--- title: "Dérivation" book: "Mathématiques universitaires — Licence 1" subject: math language: fr chapter: 14 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/14-derivation --- # Chapitre 14 — Dérivation On a calculé des [dérivées](#def-b1-derivative-def) tout au long du volume du secondaire ; ce qui manquait, c’est la chaîne de théorèmes qui transforme le calcul en information sur les fonctions : le [théorème de Rolle](#thm-b1-derivative-rolle), le [théorème des accroissements finis](#thm-b1-derivative-mvt), et leurs conséquences — critères de monotonie, majorations lipschitziennes, [convexité](#def-b1-derivative-convex). Tout ce chapitre concerne des fonctions définies sur un [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) $I$. ## 14.1 La dérivée **Définition 14.1.** $f \colon I \to \R$ est *dérivable en $x_0 \in I$* lorsque le taux d’accroissement $\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ admet une limite (finie) quand $x \to x_0$ ; cette limite se note $f'(x_0)$. De façon équivalente : $$ f(x_0 + h) = f(x_0) + f'(x_0)\,h + h\,\varepsilon(h), \qquad \varepsilon(h) \xrightarrow[h \to 0]{} 0 , $$ le graphe admettant alors la tangente $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$. La dérivabilité en $x_0$ entraîne la [continuité](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#def-b1-continuity-continuous) en $x_0$ (relire la formule affichée). $f$ est dérivable sur $I$ lorsqu’elle l’est en tout point ; $f$ est de classe $C^1$ lorsque de plus $f'$ est [continue](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#def-b1-continuity-continuous), et de classe $C^k$ lorsque $f$ peut être dérivée $k$ fois avec $f^{(k)}$ [continue](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#def-b1-continuity-continuous). **Exemple 14.2.** La réciproque de « [dérivable](#def-b1-derivative-def) $\Rightarrow$ [continue](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#def-b1-continuity-continuous) » est fausse : $\abs{\,\cdot\,}$ en $0$. Plus surprenant, [dérivable](#def-b1-derivative-def) n’implique pas $C^1$ : la fonction $f(x) = x^2 \sin\frac 1x$ ($f(0) = 0$) est [dérivable](#def-b1-derivative-def) partout, avec $f'(0) = 0$, mais $f'(x) = 2x \sin\frac1x - \cos\frac 1x$ n’a pas de limite en $0$ ([Exercice 14.2](#exo-b1-derivative-2)). **Exemple 14.3 (Dérivable en exactement un point).** Soit $f(x) = x^2$ pour $x \in \Q$ et $f(x) = 0$ pour $x \notin \Q$. En $0$ : $\bigl|\frac{f(h) - 0}{h}\bigr| \leq \abs h \to 0$, donc $f$ est [dérivable](#def-b1-derivative-def) en $0$ avec $f'(0) = 0$. En tout $x_0 \neq 0$, $f$ n’est même pas [continue](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#def-b1-continuity-continuous) : des suites de rationnels et d’irrationnels convergeant vers $x_0$ envoient $f$ sur $x_0^2 \neq 0$ et sur $0$ respectivement ([densité](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-dense), [Théorème 10.14](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#thm-b1-reals-density)). La [dérivabilité](#def-b1-derivative-def) est donc une notion authentiquement *ponctuelle* : elle peut avoir lieu en un point de $\R$ et nulle part ailleurs. La morale pour la pratique : des énoncés comme le critère de monotonie ou le [théorème de Rolle](#thm-b1-derivative-rolle) exigent la [dérivée](#def-b1-derivative-def) *sur un [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals)* — posséder $f'(x_0)$ en des points isolés, si nombreux soient-ils, n’autorise absolument aucune conclusion globale. **Théorème 14.4 (Opérations).** Si $f, g$ sont [dérivables](#def-b1-derivative-def) en $x_0$ (et là où les formules ont un sens) : $$ (f + g)' = f' + g', \qquad (fg)' = f'g + fg', \qquad \Bigl(\frac fg\Bigr)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}, $$ et si $g$ est [dérivable](#def-b1-derivative-def) en $f(x_0)$ : $\;(g \circ f)'(x_0) = g'\bigl(f(x_0)\bigr)\, f'(x_0)$ ([règle de la chaîne](#thm-b1-derivative-operations)). **Démonstration.** Somme : immédiat. Produit : écrivons $$ f(x)g(x) - f(x_0)g(x_0) = \bigl(f(x) - f(x_0)\bigr) g(x) + f(x_0)\bigl(g(x) - g(x_0)\bigr), $$ divisons par $x - x_0$ et faisons tendre $x \to x_0$ ($g$ est [continue](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#def-b1-continuity-continuous) en $x_0$). Quotient : traitons $\frac 1g$ via $\frac{1/g(x) - 1/g(x_0)}{x - x_0} = \frac{-1}{g(x)g(x_0)}\cdot\frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0}$, puis appliquons la règle du produit. Composée : avec $y_0 = f(x_0)$, posons $\theta(y) = \frac{g(y) - g(y_0)}{y - y_0}$ pour $y \neq y_0$ et $\theta(y_0) = g'(y_0)$ : $\theta$ est [continue](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#def-b1-continuity-continuous) en $y_0$, et pour $x \neq x_0$, $$ \frac{g(f(x)) - g(f(x_0))}{x - x_0} = \theta\bigl(f(x)\bigr)\cdot \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \longrightarrow g'(y_0)\, f'(x_0), $$ le premier facteur par composition des limites (ce procédé traite proprement le cas $f(x) = f(x_0)$, où le naïf « multiplier et diviser par $f(x) - f(x_0)$ » s’effondre). ∎ **Théorème 14.5 (Dérivée d’une fonction réciproque).** Soit $f$ [continue](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#def-b1-continuity-continuous) et strictement monotone sur $I$, [dérivable](#def-b1-derivative-def) en $x_0$ avec $f'(x_0) \neq 0$. Alors $f^{-1}$ ([Théorème 13.16](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#thm-b1-continuity-bijection)) est [dérivable](#def-b1-derivative-def) en $y_0 = f(x_0)$, avec $$ (f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)} = \frac{1}{f'\bigl(f^{-1}(y_0)\bigr)} . $$ Si $f'(x_0) = 0$, la réciproque admet une tangente verticale en $y_0$. **Démonstration.** Pour $y \to y_0$, posons $x = f^{-1}(y)$ : la [continuité](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#def-b1-continuity-continuous) de $f^{-1}$ donne $x \to x_0$, et $$ \frac{f^{-1}(y) - f^{-1}(y_0)}{y - y_0} = \frac{x - x_0}{f(x) - f(x_0)} = \frac{1}{\dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}} \longrightarrow \frac{1}{f'(x_0)} . $$ Tangente verticale : si $f'(x_0) = 0$, le quotient affiché est l’inverse d’une quantité qui tend vers $0$ en gardant un signe constant (pour $f$ strictement croissante, $\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} > 0$ pour tout $x \neq x_0$) : le taux d’accroissement de $f^{-1}$ tend donc vers $+\infty$ (vers $-\infty$ pour $f$ décroissante). La réciproque reste [continue](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#def-b1-continuity-continuous) mais n’est pas [dérivable](#def-b1-derivative-def) en $y_0$ — son graphe, symétrique de celui de $f$ par rapport à la diagonale, se dresse à la verticale exactement là où celui de $f$ courait à l’horizontale, comme l’illustre $x^{1/3}$ en $0$ face à $x^3$. ∎ **Exemple 14.6 (Dérivées de réciproques, deux fois).** Le théorème recalcule les [dérivées](#def-b1-derivative-def) classiques sans aucun travail sur les limites. Pour $\ln = \exp^{-1}$ : en $y = \eu^x$, $$ (\ln)'(y) = \frac{1}{\exp'(x)} = \frac{1}{\eu^{x}} = \frac1y , $$ valable pour tout $y > 0$ puisque $\exp' = \exp$ ne s’annule jamais. Pour $\arctan = \tan^{-1}$ : en $y = \tan x$, $$ (\arctan)'(y) = \frac{1}{1 + \tan^2 x} = \frac{1}{1 + y^2} , $$ en utilisant $\tan' = 1 + \tan^2 > 0$. L’idée à retenir : la formule convertit la connaissance d’une fonction en connaissance de sa réciproque au prix d’une seule substitution — et cette substitution ($x = \ln y$, $x = \arctan y$) dit exactement que les deux variables vivent de part et d’autre de la [bijection](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj). ## 14.2 Rolle et le théorème des accroissements finis **Proposition 14.7 (Extremum intérieur).** Si $f$ est [dérivable](#def-b1-derivative-def) en un point *[intérieur](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-closure)* $x_0$ de $I$ et y présente un extremum local, alors $f'(x_0) = 0$. **Démonstration.** Disons un maximum local : il existe $r > 0$ tel que $f(x) \leq f(x_0)$ pour $\abs{x - x_0} \leq r$, et l’intériorité garantit que les deux côtés de $x_0$ sont disponibles dans $I$. Pour $0 < h \leq r$, le quotient $\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ a un numérateur $\leq 0$ et un dénominateur $> 0$ : il est $\leq 0$, et sa limite $f'(x_0)$ hérite du $\leq 0$ (les inégalités larges passent à la limite, [Théorème 11.7](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/11-suites#thm-b1-seq-order)) ; pour $-r \leq h < 0$ le quotient est $\geq 0$, d’où $f'(x_0) \geq 0$. Donc $f'(x_0) = 0$. (À une extrémité, un seul signe est disponible : la conclusion y tombe en défaut — songeons à $x$ sur $\intcc{0}{1}$, maximal en $1$ avec une [dérivée](#def-b1-derivative-def) égale à $1$.) ∎ **Théorème 14.8 (Rolle).** Soit $f$ [continue](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#def-b1-continuity-continuous) sur $\intcc{a}{b}$, [dérivable](#def-b1-derivative-def) sur $\intoo{a}{b}$, avec $f(a) = f(b)$. Alors $f'(c) = 0$ pour un certain $c \in \intoo{a}{b}$. **Démonstration.