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title: "Déterminants et systèmes linéaires"
book: "Mathématiques universitaires — Licence 1"
subject: math
language: fr
chapter: 22
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/22-determinants-et-systemes-lineaires
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# Chapitre 22 — Déterminants et systèmes linéaires

Le déterminant condense en un seul scalaire la réponse à la question « ces $n$ vecteurs forment-ils une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) ? » — et, géométriquement, mesure le volume qu’ils engendrent. Nous le caractérisons par ses propriétés (multilinéaire, alterné, normalisé), le calculons en dimensions $2$ et $3$ puis, en général, par développement suivant une ligne ou une colonne, et le mettons au travail sur les [systèmes linéaires](#def-b1-det-system), aux côtés de l’algorithme universel : le pivot de Gauss.

## 22.1 Le déterminant

**Théorème 22.1 (Caractérisation).**

Il existe exactement une [application](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-map) $\det \colon \mathcal{M}_n(K) \to K$, vue comme fonction des $n$ colonnes, qui soit :

1. *[linéaire](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/20-applications-lineaires#def-b1-linmaps-def) en chaque colonne* (les autres étant fixées) ;
2. *alternée* : échanger deux colonnes change le signe (donc deux colonnes égales donnent $0$ ) ;
3. *normalisée* : $\det I_n = 1$ .

Pour $n = 2$ et $3$ :

$$
\begin{vmatrix} a & b\\ c & d\end{vmatrix} = ad - bc,
\qquad
\begin{vmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i\end{vmatrix}
= aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh
$$

(la règle de Sarrus en taille $3 \times 3$ : produits des diagonales descendantes moins produits des diagonales ascendantes).

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

**Remarque 22.2.**

Pour $n = 2$ : développer par bilinéarité sur les colonnes canoniques donne la formule, laquelle satisfait réciproquement les axiomes — une démonstration complète ; le cas $n = 3$ est identique, avec davantage de termes. Le cas général (existence par la somme sur les [permutations](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/2-denombrement#def-b1-counting-objects), unicité par le même développement) réclame la signature d’une [permutation](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/2-denombrement#def-b1-counting-objects) et est reporté à la deuxième année ; nous utilisons librement les axiomes et les conséquences ci-dessous.

Voici le développement pour $n = 2$ en entier, puisqu’il sert de modèle : avec les colonnes $C_1 = a\,e_1 + c\,e_2$ et $C_2 = b\,e_1 + d\,e_2$, la bilinéarité donne

$$
\det(C_1, C_2) = ab\det(e_1, e_1) + ad\det(e_1, e_2)
+ cb\det(e_2, e_1) + cd\det(e_2, e_2),
$$

et le caractère alterné tue les paires répétées tout en retournant $\det(e_2, e_1) = -\det(e_1, e_2)$ : toute l’[application](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-map) se réduit à $(ad - bc)\det(e_1, e_2) = ad - bc$ par normalisation. L’unicité se lit dans le calcul lui-même — les axiomes n’ont laissé aucun choix à aucune étape — et c’est exactement l’énoncé d’unicité à un facteur près qui sert dans la démonstration de la formule du produit ci-dessous.

**Théorème 22.3 (Propriétés).**

Pour $A, B \in \mathcal{M}_n(K)$ :

1. ajouter à une colonne un multiple d’une autre ne change pas le déterminant ; multiplier une colonne par $\lambda$ le multiplie par $\lambda$ (donc $\det(\lambda A) = \lambda^n \det A$ ) ;
2. $\det(AB) = \det A\, \det B$ ;
3. $A$ est inversible $\iff$ $\det A \neq 0$ $\iff$ les colonnes forment une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) de $K^n$ ; et alors $\det(A^{-1}) = (\det  A)^{-1}$ ;
4. $\det(A^{\mathsf T}) = \det A$ — ainsi toute règle sur les colonnes est aussi une règle sur les lignes ;
5. le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit de ses coefficients diagonaux.

**Démonstration.** (1) Par linéarité, $\det(\dots, C_i + \lambda C_j, \dots) = \det A +
\lambda\det(\dots, C_j, \dots)$, où le second déterminant a deux colonnes égales : il est nul.

(2) Fixons $A$ et considérons $\varphi(B) = \det(AB)$ comme fonction des colonnes de $B$ : puisque $AB$ a pour colonnes les $AB_j$, $\varphi$ est multilinéaire et alternée en les $B_j$. Nous admettons, avec le [Théorème 22.1](#thm-b1-det-def), son énoncé d’unicité à un facteur près : *toute* [application](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-map) multilinéaire alternée $\varphi$ des colonnes est égale à $\varphi(I_n) \cdot \det$. Ici $\varphi(I_n) = \det A$, donc $\det(AB) = \det A \cdot \det B$.

(3) Si $A$ est inversible : $\det A\,\det A^{-1} = \det I = 1$, donc $\det A \neq 0$ et la formule de l’inverse vaut. Si $A$ n’est pas inversible, ses colonnes sont liées ([Corollaire 20.9](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/20-applications-lineaires#cor-b1-linmaps-samedim) et [Proposition 20.2](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/20-applications-lineaires#prop-b1-linmaps-basis)) ; exprimer une colonne à l’aide des autres puis développer par linéarité ne laisse que des déterminants à deux colonnes égales : $\det A = 0$. L’énoncé sur la [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) est la [Proposition 19.8](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/19-dimension-finie#prop-b1-findim-twoofthree).

(4) Admis avec la construction générale (c’est immédiat sur la formule par les [permutations](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/2-denombrement#def-b1-counting-objects)) ; nous l’enregistrons pour pouvoir utiliser les [opérations sur les lignes](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/21-matrices#met-b1-matrices-gauss).

(5) Si l’un des coefficients diagonaux est nul, les $k$ premières colonnes sont liées pour un certain $k$ (considérations de rang) et $\det = 0 =$ le produit. Sinon, on annule chaque colonne en dessous et à gauche par des opérations de type (1) — possibles grâce à la forme triangulaire —, atteignant la matrice diagonale, dont le déterminant est le produit des coefficients par multilinéarité à partir de $I_n$. ∎

**Exemple 22.4 (Les règles, vérifiées sur des nombres).**

Prenons $A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\end{pmatrix}$ ($\det A =
-2$) et $B = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$ ($\det
B = -1$). Alors

$$
AB = \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 4 & 7\end{pmatrix},
\quad \det(AB) = 14 - 12 = 2 = (-2)(-1) ;
\qquad
\det(A^{\mathsf T}) = \begin{vmatrix} 1 & 3\\ 2 & 4
\end{vmatrix} = -2 = \det A .
$$

Multiplicativité et invariance par transposition confirmées — tandis que la *fausse* additivité échoue sur le même couple :

$$
\det(A + B) = \begin{vmatrix} 1 & 3\\ 4 & 5\end{vmatrix} = -7
\neq \det A + \det B = -3 .
$$

Trente secondes d’arithmétique de ce genre, chaque fois qu’une identité sur les déterminants est invoquée, constituent l’assurance contre l’erreur la moins chère qui soit.

**Exemple 22.5 (Les déterminants comme aires).**

Le parallélogramme engendré par $u = (2, 0)$ et $v = (1, 3)$ a pour [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) $2$ et pour hauteur $3$ : son aire vaut $6$. Et

$$
\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 0 & 3\end{vmatrix} = 6 :
$$

le déterminant $2\times2$ *est* l’aire algébrique du parallélogramme de ses colonnes. Les axiomes racontent la géométrie : ajouter à une colonne un multiple de l’autre est une *transvection*, qui fait glisser le parallélogramme parallèlement à un côté sans changer ni la [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) ni la hauteur (opération (1) du [Théorème 22.3](#thm-b1-det-props)) ; multiplier une colonne par un scalaire multiplie l’aire d’autant ; échanger les colonnes renverse l’orientation, d’où le signe, $\det(v, u) = -6$. Dans $\R^3$ la même lecture donne des volumes algébriques, et $\abs{\det}$ devient le facteur universel de dilatation des volumes des [applications linéaires](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/20-applications-lineaires#def-b1-linmaps-def) — le fait qui se cache derrière la formule de [changement de variables](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/15-integration-sur-un-segment#thm-b1-integration-parts) pour les [intégrales](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/15-integration-sur-un-segment#thm-b1-integration-def) multiples dans le volume de Licence 2.

