--- title: "Nombres complexes" book: "Mathématiques universitaires — Licence 1" subject: math language: fr chapter: 3 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/3-nombres-complexes --- # Chapitre 3 — Nombres complexes Les nombres complexes ont été rencontrés dans le volume du secondaire comme un outil de calcul pour les équations du second degré. Ce chapitre en fait un objet central : la forme exponentielle et ses conséquences (de Moivre, racines $n$-ièmes, [racines de l’unité](#def-b1-complex-unity)), la traduction systématique entre $\C$ et la géométrie plane, et l’usage de $\eu^{\iu\theta}$ comme machine à démontrer les identités trigonométriques. ## 3.1 Le corps $\C$, module et conjugué **Définition 3.1 (Le corps des nombres complexes).** $\C = \{a + \iu b : a, b \in \R\}$, muni de l’addition usuelle et de la multiplication déterminée par $\iu^2 = -1$. Tout $z = a + \iu b$ non nul admet un inverse : $z^{-1} = \frac{a - \iu b}{a^2 + b^2}$ — dans le langage du [Chapitre 7](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/7-structures-algebriques#ch-b1-structures), $\C$ est un corps. On note $a = \Re(z)$, $b = \Im(z)$, $\conj{z} = a - \iu b$ (le *conjugué*) et $\abs{z} = \sqrt{a^2 + b^2}$ (le *module*). **Proposition 3.2 (Règles de calcul sur le conjugué et le module).** Pour $z, w \in \C$ : 1. $\conj{z + w} = \conj z + \conj w$ , $\conj{zw} = \conj z\, \conj w$ , $\conj{\conj z} = z$ ; 2. $z \conj z = \abs z^2$ ; $\;\Re(z) = \frac{z + \conj z}{2}$ , $\Im(z) = \frac{z - \conj z}{2\iu}$ ; 3. $\abs{zw} = \abs z\, \abs w$ , et $\abs{z^{-1}} = \abs{z}^{-1}$ pour $z \neq 0$ ; 4. ( [inégalité triangulaire](#prop-b1-complex-rules) ) $\abs{z + w} \leq \abs z + \abs w$ , avec égalité si et seulement si $z$ et $w$ sont portés par une même demi-droite issue de $0$ ( $w = \lambda z$ ou $z = \lambda w$ avec $\lambda \geq 0$ ) ; 5. ( [inégalité triangulaire](#prop-b1-complex-rules) renversée) $\bigl|\abs z - \abs w\bigr| \leq \abs{z - w}$ . **Démonstration.** (1) et (2) sont des calculs directs sur les parties réelle et imaginaire. (3) : $\abs{zw}^2 = zw\,\conj{zw} = z\conj z\, w \conj w = \abs z^2 \abs w^2$, puis on prend les racines carrées ; on applique cela à $z \cdot z^{-1} = 1$ pour l’inverse. (4) Les deux membres sont positifs, comparons donc les carrés : $$ \abs{z+w}^2 = (z+w)(\conj z + \conj w) = \abs z^2 + \abs w^2 + 2\,\Re(z \conj w), $$ et $\Re(z\conj w) \leq \abs{z \conj w} = \abs z \abs w$ donne $\abs{z+w}^2 \leq (\abs z + \abs w)^2$. Le cas d’égalité impose $\Re(z \conj w) = \abs{z \conj w}$, c’est-à-dire $z \conj w \in \R_+$ ; si $w \neq 0$, il vient $z = \frac{z\conj w}{\abs w^2}\, w = \lambda w$ avec $\lambda \geq 0$ (et le cas $w = 0$ est trivial). (5) $\abs z = \abs{(z - w) + w} \leq \abs{z-w} + \abs w$ donne $\abs z - \abs w \leq \abs{z - w}$ ; on échange $z$ et $w$ pour l’autre signe. ∎ **Exemple 3.3 (Un entraînement complet aux modules et arguments).** Mettons $w = \dfrac{3 + 4\iu}{1 - 2\iu}$ sous forme algébrique et calculons son [module](#def-b1-complex-field) de deux façons. En multipliant par le [conjugué](#def-b1-complex-field) du dénominateur : $$ w = \frac{(3 + 4\iu)(1 + 2\iu)}{(1 - 2\iu)(1 + 2\iu)} = \frac{3 + 6\iu + 4\iu - 8}{1 + 4} = \frac{-5 + 10\iu}{5} = -1 + 2\iu . $$ Directement : $\abs w = \sqrt{1 + 4} = \sqrt5$. Par la règle du quotient ([Proposition 3.2](#prop-b1-complex-rules) (3)) : $\abs w = \frac{\abs{3 + 4\iu}}{\abs{1 - 2\iu}} = \frac5{\sqrt5} = \sqrt5$ — même réponse, sans passer par la forme algébrique. La leçon se généralise : [modules](#def-b1-complex-field) et [arguments](#def-b1-complex-expi) passent bien aux produits et aux quotients, parties réelle et imaginaire passent bien aux sommes. On choisit la représentation adaptée aux opérations en jeu, et l’on ne convertit que lorsqu’on y est contraint. **Exemple 3.4 (Équations faisant intervenir le conjugué).** Résolvons dans $\C$ : $\;z + 2\conj z = 6 + 2\iu$. Une équation mêlant $z$ et $\conj z$ n’est *pas* polynomiale en $z$ ; le réflexe fiable est de passer aux coordonnées réelles. Avec $z = x + \iu y$ : $$ z + 2\conj z = 3x - \iu y , $$ de sorte que l’équation s’écrit $3x = 6$ et $-y = 2$ : l’unique solution est $z = 2 - 2\iu$. (Vérification : $(2 - 2\iu) + 2(2 + 2\iu) = 6 + 2\iu$.) On peut aussi conjuguer l’équation tout entière, ce qui donne $\conj z + 2z = 6 - 2\iu$, et résoudre le système linéaire d’inconnues $z, \conj z$ — même réponse, et une astuce utile lorsque les coefficients sont complexes. Les équations en $z$ et $\conj z$ sont en réalité des systèmes de deux équations réelles ; l’attente « degré $1$, une solution » est ici sans danger, mais $z\conj z = -1$ (sans solution) montre l’intuition polynomiale tomber en défaut dès que des produits apparaissent. ## 3.2 Forme exponentielle **Définition 3.5 (Exponentielle complexe d’un argument imaginaire pur).** Pour $\theta \in \R$, on pose $$ \eu^{\iu\theta} = \cos\theta + \iu \sin\theta . $$ Tout $z \neq 0$ peut s’écrire $z = r\,\eu^{\iu\theta}$ avec $r = \abs z > 0$ ; $\theta$ est un *argument* de $z$, déterminé à l’addition près d’un multiple de $2\pi$. La valeur appartenant à $\intoc{-\pi}{\pi}$ est l’*argument principal*, noté $\arg z$. **Exemple 3.6 (Premières valeurs, et une identité célèbre).** En lisant la définition aux angles remarquables : $$ \eu^{\iu\pi/2} = \iu, \qquad \eu^{\iu\pi} = -1, \qquad \eu^{2\iu\pi} = 1, \qquad \eu^{\iu\pi/4} = \frac{\sqrt2}2\,(1 + \iu) . $$ La deuxième, réécrite $\eu^{\iu\pi} + 1 = 0$, est la célèbre identité d’Euler reliant $\eu$, $\iu$, $\pi$, $1$ et $0$ ; à ce stade du livre, c’est un déroulement de la définition plutôt qu’un théorème, et son véritable contenu — pourquoi la fonction exponentielle analytique du [Chapitre 4](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/4-fonctions-usuelles#ch-b1-functions), prolongée aux [arguments](#def-b1-complex-expi) imaginaires, mérite le même nom — sera réglé par les séries entières du [Chapitre 17](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/17-series-numeriques#ch-b1-series). En attendant, la formule ci-dessus mérite d’être sue par cœur comme table de conversion : on l’utilise silencieusement chaque fois qu’un [argument](#def-b1-complex-expi) se lit sur une figure. **Théorème 3.7 (L’équation fonctionnelle).** Pour tous $\theta, \varphi \in \R$ : $$ \eu^{\iu\theta}\, \eu^{\iu\varphi} = \eu^{\iu(\theta + \varphi)}, \qquad \abs{\eu^{\iu\theta}} = 1, \qquad \conj{\eu^{\iu\theta}} = \eu^{-\iu\theta} = (\eu^{\iu\theta})^{-1}. $$ Par conséquent, $\abs{zw} = \abs z \abs w$ s’accompagne du transport des [arguments](#def-b1-complex-expi) : $\arg(zw) \equiv \arg z + \arg w \pmod{2\pi}$. **Démonstration.** Développons le produit et utilisons les formules d’addition : $$ (\cos\theta + \iu\sin\theta)(\cos\varphi + \iu\sin\varphi) = (\cos\theta\cos\varphi - \sin\theta\sin\varphi) + \iu\,(\sin\theta\cos\varphi + \cos\theta\sin\varphi), $$ c’est-à-dire $\cos(\theta+\varphi) + \iu\sin(\theta+\varphi)$. Le [module](#def-b1-complex-field) vaut $\sqrt{\cos^2\theta + \sin^2\theta} = 1$, et la formule du [conjugué](#def-b1-complex-field) traduit la parité du cosinus et l’imparité du sinus ; elle fournit l’inverse de $\eu^{\iu\theta}$ puisque $\eu^{\iu\theta}\eu^{-\iu\theta} = \eu^0 = 1$. ∎ **Corollaire 3.8 (Formule de de Moivre).** Pour $\theta \in \R$ et $n \in \Z$ : $\;(\cos\theta + \iu\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + \iu\sin(n\theta)$. **Démonstration.