--- title: "Intégration sur un segment" book: "Mathématiques universitaires — Licence 1" subject: math language: fr chapter: 15 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/15-integration-sur-un-segment --- # Chapitre 15 — Intégration sur un segment L’[intégrale](#thm-b1-integration-def) du volume du secondaire reposait sur des aires prises intuitivement. Ce chapitre la construit : d’abord pour les [fonctions en escalier](#def-b1-integration-step), où l’[intégrale](#thm-b1-integration-def) est une somme finie, puis pour les fonctions [continues](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#def-b1-continuity-continuous) (et [continues](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#def-b1-continuity-continuous) par morceaux) par approximation uniforme — l’endroit où le [théorème de Heine](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#thm-b1-continuity-heine) ([Théorème 13.22](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#thm-b1-continuity-heine)) montre toute son utilité. Le [théorème fondamental de l’analyse](#thm-b1-integration-ftc) relie ensuite la construction aux primitives, et les [sommes de Riemann](#thm-b1-integration-riemann) la relient aux moyennes discrètes. Dans tout le chapitre, $a < b$ sont des réels. ## 15.1 Fonctions en escalier **Définition 15.1.** $\varphi \colon \intcc{a}{b} \to \R$ est une *fonction en escalier* lorsqu’il existe une subdivision $a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b$ telle que $\varphi$ soit constante, égale à $c_i$, sur chaque [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) [ouvert](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-open) $\intoo{x_{i-1}}{x_i}$ (les valeurs aux nœuds sont quelconques). Son [intégrale](#thm-b1-integration-def) est $$ \int_a^b \varphi = \sum_{i=1}^{n} c_i\,(x_i - x_{i-1}), $$ indépendante de la subdivision choisie (on raffine deux subdivisions par leur subdivision commune : chaque membre est inchangé par raffinement). **Proposition 15.2.** Sur les [fonctions en escalier](#def-b1-integration-step), l’[intégrale](#thm-b1-integration-def) est linéaire, croissante ($\varphi \leq \psi \implies \int\varphi \leq \int\psi$), et vérifie la relation de Chasles $\int_a^b = \int_a^c + \int_c^b$ pour $a < c < b$. **Démonstration.** Le moteur est l’*invariance par raffinement*, énoncée dans la définition : insérer un nœud supplémentaire $t \in \intoo{x_{i-1}}{x_i}$ dans une subdivision remplace le terme $c_i(x_i - x_{i-1})$ par $c_i(t - x_{i-1}) + c_i(x_i - t)$ — le même nombre — de sorte que l’[intégrale](#thm-b1-integration-def) est inchangée par tout raffinement fini. Prenons maintenant $\varphi$ de subdivision $\sigma$ et $\psi$ de subdivision $\sigma'$ : sur le raffinement commun $\sigma \cup \sigma'$, toutes deux sont des [fonctions en escalier](#def-b1-integration-step) ayant les *mêmes* nœuds, et sur chaque morceau $\varphi + \lambda\psi$ est constante égale à $c_i + \lambda d_i$ : la linéarité se ramène à la linéarité des sommes finies. Croissance : $c_i \leq d_i$ sur chaque morceau donne $\sum c_i \Delta_i \leq \sum d_i \Delta_i$ (les longueurs $\Delta_i \geq 0$). Chasles : insérer le nœud $c$ et couper la somme en ce point. ∎ ## 15.2 Intégrale d’une fonction continue **Théorème 15.3 (Approximation uniforme).** Soit $f$ [continue](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#def-b1-continuity-continuous) sur $\intcc{a}{b}$. Pour tout $\varepsilon > 0$, il existe des [fonctions en escalier](#def-b1-integration-step) $\varphi, \psi$ telles que $$ \varphi \leq f \leq \psi \qquad\text{et}\qquad \psi - \varphi \leq \varepsilon \text{ sur } \intcc{a}{b}. $$ **Démonstration.** D’après le [théorème de Heine](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#thm-b1-continuity-heine) ([Théorème 13.22](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#thm-b1-continuity-heine)), $f$ est [uniformément continue](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#def-b1-continuity-uniform) : choisissons $\delta$ associé à $\varepsilon$, et une subdivision de pas $< \delta$ (régulière, disons, avec $n > \frac{b - a}{\delta}$ morceaux). Sur chaque morceau [fermé](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-closed) $\intcc{x_{i-1}}{x_i}$, $f$ atteint un minimum $m_i$ et un maximum $M_i$ ([Théorème 13.13](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#thm-b1-continuity-evt)), et $M_i - m_i \leq \varepsilon$ (les deux points extrémaux sont distants de moins de $\delta$). Posons $\varphi = m_i$ et $\psi = M_i$ sur $\intoo{x_{i-1}}{x_i}$ (et $\varphi = \psi = f$ aux nœuds). ∎ **Théorème 15.4 (Définition de l’intégrale).** Soit $f$ [continue](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#def-b1-continuity-continuous) sur $\intcc{a}{b}$. Les deux nombres $$ I_-(f) = \sup\Bigl\{\int_a^b \varphi : \varphi \text{ en escalier},\ \varphi \leq f\Bigr\}, \qquad I_+(f) = \inf\Bigl\{\int_a^b \psi : \psi \text{ en escalier},\ \psi \geq f\Bigr\} $$ sont égaux ; leur valeur commune est l’*intégrale* $\int_a^b f$ (également notée $\int_a^b f(t)\,\dd t$). Elle coïncide avec la notion précédente sur les [fonctions en escalier](#def-b1-integration-step), et s’étend aux fonctions [continues](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#def-b1-continuity-continuous) par morceaux en découpant $\intcc{a}{b}$ aux discontinuités (Chasles y servant de définition). **Démonstration.** Les deux [ensembles](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) sont non vides ($f$ est bornée) et toute [intégrale](#thm-b1-integration-def) inférieure en escalier est $\leq$ à toute [intégrale](#thm-b1-integration-def) supérieure (croissance sur les [fonctions en escalier](#def-b1-integration-step)) : donc $I_-(f) \leq I_+(f)$. D’après le [Théorème 15.3](#thm-b1-integration-approx), pour tout $\varepsilon$ il existe un couple avec $\int\psi - \int\varphi \leq \varepsilon(b - a)$ : la [borne supérieure](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#def-b1-reals-bounds) et la [borne inférieure](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#def-b1-reals-bounds) sont enserrées l’une contre l’autre, $I_- = I_+$. ∎ **Exemple 15.5 (Continue par morceaux, sans drame).** La [fonction partie entière](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#thm-b1-reals-floor) sur $\intcc{0}{3}$ est une [fonction en escalier](#def-b1-integration-step) déguisée : en coupant à ses sauts, $$ \int_0^3 \lfloor t \rfloor\,\dd t = \int_0^1 0 + \int_1^2 1 + \int_2^3 2 = 0 + 1 + 2 = 3 , $$ et les valeurs *aux* points de saut $1, 2$ n’ont aucune importance : modifier une fonction en un nombre fini de points ne change aucune [intégrale](#thm-b1-integration-def) (les [fonctions en escalier](#def-b1-integration-step) qui l’encadrent n’en sont pas affectées). C’est tout le contenu de l’extension « [continue](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#def-b1-continuity-continuous) par morceaux » : couper aux discontinuités, en nombre fini, intégrer chaque morceau [continu](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#def-b1-continuity-continuous), additionner — Chasles comme définition. **Exemple 15.6 (La définition calcule, une fois).** Soit $f(x) = x$ sur $\intcc{0}{1}$, découpé en $n$ morceaux égaux. Les meilleures [fonctions en escalier](#def-b1-integration-step) constantes sur les morceaux sont $\varphi = \frac{k-1}{n}$ et $\psi = \frac kn$ sur le $k$-ième morceau, avec $$ \int_0^1 \varphi = \sum_{k=1}^{n} \frac{k-1}{n}\cdot\frac1n = \frac{n-1}{2n}, \qquad \int_0^1 \psi = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n}\cdot\frac1n = \frac{n+1}{2n} . $$ Toute [intégrale](#thm-b1-integration-def) inférieure est $\leq I_-(f) \leq I_+(f) \leq$ à toute [intégrale](#thm-b1-integration-def) supérieure, donc $\frac{n-1}{2n} \leq I_-(f) \leq I_+(f) \leq \frac{n+1}{2n}$ pour tout $n$ : les deux sont enserrées sur $\frac12$, et $\int_0^1 x\,\dd x = \frac12$ directement à partir de la définition. L’idée à retenir : c’est la première et la dernière fois que nous intégrons à partir de la définition — le théorème fondamental ci-dessous remplace tous ces calculs par la lecture d’une primitive, ce qui est tout l’intérêt économique de ce chapitre. **Théorème 15.7 (Propriétés).