur](#def-b1-topology-closure) vide, et pourtant aucun point isolé ; totalement discontinu, et pourtant $C + C$ remplit le segment $\intcc{0}{2}$ tout entier. Formellement : $C_0 = \intcc{0}{1}$, et $C_{n+1}$ s’obtient à partir de $C_n$ en supprimant le tiers médian [ouvert](#def-b1-topology-open) de chaque segment de $C_n$ ; finalement $C =
\bigcap_{n \geq 0} C_n$. Dans tout le problème, un *code ternaire* de $x \in \intcc{0}{1}$ est une suite de chiffres $(d_k)_{k\geq1}$ avec $d_k \in \{0, 1, 2\}$ dont la valeur $\sup_n \sum_{k=1}^n d_k 3^{-k}$ vaut $x$ — les codes impropres (égaux à $2$ à partir d’un rang) sont autorisés ; d’après le [Problème 10.1](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#pb-b1-reals-1) (questions 9 à 11), tout $x \in
\intcc{0}{1}$ possède un ou deux codes, deux exactement lorsque $x = m/3^N \in \intoo{0}{1}$.

**Partie I — La construction.**

1. Décrire explicitement $C_1$ et $C_2$ comme réunions de segments, et démontrer par récurrence : $C_n$ est une réunion disjointe de $2^n$ segments [fermés](#def-b1-topology-closed) , chacun de longueur $3^{-n}$ .
2. Montrer que $C$ est [fermé](#def-b1-topology-closed) , borné — donc compact ( [Théorème 12.19](#thm-b1-topology-compact) ) — non vide, et que toute extrémité de tout segment de tout $C_n$ appartient à $C$ .
3. La longueur totale de $C_n$ vaut $\bigl(\frac23\bigr)^n$ . En déduire que, pour tout $\varepsilon > 0$ , l’ [ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) $C$ peut être recouvert par un nombre fini de segments de longueur totale $\leq \varepsilon$ : l’ [ensemble de Cantor](#pb-b1-topology-1) est *de longueur nulle* .
4. Montrer qu’un [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) contenu dans $C$ a une longueur $\leq 3^{-n}$ pour tout $n$ , donc est vide ou réduit à un point : $\mathring C = \emptyset$ . Étant [fermé](#def-b1-topology-closed) et d’ [intérieur](#def-b1-topology-closure) vide, $C$ est *nulle part [dense](#def-b1-topology-dense)* .

**Partie II — Le code ternaire.**

5. Démontrer la relation d’autosimilarité $$C_{n+1} = \tfrac13 C_n \,\cup\,  \bigl(\tfrac23 + \tfrac13 C_n\bigr),  \qquad\text{d'où}\qquad  C = \tfrac13 C \,\cup\, \bigl(\tfrac23 + \tfrac13  C\bigr),$$ les deux morceaux étant disjoints : $C$ est formé de deux copies de lui-même à l’échelle $\frac13$.
6. Démontrer par récurrence sur $n$ : $x \in C_n$ si et seulement si $x$ possède un code ternaire dont les $n$ premiers chiffres sont dans $\{0, 2\}$ . En déduire, en utilisant le fait que $x$ possède au plus deux codes : $x \in C$ si et seulement si $x$ possède un code *sans aucun chiffre égal à $1$* (un code *sans $1$* ).
7. Les codes en action : donner des codes sans $1$ pour $0$ , $1$ , $\frac13$ , $\frac23$ ; montrer que $\frac14 = (0.\overline{02})_3$ et $\frac34 = (0.\overline{20})_3$ , de sorte que tous deux appartiennent à $C$ ; et vérifier que $\frac14$ n’est *pas* une extrémité d’un $C_n$ (les extrémités sont de la forme $m/3^n$ ).
8. Montrer que chaque $x \in C$ possède *exactement un* code sans $1$ *(lorsque $x$ possède deux codes, démontrer qu’exactement l’un des deux contient le chiffre $1$)* . Conclure : l’ [application](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-map) « valeur » est une [bijection](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) de l’ [ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) des suites $\{0,2\}$ sur $C$ .
9. (Diagonale) Soit $k \mapsto x_k$ une [application](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-map) quelconque $\N^* \to C$ . Construire une suite $\{0, 2\}$ différant à l’indice $k$ du code de $x_k$ , et en conclure que $C$ n’est pas dénombrable — alors que, par contraste, la question 3 le dit métriquement négligeable.

