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title: "Espaces vectoriels"
book: "Mathématiques universitaires — Licence 1"
subject: math
language: fr
chapter: 18
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels
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# Chapitre 18 — Espaces vectoriels

L’algèbre linéaire commence ici : les axiomes des [espaces vectoriels](#def-b1-vspaces-def) isolent ce que $\R^2$, $\R^3$, les espaces de [polynômes](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) et les espaces de fonctions ont en commun — on peut additionner, et multiplier par un scalaire. Deux chapitres construisent la théorie (le [Chapitre 19](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/19-dimension-finie#ch-b1-findim) y ajoute la dimension) ; le langage qu’ils installent — [sous-espace engendré](#def-b1-vspaces-span), [famille libre](#def-b1-vspaces-free), [base](#def-b1-vspaces-free), [somme directe](#def-b1-vspaces-sum) — est le pain quotidien de tous les chapitres qui suivent. Dans tout ce qui suit, $K$ désigne $\R$ ou $\C$ (les *scalaires*).

## 18.1 Définition et exemples

**Définition 18.1 (Espace vectoriel).**

Un *$K$-espace vectoriel* est un [ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) $E$ muni d’une addition faisant de $(E, +)$ un [groupe abélien](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/7-structures-algebriques#def-b1-structures-group) (de neutre noté $0_E$ ou $0$), et d’une multiplication externe $K \times E
\to E$ telle que, pour tous $\lambda, \mu \in K$ et $x, y \in E$ :

$$
\lambda(x + y) = \lambda x + \lambda y,\quad
(\lambda + \mu) x = \lambda x + \mu x,\quad
\lambda(\mu x) = (\lambda\mu) x,\quad
1\,x = x .
$$

Conséquences : $0\,x = 0_E$, $\lambda\,0_E = 0_E$, $(-1)x = -x$, et $\lambda x = 0_E \implies \lambda = 0$ ou $x = 0_E$ (multiplier par $\lambda^{-1}$).

**Démonstration des conséquences.** Pour $0\,x = 0_E$ : de $(0 + 0)x = 0x + 0x$ et $(0+0)x = 0x$, on simplifie $0x$ dans le [groupe](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/7-structures-algebriques#def-b1-structures-group) $(E, +)$. Pour $\lambda\,0_E$ : même astuce sur $\lambda(0_E + 0_E)$. Pour $(-1)x$ : ajoutons $x$,

$$
x + (-1)x = 1\,x + (-1)x = \bigl(1 + (-1)\bigr)x = 0\,x = 0_E ,
$$

donc $(-1)x$ est l’opposé de $x$. Enfin si $\lambda x = 0_E$ avec $\lambda \neq 0$ : multiplions par $\lambda^{-1}$ (les scalaires forment un [corps](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/7-structures-algebriques#def-b1-structures-field)) et utilisons les deux axiomes $\lambda^{-1}(\lambda x) = (\lambda^{-1}\lambda)x = 1x = x$ ainsi que $\lambda^{-1}0_E = 0_E$ : $x = 0_E$. Aussi modestes soient-elles, ces quatre règles servent en silence à chaque page qui suit — et la dernière est exactement l’endroit où l’on a besoin d’un [corps](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/7-structures-algebriques#def-b1-structures-field) : sur les scalaires $\Z$, l’« espace » $\Z/2\Z$ la mettrait en défaut avec $2\,x = 0$. ∎

**Exemple 18.2.**

$K^n$ (opérations coordonnée par coordonnée) ; les [polynômes](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) $K[X]$ ; les fonctions $\mathcal{F}(A, K)$ d’un [ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) quelconque $A$ dans $K$ (opérations point par point) — qui contient les fonctions [continues](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#def-b1-continuity-continuous), les suites $\mathcal{F}(\N, \R)$, etc. ; $\C$ comme $\R$-espace vectoriel. Dans chaque cas, les axiomes sont hérités de ceux de $K$.

**Définition 18.3 (Sous-espace vectoriel).**

$F \subseteq E$ est un *sous-espace vectoriel* lorsque $0_E \in F$ et que $F$ est stable par addition et par multiplication externe — de façon équivalente :

$$
F \neq \emptyset
\qquad\text{et}\qquad
\forall x, y \in F,\ \forall \lambda \in K,\quad
x + \lambda y \in F .
$$

Un sous-espace vectoriel est lui-même un [espace vectoriel](#def-b1-vspaces-def). Toute intersection de sous-espaces est un sous-espace ; une réunion ne l’est presque jamais (même démonstration qu’à [Exercice 7.6](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/7-structures-algebriques#exo-b1-structures-6)).

**Exemple 18.4.**

Dans $\mathcal{F}(\R, \R)$ : les fonctions [continues](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#def-b1-continuity-continuous), les fonctions [dérivables](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/14-derivation#def-b1-derivative-def), les [polynômes](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) de degré $\leq n$ (notés $K_n[X]$ à l’[intérieur](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-closure) de $K[X]$), les solutions d’une équation différentielle linéaire homogène (le [Théorème 5.10](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/5-equations-differentielles-lineaires#thm-b1-diffeq-homogeneous2) disait exactement cela). Contre-exemples : $\{f : f(0) = 1\}$ (pas de vecteur nul), les [polynômes](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) de degré exactement $n$ (non stable par addition).

**Exemple 18.5 (Sous-espace ou non : quatre verdicts, argumentés).**

Dans l’espace des suites réelles :

- $\{u : u \text{ bornée}\}$ *est* un [sous-espace](#def-b1-vspaces-subspace) : $0$ est bornée, et si $\abs{u_n} \leq M$ , $\abs{v_n} \leq M'$ , alors $\abs{u_n + \lambda v_n} \leq M + \abs\lambda M'$ .
- $\{u : u_n \to 1\}$ n’en est *pas* un : la suite nulle manque (et la somme de deux membres tend vers $2$ ).
- $\{u : u \text{ monotone}\}$ n’en est *pas* un : $u_n = n$ et $v_n = -n + (-1)^n$ sont monotones, leur somme $(-1)^n$ ne l’est pas ; c’est la stabilité par addition qui tombe en défaut, alors même que l’ [ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) contient $0$ et tous les multiples scalaires de ses membres.
- $\{u : u_{n+1} = u_n^2\}$ n’en est *pas* un : il contient $0$ mais $2u$ s’en échappe dès que $u$ en est un membre non nul ( $2u_{n+1} \neq (2u_n)^2$ en général) — l’élévation au carré est la non-linéarité coupable.

L’ordre de travail est toujours le même : tester $0$ d’abord (le moins cher), puis la stabilité — et pour réfuter, un seul contre-exemple explicite vaut mieux que n’importe quelle quantité de doute.

## 18.2 Sous-espaces engendrés, sommes, sommes directes

**Définition 18.6 (Combinaisons linéaires, sous-espace engendré).**

Une *combinaison linéaire* de la famille $(x_1, \dots, x_p)$ de vecteurs de $E$ est un vecteur $\lambda_1 x_1 + \dots + \lambda_p x_p$ ($\lambda_i \in K$). L’[ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) de toutes ces combinaisons est le *sous-espace engendré* $\operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_p)$ : c’est un [sous-espace](#def-b1-vspaces-subspace), le plus petit contenant la famille.

**Démonstration des deux assertions.** Stabilité : une somme de deux combinaisons linéaires $\sum\lambda_i x_i + \sum\mu_i x_i = \sum(\lambda_i + \mu_i)x_i$ en est encore une, et un multiple scalaire $\mu\sum\lambda_i x_i = \sum(\mu\lambda_i) x_i$ aussi ; la combinaison nulle montre que $0$ y appartient : le [sous-espace engendré](#def-b1-vspaces-span) est un [sous-espace](#def-b1-vspaces-subspace). Minimalité : soit $H$ un [sous-espace](#def-b1-vspaces-subspace) contenant $x_1, \dots, x_p$. Par stabilité par multiplication externe, chaque $\lambda_i x_i \in H$, et par stabilité par addition leur somme est dans $H$ : toute combinaison linéaire appartient à $H$, c’est-à-dire $\operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_p) \subseteq H$. Ainsi le [sous-espace engendré](#def-b1-vspaces-span) est contenu dans tout [sous-espace](#def-b1-vspaces-subspace) contenant la famille : c’est le plus petit. ∎

**Définition 18.7 (Somme, somme directe).**

Pour des [sous-espaces](#def-b1-vspaces-subspace) $F, G$ de $E$ :

$$
F + G = \{\,u + v : u \in F,\ v \in G\,\}
$$

est un [sous-espace](#def-b1-vspaces-subspace) (le plus petit contenant $F \cup G$). La somme est *directe*, notée $F \oplus G$, lorsque tout élément de $F + G$ se décompose de façon *unique* en $u + v$ ; de façon équivalente (voir ci-dessous) lorsque $F \cap G = \{0\}$. Quand $E = F \oplus G$, les [sous-espaces](#def-b1-vspaces-subspace) sont *supplémentaires* dans $E$.

**Exemple 18.8 (Une somme de deux droites).**

Dans $\R^3$, posons $F = \operatorname{Vect}\bigl((1,0,1)\bigr)$ et $G = \operatorname{Vect}\bigl((0,1,1)\bigr)$. Leur somme est

$$
F + G = \{\,a(1,0,1) + b(0,1,1)\,\}
= \{(a,\ b,\ a + b)\} = \{(x, y, z) : z = x + y\},
$$

le plan passant par l’origine et contenant les deux droites. Il est strictement plus gros que la réunion $F \cup G$ (la simple croix formée des deux droites) : le vecteur $(1, 1, 2) = (1,0,1) + (0,1,1)$ est dans la somme mais sur aucune des deux droites. Et $F \cap G =
\{0\}$ (un vecteur commun impose $a(1,0,1) = b(0,1,1)$, dont les deux premières [coordonnées](#prop-b1-vspaces-coordinates) forcent $a = b = 0$) : la somme est directe, et $F \oplus G$ est exactement ce plan.

