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title: "Dimension finie"
book: "Mathématiques universitaires — Licence 1"
subject: math
language: fr
chapter: 19
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/19-dimension-finie
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# Chapitre 19 — Dimension finie

Un espace engendré par un nombre fini de vecteurs possède une *dimension* bien définie — la taille commune de toutes ses [bases](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free). Les démonstrations qui suivent découlent toutes d’un même moteur combinatoire, le lemme d’échange : une [famille libre](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) ne peut jamais être plus nombreuse qu’une famille génératrice. Avec la dimension viennent les outils utilisés partout ensuite : le [théorème de la base incomplète](#thm-b1-findim-bases), le [rang](#def-b1-findim-rank) d’une famille, la [formule de Grassmann](#thm-b1-findim-grassmann).

## 19.1 Existence de bases

**Définition 19.1.**

$E$ est *de dimension finie* lorsqu’il possède une famille génératrice finie. (Sinon il est *de dimension infinie* : c’est le cas de $K[X]$, dont les familles finies n’engendrent que des [polynômes](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) de degré borné.)

**Théorème 19.2 (Lemme d’échange).**

Soit $(g_1, \dots, g_n)$ une famille génératrice de $E$ et $(f_1,
\dots, f_p)$ une [famille libre](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) de $E$. Alors $p \leq n$.

**Démonstration.** Montrons par récurrence sur $k \leq p$ : *quitte à renuméroter les $g_j$, la famille*

$$
(f_1, \dots, f_k, g_{k+1}, \dots, g_n)
$$

*engendre $E$* — ce qui force $k \leq n$ à chaque étape, et $p \leq n$ à l’arrivée.

$k = 0$ : c’est l’hypothèse. Étape : supposons le résultat pour $k -
1$ ; alors $f_k$ est combinaison de $(f_1, \dots, f_{k-1},$ $g_k,
\dots, g_n)$. Dans cette combinaison, un certain $g_j$ ($j \geq k$) a un coefficient non nul — sinon $f_k$ serait combinaison de $f_1, \dots, f_{k-1}$, contredisant la liberté. Renumérotons de sorte que $j = k$, et résolvons en $g_k$ : $g_k$ est combinaison de $(f_1, \dots, f_k, g_{k+1}, \dots,
g_n)$. Tout vecteur de $E$, exprimé au moyen de la famille à $k-1$ termes, se réexprime alors au moyen de celle à $k$ termes : elle engendre. (Si $k - 1 = n$, il ne reste plus aucun $g$ et $f_k$ serait combinaison des seuls $f_i$ : impossible ; donc $k \leq n$.) ∎

**Exemple 19.3 (L’échange, vu une fois en action).**

Dans $\R^2$, prenons la famille génératrice $\bigl(g_1, g_2\bigr) =
\bigl((1,0), (0,1)\bigr)$ et la [famille libre](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) $\bigl(f_1,
f_2\bigr) = \bigl((1,2), (3,4)\bigr)$. Étape $1$ : $f_1 = 1\cdot
g_1 + 2\cdot g_2$ ; le coefficient de $g_2$ est non nul, donc on échange $g_2$ contre $f_1$ : la famille $\bigl(f_1, g_1\bigr)$ engendre encore ($g_2 = \frac12(f_1 - g_1)$). Étape $2$ : $f_2 =
(3,4) = 2\,f_1 + 1\cdot g_1$ ; le coefficient du $g_1$ restant est non nul (il doit l’être : $f_2$ n’est pas multiple de $f_1$), donc on échange à nouveau : $\bigl(f_1, f_2\bigr)$ engendre $\R^2$. S’il y avait eu un troisième vecteur [libre](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) $f_3$, aucun $g$ n’aurait subsisté pour l’absorber — et c’est exactement ainsi que le lemme interdit $3$ vecteurs [libres](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) dans $\R^2$. La démonstration ci-dessus n’est que cette comptabilité menée en général.

**Théorème 19.4 (Bases en dimension finie).**

Soit $E \neq \{0\}$ [de dimension finie](#def-b1-findim-def).

1. De toute famille génératrice finie on peut extraire une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) .
2. ( [Théorème de la base incomplète](#thm-b1-findim-bases) ) Toute [famille libre](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) se complète en une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) , à l’aide de vecteurs d’une famille génératrice choisie à l’avance.
3. Toutes les [bases](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) de $E$ sont finies et ont le même nombre d’éléments : la *dimension* $\dim E$ . (Convention : $\dim\{0\} = 0$ .)

**Démonstration.** (1) Éliminons, un à un, tout vecteur qui est combinaison des autres ; la famille reste génératrice, puisque dans toute expression utilisant le vecteur éliminé on peut substituer sa combinaison des survivants. Le procédé s’arrête — chaque étape fait décroître d’une unité une famille finie — et il s’arrête exactement quand aucun vecteur restant n’est combinaison des autres. La famille finale est encore génératrice, et elle est [libre](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) : une combinaison nulle non triviale porterait un coefficient non nul, et en divisant par lui on résoudrait en le vecteur correspondant à l’aide des autres, qui serait donc encore éliminable — contredisant l’arrêt du procédé.

(2) Soient $(f_1, \dots, f_p)$ [libre](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) et $(g_1, \dots, g_n)$ génératrice. Parcourons $g_1, \dots, g_n$ en adjoignant $g_j$ à la famille courante chaque fois qu’il n’appartient pas déjà à son [sous-espace engendré](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-span) (la [Proposition 18.19](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#prop-b1-vspaces-freecriteria) (2) garde la [famille libre](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free)). La famille finale est [libre](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free), et génératrice : chaque $g_j$ appartient à son [sous-espace engendré](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-span) — soit il a été adjoint, soit il en était déjà une combinaison.

(3) Deux [bases](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) sont chacune [libre](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) et chacune génératrice : le lemme d’échange donne les deux inégalités entre leurs cardinaux. (Finitude : une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) est [libre](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free), donc, par échange, pas plus grande qu’une famille génératrice finie.) ∎

**Exemple 19.5.**

$\dim K^n = n$ ([base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) canonique) ; $\dim K_n[X] = n + 1$ (les monômes) ; $\dim_\R \C = 2$ ; l’espace des solutions de $y'' + ay' +
by = 0$ est de dimension $2$ ([Théorème 5.10](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/5-equations-differentielles-lineaires#thm-b1-diffeq-homogeneous2) : les solutions sont paramétrées bijectivement et linéairement par $(\lambda, \mu) \in K^2$).

**Exemple 19.6 (Le même ensemble, deux dimensions).**

L’[ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) $\C^2$ des couples de nombres complexes est un $\C$-espace vectoriel de dimension $2$ ([base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) canonique $e_1, e_2$) — et un $\R$-espace vectoriel de dimension $4$, de [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free)

$$
(1, 0),\quad (\iu, 0),\quad (0, 1),\quad (0, \iu):
$$

tout $(z, w) = (a + \iu b,\ c + \iu d)$ a pour [coordonnées](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#prop-b1-vspaces-coordinates) réelles $(a, b, c, d)$, de façon unique. La dimension n’est pas une propriété du seul [ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) des vecteurs : elle compte les degrés de liberté *relativement aux scalaires autorisés*, et diviser par deux la réserve de scalaires en passant de $\C$ à $\R$ double le compte. (Le devoir maison exploite le cas extrême de cette sensibilité, avec des scalaires réduits jusqu’à $\Q$.)

**Exemple 19.7 (L’algorithme de complétion en action).**

Complétons la [famille libre](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) $\bigl((1,1,1)\bigr)$ en une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) de $\R^3$ à l’aide des vecteurs canoniques. Déroulons la démonstration du [Théorème 19.4](#thm-b1-findim-bases) (2) sur la famille génératrice $(e_1,
e_2, e_3)$ : a-t-on $e_1 \in \operatorname{Vect}(1,1,1)$ ? Non (les multiples de $(1,1,1)$ ont des [coordonnées](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#prop-b1-vspaces-coordinates) égales) — on l’adjoint. A-t-on $e_2 \in \operatorname{Vect}\bigl((1,1,1), e_1\bigr)$ ? Une combinaison $\alpha(1,1,1) + \beta e_1$ a ses deuxième et troisième [coordonnées](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#prop-b1-vspaces-coordinates) égales, ce qui n’est pas le cas de $e_2$ — on l’adjoint. La famille $\bigl((1,1,1), e_1, e_2\bigr)$ est [libre](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) à $3$ vecteurs : on s’arrête, c’est une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) (la [Proposition 19.8](#prop-b1-findim-twoofthree) officialisera ce réflexe). Remarquons que le résultat dépend de l’ordre dans lequel les $g_j$ sont parcourus : la complétion est un algorithme, pas une formule.

**Proposition 19.8 (La règle « deux sur trois »).**

Soient $\dim E = n$ et $\mathcal{F}$ une famille de $n$ vecteurs exactement de $E$. Alors

$$
\mathcal{F} \text{ libre} \iff \mathcal{F} \text{ génératrice} \iff
\mathcal{F} \text{ base}.
$$

De plus toute [famille libre](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) a $\leq n$ vecteurs, toute famille génératrice $\geq n$.

