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title: "Matrices"
book: "Mathématiques universitaires — Licence 1"
subject: math
language: fr
chapter: 21
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/21-matrices
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# Chapitre 21 — Matrices

Une matrice est une [application linéaire](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/20-applications-lineaires#def-b1-linmaps-def) écrite en [coordonnées](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#prop-b1-vspaces-coordinates). Ce chapitre met en place le dictionnaire — la composition devient produit matriciel, la [bijectivité](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) devient inversibilité, le [changement de base](#def-b1-matrices-changeofbasis) devient conjugaison — ainsi que le versant algorithmique : [opérations sur les lignes](#met-b1-matrices-gauss), calcul de rangs et d’inverses. Rencontrées pour la première fois dans le volume du secondaire, les matrices reposent désormais sur la théorie des Chapitres [18](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#ch-b1-vspaces), [19](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/19-dimension-finie#ch-b1-findim) et [20](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/20-applications-lineaires#ch-b1-linmaps).

## 21.1 Matrices et applications linéaires

**Définition 21.1.**

$\mathcal{M}_{n,p}(K)$ est l’[espace vectoriel](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-def) des tableaux $n \times p$ $A = (a_{ij})$ de scalaires ($i$ : ligne, $j$ : colonne), de dimension $np$ ([base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) : les matrices $E_{ij}$ n’ayant qu’un seul $1$). Étant données des [bases](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_p)$ de $E$ et $\mathcal{C}$ de $F$ ($\dim F = n$), la *matrice de $u \in
\mathcal{L}(E, F)$* est le tableau dont la $j$-ième colonne donne les [coordonnées](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#prop-b1-vspaces-coordinates) de $u(e_j)$ dans $\mathcal{C}$ :

$$
\operatorname{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u) = (a_{ij}),
\qquad u(e_j) = \sum_{i=1}^{n} a_{ij}\, f_i .
$$

L’[application](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-map) $u \mapsto \operatorname{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)$ est un isomorphisme de $\mathcal{L}(E, F)$ sur $\mathcal{M}_{n,p}(K)$ ([Proposition 20.2](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/20-applications-lineaires#prop-b1-linmaps-basis) : une [application linéaire](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/20-applications-lineaires#def-b1-linmaps-def), c’est exactement un choix des [images](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/20-applications-lineaires#def-b1-linmaps-kerim) des $e_j$).

**Exemple 21.2 (La dérivée, vue comme matrice).**

Soit $D(P) = P'$ sur $\R_3[X]$. Dans la [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) des monômes $(1, X, X^2,
X^3)$ : $D(1) = 0$, $D(X) = 1$, $D(X^2) = 2X$, $D(X^3) = 3X^2$, donc

$$
\operatorname{Mat}(D) =
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 2 & 0\\
0 & 0 & 0 & 3\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.
$$

Dans la [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) *divisée* $\bigl(1,\ X,\ \frac{X^2}2,\
\frac{X^3}6\bigr)$, chaque vecteur de [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) est envoyé sur le précédent ($D\bigl(\frac{X^k}{k!}\bigr) = \frac{X^{k-1}}{(k-1)!}$), et la matrice devient le décalage pur : des $1$ sur la surdiagonale, des zéros ailleurs. Deux morales : la matrice appartient au *couple* ([application](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-map), [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free)), et non à l’[application](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-map) seule ; et une bonne [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) rend la structure visible d’un coup d’œil — la forme de décalage montre instantanément que $D^4 = 0$ sur $\R_3[X]$, chaque puissance de la matrice repoussant sa diagonale de $1$ d’un cran vers l’extérieur.

**Définition 21.3 (Produit).**

Pour $A \in \mathcal{M}_{n,p}$ et $B \in \mathcal{M}_{p,q}$ :

$$
(AB)_{ik} = \sum_{j=1}^{p} a_{ij}\, b_{jk}
\qquad (1 \leq i \leq n,\ 1 \leq k \leq q).
$$

C’est exactement la matrice de la composée : $\operatorname{Mat}(v \circ u) = \operatorname{Mat}(v)\,
\operatorname{Mat}(u)$ (les [bases](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) se recollant au milieu). De même, si $X$ est la colonne des [coordonnées](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#prop-b1-vspaces-coordinates) de $x$, la colonne de $u(x)$ est $AX$.

**Démonstration de la formule de composition.**

$$
v(u(e_k)) = v\Bigl(\sum_j b_{jk} f_j\Bigr) = \sum_j b_{jk}\, v(f_j)
= \sum_j b_{jk} \sum_i a_{ij}\, g_i
= \sum_i \Bigl(\sum_j a_{ij} b_{jk}\Bigr) g_i . \qedhere
$$

∎

**Proposition 21.4 (L’algèbre Mn(K)\mathcal{M}_n(K)Mn​(K)).**

Les matrices carrées $\mathcal{M}_n(K)$ forment un [anneau](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/7-structures-algebriques#def-b1-structures-ring) (non commutatif dès que $n \geq 2$), d’élément unité $I_n$ ; son [groupe](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/7-structures-algebriques#def-b1-structures-group) des inversibles est le *groupe linéaire* $GL_n(K)$, qui correspond aux endomorphismes [bijectifs](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj). Pour $A, B \in
\mathcal{M}_n(K)$ :

$$
AB = I_n \implies A \in GL_n(K) \text{ et } B = A^{-1}
$$

(un inverse d’un seul côté est un inverse des deux côtés, d’après le [Corollaire 20.9](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/20-applications-lineaires#cor-b1-linmaps-samedim)).

**Démonstration.** Les axiomes d’[anneau](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/7-structures-algebriques#def-b1-structures-ring) se transportent depuis $\mathcal{L}(E)$ par l’isomorphisme de la [Définition 21.1](#def-b1-matrices-def) : il convertit la composition en produit et la somme en somme, de sorte que l’associativité, la distributivité et le rôle de $I_n$ sont hérités des faits correspondants sur les [applications](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-map), sans aucune vérification coefficient par coefficient. Non-commutativité : $E_{12}E_{21} = E_{11}
\neq E_{22} = E_{21}E_{12}$. Si $AB = I_n$ : l’endomorphisme $a$ associé à $A$ vérifie $a \circ b = \mathrm{id}$, donc $a$ est [surjective](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) ($x = a(b(x))$ exhibe un antécédent de tout $x$), donc [bijective](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) en [dimension finie](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/19-dimension-finie#def-b1-findim-def) ([Corollaire 20.9](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/20-applications-lineaires#cor-b1-linmaps-samedim)) ; en composant $a \circ b = \mathrm{id}$ à gauche par $a^{-1}$, on obtient $b = a^{-1}$, et alors $b\circ a = \mathrm{id}$ aussi : l’inverse d’un seul côté était depuis le début un inverse des deux côtés — une faveur strictement propre à la [dimension finie](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/19-dimension-finie#def-b1-findim-def). ∎

**Définition 21.5 (Transposée ; trace).**

La *transposée* de $A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_{n,p}$ est $A^{\mathsf T}
= (a_{ji}) \in \mathcal{M}_{p,n}$ ; elle vérifie $(AB)^{\mathsf T} = B^{\mathsf T}
A^{\mathsf T}$ et $(A^{\mathsf T})^{\mathsf T} = A$. La *trace* d’une matrice carrée est $\operatorname{tr} A
= \sum_i a_{ii}$ ; elle est [linéaire](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/20-applications-lineaires#def-b1-linmaps-def), et

$$
\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)
\qquad (A \in \mathcal{M}_{n,p},\ B \in \mathcal{M}_{p,n}).
$$

**Démonstration de l’identité de la trace.** $\operatorname{tr}(AB) = \sum_i \sum_j a_{ij} b_{ji}$ et $\operatorname{tr}(BA) = \sum_j \sum_i b_{ji} a_{ij}$ : la même somme double. ∎

**Exemple 21.6 (La trace à l’œuvre).**

La [projection](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/20-applications-lineaires#def-b1-linmaps-projection) du [Chapitre 20](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/20-applications-lineaires#ch-b1-linmaps) sur $\operatorname{Vect}(1,1)$ parallèlement à $\operatorname{Vect}(0,1)$, $p(x, y) = (x, x)$, a pour matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 &
0\end{pmatrix}$ dans la [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) canonique : en effet $A^2 = A$, et

$$
\operatorname{tr} A = 1 = \operatorname{rk} A ,
$$

ce qui illustre l’[Exercice 21.8](#exo-b1-matrices-8) : pour les matrices idempotentes, la [trace](#def-b1-matrices-transpose) *compte* la dimension de l’[image](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/20-applications-lineaires#def-b1-linmaps-kerim), quelle que soit la [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) biscornue dans laquelle la matrice est écrite. Le mécanisme d’invariance est l’identité $\operatorname{tr}(AB) =
\operatorname{tr}(BA)$ :

$$
\operatorname{tr}\bigl(P^{-1}(AP)\bigr) =
\operatorname{tr}\bigl((AP)P^{-1}\bigr) = \operatorname{tr} A ,
$$

de sorte que toutes les [matrices semblables](#thm-b1-matrices-conjugation) à $A$ ont la même [trace](#def-b1-matrices-transpose) — le premier *invariant numérique* d’un endomorphisme, que le déterminant rejoindra au [Chapitre 22](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/22-determinants-et-systemes-lineaires#ch-b1-det) (le couple $(s, p)$ du devoir maison ci-dessous).