** D’après le [théorème des bornes atteintes](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#thm-b1-continuity-evt) ([Théorème 13.13](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#thm-b1-continuity-evt)), $f$ atteint son maximum et son minimum sur $\intcc{a}{b}$. Si tous deux sont atteints aux extrémités, alors (puisque $f(a) = f(b)$) max $=$ min et $f$ est constante : n’importe quel $c$ [intérieur](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-closure) convient. Sinon un extremum est atteint en un point [intérieur](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-closure) $c$, et la [Proposition 14.7](#prop-b1-derivative-fermat) donne $f'(c) = 0$. ∎ **Théorème 14.9 (Théorème des accroissements finis).** Soit $f$ [continue](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#def-b1-continuity-continuous) sur $\intcc{a}{b}$, [dérivable](#def-b1-derivative-def) sur $\intoo{a}{b}$. Il existe $c \in \intoo{a}{b}$ tel que $$ f(b) - f(a) = f'(c)\,(b - a) . $$ *Inégalité des accroissements finis :* si de plus $m \leq f' \leq M$ sur $\intoo{a}{b}$, alors $m(b-a) \leq f(b) - f(a) \leq M(b-a)$ ; en particulier $\abs{f'} \leq K$ entraîne que $f$ est $K$-lipschitzienne. **Démonstration.** Appliquons Rolle à $g(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a)$ : $g$ est [continue](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#def-b1-continuity-continuous) sur $\intcc{a}{b}$, [dérivable](#def-b1-derivative-def) à l’[intérieur](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-closure), et $g(a) = f(a) = g(b)$. Au point $c$ où $g'(c) = 0$ : $f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$. L’inégalité s’obtient en encadrant $f'(c)$ ; l’énoncé lipschitzien l’applique à tout couple de points. ∎ ![Le théorème des accroissements finis : une tangente (en tirets) est parallèle à la corde (en gris). Son abscisse c est le point où le théorème de Rolle, appliqué à la fonction moins sa corde, trouve un point critique.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-derivative/fig-a2d4f0542a62.svg) *Le [théorème des accroissements finis](#thm-b1-derivative-mvt) : une tangente (en tirets) est parallèle à la corde (en gris). Son abscisse $c$ est le point où le [théorème de Rolle](#thm-b1-derivative-rolle), appliqué à la fonction moins sa corde, trouve un point critique.* **Exemple 14.10 (La méthode de Newton, c’est celle de Héron).** La méthode de Newton pour résoudre $f(x) = 0$ remplace la courbe par sa tangente au point courant $x_n$ et prend la racine de cette tangente comme point suivant : $$ 0 = f(x_n) + f'(x_n)(x_{n+1} - x_n) \quad\Longrightarrow\quad x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} . $$ Faisons-la tourner sur $f(x) = x^2 - 2$ : $$ x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^2 - 2}{2x_n} = \frac{x_n}{2} + \frac{1}{x_n} = \frac12\Bigl(x_n + \frac{2}{x_n}\Bigr) : $$ c’est exactement l’itération de Héron ([Exemple 11.24](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/11-suites#ex-b1-seq-heron)), avec deux millénaires d’avance. La vitesse quadratique qu’on y observait s’explique maintenant par l’image de la tangente : près d’une racine simple, la courbe et la tangente diffèrent d’une erreur du second ordre, de sorte que chaque étape élève à peu près l’erreur au carré — l’énoncé général découle des majorations de Taylor du [Chapitre 16](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/16-formules-de-taylor-et-developpements-limites#ch-b1-taylor). L’idée à retenir : là où la dichotomie ([Exemple 13.12](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#ex-b1-continuity-dichotomy)) n’utilise que la [continuité](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#def-b1-continuity-continuous) et gagne un bit par étape, Newton dépense une [dérivée](#def-b1-derivative-def) pour doubler le nombre de décimales correctes à chaque étape. **Exemple 14.11 (Le théorème des accroissements finis comme estimateur).** Quelle est la taille de $\sqrt{101}$ ? Appliquons le théorème à $f(t) = \sqrt t$ sur $\intcc{100}{101}$ : pour un certain $c \in \intoo{100}{101}$, $$ \sqrt{101} - 10 = \frac{1}{2\sqrt c}, \qquad\text{donc}\qquad \frac{1}{2\sqrt{101}} < \sqrt{101} - 10 < \frac{1}{20} = 0.05 , $$ et puisque $\sqrt{101} < 10.05$, la borne de gauche dépasse $\frac{1}{20.1} > 0.0497$ : ainsi $10.0497 < \sqrt{101} < 10.05$ (valeur exacte $10.049875\dots$) — trois décimales correctes pour une seule évaluation de [dérivée](#def-b1-derivative-def). De même $\abs{\sin a - \sin b} \leq \abs{a - b}$ (majoration $\abs{\cos}\leq 1$) : les estimations lipschitziennes utilisées depuis le [Chapitre 11](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/11-suites#ch-b1-seq) sont toutes ce théorème. L’idée à retenir : le [théorème des accroissements finis](#thm-b1-derivative-mvt) est une formule de Taylor à l’ordre zéro — il échange un point inconnu $c$ contre une inégalité solide, et le [Chapitre 16](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/16-formules-de-taylor-et-developpements-limites#ch-b1-taylor) itérera exactement cet échange. **Corollaire 14.12 (Critère de monotonie).** Soit $f$ [continue](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#def-b1-continuity-continuous) sur $I$, [dérivable](#def-b1-derivative-def) sur l’[intérieur](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-closure). 1. $f' \geq 0$ sur l’ [intérieur](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-closure) $\iff$ $f$ est croissante ; $f' = 0$ $\iff$ $f$ constante. 2. Si $f' > 0$ sauf en un nombre fini de points où elle s’annule, $f$ est *strictement* croissante. **Démonstration.** Si $f' \geq 0$ : pour $x < y$ dans $I$, le [théorème des accroissements finis](#thm-b1-derivative-mvt) sur $\intcc{x}{y}$ donne $f(y) - f(x) = f'(c)(y - x) \geq 0$. Réciproquement, les taux d’accroissement d’une fonction croissante sont $\geq 0$, donc leurs limites aussi. Cas constant : appliquons ce qui précède à $f'$ et $-f' \geq 0$. Version stricte : $f$ est croissante ; une égalité $f(x) = f(y)$ pour $x < y$ figerait $f$ sur $\intcc{x}{y}$, y forçant $f' = 0$ — une infinité de points. ∎ **Exemple 14.13 (Dérivées égales, fonctions différentes).** Sur $\R^* = \intoo{-\infty}{0} \cup \intoo{0}{+\infty}$, les deux fonctions $f(x) = \ln\abs x$ et $g(x) = \ln\abs x + \mathbf{1}_{x>0}$ (on ajoute $1$ sur la seule demi-droite de droite) vérifient $f' = g' = \frac1x$. Elles ne diffèrent pas d’une constante : le critère « $f' = 0 \implies f$ constante » est un énoncé d’*[intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals)* — sa démonstration fait tourner le [théorème des accroissements finis](#thm-b1-derivative-mvt) entre deux points, ce qui exige que tout le segment qui les joint soit dans le domaine. Sur chaque demi-droite séparément, les primitives de $\frac1x$ sont $\ln\abs x + c$, avec une constante par demi-droite, soit deux constantes indépendantes en tout. Le [Chapitre 15](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/15-integration-sur-un-segment#ch-b1-integration) hérite de cette clause en petits caractères : « la » primitive d’une fonction est bien définie à une constante près *sur chaque [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) de son domaine*, et les tables de primitives supposent silencieusement la connexité. **Exemple 14.14 (La stricte monotonie gratuitement).** $x \mapsto x^3$ est *strictement* croissante sur $\R$ bien que sa [dérivée](#def-b1-derivative-def) s’annule en $0$ : la clause du critère « $f' > 0$ sauf en un nombre fini de points » est précisément conçue pour de tels points plats. En revanche, $f' \geq 0$ seul ne donne que la croissance au sens large (une fonction constante convient), et une [dérivée](#def-b1-derivative-def) nulle sur tout un [sous-intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) y fige bel et bien la fonction. La règle pratique : pour affirmer la stricte monotonie, dresser la liste des zéros de $f'$ ; un nombre fini (ou, plus généralement, aucun sur un [sous-intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals)) est inoffensif, un [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) de zéros est fatal. **Exemple 14.15 (Une étude de variations complète).** Étudions $f(x) = x^3 - 3x + 1$ sur $\R$. [Dérivée](#def-b1-derivative-def) : $f'(x) = 3(x^2 - 1)$, positive sur $\intoo{-\infty}{-1}$, négative sur $\intoo{-1}{1}$, positive sur $\intoo{1}{+\infty}$ : d’après le critère de monotonie, $f$ croît, puis décroît, puis croît, avec un maximum local $f(-1) = 3$ et un minimum local $f(1) = -1$. Limites : $\mp\infty$ en $\mp\infty$. Conséquences, lues sur le tableau de variations à l’aide du [théorème des valeurs intermédiaires](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#thm-b1-continuity-ivt) sur chaque branche monotone : $f$ s’annule exactement une fois dans chacun de $$ \intoo{-\infty}{-1}, \qquad \intoo{-1}{1}, \qquad \intoo{1}{+\infty} $$ (les valeurs aux jonctions sont de signes opposés : $3 > 0 > -1$), donc l’équation $x^3 - 3x + 1 = 0$ a exactement trois racines réelles ; numériquement, elles sont voisines de $-1.88$, $0.35$, $1.53$. L’idée à retenir : un tableau de variations est un *instrument de démonstration*, non un croquis — branche monotone plus changement de signe égale exactement une racine, et le tableau énumère les branches de façon exhaustive. **Théorème 14.16 (Formule de Leibniz).