** Pour $n \geq 0$, on procède par récurrence. Le cas $n = 0$ s’écrit $1 = 1$. En supposant la formule au rang $n$, l’équation fonctionnelle ([Théorème 3.7](#thm-b1-complex-funceq)) donne $$ \bigl(\eu^{\iu\theta}\bigr)^{n+1} = \bigl(\eu^{\iu\theta}\bigr)^{n}\,\eu^{\iu\theta} = \eu^{\iu n\theta}\,\eu^{\iu\theta} = \eu^{\iu(n+1)\theta} , $$ ce qui est la formule au rang $n + 1$. Pour $n < 0$, écrivons $n = -m$ avec $m > 0$ : comme $\eu^{\iu m\theta}$ a pour inverse $\eu^{-\iu m\theta}$ ([Théorème 3.7](#thm-b1-complex-funceq) à nouveau), $$ \bigl(\eu^{\iu\theta}\bigr)^{-m} = \bigl(\eu^{\iu m\theta}\bigr)^{-1} = \eu^{\iu(-m)\theta} . \qedhere $$ ∎ **Exemple 3.9 (Développement de cos⁡3θ\cos 3\thetacos3θ par de Moivre).** Posons $c = \cos\theta$, $s = \sin\theta$. La [formule de de Moivre](#cor-b1-complex-demoivre) et le binôme de Newton donnent $$ \cos 3\theta + \iu \sin 3\theta = (c + \iu s)^3 = c^3 - 3cs^2 + \iu\,(3c^2 s - s^3), $$ et, en identifiant les parties réelles puis en substituant $s^2 = 1 - c^2$ : $$ \cos 3\theta = c^3 - 3c(1 - c^2) = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta . $$ La partie imaginaire fournit gratuitement $\sin 3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$ : une identité complexe en porte toujours *deux* réelles. Lue à l’envers, l’identité obtenue est la clé de l’équation classique de la trisection : construire $\cos(\theta/3)$ à partir de $\cos\theta$ revient à résoudre l’équation du troisième degré $4x^3 - 3x = \cos\theta$, où l’algèbre du [Chapitre 8](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#ch-b1-poly) prend le relais. **Proposition 3.10 (Formules d’Euler).** $$ \cos\theta = \frac{\eu^{\iu\theta} + \eu^{-\iu\theta}}{2}, \qquad \sin\theta = \frac{\eu^{\iu\theta} - \eu^{-\iu\theta}}{2\iu}. $$ **Démonstration.** On ajoute, respectivement on soustrait, $\eu^{\iu\theta} = \cos\theta + \iu\sin\theta$ et $\eu^{-\iu\theta} = \cos\theta - \iu\sin\theta$. ∎ **Méthode 3.11 (La trigonométrie par les exponentielles).** 1. *Linéariser* $\cos^p\theta \sin^q\theta$ (transformer les puissances en une somme de $\cos k\theta$ , $\sin k\theta$ ) : on substitue les formules d’Euler, on développe par le binôme de Newton ( [Théorème 2.16](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/2-denombrement#thm-b1-counting-binomial) ), on regroupe les termes [conjugués](#def-b1-complex-field) . 2. *Développer* $\cos n\theta$ en polynôme en $\cos\theta$ : on écrit $\cos n\theta = \Re\bigl((\cos\theta + \iu\sin\theta)^n\bigr)$ , on développe, et l’on convertit les puissances paires de $\sin$ grâce à $\sin^2 = 1 - \cos^2$ . 3. *Sommer des séries trigonométriques* comme $\sum_k \cos k\theta$ : on reconnaît la partie réelle d’une somme géométrique $\sum_k (\eu^{\iu\theta})^k$ . 4. La *factorisation par l’angle moitié* : pour tous $p, q$, $$\eu^{\iu p} + \eu^{\iu q} = 2 \cos\tfrac{p - q}{2}\; \eu^{\iu \frac{p+q}{2}}, \qquad \eu^{\iu p} - \eu^{\iu q} = 2\iu \sin\tfrac{p - q}{2}\; \eu^{\iu \frac{p+q}{2}} .$$ **Exemple 3.12 (Linéarisation).** $$ \cos^3\theta = \Bigl(\frac{\eu^{\iu\theta} + \eu^{-\iu\theta}}{2}\Bigr)^{\!3} = \frac{\eu^{3\iu\theta} + 3\eu^{\iu\theta} + 3\eu^{-\iu\theta} + \eu^{-3\iu\theta}}{8} = \frac{\cos 3\theta + 3\cos\theta}{4}. $$ Cette forme s’intègre immédiatement — c’est précisément la raison d’être de la linéarisation au [Chapitre 15](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/15-integration-sur-un-segment#ch-b1-integration). Un produit mixte se traite de la même façon, en utilisant simplement les deux formules d’Euler à la fois : $$ \sin^2\theta\cos^2\theta = \Bigl(\frac{\sin2\theta}2\Bigr)^{\!2} = \frac{1}{4}\cdot \Bigl(\frac{\eu^{2\iu\theta} - \eu^{-2\iu\theta}}{2\iu} \Bigr)^{\!2} = \frac{2 - \eu^{4\iu\theta} - \eu^{-4\iu\theta}}{16} = \frac{1 - \cos4\theta}{8} , $$ où le raccourci de l’angle double, à la première étape, a économisé un développement du binôme — il vaut toujours la peine de le chercher avant de mécaniser. **Exemple 3.13 (Une somme trigonométrique binomiale).** Pour $n \in \N$ et $\theta \in \R$, calculons $S = \sum_{k=0}^{n}\binom nk \cos k\theta$. On y reconnaît la partie réelle d’un développement du binôme : $$ S = \Re\sum_{k=0}^n \binom nk \bigl(\eu^{\iu\theta}\bigr)^k = \Re\bigl(1 + \eu^{\iu\theta}\bigr)^n , $$ puis on factorise par l’angle moitié ([Méthode 3.11](#met-b1-complex-trig) (4)) : $1 + \eu^{\iu\theta} = 2\cos\frac\theta2\,\eu^{\iu\theta/2}$, d’où $$ S = \Re\Bigl(2^n\cos^n\frac\theta2\;\eu^{\iu n\theta/2}\Bigr) = 2^n \cos^n\frac\theta2\,\cos\frac{n\theta}2 . $$ La partie imaginaire fournit gratuitement $\sum_k\binom nk\sin k\theta = 2^n\cos^n\frac\theta2\sin\frac{n\theta}2$. Vérifications : $\theta = 0$ redonne $\sum\binom nk = 2^n$, et $\theta = \pi$ donne $S = 0$ pour $n \geq 1$ (chaque facteur $\cos\frac\pi2$ s’annule), c’est-à-dire la somme alternée d’une ligne du triangle de Pascal ([Exemple 2.17](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/2-denombrement#ex-b1-counting-binomial)). La méthode — « voir la somme de cosinus comme l’ombre d’une puissance complexe, puis factoriser par l’angle moitié » — est exactement celle de l’[Exercice 3.6](#exo-b1-complex-6), le binôme de Newton remplaçant la série géométrique. ## 3.3 Racines des nombres complexes **Théorème 3.14 (Racines nnn-ièmes).** Soient $a = r\,\eu^{\iu\alpha} \neq 0$ et $n \in \N^*$. L’équation $z^n = a$ admet exactement $n$ solutions : $$ z_k = r^{1/n}\, \eu^{\iu\left(\frac{\alpha}{n} + \frac{2k\pi}{n}\right)}, \qquad k = 0, 1, \dots, n - 1 . $$ **Démonstration.** Écrivons $z = \rho\,\eu^{\iu\theta}$ ($\rho > 0$). Alors $z^n = \rho^n \eu^{\iu n\theta} = r \eu^{\iu\alpha}$ si et seulement si $\rho^n = r$ ([modules](#def-b1-complex-field)) et $n\theta \equiv \alpha \pmod{2\pi}$ ([arguments](#def-b1-complex-expi)), c’est-à-dire $\rho = r^{1/n}$ et $\theta = \frac{\alpha}{n} + \frac{2k\pi}{n}$ pour un certain $k \in \Z$. Reste à voir quand deux entiers $k, k'$ donnent le même nombre : cela se produit exactement lorsque les angles diffèrent d’un multiple de $2\pi$, $$ \frac{2k\pi}n - \frac{2k'\pi}n \in 2\pi\Z \iff \frac{k - k'}n \in \Z \iff n \mid k - k' . $$ Par division euclidienne, tout $k \in \Z$ est congru modulo $n$ à exactement un élément de $\{0, 1, \dots, n-1\}$ : cette plage énumère donc chaque solution une fois et une seule, et le compte est exactement $n$. (Le même argument, mené dans $\mathbb U_n$, montre que les racines forment un $n$-gone régulier : deux valeurs consécutives de $k$ correspondent à une rotation de l’angle fixe $\frac{2\pi}n$.) ∎ **Exemple 3.15 (Racines cubiques de −27-27−27).** Résolvons $z^3 = -27$. Forme exponentielle du second membre : $-27 = 27\,\eu^{\iu\pi}$, si bien que les trois racines sont $$ z_k = 3\,\eu^{\iu(\frac\pi3 + \frac{2k\pi}3)}, \quad k = 0, 1, 2 : \qquad z_0 = 3\eu^{\iu\pi/3} = \frac32 + \frac{3\sqrt3}2\,\iu, \quad z_1 = -3, \quad z_2 = \conj{z_0} . $$ Deux vérifications. D’abord, la racine réelle $-3$ est la racine évidente, et les deux autres en sont les images par les rotations d’angles $\pm\frac{2\pi}3$ — autrement dit $-3j$ et $-3j^2$. Ensuite, l’algèbre confirme : $z^3 + 27 = (z + 3)(z^2 - 3z + 9)$, et le trinôme a pour discriminant $9 - 36 = -27 < 0$, de racines $\frac{3 \pm 3\iu\sqrt3}2 = z_0, \conj{z_0}$. L’idée à retenir : pour un second membre réel, les racines non réelles vont toujours par paires de [conjuguées](#def-b1-complex-field), de sorte que la figure de l’[ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) des solutions est symétrique par rapport à l’axe réel — un avant-goût du théorème de factorisation réelle du [Chapitre 8](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#ch-b1-poly). **Exemple 3.16 (Un second membre non réel).