**Exemple 21.7 (Symétrique plus antisymétrique).**

On dit que $A$ est *symétrique* lorsque $A^{\mathsf T} = A$, *antisymétrique* lorsque $A^{\mathsf T} = -A$. Toute matrice carrée se décompose de manière unique comme somme de l’une et de l’autre :

$$
A = \underbrace{\frac{A + A^{\mathsf T}}{2}}_{\text{symétrique}}
+ \underbrace{\frac{A - A^{\mathsf T}}{2}}_{\text{antisymétrique}},
$$

et une matrice qui est les deux à la fois est nulle ($A = -A$) : les deux [ensembles](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) sont des [sous-espaces supplémentaires](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-sum) de $\mathcal{M}_n(K)$ — l’exact analogue de la décomposition paire/impaire des fonctions ([Exemple 18.11](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#ex-b1-vspaces-evenodd)), la transposition jouant le rôle de $x \mapsto -x$. Dimensions : une matrice symétrique est [libre](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) sur la diagonale et au-dessus, une matrice antisymétrique strictement au-dessus (diagonale nulle) :

$$
\frac{n(n+1)}{2} + \frac{n(n-1)}{2} = n^2 ,
$$

et l’équilibre des comptes est la confirmation, par la [formule de Grassmann](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/19-dimension-finie#thm-b1-findim-grassmann), du caractère direct de la somme. Pour $n = 2$ : $\begin{pmatrix} 1 & 5\\ 1 &
2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 3 & 2\end{pmatrix} +
\begin{pmatrix} 0 & 2\\ -2 & 0\end{pmatrix}$. Les matrices symétriques reviennent comme données du second ordre au [Chapitre 25](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/25-fonctions-de-deux-variables#ch-b1-multivar) (le triplet de Monge $r, s, t$), et celles qui sont à la fois symétriques et orthogonales sont classifiées à l’[Exercice 23.12](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/23-espaces-euclidiens#exo-b1-euclid-12).

## 21.2 Changement de base

**Définition 21.8.**

Soient $\mathcal{B}, \mathcal{B}'$ deux [bases](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) de $E$. La *matrice de passage* $P =
P_{\mathcal{B}\to\mathcal{B}'}$ a pour colonnes les [coordonnées](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#prop-b1-vspaces-coordinates) des vecteurs de la *nouvelle* [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) dans l’*ancienne*. Elle est inversible, $P^{-1} = P_{\mathcal{B}'\to\mathcal{B}}$, et les [coordonnées](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#prop-b1-vspaces-coordinates) se transforment par $X = PX'$ (ancien $=$ $P\,\cdot$ nouveau).

**Exemple 21.9 (Lire la matrice de passage).**

Dans $\R^2$, de la [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) canonique $\mathcal B$ à $\mathcal B' =
\bigl((1,1), (1,-1)\bigr)$ :

$$
P = P_{\mathcal B\to\mathcal B'} =
\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix}
$$

(les nouveaux vecteurs écrits en anciennes [coordonnées](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#prop-b1-vspaces-coordinates), colonne par colonne). Le vecteur d’anciennes [coordonnées](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#prop-b1-vspaces-coordinates) $X = (3, 1)^{\mathsf T}$ a pour nouvelles [coordonnées](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#prop-b1-vspaces-coordinates) $X' = P^{-1}X = \frac12(3 + 1,\ 3 -
1)^{\mathsf T} = (2, 1)^{\mathsf T}$ : en effet $2(1,1) + 1(1,-1) =
(3,1)$. Attention au sens — la matrice $P$ est construite à partir de la *nouvelle* [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free), mais elle convertit les [coordonnées](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#prop-b1-vspaces-coordinates) *nouvelles en anciennes* ($X = PX'$) ; passer des anciennes aux nouvelles coûte l’inverse. Écrire la vérification $2(1,1) + (1,-1) = (3,1)$ après chaque conversion permet de repérer l’erreur du $P$ inversé, qui est la faute la plus fréquente du chapitre.

**Théorème 21.10 (Changement de base pour une application).**

Soit $u \in \mathcal{L}(E)$, de matrice $A$ dans $\mathcal{B}$ et $A'$ dans $\mathcal{B}'$, et soit $P = P_{\mathcal{B}\to\mathcal{B}'}$. Alors

$$
A' = P^{-1} A\, P .
$$

Deux matrices ainsi reliées sont dites *semblables*. (Pour $u \colon E \to F$ avec deux couples de [bases](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free), la formule est $A' = Q^{-1} A P$ — matrices *équivalentes*.)

**Démonstration.** Pour tout $x$ : $X = PX'$ et l’[image](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/20-applications-lineaires#def-b1-linmaps-kerim) vérifie $Y = AX$, $Y = PY'$. Donc $PY' = APX'$, c’est-à-dire $Y' = (P^{-1}AP)X'$ pour tout $X'$ : la matrice de $u$ dans la nouvelle [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) est $P^{-1}AP$ (prendre pour $X'$ les colonnes canoniques). ∎

**Exemple 21.11 (Une bonne base rend une application transparente).**

Soit $u(x, y) = (y, x)$ (l’échange), de matrice $A = \begin{pmatrix} 0
& 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ dans la [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) canonique. Dans la [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) $\mathcal B' = \bigl((1,1), (1,-1)\bigr)$ :

$$
P = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix},
\qquad
P^{-1} = \frac12\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix},
\qquad
P^{-1} A P = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}.
$$

Aucun produit matriciel n’était vraiment nécessaire : $u$ fixe $(1,1)$ et renverse $(1,-1)$, donc dans $\mathcal B'$ sa matrice *doit* être $\operatorname{diag}(1, -1)$ — l’échange est la symétrie par rapport à la droite $y = x$. Trouver, pour un endomorphisme donné, une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) dans laquelle sa matrice devient diagonale est le problème central du volume de Licence 2 (la théorie de la réduction) ; le devoir maison ci-dessous montre jusqu’où les seules identités polynomiales mènent déjà.

**Exemple 21.12 (Changement de base, pris à l’envers).**

La [projection](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/20-applications-lineaires#def-b1-linmaps-projection) sur $F = \operatorname{Vect}(1,1)$ parallèlement à $G =
\operatorname{Vect}(1,-1)$ a, dans la [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) adaptée $\mathcal
B' = \bigl((1,1),(1,-1)\bigr)$, la matrice transparente $A' =
\operatorname{diag}(1, 0)$. Pour obtenir sa matrice dans la [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) canonique, on lit le [Théorème 21.10](#thm-b1-matrices-conjugation) à l’envers, $A = P A' P^{-1}$ :

$$
P = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix},
\quad
P^{-1} = \frac12\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix},
\quad
A = P\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}P^{-1}
= \frac12\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}.
$$

Vérification : $A^2 = A$ (idempotente), $\operatorname{tr} A = 1 =
\operatorname{rk} A$, et $A\binom{1}{1} = \binom11$, $A\binom{1}{-1} = 0$, comme prévu. Ce sens inverse — concevoir la matrice dans la bonne [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free), puis conjuguer pour revenir — est la façon dont on produit en pratique les matrices de rotation, de symétrie et de [projection](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/20-applications-lineaires#def-b1-linmaps-projection).

**Théorème 21.13 (Forme normale du rang).**

Le *rang* d’une matrice (le rang de ses colonnes, autrement dit celui de l’[application linéaire](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/20-applications-lineaires#def-b1-linmaps-def) associée) est le seul invariant de l’équivalence : toute $A \in \mathcal{M}_{n,p}$ de rang $r$ est équivalente à

$$
J_r = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},
$$

et $\operatorname{rk}(A^{\mathsf T}) = \operatorname{rk}(A)$ : le rang des lignes égale le rang des colonnes.

**Démonstration.** Soit $u \colon E \to F$ de rang $r$. Choisissons dans $E$ un [supplémentaire](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-sum) $S$ de $\ker u$ ; il est de dimension $\dim S = r$ ([Théorème 20.7](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/20-applications-lineaires#thm-b1-linmaps-ranknullity)). Prenons-en une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) $(e_1, \dots, e_r)$, complétée par une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) de $\ker u$ en une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) de $E$ ; les [images](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/20-applications-lineaires#def-b1-linmaps-kerim) $f_i = u(e_i)$, $i \leq r$, forment une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) de $\operatorname{im} u$ (la restriction est un isomorphisme), que l’on complète en une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) de $F$. Dans ces [bases](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free), la matrice de $u$ est exactement $J_r$. Donc $A = Q J_r P^{-1}$ avec $P, Q$ inversibles.

