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title: "Fonctions usuelles"
book: "Mathématiques universitaires — Licence 1"
subject: math
language: fr
chapter: 4
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/4-fonctions-usuelles
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# Chapitre 4 — Fonctions usuelles

L’analyse ne vaut que par le stock de fonctions que l’on maîtrise. À la collection héritée du secondaire — puissances, exponentielle, logarithme, fonctions trigonométriques — ce chapitre ajoute leurs fonctions réciproques ($\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$) et la famille hyperbolique. Les dérivées sont utilisées librement dès le secondaire ; la théorie qui sous-tend les fonctions réciproques est complétée aux Chapitres [13](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#ch-b1-continuity) et [14](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/14-derivation#ch-b1-derivative).

## 4.1 Exponentielle, logarithme, puissances

**Proposition 4.1 (Rappels et caractérisation).**

$\exp \colon \R \to \intoo{0}{+\infty}$ et $\ln \colon
\intoo{0}{+\infty} \to \R$ sont des [bijections](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) réciproques l’une de l’autre, strictement croissantes, et

$$
\exp(x + y) = \exp x \exp y, \qquad \ln(xy) = \ln x + \ln y,
\qquad \exp' = \exp, \qquad \ln'(x) = \frac 1x .
$$

De plus, $\exp$ est la *seule* fonction dérivable $f \colon
\R \to \R$ telle que $f' = f$ et $f(0) = 1$.

**Démonstration.** Les rappels relèvent du secondaire. Pour l’unicité, soit $f$ telle que $f' = f$ et $f(0) = 1$, et posons $g(x) = f(x)\,\eu^{-x}$. Alors $g' = f'\eu^{-x} - f\eu^{-x} = 0$, donc $g$ est constante, égale à $g(0) = 1$ : $f = \exp$. ∎

**Définition 4.2 (Puissances générales).**

Pour $x > 0$ et $\alpha \in \R$ : $\;x^\alpha = \eu^{\alpha \ln x}$. Pour $a > 0$, $a \neq 1$, le *logarithme de base $a$* est $\log_a x =
\frac{\ln x}{\ln a}$, réciproque de $x \mapsto a^x$.

**Exemple 4.3 (Résoudre des équations exponentielles).**

Résolvons $2^x = 5^{\,x-1}$ dans $\R$. Les deux membres sont positifs : on peut donc prendre les logarithmes — étape réversible :

$$
x\ln2 = (x - 1)\ln5
\iff x(\ln2 - \ln5) = -\ln5
\iff x = \frac{\ln5}{\ln5 - \ln2} = \frac{\ln 5}{\ln\frac52}
\approx 1.756 .
$$

Résolvons ensuite $x^{\sqrt2} = 3$ pour $x > 0$ : élevons à la puissance $\frac1{\sqrt2}$ (c’est-à-dire appliquons la [bijection](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) réciproque) : $x = 3^{1/\sqrt2} = \eu^{(\ln 3)/\sqrt2} \approx 2.175$. L’idée à retenir : toute équation mêlant des puissances se dénoue par $\ln$ et $\exp$, car la définition $x^\alpha = \eu^{\alpha\ln x}$ ramène toute manipulation de puissances à l’arithmétique des exposants — mais seulement sur le domaine $x > 0$ où cette définition a un sens.

**Exemple 4.4 (Temps de doublement).**

Une quantité croît de $3\,\%$ à chaque étape : après $n$ étapes, elle a été multipliée par $(1.03)^n$. Quand double-t-elle ? Résolvons $(1.03)^n \geq 2$ :

$$
n\ln(1.03) \geq \ln2
\iff n \geq \frac{\ln 2}{\ln 1.03}
= \frac{0.6931}{0.02956} \approx 23.4 ,
$$

donc le premier doublement a lieu à l’étape $24$. (La « règle de $72$ » des financiers, qui estime le temps de doublement par $72$ divisé par le taux en pourcentage, n’est rien d’autre que ce calcul avec l’approximation $\ln(1 + x) \approx x$, quantifiée au [Chapitre 16](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/16-formules-de-taylor-et-developpements-limites#ch-b1-taylor).) On raisonne toujours mieux sur les processus exponentiels à travers leurs logarithmes : à cette échelle, la croissance est linéaire et les questions deviennent des divisions.

**Exemple 4.5 (Quelle est la longueur de 220262^{2026}22026 ?).**

Le nombre de chiffres décimaux d’un entier $N \geq 1$ est $\floor{\log_{10} N} + 1$ (en effet, $N$ a $d$ chiffres exactement quand $10^{d-1} \leq N < 10^d$, c’est-à-dire $d - 1 \leq \log_{10}N <
d$). Pour $N = 2^{2026}$ :

$$
\log_{10} 2^{2026} = 2026\,\log_{10}2
= 2026 \times 0.301030 = 609.887 ,
$$

donc $2^{2026}$ a $610$ chiffres. La partie fractionnaire offre une prime : $10^{0.887} \approx 7.7$, donc le nombre *commence* par $7$. Une seule multiplication a répondu à une question portant sur un nombre que personne n’écrira jamais — les logarithmes compriment la taille multiplicative en taille additive, ce qui est tout leur intérêt historique (l’[Exemple 7.12](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/7-structures-algebriques#ex-b1-structures-expmorphism) rend cette phrase précise).