** Pour $f, g$ [continues](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#def-b1-continuity-continuous) (ou [continues](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#def-b1-continuity-continuous) par morceaux) sur $\intcc{a}{b}$ et $\lambda \in \R$ : 1. linéarité : $\int (f + \lambda g) = \int f + \lambda \int g$ ; 2. croissance : $f \leq g \implies \int_a^b f \leq \int_a^b g$ ; et $\bigl|\int_a^b f\bigr| \leq \int_a^b \abs f \leq (b - a)\, \sup\abs f$ ; 3. Chasles : $\int_a^b = \int_a^c + \int_c^b$ (avec la convention $\int_b^a = -\int_a^b$ , valable quel que soit l’ordre des bornes) ; 4. positivité stricte : si $f$ est [continue](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#def-b1-continuity-continuous) , $f \geq 0$ et $\int_a^b f = 0$ , alors $f = 0$ partout sur $\intcc{a}{b}$ . **Démonstration.** (1)–(3) passent des [fonctions en escalier](#def-b1-integration-step) à la limite par la définition en sup/inf. La linéarité mérite qu’on la détaille une fois : soit $\varepsilon > 0$ ; encadrons $\varphi_f \leq f \leq \psi_f$ et $\varphi_g \leq g \leq \psi_g$ avec des écarts $\leq \varepsilon$ ([Théorème 15.3](#thm-b1-integration-approx)). Pour $\lambda \geq 0$, $\varphi_f + \lambda\varphi_g \leq f + \lambda g \leq \psi_f + \lambda\psi_g$ est un encadrement par des [fonctions en escalier](#def-b1-integration-step) d’écart $\leq (1 + \lambda)\varepsilon$, et ses [intégrales](#thm-b1-integration-def) en escalier valent $\int \varphi_f + \lambda\int\varphi_g$, etc. ([Proposition 15.2](#prop-b1-integration-stepprops)) : en faisant $\varepsilon \to 0$, on enserre $\int(f + \lambda g)$ sur $\int f + \lambda\int g$. Pour $\lambda < 0$, la multiplication par $\lambda$ *renverse* l’encadrement de $g$ — la [fonction en escalier](#def-b1-integration-step) inférieure de $\lambda g$ est $\lambda \psi_g$ — et le même encadrement fonctionne, les rôles échangés. La majoration $\abs{\int f} \leq \int \abs f$ vient de $-\abs f \leq f \leq \abs f$ et de la croissance. (4) Par contraposée : si $f(x_0) = m > 0$, la [continuité](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#def-b1-continuity-continuous) fournit un [sous-intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) de longueur $\eta > 0$ sur lequel $f \geq \frac m2$ ; la [fonction en escalier](#def-b1-integration-step) valant $\frac m2$ là et $0$ ailleurs est $\leq f$, donc $\int f \geq \frac{m\eta}{2} > 0$. ∎ **Exemple 15.8 (Chasles à l’œuvre : intégrales de valeurs absolues).** Pour intégrer une valeur absolue, on coupe là où le signe change. $$ \int_0^2 \abs{x - 1}\,\dd x = \int_0^1 (1 - x)\,\dd x + \int_1^2 (x - 1)\,\dd x = \frac12 + \frac12 = 1 , $$ et, en coupant $\intcc{0}{2\pi}$ en $\pi$ : $$ \int_0^{2\pi} \abs{\sin t}\,\dd t = \int_0^{\pi} \sin t\,\dd t - \int_{\pi}^{2\pi} \sin t\,\dd t = 2 + 2 = 4 , $$ alors que $\int_0^{2\pi} \sin t\,\dd t = 0$ : les compensations sont bien réelles, et c’est pourquoi l’énoncé de positivité stricte ([Théorème 15.7](#thm-b1-integration-props) (4)) porte l’hypothèse $f \geq 0$ — sans elle, une [intégrale](#thm-b1-integration-def) nulle ne prouve rien sur $f$. L’idée à retenir : $\int \abs f$ mesure une *aire*, $\int f$ mesure un *bilan signé* ; l’inégalité $\abs{\int f} \leq \int\abs f$ est le relevé exact de ce que les compensations peuvent détruire. ## 15.3 Le théorème fondamental de l’analyse **Théorème 15.9 (Théorème fondamental de l’analyse).** Soit $f$ [continue](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#def-b1-continuity-continuous) sur un [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) $I$ et $a \in I$. La fonction $$ F(x) = \int_a^x f(t)\, \dd t $$ est de classe $C^1$ sur $I$, avec $F' = f$ : toute fonction [continue](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#def-b1-continuity-continuous) sur un [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) admet des primitives. Par conséquent, pour *toute* primitive $G$ de $f$ : $$ \int_a^b f(t)\,\dd t = G(b) - G(a) . $$ **Démonstration.** Fixons $x_0 \in I$ et $\varepsilon > 0$ ; la [continuité](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#def-b1-continuity-continuous) en $x_0$ fournit $\delta$ tel que $\abs{f(t) - f(x_0)} \leq \varepsilon$ dès que $\abs{t - x_0} \leq \delta$. Pour $0 < \abs{h} \leq \delta$ (et $x_0 + h \in I$), Chasles donne $$ \frac{F(x_0 + h) - F(x_0)}{h} - f(x_0) = \frac 1h \int_{x_0}^{x_0+h} \bigl(f(t) - f(x_0)\bigr)\dd t , $$ dont la valeur absolue est $\leq \frac{1}{\abs h}\cdot \abs h\, \varepsilon = \varepsilon$ (majoration (2), valable quel que soit l’ordre des bornes). Donc $F'(x_0) = f(x_0)$ ; $F' = f$ est [continue](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#def-b1-continuity-continuous) : $F$ est $C^1$. Si $G' = f$ également, alors $(G - F)' = 0$ sur l’[intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals), donc $G = F + c$ ([Corollaire 14.12](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/14-derivation#cor-b1-derivative-monotone)), et $G(b) - G(a) = F(b) - F(a) = \int_a^b f$. ∎ **Exemple 15.10 (La symétrie avant le calcul).** Sur un [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) symétrique, la parité fait le travail : si $f$ est impaire, le [changement de variable](#thm-b1-integration-parts) $t \mapsto -t$ envoie $\int_{-a}^{0} f$ sur $-\int_0^a f$, donc $$ \int_{-a}^{a} f(t)\,\dd t = 0 ; \qquad\text{si $f$ est paire,}\quad \int_{-a}^{a} f = 2\int_0^a f . $$ Ainsi $\int_{-1}^{1} \frac{t^3\cos t}{1 + t^4}\,\dd t = 0$ sans qu’aucune primitive soit en vue (l’intégrande est impaire), et $$ \int_{-\pi}^{\pi} t^2\cos t\,\dd t = 2\int_0^\pi t^2\cos t\, \dd t . $$ Vérifier les symétries avant de sortir les techniques : l’[intégrale](#thm-b1-integration-def) la plus rapide est celle qu’on ne calcule jamais. **Exemple 15.11 (Reconnaître une dérivée au premier coup d’œil).** Calculons $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \frac{\dd x}{1 + \cos x}$. L’identité de l’angle moitié $1 + \cos x = 2\cos^2\frac x2$ transforme l’intégrande en $\frac{1}{2}\bigl(1 + \tan^2\frac x2\bigr)$, qui est exactement la [dérivée](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/14-derivation#def-b1-derivative-def) de $\tan\frac x2$ : $$ \int_0^{\pi/2} \frac{\dd x}{1 + \cos x} = \Bigl[\tan\frac x2\Bigr]_0^{\pi/2} = \tan\frac\pi4 = 1 . $$ Aucune machinerie de [changement de variable](#thm-b1-integration-parts) n’a été nécessaire — seulement le réflexe de lire une intégrande comme la [dérivée](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/14-derivation#def-b1-derivative-def) de quelqu’un, le théorème fondamental faisant le reste. (L’outil systématique qui gouverne de telles [intégrales](#thm-b1-integration-def) trigonométriques, le [changement de variable](#thm-b1-integration-parts) $t = \tan\frac x2$, appartient à la boîte à outils standard bâtie sur le [Théorème 15.15](#thm-b1-integration-parts) (2).) **Exemple 15.12 (Fonctions définies par une intégrale).** Le théorème fondamental fabrique des fonctions. Posons $$ F(x) = \int_0^x \eu^{-t^2}\,\dd t . $$ Aucune combinaison de fonctions classiques n’a pour [dérivée](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/14-derivation#def-b1-derivative-def) $\eu^{-t^2}$ (un théorème de Liouville, admis) ; pourtant $F$ existe, est $C^1$ avec $F'(x) = \eu^{-x^2} > 0$, strictement croissante, impaire ([changement de variable](#thm-b1-integration-parts) $t \mapsto -t$), et bornée : pour $x \geq 1$, $$ F(x) - F(1) = \int_1^x \eu^{-t^2}\dd t \leq \int_1^x \eu^{-t}\dd t \leq \eu^{-1} , $$ donc $F \leq F(1) + \eu^{-1} \leq 1 + \eu^{-1}$. (La limite exacte, $\frac{\sqrt\pi}{2}$, se calcule par [intégrales](#thm-b1-integration-def) doubles dans le volume de Licence 3.) Dérivation d’une composée pour des bornes mobiles : $\frac{\dd}{\dd x}\int_x^{x^2} \eu^{-t^2}\dd t = 2x\,\eu^{-x^4} - \eu^{-x^2}$. L’idée à retenir : l’intégration *crée* de nouvelles fonctions à partir des anciennes, avec toutes leurs propriétés lisibles sur l’intégrande — la primitive qu’on ne sait pas écrire reste une fonction que l’on maîtrise complètement. **Exemple 15.13 (Estimer sans calculer).