** Si $f$ et $g$ sont $n$ fois [dérivables](#def-b1-derivative-def), $fg$ l’est aussi, et $$ (fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom nk f^{(k)}\, g^{(n-k)} . $$ **Démonstration.** Récurrence sur $n$, exactement parallèle à celle de la formule du binôme. Le cas $n = 1$ est la règle du produit. En supposant la formule au rang $n$, dérivons une fois de plus : $$ (fg)^{(n+1)} = \sum_{k=0}^{n} \binom nk \Bigl( f^{(k+1)} g^{(n-k)} + f^{(k)} g^{(n-k+1)} \Bigr), $$ puis réindexons la première somme avec $j = k + 1$ et regroupons le coefficient de $f^{(j)} g^{(n+1-j)}$ : c’est $\binom{n}{j-1} + \binom nj = \binom{n+1}{j}$ par la règle de Pascal ([Proposition 2.15](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/2-denombrement#prop-b1-counting-identities)), les termes de bord $j = 0$ et $j = n + 1$ portant $\binom{n+1}{0} = \binom{n+1}{n+1} = 1$ comme il se doit. ∎ **Exemple 14.17 (Leibniz à l’œuvre).** Calculons $\bigl(x^2 \eu^x\bigr)^{(n)}$ pour $n \geq 2$. Prenons $f = x^2$, dont les [dérivées](#def-b1-derivative-def) meurent vite ($f' = 2x$, $f'' = 2$, $f^{(k)} = 0$ pour $k \geq 3$), et $g = \eu^x$ : seuls trois termes de la somme de Leibniz survivent, $$ \bigl(x^2\eu^x\bigr)^{(n)} = \binom n0 x^2 \eu^x + \binom n1 (2x)\,\eu^x + \binom n2\, 2\,\eu^x = \eu^x\bigl(x^2 + 2nx + n(n-1)\bigr). $$ Vérification en $n = 1$ : $\eu^x(x^2 + 2x)$, qui est bien $(x^2\eu^x)'$. L’idée à retenir : employer Leibniz quand l’un des facteurs est un [polynôme](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) — la somme n’a alors que $\deg + 1$ termes, et la formule est une forme close, non une identité abstraite. (Pour deux facteurs infatigables comme $\eu^x\sin x$, les exponentielles complexes du [Chapitre 3](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/3-nombres-complexes#ch-b1-complex) sont le meilleur outil.) ## 14.3 Convexité **Définition 14.18.** $f \colon I \to \R$ est *convexe* lorsque toute corde est au-dessus du graphe : $$ \forall x, y \in I,\ \forall t \in \intcc{0}{1}, \quad f\bigl(tx + (1-t)y\bigr) \leq t f(x) + (1-t) f(y). $$ ($f$ est *concave* lorsque $-f$ est convexe.) **Théorème 14.19 (Caractérisations différentielles).** Soit $f$ [dérivable](#def-b1-derivative-def) sur $I$. Les [assertions](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-statement) suivantes sont équivalentes : 1. $f$ est [convexe](#def-b1-derivative-convex) ; 2. $f'$ est croissante sur $I$ ; 3. le graphe est au-dessus de toute tangente : $f(y) \geq f(x) + f'(x)(y - x)$ pour tous $x, y \in I$ . Si $f$ est deux fois [dérivable](#def-b1-derivative-def) : $f$ [convexe](#def-b1-derivative-convex) $\iff f'' \geq 0$. **Démonstration.** (1 $\Rightarrow$ 3) La [convexité](#def-b1-derivative-convex) s’écrit $\frac{f(x + t(y-x)) - f(x)}{t} \leq f(y) - f(x)$ pour $t \in \intoc{0}{1}$ ; faisons $t \to 0^+$ : $f'(x)(y - x) \leq f(y) - f(x)$. (3 $\Rightarrow$ 2) Pour $x < y$, les deux inégalités de tangente en $x$ et en $y$ donnent $f'(x)(y-x) \leq f(y) - f(x) \leq f'(y)(y - x)$, d’où $f'(x) \leq f'(y)$. (2 $\Rightarrow$ 1) Fixons $x < y$ et $t \in \intoo{0}{1}$, et posons $z = tx + (1-t)y \in \intoo{x}{y}$. Par le [théorème des accroissements finis](#thm-b1-derivative-mvt) sur $\intcc{x}{z}$ et $\intcc{z}{y}$ : il existe $c_1 < z < c_2$ avec $$ \frac{f(z) - f(x)}{z - x} = f'(c_1) \leq f'(c_2) = \frac{f(y) - f(z)}{y - z} , $$ et, en chassant les dénominateurs ($z - x = (1-t)(y-x)$, $y - z = t(y-x)$), on retrouve exactement l’inégalité de [convexité](#def-b1-derivative-convex). Cas deux fois [dérivable](#def-b1-derivative-def) : $f'' \geq 0 \iff f'$ croissante ([Corollaire 14.12](#cor-b1-derivative-monotone)). ∎ ![La convexité, deux fois : toute corde (en gris) est au-dessus du graphe, et le graphe est au-dessus de toute tangente (en tirets).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-derivative/fig-d730906df39f.svg) *La [convexité](#def-b1-derivative-convex), deux fois : toute corde (en gris) est au-dessus du graphe, et le graphe est au-dessus de toute tangente (en tirets).* **Exemple 14.20 (Inégalités de convexité classiques).** $\exp$ est [convexe](#def-b1-derivative-convex) ($\exp'' = \exp > 0$) : sa tangente en $0$ donne $\eu^x \geq 1 + x$ pour tout $x$. $\ln$ est concave : sa tangente en $1$ donne $\ln x \leq x - 1$ ; ses cordes donnent, pour $0 < a \leq b$, l’inégalité entre moyenne géométrique et moyenne arithmétique : en prenant $t = \frac12$ dans la concavité, $$ \ln\frac{a + b}{2} \geq \frac{\ln a + \ln b}{2} = \ln\sqrt{ab}, \qquad\text{donc}\qquad \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2} . $$ L’inégalité arithmético-géométrique générale est l’[Exercice 14.9](#exo-b1-derivative-9). **Exemple 14.21 (Une inégalité de convexité fabriquée de toutes pièces).** La fonction $f(t) = t\ln t$ est [convexe](#def-b1-derivative-convex) sur $\intoo{0}{+\infty}$ : $f''(t) = \frac1t > 0$. Son inégalité de milieu, multipliée par $2$, s’écrit : pour tous $a, b > 0$, $$ a\ln a + b\ln b \;\geq\; (a + b)\,\ln\frac{a + b}{2} , $$ avec égalité si et seulement si $a = b$ ([convexité](#def-b1-derivative-convex) stricte). Essai : $a = 1$, $b = 3$ donne $3\ln 3 = 3.296$ contre $4\ln 2 = 2.773$. Cette inégalité anodine est le cas à deux points de la comparaison d’*entropie* qui reparaît avec l’inégalité de Jensen ([Exercice 14.9](#exo-b1-derivative-9)) et dans les asymptotiques de la théorie de l’information du volume de Licence 3. L’idée à retenir : pour fabriquer une inégalité, trouver une fonction dont la [dérivée](#def-b1-derivative-def) seconde a un signe et écrire ce que dit la [convexité](#def-b1-derivative-convex) — la caractérisation différentielle transforme une seule vérification de signe en une infinité d’inégalités. **Remarque 14.22 (Pièges classiques avec les dérivées).** (i) *Une [dérivée](#def-b1-derivative-def) strictement positive en un point ne donne pas la monotonie au [voisinage](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-open) de ce point* : $f(x) = \frac x2 + x^2\sin\frac1x$ (avec $f(0) = 0$) vérifie $f'(0) = \frac12 > 0$, et pourtant $$ f'(x) = \frac12 + 2x\sin\frac1x - \cos\frac1x $$ vaut $-\frac12$ en chaque $x_n = \frac{1}{2\pi n}$ : tout [voisinage](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-open) de $0$ contient des descentes. La monotonie exige $f' \geq 0$ *sur un [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals)* ([Corollaire 14.12](#cor-b1-derivative-monotone)) ; le signe ponctuel ne contrôle que la traversée de la tangente. (ii) *Les trois hypothèses de Rolle sont toutes actives* : $\abs x$ sur $\intcc{-1}{1}$ (pas de [dérivabilité](#def-b1-derivative-def) à l’[intérieur](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-closure)), $x$ sur $\intcc{0}{1}$ (valeurs aux bornes distinctes) et $x - \lfloor x\rfloor$ sur $\intcc{0}{1}$ (la [continuité](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#def-b1-continuity-continuous) tombe en défaut en $1$) brisent chacune exactement une hypothèse et la conclusion. (iii) *Les [dérivées](#def-b1-derivative-def) peuvent être discontinues, mais pas n’importe comment* : $f'$ peut osciller ([Exemple 14.2](#ex-b1-derivative-notc1)) tout en satisfaisant toujours la propriété des valeurs intermédiaires (Darboux, [Exercice 14.10](#exo-b1-derivative-10)) : une [dérivée](#def-b1-derivative-def) ne saute jamais — si l’on calcule une « limite de [dérivée](#def-b1-derivative-def) » unilatérale présentant un saut, c’est qu’on a dérivé une fonction non [dérivable](#def-b1-derivative-def). (iv) *La formule de la réciproque exige $f' \neq 0$* : $x \mapsto x^3$ est une [bijection](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) lisse strictement croissante dont la réciproque $x^{1/3}$ a une tangente verticale en $0$ — la [dérivabilité](#def-b1-derivative-def) de la réciproque se perd exactement là où $f'$ s’annule ([Théorème 14.5](#thm-b1-derivative-inverse)). **Remarque 14.23 (Où le théorème des accroissements finis travaille ensuite).