**Proposition 4.6 (Règles de calcul et croissances comparées).**

Pour $x, y > 0$ et $\alpha, \beta \in \R$ :

$$
x^{\alpha+\beta} = x^\alpha x^\beta, \quad
(x^\alpha)^\beta = x^{\alpha\beta}, \quad
(xy)^\alpha = x^\alpha y^\alpha, \quad
(x^\alpha)' = \alpha\, x^{\alpha - 1}.
$$

Échelle de croissance quand $x \to
+\infty$, pour tous $\alpha > 0$ et $\beta > 0$ :

$$
\frac{(\ln x)^\beta}{x^\alpha} \longrightarrow 0,
\qquad
\frac{x^\alpha}{\eu^{\beta x}} \longrightarrow 0 .
$$

**Démonstration.** Les identités transcrivent celles de $\exp$ et de $\ln$ à travers la définition. En détail pour la deuxième (la moins évidente) : $x^\alpha
> 0$ et $\ln(x^\alpha) = \alpha\ln x$ (appliquer $\ln$ à la définition), donc

$$
(x^\alpha)^\beta = \eu^{\beta\ln(x^\alpha)}
= \eu^{\beta\alpha\ln x} = x^{\alpha\beta} ;
$$

la première et la troisième sont les mêmes déroulements en deux lignes, via $\exp(u + v) = \exp u\exp v$ et $\ln(xy) = \ln x + \ln y$. La dérivée est la règle de dérivation des fonctions composées : $(\eu^{\alpha\ln x})' = \frac{\alpha}{x} \eu^{\alpha\ln x}$.

Comparaisons : partant de $\frac{\ln t}{t} \to 0$ (démontré dans le volume du secondaire), substituons $t = x^{\alpha/\beta}$ : $\frac{\ln x}{x^{\alpha/\beta}} \to 0$, puis élevons à la puissance $\beta$. Pour la seconde, substituons $x = \ln u$ dans la première. ∎

**Exemple 4.7 (Deux limites que tout lecteur doit posséder).**

Que valent $\lim_{x \to 0^+} x^x$ et $\lim_{x \to +\infty}
x^{1/x}$ ? Les deux puissances sont définies via l’exponentielle : réglons donc d’abord le sort de l’exposant :

$$
x^x = \eu^{x\ln x}, \qquad
x\ln x = -\frac{\ln(1/x)}{1/x} \longrightarrow 0
\quad (x \to 0^+),
\qquad\text{donc } x^x \longrightarrow \eu^0 = 1 ;
$$

et $x^{1/x} = \eu^{(\ln x)/x} \to \eu^0 = 1$ quand $x \to +\infty$, directement par les [croissances comparées](#prop-b1-functions-powerrules). L’idée à retenir : une puissance indéterminée (de forme $0^0$ ou $\infty^0$) se traite *toujours* en réécrivant $u^v = \eu^{v\ln u}$ et en analysant le produit $v \ln u$ — jamais en devinant à partir de la base et de l’exposant pris séparément. La fonction $x \mapsto \frac{\ln x}{x}$ qui a décidé des deux limites est étudiée exhaustivement dans le devoir maison de ce chapitre.

![L’échelle de croissance de la : près du bord droit, x a tout juste dépassé 1.6 tandis que x a quitté le cadre. Tout rapport (logarithme sur puissance, puissance sur exponentielle) tend vers 0 — l’image ne fait que suggérer ce que les substitutions de la démonstration rendent exact.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-functions/fig-e212b0476b06.svg)

*L’échelle de croissance de la [Proposition 4.6](#prop-b1-functions-powerrules) : près du bord droit, $\ln x$ a tout juste dépassé $1.6$ tandis que $\eu^x$ a quitté le cadre. Tout rapport (logarithme sur puissance, puissance sur exponentielle) tend vers $0$ — l’image ne fait que suggérer ce que les substitutions de la démonstration rendent exact.*

**Remarque 4.8 (Pièges classiques avec les puissances et les logarithmes).**

1. *Les domaines.* Pour $\alpha$ irrationnel, la puissance $x^\alpha$ exige $x > 0$ ; mieux vaut éviter $(-8)^{1/3}$ au profit de « la racine cubique réelle de $-8$ », car la règle $(x^\alpha)^\beta = x^{\alpha\beta}$ tombe silencieusement en défaut sur les négatifs : $\bigl((-8)^2\bigr)^{1/6} = 2 \neq -2$ .
2. *$\sqrt{x^2} = \abs x$* , et non $x$ : oublier la valeur absolue est la source classique de solutions négatives perdues.
3. *$\ln(xy) = \ln x + \ln y$ exige $x, y > 0$.* Pour des arguments négatifs, $\ln(xy)$ peut être défini alors que le membre de droite ne l’est pas.
4. *Quelle fonction croît ?* Dans $x^\alpha$ , c’est la *base* qui varie ; dans $a^x$ , c’est l’ *exposant* . Leurs croissances sont radicalement différentes ( [Proposition 4.6](#prop-b1-functions-powerrules) ), et les expressions hybrides comme $x^{\ln x}$ ou $x^{1/x}$ doivent être réécrites sous la forme $\eu^{(\cdot)}$ avant tout raisonnement — comme dans l’ [Exemple 4.7](#ex-b1-functions-xx) .