**Théorème 22.6 (Développement par les cofacteurs).**

Soit $A \in \mathcal{M}_n(K)$ et soit $\Delta_{ij}$ le déterminant de $A$ privée de sa ligne $i$ et de sa colonne $j$. Alors, pour toute colonne $j$ fixée (ou toute ligne, par transposition) :

$$
\det A = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j}\, a_{ij}\, \Delta_{ij} .
$$

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

**Exemple 22.7.**

Développement suivant la première colonne :

$$
\begin{vmatrix}
2 & 1 & 0\\
1 & 2 & 1\\
0 & 1 & 2
\end{vmatrix}
= 2\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2\end{vmatrix}
- 1\begin{vmatrix} 1 & 0\\ 1 & 2\end{vmatrix}
= 2 \times 3 - 2 = 4 .
$$

Stratégie : créer d’abord des zéros ([opérations sur les lignes](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/21-matrices#met-b1-matrices-gauss) ou les colonnes), puis développer suivant la rangée la plus vide.

**Exemple 22.8 (L’inverse par les cofacteurs, une fois à la main).**

Pour $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 &
1\end{pmatrix}$ : $\det A = 1(1) - 1(-1) + 0 = 2$. Les neuf cofacteurs $(-1)^{i+j}\Delta_{ij}$ s’assemblent en

$$
\operatorname{Com}(A) = \begin{pmatrix}
1 & 1 & -1\\
-1 & 1 & 1\\
1 & -1 & 1
\end{pmatrix},
\qquad
A^{-1} = \frac{1}{\det A}\operatorname{Com}(A)^{\mathsf T}
= \frac12\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1\\
1 & 1 & -1\\
-1 & 1 & 1
\end{pmatrix},
$$

la formule citée dans l’[Exercice 22.8](#exo-b1-det-8). Vérifions un couple ligne-colonne : (ligne $1$ de $A$)(colonne $1$ de $A^{-1}$) $= \frac12(1 + 1 + 0) = 1$, et contre la colonne $2$ : $\frac12(-1 + 1 + 0) = 0$. Neuf déterminants $2\times2$ pour un seul inverse $3\times3$ : à cette taille déjà, la réduction par les lignes ([Exercice 22.3](#exo-b1-det-3)) coûte moins cher — l’intérêt de la formule des cofacteurs est théorique (le caractère entier dans l’[Exercice 22.8](#exo-b1-det-8), la différentiabilité de l’inverse dans les volumes ultérieurs), non calculatoire.

**Exemple 22.9 (La règle triangulaire par blocs, en taille 444).**

Affirmation : $\det\begin{pmatrix} M & N\\ 0 & P\end{pmatrix} = \det
M\,\det P$ pour des blocs $2\times2$. Annulons le bloc $N$ par des opérations sur les colonnes : ajouter aux colonnes $3, 4$ des combinaisons convenables des colonnes $1, 2$ élimine $N$ *lorsque $M$ est inversible* (résoudre $M\Lambda = -N$ pour obtenir les coefficients de combinaison $\Lambda$), ce qui laisse $\det\begin{pmatrix} M & 0\\ 0 & P\end{pmatrix}$ ; puis le [développement par les cofacteurs](#thm-b1-det-cofactor) suivant la première colonne, deux fois, donne $\det M\det P$ pour cette forme diagonale par blocs. Si $M$ n’est pas inversible, ses colonnes sont liées, donc les deux premières colonnes de la grande matrice le sont aussi (leurs moitiés inférieures sont nulles) : les deux membres sont nuls. La règle s’étend à des blocs de tailles quelconques par le même argument en deux cas — et c’est le moteur de l’[Exercice 22.10](#exo-b1-det-10).

**Exemple 22.10 (Un déterminant 4×44 \times 44×4, avec stratégie).**

$$
\Delta = \begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 & 4\\
2 & 3 & 4 & 1\\
3 & 4 & 1 & 2\\
4 & 1 & 2 & 3
\end{vmatrix}.
$$

Chaque ligne a pour somme $10$ : l’opération $C_1 \leftarrow C_1 + C_2 +
C_3 + C_4$ rend la première colonne constante, et mettre $10$ en facteur n’y laisse que des $1$. Puis $L_i \leftarrow L_i - L_1$ ($i \geq 2$) annule la première colonne :

$$
\Delta = 10\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 & 4\\
0 & 1 & 1 & -3\\
0 & 2 & -2 & -2\\
0 & -1 & -1 & -1
\end{vmatrix}
= 10\begin{vmatrix}
1 & 1 & -3\\
2 & -2 & -2\\
-1 & -1 & -1
\end{vmatrix}
= 10 \times 16 = 160,
$$

le dernier déterminant $3\times3$ se développant suivant sa première ligne : $1(2 - 2) - 1(-2 - 2) + (-3)(-2 - 2) = 0 + 4 + 12 = 16$. Morale : une opération bien choisie (avoir repéré la somme constante des lignes) vaut mieux que seize cofacteurs.

**Méthode 22.11 (Choisir une stratégie de calcul de déterminant).**

Examinez la matrice avant de calculer quoi que ce soit.

1. *Sommes des lignes ou des colonnes constantes* : additionner le tout dans une même rangée, mettre la valeur commune en facteur ( [Exemple 22.10](#ex-b1-det-fourbyfour) , [Exercice 22.7](#exo-b1-det-7) ).
2. *Structure répétitive* : soustraire des lignes ou des colonnes voisines pour créer des zéros ; les motifs en escalier s’effondrent vers la forme triangulaire, dont le déterminant se lit sur la diagonale.
3. *Zéros isolés* : développer suivant la rangée la plus vide ( [Exemple 22.7](#ex-b1-det-cofactor) ) ; les familles récursives (tridiagonales, [Exercice 22.6](#exo-b1-det-6) ) livrent ainsi des récurrences.
4. *Un paramètre* : le déterminant en est un [polynôme](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) ; on trouve ses racines en repérant les valeurs dégénérées (lignes égales, colonnes proportionnelles), puis on cerne le [polynôme](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) par son degré et son coefficient dominant. Pour la matrice de l’ [Exercice 22.7](#exo-b1-det-7) : $m = 1$ donne trois lignes égales (rang $1$ , une racine double), $m = -2$ rend la somme des lignes nulle (une racine de plus) ; le déterminant est de degré $3$ en $m$ , de terme dominant $-m^3$ (le produit antidiagonal $m\cdot m\cdot m$ , dont le signe de Sarrus est $-1$ ), il vaut donc nécessairement $-(m+2)(m-1)^2$ — aucun développement n’est nécessaire, et les deux méthodes se contrôlent l’une l’autre.

**Exemple 22.12 (Déterminant de Vandermonde).**

Pour des scalaires $x_1, \dots, x_n$ :

$$
V(x_1, \dots, x_n) =
\begin{vmatrix}
1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1}\\
1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1}\\
\vdots & & & & \vdots\\
1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1}
\end{vmatrix}
= \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i) .
$$

Esquisse de démonstration (détaillée dans l’[Exercice 22.5](#exo-b1-det-5)) : les opérations sur les colonnes $C_k \leftarrow C_k - x_1 C_{k-1}$, effectuées à partir de la droite, annulent la première ligne, et mettre en facteur chaque ligne restante ramène à $V(x_2, \dots, x_n)$. Non nul si et seulement si les $x_i$ sont deux à deux distincts — le déterminant qui se cache derrière l’[interpolation de Lagrange](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#thm-b1-poly-lagrange) ([Exemple 20.10](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/20-applications-lineaires#ex-b1-linmaps-interpolation)).

## 22.2 Systèmes linéaires

**Définition 22.13.**

Un système [linéaire](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/20-applications-lineaires#def-b1-linmaps-def) de $n$ équations à $p$ inconnues est $AX = B$ avec $A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)$, $B \in
K^n$ ; il est *homogène* lorsque $B = 0$. Son [ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) de solutions, lorsqu’il est non vide, est $X_0 + \ker A$ : une solution particulière plus la solution générale du système homogène — un [sous-espace](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-subspace) affine de dimension $p - \operatorname{rk} A$ ([théorème du rang](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/20-applications-lineaires#thm-b1-linmaps-ranknullity)).

**Exemple 22.14 (La structure affine, rendue visible).**

Résolvons

$$
\begin{cases}
x + y + z = 3\\
x - y + 2z = 2 .
\end{cases}
$$

En soustrayant les équations : $2y - z = 1$, donc $z = 2y - 1$ et $x =
3 - y - z = 4 - 3y$. Les solutions forment la droite

$$
(x, y, z) = (4,\ 0,\ -1) + y\,(-3,\ 1,\ 2)
\qquad (y \in \R):
$$

la solution particulière $X_0 = (4, 0, -1)$ (le choix $y = 0$) plus la droite noyau $\ker A = \operatorname{Vect}(-3, 1, 2)$ du système homogène associé — vérification : $(-3) + 1 + 2 = 0$ et $(-3) - 1 + 4 = 0$. Géométriquement, deux plans non parallèles de $\R^3$ se coupent selon une droite, et le compte des dimensions $p -
\operatorname{rk} A = 3 - 2 = 1$ le savait avant que nous ayons résolu quoi que ce soit. Changer de solution particulière (disons $y = 1$ : $X_0' = (1, 1, 1)$) change la description, pas la droite : un [sous-espace](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-subspace) affine a plusieurs origines et une seule direction.