** Presque tout énoncé quantitatif des chapitres à venir est le [théorème des accroissements finis](#thm-b1-derivative-mvt) de ce chapitre déguisé : le théorème fondamental de l’analyse ([Chapitre 15](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/15-integration-sur-un-segment#ch-b1-integration)) dérive la fonction aire et conclut par le critère de monotonie ; l’inégalité de Taylor–Lagrange ([Chapitre 16](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/16-formules-de-taylor-et-developpements-limites#ch-b1-taylor)) est le [théorème des accroissements finis](#thm-b1-derivative-mvt) itéré $n$ fois ; l’analyse d’erreur de la méthode de Newton et des itérations de point fixe ([Exercice 14.11](#exo-b1-derivative-11)) en est la forme lipschitzienne ; et le devoir maison de ce chapitre ([Problème 14.1](#pb-b1-derivative-1)) transforme la même majoration lipschitzienne en théorie des nombres — une inégalité de répulsion entre [nombres algébriques](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#pb-b1-logic-1) et rationnels, qui livre le premier [nombre transcendant](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#pb-b1-logic-1) de l’histoire. Dans le volume de Licence 2, l’*inégalité* des accroissements finis survit en plusieurs variables là où l’égalité ne survit pas. **Exemple 14.24 (L’inégalité de Young par la concavité).** Soient $p, q > 1$ avec $\frac1p + \frac1q = 1$. Pour tous $a, b > 0$ : $$ ab \;\leq\; \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q} . $$ Démonstration par une seule application de la concavité de $\ln$ avec les poids $\frac1p, \frac1q$ (l’inégalité de Jensen à deux points, comme dans l’[Exercice 14.9](#exo-b1-derivative-9)) : $$ \ln\Bigl(\frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}\Bigr) \;\geq\; \frac1p \ln(a^p) + \frac1q \ln(b^q) = \ln a + \ln b = \ln(ab), $$ et la croissance de $\ln$ convertit l’inégalité entre logarithmes en l’énoncé voulu ; égalité si et seulement si $a^p = b^q$ (concavité stricte). Le cas $p = q = 2$ est l’inégalité arithmético-géométrique $ab \leq \frac{a^2 + b^2}{2}$ déguisée. L’idée à retenir : l’inégalité de Young est la graine algébrique des inégalités de Hölder et de Minkowski du volume de Licence 2 — un seul énoncé de concavité sur $\ln$, moissonné pour les normes. **Remarque 14.25 (Perspectives à l’intérieur de ce volume).** La [dérivée](#def-b1-derivative-def) acquiert trois nouvelles vies avant la fin du volume. Au [Chapitre 16](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/16-formules-de-taylor-et-developpements-limites#ch-b1-taylor), elle s’itère : $n$ [dérivées](#def-b1-derivative-def) en un point se compriment en un [polynôme](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) plus une erreur contrôlée, et le [théorème des accroissements finis](#thm-b1-derivative-mvt) devient le reste de Lagrange. Au [Chapitre 24](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/24-courbes-planes#ch-b1-curves), la dérivation devient géométrique : pour une courbe paramétrée $t \mapsto (x(t), y(t))$, le couple $(x'(t), y'(t))$ est un *vecteur* vitesse, la tangence devient colinéarité, et les points critiques deviennent des points de rebroussement à classer. Au [Chapitre 25](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/25-fonctions-de-deux-variables#ch-b1-multivar), on gèle une variable à la fois : les [dérivées](#def-b1-derivative-def) partielles rejouent ce chapitre deux fois, et la tangente s’épanouit en plan tangent. Ces trois chapitres héritent de la même grammaire — approximation linéaire locale plus terme d’erreur — parlée ici pour la première fois. ## 14.4 Exercices **Exercice 14.1 ★.** Dériver (en précisant les domaines) : $x^x$ ; $\;\ln\bigl(x + \sqrt{x^2+1}\bigr)$ ; $\;\arctan\frac{1}{x}$ ; $\;\sqrt{1 + \eu^{2x}}$. **Solution de Exercice 14.1.** $x^x = \eu^{x\ln x}$ sur $\intoo{0}{+\infty}$ : [dérivée](#def-b1-derivative-def) $(\ln x + 1)\,x^x$. $\ln(x + \sqrt{x^2+1})$ sur $\R$ (l’argument est toujours $> 0$) : [dérivée](#def-b1-derivative-def) $\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ (calculée dans la [Proposition 4.21](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/4-fonctions-usuelles#prop-b1-functions-invhyp) — c’est $\operatorname{arsinh}$). $\arctan\frac1x$ sur $\R^*$ : [dérivée](#def-b1-derivative-def) $\frac{-1/x^2}{1 + 1/x^2} = \frac{-1}{1 + x^2}$ (cohérent avec la [Proposition 4.12](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/4-fonctions-usuelles#prop-b1-functions-arcidentities) (2) : la fonction vaut $\pm\frac\pi2 - \arctan x$ sur chaque demi-droite). $\sqrt{1 + \eu^{2x}}$ sur $\R$ : [dérivée](#def-b1-derivative-def) $\frac{\eu^{2x}}{\sqrt{1 + \eu^{2x}}}$. **Exercice 14.2 ★.** Compléter l’[Exemple 14.2](#ex-b1-derivative-notc1) : démontrer que $f(x) = x^2 \sin\frac1x$, $f(0) = 0$, est [dérivable](#def-b1-derivative-def) en $0$ avec $f'(0) = 0$, et que $f'$ n’a pas de limite en $0$. **Solution de Exercice 14.2.** En $0$ : $\bigl|\frac{f(h) - 0}{h}\bigr| = \abs{h \sin\frac1h} \leq \abs h \to 0$, donc $f'(0) = 0$. Pour $x \neq 0$, les règles usuelles donnent $f'(x) = 2x\sin\frac1x - \cos\frac1x$. Le long de $x_n = \frac{1}{2\pi n}$ : $f'(x_n) = 0 - 1 \to -1$ ; le long de $y_n = \frac{1}{(2n+1)\pi}$ : $f'(y_n) = 0 + 1 \to 1$. Deux suites tendant vers $0$ avec des limites différentes de $f'$ : pas de limite ([Théorème 13.3](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#thm-b1-continuity-seqchar)), donc $f'$ n’est pas [continue](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#def-b1-continuity-continuous) en $0$ et $f$ est [dérivable](#def-b1-derivative-def) sans être $C^1$. **Exercice 14.3 ★.** À l’aide du [théorème des accroissements finis](#thm-b1-derivative-mvt) ou des inégalités de tangente, démontrer que pour tout $x > 0$ : $$ \frac{x}{1 + x} < \ln(1 + x) < x . $$ En déduire $\lim_{n\to\infty} \bigl(1 + \frac xn\bigr)^n = \eu^x$ pour tout $x > 0$. **Solution de Exercice 14.3.** $\ln(1+x) < x$ pour $x > 0$ : inégalité de tangente issue de la concavité en $0$ (stricte hors du point de contact puisque $\ln$ est strictement concave ; ou bien appliquer le [théorème des accroissements finis](#thm-b1-derivative-mvt) : $\ln(1+x) = \frac{x}{1+c}$ pour un certain $c \in \intoo{0}{x}$, et $\frac{x}{1+c} < x$). La même identité des accroissements finis donne la minoration : $\frac{x}{1+c} > \frac{x}{1+x}$. Conséquence : avec $x/n$ à la place de $x$, $$ \frac{x/n}{1 + x/n} < \ln\Bigl(1 + \frac xn\Bigr) < \frac xn \quad\implies\quad \frac{x}{1 + x/n} < n \ln\Bigl(1 + \frac xn\Bigr) < x . $$ Le membre de gauche tend vers $x$ : par encadrement, $n\ln(1 + \frac xn) \to x$, et par [continuité](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#def-b1-continuity-continuous) de $\exp$, $\bigl(1 + \frac xn\bigr)^n = \eu^{n\ln(1 + x/n)} \to \eu^x$. **Exercice 14.4 ★.** Soit $P$ un [polynôme](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) réel ayant $k$ racines réelles distinctes. Démontrer que $P'$ a au moins $k - 1$ racines réelles distinctes, entrelacées avec celles de $P$. En déduire que si $P$ a toutes ses racines réelles, $P'$ aussi. **Solution de Exercice 14.4.** Soient $x_1 < x_2 < \dots < x_k$ des racines distinctes de $P$. Sur chaque $\intcc{x_i}{x_{i+1}}$, Rolle ([Théorème 14.8](#thm-b1-derivative-rolle)) produit $c_i \in \intoo{x_i}{x_{i+1}}$ avec $P'(c_i) = 0$ : cela fait $k - 1$ racines de $P'$, distinctes car les [intervalles](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) [ouverts](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-open) sont disjoints — et entrelacées par construction. Si $P$ (de degré $n$) a toutes ses racines réelles, écrivons-les avec leurs [multiplicités](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-derivative) $m_1 + \dots + m_k = n$. Chaque racine de [multiplicité](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-derivative) $m_i \geq 2$ est racine de $P'$ de [multiplicité](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-derivative) $m_i - 1$ ([Proposition 8.11](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#prop-b1-poly-multiplicity)), ce qui contribue pour $\sum (m_i - 1) = n - k$ ; Rolle contribue pour $k - 1$ de plus, toutes distinctes de celles-là. Total $\geq n - 1 = \deg P'$ : toutes les racines de $P'$ sont réelles. **Exercice 14.5 ★★.** Soit $f$ [dérivable](#def-b1-derivative-def) sur $\R$ avec $f' (x)\to \ell$ quand $x \to +\infty$. Démontrer que $\frac{f(x)}{x} \to \ell$ *([théorème des accroissements finis](#thm-b1-derivative-mvt) sur $\intcc{A}{x}$)*. A-t-on aussi $f(x+1) - f(x) \to \ell$ ? **Solution de Exercice 14.5.** Fixons $\varepsilon > 0$ et $A$ tel que $\abs{f'(t) - \ell} \leq \varepsilon$ pour $t \geq A$. Pour $x > A$, le [théorème des accroissements finis](#thm-b1-derivative-mvt) sur $\intcc{A}{x}$ donne $c \in \intoo{A}{x}$ avec $$ f(x) = f(A) + f'(c)(x - A), \qquad\text{donc}\qquad \Bigl|\frac{f(x)}{x} - \ell\Bigr| \leq \frac{\abs{f(A)} + \abs\ell A}{x} + \abs{f'(c) - \ell} \cdot\frac{x - A}{x} \leq \frac{C_A}{x} + \varepsilon . $$ Pour $x$ grand, $\frac{C_A}{x} \leq \varepsilon$ : d’où $\frac{f(x)}{x} \to \ell$. Oui : $f(x+1) - f(x) = f'(c_x)$ avec $c_x \in \intoo{x}{x+1}$ ([théorème des accroissements finis](#thm-b1-derivative-mvt) sur $\intcc{x}{x+1}$), et $c_x \to +\infty$, donc $f(x+1) - f(x) \to \ell$. **Exercice 14.6 ★★.