**Proposition 18.9.**

$F + G$ est directe si et seulement si $F \cap G = \{0\}$.

**Démonstration.** Si un $w \neq 0$ appartient à $F \cap G$ : $w = w + 0 = 0 + w$ sont deux décompositions de $w$. Réciproquement, si $u + v = u' + v'$ avec $u, u' \in F$, $v, v' \in G$, alors $u - u' = v' - v$ appartient à $F \cap G = \{0\}$ : les décompositions sont uniques. ∎

**Méthode 18.10 (Démontrer que E=F⊕GE = F \oplus GE=F⊕G).**

Deux choses à vérifier, chacune avec son ouverture standard.

1. *Intersection triviale.* Prendre $x \in F \cap G$ , écrire les deux conditions d’appartenance, et coincer $x =  0$ . (Ne jamais argumenter sur un dessin : cf. les pièges ci-dessous.)
2. *La somme est tout.* Prendre $x \in E$ quelconque et *produire* la décomposition $x = f + g$ — soit en devinant $f$ à partir de la cible ( $f$ doit vérifier la propriété définissant $F$ , ce qui en dicte d’ordinaire la formule), soit en résolvant le système linéaire exprimant $x$ sur des générateurs de $F$ et de $G$ .

Quand la formule de décomposition est devinée, l’unicité est automatique par l’étape 1 ; quand seule l’existence pose problème, c’est à l’étape 2 que le travail se trouve. Les deux exemples ci-dessous font tourner la méthode : pour les fonctions paires et impaires, la formule de $f$ est forcée en évaluant l’identité voulue en $x$ et en $-x$ ; pour les [polynômes](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) s’annulant en un point, en évaluant en $a$.

**Exemple 18.11.**

Dans $\mathcal{F}(\R, \R)$, les fonctions paires $\mathcal{P}$ et les fonctions impaires $\mathcal{I}$ sont [supplémentaires](#def-b1-vspaces-sum) : toute $f$ s’écrit

$$
f(x) = \underbrace{\frac{f(x) + f(-x)}{2}}_{\text{paire}}
+ \underbrace{\frac{f(x) - f(-x)}{2}}_{\text{impaire}},
$$

et une fonction à la fois paire et impaire est nulle. (Appliqué à $\exp$, c’est le couple $(\cosh, \sinh)$ du [Chapitre 4](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/4-fonctions-usuelles#ch-b1-functions).)

**Exemple 18.12 (Un couple de supplémentaires dans Kn[X]K_n[X]Kn​[X]).**

Fixons $a \in K$ et posons $F = \{P \in K_n[X] : P(a) = 0\}$, $G =
\operatorname{Vect}(1)$ (les constantes). Alors $K_n[X] = F \oplus
G$. En effet $F \cap G$ est formé des constantes s’annulant en $a$, c’est-à-dire $\{0\}$ ; et tout $P$ se décompose en

$$
P = \underbrace{\bigl(P - P(a)\bigr)}_{\in F}
+ \underbrace{P(a)}_{\in G} .
$$

La décomposition mérite d’être mémorisée : retrancher la valeur en un point est la façon standard de projeter sur les « fonctions s’annulant en $a$ ». Remarquons que $F$ est un gros [sous-espace](#def-b1-vspaces-subspace) et $G$ un tout petit ; un couple de [supplémentaires](#def-b1-vspaces-sum) n’a aucune raison d’être équilibré.

**Exemple 18.13 (Un supplémentaire n’est jamais unique).**

Dans $\R^2$, soit $F = \operatorname{Vect}\bigl((1,0)\bigr)$ (l’axe des $x$). Les deux [sous-espaces](#def-b1-vspaces-subspace) $G = \operatorname{Vect}\bigl((0,1)\bigr)$ et $G' = \operatorname{Vect}\bigl((1,1)\bigr)$ sont [supplémentaires](#def-b1-vspaces-sum) de $F$ : chacun ne rencontre $F$ qu’en $0$, et chaque couple a pour somme $\R^2$. Les décompositions d’un même vecteur diffèrent :

$$
(2,\ 1.5) = \underbrace{(2, 0)}_{\in F} +
\underbrace{(0, 1.5)}_{\in G}
= \underbrace{(0.5,\ 0)}_{\in F} +
\underbrace{(1.5,\ 1.5)}_{\in G'} .
$$

En fait *toute* droite autre que $F$ elle-même est un [supplémentaire](#def-b1-vspaces-sum) de $F$ dans $\R^2$ : les [supplémentaires](#def-b1-vspaces-sum) foisonnent, et parler du « [supplémentaire](#def-b1-vspaces-sum) » n’a aucun sens tant qu’une structure additionnelle (un produit scalaire, [Chapitre 23](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/23-espaces-euclidiens#ch-b1-euclid)) n’en distingue pas un.

![Deux décompositions d’un même point de ℝ2 selon F (l’axe des x) : avec le supplémentaire G (descente verticale) et avec le supplémentaire G' (descente oblique). Les composantes sur F diffèrent : une projection dépend de la direction de descente.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-vspaces/fig-0062614d6c02.svg)

*Deux décompositions d’un même point de $\R^2$ selon $F$ (l’axe des $x$) : avec le [supplémentaire](#def-b1-vspaces-sum) $G$ (descente verticale) et avec le [supplémentaire](#def-b1-vspaces-sum) $G'$ (descente oblique). Les composantes sur $F$ diffèrent : une projection dépend de la direction de descente.*

## 18.3 Familles libres, familles génératrices, bases

**Définition 18.14.**

Une famille $(x_1, \dots, x_p)$ de vecteurs de $E$ est :

- *génératrice* (de $E$ ) lorsque $\operatorname{Vect}(x_1,\dots,x_p) = E$ ;
- *libre* (ses vecteurs sont alors *linéairement indépendants*) lorsque $$\lambda_1 x_1 + \dots + \lambda_p x_p = 0  \implies \lambda_1 = \dots = \lambda_p = 0 ;$$ sinon *liée* ;
- une *base* lorsqu’elle est libre et génératrice.

**Proposition 18.15 (Coordonnées).**

$(e_1, \dots, e_n)$ est une [base](#def-b1-vspaces-free) de $E$ si et seulement si tout $x \in E$ est de façon *unique* une combinaison $x = \lambda_1 e_1
+ \dots + \lambda_n e_n$ ; les scalaires $\lambda_i$ sont les *coordonnées* de $x$ dans la [base](#def-b1-vspaces-free).

**Démonstration.** Génératrice $=$ existence de la décomposition. Unicité $=$ liberté : deux décompositions d’un même $x$ diffèrent d’une combinaison égale à $0$ ; la liberté force tous ses coefficients — les différences des [coordonnées](#prop-b1-vspaces-coordinates) — à être nuls. Réciproquement, une combinaison nulle non triviale fournit les deux décompositions $0 = \sum \lambda_i e_i = \sum 0\,e_i$. ∎

**Exemple 18.16.**

La *[base](#def-b1-vspaces-free) canonique* de $K^n$ : $e_i = (0, \dots, 1, \dots, 0)$ ($1$ en position $i$). Les monômes $(1, X, X^2, \dots, X^n)$ : une [base](#def-b1-vspaces-free) de $K_n[X]$ (liberté : une combinaison nulle est le [polynôme](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) nul, donc tous les coefficients sont nuls, [Définition 8.1](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def)). Dans $\C$ vu sur $\R$ : la [base](#def-b1-vspaces-free) $(1, \iu)$.

**Remarque 18.17 (Les coordonnées sont un travail d’équipe).**

La première coordonnée de $x$ dans une [base](#def-b1-vspaces-free) $(e_1, \dots, e_n)$ dépend de *tous* les vecteurs de la [base](#def-b1-vspaces-free), pas seulement de $e_1$. Dans $\R^2$ : le vecteur $(3, 1)$ a pour première coordonnée $3$ dans la [base](#def-b1-vspaces-free) canonique, mais $2$ dans la [base](#def-b1-vspaces-free) $\bigl((1,0), (1,1)\bigr)$ — résolvons $(3,1) = a(1,0) + b(1,1)$ : $b = 1$, $a = 2$. Changer un seul vecteur de [base](#def-b1-vspaces-free) rebat *toutes* les [coordonnées](#prop-b1-vspaces-coordinates) ; le [Chapitre 21](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/21-matrices#ch-b1-matrices) mettra ce brassage en boîte sous le nom de matrice de passage.