**Démonstration.** Les bornes de [cardinal](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/2-denombrement#def-b1-counting-card) sont le lemme d’échange confronté à une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free). Si $\mathcal{F}$ (de taille $n$) est [libre](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) sans être génératrice, un certain $x$ est hors de son [sous-espace engendré](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-span) ; en l’adjoignant on obtient une [famille libre](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) de $n + 1$ vecteurs : impossible. Si $\mathcal{F}$ est génératrice sans être [libre](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free), en extraire une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) ([Théorème 19.4](#thm-b1-findim-bases) (1)) fournit une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) de $< n$ vecteurs : impossible. ∎

**Exemple 19.9 (« Deux sur trois », ou la moitié du travail économisée).**

La famille

$$
\bigl((1,1,0), (0,1,1), (1,0,1)\bigr)
$$

est-elle une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) de $\R^3$ ? Comptons : trois vecteurs, dimension trois — la seule liberté décide donc. Une combinaison nulle donne $a + c = 0$, $a + b
= 0$, $b + c = 0$ ; en additionnant les trois, $2(a + b + c) = 0$, et en retranchant chaque équation initiale de $a + b + c = 0$ il reste $b = c = a = 0$ : [libre](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free), donc [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free), la moitié « génératrice » de la vérification étant offerte par le théorème. À comparer avec l’[Exemple 18.18](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#ex-b1-vspaces-testbasis), où la même double vérification devait être menée à la main — un chapitre de théorie se convertit exactement en cette économie, sur chaque vérification de [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) jusqu’à la fin du livre.

**Méthode 19.10 (Calculer une dimension).**

Trois voies standard, par ordre de fréquence décroissante.

1. *Paramétrer, puis lire une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free).* Résoudre les contraintes de définition, exprimer l’élément général linéairement en fonction des paramètres survivants, et vérifier que les vecteurs multipliant les paramètres sont [libres](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) : la dimension est le nombre de paramètres. (Déroulée ci-dessous sur un [sous-espace](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-subspace) concret de $\R^4$ .)
2. *Exhiber un paramétrage linéaire [bijectif](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj).* Lorsque les éléments sont déterminés par un nombre fini de valeurs — conditions initiales d’une récurrence ( [Exercice 19.10](#exo-b1-findim-10) ), coefficients d’une formule de solution ( [Exemple 19.5](#ex-b1-findim-dims) ) — la dimension est le nombre de ces valeurs.
3. *Utiliser les formules.* Grassmann pour les intersections et les sommes, le [rang](#def-b1-findim-rank) pour les [sous-espaces engendrés](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-span) , et plus tard le théorème du [rang](#def-b1-findim-rank) pour les noyaux et les images : les dimensions se *calculent* d’ordinaire, elles ne se devinent pas.

Dans les trois voies, la règle « deux sur trois » donne le coup de grâce : dès que le compte est bon, la liberté ou le caractère générateur suffit à conclure.

**Exemple 19.11 (Voie 1, en entier).**

Dimension de $H = \{(x, y, z, t) \in \R^4 : x + y + z + t = 0
\text{ et } x = t\}$. Résolvons : $t = x$ et $y + z = -2x$, donc $z =
-2x - y$ avec $x, y$ [libres](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) :

$$
(x,\ y,\ -2x - y,\ x) = x\,(1, 0, -2, 1) + y\,(0, 1, -1, 0) .
$$

Les deux vecteurs sont [libres](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) (regarder les deux premières [coordonnées](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#prop-b1-vspaces-coordinates) : $(x, y) = (0,0)$), donc ils forment une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) de $H$ et $\dim H = 2$. Le compte était prévisible — deux contraintes linéaires indépendantes dans $\R^4$ devraient manger chacune une dimension — mais le paramétrage le démontre *et* livre une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free), ce que la prévision seule ne fait jamais ; l’[Exercice 19.9](#exo-b1-findim-9) transforme le slogan « chaque équation mange au plus une dimension » en théorème.

**Exemple 19.12 (Voie 2, en entier).**

Dimension de $W = \{P \in \R_n[X] : P(1) = P(2) = 0\}$ (pour $n
\geq 2$). Par le théorème du facteur appliqué deux fois ([Théorème 8.7](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#thm-b1-poly-factor) ; les racines $1$ et $2$ sont distinctes), $P \in W$ exactement lorsque $P = (X - 1)(X - 2)\,Q$ avec $\deg Q \leq
n - 2$. La correspondance $Q \mapsto (X-1)(X-2)Q$ est linéaire, atteint tout $W$, et est [injective](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) (un produit n’est nul que si $Q = 0$) : $W$ est paramétré bijectivement et linéairement par $\R_{n-2}[X]$, donc

$$
\dim W = \dim \R_{n-2}[X] = n - 1 .
$$

Une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) vient avec le paramétrage : les images des monômes, $\bigl((X-1)(X-2),\ (X-1)(X-2)X,\ \dots,\
(X-1)(X-2)X^{n-2}\bigr)$. Chaque nouvelle contrainte d’évaluation en un point neuf coûte exactement une dimension — c’est l’ossature comptable de l’[interpolation de Lagrange](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#thm-b1-poly-lagrange) ([Théorème 8.23](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#thm-b1-poly-lagrange)).

**Exemple 19.13 (Une contrainte intégrale coûte elle aussi une dimension).**

Dimension de $H = \{P \in \R_2[X] : \int_0^1 P = 0\}$. En écrivant $P = a + bX + cX^2$, la contrainte s’écrit $a + \frac b2 + \frac
c3 = 0$ ; résolvons en $a$ et paramétrons :

$$
P = b\Bigl(X - \frac12\Bigr) + c\Bigl(X^2 - \frac13\Bigr),
$$

donc $H = \operatorname{Vect}\bigl(X - \frac12,\ X^2 -
\frac13\bigr)$, de dimension $2$ (les deux [polynômes](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) ont des degrés distincts : [libres](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free)). Une condition linéaire — que ce soit une évaluation, une [intégrale](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/15-integration-sur-un-segment#thm-b1-integration-def), ou toute autre recette linéaire — retire au plus une dimension, et exactement une dès que la condition n’est pas identiquement nulle. Le [Chapitre 20](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/20-applications-lineaires#ch-b1-linmaps) nommera de telles recettes *formes linéaires* et leurs [ensembles](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) de solutions *hyperplans* ; les vecteurs de [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) trouvés ici réapparaissent au [Chapitre 23](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/23-espaces-euclidiens#ch-b1-euclid) comme le début de la famille de Legendre.

## 19.2 Sous-espaces, rang, formule de Grassmann

**Théorème 19.14 (Sous-espaces).**

Soient $E$ [de dimension finie](#def-b1-findim-def) et $F$ un [sous-espace vectoriel](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-subspace). Alors $F$ est [de dimension finie](#def-b1-findim-def), $\dim F \leq \dim E$, avec égalité si et seulement si $F = E$. De plus tout [sous-espace vectoriel](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-subspace) admet un [supplémentaire](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-sum).

**Démonstration.** Les [familles libres](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) de $F$ ont au plus $\dim E$ vecteurs (lemme d’échange dans $E$ : une [famille libre](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) de $F$ est en particulier [libre](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) dans $E$, et $E$ a une famille génératrice finie). Parmi les [familles libres](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) de $F$, choisissons-en une de taille *maximale* $p$ — c’est possible, les tailles étant des entiers majorés par $\dim E$. Elle engendre $F$ : sinon un certain $x \in F$ serait hors de son [sous-espace engendré](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-span), et en adjoignant $x$ on obtiendrait une [famille libre](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) de $F$ de taille $p + 1$ ([Proposition 18.19](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#prop-b1-vspaces-freecriteria) (2)), contredisant la maximalité. [Libre](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) et génératrice, c’est une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) de $F$, et $\dim F = p \leq \dim E$. Si $p = \dim E = n$ : une [famille libre](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) de $n$ vecteurs de $E$ est une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) de $E$ ([Proposition 19.8](#prop-b1-findim-twoofthree)), donc $F$ contient le [sous-espace engendré](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-span) par cette famille, qui vaut $E$. [Supplémentaire](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-sum) : complétons une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) $(f_1, \dots, f_p)$ de $F$ en une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) $(f_1, \dots, f_p, g_{p+1},
\dots, g_n)$ de $E$ ([théorème de la base incomplète](#thm-b1-findim-bases)) ; alors $G =
\operatorname{Vect}(g_{p+1}, \dots, g_n)$ vérifie $E = F \oplus G$ (existence et unicité des décompositions = [coordonnées](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#prop-b1-vspaces-coordinates) dans la grande [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free)). ∎

**Définition 19.15 (Rang d’une famille).**

Le *rang* d’une famille finie de vecteurs est la dimension du [sous-espace](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-subspace) qu’elle engendre : $\operatorname{rk}(x_1, \dots, x_p) = \dim
\operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_p) \leq \min(p, \dim E)$, avec égalité à $p$ si et seulement si la famille est [libre](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free).

**Exemple 19.16 (Calcul d’un rang par élimination).**

[Rang](#def-b1-findim-rank) de $\bigl((1,2,3), (2,3,4), (3,4,5), (1,1,1)\bigr)$ dans $\R^3$. Le [sous-espace engendré](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-span) ne change pas quand on retranche à un vecteur une combinaison des autres (les deux familles engendrent les mêmes combinaisons) : remplaçons $(2,3,4)$ par $(2,3,4) - (1,2,3)
= (1,1,1)$ et $(3,4,5)$ par $(3,4,5) - (1,2,3) = (2,2,2)$. Le [sous-espace engendré](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-span) est désormais $\operatorname{Vect}\bigl((1,2,3), (1,1,1), (2,2,2),
(1,1,1)\bigr) = \operatorname{Vect}\bigl((1,2,3), (1,1,1)\bigr)$, et ces deux vecteurs ne sont pas proportionnels : le [rang](#def-b1-findim-rank) vaut $2$. Cette procédure de soustraction-élimination est systématisée sous le nom de méthode du pivot de Gauss au [Chapitre 22](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/22-determinants-et-systemes-lineaires#ch-b1-det).

**Exemple 19.17 (Sommer par concaténation).**

Prenons, dans $\R^3$,

$$
F = \operatorname{Vect}\bigl((1,2,3),\ (1,1,1)\bigr),
\qquad
G = \operatorname{Vect}\bigl((2,3,4)\bigr) .
$$

La somme $F + G$ est engendrée par la famille concaténée des trois générateurs, et

$$
(2, 3, 4) = (1, 2, 3) + (1, 1, 1)
$$

montre que le troisième est redondant : $F + G = F$, de dimension $2$ — autrement dit $G \subseteq F$, ce que la relation affiche. Grassmann confirme : $\dim(F \cap G) = 2 + 1 - 2 = 1 = \dim G$. Les sommes se calculent en concaténant les générateurs puis en réduisant le tas par l’algorithme du [rang](#def-b1-findim-rank) ; aucune technique nouvelle n’est jamais nécessaire.