En transposant : $A^{\mathsf T} = (P^{-1})^{\mathsf T} J_r^{\mathsf T} Q^{\mathsf T}$ avec $J_r^{\mathsf T}$ de la même forme (de rang $r$) et les facteurs extérieurs inversibles (la [transposée](#def-b1-matrices-transpose) d’une matrice inversible est inversible, d’après $(AB)^{\mathsf T} = B^{\mathsf T}A^{\mathsf T}$ appliqué à $AA^{-1} = I$) : $\operatorname{rk} A^{\mathsf T} = r$. ∎

## 21.3 Opérations sur les lignes

**Méthode 21.14 (Le pivot de Gauss sur les matrices).**

Les trois *opérations élémentaires sur les lignes* — échanger deux lignes, multiplier une ligne par $\lambda \neq 0$, ajouter à une ligne un multiple d’une autre — ne changent pas le rang (chacune est une multiplication à gauche par une matrice inversible). Algorithme : créer un pivot (le coefficient non nul le plus à gauche), annuler sa colonne en dessous, passer à la ligne et à la colonne suivantes ; le nombre de pivots de la forme échelonnée obtenue est le rang.

*Calcul de l’inverse :* on applique l’algorithme au bloc $(A \mid
I_n)$ jusqu’à ce que le bloc de gauche devienne $I_n$ (c’est possible si et seulement si $A$ est inversible) ; le bloc de droite est alors $A^{-1}$ — en effet le produit des matrices élémentaires utilisées vaut $A^{-1}$.

**Exemple 21.15.**

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ : réduisons $(A \mid
I_2)$ :

$$
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0\\ 3 & 4 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0\\ 0 & -2 & -3 & 1 \end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 1\\ 0 & 1 & \tfrac32 & -\tfrac12
\end{pmatrix},
$$

(opérations : $L_2 \leftarrow L_2 - 3L_1$ ; puis $L_1 \leftarrow L_1
+ L_2$, $L_2 \leftarrow -\frac12 L_2$). Donc $A^{-1} =
\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \tfrac32 & -\tfrac12\end{pmatrix}$. *Vérification :* $AA^{-1} = I_2$.

**Exemple 21.16 (Rang avec un paramètre, par les seules lignes).**

Pour $m \in \R$, cherchons le rang de $M_m = \begin{pmatrix} 1 & 1 & m\\ 1 & m & 1\\ m & 1 &
1\end{pmatrix}$. Réduisons : $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$ et $L_3
\leftarrow L_3 - mL_1$ donnent les lignes

$$
(1,\ 1,\ m), \qquad (0,\ m - 1,\ 1 - m), \qquad
(0,\ 1 - m,\ 1 - m^2).
$$

*Cas $m = 1$* : les deux dernières lignes s’annulent — un seul pivot, $\operatorname{rk} M_1 = 1$ (les trois lignes de départ étaient égales). *Cas $m \neq 1$* : multiplions $L_2$ par $\frac1{m-1}$ et $L_3$ par $\frac1{1-m}$ pour obtenir $(0, 1, -1)$ et $(0, 1, 1 + m)$, puis $L_3 \leftarrow L_3 - L_2 = (0, 0, m + 2)$. Si $m = -2$ : deux pivots, rang $2$ ; sinon trois pivots, rang $3$. En résumé :

$$
\operatorname{rk} M_m =
\begin{cases}
1 & m = 1,\\
2 & m = -2,\\
3 & \text{sinon}.
\end{cases}
$$

Les mêmes seuils sortiront d’un unique calcul de déterminant au [Chapitre 22](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/22-determinants-et-systemes-lineaires#ch-b1-det) (le [polynôme](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) $-(m+2)(m-1)^2$ de l’[Exercice 22.7](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/22-determinants-et-systemes-lineaires#exo-b1-det-7)) — mais remarquons ce que l’élimination donne et que le déterminant ne donne pas : la *valeur* du rang dans les cas dégénérés, et non seulement le fait qu’il a chuté.

**Exemple 21.17 (Calcul de puissances).**

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = I + N$ avec $N =
E_{12}$, $N^2 = 0$. Comme $I$ et $N$ commutent, la formule du binôme ([Proposition 7.20](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/7-structures-algebriques#prop-b1-structures-binomial)) se tronque :

$$
A^k = I + kN = \begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
\qquad (k \in \N, \text{ et } k \in \Z \text{ en utilisant } A^{-1} = I -
N).
$$

**Méthode 21.18 (Calculer AnA^nAn : les trois voies).**

1. *Voie du binôme* : si $A = \lambda I + N$ avec $N$ nilpotente, la formule du binôme se tronque ( [Exemple 21.17](#ex-b1-matrices-powers) , [Exercice 21.5](#exo-b1-matrices-5) ) ; elle s’applique parce que $\lambda I$ commute avec tout.
2. *Voie polynomiale* : trouver une identité polynomiale vérifiée par $A$ (en dimension $2$ , toujours $A^2 = sA -  pI$ ) et réduire $X^n$ modulo celle-ci ; le devoir maison ci-dessous construit entièrement cette voie.
3. *Voie de la similitude* : trouver une matrice inversible $P$ telle que $P^{-1}AP = D$ soit simple (diagonale, ou décalage), calculer $D^n$ , puis revenir en arrière : $A^n = P  D^n P^{-1}$ ( [Théorème 21.10](#thm-b1-matrices-conjugation) , [Exemple 21.11](#ex-b1-matrices-conjugationrun) ) ; la recherche systématique d’un tel $P$ est la théorie de la réduction de Licence 2.

Quelle que soit la voie, vérifier le résultat pour $n = 0, 1, 2$ : trois tests peu coûteux qui repèrent presque toutes les étourderies.

**Remarque 21.19 (Pièges classiques : le prix de la non-commutativité).**

Toute identité de l’algèbre des scalaires dont la démonstration réordonne les facteurs meurt dans $\mathcal{M}_n(K)$, $n \geq 2$. *Carrés* : $(A + B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2$, et le terme du milieu ne se réduit à $2AB$ que si $AB = BA$ ([Exercice 21.1](#exo-b1-matrices-1)). *Puissances de produits* : $(AB)^k$ vaut $ABAB\cdots$, et non $A^kB^k$. *Diviseurs de zéro* : $E_{12}E_{12} = 0$ avec $E_{12} \neq 0$ ; par conséquent *pas de simplification* : $AB = AC$ entraîne $B = C$ seulement lorsque $A$ est inversible (multiplier par $A^{-1}$ — du bon côté). *[Traces](#def-b1-matrices-transpose)* : $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$ toujours, mais $\operatorname{tr}(AB) \neq
\operatorname{tr}A\operatorname{tr}B$ en général (prendre $A = B =
I_2$ : $2 \neq 4$), et $\operatorname{tr}(ABC) =
\operatorname{tr}(BCA)$ (invariance cyclique) tandis que $\operatorname{tr}(ACB)$ peut différer. *Les [transposées](#def-b1-matrices-transpose) renversent* : $(AB)^{\mathsf T} = B^{\mathsf
T}A^{\mathsf T}$ — oublier le renversement est l’erreur la plus fréquente dans les calculs d’orthogonalité ([Chapitre 23](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/23-espaces-euclidiens#ch-b1-euclid)). Dans le doute, tester toute identité présumée sur $E_{12}$ et $E_{21}$ : la plus petite paire non commutante réfute la plupart des fausses formules en une ligne.

**Remarque 21.20 (Où mène le dictionnaire).**

Le dictionnaire matriciel sert sur chacune des pages restantes de ce volume : le [Chapitre 22](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/22-determinants-et-systemes-lineaires#ch-b1-det) attache à chaque matrice carrée un unique nombre qui décide de l’inversibilité, et résout $AX = B$ systématiquement ; le [Chapitre 23](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/23-espaces-euclidiens#ch-b1-euclid) isole les matrices qui préservent les longueurs (les matrices orthogonales) ; et au [Chapitre 25](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/25-fonctions-de-deux-variables#ch-b1-multivar), le comportement au second ordre d’une fonction de deux variables est une matrice symétrique $2 \times 2$. La [trace](#def-b1-matrices-transpose), introduite ci-dessus presque en passant, devient un invariant puissant : les Exercices [21.6](#exo-b1-matrices-6) et [21.8](#exo-b1-matrices-8) en donnent un premier avant-goût, et le volume de Licence 2 y adosse la théorie des valeurs propres. Le devoir maison développe l’autre cheval de bataille : les identités polynomiales vérifiées par une matrice, qui transforment le calcul de $A^n$ en une [récurrence linéaire](#pb-b1-matrices-1) à deux termes.

