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title: "Limites et continuité"
book: "Mathématiques universitaires — Licence 1"
subject: math
language: fr
chapter: 13
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite
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# Chapitre 13 — Limites et continuité

Le [théorème des valeurs intermédiaires](#thm-b1-continuity-ivt) et le [théorème des bornes atteintes](#thm-b1-continuity-evt) ont été utilisés dans le secondaire sur la foi du dessin. Avec les suites ([Chapitre 11](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/11-suites#ch-b1-seq)) et la topologie de $\R$ ([Chapitre 12](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#ch-b1-topology)) en main, ce chapitre les démontre — et complète la théorie par le théorème de la [bijection](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) monotone (qui légitime $\arcsin$, $\operatorname{arcosh}$ et leurs semblables du [Chapitre 4](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/4-fonctions-usuelles#ch-b1-functions)) et le [théorème de Heine](#thm-b1-continuity-heine) sur la [continuité uniforme](#def-b1-continuity-uniform).

Dans tout le chapitre, $I$ est un [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) et $f \colon I \to \R$ ; « $x_0 \in \overline I$ » autorise les limites aux extrémités.

## 13.1 Limites de fonctions

**Définition 13.1 (Limite en un point).**

Soient $x_0 \in \overline{I}$ et $\ell \in \R$. On dit que $f(x) \to
\ell$ quand $x \to x_0$ lorsque

$$
\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x \in I,
\qquad \abs{x - x_0} \leq \delta \implies \abs{f(x) - \ell} \leq
\varepsilon .
$$

Les limites en $\pm\infty$ et les limites infinies se définissent sur le même modèle ($\abs{x - x_0} \leq \delta$ devient $x \geq M$ ; $\abs{f(x) - \ell} \leq \varepsilon$ devient $f(x) \geq M'$). Les limites à droite et à gauche restreignent $x$ à $x > x_0$ (on écrit alors $x \to x_0^+$) ou à $x < x_0$. La limite, lorsqu’elle existe, est unique (même démonstration que la [Proposition 11.4](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/11-suites#prop-b1-seq-first)).

**Exemple 13.2 (Une limite par encadrement).**

Calculons $\lim_{x \to 0} x\,\bigl\lfloor \frac1x \bigr\rfloor$. L’encadrement de la [partie entière](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#thm-b1-reals-floor) $\frac1x - 1 < \lfloor \frac1x
\rfloor \leq \frac1x$ donne, après multiplication par $x$ (attention au signe !) :

$$
1 - x < x\Bigl\lfloor \frac1x \Bigr\rfloor \leq 1 \quad (x > 0),
\qquad
1 \leq x\Bigl\lfloor \frac1x \Bigr\rfloor < 1 - x \quad (x < 0),
$$

et les deux encadrements latéraux se referment sur $1$ : la limite vaut $1$. Observons ce qui s’est passé : $\lfloor \frac1x\rfloor$ seul fait des sauts sauvages près de $0$, mais le facteur $x$ dompte chaque saut ($x$ fois un saut d’amplitude $1$ est petit), et seul l’encadrement survit. L’idée à retenir : les limites de produits d’un facteur petit par un facteur à oscillation bornée relèvent de l’encadrement, jamais du théorème d’opérations — le théorème d’opérations exige que les *deux* facteurs convergent.

**Théorème 13.3 (Caractérisation séquentielle).**

$f(x) \to \ell$ quand $x \to x_0$ si et seulement si : pour *toute* suite $(u_n)$ de points de $I$ telle que $u_n \to x_0$, on a $f(u_n) \to \ell$.

**Démonstration.** ($\Rightarrow$) Soient $u_n \to x_0$ et $\varepsilon > 0$. Prenons $\delta$ fourni par la définition, puis $N$ tel que $\abs{u_n - x_0}
\leq \delta$ pour $n \geq N$ : au-delà de $N$, $\abs{f(u_n) - \ell}
\leq \varepsilon$.

($\Leftarrow$) Par contraposée. Si $f \not\to \ell$ : un certain $\varepsilon_0 > 0$ met en défaut tout $\delta$ ; en choisissant $\delta = \frac{1}{n+1}$, on produit $u_n \in I$ tel que $\abs{u_n -
x_0} \leq \frac{1}{n+1}$ et $\abs{f(u_n) - \ell} > \varepsilon_0$. Alors $u_n \to x_0$ mais $f(u_n) \not\to \ell$. ∎

**Corollaire 13.4 (Opérations, composition, ordre).**

Sommes, produits, quotients (limite non nulle au dénominateur) de limites se comportent comme pour les suites ; si $f \to \ell$ en $x_0$ et $g \to m$ en $\ell$, et si $g$ est définie autour de $\ell$ avec $g(\ell) = m$, ou bien si $f \neq \ell$ au [voisinage](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-open) de $x_0$, alors $g \circ f \to m$ en $x_0$ ; les limites conservent les inégalités larges, et le [théorème d’encadrement](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/11-suites#thm-b1-seq-order) est valable.

**Démonstration.** Chaque [assertion](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-statement) se transporte, via le [Théorème 13.3](#thm-b1-continuity-seqchar), à son analogue pour les suites (Théorèmes [11.5](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/11-suites#thm-b1-seq-operations) et [11.7](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/11-suites#thm-b1-seq-order)). Pour la composition, l’enchaînement direct mérite d’être écrit une fois : soit $\varepsilon > 0$ ; la limite de $g$ en $\ell$ fournit $\eta > 0$ tel que

$$
\abs{y - \ell} \leq \eta \implies \abs{g(y) - m} \leq
\varepsilon \quad (y \text{ dans le domaine de } g),
$$

où le cas $y = \ell$ est couvert parce que $g(\ell) = m$ ; puis la limite de $f$ en $x_0$ fournit $\delta > 0$ tel que $\abs{x -
x_0} \leq \delta \implies \abs{f(x) - \ell} \leq \eta$ ; en enchaînant, $\abs{x - x_0} \leq \delta$ donne $\abs{g(f(x)) - m} \leq
\varepsilon$. Dans l’hypothèse alternative ($f \neq \ell$ au [voisinage](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-open) de $x_0$), la valeur $y = \ell$ n’est jamais présentée à $g$ et la valeur de $g$ en ce point est sans importance. ∎

**Exemple 13.5 (Pourquoi la clause de composition existe).**

Soit $g(y) = 0$ pour $y \neq 0$ et $g(0) = 1$, et soit $f$ identiquement nulle. Alors $f(x) \to 0$ quand $x \to 0$, et $g(y)
\to 0$ quand $y \to 0$ ; pourtant $g(f(x)) = g(0) = 1$ pour tout $x$, donc $g \circ f \to 1 \neq 0$. La fonction intérieure est posée *exactement sur* la valeur interdite $\ell = 0$ pour toujours, et la limite de $g$ en $0$ ignore ce que $g$ fait en $0$. La clause du [Corollaire 13.4](#cor-b1-continuity-operations) — ou bien $g(\ell) = m$ (c’est-à-dire $g$ [continue](#def-b1-continuity-continuous) en $\ell$), ou bien $f \neq \ell$ au [voisinage](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-open) de $x_0$ — est précisément ce qui exclut cela. L’idée à retenir : en pratique on compose des fonctions *[continues](#def-b1-continuity-continuous)* et la clause est gratuite ; elle ne mord que lorsque les limites sont prises le long de [voisinages](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-open) épointés, raison pour laquelle la définition de $\lim_{x \to x_0}$ utilisée dans ce livre inclut le point lorsqu’il appartient au domaine.

## 13.2 Continuité

**Définition 13.6.**

$f$ est *continue en $x_0 \in I$* lorsque $f(x) \to f(x_0)$ quand $x \to x_0$ ; *continue sur $I$* lorsqu’elle est continue en tout point. D’après le [Théorème 13.3](#thm-b1-continuity-seqchar) : $f$ est continue en $x_0$ si et seulement si $f(u_n) \to f(x_0)$ pour toute suite $u_n \to x_0$ de points de $I$.

**Exemple 13.7 (Une taxonomie des discontinuités).**

Trois façons d’échouer en un point, par gravité croissante. *Éliminable* : $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ sur $\R^*$ a pour limite $1$ en $0$ ; poser $f(0) = 1$ répare tout — la discontinuité était un trou, pas un trait de caractère. *Saut* : $\lfloor x \rfloor$ en un entier a des limites latérales distinctes ($n - 1$ et $n$) ; aucun choix de valeur ne peut les réconcilier, mais les deux demi-limites existent. *Essentielle* : $\sin\frac1x$ en $0$ n’a aucune limite latérale ([Exercice 13.1](#exo-b1-continuity-1)) — oscillation sans apaisement. Les fonctions monotones ne peuvent produire que le type intermédiaire (leurs limites latérales existent toujours, comme [bornes supérieures](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#def-b1-reals-bounds) et inférieures), et c’est pourquoi leur [ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) de discontinuités est au plus dénombrable — un rationnel par saut. Les dérivées, d’après le théorème de Darboux ([Exercice 14.10](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/14-derivation#exo-b1-derivative-10)), ne peuvent produire que le dernier type : une fonction présentant une discontinuité de saut n’est jamais la dérivée de quoi que ce soit.

**Proposition 13.8.**

Sommes, produits, quotients (là où ils sont définis) et composées de fonctions [continues](#def-b1-continuity-continuous) sont [continus](#def-b1-continuity-continuous). Les [polynômes](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def), les [fractions rationnelles](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/9-fractions-rationnelles#def-b1-fractions-field) (hors de leurs [pôles](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/9-fractions-rationnelles#def-b1-fractions-field)), $\abs{\,\cdot\,}$, $\exp$, $\ln$, les fonctions trigonométriques et hyperboliques et leurs réciproques ([Chapitre 4](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/4-fonctions-usuelles#ch-b1-functions)) sont [continus](#def-b1-continuity-continuous) sur leurs domaines.

