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title: "Courbes planes"
book: "Mathématiques universitaires — Licence 1"
subject: math
language: fr
chapter: 24
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/24-courbes-planes
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# Chapitre 24 — Courbes planes

Le calcul différentiel et intégral des Chapitres [14](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/14-derivation#ch-b1-derivative) et [16](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/16-formules-de-taylor-et-developpements-limites#ch-b1-taylor) a été construit pour les fonctions $y = f(x)$ ; la plupart des courbes de la géométrie et de la mécanique — trajectoires, cercles roulant sur des cercles, orbites — refusent cette forme et se présentent plutôt comme des courbes *paramétrées* $t
\mapsto (x(t), y(t))$ ou comme des courbes *en polaires* $r =
r(\theta)$. Ce chapitre classique étudie les deux, et se termine par les [coniques](#def-b1-curves-conics).

## 24.1 Courbes paramétrées

**Définition 24.1.**

Une *courbe paramétrée* est une [application](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-map) $f \colon I \to \R^2$, $t \mapsto M(t) = (x(t), y(t))$, où $x$ et $y$ sont de classe $C^1$ (au moins) sur l’[intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) $I$. Le *vecteur vitesse* est $f'(t) = (x'(t), y'(t))$ ; le point $M(t_0)$ est *régulier* lorsque $f'(t_0) \neq (0,0)$, et la *tangente* en ce point est la droite passant par $M(t_0)$ et dirigée par $f'(t_0)$.

**Pourquoi $f'$ dirige la tangente.** Par la formule de Taylor–Young appliquée composante par composante, $M(t) = M(t_0) + (t - t_0) f'(t_0) + o(t - t_0)$ : la direction de la corde $\frac{M(t) - M(t_0)}{t - t_0}$ tend vers $f'(t_0)$. C’est l’hypothèse de régularité qui fait de cette limite une *direction* : si $f'(t_0) = 0$, la formule se réduit à $M(t) = M(t_0) + o(t - t_0)$ et ne dit rien sur la façon dont la courbe quitte le point — d’où le traitement séparé des points singuliers dans la méthode ci-dessous, où la première [dérivée](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/14-derivation#def-b1-derivative-def) *non nulle* reprend le rôle de $f'$. Remarquons aussi que la tangente est un objet géométrique : tout reparamétrage multiplie $f'$ par un facteur scalaire non nul et laisse la droite inchangée. ∎

**Méthode 24.2 (Étude d’une courbe paramétrée).**

1. *Réduire l’[intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) d’étude* grâce aux symétries : relations entre $M(-t)$ , $M(t + T)$ , … et $M(t)$ (réflexions, translations, périodicité), puis ne tracer que la partie réduite.
2. *Variations* : dresser conjointement le tableau des signes de $x'$ et de $y'$ ; la courbe va vers la droite ou vers la gauche selon $x'$ , vers le haut ou vers le bas selon $y'$ .
3. *Points remarquables* : tangente horizontale ( $y' = 0  \neq x'$ ), tangente verticale ( $x' = 0 \neq y'$ ) ; en un point *singulier* ( $f' = 0$ ), examiner les [dérivées](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/14-derivation#def-b1-derivative-def) d’ordre supérieur pour obtenir la direction de la tangente.
4. *Comportement asymptotique* aux bornes de $I$ , puis tracé.

**Exemple 24.3 (Branches asymptotiques, un exemple traité).**

$x(t) = t$, $y(t) = t + \dfrac1t$ sur $\intoo{0}{+\infty}$. Quand $t
\to 0^{+}$ : $x \to 0$ tandis que $y \to +\infty$ — la courbe grimpe le long de l’*asymptote verticale* $x = 0$ (limite finie pour une coordonnée, infinie pour l’autre). Quand $t \to +\infty$ : les deux [coordonnées](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#prop-b1-vspaces-coordinates) explosent ; on teste alors une droite : la différence

$$
y(t) - x(t) = \frac1t \longrightarrow 0^{+}
$$

met en évidence l’*asymptote oblique* $y = x$, approchée par valeurs supérieures. Entre les deux, $y' = 1 - \frac1{t^2}$ s’annule en $t = 1$ : le point $(1, 2)$ est le point bas de la branche, et $x' = 1 >
0$ partout, donc la courbe avance toujours vers la droite. Un arc, deux asymptotes, un minimum : une image complète à partir de trois calculs — avec la recette générale visible en dessous : lorsque $x, y \to \infty$ [ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets), examiner $y/x$ pour une pente candidate (ici $\to 1$), puis $y - (\text{pente})\,x$ pour l’ordonnée à l’origine et le côté d’approche.

**Exemple 24.4 (L’astroïde).**

$x(t) = \cos^3 t$, $y(t) = \sin^3 t$. Symétries : $M(t + 2\pi) = M(t)$ (on étudie une période) ; $M(-t)$ est le symétrique de $M(t)$ par rapport à l’axe des $x$ ; $M(\pi - t)$ par rapport à l’axe des $y$ ; $M(\frac\pi2 - t)$ par rapport à la diagonale $y = x$ : il suffit d’étudier $t \in
\intcc{0}{\frac\pi4}$ et de déplier.

Vitesse : $f'(t) = 3\sin t\cos t\,(-\cos t, \sin t)$. Sur $\intoo{0}{\frac\pi2}$ tous les points sont réguliers, de tangente dirigée par $(-\cos t, \sin t)$ ; en $t = 0$ (le point $(1,0)$) la vitesse s’annule : c’est un *point de rebroussement*, où la courbe rebrousse chemin le long de la direction tangente $(-1, 0)\cdot(\pm)$ — par symétrie, les quatre [points de rebroussement](#ex-b1-curves-astroid) sont en $(\pm1, 0), (0, \pm1)$.

**Exemple 24.5 (Une courbe en huit, étudiée complètement).**

$x(t) = \sin t$, $y(t) = \sin 2t$ (une *courbe de Lissajous*). *Symétries* : $M(t + \pi) = (-x(t), y(t))$ (réflexion par rapport à l’axe des $y$), $M(-t) = (-x(t), -y(t))$ (symétrie centrale), $M(\pi - t) = (x(t), -y(t))$ (réflexion par rapport à l’axe des $x$) : il suffit d’étudier $t \in \intcc{0}{\frac\pi2}$ et de déplier. *Variations* : $x' = \cos t \geq 0$ partout, tandis que $y' =
2\cos 2t$ est positif avant $t = \frac\pi4$ et négatif après : l’arc monte vers la droite jusqu’au sommet $\bigl(\frac{\sqrt2}2,\ 1\bigr)$ en $t = \frac\pi4$ (tangente horizontale), puis descend vers la droite jusqu’à $(1, 0)$ en $t =
\frac\pi2$, où $x' = 0 \neq y'$ : tangente verticale. *Point double* : $M(0) = M(\pi) = (0,0)$, avec deux vitesses différentes

$$
f'(0) = (1,\ 2), \qquad f'(\pi) = (-1,\ 2) :
$$

deux branches *régulières* se croisant à l’origine selon des angles distincts — un point double, non un point singulier : chaque passage est parfaitement lisse, les deux passages partagent simplement leur position. La courbe entière est le huit ci-dessous.

![La courbe de Lissajous ( t, 2t) : un point double à l’origine, où deux branches régulières se croisent avec les vitesses (1, 2) et (-1, 2), et des tangentes horizontales aux quatre sommets. La symétrie a réduit tout le travail à un quart de période.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-curves/fig-53dc09dad46f.svg)

*La courbe de Lissajous $(\sin t, \sin 2t)$ : un point double à l’origine, où deux branches régulières se croisent avec les vitesses $(1, 2)$ et $(-1, 2)$, et des tangentes horizontales aux quatre sommets. La symétrie a réduit tout le travail à un quart de période.*

![L’astroïde ( 3 t, 3 t) : quatre arcs se rejoignant en quatre points de rebroussement. C’est la courbe décrite par un point d’un cercle de rayon 1/4 roulant à l’intérieur du cercle unité.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-curves/fig-8dd6fa9b9d24.svg)

*L’astroïde $(\cos^3 t, \sin^3 t)$ : quatre arcs se rejoignant en quatre [points de rebroussement](#ex-b1-curves-astroid). C’est la courbe décrite par un point d’un cercle de rayon $\frac14$ roulant à l’intérieur du cercle unité.*

## 24.2 Courbes en polaires

**Définition 24.6.**

Une *courbe en polaires* est donnée par $r = r(\theta)$ : le point de paramètre $\theta$ est

$$
M(\theta) = r(\theta)\,\vec u(\theta),
\qquad \vec u(\theta) = (\cos\theta, \sin\theta).
$$

Avec $\vec v(\theta) = (-\sin\theta, \cos\theta) = \vec
u\,'(\theta)$, la vitesse est

$$
M'(\theta) = r'(\theta)\, \vec u(\theta) + r(\theta)\, \vec
v(\theta) .
$$

Conséquences : là où $r \neq 0$, le point est régulier, et la tangente fait avec le rayon vecteur l’angle $V$ donné par $\tan V =
\frac{r}{r'}$ (angle entre $M'$ et $\vec u$) ; là où $r(\theta_0)
= 0$, la courbe passe par l’origine *avec pour tangente le rayon $\theta = \theta_0$* (direction $\vec u(\theta_0)$, lue sur $M'(\theta_0) = r'(\theta_0)\vec u(\theta_0)$, ou sur la corde limite : la corde de $O$ à $M(\theta)$ est portée par $\vec
u(\theta)$ lui-même, qui tend vers $\vec u(\theta_0)$ — la règle vaut donc même lorsque $r'(\theta_0) = 0$ et que le point est singulier, ce qui explique pourquoi les [points de rebroussement](#ex-b1-curves-astroid) polaires à l’origine, comme celui de la cardioïde, obtiennent leur tangente gratuitement).