**Partie III — Portrait topologique.**

10. Rassembler le bilan obtenu : $C$ est compact, non dénombrable, de longueur nulle, nulle part [dense](#def-b1-topology-dense) . Pour chaque propriété, dire si la seule inclusion $C \subseteq  C_n$ suffit à la porter.
11. ( $C$ est parfait) Soit $x \in C$ de code sans $1$ égal à $(d_k)$ . Échanger le chiffre $d_n$ ( $0 \leftrightarrow  2$ ) produit $x_n \in C$ avec $\abs{x_n - x} = 2 \cdot  3^{-n}$ . En conclure que $C$ n’a aucun point isolé : tout point de $C$ est limite d’ *autres* points de $C$ .
12. Montrer que les extrémités de la question 2 forment une partie dénombrable [dense](#def-b1-topology-dense) de $C$ *(tronquer le code après $n$ chiffres et poursuivre par des $0$ ; dénombrabilité comme dans l’[Exercice 12.10](#exo-b1-topology-10))* . Conclure : le point typique de $C$ — comme $\frac14$ — n’est *pas* une extrémité : les extrémités forment un squelette dénombrable à l’intérieur d’un corps non dénombrable.
13. (Totalement discontinu) Soient $x < y$ dans $C$ . Choisir $n$ tel que $3^{-n} < y - x$ et produire un point $z \in  \intoo{x}{y}$ avec $z \notin C$ . En conclure que les seuls [intervalles](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) non vides contenus dans $C$ sont les singletons.

**Partie IV — Arithmétique de $C$.**

14. Montrer que $1 - C = C$ *(que fait $x \mapsto 1 - x$ à un code sans $1$ ? rappelons que $1 = (0.\overline{2})_3$)* .
15. (Addition des codes) Montrer que si $x$ , $x'$ ont pour codes $(a_k)$ , $(b_k)$ , alors $x + x' = \lim_n\,(t_n + t'_n)$ où $t_n, t'_n$ sont les sommes partielles. En déduire : tout $y \in \intcc{0}{1}$ est le *milieu* de deux points de $C$ — étant donné un code $(e_k)$ de $y$ , choisir des chiffres $a_k, b_k \in \{0, 2\}$ tels que $\frac{a_k + b_k}{2} = e_k$ .
16. En conclure que $C + C = \intcc{0}{2}$ et, avec la question 14, que $C - C = \intcc{-1}{1}$ . Cas concret : écrire $1$ comme somme des deux points non extrémités trouvés à la question 7.
17. Réfléchir : un [ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) de longueur nulle dont l’ [ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) des différences remplit $\intcc{-1}{1}$ . Pourquoi n’y a-t-il pas de contradiction entre « $C$ est métriquement négligeable » et « $C + C$ est de longueur pleine » ? (Une phrase ; réfléchir à ce que la longueur contrôle et à ce qu’elle ne contrôle pas.)

**Partie V — Des éléments, rationnels et irrationnels.**

18. Combiner la question 8 avec le critère de périodicité du [Problème 10.1](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#pb-b1-reals-1) : un point de $C$ est rationnel si et seulement si son code sans $1$ est périodique à partir d’un certain rang. Effectuer la division en base $3$ pour vérifier que $\frac1{13} = (0.\overline{002})_3 \in C$ .
19. Produire un élément explicitement *irrationnel* de $C$ : la valeur du code valant $d_k = 2$ aux positions triangulaires $k = \frac{j(j+1)}{2}$ et $d_k = 0$ ailleurs. Justifier l’irrationalité par l’argument des écarts croissants du [Problème 10.1](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#pb-b1-reals-1) (question 20).
20. (Sur un segment tout entier) Considérer $h$ qui envoie le point de $C$ de code sans $1$ égal à $(d_k)$ sur la valeur de la suite *binaire* $\bigl(\frac{d_k}2\bigr)$ , c’est-à-dire $h(x) = \sup_n \sum_{k=1}^n \frac{d_k}{2}\,2^{-k}$ . Montrer que $h$ envoie $C$ *sur* $\intcc{0}{1}$ tout entier. Ainsi le négligeable $C$ se surjecte sur un segment de longueur pleine — une seconde démonstration du fait que $C$ n’est pas dénombrable.
21. (Longueur et autosimilarité) Supposons qu’une notion de longueur $L$ soit définie pour $C$ et ses copies réduites, respectant l’homothétie ( $L(\lambda A) = \lambda L(A)$ ), l’invariance par translation et l’additivité sur la décomposition disjointe de la question 5. Montrer qu’alors $L(C) = \frac23\,L(C)$ , ce qui force $L(C) = 0$ : l’autosimilarité seule condamne déjà $C$ à la longueur nulle.