**Théorème 19.18 (Formule de Grassmann).**

Pour des [sous-espaces vectoriels](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-subspace) $F, G$ [de dimension finie](#def-b1-findim-def) de $E$ :

$$
\dim(F + G) = \dim F + \dim G - \dim(F \cap G) .
$$

En particulier la somme $F + G$ est directe si et seulement si $\dim(F + G) = \dim F + \dim G$.

**Démonstration.** Partons d’une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) $(e_1, \dots, e_r)$ de $F \cap G$ ; complétons-la en une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free)

$$
(e_1, \dots, e_r, f_1, \dots, f_s) \text{ de } F
\quad\text{et}\quad
(e_1, \dots, e_r, g_1, \dots, g_t) \text{ de } G
$$

([Théorème 19.4](#thm-b1-findim-bases) (2)). Montrons que

$$
\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_r, f_1, \dots, f_s, g_1, \dots, g_t)
$$

est une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) de $F + G$ ; la formule suit par comptage : $(r + s) +
(r + t) - r = r + s + t$.

$\mathcal{B}$ engendre $F + G$ : tout $u + v$ ($u \in F$, $v \in G$) s’y décompose. Liberté : supposons $\sum \alpha_i e_i + \sum
\beta_j f_j + \sum \gamma_k g_k = 0$. Le vecteur $w = \sum \gamma_k
g_k = -\sum\alpha_i e_i - \sum\beta_j f_j$ appartient à $G \cap F$, donc il se décompose sur les seuls $(e_i)$ ; mais $w$ se décompose aussi sur les $(g_k)$, et dans la [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) de $G$ ces deux expressions doivent coïncider : tous les $\gamma_k = 0$ (et les [coordonnées](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#prop-b1-vspaces-coordinates) en $e$ se correspondent). La relation se réduit à $\sum\alpha_i e_i + \sum\beta_j f_j = 0$, une relation dans la [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) de $F$ : tous les coefficients restants sont nuls. ∎

**Exemple 19.19.**

Deux plans distincts $F, G$ (de dimension $2$) de $\R^3$ vérifient $F + G = \R^3$ (leur somme contient strictement un plan), donc $\dim(F \cap G) = 2 + 2 - 3 = 1$ : ils se coupent toujours suivant une droite — pas de « plans parallèles » passant par l’origine.

**Exemple 19.20 (Grassmann à l’œuvre, dans R4\R^4R4).**

Soient $F = \operatorname{Vect}\bigl(e_1,\ e_2,\ (1,1,1,0)\bigr)$ et $G = \operatorname{Vect}(e_3, e_4)$ dans $\R^4$. Dimensions : $\dim F = 3$ (le troisième générateur a une troisième coordonnée non nulle, il est hors de $\operatorname{Vect}(e_1, e_2)$) et $\dim G = 2$. Somme : $F + G$ contient $e_1, e_2, e_4$ et $e_3 = (1,1,1,0) - e_1 -
e_2$ : c’est $\R^4$ tout entier. Grassmann *calcule* alors la taille de l’intersection sans la moindre élimination :

$$
\dim(F \cap G) = 3 + 2 - 4 = 1 .
$$

Pour identifier la droite, regardons dans $G$ : un vecteur $(0, 0, c, d)$ appartient à $F$ exactement quand il vaut $a e_1 + b e_2 + \lambda(1,1,1,0)$, ce qui force $\lambda = -a = -b$ et $d = 0$ : l’intersection est $\operatorname{Vect}(e_3)$ — cohérent, puisque $e_3$ a été exhibé dans $F$ ci-dessus et appartient à $G$ par définition. Division du travail typique : Grassmann prédit *combien* il faut chercher, le système linéaire trouve ensuite *quoi*.

**Exemple 19.21 (Intersecter par les équations).**

Quand les deux [sous-espaces](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-subspace) sont donnés comme [ensembles](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) de solutions, intersecter revient simplement à empiler les équations. Dans $\R^3$ : $F = \{x + y + z = 0\}$ et $G = \{x = y\}$ donnent

$$
F \cap G = \{x = y,\ 2x + z = 0\}
= \{(x,\ x,\ -2x)\} = \operatorname{Vect}(1, 1, -2),
$$

une droite. Contre-vérification par Grassmann : $F + G = \R^3$ (les plans sont distincts, donc leur somme contient strictement un plan), d’où $\dim(F\cap G) = 2 + 2 - 3 = 1$. Les deux descriptions d’un [sous-espace](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-subspace) — par équations, par générateurs — rendent chacune une opération triviale : les équations s’intersectent en s’empilant, les générateurs se somment en se concaténant ; passer des unes aux autres est exactement ce que signifie résoudre un système linéaire ([Chapitre 22](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/22-determinants-et-systemes-lineaires#ch-b1-det)).

**Remarque 19.22 (Pièges courants).**

*Les dimensions ne s’ajoutent pas le long des sommes* sauf si la somme est directe : deux plans de $\R^3$ vérifient $\dim(F + G) = 3$, et non $4$ ; toujours corriger par le terme d’intersection (Grassmann). *Une inclusion demande la dimension *et* l’inclusion* : $\dim F = \dim G$ seul ne donne jamais $F = G$ (deux droites distinctes de $\R^2$) ; le cas d’égalité du [Théorème 19.14](#thm-b1-findim-subspaces) exige d’abord $F \subseteq G$. *Compter des paramètres n’est pas encore une démonstration* : « deux équations dans $\R^4$, donc dimension $2$ » est faux quand les équations sont dépendantes ($x + y = 0$ et $2x + 2y = 0$ laissent la dimension $3$) ; seul un paramétrage effectif ou un calcul de [rang](#def-b1-findim-rank) décide. *Ne pas parler de la dimension d’un [ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) qui n’est pas un [sous-espace](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-subspace)* : les [ensembles](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) de solutions des systèmes *non homogènes* ne contiennent pas $0$ ; leur « dimension » est celle de l’espace des solutions du système homogène associé (le [Chapitre 22](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/22-determinants-et-systemes-lineaires#ch-b1-det) rendra cela précis). *La dimension infinie existe* : $K[X]$ contient des [familles libres](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) de toutes les tailles (les monômes), donc aucune famille génératrice finie ne peut exister — des énoncés comme la règle « deux sur trois » sont strictement [de dimension finie](#def-b1-findim-def) et échouent lourdement sur $K[X]$ (le [Corollaire 20.9](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/20-applications-lineaires#cor-b1-linmaps-samedim) montrera la même chose pour l’[injectivité](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) et la [surjectivité](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj)). *Le [rang](#def-b1-findim-rank) porte sur le [sous-espace engendré](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-span), pas sur la liste* : répéter un vecteur, réordonner, ou multiplier par des constantes non nulles laisse le [rang](#def-b1-findim-rank) inchangé, et $\operatorname{rk} = p$ (le nombre de vecteurs) est une *propriété à démontrer* — c’est exactement la liberté. Une famille de $5$ vecteurs de [rang](#def-b1-findim-rank) $2$ porte l’équivalent de trois vecteurs de redondance, que l’élimination ([Exemple 19.16](#ex-b1-findim-rankcomputation)) localise explicitement.

**Remarque 19.23 (Où la dimension se met au travail).**

La dimension est désormais l’argument de comptage préféré du livre. Le [Chapitre 20](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/20-applications-lineaires#ch-b1-linmaps) démontre le théorème du [rang](#def-b1-findim-rank), version fonctionnelle de la [formule de Grassmann](#thm-b1-findim-grassmann) ; le [Chapitre 21](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/21-matrices#ch-b1-matrices) calcule les [rangs](#def-b1-findim-rank) par opérations sur les lignes ; le [Chapitre 22](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/22-determinants-et-systemes-lineaires#ch-b1-det) transforme « $n$ vecteurs de $K^n$ forment une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) » en un seul nombre non nul. Le devoir maison ci-dessous montre la dimension faisant de l’*arithmétique* : compter des dimensions sur le [corps](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/7-structures-algebriques#def-b1-structures-field) $\Q$ démontre des énoncés d’irrationalité qui paraissent inattaquables à la main. Dans le volume de Licence 3, les mêmes comptes de dimension, affinés par la théorie des [groupes](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/7-structures-algebriques#def-b1-structures-group), décident quels problèmes classiques de construction sont solubles — cette histoire s’appelle la théorie de Galois.

**Remarque 19.24 (Perspectives à l’intérieur du livre 3).**

La dimension est la quantité conservée de tout le reste de ce volume, et il vaut la peine d’en nommer les lois de conservation à l’avance. Le [Chapitre 20](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/20-applications-lineaires#ch-b1-linmaps) démontre $\dim E = \dim\ker u +
\operatorname{rk} u$ : ce qu’une [application](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-map) linéaire écrase plus ce qu’elle conserve fait toujours l’espace de départ. Le [Chapitre 22](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/22-determinants-et-systemes-lineaires#ch-b1-det) raffine cela en la structure des [ensembles](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) de solutions : $p$ inconnues moins $\operatorname{rk} A$ pivots laissent la dimension de l’espace des solutions, que le pivot de Gauss exhibe comme paramètres [libres](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free). Le [Chapitre 23](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/23-espaces-euclidiens#ch-b1-euclid) scinde $\dim E = \dim
F + \dim F^\perp$ orthogonalement, et le devoir maison du [Chapitre 25](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/25-fonctions-de-deux-variables#ch-b1-multivar) dépense exactement ce budget : $n$ points de données, $2$ paramètres ajustés, $n - 2$ dimensions de résidus. Chaque fois qu’un compte refuse de tomber juste dans un chapitre ultérieur, l’erreur est un noyau oublié ou une somme non directe — revenir d’abord à la [formule de Grassmann](#thm-b1-findim-grassmann).