**Exemple 24.7 (La cardioïde).**

$r(\theta) = 1 + \cos\theta$. Symétrie : $r(-\theta)
= r(\theta)$ : réflexion par rapport à l’axe des $x$ ; on étudie $\theta \in \intcc{0}{\pi}$. $r$ décroît de $2$ à $0$ ; en $\theta =
\pi$, $r = 0$ : la courbe atteint l’origine tangentiellement au rayon $\theta = \pi$ (l’axe des $x$), y formant un [point de rebroussement](#ex-b1-curves-astroid) — la pointe du cœur. Tangente en $\theta = 0$ : $r' = 0$, donc $\tan V = \infty$ : perpendiculaire à l’axe.

L’angle $V$ mérite une lecture de plus. En $\theta =
\frac\pi2$ : $r = 1$ et $r' = -1$, donc $\tan V = \frac{r}{r'} =
-1$ : la tangente fait les trois quarts d’un angle droit avec le rayon sortant — la courbe s’infléchit déjà vers son [point de rebroussement](#ex-b1-curves-astroid). La formule $\tan V = r/r'$ fournit les directions tangentes tout au long de la courbe sans aucun calcul de $M'(\theta)$ : c’est l’analogue polaire de la lecture d’une pente.

**Exemple 24.8 (Des polaires aux cartésiennes : un cercle caché).**

Quelle est la [courbe en polaires](#def-b1-curves-polar) $r = 2\cos\theta$ ? Multiplions par $r$ : $r^2 = 2r\cos\theta$, c’est-à-dire $x^2 + y^2 = 2x$, c’est-à-dire

$$
(x - 1)^2 + y^2 = 1 :
$$

le cercle de centre $(1, 0)$ et de rayon $1$, passant par l’origine. La comptabilité importe : lorsque $\theta$ parcourt $\intoc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$, le cercle entier est décrit exactement une fois ($r$ s’annule aux deux bornes), et en $\theta =
\pm\frac\pi2$ la règle « tangente à l’origine le long du rayon $\theta = \theta_0$ » y donne une tangente *verticale* — en accord avec la géométrie, puisque l’axe vertical est bien tangent à ce cercle en $O$. Pour $\theta$ au-delà de cet [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals), $r < 0$ redécrit le même cercle : rappel qu’une [courbe en polaires](#def-b1-curves-polar) est un objet *paramétré*, autorisé à repasser sur lui-même.

![La rose à quatre pétales r = 2 (). Les pétales le long de l’axe des y sont tracés avec r < 0 (le point se place sur le rayon opposé à ) ; les diagonales en pointillés = ± π4 sont les tangentes à l’origine, où r s’annule.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-curves/fig-8c1ed6913fd9.svg)

*La rose à quatre pétales $r = \cos 2\theta$ ([Exercice 24.4](#exo-b1-curves-4)). Les pétales le long de l’axe des $y$ sont tracés avec $r < 0$ (le point se place sur le rayon opposé à $\theta$) ; les diagonales en pointillés $\theta = \pm\frac\pi4$ sont les tangentes à l’origine, où $r$ s’annule.*

![La cardioïde r = 1 +. Les courbes en polaires se lisent en balayant l’angle : le rayon enfle et diminue à mesure que tourne.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-curves/fig-de2f8edc9e4e.svg)

*La cardioïde $r = 1 + \cos\theta$. Les [courbes en polaires](#def-b1-curves-polar) se lisent en balayant l’angle : le rayon enfle et diminue à mesure que $\theta$ tourne.*

## 24.3 Longueur d’arc

**Définition 24.9 (Longueur d’un arc).**

La *longueur* d’un arc $C^1$ $f \colon
\intcc{a}{b} \to \R^2$ est l’[intégrale](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/15-integration-sur-un-segment#thm-b1-integration-def) de la vitesse scalaire :

$$
L = \int_a^b \norm{f'(t)}\,\dd t
= \int_a^b \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}\;\dd t .
$$

(Motivation : sur un petit [intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals), $M(t + h) \approx M(t) + h
f'(t)$, de sorte que l’arc est proche d’une ligne polygonale dont les longueurs des segments s’additionnent en une somme de Riemann de $\norm{f'}$, [Théorème 15.20](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/15-integration-sur-un-segment#thm-b1-integration-riemann).) Pour une [courbe en polaires](#def-b1-curves-polar) $r = r(\theta)$, la vitesse $r'\vec u + r\vec v$ a des composantes [orthogonales](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/23-espaces-euclidiens#def-b1-euclid-orthogonal), donc

$$
L = \int_{\theta_1}^{\theta_2}
\sqrt{r'(\theta)^2 + r(\theta)^2}\;\dd\theta .
$$

La longueur ne dépend pas du paramétrage (monotone, $C^1$) choisi : la substitution $t = \varphi(s)$ dans l’[intégrale](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/15-integration-sur-un-segment#thm-b1-integration-def) ([Théorème 15.15](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/15-integration-sur-un-segment#thm-b1-integration-parts)) multiplie $f'$ par $\varphi'$ et $\dd t$ par $\varphi'^{-1}$.

**Exemple 24.10 (Vérification : le cercle).**

Pour $f(t) = (R\cos t, R\sin t)$ sur $\intcc{0}{2\pi}$ : $\norm{f'} =
R$, donc $L = 2\pi R$ — la définition rend bien la circonférence. Test de reparamétrage : l’[application](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-map) $g(t) = (R\cos 2t, R\sin 2t)$ sur $\intcc{0}{\pi}$ décrit le *même* cercle à vitesse doublée $\norm{g'} = 2R$, et

$$
\int_0^{\pi} 2R\,\dd t = 2\pi R
$$

de nouveau : deux fois moins de temps, deux fois plus vite, même [longueur](#def-b1-curves-arclength) — l’invariance promise dans la définition, constatée une fois sur les nombres. (Faire parcourir $g$ sur tout $\intcc{0}{2\pi}$ donnerait $4\pi R$ : une courbe parcourue deux fois est deux fois plus longue *en tant que trajet* ; la [longueur](#def-b1-curves-arclength) mesure le chemin paramétré, et une comptabilité honnête de l’[intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) fait partie du calcul.) Pour l’astroïde $(\cos^3t, \sin^3t)$ : $\norm{f'} = 3\abs{\sin
t\cos t} = \tfrac32\abs{\sin 2t}$, et par symétrie $L = 4\int_0^{\pi/2}
\tfrac32\sin 2t\,\dd t = 6$ : une courbe tracée à l’intérieur du cercle unité, de [longueur](#def-b1-curves-arclength) $6 < 2\pi$. Le devoir maison mesure la plus célèbre des arches.

![Une arche de la cycloïde (rayon R = 1), le cercle roulant en t = 2, et les deux droites de construction du devoir maison : la corde MC vers le point de contact est normale à la courbe, la corde MT vers le sommet du cercle est tangente.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-curves/fig-5f3d2a84c663.svg)

*Une arche de la cycloïde (rayon $R = 1$), le cercle roulant en $t = 2$, et les deux droites de construction du devoir maison : la corde $MC$ vers le point de contact est *normale* à la courbe, la corde $MT$ vers le sommet du cercle est *tangente*.*

## 24.4 Coniques

**Définition 24.11 (Définition par foyer et directrice).**

Fixons un point $F$ (le *foyer*), une droite $D$ ne passant pas par $F$ (la *directrice*) et $e > 0$ (l’*excentricité*). La *conique* associée à ces données est

$$
\mathcal{C} = \{M : d(M, F) = e\; d(M, D)\}:
$$

c’est une *ellipse* si $e < 1$, une *parabole* si $e = 1$, une *hyperbole* si $e > 1$. (Le cercle apparaît comme cas limite dégénéré $e \to 0$.)

**Exemple 24.12 (La définition, vérifiée sur une parabole).**

Prenons la parabole $y^2 = 4x$, c’est-à-dire $2p = 4$ : foyer $F = (1, 0)$ et directrice $D : x = -1$ (la forme réduite du [Théorème 24.13](#thm-b1-curves-reduced) les place en $\pm\frac p2$). Au point $M = (1, 2)$ de la courbe :

$$
MF = \sqrt{(1-1)^2 + 2^2} = 2,
\qquad
d(M, D) = 1 - (-1) = 2 :
$$

égaux, comme $e = 1$ l’exige. En $M' = (4, 4)$ : $MF' = \sqrt{9 +
16} = 5$ et $d(M', D) = 5$ également. La définition par foyer et directrice n’est pas une abstraction : c’est un couple de distances que l’on peut mesurer en tout point, et l’algèbre des équations réduites n’est rien d’autre que cette mesure faite une fois pour toutes.