**Démonstration.** Opérations : le [Corollaire 13.4](#cor-b1-continuity-operations). Les constantes et l’identité sont [continues](#def-b1-continuity-continuous) directement d’après la définition ($\delta = \varepsilon$ convient pour l’identité, n’importe quel $\delta$ pour les constantes) ; les produits de fonctions [continues](#def-b1-continuity-continuous) étant [continus](#def-b1-continuity-continuous), chaque monôme $a_k x^k$ suit par récurrence sur $k$, et les sommes achèvent les [polynômes](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) ; une [fraction rationnelle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/9-fractions-rationnelles#def-b1-fractions-field) est un quotient de deux [polynômes](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def), [continue](#def-b1-continuity-continuous) partout où le dénominateur ne s’annule pas. $\abs{\,\cdot\,}$ : seconde [inégalité triangulaire](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/3-nombres-complexes#prop-b1-complex-rules), $\bigl|\abs{f(x)} - \abs{f(x_0)}\bigr| \leq \abs{f(x) -
f(x_0)}$, donc le même $\delta$ fonctionne. Pour les fonctions classiques, nous accordons ici la [continuité](#def-b1-continuity-continuous) ; la dérivabilité (démontrée au [Chapitre 14](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/14-derivation#ch-b1-derivative)) est plus forte. ∎

**Exemple 13.9 (Maximum et minimum de fonctions continues).**

Si $f$ et $g$ sont [continues](#def-b1-continuity-continuous), $\max(f, g)$ et $\min(f, g)$ le sont aussi : aucune disjonction de cas n’est nécessaire, grâce aux identités

$$
\max(f, g) = \frac{f + g + \abs{f - g}}{2},
\qquad
\min(f, g) = \frac{f + g - \abs{f - g}}{2},
$$

et à la [continuité](#def-b1-continuity-continuous) des sommes et de $\abs{\,\cdot\,}$ ([Proposition 13.8](#prop-b1-continuity-algebra)). En particulier $f^+ =
\max(f, 0)$ et $f^- = \max(-f, 0)$ sont [continues](#def-b1-continuity-continuous) avec $f =
f^+ - f^-$ : la décomposition selon le signe utilisée pour les séries ([Chapitre 17](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/17-series-numeriques#ch-b1-series)) et, à pleine échelle, dans la théorie de l’intégration du volume de Licence 3, ne coûte rien en régularité.

**Théorème 13.10 (Théorème des valeurs intermédiaires).**

Soit $f$ [continue](#def-b1-continuity-continuous) sur $\intcc{a}{b}$ avec $f(a) \leq 0 \leq
f(b)$. Alors $f(c) = 0$ pour un certain $c \in \intcc{a}{b}$. Par conséquent, une fonction [continue](#def-b1-continuity-continuous) sur un [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) prend toute valeur comprise entre deux de ses valeurs : $f(I)$ est un [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals).

**Démonstration.** Dichotomie. Posons $a_0 = a$, $b_0 = b$. Étant donné $\intcc{a_n}{b_n}$ avec $f(a_n) \leq 0 \leq f(b_n)$, soit $m$ le milieu : si $f(m) \leq
0$ on garde $\intcc{m}{b_n}$, sinon on garde $\intcc{a_n}{m}$ ; les conditions de signe persistent. Les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ sont adjacentes ($b_n - a_n = \frac{b-a}{2^n}$), de limite commune $c$ ([Théorème 11.11](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/11-suites#thm-b1-seq-adjacent)). Par [continuité](#def-b1-continuity-continuous) et par le [Théorème 11.7](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/11-suites#thm-b1-seq-order) : $f(c) = \lim f(a_n) \leq 0$ et $f(c) =
\lim f(b_n) \geq 0$, donc $f(c) = 0$.

Pour la conséquence : étant données des valeurs $f(u) < v < f(w)$, on applique ce qui précède à $x \mapsto f(x) - v$ sur le segment d’extrémités $u$ et $w$ ; ainsi $f(I)$ est convexe, c’est-à-dire un [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) ([Proposition 10.19](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals)). ∎

![Une fonction continue vérifiant f(a) < 0 < f(b) doit couper l’axe : la démonstration par dichotomie du piège un point d’intersection entre deux suites adjacentes.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-continuity/fig-65449770e506.svg)

*Une fonction [continue](#def-b1-continuity-continuous) vérifiant $f(a) < 0 < f(b)$ doit couper l’axe : la démonstration par dichotomie du [Théorème 13.10](#thm-b1-continuity-ivt) piège un point d’intersection entre deux [suites adjacentes](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/11-suites#thm-b1-seq-adjacent).*

**Exemple 13.11 (Une équation, le protocole complet).**

Résolvons $\eu^x = 3 - x$ sur $\R$ : existence, unicité, localisation. Posons $g(x) = \eu^x + x - 3$, [continue](#def-b1-continuity-continuous). Localisation et existence : $g(0) = -2 < 0$ et $g(1) = \eu - 2 >
0$, donc le [théorème des valeurs intermédiaires](#thm-b1-continuity-ivt) plante une solution dans $\intoo{0}{1}$. Unicité : $g$ est la somme de $\eu^x$, strictement croissante, et de $x - 3$, donc strictement croissante sur $\R$ ; une fonction strictement monotone prend chaque valeur au plus une fois, donc la solution est unique sur $\R$ tout entier (et pas seulement sur l’[intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) sondé). Le protocole — se ramener à $g = 0$, changement de signe pour l’existence, monotonie pour l’unicité — règle en trois lignes la plupart des questions « combien de solutions ? », et les tableaux de variations du [Chapitre 14](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/14-derivation#ch-b1-derivative) l’étendent aux $g$ non monotones en découpant $\R$ en branches monotones.

**Exemple 13.12 (La dichotomie comme algorithme).**

La démonstration du [Théorème 13.10](#thm-b1-continuity-ivt) calcule. Prenons $f(x) = x^3 + x - 1$ : $f(0) = -1 < 0 < 1 = f(1)$, donc une racine est dans $\intoo{0}{1}$. En coupant en deux :

$$
f(0.5) = -0.375 < 0, \qquad
f(0.75) = 0.171875 > 0, \qquad
f(0.625) = -0.130859375 < 0 ,
$$

de sorte que la racine est successivement piégée dans $\intoo{0.5}{1}$, puis $\intoo{0.5}{0.75}$, puis $\intoo{0.625}{0.75}$ (valeur exacte : $c \approx 0.6823$). Après $n$ étapes l’erreur est au plus $\frac{b - a}{2^n}$ : dix étapes donnent trois décimales, vingt en donnent six. L’idée à retenir : le [théorème des valeurs intermédiaires](#thm-b1-continuity-ivt) n’est pas seulement un énoncé d’existence — sa démonstration par dichotomie est un algorithme de recherche de racine garanti, quoique lent, auquel il faut comparer la méthode de Newton du [Chapitre 14](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/14-derivation#ch-b1-derivative), rapide mais locale.

**Théorème 13.13 (Théorème des bornes atteintes).**

Une fonction [continue](#def-b1-continuity-continuous) sur un segment $\intcc{a}{b}$ est bornée et atteint ses bornes : il existe $c, d \in \intcc{a}{b}$ tels que

$$
f(c) = \inf_{\intcc{a}{b}} f,
\qquad
f(d) = \sup_{\intcc{a}{b}} f .
$$

Combiné au [Théorème 13.10](#thm-b1-continuity-ivt) : *l’image [continue](#def-b1-continuity-continuous) d’un segment est un segment* $\intcc{f(c)}{f(d)}$.

**Démonstration.** *Majorée :* sinon on choisit $u_n$ tel que $f(u_n) \geq n$. Par compacité du segment ([Théorème 12.19](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#thm-b1-topology-compact)), une [suite extraite](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/11-suites#def-b1-seq-subsequence) $u_{\varphi(n)} \to x \in \intcc{a}{b}$ ; la [continuité](#def-b1-continuity-continuous) donne $f(u_{\varphi(n)}) \to f(x)$, alors que $f(u_{\varphi(n)}) \geq
\varphi(n) \to +\infty$ : contradiction.

*[Borne supérieure](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#def-b1-reals-bounds) atteinte :* soit $M = \sup f$ et choisissons $v_n$ tel que $f(v_n) > M - \frac{1}{n+1}$ ([Proposition 10.4](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-epsilon)). Extrayons $v_{\varphi(n)} \to d \in
\intcc{a}{b}$ : alors $f(d) = \lim f(v_{\varphi(n)}) = M$ par encadrement. La [borne inférieure](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#def-b1-reals-bounds) se traite avec $-f$. ∎

**Exemple 13.14 (Minimum strictement positif sur un segment).**

Soit $f$ [continue](#def-b1-continuity-continuous) sur $\intcc{0}{1}$ avec $f(x) > 0$ pour tout $x$. Alors $\inf f > 0$ : par le [théorème des bornes atteintes](#thm-b1-continuity-evt), la [borne inférieure](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#def-b1-reals-bounds) est une *valeur* $f(c)$, et $f(c) > 0$ par hypothèse. Ainsi une fonction [continue](#def-b1-continuity-continuous) strictement positive sur un segment est minorée par une constante strictement positive — un argument de deux lignes utilisé une douzaine de fois dans les chapitres à venir (dénominateurs sous contrôle, encadrements par des fonctions en escalier, majorations d’erreur). Sur un [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) non compact, cela échoue spectaculairement : $f(x) = x$ sur $\intoc{0}{1}$ est [continue](#def-b1-continuity-continuous) et strictement positive avec $\inf f = 0$, non atteint. L’idée à retenir : « strictement positive » se hausse en « uniformément positive » exactement lorsque le domaine est compact ; chaque hypothèse du [théorème des bornes atteintes](#thm-b1-continuity-evt) porte le toit.