## 19.3 Exercices

**Exercice 19.1 ★.**

Donner une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) et la dimension de :

1. $F = \{(x,y,z) \in \R^3 : x + y + z = 0\}$ ;
2. $G = \{(x,y,z,t) \in \R^4 : x = y,\ z = 2t\}$ ;
3. $H = \{P \in \R_3[X] : P(1) = P'(1) = 0\}$ .

**Solution de Exercice 19.1.**

1. $z = -x - y$ : $F = \{(x, y, -x-y)\} =  \operatorname{Vect}\bigl((1,0,-1), (0,1,-1)\bigr)$ ; les deux vecteurs sont [libres](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) ( [coordonnées](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#prop-b1-vspaces-coordinates) ) : $\dim F = 2$ .
2. $G = \{(x, x, 2t, t)\} =  \operatorname{Vect}\bigl((1,1,0,0), (0,0,2,1)\bigr)$ : [libre](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) , $\dim G = 2$ .
3. $P(1) = P'(1) = 0$ signifie $(X-1)^2 \mid P$ ( [Proposition 8.11](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#prop-b1-poly-multiplicity) ) : $P = (X-1)^2(aX + b)$ . [Base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) $\bigl((X-1)^2, X(X-1)^2\bigr)$ , dimension $2$ .

**Exercice 19.2 ★.**

Calculer le [rang](#def-b1-findim-rank) de la famille $\bigl((1,1,1), (1,2,3), (3,5,7), (0,1,2)\bigr)$ dans $\R^3$, et extraire une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) du [sous-espace](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-subspace) qu’elle engendre.

**Solution de Exercice 19.2.**

$(3,5,7) = (1,1,1) + 2(1,2,3)$ et $(0,1,2) = (1,2,3) - (1,1,1)$ : les deux sont combinaisons des deux premiers, qui sont [libres](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) (non proportionnels). [Rang](#def-b1-findim-rank) $2$ ; [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) du [sous-espace engendré](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-span) : $\bigl((1,1,1), (1,2,3)\bigr)$.

**Exercice 19.3 ★.**

Compléter la [famille libre](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) $\bigl((1,1,0,0), (0,0,1,1)\bigr)$ en une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) de $\R^4$ à l’aide de vecteurs canoniques, et justifier.

**Solution de Exercice 19.3.**

Essayons d’adjoindre $e_1 = (1,0,0,0)$ et $e_3 = (0,0,1,0)$. La famille $\bigl((1,1,0,0), (0,0,1,1), e_1, e_3\bigr)$ est [libre](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) : une combinaison nulle $\alpha(1,1,0,0) + \beta(0,0,1,1) + \gamma e_1 + \delta
e_3 = 0$ s’écrit $(\alpha + \gamma, \alpha, \beta + \delta, \beta) =
0$, d’où $\alpha = \beta = 0$, puis $\gamma = \delta = 0$. Quatre vecteurs [libres](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) en dimension $4$ : une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) ([Proposition 19.8](#prop-b1-findim-twoofthree)).

**Exercice 19.4 ★.**

Démontrer que $\bigl(1, X, X(X-1), X(X-1)(X-2)\bigr)$ est une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) de $\R_3[X]$, et trouver les [coordonnées](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#prop-b1-vspaces-coordinates) de $X^3$ dans cette [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free).

**Solution de Exercice 19.4.**

Degrés $0, 1, 2, 3$ deux à deux distincts : [libre](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) ([Proposition 18.19](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#prop-b1-vspaces-freecriteria)), quatre vecteurs en dimension $4$ : [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free). Pour $X^3$ : développons de proche en proche,

$$
X(X-1)(X-2) = X^3 - 3X^2 + 2X,
\qquad
X(X-1) = X^2 - X,
$$

donc $X^3 - X(X-1)(X-2) = 3X^2 - 2X$ ; et $3X^2 - 2X = 3(X^2 - X) + X
= 3\,X(X-1) + X$. Ainsi

$$
X^3 = X(X-1)(X-2) + 3\,X(X-1) + 1\cdot X + 0\cdot 1 :
$$

[coordonnées](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#prop-b1-vspaces-coordinates) $(0, 1, 3, 1)$ sur $\bigl(1, X, X(X-1),
X(X-1)(X-2)\bigr)$. (Ce sont des nombres de Stirling déguisés.)

**Exercice 19.5 ★★.**

Soient $F$ et $G$ des [sous-espaces vectoriels](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-subspace) de dimensions $4$ et $5$ d’un espace $E$ avec $\dim E = 7$. Quelles sont les valeurs possibles de $\dim(F \cap G)$ ? Donner un exemple réalisant chaque valeur avec $E = \R^7$.

**Solution de Exercice 19.5.**

Grassmann : $\dim(F \cap G) = 4 + 5 - \dim(F + G)$, et $F + G$ est un [sous-espace](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-subspace) de $E$ contenant $G$ : $5 \leq \dim(F+G) \leq 7$. Donc $\dim(F \cap G) \in \{2, 3, 4\}$. Réalisations dans $\R^7$ muni de la [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) canonique $(e_1, \dots, e_7)$, en prenant $G =
\operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_5)$ :

- $F = \operatorname{Vect}(e_1, e_2, e_6, e_7)$ : $F + G = \R^7$ , intersection $\operatorname{Vect}(e_1, e_2)$ , dimension $2$ ;
- $F = \operatorname{Vect}(e_1, e_2, e_3, e_6)$ : intersection de dimension $3$ ;
- $F = \operatorname{Vect}(e_1, e_2, e_3, e_4) \subseteq G$ : dimension $4$ .

**Exercice 19.6 ★★.**

Soit $H = \{P \in \R_n[X] : P(1) = 0\}$. Démontrer que $H$ est un hyperplan de $\R_n[X]$ (un [sous-espace](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-subspace) de dimension $n$), exhiber une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) de $H$ *(penser au théorème du facteur : $P = (X-1)Q$)*, et donner une droite [supplémentaire](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-sum).

**Solution de Exercice 19.6.**

$H$ est un [sous-espace](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-subspace) ([Exercice 18.1](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#exo-b1-vspaces-1) (4) mot pour mot). Par le théorème du facteur ([Théorème 8.7](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#thm-b1-poly-factor)), $P \in H \iff P =
(X-1)Q$ avec $\deg Q \leq n - 1$ : l’[application](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-map) $Q \mapsto (X-1)Q$ est une [bijection](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) linéaire de $\R_{n-1}[X]$ sur $H$, donc une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) de $H$ est

$$
\bigl((X-1),\ (X-1)X,\ (X-1)X^2,\ \dots,\ (X-1)X^{n-1}\bigr),
\qquad \dim H = n .
$$

Une droite [supplémentaire](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-sum) : $\operatorname{Vect}(1)$ (les constantes). En effet $H \cap \operatorname{Vect}(1) = \{0\}$ (une constante non nulle ne s’annule pas en $1$) et les dimensions totalisent $n + 1$ : par Grassmann, $H \oplus \operatorname{Vect}(1) = \R_n[X]$.

**Exercice 19.7 ★★.**

Soient $u_1, \dots, u_p$ des vecteurs de [rang](#def-b1-findim-rank) $r$. Démontrer que retirer un vecteur donne une famille de [rang](#def-b1-findim-rank) $r$ ou $r - 1$, et qu’adjoindre un vecteur donne un [rang](#def-b1-findim-rank) $r$ ou $r + 1$. En déduire que le [rang](#def-b1-findim-rank) varie d’au plus $1$ sous toute insertion ou suppression isolée.

**Solution de Exercice 19.7.**

Suppression : en retirant $u_p$, le [sous-espace engendré](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-span) ne peut que diminuer ; et il diminue d’au plus une dimension, car en rajoutant $u_p$ à une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) du plus petit [sous-espace](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-subspace) on obtient une famille génératrice du plus grand avec au plus un vecteur de plus. Symétriquement, en adjoignant un vecteur $v$ : le nouveau [sous-espace engendré](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-span) contient l’ancien avec au plus un générateur de plus, donc sa dimension vaut $r$ (si $v$ était déjà dans le [sous-espace engendré](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-span)) ou $r + 1$ (sinon, une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) se prolonge par la [Proposition 18.19](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#prop-b1-vspaces-freecriteria) (2)). Les deux énoncés réunis donnent la conclusion « le [rang](#def-b1-findim-rank) est $1$-lipschitzien ».

**Exercice 19.8 ★★★.**

Soient $F_1 \subseteq F_2 \subseteq \dots \subseteq F_k$ des [sous-espaces](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-subspace) de $E$ ($\dim E = n$) avec $F_i \neq F_{i+1}$ pour tout $i$. Démontrer que $k \leq n + 1$. En déduire qu’une chaîne strictement croissante de [sous-espaces](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-subspace) de $\R^n$ a une longueur au plus $n + 1$, et en exhiber une de longueur maximale.

**Solution de Exercice 19.8.**

Le long d’une chaîne strictement croissante, les dimensions croissent strictement ($F_i \subseteq F_{i+1}$, $F_i \neq F_{i+1}$ et [Théorème 19.14](#thm-b1-findim-subspaces) : l’égalité des dimensions forcerait l’égalité des espaces). Donc $\dim F_1 < \dim F_2 < \dots < \dim F_k$ est une suite strictement croissante d’entiers de $\intint{0}{n}$ : au plus $n + 1$ valeurs, $k \leq n + 1$. Chaîne maximale dans $\R^n$ :

$$
\{0\} \subsetneq \operatorname{Vect}(e_1) \subsetneq
\operatorname{Vect}(e_1, e_2) \subsetneq \dots \subsetneq \R^n ,
$$

de longueur exactement $n + 1$.