**Exemple 18.18 (Tester une base candidate, de bout en bout).**

La famille $\mathcal{F} = (1 + X,\ 1 + X^2,\ X + X^2)$ est-elle une [base](#def-b1-vspaces-free) de $\R_2[X]$ ? Notons $u_1, u_2, u_3$ les trois [polynômes](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def). *Liberté* : une combinaison nulle $a\,u_1 + b\,u_2 + c\,u_3 =
0$ donne, coefficient par coefficient,

$$
a + b = 0, \qquad a + c = 0, \qquad b + c = 0 ;
$$

en soustrayant les deux premières, $b = c$, puis la troisième donne $2b = 0$ : $a = b = c = 0$, la famille est [libre](#def-b1-vspaces-free). *Génératrice* : plutôt que de résoudre trois systèmes, remarquons la combinaison symétrique

$$
u_1 + u_2 - u_3 = (1 + X) + (1 + X^2) - (X + X^2) = 2 ,
$$

d’où $1 = \frac12(u_1 + u_2 - u_3)$ ; puis

$$
X = u_1 - 1 = \tfrac12\bigl(u_1 - u_2 + u_3\bigr),
\qquad
X^2 = u_2 - 1 = \tfrac12\bigl(-u_1 + u_2 + u_3\bigr).
$$

Les monômes sont dans le [sous-espace engendré](#def-b1-vspaces-span), donc tout y est : $\mathcal{F}$ est une [base](#def-b1-vspaces-free). En prime, en assemblant les trois formules on obtient les [coordonnées](#prop-b1-vspaces-coordinates) de tout $P = \alpha + \beta X + \gamma X^2$ :

$$
P = \frac{\alpha + \beta - \gamma}{2}\,u_1
+ \frac{\alpha - \beta + \gamma}{2}\,u_2
+ \frac{-\alpha + \beta + \gamma}{2}\,u_3 .
$$

(Vérification avec $P = X$ : [coordonnées](#prop-b1-vspaces-coordinates) $\bigl(\frac12,
-\frac12, \frac12\bigr)$, comme trouvé plus haut.) Deux leçons : une symétrie dans la famille cache d’ordinaire une combinaison raccourci ; et une fois la dimension disponible ([Chapitre 19](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/19-dimension-finie#ch-b1-findim)), toute la moitié « génératrice » de ce travail sera gratuite — trois vecteurs [libres](#def-b1-vspaces-free) d’un espace de dimension $3$ forment toujours une [base](#def-b1-vspaces-free).

**Proposition 18.19 (Critères de liberté utiles).**

1. Une famille de *[polynômes](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) non nuls de degrés deux à deux distincts* est [libre](#def-b1-vspaces-free) .
2. Ajouter un vecteur à une [famille libre](#def-b1-vspaces-free) la laisse [libre](#def-b1-vspaces-free) si et seulement si ce vecteur est hors du [sous-espace engendré](#def-b1-vspaces-span) par la famille.
3. Toute sous-famille d’une [famille libre](#def-b1-vspaces-free) est [libre](#def-b1-vspaces-free) ; toute famille contenant une famille génératrice est génératrice.

**Démonstration.** (1) Dans une combinaison nulle, regardons le plus haut degré présent : son coefficient doit être nul (rien ne peut annuler ce degré), puis on descend en cascade.

(2) Si $x \in \operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_p)$, la relation $x
- \sum\lambda_i x_i = 0$ est non triviale. Réciproquement, une combinaison nulle non triviale de $(x_1, \dots, x_p, x)$ doit faire intervenir $x$ avec un coefficient non nul (sinon elle contredirait la liberté de la petite famille), et résoudre en $x$ le place dans le [sous-espace engendré](#def-b1-vspaces-span).

(3) Sous-famille : une combinaison nulle de la sous-famille en est une de la famille entière, les coefficients manquants étant pris nuls ; la liberté de la grande famille les tue tous. Sur-famille : tout vecteur de $E$ est déjà combinaison de la partie génératrice ; donnons aux vecteurs [supplémentaires](#def-b1-vspaces-sum) le coefficient $0$. ∎

**Exemple 18.20 (Le principe de l’escalier).**

Soient $P_0, P_1, \dots, P_n \in K_n[X]$ avec $\deg P_k = k$ pour chaque $k$ (un « escalier » de degrés). Alors $(P_0, \dots, P_n)$ est une [base](#def-b1-vspaces-free) de $K_n[X]$. La liberté résulte de la [Proposition 18.19](#prop-b1-vspaces-freecriteria) (1). Pour le caractère générateur, raisonnons par descente finie sur le degré : soit $Q \in
K_n[X]$, $Q \neq 0$, de degré $d$, de coefficient dominant $a$, et soit $b \neq 0$ le coefficient dominant de $P_d$. Alors $Q -
\frac ab P_d$ est de degré $< d$ (les termes de tête s’annulent) ; en remplaçant $Q$ par cette différence et en itérant, on atteint après au plus $n + 1$ étapes le [polynôme](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) nul, et en remontant les soustractions on exprime $Q$ comme combinaison des $P_k$. Deux escaliers déjà rencontrés : les puissances translatées $\bigl((X-a)^k\bigr)_{0 \leq k \leq n}$ ([Exercice 18.4](#exo-b1-vspaces-4)), et les produits de Newton $\bigl((X - x_0)(X - x_1)\cdots(X - x_{k-1})\bigr)_{0 \leq k \leq
n}$, mis à profit dans le devoir maison.

**Exemple 18.21 (Liberté dans les espaces de fonctions).**

Dans $\mathcal{F}(\R,\R)$, la famille $(\eu^{a_1 x}, \dots, \eu^{a_p
x})$ avec $a_1 < \dots < a_p$ est [libre](#def-b1-vspaces-free) : divisons une combinaison nulle par $\eu^{a_p x}$ et faisons $x \to +\infty$ ; le dernier coefficient meurt, et l’on descend en cascade (l’[Exercice 18.8](#exo-b1-vspaces-8) détaille cela et ses variantes). La liberté de fonctions se démontre en *évaluant* : en des points bien choisis, à l’infini, ou après dérivation.

**Exemple 18.22 (Une relation cachée rétrécit un sous-espace engendré).**

Dans $\mathcal{F}(\R, \R)$, que vaut $\operatorname{Vect}(1,\ \cos^2,\ \sin^2)$ ? L’identité $\cos^2 + \sin^2 = 1$ est une combinaison nulle non triviale

$$
1\cdot\mathbf{1} + (-1)\cos^2 + (-1)\sin^2 = 0 :
$$

la famille est liée, et le [sous-espace engendré](#def-b1-vspaces-span) est déjà engendré par la seule famille $(1, \cos^2)$ ($\sin^2 = 1 - \cos^2$). Cette famille plus petite est [libre](#def-b1-vspaces-free) : $a + b\cos^2 x = 0$ pour tout $x$ donne, en $x = 0$ et $x = \frac\pi2$ : $a + b = 0$ et $a = 0$. Le [sous-espace engendré](#def-b1-vspaces-span) est donc un *plan* à l’[intérieur](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-closure) de l’espace des fonctions — et il contient aussi $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ : les familles de fonctions trigonométriques d’allure linéaire s’effondrent régulièrement sous l’effet d’identités, et c’est pourquoi la liberté doit être *démontrée*, jamais déduite de la longueur de la liste.

**Remarque 18.23 (Pièges classiques).**

Quatre pièges classiques. *Deux à deux ne suffit pas* : dans $\R^2$, les vecteurs $(1,0)$, $(0,1)$, $(1,1)$ sont deux à deux non proportionnels, et pourtant liés — la liberté est une propriété de la famille *entière*, testée par une unique combinaison globale, jamais deux à deux. *Le vecteur nul empoisonne tout* : toute famille contenant $0$ est liée ($1\cdot 0 = 0$ est une relation non triviale), si innocents que soient les autres vecteurs. *Réunion n’est pas somme* : $F \cup G$ n’est presque jamais un [sous-espace](#def-b1-vspaces-subspace) ([Définition 18.3](#def-b1-vspaces-subspace)) ; le plus petit [sous-espace](#def-b1-vspaces-subspace) contenant les deux est $F + G$, en général bien plus gros que la réunion — dans $\R^2$, deux droites distinctes ont pour réunion une croix, et pour somme le plan tout entier. *« Directe » exige une intersection triviale, pas la disjonction* : deux [sous-espaces](#def-b1-vspaces-subspace) ne sont jamais disjoints (tous deux contiennent $0$) ; la bonne condition est $F \cap G = \{0\}$, et elle doit être *démontrée*, pas lue sur un dessin — cf. [Exemple 18.13](#ex-b1-vspaces-manysupplements), où bien des $G$ différents conviennent. *La liberté dépend des scalaires* : le couple $(1, \iu)$ est [libre](#def-b1-vspaces-free) dans $\C$ vu comme $\R$-espace vectoriel, mais lié dans $\C$ vu comme $\C$-espace vectoriel ($\iu\cdot 1 + (-1)\cdot\iu = 0$). Toujours savoir quel [corps](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/7-structures-algebriques#def-b1-structures-field) agit avant de déclarer une [famille libre](#def-b1-vspaces-free) — le devoir maison du [Chapitre 19](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/19-dimension-finie#ch-b1-findim) transforme exactement cette sensibilité en démonstrations d’irrationalité.

**Remarque 18.24 (Où mène ce langage).**

Tout ce qui suit ce chapitre parle le langage installé ici. Le [Chapitre 19](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/19-dimension-finie#ch-b1-findim) compte les vecteurs d’une [base](#def-b1-vspaces-free) et transforme « [libre](#def-b1-vspaces-free) » et « génératrice » en inégalités sur un unique entier, la dimension. Le [Chapitre 20](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/20-applications-lineaires#ch-b1-linmaps) étudie les [applications](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-map) compatibles avec les deux opérations ; les [sommes directes](#def-b1-vspaces-sum) y deviennent des projecteurs. Le [Chapitre 21](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/21-matrices#ch-b1-matrices) code les vecteurs par leurs [coordonnées](#prop-b1-vspaces-coordinates) dans une [base](#def-b1-vspaces-free) — la [Proposition 18.15](#prop-b1-vspaces-coordinates) est ce qui autorise ce codage — et le [Chapitre 23](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/23-espaces-euclidiens#ch-b1-euclid) ajoute longueurs et angles par-dessus la structure linéaire. Dans le volume de Licence 2, les mêmes axiomes, mot pour mot, valent sur un [corps](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/7-structures-algebriques#def-b1-structures-field) quelconque et en dimension infinie ; rien dans ce chapitre n’a utilisé la finitude où que ce soit.