**Remarque 13.15 (Pièges classiques autour des trois théorèmes).**

(i) *Images [continues](#def-b1-continuity-continuous)* : seuls les *segments* sont robustes. L’image [continue](#def-b1-continuity-continuous) d’un [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) [ouvert](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-open) n’est pas nécessairement [ouverte](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-open) ($x \mapsto x^2$ envoie $\intoo{-1}{1}$ sur $\intco{0}{1}$), l’image d’un [fermé](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-closed) n’est pas nécessairement [fermée](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-closed) ($\arctan$ envoie le [fermé](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-closed) $\R$ sur l’[ouvert](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-open) $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$) ; mais l’image d’un segment est un segment ([Théorème 13.13](#thm-b1-continuity-evt)). (ii) *Le [théorème des valeurs intermédiaires](#thm-b1-continuity-ivt) exige un [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals)* : la fonction $x \mapsto \frac1x$, [continue](#def-b1-continuity-continuous) sur $\intco{-1}{0} \cup
\intoc{0}{1}$, prend les valeurs $-1$ et $1$ sans jamais s’annuler — son domaine est fait de deux morceaux disjoints, et la valeur $0$ tombe dans le trou ; nommez toujours l’[intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) sur lequel le théorème est appliqué. (iii) *La [continuité uniforme](#def-b1-continuity-uniform) est une propriété du couple (fonction, [ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets))* : $x^2$ est [uniformément continue](#def-b1-continuity-uniform) sur tout segment mais pas sur $\R$ ([Exemple 13.20](#ex-b1-continuity-notuniform)) — les mots « [uniformément continue](#def-b1-continuity-uniform) » sans domaine n’ont aucun sens. (iv) *La [continuité](#def-b1-continuity-continuous) de la réciproque n’est pas formelle* : elle vaut sur les [intervalles](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) grâce à la monotonie ([Théorème 13.16](#thm-b1-continuity-bijection)), mais une [bijection](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) [continue](#def-b1-continuity-continuous) entre réunions d’[intervalles](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) peut avoir une réciproque discontinue — la remarque qui suit ce théorème est là parce que les étudiants le citent sans l’hypothèse d’[intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals).

## 13.3 Fonctions monotones et fonctions réciproques

**Théorème 13.16 (Théorème de la bijection monotone).**

Soit $f$ [continue](#def-b1-continuity-continuous) et strictement monotone sur un [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) $I$. Alors

1. $f$ est une [bijection](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) de $I$ sur l’ [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) $J = f(I)$ ;
2. la réciproque $f^{-1} \colon J \to I$ est strictement monotone (de même sens) et *[continue](#def-b1-continuity-continuous)* .

**Démonstration.** Supposons $f$ strictement croissante. (1) L’[injectivité](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) est immédiate par stricte monotonie ; la [surjectivité](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) sur $f(I)$ est triviale, et $f(I)$ est un [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) d’après le [Théorème 13.10](#thm-b1-continuity-ivt).

(2) $f^{-1}$ est strictement croissante : si $y < y'$ dans $J$ mais $f^{-1}(y) \geq f^{-1}(y')$, appliquer $f$, croissante, donne $y \geq
y'$, absurde. [Continuité](#def-b1-continuity-continuous) de $f^{-1}$ en $y_0 = f(x_0) \in J$ : soit $\varepsilon > 0$. Supposons d’abord $x_0$ [intérieur](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-closure) à $I$, et diminuons $\varepsilon$ de sorte que $x_0 \pm \varepsilon \in I$ : leurs images vérifient $f(x_0 - \varepsilon) < y_0 < f(x_0 +
\varepsilon)$. Prenons $\delta = \min\bigl(y_0 - f(x_0 - \varepsilon),\, f(x_0 +
\varepsilon) - y_0\bigr) > 0$ : pour $\abs{y - y_0} \leq \delta$, la monotonie de $f^{-1}$ coince $f^{-1}(y)$ entre $x_0 -
\varepsilon$ et $x_0 + \varepsilon$. Si $x_0$ est, disons, l’extrémité gauche de $I$, seul $x_0 + \varepsilon$ est disponible : alors $y_0 = \min J$ (monotonie), tout $y \in J$ tel que $y - y_0
\leq f(x_0 + \varepsilon) - y_0$ vérifie $x_0 \leq f^{-1}(y)
\leq x_0 + \varepsilon$, et l’estimation unilatérale est exactement la [continuité](#def-b1-continuity-continuous) en une extrémité ; l’extrémité droite est symétrique. (Remarquons que la [continuité](#def-b1-continuity-continuous) de $f^{-1}$ n’a *pas* été déduite de celle de $f$ par symétrie — c’est la monotonie sur un [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) qui fait le travail.) ∎

**Remarque 13.17.**

Ce théorème est ce que la [Définition 4.9](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/4-fonctions-usuelles#def-b1-functions-arc) et la [Proposition 4.21](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/4-fonctions-usuelles#prop-b1-functions-invhyp) ont utilisé en silence : $\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$, $\operatorname{arsinh}$, … sont [continues](#def-b1-continuity-continuous). Un complément ([Exercice 13.10](#exo-b1-continuity-10)) : une fonction [continue](#def-b1-continuity-continuous) *[injective](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj)* sur un [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) est automatiquement strictement monotone, de sorte que l’hypothèse de monotonie ne coûte rien.

**Exemple 13.18 (Racines de tous les ordres).**

Pour $n \in \N^*$, la fonction $f(x) = x^n$ est [continue](#def-b1-continuity-continuous) et strictement croissante sur $\intco{0}{+\infty}$, avec $f(0) = 0$ et $f(x) \to +\infty$ : son image est $\intco{0}{+\infty}$ ([Théorème 13.10](#thm-b1-continuity-ivt) pour la structure d’[intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals)). Le théorème de la [bijection](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) monotone livre alors, d’un seul coup, une réciproque strictement croissante et *[continue](#def-b1-continuity-continuous)*

$$
x \mapsto x^{1/n} \colon \intco{0}{+\infty} \to
\intco{0}{+\infty} :
$$

existence, unicité et [continuité](#def-b1-continuity-continuous) des racines $n$-ièmes, sans le moindre calcul. À comparer avec l’[Exercice 10.12](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#exo-b1-reals-12), qui construisait $\sqrt y$ à la main à partir de la [borne supérieure](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#def-b1-reals-bounds) : un chapitre de théorie a comprimé cette page de travail en deux lignes, et ces deux mêmes lignes avaient déjà légitimé $\arcsin$, $\arctan$ et $\operatorname{arsinh}$. L’idée à retenir : un bon théorème est du travail mis en réserve.

## 13.4 Continuité uniforme

**Définition 13.19.**

$f \colon I \to \R$ est *uniformément continue* lorsque

$$
\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x, y \in I,
\qquad \abs{x - y} \leq \delta \implies \abs{f(x) - f(y)} \leq
\varepsilon .
$$

Le point important : $\delta$ ne dépend que de $\varepsilon$, et pas de l’endroit où l’on se trouve dans $I$. La [continuité](#def-b1-continuity-continuous) uniforme entraîne la [continuité](#def-b1-continuity-continuous) ; une fonction *lipschitzienne* ($\abs{f(x) - f(y)} \leq k \abs{x - y}$) est uniformément [continue](#def-b1-continuity-continuous) ($\delta = \varepsilon/k$).

**Exemple 13.20.**

$x \mapsto x^2$ est [continue](#def-b1-continuity-continuous) sur $\R$ mais *pas* [uniformément continue](#def-b1-continuity-uniform) : $\abs{(n + \frac 1n)^2 - n^2} = 2 + \frac{1}{n^2} \geq 2$ alors que les arguments sont à distance $\frac 1n \to 0$. Sur tout [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) borné elle est lipschitzienne, donc [uniformément continue](#def-b1-continuity-uniform) — en accord avec le [théorème de Heine](#thm-b1-continuity-heine) ci-dessous.

**Exemple 13.21 (Modules d’uniformité, explicitement).**

Sur un segment, Heine garantit un $\delta$ uniforme ; souvent on peut aussi le *calculer*. Pour $f(x) = x^2$ sur $\intcc{0}{10}$ :

$$
\abs{x^2 - y^2} = \abs{x + y}\,\abs{x - y} \leq 20\,\abs{x - y},
$$

donc $\delta = \frac{\varepsilon}{20}$ convient uniformément (un module lipschitzien, linéaire en $\varepsilon$). Pour $\sqrt x$ sur $\intcc{0}{1}$ : $\abs{\sqrt x - \sqrt y} \leq \sqrt{\abs{x -
y}}$ ([Exercice 13.9](#exo-b1-continuity-9)), donc $\delta = \varepsilon^2$ convient — uniforme mais *pas* linéaire : près de $0$ la racine carrée est raide, et le prix apparaît dans l’exposant de $\varepsilon$, non dans un défaut d’uniformité. L’idée à retenir : la [continuité uniforme](#def-b1-continuity-uniform) est un dégradé, non un oui/non — la fonction $\delta(\varepsilon)$, appelée [module](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/3-nombres-complexes#def-b1-complex-field), mesure le coût de l’uniformité, et le caractère lipschitzien en est simplement la meilleure note.

**Théorème 13.22 (Heine).**

Une fonction [continue](#def-b1-continuity-continuous) sur un *segment* $\intcc{a}{b}$ est [uniformément continue](#def-b1-continuity-uniform).

**Démonstration.** Par l’absurde : supposons qu’un certain $\varepsilon_0 > 0$ mette en défaut tout $\delta$. Avec $\delta = \frac{1}{n+1}$, choisissons $x_n, y_n \in \intcc{a}{b}$ tels que $\abs{x_n - y_n} \leq
\frac{1}{n+1}$ et $\abs{f(x_n) - f(y_n)} > \varepsilon_0$. La compacité ([Théorème 12.19](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#thm-b1-topology-compact)) extrait $x_{\varphi(n)} \to
c \in \intcc{a}{b}$ ; alors $y_{\varphi(n)} \to c$ également (encadrement sur $\abs{x - y}$). La [continuité](#def-b1-continuity-continuous) en $c$ donne $f(x_{\varphi(n)}) \to f(c)$ et $f(y_{\varphi(n)}) \to f(c)$, donc $\abs{f(x_{\varphi(n)}) - f(y_{\varphi(n)})} \to 0 < \varepsilon_0$ : contradiction. ∎

**Exemple 13.23 (Bornée, continue, et pourtant pas uniformément).**

La fonction $f(x) = \sin(x^2)$ est [continue](#def-b1-continuity-continuous) et bornée sur $\R$, mais pas [uniformément continue](#def-b1-continuity-uniform). Prenons

$$
x_n = \sqrt{2\pi n}, \qquad y_n = \sqrt{2\pi n + \tfrac\pi2}:
\qquad
y_n - x_n = \frac{\pi/2}{\sqrt{2\pi n + \frac\pi2} +
\sqrt{2\pi n}} \longrightarrow 0 ,
$$

et pourtant $f(y_n) - f(x_n) = \sin\bigl(2\pi n + \frac\pi2\bigr)
- \sin(2\pi n) = 1 - 0 = 1$ pour tout $n$ : aucun $\delta$ unique ne peut servir $\varepsilon = \frac12$ partout. Géométriquement, les oscillations de $\sin(x^2)$ *accélèrent* : le graphe accomplit une onde complète sur des fenêtres de plus en plus courtes, de sorte que l’échelle horizontale exigée par un $\varepsilon$ donné tend vers zéro quand $x$ grandit. L’idée à retenir : le caractère borné n’achète pas l’uniformité (cet exemple), et le caractère non borné ne l’interdit pas ($\sqrt x$, [Exercice 13.9](#exo-b1-continuity-9)) ; ce qui décide, c’est le *module d’oscillation*, et le [théorème de Heine](#thm-b1-continuity-heine) dit que les domaines compacts le disciplinent automatiquement.

