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title: "Applications linéaires"
book: "Mathématiques universitaires — Licence 1"
subject: math
language: fr
chapter: 20
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/20-applications-lineaires
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# Chapitre 20 — Applications linéaires

Entre [espaces vectoriels](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-def), les [applications](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-map) qui méritent d’être étudiées sont celles qui respectent la structure : les *[applications linéaires](#def-b1-linmaps-def)*. Leurs deux [sous-espaces](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-subspace) fondamentaux — [noyau](#def-b1-linmaps-kerim) et [image](#def-b1-linmaps-kerim) — mesurent l’[injectivité](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) et la [surjectivité](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj), et en [dimension finie](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/19-dimension-finie#def-b1-findim-def) le [théorème du rang](#thm-b1-linmaps-ranknullity) relie leurs tailles par une loi de conservation. [Projections](#def-b1-linmaps-projection) et [symétries](#def-b1-linmaps-projection), puis [formes linéaires](#def-b1-linmaps-forms) et [hyperplans](#def-b1-linmaps-forms), achèvent le chapitre.

## 20.1 Définitions et premières propriétés

**Définition 20.1.**

Soient $E, F$ des $K$-espaces vectoriels. Une [application](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-map) $u \colon E
\to F$ est *linéaire* lorsque

$$
\forall x, y \in E,\ \forall \lambda \in K, \qquad
u(x + \lambda y) = u(x) + \lambda u(y).
$$

On a alors $u(0) = 0$ et $u(\sum \lambda_i x_i) = \sum \lambda_i u(x_i)$. L’[ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) $\mathcal{L}(E, F)$ des [applications](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-map) linéaires est lui-même un [espace vectoriel](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-def) ; la composée d’[applications](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-map) linéaires est linéaire, et bilinéaire en le couple. Un *endomorphisme* est une [application](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-map) linéaire $E \to E$ ; un *isomorphisme* est une [application](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-map) linéaire [bijective](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) (sa réciproque est alors automatiquement linéaire) ; l’[application](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-map) $u^{-1}$ d’un isomorphisme, les composées d’isomorphismes, sont des isomorphismes.

**Démonstration du fait que la réciproque est linéaire.** Soient $u$ [linéaire](#def-b1-linmaps-def) [bijective](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj), $y, y' \in F$ et $\lambda \in K$. Posons $x = u^{-1}(y)$ et $x' = u^{-1}(y')$. Alors

$$
u\bigl(x + \lambda x'\bigr) = u(x) + \lambda u(x')
= y + \lambda y' ,
$$

et en appliquant $u^{-1}$ aux deux extrémités : $u^{-1}(y + \lambda y') = x
+ \lambda x' = u^{-1}(y) + \lambda\,u^{-1}(y')$. Rien de $u^{-1}$ n’a été calculé : la linéarité se transporte par la seule propriété caractéristique de $u$ — un schéma à retenir, car la structure voyage souvent gratuitement le long des [bijections](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj). ∎

**Proposition 20.2 (Une application linéaire est connue sur une base).**

Soient $(e_1, \dots, e_n)$ une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) de $E$ et $(v_1, \dots, v_n)$ des vecteurs quelconques de $F$. Il existe exactement une [application linéaire](#def-b1-linmaps-def) $u \colon E \to F$ telle que $u(e_i) = v_i$ pour tout $i$. De plus :

$$
u \text{ injective} \iff (v_i) \text{ libre};
\qquad
u \text{ surjective} \iff (v_i) \text{ engendre } F .
$$

**Démonstration.** Existence et unicité : tout $x$ a des [coordonnées](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#prop-b1-vspaces-coordinates) uniques $x = \sum
\lambda_i e_i$ ([Proposition 18.15](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#prop-b1-vspaces-coordinates)) ; la linéarité impose $u(x) = \sum \lambda_i v_i$, et cette formule définit bien une [application linéaire](#def-b1-linmaps-def).

[Injectivité](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) : d’après la [Proposition 20.5](#prop-b1-linmaps-kernel) ci-dessous, $u$ est [injective](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) si et seulement si son [noyau](#def-b1-linmaps-kerim) est réduit à $\{0\}$. Or $u\bigl(\sum\lambda_i
e_i\bigr) = 0$ signifie exactement $\sum\lambda_i v_i = 0$. Si $(v_i)$ est [libre](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free), cela force tous les $\lambda_i = 0$, c’est-à-dire que le [noyau](#def-b1-linmaps-kerim) se réduit à $0$ : $u$ est [injective](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj). Si $(v_i)$ est liée, une relation non triviale $\sum\lambda_i v_i = 0$ produit le vecteur non nul $\sum\lambda_i e_i$ dans le [noyau](#def-b1-linmaps-kerim) ($(e_i)$ est [libre](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free)) : $u$ n’est pas [injective](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj). Les deux conditions se correspondent terme à terme.

[Surjectivité](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) : l’[image](#def-b1-linmaps-kerim) de $u$ est l’[ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) des $\sum\lambda_i
v_i$, c’est-à-dire exactement $\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_n)$, qui vaut $F$ si et seulement si la famille est génératrice. ∎

**Définition 20.3 (Noyau et image).**

Pour $u \in \mathcal{L}(E, F)$ :

$$
\ker u = \{x \in E : u(x) = 0\} \subseteq E,
\qquad
\operatorname{im} u = u(E) \subseteq F ,
$$

tous deux [sous-espaces vectoriels](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-subspace) (vérification directe avec le critère).

**Méthode 20.4 (Noyau et image, en pratique).**

*[Noyau](#def-b1-linmaps-kerim)* : écrire $u(x) = 0$ comme un système portant sur les [coordonnées](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#prop-b1-vspaces-coordinates) (ou les coefficients) de $x$, le résoudre et le paramétrer — le [noyau](#def-b1-linmaps-kerim) sort avec une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) attachée ([Méthode 19.10](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/19-dimension-finie#met-b1-findim-computedim)). *[Image](#def-b1-linmaps-kerim)* : c’est le [sous-espace engendré](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-span) par les [images](#def-b1-linmaps-kerim) de *n’importe quelle* famille génératrice de $E$ — en général une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free), donc $\operatorname{im} u =
\operatorname{Vect}\bigl(u(e_1), \dots, u(e_n)\bigr)$ ; on élimine ensuite les [images](#def-b1-linmaps-kerim) redondantes pour en extraire une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free). *Raccourci* : calculer celui des deux qui est le plus facile et obtenir gratuitement la dimension de l’autre par le [théorème du rang](#thm-b1-linmaps-ranknullity) ([Théorème 20.7](#thm-b1-linmaps-ranknullity)) ; lorsqu’on connaît un [sous-espace](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-subspace) candidat plausible pour l’[image](#def-b1-linmaps-kerim), la comparaison des dimensions transforme l’inclusion facile en égalité ([Théorème 19.14](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/19-dimension-finie#thm-b1-findim-subspaces)). Les deux raccourcis sont utilisés dans l’[Exemple 20.11](#ex-b1-linmaps-delta) ci-dessous.

**Proposition 20.5.**

$u$ est [injective](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) $\iff$ $\ker u = \{0\}$ ; $u$ est [surjective](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) $\iff$ $\operatorname{im} u = F$.

**Démonstration.** Comme pour les [groupes](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/7-structures-algebriques#def-b1-structures-group) ([Proposition 7.11](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/7-structures-algebriques#prop-b1-structures-kernel)) : $u(x) = u(y) \iff
u(x - y) = 0 \iff x - y \in \ker u$. Le second point est la définition. ∎

## 20.2 Le théorème du rang

**Définition 20.6.**

Le *rang* de $u \in \mathcal{L}(E,
F)$ (avec $E$ [de dimension finie](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/19-dimension-finie#def-b1-findim-def)) est $\operatorname{rk} u = \dim
\operatorname{im} u$ — c’est aussi le rang de la famille $\bigl(u(e_1), \dots, u(e_n)\bigr)$ pour n’importe quelle [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) $(e_i)$ de $E$.

**Théorème 20.7 (Théorème du rang).**

Soient $E$ [de dimension finie](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/19-dimension-finie#def-b1-findim-def) et $u \in \mathcal{L}(E, F)$. Alors

$$
\dim E = \dim \ker u + \operatorname{rk} u .
$$

Plus précisément, si $S$ est un [supplémentaire](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-sum) quelconque de $\ker u$ dans $E$, alors $u$ induit par restriction un *isomorphisme* de $S$ sur $\operatorname{im} u$.

**Démonstration.** Soit $S$ tel que $E = \ker u \oplus S$ ([Théorème 19.14](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/19-dimension-finie#thm-b1-findim-subspaces)), et soit $v \colon S \to
\operatorname{im} u$ la restriction de $u$.

$v$ est [injective](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) : $\ker v = S \cap \ker u = \{0\}$.

$v$ est [surjective](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) : tout $u(x)$ avec $x = k + s$ ($k \in \ker u$, $s
\in S$) vaut $u(s) = v(s)$.

Donc $v$ est un isomorphisme ; un isomorphisme envoie une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) sur une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) ([Proposition 20.2](#prop-b1-linmaps-basis)), donc $\dim S = \dim\operatorname{im}
u$, et $\dim E = \dim\ker u + \dim S$ conclut. ∎

**Exemple 20.8 (Construire une application sur cahier des charges).**

Construisons $u \in \mathcal{L}(\R^3)$ avec $\ker u =
\operatorname{Vect}(1,1,1)$ et $\operatorname{im} u = \{z =
0\}$. Vérification d’abord : le [théorème du rang](#thm-b1-linmaps-ranknullity) exige $1 + 2 = 3$ — c’est cohérent, donc une solution peut exister. Choisissons une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) adaptée au [noyau](#def-b1-linmaps-kerim), disons $\bigl((1,1,1),\ e_1,\ e_2\bigr)$ ([Exemple 19.7](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/19-dimension-finie#ex-b1-findim-completion)), et prescrivons les [images](#def-b1-linmaps-kerim) ([Proposition 20.2](#prop-b1-linmaps-basis)) :

$$
u(1,1,1) = 0, \qquad u(e_1) = e_1, \qquad u(e_2) = e_2 .
$$

Alors $\ker u \supseteq \operatorname{Vect}(1,1,1)$ et $\operatorname{im} u = \operatorname{Vect}(e_1, e_2) = \{z =
0\}$ ; le [théorème du rang](#thm-b1-linmaps-ranknullity) force $\dim\ker u = 1$, donc le [noyau](#def-b1-linmaps-kerim) est exactement la droite prescrite. Explicitement, en décomposant $(x, y, z)
= z(1,1,1) + (x - z)e_1 + (y - z)e_2$ :

$$
u(x, y, z) = (x - z,\ y - z,\ 0).
$$

La recette se généralise : une [application linéaire](#def-b1-linmaps-def) de [noyau](#def-b1-linmaps-kerim) prescrit $N$ et d’[image](#def-b1-linmaps-kerim) prescrite $I$ existe exactement lorsque $\dim N + \dim I = \dim E$ — la nécessité est le [théorème du rang](#thm-b1-linmaps-ranknullity), la suffisance est cette construction.