** Les [intégrales](#thm-b1-integration-def) $R_n = \int_0^1 \frac{t^n}{1 + t}\,\dd t$ n’ont aucune forme close agréable, et pourtant la croissance les cerne précisément : sur $\intcc{0}{1}$, $\frac12 \leq \frac{1}{1+t} \leq 1$, donc $$ \frac{1}{2(n+1)} = \frac12\int_0^1 t^n\,\dd t \;\leq\; R_n \;\leq\; \int_0^1 t^n \,\dd t = \frac{1}{n+1} : $$ l’ordre exact de décroissance ($R_n \sim$ un multiple de $\frac1n$, en fait $R_n \sim \frac{1}{2n}$) en deux lignes et sans primitive. Les devoirs maison de ce chapitre et du suivant reposent exactement sur de tels encadrements — le premier réflexe de l’analyste devant une [intégrale](#thm-b1-integration-def) doit être de la *majorer*, et seulement ensuite, s’il le faut, de la calculer. **Exemple 15.14 (Valeurs moyennes).** La *moyenne* d’une fonction [continue](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#def-b1-continuity-continuous) $f$ sur $\intcc{a}{b}$ est $\frac{1}{b-a}\int_a^b f$. Pour l’arche du sinus : $$ \frac{1}{\pi}\int_0^\pi \sin t\,\dd t = \frac{1}{\pi}\bigl[-\cos t\bigr]_0^\pi = \frac{2}{\pi} \approx 0.637 : $$ une arche positive complète a pour moyenne non pas $\frac12$ mais $\frac2\pi$ — la courbe passe plus de temps en hauteur qu’un triangle ne le ferait. D’après l’[Exercice 15.11](#exo-b1-integration-11) (formule de la moyenne, $g = 1$), la moyenne est une *valeur* : $\sin c = \frac2\pi$ pour un certain $c \in \intoo{0}{\pi}$. Et d’après les [sommes de Riemann](#thm-b1-integration-riemann) de ce chapitre, la moyenne est la limite des moyennes ordinaires de $n$ échantillons — le pont entre la moyenne discrète de données et la moyenne [continue](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#def-b1-continuity-continuous) d’un signal, et c’est ainsi que l’[intégrale](#thm-b1-integration-def) entre en physique. **Théorème 15.15 (Intégration par parties ; changement de variable).** 1. Si $u, v$ sont $C^1$ sur $\intcc{a}{b}$ : $$\int_a^b u'v = \bigl[uv\bigr]_a^b - \int_a^b uv' .$$ 2. Si $\varphi$ est $C^1$ sur $\intcc{\alpha}{\beta}$ et $f$ [continue](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#def-b1-continuity-continuous) sur $\varphi(\intcc{\alpha}{\beta})$ : $$\int_{\alpha}^{\beta} f\bigl(\varphi(t)\bigr)\,\varphi'(t)\, \dd t = \int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)} f(x)\, \dd x .$$ **Démonstration.** (1) $(uv)' = u'v + uv'$ ; on intègre sur $\intcc{a}{b}$ et on applique le théorème fondamental à la fonction $C^1$ $uv$. (2) Soit $F$ une primitive de $f$ sur l’[intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) image ([Théorème 15.9](#thm-b1-integration-ftc)). Alors $(F \circ \varphi)' = (f \circ \varphi)\,\varphi'$ ([dérivée](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/14-derivation#def-b1-derivative-def) d’une composée), donc les deux membres valent $F(\varphi(\beta)) - F(\varphi(\alpha))$. ∎ **Exemple 15.16.** $\int_0^1 t\,\eu^t \dd t = \bigl[t\,\eu^t\bigr]_0^1 - \int_0^1 \eu^t\dd t = \eu - (\eu - 1) = 1$. Et avec le [changement de variable](#thm-b1-integration-parts) $x = \sin t$ ($t \in \intcc{0}{\frac\pi2}$) : $$ \int_0^1 \sqrt{1 - x^2}\, \dd x = \int_0^{\pi/2} \cos t \cdot \cos t \, \dd t = \int_0^{\pi/2} \frac{1 + \cos 2t}{2}\, \dd t = \frac\pi4 , $$ — un quart du disque unité, comme la géométrie l’exige. (La linéarisation de la [Méthode 3.11](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/3-nombres-complexes#met-b1-complex-trig) à l’œuvre.) **Remarque 15.17 (Pièges courants du calcul intégral).** (i) *Les [changements de variable](#thm-b1-integration-parts) doivent être $C^1$ sur tout l’[intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals)* : le changement $x = \frac1t$ est illégal à la traversée de $0$ ; appliqué aveuglément à $\int_{-1}^{1}\frac{\dd x}{1 + x^2}$, il « démontre » que l’[intégrale](#thm-b1-integration-def) est égale à son opposée. Lorsqu’un [changement de variable](#thm-b1-integration-parts) présente une singularité, on coupe d’abord l’[intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) (Chasles), on substitue sur chaque morceau, et seulement ensuite on recolle. (ii) *Les primitives logarithmiques réclament des valeurs absolues* : $\int \frac{\dd x}{x - 2} = \ln\abs{x - 2} + C$ de chaque côté de $2$ séparément — écrire $\ln(x - 2)$ sur $\intoo{0}{1}$, c’est écrire le logarithme d’un nombre négatif ; et la constante $C$ peut différer de part et d’autre de la singularité. (iii) *Une [intégrale](#thm-b1-integration-def) nulle ne tue pas la fonction* : $\int_0^{2\pi}\sin = 0$ ; la positivité de l’intégrande est requise avant de conclure $f = 0$ ([Exemple 15.8](#ex-b1-integration-chasleswork)). (iv) *Les [sommes de Riemann](#thm-b1-integration-riemann) doivent être calibrées* : dans $\frac{b-a}{n}\sum f\bigl(a + k\frac{b-a}{n}\bigr)$, le pas à l’extérieur et les points à l’[intérieur](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-closure) doivent correspondre à la même subdivision — l’erreur fréquente est une somme $\sum_{k=1}^{n} f\bigl(\frac kn\bigr)$ *sans* le facteur $\frac1n$, qui diverge au lieu de converger vers $\int_0^1 f$. Liste de contrôle avant d’invoquer le [Théorème 15.20](#thm-b1-integration-riemann) : mettre $\frac1n$ en facteur, réécrire le terme général comme $f$ de $\frac kn$, nommer $f$ et vérifier sa [continuité](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#def-b1-continuity-continuous). **Exemple 15.18 (Deviner, dériver, ajuster).** Que vaut $\int_1^x (\ln t)^2\,\dd t$ ? Devinons une primitive de la forme $t\,P(\ln t)$ avec $P$ polynomiale et dérivons : $$ \bigl(t\,P(\ln t)\bigr)' = P(\ln t) + P'(\ln t) . $$ Il faut $P(u) + P'(u) = u^2$ : prenons $P(u) = u^2 - 2u + 2$ (on identifie les coefficients en descendant depuis $u^2$). D’où $$ \int_1^x (\ln t)^2\,\dd t = \bigl[t\bigl((\ln t)^2 - 2\ln t + 2\bigr)\bigr]_1^x = x(\ln x)^2 - 2x\ln x + 2x - 2 , $$ résultat qu’on obtiendrait sinon par deux [intégrations par parties](#thm-b1-integration-parts). L’idée à retenir : pour des intégrandes de la forme ([polynôme](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) en $\ln t$) ou ([polynôme](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) fois $\eu^{\lambda t}$), la primitive a la même forme — dériver une devinette bien formée convertit l’intégration en algèbre linéaire sur les coefficients, plus rapide et moins sujette à erreur que des parties itérées. **Exemple 15.19 (L’intégrale boomerang).** Calculons $I = \int_0^{\pi/2} \eu^x \cos x\,\dd x$. Intégrons deux fois par parties, en dérivant à chaque fois le facteur trigonométrique : $$ I = \bigl[\eu^x \sin x\bigr]_0^{\pi/2} - \int_0^{\pi/2} \eu^x \sin x\,\dd x = \eu^{\pi/2} - J, \qquad J = \bigl[-\eu^x\cos x\bigr]_0^{\pi/2} + \int_0^{\pi/2} \eu^x\cos x\,\dd x = 1 + I . $$ L’[intégrale](#thm-b1-integration-def) est revenue sur elle-même : $I = \eu^{\pi/2} - 1 - I$, d’où $$ I = \frac{\eu^{\pi/2} - 1}{2} . $$ L’idée à retenir : lorsque l’intégrande est le produit de deux fonctions qui se reproduisent par dérivation ($\eu^{ax}$, $\cos bx$, $\sin bx$), deux [intégrations par parties](#thm-b1-integration-parts) produisent une équation linéaire d’inconnue l’[intégrale](#thm-b1-integration-def) — il faut la résoudre au lieu d’intégrer ; de façon équivalente, on passe par $\eu^{(a + \iu b)x}$ ([Chapitre 3](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/3-nombres-complexes#ch-b1-complex)) et on prend la partie réelle. Les deux chemins donnent la même réponse, et vérifier qu’ils le font est une vérification gratuite. ## 15.4 Sommes de Riemann **Théorème 15.20 (Sommes de Riemann).** Soit $f$ [continue](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#def-b1-continuity-continuous) sur $\intcc{a}{b}$. Alors $$ S_n = \frac{b - a}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\Bigl(a + k\,\frac{b-a}{n}\Bigr) \xrightarrow[n \to \infty]{} \int_a^b f(t)\, \dd t , $$ et de même avec n’importe quels points d’évaluation à l’intérieur des [sous-intervalles](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals). **Démonstration.** $S_n$ est l’[intégrale](#thm-b1-integration-def) de la [fonction en escalier](#def-b1-integration-step) $\varphi_n$ égale à $f(a + k\frac{b-a}{n})$ sur le $k$-ième [sous-intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals). Soit $\varepsilon > 0$ ; la [continuité uniforme](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#def-b1-continuity-uniform) (Heine) fournit $\delta$ ; pour $n > \frac{b-a}{\delta}$, tout point d’un [sous-intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) est à distance $< \delta$ de son point d’évaluation, donc $\abs{f - \varphi_n} \leq \varepsilon$ sur $\intcc{a}{b}$, d’où $$ \Bigl| \int_a^b f - S_n \Bigr| = \Bigl| \int_a^b (f - \varphi_n) \Bigr| \leq (b-a)\,\varepsilon . \qedhere $$ ∎ ![Une somme de Riemann à gauche avec n = 8 rectangles : quand le pas diminue, la continuité uniforme force l’aire de l’escalier vers ∈t_ab f.