**Théorème 24.13 (Équations réduites).**

Dans un repère orthonormal bien choisi :

$$
\text{ellipse~: } \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
\quad (a \geq b > 0),
\qquad
\text{hyperbole~: } \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1,
\qquad
\text{parabole~: } y^2 = 2px,
$$

avec, pour l’ellipse : foyers en $(\pm c, 0)$, $c = \sqrt{a^2 - b^2}$, $e = \frac ca$, et la caractérisation bifocale $MF + MF' = 2a$ ; pour l’hyperbole : $c = \sqrt{a^2 + b^2}$, $e = \frac ca$, $\abs{MF - MF'} = 2a$, asymptotes $y = \pm\frac ba x$.

**Démonstration.** Plaçons le foyer à l’origine et la directrice verticale, $x = -h$ ($h > 0$) : la condition $MF^2 = e^2 d(M, D)^2$ s’écrit $x^2 + y^2 =
e^2 (x + h)^2$. Pour $e = 1$ : $y^2 = 2hx + h^2$, une parabole après la translation $x \mapsto x - \frac h2$ (donc $p = h$). Pour $e \neq 1$ : en complétant le carré en $x$,

$$
(1 - e^2)\Bigl(x - \frac{e^2 h}{1 - e^2}\Bigr)^{\!2} + y^2
= e^2h^2 + \frac{e^4 h^2}{1 - e^2}
= \frac{e^2 h^2}{1 - e^2} .
$$

Posons $X = x - \frac{e^2h}{1-e^2}$ (une translation du repère). Lorsque $e < 1$, divisons par le membre de droite, qui est positif : $\frac{X^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ avec $a = \frac{eh}{1 -
e^2}$, $b = \frac{eh}{\sqrt{1-e^2}}$ ; lorsque $e > 1$, les deux membres de l’égalité changent de signe comme il convient et la même division donne $\frac{X^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ avec $a = \frac{eh}{e^2 -
1}$, $b = \frac{eh}{\sqrt{e^2 - 1}}$. Les valeurs annoncées de $c$ s’en déduisent ($c^2 = a^2 - b^2$ ou $a^2 + b^2$ donne $c = ea$ dans les deux cas, ce qui place correctement le foyer), et les propriétés bifocales sont des vérifications directes sur les équations réduites. En détail pour l’ellipse, avec $F' = (c, 0)$ et $M = (X, y)$ sur la courbe :

$$
MF'^2 = (X - c)^2 + y^2
= X^2 - 2cX + c^2 + b^2\Bigl(1 - \frac{X^2}{a^2}\Bigr)
= \frac{c^2}{a^2}X^2 - 2cX + a^2
= (a - eX)^2 ,
$$

en utilisant $c^2 + b^2 = a^2$ et $e = \frac ca$ ; comme $\abs X \leq
a$ et $e < 1$, on a $a - eX > 0$, donc $MF' = a - eX$ sans jamais extraire de racine carrée. Le calcul symétrique donne $MF = a + eX$, d’où $MF + MF' = 2a$, constante. Pour l’hyperbole, la même algèbre donne $MF = \abs{a + eX}$ et $MF' = \abs{eX - a}$, de différence $\pm2a$ selon la branche. ∎

**Exemple 24.14.**

$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ : ellipse, $a = 5$, $b = 3$, $c
= 4$ : foyers $(\pm4, 0)$, excentricité $\frac45$. Son paramétrage : $(5\cos t, 3\sin t)$ — un cercle étiré de façon anisotrope ; la somme des distances aux foyers de n’importe lequel de ses points vaut $10$.

**Exemple 24.15 (Lire une orbite sur son équation polaire).**

La [conique](#def-b1-curves-conics) en polaires $r = \dfrac{1}{1 + \frac12\cos\theta}$ ([Exercice 24.7](#exo-b1-curves-7) avec $p = 1$, $e = \frac12$) est une ellipse dont un *foyer est à l’origine* — la géométrie d’une orbite planétaire avec le soleil en $O$. Tout s’extrait de $p$ et $e$ : d’après la réduction du [Théorème 24.13](#thm-b1-curves-reduced), $a = \dfrac{p}{1 - e^2} =
\dfrac{1}{3/4} = \dfrac43$ et $c = ea = \dfrac23$. Les deux apsides le confirment sans la moindre théorie :

$$
r(0) = \frac{1}{3/2} = \frac23 = a - c
\quad (\text{périhélie}),
\qquad
r(\pi) = \frac{1}{1/2} = 2 = a + c
\quad (\text{aphélie}),
$$

et leur somme $\frac23 + 2 = \frac83 = 2a$ redonne le grand axe. La forme polaire est la forme naturelle dès qu’un foyer est physiquement distingué ; la forme cartésienne réduite l’est dès que les axes de symétrie le sont. Passer de l’une à l’autre est exactement ce que fait le calcul par complétion du carré du théorème.

L’excentricité comme un bouton de réglage, enfin : gardons $p = 1$ et faisons tourner $e$ dans $r = \frac{1}{1 + e\cos\theta}$. En $e = 0$ : le cercle $r = 1$. En $e = \frac12$ : l’ellipse qu’on vient d’étudier, $r$ oscillant entre $\frac23$ et $2$. En $e = 1$ : $r(\theta) \to \infty$ quand $\theta \to \pi$ — la courbe ne se referme plus : une parabole, son point le plus lointain repoussé à l’infini. En $e = 2$ : le dénominateur s’annule en $\cos\theta = -\frac12$, et seul $\theta \in
\intoo{-\frac{2\pi}3}{\frac{2\pi}3}$ subsiste : une branche d’une hyperbole, s’échappant selon deux directions asymptotiques. Une seule formule, toute la famille des [coniques](#def-b1-curves-conics), et le point de transition $e =
1$ visible comme l’instant où le dénominateur atteint zéro pour la première fois.

**Remarque 24.16 (Pièges classiques).**

*Les points doubles ne sont pas des points singuliers* : en un point de croisement, chaque branche est régulière ; « singulier » renvoie à $f'(t_0) = 0$ pour une valeur du paramètre ([Exemple 24.5](#ex-b1-curves-lissajous) face aux [points de rebroussement](#ex-b1-curves-astroid) de l’astroïde). *Tangente verticale contre [point de rebroussement](#ex-b1-curves-astroid)* : $x'(t_0) = 0 \neq y'(t_0)$ est un point régulier à tangente verticale ; seul $x' = y' = 0$ exige le développement d’ordre supérieur. *Les rayons négatifs se placent sur le rayon opposé* : pour $r(\theta) <
0$ le point est $-\abs{r}\,\vec u(\theta)$, d’angle $\theta +
\pi$ ([Exercice 24.5](#exo-b1-curves-5)) ; l’oublier fait perdre les boucles intérieures ou dédouble les courbes. *La [longueur d’arc](#def-b1-curves-arclength) intègre $\norm{f'}$, pas $f'$* : on découpe l’[intégrale](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/15-integration-sur-un-segment#thm-b1-integration-def) aux zéros de la vitesse — pour l’astroïde, intégrer $\frac32\sin 2t$ sur une période entière sans valeur absolue donne $0$, et non $6$. *Les [coniques](#def-b1-curves-conics) doivent être réduites avant d’être lues* : dans $9x^2 +
25y^2 - 36x - 50y - 164 = 0$, ni les axes, ni le centre, ni l’excentricité ne sont visibles avant d’avoir complété les carrés ([Exercice 24.6](#exo-b1-curves-6)) ; et une partie quadratique nulle en une variable signifie parabole, non « ellipse dégénérée ».

**Remarque 24.17 (Où mènent ces courbes).**

Les [courbes paramétrées](#def-b1-curves-def) sont le langage de la mécanique : les trajectoires sont des courbes, les vecteurs vitesse sont des vecteurs tangents, et la [longueur d’arc](#def-b1-curves-arclength) de la [Définition 24.9](#def-b1-curves-arclength) est la distance parcourue. Les [coniques](#def-b1-curves-conics) réapparaissent partout où agit une loi en carré inverse — les orbites planétaires sont des ellipses avec le soleil en un foyer. Au [Chapitre 25](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/25-fonctions-de-deux-variables#ch-b1-multivar), les courbes deviennent les lignes de niveau de fonctions de deux variables, et la tangente de ce chapitre rencontre le gradient du suivant. Le volume de Licence 2 ajoute la courbure et la forme canonique locale d’une courbe ; le devoir maison ci-dessous extrait déjà, avec les seuls outils de cette année, tout ce que le dix-septième siècle savait de sa courbe la plus célèbre.

**Remarque 24.18 (Perspectives dans le livre 3).**

Ce chapitre consomme toute la première moitié du volume et nourrit le dernier chapitre. *Consommé* : les vecteurs tangents sont des [dérivées](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/14-derivation#def-b1-derivative-def) ([Chapitre 14](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/14-derivation#ch-b1-derivative)), la [longueur d’arc](#def-b1-curves-arclength) et les aires sont des [intégrales](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/15-integration-sur-un-segment#thm-b1-integration-def) ([Chapitre 15](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/15-integration-sur-un-segment#ch-b1-integration)), les [points de rebroussement](#ex-b1-curves-astroid) se règlent par des développements de Taylor ([Chapitre 16](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/16-formules-de-taylor-et-developpements-limites#ch-b1-taylor)), la tautochrone est une équation différentielle [linéaire](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/20-applications-lineaires#def-b1-linmaps-def) ([Chapitre 5](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/5-equations-differentielles-lineaires#ch-b1-diffeq)), et toute distance et tout angle sont euclidiens ([Chapitre 23](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/23-espaces-euclidiens#ch-b1-euclid)). *Nourri* : au [Chapitre 25](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/25-fonctions-de-deux-variables#ch-b1-multivar), une courbe $t \mapsto (x(t),
y(t))$ tracée dans une ligne de niveau $\{f = c\}$ se dérive par la [règle de la chaîne](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/14-derivation#thm-b1-derivative-operations), et l’identité obtenue $\langle \nabla f,\
f'(t)\rangle = 0$ marie les vecteurs tangents de ce chapitre aux gradients du suivant — la tangente de la courbe et la direction normale de la surface sont le même calcul vu des deux rives.