**Corollaire 20.9.**

Si $\dim E = \dim F$ (finie), alors pour $u \in \mathcal{L}(E, F)$ :

$$
u \text{ injective} \iff u \text{ surjective} \iff u \text{
bijective}.
$$

En particulier cela vaut pour les endomorphismes en [dimension finie](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/19-dimension-finie#def-b1-findim-def). (C’est faux en dimension infinie : sur $K[X]$, la dérivation est [surjective](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) mais non [injective](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj), et $P \mapsto XP$ est [injective](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) mais non [surjective](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj).)

**Démonstration.** [Injective](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) $\iff \dim\ker u = 0 \iff \operatorname{rk} u = \dim E =
\dim F \iff \operatorname{im} u = F$ (un [sous-espace](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-subspace) de dimension égale à celle de l’espace est l’espace tout entier, [Théorème 19.14](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/19-dimension-finie#thm-b1-findim-subspaces)) $\iff$ [surjective](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj). ∎

**Exemple 20.10 (L’interpolation, structurellement).**

Fixons $x_0, \dots, x_n$ distincts et soit $u \colon \R_n[X] \to
\R^{n+1}$, $P \mapsto (P(x_0), \dots, P(x_n))$ : elle est [linéaire](#def-b1-linmaps-def). Son [noyau](#def-b1-linmaps-kerim) est $\{P : \deg P \leq n,\ n+1 \text{ racines}\} = \{0\}$ ([Corollaire 8.8](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#cor-b1-poly-nroots)). Dimensions égales $n + 1$ : $u$ est un isomorphisme — existence *et* unicité du [polynôme](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) d’[interpolation de Lagrange](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#thm-b1-poly-lagrange) ([Théorème 8.23](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#thm-b1-poly-lagrange)) en une ligne.

Le même schéma en une ligne traite des données mêlant valeurs et [dérivées](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/14-derivation#def-b1-derivative-def) : $v \colon \R_3[X] \to \R^4$, $P \mapsto \bigl(P(0),
P'(0), P(1), P'(1)\bigr)$ est [linéaire](#def-b1-linmaps-def), et son [noyau](#def-b1-linmaps-kerim) est formé des [polynômes](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) de degré $\leq 3$ ayant une racine double en $0$ *et* en $1$, c’est-à-dire divisibles par $X^2(X-1)^2$, de degré $4$ : seul $P =
0$ convient. Dimensions égales à nouveau : tout quadruplet de données $(P(0),
P'(0), P(1), P'(1))$ est réalisé par exactement une cubique — l’interpolation d’Hermite, acquise par un calcul de [noyau](#def-b1-linmaps-kerim) avant qu’aucune formule ne soit écrite (le devoir maison du [Chapitre 22](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/22-determinants-et-systemes-lineaires#ch-b1-det) y rencontre son déterminant).

**Exemple 20.11 (Le théorème du rang à l’œuvre : l’opérateur de différence).**

Soit $\Delta \colon \R_n[X] \to \R_n[X]$, $P \mapsto P(X+1) -
P(X)$ : elle est [linéaire](#def-b1-linmaps-def). [Noyau](#def-b1-linmaps-kerim) : si $\Delta P = 0$, alors $P(0) = P(1) =
P(2) = \dots$, donc $P - P(0)$ a une infinité de racines et est nul ([Corollaire 8.8](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#cor-b1-poly-nroots)) : $\ker\Delta$ est la droite des constantes. [Théorème du rang](#thm-b1-linmaps-ranknullity) : $\operatorname{rk}\Delta = (n + 1) - 1
= n$. Comme $\deg \Delta P < \deg P$ pour $P$ non constant (les termes de plus haut degré s’annulent), $\operatorname{im}\Delta \subseteq \R_{n-1}[X]$, qui est de dimension exactement $n$ : l’inclusion est une égalité. Conclusion, sans aucun calcul d’[images réciproques](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-map) : *tout* [polynôme](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) $Q$ de degré $\leq n - 1$ est une différence $Q = P(X+1)
- P(X)$ — la primitive discrète existe. (Comparer avec le devoir maison du [Chapitre 18](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#ch-b1-vspaces), où $\Delta$ était inversé explicitement dans la [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) binomiale.)

**Exemple 20.12 (Comptabilité du rang le long d’une composée).**

Sur $\R_2[X]$, composons la dérivation $D(P) = P'$ (de [rang](#def-b1-linmaps-rank) $2$ : [image](#def-b1-linmaps-kerim) $\R_1[X]$, [noyau](#def-b1-linmaps-kerim) les constantes) avec elle-même. Alors $D
\circ D = D^2$ envoie $P \mapsto P''$, d’[image](#def-b1-linmaps-kerim) $\R_0[X]$ : de [rang](#def-b1-linmaps-rank) $1$. Comparons avec les bornes générales : la borne grossière donne $\operatorname{rk} D^2 \leq \min(2, 2) = 2$ ; la formule exacte de l’[Exercice 20.12](#exo-b1-linmaps-12) rend compte de la perte avec précision,

$$
\operatorname{rk} D^2 = \operatorname{rk} D -
\dim\bigl(\ker D \cap \operatorname{im} D\bigr) = 2 - 1 = 1 ,
$$

puisque les constantes ([noyau](#def-b1-linmaps-kerim) du $D$ extérieur) sont contenues dans $\R_1[X]$ ([image](#def-b1-linmaps-kerim) du $D$ [intérieur](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-closure)) avec la dimension $1$. Le [rang](#def-b1-linmaps-rank) se perd exactement là où le [noyau](#def-b1-linmaps-kerim) extérieur tend une embuscade à l’[image](#def-b1-linmaps-kerim) intérieure — la phrase à retenir quand les [rangs](#def-b1-linmaps-rank) des composées se comportent mal.

**Exemple 20.13 (Noyau et image de l’opérateur d’Euler).**

Sur $\R_n[X]$, soit $u(P) = X\,P'$ ([linéaire](#def-b1-linmaps-def) : la dérivation et la multiplication par $X$ le sont). *[Noyau](#def-b1-linmaps-kerim)* : $XP' = 0$ force $P' =
0$ (un produit de [polynômes](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) est nul seulement si l’un des facteurs l’est), donc $\ker u$ est la droite des constantes. *[Image](#def-b1-linmaps-kerim)* : sur la [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) monomiale,

$$
u(X^k) = k\,X^{k} \qquad (k = 0, 1, \dots, n),
$$

donc $\operatorname{im} u = \operatorname{Vect}(X, 2X^2, \dots,
nX^n) = \operatorname{Vect}(X, X^2, \dots, X^n)$ : les [polynômes](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) de terme constant nul. Vérification avec le [théorème du rang](#thm-b1-linmaps-ranknullity) : $\operatorname{rk} u = (n + 1) - 1 = n$, ce qui est bien la dimension trouvée. Deux remarques méritent d’être retenues. D’abord, ici $\operatorname{im} u \oplus \ker u = \R_n[X]$ — mais c’est un *heureux hasard* propre à cet opérateur, pas un théorème : pour $v(P) = P'$ sur $\R_1[X]$, qui ressemble à un décalage, $\ker v = \operatorname{im}
v = \R_0[X]$ et la somme n’est pas directe. Ensuite, la relation $u(X^k) = kX^k$ dit que chaque monôme est simplement multiplié par un scalaire sous $u$ — une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) adaptée à l’[application](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-map), germe de l’idée de valeur propre développée dans le volume de Licence 2.

## 20.3 Projections et symétries

**Définition 20.14.**

Soit $E = F \oplus G$. La *projection sur $F$ parallèlement à $G$* envoie $x = f + g$ (décomposition unique) sur $p(x) = f$ ; la *symétrie* associée est $s(x)
= f - g$. Toutes deux sont [linéaires](#def-b1-linmaps-def), et $s = 2p - \mathrm{id}$.

**Théorème 20.15 (Caractérisation algébrique).**

1. Un endomorphisme $p$ est une [projection](#def-b1-linmaps-projection) (sur un certain $F$ parallèlement à un certain $G$ ) si et seulement si $p \circ p = p$ ; alors $F =  \operatorname{im} p = \ker(p - \mathrm{id})$ et $G = \ker  p$ .
2. Un endomorphisme $s$ est une [symétrie](#def-b1-linmaps-projection) si et seulement si $s \circ s  = \mathrm{id}$ ; alors $E = \ker(s - \mathrm{id}) \oplus  \ker(s + \mathrm{id})$ .

**Démonstration.** (1) Une [projection](#def-b1-linmaps-projection) vérifie $p(f + g) = f$ et $p(f) = f$ : $p^2 = p$. Réciproquement, soit $p^2 = p$ ; posons $F = \operatorname{im} p$, $G = \ker
p$. Tout $x$ s’écrit $x = p(x) + (x - p(x))$ avec $p(x) \in F$ et $p\bigl(x - p(x)\bigr) = p(x) - p^2(x) = 0$ : $E = F + G$. Si $y \in
F \cap G$ : $y = p(z)$ et $p(y) = 0$, donc $y = p(z) = p^2(z) = p(y) =
0$ : la somme est directe, et $p$ est la [projection](#def-b1-linmaps-projection) sur $F$ parallèlement à $G$. Enfin sur $F$ : $y = p(z)$ donne $p(y) = y$, donc $F \subseteq
\ker(p - \mathrm{id})$, et réciproquement $p(y) = y$ place $y$ dans l’[image](#def-b1-linmaps-kerim).