**Exercice 19.9 ★★★.**

Soient $E$ de dimension $n$ et $F$, $G$ deux hyperplans (de dimension $n - 1$), $F \neq G$. Calculer $\dim(F \cap G)$. Généraliser : l’intersection de $k$ hyperplans a une dimension $\geq n - k$.

**Solution de Exercice 19.9.**

$F + G$ contient strictement $F$ (car $G \not\subseteq F$), donc $\dim(F + G) = n$ et Grassmann donne $\dim(F \cap G) = (n-1) +
(n-1) - n = n - 2$.

Énoncé général, par récurrence sur $k$ : l’intersection $I_k$ de $k$ hyperplans vérifie $\dim I_k \geq n - k$. Vrai pour $k = 1$. Étape : $I_{k+1} = I_k \cap H_{k+1}$, et Grassmann dans $E$ :

$$
\dim(I_k \cap H_{k+1}) = \dim I_k + (n - 1) - \dim(I_k + H_{k+1})
\geq \dim I_k + (n-1) - n \geq n - k - 1 . \qedhere
$$

**Exercice 19.10 ★★.**

Soit $E$ l’[ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) des suites réelles vérifiant $u_{n+2} =
3u_{n+1} - 2u_n$ pour tout $n$.

1. Montrer que $E$ est un [sous-espace](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-subspace) de l’espace des suites, et qu’une suite de $E$ est entièrement déterminée, linéairement, par le couple $(u_0, u_1)$ ; en déduire $\dim E = 2$ .
2. Vérifier que la suite constante $(1)$ et la suite géométrique $(2^n)$ appartiennent à $E$ et forment une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) de $E$ .
3. Trouver la suite de $E$ telle que $u_0 = 0$ , $u_1 = 1$ .

**Solution de Exercice 19.10.**

1. La condition $u_{n+2} - 3u_{n+1} + 2u_n = 0$ est linéaire et satisfaite par la suite nulle : $E$ est un [sous-espace](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-subspace) . Par récurrence, $u_0$ et $u_1$ déterminent tous les $u_n$ , et la dépendance est linéaire (chaque étape est une combinaison linéaire des deux valeurs précédentes) ; réciproquement tout couple $(a, b)$ provient d’exactement une suite de $E$ (définir $u_n$ par la récurrence). Comme dans l’ [Exemple 19.5](#ex-b1-findim-dims) , $E$ est paramétré bijectivement et linéairement par $(u_0, u_1) \in \R^2$ : $\dim E = 2$ .
2. Constantes : $3\cdot1 - 2\cdot1 = 1$ . Géométrique : $3\cdot  2^{n+1} - 2\cdot 2^n = (6 - 2)2^n = 2^{n+2}$ . Les deux appartiennent à $E$ . Liberté : $a\cdot 1 + b\cdot 2^n = 0$ pour tout $n$ donne, en $n = 0$ et $n = 1$ : $a + b = 0$ , $a + 2b =  0$ , donc $a = b = 0$ . Deux vecteurs [libres](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) en dimension $2$ : une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) ( [Proposition 19.8](#prop-b1-findim-twoofthree) ).
3. Résolvons $a + b = 0$ , $a + 2b = 1$ : $b = 1$ , $a = -1$ , donc $u_n = 2^n - 1$ (la suite de Mersenne).

**Exercice 19.11 ★★.**

Soit $E$ de dimension $n$.

1. Si $F, G$ sont des [sous-espaces](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-subspace) avec $\dim F + \dim G > n$ , démontrer que $F \cap G \neq \{0\}$ . Illustrer : deux [sous-espaces](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-subspace) de dimensions $51$ et $50$ de $\R^{100}$ partagent toujours un vecteur non nul.
2. Si $H$ est un hyperplan et $F$ un [sous-espace](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-subspace) avec $F \cap H =  \{0\}$ , démontrer que $\dim F \leq 1$ .

**Solution de Exercice 19.11.**

1. Grassmann : $\dim(F \cap G) = \dim F + \dim G - \dim(F +  G) \geq \dim F + \dim G - n > 0$ , donc $F \cap G \neq  \{0\}$ . Avec $n = 100$ : $51 + 50 - 100 = 1 > 0$ , l’intersection contient une droite.
2. Si $F \cap H = \{0\}$ , la somme est directe et $\dim F +  (n - 1) = \dim(F \oplus H) \leq n$ , donc $\dim F \leq 1$ . (Réciproquement une droite non contenue dans $H$ vérifie bien cela : les hyperplans ne ratent presque rien.)

**Exercice 19.12 ★★★.**

([Supplémentaire](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-sum) commun) Soient $F, G$ des [sous-espaces](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-subspace) de $E$ ([de dimension finie](#def-b1-findim-def)) avec $\dim F = \dim G$. Démontrer que $F$ et $G$ admettent un [supplémentaire](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-sum) *commun* : il existe un [sous-espace](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-subspace) $S$ tel que $E = F \oplus S = G \oplus S$. *(Récurrence descendante sur $\dim F$ : si $F \neq G \neq E$, choisir $x \notin F
\cup G$ — l’[Exercice 18.12](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#exo-b1-vspaces-12) l’autorise — et considérer $F
\oplus \operatorname{Vect}(x)$ et $G \oplus \operatorname{Vect}(x)$.)*

**Solution de Exercice 19.12.**

Récurrence descendante sur $d = \dim F = \dim G$, de $d = n$ à $d =
0$. Si $d = n$ : $F = G = E$ et $S = \{0\}$ convient. Supposons l’énoncé vrai pour les couples de [sous-espaces](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-subspace) de dimension $d + 1
\leq n$, et soit $\dim F = \dim G = d < n$.

Si $F = G$ : prendre pour $S$ n’importe quel [supplémentaire](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-sum) de $F$ ([Théorème 19.14](#thm-b1-findim-subspaces)). Si $F \neq G$ : tous deux sont propres, donc par l’[Exercice 18.12](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#exo-b1-vspaces-12) il existe $x \notin F \cup
G$. Les sommes $F' = F \oplus \operatorname{Vect}(x)$ et $G' = G
\oplus \operatorname{Vect}(x)$ sont directes ($x \notin F$, $x \notin
G$) et de dimension $d + 1$ ; par hypothèse de récurrence elles admettent un [supplémentaire](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-sum) commun $S'$ : $E = F' \oplus S' = G'
\oplus S'$. Posons $S = \operatorname{Vect}(x) \oplus S'$ — [somme directe](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-sum), car $S' \cap \operatorname{Vect}(x) \subseteq S' \cap F' =
\{0\}$.

Alors $F + S = F + \operatorname{Vect}(x) + S' = F' + S' = E$, et $F \cap S = \{0\}$ : si $f = \lambda x + s'$ avec $f \in F$, $s'
\in S'$, alors $s' = f - \lambda x \in F' \cap S' = \{0\}$, donc $f
= \lambda x$, ce qui force $\lambda = 0$ ($x \notin F$) et $f = 0$. Ainsi $E = F \oplus S$, et symétriquement $E = G \oplus S$.

## 19.4 Problème : la formule des degrés de Dedekind

**Problème 19.1.**

Rien, dans les chapitres 18 et 19, n’a fait appel aux scalaires au-delà des axiomes de [corps](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/7-structures-algebriques#def-b1-structures-field) ([Définition 7.22](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/7-structures-algebriques#def-b1-structures-field)) : on peut donc prendre $K = \Q$ et mesurer des [ensembles](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) de *nombres réels* à l’aune de la $\Q$-dimension. Ce problème calcule la dimension de $\Q(\sqrt2, \sqrt3)$, démontre la *[formule des degrés](#pb-b1-findim-1) de Dedekind* $\dim_\Q M = \dim_\Q K \cdot \dim_K M$, et récolte des théorèmes d’irrationalité par pur comptage de dimensions — pas de $\varepsilon$, pas de décimales, rien que des [bases](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free).

**Partie I — Scalaires rationnels.**

1. Vérifier que $\Q$ est un [corps](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/7-structures-algebriques#def-b1-structures-field) et que toutes les définitions et démonstrations des chapitres 18 et 19 n’utilisent que les axiomes de [corps](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/7-structures-algebriques#def-b1-structures-field) des scalaires ; en conclure que $\R$ est un $\Q$ -espace vectoriel et que le lemme d’échange, les théorèmes sur les [bases](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) et la [formule de Grassmann](#thm-b1-findim-grassmann) valent sur $\Q$ . Repérer l’unique étape de la démonstration du [Théorème 19.2](#thm-b1-findim-exchange) où l’on divise par un scalaire non nul.
2. Montrer que $(1, \sqrt2)$ est [libre](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) sur $\Q$ mais liée sur $\R$ . Poser $\Q(\sqrt2) = \operatorname{Vect}_\Q(1,  \sqrt2) = \{a + b\sqrt2 : a, b \in \Q\}$ ; que vaut $\dim_\Q \Q(\sqrt2)$ ?
3. Montrer que $\Q(\sqrt2)$ est stable par multiplication. Pour $u = a + b\sqrt2$ , poser $\sigma(u) = a - b\sqrt2$ et $N(u) = u\,\sigma(u) = a^2 - 2b^2$ . Montrer que $\sigma(uv) =  \sigma(u)\sigma(v)$ , en déduire $N(uv) = N(u)N(v)$ , et montrer que $N(u) \neq 0$ dès que $u \neq 0$ .
4. En déduire que tout $u \in \Q(\sqrt2)$ non nul a son inverse dans $\Q(\sqrt2)$ , à savoir $u^{-1} =  \sigma(u)/N(u)$ : $\Q(\sqrt2)$ est un [sous-corps](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/7-structures-algebriques#def-b1-structures-field) de $\R$ . Calculer $\dfrac1{3 + 2\sqrt2}$ et $\dfrac1{1 + \sqrt2}$ .