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-integration/fig-3ce085fec6e3.svg) *Une somme de Riemann à gauche avec $n = 8$ rectangles : quand le pas diminue, la [continuité uniforme](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#def-b1-continuity-uniform) force l’aire de l’escalier vers $\int_a^b f$.* **Exemple 15.21.** $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n + k} = \frac 1n \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + k/n} \xrightarrow[n\to\infty]{} \int_0^1 \frac{\dd x}{1 + x} = \ln 2$ : une limite invisible aux majorations élémentaires, transparente comme somme de Riemann. **Exemple 15.22 (Une deuxième somme de Riemann, avec calibrage).** Cherchons $$ \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{n}{(n+k)^2} . $$ Calibrons : $$ \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{(n+k)^2} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \frac{n^2}{(n+k)^2} = \frac1n \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\bigl(1 + \frac kn\bigr)^2} , $$ somme de Riemann de la fonction [continue](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#def-b1-continuity-continuous) $f(x) = \frac{1}{(1+x)^2}$ sur $\intcc{0}{1}$ : la limite est $$ \int_0^1 \frac{\dd x}{(1 + x)^2} = \Bigl[-\frac{1}{1+x}\Bigr]_0^1 = \frac12 . $$ L’idée à retenir : tout l’art tient dans la ligne du milieu — forcer le terme général à prendre la forme $f(\frac kn)$ au prix de l’extraction d’exactement un facteur $\frac1n$ ; une fois la forme correcte, le théorème fait l’analyse et le théorème fondamental fait l’arithmétique. **Remarque 15.23 (Où l’intégrale travaille ensuite).** Chacune des constructions de ce chapitre a une suite. Les [sommes de Riemann](#thm-b1-integration-riemann) reviennent au [Chapitre 17](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/17-series-numeriques#ch-b1-series) comme pont entre séries et [intégrales](#thm-b1-integration-def) (comparaison de $\sum \frac{1}{n^\alpha}$ avec $\int \frac{\dd t}{t^\alpha}$) ; le reste intégral est la forme la plus fine de la formule de Taylor au [Chapitre 16](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/16-formules-de-taylor-et-developpements-limites#ch-b1-taylor) ; la définition par $\sup$ est le prototype de l’[intégrale](#thm-b1-integration-def) de Lebesgue du volume de Licence 3, où les trois mêmes propriétés (linéarité, croissance, un théorème de convergence) sont rebâties sur une classe de fonctions bien plus large. Et le devoir maison ci-dessous transforme l’[intégration par parties](#thm-b1-integration-parts) en arithmétique : l’irrationalité de $\pi^2$. ## 15.5 Exercices **Exercice 15.1 ★.** Calculer : $\displaystyle\int_0^1 \frac{\dd x}{x^2 - 4}$ *(éléments simples, [Chapitre 9](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/9-fractions-rationnelles#ch-b1-fractions))* ; $\displaystyle\int_1^{\eu} \ln t \,\dd t$ ; $\displaystyle\int_0^{\pi} t \sin t\, \dd t$. **Solution de Exercice 15.1.** $\dfrac{1}{x^2-4} = \dfrac{1/4}{x - 2} - \dfrac{1/4}{x+2}$ (multiplication-évaluation), donc $$ \int_0^1 \frac{\dd x}{x^2 - 4} = \frac14\Bigl[\ln\abs{x-2} - \ln\abs{x+2}\Bigr]_0^1 = \frac14\Bigl(\ln\frac{1}{3} - \ln 1\Bigr) = -\frac{\ln 3}{4}. $$ Par parties ($u' = 1$, $v = \ln t$) : $\int_1^{\eu} \ln t\,\dd t = \bigl[t\ln t\bigr]_1^{\eu} - \int_1^{\eu} \dd t = \eu - (\eu - 1) = 1$. Par parties ($u' = \sin t$, $v = t$) : $\int_0^\pi t\sin t\,\dd t = \bigl[-t\cos t\bigr]_0^\pi + \int_0^\pi \cos t\,\dd t = \pi + 0 = \pi$. **Exercice 15.2 ★.** Calculer $\displaystyle\int_0^{1} \frac{t}{(t^2+1)^2}\,\dd t$ ([changement de variable](#thm-b1-integration-parts)) et $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos^3 t\, \dd t$ (écrire $\cos^3 = \cos(1 - \sin^2)$). **Solution de Exercice 15.2.** [Changement de variable](#thm-b1-integration-parts) $u = t^2 + 1$, $\dd u = 2t\,\dd t$ : $$ \int_0^1 \frac{t\,\dd t}{(t^2+1)^2} = \frac12 \int_1^2 \frac{\dd u}{u^2} = \frac12\Bigl[-\frac1u\Bigr]_1^2 = \frac14 . $$ Avec $u = \sin t$ : $\int_0^{\pi/2} \cos^3 t\,\dd t = \int_0^{\pi/2} (1 - \sin^2 t)\cos t\,\dd t = \bigl[\sin t - \frac{\sin^3 t}{3}\bigr]_0^{\pi/2} = 1 - \frac13 = \frac23$. **Exercice 15.3 ★.** Déterminer les limites, comme [sommes de Riemann](#thm-b1-integration-riemann) : $$ u_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^2 + k^2}, \qquad v_n = \frac{1}{n}\sqrt[n]{\frac{(2n)!}{n!\,n^n}} \ \emph{(prendre le logarithme)}. $$ **Solution de Exercice 15.3.** $u_n = \dfrac1n \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{1 + (k/n)^2}$ : c’est une somme de Riemann de $x \mapsto \frac{1}{1+x^2}$ sur $\intcc{0}{1}$, donc $u_n \to \int_0^1 \frac{\dd x}{1+x^2} = \arctan 1 = \dfrac\pi4$. $\ln v_n = \dfrac1n \sum_{k=1}^{n} \ln\dfrac{n+k}{n} = \dfrac 1n \sum_{k=1}^n \ln\Bigl(1 + \dfrac kn\Bigr) \to \int_0^1 \ln(1+x)\,\dd x = \bigl[(1+x)\ln(1+x) - x\bigr]_0^1 = 2\ln 2 - 1$. D’où $v_n \to \eu^{2\ln 2 - 1} = \dfrac 4\eu$. (Vérification de l’identification : $\frac{(2n)!}{n!\,n^n} = \prod_{k=1}^{n} \frac{n+k}{n}$.) **Exercice 15.4 ★.** Soit $f$ [continue](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#def-b1-continuity-continuous) sur $\intcc{0}{1}$. Calculer $\lim_{n\to\infty} \int_0^1 x^n f(x)\,\dd x$. *(Couper $\intcc{0}{1}$ en $1 - \delta$.)* **Solution de Exercice 15.4.** La limite est $0$. Posons $M = \sup \abs f$ et $\varepsilon \in \intoo{0}{1}$. Coupons en $1 - \varepsilon$ : $$ \Bigl| \int_0^1 x^n f \Bigr| \leq \int_0^{1 - \varepsilon} x^n \abs f + \int_{1-\varepsilon}^1 x^n \abs f \leq M\,(1-\varepsilon)^n + M\varepsilon . $$ Comme $(1 - \varepsilon)^n \to 0$ ([Exercice 11.3](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/11-suites#exo-b1-seq-3)), la limite supérieure du membre de gauche est $\leq M\varepsilon$ pour tout $\varepsilon$ : l’[intégrale](#thm-b1-integration-def) tend vers $0$. **Exercice 15.5 ★★.** (Cauchy–Schwarz) Pour $f, g$ [continues](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#def-b1-continuity-continuous) sur $\intcc{a}{b}$, démontrer $$ \Bigl(\int_a^b fg\Bigr)^{\!2} \leq \int_a^b f^2 \cdot \int_a^b g^2 , $$ en développant $\int_a^b (f + \lambda g)^2 \geq 0$ comme un trinôme en $\lambda$. Quand y a-t-il égalité ? **Solution de Exercice 15.5.** $Q(\lambda) = \int_a^b (f + \lambda g)^2 = \int f^2 + 2\lambda \int fg + \lambda^2 \int g^2 \geq 0$ pour tout $\lambda$. Si $\int g^2 = 0$, alors $g = 0$ (positivité stricte, [Théorème 15.7](#thm-b1-integration-props) (4)) et l’inégalité s’écrit $0 \leq 0$. Sinon $Q$ est un vrai trinôme, partout $\geq 0$ : son discriminant est $\leq 0$, c’est-à-dire $\bigl(\int fg\bigr)^2 \leq \int f^2 \int g^2$. Il y a égalité si et seulement si le discriminant s’annule, si et seulement si $Q(\lambda_0) = 0$ pour un certain $\lambda_0$, c’est-à-dire $\int (f + \lambda_0 g)^2 = 0$, c’est-à-dire (positivité stricte à nouveau) $f = -\lambda_0 g$ : l’égalité a lieu exactement quand $f$ et $g$ sont proportionnelles. **Exercice 15.6 ★★.** Soit $f$ [continue](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#def-b1-continuity-continuous) sur $\R$, $T$-périodique. Démontrer que $\int_a^{a+T} f$ ne dépend pas de $a$, et que $\frac1x \int_0^x f(t)\,\dd t \to \frac 1T \int_0^T f$ quand $x \to +\infty$. **Solution de Exercice 15.6.** Posons $\Phi(a) = \int_a^{a+T} f$. D’après le théorème fondamental ([Théorème 15.9](#thm-b1-integration-ftc)), $\Phi$ est [dérivable](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/14-derivation#def-b1-derivative-def) avec $\Phi'(a) = f(a + T) - f(a) = 0$ : elle est constante. Pour $x > 0$, écrivons $x = nT + r$, $0 \leq r < T$ ($n = \lfloor x/T \rfloor$). Chasles : $$ \int_0^x f = n \int_0^T f + \int_{nT}^{nT + r} f, \qquad \Bigl| \int_{nT}^{nT+r} f \Bigr| \leq T \sup_{\intcc{0}{T}} \abs f = C . $$ Alors $\frac 1x \int_0^x f = \frac{nT}{x}\cdot\frac 1T \int_0^T f + O\bigl(\frac 1x\bigr)$, et $\frac{nT}{x} \to 1$ : la limite est $\frac1T \int_0^T f$. **Exercice 15.7 ★★.