**Théorème 22.15 (Systèmes de Cramer carrés).**

Si $A \in GL_n(K)$, le système $AX = B$ a pour unique solution $X =
A^{-1}B$, dont les [coordonnées](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#prop-b1-vspaces-coordinates) sont

$$
x_j = \frac{\det A_j}{\det A},
\qquad A_j = A \text{ dont la colonne } j \text{ est remplacée par } B .
$$

**Démonstration.** L’existence et l’unicité sont l’inversibilité même. Pour la formule : écrivons $B = \sum_k x_k C_k$ (les $C_k$ étant les colonnes de $A$) ; alors, par multilinéarité et alternance,

$$
\det A_j = \det\Bigl(C_1, \dots, \sum_k x_k C_k, \dots, C_n\Bigr)
= \sum_k x_k \det(C_1, \dots, C_k, \dots, C_n)
= x_j \det A ,
$$

tous les termes sauf $k = j$ ayant une colonne répétée. ∎

**Exemple 22.16 (Cramer avec un paramètre, en entier).**

Pour $m \in \R$, résolvons

$$
\begin{cases}
x + m y = 1\\
m x + y = 2 .
\end{cases}
$$

Le déterminant vaut $1 - m^2$. *Cas générique* $m \neq \pm1$ : Cramer donne

$$
x = \frac{\begin{vmatrix} 1 & m\\ 2 & 1\end{vmatrix}}{1 - m^2}
= \frac{1 - 2m}{1 - m^2},
\qquad
y = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 1\\ m & 2\end{vmatrix}}{1 - m^2}
= \frac{2 - m}{1 - m^2},
$$

une solution propre pour chaque $m$ admissible (vérification en $m = 0$ : $(1, 2)$, manifestement correct). *Cas dégénérés* : en $m = 1$ les équations s’écrivent $x + y = 1$ et $x + y = 2$ : incompatibles ; en $m = -1$ elles s’écrivent $x - y = 1$ et $-x + y = 2$, c’est-à-dire $x - y = 1$ et $x - y = -2$ : incompatibles de nouveau. L’annulation du déterminant annonce que *quelque chose* dégénère, mais ne dit jamais quoi — [ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) vide ou [ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) infini doit se décider en regardant le second membre. Remarquons aussi comme les formules signalent elles-mêmes leurs limites : quand $m \to 1^{-}$, $x = \frac{1 - 2m}{1 - m^2} \to
-\infty$ ; le point solution s’enfuit à mesure que les deux droites deviennent parallèles.

**Méthode 22.17 (Le pivot de Gauss sur les systèmes).**

On réduit la matrice augmentée $(A \mid B)$ à une forme échelonnée.

1. Si un pivot apparaît dans la dernière colonne (une ligne $0 = 1$ ) : pas de solution.
2. Sinon, les inconnues se répartissent en *inconnues principales* et *inconnues [libres](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free)* (les paramètres) ; la remontée exprime les premières en fonction des secondes : l’ [ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) des solutions est un [sous-espace](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-subspace) affine de dimension $=$ nombre d’inconnues [libres](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) .

Les formules de Cramer servent à la théorie et aux petits systèmes ; l’élimination est l’algorithme pratique.

**Exemple 22.18 (Une discussion avec paramètre).**

Pour $m \in \R$, considérons

$$
\begin{cases}
x + y + mz = 1\\
x + my + z = 1\\
mx + y + z = 1 .
\end{cases}
$$

La matrice a pour déterminant $-(m+2)(m-1)^2$ (calculé dans l’[Exercice 22.7](#exo-b1-det-7) en ajoutant toutes les colonnes à la première). Pour $m \neq 1, -2$ : solution unique $x = y = z = \frac{1}{m+2}$ (par symétrie). Pour $m =
1$ : une seule équation répétée trois fois, un plan de solutions. Pour $m = -2$ : en ajoutant les trois équations on obtient $0 = 3$, pas de solution.

**Remarque 22.19 (Pièges classiques).**

*Le déterminant n’est pas [linéaire](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/20-applications-lineaires#def-b1-linmaps-def) en la matrice* : $\det(A + B)
\neq \det A + \det B$ (déjà $\det(I_2 + I_2) = 4 \neq 2$) ; il est [linéaire](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/20-applications-lineaires#def-b1-linmaps-def) en chaque *colonne* séparément, ce qui est tout autre chose. *Homogénéité* : $\det(\lambda A) = \lambda^n\det A$, et non $\lambda\det A$ — chacune des $n$ colonnes est multipliée. *Les [opérations sur les lignes](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/21-matrices#met-b1-matrices-gauss) ne sont pas toutes gratuites* : $L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j$ conserve le déterminant, mais un échange change le signe et $L_i \leftarrow \lambda L_i$ le multiplie par $\lambda$ — les erreurs de comptabilité ici sont la source classique des signes faux dans les calculs par élimination. *Un déterminant nul est un début, non une fin* : il dit « rang $< n$ » mais pas quel rang ; seul un travail supplémentaire (forme échelonnée, ou les mineurs de l’[Exercice 22.12](#exo-b1-det-12)) le localise — cf. le cas $m = 1$ contre $m = -2$ dans l’[Exemple 22.18](#ex-b1-det-parameter). *Cramer exige l’inversibilité* : lorsque $\det A = 0$ les formules $x_j = \det A_j/\det A$ n’ont aucun sens, et le système peut parfaitement avoir (une infinité de) solutions. *Seules les matrices carrées ont un déterminant* : pour un système rectangulaire, l’élimination est le seul outil.

**Remarque 22.20 (Où vont les déterminants).**

Trois vies attendent ce scalaire. *Géométrique* : $\abs{\det}$ est le facteur de dilatation des aires ou des volumes de l’[application](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-map) associée — rendu précis pour le plan dans le [Chapitre 23](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/23-espaces-euclidiens#ch-b1-euclid) et, comme jacobien d’un [changement de variables](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/15-integration-sur-un-segment#thm-b1-integration-parts), dans les [intégrales](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/15-integration-sur-un-segment#thm-b1-integration-def) multiples du volume de Licence 2. *Algébrique* : $\det(A - \lambda I)$, le [polynôme caractéristique](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/5-equations-differentielles-lineaires#def-b1-diffeq-linear2), ouvre la théorie des valeurs propres en Licence 2 — l’identité $A^2 - (\operatorname{tr} A)A + (\det A)I = 0$ du devoir maison du [Chapitre 21](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/21-matrices#ch-b1-matrices) en est la première ombre. *Analytique* : les déterminants de matrices particulières (Vandermonde, Cauchy, Gram) décident quand les problèmes d’interpolation, de décomposition et de [projection](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/20-applications-lineaires#def-b1-linmaps-projection) sont bien posés ; le devoir maison ci-dessous évalue complètement les deux premières familles.

**Remarque 22.21 (Perspectives à l’intérieur du livre 3).**

Ce chapitre referme la colonne vertébrale d’algèbre linéaire du volume, et ses deux derniers chapitres en touchent les dividendes. Dans le [Chapitre 23](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/23-espaces-euclidiens#ch-b1-euclid) : la matrice de Gram $\bigl(\langle v_i, v_j\rangle\bigr)$ teste la liberté d’une famille par un déterminant ([Exercice 23.11](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/23-espaces-euclidiens#exo-b1-euclid-11)), et les isométries du plan se répartissent en rotations et réflexions selon le signe de leur déterminant — c’est sur lui que repose la classification du devoir maison de ce chapitre-là. Dans le [Chapitre 25](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/25-fonctions-de-deux-variables#ch-b1-multivar) : la quantité de Monge $rt -
s^2$ est le déterminant de la matrice symétrique des [dérivées](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/14-derivation#def-b1-derivative-def) secondes, et les équations normales des moindres carrés forment un système de Cramer dont la matrice est une matrice de Gram (donc de moments) — inversible précisément grâce aux critères de saveur Vandermonde établis ici. Quand ces chapitres affirmeront « inversible » ou « positif », les justificatifs seront dans celui-ci.

## 22.3 Exercices

**Exercice 22.1 ★.**

Calculer :

$$
\begin{vmatrix} 3 & 1\\ 5 & 2 \end{vmatrix},
\qquad
\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9\end{vmatrix},
\qquad
\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 4\\ 1 & 3 & 9\end{vmatrix}.
$$

**Solution de Exercice 22.1.**

$3 \times 2 - 1 \times 5 = 1$.

Deuxième : $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$, $L_3 \leftarrow L_3 - L_2$ (sur les lignes d’origine) donnent les lignes $(1,2,3), (3,3,3), (3,3,3)$ : deux lignes égales, déterminant $0$. (Sarrus confirme : $45 + 84 + 96 -
105 - 48 - 72 = 0$.)