**Partie VI — Un cousin gras, et la morale.**

22. ( [Ensemble de Cantor](#pb-b1-topology-1) gras) Reprendre la construction, mais en retirant à l’étape $n$ ( $n = 0, 1, 2, \dots$ ) de chacun des $2^n$ segments courants un [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) [ouvert](#def-b1-topology-open) central de longueur $4^{-(n+1)}$ seulement. Montrer que les longueurs $l_n$ des segments vérifient $l_{n+1} = \frac{l_n - 4^{-(n+1)}}{2}$ , $l_n =  \frac{2^n + 1}{2\cdot 4^n} > 0$ , que l’ [ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) $K = \bigcap K_n$ ainsi obtenu est compact d’ [intérieur](#def-b1-topology-closure) vide, et que la longueur totale retirée vaut $\sum_{n\geq0} 2^n 4^{-(n+1)} = \frac12$ . En admettant l’additivité (intuitive, Licence 3) de la longueur pour les réunions finies d’ [intervalles](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) , et en utilisant les deux énoncés de l’ [Exemple 12.20](#ex-b1-topology-nested) , montrer que toute famille finie d’ [intervalles](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) [ouverts](#def-b1-topology-open) recouvrant $K$ a une longueur totale $\geq \frac12$ : $K$ est nulle part [dense](#def-b1-topology-dense) mais *non* négligeable. La petitesse a plusieurs sens non équivalents.
23. (Distances) Montrer que, pour un [fermé](#def-b1-topology-closed) non vide $F \subseteq  \R$ et $x \in \R$, la [borne inférieure](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#def-b1-reals-bounds) $d(x, F)$ est *atteinte* *(suite minimisante et Bolzano–Weierstrass)*. Calculer ensuite $$\max_{y \in \intcc{0}{1}} d(y, C) = \frac16 ,$$ maximum atteint exactement au centre $y = \frac12$ *(un point d’un trou créé à l’étape $n$ est à distance au plus $\frac{3^{-n}}{2}$ des extrémités du trou, lesquelles appartiennent à $C$)*.
24. (Tout point est valeur d’ [adhérence](#def-b1-topology-closure) ) En utilisant les questions 12 et 2, produire une seule suite de $C$ dont l’ [ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) des valeurs d’ [adhérence](#def-b1-topology-closure) est $C$ *tout entier* . (À comparer : pour une suite convergente cet [ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) est réduit à un point — $C$ réalise l’extrême opposé parmi les compacts.)
25. Synthèse, une phrase pour chaque point : (i) quels théorèmes de ce chapitre la construction a-t-elle réellement consommés (stabilité des [fermés](#def-b1-topology-closed) , compacité, caractérisations séquentielles) ? (ii) énumérer les quatre couples paradoxaux du portrait (longueur nulle/non dénombrable, [fermé](#def-b1-topology-closed) / [intérieur](#def-b1-topology-closure) vide, parfait/totalement discontinu, négligeable/ $C+C$ plein) ; (iii) où $C$ refait-il surface plus tard (l’escalier du diable construit sur $h$ dans la théorie de la continuité, et la théorie de la mesure du volume de Licence 3, où $C$ sépare « dénombrable » de « négligeable ») ?

**Solution de Problème 12.1.**

**1.** $C_1 = \intcc{0}{\frac13} \cup \intcc{\frac23}{1}$ et

$$
C_2 = \intcc{0}{\tfrac19} \cup \intcc{\tfrac29}{\tfrac13}
\cup \intcc{\tfrac23}{\tfrac79} \cup \intcc{\tfrac89}{1} .
$$

Récurrence : si $C_n$ est une réunion disjointe de $2^n$ segments [fermés](#def-b1-topology-closed) de longueur $3^{-n}$, supprimer le tiers médian [ouvert](#def-b1-topology-open) de chacun laisse deux segments [fermés](#def-b1-topology-closed) de longueur $3^{-n-1}$ par parent : $2^{n+1}$ segments, deux à deux disjoints (les enfants de parents distincts sont séparés parce que les parents l’étaient ; les enfants d’un même parent sont séparés par le trou retiré).

**2.** Chaque $C_n$ est une réunion finie de segments, donc [fermé](#def-b1-topology-closed) ; $C = \bigcap C_n$ est une intersection de [fermés](#def-b1-topology-closed) : c’est un [fermé](#def-b1-topology-closed) ([Définition 12.5](#def-b1-topology-closed)) ; borné ($\subseteq
\intcc{0}{1}$) : donc compact d’après le [Théorème 12.19](#thm-b1-topology-compact). Non vide : $0$ appartient au segment le plus à gauche de chaque $C_n$. Soit $a$ une extrémité d’un segment $S$ de $C_n$. Pour $m \leq n$, $a \in C_n \subseteq C_m$. Pour les étapes suivantes : la suppression du tiers médian n’enlève jamais une extrémité, et $a$ est de nouveau une extrémité de l’un des deux enfants de $S$ (celui qui touche $a$) ; par récurrence $a \in C_m$ pour tout $m \geq n$ : $a \in C$.