** Résolvons $z^4 = -8 + 8\iu\sqrt3$. Forme exponentielle du second membre : [module](#def-b1-complex-field) $\sqrt{64 + 192} = 16$, [argument](#def-b1-complex-expi) $\theta$ avec $\cos\theta = -\frac12$, $\sin\theta = \frac{\sqrt3}2$, c’est-à-dire $\theta = \frac{2\pi}3$. Les quatre racines sont $$ z_k = 2\,\eu^{\iu(\frac\pi6 + \frac{k\pi}2)}, \quad k = 0, 1, 2, 3 : \qquad z_0 = \sqrt3 + \iu,\quad z_1 = \iu z_0 = -1 + \iu\sqrt3, $$ $$ z_2 = -z_0 = -\sqrt3 - \iu,\qquad z_3 = -\iu z_0 = 1 - \iu\sqrt3 . $$ (Vérification : $z_0^2 = 2 + 2\iu\sqrt3$, donc $z_0^4 = (2 + 2\iu\sqrt3)^2 = 4 - 12 + 8\iu\sqrt3 = -8 + 8\iu\sqrt3$.) Dès qu’*une* racine est trouvée, les trois autres viennent gratuitement : ce sont ses images par les rotations successives d’angle $\frac\pi2$, autrement dit ses produits par les racines quatrièmes de l’unité — c’est la structure générale sous-jacente au [Théorème 3.14](#thm-b1-complex-roots), qu’il vaut mieux exploiter que de recalculer chaque racine depuis le début. Pas de symétrie par conjugaison cette fois : le second membre n’est pas réel. **Définition 3.17 (Racines de l’unité).** Les *racines $n$-ièmes de l’unité* sont les solutions de $z^n = 1$ : $$ \mathbb{U}_n = \bigl\{\, \omega^k : k = 0, \dots, n-1 \,\bigr\}, \qquad \omega = \eu^{2\iu\pi/n}. $$ Elles forment un groupe pour la multiplication ([Chapitre 7](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/7-structures-algebriques#ch-b1-structures)) et occupent les sommets d’un $n$-gone régulier inscrit dans le cercle unité. ![Les racines cinquièmes de l’unité, = 2 π/5 : un pentagone régulier sur le cercle unité.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-complex/fig-8a472e96bb29.svg) *Les racines cinquièmes de l’unité, $\omega = \eu^{2\iu\pi/5}$ : un pentagone régulier sur le cercle unité.* **Proposition 3.18 (Somme des racines de l’unité).** Pour $n \geq 2$, la somme des racines $n$-ièmes de l’unité est nulle : $\sum_{k=0}^{n-1} \omega^k = 0$. **Démonstration.** Somme géométrique de raison $\omega \neq 1$ : $\sum_{k=0}^{n-1} \omega^k = \frac{\omega^n - 1}{\omega - 1} = 0$ puisque $\omega^n = 1$. ∎ **Exemple 3.19 (Lecture des parties réelle et imaginaire).** En séparant $\sum_{k=0}^{n-1}\omega^k = 0$ en parties réelle et imaginaire, on obtient gratuitement deux identités trigonométriques : $$ \sum_{k=0}^{n-1}\cos\frac{2k\pi}n = 0, \qquad \sum_{k=0}^{n-1}\sin\frac{2k\pi}n = 0 \qquad (n \geq 2). $$ Géométriquement : l’isobarycentre d’un $n$-gone régulier inscrit dans le cercle unité est son centre — les sommets s’équilibrent exactement. Pour $n = 5$, la première identité donne $1 + 2\cos\frac{2\pi}5 + 2\cos\frac{4\pi}5 = 0$ (en appariant $k$ et $n - k$), point de départ du calcul de $\cos\frac{2\pi}5$ mené dans l’[Exercice 3.8](#exo-b1-complex-8). **Exemple 3.20 (Racines carrées sous forme algébrique).** Pour résoudre $z^2 = 3 + 4\iu$ sans trigonométrie, posons $z = x + \iu y$ : $$ x^2 - y^2 = 3, \qquad 2xy = 4, \qquad x^2 + y^2 = \abs{3 + 4\iu} = 5 . $$ En ajoutant la première et la dernière : $x^2 = 4$, donc $x = \pm 2$, puis $y = 2/x = \pm 1$ avec le *même* appariement de signes ($xy = 2 > 0$) : $z = \pm(2 + \iu)$. Combiné à la formule usuelle, cela résout toute équation du second degré à coefficients complexes ([Exercice 3.7](#exo-b1-complex-7)). ## 3.4 Nombres complexes et géométrie plane **Proposition 3.21 (Dictionnaire géométrique).** Identifions le point $M(x, y)$ du plan à son *affixe* $z = x + \iu y$. Pour des points distincts $A, B, C$ d’affixes $a, b, c$ : 1. $\abs{b - a}$ est la distance $AB$ ; 2. $\arg\dfrac{c - a}{b - a}$ est l’angle entre les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ (modulo $2\pi$ ) ; 3. $A, B, C$ sont alignés si et seulement si $\dfrac{c - a}{b - a} \in \R$ ; les droites $AB$ et $AC$ sont perpendiculaires si et seulement si $\dfrac{c - a}{b - a} \in \iu\R$ . **Démonstration.** (1) n’est que la définition du [module](#def-b1-complex-field) appliquée à $b - a$, affixe de $\vect{AB}$. (2) : écrivons $b - a = r\eu^{\iu\theta}$, $c - a = s\eu^{\iu\varphi}$ ; alors $\frac{c-a}{b-a} = \frac sr \eu^{\iu(\varphi - \theta)}$ a pour [argument](#def-b1-complex-expi) $\varphi - \theta$, l’angle de $\vect{AB}$ à $\vect{AC}$. (3) : l’alignement signifie un angle $0$ ou $\pi$, c’est-à-dire un [argument](#def-b1-complex-expi) dans $\pi\Z$, c’est-à-dire un quotient réel ; la perpendicularité signifie un angle $\pm\frac\pi2$, c’est-à-dire un quotient imaginaire pur. (Le quotient est non nul puisque $C \neq A$.) ∎ **Remarque 3.22 (Interlude : C\CC est le plan muni d’une multiplication).** Il vaut la peine de s’arrêter sur ce qui rend ce chapitre possible : le plan $\R^2$ porte des additions dans toutes les directions, mais aucune multiplication donnée d’avance — et $\C$ *est* le plan muni d’une telle multiplication, dans laquelle multiplier par un nombre fixé fait tourner et dilate. Cette unique structure sera exploitée trois fois encore dans ce volume. Au [Chapitre 21](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/21-matrices#ch-b1-matrices), la multiplication par $a + \iu b$ réapparaît sous la forme de la matrice $2 \times 2$ de lignes $(a, -b)$ et $(b, a)$ : l’arithmétique complexe est une première famille, entièrement concrète, de produits matriciels. Au [Chapitre 23](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/23-espaces-euclidiens#ch-b1-euclid), la formule $\Re(\conj z\,w)$ se révèle être le produit scalaire, et $\abs z$ la norme euclidienne : l’[inégalité triangulaire](#prop-b1-complex-rules) démontrée ici est le modèle de l’histoire de Cauchy–Schwarz qu’on y racontera. Et au [Chapitre 24](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/24-courbes-planes#ch-b1-curves), un point mobile s’écrit au mieux $t \mapsto z(t)$, de sorte que vitesse et accélération deviennent des dérivées à valeurs complexes — le mouvement circulaire, par exemple, s’écrit simplement $z(t) = R\,\eu^{\iu\omega t}$. Une bonne multiplication, quatre chapitres de dividendes. **Proposition 3.23 (Les applications z↦az+bz \mapsto az + bz↦az+b).** Soient $a \in \C^*$ et $b \in \C$. La transformation $f(z) = az + b$ du plan : - est une translation si $a = 1$ ; - sinon, admet un unique point fixe $\zeta = \frac{b}{1-a}$ , et $f(z) - \zeta = a\,(z - \zeta)$ : $f$ est la rotation de centre $\zeta$ et d’angle $\arg a$ , composée avec l’homothétie de centre $\zeta$ et de rapport $\abs a$ . En particulier, $z \mapsto \eu^{\iu\theta} z$ est la rotation d’angle $\theta$ autour de l’origine, et $\conj z$ est la symétrie par rapport à l’axe réel. **Démonstration.** Si $a = 1$, $f(z) = z + b$ est la translation de vecteur d’affixe $b$. Si $a \neq 1$, l’équation aux points fixes $z = az + b$ a pour unique solution $\zeta = \frac{b}{1-a}$, et alors $f(z) - \zeta = az + b - (a\zeta + b) = a(z - \zeta)$. En écrivant $a = \abs a\, \eu^{\iu\arg a}$, la multiplication par $a$ multiplie les distances à $\zeta$ par $\abs a$ et ajoute $\arg a$ aux angles en $\zeta$ : c’est la composée annoncée. ∎ **Exemple 3.24 (Classification d’une application z↦az+bz \mapsto az+bz↦az+b).** Prenons $f(z) = \iu z + 1$. Ici $a = \iu \neq 1$ : le point fixe est $$ \zeta = \frac{b}{1 - a} = \frac1{1 - \iu} = \frac{1 + \iu}{2}, $$ et comme $\abs a = 1$, il n’y a aucune homothétie : $f$ est la rotation pure de centre $\frac{1+\iu}2$ et d’angle $\arg \iu = \frac\pi2$. Vérification : $f(\zeta) = \iu\,\frac{1+\iu}2 + 1 = \frac{\iu - 1}2 + 1 = \frac{1 + \iu}2 = \zeta$, et $f(0) = 1$, $f(1) = 1 + \iu$, $f(1 + \iu) = \iu\,(1 + \iu) + 1 = \iu$ : les quatre points $0, 1, 1+\iu, \iu$ du carré unité tournent autour de leur centre $\zeta$, d’un quart de tour à chaque fois — exactement ce que doit faire une rotation d’angle $\frac\pi2$ autour du centre du carré. ![L’application f(z) = z + 1 de l’ : une rotation d’un quart de tour autour du point fixe = 1+ 2. Les sommets du carré unité décrivent le cycle 0 1 1+ 0 ; aucun point ne se déplace en ligne droite, et pourtant le carré tout entier est tourné d’un bloc.