** Pour $f$ [continue](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#def-b1-continuity-continuous) sur $\intcc{0}{1}$ avec $\int_0^1 f = \frac12$, démontrer que $f$ admet un point fixe dans $\intcc{0}{1}$. *(Intégrer $f(x) - x$ et utiliser la positivité stricte, [Théorème 15.7](#thm-b1-integration-props) (4), par sa contraposée combinée au [théorème des valeurs intermédiaires](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#thm-b1-continuity-ivt).)* **Solution de Exercice 15.7.** Posons $g(x) = f(x) - x$ : elle est [continue](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#def-b1-continuity-continuous), avec $$ \int_0^1 g = \int_0^1 f - \frac12 = 0 . $$ Si $g$ ne s’annulait jamais, le [théorème des valeurs intermédiaires](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#thm-b1-continuity-ivt) forcerait un signe constant (une fonction [continue](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#def-b1-continuity-continuous) sur un [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) qui prend les deux signes s’annule) ; disons $g > 0$. Alors, par positivité stricte ([Théorème 15.7](#thm-b1-integration-props) (4) appliquée à $g > 0$, ce qui donne $\int g > 0$) : contradiction avec $\int g = 0$. Donc $g(c) = 0$ pour un certain $c$ : $f(c) = c$. **Exercice 15.8 ★★★.** ([Intégrales](#thm-b1-integration-def) de Wallis) Soit $W_n = \int_0^{\pi/2} \sin^n t\,\dd t$. 1. Démontrer la relation de récurrence $n W_n = (n-1) W_{n-2}$ ( $n \geq 2$ ) par parties, et calculer $W_0, W_1$ , puis $W_{2p}$ et $W_{2p+1}$ sous forme close. 2. Démontrer que $(W_n)$ est décroissante avec $\frac{W_{n+1}}{W_n} \to 1$ ; démontrer que la quantité $(n+1)\,W_{n+1} W_n$ est constante, égale à $\frac\pi2$ ; et en déduire l’équivalent $W_n \sim \sqrt{\dfrac{\pi}{2n}}$ . **Solution de Exercice 15.8.** 1. Par parties avec $u' = \sin t$, $v = \sin^{n-1} t$ : $$W_n = \bigl[-\cos t\sin^{n-1}t\bigr]_0^{\pi/2} + (n-1)\int_0^{\pi/2} \cos^2 t\,\sin^{n-2} t\,\dd t = (n-1)(W_{n-2} - W_n),$$ donc $nW_n = (n-1)W_{n-2}$. À partir de $W_0 = \frac\pi2$, $W_1 = 1$ : $$W_{2p} = \frac{(2p-1)(2p-3)\cdots 1}{(2p)(2p-2)\cdots 2}\, \frac{\pi}{2} = \frac{(2p)!}{4^p (p!)^2}\,\frac\pi2, \qquad W_{2p+1} = \frac{(2p)(2p-2)\cdots 2}{(2p+1)(2p-1)\cdots 3} = \frac{4^p (p!)^2}{(2p+1)!} .$$ 2. Sur $\intoo{0}{\frac\pi2}$, $0 < \sin t < 1$, donc $\sin^{n+1} < \sin^n$ et $(W_n)$ est (strictement) décroissante, positive. Encadrement à l’aide de la récurrence : $$\frac{n}{n+1} = \frac{W_{n+1}}{W_{n-1}} \leq \frac{W_{n+1}}{W_n} \leq 1 \quad\implies\quad \frac{W_{n+1}}{W_n} \to 1 .$$ Invariant : $a_n = (n+1)W_{n+1}W_n$ vérifie $a_n = a_{n-1}$ par la récurrence $(n+1)W_{n+1} = nW_{n-1}$, donc $a_n = a_0 = 1 \cdot W_1 W_0 = \frac\pi2$. Alors $$n W_n^2 \sim (n+1) W_{n+1} W_n = \frac\pi2 \quad\implies\quad W_n \sim \sqrt{\frac{\pi}{2n}} .$$ **Exercice 15.9 ★★★.** (Niven : $\pi$ est irrationnel) Supposons $\pi = \frac ab$ avec $a, b \in \N^*$, et posons, pour $n$ à choisir, $$ P(x) = \frac{x^n (a - bx)^n}{n!}, \qquad I_n = \int_0^{\pi} P(x)\sin x\, \dd x . $$ 1. Démontrer que $0 < I_n \leq \pi\,\frac{(\pi a)^n}{n!}$ , qui est $< 1$ pour $n$ grand. 2. Démontrer que $P$ et toutes ses [dérivées](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/14-derivation#def-b1-derivative-def) prennent des valeurs *entières* en $0$ et en $\pi = \frac ab$ . *(Développement du binôme : les coefficients de $P$ multipliés par $k!$ sont entiers pour $k \geq n$ ; et $P(\pi - x) = P(x)$.)* 3. Poser $Q = P - P'' + P^{(4)} - \dots$ (somme finie). Vérifier que $\bigl(Q'\sin x - Q\cos x\bigr)' = P \sin x$ , et en déduire que $I_n = Q(\pi) + Q(0)$ est un entier. 4. Conclure. **Solution de Exercice 15.9.** 1. Sur $\intoo{0}{\pi}$ : $x > 0$ , $a - bx = b(\frac ab - x) = b(\pi - x) > 0$ et $\sin x > 0$ , donc l’intégrande est $> 0$ et $I_n > 0$ (positivité stricte). Majoration : sur $\intcc{0}{\pi}$ , $x \leq \pi$ et $a - bx \leq a$ , donc $P \leq \frac{\pi^n a^n}{n!}$ et $I_n \leq \pi\,\frac{(\pi a)^n}{n!}$ , qui tend vers $0$ (la factorielle l’emporte sur le terme géométrique : c’est le terme général de la série exponentielle convergente, cf. [Exemple 11.12](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/11-suites#ex-b1-seq-e) ) ; en particulier $I_n < 1$ pour $n$ grand. 2. Développons $x^n(a - bx)^n = \sum_{j=0}^{n} \binom nj a^{n-j} (-b)^j x^{n+j}$ : donc $P = \frac{1}{n!}\sum_j c_j x^{n+j}$ avec des $c_j$ entiers. Alors $P^{(k)}(0) = 0$ pour $k < n$ (valuation) et, pour $n \leq k \leq 2n$ , $P^{(k)}(0) = \frac{k!}{n!} c_{k-n}$ , entier puisque $n! \mid k!$ . De plus $P(\pi - x) = P(x)$ (par substitution : $\pi - x$ échange les facteurs, en utilisant $a - b(\pi - x) = bx$ ), donc $P^{(k)}(\pi) = \pm P^{(k)}(0)$ : entiers eux aussi. 3. Avec $Q = P - P'' + P^{(4)} - \dots$ (somme finie : $P$ est de degré $2n$) : $Q + Q'' = P$, et $$\bigl(Q'\sin x - Q\cos x\bigr)' = (Q + Q'')\sin x = P\sin x .$$ D’où $I_n = \bigl[Q'\sin x - Q\cos x\bigr]_0^{\pi} = Q(\pi) + Q(0)$, somme de valeurs $P^{(2k)}$ en $0$ et en $\pi$ : un entier d’après (2). 4. Pour $n$ grand, $I_n$ est un entier avec $0 < I_n < 1$ : impossible. L’hypothèse $\pi = \frac ab$ tombe : $\pi$ est irrationnel. **Exercice 15.10 ★★★.** Soit $f$ de classe $C^1$ sur $\intcc{a}{b}$. Démontrer la limite de type Riemann–Lebesgue $$ \int_a^b f(t)\sin(\lambda t)\,\dd t \xrightarrow[\lambda \to +\infty]{} 0 $$ en intégrant par parties. Puis la démontrer à nouveau pour $f$ seulement [continue](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#def-b1-continuity-continuous), par approximation uniforme par des [fonctions en escalier](#def-b1-integration-step) ([Théorème 15.3](#thm-b1-integration-approx)). **Solution de Exercice 15.10.** Cas $C^1$ : par parties, $$ \int_a^b f(t)\sin\lambda t\,\dd t = \Bigl[-f(t)\frac{\cos\lambda t}{\lambda}\Bigr]_a^b + \frac{1}{\lambda}\int_a^b f'(t)\cos\lambda t\,\dd t, $$ majorée en valeur absolue par $\frac{2\sup\abs f + (b - a)\sup\abs{f'}} {\lambda} \to 0$. Cas [continu](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#def-b1-continuity-continuous) : soit $\varepsilon > 0$ et choisissons une [fonction en escalier](#def-b1-integration-step) $\varphi$ telle que $\abs{f - \varphi} \leq \varepsilon$ (le [Théorème 15.3](#thm-b1-integration-approx) fournit $\varphi \leq f \leq \psi$ d’écart $\leq\varepsilon$ ; on prend $\varphi$). Alors $$ \Bigl|\int_a^b f\sin\lambda t\Bigr| \leq \int_a^b \abs{f - \varphi} + \Bigl|\int_a^b \varphi \sin\lambda t\Bigr| \leq (b-a)\varepsilon + \sum_i \abs{c_i}\,\Bigl|\int_{x_{i-1}}^{x_i} \sin\lambda t\,\dd t\Bigr| , $$ et chaque $\bigl|\int \sin \lambda t\bigr| = \bigl|\frac{\cos\lambda x_{i-1} - \cos\lambda x_i}{\lambda}\bigr| \leq \frac{2}{\lambda}$ : le second terme tend vers $0$. Donc la limite supérieure est $\leq (b-a)\varepsilon$ pour tout $\varepsilon$ : la limite est $0$. **Exercice 15.11 ★★.** (Formule de la moyenne) Soient $f, g$ [continues](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#def-b1-continuity-continuous) sur $\intcc{a}{b}$ avec $g \geq 0$. Démontrer qu’il existe $c \in \intcc{a}{b}$ tel que $$ \int_a^b f(t)\,g(t)\,\dd t = f(c)\int_a^b g(t)\,\dd t , $$ et montrer par un exemple que l’hypothèse $g \geq 0$ ne peut pas être supprimée. **Solution de Exercice 15.11.** Posons $m = \min f$ et $M = \max f$, atteints par le [théorème des bornes atteintes](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#thm-b1-continuity-evt). Comme $g \geq 0$ : $m\,g \leq fg \leq M\,g$, donc par croissance $$ m \int_a^b g \;\leq\; \int_a^b fg \;\leq\; M \int_a^b g . $$ Si $\int_a^b g = 0$ : la positivité stricte ([Théorème 15.7](#thm-b1-integration-props) (4)) force $g \equiv 0$, les deux membres sont nuls, et n’importe quel $c$ convient. Sinon $t = \frac{\int fg}{\int g}$ appartient à $\intcc{m}{M} = f(\intcc{a}{b})$ (Théorèmes [13.13](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#thm-b1-continuity-evt) et [13.10](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#thm-b1-continuity-ivt)), donc $t = f(c)$ pour un certain $c$. Le signe compte : sur $\intcc{-1}{1}$ avec $f(t) = g(t) = t$ : $\int fg = \int_{-1}^1 t^2 = \frac23$, alors que $f(c)\int_{-1}^1 t\,\dd t = 0$ pour tout $c$. **Exercice 15.12 ★★★.** (Les moments forcent des zéros) Soit $f$ [continue](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#def-b1-continuity-continuous) sur $\intcc{a}{b}$ avec $$ \int_a^b f(t)\,t^k\,\dd t = 0 \qquad \text{pour } k = 0, 1, \dots, n . $$ Démontrer que $f$ s’annule en $n + 1$ points distincts de $\intoo{a}{b}$. *(Si $f$ ne change de signe qu’en $z_1 < \dots < z_m$ avec $m \leq n$, intégrer $f$ contre $P(t) = (t - z_1) \cdots (t - z_m)$ et utiliser la positivité stricte.)