(2) La correspondance $s = 2p - \mathrm{id}$, $p = \frac{s +
\mathrm{id}}2$ est une [bijection](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) entre endomorphismes, et par elle

$$
s^2 = 4p^2 - 4p + \mathrm{id} = \mathrm{id}
\iff 4p^2 = 4p \iff p^2 = p :
$$

les [symétries](#def-b1-linmaps-projection) correspondent exactement aux [projections](#def-b1-linmaps-projection). Traduisons les [sous-espaces](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-subspace) : $s(x) = x \iff p(x) = x$, donc $\ker(s - \mathrm{id}) =
\operatorname{im} p = F$ ; et $s(x) = -x \iff 2p(x) = 0 \iff x
\in \ker p = G$, donc $\ker(s + \mathrm{id}) = G$. La [somme directe](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-sum) $E = F \oplus G$ du point (1) devient la décomposition annoncée en vecteurs fixes et vecteurs retournés de $s$. ∎

**Exemple 20.16 (Une projection et sa symétrie, explicitement).**

Dans $\R^2$, projetons sur $F = \operatorname{Vect}(1,1)$ parallèlement à $G =
\operatorname{Vect}(0,1)$. Décomposons $(x, y) = a(1,1) + b(0,1)$ : la première coordonnée donne $a = x$, la seconde $b = y - x$. D’où

$$
p(x, y) = (x, x),
\qquad
s(x, y) = 2p(x,y) - (x,y) = (x,\ 2x - y).
$$

Vérifions l’algèbre : $p(p(x,y)) = p(x,x) = (x,x)$, et $s(s(x,y)) =
s(x, 2x - y) = (x, 2x - (2x - y)) = (x, y)$. Géométriquement, $s$ est la « réflexion oblique » par rapport à la droite $y = x$ dans la direction verticale : elle fixe $F$ point par point et retourne $G$. Si nous avions projeté sur le même $F$ parallèlement à $G' =
\operatorname{Vect}(1,-1)$, la formule deviendrait $p'(x,y) = \bigl(\frac{x+y}2, \frac{x+y}2\bigr)$ : une [projection](#def-b1-linmaps-projection) est déterminée par son [image](#def-b1-linmaps-kerim) *et* par son [noyau](#def-b1-linmaps-kerim), jamais par la seule [image](#def-b1-linmaps-kerim).

![La projection sur F = Vect(1,1) parallèlement à G = Vect(0,1) et sa symétrie, sur le point M = (2,\ 0.5) : en glissant verticalement, M atteint F en p(M) = (2,2) et arrive en s(M) = 2p(M) - M = (2,\ 3.5), aussi loin au-dessus de F (mesuré le long de G) que M était en dessous.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-linmaps/fig-53ebff90a100.svg)

*La [projection](#def-b1-linmaps-projection) sur $F = \operatorname{Vect}(1,1)$ parallèlement à $G = \operatorname{Vect}(0,1)$ et sa [symétrie](#def-b1-linmaps-projection), sur le point $M
= (2,\ 0.5)$ : en glissant verticalement, $M$ atteint $F$ en $p(M) = (2,2)$ et arrive en $s(M) = 2p(M) - M = (2,\ 3.5)$, aussi loin au-dessus de $F$ (mesuré le long de $G$) que $M$ était en dessous.*

## 20.4 Formes linéaires et hyperplans

**Définition 20.17.**

Une *forme linéaire* sur $E$ est une [application linéaire](#def-b1-linmaps-def) $\varphi \colon E \to K$. Un *hyperplan* de $E$ ($\dim E = n$) est un [sous-espace](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-subspace) de dimension $n - 1$.

**Exemple 20.18 (Une forme d’évaluation et son hyperplan).**

Sur $\R_2[X]$, l’évaluation $\varphi(P) = P(2)$ est une [forme linéaire](#def-b1-linmaps-forms), non nulle ($\varphi(1) = 1$). Son [noyau](#def-b1-linmaps-kerim) est l’[hyperplan](#def-b1-linmaps-forms) des [polynômes](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) s’annulant en $2$, c’est-à-dire (théorème de factorisation, [Théorème 8.7](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#thm-b1-poly-factor)) les multiples de $X - 2$ à l’[intérieur](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-closure) de $\R_2[X]$ :

$$
\ker\varphi = \operatorname{Vect}\bigl(X - 2,\ X(X - 2)\bigr),
\qquad \dim = 2 .
$$

En [coordonnées](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#prop-b1-vspaces-coordinates) dans la [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) $(1, X, X^2)$, $\varphi(a + bX + cX^2) = a +
2b + 4c$ : toute [forme linéaire](#def-b1-linmaps-forms) sur un espace [de dimension finie](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/19-dimension-finie#def-b1-findim-def) est, une fois une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) fixée, une expression [linéaire](#def-b1-linmaps-def) fixe en les [coordonnées](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#prop-b1-vspaces-coordinates) — les formes sont des « vecteurs lignes », ce que le [Chapitre 21](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/21-matrices#ch-b1-matrices) rendra littéral, et la ligne de coefficients obtenue ici, $(1, 2, 4)$, est une ligne de Vandermonde : les formes d’évaluation sont la porte par laquelle la théorie de l’interpolation du devoir maison du [Chapitre 22](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/22-determinants-et-systemes-lineaires#ch-b1-det) entre en algèbre linéaire.

**Théorème 20.19.**

Les [hyperplans](#def-b1-linmaps-forms) de $E$ sont exactement les noyaux des [formes linéaires](#def-b1-linmaps-forms) non nulles. Deux formes non nulles ont le même [noyau](#def-b1-linmaps-kerim) si et seulement si elles sont proportionnelles.

**Démonstration.** Si $\varphi \neq 0$ : $\operatorname{rk}\varphi = 1$ (l’[image](#def-b1-linmaps-kerim) est un [sous-espace](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-subspace) non nul de $K$), donc $\dim\ker\varphi = n - 1$ : c’est un [hyperplan](#def-b1-linmaps-forms). Réciproquement, soient $H$ un [hyperplan](#def-b1-linmaps-forms), $(e_1, \dots, e_{n-1})$ une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) de $H$ complétée par $e_n$ : la forme « dernière coordonnée » a pour [noyau](#def-b1-linmaps-kerim) $H$.

Deux formes proportionnelles ont le même [noyau](#def-b1-linmaps-kerim). Réciproquement, supposons $\ker\varphi = \ker\psi = H$ et choisissons $a \notin H$ : tout $x$ s’écrit $x = h + \lambda a$ (car $E = H \oplus Ka$), et

$$
\varphi(x) = \lambda \varphi(a), \qquad \psi(x) = \lambda\psi(a):
$$

donc $\varphi = \frac{\varphi(a)}{\psi(a)}\,\psi$. ∎

**Exemple 20.20.**

Dans $K^n$, un [hyperplan](#def-b1-linmaps-forms) est un [ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) de solutions $\{a_1 x_1 + \dots + a_n
x_n = 0\}$ avec les $a_i$ non tous nuls — l’équation familière d’un plan passant par l’origine dans $\R^3$. Dans les espaces de fonctions, les formes d’évaluation $P \mapsto P(1)$ ou $f \mapsto \int_0^1 f$ définissent des [hyperplans](#def-b1-linmaps-forms) de $\R_n[X]$, de $C(\intcc{0}{1})$ (cf. [Exercice 19.6](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/19-dimension-finie#exo-b1-findim-6)).

**Exemple 20.21 (Un hyperplan, traité de trois façons).**

Prenons $\varphi(x, y, z) = x - 2y + 3z$ sur $\R^3$ et $H =
\ker\varphi$. *[Base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free)* : résolvons $x = 2y - 3z$ :

$$
(2y - 3z,\ y,\ z) = y\,(2, 1, 0) + z\,(-3, 0, 1),
$$

deux vecteurs [libres](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) : $\dim H = 2$, un [hyperplan](#def-b1-linmaps-forms), comme le [Théorème 20.19](#thm-b1-linmaps-hyperplanes) le prédit à partir de $\varphi \neq
0$. *Droite [supplémentaire](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-sum)* : tout vecteur hors de $H$ en engendre une, par exemple $a = (1, 0, 0)$ ($\varphi(a) = 1 \neq 0$) ; la décomposition d’un $v$ arbitraire est explicite :

$$
v = \underbrace{\bigl(v - \varphi(v)\,a\bigr)}_{\in\,H}
+ \underbrace{\varphi(v)\,a}_{\in\,\operatorname{Vect}(a)},
$$

puisque $\varphi\bigl(v - \varphi(v)a\bigr) = \varphi(v) -
\varphi(v)\varphi(a) = 0$. *Proportionnalité* : si $\psi(x,y,z)
= -2x + 4y - 6z$, alors $\psi = -2\varphi$ et toutes deux ont pour [noyau](#def-b1-linmaps-kerim) $H$ ; réciproquement, toute forme s’annulant sur $H$ est un multiple de $\varphi$ ([Exercice 20.8](#exo-b1-linmaps-8)) — l’équation d’un [hyperplan](#def-b1-linmaps-forms) est unique à un scalaire près, fait utilisé constamment pour les plans en géométrie.

**Remarque 20.22 (Pièges classiques).**

*Le [noyau](#def-b1-linmaps-kerim) et l’[image](#def-b1-linmaps-kerim) vivent dans des espaces différents* : $\ker u
\subseteq E$, $\operatorname{im} u \subseteq F$ ; la somme $\ker u
+ \operatorname{im} u$ n’a de sens que pour les endomorphismes, et même alors elle n’est pas nécessairement directe ($u(x, y) = (y, 0)$ vérifie $\ker u
= \operatorname{im} u$ ; l’[Exercice 20.7](#exo-b1-linmaps-7) caractérise les cas où elle l’est). *$u^2 = 0$ ne signifie pas $u = 0$* : le même $u(x,y) =
(y, 0)$ a un carré nul sans être nul — ce que $u^2 = 0$ dit vraiment, c’est $\operatorname{im} u \subseteq \ker u$ ([Exercice 20.5](#exo-b1-linmaps-5)). *L’équivalence [injective](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) $\iff$ [surjective](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) exige [des dimensions finies](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/19-dimension-finie#def-b1-findim-def) égales* : sur $K[X]$, la dérivation est [surjective](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) et non [injective](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj), $P \mapsto XP$ [injective](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) et non [surjective](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) ([Corollaire 20.9](#cor-b1-linmaps-samedim)) ; et entre espaces de dimensions *différentes*, l’une des implications est tout simplement impossible ($\operatorname{rk} u \leq \min(\dim E, \dim F)$). *Prescrire des [images](#def-b1-linmaps-kerim) marche sur une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free), pas sur une famille quelconque* : exiger $u(1, 0) = a$, $u(0, 1) = b$, $u(1, 1) = c$ surdétermine $u$ sauf si $c = a + b$ ; une [application linéaire](#def-b1-linmaps-def) est [libre](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) sur une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free), asservie partout ailleurs. *Le [rang](#def-b1-linmaps-rank) n’est pas préservé par composition* : il ne peut que chuter, $\operatorname{rk}(vu) \leq \min(\operatorname{rk} u,
\operatorname{rk} v)$ ([Exercice 20.4](#exo-b1-linmaps-4)), la perte exacte étant mesurée dans l’[Exercice 20.12](#exo-b1-linmaps-12).