## 24.5 Exercices

**Exercice 24.1 ★.**

Étudier et tracer la courbe $x(t) = t^2$, $y(t) = t^3$ (symétries, variations, comportement au point singulier $t = 0$).

**Solution de Exercice 24.1.**

$M(-t) = (t^2, -t^3)$ : réflexion par rapport à l’axe des $x$ ; on étudie $t \geq 0$. $x' = 2t$ et $y' = 3t^2$ sont tous deux $\geq 0$ : la branche va vers la droite et vers le haut, de $(0,0)$ jusqu’à l’infini. En $t = 0$ la vitesse s’annule ; les développements $x = t^2$, $y = t^3$ montrent que la tangente est l’axe des $x$ ($y/x = t \to 0$), avec $y$ changeant de signe tandis que $x \geq 0$ : un *[point de rebroussement](#ex-b1-curves-astroid)* pointant vers la gauche. La courbe est la parabole semi-cubique $y^2 = x^3$.

**Exercice 24.2 ★.**

Pour la cycloïde $x(t) = t - \sin t$, $y(t) = 1 - \cos t$ (la trajectoire d’un point d’une roue de rayon $1$ qui roule) : identifier la symétrie de translation par période, les points singuliers, et la direction de la tangente en $t = 0$ *(développer $x$ et $y$ aux premiers ordres non nuls)*.

**Solution de Exercice 24.2.**

$M(t + 2\pi) = M(t) + (2\pi, 0)$ : la courbe se répète, translatée d’une circonférence de roue ; on étudie une période. $x'(t) = 1 - \cos t \geq
0$, $y'(t) = \sin t$ : l’arche monte sur $\intoo{0}{\pi}$, descend sur $\intoo{\pi}{2\pi}$, culminant en $(\pi, 2)$. Points singuliers là où $x' = y' = 0$ : $t \in 2\pi\Z$, sur le sol. Au [voisinage](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-open) de $t = 0$ :

$$
x(t) = \frac{t^3}{6} + o(t^3),
\qquad
y(t) = \frac{t^2}{2} + o(t^2):
$$

$x$ change de signe, $y \geq 0$, et $\frac{x}{y^{3/2}}$ est borné : la tangente est *verticale* (direction $(0,1)$), un [point de rebroussement](#ex-b1-curves-astroid) où le point suivi a momentanément une vitesse nulle — la signature physique du roulement sans glissement.

**Exercice 24.3 ★.**

Donner la tangente à la courbe $(\cos^3 t, \sin^3 t)$ en $t =
\frac\pi4$, et vérifier que le segment de cette tangente découpé par les axes est de [longueur](#def-b1-curves-arclength) $1$ — une propriété célèbre de l’astroïde (vraie en tout point régulier).

**Solution de Exercice 24.3.**

En $t = \frac\pi4$ : $M = \bigl(\frac{\sqrt2}{4},
\frac{\sqrt2}{4}\bigr)$, direction tangente $(-\cos t, \sin t) =
\frac{1}{\sqrt2}(-1, 1)$ ([Exemple 24.4](#ex-b1-curves-astroid)). Tangente : $y - \frac{\sqrt2}{4} = -(x - \frac{\sqrt2}{4})$, c’est-à-dire $x +
y = \frac{\sqrt2}{2}$. Intersections avec les axes : $\bigl(\frac{\sqrt2}{2},
0\bigr)$ et $\bigl(0, \frac{\sqrt2}{2}\bigr)$ ; le segment qui les joint a pour [longueur](#def-b1-curves-arclength) $\sqrt{\frac12 + \frac12} = 1$.

(Point général $t$ : la tangente en $(\cos^3 t, \sin^3 t)$ coupe les axes en $(\cos t, 0)$ et $(0, \sin t)$ — vérifier que la droite passant par ces points a pour direction $(-\cos t, \sin t)$ et passe par $M(t)$ — et le segment découpé a pour [longueur](#def-b1-curves-arclength) $\sqrt{\cos^2 t +
\sin^2 t} = 1$.)

**Exercice 24.4 ★.**

Tracer les [courbes en polaires](#def-b1-curves-polar) $r = \cos 2\theta$ (rose à quatre pétales) et $r = \frac{1}{\cos\theta}$ sur $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ (reconnaître une droite).

**Solution de Exercice 24.4.**

$r = \cos 2\theta$ : période $\pi$ en $\theta$, symétrique par rapport aux deux axes ; $r$ s’annule en $\theta = \pm\frac\pi4$ (tangentes à l’origine le long des diagonales) et est négatif pour $\theta \in
\intoo{\frac\pi4}{\frac{3\pi}{4}}$, où les points se placent sur le rayon opposé — ce qui produit quatre pétales le long des directions des axes $\theta = 0, \frac\pi2, \pi, \frac{3\pi}{2}$, chacun de rayon maximal $1$.

$r\cos\theta = 1$ est l’équation $x = 1$ : la [courbe en polaires](#def-b1-curves-polar) $r =
\frac{1}{\cos\theta}$ est la droite verticale $x = 1$ (décrite une fois pour $\theta \in \intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$).

**Exercice 24.5 ★★.**

Étudier la [courbe en polaires](#def-b1-curves-polar) $r = 1 + 2\cos\theta$ (un limaçon) : domaine où $r \geq 0$ et où $r < 0$ (les points tracés avec un rayon négatif se placent sur le rayon opposé), passage par l’origine, boucle intérieure, tracé.

**Solution de Exercice 24.5.**

$r(\theta) = 1 + 2\cos\theta$ s’annule pour $\cos\theta = -\frac12$ : $\theta = \pm\frac{2\pi}{3}$. Symétrie par rapport à l’axe des $x$ ; on étudie $\theta \in \intcc{0}{\pi}$. Pour $\theta \in
\intco{0}{\frac{2\pi}{3}}$ : $r > 0$, décroissant de $3$ à $0$ : arc extérieur, entrant à l’origine tangentiellement au rayon $\theta =
\frac{2\pi}{3}$. Pour $\theta \in \intoc{\frac{2\pi}{3}}{\pi}$ : $r <
0$ : les points $r\vec u(\theta)$ se placent sur le rayon opposé (angle $\theta - \pi \in \intoc{-\frac\pi3}{0}$), avec une distance $\abs r$ croissant de $0$ à $1$ : cela dessine une petite *boucle intérieure* passant par l’origine. En $\theta = \pi$, $r = -1$ et le point est $-\vec u(\pi) = (1, 0)$ : la boucle se referme sur le demi-axe positif des $x$. Tracé : une grande courbe extérieure en forme de cœur, de portée maximale $3$ en $\theta = 0$, plus une boucle à l’[intérieur](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-closure) passant par $O$ et $(1,0)$.

**Exercice 24.6 ★★.**

Identifier la [conique](#def-b1-curves-conics) $9x^2 + 25y^2 - 36x - 50y - 164 = 0$ : la réduire en complétant les carrés, donner centre, demi-axes, foyers, excentricité.

**Solution de Exercice 24.6.**

Complétons les carrés :

$$
9(x^2 - 4x) + 25(y^2 - 2y) = 164
\iff 9(x-2)^2 + 25(y-1)^2 = 164 + 36 + 25 = 225 .
$$

En divisant par $225$ : $\frac{(x-2)^2}{25} + \frac{(y-1)^2}{9} = 1$ : une ellipse de centre $(2, 1)$, de demi-axes $a = 5$ (horizontal) et $b =
3$ ; $c = \sqrt{25 - 9} = 4$ : foyers $(2 \pm 4,\, 1) = (-2, 1)$ et $(6, 1)$ ; excentricité $e = \frac45$.

**Exercice 24.7 ★★.**

Démontrer que l’équation polaire d’une [conique](#def-b1-curves-conics) dont un foyer est à l’origine est

$$
r = \frac{p}{1 + e\cos\theta}
$$

(directrice verticale, à distance $\frac pe$ à droite du foyer). Quelles valeurs de $\theta$ sont permises lorsque $e > 1$ ?

**Solution de Exercice 24.7.**

Foyer à l’origine, directrice $D: x = d$ avec $d = \frac pe > 0$. Pour un point $M = (r\cos\theta, r\sin\theta)$ avec $r > 0$ :

$$
MF = r,
\qquad
d(M, D) = \abs{d - r\cos\theta},
$$

et la condition de [conique](#def-b1-curves-conics) $MF = e\,d(M, D)$, dans le régime où $M$ est du côté du foyer par rapport à la directrice ($r\cos\theta < d$), s’écrit $r
= e(d - r\cos\theta)$, c’est-à-dire

$$
r(1 + e\cos\theta) = ed = p,
\qquad
r = \frac{p}{1 + e\cos\theta} .
$$

Pour $e < 1$ le dénominateur ne s’annule jamais : tout $\theta$ est permis (ellipse). Pour $e = 1$ : $\theta \neq \pi$ (parabole, [ouverte](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-open) du côté opposé à la directrice). Pour $e > 1$ : il faut $1 + e\cos\theta > 0$, c’est-à-dire $\theta \in \intoo{-\theta_0}{\theta_0}$ avec $\theta_0 =
\arccos\bigl(-\frac1e\bigr)$ : une *branche* de l’hyperbole (l’autre branche correspond au choix de signe $r < 0$, ou au second foyer).