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-complex/fig-93c487327b70.svg) *L’[application](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-map) $f(z) = \iu z + 1$ de l’[Exemple 3.24](#ex-b1-complex-classify) : une rotation d’un quart de tour autour du point fixe $\zeta = \frac{1+\iu}2$. Les sommets du carré unité décrivent le cycle $0 \to 1 \to 1{+}\iu \to \iu \to 0$ ; aucun point ne se déplace en ligne droite, et pourtant le carré tout entier est tourné d’un bloc.* **Remarque 3.25 (Pièges classiques sur les modules et les arguments).** 1. *Pas d’inégalités dans $\C$.* Écrire $z \leq w$ pour des nombres non réels n’a aucun sens ; seuls les [modules](#def-b1-complex-field) , les parties réelles et les parties imaginaires se comparent. 2. *$\sqrt{\phantom z}$ est réservé à $\R_+$.* Tout nombre complexe non nul a *deux* racines carrées, et aucune n’est privilégiée : on écrit « soit $\delta$ une racine carrée de $\Delta$ » (calculée comme dans l’ [Exemple 3.20](#ex-b1-complex-sqrt) ), jamais $\sqrt\Delta$ — la règle $\sqrt{ab} = \sqrt a\sqrt b$ tombe déjà en défaut pour $a = b = -1$ . 3. *Les [arguments](#def-b1-complex-expi) vivent modulo $2\pi$.* De $\eu^{\iu\alpha} = \eu^{\iu\beta}$ on conclut $\alpha \equiv \beta \pmod{2\pi}$ , et non $\alpha = \beta$ ; oublier le $2k\pi$ est la façon dont les [ensembles](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) de solutions de $z^n = a$ perdent $n - 1$ de leurs $n$ éléments. 4. *$\abs{z + w}$ n’est pas $\abs z + \abs w$.* L’égalité dans l’ [inégalité triangulaire](#prop-b1-complex-rules) est le cas exceptionnel des vecteurs alignés ( [Proposition 3.2](#prop-b1-complex-rules) (4)) ; en général, le [module](#def-b1-complex-field) d’une somme se majore, il ne se calcule pas. **Exemple 3.26.** $A, B, C$ (d’affixes $a, b, c$, deux à deux distinctes) forment un triangle équilatéral dont les sommets sont dans l’ordre direct (sens trigonométrique) si et seulement si $\frac{c - a}{b - a} = \eu^{\iu\pi/3}$ : la rotation de centre $A$ et d’angle $\frac\pi3$ envoie $B$ sur $C$. Les deux orientations à la fois sont saisies par l’équation symétrique $a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca$ ([Exercice 3.10](#exo-b1-complex-10)). **Remarque 3.27 (Où ce chapitre est utilisé).** La forme exponentielle est l’outil de calcul le plus réutilisé de tout le volume. Les [racines de l’unité](#def-b1-complex-unity) deviennent l’exemple standard de groupe cyclique au [Chapitre 7](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/7-structures-algebriques#ch-b1-structures) et gouvernent la factorisation de $X^n - 1$ au [Chapitre 8](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#ch-b1-poly) ; en y regroupant les racines [conjuguées](#def-b1-complex-field), on obtient les factorisations réelles utilisées par les éléments simples au [Chapitre 9](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/9-fractions-rationnelles#ch-b1-fractions). La linéarisation ([Méthode 3.11](#met-b1-complex-trig)) est la préparation standard à l’intégration des puissances trigonométriques au [Chapitre 15](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/15-integration-sur-un-segment#ch-b1-integration), et les équations caractéristiques du [Chapitre 5](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/5-equations-differentielles-lineaires#ch-b1-diffeq) ont des racines complexes dont les parties réelle et imaginaire produisent les solutions oscillantes $\eu^{\lambda t}\cos\omega t$. Le dictionnaire géométrique revient en habit matriciel : rotations et similitudes deviennent les matrices orthogonales des Chapitres [21](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/21-matrices#ch-b1-matrices) et [23](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/23-espaces-euclidiens#ch-b1-euclid), et les courbes paramétrées du [Chapitre 24](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/24-courbes-planes#ch-b1-curves) s’écrivent souvent au mieux comme des [applications](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-map) $t \mapsto z(t) \in \C$. ## 3.5 Exercices **Exercice 3.1 ★.** Mettre sous forme exponentielle : $1 + \iu$ ; $\;\sqrt 3 - \iu$ ; $\;-5$ ; $\;\dfrac{1 + \iu}{\sqrt 3 - \iu}$. En déduire $\cos\frac{5\pi}{12}$ et $\sin\frac{5\pi}{12}$. **Solution de Exercice 3.1.** $1 + \iu = \sqrt 2\, \eu^{\iu\pi/4}$ ; $\;\sqrt 3 - \iu = 2\, \eu^{-\iu\pi/6}$ ; $\;-5 = 5\, \eu^{\iu\pi}$ ; $$ \frac{1 + \iu}{\sqrt 3 - \iu} = \frac{\sqrt 2}{2}\, \eu^{\iu(\pi/4 + \pi/6)} = \frac{\sqrt 2}{2}\, \eu^{5\iu\pi/12}. $$ En calculant le même quotient de façon algébrique (multiplication par le [conjugué](#def-b1-complex-field)) : $$ \frac{(1 + \iu)(\sqrt 3 + \iu)}{4} = \frac{(\sqrt 3 - 1) + \iu(\sqrt 3 + 1)}{4}. $$ En identifiant avec $\frac{\sqrt 2}{2}(\cos\frac{5\pi}{12} + \iu\sin\frac{5\pi}{12})$ : $$ \cos\frac{5\pi}{12} = \frac{\sqrt 6 - \sqrt 2}{4}, \qquad \sin\frac{5\pi}{12} = \frac{\sqrt 6 + \sqrt 2}{4}. $$ **Exercice 3.2 ★.** Calculer $(1 + \iu)^{20}$. Pour quels $n \in \N$ le nombre $(1 + \iu)^n$ est-il réel ? **Solution de Exercice 3.2.** $(1+\iu)^2 = 2\iu$, donc $(1+\iu)^{20} = (2\iu)^{10} = 2^{10}\,\iu^{10} = 1024 \times (-1) = -1024$. Sous forme exponentielle, $(1+\iu)^n = 2^{n/2}\, \eu^{\iu n\pi/4}$, qui est réel si et seulement si $\sin\frac{n\pi}{4} = 0$, c’est-à-dire $4 \mid n$. Ainsi $(1+\iu)^n \in \R$ exactement pour les multiples de $4$ (la valeur est alors $(-4)^{n/4}$). **Exercice 3.3 ★.** Décrire géométriquement l’[ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) des $z \in \C$ tels que : $\abs{z - 2} = \abs{z + \iu}$ ; $\;\abs{z - 1} = 2$ ; $\;\dfrac{z - 1}{z + 1} \in \iu\R$ (pour $z \neq -1$). **Solution de Exercice 3.3.** $\abs{z - 2} = \abs{z + \iu}$ : équidistance aux points $2$ et $-\iu$ — c’est la médiatrice du segment joignant $(2, 0)$ et $(0, -1)$. $\abs{z - 1} = 2$ : le cercle de centre $1$ et de rayon $2$. $\frac{z-1}{z+1} \in \iu\R$ : d’après la [Proposition 3.21](#prop-b1-complex-geometry) (3), les points $M(z)$, $A(1)$, $B(-1)$ vérifient : les droites $MA$ et $MB$ sont perpendiculaires (ou bien $z = 1$, où le quotient vaut $0 \in \iu\R$). L’[ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) est le cercle de diamètre $[-1, 1]$ (le cercle unité), privé du point $-1$ où le quotient n’est pas défini. *Vérification par le calcul :* $z = \eu^{\iu\theta}$ donne $\frac{z-1}{z+1} = \frac{\eu^{\iu\theta/2}(\eu^{\iu\theta/2} - \eu^{-\iu\theta/2})}{\eu^{\iu\theta/2}(\eu^{\iu\theta/2} + \eu^{-\iu\theta/2})} = \iu\tan\frac\theta2 \in \iu\R$. **Exercice 3.4 ★.** Linéariser $\sin^4\theta$, et développer $\cos 4\theta$ en polynôme en $\cos\theta$. **Solution de Exercice 3.4.** Linéarisation : $$ \sin^4\theta = \Bigl(\frac{\eu^{\iu\theta} - \eu^{-\iu\theta}}{2\iu}\Bigr)^{\!4} = \frac{\eu^{4\iu\theta} - 4\eu^{2\iu\theta} + 6 - 4\eu^{-2\iu\theta} + \eu^{-4\iu\theta}}{16} = \frac{\cos 4\theta - 4\cos 2\theta + 3}{8}. $$ Développement : par de Moivre, $\cos 4\theta = \Re\bigl((c + \iu s)^4\bigr) = c^4 - 6c^2 s^2 + s^4$ avec $c = \cos\theta$, $s = \sin\theta$ ; en substituant $s^2 = 1 - c^2$ : $$ \cos 4\theta = c^4 - 6c^2(1 - c^2) + (1 - c^2)^2 = 8c^4 - 8c^2 + 1 . $$ **Exercice 3.5 ★.** Résoudre $z^3 = 8\iu$ et placer les solutions sur une figure. Résoudre $z^4 = -4$ et factoriser $X^4 + 4$ en produit de deux polynômes réels du second degré. **Solution de Exercice 3.5.