Troisième : c’est un Vandermonde avec $x = 1, 2, 3$ ([Exemple 22.12](#ex-b1-det-vandermonde)) : $(2-1)(3-1)(3-2) = 2$.

**Exercice 22.2 ★.**

Pour quels $\lambda \in \R$ la famille $\bigl((1, 1, \lambda),
(1, \lambda, 1), (\lambda, 1, 1)\bigr)$ est-elle une [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) de $\R^3$ ?

**Solution de Exercice 22.2.**

Le déterminant vaut (ajouter toutes les colonnes à la première, puis mettre en facteur) $(\lambda + 2)$ fois

$$
\begin{vmatrix}
1 & 1 & \lambda\\ 1 & \lambda & 1\\ 1 & 1 & 1
\end{vmatrix}
= -(\lambda - 1)^2
$$

(annuler avec $L_1 \leftarrow L_1 - L_3$, $L_2 \leftarrow L_2 - L_3$ puis développer), d’où $\det = -(\lambda+2)(\lambda-1)^2$. [Base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) $\iff \det \neq 0 \iff \lambda \notin \{1, -2\}$.

**Exercice 22.3 ★.**

Résoudre par la [règle de Cramer](#thm-b1-det-cramer) :

$$
\begin{cases}
2x + y = 5\\
3x - 2y = 4 ,
\end{cases}
\qquad\text{puis}\qquad
\begin{cases}
x + y + z = 6\\
x - y + z = 2\\
2x + y - z = 1 .
\end{cases}
$$

**Solution de Exercice 22.3.**

Premier système : $\det = -7$ ; $x = \frac{1}{-7}\begin{vmatrix} 5 & 1\\ 4 & -2\end{vmatrix}
= \frac{-14}{-7} = 2$, $y = \frac{1}{-7}\begin{vmatrix} 2 & 5\\ 3 & 4\end{vmatrix}
= \frac{-7}{-7} = 1$. Vérification : $2(2) + 1 = 5$ ; $3(2) - 2 = 4$.

Second système : après $L_2 - L_1$ et $L_3 - 2L_1$, les lignes deviennent $(1,1,1)$, $(0,-2,0)$, $(0,-1,-3)$, donc

$$
\det A = \begin{vmatrix} 1&1&1\\ 1&-1&1\\ 2&1&-1\end{vmatrix}
= 1 \times \begin{vmatrix} -2 & 0\\ -1 & -3\end{vmatrix} = 6 .
$$

Cramer, en remplaçant les colonnes par $(6,2,1)^{\mathsf T}$ :

$$
x = \frac{6}{6} = 1, \qquad
y = \frac{12}{6} = 2, \qquad
z = \frac{18}{6} = 3
$$

(les numérateurs se calculant de la même façon). Vérification : $1 + 2 + 3 = 6$ ; $1 - 2 + 3 = 2$ ; $2 + 2 - 3 = 1$.

**Exercice 22.4 ★.**

Résoudre par le pivot de Gauss, en décrivant l’[ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) des solutions :

$$
\begin{cases}
x + 2y - z + t = 1\\
2x + 4y + z - t = 5\\
x + 2y + 2z - 2t = 4 .
\end{cases}
$$

**Solution de Exercice 22.4.**

Réduisons la matrice augmentée : $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$, $L_3
\leftarrow L_3 - L_1$ :

$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 & 1 & 1\\
0 & 0 & 3 & -3 & 3\\
0 & 0 & 3 & -3 & 3
\end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1 & -1 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.
$$

Inconnues principales $x, z$ ; inconnues [libres](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) $y, t$. Remontée : $z = 1 + t$, $x = 1 - 2y + z - t = 2 - 2y$. [Ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) des solutions :

$$
\{(2 - 2y,\; y,\; 1 + t,\; t) : y, t \in \R\}
= (2, 0, 1, 0) + \operatorname{Vect}\bigl((-2,1,0,0),\,
(0,0,1,1)\bigr),
$$

un plan affine (de dimension $2 = 4 - \operatorname{rk} 2$) de $\R^4$.

**Exercice 22.5 ★★.**

Démontrer la formule de Vandermonde de l’[Exemple 22.12](#ex-b1-det-vandermonde) par récurrence sur $n$, à l’aide des opérations sur les colonnes $C_k \leftarrow C_k - x_1 C_{k-1}$ effectuées de $k = n$ jusqu’à $k = 2$.

**Solution de Exercice 22.5.**

Récurrence ; pour $n = 1$ le produit est vide, égal à $1$. Pour l’hérédité, effectuons $C_k \leftarrow C_k - x_1 C_{k-1}$ pour $k = n, n-1, \dots, 2$ (dans cet ordre, de sorte que chaque opération utilise une colonne non encore modifiée). La première ligne devient $(1, 0, \dots, 0)$ ; dans la ligne $i \geq 2$, le $k$-ième coefficient devient $x_i^{k-1} - x_1 x_i^{k-2} = x_i^{k-2}(x_i - x_1)$. En développant suivant la première ligne et en mettant $(x_i - x_1)$ en facteur dans chaque ligne $i$ :

$$
V(x_1, \dots, x_n)
= \prod_{i=2}^{n} (x_i - x_1)\cdot V(x_2, \dots, x_n),
$$

et l’hypothèse de récurrence complète le produit $\prod_{i<j}(x_j
- x_i)$.

**Exercice 22.6 ★★.**

(Tridiagonal) Soit $D_n$ le déterminant $n \times n$ valant $2$ sur la diagonale, $1$ sur les deux diagonales adjacentes et $0$ ailleurs. En développant suivant la première ligne, démontrer $D_n = 2D_{n-1} -
D_{n-2}$ et calculer $D_n$ ($D_1 = 2$, $D_2 = 3$).

**Solution de Exercice 22.6.**

En développant $D_n$ suivant la première ligne : $D_n = 2 D_{n-1} -
1\cdot\begin{vmatrix} 1 & \ast\\ 0 & \text{bloc } D_{n-2}
\end{vmatrix}$ ; le second déterminant, développé suivant sa première colonne, vaut $D_{n-2}$. Donc $D_n = 2D_{n-1} - D_{n-2}$, c’est-à-dire $D_n - D_{n-1} = D_{n-1} - D_{n-2}$ : les différences sont constantes, égales à $D_2 - D_1 = 1$. Ainsi $D_n = D_1 + (n - 1) = n + 1$. (Vérification : $D_2 = 3$, et le cas $3\times3$ est [Exemple 22.7](#ex-b1-det-cofactor) : $D_3 = 4$.)

**Exercice 22.7 ★★.**

Compléter l’[Exemple 22.18](#ex-b1-det-parameter) : calculer le déterminant $\begin{vmatrix} 1 & 1 & m\\ 1 & m & 1\\ m & 1 & 1\end{vmatrix}$ par l’opération $C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$, et mener la discussion complète du système.

**Solution de Exercice 22.7.**

$C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$ rend la première colonne constante, égale à $(m+2)$ ; mettons-la en facteur :

$$
\det = (m+2)\begin{vmatrix}
1 & 1 & m\\ 1 & m & 1\\ 1 & 1 & 1
\end{vmatrix}
\overset{L_1 - L_3,\ L_2 - L_3}{=}
(m+2)\begin{vmatrix}
0 & 0 & m-1\\ 0 & m-1 & 0\\ 1 & 1 & 1
\end{vmatrix}
= (m+2)\cdot\bigl(-(m-1)^2\bigr)
$$

(développer suivant la première colonne : l’unique coefficient $1$ porte le signe $+$, et le déterminant $2 \times 2$ restant vaut $0 \cdot 0 - (m-1)(m-1) = -(m-1)^2$).

Discussion. $m \notin \{1, -2\}$ : système de Cramer ; par la symétrie des équations, $x = y = z$, et chaque équation donne $(m + 2)x = 1$ : solution unique $\bigl(\frac{1}{m+2}, \frac{1}{m+2},
\frac{1}{m+2}\bigr)$. $m = 1$ : les trois équations s’écrivent toutes $x + y + z = 1$ : les solutions forment le plan affine $x + y + z = 1$. $m = -2$ : en sommant les trois équations on obtient $0 = 3$ : [ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) de solutions vide.

**Exercice 22.8 ★★.**

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ à coefficients *entiers*. Démontrer que $A$ admet un inverse à coefficients entiers si et seulement si $\det A = \pm 1$. *(Pour le sens direct, prendre les déterminants ; pour la réciproque, admettre — ou démontrer pour $n \leq 3$ par les cofacteurs — que $A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\operatorname{Com}(A)^{\mathsf T}$ avec une comatrice à coefficients entiers.)*

**Solution de Exercice 22.8.**

($\Rightarrow$) Si $A^{-1}$ est à coefficients entiers : $\det A \cdot \det
A^{-1} = 1$ avec les deux déterminants entiers (sommes de produits de coefficients) : deux entiers de produit $1$ valent tous deux $\pm1$.