**Remarque 18.25 (Trois fils à suivre dans le livre 3).**

Regardez grandir trois idées précises de ce chapitre. *Le principe de l’escalier* ([Exemple 18.20](#ex-b1-vspaces-staircase)) réapparaît sous la forme de la [base](#def-b1-vspaces-free) de Newton dans le devoir maison de ce chapitre, sous celle de la [base](#def-b1-vspaces-free) binomiale $(B_k)$ au même endroit, et sous celle de l’astuce de l’alternant polynomial dans le devoir maison du [Chapitre 22](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/22-determinants-et-systemes-lineaires#ch-b1-det) : un lemme, trois dividendes sans le moindre déterminant. *L’évaluation comme test de liberté* ([Exemple 18.21](#ex-b1-vspaces-functionfree)) devient l’isomorphisme d’interpolation du [Chapitre 20](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/20-applications-lineaires#ch-b1-linmaps), puis le critère de Vandermonde du [Chapitre 22](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/22-determinants-et-systemes-lineaires#ch-b1-det), puis le test de Gram du [Chapitre 23](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/23-espaces-euclidiens#ch-b1-euclid) : un même réflexe, aiguisé trois fois. *Les [sommes directes](#def-b1-vspaces-sum)* ([Définition 18.7](#def-b1-vspaces-sum)) deviennent les projecteurs du [Chapitre 20](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/20-applications-lineaires#ch-b1-linmaps), les décompositions orthogonales $E = F \oplus F^\perp$ du [Chapitre 23](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/23-espaces-euclidiens#ch-b1-euclid), et la décomposition « expliqué plus résidu » des moindres carrés dans le devoir maison du [Chapitre 25](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/25-fonctions-de-deux-variables#ch-b1-multivar). Bien peu de choses, dans ce livre, ne sont pas, au fond, l’une de ces trois idées vêtue de neuf.

## 18.4 Exercices

**Exercice 18.1 ★.**

Lesquels des [ensembles](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) suivants sont des [sous-espaces vectoriels](#def-b1-vspaces-subspace) ?

1. $\{(x, y, z) \in \R^3 : x + 2y - z = 0\}$ ;
2. $\{(x, y, z) \in \R^3 : x + 2y - z = 1\}$ ;
3. $\{(x, y) \in \R^2 : xy \geq 0\}$ ;
4. $\{P \in \R[X] : P(1) = 0\}$ ;
5. $\{f \in \mathcal{F}(\R,\R) : f \text{ bornée}\}$ .

**Solution de Exercice 18.1.**

1. Oui : contient $0$ , et l’équation qui le définit est linéaire (stabilité par $x + \lambda y$ ).
2. Non : ne contient pas $(0,0,0)$ .
3. Non : $(1, 0)$ et $(0, -1)$ y appartiennent ( $xy = 0$ ), leur somme $(1, -1)$ non ( $xy = -1 < 0$ ).
4. Oui : $0$ s’annule en $1$ ; $(P + \lambda Q)(1) = P(1) +  \lambda Q(1) = 0$ .
5. Oui : la fonction nulle est bornée ; si $\abs f \leq M$ et $\abs g \leq M'$ , alors $\abs{f + \lambda g} \leq M +  \abs\lambda M'$ .

**Exercice 18.2 ★.**

Dans $\R^3$, le vecteur $(1, 2, 1)$ est-il dans $\operatorname{Vect}\bigl((1,0,1),\, (1,1,0)\bigr)$ ? Et $(2, 1,
1)$ ? Décrivez $\operatorname{Vect}\bigl((1,0,1),(1,1,0)\bigr)$ par une équation.

**Solution de Exercice 18.2.**

$(1,2,1) = a(1,0,1) + b(1,1,0)$ impose $a + b = 1$, $b = 2$, $a =
1$ : incompatible ($a + b = 3 \neq 1$) : le vecteur n’est pas dans le [sous-espace engendré](#def-b1-vspaces-span). $(2,1,1) =
a(1,0,1) + b(1,1,0)$ : $b = 1$, $a = 1$, $a + b = 2$ : compatible, donc $(2,1,1) = (1,0,1) + (1,1,0)$, il y est.

Équation : $(x, y, z) = (a + b, b, a)$ signifie $x = y + z$ : le [sous-espace engendré](#def-b1-vspaces-span) est le plan $\{x - y - z = 0\}$.

**Exercice 18.3 ★.**

Décidez de la liberté dans $\R^3$ : $\;\bigl((1,1,0), (1,0,1),
(0,1,1)\bigr)$ ; $\;\bigl((1,2,3), (2,4,6)\bigr)$ ; $\;\bigl((1,0,0), (1,1,0), (1,1,1), (0,1,1)\bigr)$.

**Solution de Exercice 18.3.**

Première famille : $\lambda(1,1,0) + \mu(1,0,1) + \nu(0,1,1) = 0$ donne $\lambda + \mu = 0$, $\lambda + \nu = 0$, $\mu + \nu = 0$ : en additionnant, $2(\lambda + \mu + \nu) = 0$, puis en soustrayant chaque équation, $\lambda = \mu = \nu = 0$ : [libre](#def-b1-vspaces-free).

Deuxième : $(2,4,6) = 2(1,2,3)$ : liée.

Troisième : quatre vecteurs dans $\R^3$ — nécessairement liés une fois la dimension disponible ([Chapitre 19](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/19-dimension-finie#ch-b1-findim)) ; directement : $(0,1,1) = -(1,0,0) + 0\cdot(1,1,0) + (1,1,1)$, en effet $(-1,0,0) +
(1,1,1) = (0,1,1)$ : une relation non triviale.

**Exercice 18.4 ★.**

Démontrez que $(1, X - 1, (X-1)^2, (X-1)^3)$ est une [base](#def-b1-vspaces-free) de $\R_3[X]$, et donnez les [coordonnées](#prop-b1-vspaces-coordinates) de $X^3$ dans cette [base](#def-b1-vspaces-free). *(Taylor en $1$ !)*

**Solution de Exercice 18.4.**

Les [polynômes](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) $1, (X-1), (X-1)^2, (X-1)^3$ ont des degrés distincts $0, 1, 2, 3$ : la famille est [libre](#def-b1-vspaces-free) ([Proposition 18.19](#prop-b1-vspaces-freecriteria) (1)) ; elle est génératrice (tout $P \in \R_3[X]$ se développe suivant les puissances de $X - 1$, par exemple par la [formule de Taylor](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/16-formules-de-taylor-et-developpements-limites#thm-b1-taylor-integral) pour les [polynômes](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def), cf. la démonstration de la [Proposition 8.11](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#prop-b1-poly-multiplicity)) : c’est une [base](#def-b1-vspaces-free). Pour $X^3$, Taylor en $1$ : $P = X^3$, $P(1) = 1$, $P'(1) = 3$, $P''(1) = 6$, $P'''(1) = 6$ :

$$
X^3 = 1 + 3(X - 1) + 3(X-1)^2 + (X-1)^3 ,
$$

[coordonnées](#prop-b1-vspaces-coordinates) $(1, 3, 3, 1)$ (une ligne du triangle de Pascal, comme le laissait attendre $X^3 = ((X-1)+1)^3$).

**Exercice 18.5 ★★.**

Dans $\R^4$, soient $F = \{(x,y,z,t) : x = y = z\}$ et $G = \{(x,y,z,t)
: x = t = 0\}$. Démontrez que $F \oplus G = \R^4$, et décomposez $(1,2,3,4)$ en conséquence.

**Solution de Exercice 18.5.**

$F \cap G$ : les conditions $x = y = z$ et $x = t = 0$ donnent [ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) $x = 0$, donc $y = z = 0$, et $t = 0$ : l’intersection est $\{0\}$. Somme : étant donné $(x,y,z,t)$, cherchons $(a,a,a,b) \in F$ et $(0,c,d,0) \in G$ de somme ce vecteur : $a = x$, $b = t$, $c = y - x$, $d = z - x$ : toujours possible. Donc $\R^4 = F \oplus G$, et

$$
(1,2,3,4) = (1,1,1,4) + (0,1,2,0) .
$$

**Exercice 18.6 ★★.**

Dans l’espace des suites, soit $F$ l’[ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) des suites convergentes et $G = \operatorname{Vect}(u)$ où $u_n = (-1)^n$. Démontrez que $F \cap G = \{0\}$. La somme $F + G$ est-elle l’espace des suites tout entier ?

**Solution de Exercice 18.6.**

Un élément de $G$ s’écrit $\lambda u$ ; s’il converge, alors (puisque $\lambda u_n = \lambda(-1)^n$ a les deux valeurs d’[adhérence](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-closure) $\pm
\lambda$) nécessairement $\lambda = 0$ : $F \cap G = \{0\}$.

$F + G$ n’est pas l’espace tout entier : il est formé des suites de la forme $c_n + \lambda(-1)^n$ avec $(c_n)$ convergente. La suite $v_n =
n$ n’est pas de cette forme ($v_n - \lambda(-1)^n$ n’est pas bornée, donc jamais convergente). Ainsi $F \oplus G \subsetneq$ (espace de toutes les suites).

**Exercice 18.7 ★★.**

Soient $F, G, H$ des [sous-espaces](#def-b1-vspaces-subspace) de $E$. Démontrez que

$$
F \cap (G + (F \cap H)) = (F \cap G) + (F \cap H),
$$

et montrez sur un exemple dans $\R^2$ que la distributivité sans restriction $F \cap (G + H) = (F\cap G) + (F \cap H)$ est fausse.

**Solution de Exercice 18.7.**

($\supseteq$) $F \cap G$ et $F \cap H$ sont tous deux dans $F$, et leur somme est dans $G + (F \cap H)$ : l’inclusion suit, le membre de gauche étant un [sous-espace](#def-b1-vspaces-subspace) contenant les deux morceaux — concrètement, un élément $g + h$ avec $g \in F\cap G$, $h \in F \cap H$ est dans $F$ (somme de deux éléments de $F$) et dans $G + (F \cap H)$.