** (Un Rolle discret) Soit $f$ $n$ fois [dérivable](#def-b1-derivative-def) sur $I$ et s’annulant en $n + 1$ points distincts. Démontrer que $f^{(n)}$ s’annule au moins une fois. Application : un [polynôme](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) de degré $\leq n$ s’annulant en $n+1$ points est nul (encore une fois). **Solution de Exercice 14.6.** Récurrence sur $n$. Pour $n = 1$ : Rolle. Si l’énoncé vaut pour $n - 1$ : $f$ s’annule en $n+1$ points, donc, Rolle appliqué sur les $n$ [intervalles](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) intermédiaires, $f'$ s’annule en $n$ points distincts ; l’hypothèse de récurrence appliquée à $f'$ ($n-1$ fois [dérivable](#def-b1-derivative-def), $n$ zéros) fait s’annuler $(f')^{(n-1)} = f^{(n)}$ quelque part. Application : si $P$ de degré $\leq n$ s’annule en $n+1$ points, alors $P^{(n)}$, constante égale à $n!$ fois le coefficient dominant, s’annule : le coefficient dominant est $0$, et l’on conclut par récurrence descendante (ou directement : tous les coefficients s’annulent). **Exercice 14.7 ★★.** Soit $f$ deux fois [dérivable](#def-b1-derivative-def) sur $\intcc{a}{b}$ avec $f(a) = f(b) = 0$ et $f(x_0) > 0$ pour un certain $x_0$ [intérieur](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-closure). Démontrer que $f''(c) < 0$ pour un certain $c \in \intoo{a}{b}$. *(Deux [théorèmes des accroissements finis](#thm-b1-derivative-mvt) et une comparaison de pentes.)* **Solution de Exercice 14.7.** Par le [théorème des accroissements finis](#thm-b1-derivative-mvt) sur $\intcc{a}{x_0}$ et sur $\intcc{x_0}{b}$ : $$ f'(c_1) = \frac{f(x_0) - f(a)}{x_0 - a} = \frac{f(x_0)}{x_0 - a} > 0, \qquad f'(c_2) = \frac{f(b) - f(x_0)}{b - x_0} = \frac{-f(x_0)}{b - x_0} < 0, $$ avec $c_1 < x_0 < c_2$. Alors le [théorème des accroissements finis](#thm-b1-derivative-mvt) appliqué à $f'$ sur $\intcc{c_1}{c_2}$ donne $c$ tel que $$ f''(c) = \frac{f'(c_2) - f'(c_1)}{c_2 - c_1} < 0 . \qedhere $$ **Exercice 14.8 ★★.** Étudier la fonction $f(x) = \dfrac{\ln x}{x}$ sur $\intoo{0}{+\infty}$ : variations, limites, maximum. En déduire que $a^b > b^a$ pour tous réels $\eu \leq a < b$, et trancher le fameux cas particulier : lequel de $\eu^\pi$, $\pi^\eu$ est le plus grand ? Confronter aux petits couples d’entiers $(2,3)$ et $(2,4)$ : pourquoi se comportent-ils différemment ? **Solution de Exercice 14.8.** $f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}$ : $f$ croît sur $\intoc{0}{\eu}$, décroît sur $\intco{\eu}{+\infty}$, avec pour maximum $f(\eu) = \frac1\eu$ ; limites $-\infty$ en $0^+$ et $0$ en $+\infty$ ([croissances comparées](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/4-fonctions-usuelles#prop-b1-functions-powerrules)). Pour $\eu \leq a < b$ : $f$ y étant strictement décroissante, on a $\frac{\ln a}{a} > \frac{\ln b}{b}$, c’est-à-dire $b \ln a > a \ln b$, c’est-à-dire $a^b > b^a$. Avec $a = \eu < b = \pi$ : $\eu^\pi > \pi^\eu$. Petits couples : $(2, 3)$ : $2^3 = 8 < 9 = 3^2$ — inversé ! La raison : $2 < \eu$, et sur $\intoo{0}{\eu}$ la fonction $f$ est *croissante*, de sorte que la comparaison bascule lorsque les deux nombres sont en dessous de $\eu$, et est imprévisible de part et d’autre de $\eu$ ($f(2) = f(4)$ explique l’égalité $2^4 = 4^2 = 16$). **Exercice 14.9 ★★.** (Inégalité arithmético-géométrique) À l’aide de la concavité de $\ln$ avec des poids quelconques (inégalité de Jensen à $n$ points, à démontrer par récurrence sur $n$), montrer que pour des réels strictement positifs $a_1, \dots, a_n$ : $$ \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n} \leq \frac{a_1 + \dots + a_n}{n}, $$ avec égalité si et seulement si tous les $a_i$ sont égaux. **Solution de Exercice 14.9.** *Jensen pour $\ln$, par récurrence sur $n$.* Affirmation : pour des $x_i$ strictement positifs et des poids $\lambda_i > 0$ avec $\sum \lambda_i = 1$ : $\ln\bigl(\sum \lambda_i x_i\bigr) \geq \sum \lambda_i \ln x_i$. Pour $n = 2$, c’est la concavité. Hérédité : avec $\Lambda = \lambda_1 + \dots + \lambda_{n-1} = 1 - \lambda_n$ et $y = \sum_{i 0$. Par le [théorème des bornes atteintes](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#thm-b1-continuity-evt), $g$ atteint son minimum sur $\intcc{a}{b}$ en un certain $c$. Ce n’est pas en $a$ : puisque $g'(a) < 0$, les points juste à droite de $a$ vérifient $g < g(a)$. Ce n’est pas en $b$ : puisque $g'(b) > 0$, les points juste à gauche de $b$ vérifient $g < g(b)$. Donc $c$ est [intérieur](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-closure), et la [Proposition 14.7](#prop-b1-derivative-fermat) donne $g'(c) = 0$, c’est-à-dire $f'(c) = v$. **Exercice 14.11 ★★★.** Soit $f \colon \R \to \R$ [dérivable](#def-b1-derivative-def) avec $\abs{f'(x)} \leq k < 1$ pour tout $x$ (une *contraction*). Démontrer que $f$ a exactement un point fixe $\ell$, et que toute suite $u_{n+1} = f(u_n)$ converge vers $\ell$ avec $\abs{u_n - \ell} \leq k^n\abs{u_0 - \ell}$. *(Existence : appliquer le [théorème des valeurs intermédiaires](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#thm-b1-continuity-ivt) à $f(x) - x$ sur un grand segment, en utilisant la majoration lipschitzienne ; ou utiliser la complétude avec le critère de Cauchy.)* **Solution de Exercice 14.11.** *Unicité :* deux points fixes $\ell \neq \ell'$ donneraient $\abs{\ell - \ell'} = \abs{f(\ell) - f(\ell')} \leq k\abs{\ell - \ell'} < \abs{\ell - \ell'}$, absurde. *Existence :* $g(x) = f(x) - x$ vérifie, par l’inégalité des accroissements finis, $f(x) \leq f(0) + k\abs x$ ; donc pour $x \geq \frac{\abs{f(0)}}{1 - k}$, $g(x) \leq f(0) + kx - x \leq 0$, et symétriquement $g(-x) \geq 0$ pour $x$ grand. Le [théorème des valeurs intermédiaires](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#thm-b1-continuity-ivt) donne un zéro $\ell$ de $g$ : un point fixe. *Convergence :* de nouveau l’inégalité des accroissements finis : $$ \abs{u_{n+1} - \ell} = \abs{f(u_n) - f(\ell)} \leq k\abs{u_n - \ell}, $$ donc par récurrence $\abs{u_n - \ell} \leq k^n \abs{u_0 - \ell} \to 0$. **Exercice 14.12 ★★★.** ([Théorème des accroissements finis](#thm-b1-derivative-mvt) généralisé de Cauchy et règle de l’Hospital) 1. Soient $f, g$ [continues](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#def-b1-continuity-continuous) sur $\intcc{a}{b}$, [dérivables](#def-b1-derivative-def) sur $\intoo{a}{b}$, avec $g'$ ne s’annulant jamais sur cet [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals). Démontrer que $g(b) \neq g(a)$ et qu’un certain $c \in \intoo{a}{b}$ vérifie $$\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$$ *(appliquer Rolle à $h = f - \lambda g$ pour la bonne constante $\lambda$)*. 2. En déduire la règle de l’Hospital sous la forme $\frac00$ en un point : si $f(a) = g(a) = 0$ et $\frac{f'(x)}{g'(x)} \to \ell$ quand $x \to a^+$ , alors $\frac{f(x)}{g(x)} \to \ell$ . 3. Montrer que la réciproque est fausse : pour $f(x) = x^2\sin\frac1x$ ( $f(0) = 0$ ) et $g(x) = x$ , le quotient $\frac{f}{g}$ a une limite en $0$ mais $\frac{f'}{g'}$ n’en a pas. **Solution de Exercice 14.12.** 1. Si $g(b) = g(a)$ , Rolle donnerait un zéro [intérieur](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-closure) de $g'$ : exclu. Posons $\lambda = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$ et $h = f - \lambda g$ : $h$ est [continue](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#def-b1-continuity-continuous) sur $\intcc{a}{b}$ , [dérivable](#def-b1-derivative-def) à l’ [intérieur](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-closure) , et $h(b) - h(a) = f(b) - f(a) - \lambda(g(b) - g(a)) = 0$ . Rolle fournit $c$ tel que $h'(c) = 0$ , c’est-à-dire $f'(c) = \lambda\,g'(c)$ ; il ne reste qu’à diviser par $g'(c) \neq 0$ . 2. Pour $x > a$ proche de $a$, la partie (1) sur $\intcc{a}{x}$ (où $g' \neq 0$) donne $g(x) \neq 0$ et $c_x \in \intoo{a}{x}$ avec $$\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x) - f(a)}{g(x) - g(a)} = \frac{f'(c_x)}{g'(c_x)} .$$ Quand $x \to a^+$, $c_x \to a^+$ (encadrement), donc le membre de droite tend vers $\ell$ : $\frac{f}{g} \to \ell$. 3. $\frac{f(x)}{g(x)} = x\sin\frac1x \to 0$ , tandis que $\frac{f'(x)}{g'(x)} = 2x\sin\frac1x - \cos\frac1x$ n’a pas de limite en $0$ ( [Exercice 14.2](#exo-b1-derivative-2) ) : la règle de l’Hospital ne transfère l’information que de $\frac{f'}{g'}$ vers $\frac fg$ , jamais en sens inverse. ## 14.5 Problème : l’inégalité de Liouville et le premier nombre transcendant **Problème 14.1.** Devoir maison — les [nombres algébriques](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#pb-b1-logic-1) repoussent les rationnels : $\abs{x - p/q} \geq C/q^d$, et la transcendance de $\sum 10^{-n!