**Partie II — Adjonction de $\sqrt3$.**

5. Démontrer que $\sqrt6 \notin \Q$ *(comparer l’exposant de $2$ des deux côtés de $6q^2 = p^2$, comme dans l’[Exercice 6.7](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/6-arithmetique-des-entiers#exo-b1-arith-7))* , puis que $\sqrt3 \notin  \Q(\sqrt2)$ *(élever $\sqrt3 = a + b\sqrt2$ au carré et discuter les cas $ab \neq 0$, $b = 0$, $a = 0$)* .
6. Soit $M = \operatorname{Vect}_\Q(1, \sqrt2, \sqrt3,  \sqrt6)$ . Montrer que $M$ est stable par multiplication *(une table des produits des vecteurs de [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) suffit)* .
7. On pose $K = \Q(\sqrt2)$ . Montrer que $(1, \sqrt3)$ est [libre](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) *sur le [corps](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/7-structures-algebriques#def-b1-structures-field) $K$* , et en déduire que $M = K +  K\sqrt3$ est un $K$ -espace vectoriel de dimension $2$ , de [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) $(1, \sqrt3)$ .
8. Démontrer que $(1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6)$ est [libre](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) sur $\Q$ , donc $\dim_\Q M = 4$ . *(Regrouper une relation nulle sous la forme $(a + b\sqrt2) + (c + d\sqrt2)\sqrt3 = 0$ et appliquer les questions 7 puis 2.)*

**Partie III — La [formule des degrés](#pb-b1-findim-1).** Soient $\Q
\subseteq K \subseteq M \subseteq \R$ où $K$ et $M$ sont des [sous-corps](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/7-structures-algebriques#def-b1-structures-field), $(e_1, \dots, e_m)$ une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) de $K$ comme $\Q$-espace vectoriel, et $(f_1, \dots, f_n)$ une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) de $M$ comme $K$-espace vectoriel.

9. Montrer que les $mn$ produits $(e_i f_j)$ engendrent $M$ sur $\Q$ .
10. Montrer que la famille $(e_i f_j)$ est [libre](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) sur $\Q$ . *(Réorganiser une $\Q$-combinaison nulle sous la forme $\sum_j \bigl(\sum_i \lambda_{ij} e_i\bigr) f_j$, dont les coefficients [intérieurs](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-closure) vivent dans $K$.)*
11. Conclure par la *[formule des degrés](#pb-b1-findim-1) de Dedekind* : $$\dim_\Q M \;=\; \dim_\Q K \,\cdot\, \dim_K M ,$$ et la vérifier sur $\Q \subseteq \Q(\sqrt2) \subseteq M$ à l’aide des questions 7 et 8.
12. (Des [corps](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/7-structures-algebriques#def-b1-structures-field) gratuitement) Soit $A \subseteq \R$ un $\Q$ -sous-espace [de dimension finie](#def-b1-findim-def) contenant $1$ et stable par multiplication, et soit $u \in A$ , $u \neq  0$ . Montrer que si $(a_1, \dots, a_d)$ est une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) de $A$ , alors $(u a_1, \dots, u a_d)$ en est encore une ; en déduire que $u$ a un inverse *dans $A$* : $A$ est un [sous-corps](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/7-structures-algebriques#def-b1-structures-field) de $\R$ . Quelles questions antérieures ce résultat redémontre-t-il ?
13. Montrer que pour tout $x \in A$ (comme à la question 12, $\dim_\Q A = d$ ) la famille $(1, x, x^2, \dots, x^{d})$ est liée : tout élément de $A$ est racine d’un [polynôme](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) non nul à coefficients rationnels, de degré au plus $d$ .

**Partie IV — Un seul nombre engendre tout.** Posons $s = \sqrt2 + \sqrt3$.

14. Calculer les [coordonnées](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#prop-b1-vspaces-coordinates) de $s^2$ , $s^3$ et $s^4$ dans la [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) $(1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6)$ de $M$ .
15. Montrer que $(1, s, s^2, s^3)$ est [libre](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) sur $\Q$ , et en déduire que $\operatorname{Vect}_\Q(1, s, s^2, s^3) = M$ : tout élément de $M$ est un [polynôme](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) à coefficients rationnels en $s$ . Exprimer $\sqrt2$ et $\sqrt3$ comme de tels [polynômes](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) .
16. Vérifier que $s^4 - 10s^2 + 1 = 0$ , et montrer que $X^4 -  10X^2 + 1$ est le *[polynôme unitaire](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) de plus petit degré* s’annulant en $s$ . Déterminer ses quatre racines réelles.
17. En déduire : $1/s = 10s - s^3$ ; identifier ce nombre. Montrer que $a + b\sqrt2 + c\sqrt3 + d\sqrt6$ ( $a,b,c,d \in \Q$ ) est rationnel si et seulement si $b = c = d = 0$ ; en particulier $\sqrt2 + \sqrt3 + \sqrt6$ est irrationnel (ce qui renforce l’ [Exercice 10.7](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#exo-b1-reals-7) ).

**Partie V — La racine cubique reste dehors.** Posons $t = 2^{1/3}$.

18. Montrer que $X^3 - 2$ n’a pas de racine rationnelle *(le critère de racine rationnelle de l’[Exercice 8.5](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#exo-b1-poly-5), ou un comptage de valuations)* ; en déduire que $(1, t)$ est [libre](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) sur $\Q$ .
19. Montrer que $(1, t, t^2)$ est [libre](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) sur $\Q$ . *(Si un $P \in \Q[X]$ non nul de degré $\leq 2$ annule $t$, en prendre un de plus petit degré et diviser $X^3 - 2$ par lui, [Théorème 8.3](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#thm-b1-poly-division) ; conclure que $X^3 - 2$ aurait une racine rationnelle.)* En déduire que $A =  \operatorname{Vect}_\Q(1, t, t^2)$ est de dimension $3$ , est stable par multiplication, et est un [sous-corps](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/7-structures-algebriques#def-b1-structures-field) de $\R$ .
20. Démontrer que $t \notin M$ : sinon $M$ serait un [espace vectoriel](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-def) sur le [corps](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/7-structures-algebriques#def-b1-structures-field) $A$ , et la [formule des degrés](#pb-b1-findim-1) forcerait $3 \mid 4$ . Donc $2^{1/3}$ n’est pas une combinaison rationnelle de $1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6$ .
21. En déduire que $t \notin \Q(\sqrt2)$ , que $t + \sqrt2$ est irrationnel, et qu’aucun couple de rationnels $a, b$ ne vérifie $2^{1/3} = a + b\sqrt3$ .

**Partie VI — Tous les [sous-corps](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/7-structures-algebriques#def-b1-structures-field), et synthèse.**

22. Démontrer la [divisibilité](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/6-arithmetique-des-entiers#def-b1-arith-divides) des degrés : si $\Q \subseteq A  \subseteq B \subseteq \R$ sont des [sous-corps](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/7-structures-algebriques#def-b1-structures-field) avec $\dim_\Q B$ finie, alors $\dim_\Q A$ [divise](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/6-arithmetique-des-entiers#def-b1-arith-divides) $\dim_\Q B$ . Quelles sont les dimensions possibles des [sous-corps](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/7-structures-algebriques#def-b1-structures-field) de $M$ ?
23. Déterminer *tous* les [sous-corps](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/7-structures-algebriques#def-b1-structures-field) de $M$ de dimension $2$ sur $\Q$ . *(Se ramener à trouver les $w = a + b\sqrt2  + c\sqrt3 + d\sqrt6 \in M \setminus \Q$ tels que $w^2 \in  \Q$ : développer $w^2$ et annuler les trois [coordonnées](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#prop-b1-vspaces-coordinates) irrationnelles.)*
24. Exprimer $\dfrac1{1 + \sqrt2 + \sqrt3}$ dans la [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) $(1,  \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6)$ *(multiplier par des conjugués bien choisis)* .
25. Synthèse, en quatre phrases : pourquoi la $\Q$ -dimension est un invariant *arithmétique* d’un [ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) de réels ; ce que la finitude de la dimension impose à chaque élément (question 13) ; comment la règle « deux sur trois » a produit des inverses à partir de rien (question 12) ; et ce que la [formule des degrés](#pb-b1-findim-1) interdit (question 20). Nommer le théorème démontré dans la partie III.

**Solution de Problème 19.1.**

**1.** $\Q$ contient $0 \neq 1$, est stable par addition, multiplication et passage à l’opposé, et tout rationnel non nul a un inverse rationnel : c’est un [corps](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/7-structures-algebriques#def-b1-structures-field) ([Définition 7.22](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/7-structures-algebriques#def-b1-structures-field)). Les définitions de [sous-espace engendré](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-span), de liberté, de [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) et les démonstrations des chapitres 18 et 19 n’utilisent que l’addition vectorielle, la distributivité et l’arithmétique des scalaires dans un [corps](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/7-structures-algebriques#def-b1-structures-field) — jamais une valeur absolue, un ordre ou une limite. Donc $\R$, muni de sa propre addition et de la multiplication $\Q \times \R \to \R$, est un $\Q$-espace vectoriel, et tous les théorèmes s’appliquent. La division par un scalaire intervient une seule fois dans la démonstration du [Théorème 19.2](#thm-b1-findim-exchange) : pour « résoudre en $g_k$ », on divise par son coefficient non nul.

**2.** Si $a + b\sqrt2 = 0$ avec $a, b \in \Q$ non tous deux nuls : $b \neq 0$ donnerait $\sqrt2 = -a/b \in \Q$, contredisant l’irrationalité de $\sqrt2$ ([Exercice 6.7](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/6-arithmetique-des-entiers#exo-b1-arith-7) avec $p =
2$) ; donc $b = 0$, puis $a = 0$ : [libre](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) sur $\Q$. Sur $\R$, la relation $\sqrt2\cdot 1 + (-1)\cdot\sqrt2 = 0$ est non triviale : liée. Ainsi $\dim_\Q \Q(\sqrt2) = 2$, avec des [coordonnées](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#prop-b1-vspaces-coordinates) $(a, b)$ uniques.