* **Solution de Exercice 15.12.** Si $f \equiv 0$, l’énoncé est vide (tout point est un zéro). Supposons donc $f \not\equiv 0$ et supposons qu’elle ait au plus $n$ zéros distincts dans $\intoo{a}{b}$ ; soient $z_1 < \dots < z_m$ ($m \leq n$) ceux de ces zéros où $f$ *change de signe* (éventuellement aucun). Posons $P(t) = \prod_{i=1}^{m}(t - z_i)$ (produit vide $= 1$), de degré $m \leq n$. Sur chaque [sous-intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) découpé par les $z_i$, $f$ et $P$ ont chacune un signe constant, et toutes deux changent de signe à la traversée d’un $z_i$ : le produit $fP$ a un seul signe constant sur tout $\intoo{a}{b}$. Étant [continue](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#def-b1-continuity-continuous), non identiquement nulle, de signe constant, elle vérifie $\bigl|\int_a^b fP\bigr| > 0$ (positivité stricte appliquée à $\abs{fP}$). Mais $\int f P$ est une combinaison linéaire des moments $\int f\,t^k$, $k \leq n$, tous nuls : contradiction. Donc $f$ a au moins $n + 1$ zéros distincts dans $\intoo{a}{b}$. **Remarque 15.24 (Perspectives à l’intérieur de ce volume).** Trois chapitres à venir s’appuient directement sur celui-ci. Le [Chapitre 16](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/16-formules-de-taylor-et-developpements-limites#ch-b1-taylor) porte le reste intégral — la plus fine des trois formules de Taylor est une [intégration par parties](#thm-b1-integration-parts) itérée $n$ fois. Le [Chapitre 17](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/17-series-numeriques#ch-b1-series) convertit l’encadrement des sommes par des [intégrales](#thm-b1-integration-def) en le critère décisif pour $\sum n^{-\alpha}$, et son devoir maison affine cet encadrement en la constante d’Euler. Le [Chapitre 24](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/24-courbes-planes#ch-b1-curves) rend l’[intégrale](#thm-b1-integration-def) géométrique : la longueur d’un arc paramétré est $\int \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}\,\dd t$, [intégrale](#thm-b1-integration-def) d’une fonction [continue](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#def-b1-continuity-continuous) sur un segment — précisément l’objet construit ici, sans aucune théorie des [intégrales](#thm-b1-integration-def) impropres. Le fait le plus réutilisé sera le plus humble : $\bigl|\int f\bigr| \leq (b - a)\sup\abs{f}$, l’inégalité qui transforme toute estimation ponctuelle en estimation [intégrale](#thm-b1-integration-def). ## 15.6 Problème : la machine à irrationalité par les intégrales **Problème 15.1.** Devoir maison — $\eu$ et $\pi^2$ sont irrationnels, $\eu$ à six décimales, et $\frac{22}{7} > \pi$ avec démonstration Un seul mécanisme alimente tout ce problème : *une expression qui doit être un entier strictement positif, tout en étant démontrablement plus petite que $1$, ne peut pas exister*. L’[Exercice 15.9](#exo-b1-integration-9) (Niven) l’a fait tourner une fois pour démontrer $\pi \notin \Q$ ; ici, nous l’industrialisons. La machine a besoin de trois pièces : une entrée d’*intégralité* (les valeurs aux bornes de [polynômes](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) bien choisis), une entrée de *petitesse* (un facteur $\frac{1}{n!}$ qui écrase l’[intégrale](#thm-b1-integration-def)), et un *pont* (l’[intégration par parties](#thm-b1-integration-parts)) qui les relie. Nous démontrons que $\eu$ est irrationnel et le calculons avec une erreur certifiée, démontrons le théorème plus fin de Legendre selon lequel $\pi^2$ est irrationnel, et terminons par la plus charmante [intégrale](#thm-b1-integration-def) de l’analyse : $\int_0^1 \frac{x^4(1 - x)^4}{1 + x^2}\dd x = \frac{22}{7} - \pi$, qui encadre $\pi$ à la main. **Partie I — le carburant.** 1. Démontrer que $\dfrac{c^{\,n}}{n!} \to 0$ pour tout $c > 0$ fixé *(au-delà de $n \geq 2c$, chaque étape [divise](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/6-arithmetique-des-entiers#def-b1-arith-divides) le terme au moins par deux)* . 2. ([Intégrales](#thm-b1-integration-def) bêta) Démontrer, par récurrence sur $m$ avec une [intégration par parties](#thm-b1-integration-parts) : $$\int_0^1 x^{\,k}\,(1 - x)^{\,m}\,\dd x = \frac{k!\,m!}{(k + m + 1)!} \qquad (k, m \in \N).$$ 3. En déduire $\displaystyle\int_0^1 \bigl(x(1-x)\bigr)^n \dd x = \frac{1}{(2n+1)\binom{2n}{n}}$ , et — en comparant avec la majoration $x(1 - x) \leq \frac14$ — l’estimation $\binom{2n}{n} \geq \dfrac{4^n}{2n+1}$ , en accord avec $\binom{2n}{n}^{1/n} \to 4$ du [Problème 11.1](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/11-suites#pb-b1-seq-1) . 4. Démontrer le lemme de petitesse utilisé deux fois ci-dessous : pour toute fonction [continue](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#def-b1-continuity-continuous) $g > 0$ sur $\intoo{0}{1}$, $$0 < \int_0^1 \bigl(x(1-x)\bigr)^n g(x)\,\dd x \leq \frac{\sup_{\intcc{0}{1}}\abs g}{4^{\,n}} .$$ **Partie II — $\eu$ : irrationalité, puis six décimales.** Posons $A_n = \displaystyle\int_0^1 x^n \eu^x \dd x$. 5. Calculer $A_0$ et $A_1$ , démontrer la relation de récurrence $A_n = \eu - n A_{n-1}$ , et l’encadrement $0 < A_n \leq \dfrac{\eu}{n+1}$ . 6. Montrer par récurrence que $A_n = \alpha_n + \beta_n \eu$ avec $\alpha_n, \beta_n \in \Z$ . 7. En déduire que $\eu$ est irrationnel *(si $\eu = \frac pq$, alors $q A_n$ est un entier piégé dans $\intoo{0}{1}$ pour $n$ grand)* . Comparer avec la démonstration de l’ [Exercice 11.9](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/11-suites#exo-b1-seq-9) : même chute, carburant différent. 8. Démontrer, par récurrence et [intégration par parties](#thm-b1-integration-parts), la formule exacte du reste $$\eu = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} + R_n, \qquad R_n = \frac{1}{n!}\int_0^1 (1 - t)^n\,\eu^{\,t}\,\dd t, \qquad \frac{1}{(n+1)!} \leq R_n \leq \frac{\eu}{(n+1)!} .$$ 9. Prendre $n = 9$ : majorer $R_9$ à l’aide de $\eu < 2.75$ (issu de $b_2 = 2.75$ dans l’ [Exemple 11.12](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/11-suites#ex-b1-seq-e) ), évaluer la somme, et conclure l’encadrement certifié $2.7182818 \leq \eu \leq 2.7182823$ — six décimales, $\eu \approx 2.718282$ , avec démonstration. **Partie III — le théorème de Legendre : $\pi^2$ est irrationnel.** Soit $f(x) = \dfrac{x^n (1 - x)^n}{n!}$, et supposons $\pi^2 = \frac ab$ avec $a, b \in \N^*$. 10. Montrer que $f(1 - x) = f(x)$ et $0 < f \leq \dfrac{1}{4^n\,n!}$ sur $\intoo{0}{1}$ . 11. Montrer que $f^{(k)}(0)$ et $f^{(k)}(1)$ sont des entiers pour tout $k \geq 0$ *(développer $x^n(1-x)^n$ à coefficients entiers ; $\frac{k!}{n!} \in \Z$ pour $k \geq n$ ; puis utiliser la symétrie)* . 12. Définir $$G = b^{\,n} \sum_{k=0}^{n} (-1)^k\, \pi^{2n - 2k} f^{(2k)} .$$ Montrer que $G(0)$ et $G(1)$ sont des entiers *(chaque $b^n \pi^{2n-2k} = a^{\,n-k}\,b^{\,k}$)*. 13. Vérifier le télescopage $G'' + \pi^2 G = b^n \pi^{2n+2} f = \pi^2 a^n f$, puis $$\frac{\dd}{\dd x}\Bigl(G'(x)\sin \pi x - \pi\,G(x)\cos \pi x\Bigr) = \pi^2 a^n f(x)\sin \pi x .$$ 14. Intégrer sur $\intcc{0}{1}$ et conclure $$\pi\,a^n \int_0^1 f(x)\sin(\pi x)\,\dd x = G(0) + G(1) \in \Z ,$$ un entier *strictement positif* majoré par $\dfrac{\pi a^n}{4^n\,n!}$. 15. Conclure avec la question 1 que $\pi^2$ est irrationnel (Legendre, 1794), et que cela renforce l’ [Exercice 15.9](#exo-b1-integration-9) : pourquoi l’irrationalité de $\pi^2$ implique-t-elle celle de $\pi$ , et non l’inverse ? **Partie IV — comprendre la machine.** 16. Repérer les deux forces opposées (l’intégralité des données aux bornes ; la petitesse analytique de l’ [intégrale](#thm-b1-integration-def) ) et le pont, dans les parties II et III. Expliquer ensuite pourquoi le facteur $\frac{1}{n!}$ dans $f$ est le nœud de l’affaire : si on le retire, l’intégralité subsiste, mais quelle inégalité meurt, et pour quelles fractions $\frac ab$ prétendues la démonstration échoue-t-elle alors ? 17. Effectivité : supposons que quelqu’un prétende $\pi^2 = \frac ab$ avec $a \leq 10$ . Montrer que la contradiction tombe déjà à $n = 7$ : calculer $\pi\,(10/4)^7/7! \approx 0.38 < 1$ . La machine ne se contente pas de réfuter ; elle réfute à un rang fixé et calculable. 