**Remarque 21.21 (Perspectives à l’intérieur du livre 3).**

Trois familles de matrices introduites ici ont rendez-vous plus loin dans ce volume. Les *matrices symétriques* ([Exemple 21.7](#ex-b1-matrices-symsplit)) portent les données du second ordre des fonctions de deux variables : le test de Monge du [Chapitre 25](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/25-fonctions-de-deux-variables#ch-b1-multivar) est un énoncé sur le comportement du signe d’une matrice symétrique $2\times2$, et son déterminant $rt - s^2$ se calcule par la machinerie du [Chapitre 22](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/22-determinants-et-systemes-lineaires#ch-b1-det). Les *matrices orthogonales* ($A^{\mathsf T}A = I$) sont les isométries du [Chapitre 23](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/23-espaces-euclidiens#ch-b1-euclid), où la [transposée](#def-b1-matrices-transpose) acquiert enfin son sens géométrique : elle est l’ombre algébrique du produit scalaire. Les *matrices inversibles* rencontrent leur test pratique au [Chapitre 22](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/22-determinants-et-systemes-lineaires#ch-b1-det) — un seul nombre, $\det A \neq 0$ — ce qui clôt la recherche que ce chapitre a [ouverte](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-open) avec la réduction par lignes. La [trace](#def-b1-matrices-transpose) et le déterminant voyagent alors comme le couple d’invariants $(s, p)$ du devoir maison, jusqu’à la théorie des valeurs propres de Licence 2.

## 21.4 Exercices

**Exercice 21.1 ★.**

Soient $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $B =
\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$. Calculer $AB$, $BA$, $A^2 - B^2$ et $(A+B)(A-B)$ ; expliquer pourquoi les deux derniers diffèrent.

**Solution de Exercice 21.1.**

$$
AB = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix},
\quad
BA = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 2\end{pmatrix},
\quad
A^2 - B^2 = \begin{pmatrix} 1 & 4\\ 0 & 1\end{pmatrix} - I
= \begin{pmatrix} 0 & 4\\ 0 & 0\end{pmatrix},
$$

$$
(A+B)(A-B) = A^2 - AB + BA - B^2
= \begin{pmatrix} 0 & 4\\ 0 & 0\end{pmatrix} +
\begin{pmatrix} -2 & 0\\ 0 & 2 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} -2 & 4\\ 0 & 2\end{pmatrix}.
$$

Ils diffèrent de $BA - AB \neq 0$ : l’identité $(a+b)(a-b) = a^2 -
b^2$ exige la commutativité, qui est ici en défaut.

**Exercice 21.2 ★.**

Calculer le rang de

$$
M = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
2 & 4 & 6\\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix},
\qquad
N = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 2\\
0 & 1 & 1 & 1\\
1 & 2 & 1 & 3
\end{pmatrix}.
$$

**Solution de Exercice 21.2.**

$M$ : $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ annule la deuxième ligne ; $L_3
\leftarrow L_3 - L_1$ donne $(0, -1, -2)$. Deux pivots : $\operatorname{rk} M = 2$.

$N$ : $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ donne $(0,1,1,1) = L_2$ ; puis $L_3
\leftarrow L_3 - L_2 = 0$. Deux pivots : $\operatorname{rk} N = 2$.

**Exercice 21.3 ★.**

Inverser, par réduction par lignes, $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 2 & 1 &
1\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$, et vérifier sur un produit.

**Solution de Exercice 21.3.**

Réduisons $(A \mid I_3)$ : $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$, $L_3
\leftarrow L_3 - L_1$ :

$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 1 & -1 & -2 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\xrightarrow{L_3 \leftarrow L_3 - L_2}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 1 & -1 & -2 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 1
\end{pmatrix},
$$

puis $L_1 \leftarrow L_1 - L_3$, $L_2 \leftarrow L_2 + L_3$ :

$$
A^{-1} = \begin{pmatrix}
0 & 1 & -1\\
-1 & 0 & 1\\
1 & -1 & 1
\end{pmatrix}.
$$

*Vérification :* première ligne de $A$ fois première colonne de $A^{-1}$ : $1 \cdot 0 + 0\cdot(-1) + 1\cdot 1 = 1$ ; fois la deuxième colonne : $1 - 0 - 1 = 0$ ; fois la troisième : $-1 + 0 + 1 = 0$.

**Exercice 21.4 ★.**

Écrire la matrice, dans la [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) canonique de $\R_2[X]$, de l’endomorphisme $u(P) = P(X + 1)$. Expliquer, sans calcul, pourquoi il est inversible, et donner la matrice de $u^{-1}$.

**Solution de Exercice 21.4.**

$u(1) = 1$, $u(X) = X + 1$, $u(X^2) = X^2 + 2X + 1$ : les colonnes de [coordonnées](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#prop-b1-vspaces-coordinates) dans $(1, X, X^2)$ donnent

$$
M = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
0 & 1 & 2\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
$$

$u$ est inversible parce qu’il possède l’inverse évident $P \mapsto P(X
- 1)$ (composée de substitutions). Sa matrice s’obtient de la même façon à partir de $u^{-1}(X^k) = (X-1)^k$ :

$$
M^{-1} = \begin{pmatrix}
1 & -1 & 1\\
0 & 1 & -2\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
$$

**Exercice 21.5 ★★.**

Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2\end{pmatrix}$. Écrire $A =
2I + N$, calculer $N^2$, et en déduire $A^k$ pour tout $k \in \N$ par la formule du binôme.

**Solution de Exercice 21.5.**

$N = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$, $N^2 = 0$. Comme $2I$ et $N$ commutent, le développement du binôme se tronque après deux termes :

$$
A^k = (2I + N)^k = 2^k I + k\,2^{k-1} N
= \begin{pmatrix} 2^k & k\,2^{k-1}\\ 0 & 2^k\end{pmatrix}.
$$

(Vérification pour $k = 2$ : $A^2 = \begin{pmatrix}4 & 4\\ 0 &
4\end{pmatrix}$, ce que confirme le produit direct.)

**Exercice 21.6 ★★.**

Démontrer qu’il n’existe pas de matrices $A, B \in \mathcal{M}_n(K)$ (avec $K = \R$ ou $\C$) telles que $AB - BA = I_n$. *(Prendre les [traces](#def-b1-matrices-transpose).)*

**Solution de Exercice 21.6.**

Prenons les [traces](#def-b1-matrices-transpose) : $\operatorname{tr}(AB - BA) = \operatorname{tr}(AB) -
\operatorname{tr}(BA) = 0$ ([Définition 21.5](#def-b1-matrices-transpose)), tandis que $\operatorname{tr}(I_n) = n \neq 0$ dans $\R$ ou $\C$. Aucune solution. (En dimension infinie, l’identité *est* réalisable — la dérivation et la multiplication par $x$ la vérifient — précisément parce qu’il n’y existe pas de [trace](#def-b1-matrices-transpose).)

**Exercice 21.7 ★★.**

Une matrice $A$ est dite *nilpotente* lorsque $A^m = 0$ pour un certain $m$. Démontrer que $I - A$ est alors inversible, avec

$$
(I - A)^{-1} = I + A + A^2 + \dots + A^{m-1} .
$$

Application : inverser $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 &
1\end{pmatrix}$.

**Solution de Exercice 21.7.**

Produit télescopique, toutes les puissances de $A$ commutant :

$$
(I - A)(I + A + \dots + A^{m-1}) = I - A^m = I ,
$$

et la [Proposition 21.4](#prop-b1-matrices-ring) promeut l’inverse d’un seul côté en inverse tout court. Pour l’[application](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-map) : la matrice donnée est $I + N$ avec

$$
N = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 2\\ 0&0&0 \end{pmatrix},
\quad
N^2 = \begin{pmatrix} 0&0&4\\ 0&0&0\\ 0&0&0\end{pmatrix},
\quad N^3 = 0 ,
$$

donc, en remplaçant $A$ par $-N$ dans la formule :

$$
(I + N)^{-1} = I - N + N^2 =
\begin{pmatrix}
1 & -2 & 1\\
0 & 1 & -2\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
$$

**Exercice 21.8 ★★.**

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ vérifiant $A^2 = A$ (idempotente). Démontrer que $\operatorname{tr} A = \operatorname{rk} A$. *(Interpréter $A$ comme une [projection](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/20-applications-lineaires#def-b1-linmaps-projection) et choisir une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) adaptée ; le [Théorème 21.10](#thm-b1-matrices-conjugation) dit que la [trace](#def-b1-matrices-transpose) ne dépend pas de la [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free), puisque $\operatorname{tr}(P^{-1}MP) =
\operatorname{tr} M$.)*

**Solution de Exercice 21.8.**

$A^2 = A$ : l’endomorphisme $a$ est une [projection](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/20-applications-lineaires#def-b1-linmaps-projection) ([Théorème 20.15](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/20-applications-lineaires#thm-b1-linmaps-projchar)), $E = \operatorname{im} a \oplus
\ker a$ avec $\dim\operatorname{im} a = r = \operatorname{rk} A$. Dans une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) adaptée à cette décomposition ($r$ vecteurs de l’[image](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/20-applications-lineaires#def-b1-linmaps-kerim), puis une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) du noyau), la matrice de $a$ est $\begin{pmatrix} I_r & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}$, de [trace](#def-b1-matrices-transpose) $r$. La [trace](#def-b1-matrices-transpose) est invariante par [changement de base](#def-b1-matrices-changeofbasis) : $\operatorname{tr}(P^{-1}MP) = \operatorname{tr}(MPP^{-1}) =
\operatorname{tr} M$ par l’identité cyclique. D’où $\operatorname{tr} A = r = \operatorname{rk} A$.