($\Leftarrow$) La formule des cofacteurs $A^{-1} = \frac{1}{\det
A}\operatorname{Com}(A)^{\mathsf T}$ (vérifiée pour $n \leq 3$ par développement direct, admise en général) fournit une comatrice $\operatorname{Com}(A)$ à coefficients entiers (chaque cofacteur est un déterminant entier) ; diviser par $\det A = \pm 1$ conserve les entiers.

**Exercice 22.9 ★★★.**

Calculer le déterminant $n \times n$ de la matrice $aI + bJ$ ([Exercice 21.9](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/21-matrices#exo-b1-matrices-9)), c’est-à-dire celle qui vaut $a + b$ sur la diagonale et $b$ ailleurs. *(Ajouter toutes les colonnes à la première, mettre en facteur, puis annuler.)* Retrouver la condition d’inversibilité $a \neq 0$, $a + nb \neq 0$.

**Solution de Exercice 22.9.**

Ajoutons toutes les colonnes à la première : chaque coefficient de la nouvelle première colonne vaut $a + nb$ ; mettons-le en facteur, de sorte que la première colonne ne contienne que des $1$. Puis les [opérations sur les lignes](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/21-matrices#met-b1-matrices-gauss) $L_i \leftarrow L_i - L_1$ ($i \geq 2$) annulent tous les coefficients situés sous le $1$ en haut à gauche et laissent $a$ sur la diagonale et $0$ ailleurs dans ces lignes : la matrice est triangulaire supérieure, de diagonale $(1, a, \dots, a)$. Ainsi

$$
\det(aI + bJ) = (a + nb)\, a^{\,n-1} ,
$$

non nul si et seulement si $a \neq 0$ et $a + nb \neq 0$ : la condition de l’[Exercice 21.9](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/21-matrices#exo-b1-matrices-9).

**Exercice 22.10 ★★★.**

Soient $A, B \in \mathcal{M}_n(\R)$. Démontrer que

$$
\det\begin{pmatrix} A & B\\ B & A \end{pmatrix}
= \det(A + B)\,\det(A - B),
$$

par des opérations sur les colonnes et les lignes par blocs ($C_1 \leftarrow C_1 + C_2$, puis $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$, sous forme de blocs), en admettant la règle triangulaire par blocs naturelle $\det\begin{pmatrix} M & N\\ 0 &
P\end{pmatrix} = \det M \det P$ — démontrée pour des blocs $2 \times 2$ dans l’[Exemple 22.9](#ex-b1-det-blocktriangular).

**Solution de Exercice 22.10.**

Opérations par blocs (chacune est une composée des $n$ opérations scalaires correspondantes, autorisées par le [Théorème 22.3](#thm-b1-det-props) (1)) :

$$
\begin{vmatrix} A & B\\ B & A\end{vmatrix}
\overset{C_1 \leftarrow C_1 + C_2}{=}
\begin{vmatrix} A + B & B\\ A + B & A\end{vmatrix}
\overset{L_2 \leftarrow L_2 - L_1}{=}
\begin{vmatrix} A + B & B\\ 0 & A - B\end{vmatrix}
= \det(A+B)\,\det(A-B),
$$

en utilisant la règle triangulaire par blocs pour la dernière étape.

**Exercice 22.11 ★★.**

(Circulante d’ordre $3$) Soient $a, b, c \in \C$ et

$$
\Delta = \begin{vmatrix}
a & b & c\\
c & a & b\\
b & c & a
\end{vmatrix}.
$$

Démontrer que $\Delta = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc -
ca)$, puis factoriser complètement sur $\C$ à l’aide de $j =
\eu^{2\iu\pi/3}$ :

$$
\Delta = (a + b + c)(a + jb + j^2c)(a + j^2b + jc) .
$$

*(Commencer par $C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$ ; pour la forme complexe, remarquer que la colonne $(1, j, j^2)^{\mathsf T}$ se comporte presque comme un vecteur propre.)*

**Solution de Exercice 22.11.**

$C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$ rend la première colonne constante, égale à $(a + b + c)$ ; mettons-la en facteur, puis $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$, $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ :

$$
\Delta = (a+b+c)\begin{vmatrix}
1 & b & c\\
0 & a - b & b - c\\
0 & c - b & a - c
\end{vmatrix}
= (a+b+c)\bigl[(a-b)(a-c) + (b-c)^2\bigr],
$$

et en développant, $(a-b)(a-c) + (b-c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc
- ca$. Sur $\C$, avec $j^3 = 1$ et $1 + j + j^2 = 0$ :

$$
\begin{align*}
(a + jb + j^2c)(a + j^2b + jc)
&= a^2 + b^2 + c^2 + (j + j^2)(ab + bc + ca)\\
&= a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca ,
\end{align*}
$$

d’où la factorisation complète. (Structurellement : la colonne $(1, j, j^2)^{\mathsf T}$ vérifie $M\,(1, j, j^2)^{\mathsf T}
= (a + jb + j^2c)(1, j, j^2)^{\mathsf T}$, et de même pour $j^2$ et $1$ : les trois facteurs sont les trois « valeurs propres » de la circulante, une histoire systématisée dans le volume de Licence 2.)

**Exercice 22.12 ★★★.**

(Rang et mineurs) Soit $A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)$. Démontrer que $\operatorname{rk} A$ est égal à la plus grande taille $r$ d’une sous-matrice $r \times r$ inversible de $A$ (une sous-matrice retient les coefficients situés aux croisements de $r$ lignes et de $r$ colonnes choisies). *(Si $\operatorname{rk} A = r$, choisir $r$ colonnes [libres](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free), puis $r$ lignes [libres](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) du bloc $n \times r$ obtenu ; réciproquement, une sous-matrice inversible force les colonnes correspondantes de $A$ à être [libres](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free).)*

**Solution de Exercice 22.12.**

Posons $r = \operatorname{rk} A$.

*Il existe une sous-matrice $r \times r$ inversible.* Choisissons $r$ colonnes [libres](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) de $A$ et soit $B \in \mathcal{M}_{n,r}$ la matrice qu’elles forment : $\operatorname{rk} B = r$. Comme le rang par lignes est égal au rang par colonnes ([Théorème 21.13](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/21-matrices#thm-b1-matrices-rank)), $B$ possède $r$ lignes [libres](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) ; ne garder que ces lignes fournit une sous-matrice $r \times r$ de $A$ de rang $r$, c’est-à-dire inversible.

*Il n’en existe pas de plus grande.* Soit $S$ une sous-matrice $s \times s$ inversible, extraite des colonnes $j_1, \dots, j_s$ et des lignes $i_1, \dots, i_s$ de $A$. Si une combinaison $\sum_k \lambda_k
C_{j_k} = 0$ des colonnes *entières* correspondantes est nulle, alors en ne lisant que les lignes $i_1, \dots, i_s$ on obtient $\sum_k \lambda_k S_k = 0$ sur les colonnes de $S$, donc tous les $\lambda_k = 0$ ($S$ est inversible) : les colonnes $C_{j_1}, \dots, C_{j_s}$ de $A$ sont [libres](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free), et $s \leq \operatorname{rk} A = r$.

Ainsi $\operatorname{rk} A$ est exactement la plus grande taille d’une sous-matrice inversible.

## 22.4 Problème : le double alternant de Cauchy

**Problème 22.1.**

Deux déterminants gouvernent les [applications](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-map) de ce chapitre : le [déterminant de Vandermonde](#ex-b1-det-vandermonde), évalué dans l’[Exercice 22.5](#exo-b1-det-5), et le *[déterminant de Cauchy](#pb-b1-det-1)* $\det\bigl(\frac{1}{a_i +
b_j}\bigr)$, évalué ici. Autour d’eux, ce problème rassemble la boîte à outils des alternants : astuces de colonnes polynomiales, interpolation par Cramer, [matrice de Hilbert](#pb-b1-det-1), discriminant d’une cubique et méthode des [polynômes](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) alternés. Partout, $V(x_1,
\dots, x_n) = \prod_{i < j}(x_j - x_i)$ désigne la valeur de Vandermonde.