**Remarque 20.23 (Où ces applications mènent).**

Les [applications linéaires](#def-b1-linmaps-def) sont sur le point de devenir des *matrices* : une fois des [bases](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) fixées, le [Chapitre 21](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/21-matrices#ch-b1-matrices) code tout $u \in \mathcal{L}(E,
F)$ par un tableau rectangulaire, et la composition devient le produit matriciel — le [théorème du rang](#thm-b1-linmaps-ranknullity) gouverne alors la théorie des systèmes [linéaires](#def-b1-linmaps-def) du [Chapitre 22](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/22-determinants-et-systemes-lineaires#ch-b1-det). Les [projections](#def-b1-linmaps-projection) reviennent au [Chapitre 23](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/23-espaces-euclidiens#ch-b1-euclid) dans leur cas particulier le plus utile, la [projection](#def-b1-linmaps-projection) *orthogonale*, où le [noyau](#def-b1-linmaps-kerim) est choisi perpendiculaire à l’[image](#def-b1-linmaps-kerim). Le devoir maison ci-dessous pousse l’algèbre des projecteurs aussi loin que les outils de première année le permettent, jusqu’au [lemme de Fitting](#pb-b1-linmaps-1) ; le volume de Licence 2 va plus loin avec la trace et la théorie des valeurs propres, pour laquelle les projecteurs sur des [sous-espaces](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-subspace) stables sont les briques de [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free).

**Remarque 20.24 (Perspectives à l’intérieur du livre 3 : le théorème du rang trois fois de plus).**

La loi de conservation $\dim E = \dim\ker u + \operatorname{rk} u$ sera relue trois fois avant la fin du volume. Au [Chapitre 22](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/22-determinants-et-systemes-lineaires#ch-b1-det) elle devient la forme des [ensembles](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) de solutions : un système compatible à $p$ inconnues et de [rang](#def-b1-linmaps-rank) $r$ a un [ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) de solutions de dimension $p - r$ — une dimension de [noyau](#def-b1-linmaps-kerim) déguisée. Au [Chapitre 23](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/23-espaces-euclidiens#ch-b1-euclid) elle se scinde orthogonalement, $\dim F + \dim
F^\perp = \dim E$, et alimente tout calcul de distance. Dans le devoir maison du [Chapitre 25](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/25-fonctions-de-deux-variables#ch-b1-multivar), elle est la comptable des moindres carrés : $n$ observations, $2$ paramètres ajustés, $n - 2$ dimensions de résidus, et l’identité de Pythagore $\norm b^2 = \norm p^2 + \norm{b - p}^2$ est l’ombre euclidienne du [théorème du rang](#thm-b1-linmaps-ranknullity). Un théorème, quatre costumes.

## 20.5 Exercices

**Exercice 20.1 ★.**

Quelles [applications](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-map) sont [linéaires](#def-b1-linmaps-def) ?

1. $\R^2 \to \R^2$ , $(x, y) \mapsto (x + y, x - 2y)$ ;
2. $\R^2 \to \R$ , $(x, y) \mapsto xy$ ;
3. $\R[X] \to \R[X]$ , $P \mapsto P' + XP$ ;
4. $\mathcal{F}(\R,\R) \to \R$ , $f \mapsto f(3)$ .

**Solution de Exercice 20.1.**

(1) [Linéaire](#def-b1-linmaps-def) : les [coordonnées](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#prop-b1-vspaces-coordinates) sont des expressions [linéaires](#def-b1-linmaps-def). (2) Non [linéaire](#def-b1-linmaps-def) : $u(2(1,1)) = 4 \neq 2 = 2u(1,1)$. (3) [Linéaire](#def-b1-linmaps-def) : la dérivation et la multiplication par $X$ le sont, et les sommes d’[applications linéaires](#def-b1-linmaps-def) le sont. (4) [Linéaire](#def-b1-linmaps-def) : l’évaluation respecte les opérations ponctuelles.

**Exercice 20.2 ★.**

Soit $u \colon \R^3 \to \R^3$, $(x,y,z) \mapsto (x + y - z,\; 2x + y
+ z,\; 3x + 2y)$. Déterminer $\ker u$ ([base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free), dimension), $\operatorname{rk} u$, et une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) de $\operatorname{im} u$. L’[application](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-map) $u$ est-elle [injective](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) ? [surjective](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) ?

**Solution de Exercice 20.2.**

[Noyau](#def-b1-linmaps-kerim) : résolvons $x + y - z = 0$, $2x + y + z = 0$, $3x + 2y = 0$. La troisième donne $y = -\frac{3x}{2}$ ; la première donne $z = x + y =
-\frac x2$ ; vérifions dans la deuxième : $2x - \frac{3x}{2} - \frac x2 = 0$ : c’est satisfait. Donc $\ker u = \operatorname{Vect}\bigl((2, -3, -1)\bigr)$ (en prenant $x = 2$), de dimension $1$.

[Théorème du rang](#thm-b1-linmaps-ranknullity) : $\operatorname{rk} u = 3 - 1 = 2$. [Image](#def-b1-linmaps-kerim) : engendrée par les [images](#def-b1-linmaps-kerim) de la [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) canonique, $u(e_1) = (1,2,3)$, $u(e_2) =
(1,1,2)$, $u(e_3) = (-1,1,0)$ ; les deux premières sont [libres](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free), et le [rang](#def-b1-linmaps-rank) vaut $2$ : [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) $\bigl((1,2,3), (1,1,2)\bigr)$.

Non [injective](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) ($\ker \neq \{0\}$), non [surjective](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) ([rang](#def-b1-linmaps-rank) $2 < 3$) : cohérent avec le [Corollaire 20.9](#cor-b1-linmaps-samedim).

**Exercice 20.3 ★.**

Soit $u \colon \R_n[X] \to \R_n[X]$, $P \mapsto P - P'$. Démontrer que $u$ est un isomorphisme : une fois via $\ker u$, une fois en exhibant la réciproque *(considérer $P + P' + P'' + \dots$)*.

**Solution de Exercice 20.3.**

*[Noyau](#def-b1-linmaps-kerim) :* $P = P'$ force $\deg P = \deg P'$ sauf si $P = 0$ ; or $\deg P' < \deg P$ pour $P \neq 0$ : donc $\ker u = \{0\}$, et $u$, endomorphisme [injectif](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) de $\R_n[X]$ qui est [de dimension finie](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/19-dimension-finie#def-b1-findim-def), est un isomorphisme ([Corollaire 20.9](#cor-b1-linmaps-samedim)).

*Réciproque :* posons $v(P) = P + P' + P'' + \dots + P^{(n)}$ (somme finie sur $\R_n[X]$). Alors

$$
v\bigl(u(P)\bigr) = \sum_{k=0}^{n} (P - P')^{(k)}
= \sum_{k=0}^{n} P^{(k)} - \sum_{k=0}^{n} P^{(k+1)}
= P - P^{(n+1)} = P ,
$$

par télescopage, puisque $P^{(n+1)} = 0$. Donc $v = u^{-1}$.

**Exercice 20.4 ★.**

Soient $u \in \mathcal{L}(E, F)$ et $v \in \mathcal{L}(F, G)$, les espaces étant [de dimension finie](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/19-dimension-finie#def-b1-findim-def). Démontrer :

$$
\operatorname{rk}(v \circ u) \leq
\min\bigl(\operatorname{rk} u,\ \operatorname{rk} v\bigr).
$$

**Solution de Exercice 20.4.**

$\operatorname{im}(v \circ u) = v(\operatorname{im} u) \subseteq
\operatorname{im} v$ : le [rang](#def-b1-linmaps-rank) est $\leq \operatorname{rk} v$. Et $v$ restreinte à $\operatorname{im} u$ a pour [image](#def-b1-linmaps-kerim) $\operatorname{im}(vu)$ ; le [théorème du rang](#thm-b1-linmaps-ranknullity) appliqué dans $\operatorname{im} u$ donne : $\operatorname{rk}(vu) \leq
\dim\operatorname{im} u = \operatorname{rk} u$.

**Exercice 20.5 ★★.**

Soit $u$ un endomorphisme de $E$ ([de dimension finie](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/19-dimension-finie#def-b1-findim-def)) avec $u^2 =
0$. Démontrer que $\operatorname{im} u \subseteq \ker u$, d’où $\operatorname{rk} u \leq \frac{\dim E}{2}$. Pour $E = \R^2$, donner un exemple où il y a égalité.

**Solution de Exercice 20.5.**

$u^2 = 0$ signifie $u(u(x)) = 0$ pour tout $x$ : tout $u(x)$ est dans $\ker u$, c’est-à-dire $\operatorname{im} u \subseteq \ker u$. Puis le [théorème du rang](#thm-b1-linmaps-ranknullity) :

$$
\dim E = \dim\ker u + \operatorname{rk} u \geq 2\operatorname{rk} u .
$$

Exemple d’égalité dans $\R^2$ : $u(x, y) = (y, 0)$ : $u^2 = 0$, $\operatorname{rk} u = 1 = \frac{\dim E}{2}$.

**Exercice 20.6 ★★.**

Soient $p, q$ des [projections](#def-b1-linmaps-projection) de $E$ avec $p \circ q = q \circ p$. Démontrer que $p \circ q$ est une [projection](#def-b1-linmaps-projection), avec

$$
\operatorname{im}(pq) = \operatorname{im} p \cap \operatorname{im}
q ,
\qquad
\ker (pq) = \ker p + \ker q .
$$

**Solution de Exercice 20.6.**

$(pq)^2 = pqpq = ppqq = pq$ (commutation) : c’est une [projection](#def-b1-linmaps-projection) ([Théorème 20.15](#thm-b1-linmaps-projchar)).