**Exercice 21.9 ★★★.**

Soit $J \in \mathcal{M}_n(\R)$ la matrice dont tous les coefficients valent $1$. Calculer $J^2$, et en déduire, pour $a, b \in \R$, la condition d’inversibilité de $M = aI + bJ$ ainsi que $M^{-1}$ *(chercher un inverse de la même forme $\alpha I + \beta J$)*.

**Solution de Exercice 21.9.**

$J^2 = nJ$ (chaque coefficient de $J^2$ somme $n$ fois le nombre $1$). Cherchons $M^{-1} = \alpha I + \beta J$ :

$$
(aI + bJ)(\alpha I + \beta J)
= a\alpha\, I + (a\beta + b\alpha + nb\beta)\, J .
$$

Ceci vaut $I$ si et seulement si $a\alpha = 1$ et $a\beta + b\alpha +
nb\beta = 0$, c’est-à-dire $\alpha = \frac1a$ et $\beta(a + nb) =
-\frac ba$. Si $a \neq 0$ et $a + nb \neq 0$ :

$$
M^{-1} = \frac 1a I - \frac{b}{a(a + nb)}\, J .
$$

Réciproquement, si $a = 0$ : $M = bJ$ est de rang $\leq 1 < n$ (pour $n
\geq 2$) : non inversible ($n = 1$ est le cas scalaire). Si $a + nb =
0$ : le vecteur $v = (1, \dots, 1)^{\mathsf T}$ vérifie $Mv = (a +
nb)v = 0$ avec $v \neq 0$ : non inversible. Donc $M \in GL_n \iff a
\neq 0$ et $a + nb \neq 0$.

**Exercice 21.10 ★★★.**

(Inégalités sur le rang) Pour $A, B \in \mathcal{M}_n(K)$, démontrer

$$
\operatorname{rk}(A + B) \leq \operatorname{rk} A +
\operatorname{rk} B,
\qquad
\operatorname{rk}(AB) \geq \operatorname{rk} A + \operatorname{rk}
B - n .
$$

*(Pour la seconde — l’inégalité de Sylvester — appliquer le [théorème du rang](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/20-applications-lineaires#thm-b1-linmaps-ranknullity) à la restriction de l’[application](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-map) de $A$ à $\operatorname{im} B$.)*

**Solution de Exercice 21.10.**

*Somme :* $\operatorname{im}(A + B) \subseteq \operatorname{im} A
+ \operatorname{im} B$ (car $(A+B)x = Ax + Bx$), et la [formule de Grassmann](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/19-dimension-finie#thm-b1-findim-grassmann) majore la dimension d’une somme par la somme des dimensions.

*Sylvester :* soit $a$ l’[application](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-map) de $A$ restreinte à $V =
\operatorname{im} B$ (de dimension $\operatorname{rk} B$). Son [image](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/20-applications-lineaires#def-b1-linmaps-kerim) est $\operatorname{im}(AB)$ (car $a(Bx) = ABx$), et le [théorème du rang](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/20-applications-lineaires#thm-b1-linmaps-ranknullity) dans $V$ donne :

$$
\operatorname{rk} B = \dim\ker(a_{|V}) + \operatorname{rk}(AB) .
$$

Or $\ker(a_{|V}) \subseteq \ker A$, de dimension $n -
\operatorname{rk} A$ : donc

$$
\operatorname{rk}(AB) \geq \operatorname{rk} B - (n -
\operatorname{rk} A) = \operatorname{rk} A + \operatorname{rk} B -
n . \qedhere
$$

**Exercice 21.11 ★★.**

Soit $D = \operatorname{diag}(d_1, \dots, d_n)$ avec les $d_i$ *deux à deux distincts*.

1. Démontrer qu’une matrice $A$ commute avec $D$ si et seulement si $A$ est diagonale. *(Comparer les coefficients $(i,j)$ de $AD$ et de $DA$.)*
2. En déduire le *centre* de $\mathcal{M}_n(K)$ : les matrices qui commutent avec *toute* matrice sont exactement les matrices scalaires $\lambda I_n$ . *(Tester contre $D$, puis contre les matrices $E_{ij}$.)*

**Solution de Exercice 21.11.**

1. Coefficient par coefficient, $(AD)_{ij} = a_{ij}\,d_j$ et $(DA)_{ij} = d_i\,a_{ij}$ . Donc $AD = DA$ si et seulement si $a_{ij}(d_j - d_i) = 0$ pour tous $i, j$ ; lorsque $i \neq j$ , le facteur $d_j - d_i$ est non nul, ce qui force $a_{ij} = 0$ : $A$ est diagonale. Réciproquement, les matrices diagonales commutent entre elles.
2. Si $A$ commute avec toute matrice, elle commute en particulier avec $\operatorname{diag}(1, 2, \dots, n)$ , donc $A = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ par (1). Alors $A E_{ij} = \lambda_i E_{ij}$ (seule la ligne $i$ de $E_{ij}$ survit) tandis que $E_{ij} A = \lambda_j E_{ij}$ : commuter avec $E_{ij}$ force $\lambda_i = \lambda_j$ . D’où $A = \lambda I_n$ ; et les matrices scalaires commutent bien avec tout. Le centre de $\mathcal{M}_n(K)$ est $K\,I_n$ .

**Exercice 21.12 ★★★.**

(Matrices de rang $1$) Soit $A \in \mathcal{M}_n(K)$, $A \neq 0$.

1. Démontrer que $\operatorname{rk} A = 1$ si et seulement si $A =  CL$ pour une colonne non nulle $C \in \mathcal{M}_{n,1}$ et une ligne non nulle $L \in \mathcal{M}_{1,n}$ .
2. Pour une telle $A$ , démontrer que $A^2 = (\operatorname{tr}  A)\,A$ ; en déduire qu’une matrice de rang $1$ est nilpotente si et seulement si sa [trace](#def-b1-matrices-transpose) est nulle.
3. Si $\operatorname{tr} A \neq -1$, démontrer que $I_n + A$ est inversible, avec $$(I_n + A)^{-1} = I_n - \frac{1}{1 + \operatorname{tr}  A}\,A ,$$ et que $I_n + A$ n’est *pas* inversible lorsque $\operatorname{tr} A = -1$. *(Trouver un vecteur annulé par $I_n + A$.)*

**Solution de Exercice 21.12.**

1. Si $\operatorname{rk} A = 1$ : l’ [image](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/20-applications-lineaires#def-b1-linmaps-kerim) de $A$ est une droite $\operatorname{Vect}(C)$ , $C \neq 0$ , donc la $j$ -ième colonne de $A$ vaut $\ell_j\,C$ pour des scalaires $\ell_j$ (non tous nuls), c’est-à-dire $A = C L$ avec $L = (\ell_1,  \dots, \ell_n) \neq 0$ . Réciproquement, si $A = CL \neq 0$ , toutes les colonnes sont multiples de $C$ : rang $1$ .
2. $A^2 = C\,(L C)\,L$ , et $LC$ est le scalaire $\sum_i  \ell_i c_i = \operatorname{tr}(CL) = \operatorname{tr}  A$ . Donc $A^2 = (\operatorname{tr} A)\,A$ , d’où par récurrence $A^m = (\operatorname{tr} A)^{m-1} A$ . Si $\operatorname{tr} A \neq 0$ , aucune puissance ne s’annule ; si $\operatorname{tr} A = 0$ , alors $A^2 = 0$ : une matrice de rang $1$ est nilpotente si et seulement si sa [trace](#def-b1-matrices-transpose) est nulle.
3. Avec $t = \operatorname{tr} A \neq -1$ : $$(I_n + A)\Bigl(I_n - \frac{A}{1 + t}\Bigr)  = I_n + A - \frac{A + A^2}{1 + t}  = I_n + A - \frac{(1 + t)A}{1 + t} = I_n ,$$ en utilisant $A^2 = tA$. Si $t = -1$ : $(I_n + A)A = A + A^2 =  A - A = 0$ avec $A \neq 0$, donc $I_n + A$ annule toute colonne (non nulle) de $A$ : elle n’est pas [injective](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj), donc pas inversible.

## 21.5 Problème : puissances d’une matrice par division polynomiale

**Problème 21.1.**

Calculer $A^{100}$ coefficient par coefficient est sans espoir ; le calculer à l’aide d’une identité polynomiale vérifiée par $A$ tient en trois lignes. Ce problème construit la méthode à partir de rien : division euclidienne de $X^n$, identité $A^2 - sA + pI = 0$ vérifiée par toute matrice $2 \times 2$ (le théorème de Cayley–Hamilton en dimension $2$), et dictionnaire entre puissances de matrices et [récurrences linéaires](#pb-b1-matrices-1) — avec les [nombres de Fibonacci](#pb-b1-matrices-1) comme exemple fil rouge.