($\subseteq$) Soit $x \in F$ avec $x = g + h$, $g \in G$, $h \in F
\cap H$. Alors $g = x - h \in F$ (différence d’éléments de $F$), donc $g \in F \cap G$, et $x = g + h \in (F \cap G) + (F \cap H)$.

Contre-exemple à la distributivité complète dans $\R^2$ : $F =
\operatorname{Vect}(1,1)$, $G = \operatorname{Vect}(1,0)$, $H =
\operatorname{Vect}(0,1)$. Alors $G + H = \R^2$, donc $F \cap (G+H) =
F$, tandis que $F \cap G = F \cap H = \{0\}$ : le membre de droite vaut $\{0\} \neq F$.

**Exercice 18.8 ★★★.**

Démontrez que les familles suivantes de $\mathcal{F}(\R, \R)$ sont [libres](#def-b1-vspaces-free) :

1. $(\eu^{a_1 x}, \dots, \eu^{a_p x})$ pour $a_1 < \dots < a_p$ ;
2. $(\cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x)$ ;
3. $(x \mapsto \abs{x - a_1}, \dots, x \mapsto \abs{x - a_p})$ pour des $a_i$ distincts *(la [dérivabilité](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/14-derivation#def-b1-derivative-def) tombe en défaut en exactement un point par fonction)* .

**Solution de Exercice 18.8.**

1. Supposons $\sum_{i} \lambda_i \eu^{a_i x} = 0$ pour tout $x$ . Multiplions par $\eu^{-a_p x}$ : $\lambda_p + \sum_{i < p}  \lambda_i \eu^{(a_i - a_p)x} \to \lambda_p$ quand $x \to  +\infty$ (chaque exposant $a_i - a_p < 0$ ). Le membre de gauche est identiquement nul, donc $\lambda_p = 0$ ; on itère en descendant.
2. Soit $a\cos x + b \sin x + c \cos 2x + d\sin 2x = 0$ pour tout $x$ . Évaluons en $x = 0$ : $a + c = 0$ ; en $x = \pi$ : $-a + c  = 0$ ; d’où $a = c = 0$ , et la relation se réduit à $b\sin  x + d \sin 2x = 0$ . Évaluons en $x = \frac\pi2$ : $b = 0$ ; puis en $x = \frac\pi4$ : $d = 0$ .
3. Supposons $\sum \lambda_i \abs{x - a_i} = 0$ pour tout $x$ . La fonction $\sum_{i \neq j} \lambda_i\abs{x - a_i}$ est [dérivable](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/14-derivation#def-b1-derivative-def) en $a_j$ (chaque terme l’est, loin de son propre point anguleux), donc $-\lambda_j \abs{x - a_j}$ , leur différence, doit l’être aussi en $a_j$ — ce qui force $\lambda_j = 0$ ( $\abs{\,\cdot\,}$ a un point anguleux). Cela vaut pour tout $j$ .

**Exercice 18.9 ★★★.**

Soient $E$ un $K$-espace vectoriel et $F, G, H$ des [sous-espaces](#def-b1-vspaces-subspace) avec $F + G = F + H$, $F \cap G = F \cap H$ et $G \subseteq H$. Démontrez que $G = H$. Donnez un contre-exemple sans l’hypothèse $G \subseteq H$.

**Solution de Exercice 18.9.**

Soit $h \in H$. Comme $h \in H \subseteq F + H = F + G$, écrivons $h = f
+ g$ avec $f \in F$, $g \in G$. Alors $f = h - g \in H$ (les deux termes sont dans $H$, grâce à $G \subseteq H$), donc $f \in F \cap H =
F \cap G \subseteq G$, et $h = f + g \in G$. Ainsi $H \subseteq G$, et avec l’hypothèse $G \subseteq H$ : égalité.

Contre-exemple sans $G \subseteq H$ : dans $\R^2$, prenons $F =
\operatorname{Vect}(1,0)$, $G = \operatorname{Vect}(0,1)$, $H =
\operatorname{Vect}(1,1)$ : alors $F + G = F + H = \R^2$ et $F \cap G
= F \cap H = \{0\}$, et pourtant $G \neq H$.

**Exercice 18.10 ★★.**

Dans $\R[X]$, soit $\mathcal P$ l’[ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) des [polynômes](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) *pairs* ($P(-X) = P(X)$) et $\mathcal I$ celui des [polynômes](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) *impairs* ($P(-X) = -P(X)$). Démontrez que $\R[X] = \mathcal P \oplus \mathcal
I$, et montrez que $\mathcal P =
\operatorname{Vect}(1, X^2, X^4, \dots)$, c’est-à-dire que les [polynômes](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) pairs sont exactement les [polynômes](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) en $X^2$.

**Solution de Exercice 18.10.**

Les deux [ensembles](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) sont des [sous-espaces](#def-b1-vspaces-subspace) (les conditions qui les définissent sont linéaires et valent pour $0$). Décomposition : pour $P \in \R[X]$,

$$
P(X) = \underbrace{\frac{P(X) + P(-X)}{2}}_{\in\,\mathcal P}
+ \underbrace{\frac{P(X) - P(-X)}{2}}_{\in\,\mathcal I},
$$

et un [polynôme](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) à la fois pair et impair vérifie $P = -P$, donc $P = 0$ : la somme est directe et vaut $\R[X]$.

Soit maintenant $P = \sum_k a_k X^k$ pair. Alors $P(X) - P(-X) = 2
\sum_{k \text{ impair}} a_k X^k$ est le [polynôme](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) nul, donc tous les coefficients de degré impair sont nuls ([Définition 8.1](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def)) : $P \in
\operatorname{Vect}(1, X^2, X^4, \dots)$, c’est-à-dire $P = Q(X^2)$ pour un certain [polynôme](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) $Q$. Réciproquement, tout [polynôme](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) en $X^2$ est pair.

**Exercice 18.11 ★★.**

Soit $(x_1, x_2, x_3)$ une [famille libre](#def-b1-vspaces-free) d’un [espace vectoriel](#def-b1-vspaces-def) réel $E$. Démontrez que $(x_1 + x_2,\ x_2 + x_3,\ x_3 + x_1)$ est [libre](#def-b1-vspaces-free). La famille analogue de quatre vecteurs $(x_1 + x_2,\ x_2 + x_3,\ x_3 +
x_4,\ x_4 + x_1)$ est-elle [libre](#def-b1-vspaces-free) lorsque $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ l’est ?

**Solution de Exercice 18.11.**

Supposons $a(x_1 + x_2) + b(x_2 + x_3) + c(x_3 + x_1) = 0$. En regroupant sur la [famille libre](#def-b1-vspaces-free) $(x_1, x_2, x_3)$ :

$$
(a + c)\,x_1 + (a + b)\,x_2 + (b + c)\,x_3 = 0
\implies a + c = a + b = b + c = 0 .
$$

Soustraire les deux premières équations donne $c = b$ ; la troisième donne alors $2b = 0$, donc $b = c = 0$, puis $a = 0$ : la famille est [libre](#def-b1-vspaces-free).

Pour quatre vecteurs, la famille analogue est *toujours* liée :

$$
(x_1 + x_2) - (x_2 + x_3) + (x_3 + x_4) - (x_4 + x_1) = 0
$$

est une combinaison nulle non triviale (coefficients $1, -1, 1, -1$), quels que soient $(x_1, x_2, x_3, x_4)$. C’est la parité de la longueur du cycle qui décide.

**Exercice 18.12 ★★★.**

Soient $E$ un [espace vectoriel](#def-b1-vspaces-def) sur $\R$ (ou $\C$) et $F_1, \dots,
F_k$ des [sous-espaces](#def-b1-vspaces-subspace) *propres* de $E$ (chaque $F_i \neq E$).

1. Traitez directement le cas $k = 2$ : si $F_1 \not\subseteq  F_2$ et $F_2 \not\subseteq F_1$ , prenez $x \in F_1  \setminus F_2$ et $y \in F_2 \setminus F_1$ et localisez $x  + y$ .
2. Démontrez en général que $E \neq F_1 \cup \dots \cup F_k$ : un [espace vectoriel](#def-b1-vspaces-def) sur un [corps](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/7-structures-algebriques#def-b1-structures-field) infini n’est jamais réunion finie de [sous-espaces](#def-b1-vspaces-subspace) propres. *(Prenez $k$ minimal, choisissez $x \in F_1$ hors des autres $F_i$, choisissez $y  \notin F_1$, et suivez la droite $t \mapsto y + tx$.)*

**Solution de Exercice 18.12.**

1. Si $F_1 \subseteq F_2$ ou $F_2 \subseteq F_1$ , la réunion est l’un des deux, donc propre. Sinon, prenons $x \in F_1  \setminus F_2$ et $y \in F_2 \setminus F_1$ , et considérons $x + y$ . Si $x + y \in F_1$ , alors $y = (x + y) - x \in  F_1$ : contradiction. Si $x + y \in F_2$ , alors $x \in F_2$ : contradiction. Donc $x + y \notin F_1 \cup F_2$ , et $E \neq  F_1 \cup F_2$ .
2. Supposons par l’absurde que $E = F_1 \cup \dots \cup  F_k$ , avec $k$ choisi *minimal* parmi tous les recouvrements de ce type. La minimalité interdit $F_1 \subseteq  F_2 \cup \dots \cup F_k$ (sinon on supprimerait $F_1$ ), donc il existe $x \in F_1$ avec $x \notin F_i$ pour tout $i \geq 2$ . Comme $F_1$ est propre, choisissons $y \notin F_1$ . Pour chaque scalaire $t$ , le vecteur $y + t x$ appartient à un certain $F_i$ . Il n’est jamais dans $F_1$ : sinon $y = (y + tx) - tx  \in F_1$ (car $x \in F_1$ ). Le [corps](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/7-structures-algebriques#def-b1-structures-field) est infini, choisissons donc $k$ scalaires distincts $t_1, \dots, t_k$ : les $k$ vecteurs $y + t_j x$ tombent dans les $k - 1$ [sous-espaces](#def-b1-vspaces-subspace) $F_2, \dots, F_k$ , et deux d’entre eux, disons $y + t x$ et $y  + t' x$ avec $t \neq t'$ , sont dans le même $F_i$ ( $i \geq 2$ ). Alors leur différence $(t - t')x \in F_i$ , donc $x \in F_i$ : contradiction. Il n’existe donc aucun recouvrement fini par des [sous-espaces](#def-b1-vspaces-subspace) propres.