}$ Un nombre réel est *algébrique* lorsqu’il est racine d’un [polynôme](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) non nul à coefficients entiers, et *[transcendant](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#pb-b1-logic-1)* sinon. En 1844, Liouville produisit le premier nombre dont la transcendance ait jamais été *démontrée*, et le moteur de sa démonstration est le [théorème des accroissements finis](#thm-b1-derivative-mvt) de ce chapitre : un [nombre algébrique](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#pb-b1-logic-1) de degré $d$ ne peut pas être approché par des rationnels mieux que $C/q^d$ — de sorte qu’un nombre approchable *plus vite que toute puissance* ne peut pas être algébrique. Ce problème construit l’inégalité, construit le nombre de Liouville $L = 0.110001000\dots$ (des uns aux positions factorielles, via la machinerie des chiffres du [Problème 10.1](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#pb-b1-reals-1)), démontre sa transcendance, et se termine par la démonstration rivale de Cantor et des bornes effectives pour $\sqrt2$ et $2^{1/3}$. **Partie I — Avec quelle précision peut-on approcher les rationnels ?** 1. Montrer que deux rationnels distincts $\frac ab \neq \frac pq$ (écrits avec $b, q \geq 1$ ) vérifient $\bigl|\frac ab - \frac pq\bigr| \geq \frac{1}{bq}$ . En déduire : si $x = \frac ab$ et $0 < \bigl|x - \frac pq\bigr| < \frac{1}{bq}$ , aucun tel $\frac pq$ n’existe — un rationnel repousse tous les autres rationnels à l’échelle $\frac 1q$ . 2. Démontrer que pour *tout* rationnel $\frac pq$ ( $q \geq 1$ ) : $\bigl|\sqrt2 - \frac pq\bigr| \geq \frac{1}{4q^2}$ *(si la distance dépasse $1$, c’est clair ; sinon, majorer $\abs{\sqrt2 + p/q} < 4$ et utiliser l’entier non nul $\abs{p^2 - 2q^2} \geq 1$)* . 3. Dans l’autre sens : vérifier que $(p, q) \mapsto (p + 2q, p + q)$ préserve $\abs{p^2 - 2q^2} = 1$, engendrer à partir de $(1,1)$ les couples $(3,2)$, $(7,5)$, $(17,12)$, $(41,29)$, $(99,70)$, et montrer que chacun vérifie $$\Bigl|\sqrt2 - \frac pq\Bigr| = \frac{1}{q^2\,(\sqrt2 + p/q)} < \frac{1}{2q^2} :$$ soit une infinité d’approximations d’ordre $2$. Avec la question 2 : l’exposant d’approximation de $\sqrt 2$ vaut *exactement* $2$. 4. (Dirichlet) Soit $x$ irrationnel et $N \in \N^*$ . Considérer les $N + 1$ parties fractionnaires de $0, x, 2x, \dots, Nx$ dans les $N$ boîtes $\intco{\frac kN}{\frac{k + 1}{N}}$ : par le [principe des tiroirs](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/2-denombrement#cor-b1-counting-pigeonhole) ( [Corollaire 2.3](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/2-denombrement#cor-b1-counting-pigeonhole) ), deux d’entre elles tombent dans une même boîte. En déduire $q \leq N$ et $p$ avec $\abs{qx - p} < \frac 1N$ , donc une infinité de rationnels avec $\bigl|x - \frac pq\bigr| < \frac{1}{q^2}$ : *tout* irrationnel est approchable à l’ordre $2$ . **Partie II — L’[inégalité de Liouville](#pb-b1-derivative-1).** Soit $x$ irrationnel et algébrique. 5. Montrer que parmi les [polynômes](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) non nuls à coefficients entiers s’annulant en $x$ il y en a un, disons $P$ de degré $d$ , *sans racine rationnelle* ; et vérifier $d \geq 2$ *(factoriser un facteur $X - \frac ab$ sur $\Q$ et chasser les dénominateurs ; un degré $1$ rendrait $x$ rationnel)* . 6. Montrer que pour tout rationnel $\frac pq$ ( $q \geq 1$ ) : $\bigl|P\bigl(\frac pq\bigr)\bigr| \geq \frac{1}{q^d}$ *($q^d P(p/q)$ est un entier non nul)* . 7. Soit $M = \max_{\intcc{x-1}{x+1}} \abs{P'}$ ([Théorème 13.13](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#thm-b1-continuity-evt)). À l’aide du [théorème des accroissements finis](#thm-b1-derivative-mvt) entre $x$ et $\frac pq$, démontrer l’*[inégalité de Liouville](#pb-b1-derivative-1)* : avec $C = \min\bigl(1, \frac 1M\bigr) > 0$, $$\Bigl| x - \frac pq \Bigr| \geq \frac{C}{q^{\,d}} \qquad\text{pour tout rationnel } \frac pq,\ q \geq 1 .$$ 8. On dit que $x$ est un *nombre de Liouville* lorsque, pour tout $n \in \N$ , il existe un rationnel $\frac pq$ avec $q \geq 2$ et $0 < \bigl|x - \frac pq\bigr| < q^{-n}$ . Démontrer qu’un nombre de Liouville est irrationnel *(question 1 : choisir $n$ tel que $2^{\,n-1} > b$)* . 9. Démontrer le théorème de Liouville : *un nombre de Liouville est [transcendant](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#pb-b1-logic-1)* *(combiner les questions 7 et 8 : l’inégalité $C < q^{\,d-n}$ tombe en défaut pour $n$ grand)* . **Partie III — Le nombre $L$.** 10. Soit $L$ la valeur (au sens du [Problème 10.1](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#pb-b1-reals-1) ) de la suite de chiffres décimaux valant $1$ aux positions $n!$ ( $n = 1, 2, 3, \dots$ ) et $0$ ailleurs, c’est-à-dire $L = \sup_k t_k$ avec $t_k = \sum_{n=1}^{k} 10^{-n!}$ . Écrire les $25$ premiers chiffres de $L$ . 11. Démontrer l’encadrement du reste, pour tout $k \geq 1$ : $$10^{-(k+1)!} \;\leq\; L - t_k \;\leq\; \frac{10}{9}\,10^{-(k+1)!} \;<\; 2\cdot 10^{-(k+1)!}$$ *(majorer toute somme partielle au-delà de $t_k$ par une somme géométrique finie)*. 12. Écrire $t_k = \frac{p_k}{q_k}$ avec $q_k = 10^{k!}$ . Montrer $0 < L - \frac{p_k}{q_k} < \frac{2}{q_k^{\,k+1}}$ , et conclure que $L$ est un nombre de Liouville au sens de la question 8. 13. Conclure : $L$ est [transcendant](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#pb-b1-logic-1) — le premier exemple explicite de l’histoire (Liouville, 1844). Recouper directement son irrationalité : ses chiffres ne sont pas périodiques à partir d’un certain rang (écarts croissants, comme au [Problème 10.1](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#pb-b1-reals-1) , question 20). 14. Généraliser : remplacer chaque chiffre $1$ par un chiffre non nul quelconque $d_n \in \intint{1}{9}$ . Montrer que la valeur est encore un nombre de Liouville, et en déduire — par l’argument diagonal du [Problème 10.1](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#pb-b1-reals-1) (question 22) appliqué à ces choix de chiffres — qu’il existe une infinité non dénombrable de [nombres transcendants](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#pb-b1-logic-1) de cette forme. **Partie IV — La hiérarchie des ordres d’approximation.** On dit que $x$ est *approchable à l’ordre $\mu$* lorsque, pour une certaine constante $c > 0$, une infinité de rationnels vérifient $\bigl|x - \frac pq\bigr| < \frac{c}{q^{\mu}}$. 15. Assembler la hiérarchie à partir des parties I à III : les rationnels sont approchables à l’ordre $1$ et pas mieux ; $\sqrt 2$ à l’ordre $2$ et pas mieux ; tout irrationnel à l’ordre $2$ au moins ; un [nombre algébrique](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#pb-b1-logic-1) de degré $d$ à aucun ordre au-delà de $d$ ; les nombres de Liouville à tout ordre. Justifier chaque affirmation en citant la question pertinente. 16. Montrer que $L + r$ est un nombre de Liouville pour tout rationnel $r = \frac ab$ *(translater les approximants : les nouveaux dénominateurs sont $b\,q_k$)* . En déduire que les nombres de Liouville — donc les [nombres transcendants](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#pb-b1-logic-1) — sont [denses](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-dense) dans $\R$ . 17. (Cantor, 1874) Démontrer que l’ [ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) des [nombres algébriques](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#pb-b1-logic-1) est dénombrable : il n’y a qu’un nombre fini de [polynômes](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) à coefficients entiers dont le degré plus la somme des $\abs{\text{coefficients}}$ est majoré par $h$ , chacun ayant au plus $\deg$ racines ; une réunion dénombrable d’ [ensembles finis](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/2-denombrement#def-b1-counting-card) est dénombrable. Puisqu’aucune suite n’épuise $\R$ ( [Problème 10.1](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#pb-b1-reals-1) , question 22), il existe des [nombres transcendants](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#pb-b1-logic-1) — ils forment même un [ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) non dénombrable. Comparer les deux démonstrations : que donne celle de Liouville que celle de Cantor ne peut pas donner ? 18. Démontrer directement, à partir de la question 2, que $\sqrt 2$ n’est *pas* un nombre de Liouville *(pour $n \geq 3$, l’inégalité $q^{-n} > \frac{1}{4q^2}$ borne $q$ ; il ne reste alors qu’un nombre fini de rationnels candidats, tous à distance strictement positive de $\sqrt2$)* . Généraliser : aucun [nombre algébrique](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#pb-b1-logic-1) n’est de Liouville. **Partie V — Constantes effectives.** 19. Pour le couple de Pell $(99, 70)$ : vérifier $99^2 - 2\cdot70^2 = 1$ et évaluer l’erreur exacte $$\sqrt2 - \frac{99}{70} = \frac{-1}{70^2\,\bigl(\sqrt2 + \frac{99}{70}\bigr)}, \qquad \Bigl|\sqrt 2 - \frac{99}{70}\Bigr| \approx 7.2\cdot 10^{-5} :$$ cinq chiffres corrects pour une fraction à trois chiffres. 