**Partie I — Le calcul des restes.** Fixons $s, p
\in K$ et $D = X^2 - sX + p$.

1. Justifier que pour chaque $n \in \N$ il existe un unique $Q_n  \in K[X]$ et un unique $(a_n, b_n) \in K^2$ tels que $$X^n = Q_n\,D + a_n X + b_n ,$$ et calculer $(a_0, b_0)$ et $(a_1, b_1)$.
2. En multipliant par $X$ et en divisant de nouveau, établir les récurrences $$a_{n+1} = s\,a_n + b_n,  \qquad  b_{n+1} = -p\,a_n ,$$ et en déduire $a_{n+2} = s\,a_{n+1} - p\,a_n$ : la suite des coefficients obéit à la [récurrence linéaire](#pb-b1-matrices-1) attachée à $D$.
3. Supposons que $D$ ait deux racines distinctes $\lambda \neq \mu$. En évaluant l’identité de division, démontrer que $$a_n = \frac{\lambda^n - \mu^n}{\lambda - \mu},  \qquad  b_n = \frac{\lambda\mu^n - \mu\lambda^n}{\lambda - \mu} .$$
4. Supposons $D = (X - \lambda)^2$ . En dérivant l’identité de division, démontrer que $a_n = n\lambda^{n-1}$ et $b_n = (1 - n)\lambda^{n}$ .
5. Montrer que la substitution d’une matrice fixée $M \in  \mathcal{M}_k(K)$ dans les [polynômes](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) respecte les sommes et les produits : $(PQ)(M) = P(M)\,Q(M)$. En déduire que si $D(M) =  0$, alors $$M^n = a_n\,M + b_n\,I \qquad (n \in \N).$$

**Partie II — Dimension 2 : [trace](#def-b1-matrices-transpose), nombre déterminant, Cayley–Hamilton.** Pour $A = \begin{pmatrix} a & b\\ c &
d\end{pmatrix}$, posons $s = a + d = \operatorname{tr} A$ et $p = ad
- bc$ (le nombre que le [Chapitre 22](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/22-determinants-et-systemes-lineaires#ch-b1-det) nommera le déterminant).

6. Vérifier par un calcul direct l’*identité de Cayley–Hamilton en dimension $2$* : $$A^2 - s\,A + p\,I_2 = 0 .$$
7. Démontrer par développement direct que $p$ est multiplicatif : avec des notations évidentes, $p(AB) = p(A)\,p(B)$. Montrer ensuite : $A$ est inversible si et seulement si $p \neq 0$, et dans ce cas $$A^{-1} = \frac1p\,\bigl(s\,I_2 - A\bigr).$$
8. Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 2\end{pmatrix}$ . Calculer $s$ , $p$ , les racines de $D$ , et en déduire une formule close pour $A^n$ ; la vérifier sur un calcul direct de $A^2$ .
9. Soit $A = \begin{pmatrix} 3 & 1\\ -1 & 1\end{pmatrix}$ . Montrer que $D$ a une racine double et calculer $A^n$ ; vérifier pour $n = 2$ .
10. Soit $F = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ et définissons les [nombres de Fibonacci](#pb-b1-matrices-1) par $F_0 = 0$, $F_1 = 1$, $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$. Démontrer que $$F^n = \begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n\\ F_n &  F_{n-1}\end{pmatrix} \quad (n \geq 1),$$ en déduire la formule de Binet $F_n = \dfrac{\varphi^n -  \psi^n}{\sqrt5}$ où $\varphi = \frac{1 + \sqrt5}2$, $\psi = \frac{1 - \sqrt5}2$, puis, à l’aide de la question 7, l’identité de Cassini $F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2 = (-1)^n$.

**Partie III — Les [récurrences linéaires](#pb-b1-matrices-1), structurellement.** Fixons $s, p \in K$ avec $p \neq 0$, et soit $E_D$ l’[ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) des suites vérifiant $u_{n+2} = s\,u_{n+1} - p\,u_n$ pour tout $n$.

11. Montrer que $E_D$ est un [espace vectoriel](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-def) de dimension $2$ (adapter l’ [Exercice 19.10](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/19-dimension-finie#exo-b1-findim-10) ).
12. Montrer que la suite $(a_n)$ de la partie I est l’élément de $E_D$ de valeurs initiales $0, 1$, et que tout $u  \in E_D$ vérifie $$u_n = u_1\,a_n + u_0\,b_n \qquad (n \in \N),$$ avec $(b_n)$ comme dans la partie I : les restes de division résolvent *toutes* les récurrences d’un seul coup.
13. Si $\lambda \neq \mu$ sont les racines de $D$ , montrer que $\bigl((\lambda^n), (\mu^n)\bigr)$ est une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) de $E_D$ ; si $D = (X-\lambda)^2$ avec $\lambda \neq 0$ , montrer que $\bigl((\lambda^n), (n\lambda^n)\bigr)$ en est une.
14. Résoudre complètement : $u_{n+2} = u_{n+1} + 6u_n$ , $u_0 = 1$ , $u_1 = 8$ ; vérifier la réponse sur $u_2$ et $u_3$ .
15. Soit $C = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -p & s\end{pmatrix}$ (la *matrice compagnon* de $D$). Montrer que $$\begin{pmatrix} u_{n}\\ u_{n+1}\end{pmatrix}  = C^n \begin{pmatrix} u_0\\ u_1\end{pmatrix}  \quad (u \in E_D),$$ et que $\operatorname{tr} C = s$ et $p(C) = p$ : la récurrence et la matrice portent le même [polynôme](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) $D$.

**Partie IV — Le degré trois.** Soit $D_3 = X^3 -
\alpha X^2 - \beta X - \gamma$ et

$$
C_3 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \gamma & \beta &
\alpha \end{pmatrix}.
$$

16. Montrer que $D_3(C_3) = 0$ . *(Calculer les [images](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/20-applications-lineaires#def-b1-linmaps-kerim) des vecteurs de la [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) canonique par les puissances de $C_3$ : l’[application](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-map) de $C_3$ envoie $e_1 \mapsto \dots \mapsto$ une combinaison imposée par la dernière ligne.)*
17. Montrer que si $D_3$ a trois racines distinctes $\lambda_1,  \lambda_2, \lambda_3$ , le reste $R_n$ de la division de $X^n$ par $D_3$ est l’ *interpolant de Lagrange* des valeurs $\lambda_i^n$ aux nœuds $\lambda_i$ ( [Théorème 8.23](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#thm-b1-poly-lagrange) ) ; en déduire que chaque coefficient de $C_3^{\,n}$ est une combinaison linéaire fixe de $\lambda_1^n, \lambda_2^n, \lambda_3^n$ .
18. Résoudre : $u_{n+3} = 2u_{n+2} + u_{n+1} - 2u_n$ avec $u_0 =  0$ , $u_1 = 1$ , $u_2 = 1$ . *(Factoriser $D_3 = (X - 1)(X  + 1)(X - 2)$.)* Vérifier sur $u_3$ .
19. Calculer le reste de $X^n$ modulo $(X -  \lambda)^3$ *([formule de Taylor](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/16-formules-de-taylor-et-developpements-limites#thm-b1-taylor-integral) de $X^n$ en $\lambda$)* , et en déduire une formule pour $(\lambda I +  N)^n$ lorsque $N^3 = 0$ et que $N$ commute avec tout ce qui est en vue ; la comparer à la formule du binôme.
20. Montrer que pour $D_3$ à racines distinctes, la solution générale de la récurrence d’ordre $3$ est $u_n = c_1  \lambda_1^n + c_2\lambda_2^n + c_3\lambda_3^n$ : démontrer que les trois suites géométriques forment une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) de l’espace des solutions. *(Pour la liberté, évaluer une combinaison nulle en $n = 0, 1, 2$ et reconnaître un système d’interpolation aux nœuds distincts $\lambda_i$.)*

**Partie V — Les dividendes de Fibonacci, et synthèse.**

21. Démontrer que $F_1 + F_2 + \dots + F_n = F_{n+2} - 1$ .
22. À partir de $F^{m+n} = F^m F^n$, obtenir la formule d’addition $$F_{m+n} = F_{m+1}F_n + F_m F_{n-1},$$ et en déduire $F_{2n} = F_n(F_{n+1} + F_{n-1})$.
23. Démontrer que $F_n$ est l’entier le plus proche de $\varphi^n/\sqrt5$ pour tout $n \geq 0$ .
24. Soit $t_n = \operatorname{tr}(F^n) = F_{n+1} + F_{n-1}$ (les *nombres de Lucas* $L_n$ ). Montrer que $t_{n+2} =  t_{n+1} + t_n$ , $t_1 = 1$ , $t_2 = 3$ , que $L_n =  \varphi^n + \psi^n$ , et retrouver $F_{2n} = F_n L_n$ .
25. Synthèse, en quatre phrases : pourquoi les puissances d’une matrice $2 \times 2$ vivent dans le plan $\operatorname{Vect}(I, A)$ de $\mathcal{M}_2(K)$ (quel argument de dimension garantit une identité quadratique, et quelle identité explicite la partie II a produite) ; comment la division euclidienne convertit l’exponentiation en une récurrence à deux termes ; quel énoncé de ce problème est le cas $n = 2$ d’un théorème valable en toute dimension (le nommer, et dire où il est démontré dans cette [série](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/17-series-numeriques#def-b1-series-def) ) ; et ce que la construction de la matrice compagnon ajoute au tableau.