**3.** Longueur totale de $C_n$ : $2^n \cdot 3^{-n} =
(\frac23)^n \to 0$. Étant donné $\varepsilon > 0$, choisissons $n$ tel que $(\frac23)^n \leq \varepsilon$ : alors $C \subseteq C_n$, réunion d’un nombre fini de segments de longueur totale $\leq
\varepsilon$.

**4.** Soit $I \subseteq C$ un [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) contenant deux points distincts. Pour tout $n$ : $I \subseteq C_n$, et $I$, étant convexe, doit être contenu dans un *seul* segment de $C_n$ (rencontrer deux segments forcerait $I$ à contenir un point du trou qui les sépare, lequel est hors de $C_n$). Donc la longueur de $I$ est $\leq
3^{-n}$ pour tout $n$ : contradiction. Ainsi les seuls [intervalles](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) contenus dans $C$ sont vides ou réduits à un point ; en particulier aucun $\intoo{x-r}{x+r}$ ne tient dans $C$ : $\mathring C =
\emptyset$. Comme $C$ est [fermé](#def-b1-topology-closed), $\overline C = C$ est d’[intérieur](#def-b1-topology-closure) vide : $C$ est nulle part [dense](#def-b1-topology-dense).

**5.** Posons $\varphi_0(x) = \frac x3$ et $\varphi_2(x) =
\frac{2 + x}{3}$, [bijections](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) affines croissantes de $\intcc{0}{1}$ sur $\intcc{0}{\frac13}$ et $\intcc{\frac23}{1}$. Affirmation : $C_{n+1} = \varphi_0(C_n) \cup \varphi_2(C_n)$. Pour $n = 0$ c’est la question 1. Récurrence : une [application](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-map) affine croissante envoie le tiers médian d’un segment sur le tiers médian du segment image, donc la suppression des tiers médians commute avec $\varphi_0$ et $\varphi_2$ ; en appliquant l’étape de suppression à $C_{n+1} =
\varphi_0(C_n) \cup \varphi_2(C_n)$ on obtient $C_{n+2} =
\varphi_0(C_{n+1}) \cup \varphi_2(C_{n+1})$. En intersectant sur $n$ : pour $x \leq \frac13$, $x \in C \iff x \in \varphi_0(C_n)$ pour tout $n$ $\iff 3x \in \bigcap C_n = C$ ; de même sur $\intcc{\frac23}{1}$ ; et aucun point de $\intoo{\frac13}{\frac23}$ n’appartient à $C_1$. Donc $C = \varphi_0(C) \cup \varphi_2(C)$, de façon disjointe.

**6.** Récurrence sur $n$ ; le cas $n = 0$ dit que tout $x \in
\intcc{0}{1}$ possède un code, ce qui est le [Problème 10.1](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#pb-b1-reals-1) (question 9 pour $x < 1$ ; $1 = (0.\overline 2)_3$). Supposons l’équivalence au rang $n$. Si $x \in C_{n+1}$ : d’après la question 5, $x = \varphi_i(z)$ avec $z \in C_n$ et $i \in \{0, 2\}$ ; si $(e_k)$ est un code de $z$ dont les $n$ premiers chiffres sont sans $1$, alors $(i, e_1, e_2, \dots)$ a pour sommes partielles $\frac i3
+ \frac13\sum_{k\leq m} e_k 3^{-k} \to \varphi_i(z) = x$ : c’est un code de $x$ dont les $n + 1$ premiers chiffres sont sans $1$. Réciproquement, si $x$ possède un code $(d_k)$ avec $d_1, \dots,
d_{n+1} \in \{0, 2\}$ : la suite décalée $(d_2, d_3, \dots)$ a une certaine valeur $z \in \intcc{0}{1}$, ses $n$ premiers chiffres sont sans $1$, et le calcul des sommes partielles lu à l’envers donne $x = \varphi_{d_1}(z)$ ; par hypothèse de récurrence $z \in C_n$, donc $x \in C_{n+1}$ par la question 5. Enfin : un code entièrement sans $1$ place $x$ dans chaque $C_n$, donc dans $C$ ; réciproquement si $x \in C$, alors pour chaque $n$ l’un des au plus deux codes de $x$ ([Problème 10.1](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#pb-b1-reals-1), question 11) a ses $n$ premiers chiffres sans $1$ ; un même code fixé doit convenir pour des $n$ arbitrairement grands ([principe des tiroirs](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/2-denombrement#cor-b1-counting-pigeonhole) entre deux codes), et un code dont les $n$ premiers chiffres sont sans $1$ pour des $n$ arbitrairement grands est sans $1$ tout court.