**Partie I — La boîte à outils de Vandermonde.**

1. Calculer $V(1, 2, 3, 4)$ , et rappeler pourquoi l’interpolation en $n$ nœuds deux à deux distincts est un système de Cramer.
2. (Alternant polynomial) Soient $P_0, \dots, P_{n-1}$ *unitaires* avec $\deg P_k = k$. Démontrer $$\det\bigl(P_{j-1}(x_i)\bigr)_{1 \leq i, j \leq n}  = V(x_1, \dots, x_n) :$$ les opérations sur les colonnes remplacent gratuitement chaque colonne de puissances par n’importe quel escalier unitaire.
3. Appliquer la question 2 aux [polynômes](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) binomiaux $B_k =  \frac{X(X-1)\cdots(X-k+1)}{k!}$ : démontrer que pour des *entiers* $m_1 < m_2 < \dots < m_n$, $$\frac{V(m_1, \dots, m_n)}{0!\,1!\,2!\cdots(n-1)!}  \in \N :$$ le produit de toutes les différences deux à deux de $n$ entiers est divisible par la superfactorielle $0!\,1!\cdots(n-1)!$.
4. Démontrer $\det\bigl(x_i^{\,j}\bigr)_{1 \leq i, j \leq n} =  x_1 x_2 \cdots x_n\, V(x_1, \dots, x_n)$ (les puissances commençant maintenant à $1$ ).
5. (Matrice des moments) Soit $S = \bigl(p_{i+j-2}\bigr)_{1 \leq  i, j \leq n}$ où $p_k = x_1^k + \dots + x_n^k$. Démontrer que $S = W^{\mathsf T} W$ pour la matrice $W =  (x_i^{\,j-1})_{ij}$, en déduire $$\det S = V(x_1, \dots, x_n)^2 ,$$ et conclure : $n$ nombres *réels* sont deux à deux distincts si et seulement si leur matrice des moments est inversible, et $\det S \geq 0$ toujours.

**Partie II — L’interpolation revisitée.** Nœuds $x_1 < \dots < x_n$, valeurs $y_1, \dots, y_n$.

6. Écrire les conditions « $P = c_0 + c_1X + \dots +  c_{n-1}X^{n-1}$ interpole » comme un [système linéaire](#def-b1-det-system) en les $c_k$ de matrice $W$ , et retrouver à partir de $\det W = V \neq  0$ l’existence et l’unicité de l’interpolant (comparer aux deux démonstrations antérieures, [Théorème 8.23](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#thm-b1-poly-lagrange) et [Exemple 20.10](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/20-applications-lineaires#ex-b1-linmaps-interpolation) ).
7. Par la [règle de Cramer](#thm-b1-det-cramer) et le [développement par les cofacteurs](#thm-b1-det-cofactor) du déterminant concerné suivant sa dernière colonne, démontrer que le coefficient dominant de l’interpolant vaut $$c_{n-1} = \sum_{i=1}^{n}  \frac{y_i}{\prod_{j \neq i}(x_i - x_j)} .$$
8. (Vandermonde confluent) Calculer $$\begin{vmatrix}  1 & x_1 & x_1^2\\  0 & 1 & 2x_1\\  1 & x_2 & x_2^2  \end{vmatrix}  = (x_2 - x_1)^2 ,$$ et interpréter : les données $\bigl(P(x_1), P'(x_1),  P(x_2)\bigr)$ déterminent un unique $P \in \R_2[X]$ lorsque $x_1 \neq x_2$ (interpolation d’Hermite).
9. Trouver l’unique $P \in \R_2[X]$ tel que $P(0) = 1$ , $P'(0)  = 0$ , $P(1) = 2$ , et contrôler la réponse au moyen de la question 8.

**Partie III — Le [déterminant de Cauchy](#pb-b1-det-1).** Soient $a_1, \dots, a_n$ et $b_1, \dots, b_n$ des scalaires tels que $a_i + b_j \neq 0$ pour tous $i, j$, et

$$
C_n = \det\Bigl(\frac{1}{a_i + b_j}\Bigr)_{1 \leq i, j \leq n} .
$$

10. Calculer $C_2$ à la main et le mettre sous la forme « produits de différences sur produits de sommes ».
11. Pour $n \geq 2$, effectuer $L_i \leftarrow L_i - L_n$ ($i <  n$) et mettre en facteur lignes et colonnes pour démontrer $$C_n = \frac{\prod_{i<n}(a_n - a_i)}{\prod_{j}(a_n +  b_j)}\;\det M,$$ où $M$ coïncide avec la matrice de Cauchy sur les lignes $i < n$ et a pour dernière ligne $(1, 1, \dots, 1)$.
12. Effectuer $C_j \leftarrow C_j - C_n$ ($j < n$) sur $M$, mettre de nouveau en facteur, et conclure par récurrence au *double alternant de Cauchy* : $$C_n = \frac{\prod_{1 \leq i < j \leq n}(a_j - a_i)(b_j -  b_i)}{\prod_{i, j}(a_i + b_j)} .$$
13. En déduire le critère d’inversibilité (les $a_i$ deux à deux distincts et les $b_j$ deux à deux distincts). Pour la *[matrice de Hilbert](#pb-b1-det-1)* $H_n = \bigl(\frac{1}{i + j -  1}\bigr)$ : calculer $\det H_2$ et $\det H_3$ à partir de la formule, et vérifier que $H_2^{-1}$ est à coefficients entiers.
14. Montrer que pour des $b_j$ deux à deux distincts et un second membre quelconque, le système $\sum_j \frac{c_j}{a_i + b_j} =  y_i$ ( $i = 1, \dots, n$ ) a une unique solution, et relier cela à l’existence et à l’unicité des décompositions en éléments simples à [pôles](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/9-fractions-rationnelles#def-b1-fractions-field) simples ( [Théorème 9.5](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/9-fractions-rationnelles#thm-b1-fractions-complex) ).

**Partie IV — Le discriminant d’une cubique.** Soient $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ les racines (dans $\C$) de $X^3 + pX + q$, et $p_k = \lambda_1^k + \lambda_2^k + \lambda_3^k$.

15. En utilisant $\lambda^3 = -p\lambda - q$ en chaque racine et les [relations de Viète](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#thm-b1-poly-vieta) ( $p_1 = 0$ ), calculer $p_2 = -2p$ , $p_3 = -3q$ et $p_4 = 2p^2$ .
16. Avec la question 5 (sur $\C$, en gardant $\det S = V^2$), calculer $$\operatorname{disc} = V(\lambda_1, \lambda_2,  \lambda_3)^2 = \begin{vmatrix}  3 & 0 & -2p\\  0 & -2p & -3q\\  -2p & -3q & 2p^2  \end{vmatrix}  = -4p^3 - 27q^2 .$$
17. En déduire : $X^3 + pX + q$ a une racine multiple si et seulement si $4p^3 + 27q^2 = 0$ ; vérifier sur $X^3 - 3X + 2 =  (X - 1)^2(X + 2)$ .
18. Supposons $p, q$ réels. Démontrer que la cubique a trois racines réelles distinctes si et seulement si $\operatorname{disc} > 0$ , et une racine réelle plus deux racines [conjuguées](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/3-nombres-complexes#def-b1-complex-field) non réelles si et seulement si $\operatorname{disc} < 0$ . *(Si $\lambda_3 = \conj{\lambda_2} \neq \lambda_2$ et $\lambda_1 \in \R$, montrer que $V$ est imaginaire pur.)*

**Partie V — Dividendes, et la méthode alternée.**

19. Pour $0 < a_1 < a_2 < \dots < a_n$ , montrer $\det\bigl(\frac{1}{a_i + a_j}\bigr) > 0$ .
20. Calculer $\det\bigl(\binom{m_i}{j-1}\bigr)_{1 \leq i, j  \leq 3}$ pour $(m_1, m_2, m_3) = (2, 4, 7)$ , d’abord par les questions 2–3, puis par développement direct.
21. Soient $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ deux à deux distincts et non nuls. À l’aide d’une matrice de Vandermonde inversible, démontrer de nouveau que les suites géométriques $\bigl((\lambda_i^{\,k})_{k \geq 0}\bigr)_{1 \leq i \leq  n}$ forment une [famille libre](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) de l’espace des suites.
22. Calculer $\det\bigl(\frac{1}{i + j}\bigr)_{1 \leq i, j  \leq 3}$ à partir du double alternant.
23. ( [Polynômes](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) alternés) Appelons *alterné* un [polynôme](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) $F$ en $x_1, \dots, x_n$ dont le signe change lorsqu’on échange deux variables quelconques. Montrer qu’un $F$ alterné s’annule dès que $x_i = x_j$ ( $i \neq j$ ), et en déduire — une variable à la fois, par le théorème de factorisation — que $F$ est divisible par $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ .
24. Utiliser la question 23 pour redémontrer la formule de Vandermonde sans récurrence : le déterminant $\det(x_i^{\,j-1})$ est un [polynôme](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) alterné de degré total $\binom n2$ , donc un multiple *constant* de $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ ; identifier la constante en comparant un monôme.
25. Synthèse, en quatre phrases : quelle unique propriété du déterminant (quel axiome) engendre toutes les factorisations de ce problème ; pourquoi l’identité de la matrice des moments de la question 5 transforme un énoncé portant sur la distinction des racines *complexes* en un test de signe *réel* calculable ; quelles deux matrices classiques ont été complètement évaluées ici et quels problèmes [linéaires](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/20-applications-lineaires#def-b1-linmaps-def) elles gouvernent ; et comment la méthode alternée des questions 23–24 explique, d’un seul coup, pourquoi $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ ne cesse de réapparaître. Nommer le théorème de la partie III.