## 18.5 Problème : interpolation, trois bases pour un même espace

**Problème 18.1.**

Fixons $n + 1$ points *distincts* $x_0, x_1, \dots, x_n$ de $\R$. Ce problème revisite l’[interpolation de Lagrange](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#thm-b1-poly-lagrange) ([Théorème 8.23](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#thm-b1-poly-lagrange)) avec les yeux de ce chapitre : l’espace $\R_n[X]$ porte trois [bases](#def-b1-vspaces-free) naturelles — celle de Lagrange, celle de Newton, et (pour des points équidistants) la [base](#def-b1-vspaces-free) binomiale — et chacune rend une question facile. La route s’achève sur un véritable théorème d’arithmétique : la caractérisation, due à Pólya, des [polynômes](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) envoyant $\Z$ dans $\Z$.

**Partie I — La [base](#def-b1-vspaces-free) de Lagrange.** Pour $0 \leq i
\leq n$, posons

$$
L_i \;=\; \prod_{j \neq i} \frac{X - x_j}{x_i - x_j} \;\in\;
\R_n[X].
$$

1. Vérifiez que $\deg L_i = n$ et que $L_i(x_j) = 1$ si $j =  i$ , et $0$ si $j \neq i$ .
2. Démontrez que la famille $(L_0, \dots, L_n)$ est [libre](#def-b1-vspaces-free) .
3. Démontrez que pour tout $P \in \R_n[X]$, $$P \;=\; \sum_{i=0}^{n} P(x_i)\, L_i ,$$ et concluez que $(L_0, \dots, L_n)$ est une [base](#def-b1-vspaces-free) de $\R_n[X]$. *(Considérez la différence des deux membres et comptez ses racines, [Corollaire 8.8](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#cor-b1-poly-nroots).)*
4. Déduisez-en le théorème d’interpolation : pour toutes valeurs $y_0, \dots, y_n \in \R$ , il existe un *unique* $P \in  \R_n[X]$ tel que $P(x_i) = y_i$ pour tout $i$ . Dans la [base](#def-b1-vspaces-free) de Lagrange, quelles sont les [coordonnées](#prop-b1-vspaces-coordinates) d’un [polynôme](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) $P$ ?
5. Démontrez les identités $$\sum_{i=0}^{n} L_i = 1  \qquad\text{et, pour } 0 \leq k \leq n,\qquad  \sum_{i=0}^{n} x_i^{k}\, L_i = X^{k} .$$

**Partie II — La [base](#def-b1-vspaces-free) de Newton et les [différences divisées](#pb-b1-vspaces-1).** Posons $N_0 = 1$ et $N_k = (X - x_0)(X - x_1) \cdots
(X - x_{k-1})$ pour $1 \leq k \leq n$. Pour une fonction $f$ définie aux nœuds, définissons les *[différences divisées](#pb-b1-vspaces-1)* par $f[x_i] = f(x_i)$ et

$$
f[x_i, \dots, x_{i+k}] \;=\;
\frac{f[x_{i+1}, \dots, x_{i+k}] - f[x_i, \dots, x_{i+k-1}]}
{x_{i+k} - x_i} .
$$

6. Démontrez que $(N_0, N_1, \dots, N_n)$ est une [base](#def-b1-vspaces-free) de $\R_n[X]$ .
7. Calculez $f[x_0, x_1]$ et $f[x_0, x_1, x_2]$ en fonction des valeurs de $f$ , puis calculez toutes les [différences divisées](#pb-b1-vspaces-1) de $f(x) = x^2$ en trois nœuds quelconques.
8. (Lemme d’Aitken) Soient $R$ interpolant $f$ en $x_0, \dots,  x_{n-1}$ et $Q$ interpolant $f$ en $x_1, \dots, x_n$, tous deux de degré $\leq n - 1$. Démontrez que $$S \;=\; \frac{(X - x_0)\,Q - (X - x_n)\,R}{x_n - x_0}$$ interpole $f$ en $x_0, x_1, \dots, x_n$.
9. Déduisez-en, par récurrence sur le nombre de nœuds, que le coefficient de $X^{k}$ dans l’interpolant de $f$ en $x_0,  \dots, x_k$ vaut exactement $f[x_0, \dots, x_k]$ .
10. Démontrez la *formule d’interpolation de Newton* : l’interpolant de $f$ en $x_0, \dots, x_n$ est $$P \;=\; \sum_{k=0}^{n} f[x_0, \dots, x_k]\, N_k ,$$ et déduisez-en la formule close $$f[x_0, \dots, x_k] \;=\; \sum_{i=0}^{k}  \frac{f(x_i)}{\prod_{j \neq i,\, j \leq k} (x_i - x_j)} ,$$ qui montre que $f[x_0, \dots, x_k]$ ne dépend pas de l’ordre des nœuds.

**Partie III — Nœuds équidistants : l’opérateur de différence.** Désormais les nœuds sont $0, 1, 2, \dots$ et, pour un [polynôme](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) $P$, on pose

$$
\Delta P(X) = P(X + 1) - P(X),
\qquad
B_k = \frac{X(X-1)\cdots(X-k+1)}{k!} \quad (B_0 = 1).
$$

11. Montrez que si $\deg P = m \geq 1$ de coefficient dominant $a$ , alors $\deg \Delta P = m - 1$ de coefficient dominant $m\,a$ , et que $\Delta$ tue les constantes.
12. Montrez que $(B_0, B_1, \dots, B_n)$ est une [base](#def-b1-vspaces-free) de $\R_n[X]$ et que $\Delta B_k = B_{k-1}$ pour $k \geq 1$ .
13. (Formule des différences progressives de Newton) Démontrez que tout $P \in \R_n[X]$ vérifie $$P \;=\; \sum_{k=0}^{n} \bigl(\Delta^{k} P\bigr)(0)\, B_k .$$
14. Démontrez que pour tout $k \geq 0$, $$\bigl(\Delta^{k} P\bigr)(0) \;=\;  \sum_{j=0}^{k} (-1)^{k-j} \binom{k}{j} P(j) .$$
15. Montrez que si $\deg P = n$ de coefficient dominant $a_n$ , alors $\Delta^{n} P$ est la constante $n!\,a_n$ et $\Delta^{n+1} P = 0$ .

**Partie IV — [Polynômes à valeurs entières](#pb-b1-vspaces-1).** Un [polynôme](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) $P \in \R[X]$ est *à valeurs entières* lorsque $P(m) \in
\Z$ pour tout $m \in \Z$.

16. Démontrez que chaque $B_k$ est à valeurs entières. *(Traitez séparément $m \geq k$, $0 \leq m < k$ et $m <  0$ ; pour $m = -q < 0$, montrez que $B_k(-q) = (-1)^k  \binom{q + k - 1}{k}$.)*
17. Démontrez la *caractérisation de Pólya* : $P \in \R_n[X]$ est à valeurs entières si et seulement si ses [coordonnées](#prop-b1-vspaces-coordinates) dans la [base](#def-b1-vspaces-free) $(B_0, \dots, B_n)$ sont des entiers.
18. Déduisez-en : si $P \in \R_n[X]$ prend des valeurs entières en $n + 1$ entiers *consécutifs* $a, a+1, \dots, a+n$ , alors $P$ est à valeurs entières. *(Translation : appliquez l’étude à $Q(X) = P(X + a)$.)*
19. Déduisez de la question 16 qu’un produit de $k$ entiers consécutifs est toujours divisible par $k!$ .
20. Soit $P = \dfrac{X(X+1)(2X+1)}{6}$ . Calculez sa table de Newton en $0, 1, 2, 3$ , écrivez $P$ dans la [base](#def-b1-vspaces-free) $(B_k)$ , et concluez que $P$ est à valeurs entières bien qu’aucun de ses coefficients monomiaux ne soit entier. Vérifiez que $\Delta P =  (X+1)^2$ et déduisez-en que $P(m) = 1^2 + 2^2 + \dots + m^2$ pour $m \in \N$ .