**Exercice 24.8 ★★.**

À partir de la propriété bifocale $MF + MF' = 2a$, déduire la « construction du jardinier » de l’ellipse, et démontrer que la tangente en $M$ fait des angles égaux avec $MF$ et $MF'$ *(propriété de réflexion ; dériver $\norm{M(t) - F} + \norm{M(t) - F'} = 2a$ et interpréter la somme nulle des produits de vecteurs unitaires)*.

**Solution de Exercice 24.8.**

*Le jardinier :* attacher une ficelle de [longueur](#def-b1-curves-arclength) $2a$ à deux piquets $F$ et $F'$ et la maintenir tendue avec la pointe traçante $M$ : la contrainte est exactement $MF + MF' = 2a$, donc la courbe tracée est l’ellipse.

*Propriété de réflexion :* soit $t \mapsto M(t)$ un paramétrage régulier et $u(t) = \frac{M(t) - F}{\norm{M(t) - F}}$, $u'(t)$ le vecteur unitaire analogue vers $F'$. En dérivant $\norm{M - F} + \norm{M - F'} = 2a$, à l’aide de $\frac{\dd}{\dd
t}\norm{M - F} = \bigl\langle \frac{M - F}{\norm{M-F}},\,
M'\bigr\rangle$ ([règle de la chaîne](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/14-derivation#thm-b1-derivative-operations) sur $\sqrt{\langle\cdot,\cdot\rangle}$) :

$$
\bigl\langle u + u',\, M'\bigr\rangle = 0 .
$$

Ainsi la direction tangente $M'$ est [orthogonale](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/23-espaces-euclidiens#def-b1-euclid-orthogonal) à la direction $u + u'$ de la bissectrice des deux rayons focaux : la tangente fait des angles égaux avec $MF$ et $MF'$. (Un rayon lumineux issu d’un foyer se réfléchit sur l’ellipse vers l’autre foyer.)

**Exercice 24.9 ★★★.**

La *lemniscate de Bernoulli* est la [courbe en polaires](#def-b1-curves-polar) $r^2 = \cos
2\theta$ (prendre $r = \sqrt{\cos2\theta}$ là où c’est défini).

1. Donner son domaine, ses symétries, les tangentes à l’origine, et la tracer.
2. Démontrer que c’est le lieu des points $M$ tels que $MF \cdot MF'  = \frac12$ , où $F, F' = \bigl(\pm\frac{1}{\sqrt2},  0\bigr)$ . *(Calculer $MF^2\,MF'^2$ en [coordonnées](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#prop-b1-vspaces-coordinates) polaires.)*

**Solution de Exercice 24.9.**

1. Domaine : $\cos 2\theta \geq 0$ : $\theta \in  \intcc{-\frac\pi4}{\frac\pi4} \cup  \intcc{\frac{3\pi}{4}}{\frac{5\pi}{4}}$ . Symétries : $\theta  \mapsto -\theta$ (axe des $x$ ) et $\theta \mapsto \pi -  \theta$ (axe des $y$ ) : on étudie $\intcc{0}{\frac\pi4}$ ; $r$ décroît de $1$ à $0$ . En $\theta = \pm\frac\pi4$ : $r =  0$ , tangentes à l’origine le long des diagonales. La courbe est le symbole $\infty$ : deux boucles symétriques se rejoignant en $O$ , atteignant $(\pm 1, 0)$ .
2. Avec $F, F' = (\pm c, 0)$, $c = \frac{1}{\sqrt 2}$, et $M  = (r\cos\theta, r\sin\theta)$ : $$MF^2\, MF'^2  = \bigl((r\cos\theta - c)^2 + r^2\sin^2\theta\bigr)  \bigl((r\cos\theta + c)^2 + r^2\sin^2\theta\bigr)  = (r^2 + c^2)^2 - (2rc\cos\theta)^2 ,$$ par l’identité $(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$ avec $A = r^2  + c^2$, $B = 2rc\cos\theta$. Avec $c^2 = \frac12$ : $$MF^2 MF'^2 = \Bigl(r^2 + \frac12\Bigr)^2 - 2r^2\cos^2\theta  = r^4 + r^2\bigl(1 - 2\cos^2\theta\bigr) + \frac14  = r^4 - r^2\cos 2\theta + \frac14 .$$ Sur la lemniscate, $r^2 = \cos 2\theta$ : les deux premiers termes se compensent, laissant $MF^2MF'^2 = \frac14$, c’est-à-dire $MF \cdot MF' =  \frac12$. Réciproquement, le calcul lu à l’envers montre que l’équation du lieu $MF\,MF' = \frac12$ est $r^2 = \cos  2\theta$ (pour $r \neq 0$ ; et $O$ vérifie les deux).

**Exercice 24.10 ★★.**

Calculer la [longueur](#def-b1-curves-arclength) totale de la cardioïde $r = 1 + \cos\theta$ à l’aide de la formule polaire de la [Définition 24.9](#def-b1-curves-arclength) *(l’identité $1 + \cos\theta = 2\cos^2\frac\theta2$ transforme la racine carrée en $2\abs{\cos\frac\theta2}$)*.

**Solution de Exercice 24.10.**

$r = 1 + \cos\theta$, $r' = -\sin\theta$ :

$$
r^2 + r'^2 = 1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta + \sin^2\theta
= 2 + 2\cos\theta = 4\cos^2\frac\theta2 ,
$$

donc $\sqrt{r^2 + r'^2} = 2\abs{\cos\frac\theta2}$ et, par la symétrie par rapport à l’axe des $x$,

$$
L = \int_0^{2\pi} 2\Bigl|\cos\frac\theta2\Bigr|\,\dd\theta
= 2\int_0^{\pi} 2\cos\frac\theta2\,\dd\theta
= 2\Bigl[4\sin\frac\theta2\Bigr]_0^{\pi} = 8 .
$$

Encore un périmètre algébrique, sans $\pi$.

**Exercice 24.11 ★★.**

Montrer que la tangente à l’ellipse $(a\cos t, b\sin t)$ au point de paramètre $t$ a pour équation

$$
\frac{x\cos t}{a} + \frac{y\sin t}{b} = 1 ,
$$

et en déduire la tangente à $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ en un point $(x_0, y_0)$ de l’ellipse : $\frac{x\,x_0}{a^2} +
\frac{y\,y_0}{b^2} = 1$ (la règle du « dédoublement des carrés »).

**Solution de Exercice 24.11.**

Le point $(a\cos t, b\sin t)$ vérifie l’équation : $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$. Le vecteur normal de la droite est $\bigl(\frac{\cos t}a, \frac{\sin t}b\bigr)$, et son produit avec la vitesse $(-a\sin t, b\cos t)$ vaut $-\sin t\cos t +
\sin t\cos t = 0$ : la droite passe par le point avec la direction tangente — c’est la tangente. Pour $(x_0, y_0)$ sur l’ellipse, écrivons $\cos t = \frac{x_0}a$, $\sin t = \frac{y_0}b$ et substituons :

$$
\frac{x\,x_0}{a^2} + \frac{y\,y_0}{b^2} = 1 ,
$$

obtenue à partir de l’équation de l’ellipse en « dédoublant » $x^2 \mapsto
x\,x_0$ et $y^2 \mapsto y\,y_0$.

**Exercice 24.12 ★★★.**

La *spirale logarithmique* est la [courbe en polaires](#def-b1-curves-polar) $r =
\eu^{k\theta}$ ($k > 0$ fixé, $\theta \in \R$).

1. Montrer que l’angle $V$ entre le rayon vecteur et la tangente est *constant* ( $\tan V = \frac1k$ ) — la spirale coupe tout rayon sous le même angle.
2. Montrer que faire tourner la spirale d’un angle $c$ l’envoie sur son [image](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/20-applications-lineaires#def-b1-linmaps-kerim) par l’homothétie de rapport $\eu^{-kc}$ : toute rotation de la spirale en est un agrandissement (autosimilarité).
3. Calculer la [longueur](#def-b1-curves-arclength) de l’arc $\theta \in  \intoc{-\infty}{\theta_0}$ (comme limite des [longueurs](#def-b1-curves-arclength) sur $\intcc{A}{\theta_0}$ , $A \to -\infty$ ) et observer qu’elle est finie : une courbe s’enroulant une infinité de fois autour de l’origine, de [longueur](#def-b1-curves-arclength) finie.