**Solution de Problème 22.1.**

**1.** $V(1,2,3,4) = (2-1)(3-1)(4-1)(3-2)(4-2)(4-3) = 1
\cdot 2\cdot 3\cdot 1\cdot 2\cdot 1 = 12$. L’interpolation en des nœuds distincts demande les coefficients de $P$ solution de $W c =
y$ avec $W = (x_i^{\,j-1})$, et $\det W = V \neq 0$ : c’est un système de Cramer.

**2.** Parcourons les colonnes de gauche à droite. $C_1$ est la colonne constante $P_0(x_i) = 1$ ($P_0$ est unitaire de degré $0$). Supposons les colonnes $1, \dots, j-1$ déjà réduites aux puissances pures $1, x_i, \dots, x_i^{\,j-2}$. Comme $P_{j-1}
= X^{j-1} + \sum_{k < j-1}\alpha_k X^k$, retrancher de $C_j$ la combinaison $\sum_k \alpha_k\,(\text{colonne des } x_i^k)$ — opération qui ne change pas le déterminant — laisse la colonne de puissances pures $x_i^{\,j-1}$. Après la dernière colonne, la matrice est la matrice de Vandermonde : $\det = V(x_1, \dots, x_n)$.

**3.** Les [polynômes](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) $(j-1)!\,B_{j-1}$ sont unitaires de degré $j - 1$, donc la question 2 donne

$$
\det\bigl(B_{j-1}(m_i)\bigr)
= \frac{V(m_1, \dots, m_n)}{0!\,1!\cdots(n-1)!} .
$$

Le membre de gauche est le déterminant d’une matrice à coefficients *entiers* ($B_k$ est à valeurs entières sur $\Z$ : questions 16–17 du devoir maison [Problème 18.1](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#pb-b1-vspaces-1)), donc un entier ; et il est positif puisque $V(m_1, \dots, m_n) > 0$ pour $m_1 <
\dots < m_n$. Ainsi la superfactorielle [divise](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/6-arithmetique-des-entiers#def-b1-arith-divides) le produit de toutes les différences deux à deux.

**4.** Mettons $x_i$ en facteur dans chaque ligne $i$ : $\det(x_i^{\,j})_{j = 1..n} = x_1\cdots x_n\,
\det(x_i^{\,j-1}) = x_1\cdots x_n\,V$.

**5.** $(W^{\mathsf T}W)_{ij} = \sum_k x_k^{\,i-1}
x_k^{\,j-1} = p_{i+j-2}$ : $S = W^{\mathsf T}W$. Donc $\det S =
\det(W^{\mathsf T})\det W = V^2$ ([Théorème 22.3](#thm-b1-det-props) (2),(4)). Pour des $x_i$ réels : $\det S = V^2
\geq 0$, et $S$ est inversible si et seulement si $V \neq 0$, si et seulement si les $x_i$ sont deux à deux distincts — un test de signe calculable à partir des seules sommes de puissances.

**6.** Les conditions d’interpolation $\sum_{k}
c_k\,x_i^{\,k} = y_i$ forment le système $Wc = y$ ; $\det W = V \neq
0$ donne d’un coup l’existence et l’unicité. C’est la troisième démonstration du livre : formule explicite dans le [Théorème 8.23](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#thm-b1-poly-lagrange), argument par le noyau dans l’[Exemple 20.10](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/20-applications-lineaires#ex-b1-linmaps-interpolation), Cramer ici.

**7.** Cramer : $c_{n-1} = \det W'/\det W$ où $W'$ est $W$ dont la dernière colonne est remplacée par $y$. En développant $\det W'$ suivant cette colonne :

$$
\det W' = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+n} y_i\,V(x_1, \dots, \widehat{x_i},
\dots, x_n) .
$$

Or $V = V(\setminus i)\cdot\prod_{j<i}(x_i - x_j)\prod_{j>i}
(x_j - x_i)$, et convertir le second produit coûte $(-1)^{n-i}$ :

$$
(-1)^{i+n}\,\frac{V(\setminus i)}{V}
= \frac{(-1)^{i+n}(-1)^{n-i}}{\prod_{j\neq i}(x_i - x_j)}
= \frac{1}{\prod_{j\neq i}(x_i - x_j)} ,
$$

d’où $c_{n-1} = \sum_i y_i/\prod_{j \neq i}(x_i - x_j)$ — de nouveau la formule des [différences divisées](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#pb-b1-vspaces-1).

**8.** $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ donne les lignes $(1, x_1,
x_1^2)$, $(0, 1, 2x_1)$, $(0,\ x_2 - x_1,\ (x_2-x_1)(x_2+x_1))$ ; en développant suivant la première colonne et en mettant $(x_2 - x_1)$ en facteur :

$$
(x_2 - x_1)\begin{vmatrix} 1 & 2x_1\\ 1 & x_2 + x_1
\end{vmatrix} = (x_2 - x_1)(x_2 - x_1) = (x_2 - x_1)^2 .
$$

Non nul pour $x_1 \neq x_2$ : le [système linéaire](#def-b1-det-system) qui exprime $P(x_1) = u$, $P'(x_1) = v$, $P(x_2) = w$ sur les coefficients de $P \in \R_2[X]$ est un système de Cramer — l’interpolation d’Hermite avec un nœud double est bien posée.

**9.** $P = a + bX + cX^2$ avec $a = P(0) = 1$, $b = P'(0)
= 0$, $a + b + c = P(1) = 2$ : $c = 1$, donc $P = 1 + X^2$, unique. Cohérence : ici $x_1 = 0$, $x_2 = 1$ et le déterminant de la question 8 vaut $(1 - 0)^2 = 1 \neq 0$.

**10.** Calcul direct :

$$
C_2 = \frac{1}{(a_1+b_1)(a_2+b_2)} - \frac{1}{(a_1+b_2)(a_2+b_1)}
= \frac{(a_1+b_2)(a_2+b_1) - (a_1+b_1)(a_2+b_2)}
{\prod_{i,j}(a_i+b_j)} ,
$$

et le numérateur se développe en $a_1b_1 + a_2b_2 - a_1b_2 - a_2b_1
= (a_2 - a_1)(b_2 - b_1)$ : des différences sur des sommes.

**11.** Pour $i < n$, le nouveau coefficient de la ligne $i$ est

$$
\frac{1}{a_i + b_j} - \frac{1}{a_n + b_j}
= \frac{a_n - a_i}{(a_i + b_j)(a_n + b_j)} .
$$

Mettons $(a_n - a_i)$ en facteur dans chaque ligne $i < n$, puis $\frac1{a_n + b_j}$ dans chaque colonne $j$ : ce qui reste a pour coefficients $\frac1{a_i + b_j}$ dans les lignes $i < n$ et la constante $1$ dans la ligne $n$ — c’est la matrice $M$, avec le préfacteur annoncé.

**12.** Sur $M$, pour $j < n$ l’opération $C_j \leftarrow
C_j - C_n$ transforme la ligne $n$ en $(0, \dots, 0, 1)$ et, dans la ligne $i < n$,

$$
\frac{1}{a_i + b_j} - \frac{1}{a_i + b_n}
= \frac{b_n - b_j}{(a_i + b_j)(a_i + b_n)} .
$$

Mettons $(b_n - b_j)$ en facteur dans chaque colonne $j < n$ et $\frac1{a_i + b_n}$ dans chaque ligne $i < n$, puis développons suivant la dernière ligne (de signe $(-1)^{n+n} = +1$) : le déterminant restant est $C_{n-1}$. En rassemblant les facteurs des questions 11–12 :

$$
C_n = \frac{\prod_{i<n}(a_n - a_i)\,\prod_{j<n}(b_n - b_j)}
{\prod_{j}(a_n + b_j)\,\prod_{i<n}(a_i + b_n)}\;C_{n-1},
$$

et la récurrence (avec le cas de [base](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) $C_1 = \frac1{a_1+b_1}$) reconstitue exactement le double alternant de Cauchy : les facteurs $(a_j - a_i)(b_j - b_i)$ pour toutes les paires, sur toutes les sommes $(a_i + b_j)$.