[Image](#def-b1-linmaps-kerim) : $\operatorname{im}(pq) \subseteq \operatorname{im} p$, et $= \operatorname{im}(qp) \subseteq \operatorname{im} q$ : elle est contenue dans l’intersection. Réciproquement, si $x \in \operatorname{im} p \cap
\operatorname{im} q$, alors $p(x) = x$ et $q(x) = x$ (les points fixes caractérisent l’[image](#def-b1-linmaps-kerim) d’une [projection](#def-b1-linmaps-projection)), donc $pq(x) = x$ : $x \in
\operatorname{im}(pq)$.

[Noyau](#def-b1-linmaps-kerim) : $\ker p \subseteq \ker(qp) = \ker(pq)$ et de même $\ker q
\subseteq \ker(pq)$ : la somme est contenue. Réciproquement, soit $pq(x) =
0$, et écrivons

$$
x = \underbrace{q(x)}_{\in\, \ker p} +
\underbrace{(x - q(x))}_{\in\, \ker q} :
$$

le premier terme vérifie $p(q(x)) = 0$, donc il est dans $\ker p$ ; le second est dans $\ker q$ puisque $q(x - q(x)) = q(x) - q^2(x) = 0$. D’où $x \in \ker p + \ker q$.

**Exercice 20.7 ★★.**

Soit $u \in \mathcal{L}(E)$, $E$ [de dimension finie](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/19-dimension-finie#def-b1-findim-def). Démontrer l’équivalence de :

1. $E = \ker u \oplus \operatorname{im} u$ ;
2. $\ker u = \ker u^2$ ;
3. $\operatorname{im} u = \operatorname{im} u^2$ .

**Solution de Exercice 20.7.**

Remarquons d’abord les inclusions générales $\ker u \subseteq \ker u^2$ et $\operatorname{im} u^2 \subseteq \operatorname{im} u$, et, par le [théorème du rang](#thm-b1-linmaps-ranknullity), (2) $\iff$ (3) (noyaux égaux $\iff$ [rangs](#def-b1-linmaps-rank) égaux $\iff$ [images](#def-b1-linmaps-kerim) égales, compte tenu des inclusions).

(1 $\Rightarrow$ 2) : soit $u^2(x) = 0$ ; alors $u(x) \in \ker u \cap
\operatorname{im} u = \{0\}$, donc $x \in \ker u$.

(2 $\Rightarrow$ 1) : par Grassmann et le [théorème du rang](#thm-b1-linmaps-ranknullity), $\dim(\ker u +
\operatorname{im} u) = \dim\ker u + \operatorname{rk} u -
\dim(\ker u \cap \operatorname{im} u) = \dim E - \dim(\ker u \cap
\operatorname{im} u)$ : la somme vaut $E$ si et seulement si l’intersection est $\{0\}$. Soit $y \in \ker u \cap \operatorname{im} u$ : $y = u(x)$ et $u(y) = 0$, donc $u^2(x) = 0$, donc (par (2)) $u(x) = 0$ : $y = 0$. D’où $E = \ker u \oplus \operatorname{im} u$.

**Exercice 20.8 ★★.**

Soient $\varphi, \psi$ des [formes linéaires](#def-b1-linmaps-forms) sur $E$ avec $\ker\varphi
\subseteq \ker\psi$. Démontrer que $\psi = \lambda\varphi$ pour un certain $\lambda \in K$ (y compris dans les cas dégénérés).

**Solution de Exercice 20.8.**

Si $\varphi = 0$ : alors $\ker\varphi = E \subseteq \ker\psi$ force $\psi = 0 = 0\cdot\varphi$. Si $\varphi \neq 0$ : $\ker\varphi$ est un [hyperplan](#def-b1-linmaps-forms) ; choisissons $a \notin \ker\varphi$. Posons $\lambda =
\frac{\psi(a)}{\varphi(a)}$. La forme $\psi - \lambda\varphi$ s’annule sur $\ker\varphi$ (les deux formes s’y annulent, par l’inclusion) et en $a$ : elle s’annule sur $\ker\varphi \oplus Ka = E$. Donc $\psi =
\lambda\varphi$.

**Exercice 20.9 ★★★.**

Soit $u \in \mathcal{L}(E)$ avec $\dim E = n$, et supposons $u^n = 0$ mais $u^{n-1} \neq 0$ (un endomorphisme *nilpotent maximal*). Choisissons $x$ tel que $u^{n-1}(x) \neq 0$ ; démontrer que $\bigl(x, u(x), \dots,
u^{n-1}(x)\bigr)$ est une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) de $E$. *(Appliquer des puissances de $u$ à une combinaison nulle, en commençant par $u^{n-1}$.)*

**Solution de Exercice 20.9.**

Supposons $\lambda_0 x + \lambda_1 u(x) + \dots + \lambda_{n-1}
u^{n-1}(x) = 0$. Appliquons $u^{n-1}$ : tous les termes portant un facteur $u^{\geq
n}$ meurent, ne laissant que $\lambda_0 u^{n-1}(x) = 0$, donc $\lambda_0 = 0$. Appliquons $u^{n-2}$ à la relation restante : $\lambda_1 u^{n-1}(x) =
0$, donc $\lambda_1 = 0$ ; et ainsi de suite. La famille est [libre](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) ; étant de [cardinal](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/2-denombrement#def-b1-counting-card) $n = \dim E$, c’est une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) ([Proposition 19.8](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/19-dimension-finie#prop-b1-findim-twoofthree)). (Dans cette [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free), $u$ agit comme un décalage — le modèle de la nilpotence maximale.)

**Exercice 20.10 ★★★.**

Soit $f \in \mathcal{L}(\R^n)$ avec $f \circ f = -\mathrm{id}$.

1. Démontrer que $f$ est un isomorphisme et qu’aucun $x \neq 0$ ne vérifie $f(x) = \lambda x$ avec $\lambda \in \R$ .
2. Démontrer que $n$ est pair. *Indication : choisir $x_1 \neq 0$ ; montrer que $\operatorname{Vect}(x_1, f(x_1))$ est un plan stable par $f$ ; choisir $x_2$ hors de ce plan et itérer, en démontrant que $\bigl(x_1, f(x_1), x_2, f(x_2), \dots\bigr)$ reste [libre](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free).*

**Solution de Exercice 20.10.**

1. $f \circ f = -\mathrm{id}$ est [bijective](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) , donc $f$ l’est ( [Proposition 1.26](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#prop-b1-logic-comp) adaptée : $f$ admet l’inverse à droite et à gauche $-f$ ). Si $f(x) = \lambda x$ avec $x \neq 0$ : en appliquant $f$ , $-x = \lambda^2 x$ , donc $\lambda^2 = -1$ : impossible dans $\R$ .
2. Construisons la famille de proche en proche. Prenons $x_1 \neq 0$ : $(x_1,  f(x_1))$ est [libre](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) d’après (1). Si $\operatorname{Vect}$ de la famille courante $\bigl(x_1, f(x_1), \dots, x_k,  f(x_k)\bigr)$, notons-le $V_k$ — un [sous-espace](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-subspace) stable par $f$ (chaque générateur est envoyé sur un autre générateur ou son opposé : $f(f(x_i)) = -x_i$) — n’est pas $E$ tout entier, choisissons $x_{k+1}  \notin V_k$. *Affirmation : la famille agrandie est [libre](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free).* Supposons $\alpha x_{k+1} + \beta f(x_{k+1}) + v = 0$ avec $v  \in V_k$ et $(\alpha, \beta) \neq (0,0)$. Appliquons $f$ : $\alpha f(x_{k+1}) - \beta x_{k+1} + f(v) = 0$ avec $f(v)  \in V_k$. Éliminons $f(x_{k+1})$ entre les deux relations (multiplions la première par $\alpha$, la seconde par $-\beta$, et ajoutons) : $$(\alpha^2 + \beta^2)\, x_{k+1} \in V_k ,$$ et $\alpha^2 + \beta^2 \neq 0$ force $x_{k+1} \in V_k$ : contradiction. La construction se poursuit donc, en ajoutant des vecteurs *deux par deux*, jusqu’à ce que $V_k = E$ : la famille finale est une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) de [cardinal](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/2-denombrement#def-b1-counting-card) pair, et $n$ est pair.

**Exercice 20.11 ★★.**

Soient $u, v \in \mathcal{L}(E, F)$, les espaces étant [de dimension finie](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/19-dimension-finie#def-b1-findim-def). Démontrer l’encadrement

$$
\abs{\operatorname{rk} u - \operatorname{rk} v}
\;\leq\; \operatorname{rk}(u + v)
\;\leq\; \operatorname{rk} u + \operatorname{rk} v .
$$

*(Pour la majoration, comparer $\operatorname{im}(u+v)$ avec $\operatorname{im} u + \operatorname{im} v$ ; pour la minoration, appliquer astucieusement la majoration.)*

**Solution de Exercice 20.11.**

Majoration : pour tout $x$, $(u + v)(x) = u(x) + v(x) \in
\operatorname{im} u + \operatorname{im} v$, donc

$$
\operatorname{rk}(u + v)
\leq \dim(\operatorname{im} u + \operatorname{im} v)
\leq \operatorname{rk} u + \operatorname{rk} v
$$

(Grassmann, [Théorème 19.18](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/19-dimension-finie#thm-b1-findim-grassmann)). Minoration : appliquons la majoration au couple $(u + v, -v)$, dont la somme est $u$ :

$$
\operatorname{rk} u \leq \operatorname{rk}(u + v) +
\operatorname{rk}(-v) = \operatorname{rk}(u + v) +
\operatorname{rk} v,
$$

donc $\operatorname{rk} u - \operatorname{rk} v \leq
\operatorname{rk}(u+v)$ ; en échangeant $u$ et $v$ on obtient la valeur absolue.

**Exercice 20.12 ★★★.**

(Inégalité de Frobenius) Soient $u \in \mathcal{L}(E, F)$, $w \in
\mathcal{L}(F, G)$ et $v \in \mathcal{L}(G, H)$, tous les espaces étant [de dimension finie](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/19-dimension-finie#def-b1-findim-def). Démontrer la formule exacte

$$
\operatorname{rk}(v \circ w) = \operatorname{rk} w -
\dim\bigl(\ker v \cap \operatorname{im} w\bigr),
$$

et en déduire l’inégalité de Frobenius

$$
\operatorname{rk}(v \circ w) + \operatorname{rk}(w \circ u)
\;\leq\; \operatorname{rk} w + \operatorname{rk}(v \circ w \circ
u) .
$$

Vérifier que le cas $w = \mathrm{id}_F$ est l’inégalité de Sylvester, démontrée sous forme matricielle dans l’[Exercice 21.10](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/21-matrices#exo-b1-matrices-10).