**Solution de Exercice 24.12.**

1. $r' = k\eu^{k\theta}$ , donc $\tan V = \frac{r}{r'} =  \frac1k$ : constant. La spirale coupe tout rayon issu de l’origine sous le même angle $V = \arctan\frac1k$ .
2. En notation complexe la spirale est $\{\eu^{k\theta}  \eu^{\iu\theta} : \theta \in \R\}$. La rotation d’angle $c$ multiplie par $\eu^{\iu c}$ : $$\eu^{k\theta}\eu^{\iu(\theta + c)}  = \eu^{-kc}\,\eu^{k(\theta + c)}\eu^{\iu(\theta+c)} ,$$ et lorsque $\theta + c$ parcourt $\R$ ceci décrit $\eu^{-kc}$ fois la spirale : rotation $=$ homothétie. Aucune autre courbe lisse que les droites et les cercles n’a cette propriété.
3. $\sqrt{r^2 + r'^2} = \sqrt{1 + k^2}\,\eu^{k\theta}$, donc sur $\intcc{A}{\theta_0}$ la [longueur](#def-b1-curves-arclength) vaut $\frac{\sqrt{1+k^2}}{k}\bigl(\eu^{k\theta_0} -  \eu^{kA}\bigr)$, et quand $A \to -\infty$ : $$L = \frac{\sqrt{1 + k^2}}{k}\,\eu^{k\theta_0} < \infty :$$ une infinité de tours autour de l’origine, et une [longueur](#def-b1-curves-arclength) totale finie (les tours décroissent géométriquement).

## 24.6 Problème : la cycloïde, reine des courbes

**Problème 24.1.**

Une roue de rayon $R$ roule sans glisser le long de l’axe des $x$ ; le point de la jante initialement à l’origine décrit la *cycloïde*. Le dix-septième siècle s’est battu autour de cette courbe — Galilée en a pesé des découpes de papier, Wren l’a mesurée, Roberval en a calculé l’aire, Huygens en a fait des horloges — et chacun de leurs résultats est à la portée de ce chapitre. Nous démontrons les quatre classiques : la construction de la tangente, la [longueur](#def-b1-curves-arclength) $8R$ de Wren, l’aire $3\pi R^2$, et la propriété de tautochronisme de Huygens.

**Partie I — Le roulement et la tangente.**

1. Après que la roue a tourné d’un angle $t$, son centre est en $\Omega(t) = (Rt, R)$ (roulement sans glissement : distance de contact $=$ arc déroulé). Montrer que le point marqué est en $$M(t) = \bigl(R(t - \sin t),\; R(1 - \cos t)\bigr).$$
2. Calculer $f'(t)$ et montrer que $\norm{f'(t)} =  2R\,\abs{\sin\frac t2}$ ; localiser les points singuliers ( [points de rebroussement](#ex-b1-curves-astroid) — cf. [Exercice 24.2](#exo-b1-curves-2) ) et le sommet de chaque arche.
3. Soit $C(t) = (Rt, 0)$ le point de contact et $T(t) =  (Rt, 2R)$ le sommet de la roue. Démontrer que pour $0 < t <  2\pi$ le vecteur $M - C$ est *normal* à la courbe en $M(t)$ et que le vecteur $T - M$ lui est *tangent* : pour tracer la tangente à une cycloïde, joindre le point au sommet de son cercle roulant. *(Tout factoriser par $\sin\frac t2$ et $\cos\frac t2$.)*
4. Interpréter la question 3 cinématiquement : le point de contact est le *centre instantané de rotation* , et la vitesse de $M$ est égale à sa distance à $C$ (pour une vitesse angulaire unité). Vérifier $\norm{M - C} = 2R\abs{\sin\frac t2}$ .
5. Démontrer la relation hauteur–vitesse $$\norm{f'(t)}^2 = 2R\,y(t) :$$ sur une cycloïde parcourue à vitesse angulaire unité, la vitesse en chaque point est exactement la vitesse de chute [libre](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free) pour une descente égale à la hauteur courante. (À garder pour la partie IV.)

**Partie II — Le théorème de Wren : l’arche a pour [longueur](#def-b1-curves-arclength) $8R$.**

6. À l’aide de la [Définition 24.9](#def-b1-curves-arclength), calculer la [longueur](#def-b1-curves-arclength) d’une arche : $$L = \int_0^{2\pi} 2R\sin\frac t2\,\dd t = 8R$$ (théorème de Wren, 1658). Quatre diamètres de roue, et pas de $\pi$ nulle part.
7. Calculer la [longueur d’arc](#def-b1-curves-arclength) depuis le [point de rebroussement](#ex-b1-curves-astroid) : $s(t) =  4R\bigl(1 - \cos\frac t2\bigr)$ , et vérifier $s(2\pi) =  8R$ .
8. Mesurer maintenant l’arc depuis le *sommet* $t = \pi$ : $\sigma(t) = \abs{4R\cos\frac t2}$. Démontrer la relation intrinsèque $$\sigma^2 = 8R\,\bigl(2R - y\bigr) :$$ le carré de la distance d’arc au sommet est proportionnel à la hauteur de descente sous le sommet.
9. Vérifications : retrouver à partir de la question 8 que la demi-arche du sommet au [point de rebroussement](#ex-b1-curves-astroid) est de [longueur](#def-b1-curves-arclength) $4R$ , et comparer avec le calcul sur l’astroïde de l’ [Exemple 24.10](#ex-b1-curves-circlelength) — les deux courbes ont des [longueurs](#def-b1-curves-arclength) algébriques, sans $\pi$ ; expliquer ce qui rend cela possible bien que les deux soient construites à partir de cercles. *(Regarder la forme de $\norm{f'}$.)*

**Partie III — L’aire de Roberval : $3\pi R^2$.**

10. Justifier que l’aire entre une arche et le sol est $A = \int_0^{2\pi} y(t)\,x'(t)\,\dd t$ *(la substitution $x = x(t)$ dans $\int y\,\dd x$, [Théorème 15.15](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/15-integration-sur-un-segment#thm-b1-integration-parts) ; $x$ est croissante)* .
11. Calculer $$A = R^2\int_0^{2\pi}(1 - \cos t)^2\,\dd t = 3\pi R^2 :$$ exactement *trois* fois l’aire de la roue — le rapport que Galilée avait deviné en pesant.
12. Même méthode pour l’astroïde $(\cos^3t, \sin^3t)$ : montrer que l’aire enfermée vaut $\frac{3\pi}8$ *(linéariser $\sin^4 t\cos^2 t$ ; seul le terme constant survit sur une période entière)* .
13. Vérifier la formule de la question 10 sur le demi-cercle unité supérieur $(\cos t, \sin t)$ , $t$ allant de $\pi$ à $0$ : rend-elle bien $\frac\pi2$ ?

**Partie IV — La tautochrone de Huygens.** Retournons l’arche : une bille sans frottement glisse, sous la gravité $g$, dans la cuvette cycloïdale

$$
x(t) = R(t + \sin t), \qquad y(t) = R(1 - \cos t)
\qquad (t \in \intcc{-\pi}{\pi}),
$$

dont le point le plus bas est l’origine ($y$ mesuré vers le haut).

14. Calculer la vitesse $\norm{f'(t)} = 2R\cos\frac t2$, la [longueur d’arc](#def-b1-curves-arclength) depuis le fond $s(t) = 4R\sin\frac t2$, et démontrer l’identité clé $$y = \frac{s^2}{8R} .$$
15. La bille lâchée sans vitesse initiale depuis le point de paramètre $t_0 > 0$ obéit à la conservation de l’énergie : si $s(\tau)$ désigne son abscisse curviligne à l’instant $\tau$, alors $\frac12\bigl(  \frac{\dd s}{\dd\tau}\bigr)^2 + g\,y = g\,y_0$. Réécrire ceci, à l’aide de la question 14, sous la forme $$\Bigl(\frac{\dd s}{\dd\tau}\Bigr)^{\!2}  = \frac{g}{4R}\,\bigl(s_0^2 - s^2\bigr),  \qquad s_0 = s(t_0).$$
16. Dériver par rapport à $\tau$ et obtenir l’oscillateur harmonique $$\frac{\dd^2 s}{\dd\tau^2} = -\frac{g}{4R}\,s ;$$ le résoudre avec le [Théorème 5.10](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/5-equations-differentielles-lineaires#thm-b1-diffeq-homogeneous2) et les conditions initiales : $s(\tau) = s_0\cos(\omega\tau)$, $\omega = \sqrt{g/4R}$.
17. En déduire la *propriété de tautochronisme* (Huygens, 1659) : le temps de descente jusqu’au fond, $$T_{\downarrow} = \frac{\pi}{2\omega}  = \pi\sqrt{\frac Rg}\,,$$ ne dépend pas du point de lâcher — des billes lâchées [ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) depuis deux hauteurs quelconques de la cuvette arrivent [ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets).
18. Vérifier par substitution que $s(\tau) =  s_0\cos\omega\tau$ satisfait exactement l’équation d’énergie du premier ordre de la question 15 (et pas seulement l’équation [dérivée](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/14-derivation#def-b1-derivative-def) ), et expliquer en une phrase pourquoi un pendule circulaire n’est qu’ *approximativement* isochrone alors que la cycloïde l’est exactement.
19. Numériquement : quel rayon $R$ rend le temps de descente exactement égal à une seconde ( $g = 9.81$ ) ? Noter à quel point la réponse est proche d’un mètre, et comment la période complète d’oscillation $2\pi\sqrt{4R/g}$ se compare à la formule du pendule aux petits angles $2\pi\sqrt{\ell/g}$ pour $\ell = 4R$ .