** $8\iu = 8\,\eu^{\iu\pi/2}$, donc les racines cubiques sont $2\,\eu^{\iu(\pi/6 + 2k\pi/3)}$, $k = 0, 1, 2$ : $$ z_0 = 2\eu^{\iu\pi/6} = \sqrt 3 + \iu,\quad z_1 = 2\eu^{5\iu\pi/6} = -\sqrt 3 + \iu,\quad z_2 = 2\eu^{3\iu\pi/2} = -2\iu : $$ un triangle équilatéral sur le cercle de rayon $2$. $-4 = 4\eu^{\iu\pi}$, donc $z^4 = -4$ a pour solutions $\sqrt 2\, \eu^{\iu(\pi/4 + k\pi/2)}$ : $\;1 + \iu$, $-1 + \iu$, $-1 - \iu$, $1 - \iu$. En appariant les racines [conjuguées](#def-b1-complex-field) : $$ X^4 + 4 = \bigl(X^2 - 2X + 2\bigr)\bigl(X^2 + 2X + 2\bigr), $$ puisque $(X - (1+\iu))(X - (1-\iu)) = X^2 - 2X + 2$, et de même pour l’autre paire. (Développer pour vérifier.) **Exercice 3.6 ★★.** Pour $\theta \in \R$ tel que $\eu^{\iu\theta} \neq 1$ et $n \in \N$, calculer $$ C_n = \sum_{k=0}^{n} \cos k\theta \qquad\text{et}\qquad S_n = \sum_{k=0}^{n} \sin k\theta $$ en sommant la série géométrique $\sum_k \eu^{\iu k\theta}$ et en utilisant la factorisation par l’angle moitié. **Solution de Exercice 3.6.** $C_n + \iu S_n = \sum_{k=0}^{n} \eu^{\iu k\theta} = \frac{\eu^{\iu(n+1)\theta} - 1}{\eu^{\iu\theta} - 1}$ (somme géométrique, de raison $\eu^{\iu\theta} \neq 1$). Factorisation par l’angle moitié ([Méthode 3.11](#met-b1-complex-trig) (4)) au numérateur et au dénominateur : $$ \frac{2\iu\sin\frac{(n+1)\theta}{2}\, \eu^{\iu(n+1)\theta/2}} {2\iu\sin\frac{\theta}{2}\, \eu^{\iu\theta/2}} = \frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}\, \eu^{\iu n\theta/2}. $$ En prenant les parties réelle et imaginaire : $$ C_n = \frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}} \cos\frac{n\theta}{2}, \qquad S_n = \frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}} \sin\frac{n\theta}{2}. $$ **Exercice 3.7 ★★.** Résoudre dans $\C$ : $z^2 - (3 + 4\iu) z + (-1 + 5\iu) = 0$. *(Calculer le discriminant, en extraire les racines carrées comme dans l’[Exemple 3.20](#ex-b1-complex-sqrt).)* **Solution de Exercice 3.7.** Discriminant : $\Delta = (3 + 4\iu)^2 - 4(-1 + 5\iu) = 9 + 24\iu - 16 + 4 - 20\iu = -3 + 4\iu$. Racines carrées de $-3 + 4\iu$ : on résout $x^2 - y^2 = -3$, $2xy = 4$, $x^2 + y^2 = 5$ ; alors $x^2 = 1$, $y = 2/x$, de même signe : $\delta = \pm(1 + 2\iu)$. D’où $$ z = \frac{(3 + 4\iu) \pm (1 + 2\iu)}{2} \in \{\, 2 + 3\iu,\; 1 + \iu \,\}. $$ *Vérification :* la somme vaut $3 + 4\iu$ et le produit $(2+3\iu)(1+\iu) = -1 + 5\iu$, comme l’exigent les coefficients. **Exercice 3.8 ★★.** Soit $\omega = \eu^{2\iu\pi/5}$. 1. Justifier que $1 + \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = 0$ . 2. On pose $u = \omega + \omega^4$ et $v = \omega^2 + \omega^3$ . Calculer $u + v$ et $uv$ , et en déduire que $u$ et $v$ sont les racines de $X^2 + X - 1$ . 3. En conclure que $\cos\frac{2\pi}{5} = \frac{\sqrt 5 - 1}{4}$ . **Solution de Exercice 3.8.** 1. [Proposition 3.18](#prop-b1-complex-sumroots) avec $n = 5$ . 2. $u + v = \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = -1$ d’après (1). Pour le produit, on développe et on réduit les exposants modulo $5$ : $$uv = (\omega + \omega^4)(\omega^2 + \omega^3) = \omega^3 + \omega^4 + \omega^6 + \omega^7 = \omega^3 + \omega^4 + \omega + \omega^2 = -1 .$$ Ainsi $u$ et $v$ ont pour somme $-1$ et pour produit $-1$ : ce sont les deux racines de $X^2 + X - 1$. 3. $u = \omega + \conj\omega = 2\cos\frac{2\pi}{5} > 0$ (l’angle est aigu), et la racine positive de $X^2 + X - 1$ est $\frac{-1 + \sqrt 5}{2}$ . D’où $\cos\frac{2\pi}{5} = \frac{\sqrt 5 - 1}{4}$ . **Exercice 3.9 ★★.** Démontrer que, pour tous $z, w \in \C$ (identité du parallélogramme) : $$ \abs{z + w}^2 + \abs{z - w}^2 = 2\abs z^2 + 2\abs w^2 , $$ et l’interpréter géométriquement dans le parallélogramme de sommets $0, z, w, z + w$. **Solution de Exercice 3.9.** On développe les deux carrés comme dans la démonstration de la [Proposition 3.2](#prop-b1-complex-rules) (4) : $$ \abs{z + w}^2 = \abs z^2 + \abs w^2 + 2\Re(z\conj w), \qquad \abs{z - w}^2 = \abs z^2 + \abs w^2 - 2\Re(z\conj w), $$ et on ajoute. Géométriquement, $\abs{z+w}$ et $\abs{z-w}$ sont les longueurs des deux diagonales du parallélogramme de sommets $0, z, z+w, w$, tandis que $\abs z$ et $\abs w$ sont les longueurs des côtés : la somme des carrés des diagonales est égale à la somme des carrés des quatre côtés. **Exercice 3.10 ★★★.** Démontrer que trois points deux à deux distincts, d’affixes $a, b, c$, forment un triangle équilatéral (quelle que soit l’orientation) si et seulement si $$ a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca . $$ *Indication : le cas direct s’écrit $\frac{c-a}{b-a} = -j^2$ et le cas indirect $\frac{c-a}{b-a} = -j$, où $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ vérifie $j^2 + j + 1 = 0$ ; ou bien factoriser $a + jb + j^2c$ et $a + j^2 b + jc$.* **Solution de Exercice 3.10.** Posons $j = \eu^{2\iu\pi/3}$, de sorte que $j^2 + j + 1 = 0$ et $\eu^{\iu\pi/3} = -j^2$, $\eu^{-\iu\pi/3} = -j$. Le triangle est équilatéral direct si et seulement si $c - a = -j^2 (b - a)$, indirect si et seulement si $c - a = -j(b - a)$ ([Exemple 3.26](#ex-b1-complex-equilateral)). Considérons $P = a + jb + j^2 c$ et $Q = a + j^2 b + jc$. En utilisant $1 + j^2 = -j$ et $j^3 = 1$ : $$ c - a + j^2(b - a) = c + j^2 b - (1 + j^2)\,a = c + j^2 b + ja = j\,(a + jb + j^2 c) = jP, $$ si bien que le cas direct s’écrit $jP = 0 \iff P = 0$ ; le même calcul avec $j$ à la place de $j^2$ donne $c - a + j(b - a) = j^2 Q$, si bien que le cas indirect s’écrit $Q = 0$. Donc : équilatéral (quelle que soit l’orientation) $\iff PQ = 0$. En développant, avec $j + j^2 = -1$ : $$ PQ = a^2 + b^2 + c^2 + (j + j^2)(ab + bc + ca) = a^2 + b^2 + c^2 - (ab + bc + ca). $$ Le triangle est donc équilatéral si et seulement si $a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca$. **Exercice 3.11 ★★★.** Pour $n \in \N^*$, calculer $P = \prod_{k=1}^{n-1} \bigl(1 - \omega^k\bigr)$ où $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$. *Indication : $X^n - 1 = \prod_{k=0}^{n-1} (X - \omega^k)$ ; diviser par $X - 1$ et évaluer en $X = 1$.* En déduire $\prod_{k=1}^{n-1} \sin\frac{k\pi}{n} = \dfrac{n}{2^{n-1}}$. **Solution de Exercice 3.11.** Comme les $\omega^k$, $k = 0, \dots, n-1$, sont exactement les $n$ racines de $X^n - 1$ ([Théorème 3.14](#thm-b1-complex-roots)) et que le polynôme est unitaire : $$ X^n - 1 = \prod_{k=0}^{n-1} (X - \omega^k) = (X - 1) \prod_{k=1}^{n-1} (X - \omega^k). $$ En divisant par $X - 1$ : $\;1 + X + \dots + X^{n-1} = \prod_{k=1}^{n-1} (X - \omega^k)$. En évaluant en $X = 1$, on obtient $P = n$. Or $1 - \omega^k = -\eu^{\iu k\pi/n}\bigl(\eu^{\iu k\pi/n} - \eu^{-\iu k\pi/n}\bigr) = -2\iu\,\eu^{\iu k\pi/n} \sin\frac{k\pi}{n}$, donc, en prenant les [modules](#def-b1-complex-field) dans $P = n$ (chaque $\sin\frac{k\pi}n > 0$ pour $1 \leq k \leq n-1$) : $$ n = \abs P = \prod_{k=1}^{n-1} 2\sin\frac{k\pi}{n} = 2^{n-1} \prod_{k=1}^{n-1} \sin\frac{k\pi}{n}, \qquad\text{d'où}\qquad \prod_{k=1}^{n-1} \sin\frac{k\pi}{n} = \frac{n}{2^{n-1}} . $$ **Exercice 3.12 ★★.** Soit $n \geq 2$. Résoudre l’équation $(z + 1)^n = (z - 1)^n$ dans $\C$ : montrer qu’elle admet exactement $n - 1$ solutions, toutes imaginaires pures, à savoir $$ z_k = -\iu\,\frac{\cos\frac{k\pi}{n}}{\sin\frac{k\pi}{n}}, \qquad k = 1, \dots, n - 1 . $$ *Indication : $z = 1$ n’est pas solution, on peut donc diviser et utiliser les [racines de l’unité](#def-b1-complex-unity) ; appliquer ensuite la factorisation par l’angle moitié de la [Méthode 3.11](#met-b1-complex-trig).* **Solution de Exercice 3.12.