**7.** $0 = (0.\overline 0)_3$, $1 = (0.\overline 2)_3$, $\frac13 = (0.0\overline{2})_3$ (le jumeau impropre de $(0.1)_3$), $\frac23 = (0.2\overline{0})_3$. Sommes géométriques :

$$
(0.\overline{02})_3 = \sum_{j\geq1} \frac{2}{9^{\,j}}
= \frac{2/9}{1 - 1/9} = \frac14 ,
\qquad
(0.\overline{20})_3 = \sum_{j\geq1} \frac{2}{3\cdot 9^{\,j-1}}
= \frac{2/3}{1 - 1/9} = \frac34 ,
$$

tous deux sans $1$ : $\frac14, \frac34 \in C$. (Les sommes infinies abrègent des [bornes supérieures](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#def-b1-reals-bounds) de sommes partielles, comme dans le [Problème 10.1](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#pb-b1-reals-1).) Les extrémités des segments de $C_n$ sont de la forme $m/3^n$ (récurrence : les extrémités des enfants sont des extrémités du parent, ou en diffèrent d’un multiple de $3^{-n-1}$). Si $\frac14 = \frac{m}{3^n}$ alors $3^n = 4m$, et $4 \nmid 3^n$ : impossible. Donc $\frac14 \in C$ sans jamais être une extrémité.

**8.** Supposons que $x$ ait deux codes sans $1$ distincts. Avoir deux codes signifie ([Problème 10.1](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#pb-b1-reals-1), question 11, en base $3$) que $x = m/3^N \in \intoo{0}{1}$ et que les deux codes sont : le code fini, dont le dernier chiffre non nul $d_N \in \{1, 2\}$ est suivi de $0$, et son jumeau, portant $d_N - 1$ à la position $N$ puis des $2$. Si $d_N = 1$ le premier contient un $1$ ; si $d_N
= 2$ le jumeau porte $d_N - 1 = 1$. Dans les deux cas, au plus l’un des deux est sans $1$ : contradiction. Donc chaque $x \in C$ possède exactement un code sans $1$ (l’existence vient de la question 6), et des suites $\{0,2\}$ distinctes ont des valeurs distinctes. Toute suite $\{0,2\}$ a une valeur dans $\intcc{0}{1}$ (sommes partielles $\leq 1$) dont tous les préfixes sont sans $1$, donc une valeur dans chaque $C_n$, c’est-à-dire dans $C$ : l’[application](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-map) « valeur » est une [bijection](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) de l’[ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) des suites $\{0,2\}$ sur $C$.

**9.** Soit $(d^{(k)})$ le code sans $1$ de $x_k$ et posons $e_k = 2 - d^{(k)}_k \in \{0, 2\}$ : c’est une suite $\{0,2\}$ dont la valeur $y$ appartient à $C$ et admet $(e_k)$ pour unique code sans $1$ (question 8). Pour chaque $k$, les codes de $y$ et de $x_k$ diffèrent à la position $k$, donc $y \neq x_k$ : aucune [application](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-map) $\N^* \to C$ n’est [surjective](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj). Un [ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) non dénombrable de longueur nulle : énorme en [cardinal](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/2-denombrement#def-b1-counting-card), minuscule en mesure — simultanément.

**10.** Compacité : le caractère [fermé](#def-b1-topology-closed) de l’intersection infinie, plus le caractère borné (question 2) — la seule propriété qui ne soit pas portée par une simple inclusion. Longueur nulle : $C \subseteq C_n$, de longueur totale $(\frac23)^n$ (question 3). Nulle part [dense](#def-b1-topology-dense) : $C \subseteq C_n$ force les [intervalles](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) contenus dans $C$ à être de longueur $\leq 3^{-n}$ (question 4). La non-dénombrabilité ne repose sur aucune inclusion : elle réclame toute la structure de l’intersection, encodée dans la [bijection](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) de la question 8.

**11.** Remplaçons $d_n$ par $2 - d_n$ : la nouvelle suite est encore une suite $\{0,2\}$, donc sa valeur $x_n$ appartient à $C$ ; les sommes partielles au-delà du rang $n$ diffèrent exactement de $2\cdot3^{-n}$, donc $\abs{x_n - x} = 2\cdot3^{-n}$. Ainsi $x_n \neq
x$ et $x_n \to x$ : tout point de $C$ est limite d’autres points de $C$ — $C$ est *parfait*, sans point isolé.