**Partie V — Dividendes et synthèse.**

20. Appliquer la règle de la tangente de la question 3 en $t =  \frac\pi2$ (prendre $R = 1$ ) : calculer $M$ , $T$ , la direction de $MT$ , et la confronter à $f'(\frac\pi2)$ .
21. (Trochoïdes) Marquer plutôt un point à distance $d$ du centre ( $d \neq R$ ) : la courbe est $x = Rt -  d\sin t$ , $y = R - d\cos t$ . Montrer que pour $d < R$ la courbe est partout régulière et ne présente aucun comportement singulier ( $x' > 0$ : elle avance), tandis que pour $d  > R$ l’abscisse $x'$ change de signe et la courbe fait des boucles — la roue de chemin de fer à boudin dont les points de la jante voyagent *à reculons* .
22. (Avant-goût de la brachistochrone) Du [point de rebroussement](#ex-b1-curves-astroid) $(\pi R, 2R)$ de la cuvette jusqu’au fond, comparer le temps de descente sur la cycloïde $\pi\sqrt{R/g}$ avec le temps le long de la glissière rectiligne joignant les mêmes points *(accélération constante $g\sin\alpha$ le long de la corde)* : montrer que la corde demande $\sqrt{\pi^2 + 4}\,\sqrt{R/g} \approx 3.72\sqrt{R/g}$ . La courbe bat la droite — elle est, de fait, la plus rapide de toutes les courbes, résultat du calcul des variations.
23. Montrer que sur l’arche ($0 < t < 2\pi$), $$\frac{\dd y}{\dd x} = \cot\frac t2,  \qquad  \frac{\dd^2 y}{\dd x^2} =  -\frac{1}{4R\sin^4\frac t2} < 0 :$$ l’arche est concave, avec des tangentes verticales exactement aux [points de rebroussement](#ex-b1-curves-astroid).
24. Retrouver géométriquement la tangente verticale au [point de rebroussement](#ex-b1-curves-astroid) de l’ [Exercice 24.2](#exo-b1-curves-2) : calculer la direction limite de la corde $MT$ de la question 3 quand $t \to  0^{+}$ , sans aucun développement.
25. Synthèse, en quatre phrases : quels trois théorèmes nommés ce problème a démontrés (avec leurs valeurs $8R$ , $3\pi  R^2$ , $\pi\sqrt{R/g}$ et leurs auteurs) ; quel unique procédé de calcul (les factorisations par $\sin\frac t2$ , $\cos\frac t2$ ) a alimenté toutes les parties I, II et IV ; comment la relation intrinsèque $y = s^2/8R$ a converti la géométrie en une équation différentielle [linéaire](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/20-applications-lineaires#def-b1-linmaps-def) ; et sur quel chapitre de ce livre chaque partie s’est appuyée.

**Solution de Problème 24.1.**

**1.** Rouler sans glisser signifie que le point de contact a parcouru une distance égale à l’arc de roue déroulé : après avoir tourné de $t$, le centre est en $(Rt, R)$. Le point marqué se trouve sur la jante, à l’angle $t$ *en arrière* de la verticale descendante (la roue tourne dans le sens horaire en avançant) :

$$
M(t) = \Omega(t) + R(-\sin t, -\cos t)
= \bigl(R(t - \sin t),\ R(1 - \cos t)\bigr),
$$

ce qui est correct en $t = 0$ ($M = (0,0)$) et en $t = \pi$ ($M =
(\pi R, 2R)$, le sommet).

**2.** $f'(t) = R(1 - \cos t,\ \sin t)$ et

$$
\norm{f'}^2 = R^2\bigl((1-\cos t)^2 + \sin^2 t\bigr)
= 2R^2(1 - \cos t) = 4R^2\sin^2\frac t2 ,
$$

donc $\norm{f'} = 2R\abs{\sin\frac t2}$. Points singuliers en $t \in
2\pi\Z$ : les [points de rebroussement](#ex-b1-curves-astroid) sur le sol ([Exercice 24.2](#exo-b1-curves-2)) ; le sommet de l’arche est en $t = \pi$, où la vitesse $2R$ est maximale.

**3.** Factorisations par l’angle moitié :

$$
f'(t) = 2R\sin\frac t2\,\Bigl(\sin\frac t2,\ \cos\frac t2\Bigr),
\quad
M - C = 2R\sin\frac t2\,\Bigl(-\cos\frac t2,\ \sin\frac t2\Bigr),
$$

$$
T - M = \bigl(R\sin t,\ R(1 + \cos t)\bigr)
= 2R\cos\frac t2\,\Bigl(\sin\frac t2,\ \cos\frac t2\Bigr).
$$

Pour $0 < t < 2\pi$, $\sin\frac t2 \neq 0$ : $M - C$ est [orthogonal](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/23-espaces-euclidiens#def-b1-euclid-orthogonal) à la direction tangente $\bigl(\sin\frac t2, \cos\frac
t2\bigr)$ (leur produit vaut $-\sin\frac t2\cos\frac t2 +
\sin\frac t2\cos\frac t2 = 0$), et $T - M$ lui est parallèle. La corde vers le sommet de la roue *est* la tangente ; la corde vers le point de contact est la normale.

**4.** À chaque instant la roue pivote autour de son point de contact (ce point a une vitesse nulle : roulement sans glissement), donc tout point solidaire de la roue se déplace orthogonalement à la droite qui le joint à $C$, avec une vitesse (pour une vitesse angulaire $1$) égale à cette distance. Vérification : $\norm{M - C} = 2R\abs{\sin\frac t2} =
\norm{f'(t)}$.

**5.** $2R\,y(t) = 2R\cdot 2R\sin^2\frac t2 =
4R^2\sin^2\frac t2 = \norm{f'(t)}^2$. La vitesse à la hauteur $y$ est $\sqrt{2R\,y}$ — formellement la loi $v = \sqrt{2gh}$ de la chute [libre](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#def-b1-vspaces-free), le sol jouant le rôle du plafond ; la partie IV transforme cette observation en horlogerie.

**6.** D’après la [Définition 24.9](#def-b1-curves-arclength) et la question 2 ($\sin\frac t2 \geq 0$ sur $\intcc{0}{2\pi}$) :

$$
L = \int_0^{2\pi} 2R\sin\frac t2\,\dd t
= 2R\Bigl[-2\cos\frac t2\Bigr]_0^{2\pi} = 2R(2 + 2) = 8R .
$$

Théorème de Wren : exactement quatre diamètres.

**7.** $s(t) = \int_0^t 2R\sin\frac u2\,\dd u =
4R\bigl(1 - \cos\frac t2\bigr)$ ; $s(2\pi) = 4R(1+1) = 8R$, ce qui est cohérent.

**8.** $\sigma(t) = \abs{s(t) - s(\pi)} = \abs{4R(1 -
\cos\frac t2) - 4R} = 4R\abs{\cos\frac t2}$, donc $\sigma^2 =
16R^2\cos^2\frac t2$ ; et $2R - y = R(1 + \cos t) =
2R\cos^2\frac t2$, d’où $8R(2R - y) = 16R^2\cos^2\frac t2 =
\sigma^2$.

**9.** Au [point de rebroussement](#ex-b1-curves-astroid) $t = 0$ (ou $2\pi$) : $\sigma = 4R$, la moitié de $8R$ : le sommet coupe l’arche en deux. Dans les deux calculs, la vitesse est $\abs{\text{polynôme trigonométrique en } t/2}$, dont une primitive est encore trigonométrique : la [longueur](#def-b1-curves-arclength) est une différence de *valeurs* de cosinus — des nombres rationnels multipliés par $R$ — sans aucun arc de cercle à mesurer, d’où l’absence de $\pi$. Le cercle, lui, a une vitesse constante, si bien que son [intégrale](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/15-integration-sur-un-segment#thm-b1-integration-def) de [longueur](#def-b1-curves-arclength) produit la [longueur](#def-b1-curves-arclength) totale de l’[intervalle](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/10-nombres-reels#prop-b1-reals-intervals) $2\pi$ ; la vitesse de la cycloïde s’annule aux extrémités et s’intègre algébriquement.

**10.** L’arche est décrite avec $x$ croissant de $0$ à $2\pi R$ ($x' = R(1 - \cos t) \geq 0$, ne s’annulant qu’en des points isolés). La substitution $x = x(t)$ dans l’[intégrale](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/15-integration-sur-un-segment#thm-b1-integration-def) d’aire $\int_0^{2\pi R} y\,\dd x$ ([Théorème 15.15](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/15-integration-sur-un-segment#thm-b1-integration-parts)) donne $A = \int_0^{2\pi} y(t)\,x'(t)\,\dd t$.

**11.**

$$
A = \int_0^{2\pi} R(1 - \cos t)\cdot R(1 - \cos t)\,\dd t
= R^2\int_0^{2\pi}\bigl(1 - 2\cos t + \cos^2 t\bigr)\dd t
= R^2\Bigl(2\pi - 0 + \pi\Bigr) = 3\pi R^2 ,
$$

en utilisant $\int_0^{2\pi}\cos^2 = \pi$. Exactement trois aires de roue : la balance de Galilée disait « environ $3$ » ; le calcul de Roberval dit « exactement ».