**13.** La formule s’annule si et seulement si $a_j = a_i$ ou $b_j = b_i$ pour un couple : la matrice de Cauchy est inversible si et seulement si les deux familles sont formées d’éléments deux à deux distincts. Hilbert : $a_i = i$, $b_j = j - 1$. Pour $n =
2$ : numérateur $(2-1)(1-0) = 1$, dénominateur $1\cdot2\cdot2\cdot3 = 12$ : $\det H_2 = \frac1{12}$. Pour $n = 3$ : numérateur $\bigl[(1)(2)(1)\bigr]^2 = 4$, dénominateur $(1\cdot2\cdot3)(2\cdot3\cdot4)(3\cdot4\cdot5) = 6\cdot24\cdot60 =
8640$ : $\det H_3 = \frac{4}{8640} = \frac1{2160}$. Inverse pour $n = 2$ :

$$
H_2^{-1} = 12\begin{pmatrix} \frac13 & -\frac12\\[2pt]
-\frac12 & 1\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 4 & -6\\ -6 & 12 \end{pmatrix},
$$

tous entiers (un phénomène vrai pour tout $n$).

**14.** La matrice du système est la matrice de Cauchy, inversible d’après la question 13 lorsque les $b_j$ (et les $a_i$) sont deux à deux distincts : solution unique. Interprétation : une [fraction rationnelle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/9-fractions-rationnelles#def-b1-fractions-field) $R = \sum_j \frac{c_j}{X + b_j}$ à [pôles](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/9-fractions-rationnelles#def-b1-fractions-field) simples est déterminée par $n$ de ses valeurs $R(a_1), \dots, R(a_n)$, et réciproquement toute telle table de données est réalisée exactement une fois — le pendant « échantillonné » du théorème d’existence et d’unicité de la décomposition en éléments simples ([Théorème 9.5](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/9-fractions-rationnelles#thm-b1-fractions-complex)).

**15.** Viète pour $X^3 + pX + q$ : $\lambda_1 + \lambda_2 +
\lambda_3 = 0$, $\sum_{i<j}\lambda_i\lambda_j = p$, donc $p_1 = 0$ et $p_2 = p_1^2 - 2p = -2p$. Chaque racine vérifie $\lambda^3 =
-p\lambda - q$ ; en sommant : $p_3 = -p\,p_1 - 3q = -3q$. En multipliant par $\lambda$ puis en sommant : $p_4 = -p\,p_2 - q\,p_1 =
2p^2$.

**16.** D’après la question 5 (l’identité $S = W^{\mathsf T}W$ et $\det S = V^2$ valent sur $\C$),

$$
V^2 = \begin{vmatrix}
3 & 0 & -2p\\
0 & -2p & -3q\\
-2p & -3q & 2p^2
\end{vmatrix}
= 3\bigl(-4p^3 - 9q^2\bigr) + (-2p)\bigl(0 - 4p^2\bigr)
= -4p^3 - 27q^2 ,
$$

en développant suivant la première ligne.

**17.** Une racine multiple signifie deux $\lambda_i$ égaux, c’est-à-dire $V = 0$, c’est-à-dire $\operatorname{disc} = -4p^3 -
27q^2 = 0$. Pour $X^3 - 3X + 2$ : $4(-3)^3 + 27\cdot4 = -108 + 108 =
0$, ce qui correspond bien à la racine double $1$ de $(X-1)^2(X+2)$.

**18.** Les racines non réelles d’une cubique réelle vont par paires [conjuguées](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/3-nombres-complexes#def-b1-complex-field), donc exactement deux cas se présentent lorsque $\operatorname{disc} \neq 0$. Trois racines réelles distinctes : $V$ est réel et non nul, donc $\operatorname{disc} = V^2 > 0$. Une racine réelle $\lambda_1$ et $\lambda_3 = \conj{\lambda_2} \notin \R$ : alors

$$
(\lambda_2 - \lambda_1)(\lambda_3 - \lambda_1) =
\abs{\lambda_2 - \lambda_1}^2 > 0,
\qquad
\lambda_3 - \lambda_2 = -2\iu\,\operatorname{Im}\lambda_2 \neq 0,
$$

donc $V$ est un nombre imaginaire pur non nul et $\operatorname{disc} = V^2 < 0$. Les deux signes caractérisent les deux cas.

**19.** Prenons $b_i = a_i$ dans le double alternant : le numérateur est $\prod_{i<j}(a_j - a_i)^2 > 0$ et le dénominateur $\prod_{i,j}(a_i + a_j) > 0$ (tous les coefficients sont positifs) : le déterminant est positif. (En langage ultérieur : le noyau $\frac1{x+y}$ est défini positif.)

**20.** D’après les questions 2–3, le déterminant vaut $V(2,4,7)/(0!\,1!\,2!) = \frac{(4-2)(7-2)(7-4)}{2} =
\frac{30}{2} = 15$. Directement, la matrice est

$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1\\
1 & 4 & 6\\
1 & 7 & 21
\end{pmatrix},
\qquad
\det = (84 - 42) - 2(21 - 6) + (7 - 4) = 42 - 30 + 3 = 15 .
$$

**21.** Supposons $\sum_i c_i\,(\lambda_i^{\,k})_{k} = 0$ en tant que suite. La lecture en $k = 0, 1, \dots, n-1$ donne $W^{\mathsf
T}c = 0$ avec $W = (\lambda_i^{\,j-1})$ inversible ($\det = V
\neq 0$, les $\lambda_i$ étant distincts) : $c = 0$. Les suites géométriques forment une [famille libre](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free).

**22.** $a = b = (1, 2, 3)$ : numérateur $\bigl[(2-1)(3-1)
(3-2)\bigr]^2 = 4$ ; dénominateur $\prod_{i,j}(i + j) =
(2\cdot3\cdot4)(3\cdot4\cdot5)(4\cdot5\cdot6) = 24\cdot60\cdot120
= 172800$. Ainsi $\det\bigl(\frac1{i+j}\bigr) = \frac{4}{172800}
= \frac1{43200}$.

**23.** Si $x_i = x_j$, l’échange des deux variables fixe le point mais doit changer le signe de $F$ : $F = -F$, donc $F = 0$ en ce point. [Divisibilité](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/6-arithmetique-des-entiers#def-b1-arith-divides) : voyons $F$ comme un [polynôme](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) en la seule variable $x_n$, à coefficients dans les autres variables ; il s’annule aux $n - 1$ « valeurs » $x_1, \dots, x_{n-1}$, donc des factorisations successives ([Théorème 8.7](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#thm-b1-poly-factor)) donnent $F =
\prod_{i<n}(x_n - x_i)\cdot G$ avec $G$ polynomial. Le préfacteur est invariant par échange de deux indices $i, j < n$, donc $G$ est alterné en $x_1, \dots, x_{n-1}$, et la récurrence conclut : $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ [divise](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/6-arithmetique-des-entiers#def-b1-arith-divides) $F$.

**24.** $D = \det(x_i^{\,j-1})$ est un [polynôme](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) en les $x_i$ ; échanger deux variables échange deux lignes, donc $D$ est alterné, et d’après la question 23, $D = c\,\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ pour un certain [polynôme](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) $c$. Degrés totaux : $D$ est de degré $\leq 0 + 1 + \dots + (n-1) = \binom n2$, et le produit est de degré exactement $\binom n2$ : $c$ est une constante. Le monôme $x_2\,x_3^2\cdots x_n^{\,n-1}$ a pour coefficient $1$ dans $D$ (produit diagonal) et $1$ dans le produit (choisir la variable d’indice le plus grand dans chaque facteur) : $c = 1$, et la formule de Vandermonde tombe sans aucune récurrence.

**25.** (i) L’alternance — l’axiome « deux colonnes égales tuent le déterminant » — est le moteur : elle a produit chaque facteur $(x_j - x_i)$, $(a_j - a_i)$, $(b_j - b_i)$ du problème. (ii) L’identité $\det S = V^2$ remplace les racines complexes, individuellement inaccessibles, par leurs sommes de puissances, qui sont des [polynômes](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) réels en les coefficients ; la distinction des racines devient donc le signe d’un nombre réel calculable. (iii) Le [déterminant de Vandermonde](#ex-b1-det-vandermonde) gouverne l’interpolation polynomiale, le [déterminant de Cauchy](#pb-b1-det-1) gouverne les éléments simples et les [fractions rationnelles](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/9-fractions-rationnelles#def-b1-fractions-field) échantillonnées (avec la [matrice de Hilbert](#pb-b1-det-1) comme cas particulier le plus célèbre). (iv) Tout [polynôme](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) alterné est divisible par $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$, et un compte de degrés cerne alors un tel [polynôme](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#def-b1-poly-def) à une constante près — et c’est pourquoi ce produit ne cesse de réapparaître partout où un déterminant s’annule sur des coïncidences. Le théorème de la partie III est le *double alternant de Cauchy*.