**12.** D’après la récurrence de la question 5, les segments de $C_n$ sont exactement les $\intcc{t}{t + 3^{-n}}$ où $t$ parcourt les valeurs des suites $\{0,2\}$ de longueur $n$. Étant donné $x \in
C$ de code $(d_k)$, la troncature $t_n$ (chiffres $d_1 \dots d_n$ puis des $0$) est donc une extrémité gauche, et $0 \leq x - t_n
\leq 3^{-n}$ : les extrémités sont [denses](#def-b1-topology-dense) dans $C$. Elles forment une partie de $\{m/3^n : m, n\}$, [ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) indexé par des couples d’entiers, donc dénombrable (comme pour $\Q$ dans l’[Exercice 12.10](#exo-b1-topology-10)). Comme $C$ n’est pas dénombrable (question 9), tous les points de $C$ sauf une infinité dénombrable ne sont pas des extrémités — $\frac14$ (question 7) est la partie émergée de cet iceberg.

**13.** Choisissons $n$ tel que $3^{-n} < y - x$. Les deux points $x, y$ sont dans $C_n$, et ils ne peuvent pas appartenir au même segment (de longueur $3^{-n} < y - x$) : le trou retiré entre leurs segments fournit un $z$ avec $x < z < y$ et $z \notin C_n
\supseteq C$. Ainsi deux points quelconques de $C$ sont séparés par le complémentaire : les seules parties convexes de $C$ sont les singletons — $C$ est totalement discontinu.

**14.** Si $(d_k)$ est le code sans $1$ de $x$, la suite $(2 - d_k)$ est encore une suite $\{0,2\}$, de sommes partielles

$$
\sum_{k=1}^{n} (2 - d_k)3^{-k} = (1 - 3^{-n}) - \sum_{k=1}^n
d_k 3^{-k} \longrightarrow 1 - x :
$$

donc $1 - x \in C$. Ainsi $1 - C \subseteq C$, et en appliquant l’[application](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-map) deux fois on obtient $1 - C = C$ : l’[ensemble de Cantor](#pb-b1-topology-1) est symétrique par rapport à $\frac12$.

**15.** Les sommes partielles vérifient $t_n \to x$ et $t'_n \to x'$ (une suite croissante converge vers sa [borne supérieure](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#def-b1-reals-bounds), c’est-à-dire vers la valeur), donc $t_n + t'_n \to x + x'$ d’après le [Théorème 11.5](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/11-suites#thm-b1-seq-operations). Étant donné $y \in
\intcc{0}{1}$ de code $(e_k)$, choisissons $(a_k, b_k) = (0,0),
(0,2), (2,2)$ selon que $e_k = 0, 1, 2$ : alors $a_k + b_k = 2e_k$, les suites $(a_k)$, $(b_k)$ sont des suites $\{0,2\}$ de valeurs $x,
x' \in C$, et

$$
x + x' = \lim_n\,(t_n + t'_n) = \lim_n 2\sum_{k=1}^n e_k 3^{-k}
= 2y :
$$

tout $y \in \intcc{0}{1}$ est le milieu de deux points de $C$.

**16.** La question 15 donne $\intcc{0}{2} = 2\,\intcc{0}{1}
\subseteq C + C$, et $C + C \subseteq \intcc{0}{1} +
\intcc{0}{1} = \intcc{0}{2}$ : d’où l’égalité. Puis, en utilisant $1 - C = C$ :

$$
C - C = C + (C - 1) = (C + C) - 1 = \intcc{-1}{1} .
$$

Cas concret : $1 = \frac14 + \frac34$, somme de deux éléments de $C$ qui ne sont pas des extrémités.

**17.** La longueur mesure la portion de droite qu’occupe l’[ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) lui-même ; elle ne dit rien de l’[ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) des *sommes*, qui est l’image de la famille à deux paramètres $C \times C$ par $(x, x') \mapsto x + x'$ — les deux suites de chiffres sont choisies indépendamment, et c’est exactement cette liberté qui remplit $\intcc{0}{2}$. Aucun théorème ne majore la longueur d’un [ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) somme par les longueurs des termes, et $C$ est la preuve qu’aucun ne le peut.