## 4.2 Fonctions trigonométriques réciproques

**Définition 4.9 (arcsin⁡\arcsinarcsin, arccos⁡\arccosarccos, arctan⁡\arctanarctan).**

Les restrictions

$$
\sin \colon \intcc{-\tfrac\pi2}{\tfrac\pi2} \to \intcc{-1}{1},
\qquad
\cos \colon \intcc{0}{\pi} \to \intcc{-1}{1},
\qquad
\tan \colon \intoo{-\tfrac\pi2}{\tfrac\pi2} \to \R
$$

sont des [bijections](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) strictement monotones. Leurs réciproques se notent $\arcsin$, $\arccos$ et $\arctan$. Ainsi, par exemple, $y = \arcsin x$ ($x \in \intcc{-1}{1}$) est *l’*unique angle de $\intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ dont le sinus vaut $x$.

![De gauche à droite : , , . Chacune hérite de son graphe de la fonction directe restreinte, par symétrie par rapport à la droite y = x.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-functions/fig-2fc622239438.svg)

*De gauche à droite : $\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$. Chacune hérite de son graphe de la fonction directe restreinte, par symétrie par rapport à la droite $y = x$.*

**Proposition 4.10 (Dérivées).**

À l’intérieur de leur [ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) de définition :

$$
\arcsin' x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}},
\qquad
\arccos' x = \frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}},
\qquad
\arctan' x = \frac{1}{1 + x^2}.
$$

**Démonstration.** Anticipons la règle de dérivation de la réciproque, démontrée au [Chapitre 14](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/14-derivation#ch-b1-derivative) : si $f$ est une [bijection](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) dérivable avec $f' \neq 0$, alors $(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$. Pour $\arcsin$ : avec $y = \arcsin x$,

$$
\arcsin' x = \frac{1}{\cos y}
= \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 y}} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}},
$$

où $\cos y = +\sqrt{1 - \sin^2 y}$ car $y \in
\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ impose $\cos y > 0$. De même, $\arccos' x = \frac{1}{-\sin y}$ avec $\sin y > 0$ sur $\intoo{0}{\pi}$, et $\arctan' x = \frac{1}{1 + \tan^2 y} =
\frac{1}{1 + x^2}$ en utilisant $\tan' = 1 + \tan^2$. ∎

**Exemple 4.11 (Reconnaître une constante cachée).**

Étudions $g(x) = \arctan\dfrac{1 - x}{1 + x}$ sur $\intoo{-1}
{+\infty}$. Dérivation des fonctions composées et court calcul :

$$
g'(x) = \frac{1}{1 + \bigl(\frac{1-x}{1+x}\bigr)^2}\cdot
\frac{-(1+x) - (1-x)}{(1+x)^2}
= \frac{-2}{(1+x)^2 + (1-x)^2}
= \frac{-1}{1 + x^2} ,
$$

puisque $(1+x)^2 + (1-x)^2 = 2 + 2x^2$. Donc $g' = -\arctan'$ : la fonction $g + \arctan$ a une dérivée nulle sur l’*intervalle* $\intoo{-1}{+\infty}$, elle y est donc constante ; sa valeur en $x =
0$ vaut $\arctan 1 + \arctan 0 = \frac\pi4$. Conclusion :

$$
\arctan\frac{1 - x}{1 + x} = \frac\pi4 - \arctan x
\qquad (x > -1) .
$$

Sur $\intoo{-\infty}{-1}$, le même calcul de dérivée vaut, mais la constante est différente ($-\frac{3\pi}4$ : évaluer la limite quand $x \to -\infty$). L’idée à retenir : « dérivée nulle implique constante » est un énoncé intervalle par intervalle — exactement la subtilité exploitée dans l’[Exercice 4.6](#exo-b1-functions-6) et l’[Exercice 4.10](#exo-b1-functions-10).

**Proposition 4.12 (Identités usuelles).**

1. Pour $x \in \intcc{-1}{1}$ : $\arcsin x + \arccos x =  \dfrac{\pi}{2}$ .
2. Pour $x > 0$ : $\arctan x + \arctan\dfrac 1x = \dfrac{\pi}{2}$ (et $-\frac\pi2$ pour $x < 0$ ).
3. $\sin(\arccos x) = \cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2}$ ; $\;\tan(\arcsin x) = \dfrac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$ pour $\abs x < 1$ .

**Démonstration.** (1) La dérivée de $x \mapsto \arcsin x + \arccos x$ est nulle sur $\intoo{-1}{1}$ ([Proposition 4.10](#prop-b1-functions-arcderiv)), donc la fonction y est constante, égale à sa valeur $\frac\pi2$ en $0$ ; les valeurs aux extrémités $\pm 1$ se vérifient directement ($\frac\pi2 + 0$ et $-\frac\pi2 + \pi$).

(2) Même méthode sur $\intoo{0}{+\infty}$ : la dérivée vaut $\frac{1}{1+x^2} + \frac{-1/x^2}{1 + 1/x^2} = \frac{1}{1+x^2} -
\frac{1}{x^2 + 1} = 0$, et en $x = 1$ la somme vaut $2\arctan 1 =
\frac\pi2$. Pour $x < 0$, utiliser l’imparité de $\arctan$.