**Solution de Problème 21.1.**

**1.** Division euclidienne de $X^n$ par le [polynôme unitaire](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) $D$ de degré $2$ ([Théorème 8.3](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#thm-b1-poly-division)) : le quotient et le reste existent et sont uniques, et le reste est de degré $\leq 1$ : $X^n =
Q_n D + a_n X + b_n$. Pour $n = 0$ : $Q_0 = 0$, $(a_0, b_0) = (0,
1)$ ; pour $n = 1$ : $(a_1, b_1) = (1, 0)$.

**2.** Multiplions par $X$ et réduisons $X^2 = D + sX - p$ :

$$
X^{n+1} = X Q_n D + a_n X^2 + b_n X
= (X Q_n + a_n)\,D + (s\,a_n + b_n)\,X - p\,a_n .
$$

La dernière expression a la forme d’un reste (degré $\leq 1$), donc par unicité $a_{n+1} = s a_n + b_n$ et $b_{n+1} = -p a_n$. En substituant $b_{n+1} = -pa_n$ dans $a_{n+2} = s a_{n+1} +
b_{n+1}$, on obtient $a_{n+2} = s\,a_{n+1} - p\,a_n$.

**3.** Évaluons $X^n = Q_n D + a_n X + b_n$ aux racines : $\lambda^n = a_n\lambda + b_n$ et $\mu^n = a_n\mu + b_n$. En soustrayant et en divisant par $\lambda - \mu \neq 0$ :

$$
a_n = \frac{\lambda^n - \mu^n}{\lambda - \mu},
\qquad
b_n = \lambda^n - a_n\lambda
= \frac{\lambda\mu^n - \mu\lambda^n}{\lambda - \mu} .
$$

**4.** À la racine double : $\lambda^n = a_n\lambda + b_n$. En dérivant l’identité, $nX^{n-1} = Q_n'\,(X - \lambda)^2
+ 2Q_n\,(X - \lambda) + a_n$, et en évaluant en $\lambda$ : $a_n
= n\lambda^{n-1}$ ; puis $b_n = \lambda^n - n\lambda^{n} = (1 -
n)\lambda^{n}$.

**5.** Pour $P = \sum_i p_i X^i$ et $Q = \sum_j q_j X^j$,

$$
P(M)\,Q(M) = \sum_{i,j} p_i q_j M^{i+j} = (PQ)(M),
$$

car les puissances de la seule matrice $M$ commutent entre elles (pour les sommes, c’est clair par linéarité). Si $D(M) = 0$, la substitution de $M$ dans $X^n = Q_n D + a_n X + b_n$ donne $M^n = Q_n(M)\,D(M) + a_n
M + b_n I = a_n M + b_n I$.

**6.** Produits directs :

$$
A^2 = \begin{pmatrix}
a^2 + bc & b(a + d)\\
c(a + d) & d^2 + bc
\end{pmatrix},
\qquad
s A = \begin{pmatrix}
a(a+d) & b(a+d)\\
c(a+d) & d(a+d)
\end{pmatrix},
$$

donc $A^2 - sA$ a des coefficients hors diagonale nuls et des coefficients diagonaux valant $a^2 + bc - a^2 - ad = bc - ad = -p$ : $A^2 - sA + pI_2 = 0$.

**7.** Avec $A' = \begin{pmatrix} a' & b'\\ c' &
d'\end{pmatrix}$, développons $p(AA') = (aa' + bc')(cb' + dd') -
(ab' + bd')(ca' + dc')$ : les termes $aa'cb'$ et $ab'ca'$ se simplifient, les termes $bc'dd'$ et $bd'dc'$ se simplifient, et il reste

$$
aa'dd' - bca'd' + bcb'c' - adb'c'
= (ad - bc)(a'd' - b'c') = p(A)\,p(A').
$$

Si $p \neq 0$, Cayley–Hamilton donne $A\,\bigl(\tfrac1p(sI_2 -
A)\bigr) = \tfrac1p(sA - A^2) = I_2$, d’où l’inverse (et la [Proposition 21.4](#prop-b1-matrices-ring) en fait un inverse des deux côtés). Si $p
= 0$ et si $A$ était inversible, la multiplicativité donnerait $1 =
p(I_2) = p(A)\,p(A^{-1}) = 0$ : impossible. Donc $A \in GL_2 \iff p
\neq 0$.

**8.** $s = 3$, $p = 2$, $D = X^2 - 3X + 2 = (X - 1)(X -
2)$ : $\lambda = 2$, $\mu = 1$, donc $a_n = 2^n - 1$ et $b_n = 2 -
2^n$ (question 3). D’où

$$
A^n = (2^n - 1)A + (2 - 2^n)I
= \begin{pmatrix} 1 & 2^n - 1\\ 0 & 2^n \end{pmatrix}.
$$

Vérification : $A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 0 & 4\end{pmatrix}$, aussi bien par la formule qu’en élevant directement au carré.

**9.** $s = 4$, $p = 3\cdot1 - 1\cdot(-1) = 4$ : $D = X^2 -
4X + 4 = (X - 2)^2$, racine double $\lambda = 2$. Question 4 : $a_n
= n\,2^{n-1}$, $b_n = (1 - n)2^n$, donc

$$
A^n = n\,2^{n-1}A + (1 - n)2^n I
= 2^{n-1}\begin{pmatrix} n + 2 & n\\ -n & 2 - n
\end{pmatrix}.
$$

Pour $n = 2$ : $2\begin{pmatrix} 4 & 2\\ -2 & 0\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 8 & 4\\ -4 & 0 \end{pmatrix}$, qui est bien $A^2$ calculé directement.

**10.** Par récurrence : $F^1 = \begin{pmatrix} F_2 & F_1\\ F_1 &
F_0\end{pmatrix}$, et

$$
F^{n+1} = F^n F =
\begin{pmatrix} F_{n+1} + F_n & F_{n+1}\\
F_n + F_{n-1} & F_n \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} F_{n+2} & F_{n+1}\\ F_{n+1} & F_n
\end{pmatrix}.
$$

Ici $s = 1$, $p = -1$, $D = X^2 - X - 1$ de racines $\varphi,
\psi$ ($\varphi - \psi = \sqrt5$, $\varphi\psi = -1$). La suite $(F_n)$ vérifie $F_0 = 0 = a_0$, $F_1 = 1 = a_1$ et obéit à la même récurrence que $(a_n)$ : $F_n = a_n = (\varphi^n -
\psi^n)/\sqrt5$, la formule de Binet. Cassini : en appliquant la multiplicativité de la question 7 à $F^n$,

$$
F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2 = p(F^n) = p(F)^n = (-1)^n .
$$

**11.** La condition est [linéaire](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/20-applications-lineaires#def-b1-linmaps-def) et contient la suite nulle : c’est un [sous-espace vectoriel](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-subspace). Par récurrence, $u_0, u_1$ déterminent $u$ linéairement, et tout couple de valeurs initiales est réalisé par exactement une solution : comme à l’[Exercice 19.10](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/19-dimension-finie#exo-b1-findim-10), $E_D$ est paramétré bijectivement et linéairement par $(u_0, u_1) \in K^2$ : $\dim E_D = 2$.

**12.** $(a_n)$ obéit à la récurrence (question 2) avec $a_0
= 0$, $a_1 = 1$. Il en va de même de $(b_n)$ : $b_{n+2} = -p\,a_{n+1} =
-p(s a_n + b_n) = s\,b_{n+1} - p\,b_n$ (en utilisant deux fois $b_{n+1} = -pa_n$), avec $b_0 = 1$, $b_1 = 0$. La combinaison $v_n =
u_1 a_n + u_0 b_n$ est alors une solution de valeurs $v_0 = u_0$, $v_1 =
u_1$ ; deux solutions de mêmes valeurs initiales coïncident (récurrence), donc $u_n = u_1 a_n + u_0 b_n$ pour tout $n$.

**13.** $(\lambda^n)$ est une solution si et seulement si $\lambda^{n+2} = s\lambda^{n+1} - p\lambda^n$ pour tout $n$, c’est-à-dire $D(\lambda) = 0$ (après division par $\lambda^n \neq 0$ ; notons que $\lambda, \mu \neq
0$ puisque $p = \lambda\mu \neq 0$). Liberté de $\bigl((\lambda^n), (\mu^n)\bigr)$ : une relation en $n = 0, 1$ donne $c + c' = 0$, $c\lambda + c'\mu = 0$, donc $c(\lambda - \mu)
= 0$ : $c = c' = 0$. Deux vecteurs [libres](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) en dimension $2$ : une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free). Racine double : $\bigl((n\lambda^n)\bigr)$ est une solution car, avec $s = 2\lambda$, $p = \lambda^2$ :

$$
s(n+1)\lambda^{n+1} - p\,n\lambda^n
= \lambda^{n+2}\bigl(2(n+1) - n\bigr) = (n+2)\lambda^{n+2} ;
$$

liberté en $n = 0, 1$ : $c = 0$, puis $c'\lambda = 0$ avec $\lambda \neq 0$.