18. Vérifier le pont sans aucune hypothèse : démontrer par deux [intégrations par parties](#thm-b1-integration-parts) que $$\int_0^1 x(1 - x)\sin(\pi x)\,\dd x = \frac{4}{\pi^3},$$ et recoller avec la question 14 pour $n = 1$ (garder $\pi^2$ symbolique : l’identité télescopée s’écrit $\pi^3 \int_0^1 f_1 \sin \pi x = -(f_1''(0) + f_1''(1)) = 4$). 19. Qu’est-ce qui rend $\eu^x$ et $\sin \pi x$ éligibles comme noyaux de la machine ? Identifier la propriété (chacun vérifie une équation différentielle linéaire à coefficients constants, de sorte que les [intégrations par parties](#thm-b1-integration-parts) répétées bouclent sur le point de départ), et nommer la [frontière](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-closure) : la même machine, affinée par Hermite et Lindemann, démontre que $\eu$ et $\pi$ sont *[transcendants](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#pb-b1-logic-1)* — au-delà de ce volume. **Partie V — $\frac{22}{7}$ contre $\pi$, et la morale.** 20. Établir la division polynomiale $$\frac{x^4(1-x)^4}{1 + x^2} = x^6 - 4x^5 + 5x^4 - 4x^2 + 4 - \frac{4}{1 + x^2},$$ et en déduire la célèbre identité $$\int_0^1 \frac{x^4 (1-x)^4}{1 + x^2}\,\dd x = \frac{22}{7} - \pi .$$ 21. L’intégrande est positive : en conclure $\pi < \frac{22}{7}$. Puis, en encadrant $\frac{1}{1+x^2}$ entre $\frac12$ et $1$ et en utilisant $\int_0^1 (x(1-x))^4 = \frac{1}{630}$ (question 3), démontrer $$\frac{22}{7} - \frac{1}{630} \;\leq\; \pi \;\leq\; \frac{22}{7} - \frac{1}{1260} ,$$ c’est-à-dire $3.14126 \leq \pi \leq 3.14207$ : deux décimales exactes, à la main. 22. Généraliser : en divisant $x^{4m}(1-x)^{4m}$ par $1 + x^2$, montrer que le reste est la constante $(-4)^m$ *(travailler modulo $x^2 + 1$ : $(1-x)^2 \equiv -2x$)*, en déduire des rationnels $r_m$ tels que $$\abs{\pi - r_m} \leq 4^{\,1 - 5m} ,$$ et vérifier que $m = 1$ redonne les questions 20–21. 23. Confronter ces rationnels à la théorie de l’approximation du [Problème 14.1](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/14-derivation#pb-b1-derivative-1) : calculer $\abs{\pi - \frac{22}{7}} \approx 1.26\cdot10^{-3}$ face à la garantie de Dirichlet $\frac{1}{49}$ , et citer $\abs{\pi - \frac{355}{113}} \approx 2.7\cdot10^{-7}$ face à $\frac{1}{113^2} \approx 7.8\cdot10^{-5}$ : il existe des approximations rationnelles exceptionnellement bonnes de $\pi$ — ce qui est cohérent, puisqu’on ne sait pas que $\pi$ soit mal approchable. 24. (Le piège de l’entier, en abstrait) Démontrer le lemme qui unifie tout : *si $x \in \R$ et s’il existe des entiers $a_n, b_n$ tels que $0 < \abs{a_n + b_n x} \to 0$, alors $x$ est irrationnel.* Recenser ses occurrences dans ce problème, dans l’ [Exercice 15.9](#exo-b1-integration-9) , dans l’ [Exercice 11.9](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/11-suites#exo-b1-seq-9) , et dans le [Problème 14.1](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/14-derivation#pb-b1-derivative-1) . 25. Synthèse, une phrase pour chacun : (i) les trois pièces de la machine et l’endroit où chacune vit dans la boîte à outils de ce chapitre ; (ii) ce que l’ [intégrale](#thm-b1-integration-def) apporte que le [théorème des accroissements finis](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/14-derivation#thm-b1-derivative-mvt) du [Problème 14.1](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/14-derivation#pb-b1-derivative-1) ne pouvait pas apporter ; (iii) l’inventaire des résultats extraits (deux irrationalités, une constante à six décimales, un encadrement de $\pi$ , une minoration binomiale) ; (iv) la [frontière](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-closure) (Hermite, Lindemann ; et le même piège, appliqué à $\zeta(2)$ et $\zeta(3)$ , dans l’arithmétique du vingtième siècle). **Solution de Problème 15.1.** **1.** Posons $N = \lceil 2c \rceil$. Pour $n \geq N$ : $\frac{c^{n+1}/(n+1)!}{c^n/n!} = \frac{c}{n+1} \leq \frac12$, donc $0 < \frac{c^n}{n!} \leq \frac{c^N}{N!}\,2^{-(n - N)} \to 0$ : théorème des gendarmes. **2.** Fixons $k$ ; récurrence sur $m$. Pour $m = 0$ : $\int_0^1 x^k = \frac{1}{k+1} = \frac{k!\,0!}{(k+1)!}$. Hérédité, par parties ($u = (1-x)^m$, $v' = x^k$) : $$ \int_0^1 x^k (1-x)^m \dd x = \Bigl[\frac{x^{k+1}}{k+1}(1-x)^m\Bigr]_0^1 + \frac{m}{k+1}\int_0^1 x^{k+1}(1-x)^{m-1}\dd x = \frac{m}{k+1}\cdot\frac{(k+1)!\,(m-1)!}{(k+m+1)!} , $$ qui vaut $\frac{k!\,m!}{(k+m+1)!}$. **3.** $k = m = n$ : $\int_0^1 (x(1-x))^n = \frac{(n!)^2}{(2n+1)!} = \frac{1}{(2n+1)\binom{2n}{n}}$. Comme $x(1-x) \leq \frac14$ sur $\intcc{0}{1}$, l’[intégrale](#thm-b1-integration-def) est $\leq 4^{-n}$, d’où $\binom{2n}{n} \geq \frac{4^n}{2n+1}$ — en accord avec $\binom{2n}{n}^{1/n} \to 4$ ([Problème 11.1](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/11-suites#pb-b1-seq-1)). **4.** L’intégrande est [continue](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#def-b1-continuity-continuous), $\geq 0$, et strictement positive sur $\intoo{0}{1}$, donc non identiquement nulle : son [intégrale](#thm-b1-integration-def) est $> 0$ ([Théorème 15.7](#thm-b1-integration-props) (4)). Majoration : $(x(1-x))^n \leq 4^{-n}$ et $g \leq \sup\abs g$, puis croissance. **5.** $A_0 = \eu - 1$ ; $A_1 = [x\eu^x]_0^1 - \int_0^1 \eu^x = \eu - (\eu - 1) = 1$. Par parties : $A_n = [x^n \eu^x]_0^1 - n\int_0^1 x^{n-1}\eu^x = \eu - n A_{n-1}$. Encadrement : l’intégrande est positive, donc $A_n > 0$ ; et $\eu^x \leq \eu$ donne $A_n \leq \eu\int_0^1 x^n = \frac{\eu}{n+1}$. **6.** $A_0 = -1 + 1\cdot\eu$. Si $A_{n-1} = \alpha_{n-1} + \beta_{n-1}\eu$ avec des coefficients entiers, alors $$ A_n = \eu - n\alpha_{n-1} - n\beta_{n-1}\eu = \underbrace{(-n\,\alpha_{n-1})}_{\alpha_n} + \underbrace{(1 - n\,\beta_{n-1})}_{\beta_n}\,\eu , $$ tous deux entiers. **7.** Si $\eu = \frac pq$ : $q A_n = q\alpha_n + p\beta_n \in \Z$, et $0 < qA_n \leq \frac{q\eu}{n+1} < 1$ pour $n$ grand : un entier strictement compris entre $0$ et $1$ — impossible. Donc $\eu \notin \Q$. Dans l’[Exercice 11.9](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/11-suites#exo-b1-seq-9), l’entier piégé était $q!\,\frac pq - q!\,a_q$ ; ici c’est $qA_n$ : même piège, carburant intégral. **8.** $n = 0$ : $R_0 = \int_0^1 \eu^t = \eu - 1$, donc $\eu = 1 + R_0$. Par parties ($u = \eu^t$, $v = -\frac{(1-t)^{n+1}}{n+1}$) : $$ R_n = \frac{1}{n!}\Bigl(\Bigl[-\frac{(1-t)^{n+1}}{n+1} \eu^t\Bigr]_0^1 + \frac{1}{n+1}\int_0^1 (1-t)^{n+1}\eu^t\Bigr) = \frac{1}{(n+1)!} + R_{n+1} , $$ donc la formule se propage de $n$ à $n + 1$. Encadrement : $1 \leq \eu^t \leq \eu$ sur $\intcc{0}{1}$ et $\int_0^1 (1-t)^n = \frac{1}{n+1}$ donnent $\frac{1}{(n+1)!} \leq R_n \leq \frac{\eu}{(n+1)!}$. **9.** $\sum_{k=0}^{9} \frac{1}{k!} = \frac{986410}{362880} = 2.71828152\dots$, et $$ \frac{1}{10!} = 2.76\cdot10^{-7} \leq R_9 \leq \frac{2.75}{10!} = 7.58\cdot10^{-7} , $$ donc $2.7182818 \leq \eu \leq 2.7182823$ : avec démonstration, $\eu = 2.718282$ à six décimales (valeur exacte $2.7182818\dots$). **10.** $f(1 - x) = \frac{(1-x)^n x^n}{n!} = f(x)$. Sur $\intoo{0}{1}$ : $0 < x(1-x) \leq \frac14$, donc $0 < f \leq \frac{1}{4^n\,n!}$. **11.** $x^n(1-x)^n = \sum_{j=0}^{n} (-1)^j\binom nj\,x^{n+j}$, donc $f = \frac{1}{n!}\sum_j c_j\,x^{n+j}$ avec $c_j \in \Z$. D’où $f^{(k)}(0) = 0$ pour $k < n$ ou $k > 2n$, et pour $n \leq k \leq 2n$ : $f^{(k)}(0) = \frac{k!}{n!}\, c_{k-n}$, entier car $n! \mid k!$. La symétrie donne $f^{(k)}(1) = (-1)^k f^{(k)}(0) \in \Z$. **12.** $b^n \pi^{2n-2k} = b^n\bigl(\frac ab\bigr)^{\,n-k} = a^{\,n-k}\,b^{\,k} \in \Z$, donc $G(0) = \sum_k (-1)^k a^{n-k} b^k f^{(2k)}(0)$ et de même $G(1)$ sont des entiers d’après la question 11. **13.** Dans $\pi^2 G + G''$, le terme $k$ de $\pi^2 G$ porte $\pi^{2n-2k+2}f^{(2k)}$ et le terme $j = k - 1$ de $G''$ porte $(-1)^{k-1}\pi^{2n-2k+2}f^{(2k)}$ : tout se compense sauf $k = 0$ dans la première somme et $j = n$ dans la seconde, c’est-à-dire $$ G'' + \pi^2 G = b^n\bigl(\pi^{2n+2} f + (-1)^n f^{(2n+2)}\bigr) = b^n \pi^{2n+2} f = \pi^2 a^n f $$ ($f$ est de degré $2n$, donc $f^{(2n+2)} = 0$ ; et $b^n\pi^{2n} = a^n$). Alors $$ \bigl(G'\sin\pi x - \pi G\cos\pi x\bigr)' = (G'' + \pi^2 G)\sin \pi x = \pi^2 a^n f\sin\pi x . $$ **14.