(3) Avec $y = \arccos x \in \intcc{0}{\pi}$ : $\sin y \geq 0$, donc $\sin y = \sqrt{1 - \cos^2 y} = \sqrt{1 - x^2}$ ; de même pour $\cos(\arcsin x)$, et la formule de la tangente est le quotient. ∎

**Remarque 4.13.**

$\arcsin(\sin\theta) = \theta$ n’est vrai *que* pour $\theta \in
\intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ : par exemple $\arcsin(\sin\pi) = 0 \neq \pi$. La composition dans l’autre sens, $\sin(\arcsin x) = x$, est valable sur tout $\intcc{-1}{1}$.

**Exemple 4.14 (Ramener un angle à l’intervalle principal).**

Calculons

$$
\arctan\Bigl(\tan\frac{3\pi}4\Bigr)
\qquad\text{et}\qquad
\arctan\Bigl(\tan\frac{17\pi}5\Bigr).
$$

La recette : remplacer l’angle par l’unique angle de $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ ayant la même tangente, c’est-à-dire lui retrancher le bon multiple de $\pi$ (la période de $\tan$). D’abord : $\frac{3\pi}4 - \pi = -\frac\pi4$, donc la réponse est $-\frac\pi4$. Ensuite : $\frac{17\pi} 5 - 3\pi = \frac{2\pi}5 \in
\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$, donc la réponse est $\frac{2\pi}5$. Le calcul est une division euclidienne de l’angle par $\pi$ déguisée — et les recettes analogues pour $\arcsin$ (se ramener à $\intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$, période $2\pi$) et $\arccos$ (se ramener à $\intcc0\pi$) gouvernent l’[Exercice 4.1](#exo-b1-functions-1) et la réponse par morceaux de l’[Exercice 4.10](#exo-b1-functions-10).

**Exemple 4.15 (Additionner des arctangentes sans se tromper).**

Démontrons que

$$
\arctan\frac12 + \arctan\frac15 + \arctan\frac18 = \frac\pi4 .
$$

Deux ingrédients : la formule d’addition de la tangente et — l’étape que les débutants oublient — une *localisation* de la somme. D’abord, $\tan(u + v) = \frac{\tan u + \tan v}{1 - \tan u\tan v}$ avec $u = \arctan\frac12$, $v = \arctan\frac15$ donne

$$
\tan(u + v) = \frac{\frac12 + \frac15}{1 - \frac1{10}}
= \frac{7/10}{9/10} = \frac79,
\qquad\text{puis}\qquad
\tan\Bigl(u + v + \arctan\frac18\Bigr)
= \frac{\frac79 + \frac18}{1 - \frac7{72}}
= \frac{65/72}{65/72} = 1 .
$$

Ensuite, chacun des trois angles appartient à $\intoo0{\frac\pi4}$ (leurs arguments sont plus petits que $1$), donc la somme appartient à $\intoo0{\frac{3\pi}4}$ ; le seul angle de cet intervalle dont la tangente vaut $1$ est $\frac\pi4$. Sans la localisation, la conclusion serait « $\frac\pi4$ modulo un multiple de $\pi$ » — une demi-démonstration. La même discipline en deux temps gouverne l’[Exercice 4.8](#exo-b1-functions-8) et l’[Exercice 4.12](#exo-b1-functions-12).

**Exemple 4.16 (Une équation en arctangente).**

Résolvons $\arctan x + \arctan 2x = \dfrac\pi4$. Localisons d’abord : le membre de gauche a le signe de $x$ (les deux termes l’ont), donc toute solution vérifie $x > 0$, et la somme appartient alors à $\intoo0\pi$. Prenons les tangentes (la tangente n’est [injective](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) sur aucun intervalle de longueur $\pi$, mais combinée à la localisation cela suffira) : la formule d’addition donne

$$
\tan\bigl(\arctan x + \arctan 2x\bigr)
= \frac{3x}{1 - 2x^2} = 1
\iff 2x^2 + 3x - 1 = 0
\iff x = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}4 .
$$

La racine négative est écartée par la localisation ; pour le candidat positif $x_0 = \frac{\sqrt{17} - 3}4 \approx 0.28$, la somme appartient à $\intoo0\pi$ et a pour tangente $1$, et le seul angle de ce type est $\frac\pi4$ (sur $\intoo{\frac\pi2}\pi$ la tangente est négative) : $x_0$ est l’unique solution. Notons la forme de l’argument : prendre les tangentes peut créer des solutions, jamais en perdre ; on résout donc l’équation polynomiale, *puis* on filtre par la localisation — la même discipline de vérification a posteriori que lorsqu’on élève une équation au carré.

## 4.3 Fonctions hyperboliques

**Définition 4.17 (cosh⁡\coshcosh, sinh⁡\sinhsinh, tanh⁡\tanhtanh).**

Pour $x \in \R$ :

$$
\cosh x = \frac{\eu^x + \eu^{-x}}{2},
\qquad
\sinh x = \frac{\eu^x - \eu^{-x}}{2},
\qquad
\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}
$$

(*cosinus, sinus, tangente hyperboliques*). $\cosh$ est paire, $\sinh$ et $\tanh$ sont impaires.

**Proposition 4.18 (Propriétés fondamentales).**

Pour tous $x, y \in \R$ :

1. $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ ;
2. $\cosh' = \sinh$ , $\;\sinh' = \cosh$ , $\;\tanh' = 1 - \tanh^2  = \dfrac{1}{\cosh^2}$ ;
3. $\cosh(x+y) = \cosh x\cosh y + \sinh x \sinh y$ et $\sinh(x+y) = \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y$ ;
4. $\sinh$ est une [bijection](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) strictement croissante de $\R$ sur $\R$ ; $\cosh$ restreinte à $\R_+$ est une [bijection](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) strictement croissante sur $\intco{1}{+\infty}$ ; $\tanh$ est une [bijection](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) strictement croissante de $\R$ sur $\intoo{-1}{1}$ .