**14.** $D = X^2 - X - 6 = (X - 3)(X + 2)$. Solution générale $u_n = A\,3^n + B(-2)^n$ ; les conditions initiales donnent $A + B = 1$ et $3A - 2B = 8$, donc $A = 2$, $B = -1$ :

$$
u_n = 2\cdot 3^n - (-2)^n .
$$

Vérification : $u_2 = 18 - 4 = 14 = u_1 + 6u_0$ ; $u_3 = 54 + 8 = 62 =
u_2 + 6u_1 = 14 + 48$.

**15.** $C\begin{pmatrix} u_n\\ u_{n+1}\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} u_{n+1}\\ -p\,u_n + s\,u_{n+1}\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} u_{n+1}\\ u_{n+2}\end{pmatrix}$, et une récurrence donne la formule avec $C^n$. De plus $\operatorname{tr} C = 0
+ s = s$ et $p(C) = 0\cdot s - 1\cdot(-p) = p$ : la matrice compagnon a exactement $D$ pour [polynôme](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) de Cayley–Hamilton.

**16.** Pour toute solution $u$ de

$$
u_{n+3} = \alpha u_{n+2} + \beta u_{n+1} + \gamma u_n ,
$$

les vecteurs d’état $v_n = (u_n,
u_{n+1}, u_{n+2})^{\mathsf T}$ vérifient $C_3 v_n = v_{n+1}$ (les deux premières lignes décalent, la dernière applique la récurrence). Donc

$$
D_3(C_3)\,v_0 = v_3 - \alpha v_2 - \beta v_1 - \gamma v_0 ,
$$

dont les trois composantes valent $u_{k+3} - \alpha u_{k+2} - \beta
u_{k+1} - \gamma u_k = 0$ ($k = 0, 1, 2$). Comme l’état initial $v_0 = (u_0, u_1, u_2)^{\mathsf T}$ parcourt *tout* $K^3$ (les valeurs initiales sont [libres](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free)), la matrice $D_3(C_3)$ annule tout vecteur : $D_3(C_3) = 0$.

**17.** Écrivons $X^n = Q\,D_3 + R_n$ avec $\deg R_n \leq 2$ et évaluons en chaque racine : $\lambda_i^n = R_n(\lambda_i)$. Ainsi $R_n$ est un [polynôme](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) de degré $\leq 2$ qui interpole les trois valeurs $\lambda_i^n$ aux trois nœuds distincts $\lambda_i$ : par unicité dans le [Théorème 8.23](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#thm-b1-poly-lagrange), $R_n = \sum_i
\lambda_i^n L_i$ où $(L_i)$ est la [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) de Lagrange des nœuds. En substituant $C_3$ (questions 5 et 16) :

$$
C_3^{\,n} = R_n(C_3) = \sum_{i=1}^{3} \lambda_i^n\,L_i(C_3),
$$

avec les trois matrices $L_i(C_3)$ indépendantes de $n$ : chaque coefficient de $C_3^{\,n}$ est une combinaison fixe de $\lambda_1^n,
\lambda_2^n, \lambda_3^n$.

**18.** $D_3 = X^3 - 2X^2 - X + 2 = (X-1)(X+1)(X-2)$. Solution générale $u_n = A + B(-1)^n + C\,2^n$. Conditions initiales : $A + B + C = 0$, $A - B + 2C = 1$, $A + B + 4C = 1$. En soustrayant la première de la troisième : $3C = 1$, $C = \frac13$ ; puis $A + B = -\frac13$ et $A - B = \frac13$ : $A = 0$, $B =
-\frac13$. D’où

$$
u_n = \frac{2^n - (-1)^n}{3}
$$

(les nombres de Jacobsthal). Vérification : $u_3 = \frac{8 + 1}{3} = 3 =
2u_2 + u_1 - 2u_0 = 2 + 1 - 0$.

**19.** [Formule de Taylor](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/16-formules-de-taylor-et-developpements-limites#thm-b1-taylor-integral) du [polynôme](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) $X^n$ en $\lambda$ :

$$
X^n = \sum_{k=0}^{n} \binom nk \lambda^{n-k}(X - \lambda)^k ,
$$

et tous les termes avec $k \geq 3$ sont divisibles par $(X -
\lambda)^3$ : le reste est

$$
R_n = \lambda^n + n\lambda^{n-1}(X - \lambda) + \binom
n2\lambda^{n-2}(X - \lambda)^2 .
$$

Pour $M = \lambda I + N$ avec $N^3 = 0$ : $(M - \lambda I)^3 = N^3
= 0$, donc la question 5 donne

$$
M^n = \lambda^n I + n\lambda^{n-1} N + \binom n2
\lambda^{n-2} N^2 ,
$$

ce qui est exactement le développement du binôme de $(\lambda I + N)^n$ tronqué à $N^2$ — les deux méthodes concordent.

**20.** L’espace des solutions est de dimension $3$ (même paramétrage par $(u_0, u_1, u_2)$ qu’à la question 11), et chaque $(\lambda_i^n)$ est une solution. Liberté : supposons $c_1\lambda_1^n + c_2\lambda_2^n + c_3\lambda_3^n = 0$ pour $n =
0, 1, 2$. Fixons $i$ et soit $L_i = \sum_{k \leq 2} p_k X^k$ le [polynôme](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) de Lagrange des nœuds vérifiant $L_i(\lambda_j) =
\delta_{ij}$. Alors

$$
0 = \sum_{k=0}^{2} p_k\Bigl(\sum_j c_j\lambda_j^k\Bigr)
= \sum_j c_j\,L_i(\lambda_j) = c_i .
$$

Donc tous les $c_i$ sont nuls : trois solutions [libres](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) en dimension $3$, donc une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) ; la solution générale est $c_1\lambda_1^n +
c_2\lambda_2^n + c_3\lambda_3^n$.

**21.** De $F_k = F_{k+2} - F_{k+1}$, la somme se télescope :

$$
\sum_{k=1}^{n} F_k = \sum_{k=1}^{n}\bigl(F_{k+2} - F_{k+1}\bigr)
= F_{n+2} - F_2 = F_{n+2} - 1 .
$$

**22.** Prenons le coefficient $(1,2)$ de $F^{m+n} = F^m F^n$ : le membre de gauche vaut $F_{m+n}$ ; le membre de droite est (la ligne $1$ de $F^m$) fois (la colonne $2$ de $F^n$), c’est-à-dire $F_{m+1}F_n +
F_m F_{n-1}$. Avec $m = n$ :

$$
F_{2n} = F_{n+1}F_n + F_nF_{n-1} = F_n\,(F_{n+1} + F_{n-1}).
$$

**23.** Par Binet, $F_n - \dfrac{\varphi^n}{\sqrt5} =
-\dfrac{\psi^n}{\sqrt5}$, et $\abs\psi = \frac{\sqrt5 - 1}2 <
1$, donc

$$
\Bigl|F_n - \frac{\varphi^n}{\sqrt5}\Bigr|
\leq \frac{1}{\sqrt5} < \frac12
\qquad (n \geq 0):
$$

$F_n$ est l’entier le plus proche de $\varphi^n/\sqrt5$.

**24.** $t_n = F_{n+1} + F_{n-1}$ est une combinaison de suites de Fibonacci décalées, donc vérifie la même récurrence : $t_{n+2} = t_{n+1} + t_n$ ; et $t_1 = F_2 + F_0 =
1$, $t_2 = F_3 + F_1 = 3$ : ce sont les nombres de Lucas $L_n$. La suite $\varphi^n + \psi^n$ est une solution de mêmes deux premières valeurs ($\varphi + \psi = 1$, $\varphi^2 + \psi^2 = (
\varphi + \psi)^2 - 2\varphi\psi = 3$), donc $L_n = \varphi^n +
\psi^n$. Enfin

$$
F_n L_n = \frac{(\varphi^n - \psi^n)(\varphi^n +
\psi^n)}{\sqrt5} = \frac{\varphi^{2n} - \psi^{2n}}{\sqrt5} =
F_{2n},
$$

ce qui retrouve la question 22.

**25.** (i) Les cinq matrices $I, A, A^2, A^3, A^4$ vivent dans $\mathcal{M}_2(K)$, de dimension $4$, donc *un certain* [polynôme](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) non nul de degré $\leq 4$ annule $A$ ; la partie II a précisé cela en la quadratique explicite $A^2 = sA - pI$, qui enferme toutes les puissances dans le plan $\operatorname{Vect}(I, A)$. (ii) La division euclidienne réduit $X^n$ modulo cette quadratique, et les deux coefficients du reste obéissent à la récurrence à deux termes $a_{n+2} = s\,a_{n+1} - p\,a_n$ : l’exponentiation est devenue une itération. (iii) La question 6 est le cas $n = 2$ du *théorème de Cayley–Hamilton*, valable en toute dimension et démontré dans le volume de Licence 2. (iv) La matrice compagnon boucle la boucle : toute [récurrence linéaire](#pb-b1-matrices-1) *est* une puissance de matrice, le même [polynôme](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) $D$ apparaissant comme données de [trace](#def-b1-matrices-transpose) et de déterminant, de sorte que le calcul des restes résout les récurrences et calcule les puissances d’un seul geste.