**3.** $(a + b\sqrt2)(c + d\sqrt2) = (ac + 2bd) + (ad +
bc)\sqrt2 \in \Q(\sqrt2)$. Alors

$$
\sigma(uv) = (ac + 2bd) - (ad + bc)\sqrt2
= (a - b\sqrt2)(c - d\sqrt2) = \sigma(u)\sigma(v),
$$

donc $N(uv) = uv\,\sigma(uv) = u\sigma(u)\,v\sigma(v) = N(u)N(v)$. Si $N(u) = a^2 - 2b^2 = 0$ avec $u \neq 0$ : $b \neq 0$ donnerait $(a/b)^2 = 2$, une racine carrée rationnelle de $2$ ; donc $b = 0$, puis $a = 0$ et $u = 0$ : contradiction. Ainsi $N(u) \neq 0$ dès que $u \neq 0$.

**4.** $u \cdot \dfrac{\sigma(u)}{N(u)} = \dfrac{N(u)}{N(u)}
= 1$, et $\sigma(u)/N(u) \in \Q(\sqrt2)$ : tout élément non nul est inversible dans $\Q(\sqrt2)$, qui est donc un [sous-corps](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/7-structures-algebriques#def-b1-structures-field) de $\R$. Exemples : $N(3 + 2\sqrt2) = 9 - 8 = 1$, donc

$$
\frac1{3 + 2\sqrt2} = 3 - 2\sqrt2 ;
\qquad
N(1 + \sqrt2) = -1, \quad
\frac1{1 + \sqrt2} = \sqrt2 - 1 .
$$

**5.** Si $\sqrt6 = p/q$ alors $6q^2 = p^2$ ; l’exposant de $2$ vaut $1 + 2v_2(q)$, impair, à gauche, et $2v_2(p)$, pair, à droite : impossible. Supposons maintenant $\sqrt3 = a + b\sqrt2$ avec $a, b \in \Q$. En élevant au carré : $3 = a^2 + 2b^2 + 2ab\sqrt2$. Si $ab \neq 0$, alors $\sqrt2 = (3 - a^2 - 2b^2)/(2ab) \in \Q$ : impossible. Si $b = 0$ : $\sqrt3 = a \in \Q$, contredisant l’[Exercice 6.7](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/6-arithmetique-des-entiers#exo-b1-arith-7) ($p = 3$). Si $a = 0$ : $\sqrt3 = b\sqrt2$, et en multipliant par $\sqrt2$ : $\sqrt6 = 2b \in \Q$ : impossible. Donc $\sqrt3 \notin \Q(\sqrt2)$.

**6.** Les produits des vecteurs de [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) sont

$$
\sqrt2\,\sqrt3 = \sqrt6,\quad
\sqrt2\,\sqrt6 = 2\sqrt3,\quad
\sqrt3\,\sqrt6 = 3\sqrt2,\quad
(\sqrt2)^2 = 2,\ (\sqrt3)^2 = 3,\ (\sqrt6)^2 = 6,
$$

tous dans $M$. Un produit de deux éléments de $M$ se développe par bilinéarité en combinaisons rationnelles de ceux-ci : $M$ est stable par multiplication.

**7.** Soit $x + y\sqrt3 = 0$ avec $x, y \in K = \Q(\sqrt2)$. Si $y \neq 0$, alors $\sqrt3 = -x/y \in K$ (question 4 : $K$ est un [corps](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/7-structures-algebriques#def-b1-structures-field)), contredisant la question 5. Donc $y = 0$, puis $x = 0$ : $(1,
\sqrt3)$ est [libre](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) sur $K$. Elle engendre : $K + K\sqrt3 =
\{(a + b\sqrt2) + (c + d\sqrt2)\sqrt3\} = \operatorname{Vect}_\Q
(1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6) = M$. Ainsi $\dim_K M = 2$.

**8.** Une relation $a + b\sqrt2 + c\sqrt3 + d\sqrt6 = 0$ se regroupe en $(a + b\sqrt2) + (c + d\sqrt2)\sqrt3 = 0$, à coefficients dans $K$ ; par la question 7 les deux sont nuls, et par la question 2 $a = b = 0$ et $c = d = 0$. La famille est donc [libre](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) et $\dim_\Q M
= 4$.

**9.** Tout $x \in M$ s’écrit $x = \sum_j y_j f_j$ avec $y_j
\in K$ ([base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) de $M$ sur $K$), et chaque $y_j = \sum_i
\lambda_{ij} e_i$ avec $\lambda_{ij} \in \Q$ ([base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) de $K$ sur $\Q$) ; en substituant, $x = \sum_{i,j} \lambda_{ij}\, e_i f_j$ : les produits engendrent $M$ sur $\Q$.

**10.** Supposons $\sum_{i,j} \lambda_{ij}\, e_i f_j = 0$ avec $\lambda_{ij} \in \Q$. Regroupons : $\sum_j \bigl(\sum_i \lambda_{ij}
e_i\bigr) f_j = 0$, et les sommes [intérieures](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-closure) appartiennent à $K$. La liberté de $(f_j)$ sur $K$ donne $\sum_i \lambda_{ij} e_i = 0$ pour chaque $j$ ; la liberté de $(e_i)$ sur $\Q$ donne ensuite $\lambda_{ij} = 0$ pour tous $i, j$.

**11.** D’après les questions 9 et 10, $(e_i f_j)_{i \leq m,\, j
\leq n}$ est une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) de $M$ sur $\Q$, à $mn$ éléments :

$$
\dim_\Q M = m\,n = \dim_\Q K \cdot \dim_K M .
$$

Vérification : $\dim_\Q K = 2$ et $\dim_K M = 2$ (questions 2 et 7) donnent $\dim_\Q M = 4$, ce qui est la question 8.

**12.** Les vecteurs $u a_1, \dots, u a_d$ appartiennent à $A$ (stabilité). Ils sont [libres](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) : si $\sum_i \lambda_i\, u a_i = 0$, alors $u \sum_i \lambda_i a_i = 0$ dans $\R$, et $u \neq 0$ force $\sum_i \lambda_i a_i = 0$, d’où $\lambda_i = 0$ (les $a_i$ forment une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free)). Donc $(u a_1, \dots, u a_d)$ est une [famille libre](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) de $d$ vecteurs de $A$, avec $\dim_\Q A = d$ : c’est une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) ([Proposition 19.8](#prop-b1-findim-twoofthree)). En particulier $1 \in A$ se décompose en $1 = \sum_i \mu_i\, u a_i = u\,v$ avec $v = \sum_i
\mu_i a_i \in A$ : l’inverse de $u$ est dans $A$. On retrouve ainsi la question 4 ($A = \Q(\sqrt2)$) et l’on démontre d’un coup que $M$ est un [sous-corps](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/7-structures-algebriques#def-b1-structures-field) de $\R$ (avec la question 6).

**13.** Les $d + 1$ vecteurs $1, x, x^2, \dots, x^{d}$ appartiennent tous à $A$ (stabilité par produit) ; une [famille libre](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) de $A$ a au plus $d$ vecteurs ([Proposition 19.8](#prop-b1-findim-twoofthree)), donc ils sont liés : il existe des rationnels $\lambda_0, \dots,
\lambda_d$, non tous nuls, tels que $\sum_k \lambda_k x^k = 0$. Le [polynôme](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) $P = \sum_k \lambda_k X^k$ est non nul, à coefficients rationnels, de degré $\leq d$, et $P(x) = 0$.

**14.** $s^2 = 2 + 2\sqrt6 + 3 = 5 + 2\sqrt6$ : [coordonnées](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#prop-b1-vspaces-coordinates) $(5, 0, 0, 2)$. Puis

$$
s^3 = s\,s^2 = (\sqrt2 + \sqrt3)(5 + 2\sqrt6)
= 5\sqrt2 + 2\sqrt{12} + 5\sqrt3 + 2\sqrt{18}
= 11\sqrt2 + 9\sqrt3 ,
$$

[coordonnées](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#prop-b1-vspaces-coordinates) $(0, 11, 9, 0)$ (en utilisant $\sqrt{12} = 2\sqrt3$, $\sqrt{18} = 3\sqrt2$). Enfin $s^4 = (s^2)^2 = 25 + 20\sqrt6 +
24 = 49 + 20\sqrt6$ : [coordonnées](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#prop-b1-vspaces-coordinates) $(49, 0, 0, 20)$.

**15.** Supposons $a + bs + cs^2 + ds^3 = 0$. En lisant les quatre [coordonnées](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#prop-b1-vspaces-coordinates) sur $(1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6)$ :

$$
a + 5c = 0,\qquad b + 11d = 0,\qquad b + 9d = 0,\qquad 2c = 0 .
$$

Donc $c = 0$, puis $a = 0$ ; en soustrayant les deux équations médianes, $2d = 0$, puis $b = 0$ : $(1, s, s^2, s^3)$ est [libre](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free). Quatre vecteurs [libres](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) dans $M$, de dimension $4$ : une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free), donc $\operatorname{Vect}_\Q(1, s, s^2, s^3) = M$. D’après la question 14, $s^3 - 9s = 2\sqrt2$ et $11s - s^3 = 2\sqrt3$ :

$$
\sqrt2 = \frac{s^3 - 9s}{2},
\qquad
\sqrt3 = \frac{11s - s^3}{2} .
$$

**16.** $s^4 - 10s^2 + 1 = (49 + 20\sqrt6) - 10(5 +
2\sqrt6) + 1 = 0$. Un [polynôme unitaire](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) de degré $\leq 3$ s’annulant en $s$ produirait une combinaison nulle non triviale de $(1, s, s^2, s^3)$, contredisant la question 15 : $X^4 - 10X^2 + 1$ est de degré minimal. Ses racines : $X^2 = 5 \pm 2\sqrt6 = (\sqrt3 \pm
\sqrt2)^2$, donc les quatre racines réelles sont $\pm(\sqrt3 +
\sqrt2)$ et $\pm(\sqrt3 - \sqrt2)$, c’est-à-dire $\pm\sqrt2 \pm
\sqrt3$.