** $z = 1$ n’est pas solution ($2^n \neq 0$), de sorte que l’équation équivaut à $\bigl(\frac{z+1}{z-1}\bigr)^n = 1$, c’est-à-dire $\frac{z+1}{z-1} = \omega^k$ avec $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$ et $k \in \{0, \dots, n-1\}$. La valeur $k = 0$ est exclue ($z + 1 = z - 1$ est impossible). Pour $1 \leq k \leq n - 1$, la résolution de $z + 1 = \omega^k(z - 1)$ donne $z(1 - \omega^k) = -1 - \omega^k$, donc, avec $\varphi = \frac{2k\pi}{n}$ et les factorisations par l’angle moitié $1 + \eu^{\iu\varphi} = 2\cos\frac\varphi2\, \eu^{\iu\varphi/2}$, $\eu^{\iu\varphi} - 1 = 2\iu\sin\frac\varphi2 \,\eu^{\iu\varphi/2}$ : $$ z_k = \frac{1 + \omega^k}{\omega^k - 1} = \frac{2\cos\frac{k\pi}{n}}{2\iu\,\sin\frac{k\pi}{n}} = -\iu\,\frac{\cos\frac{k\pi}{n}}{\sin\frac{k\pi}{n}} , $$ imaginaire pur comme annoncé. L’[application](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-map) $t \mapsto \cos t/\sin t$ est [injective](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) sur $\intoo0\pi$ (elle y est strictement décroissante), donc les $n - 1$ valeurs $z_k$ sont deux à deux distinctes : l’équation, de degré $n - 1$ une fois développée (les termes en $z^n$ se simplifient), a exactement ces $n - 1$ solutions. ## 3.6 Problème : le théorème de Napoléon **Problème 3.1.** Construisons vers l’extérieur un triangle équilatéral sur chaque côté d’un triangle *quelconque* : les trois centres de ces triangles forment toujours un triangle équilatéral. C’est le [théorème de Napoléon](#pb-b1-complex-1) — un énoncé sans raison visible d’être vrai, que l’algèbre de $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ démontre en trois lignes de calcul. Ce problème construit tout l’outillage (rotations, similitudes directes, le critère en $j$ de l’[Exercice 3.10](#exo-b1-complex-10)), démontre le [théorème de Napoléon](#pb-b1-complex-1) intérieur et extérieur, localise le cas dégénéré, et se referme sur un second joyau de la même école : le [théorème de van Schooten](#pb-b1-complex-1) sur les triangles équilatéraux et l’[inégalité de Ptolémée](#pb-b1-complex-1). Dans tout le problème, les points du plan sont identifiés à leurs affixes. **Partie I — Le nombre $j$ et les rotations.** 1. Calculer la forme algébrique de $j$ , puis $j^2$ , $j^3$ , $1 + j + j^2$ , $\conj j$ et $j^{-1}$ . Placer $1$ , $j$ , $j^2$ sur un croquis du cercle unité. 2. Montrer que la rotation de centre $a$ et d’angle $\theta$ est $r(z) = a + \eu^{\iu\theta}(z - a)$ , et que la composée de deux rotations, d’angles $\theta$ et $\theta'$ , est une rotation d’angle $\theta + \theta'$ si $\theta + \theta' \notin 2\pi\Z$ , et une translation sinon. (Utiliser la [Proposition 3.23](#prop-b1-complex-similitude) .) 3. Soit $b \neq c$ . Montrer qu’il existe exactement deux points $p$ rendant $(b, c, p)$ équilatéral, à savoir $p = b + \eu^{\pm\iu\pi/3}(c - b)$ . Pour un triangle *direct* $(a, b, c)$ , vérifier sur l’exemple $a = 0$ , $b = 1$ , $c = \iu$ que le choix $\eu^{-\iu\pi/3}$ est celui qui se situe de l’autre côté de la droite $BC$ par rapport à $a$ — le sommet *extérieur* . 4. D’après la solution de l’[Exercice 3.10](#exo-b1-complex-10), $(a, b, c)$ est équilatéral direct si et seulement si $a + jb + j^2c = 0$. Démontrer les deux identités de rotation $$b + jc + j^2a = j^2\,(a + jb + j^2c), \qquad c + ja + j^2b = j\,(a + jb + j^2c),$$ et en déduire que le critère est invariant par [permutation](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/2-denombrement#def-b1-counting-objects) circulaire de $(a, b, c)$. 5. Montrer que si $a + jb + j^2c = 0$ et si deux des trois points coïncident, alors les trois coïncident. (Le critère caractérise donc exactement : triangle équilatéral direct, ou point unique.) **Partie II — Les similitudes directes.** 6. Montrer que les [applications](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-map) $f(z) = az + b$ avec $a \in \C^*$ (les *similitudes directes* ) sont stables par composition et par passage à la réciproque : la composée de deux d’entre elles, et la réciproque de l’une quelconque d’entre elles, est encore de cette forme. (Dans le langage du [Chapitre 7](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/7-structures-algebriques#ch-b1-structures) : elles forment un groupe.) 7. Étant donnés $z_1 \neq z_2$ et $w_1 \neq w_2$ , montrer qu’il existe une *unique* similitude directe $f$ telle que $f(z_1) = w_1$ et $f(z_2) = w_2$ , et donner $a$ et $b$ explicitement. 8. Montrer qu’une similitude directe $f(z) = az + b$ multiplie toutes les distances par $\abs a$ et conserve la *forme* $\frac{c - a'}{b' - a'}$ de tout triangle $(a', b', c')$ *(numérateur et dénominateur sont tous deux multipliés par $a$)* . En déduire que deux triangles sont directement semblables exactement lorsque leurs formes sont égales. 9. Déterminer complètement la similitude directe telle que $f(0) = 1$ et $f(1) = \iu$ : donner $a$ , $b$ , le point fixe, le rapport et l’angle. 10. Soit $\alpha + \beta = 1$ . Montrer que le « point pondéré » $g(a', b') = \alpha a' + \beta b'$ commute avec toute similitude directe : $f(\alpha a' + \beta b') = \alpha f(a') + \beta f(b')$ . En déduire que les isobarycentres, les milieux et les centres de Napoléon ci-dessous sont tous transportés par les similitudes — c’est la licence algébrique qui se cache derrière tout [argument](#def-b1-complex-expi) du type « sans perte de généralité, plaçons le cercle circonscrit sur le cercle unité ». **Partie III — Le [théorème de Napoléon](#pb-b1-complex-1).** Soit $(a, b, c)$ un triangle direct. Sur chaque côté, construisons vers l’extérieur le triangle équilatéral (question 3) et notons $n_a$, $n_b$, $n_c$ les centres (isobarycentres) des triangles construits respectivement sur $[b, c]$, $[c, a]$, $[a, b]$. 11. Montrer que $$n_a = \alpha b + \beta c, \qquad n_b = \alpha c + \beta a, \qquad n_c = \alpha a + \beta b, \qquad\text{avec}\quad \alpha = \frac{3 + \iu\sqrt3}{6},\ \beta = \conj\alpha .$$ 12. Vérifier que $\alpha + \beta = 1$ , et en déduire que le triangle $(n_a, n_b, n_c)$ a le *même isobarycentre* que $(a, b, c)$ . 13. À l’aide des identités de la question 4, montrer que $$n_a + j\,n_b + j^2 n_c = (\alpha j^2 + \beta j)\,(a + jb + j^2c) .$$ 14. Calculer $\alpha j + \beta$ et conclure : $\alpha j^2 + \beta j = j(\alpha j + \beta) = 0$ , donc $n_a + j n_b + j^2 n_c = 0$ pour *tout* triangle : le triangle de Napoléon extérieur est équilatéral direct (ou réduit à un point). Le [théorème de Napoléon](#pb-b1-complex-1) est démontré. 15. Construire cette fois les triangles équilatéraux vers l’ *intérieur* (choix $\eu^{+\iu\pi/3}$ à la question 3) et noter $m_a, m_b, m_c$ leurs centres. Montrer que $m_a = \beta b + \alpha c$ (et de même par [permutation](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/2-denombrement#def-b1-counting-objects) circulaire), puis démontrer que $m_a + j^2 m_b + j\,m_c = 0$ : le triangle de Napoléon intérieur est équilatéral lui aussi, avec l’orientation opposée. 16. Localiser la dégénérescence : montrer que $n_a = n_b = n_c$ se produit exactement lorsque $a + j^2 b + jc = 0$ , c’est-à-dire lorsque $(a, b, c)$ est un triangle équilatéral *indirect* . *(Deux des points $n_a, n_b, n_c$ coïncident si et seulement si les trois coïncident, d’après la question 5 ; utiliser ensuite $n_a + j^2 n_b + j n_c = j(\alpha + \beta j)(a + j^2b + jc)$ et vérifier que $\alpha + \beta j \neq 0$.)* 17. Mener tout le calcul sur le triangle $a = 0$ , $b = 1$ , $c = \iu$ : donner $n_a, n_b, n_c$ exactement, et vérifier par le calcul direct des trois carrés des longueurs des côtés que le triangle est équilatéral, de côté au carré $\frac{2 + \sqrt3}{3}$ . **Partie IV — Ptolémée et van Schooten.** 18. Démontrer l’identité, valable pour tous complexes $a, b, c, d$ : $$(a - b)(c - d) + (a - d)(b - c) = (a - c)(b - d) .$$ 19. En déduire l’*inégalité de Ptolémée* : pour quatre points quelconques $A, B, C, D$, $$AC \cdot BD \;\leq\; AB \cdot CD + AD \cdot BC ,$$ avec égalité si et seulement si $(a-b)(c-d)$ et $(a-d)(b-c)$ sont portés par une même demi-droite issue de $0$. 