**Solution de Exercice 20.12.**

*Formule exacte.* Soit $v'$ la restriction de $v$ au [sous-espace](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-subspace) $\operatorname{im} w$. Son [image](#def-b1-linmaps-kerim) est $v(w(F)) =
\operatorname{im}(v \circ w)$, et son [noyau](#def-b1-linmaps-kerim) est $\ker v \cap
\operatorname{im} w$. Le [théorème du rang](#thm-b1-linmaps-ranknullity) pour $v'$ sur l’espace $\operatorname{im} w$ :

$$
\operatorname{rk} w = \dim\operatorname{im} w
= \operatorname{rk}(v \circ w) + \dim(\ker v \cap
\operatorname{im} w) .
$$

*Frobenius.* Appliquons la formule exacte deux fois, à $w$ et à $w \circ u$ :

$$
\operatorname{rk} w - \operatorname{rk}(vw)
= \dim\bigl(\ker v \cap \operatorname{im} w\bigr),
\qquad
\operatorname{rk}(wu) - \operatorname{rk}(vwu)
= \dim\bigl(\ker v \cap \operatorname{im}(wu)\bigr) .
$$

Comme $\operatorname{im}(w \circ u) \subseteq \operatorname{im}
w$, la seconde intersection est contenue dans la première, et sa dimension n’est pas plus grande :

$$
\operatorname{rk}(wu) - \operatorname{rk}(vwu)
\;\leq\; \operatorname{rk} w - \operatorname{rk}(vw) ,
$$

ce qui se réarrange en l’inégalité de Frobenius. Avec $w =
\mathrm{id}_F$ (de [rang](#def-b1-linmaps-rank) $\dim F$, et $\operatorname{im}\,
\mathrm{id}_F = F$) : $\operatorname{rk} v + \operatorname{rk} u
\leq \dim F + \operatorname{rk}(vu)$, l’inégalité de Sylvester — démontrée à nouveau, sous forme matricielle, dans l’[Exercice 21.10](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/21-matrices#exo-b1-matrices-10).

## 20.6 Problème : calcul sur les projecteurs et lemme de Fitting

**Problème 20.1.**

Les [projections](#def-b1-linmaps-projection) sont les endomorphismes que les [sommes directes](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-sum) produisent, et réciproquement : toute identité $E = F_1 \oplus \dots \oplus F_k$ est secrètement une famille de projecteurs de somme l’identité. Ce problème développe ce dictionnaire — l’algèbre d’un projecteur, de deux, de $k$ — puis applique les mêmes idées de stabilisation à un endomorphisme quelconque et démontre le *[lemme de Fitting](#pb-b1-linmaps-1)* : tout endomorphisme d’un espace [de dimension finie](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/19-dimension-finie#def-b1-findim-def) se scinde en une partie nilpotente et une partie inversible. Dans tout ce qui suit, $E$ est un $K$-espace vectoriel de dimension $n$, et *projecteur* signifie $p \in \mathcal{L}(E)$ avec $p^2 = p$ ([Théorème 20.15](#thm-b1-linmaps-projchar)).

**Partie I — L’algèbre autour d’un projecteur.** Soit $p$ un projecteur, $p \neq 0$, $p \neq \mathrm{id}$.

1. Montrer que $\mathrm{id} - p$ est un projecteur et identifier $\operatorname{im}(\mathrm{id} - p)$ et $\ker(\mathrm{id} - p)$ .
2. Calculer $(\lambda\,\mathrm{id} + \mu\,p)^2$ et déterminer tous les couples $(\lambda, \mu) \in K^2$ pour lesquels $\lambda\,\mathrm{id} + \mu\,p$ est un projecteur.
3. Montrer que le plan $\operatorname{Vect}(\mathrm{id}, p)$ de $\mathcal{L}(E)$ est stable par composition, et que pour tout [polynôme](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) $Q \in K[X]$, $$Q(p) = Q(0)\,\mathrm{id} + \bigl(Q(1) -  Q(0)\bigr)\,p .$$
4. Déterminer pour quels $(\lambda, \mu)$ l’ [application](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-map) $\lambda\,\mathrm{id} + \mu\,p$ est inversible, et donner son inverse sous la forme $\alpha\,\mathrm{id} + \beta\,p$ . Interpréter la réponse par l’action de $\lambda\,\mathrm{id} + \mu\,p$ sur $\operatorname{im} p$ et sur $\ker p$ .
5. Soit $p'$ un autre projecteur ayant la *même [image](#def-b1-linmaps-kerim)* $\operatorname{im} p' = \operatorname{im} p$ . Montrer que $p\,p' = p'$ et $p'\,p = p$ . Que disent ces identités sur la composition de [projections](#def-b1-linmaps-projection) sur le même [sous-espace](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-subspace) parallèlement à des noyaux différents ?

**Partie II — Deux projecteurs.** Soient $p, q$ des projecteurs de $E$ ; on suppose la caractéristique différente de $2$ (vrai pour $K = \R, \C$).

6. Supposons que $p + q$ soit un projecteur. En développant $(p + q)^2$ , montrer que $pq + qp = 0$ ; en composant avec $p$ à gauche, puis à droite, en déduire que $pq = qp$ , et conclure que $pq = qp =  0$ .
7. Réciproquement, supposons $pq = qp = 0$. Montrer que $p + q$ est un projecteur, avec $$\operatorname{im}(p + q) = \operatorname{im} p \oplus  \operatorname{im} q,  \qquad  \ker(p + q) = \ker p \cap \ker q .$$
8. Montrer que $p - q$ est un projecteur si et seulement si $pq = qp  = q$ . *(Appliquer les questions 6 et 7 à $\mathrm{id} - p$ et $q$.)*
9. Montrer la signification géométrique de $pq = qp = q$ : elle a lieu si et seulement si $\operatorname{im} q \subseteq  \operatorname{im} p$ et $\ker p \subseteq \ker q$ . (On écrit alors $q \leq p$ : « $q$ projette sur moins, parallèlement à plus ».)
10. Supposons maintenant que $p$ et $q$ commutent. Rappelons, d’après l’[Exercice 20.6](#exo-b1-linmaps-6), que $pq$ est le projecteur sur $\operatorname{im} p \cap \operatorname{im} q$ parallèlement à $\ker p + \ker q$. Montrer que $r = p + q - pq$ est un projecteur avec $$\operatorname{im} r = \operatorname{im} p +  \operatorname{im} q,  \qquad  \ker r = \ker p \cap \ker q .$$ *(Considérer $\mathrm{id} - r = (\mathrm{id} -  p)(\mathrm{id} - q)$.)*

**Partie III — Décompositions de l’identité.**

11. Soit $E = F_1 \oplus \dots \oplus F_k$ et, pour $x = x_1 +  \dots + x_k$ (décomposition unique, $x_i \in F_i$ ), posons $p_i(x) = x_i$ . Montrer que chaque $p_i$ est un projecteur, que $p_i p_j = 0$ pour $i \neq j$ , et que $p_1 + \dots + p_k  = \mathrm{id}$ ; identifier $\operatorname{im} p_i$ et $\ker p_i$ .
12. Réciproquement, soient $p_1, \dots, p_k \in \mathcal{L}(E)$ vérifiant $p_1 + \dots + p_k = \mathrm{id}$ et $p_i p_j =  0$ pour tous $i \neq j$ . Montrer que chaque $p_i$ est un projecteur et que $E = \operatorname{im} p_1 \oplus  \dots \oplus \operatorname{im} p_k$ .
13. Deux projecteurs avec $p + q = \mathrm{id}$ : montrer que $pq  = qp = 0$ est automatique.
14. Trois projecteurs avec $p + q + r = \mathrm{id}$ : montrer que $p + q$ est un projecteur, et déduire de la question 6 que *tous* les produits deux à deux sont nuls — d’où $E =  \operatorname{im} p \oplus \operatorname{im} q \oplus  \operatorname{im} r$ , sans aucune hypothèse sur les produits.
15. Pour $k$ projecteurs avec $p_1 + \dots + p_k =  \mathrm{id}$ : montrer d’abord que, pour des [sous-espaces](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-subspace) quelconques, $\dim  (F_1 + \dots + F_k) \leq \dim F_1 + \dots + \dim F_k$ , avec égalité si et seulement si la somme est directe ; montrer ensuite que $E = \operatorname{im} p_1 + \dots +  \operatorname{im} p_k$ , et démontrer que *si* de plus $\sum_i \operatorname{rk} p_i \leq n$ , la somme est directe et $p_i p_j = 0$ pour $i \neq j$ .

**Partie IV — Noyaux itérés : le [lemme de Fitting](#pb-b1-linmaps-1).** Soit $u \in \mathcal{L}(E)$, $\dim E = n$.

16. Montrer les deux chaînes, valables pour tout $k \geq 0$ : $$\ker u^k \subseteq \ker u^{k+1},  \qquad  \operatorname{im} u^{k+1} \subseteq \operatorname{im}  u^k .$$
17. Montrer que si $\ker u^{r} = \ker u^{r+1}$ pour un certain $r$ , alors $\ker u^{k} = \ker u^{r}$ pour tout $k \geq r$ ; énoncer et démontrer la stabilisation analogue pour les [images](#def-b1-linmaps-kerim) .
18. En déduire qu’il existe un plus petit entier $r$ tel que $\ker  u^{r} = \ker u^{r+1}$ , que $r \leq n$ , et que les [images](#def-b1-linmaps-kerim) se stabilisent au même $r$ .
19. ([Lemme de Fitting](#pb-b1-linmaps-1)) Démontrer que $$E \;=\; \ker u^{r} \,\oplus\, \operatorname{im} u^{r} .$$
20. Montrer que les deux [sous-espaces](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-subspace) sont stables par $u$ , que la restriction de $u$ à $\ker u^{r}$ est nilpotente, et que la restriction de $u$ à $\operatorname{im} u^{r}$ est un isomorphisme de $\operatorname{im} u^{r}$ : tout endomorphisme est, sur une [somme directe](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-sum) canonique, « nilpotent plus inversible ».
21. Soit $\pi$ le projecteur sur $\ker u^{r}$ parallèlement à $\operatorname{im} u^{r}$ . Montrer que $\pi \circ u = u  \circ \pi$ .