**Exemple 13.24 (L’expérience de la calculatrice, expliquée).**

Tapez un nombre quelconque sur une calculatrice et appuyez plusieurs fois sur $\cos$ : l’affichage se verrouille sur $0.7390851\dots$ Pourquoi ? Après une pression la valeur est dans $\intcc{-1}{1}$, après deux dans $\intcc{\cos 1}{1}
\subseteq \intcc{0.54}{1}$, [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) stable pour $\cos$. Sur celui-ci, $\abs{\cos a - \cos b} \leq \sin(1)\,\abs{a - b}$ avec $\sin 1 = 0.841\dots < 1$ (la majoration par produit-somme du [Problème 11.1](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/11-suites#pb-b1-seq-1), ou l’inégalité des accroissements finis du [Chapitre 14](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/14-derivation#ch-b1-derivative)) : l’itération est contractante, donc par l’étape de contrôle de l’erreur de la [Méthode 11.23](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/11-suites#met-b1-seq-recurrent),

$$
\abs{u_n - c} \leq (0.842)^{\,n-2}\,\abs{u_2 - c}
\longrightarrow 0 ,
$$

où $c$ est l’unique point fixe $\cos c = c$ ([Exercice 13.6](#exo-b1-continuity-6)). Une quarantaine de pressions achètent trois décimales ($0.842^{40} \approx 10^{-3}$) — une vitesse géométrique, plus douce que le $2^{-n}$ de la dichotomie, mais chaque pression coûte une touche là où chaque étape de dichotomie coûte une évaluation de signe complète. L’idée à retenir : l’image du point fixe du [Chapitre 11](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/11-suites#ch-b1-seq) et les théorèmes d’existence de ce chapitre sont les deux moitiés d’une même histoire — le [théorème des valeurs intermédiaires](#thm-b1-continuity-ivt) trouve $c$, la contraction l’atteint.

**Remarque 13.25 (Où ces théorèmes serviront ensuite).**

Les trois piliers de ce chapitre alimentent chacun un chapitre ultérieur. Le [théorème des valeurs intermédiaires](#thm-b1-continuity-ivt) nourrit tout argument d’existence de solutions ainsi que le théorème de la [bijection](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) monotone ; le [théorème des bornes atteintes](#thm-b1-continuity-evt) transforme les problèmes d’optimisation en théorèmes (Rolle et le théorème des accroissements finis du [Chapitre 14](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/14-derivation#ch-b1-derivative) partent exactement de là) ; le [théorème de Heine](#thm-b1-continuity-heine) est la raison pour laquelle les fonctions [continues](#def-b1-continuity-continuous) sur un segment sont intégrables au [Chapitre 15](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/15-integration-sur-un-segment#ch-b1-integration) — le $\delta$ uniforme est ce qui fait converger les sommes de Riemann. Dans le volume de Licence 2, le même trio reparaît dans les espaces vectoriels normés, la compacité y faisant le travail que les segments font ici.

**Remarque 13.26 (Perspectives dans ce volume).**

La [continuité](#def-b1-continuity-continuous) va être dépassée sans jamais être mise à la retraite. Le [Chapitre 14](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/14-derivation#ch-b1-derivative) la renforce en dérivabilité et lui rend la politesse (dérivable entraîne [continue](#def-b1-continuity-continuous)) ; le [Chapitre 15](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/15-integration-sur-un-segment#ch-b1-integration) repose deux fois sur elle, par Heine pour la construction et par le théorème fondamental, dont l’objet central $x \mapsto \int_a^x f$ hausse une $f$ simplement [continue](#def-b1-continuity-continuous) en une primitive de classe $C^1$. Au [Chapitre 25](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/25-fonctions-de-deux-variables#ch-b1-multivar), la [continuité](#def-b1-continuity-continuous) des fonctions de deux variables recèle un piège qui mérite d’être annoncé : la fonction $\frac{xy}{x^2 +
y^2}$ (prolongée par $0$) est [continue](#def-b1-continuity-continuous) en $x$ pour chaque $y$ fixé et en $y$ pour chaque $x$ fixé, et pourtant elle n’est pas [continue](#def-b1-continuity-continuous) à l’origine — le long de la diagonale $x = y$ elle vaut constamment $\frac12$. La [continuité](#def-b1-continuity-continuous) séparée est strictement plus faible que la [continuité](#def-b1-continuity-continuous) : la caractérisation séquentielle survit au passage à $\R^2$, mais il faut autoriser les suites à s’approcher depuis *toutes* les directions, et pas seulement le long des axes.

## 13.5 Exercices

**Exercice 13.1 ★.**

À l’aide de la caractérisation séquentielle, démontrer que $x \mapsto
\sin\frac 1x$ n’a pas de limite en $0^+$ *(exhiber deux suites)*. La fonction $x \mapsto x \sin\frac 1x$ en a-t-elle une ?

**Solution de Exercice 13.1.**

Prenons $u_n = \frac{1}{2\pi n + \pi/2}$ et $v_n = \frac{1}{2\pi n}$ : toutes deux tendent vers $0^+$, et pourtant $\sin\frac{1}{u_n} = 1$ et $\sin\frac{1}{v_n} = 0$. Deux suites, deux limites différentes des images : d’après le [Théorème 13.3](#thm-b1-continuity-seqchar), pas de limite en $0^+$.

$x \sin\frac1x$ : encadrée par $\abs{x\sin\frac1x} \leq \abs x \to 0$, donc la limite en $0$ existe et vaut $0$.

**Exercice 13.2 ★.**

Étudier la [continuité](#def-b1-continuity-continuous) sur $\R$ de $f(x) = \lfloor x \rfloor$, de $g(x) = x - \lfloor x \rfloor$, et de $h(x) = \lfloor x \rfloor +
(x - \lfloor x\rfloor)^2$.

**Solution de Exercice 13.2.**

$f = \lfloor\cdot\rfloor$ est [continue](#def-b1-continuity-continuous) sur $\R \setminus \Z$ (localement constante) et discontinue en chaque $n \in \Z$ : limite à gauche $n - 1$, valeur $n$.

$g(x) = x - \lfloor x\rfloor$ : mêmes points de discontinuité (l’identité est [continue](#def-b1-continuity-continuous), donc $g$ hérite des sauts de $f$) ; en $n \in
\Z$, la limite à gauche vaut $1 \neq 0 = g(n)$.

$h(x) = \lfloor x\rfloor + (x - \lfloor x\rfloor)^2$ : sur $\intco{n}{n
+ 1}$, $h(x) = n + (x - n)^2$, [continue](#def-b1-continuity-continuous) ; en $x = n$, la limite à gauche vaut $(n-1) + 1 = n = h(n)$ : les sauts se compensent. $h$ est [continue](#def-b1-continuity-continuous) sur $\R$ (et strictement croissante).

**Exercice 13.3 ★.**

Démontrer que l’équation $x^5 - 3x + 1 = 0$ a au moins trois solutions réelles *(évaluer en des points bien choisis et appliquer le [Théorème 13.10](#thm-b1-continuity-ivt) sur trois segments disjoints)*.

**Solution de Exercice 13.3.**

$P(x) = x^5 - 3x + 1$ : $P(-2) = -32 + 6 + 1 = -25 < 0$ ; $P(0) = 1 >
0$ ; $P(1) = -1 < 0$ ; $P(2) = 27 > 0$. Trois changements de signe sur les segments disjoints $\intcc{-2}{0}$, $\intcc{0}{1}$, $\intcc{1}{2}$ : d’après le [Théorème 13.10](#thm-b1-continuity-ivt), au moins trois racines. (Étant de degré $5$, $P$ en a au plus cinq ; une étude des variations montrerait qu’il y en a exactement trois.)

**Exercice 13.4 ★.**

Démontrer que tout [polynôme](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) de degré impair a une racine réelle.

**Solution de Exercice 13.4.**

Soit $P = a_{2m+1}X^{2m+1} + \dots$ avec $a_{2m+1} > 0$ (sinon remplacer $P$ par $-P$). En factorisant le terme dominant, $P(x) =
a_{2m+1} x^{2m+1}\bigl(1 + o(1)\bigr)$ quand $x \to \pm\infty$ : donc $P(x) \to +\infty$ en $+\infty$ et $-\infty$ en $-\infty$. Choisissons $a$ tel que $P(a) < 0$ et $b$ tel que $P(b) > 0$ : le [théorème des valeurs intermédiaires](#thm-b1-continuity-ivt) sur $\intcc{a}{b}$ fournit une racine.

**Exercice 13.5 ★★.**

(Point fixe) Soit $f \colon \intcc{0}{1} \to \intcc{0}{1}$ [continue](#def-b1-continuity-continuous). Démontrer que $f$ a un point fixe : $f(c) = c$ pour un certain $c$. Illustrer qu’on ne peut renoncer ni à la [continuité](#def-b1-continuity-continuous) ni au segment.

**Solution de Exercice 13.5.**

Soit $g(x) = f(x) - x$, [continue](#def-b1-continuity-continuous) sur $\intcc{0}{1}$. Comme $f$ est à valeurs dans $\intcc{0}{1}$ : $g(0) = f(0) \geq 0$ et $g(1) = f(1) - 1
\leq 0$. D’après le [Théorème 13.10](#thm-b1-continuity-ivt), $g(c) = 0$ pour un certain $c$ : un point fixe.

Nécessité des hypothèses : sur $\intcc{0}{1}$, l’[application](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-map) discontinue $f(x) = 1$ pour $x \leq \frac12$, $f(x) = 0$ pour $x >
\frac12$ n’a pas de point fixe ; sur l’[intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) $\intoo{0}{1}$ (qui n’est pas un segment), $f(x) = \frac x2$ est [continue](#def-b1-continuity-continuous) à valeurs dans $\intoo{0}{1}$ sans point fixe (le candidat $0$ manque) ; sur $\R$, $f(x) = x + 1$.