** En intégrant sur $\intcc{0}{1}$ : $$ \pi^2 a^n \int_0^1 f\sin(\pi x)\,\dd x = \bigl[G'\sin\pi x - \pi G\cos\pi x\bigr]_0^1 = \pi\bigl(G(1) + G(0)\bigr) , $$ donc $\pi a^n \int_0^1 f\sin\pi x = G(0) + G(1) \in \Z$. Sur $\intoo{0}{1}$, $f > 0$ et $\sin\pi x > 0$ : le membre de gauche est strictement positif, donc $G(0) + G(1) \geq 1$ ; et $\sin \leq 1$ joint à la question 10 le majore par $\frac{\pi a^n}{4^n\,n!}$. **15.** D’après la question 1 (avec $c = \frac a4$), $\frac{\pi a^n}{4^n n!} \to 0$ : pour $n$ grand il est $< 1$, ce qui contredit $G(0) + G(1) \geq 1$. Donc aucune fraction $\frac ab$ n’est égale à $\pi^2$ : c’est le théorème de Legendre. Si $\pi$ était rationnel, $\pi^2$ le serait aussi : donc $\pi \notin \Q$ — et l’implication ne va que dans ce sens ($\sqrt2$ est irrationnel de carré rationnel), ce qui explique que $\pi^2 \notin \Q$ soit strictement plus fort que l’[Exercice 15.9](#exo-b1-integration-9). **16.** Intégralité : questions 11–12 (les [dérivées](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/14-derivation#def-b1-derivative-def) aux bornes) ; petitesse : questions 10 et 1 ; pont : questions 13–14 (la double [intégration par parties](#thm-b1-integration-parts) télescopée). Sans $\frac{1}{n!}$, les données aux bornes restent entières (encore plus facilement), mais la majoration devient $\frac{\pi a^n}{4^n}$, qui ne tend vers $0$ que si $a < 4$ — or tout candidat vérifie $a = b\,\pi^2 > 9$. La factorielle est exactement ce qui distance la croissance géométrique $a^n$ : pas de factorielle, pas de théorème. **17.** Pour $a \leq 10$, l’entier $G(0) + G(1)$ est strictement positif et au plus $\pi\,(10/4)^n/n!$. Pour $n = 7$ : $2.5^7 = 610.35\dots$, donc la majoration vaut $\frac{\pi \times 610.35}{5040} \approx 0.38 < 1$ (pour $n = 6$ elle vaut encore $1.07$) : la contradiction tombe au septième rang, explicitement. **18.** Deux [intégrations par parties](#thm-b1-integration-parts) : $$ \int_0^1 x(1-x)\sin\pi x\,\dd x = \frac1\pi\int_0^1 (1 - 2x)\cos\pi x\,\dd x = \frac{2}{\pi^2}\int_0^1 \sin\pi x\,\dd x = \frac{2}{\pi^2}\cdot\frac{2}{\pi} = \frac{4}{\pi^3} $$ (les crochets s’annulent : $x(1-x)$ en $0$ et $1$, et $\sin\pi x$ en $0$ et $1$). Symboliquement, le télescopage pour $n = 1$ (sans aucune hypothèse sur $\pi$) s’écrit $\pi^3\int_0^1 f_1\sin\pi x = -(f_1''(0) + f_1''(1))$ avec $f_1 = x(1 - x)$, $f_1'' = -2$ : le membre de droite vaut $4$ — les deux calculs concordent. **19.** $\eu^x$ est solution de $y' = y$ et $\sin\pi x$ de $y'' = -\pi^2 y$ : des équations linéaires à coefficients constants, de sorte que l’[intégration par parties](#thm-b1-integration-parts) ramène le noyau sur lui-même et maintient toutes les données au bord dans $\Z + \Z\eu$ (resp. les [polynômes](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) à coefficients entiers en $\pi^2$). C’est cette propriété de clôture dont la machine a besoin. Affiné avec des noyaux adaptés à plusieurs points à la fois, le même mécanisme donne le théorème d’Hermite ($\eu$ [transcendant](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#pb-b1-logic-1), 1873) et celui de Lindemann ($\pi$ [transcendant](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#pb-b1-logic-1), 1882) — au-delà de ce volume. **20.** Division polynomiale (ou bien on remultiplie et on vérifie) : $$ x^4(1-x)^4 = (x^6 - 4x^5 + 5x^4 - 4x^2 + 4)(1 + x^2) - 4 . $$ En intégrant l’identité affichée divisée par $1 + x^2$ : $$ \int_0^1 \frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}\dd x = \Bigl(\frac17 - \frac46 + 1 - \frac43 + 4\Bigr) - 4\arctan 1 = \frac{22}{7} - \pi , $$ en utilisant $\frac17 - \frac23 + 1 - \frac43 + 4 = 3 + \frac17$ et $\arctan 1 = \frac\pi4$. **21.** L’intégrande est [continue](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#def-b1-continuity-continuous), strictement positive sur $\intoo{0}{1}$ : l’[intégrale](#thm-b1-integration-def) est $> 0$, donc $\pi < \frac{22}{7}$. De plus $\frac12 \leq \frac{1}{1+x^2} \leq 1$ sur $\intcc{0}{1}$ et $\int_0^1 (x(1-x))^4 = \frac{(4!)^2}{9!} = \frac{1}{630}$ (question 3) : $$ \frac{1}{1260} \leq \frac{22}{7} - \pi \leq \frac{1}{630} \quad\Longrightarrow\quad 3.14126 < \frac{22}{7} - \frac{1}{630} \leq \pi \leq \frac{22}{7} - \frac{1}{1260} < 3.14207 . $$ **22.** Modulo $x^2 + 1$ : $x^2 \equiv -1$, donc $x^{4m} = (x^2)^{2m} \equiv 1$ et $(1 - x)^2 = 1 - 2x + x^2 \equiv -2x$, d’où $(1-x)^{4m} \equiv (-2x)^{2m} = 4^m (x^2)^m \equiv (-4)^m$ : le reste est la constante $(-4)^m$, et le quotient $Q_m$ est à coefficients entiers (division par un [polynôme unitaire](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) à coefficients entiers). En divisant l’identité par $1 + x^2$ et en intégrant : $$ J_m := \int_0^1 \frac{(x(1-x))^{4m}}{1+x^2}\dd x = s_m + (-4)^m\,\frac{\pi}{4}, \qquad s_m = \int_0^1 Q_m \in \Q . $$ En résolvant en $\pi$ : avec $r_m = (-1)^{m+1}\,4^{\,1-m} s_m \in \Q$, $\;\abs{\pi - r_m} = 4^{\,1-m} J_m \leq 4^{\,1-m}\cdot4^{-4m} = 4^{\,1-5m}$. Pour $m = 1$ : $s_1 = \frac{22}{7}$, $r_1 = \frac{22}{7}$, majoration $4^{-4} = \frac{1}{256}$ — les questions 20–21 à nouveau. **23.** $\bigl|\pi - \frac{22}{7}\bigr| = \frac{22}{7} - \pi \approx 1.26\cdot10^{-3}$, seize fois mieux que la référence d’ordre $2$, $\frac{1}{7^2} \approx 2.0\cdot10^{-2}$, garantie par Dirichlet ([Problème 14.1](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/14-derivation#pb-b1-derivative-1), question 4) ; et $\bigl|\pi - \frac{355}{113}\bigr| \approx 2.7\cdot10^{-7}$ bat $\frac{1}{113^2} \approx 7.8\cdot10^{-5}$ d’un facteur $\approx 300$. Aucune contradiction avec ce qui a été démontré : les [inégalités de Liouville](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/14-derivation#pb-b1-derivative-1) *minorent* les erreurs d’approximation seulement pour les [nombres algébriques](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#pb-b1-logic-1), et aucune minoration de ce type n’est disponible pour $\pi$ à ce niveau — $\pi$ est libre d’être approché de façon spectaculaire. **24.** Lemme : supposons $x = \frac pq$ et $0 < \abs{a_n + b_n x} \to 0$. Alors $\abs{a_n + b_n x} = \frac{\abs{q a_n + p b_n}}{q}$, avec $q a_n + p b_n$ entier non nul (non nul parce que la valeur absolue est $> 0$) : donc $\abs{a_n + b_n x} \geq \frac1q$ pour tout $n$, ce qui contredit la convergence vers $0$. Occurrences : la question 7 ($x = \eu$, $a_n = \alpha_n$, $b_n = \beta_n$) ; l’[Exercice 11.9](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/11-suites#exo-b1-seq-9) ($x = \eu$ encore, avec $a_q = -q!\sum_{k \leq q}\frac{1}{k!}$, $b_q = q!$) ; et le [Problème 14.1](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/14-derivation#pb-b1-derivative-1), question 1, en est la forme géométrique. Dans la partie III et dans l’[Exercice 15.9](#exo-b1-integration-9), le piège opère *à l’[intérieur](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-closure)* du raisonnement par l’absurde : supposer la rationalité transforme une expression en un entier, que l’analyse enserre ensuite dans $\intoo{0}{1}$ — même principe, transposé. **25.** (i) L’intégralité vit dans le calcul aux bornes des [polynômes](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) (questions 6, 11–12), la petitesse dans les majorations que donne la croissance par le $\sup$ (questions 4, 10), le pont dans l’[intégration par parties](#thm-b1-integration-parts) (questions 8, 13–14) — les trois sont des théorèmes de ce chapitre. (ii) L’[intégrale](#thm-b1-integration-def) fournit ce que le [théorème des accroissements finis](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/14-derivation#thm-b1-derivative-mvt) ne pouvait pas donner : une identité *exacte* entre l’objet analytique et les données arithmétiques (une égalité, et non une simple inégalité avec un $c$ inconnu), et c’est pourquoi la machine atteint $\pi^2$ alors que le [Problème 14.1](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/14-derivation#pb-b1-derivative-1) n’atteignait que des exposants d’approximation. (iii) Résultats extraits : $\eu \notin \Q$, $\pi^2 \notin \Q$ (donc $\pi \notin \Q$), $\eu = 2.718282$ certifié, $\frac{22}{7} - \frac{1}{630} \leq \pi \leq \frac{22}{7} - \frac{1}{1260}$, et $\binom{2n}{n} \geq \frac{4^n}{2n+1}$. (iv) [Frontière](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-closure) : Hermite et Lindemann poussent la même machine jusqu’à la transcendance ; et Apéry (1979) a fait tourner le piège de l’entier sur $\zeta(3)$ — la machine produit encore des mathématiques du vingtième siècle.