**18.** D’après le [Problème 10.1](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#pb-b1-reals-1) (question 18), $x$ est rationnel si et seulement si son développement propre est périodique à partir d’un certain rang. Le code sans $1$ de $x \in C$ est soit ce développement propre, soit le jumeau impropre d’un développement fini ; or un développement fini et son jumeau (des $2$ à partir d’un rang) sont tous deux périodiques à partir d’un certain rang, de sorte que la périodicité du code sans $1$ équivaut à la rationalité de $x$. Division de $\frac1{13}$ en base $3$ ($r_0 = 1$) : $3 = 13\cdot0 +
3$, $9 = 13\cdot0 + 9$, $27 = 13\cdot2 + 1$, et le reste revient à $1$ : chiffres $\overline{002}$, donc $\frac1{13} =
(0.\overline{002})_3$, sans $1$ et périodique : un élément rationnel de $C$. (Vérification : $\frac{2/27}{1 - 1/27} = \frac{2}{26} =
\frac1{13}$.)

**19.** La suite valant $d_k = 2$ aux positions triangulaires $k = \frac{j(j+1)}{2}$ et $0$ ailleurs est une suite $\{0,2\}$, donc sa valeur $x^*$ appartient à $C$ (question 8). Elle comporte une infinité de $2$ séparés par des écarts $j + 1 \to \infty$ entre deux consécutifs, donc elle n’est pas périodique à partir d’un certain rang (une période $T$ finirait par imposer des $2$ à des écarts $\leq T$ : l’argument des écarts croissants du [Problème 10.1](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#pb-b1-reals-1), question 20) ; d’après la question 18, $x^* \notin \Q$. Et d’après la question 9 jointe à la dénombrabilité de $\Q$, tous les éléments de $C$ sauf une infinité dénombrable sont irrationnels : $x^*$ est la norme, non l’exception.

**20.** Soit $y \in \intcc{0}{1}$ : il possède un code binaire $(c_k)$ avec $c_k \in \{0, 1\}$ ([Problème 10.1](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#pb-b1-reals-1), question 9, en base $2$ ; $y = 1$ prend la suite constante égale à $1$). Alors $(2c_k)$ est une suite $\{0,2\}$, sa valeur $x$ appartient à $C$, et $h(x)$ est la valeur de $(c_k)$, à savoir $y$ : $h$ envoie $C$ sur $\intcc{0}{1}$ tout entier. Si $C$ était l’image d’une [application](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-map) définie sur $\N^*$, la composition avec $h$ énumérerait tout $\intco{0}{1}$, ce qui contredirait le théorème diagonal du [Problème 10.1](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#pb-b1-reals-1) (question 22) : $C$ n’est pas dénombrable, de nouveau. Un [ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) de longueur nulle qui se surjecte sur un segment tout entier.

**21.** D’après la question 5, $C$ est la réunion disjointe de $\varphi_0(C)$ et $\varphi_2(C)$, chacun étant un translaté de la copie réduite $\frac13 C$. L’additivité, l’homothétie et l’invariance par translation donnent

$$
L(C) = L(\varphi_0(C)) + L(\varphi_2(C))
= \tfrac13 L(C) + \tfrac13 L(C) = \tfrac23\,L(C),
$$

donc $\frac13 L(C) = 0$ : $L(C) = 0$. L’autosimilarité seule condamne $C$ à la longueur nulle — la question 3 n’a fait qu’exécuter la sentence.

**22.** Un segment de longueur $l_n$ perd un [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) central de longueur $4^{-(n+1)}$, ce qui laisse deux segments de longueur $l_{n+1} = \frac{l_n - 4^{-(n+1)}}{2}$ ; partant de $l_0 = 1$, une récurrence confirme $l_n = \frac{2^n + 1}{2\cdot4^n}$ : en effet $\frac12\Bigl(\frac{2^n+1}{2\cdot4^n} - \frac{1}{4^{n+1}}\Bigr)
= \frac{2(2^n + 1) - 1}{2\cdot4^{n+1}} = \frac{2^{n+1} +
1}{2\cdot4^{n+1}}$, et $l_n > 0$ toujours : la construction ne s’épuise jamais. $K = \bigcap K_n$ est [fermé](#def-b1-topology-closed) et borné, donc compact ; un [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) contenu dans $K$ est contenu dans un segment de $K_n$, de longueur $l_n \to 0$ : [intérieur](#def-b1-topology-closure) vide. Longueur retirée : $\sum_{n\geq0} 2^n \cdot 4^{-(n+1)} =
\frac14\sum_{n\geq0}\bigl(\frac12\bigr)^n = \frac12$, et chaque $K_n$ a pour longueur totale $2^n l_n = \frac{2^n + 1}{2^{n+1}} >
\frac12$. Soit maintenant un nombre fini d’[intervalles](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) [ouverts](#def-b1-topology-open) de réunion $U \supseteq K$. D’après l’énoncé compagnon de l’[Exemple 12.20](#ex-b1-topology-nested), $U \supseteq K_n$ pour un certain $n$ ; en admettant l’additivité de la longueur sur les réunions finies d’[intervalles](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals), la longueur totale des [intervalles](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) du recouvrement est au moins celle de $K_n$, qui dépasse $\frac12$. Ainsi $K$ est nulle part [dense](#def-b1-topology-dense), et pourtant aucun recouvrement bon marché n’existe : petitesse topologique (nulle part [dense](#def-b1-topology-dense)) et petitesse métrique (longueur nulle) sont deux notions réellement différentes, et $K$ les sépare.