**Exercice 13.6 ★★.**

Démontrer que l’équation $\cos x = x$ a exactement une solution réelle, et qu’elle appartient à $\intoo{0}{1}$.

**Solution de Exercice 13.6.**

$g(x) = \cos x - x$ est [continue](#def-b1-continuity-continuous), $g(0) = 1 > 0$, $g(1) = \cos 1 -
1 < 0$ : une solution existe dans $\intoo{0}{1}$ ([Théorème 13.10](#thm-b1-continuity-ivt)). Unicité : $g$ est strictement décroissante sur $\R$ — pour $x \leq 0$, $g(x) \geq 1 - x > 0$ ne s’annule de toute façon pas ; et $g'(x) = -\sin x - 1 \leq 0$ avec égalité seulement en des points isolés ($x \equiv -\frac\pi2 \bmod
2\pi$), donc $g$ est strictement décroissante ([Chapitre 14](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/14-derivation#ch-b1-derivative) ; autrement : sur $\intcc{0}{1}$, $\cos$ est strictement décroissante et $-x$ aussi, donc $g$ l’est). Une fonction strictement monotone s’annule au plus une fois.

**Exercice 13.7 ★★.**

Soit $f \colon \R \to \R$ [continue](#def-b1-continuity-continuous) avec $f(x) \to +\infty$ quand $x
\to \pm\infty$. Démontrer que $f$ atteint un minimum global sur $\R$. *(Se ramener à un segment contenant un [ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) de sous-niveau.)*

**Solution de Exercice 13.7.**

Fixons $M = f(0) + 1$. Il existe $A > 0$ tel que $f(x) \geq M$ pour $\abs x \geq A$ (définition des deux limites infinies ; prendre le plus grand des deux seuils). Sur le segment $\intcc{-A}{A}$, le [théorème des bornes atteintes](#thm-b1-continuity-evt) ([Théorème 13.13](#thm-b1-continuity-evt)) fournit $c$ tel que $f(c) = \inf_{\intcc{-A}{A}} f \leq f(0)$. Pour $\abs x \geq A$ : $f(x)
\geq M > f(0) \geq f(c)$. Donc $f(c)$ est le minimum global.

**Exercice 13.8 ★★.**

Soit $f \colon \R \to \R$ [continue](#def-b1-continuity-continuous) et périodique (de période $T >
0$). Démontrer que $f$ est bornée et atteint ses bornes, et qu’il existe $c$ tel que $f(c + \frac T2) = f(c)$. *(Pour le second point, étudier $g(x) = f(x + \frac T2) - f(x)$ sur une période.)*

**Solution de Exercice 13.8.**

Sur le segment $\intcc{0}{T}$, $f$ est bornée et atteint ses bornes ([Théorème 13.13](#thm-b1-continuity-evt)) ; par périodicité, ce sont les bornes sur $\R$ tout entier, toujours atteintes.

Soit $g(x) = f(x + \frac T2) - f(x)$, [continue](#def-b1-continuity-continuous). Alors

$$
g(0) + g\bigl(\tfrac T2\bigr)
= \bigl(f(\tfrac T2) - f(0)\bigr) + \bigl(f(T) - f(\tfrac T2)\bigr)
= f(T) - f(0) = 0 :
$$

$g(0)$ et $g(\frac T2)$ sont de signes opposés (ou bien l’un des deux s’annule), donc le [théorème des valeurs intermédiaires](#thm-b1-continuity-ivt) sur $\intcc{0}{T/2}$ donne $c$ tel que $g(c) = 0$, c’est-à-dire $f(c +
\frac T2) = f(c)$.

**Exercice 13.9 ★★.**

Démontrer que $x \mapsto \sqrt x$ est [uniformément continue](#def-b1-continuity-uniform) sur $\intco{0}{+\infty}$, bien qu’elle ne soit pas lipschitzienne près de $0$. *(Démontrer et utiliser $\abs{\sqrt x - \sqrt y} \leq
\sqrt{\abs{x - y}}$.)*

**Solution de Exercice 13.9.**

D’abord l’inégalité : pour $0 \leq y \leq x$,

$$
\bigl(\sqrt y + \sqrt{x - y}\bigr)^2 = x + 2\sqrt{y(x-y)} \geq x,
$$

donc $\sqrt x \leq \sqrt y + \sqrt{x - y}$, c’est-à-dire $\sqrt x -
\sqrt y \leq \sqrt{x - y}$. D’où $\abs{\sqrt x - \sqrt y} \leq
\sqrt{\abs{x - y}}$ pour tous $x, y \geq 0$.

[Continuité uniforme](#def-b1-continuity-uniform) : soit $\varepsilon > 0$ ; prenons $\delta =
\varepsilon^2$ ; alors $\abs{x - y} \leq \delta$ entraîne $\abs{\sqrt x
- \sqrt y} \leq \sqrt\delta = \varepsilon$.

Pas lipschitzienne près de $0$ : $\frac{\sqrt x - \sqrt 0}{x - 0} =
\frac{1}{\sqrt x} \to +\infty$ quand $x \to 0^+$, donc aucune constante $k$ ne peut dominer tous les taux d’accroissement.

**Exercice 13.10 ★★★.**

Soit $f$ [continue](#def-b1-continuity-continuous) et [injective](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) sur un [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) $I$. Démontrer que $f$ est strictement monotone. *Indication : sinon, il existe $a
< b < c$ avec, disons, $f(b) > f(a)$ et $f(b) > f(c)$ ; appliquer le [théorème des valeurs intermédiaires](#thm-b1-continuity-ivt) à une valeur comprise entre $\max(f(a), f(c))$ et $f(b)$ de part et d’autre de $b$.*

**Solution de Exercice 13.10.**

Supposons $f$ [injective](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj), [continue](#def-b1-continuity-continuous), et non strictement monotone. Alors il existe $a < b < c$ dans $I$ tels que $f(b)$ ne soit pas compris entre $f(a)$ et $f(c)$ — en effet, si pour *tous* les triplets la valeur médiane était comprise entre les deux extrêmes, $f$ serait monotone (comparer deux paires quelconques ; brève vérification par cas). Disons $f(b) > \max(f(a), f(c))$ (l’autre cas est symétrique : remplacer $f$ par $-f$). Choisissons $v$ tel que $\max(f(a), f(c)) < v
< f(b)$. Par le [théorème des valeurs intermédiaires](#thm-b1-continuity-ivt) appliqué sur $\intcc{a}{b}$ puis sur $\intcc{b}{c}$, il existe $u_1 \in
\intoo{a}{b}$ et $u_2 \in \intoo{b}{c}$ tels que $f(u_1) = v = f(u_2)$ : deux points distincts de même image, ce qui contredit l’[injectivité](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj).

**Exercice 13.11 ★★★.**

([Équation fonctionnelle de Cauchy](#pb-b1-continuity-1), cas [continu](#def-b1-continuity-continuous)) Soit $f \colon \R \to
\R$ [continue](#def-b1-continuity-continuous) avec $f(x + y) = f(x) + f(y)$ pour tous $x, y$. Démontrer que $f(x) = f(1)\,x$ pour tout $x$ : d’abord sur $\N$, $\Z$, $\Q$ (par la seule additivité), puis sur $\R$ par [continuité](#def-b1-continuity-continuous) et [densité](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-dense) ([Théorème 10.14](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#thm-b1-reals-density)).

**Solution de Exercice 13.11.**

$f(0) = f(0+0) = 2f(0)$ donne $f(0) = 0$ ; $f(-x) = -f(x)$ vient de $0 =
f(x - x)$. Posons $\alpha = f(1)$. Par récurrence : $f(n) = n\alpha$ pour $n \in \N$, puis pour $n \in \Z$ par imparité. Pour $q \in \N^*$ : $q\,f(\frac pq) = f(p) = p\alpha$ (ajouter $\frac pq$ à lui-même $q$ fois), donc $f(\frac pq) = \alpha\frac pq$ : $f = \alpha\,
\mathrm{id}$ sur $\Q$.

Soient maintenant $x \in \R$ et $(r_n)$ une suite de rationnels telle que $r_n \to x$ ([densité](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-dense), [Théorème 10.14](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#thm-b1-reals-density), appliquée dans des [intervalles](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) emboîtés ; ou bien $r_n = \frac{\lfloor
nx\rfloor}{n}$). Par [continuité](#def-b1-continuity-continuous) : $f(x) = \lim f(r_n) = \lim \alpha r_n
= \alpha x$.

**Exercice 13.12 ★★★.**

Soit $f \colon \intco{0}{+\infty} \to \R$ [continue](#def-b1-continuity-continuous) avec $f(x) \to \ell \in \R$ quand $x \to +\infty$. Démontrer que $f$ est *uniformément* [continue](#def-b1-continuity-continuous) sur $\intco{0}{+\infty}$. *(Couper en un $A$ grand : Heine sur $\intcc{0}{A+1}$, la limite au-delà de $A$ ; faire se recouvrir les deux régimes.)*

**Solution de Exercice 13.12.**

Soit $\varepsilon > 0$. Par la limite en $+\infty$, il existe $A$ tel que $\abs{f(x) - \ell} \leq \frac\varepsilon2$ pour $x \geq A$ ; d’où, pour $x, y \geq A$ : $\abs{f(x) - f(y)} \leq \varepsilon$ (aucune proximité n’est requise).

Sur le segment $\intcc{0}{A + 1}$, le [théorème de Heine](#thm-b1-continuity-heine) ([Théorème 13.22](#thm-b1-continuity-heine)) donne $\delta_0 > 0$ pour ce $\varepsilon$ ; posons $\delta = \min(\delta_0, 1)$.

Prenons maintenant $x, y \geq 0$ quelconques avec $\abs{x - y} \leq
\delta$, disons $x \leq y$. Si $y \leq A + 1$ : tous deux sont dans le segment, et le $\delta_0$ de Heine s’applique. Sinon $y > A + 1$, et alors $x \geq y - 1 > A$ : tous deux sont dans $\intco{A}{+\infty}$, où l’argument de la limite s’applique. Dans les deux cas $\abs{f(x) -
f(y)} \leq \varepsilon$ : [continuité uniforme](#def-b1-continuity-uniform).