20. Montrer que, pour $\theta, \varphi \in \R$ , $\abs{\eu^{\iu\theta} - \eu^{\iu\varphi}} = 2\,\abs{\sin\frac{\theta - \varphi}2}$ . 21. ([théorème de van Schooten](#pb-b1-complex-1)) Soit $(a, b, c) = (1, j, j^2)$ — d’après la partie II, cela ne restreint pas la généralité parmi les triangles équilatéraux directs — et soit $p = \eu^{\iu\theta}$ avec $\theta \in \intoo{2\pi/3}{4\pi/3}$, point du cercle circonscrit situé sur l’arc $BC$ ne contenant pas $A$. Démontrer que $$PA = PB + PC .$$ *(Exprimer les trois distances à l’aide de la question 20 et utiliser une formule de transformation de somme en produit.)* 22. Vérifier en $p = -1$ qu’il s’agit exactement du cas d’égalité de l’ [inégalité de Ptolémée](#pb-b1-complex-1) pour l’ordre cyclique $A, B, P, C$ : calculer $(a - b)(p - c)$ et $(a - c)(b - p)$ et vérifier que leur rapport est un réel strictement positif. **Partie V — Synthèse.** 23. Calculer le triangle de Napoléon extérieur du triangle équilatéral $(1, j, j^2)$ lui-même, et décrire géométriquement le résultat. 24. Où exactement le problème a-t-il utilisé : (i) la multiplication comme rotation ; (ii) la structure de groupe des similitudes et l’invariant de forme ; (iii) la factorisation par l’angle moitié de la [Méthode 3.11](#met-b1-complex-trig) ? Une phrase pour chacun. 25. En un court paragraphe, dégager la morale du problème : qu’apporte le dictionnaire entre la géométrie plane et l’algèbre de $\C$ , que coûte-t-il, et laquelle des deux démarches — l’identité $\alpha j + \beta = 0$ ou la figure classique — *explique* -t-elle le mieux le [théorème de Napoléon](#pb-b1-complex-1) , à votre avis ? Citer un endroit où le dictionnaire réapparaîtra sous forme matricielle plus loin dans ce volume. **Solution de Problème 3.1.** **1.** $j = \cos\frac{2\pi}3 + \iu\sin\frac{2\pi}3 = -\frac12 + \iu\frac{\sqrt3}2$ ; $j^2 = \eu^{4\iu\pi/3} = -\frac12 - \iu\frac{\sqrt3}2 = \conj j$ ; $j^3 = 1$ ; $1 + j + j^2 = 0$ (somme des racines cubiques de l’unité, [Proposition 3.18](#prop-b1-complex-sumroots)) ; $j^{-1} = j^2$ (car $j \cdot j^2 = 1$). Sur le cercle unité, $1$, $j$, $j^2$ sont les sommets d’un triangle équilatéral direct. **2.** La rotation de centre $a$ et d’angle $\theta$ fixe $a$ et fait tourner de $\theta$ tout vecteur issu de $a$ : $r(z) - a = \eu^{\iu\theta}(z - a)$, c’est-à-dire $r(z) = a + \eu^{\iu\theta}(z - a)$. En composant $r(z) = a + \eu^{\iu\theta}(z-a)$ et $r'(z) = a' + \eu^{\iu\theta'}(z-a')$ : $$ r' \circ r\,(z) = \eu^{\iu(\theta + \theta')} z + \text{constante}, $$ une [application](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-map) de la forme $Az + B$ avec $A = \eu^{\iu(\theta+\theta')}$ de [module](#def-b1-complex-field) $1$. D’après la [Proposition 3.23](#prop-b1-complex-similitude), c’est une rotation d’angle $\arg A = \theta + \theta'$ si $A \neq 1$, et une translation si $A = 1$, c’est-à-dire si $\theta + \theta' \in 2\pi\Z$. **3.** $(b, c, p)$ est équilatéral si et seulement si $\abs{p - b} = \abs{c - b} = \abs{p - c}$. En posant $q = \frac{p - b}{c - b}$, la première égalité dit $\abs q = 1$ et la seconde $\abs{q - 1} = 1$ ; [ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets), $q = \eu^{\pm\iu\pi/3}$ (les deux points d’intersection des cercles $\abs q = 1$ et $\abs{q - 1} = 1$ sont $\frac12 \pm \iu\frac{\sqrt3}2$). D’où $p = b + \eu^{\pm\iu\pi/3}(c - b)$. Pour $a = 0$, $b = 1$, $c = \iu$ (un triangle direct) : le choix $\eu^{-\iu\pi/3}$ donne $$ p = 1 + \Bigl(\tfrac12 - \iu\tfrac{\sqrt3}2\Bigr)(\iu - 1) = \tfrac{1 + \sqrt3}2\,(1 + \iu) \approx 1{,}37 + 1{,}37\,\iu , $$ qui se situe de l’autre côté de la droite $BC$ ($x + y = 1$) par rapport à $a = 0$ : vers l’extérieur. Le choix $\eu^{+\iu\pi/3}$ donne $p \approx -0{,}37 - 0{,}37\,\iu$, du même côté que $a$ : vers l’intérieur. **4.** Multiplions $P = a + jb + j^2c$ par $j^2$ : $j^2 P = j^2 a + j^3 b + j^4 c = b + jc + j^2 a$ (en utilisant $j^3 = 1$, $j^4 = j$) ; et par $j$ : $jP = ja + j^2 b + c$. Ce sont les deux identités. Si $P = 0$, alors $j^2 P = jP = 0$ : le critère vaut aussi pour $(b, c, a)$ et $(c, a, b)$ — invariance cyclique (comme il se doit : un triangle équilatéral se moque de savoir quel sommet est cité en premier). **5.** Si $a = b$ : $0 = a(1 + j) + j^2 c = -j^2 a + j^2 c$ (en utilisant $1 + j = -j^2$), donc $c = a$. Si $b = c$ : $0 = a + b(j + j^2) = a - b$, donc $a = b$. Si $a = c$ : $0 = a(1 + j^2) + jb = -ja + jb$, donc $a = b$. Dans chaque cas, les trois points coïncident. **6.** $(a'z + b') \circ (az + b) = a'a\,z + (a'b + b')$ avec $a'a \neq 0$ : même forme. La réciproque de $z \mapsto az + b$ est $z \mapsto \frac1a z - \frac ba$, encore de la même forme. Avec l’[application](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-map) identité comme élément neutre, les similitudes directes forment un groupe pour la composition. **7.** $f(z) = az + b$ vérifie $f(z_1) = w_1$, $f(z_2) = w_2$ si et seulement si $a z_1 + b = w_1$ et $a z_2 + b = w_2$ ; par soustraction, $a(z_2 - z_1) = w_2 - w_1$, donc $$ a = \frac{w_2 - w_1}{z_2 - z_1} \;(\neq 0), \qquad b = w_1 - a z_1 $$ sont imposés, et réciproquement ce choix convient : existence et unicité. **8.** $\abs{f(z) - f(w)} = \abs{a(z - w)} = \abs a\,\abs{z - w}$ : toutes les distances sont multipliées par $\abs a$. Pour la forme : $$ \frac{f(c') - f(a')}{f(b') - f(a')} = \frac{a(c' - a')}{a(b' - a')} = \frac{c' - a'}{b' - a'} . $$ Si deux triangles $(a', b', c')$ et $(a'', b'', c'')$ ont la même forme, soit $f$ l’unique similitude directe telle que $f(a') = a''$ et $f(b') = b''$ (question 7) ; alors la forme de $(a'', b'', f(c'))$ est égale à celle de $(a', b', c')$, donc à celle de $(a'', b'', c'')$, et la forme détermine le troisième sommet à partir des deux premiers : $f(c') = c''$. Réciproquement, l’égalité des formes résulte de l’invariance affichée ci-dessus. **9.** $b = f(0) = 1$ ; $a + b = f(1) = \iu$ donne $a = \iu - 1$. Rapport $\abs a = \sqrt2$, angle $\arg(\iu - 1) = \frac{3\pi}4$. Point fixe : $$ \zeta = \frac{b}{1 - a} = \frac1{2 - \iu} = \frac{2 + \iu}5 . $$ Ainsi $f$ est la similitude directe de centre $\frac{2+\iu}5$, de rapport $\sqrt2$ et d’angle $\frac{3\pi}4$. **10.** Avec $\alpha + \beta = 1$ et $f(z) = az + b$ : $$ f(\alpha a' + \beta b') = a\alpha a' + a\beta b' + b = \alpha(a a' + b) + \beta(a b' + b) = \alpha f(a') + \beta f(b') , $$ la clé étant $b = (\alpha + \beta)b$. Les milieux ($\alpha = \beta = \frac12$), les isobarycentres (en itérant) et les centres de Napoléon $\alpha b + \beta c$ ci-dessous sont donc *équivariants* : transformer le triangle les transforme en conséquence. Démontrer un énoncé invariant par similitude pour un seul triangle bien placé le démontre donc pour tous — c’est la licence utilisée à la question 21. **11.** Le sommet extérieur sur $[b, c]$ est $p_a = b + \eu^{-\iu\pi/3}(c - b)$ (question 3), donc le centre vaut $$ n_a = \frac{b + c + p_a}3 = \frac{2b + c + \frac{1 - \iu\sqrt3}2\,(c - b)}3 = \frac{(3 + \iu\sqrt3)\,b + (3 - \iu\sqrt3)\,c}6 = \alpha b + \beta c , $$ avec $\alpha = \frac{3 + \iu\sqrt3}6$ et $\beta = \frac{3 - \iu\sqrt3}6 = \conj\alpha$. Le même calcul sur les côtés $[c, a]$ et $[a, b]$ donne $n_b = \alpha c + \beta a$ et $n_c = \alpha a + \beta b$ (décalage cyclique des rôles). **12.** $\alpha + \beta = \frac{3 + \iu\sqrt3 + 3 - \iu\sqrt3}6 = 1$. D’où $$ \frac{n_a + n_b + n_c}3 = \frac{(\alpha + \beta)(a + b + c)}3 = \frac{a + b + c}3 : $$ les deux triangles ont le même isobarycentre. **13.** On regroupe selon $\alpha$ et $\beta$ et on applique les identités de la question 4 à $P = a + jb + j^2c$ : $$ n_a + j n_b + j^2 n_c = \alpha\,(b + jc + j^2 a) + \beta\,(c + ja + j^2 b) = \alpha\,j^2 P + \beta\,j P = (\alpha j^2 + \beta j)\,P . $$ **14.