20. Faire tourner la partie II sur $x = 2^{1/3}$, $P = X^3 - 2$ : vérifier que $P$ n’a pas de racine rationnelle, majorer $M = \max_{\intcc{x-1}{x+1}} 3t^2 \leq 3\,(1 + 2^{1/3})^2 < 16$, et conclure l’inégalité effective $$\Bigl| 2^{1/3} - \frac pq \Bigr| \geq \frac{1}{16\,q^3} \qquad \text{pour tout } \frac pq .$$ 21. Le gain : montrer que tout rationnel approchant $2^{1/3}$ à $10^{-6}$ près doit avoir un dénominateur $q \geq 40$ . 22. Montrer que la base $10$ n’y est pour rien : l’analogue binaire $\sum_{n\geq1} 2^{-n!}$ (valeur de la suite binaire ayant des uns aux positions factorielles) est aussi un nombre de Liouville, donc [transcendant](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#pb-b1-logic-1) . **Partie VI — [Frontières](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-closure) et synthèse.** 23. Soit $x^\dagger$ la valeur de la suite décimale ayant des uns exactement aux positions $3^k$ ( $k \geq 0$ ). Montrer que $x^\dagger$ est approchable à l’ordre $3$ , et déduire de l’ [inégalité de Liouville](#pb-b1-derivative-1) que $x^\dagger$ n’est ni rationnel ni un irrationnel quadratique. Expliquer pourquoi la méthode s’arrête là : l’ordre $3$ est compatible avec l’algébricité de degré $\geq 3$ , et combler cet écart (tout exposant $> 2$ suffit, pour tout [nombre algébrique](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#pb-b1-logic-1) ) est le théorème de Roth, bien au-delà de ce volume. 24. Quantifier Cantor : montrer que les [nombres algébriques](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#pb-b1-logic-1) de degré $\leq d$ fournis par des [polynômes](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) à coefficients dans $\intint{-H}{H}$ sont au plus $d\,(2H + 1)^{d+1}$ . (C’est cette finitude qui a fait fonctionner la question 17.) 25. Synthèse, une phrase pour chaque point : (i) localiser l’unique ingrédient analytique de la démonstration de Liouville (quel théorème de ce chapitre, utilisé où) ; (ii) énoncer la tension qui l’alimente (le caractère entier force $\abs{P(p/q)} \geq q^{-d}$ , la régularité interdit $\abs{P(p/q)} > M\abs{x - p/q}$ ) ; (iii) opposer les démonstrations de Liouville et de Cantor de l’existence de [nombres transcendants](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#pb-b1-logic-1) ; (iv) nommer l’endroit où ce volume retrouve le thème — le devoir maison du [Chapitre 15](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/15-integration-sur-un-segment#ch-b1-integration) démontre l’irrationalité de $\pi$ par le même étau « caractère entier contre petitesse », avec des intégrales à la place des [dérivées](#def-b1-derivative-def) . **Solution de Problème 14.1.** **1.** $\bigl|\frac ab - \frac pq\bigr| = \frac{\abs{aq - bp}}{bq}$, et $aq - bp$ est un entier non nul lorsque les fractions diffèrent : la distance est $\geq \frac{1}{bq}$. Donc aucun rationnel autre que $x$ lui-même n’entre dans l’[intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) épointé de rayon $\frac{1}{bq}$ autour de $x = \frac ab$. **2.** Si $\bigl|\sqrt2 - \frac pq\bigr| \geq 1 \geq \frac{1}{4q^2}$, c’est fini. Sinon $\frac pq \in \intoo{\sqrt2 - 1}{\sqrt2 + 1}$, donc $0 < \sqrt2 + \frac pq < 2\sqrt2 + 1 < 4$. Puisque $\sqrt 2 \notin \Q$, $p^2 - 2q^2$ est un entier non nul, et $$ \Bigl|\sqrt2 - \frac pq\Bigr| = \frac{\abs{2q^2 - p^2}}{q^2\,\bigl(\sqrt2 + \frac pq\bigr)} \geq \frac{1}{4q^2} . $$ **3.** $(p + 2q)^2 - 2(p + q)^2 = -(p^2 - 2q^2)$ : la valeur $\pm1$ se propage. À partir de $(1,1)$ : $$ (3,2),\ (7,5),\ (17,12),\ (41,29),\ (99,70), $$ avec $p^2 - 2q^2$ alternant $-1, +1, \dots$ Pour ces couples, $\frac pq \geq 1$, donc $\sqrt2 + \frac pq > 2$ et $$ \Bigl|\sqrt2 - \frac pq\Bigr| = \frac{1}{q^2(\sqrt2 + p/q)} < \frac{1}{2q^2} , $$ avec $q \to \infty$ : une infinité d’approximations d’ordre $2$. Avec la question 2, l’exposant $2$ est exact pour $\sqrt 2$. **4.** Les $N + 1$ nombres $kx - \lfloor kx\rfloor$ ($0 \leq k \leq N$) sont dans les $N$ boîtes $\intco{\frac jN}{\frac{j+1}{N}}$ : deux partagent une boîte ([Corollaire 2.3](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/2-denombrement#cor-b1-counting-pigeonhole)), disons pour $i < j$. Avec $q = j - i \leq N$ et $p = \lfloor jx\rfloor - \lfloor ix\rfloor$ : $\abs{qx - p} < \frac1N$, donc $\bigl|x - \frac pq\bigr| < \frac{1}{Nq} \leq \frac{1}{q^2}$. En faisant $N \to \infty$ : puisque $x$ est irrationnel, chaque fraction fixée est à distance strictement positive de $x$, tandis que $\frac{1}{Nq} \leq \frac 1N \to 0$ force de nouvelles fractions à apparaître : une infinité de $\frac pq$ distincts avec $\bigl|x - \frac pq\bigr| < \frac{1}{q^2}$. **5.** Partons d’un [polynôme](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) non nul $P_0$ à coefficients entiers avec $P_0(x) = 0$. Si $P_0$ a une racine rationnelle $\frac ab$, le théorème de factorisation ([Théorème 8.7](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#thm-b1-poly-factor)) écrit $P_0 = \bigl(X - \frac ab\bigr)Q$ avec $Q \in \Q[X]$ ; puisque $x \neq \frac ab$ ($x$ irrationnel), $Q(x) = 0$, et chasser les dénominateurs donne un [polynôme](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) *à coefficients entiers* non nul de degré plus petit s’annulant en $x$. Le degré décroît à chaque étape, donc le processus s’arrête : on atteint $P \in \Z[X]$, $P(x) = 0$, sans racine rationnelle, d’un certain degré $d$. Si $d \leq 1$, $P = uX + v$ rendrait $x = -\frac vu$ rationnel : donc $d \geq 2$. **6.** $q^d\,P\bigl(\frac pq\bigr) = a_d p^d + a_{d-1} p^{d-1} q + \dots + a_0 q^d$ est un entier, et il est non nul parce que $P$ n’a pas de racine rationnelle : $\bigl|P\bigl(\frac pq\bigr)\bigr| \geq q^{-d}$. **7.** Remarquons que $M > 0$ : $P'$ est un [polynôme](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) non nul ($d \geq 2$), il ne peut donc pas s’annuler identiquement sur $\intcc{x-1}{x+1}$. Si $\bigl|x - \frac pq\bigr| > 1$, alors la quantité dépasse trivialement $\frac{C}{q^d}$. Sinon $\frac pq \in \intcc{x-1}{x+1}$ et le [théorème des accroissements finis](#thm-b1-derivative-mvt) ([Théorème 14.9](#thm-b1-derivative-mvt)) donne $c$ entre $x$ et $\frac pq$ tel que $$ \Bigl|P\Bigl(\frac pq\Bigr)\Bigr| = \Bigl|P\Bigl(\frac pq\Bigr) - P(x)\Bigr| = \abs{P'(c)}\,\Bigl|x - \frac pq\Bigr| \leq M\,\Bigl|x - \frac pq\Bigr| , $$ donc, avec la question 6 : $\bigl|x - \frac pq\bigr| \geq \frac{1}{Mq^d} \geq \frac{C}{q^d}$. **8.** Supposons que $x = \frac ab$ soit de Liouville. Choisissons $n$ tel que $2^{n-1} > b$ et le $\frac pq$ correspondant, $q \geq 2$ : $$ 0 < \Bigl|x - \frac pq\Bigr| < \frac{1}{q^n} = \frac{1}{q^{n-1}\,q} \leq \frac{1}{2^{n-1} q} < \frac{1}{bq} , $$ en contradiction avec la question 1. Les nombres de Liouville sont donc irrationnels. **9.** Si un nombre de Liouville $x$ était algébrique : il est irrationnel (question 8), donc les questions 5 à 7 fournissent $d \geq 2$ et $C > 0$ avec $\bigl|x - \frac pq\bigr| \geq \frac{C}{q^d}$ toujours. Pour chaque $n$, l’approximant de Liouville donne $\frac{C}{q^d} < q^{-n}$, c’est-à-dire $C < q^{d-n} \leq 2^{d-n}$ (car $q \geq 2$). Pour $n$ grand, $2^{d-n} < C$ : contradiction. Les nombres de Liouville sont [transcendants](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#pb-b1-logic-1). **10.** Des uns aux positions $1, 2, 6, 24$ ; tous les autres chiffres parmi les $25$ premiers sont nuls : $$ L = 0.1100010000\,0000000000\,00010\dots $$ **11.** Pour $m > k$, les positions $n!$ avec $n > k$ sont des entiers distincts $\geq (k+1)!$, donc la somme géométrique finie donne $$ t_m - t_k = \sum_{n=k+1}^{m} 10^{-n!} \leq \sum_{j = (k+1)!}^{m!} 10^{-j} < 10^{-(k+1)!}\,\frac{1}{1 - \frac1{10}} = \frac{10}{9}\,10^{-(k+1)!} ; $$ en prenant la [borne supérieure](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#def-b1-reals-bounds) sur $m$ : $L - t_k \leq \frac{10}{9}10^{-(k+1)!} < 2\cdot10^{-(k+1)!}$. Minoration : $L \geq t_{k+1} = t_k + 10^{-(k+1)!}$. **12.** $p_k = 10^{k!}\,t_k \in \N$, $q_k = 10^{k!}$, et $(k+1)! = (k+1)\,k!$ donne $10^{-(k+1)!} = q_k^{-(k+1)}$ : la question 11 s’écrit $$ 0 < L - \frac{p_k}{q_k} < \frac{2}{q_k^{\,k+1}} . $$ Étant donné $n$ : pour $k \geq n$, $2\,q_k^{-(k+1)} \leq q_k^{-n}$ (en effet $q_k^{\,k+1-n} \geq q_k \geq 10 > 2$), et $q_k \geq 2$ : la définition de la question 8 est satisfaite. $L$ est un nombre de Liouville. **13.** Par la question 9, $L$ est [transcendant](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#pb-b1-logic-1) — le premier nombre de l’histoire dont la transcendance ait été démontrée (Liouville, 1844). Recoupement par les chiffres : la suite a une infinité de uns avec des écarts consécutifs $(k+1)! - k! = k\cdot k! \to \infty$, elle n’est donc pas périodique à partir d’un certain rang, et $L \notin \Q$ par le critère de périodicité du [Problème 10.1](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#pb-b1-reals-1) (question 18) — cohérent. **14.** Avec des chiffres $d_n \in \intint{1}{9}$ aux positions factorielles : la majoration du reste de la question 11 est multipliée par au plus $9$ : $0 < L' - t'_k \leq 9\cdot\frac{10}{9}\,10^{-(k+1)!