**Partie V — Un cas traité, et synthèse.**

22. Soit $u(x, y, z) = (y, 0, z)$ sur $\R^3$ . Calculer $u^2$ et $u^3$ , déterminer l’indice de stabilisation $r$ , les [sous-espaces](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-subspace) $\ker u^{r}$ et $\operatorname{im} u^{r}$ , le projecteur de Fitting $\pi$ , et vérifier sur les formules que $\pi u = u\pi$ et que $u$ est nilpotente sur un facteur, [bijective](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) sur l’autre.
23. Montrer les équivalences : $u$ nilpotente $\iff$ $\ker u^{r} =  E$ $\iff$ $\pi = \mathrm{id}$ ; et en déduire qu’un endomorphisme nilpotent d’un espace de dimension $n$ vérifie toujours $u^{n} = 0$ (l’indice de nilpotence ne dépasse jamais la dimension).
24. (Unicité) Supposons $E = A \oplus B$ avec $A, B$ stables par $u$ , la restriction $u|_A$ nilpotente et $u|_B$ [bijective](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) . Démontrer que $A = \ker u^{r}$ et $B =  \operatorname{im} u^{r}$ : la décomposition de Fitting est unique.
25. Synthèse, en quatre phrases : quel dictionnaire la partie III établit entre [sommes directes](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-sum) et familles de projecteurs ; pourquoi la question 14 n’a eu besoin d’aucune hypothèse sur les produits alors que la question 15 a eu besoin d’une hypothèse de [rang](#def-b1-linmaps-rank) (et quel outil de Licence 2, la trace, la supprime) ; en quel sens le [lemme de Fitting](#pb-b1-linmaps-1) est la version stabilisée de l’ [Exercice 20.7](#exo-b1-linmaps-7) ; et ce que deviennent les deux facteurs de Fitting dans la théorie des valeurs propres du volume de Licence 2. Nommer le théorème démontré dans la partie IV.

**Solution de Problème 20.1.**

**1.** $(\mathrm{id} - p)^2 = \mathrm{id} - 2p + p^2 =
\mathrm{id} - p$ : c’est un projecteur. Si $y = x - p(x)$, alors $p(y) =
p(x) - p^2(x) = 0$, et réciproquement $x \in \ker p$ donne $x =
(\mathrm{id} - p)(x)$ : $\operatorname{im}(\mathrm{id} - p) = \ker
p$. Et $(\mathrm{id} - p)(x) = 0 \iff p(x) = x \iff x \in
\operatorname{im} p$ (points fixes, [Théorème 20.15](#thm-b1-linmaps-projchar)) : $\ker(\mathrm{id} - p) =
\operatorname{im} p$.

**2.** $(\lambda\,\mathrm{id} + \mu p)^2 =
\lambda^2\,\mathrm{id} + (2\lambda\mu + \mu^2)\,p$. Le couple $(\mathrm{id}, p)$ est [libre](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) dans $\mathcal{L}(E)$ : $p = c\,
\mathrm{id}$ donnerait $c^2 = c$, donc $p = 0$ ou $\mathrm{id}$, ce qui est exclu. En identifiant les coefficients, l’[application](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-map) est un projecteur si et seulement si $\lambda^2 = \lambda$ et $2\lambda\mu + \mu^2 = \mu$. Pour $\lambda = 0$ : $\mu \in \{0, 1\}$. Pour $\lambda = 1$ : $\mu^2 +
\mu = 0$, $\mu \in \{0, -1\}$. Exactement quatre projecteurs dans le plan : $0$, $p$, $\mathrm{id}$, $\mathrm{id} - p$.

**3.** $(\lambda\,\mathrm{id} + \mu p)(\lambda'\,\mathrm{id}
+ \mu' p) = \lambda\lambda'\,\mathrm{id} + (\lambda\mu' +
\mu\lambda' + \mu\mu')\,p$ : le plan est stable par composition. Puisque $p^k = p$ pour tout $k \geq 1$, pour $Q =
\sum_k a_k X^k$ :

$$
Q(p) = a_0\,\mathrm{id} + \Bigl(\sum_{k \geq 1} a_k\Bigr) p
= Q(0)\,\mathrm{id} + \bigl(Q(1) - Q(0)\bigr)\,p .
$$

**4.** Sur $\operatorname{im} p$ (où $p$ agit comme l’identité), $\lambda\,\mathrm{id} + \mu p$ multiplie par $\lambda
+ \mu$ ; sur $\ker p$, par $\lambda$. Comme $E = \operatorname{im} p
\oplus \ker p$, l’[application](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-map) est [bijective](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) si et seulement si $\lambda \neq 0$ et $\lambda + \mu \neq 0$. En résolvant $\lambda\alpha = 1$, $\lambda\beta + \mu\alpha + \mu\beta = 0$ dans la règle de composition de la question 3 :

$$
(\lambda\,\mathrm{id} + \mu p)^{-1}
= \frac1\lambda\,\mathrm{id} -
\frac{\mu}{\lambda(\lambda + \mu)}\,p ,
$$

dont l’action est la multiplication par $1/\lambda$ sur $\ker p$ et par $1/(\lambda +
\mu)$ sur $\operatorname{im} p$, comme il se doit.

**5.** Écrivons $F = \operatorname{im} p = \operatorname{im}
p'$. Pour tout $x$, $p'(x) \in F$ et $p$ fixe $F$ point par point : $p(p'(x)) = p'(x)$, c’est-à-dire $p\,p' = p'$ ; symétriquement $p'\,p =
p$. Lorsque deux [projections](#def-b1-linmaps-projection) partagent leur [image](#def-b1-linmaps-kerim), c’est celle qui est appliquée *en premier* qui décide : son résultat est déjà dans $F$, où la [projection](#def-b1-linmaps-projection) extérieure agit comme l’identité et ne change rien.

**6.** $(p + q)^2 = p^2 + pq + qp + q^2 = (p + q) + pq +
qp$, donc $p + q$ projecteur force $pq + qp = 0$. Composons à gauche avec $p$ : $pq + pqp = 0$ ; à droite avec $p$ : $pqp + qp
= 0$. Par soustraction, $pq = qp$ ; alors $pq + qp = 2pq = 0$ et la caractéristique n’est pas $2$ : $pq = qp = 0$.

**7.** Avec $pq = qp = 0$, le même développement donne $(p +
q)^2 = p + q$. [Image](#def-b1-linmaps-kerim) : $\operatorname{im}(p + q) \subseteq
\operatorname{im} p + \operatorname{im} q$ toujours. Réciproquement, pour $x \in \operatorname{im} p$ : $q(x) = q(p(x)) = 0$, donc $(p +
q)(x) = p(x) = x$ et $x \in \operatorname{im}(p+q)$ ; de même pour $\operatorname{im} q$. [Somme directe](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-sum) : $x \in \operatorname{im} p
\cap \operatorname{im} q$ donne $x = p(x) = p(q(x)) = 0$. [Noyau](#def-b1-linmaps-kerim) : si $p(x) + q(x) = 0$, en appliquant $p$ on obtient $p(x) +
p(q(x)) = p(x) = 0$, et en appliquant $q$ on obtient $q(x) = 0$ : $\ker(p
+ q) = \ker p \cap \ker q$ (l’inclusion réciproque est claire).

**8.** $p - q$ est un projecteur si et seulement si $\mathrm{id} - (p - q) =
(\mathrm{id} - p) + q$ en est un (question 1, deux fois). D’après les questions 6 et 7 appliquées aux projecteurs $\mathrm{id} - p$ et $q$, cela a lieu si et seulement si $(\mathrm{id} - p)q = q(\mathrm{id} - p) = 0$, c’est-à-dire si et seulement si $pq = q$ et $qp = q$.

**9.** $pq = q$ signifie que $p$ fixe tout $q(x)$, c’est-à-dire $\operatorname{im} q \subseteq \ker(p - \mathrm{id}) =
\operatorname{im} p$. Et $qp = q$ signifie $q\bigl((\mathrm{id} -
p)(x)\bigr) = 0$ pour tout $x$, c’est-à-dire que $q$ s’annule sur $\operatorname{im}(\mathrm{id} - p) = \ker p$ : $\ker p \subseteq
\ker q$. Les deux étapes sont des équivalences : l’ordre $q \leq p$ dit que $q$ projette sur une [image](#def-b1-linmaps-kerim) plus petite, parallèlement à un [noyau](#def-b1-linmaps-kerim) plus grand.

**10.** En développant, $(\mathrm{id} - p)(\mathrm{id} - q) =
\mathrm{id} - p - q + pq = \mathrm{id} - r$. Les projecteurs $\mathrm{id} - p$ et $\mathrm{id} - q$ commutent, donc d’après l’[Exercice 20.6](#exo-b1-linmaps-6) leur produit $\mathrm{id} - r$ est le projecteur sur $\operatorname{im}(\mathrm{id} - p) \cap
\operatorname{im}(\mathrm{id} - q) = \ker p \cap \ker q$ parallèlement à $\ker(\mathrm{id} - p) + \ker(\mathrm{id} - q) =
\operatorname{im} p + \operatorname{im} q$. D’après la question 1, $r =
\mathrm{id} - (\mathrm{id} - r)$ est alors le projecteur avec $\operatorname{im} r = \operatorname{im} p + \operatorname{im}
q$ et $\ker r = \ker p \cap \ker q$.

**11.** $p_i$ est bien définie (unicité de la décomposition) et [linéaire](#def-b1-linmaps-def) (la décomposition de $x + \lambda y$ est la somme des décompositions, encore par unicité). Pour $x_i
\in F_i$ la décomposition est $x_i$ lui-même, donc $p_i(x_i) = x_i$ : $p_i^2 = p_i$, et $p_j(x_i) = 0$ pour $j \neq i$ : $p_i p_j = 0$ ($p_j(x) \in F_j$). En sommant les composantes, $\sum_i p_i =
\mathrm{id}$. Enfin $\operatorname{im} p_i = F_i$ et $\ker
p_i = \bigoplus_{j \neq i} F_j$.

**12.** $p_i = p_i \circ \mathrm{id} = p_i\sum_j p_j =
p_i^2 + \sum_{j \neq i} p_i p_j = p_i^2$ : chaque $p_i$ est un projecteur. Tout $x = \mathrm{id}(x) = \sum_i p_i(x)$ est dans $\sum_i \operatorname{im} p_i$ : les [images](#def-b1-linmaps-kerim) somment à $E$. [Somme directe](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-sum) : supposons $y_1 + \dots + y_k = 0$ avec $y_i \in
\operatorname{im} p_i$, donc $p_i(y_i) = y_i$. Appliquons $p_j$ : $p_j
(y_i) = p_j p_i (y_i) = 0$ pour $i \neq j$, donc $0 = p_j\bigl(\sum
y_i\bigr) = y_j$, pour tout $j$. D’où $E = \bigoplus_i
\operatorname{im} p_i$.