**Démonstration.** (1) $\bigl(\frac{\eu^x + \eu^{-x}}{2}\bigr)^2 - \bigl(\frac{\eu^x -
\eu^{-x}}{2}\bigr)^2 = \frac{(\eu^{2x} + 2 + \eu^{-2x}) - (\eu^{2x} -
2 + \eu^{-2x})}{4} = 1$.

(2) Dériver les formules de définition ; pour $\tanh$, la règle de dérivation d’un quotient donne $\frac{\cosh^2 - \sinh^2}{\cosh^2}$, qui vaut à la fois $1 - \tanh^2$ et $\frac{1}{\cosh^2}$ d’après (1).

(3) Développer les membres de droite à l’aide des définitions. En détail pour la première formule :

$$
\cosh x\cosh y + \sinh x\sinh y
= \frac{(\eu^x + \eu^{-x})(\eu^y + \eu^{-y})
+ (\eu^x - \eu^{-x})(\eu^y - \eu^{-y})}{4} ;
$$

des huit produits, les quatre termes « croisés » ($\eu^{x-y}$, $\eu^{y-x}$) s’annulent deux à deux, tandis que $\eu^{x+y}$ et $\eu^{-(x+y)}$ apparaissent chacun deux fois : le total vaut $\frac{2\eu^{x+y} + 2\eu^{-(x+y)}}{4} = \cosh(x+y)$. La formule du sinus est identique, ce sont cette fois les termes croisés qui survivent.

(4) $\sinh' = \cosh \geq 1 > 0$, donc $\sinh$ est strictement croissante, de limites $\pm\infty$ (terme dominant $\pm\frac{\eu^{\abs
x}}{2}$) ; le caractère [bijectif](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) résulte alors du théorème des valeurs intermédiaires (utilisé dès le secondaire ; traitement systématique au [Chapitre 13](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#ch-b1-continuity)). Sur $\R_+$, $\cosh' = \sinh \geq 0$ ne s’annule qu’en $0$ : strictement croissante de $\cosh 0 = 1$ à $+\infty$. Et $\tanh' > 0$, de limites $\pm 1$ en $\pm\infty$ : en détail,

$$
\tanh x = \frac{\eu^x - \eu^{-x}}{\eu^x + \eu^{-x}}
= \frac{1 - \eu^{-2x}}{1 + \eu^{-2x}}
\xrightarrow[x \to +\infty]{} 1 ,
$$

après division du numérateur et du dénominateur par $\eu^x$, et l’imparité donne la limite $-1$ en $-\infty$ ; la fonction strictement croissante $\tanh$ envoie donc $\R$ sur $\intoo{-1}1$. ∎

![À gauche : et , asymptotiquement collées à x/2 (en pointillés). À droite : , croissante de -1 à 1.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-functions/fig-714927f508af.svg)

*À gauche : $\cosh$ et $\sinh$, asymptotiquement collées à $\frac{\eu^x}{2}$ (en pointillés). À droite : $\tanh$, croissante de $-1$ à $1$.*

**Remarque 4.19 (Pourquoi « hyperbolique » ?).**

Le point $(\cosh t, \sinh t)$ parcourt la branche $x > 0$ de l’hyperbole $x^2 - y^2 = 1$ (d’après la [Proposition 4.18](#prop-b1-functions-hyprules) (1)), exactement comme $(\cos t,
\sin t)$ parcourt le cercle $x^2 + y^2 = 1$. Toute identité circulaire a une sœur hyperbolique, les changements de signe étant régis par $\sinh^2 \leftrightarrow -\sin^2$.

**Exemple 4.20 (La formule d’addition pour tanh⁡\tanhtanh).**

En divisant les deux formules d’addition de la [Proposition 4.18](#prop-b1-functions-hyprules) (3) par $\cosh x\cosh y$ :

$$
\tanh(x + y)
= \frac{\sinh x\cosh y + \cosh x\sinh y}
{\cosh x\cosh y + \sinh x\sinh y}
= \frac{\tanh x + \tanh y}{1 + \tanh x\,\tanh y} ,
$$

sœur hyperbolique de la formule d’addition de la tangente — avec un $+$ là où la trigonométrie a un $-$. Un dividende : comme $\abs{\tanh} < 1$, le membre de droite est une règle d’« addition des vitesses » qui ne quitte jamais $\intoo{-1}1$ : si $u, v \in
\intoo{-1}1$, alors $\frac{u + v}{1 + uv} \in \intoo{-1}1$ également (écrire $u = \tanh a$, $v = \tanh b$, ce qui est possible par [bijectivité](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj), et lire la formule à l’envers). Le vérifier algébriquement, sans les [fonctions hyperboliques](#def-b1-functions-hyperbolic), est un exercice un peu pénible ; le paramétrage par $\tanh$ le réduit à une ligne — la stratégie même que les fonctions circulaires offrent pour le cercle unité.