} = 10\,q_k^{-(k+1)}$ (positivité parce que le chiffre à la position $(k+1)!$ est non nul). Pour $k \geq n$ : $10\,q_k^{-(k+1)} \leq q_k^{-n}$ puisque $q_k^{\,k+1-n} \geq 10$ : de nouveau un nombre de Liouville, donc [transcendant](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#pb-b1-logic-1). Ces valeurs sont deux à deux distinctes pour des choix de chiffres distincts (les suites sont propres — les zéros y abondent — et les suites propres déterminent leur valeur, [Problème 10.1](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#pb-b1-reals-1), question 10). Étant donné une liste quelconque $k \mapsto x_k$ de ces nombres, choisissons le $k$-ième chiffre factoriel dans $\intint{1}{9}$ différent de celui de $x_k$ : on obtient un nombre de la même forme absent de la liste. Une infinité non dénombrable de [transcendants](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#pb-b1-logic-1) explicites. **15.** D’abord un lemme : *si $\bigl|x - \frac pq\bigr| \geq \frac{C}{q^s}$ pour tout $\frac pq \neq x$, alors $x$ n’est approchable à aucun ordre $\mu > s$.* En effet, une infinité de $\frac pq \neq x$ avec $\bigl|x - \frac pq\bigr| < \frac{c}{q^\mu}$ forcerait $\frac{C}{q^s} < \frac{c}{q^\mu}$, c’est-à-dire $q^{\mu - s} < \frac cC$ : les $q$ sont bornés, et seul un nombre borné de fractions se trouve à distance au plus $1$ de $x$ — un nombre fini de candidats, non une infinité. Passons à la hiérarchie : les rationnels sont approchables à l’ordre $1$ ($\frac pq$ avec $p = \lfloor qx\rfloor + 1$ donne une erreur $\leq \frac1q < \frac2q$) et à aucun ordre $\mu > 1$ (la question 1 donne l’hypothèse du lemme avec $s = 1$, $C = \frac1b$) ; $\sqrt2$ : ordre $2$ (question 3) et pas plus (question 2 et le lemme) ; tout irrationnel : au moins $2$ (question 4) ; un algébrique de degré $d$ : au plus $d$ (question 7 et le lemme) ; les nombres de Liouville : tout ordre (la formule affichée de la question 12, avec $c = 2$). **16.** Avec $r = \frac ab$ : $\frac{p_k}{q_k} + \frac ab = \frac{b p_k + a q_k}{b q_k} =: \frac{P_k}{Q_k}$, $Q_k = b q_k \geq 2$, et $$ \Bigl|(L + r) - \frac{P_k}{Q_k}\Bigr| = L - \frac{p_k}{q_k} < 2\,q_k^{-(k+1)} = 2\,b^{\,k+1} Q_k^{-(k+1)} . $$ Étant donné $n$ : pour $k$ grand, $Q_k^{\,k+1-n} \geq Q_k = b\,10^{k!} \geq 2\,b^{\,k+1}$ (la factorielle écrase la puissance), donc l’erreur est $< Q_k^{-n}$ : $L + r$ est de Liouville. Puisque $\Q$ est [dense](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-dense) et que chaque $L + r$ est [transcendant](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#pb-b1-logic-1), les [nombres transcendants](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#pb-b1-logic-1) sont [denses](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-dense) dans $\R$. **17.** Pour $h \geq 1$ il n’y a qu’un nombre fini de $P \in \Z[X]$ avec $\deg P + \sum_i \abs{a_i} \leq h$ (degré $\leq h$ et chaque coefficient dans $\intint{-h}{h}$ : au plus $(2h+1)^{h+1}$). Tout [polynôme](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) non nul à coefficients entiers a une telle hauteur, et a au plus $\deg P$ racines réelles : les [nombres algébriques](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#pb-b1-logic-1) forment une réunion dénombrable (sur $h$) d’[ensembles finis](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/2-denombrement#def-b1-counting-card), ils peuvent donc être listés en une seule suite. Si les [transcendants](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#pb-b1-logic-1) pouvaient eux aussi être listés, entrelacer les deux listes listerait $\R$, en contradiction avec le [Problème 10.1](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#pb-b1-reals-1) (question 22). Donc les [nombres transcendants](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#pb-b1-logic-1) forment un [ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) non dénombrable. Comparaison : Cantor démontre que *la plupart* des réels sont [transcendants](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#pb-b1-logic-1) sans en exhiber aucun ; Liouville en exhibe un, avec des constantes effectives (partie V) — existence par abondance contre existence par construction. **18.** D’après la question 2, l’hypothèse du lemme est vérifiée avec $s = 2$, $C = \frac14$. Si $\sqrt2$ était de Liouville, alors pour $n = 3$ : $\frac{1}{4q^2} < q^{-3}$ force $q < 4$, donc $q \in \{2, 3\}$ ; seul un nombre fini de $\frac pq$ avec ces $q$ se trouve à distance au plus $1$ de $\sqrt2$, chacun à une distance strictement positive $\geq \varepsilon_0$ ($\sqrt2$ irrationnel) ; choisir $n$ tel que $2^{-n} < \varepsilon_0$ ne laisse plus aucun $\frac pq$ admissible : contradiction. Le même argument avec $\frac{C}{q^d}$ montre qu’aucun [nombre algébrique](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#pb-b1-logic-1) n’est de Liouville — la question 9 en habits effectifs. **19.** $99^2 - 2\cdot70^2 = 9801 - 9800 = 1$. D’où $$ \sqrt2 - \frac{99}{70} = \frac{2 - (99/70)^2}{\sqrt2 + 99/70} = \frac{-1}{4900\,\bigl(\sqrt2 + \tfrac{99}{70}\bigr)} , \qquad \Bigl|\sqrt2 - \frac{99}{70}\Bigr| = \frac{1}{4900 \times 2.8284\dots} \approx 7.2\cdot10^{-5} : $$ $\frac{99}{70} = 1.414285\dots$ contre $\sqrt2 = 1.414213\dots$ — cinq chiffres corrects. **20.** Test des racines rationnelles pour $P = X^3 - 2$ : les candidats $\pm1, \pm2, \pm\frac12$ ne sont pas racines. Donc $d = 3$ et la partie II s’applique à $x = 2^{1/3} = 1.2599\dots$ Sur $\intcc{x - 1}{x + 1} \subseteq \intcc{0.25}{2.26}$ : $\abs{P'(t)} = 3t^2 \leq 3\,(1 + 2^{1/3})^2 < 3\times(2.26)^2 = 15.32 < 16$, donc $M < 16$ et $C \geq \frac{1}{16}$ : $$ \Bigl|2^{1/3} - \frac pq\Bigr| \geq \frac{1}{16\,q^3} \qquad\text{pour tout rationnel.} $$ **21.** Si $\bigl|2^{1/3} - \frac pq\bigr| < 10^{-6}$, alors $\frac{1}{16 q^3} < 10^{-6}$, c’est-à-dire $q^3 > \frac{10^6}{16} = 62\,500$ ; puisque $39^3 = 59\,319 < 62\,500 \leq 64\,000 = 40^3$ : $q \geq 40$. **22.** Refaisons tourner la partie III en base $2$ : $B = \sup_k \sum_{n\leq k} 2^{-n!}$, $q_k = 2^{k!}$, et le reste géométrique (de raison $\frac12$) donne $0 < B - \frac{p_k}{q_k} \leq 2\cdot2^{-(k+1)!} = 2\,q_k^{-(k+1)} \leq q_k^{-n}$ pour $k \geq n$. Donc $B$ est de Liouville, donc [transcendant](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#pb-b1-logic-1) : rien dans l’argument n’est décimal. **23.** Avec des uns aux positions $3^k$ : $q_k = 10^{3^k}$ et la majoration du reste donne $0 < x^\dagger - \frac{p_k}{q_k} < 2\cdot10^{-3^{k+1}} = 2\,q_k^{-3}$ (car $3^{k+1} = 3\cdot3^k$) : une infinité d’approximations d’ordre $3$. Par le lemme de la question 15 : l’ordre $3 > 1$ exclut la rationalité, et l’ordre $3 > 2$ exclut d’être un irrationnel quadratique (dont l’[inégalité de Liouville](#pb-b1-derivative-1) a $s = d = 2$). Mais un [nombre algébrique](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#pb-b1-logic-1) de degré $\geq 3$ n’est repoussé qu’à l’ordre $d \geq 3$ : la méthode de Liouville ne peut pas séparer $x^\dagger$ des cubiques. L’écart est comblé par le théorème de Roth — tout irrationnel algébrique a un ordre d’approximation exactement égal à $2$ — un résultat du vingtième siècle bien au-delà de ce volume ; en l’admettant, $x^\dagger$ est lui aussi [transcendant](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#pb-b1-logic-1). **24.** Il y a au plus $(2H+1)^{d+1}$ uplets $(a_0, \dots, a_d)$ à entrées dans $\intint{-H}{H}$, et chaque [polynôme](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) non nul parmi eux a au plus $d$ racines réelles : au plus $d\,(2H+1)^{d+1}$ [nombres algébriques](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#pb-b1-logic-1) apparaissent — la finitude qui a permis à la question 17 de tous les énumérer. **25.** (i) L’unique ingrédient analytique est le [théorème des accroissements finis](#thm-b1-derivative-mvt), à la question 7, qui convertit l’annulation $P(x) = 0$ en la répulsion lipschitzienne $\abs{P(p/q)} \leq M\abs{x - p/q}$. (ii) La tension : le caractère entier pousse $\abs{P(p/q)}$ vers le haut, jusqu’à $q^{-d}$, la régularité le tire vers le bas, jusqu’à $M\abs{x - p/q}$ — un rationnel trop proche de $x$ serait écrasé entre les deux. (iii) Liouville construit un [transcendant](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#pb-b1-logic-1) avec des constantes effectives ; Cantor montre que presque tous les réels sont [transcendants](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#pb-b1-logic-1) sans en nommer aucun : construction contre cardinalité. (iv) Le devoir maison du [Chapitre 15](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/15-integration-sur-un-segment#ch-b1-integration) démontre l’irrationalité de $\pi$ par le même étau — une intégrale qui serait un entier strictement positif tout en étant piégée dans $\intoo{0}{1}$ — avec l’intégration remplaçant la dérivation comme moitié analytique.