## 13.6 Problème : l’équation fonctionnelle de Cauchy et ses sœurs

**Problème 13.1.**

Devoir maison — $f(x + y) = f(x) + f(y)$ : la régularité force la linéarité, et le portrait des monstres

Quelles fonctions vérifient $f(x + y) = f(x) + f(y)$ pour tous réels $x, y$ ? Cauchy a posé la question en 1821 ; la réponse est un paradigme. L’[Exercice 13.11](#exo-b1-continuity-11) montre qu’une telle fonction *additive* est linéaire sur $\Q$ et que la [continuité](#def-b1-continuity-continuous) complète force $f(x) = cx$. Ce problème affaiblit l’hypothèse de façon spectaculaire — la [continuité](#def-b1-continuity-continuous) en un *seul* point, ou la monotonie, ou le simple caractère borné sur un petit [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals), chacun suffit — puis peint le portrait d’une hypothétique solution non linéaire (son graphe remplit le plan), résout les équations sœurs qui caractérisent $\eu^{cx}$, $c\ln x$, $x^c$ et $cx^2$, et se termine par l’équation de Jensen et le théorème *convexe au milieu $+$ [continue](#def-b1-continuity-continuous) $\implies$ convexe*. Dans tout le problème, *additive* signifie : $f(x + y) = f(x) + f(y)$ pour tous $x,
y \in \R$.

**Partie I — $\Q$-linéarité, et un seul point de [continuité](#def-b1-continuity-continuous).**

1. Soit $f$ additive. D’après l’ [Exercice 13.11](#exo-b1-continuity-11) , $f(r) = f(1)\,r$ pour $r$ rationnel. Démontrer l’énoncé plus fin utilisé ci-dessous : pour *tout* $x \in \R$ et tout $r \in \Q$ , $f(rx) = r\,f(x)$ ( $f$ est $\Q$ - *linéaire* ).
2. Supposons la fonction additive $f$ [continue](#def-b1-continuity-continuous) en un seul point $x_0$ . Montrer que $f$ est [continue](#def-b1-continuity-continuous) partout *(calculer $f(x + h) - f(x)$ en fonction de $f(x_0 +  h) - f(x_0)$)* , donc que $f(x) = f(1)\,x$ .
3. Montrer qu’une fonction additive est déterminée par sa restriction à tout [sous-groupe](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/7-structures-algebriques#def-b1-structures-subgroup) [dense](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-dense) : si deux fonctions additives coïncident sur $\Z + \sqrt2\,\Z$ et sont toutes deux [continues](#def-b1-continuity-continuous) , elles sont égales — alors que, sans [continuité](#def-b1-continuity-continuous) , prescrire $f(1) = 0$ et $f(\sqrt 2) = 1$ est compatible avec la $\Q$ -linéarité sur le [sous-groupe](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/7-structures-algebriques#def-b1-structures-subgroup) . Calculer $f(m + n\sqrt2)$ pour cette prescription.
4. Soit $f$ additive et majorée par $M$ sur un certain [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) $\intcc{a}{b}$ avec $a < b$ . Montrer que $f$ est majorée sur $\intcc{0}{\ell}$ , $\ell = b - a$ *(translater de $a$)* .

**Partie II — L’échelle de régularité.**

5. Suite de la question 4 : en utilisant $f(\ell - t) + f(t) =  f(\ell)$ , montrer que $f$ est aussi *minorée* sur $\intcc{0}{\ell}$ : $\abs f \leq C$ sur cet [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) .
6. Montrer que $\abs{f(t)} \leq \frac{C}{n}$ pour $t \in  \intcc{0}{\ell/n}$ , et en déduire que $f$ est [continue](#def-b1-continuity-continuous) en $0$ *(l’imparité règle le côté gauche)* , donc partout (question 2) : une fonction additive bornée sur un [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) est linéaire.
7. En déduire le cas monotone : une fonction additive croissante sur un certain $\intcc{a}{b}$ ( $a < b$ ) est $f(x) = cx$ avec $c \geq 0$ .
8. Assembler l’ *échelle de régularité* : pour $f$ additive, les [assertions](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-statement) suivantes sont équivalentes — (a) $f(x) = cx$ ; (b) $f$ [continue](#def-b1-continuity-continuous) ; (c) $f$ [continue](#def-b1-continuity-continuous) en un point ; (d) $f$ monotone sur un [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) non dégénéré ; (e) $f$ bornée sur un [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) non dégénéré. Organiser les implications de sorte que chacune soit ou bien triviale, ou bien déjà démontrée.
9. Vérifier que les questions 4 à 6 n’ont consommé qu’une majoration *par en haut* : une fonction additive majorée sur un [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) non dégénéré est déjà linéaire. En déduire l’énoncé miroir pour une minoration, et consigner la forme la plus forte ainsi obtenue du barreau (e) de l’échelle.

**Partie III — Portrait d’un monstre.** Supposons maintenant $f$ additive mais *non* linéaire.

10. Montrer qu’il existe des réels non nuls $u, v$ tels que $\dfrac{f(u)}{u} \neq \dfrac{f(v)}{v}$ , et que les vecteurs $(u, f(u))$ et $(v, f(v))$ engendrent le plan (leur déterminant $u f(v) - v f(u)$ est non nul).
11. Montrer que le graphe de $f$ contient tous les points $$r\,(u, f(u)) + s\,(v, f(v)), \qquad r, s \in \Q ,$$ et en déduire que le graphe est *[dense](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-dense) dans $\R^2$* : pour tout point $(x_0, y_0)$ du plan et tout $\varepsilon > 0$, un certain $(x, f(x))$ en est à distance moindre que $\varepsilon$ *(résoudre le système réel $2\times2$, puis approcher les coefficients réels par des rationnels)*.
12. Déduire de la question 11 le portrait complet : une fonction additive non linéaire est non bornée sur tout [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) non dégénéré, discontinue en tout point, monotone sur aucun [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) , et l’image qu’elle donne de tout [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) est [dense](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-dense) dans $\R$ . Concilier avec la question 8.
13. Les monstres existent — sur un [sous-groupe](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/7-structures-algebriques#def-b1-structures-subgroup) [dense](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-dense) , de façon constructive : sur $G = \Z + \sqrt2\,\Z$ , posons $f(m + n\sqrt2) = n$ . Montrer que $f$ est bien définie et additive sur $G$ , et que $f$ est non bornée sur $G \cap  \intoo{0}{\varepsilon}$ pour tout $\varepsilon > 0$ *(à $N$ fixé, seuls un nombre fini de $g = m +  n\sqrt2 \in \intoo{0}{1}$ vérifient $\abs n \leq N$ ; or $G \cap \intoo{0}{\varepsilon}$ est infini)* . Expliquer en un paragraphe pourquoi prolonger un tel $f$ à $\R$ tout entier exige une base de $\R$ comme $\Q$ -espace vectoriel (une *base de Hamel* ), dont l’existence relève de l’axiome du choix, au-delà de ce volume.

**Partie IV — Les équations sœurs.** Toutes les fonctions sont ici [continues](#def-b1-continuity-continuous).

14. Soit $f \colon \R \to \R$ [continue](#def-b1-continuity-continuous) , non identiquement nulle, avec $f(x + y) = f(x)f(y)$ . Montrer que $f(x) =  f\bigl(\frac x2\bigr)^2 \geq 0$ , puis que $f > 0$ partout, puis que $f(x) = \eu^{cx}$ pour un certain $c$ : les exponentielles sont exactement les [morphismes](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/7-structures-algebriques#def-b1-structures-morphism) [continus](#def-b1-continuity-continuous) de $(\R, +)$ dans $(\R^*, \times)$ .
15. Soit $f \colon \intoo{0}{+\infty} \to \R$ [continue](#def-b1-continuity-continuous) avec $f(xy) = f(x) + f(y)$ . Montrer que $f(x) = c\ln x$ *(transporter par $\exp$)* .
16. Soit $f \colon \intoo{0}{+\infty} \to \intoo{0}{+\infty}$ [continue](#def-b1-continuity-continuous) avec $f(xy) = f(x)f(y)$ . Montrer que $f(x) = x^c$ .
17. Trouver toutes les fonctions [continues](#def-b1-continuity-continuous) $f \colon \R \to \R$ telles que $$f(x + y) = f(x) + f(y) + f(x)f(y) .$$ *(Étudier $h = 1 + f$ ; traiter à part le cas dégénéré.)*
18. (Parallélogramme) Trouver toutes les fonctions [continues](#def-b1-continuity-continuous) $f \colon \R \to \R$ telles que $f(x + y) + f(x - y) =  2f(x) + 2f(y)$ : montrer que $f$ est paire, que $f(0) = 0$ , que $f(nx) = n^2 f(x)$ par récurrence, puis que $f(x) =  f(1)\,x^2$ . (Cette équation est la signature des formes quadratiques — la loi du parallélogramme qui détecte, dans le volume de Licence 2, quelles normes proviennent d’un produit scalaire.)

**Partie V — Jensen et la convexité au milieu.**

19. (Équation de Jensen) Soit $f \colon \R \to \R$ [continue](#def-b1-continuity-continuous) avec $f\bigl(\frac{x+y}{2}\bigr) = \frac{f(x)  + f(y)}{2}$ . Montrer que $g = f - f(0)$ vérifie $g\bigl(\frac x2\bigr) = \frac{g(x)}{2}$ , en déduire que $g$ est additive, et conclure que $f(x) = cx + d$ .
20. Supposons maintenant seulement l’*inégalité* : $f$ [continue](#def-b1-continuity-continuous) avec $$f\Bigl(\frac{x + y}{2}\Bigr) \leq \frac{f(x) +  f(y)}{2} \qquad (x, y \in \R).$$ Démontrer par récurrence sur $n$ que, pour tout poids dyadique $\lambda = \frac{k}{2^n} \in \intcc{0}{1}$ : $$f\bigl(\lambda x + (1 - \lambda)y\bigr) \leq \lambda  f(x) + (1 - \lambda) f(y) .$$
21. Étendre par [continuité](#def-b1-continuity-continuous) et [densité](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-dense) des dyadiques (l’ [Exercice 10.8](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#exo-b1-reals-8) ) à tout $\lambda \in  \intcc{0}{1}$ : une fonction [continue](#def-b1-continuity-continuous) convexe au milieu vérifie l’inégalité de convexité complète (la notion étudiée systématiquement au [Chapitre 14](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/14-derivation#ch-b1-derivative) ).
22. Montrer qu’on ne peut renoncer à la [continuité](#def-b1-continuity-continuous) : une fonction additive non linéaire $f$ vérifie l’ *égalité au milieu* de la question 19 sans vérifier aucune inégalité de convexité sur un [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) (question 12). Morale : la convexité au milieu est une propriété à étages dénombrables (les dyadiques), la convexité une propriété du [continu](#def-b1-continuity-continuous) ; la [continuité](#def-b1-continuity-continuous) est le pont — exactement comme dans les parties I et II.