**Proposition 4.21 (Fonctions hyperboliques réciproques).**

Les réciproques fournies par la [Proposition 4.18](#prop-b1-functions-hyprules) (4) admettent des expressions explicites :

$$
\operatorname{arsinh} x = \ln\bigl(x + \sqrt{x^2 + 1}\bigr)
\ (x \in \R),
\qquad
\operatorname{arcosh} x = \ln\bigl(x + \sqrt{x^2 - 1}\bigr)
\ (x \geq 1),
$$

$$
\operatorname{artanh} x = \frac 12 \ln\frac{1 + x}{1 - x}
\ (\abs x < 1),
$$

de dérivées respectives $\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$, $\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$ ($x > 1$) et $\frac{1}{1 - x^2}$.

**Démonstration.** Pour $\operatorname{arsinh}$ : résolvons $x = \sinh y = \frac{\eu^y -
\eu^{-y}}{2}$. En posant $u = \eu^y > 0$ : $u^2 - 2xu - 1 = 0$, donc $u = x + \sqrt{x^2 + 1}$ (la racine $x - \sqrt{x^2+1}$ est négative), et $y = \ln(x + \sqrt{x^2+1})$. Les deux autres sont des calculs identiques ($u^2 - 2xu + 1 = 0$ pour $\operatorname{arcosh}$, en gardant la racine $\geq 1$ ; une réorganisation en deux lignes pour $\operatorname{artanh}$). Dérivées : dériver les expressions logarithmiques, par exemple

$$
\bigl(\ln(x + \sqrt{x^2+1})\bigr)'
= \frac{1 + \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x + \sqrt{x^2+1}}
= \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} . \qedhere
$$

∎

**Exemple 4.22 (Les expressions explicites à l’œuvre).**

La solution de $\cosh t = 2$ avec $t \geq 0$ est, d’après l’expression explicite, $t = \operatorname{arcosh} 2 = \ln(2 +
\sqrt3) \approx 1.317$ ; l’autre solution est $-t$, par parité — et en effet $\ln(2 - \sqrt3) = \ln\frac1{2 + \sqrt3} = -\ln(2 +
\sqrt3)$ : les deux racines $u = \eu^t$ du trinôme $u^2 - 4u + 1 = 0$ sont inverses l’une de l’autre, comme l’exige leur produit égal à $1$ (relations de Viète). Ce minuscule calcul exhibe le schéma général : les équations hyperboliques se ramènent à des équations du second degré en $\eu^t$, et la symétrie $t \mapsto -t$ apparaît comme la symétrie $u \mapsto 1/u$ du trinôme — à retenir pour résoudre l’[Exercice 4.7](#exo-b1-functions-7).

**Méthode 4.23 (Choisir la bonne forme de primitive).**

Les trois schémas de dérivée à mémoriser pour l’intégration ([Chapitre 15](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/15-integration-sur-un-segment#ch-b1-integration)) :

$$
\int \frac{\dd x}{1 + x^2} = \arctan x + C,
\qquad
\int \frac{\dd x}{\sqrt{1 - x^2}} = \arcsin x + C,
\qquad
\int \frac{\dd x}{\sqrt{x^2 + 1}} = \operatorname{arsinh} x + C,
$$

et pour un trinôme du second degré quelconque, on s’y ramène en le mettant sous forme canonique puis en changeant d’échelle.

**Remarque 4.24 (Où ce chapitre est utilisé).**

Ce chapitre est le vocabulaire de travail de toute l’analyse à venir. L’échelle de croissance de la [Proposition 4.6](#prop-b1-functions-powerrules) tranche des questions de convergence tout au long des Chapitres [11](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/11-suites#ch-b1-seq) et [17](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/17-series-numeriques#ch-b1-series) ; les formules de dérivée de la [Proposition 4.10](#prop-b1-functions-arcderiv) et de la [Proposition 4.21](#prop-b1-functions-invhyp) sont les primitives dont on a le plus souvent besoin au [Chapitre 15](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/15-integration-sur-un-segment#ch-b1-integration), via la [Méthode 4.23](#met-b1-functions-primitive) ; les [fonctions hyperboliques](#def-b1-functions-hyperbolic) paramètrent les solutions de l’équation $y'' = y$ au [Chapitre 5](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/5-equations-differentielles-lineaires#ch-b1-diffeq) exactement comme les fonctions circulaires paramètrent celles de $y'' = -y$. La caractérisation de $\exp$ par $f' = f$, $f(0) = 1$ ([Proposition 4.1](#prop-b1-functions-expln)) est la graine, en dimension un, de la théorie des équations différentielles linéaires, et la chaînette $y = \cosh x$ reviendra parmi les courbes planes du [Chapitre 24](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/24-courbes-planes#ch-b1-curves).

**Remarque 4.25 (Interlude : le programme des fonctions réciproques).**

Ce chapitre a déroulé quatre fois le même programme : restreindre une fonction jusqu’à ce qu’elle devienne une [bijection](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) strictement monotone, nommer sa réciproque, transporter à travers elle toutes les formules. Ce qui a été *utilisé* à chaque étape — qu’une fonction continue strictement monotone sur un intervalle est une [bijection](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) sur un intervalle, que sa réciproque est continue, puis dérivable hors des points critiques — l’a été à crédit sur le secondaire. La dette est remboursée dans ce volume : le [Chapitre 13](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#ch-b1-continuity) démontre l’énoncé de [bijectivité](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) (le théorème de la [bijection](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) monotone, qui repose sur le théorème des valeurs intermédiaires), et le [Chapitre 14](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/14-derivation#ch-b1-derivative) démontre la règle de dérivation $(f^{-1})' = 1/(f' \circ f^{-1})$ qui a silencieusement produit toutes les formules de la [Proposition 4.10](#prop-b1-functions-arcderiv) et de la [Proposition 4.21](#prop-b1-functions-invhyp). Lire ces chapitres en gardant $\arcsin$ et $\operatorname{arsinh}$ en tête — comme les exemples travaillés que la théorie a été bâtie pour justifier — est la façon prévue de contourner la circularité apparente.