** Avec $j = \frac{-1 + \iu\sqrt3}2$ : $$ \alpha j = \frac{(3 + \iu\sqrt3)(-1 + \iu\sqrt3)}{12} = \frac{-3 + 3\iu\sqrt3 - \iu\sqrt3 - 3}{12} = \frac{-3 + \iu\sqrt3}6 = -\beta , $$ donc $\alpha j + \beta = 0$, d’où $\alpha j^2 + \beta j = j(\alpha j + \beta) = 0$, et la question 13 donne $n_a + jn_b + j^2n_c = 0$ pour tout triangle $(a, b, c)$. D’après le critère (questions 4 et 5), les centres forment un triangle équilatéral direct ou un point unique : c’est le [théorème de Napoléon](#pb-b1-complex-1). **15.** Le sommet intérieur est $b + \eu^{+\iu\pi/3}(c - b)$, et le calcul de la question 11, avec $\eu^{+\iu\pi/3} = \frac{1 + \iu\sqrt3}2$, échange $\alpha$ et $\beta$ : $m_a = \beta b + \alpha c$, $m_b = \beta c + \alpha a$, $m_c = \beta a + \alpha b$. En utilisant les identités analogues $b + j^2c + ja = j\,Q$ et $c + j^2a + jb = j^2 Q$ pour $Q = a + j^2b + jc$ : $$ m_a + j^2 m_b + j m_c = \beta(b + j^2 c + ja) + \alpha(c + j^2 a + jb) = (\beta j + \alpha j^2)\, Q = j(\beta + \alpha j)\,Q = 0 , $$ puisque $\alpha j = -\beta$ (question 14). Les centres intérieurs vérifient donc le critère équilatéral *indirect* : équilatéral avec l’orientation opposée (ou réduit à un point). **16.** D’après la question 5 appliquée au triplet $(n_a, n_b, n_c)$ (qui vérifie le critère direct), deux centres coïncident si et seulement si les trois coïncident ; et les trois coïncident si et seulement si les *deux* critères sont vérifiés, c’est-à-dire si et seulement si on a de plus $n_a + j^2 n_b + j n_c = 0$. Le calcul se mène comme à la question 13, avec les identités $b + j^2c + ja = jQ$, $c + j^2a + jb = j^2Q$ : $$ n_a + j^2 n_b + j n_c = \alpha\,jQ + \beta\,j^2 Q = j(\alpha + \beta j)\,Q . $$ Directement : $\beta j = \frac{(3 - \iu\sqrt3)(-1 + \iu\sqrt3)}{12} = \frac{-3 + 3\iu\sqrt3 + \iu\sqrt3 + 3}{12} = \frac{\iu\sqrt3}3$, donc $\alpha + \beta j = \frac{3 + \iu\sqrt3 + 2\iu\sqrt3}6 = \frac{1 + \iu\sqrt3}2 \neq 0$. Le triangle de Napoléon extérieur dégénère donc si et seulement si $Q = a + j^2b + jc = 0$, c’est-à-dire si et seulement si $(a, b, c)$ est un triangle équilatéral indirect — dans ce cas, les constructions « vers l’extérieur » pointent toutes vers l’intérieur de la région circonscrite au triangle et partagent un même centre. **17.** Avec $a = 0$, $b = 1$, $c = \iu$ : $$ n_a = \alpha + \beta\iu = \frac{(3 + \sqrt3)(1 + \iu)}6, \qquad n_b = \alpha\iu = \frac{-\sqrt3 + 3\iu}6, \qquad n_c = \beta = \frac{3 - \iu\sqrt3}6 . $$ Carrés des côtés : $n_a - n_b = \frac{(3 + 2\sqrt3) + \iu\sqrt3}6$ donne $\abs{n_a - n_b}^2 = \frac{(3 + 2\sqrt3)^2 + 3}{36} = \frac{24 + 12\sqrt3}{36} = \frac{2 + \sqrt3}3$ ; $n_b - n_c = \frac{(3 + \sqrt3)(-1 + \iu)}6$ donne $\abs{n_b - n_c}^2 = \frac{2(3 + \sqrt3)^2}{36} = \frac{24 + 12\sqrt3}{36}$ ; $n_c - n_a = \frac{-\sqrt3 - \iu(3 + 2\sqrt3)}6$ redonne la même valeur. Les trois carrés des côtés valent $\frac{2 + \sqrt3}3$ : le triangle est équilatéral, comme promis. **18.** Développons : $$ (a - b)(c - d) + (a - d)(b - c) = (ac - ad - bc + bd) + (ab - ac - bd + cd) = ab - ad - bc + cd , $$ et $(a - c)(b - d) = ab - ad - bc + cd$ : égalité. **19.** On prend les [modules](#def-b1-complex-field) dans la question 18 et on applique l’[inégalité triangulaire](#prop-b1-complex-rules) ([Proposition 3.2](#prop-b1-complex-rules) (4)) : $$ AC \cdot BD = \abs{(a-b)(c-d) + (a-d)(b-c)} \leq \abs{a-b}\,\abs{c-d} + \abs{a-d}\,\abs{b-c} = AB \cdot CD + AD \cdot BC , $$ avec égalité si et seulement si les deux termes de la somme sont portés par une même demi-droite issue de $0$ (le cas d’égalité de l’[inégalité triangulaire](#prop-b1-complex-rules)). **20.** Factorisation par l’angle moitié ([Méthode 3.11](#met-b1-complex-trig) (4)) : $\eu^{\iu\theta} - \eu^{\iu\varphi} = 2\iu\,\sin\frac{\theta - \varphi}2\;\eu^{\iu(\theta + \varphi)/2}$, et le passage aux [modules](#def-b1-complex-field) tue les facteurs de [module](#def-b1-complex-field) $1$ : $\abs{\eu^{\iu\theta} - \eu^{\iu\varphi}} = 2\,\abs{\sin\frac{\theta - \varphi}2}$. **21.** Avec $p = \eu^{\iu\theta}$, $\theta \in \intoo{2\pi/3}{4\pi/3}$, la question 20 donne $$ PA = 2\,\abs{\sin\tfrac\theta2}, \quad PB = 2\,\abs{\sin\bigl(\tfrac\theta2 - \tfrac\pi3\bigr)}, \quad PC = 2\,\abs{\sin\bigl(\tfrac\theta2 - \tfrac{2\pi}3\bigr)} . $$ Sur l’arc, $\frac\theta2 \in \intoo{\pi/3}{2\pi/3}$ : alors $\sin\frac\theta2 > 0$ ; $\frac\theta2 - \frac\pi3 \in \intoo0{\pi/3}$, donc le deuxième sinus est positif ; $\frac\theta2 - \frac{2\pi}3 \in \intoo{-\pi/3}0$, donc le troisième est négatif et $PC = 2\sin\bigl(\frac{2\pi}3 - \frac\theta2\bigr)$. Transformation de somme en produit : $$ \sin\Bigl(\frac\theta2 - \frac\pi3\Bigr) + \sin\Bigl(\frac{2\pi}3 - \frac\theta2\Bigr) = 2\,\sin\frac\pi6\,\cos\Bigl(\frac\theta2 - \frac\pi2\Bigr) = \sin\frac\theta2 , $$ donc $PB + PC = 2\sin\frac\theta2 = PA$ : c’est le [théorème de van Schooten](#pb-b1-complex-1). **22.** En $p = -1$ : $PA = 2$, $PB = PC = 1$ et tous les côtés du triangle équilatéral ont pour longueur $\sqrt3$, si bien que les deux membres de Ptolémée valent $2\sqrt3$. Algébriquement, en utilisant $-1 - j^2 = j$ et $1 + j = -j^2$ : $$ (a - b)(p - c) = (1 - j)\,(-1 - j^2) = (1 - j)j = j - j^2 = \iu\sqrt3 , $$ $$ (a - c)(b - p) = (1 - j^2)(j + 1) = 1 + j - j^2 - j^3 = j - j^2 = \iu\sqrt3 . $$ Les deux termes sont égaux, donc leur rapport vaut $1 \in \R_{>0}$ : c’est le cas d’égalité de la question 19, qui traduit exactement $PA \cdot BC = PB \cdot AC + PC \cdot AB$. **23.** Pour $(a, b, c) = (1, j, j^2)$ : $n_a = \alpha j + \beta j^2 = -\beta + \beta j^2$ (question 14) $= \beta(j^2 - 1)$ ; numériquement, $\beta(j^2 - 1) = \frac{(3 - \iu\sqrt3)}6 \cdot \bigl(-\frac32 - \iu\frac{\sqrt3}2\bigr) = -1$. De même $n_b = \alpha j^2 + \beta = -j$ et $n_c = \alpha + \beta j = -j^2$. Le triangle de Napoléon extérieur de $(1, j, j^2)$ est $(-1, -j, -j^2)$ : le triangle initial, transformé par la symétrie de centre son isobarycentre $0$ — même taille, tourné d’un demi-tour. Un triangle équilatéral est une forme fixe de la construction de Napoléon, non une limite qui rétrécit. **24.** (i) La multiplication par un nombre de [module](#def-b1-complex-field) $1$ vue comme rotation a construit les sommets et les centres (questions 2, 3 et 11) et a converti les distances sur le cercle en sinus (question 20). (ii) La structure de groupe et l’invariant de forme ont justifié la normalisation du cercle circonscrit en le cercle unité et du triangle en $(1, j, j^2)$ à la question 21, via l’équivariance de la question 10. (iii) La factorisation par l’angle moitié a alimenté à la fois la question 20 et l’étape de transformation de somme en produit qui achève van Schooten. **25.** Le dictionnaire convertit des énoncés géométriques en identités polynomiales où chaque hypothèse est une équation : ce qu’il apporte, c’est la mécanisation — le [théorème de Napoléon](#pb-b1-complex-1) réduit à $\alpha j + \beta = 0$, une ligne d’arithmétique dans $\Q(\iu\sqrt3)$ ; ce qu’il coûte, c’est la visibilité géométrique — le calcul certifie, mais ne montre pas *pourquoi* les centres se referment en un triangle équilatéral. Une réponse honnête est que l’identité explique l’*inéluctabilité* du théorème (elle est vraie identiquement en $a, b, c$, aucune astuce de configuration n’intervient), tandis que la figure en explique le *contenu*. Le même dictionnaire revient sous forme matricielle lorsque les rotations deviennent les matrices orthogonales $2 \times 2$ du [Chapitre 21](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/21-matrices#ch-b1-matrices) et du [Chapitre 23](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/23-espaces-euclidiens#ch-b1-euclid), où « la multiplication par $\eu^{\iu\theta}$ » est le prototype de l’isométrie linéaire.