**Partie VI — Dernières variations et synthèse.**

23. Trouver toutes les fonctions [continues](#def-b1-continuity-continuous) $f \colon \R \to \R$ telles que $f(x + y) = f(x) + f(y) + xy$ *(soustraire la solution particulière $\frac{x^2}{2}$)* .
24. Démontrer : si $f \colon \R \to \R$ est [continue](#def-b1-continuity-continuous) et additive seulement sur un *[sous-groupe](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/7-structures-algebriques#def-b1-structures-subgroup) [dense](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-dense)* $G$ (c’est-à-dire $f(g + g') = f(g) + f(g')$ pour $g, g' \in  G$ ), alors $f$ est additive sur $\R$ . Plus généralement, deux fonctions [continues](#def-b1-continuity-continuous) qui coïncident sur une partie [dense](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-dense) de $\R$ sont égales.
25. Synthèse, une phrase pour chaque point : (i) énoncer de mémoire l’échelle de régularité de la question 8 ; (ii) expliquer pourquoi « graphe [dense](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-dense) dans le plan » est la bonne image mentale de l’échec de la régularité ; (iii) énumérer les cinq fonctions classiques caractérisées dans les parties IV et V et la méthode unique qui les a toutes attrapées ; (iv) nommer les deux endroits où la [densité](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-dense) de $\Q$ (ou des dyadiques) dans $\R$ a porté l’argument, et l’endroit où elle ne l’a pas pu (question 13).

**Solution de Problème 13.1.**

**1.** Pour $n \in \N$ : $f(nx) = n f(x)$ par récurrence ($f((n+1)x) = f(nx) + f(x)$). De plus $f(0) = 2f(0)$ donne $f(0) =
0$, et $0 = f(x - x) = f(x) + f(-x)$ donne l’imparité, donc $f(nx) =
nf(x)$ pour $n \in \Z$. Pour $r = \frac pq$ : $q\,f\bigl(\tfrac
pq x\bigr) = f(px) = p\,f(x)$, donc $f(rx) = r f(x)$ : $f$ est $\Q$-linéaire.

**2.** L’additivité donne, pour tous $x$ et $h$ :

$$
f(x + h) - f(x) = f(h) = f(x_0 + h) - f(x_0) .
$$

Quand $h \to 0$, le membre de droite tend vers $0$ par [continuité](#def-b1-continuity-continuous) en $x_0$ ; donc $f(x + h) \to f(x)$ : [continuité](#def-b1-continuity-continuous) en tout $x$. Alors l’[Exercice 13.11](#exo-b1-continuity-11) donne $f(x) = f(1)\,x$.

**3.** Deux fonctions additives [continues](#def-b1-continuity-continuous) sont de la forme $cx$ et $c'x$ (question 2) ; si elles coïncident sur le [sous-groupe](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/7-structures-algebriques#def-b1-structures-subgroup) [dense](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-dense) $\Z + \sqrt2\,\Z$ ([Exercice 10.9](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#exo-b1-reals-9)), alors $c\,g = c'g$ pour un certain $g \neq 0$ de ce [sous-groupe](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/7-structures-algebriques#def-b1-structures-subgroup) : $c = c'$, les fonctions sont égales. Sans [continuité](#def-b1-continuity-continuous) : la $\Q$-linéarité ne lie que les valeurs aux $\Q$-combinaisons, et $1, \sqrt2$ sont $\Q$-indépendants ($\sqrt2
\notin \Q$), donc $f(1) = 0$, $f(\sqrt2) = 1$ est cohérent et impose, sur le [sous-groupe](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/7-structures-algebriques#def-b1-structures-subgroup),

$$
f(m + n\sqrt2) = m\,f(1) + n\,f(\sqrt2) = n .
$$

**4.** Pour $t \in \intcc{0}{\ell}$ : $a + t \in
\intcc{a}{b}$, donc $f(t) = f(a + t) - f(a) \leq M - f(a) =: M'$.

**5.** Pour $t \in \intcc{0}{\ell}$, on a aussi $\ell - t \in
\intcc{0}{\ell}$, et l’additivité donne $f(t) = f(\ell) - f(\ell
- t) \geq f(\ell) - M'$. D’où $\abs{f} \leq C$ sur $\intcc{0}{\ell}$ avec $C = \max\bigl(\abs{M'}, \abs{f(\ell) -
M'}\bigr)$.

**6.** Pour $t \in \intcc{0}{\ell/n}$ : $nt \in
\intcc{0}{\ell}$ et $f(t) = \frac{f(nt)}{n}$ (question 1), donc $\abs{f(t)} \leq \frac Cn$. Soit $\varepsilon > 0$ ; choisissons $n >
\frac C\varepsilon$ : pour $0 \leq h \leq \frac\ell n$, $\abs{f(h)} \leq \varepsilon$, et pour $h$ négatif on utilise $f(h) =
-f(-h)$. Ainsi $f(h) \to 0 = f(0)$ quand $h \to 0$ : [continuité](#def-b1-continuity-continuous) en $0$, donc partout (question 2), donc $f(x) = f(1)x$.

**7.** Si $f$ est croissante sur $\intcc{a}{b}$, alors $f(a) \leq f(x) \leq f(b)$ sur cet [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) : bornée, donc linéaire par la question 6, $f(x) = cx$ ; et $c(b - a) = f(b) - f(a) \geq 0$ impose $c \geq 0$.

**8.** (a)$\Rightarrow$(b)$\Rightarrow$(c) : trivial. (c)$\Rightarrow$(a) : question 2. (a)$\Rightarrow$(d) : une fonction linéaire est monotone partout. (d)$\Rightarrow$(e) : une fonction monotone sur $\intcc{a}{b}$ y est bornée par ses valeurs aux extrémités. (e)$\Rightarrow$(a) : questions 4 à 6. Les cinq [assertions](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-statement) sont équivalentes — c’est l’échelle de régularité.

**9.** La question 4 n’a utilisé que la majoration $M$ ; la question 5 a *déduit* la minoration de la majoration via la réflexion $f(t) = f(\ell) - f(\ell - t)$ ; la question 6 a ensuite tourné sur $\abs f \leq C$. Donc : additive et *majorée* sur un [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) non dégénéré entraîne déjà linéaire. Pour une minoration, appliquer ceci à $-f$ (additive, majorée). Barreau (e) le plus fort : une borne unilatérale sur un seul [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) suffit.

**10.** Si $\frac{f(x)}{x}$ valait une même constante $c$ pour tout $x \neq 0$, $f$ serait linéaire ; il existe donc $u, v$ non nuls tels que $\frac{f(u)}u \neq \frac{f(v)}v$, c’est-à-dire $u f(v) - v
f(u) \neq 0$ : le déterminant des vecteurs $(u, f(u))$, $(v,
f(v))$ est non nul, et ils engendrent $\R^2$.

**11.** Pour $r, s \in \Q$ : $f(ru + sv) = r f(u) + s f(v)$ (question 1 deux fois, plus l’additivité), donc le graphe contient

$$
\bigl(ru + sv,\; r f(u) + s f(v)\bigr)
= r\,(u, f(u)) + s\,(v, f(v)) .
$$

Étant donnés $(x_0, y_0)$ et $\varepsilon > 0$ : le système $2 \times
2$ $a(u, f(u)) + b(v, f(v)) = (x_0, y_0)$ a une (unique) solution réelle $(a, b)$ puisque le déterminant est non nul. Choisissons des rationnels $r_n \to a$, $s_n \to b$ : alors $r_n(u, f(u)) +
s_n(v, f(v)) \to (x_0, y_0)$ coordonnée par coordonnée, et chacun de ces points est sur le graphe : le graphe est [dense](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-dense) dans $\R^2$.

**12.** Soit $I$ un [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) non dégénéré, $x_0$ son milieu, $M$ arbitraire : la [densité](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-dense) fournit un point du graphe à distance moindre que $\min\bigl(\frac{\abs I}{2}, 1\bigr)$ de $(x_0, M
+ 1)$, c’est-à-dire $x \in I$ avec $f(x) > M$ : non bornée sur $I$, donc (question 8) discontinue en tout point et monotone sur aucun [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) ; et pour toute cible $y_0$, les points du graphe proches de $(x_0, y_0)$ donnent des $f(x)$ arbitrairement proches de $y_0$ avec $x
\in I$ : $f(I)$ est [dense](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-dense) dans $\R$. C’est la question 8 lue à l’envers : puisque tous les barreaux sont équivalents, une fonction additive non linéaire doit les mettre en défaut *tous*, partout.

**13.** Bien définie : $m + n\sqrt2 = m' + n'\sqrt2$ impose $(n - n')\sqrt2 = m' - m \in \Z$, donc $n = n'$ (sinon $\sqrt2 \in
\Q$) et $m = m'$. L’additivité sur $G$ est alors claire coordonnée par coordonnée. Caractère non borné près de $0^+$ : fixons $\varepsilon \in
\intoo{0}{1}$ et $N \in \N$. Pour chaque $n$ fixé avec $\abs n
\leq N$, la condition $m + n\sqrt2 \in \intoo{0}{1}$ enferme $m$ dans un [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) de longueur $1$ : au plus un entier $m$ par $n$, donc au plus $2N + 1$ éléments de $G \cap \intoo{0}{1}$ vérifient $\abs{f} \leq N$. Or $G \cap \intoo{0}{\varepsilon}$ est infini ($G$ est [dense](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-dense), [Exercice 10.9](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#exo-b1-reals-9)) ; il contient donc un $g$ avec $\abs{f(g)} > N$ : $f$ n’est bornée sur aucun [voisinage](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-open) à droite de $0$. Prolonger $f$ en une fonction additive sur $\R$ revient à choisir des valeurs de façon cohérente sur une famille de réels $\Q$-linéairement indépendante et engendrant $\R$ sur $\Q$ — une base de Hamel ; en produire une exige l’axiome du choix, et aucune formule explicite ne peut le faire : constructivement, nous ne possédons le monstre que sur $G$.