**17.** De $s^4 - 10s^2 + 1 = 0$ on tire $s\,(10s - s^3) = 1$, donc

$$
\frac1s = 10s - s^3 = 10(\sqrt2 + \sqrt3) - (11\sqrt2 + 9\sqrt3)
= \sqrt3 - \sqrt2 ,
$$

en accord avec $(\sqrt3 + \sqrt2)(\sqrt3 - \sqrt2) = 1$. Si $a +
b\sqrt2 + c\sqrt3 + d\sqrt6 = r \in \Q$, alors $(a - r) + b\sqrt2
+ c\sqrt3 + d\sqrt6 = 0$, et la liberté (question 8) force $b = c
= d = 0$ (et $a = r$). Pour $\sqrt2 + \sqrt3 + \sqrt6$, les [coordonnées](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#prop-b1-vspaces-coordinates) $(0, 1, 1, 1)$ ne sont pas de cette forme : irrationnel — énoncé plus fort que l’[Exercice 10.7](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#exo-b1-reals-7), obtenu sans aucune astuce d’élévation au carré.

**18.** Une racine rationnelle $p/q$ (sous forme irréductible) de $X^3 - 2$ vérifie $p^3 = 2q^3$, et le critère de l’[Exercice 8.5](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#exo-b1-poly-5) donne $p \mid 2$, $q \mid 1$ : les candidats sont $\pm1, \pm2$, dont les cubes valent $\pm1, \pm8 \neq 2$. Pas de racine rationnelle ; en particulier $t = 2^{1/3} \notin \Q$, donc $(1, t)$ est [libre](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) sur $\Q$ (comme à la question 2).

**19.** Supposons $(1, t, t^2)$ liée : un certain $P \in
\Q[X]$ non nul avec $\deg P \leq 2$ vérifie $P(t) = 0$ ; choisissons un tel $P$ de degré $d \geq 1$ *minimal*. Par la question 18, $d
\neq 1$, donc $d = 2$. Division euclidienne ([Théorème 8.3](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#thm-b1-poly-division)) : $X^3 - 2 = PQ + R$ avec $Q, R \in
\Q[X]$, $\deg R < 2$. En évaluant en $t$ : $0 = P(t)Q(t) + R(t) =
R(t)$, donc $R$ s’annule en $t$ ; la minimalité de $d$ force $R = 0$. Alors $X^3 - 2 = PQ$ avec $\deg Q = 1$ : la racine rationnelle de $Q$ est une racine rationnelle de $X^3 - 2$, contredisant la question 18. Ainsi $(1, t, t^2)$ est [libre](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) et $\dim_\Q A = 3$. Stabilité : $t^3 =
2$ réduit tout produit de $1, t, t^2$ à une combinaison de ceux-ci ($t\cdot t^2 = 2$, $t^2\cdot t^2 = 2t$) ; $A$ contient $1$ : par la question 12, $A$ est un [sous-corps](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/7-structures-algebriques#def-b1-structures-field) de $\R$.

**20.** Supposons $t \in M$. Alors $t^2 \in M$ (stabilité), donc $A \subseteq M$, et $M$ est un [espace vectoriel](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-def) sur le [corps](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/7-structures-algebriques#def-b1-structures-field) $A$ : les axiomes sont ceux de l’arithmétique de $\R$, restreinte. Il est [de dimension finie](#def-b1-findim-def) sur $A$ (une famille $\Q$-génératrice finie engendre a fortiori sur $A \supseteq \Q$). La [formule des degrés](#pb-b1-findim-1) pour $\Q \subseteq A \subseteq M$ donne

$$
4 = \dim_\Q M = \dim_\Q A \cdot \dim_A M = 3\,\dim_A M ,
$$

impossible : $3$ ne [divise](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/6-arithmetique-des-entiers#def-b1-arith-divides) pas $4$. Donc $2^{1/3} \notin M$ : aucune combinaison rationnelle de $1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6$ ne vaut $2^{1/3}$.

**21.** $\Q(\sqrt2) \subseteq M$, donc $t \notin \Q(\sqrt2)$. Si $t + \sqrt2 = r \in \Q$, alors $t = r - \sqrt2 \in \Q(\sqrt2)$ : contradiction — $2^{1/3} + \sqrt2$ est irrationnel. Si $t = a +
b\sqrt3$, alors $t \in \operatorname{Vect}_\Q(1, \sqrt3) \subseteq
M$ : contradiction à nouveau.

**22.** $B$ est un [espace vectoriel](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-def) sur le [corps](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/7-structures-algebriques#def-b1-structures-field) $A$ (restriction des scalaires), [de dimension finie](#def-b1-findim-def) puisque $\dim_\Q B$ l’est. La [formule des degrés](#pb-b1-findim-1) pour $\Q \subseteq A \subseteq B$ donne $\dim_\Q B = \dim_\Q A \cdot \dim_A B$ : le facteur de gauche [divise](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/6-arithmetique-des-entiers#def-b1-arith-divides). Les [sous-corps](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/7-structures-algebriques#def-b1-structures-field) de $M$ ont donc pour $\Q$-dimension $1$, $2$ ou $4$ : la dimension $1$ est $\Q$ lui-même, la dimension $4$ est $M$.

**23.** Soit $F \subseteq M$ un [sous-corps](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/7-structures-algebriques#def-b1-structures-field) avec $\dim_\Q F =
2$, et $w \in F \setminus \Q$ : $(1, w)$ est [libre](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free), donc c’est une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) de $F$. Par la question 13 ($d = 2$), $w^2 = \alpha + \beta w$ pour des rationnels $\alpha, \beta$. En posant $v = w - \beta/2 \in F
\setminus \Q$ :

$$
v^2 = w^2 - \beta w + \frac{\beta^2}4 = \alpha + \frac{\beta^2}4
\;\in\; \Q,
$$

et $F = \operatorname{Vect}(1, v)$. Écrivons maintenant $v = a +
b\sqrt2 + c\sqrt3 + d\sqrt6$ et développons :

$$
v^2 = (a^2 + 2b^2 + 3c^2 + 6d^2)
+ (2ab + 6cd)\sqrt2 + (2ac + 4bd)\sqrt3 + (2ad + 2bc)\sqrt6 .
$$

Les trois [coordonnées](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#prop-b1-vspaces-coordinates) irrationnelles s’annulent : $ab + 3cd = ac + 2bd
= ad + bc = 0$. Si $a \neq 0$ : $b = -3cd/a$, et la deuxième condition devient $c(a^2 - 6d^2) = 0$ ; comme $a^2 = 6d^2$ avec $d
\neq 0$ rendrait $\sqrt6 = \abs{a/d}$ rationnel, on a $c = 0$ ou $d = 0$, et dans les deux cas les conditions restantes forcent $b =
c = d = 0$, c’est-à-dire $v \in \Q$ : exclu. Donc $a = 0$, et les conditions s’écrivent $3cd = 2bd = bc = 0$ : au plus un des $b, c, d$ est non nul. Ainsi $v$ est un multiple rationnel de $\sqrt2$, $\sqrt3$ ou $\sqrt6$, et

$$
F \in \bigl\{\Q(\sqrt2),\ \Q(\sqrt3),\ \Q(\sqrt6)\bigr\} ,
$$

chacun étant effectivement un [sous-corps](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/7-structures-algebriques#def-b1-structures-field) de dimension $2$ (stabilité comme à la question 6, inverses par la question 12) : exactement trois [sous-corps](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/7-structures-algebriques#def-b1-structures-field) quadratiques.

**24.** $(1 + \sqrt2 + \sqrt3)(1 + \sqrt2 - \sqrt3) = (1 +
\sqrt2)^2 - 3 = 2\sqrt2$, donc

$$
\frac1{1 + \sqrt2 + \sqrt3}
= \frac{1 + \sqrt2 - \sqrt3}{2\sqrt2}
= \frac{\sqrt2 + 2 - \sqrt6}{4}
= \frac12 + \frac14\sqrt2 + 0\cdot\sqrt3 - \frac14\sqrt6 .
$$

(Vérification : $(1 + \sqrt2 + \sqrt3)(2 + \sqrt2 - \sqrt6) = 4$ après développement.)

**25.** (i) La $\Q$-dimension attache un *entier* à chaque [sous-corps](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/7-structures-algebriques#def-b1-structures-field) de $\R$, et la [formule des degrés](#pb-b1-findim-1) fait multiplier ces entiers le long des inclusions : la dimension se comporte comme un invariant arithmétique, et les contraintes de [divisibilité](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/6-arithmetique-des-entiers#def-b1-arith-divides) deviennent des démonstrations d’impossibilité. (ii) La [dimension finie](#def-b1-findim-def) force tout élément à satisfaire une équation polynomiale rationnelle non nulle, de degré au plus la dimension : finitude signifie algébricité. (iii) La règle « deux sur trois » a transformé « la multiplication par $u$ envoie une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) sur une [famille libre](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) de taille maximale » en [surjectivité](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj), produisant $u^{-1}$ sans aucune formule : les inverses sont sortis d’un comptage. (iv) La [formule des degrés](#pb-b1-findim-1) interdit un [corps](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/7-structures-algebriques#def-b1-structures-field) de dimension $3$ à l’intérieur d’un [corps](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/7-structures-algebriques#def-b1-structures-field) de dimension $4$, et c’est pourquoi $2^{1/3}$ ne peut être atteint à partir de $\sqrt2$ et $\sqrt3$. Le théorème de la partie III est la *[formule des degrés](#pb-b1-findim-1) de Dedekind*, coup d’envoi de la théorie de Galois, développée dans le volume de Licence 3.