**23.** Atteinte : posons $d = d(x, F)$ et choisissons $a_k \in
F$ avec $\abs{x - a_k} \leq d + \frac1k$ : les $a_k$ sont bornés, donc Bolzano–Weierstrass ([Théorème 11.16](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/11-suites#thm-b1-seq-bw)) en extrait $a_{\varphi(k)} \to a$, avec $a \in F$ ($F$ [fermé](#def-b1-topology-closed), [Théorème 12.6](#thm-b1-topology-seqclosed)) et $\abs{x - a} = \lim
\abs{x - a_{\varphi(k)}} = d$. Passons au maximum : si $y \in C$, $d(y, C) = 0$ ; sinon $y$ appartient à un trou retiré à une étape $n \geq 1$, [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) [ouvert](#def-b1-topology-open) de longueur $3^{-n}$ dont les deux extrémités appartiennent à $C$ (question 2), donc $d(y, C) \leq
\frac{3^{-n}}{2} \leq \frac16$, avec égalité seulement si $n = 1$ et $y$ au centre du trou $\intoo{\frac13}{\frac23}$, c’est-à-dire $y = \frac12$ ; et en effet $d\bigl(\frac12, C\bigr) = \frac16$ puisque $C \cap \intoo{\frac13}{\frac23} = \emptyset$ et $\frac13, \frac23 \in C$. Donc $\max_{y\in\intcc{0}{1}} d(y, C)
= \frac16$, atteint exactement en $\frac12$.

**24.** Les extrémités forment une partie dénombrable [dense](#def-b1-topology-dense) de $C$ (question 12) : énumérons-les en une seule suite $(e_j)_{j\geq1}$, à valeurs dans $C$. Ses valeurs d’[adhérence](#def-b1-topology-closure) appartiennent toutes à $C$ ($C$ [fermé](#def-b1-topology-closed)). Réciproquement, fixons $x \in
C$ : pour chaque $n$, les segments des $C_m$ contenant $x$ ($m \geq
n$) ont leurs extrémités à distance $\leq 3^{-m} \leq 3^{-n}$ de $x$, donc une infinité d’extrémités distinctes sont à distance $\leq
3^{-n}$ de $x$ ; choisissons des indices $j_1 < j_2 < \dots$ avec $\abs{e_{j_n} - x} \leq 3^{-n}$ : voilà une [suite extraite](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/11-suites#def-b1-seq-subsequence) convergeant vers $x$. Ainsi l’[ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) des valeurs d’[adhérence](#def-b1-topology-closure) de $(e_j)$ est exactement $C$ — une seule suite s’accumulant en une infinité non dénombrable de points, l’extrême opposé d’une suite convergente, dont l’[ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) des valeurs d’[adhérence](#def-b1-topology-closure) est un singleton.

**25.** (i) La construction a consommé : la stabilité des [fermés](#def-b1-topology-closed) par intersection quelconque (existence de $C$ comme [fermé](#def-b1-topology-closed)), le théorème de compacité [Théorème 12.19](#thm-b1-topology-compact) (questions 2, 22, 23), et les caractérisations séquentielles du caractère [fermé](#def-b1-topology-closed) et de l’[adhérence](#def-b1-topology-closure) (l’argument des compacts emboîtés de l’[Exemple 12.20](#ex-b1-topology-nested) et la question 23). (ii) Les quatre couples : longueur nulle et pourtant non dénombrable (questions 3, 9) ; [fermé](#def-b1-topology-closed) et pourtant d’[intérieur](#def-b1-topology-closure) vide (question 4) ; parfait — sans point isolé — et pourtant totalement discontinu (questions 11, 13) ; négligeable et pourtant $C + C = \intcc{0}{2}$ (question 16). (iii) La [surjection](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) $h$ de la question 20, rendue continue et croissante, devient l’escalier du diable dans la théorie des fonctions continues ; et dans la théorie de la mesure du volume de Licence 3, $C$ est le témoin standard que « négligeable » ne signifie pas « dénombrable », son cousin gras (question 22) séparant « nulle part [dense](#def-b1-topology-dense) » de « négligeable ».