**12.** Avec $x = \cos^3 t$, $y = \sin^3 t$ : $y\,x' =
-3\sin^4 t\cos^2 t$. Linéarisons :

$$
\sin^4 t\cos^2 t = \frac{1 - \cos 2t}{2}\cdot\frac{\sin^2
2t}{4} = \frac{\sin^2 2t}{8} - \frac{\sin^2 2t\cos 2t}{8} ,
$$

et sur $\intcc{0}{2\pi}$ : $\int\sin^2 2t = \pi$, $\int \sin^2
2t\cos 2t = \bigl[\frac{\sin^3 2t}{6}\bigr] = 0$. Donc $\oint
y\,\dd x = -3\cdot\frac\pi8$, et l’aire enfermée vaut $\frac{3\pi}8$ (le signe enregistre l’orientation dans le sens trigonométrique).

**13.** Pour $(\cos t, \sin t)$ avec $t$ allant de $\pi$ à $0$, $x$ croît de $-1$ à $1$ et

$$
\int_\pi^0 \sin t\cdot(-\sin t)\,\dd t
= \int_0^\pi \sin^2 t\,\dd t = \frac\pi2 :
$$

la formule rend l’aire du demi-disque supérieur, comme il se doit.

**14.** $x' = R(1 + \cos t) = 2R\cos^2\frac t2$, $y' =
R\sin t = 2R\sin\frac t2\cos\frac t2$, donc $\norm{f'} =
2R\cos\frac t2$ (positif sur $\intcc{-\pi}{\pi}$). Arc depuis le fond : $s(t) = \int_0^t 2R\cos\frac u2\,\dd u =
4R\sin\frac t2$. Alors

$$
y = R(1 - \cos t) = 2R\sin^2\frac t2
= 2R\Bigl(\frac{s}{4R}\Bigr)^{\!2} = \frac{s^2}{8R} .
$$

**15.** Conservation de l’énergie avec $v = \frac{\dd s}{\dd\tau}$ et $y = \frac{s^2}{8R}$, $y_0 = \frac{s_0^2}{8R}$ :

$$
\Bigl(\frac{\dd s}{\dd\tau}\Bigr)^{\!2} = 2g(y_0 - y)
= \frac{2g}{8R}\bigl(s_0^2 - s^2\bigr)
= \frac{g}{4R}\bigl(s_0^2 - s^2\bigr).
$$

**16.** En dérivant en $\tau$ : $2s's'' =
-\frac{g}{4R}\,2ss'$, donc partout où $s' \neq 0$ (donc partout par [continuité](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#def-b1-continuity-continuous)), $s'' = -\frac{g}{4R}s$ : l’oscillateur harmonique. D’après le [Théorème 5.10](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/5-equations-differentielles-lineaires#thm-b1-diffeq-homogeneous2), $s(\tau) =
A\cos\omega\tau + B\sin\omega\tau$ avec $\omega =
\sqrt{g/(4R)}$ ; les conditions initiales $s(0) = s_0$, $s'(0) = 0$ donnent $s(\tau) = s_0\cos\omega\tau$.

**17.** La bille atteint le fond quand $s = 0$, c’est-à-dire en $\omega\tau = \frac\pi2$ :

$$
T_{\downarrow} = \frac{\pi}{2\omega}
= \frac\pi2\sqrt{\frac{4R}{g}} = \pi\sqrt{\frac Rg}\,,
$$

indépendant de $s_0$ : lâchées de n’importe où dans la cuvette, toutes les billes arrivent au même instant — la tautochrone.

**18.** En substituant $s = s_0\cos\omega\tau$ : le membre de gauche vaut $s_0^2\omega^2\sin^2\omega\tau$ et le membre de droite vaut $\frac{g}{4R}s_0^2(1 - \cos^2\omega\tau) =
s_0^2\omega^2\sin^2\omega\tau$ : égalité exacte, donc aucune solution parasite n’a été introduite. Pour un arc de cercle, $y$ n’est pas proportionnel à $s^2$ ($y = \ell(1 - \cos\frac s\ell) =
\frac{s^2}{2\ell} - \frac{s^4}{24\ell^3} + \dots$) : le terme de rappel n’est qu’*approximativement* [linéaire](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/20-applications-lineaires#def-b1-linmaps-def), si bien que la période d’un pendule circulaire dérive avec l’amplitude, alors que celle de la cycloïde est rigoureusement constante.

**19.** $\pi\sqrt{R/g} = 1$ donne $R = \frac{g}{\pi^2}
\approx \frac{9.81}{9.87} \approx 0.994$ m — presque exactement un mètre. L’oscillation complète prend $\frac{2\pi}\omega =
2\pi\sqrt{4R/g}$, qui est précisément la formule des petits angles $2\pi\sqrt{\ell/g}$ pour un pendule de [longueur](#def-b1-curves-arclength) $\ell = 4R$ : Huygens suspendait son pendule entre des joues cycloïdales exactement de cette proportion.

**20.** En $t = \frac\pi2$, $R = 1$ : $M = \bigl(\frac\pi2 -
1,\ 1\bigr)$, $T = \bigl(\frac\pi2,\ 2\bigr)$, donc $T - M = (1,
1)$. Et $f'(\frac\pi2) = (1 - 0,\ 1) = (1, 1)$ : la corde vers le sommet est la vitesse, comme promis.

**21.** Pour la trochoïde, $x'(t) = R - d\cos t$ et $y'(t)
= d\sin t$. Si $d < R$ : $x' \geq R - d > 0$, le point avance toujours ; la vitesse ne s’annule jamais (sa première composante est positive) : aucun point singulier, une ondulation régulière. Si $d > R$ : $x'(0)
= R - d < 0 < R + d = x'(\pi)$, donc le point recule au [voisinage](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/12-topologie-de-la-droite-reelle#def-b1-topology-open) des instants de contact et avance ailleurs : la courbe se recoupe en formant des boucles. Un point du boudin d’une roue de chemin de fer (sous le champignon du rail, $d > R$) recule à chaque tour.

**22.** La corde du [point de rebroussement](#ex-b1-curves-astroid) $(\pi R, 2R)$ à l’origine a pour [longueur](#def-b1-curves-arclength) $L = R\sqrt{\pi^2 + 4}$ et fait un angle $\alpha$ avec l’horizontale, avec $\sin\alpha = \frac{2R}{L}$. En glissant depuis le repos avec une accélération constante $g\sin\alpha$ : $L = \frac12 g\sin\alpha\,T^2$, donc

$$
T = \sqrt{\frac{2L}{g\sin\alpha}} = \sqrt{\frac{2L^2}{2Rg}}
= \frac{L}{\sqrt{Rg}} = \sqrt{\pi^2 + 4}\,\sqrt{\frac Rg}
\approx 3.72\sqrt{\frac Rg}\,,
$$

contre $\pi\sqrt{R/g} \approx 3.14\sqrt{R/g}$ pour la cycloïde : le chemin courbe est plus rapide. Il est en fait le plus rapide possible — la brachistochrone — un théorème du calcul des variations, hors de portée de ce volume.

**23.** $\dfrac{\dd y}{\dd x} = \dfrac{y'}{x'} =
\dfrac{\sin t}{1 - \cos t} = \cot\dfrac t2$ (formules de l’angle moitié). Alors

$$
\frac{\dd^2y}{\dd x^2}
= \frac{\dd}{\dd t}\Bigl(\cot\frac t2\Bigr)\cdot\frac{1}{x'(t)}
= -\frac{1}{2\sin^2\frac t2}\cdot\frac{1}{2R\sin^2\frac t2}
= -\frac{1}{4R\sin^4\frac t2} < 0 :
$$

concave sur toute l’arche ; quand $t \to 0^+$ ou $2\pi^-$, la pente $\cot\frac t2 \to \pm\infty$ : tangentes verticales aux [points de rebroussement](#ex-b1-curves-astroid).

**24.** La direction de la corde est $T - M \parallel
\bigl(\sin\frac t2, \cos\frac t2\bigr)$, qui tend vers $(0, 1)$ quand $t \to 0^{+}$ : la tangente au [point de rebroussement](#ex-b1-curves-astroid) est verticale — retrouvée par la géométrie pure, sans aucun développement de Taylor.

**25.** (i) Le théorème de Wren, $L = 8R$ ; l’aire de Roberval, $A =
3\pi R^2$ (le rapport $3$ conjecturé par Galilée) ; la tautochrone de Huygens, $T_\downarrow = \pi\sqrt{R/g}$. (ii) Tout le calcul a reposé sur les factorisations par l’angle moitié $f' =
2R\sin\frac t2(\sin\frac t2, \cos\frac t2)$ et leur analogue dans la cuvette — une seule identité alimentant la tangente, la [longueur](#def-b1-curves-arclength) et l’horloge. (iii) La relation intrinsèque $y = s^2/8R$ a converti l’équation d’énergie en $s'' = -\frac{g}{4R}s$, une équation [linéaire](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/20-applications-lineaires#def-b1-linmaps-def) à coefficients constants dont les solutions sont exactement isochrones. (iv) La partie I a utilisé le calcul différentiel du [Chapitre 14](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/14-derivation#ch-b1-derivative), les parties II et III l’[intégrale](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/15-integration-sur-un-segment#thm-b1-integration-def) du [Chapitre 15](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/15-integration-sur-un-segment#ch-b1-integration), la partie IV les équations différentielles du [Chapitre 5](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/5-equations-differentielles-lineaires#ch-b1-diffeq) — la cycloïde est le programme de ce livre enroulé en une seule courbe.