## 4.4 Exercices

**Exercice 4.1 ★.**

Calculer sans calculatrice : $\arcsin\frac{\sqrt 3}{2}$ ; $\;\arccos\bigl(-\frac 12\bigr)$ ; $\;\arctan(-1)$ ; $\;\arcsin\bigl(\sin\frac{5\pi}{6}\bigr)$ ; $\;\arccos\bigl(\cos\frac{7\pi}{4}\bigr)$.

**Solution de Exercice 4.1.**

$\arcsin\frac{\sqrt 3}{2} = \frac\pi3$ ; $\;\arccos\bigl(-\frac12\bigr) = \frac{2\pi}{3}$ ; $\;\arctan(-1) = -\frac\pi4$.

$\arcsin\bigl(\sin\frac{5\pi}{6}\bigr)$ : $\sin\frac{5\pi}{6} =
\frac12$, et l’angle de $\intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ dont le sinus vaut $\frac12$ est $\frac\pi6$ (et non $\frac{5\pi}{6}$).

$\arccos\bigl(\cos\frac{7\pi}{4}\bigr)$ : $\cos\frac{7\pi}{4} =
\frac{\sqrt 2}{2}$, et l’angle de $\intcc{0}{\pi}$ ayant ce cosinus est $\frac\pi4$.

**Exercice 4.2 ★.**

Donner l’[ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) de définition de $f(x) = \arcsin(2x - 1)$ et calculer $f'$ là où elle est définie. Mêmes questions pour $g(x) = \arctan\sqrt{x}$.

**Solution de Exercice 4.2.**

$f(x) = \arcsin(2x - 1)$ exige $-1 \leq 2x - 1 \leq 1$, c’est-à-dire $x \in \intcc{0}{1}$. Sur $\intoo{0}{1}$, la dérivation des fonctions composées et la [Proposition 4.10](#prop-b1-functions-arcderiv) donnent

$$
f'(x) = \frac{2}{\sqrt{1 - (2x-1)^2}} = \frac{2}{\sqrt{4x - 4x^2}}
= \frac{1}{\sqrt{x(1 - x)}} .
$$

$g(x) = \arctan\sqrt x$ est définie pour $x \geq 0$, et pour $x > 0$ :

$$
g'(x) = \frac{1}{1 + x} \cdot \frac{1}{2\sqrt x}
= \frac{1}{2\sqrt x\,(1 + x)} .
$$

**Exercice 4.3 ★.**

Démontrer que, pour tout $x \in \R$ : $\cosh x + \sinh x = \eu^x$ et $(\cosh x + \sinh x)^n = \cosh nx + \sinh nx$ pour tout $n \in \Z$ (une formule de Moivre hyperbolique).

**Solution de Exercice 4.3.**

$\cosh x + \sinh x = \frac{\eu^x + \eu^{-x}}{2} + \frac{\eu^x -
\eu^{-x}}{2} = \eu^x$. Donc, pour $n \in \Z$ :

$$
(\cosh x + \sinh x)^n = (\eu^x)^n = \eu^{nx}
= \cosh nx + \sinh nx .
$$

**Exercice 4.4 ★.**

Simplifier $\cos(2\arcsin x)$ et $\sin(2\arctan x)$ en expressions algébriques de $x$.

**Solution de Exercice 4.4.**

Avec $y = \arcsin x$ : $\cos 2y = 1 - 2\sin^2 y = 1 - 2x^2$, donc $\cos(2\arcsin x) = 1 - 2x^2$.

Avec $y = \arctan x$ : $\sin 2y = 2 \sin y \cos y = 2 \tan y \cos^2 y
= \frac{2\tan y}{1 + \tan^2 y}$, donc $\sin(2\arctan x) =
\dfrac{2x}{1 + x^2}$.

**Exercice 4.5 ★.**

Ordonner, pour $x$ grand, les fonctions $x^{100}$, $\;\eu^{\sqrt x}$, $\;(\ln x)^{1000}$, $\;\eu^{x/100}$, $\;x^{\ln x}$, de la croissance la plus lente à la plus rapide, avec des justifications fondées sur la [Proposition 4.6](#prop-b1-functions-powerrules).

**Solution de Exercice 4.5.**

De la plus lente à la plus rapide :

$$
(\ln x)^{1000} \;\ll\; x^{100} \;\ll\; x^{\ln x} \;\ll\;
\eu^{\sqrt x} \;\ll\; \eu^{x/100} .
$$

Justifications : $(\ln x)^{1000}/x^{100} \to 0$ d’après la [Proposition 4.6](#prop-b1-functions-powerrules) (les logarithmes perdent contre les puissances). $x^{100} = \eu^{100\ln x}$ et $x^{\ln x} =
\eu^{(\ln x)^2}$ : comme $(\ln x)^2 - 100\ln x \to +\infty$, c’est la seconde qui l’emporte. $x^{\ln x} = \eu^{(\ln x)^2} \ll \eu^{\sqrt x}$ car $(\ln x)^2/\sqrt x \to 0$ (les logarithmes perdent contre la puissance $x^{1/4}$, le tout élevé au carré). Enfin $\sqrt x - x/100
\to -\infty$, donc $\eu^{\sqrt x} \ll \eu^{x/100}$.