**13.** $q = \mathrm{id} - p$, et la question 1 donne $pq =
p - p^2 = 0 = qp$ directement : pour deux projecteurs, sommer à l’identité force déjà l’orthogonalité du couple.

**14.** $p + q = \mathrm{id} - r$ avec $r$ projecteur, et $(\mathrm{id} - r)$ est un projecteur (question 1) : donc $p + q$ est un projecteur, et la question 6 donne $pq = qp = 0$. Par [symétrie](#def-b1-linmaps-projection) ($q +
r = \mathrm{id} - p$ et $p + r = \mathrm{id} - q$), tous les produits deux à deux sont nuls, et la question 12 conclut : $E =
\operatorname{im} p \oplus \operatorname{im} q \oplus
\operatorname{im} r$, automatiquement.

**15.** *Lemme.* Par récurrence avec Grassmann ([Théorème 19.18](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/19-dimension-finie#thm-b1-findim-grassmann)) :

$$
\dim(F_1 + \dots + F_k) \leq \dim(F_1 + \dots + F_{k-1}) + \dim
F_k \leq \dots \leq \sum_i \dim F_i .
$$

Si le total est une égalité, chaque étape en est une : $(F_1 + \dots +
F_{j-1}) \cap F_j = \{0\}$ pour tout $j$, et une relation $y_1 +
\dots + y_k = 0$ ($y_i \in F_i$) s’effondre par la droite : $y_k
\in (F_1 + \dots + F_{k-1}) \cap F_k = \{0\}$, puis $y_{k-1} =
0$, etc. : la somme est directe. Réciproquement, une [somme directe](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-sum) a des dimensions additives (concaténer les [bases](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free)). *Application :* $x = \sum_i p_i(x)$ montre que $E = \sum_i \operatorname{im} p_i$, donc $n \leq \sum_i \operatorname{rk} p_i$ ; l’hypothèse donne l’égalité, d’où le caractère direct. Produits : fixons $j$ et $y \in
\operatorname{im} p_j$. Alors $y = \sum_i p_i(y)$ avec $p_i(y)
\in \operatorname{im} p_i$, tandis que $y = y$ est aussi une décomposition (la composante $j$ seule) ; l’unicité force $p_i(y)
= 0$ pour $i \neq j$. Appliqué à $y = p_j(x)$ : $p_i p_j = 0$.

**16.** Si $u^k(x) = 0$ alors $u^{k+1}(x) = u(0) = 0$. Et $\operatorname{im} u^{k+1} = u^k\bigl(u(E)\bigr) \subseteq
u^k(E) = \operatorname{im} u^k$.

**17.** Supposons $\ker u^{r} = \ker u^{r+1}$ et soit $x \in
\ker u^{r+2}$ : alors $u(x) \in \ker u^{r+1} = \ker u^{r}$, donc $u^{r+1}(x) = 0$ : $x \in \ker u^{r+1}$. Avec la question 16, $\ker u^{r+1} = \ker u^{r+2}$, et par récurrence tous les noyaux ultérieurs coïncident avec $\ker u^{r}$. Pour les [images](#def-b1-linmaps-kerim) : le [théorème du rang](#thm-b1-linmaps-ranknullity) donne $\dim\operatorname{im} u^k = n - \dim\ker u^k$, donc les dimensions des [images](#def-b1-linmaps-kerim) se figent exactement quand celles des noyaux le font, et, avec les inclusions de la question 16, des dimensions égales signifient des [sous-espaces](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-subspace) égaux ([Théorème 19.14](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/19-dimension-finie#thm-b1-findim-subspaces)).

**18.** La suite $\bigl(\dim\ker u^k\bigr)_k$ est croissante à valeurs dans $\intint{0}{n}$ ; elle ne peut pas croître strictement $n + 1$ fois, donc $\dim\ker u^{r} = \dim\ker
u^{r+1}$ pour un certain $r \leq n$, d’où $\ker u^{r} = \ker u^{r+1}$ (inclusion et dimensions égales). Prenons $r$ minimal ; la question 17 fige tout à partir de $r$, [images](#def-b1-linmaps-kerim) comprises.

**19.** Intersection : soit $x \in \ker u^{r} \cap
\operatorname{im} u^{r}$, disons $x = u^{r}(y)$ avec $u^{r}(x) =
0$. Alors $u^{2r}(y) = 0$, et $\ker u^{2r} = \ker u^{r}$ (question 17), donc $x = u^{r}(y) = 0$. Dimensions : le [théorème du rang](#thm-b1-linmaps-ranknullity) pour $u^{r}$ donne $\dim\ker u^{r} + \dim\operatorname{im} u^{r}
= n$ ; avec l’intersection triviale, Grassmann fait de la somme un [sous-espace](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-subspace) de dimension $n$ : $E = \ker u^{r} \oplus
\operatorname{im} u^{r}$.

**20.** Stabilité : $u^{r}(u(x)) = u(u^{r}(x)) = 0$ pour $x
\in \ker u^{r}$ ; et $u(u^{r}(y)) = u^{r}(u(y)) \in
\operatorname{im} u^{r}$. Sur $N = \ker u^{r}$ : $(u|_N)^{r} = 0$ par définition de $N$ : nilpotente. Sur $I = \operatorname{im}
u^{r}$ : $\ker(u|_I) = \ker u \cap I \subseteq \ker u^{r} \cap I
= \{0\}$, donc $u|_I$ est un endomorphisme [injectif](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) de $I$ qui est [de dimension finie](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/19-dimension-finie#def-b1-findim-def), donc [bijectif](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) ([Corollaire 20.9](#cor-b1-linmaps-samedim)).

**21.** Soit $x = a + b$ avec $a \in N$, $b \in I$. Alors $u(x) = u(a) + u(b)$ avec $u(a) \in N$ et $u(b) \in I$ (question 20) : c’*est* là la décomposition de $u(x)$, donc $\pi(u(x)) = u(a) = u(\pi(x))$ : $\pi u = u\pi$.

**22.** $u^2(x,y,z) = u(y, 0, z) = (0, 0, z)$ et $u^3(x,y,z) = u(0,0,z) = (0,0,z) = u^2(x,y,z)$. Noyaux : $\ker u
= \{y = z = 0\} = \operatorname{Vect}(e_1)$, $\ker u^2 = \{z =
0\} = \operatorname{Vect}(e_1, e_2)$, $\ker u^3 = \ker u^2$ : stabilisation à $r = 2$. [Images](#def-b1-linmaps-kerim) : $\operatorname{im} u =
\operatorname{Vect}(e_1, e_3)$, $\operatorname{im} u^2 =
\operatorname{Vect}(e_3)$. Fitting : $\R^3 =
\operatorname{Vect}(e_1, e_2) \oplus \operatorname{Vect}(e_3)$, et $\pi(x, y, z) = (x, y, 0)$. Vérification : $\pi u(x,y,z) = \pi(y, 0,
z) = (y, 0, 0)$ et $u\pi(x,y,z) = u(x, y, 0) = (y, 0, 0)$ : égaux. Sur le premier facteur $u(x, y, 0) = (y, 0, 0)$, dont le carré est $0$ : nilpotente ; sur le second $u(0,0,z) = (0,0,z)$ : l’identité, [bijective](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj).

**23.** Si $u^m = 0$ alors $\ker u^m = E$ ; comme les noyaux sont figés à partir de $r$, $\ker u^{r} = \ker u^{\max(m, r)} = E$. Réciproquement $\ker u^{r} = E$ signifie $u^{r} = 0$. Et $\ker u^{r} =
E \iff$ le projecteur de Fitting est la [projection](#def-b1-linmaps-projection) sur $E$ parallèlement à $\{0\}$, c’est-à-dire $\pi = \mathrm{id}$. Enfin $r \leq n$ (question 18) donne : tout endomorphisme nilpotent vérifie $u^{n} = 0$ — l’indice de nilpotence ne dépasse jamais la dimension.

**24.** Soit $m$ un indice de nilpotence de $u|_A$ : $A
\subseteq \ker u^{m} \subseteq \ker u^{\max(m,r)} = \ker u^{r}$. Comme $u|_B$ est [bijective](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj), $B = u(B) = u^{k}(B) \subseteq
\operatorname{im} u^{k}$ pour tout $k$, en particulier $B
\subseteq \operatorname{im} u^{r}$. Alors

$$
n = \dim A + \dim B \leq \dim\ker u^{r} +
\dim\operatorname{im} u^{r} = n :
$$

les deux inclusions sont des égalités de dimensions, donc de [sous-espaces](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-subspace) : $A = \ker u^{r}$, $B = \operatorname{im} u^{r}$.

**25.** (i) La partie III est un dictionnaire : les décompositions $E = F_1
\oplus \dots \oplus F_k$ correspondent exactement aux familles de projecteurs avec $\sum p_i = \mathrm{id}$ et $p_i p_j = 0$, les $F_i$ étant les [images](#def-b1-linmaps-kerim). (ii) Pour $k = 3$ les compléments $\mathrm{id} - p_i$ sont eux-mêmes des projecteurs, ce qui a bouclé l’argument sans hypothèse [supplémentaire](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-sum) ; pour un $k$ quelconque il faut $\sum_i \operatorname{rk} p_i \leq n$, inégalité que la trace de Licence 2 donne gratuitement ($\operatorname{tr} p = \operatorname{rk}
p$ pour un projecteur, et les traces s’additionnent pour donner $\operatorname{tr}
\mathrm{id} = n$). (iii) L’[Exercice 20.7](#exo-b1-linmaps-7) est le [lemme de Fitting](#pb-b1-linmaps-1) dans le cas déjà stabilisé $r \leq 1$ ; en général on laisse les chaînes de noyaux et d’[images](#def-b1-linmaps-kerim) se figer, ce qui prend au plus $n$ étapes. (iv) Dans le volume de Licence 2, appliqué à $u - \lambda\,
\mathrm{id}$, le facteur nilpotent devient le [sous-espace](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-subspace) caractéristique associé à $\lambda$ et les projecteurs de la partie III deviennent les projecteurs spectraux de la théorie de la réduction. Le théorème de la partie IV est le *[lemme de Fitting](#pb-b1-linmaps-1)*.