**Partie V — Dividendes.**

21. Soit $P \in \R_n[X]$ interpolant les valeurs $2^i$ en $i =  0, 1, \dots, n$ . Montrez que $P = B_0 + B_1 + \dots + B_n$ et que $P(n + 1) = 2^{n+1} - 1$ : le « schéma de doublement » se brise toujours au point suivant.
22. (Primitive discrète) Démontrez que pour tous entiers $m  \geq 1$ et $k \geq 0$, $$\sum_{j=0}^{m-1} B_k(j) \;=\; B_{k+1}(m),$$ c’est-à-dire l’identité de la crosse de hockey $\sum_{j=k}^{m-1}  \binom{j}{k} = \binom{m}{k+1}$.
23. Développez $X^2$ et $X^3$ dans la [base](#def-b1-vspaces-free) $(B_k)$ et déduisez-en des formules closes pour $\sum_{j=0}^{m-1} j^2$ et $\sum_{j=0}^{m-1} j^3$ ; retrouvez l’identité de Nicomaque $1^3 + \dots + m^3 = (1 + \dots + m)^2$ .
24. Prenez $n = 2$ et les nœuds $0, 1, 2$ . Écrivez les [coordonnées](#prop-b1-vspaces-coordinates) de $X^2$ dans les trois [bases](#def-b1-vspaces-free) de ce problème : la [base](#def-b1-vspaces-free) monomiale, la [base](#def-b1-vspaces-free) de Lagrange, la [base](#def-b1-vspaces-free) de Newton. Confrontez les trois réponses aux questions 4 et 9.
25. Synthèse. En quatre phrases : quel concept d’ [espace vectoriel](#def-b1-vspaces-def) rend la question 4 automatique ; pourquoi la [base](#def-b1-vspaces-free) de Newton calcule les [coordonnées](#prop-b1-vspaces-coordinates) *de proche en proche* alors que la [base](#def-b1-vspaces-free) de Lagrange les lit *instantanément* ; quel critère de liberté les deux [bases](#def-b1-vspaces-free) partagent ; et en quel sens précis le théorème de Pólya dit que le fait qu’un [polynôme](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) soit à valeurs entières est une propriété de ses [coordonnées](#prop-b1-vspaces-coordinates) *dans la bonne [base](#def-b1-vspaces-free)* .

**Solution de Problème 18.1.**

**1.** $L_i$ est un produit de $n$ facteurs du premier degré divisé par une constante non nulle (les $x_i$ sont distincts), donc $\deg L_i = n$. En évaluant en $x_j$ avec $j \neq i$ : le facteur $X -
x_j$ du numérateur s’annule, donc $L_i(x_j) = 0$. En $x_i$, numérateur et dénominateur coïncident : $L_i(x_i) = 1$.

**2.** Supposons $\sum_i \lambda_i L_i = 0$. Évaluons en $x_j$ : tous les termes meurent sauf $\lambda_j L_j(x_j) = \lambda_j$, donc $\lambda_j = 0$ pour tout $j$ : la famille est [libre](#def-b1-vspaces-free).

**3.** Posons $D = P - \sum_i P(x_i) L_i$. Alors $\deg D \leq n$ et, par la question 1, $D(x_j) = P(x_j) - P(x_j) = 0$ aux $n + 1$ points distincts $x_0, \dots, x_n$. Un [polynôme](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) non nul de degré $\leq n$ a au plus $n$ racines ([Corollaire 8.8](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#cor-b1-poly-nroots)), donc $D
= 0$. Ainsi tout $P \in \R_n[X]$ est combinaison des $L_i$ : la famille est génératrice, et avec la question 2, c’est une [base](#def-b1-vspaces-free).

**4.** Étant donné $y_0, \dots, y_n$, le [polynôme](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) $P = \sum_i
y_i L_i$ est de degré $\leq n$ et interpole. Unicité : un tel $P$ a, par la question 3, pour [coordonnées](#prop-b1-vspaces-coordinates) $(P(x_0), \dots,
P(x_n)) = (y_0, \dots, y_n)$ dans la [base](#def-b1-vspaces-free) $(L_i)$, et les [coordonnées](#prop-b1-vspaces-coordinates) dans une [base](#def-b1-vspaces-free) sont uniques ([Proposition 18.15](#prop-b1-vspaces-coordinates)). Les [coordonnées](#prop-b1-vspaces-coordinates) de $P$ dans la [base](#def-b1-vspaces-free) de Lagrange sont ses *valeurs aux nœuds* — c’est tout l’intérêt de cette [base](#def-b1-vspaces-free).

**5.** Appliquons la question 3 à $P = X^k$ ($0 \leq k \leq n$) :

$$
X^k = \sum_{i=0}^{n} x_i^{k} L_i ,
$$

et $k = 0$ donne $\sum_i L_i = 1$.

**6.** $\deg N_k = k$ exactement : la famille $(N_0, \dots, N_n)$ est un escalier de degrés dans $\R_n[X]$, donc une [base](#def-b1-vspaces-free) d’après l’[Exemple 18.20](#ex-b1-vspaces-staircase) (liberté par la [Proposition 18.19](#prop-b1-vspaces-freecriteria) (1), caractère générateur par descente finie sur le degré).

**7.** D’après la récurrence,

$$
f[x_0, x_1] = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0},
\qquad
f[x_0, x_1, x_2] = \frac{f[x_1, x_2] - f[x_0, x_1]}{x_2 - x_0}.
$$

Pour $f(x) = x^2$ :

$$
f[x_0, x_1] = \frac{x_1^2 - x_0^2}{x_1 - x_0} = x_0 + x_1,
$$

puis

$$
f[x_0, x_1, x_2]
= \frac{(x_1 + x_2) - (x_0 + x_1)}{x_2 - x_0}
= \frac{x_2 - x_0}{x_2 - x_0} = 1 .
$$

**8.** $\deg S \leq n$ puisque $Q, R$ sont de degré $\leq n - 1$. En $x_0$ : $S(x_0) = \frac{-(x_0 - x_n) R(x_0)}{x_n - x_0} =
R(x_0) = f(x_0)$. En $x_n$ : $S(x_n) = \frac{(x_n - x_0)
Q(x_n)}{x_n - x_0} = Q(x_n) = f(x_n)$. En un nœud [intérieur](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-closure) $x_i$ ($1 \leq i \leq n-1$), $Q$ et $R$ prennent tous deux la valeur $f(x_i)$, donc

$$
S(x_i) = \frac{(x_i - x_0) - (x_i - x_n)}{x_n - x_0}\, f(x_i)
= f(x_i) .
$$

**9.** Par récurrence sur le nombre de nœuds. Un nœud : l’interpolant est la constante $f(x_0) = f[x_0]$. Supposons l’[assertion](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-statement) vraie pour $k$ nœuds et soit $S$ interpolant en $x_0,
\dots, x_k$ ; par unicité (question 4), $S$ est donné par le lemme d’Aitken à partir de $R$ (nœuds $x_0, \dots, x_{k-1}$) et de $Q$ (nœuds $x_1, \dots, x_k$). Le coefficient de $X^{k}$ dans $S$ vaut

$$
\frac{[X^{k-1}]\,Q - [X^{k-1}]\,R}{x_k - x_0}
= \frac{f[x_1, \dots, x_k] - f[x_0, \dots, x_{k-1}]}{x_k - x_0}
= f[x_0, \dots, x_k]
$$

par l’hypothèse de récurrence et la relation de récurrence de définition.

**10.** Soit $P_k$ l’interpolant de $f$ en $x_0, \dots, x_k$. La différence $P_k - P_{k-1}$ est de degré $\leq k$ et s’annule en $x_0, \dots, x_{k-1}$, donc, par le théorème de factorisation appliqué $k$ fois ([Théorème 8.7](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#thm-b1-poly-factor)), elle vaut $c\,N_k$ pour une constante $c$ ; en comparant les coefficients de $X^{k}$ et en utilisant la question 9, $c = f[x_0, \dots, x_k]$. Le télescopage à partir de $P_0 = f(x_0) N_0$ donne la formule de Newton. Pour la formule close, écrivons $P_k = \sum_{i \leq
k} f(x_i) L_i$ (Lagrange, sur les nœuds $x_0, \dots, x_k$) et lisons le coefficient de $X^{k}$ : chaque $L_i$ contribue $\frac{1}{\prod_{j \neq i}(x_i - x_j)}$, d’où

$$
f[x_0, \dots, x_k] = \sum_{i=0}^{k}
\frac{f(x_i)}{\prod_{j \neq i,\, j \leq k}(x_i - x_j)} .
$$

Le membre de droite est invariant par toute [permutation](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/2-denombrement#def-b1-counting-objects) des nœuds, donc la différence divisée ne dépend pas de leur ordre.

**11.** Si $P = a X^m + (\text{degrés inférieurs})$, la formule du binôme donne

$$
\Delta P = a\bigl((X+1)^m - X^m\bigr) + \dots
= a\,m\,X^{m-1} + (\text{degrés inférieurs}),
$$

car $(X+1)^m - X^m = m X^{m-1} + \dots$ et la partie de degré inférieur de $P$ ne contribue, après $\Delta$, qu’en degré $\leq m - 2$ (ou en termes de degré $\leq m-2$). Donc $\deg \Delta P = m - 1$ de coefficient dominant $m a$. Une constante $c$ donne $\Delta c = c - c = 0$.

**12.** $\deg B_k = k$ : escalier, donc une [base](#def-b1-vspaces-free) de $\R_n[X]$ ([Exemple 18.20](#ex-b1-vspaces-staircase)). Pour $\Delta B_k$ ($k \geq 1$), factorisons le produit commun :

$$
\begin{align*}
k!\,\Delta B_k
&= (X+1)X\cdots(X-k+2) - X(X-1)\cdots(X-k+1) \\
&= X(X-1)\cdots(X-k+2)\,\bigl[(X+1) - (X-k+1)\bigr] \\
&= k\,X(X-1)\cdots(X-k+2),
\end{align*}
$$

donc $\Delta B_k = \frac{X(X-1)\cdots(X-k+2)}{(k-1)!} = B_{k-1}$.

**13.** Écrivons $P = \sum_{k=0}^{n} c_k B_k$ ([base](#def-b1-vspaces-free), question 12). Appliquons $\Delta^{j}$ : d’après la question 12, $\Delta^{j} P =
\sum_{k \geq j} c_k B_{k-j}$. Évaluons en $0$ : $B_0(0) = 1$ et $B_m(0) = 0$ pour $m \geq 1$ (le facteur $X$ s’annule), donc $\bigl(\Delta^{j}P\bigr)(0) = c_j$. C’est la formule des différences progressives.