**14.** $f(x) = f(\frac x2 + \frac x2) = f(\frac x2)^2 \geq
0$. Si $f(x_0) = 0$, alors $f(x) = f(x - x_0)f(x_0) = 0$ pour tout $x$ : exclu. Donc $f > 0$ et $g = \ln \circ f$ est [continue](#def-b1-continuity-continuous) ([Proposition 13.8](#prop-b1-continuity-algebra)) avec $g(x + y) = g(x) +
g(y)$ : d’après l’[Exercice 13.11](#exo-b1-continuity-11), $g(x) = cx$, donc $f(x)
= \eu^{cx}$. Réciproquement chaque $\eu^{cx}$ convient : les [morphismes](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/7-structures-algebriques#def-b1-structures-morphism) [continus](#def-b1-continuity-continuous) $(\R, +) \to (\R^*, \times)$ sont exactement les exponentielles.

**15.** $g(u) = f(\eu^u)$ est [continue](#def-b1-continuity-continuous) et $g(u + v) =
f(\eu^u \eu^v) = g(u) + g(v)$ : $g(u) = cu$, et tout $x > 0$ s’écrit $x = \eu^u$ avec $u = \ln x$ : $f(x) = c\ln x$.

**16.** $h = \ln \circ f$ est [continue](#def-b1-continuity-continuous) sur $\intoo{0}{+\infty}$ avec $h(xy) = h(x) + h(y)$ : d’après la question 15, $h(x) = c\ln x$, donc $f(x) = \eu^{c\ln x} = x^c$.

**17.** $x = y = 0$ : $f(0) = 2f(0) + f(0)^2$, donc $f(0)(1 +
f(0)) = 0$. Si $f(0) = -1$ : en posant $y = 0$, $f(x) = f(x) +
f(0) + f(x)f(0) = -1$ pour tout $x$ : la constante $f \equiv -1$ (qui vérifie effectivement l’équation). Sinon $f(0) = 0$ ; $h
= 1 + f$ est [continue](#def-b1-continuity-continuous), $h(0) = 1$, et

$$
h(x + y) = 1 + f(x) + f(y) + f(x)f(y) = h(x)\,h(y) :
$$

d’après la question 14, $h(x) = \eu^{cx}$, c’est-à-dire $f(x) =
\eu^{cx} - 1$ (le cas $c = 0$ donnant $f \equiv 0$). Liste complète : $f \equiv -1$ et $f(x) = \eu^{cx} - 1$, $c \in \R$.

**18.** $x = y = 0$ : $2f(0) = 4f(0)$, donc $f(0) = 0$. $x =
0$ : $f(y) + f(-y) = 2f(y)$, donc $f$ est paire. $y = x$ : $f(2x) =
4f(x)$. Récurrence en utilisant $(x, y) \to (nx, x)$ :

$$
f((n{+}1)x) = 2f(nx) + 2f(x) - f((n{-}1)x)
= (2n^2 + 2 - (n-1)^2) f(x) = (n+1)^2 f(x) .
$$

Puis $f(x) = f\bigl(q\cdot\frac xq\bigr) = q^2 f\bigl(\frac
xq\bigr)$ donne $f\bigl(\frac pq x\bigr) = \frac{p^2}{q^2}f(x)$ : $f(r) = r^2 f(1)$ sur $\Q$ (la parité règle les signes). Les deux fonctions [continues](#def-b1-continuity-continuous) $f$ et $x \mapsto f(1)x^2$ coïncident sur la partie [dense](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-dense) $\Q$, donc partout (question 24) : $f(x) =
f(1)\,x^2$ ; et tout $cx^2$ vérifie l’équation.

**19.** $g = f - f(0)$ est [continue](#def-b1-continuity-continuous), $g(0) = 0$, et vérifie l’équation de Jensen (les constantes se simplifient). En prenant $y = 0$ : $g\bigl(\frac x2\bigr) = \frac{g(x)}{2}$. Alors pour tous $x, y$ :

$$
\frac{g(x + y)}{2} = g\Bigl(\frac{x+y}{2}\Bigr)
= \frac{g(x) + g(y)}{2} ,
$$

donc $g$ est additive et [continue](#def-b1-continuity-continuous) : $g(x) = cx$ (question 2), et $f(x) = cx + d$ avec $d = f(0)$. Toutes les fonctions affines vérifient Jensen : la liste est complète.

**20.** Récurrence sur $n$. Pour $n = 0$ : $\lambda \in \{0,
1\}$, trivial. Supposons l’inégalité acquise pour tous les poids $\frac{k}{2^n}$. Un poids $\lambda = \frac{k}{2^{n+1}}$ avec $k$ pair se ramène au niveau $n$ ; pour $k = 2j + 1$, $\lambda$ est le milieu de $\lambda_1 = \frac{j}{2^n}$ et $\lambda_2 =
\frac{j+1}{2^n}$. Avec $z_i = \lambda_i x + (1 - \lambda_i)y$ : $\lambda x + (1-\lambda)y = \frac{z_1 + z_2}{2}$, donc

$$
f\bigl(\lambda x + (1{-}\lambda)y\bigr)
\leq \frac{f(z_1) + f(z_2)}{2}
\leq \frac{(\lambda_1 + \lambda_2)f(x) + (2 - \lambda_1 -
\lambda_2)f(y)}{2}
= \lambda f(x) + (1 - \lambda)f(y) .
$$

**21.** Fixons $x, y$. Les [applications](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-map) $\lambda \mapsto f(\lambda
x + (1 - \lambda)y)$ et $\lambda \mapsto \lambda f(x) + (1 -
\lambda)f(y)$ sont [continues](#def-b1-continuity-continuous) sur $\intcc{0}{1}$ (composition et algèbre, [Proposition 13.8](#prop-b1-continuity-algebra)). L’inégalité vaut sur les poids dyadiques, [denses](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-dense) dans $\intcc{0}{1}$ ([Exercice 10.8](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#exo-b1-reals-8)) ; pour $\lambda$ quelconque, prenons des dyadiques $\lambda_n \to \lambda$ et passons à la limite ([Théorème 13.3](#thm-b1-continuity-seqchar) et [Théorème 11.7](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/11-suites#thm-b1-seq-order)) : l’inégalité de convexité vaut pour tout $\lambda \in
\intcc{0}{1}$ — convexité au milieu plus [continuité](#def-b1-continuity-continuous) égale convexité (la notion du [Chapitre 14](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/14-derivation#ch-b1-derivative)).

**22.** Une fonction additive non linéaire $f$ vérifie $f\bigl(\frac{x+y}{2}\bigr) = \frac{f(x) + f(y)}{2}$ exactement (question 1 avec $r = \frac12$, puis additivité) : elle est convexe au milieu, et même affine au milieu. Si elle vérifiait l’inégalité de convexité complète sur un [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) $\intcc{x}{y}$, alors pour $\lambda \in \intcc{0}{1}$ : $f(\lambda x + (1-\lambda)y) \leq
\max(f(x), f(y))$ — majorée sur un [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) non dégénéré, donc linéaire d’après la question 9 : contradiction. La [continuité](#def-b1-continuity-continuous) de la question 21 n’est donc pas un luxe : sans elle, la convexité au milieu ne contrôle que le squelette dyadique dénombrable, et le [continu](#def-b1-continuity-continuous) qui s’étend entre ses points part en vrille.

**23.** $p(x) = \frac{x^2}{2}$ vérifie $p(x+y) = p(x) +
p(y) + xy$. Si $f$ est une solution [continue](#def-b1-continuity-continuous) quelconque, $g = f - p$ est [continue](#def-b1-continuity-continuous) et additive, donc $g(x) = cx$ :

$$
f(x) = \frac{x^2}{2} + cx , \qquad c \in \R ,
$$

et chacune de ces fonctions est solution : la liste est complète.

**24.** Principe général : si $u, v$ sont [continues](#def-b1-continuity-continuous) et coïncident sur une partie [dense](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-dense) $D \subseteq \R$, alors pour $x \in \R$ on choisit $d_n \in D$ avec $d_n \to x$ ([Proposition 12.11](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#prop-b1-topology-closureprops)) ; $u(x) = \lim u(d_n) =
\lim v(d_n) = v(x)$. Soit maintenant $f$ [continue](#def-b1-continuity-continuous) et additive sur le [sous-groupe](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/7-structures-algebriques#def-b1-structures-subgroup) [dense](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-dense) $G$. Fixons $x, y \in \R$ et prenons $g_n \to x$, $g'_n \to y$ avec $g_n, g'_n \in G$ ; alors $g_n + g'_n \to x + y$ et, par [continuité](#def-b1-continuity-continuous) séquentielle en $x + y$, en $x$ et en $y$ :

$$
f(x + y) = \lim f(g_n + g'_n) = \lim\bigl(f(g_n) +
f(g'_n)\bigr) = f(x) + f(y) :
$$

$f$ est additive sur $\R$ tout entier (donc linéaire, par la question 2).

**25.** (i) Pour $f$ additive : linéaire $\iff$ [continue](#def-b1-continuity-continuous) $\iff$ [continue](#def-b1-continuity-continuous) en un point $\iff$ monotone sur un [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) $\iff$ bornée (même d’un seul côté) sur un [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals). (ii) La [densité](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-dense) du graphe dans le plan montre que l’échec n’est pas un défaut local mais une explosion globale : au-dessus de tout [sous-intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals), les valeurs s’étalent sur $\R$ tout entier, de sorte que toute propriété de régularité échoue partout à la fois. (iii) Le butin : $cx$, $\eu^{cx}$, $c\ln x$, $x^c$, $cx^2$, et $cx + d$ — six caractérisations, une seule méthode : transporter l’équation vers celle de Cauchy, démontrer le squelette sur $\Q$ par récurrence, remonter à $\R$ par [densité](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-dense) et [continuité](#def-b1-continuity-continuous). (iv) La [densité](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-dense) de $\Q$ (ou des dyadiques) a porté les remontées de l’[Exercice 13.11](#exo-b1-continuity-11) et de la question 21 ; elle n’a rien porté à la question 13, car sans [continuité](#def-b1-continuity-continuous) les valeurs ne se propagent pas d’une partie [dense](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-dense) à son [adhérence](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-closure) — la [densité](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-dense) ne transfère l’information que le long de la [continuité](#def-b1-continuity-continuous).