**14.** Par récurrence sur $k$. Pour $k = 0$, l’identité s’écrit $P(0) = P(0)$. Supposons-la vraie au rang $k$ et appliquons-la à $\Delta P$ :

$$
\bigl(\Delta^{k+1} P\bigr)(0)
= \sum_{j=0}^{k} (-1)^{k-j}\binom kj \bigl(P(j+1) - P(j)\bigr).
$$

Collectons le coefficient de $P(i)$ : il vaut $(-1)^{k-i+1}\binom
k{i-1}\cdot(-1)^{0}$ venant de la première somme (décalée) et $-(-1)^{k-i}\binom ki$ venant de la seconde — au total

$$
(-1)^{k+1-i}\Bigl(\binom k{i-1} + \binom ki\Bigr)
= (-1)^{k+1-i}\binom{k+1}i
$$

par la règle de Pascal, ce qui est l’identité au rang $k + 1$.

**15.** En itérant la question 11 depuis le degré $n$, de coefficient dominant $a_n$ : après un $\Delta$, degré $n-1$ et coefficient dominant $n a_n$ ; après deux, $n(n-1)a_n$ ; après $n$ étapes, degré $0$ et valeur $n(n-1)\cdots 1\, a_n = n!\,a_n$, une constante. Un $\Delta$ de plus la tue : $\Delta^{n+1}P = 0$.

**16.** Si $m \geq k$ : $B_k(m) = \binom mk \in \N$. Si $0
\leq m < k$ : l’un des facteurs de $m(m-1)\cdots(m-k+1)$ est nul, donc $B_k(m) = 0$. Si $m = -q$ avec $q \geq 1$ :

$$
B_k(-q) = \frac{(-q)(-q-1)\cdots(-q-k+1)}{k!}
= (-1)^k\,\frac{q(q+1)\cdots(q+k-1)}{k!}
= (-1)^k \binom{q+k-1}{k},
$$

un entier. Donc chaque $B_k$ envoie $\Z$ dans $\Z$.

**17.** ($\Leftarrow$) Si $P = \sum_k c_k B_k$ avec $c_k \in
\Z$, alors pour $m \in \Z$, $P(m) = \sum_k c_k B_k(m) \in \Z$ par la question 16. ($\Rightarrow$) Si $P$ est à valeurs entières, ses [coordonnées](#prop-b1-vspaces-coordinates) sont $c_k = \bigl(\Delta^k P\bigr)(0) = \sum_{j=0}^k
(-1)^{k-j}\binom kj P(j)$ (questions 13 et 14), combinaison à coefficients entiers des entiers $P(0), \dots, P(k)$. C’est la caractérisation de Pólya des [polynômes à valeurs entières](#pb-b1-vspaces-1).

**18.** Posons $Q(X) = P(X + a)$, [polynôme](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) de degré $\leq
n$ avec $Q(0), Q(1), \dots, Q(n) \in \Z$. Ses [coordonnées](#prop-b1-vspaces-coordinates) dans $(B_k)_{k \leq n}$ sont $c_k = \sum_{j \leq k}(-1)^{k-j}\binom kj
Q(j) \in \Z$ (la question 14 n’utilise que les valeurs en $0, \dots, k
\leq n$). Par la question 17 ($\Leftarrow$), $Q$ est à valeurs entières sur $\Z$ tout entier, et donc $P(X) = Q(X - a)$ aussi.

**19.** Un produit de $k$ entiers consécutifs s’écrit $m(m-1)
\cdots(m-k+1) = k!\,B_k(m)$ pour un certain $m \in \Z$, et $B_k(m) \in
\Z$ par la question 16 : le produit est divisible par $k!$.

**20.** Valeurs de $P = \frac{X(X+1)(2X+1)}{6}$ en $0,1,2,3$ : $0, 1, 5, 14$. Table des différences : ligne $\Delta$ : $1, 4, 9$ ; ligne $\Delta^2$ : $3, 5$ ; ligne $\Delta^3$ : $2$. Donc, par la question 13,

$$
P = 0\cdot B_0 + 1\cdot B_1 + 3\,B_2 + 2\,B_3 ,
$$

à [coordonnées](#prop-b1-vspaces-coordinates) entières : $P$ est à valeurs entières (question 17), alors que ses coefficients monomiaux $\frac13, \frac12, \frac16$ ne sont pas entiers. Calcul direct :

$$
\begin{align*}
\Delta P &= \frac{(X+1)(X+2)(2X+3) - X(X+1)(2X+1)}{6} \\
&= \frac{(X+1)\bigl[(X+2)(2X+3) - X(2X+1)\bigr]}{6}
= \frac{(X+1)(6X+6)}{6} = (X+1)^2 .
\end{align*}
$$

Par télescopage $P(m) = \sum_{j=0}^{m-1}\Delta P(j) = \sum_{j=1}^{m}
j^2$ (avec $P(0) = 0$) : la formule de la somme des carrés.

**21.** Les valeurs $2^i$ en $i = 0, \dots, n$ ont une table des différences constamment égale à $1$ sur le bord gauche : $\Delta^k$ de la suite $(2^i)$ redonne $(2^i)$ (puisque $2^{i+1} - 2^i = 2^i$), donc $\bigl(\Delta^k P\bigr)(0) = 2^0 = 1$ pour tout $k \leq n$, et $P =
B_0 + B_1 + \dots + B_n$ par la question 13. Alors

$$
P(n+1) = \sum_{k=0}^{n}\binom{n+1}{k}
= 2^{n+1} - \binom{n+1}{n+1} = 2^{n+1} - 1 \neq 2^{n+1}:
$$

le schéma se brise au premier point non contrôlé.

**22.** Par la question 12, $B_k = \Delta B_{k+1}$, donc

$$
\sum_{j=0}^{m-1} B_k(j)
= \sum_{j=0}^{m-1}\bigl(B_{k+1}(j+1) - B_{k+1}(j)\bigr)
= B_{k+1}(m) - B_{k+1}(0) = B_{k+1}(m).
$$

Pour $j < k$, les termes $B_k(j)$ sont nuls, donc la somme commence en réalité à $j = k$ : $\sum_{j=k}^{m-1}\binom jk = \binom m{k+1}$, l’identité de la crosse de hockey.

**23.** Les tables des différences (ou un développement direct) donnent

$$
X^2 = B_1 + 2 B_2, \qquad X^3 = B_1 + 6 B_2 + 6 B_3
$$

(vérification : $B_1 + 2B_2 = X + X(X-1) = X^2$ ; en $X = 1, 2, 3$ la seconde donne $1, 8, 27$). La question 22 fournit alors

$$
\sum_{j=0}^{m-1} j^2 = B_2(m) + 2B_3(m)
= \binom m2 + 2\binom m3 = \frac{m(m-1)(2m-1)}{6},
$$

$$
\sum_{j=0}^{m-1} j^3 = B_2(m) + 6B_3(m) + 6B_4(m)
= \binom m2 + 6\binom m3 + 6\binom m4 .
$$

En développant la dernière expression : $\binom m2 + 6\binom m3 +
6\binom m4 = \frac{m(m-1)}{2}\bigl[1 + 2(m-2) +
\frac{(m-2)(m-3)}{2}\bigr] = \frac{m^2(m-1)^2}{4} = \binom m2^2$. En remplaçant $m$ par $m + 1$ : $1^3 + \dots + m^3 =
\bigl(\frac{m(m+1)}2\bigr)^2 = (1 + \dots + m)^2$, l’identité de Nicomaque.

**24.** Nœuds $0, 1, 2$, [polynôme](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) $X^2$. [Base](#def-b1-vspaces-free) monomiale $(1, X, X^2)$ : [coordonnées](#prop-b1-vspaces-coordinates) $(0, 0, 1)$. [Base](#def-b1-vspaces-free) de Lagrange : les [coordonnées](#prop-b1-vspaces-coordinates) sont les valeurs $(0, 1, 4)$ (question 4). [Base](#def-b1-vspaces-free) de Newton $(1, X, X(X-1))$ : [différences divisées](#pb-b1-vspaces-1) $f[0] = 0$, $f[0,1] = 1$, $f[0,1,2] = \frac{3 - 1}{2} = 1$ (question 9), d’où les [coordonnées](#prop-b1-vspaces-coordinates) $(0, 1, 1)$ — et en effet $X + X(X-1) = X^2$. Trois [bases](#def-b1-vspaces-free), trois vecteurs de [coordonnées](#prop-b1-vspaces-coordinates), un seul [polynôme](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def).

**25.** (i) La question 4 est automatique parce que $(L_i)$ est une *[base](#def-b1-vspaces-free)* : existence et unicité de l’interpolation sont exactement existence et unicité des [coordonnées](#prop-b1-vspaces-coordinates). (ii) La [base](#def-b1-vspaces-free) de Newton est un escalier, donc les [coordonnées](#prop-b1-vspaces-coordinates) se calculent par divisions successives — chaque nouveau nœud ajoute un terme sans perturber les précédents — alors que les [coordonnées](#prop-b1-vspaces-coordinates) de $P$ dans la [base](#def-b1-vspaces-free) de Lagrange sont les valeurs $P(x_i)$, disponibles sans le moindre calcul. (iii) Les deux [bases](#def-b1-vspaces-free) sont [libres](#def-b1-vspaces-free) par les deux mêmes critères de la [Proposition 18.19](#prop-b1-vspaces-freecriteria) : degrés distincts pour Newton, évaluation aux nœuds pour Lagrange. (iv) Le théorème de Pólya dit que « $P(\Z) \subseteq \Z$ », propriété des valeurs, équivaut au fait que les [coordonnées](#prop-b1-vspaces-coordinates) dans la [base](#def-b1-vspaces-free) $(B_k)$ soient entières — l’arithmétique d’un [polynôme](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) ne devient visible que dans la [base](#def-b1-vspaces-free) adaptée à la question.