**Exercice 4.6 ★★.**

Étudier la fonction $f(x) = \arctan\dfrac{2x}{1 - x^2}$ sur son [ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) de définition : calculer $f'$, comparer avec $(2\arctan x)'$, et exprimer $f(x)$ à l’aide de $\arctan x$ sur chacun des trois intervalles du domaine.

**Solution de Exercice 4.6.**

[Ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) de définition : $x \neq \pm 1$, soit trois intervalles. Sur chacun,

$$
f'(x) = \frac{\bigl(\frac{2x}{1-x^2}\bigr)'}{1 +
\frac{4x^2}{(1-x^2)^2}}
= \frac{\frac{2(1-x^2) + 4x^2}{(1-x^2)^2}}
{\frac{(1-x^2)^2 + 4x^2}{(1-x^2)^2}}
= \frac{2(1 + x^2)}{(1 + x^2)^2} = \frac{2}{1 + x^2}
= (2\arctan x)' .
$$

Donc $f(x) - 2\arctan x$ est constante sur chaque intervalle. Valeurs : en $x = 0$, $f(0) = 0$ : la constante vaut $0$ sur $\intoo{-1}{1}$. Quand $x \to +\infty$, $\frac{2x}{1-x^2} \to 0^-$ donc $f \to 0$, tandis que $2\arctan x \to \pi$ : la constante vaut $-\pi$ sur $\intoo{1}{+\infty}$. Par imparité, elle vaut $+\pi$ sur $\intoo{-\infty}{-1}$. En résumé : $f = 2\arctan x$ sur $\intoo{-1}{1}$, $f = 2\arctan x - \pi$ pour $x > 1$, $f = 2\arctan x
+ \pi$ pour $x < -1$. (C’est la formule de duplication de la tangente, lue à travers $\arctan$.)

**Exercice 4.7 ★★.**

Résoudre dans $\R$ : $\;\cosh x = 2$ ; puis $5\cosh x - 4 \sinh x = 3$ (exprimer les solutions à l’aide de logarithmes). *Indication pour la deuxième : tout écrire avec $u = \eu^x$.*

**Solution de Exercice 4.7.**

$\cosh x = 2$ : avec $u = \eu^x > 0$, $u + u^{-1} = 4$, donc $u^2 - 4u
+ 1 = 0$, $u = 2 \pm \sqrt 3$ : $x = \ln(2 + \sqrt 3)$ ou $x = \ln(2 -
\sqrt 3) = -\ln(2 + \sqrt 3)$ (les deux solutions sont opposées, puisque $\cosh$ est paire ; toutes deux conviennent). De façon équivalente, $x = \pm \operatorname{arcosh} 2$.

$5\cosh x - 4\sinh x = 3$ : en substituant les définitions exponentielles, $\frac{5(u + u^{-1}) - 4(u - u^{-1})}{2} = 3$, c’est-à-dire $u + 9u^{-1} = 6$, c’est-à-dire $u^2 - 6u + 9 = (u -
3)^2 = 0$ : $u = 3$, une unique solution $x = \ln 3$.

**Exercice 4.8 ★★.**

Démontrer l’identité $\arctan\frac{1}{2} + \arctan\frac{1}{3} =
\frac{\pi}{4}$, puis la [formule de Machin](#rem-b1-functions-interlude)

$$
4\arctan\frac 15 - \arctan\frac{1}{239} = \frac{\pi}{4}.
$$

*Indication : calculer la tangente des deux membres à l’aide de la formule d’addition, et contrôler dans quel intervalle se situe chaque membre.*

**Solution de Exercice 4.8.**

Posons $\alpha = \arctan\frac12 + \arctan\frac13$. Formule d’addition :

$$
\tan\alpha = \frac{\frac12 + \frac13}{1 - \frac12\cdot\frac13}
= \frac{5/6}{5/6} = 1 .
$$

Les deux [arctangentes](#def-b1-functions-arc) appartiennent à $\intoo{0}{\frac\pi4}$ (leurs arguments sont dans $\intoo{0}{1}$), donc $\alpha \in
\intoo{0}{\frac\pi2}$ ; le seul angle de cet intervalle dont la tangente vaut $1$ est $\frac\pi4$.

Machin : posons $\beta = \arctan\frac15$. Duplication, deux fois :

$$
\tan 2\beta = \frac{2/5}{1 - 1/25} = \frac{5}{12},
\qquad
\tan 4\beta = \frac{2 \cdot 5/12}{1 - 25/144} = \frac{120}{119}.
$$

Puis

$$
\tan\Bigl(4\beta - \frac\pi4\Bigr)
= \frac{\frac{120}{119} - 1}{1 + \frac{120}{119}}
= \frac{1/119}{239/119} = \frac{1}{239}.
$$

Localisation : $\beta < \arctan 1 = \frac\pi4$, et en fait $\tan 4\beta = \frac{120}{119}$ est proche de $1$ avec $4\beta \in
\intoo{0}{\frac\pi2}$ (car $\beta < \frac\pi8$, puisque $\tan\frac\pi8 = \sqrt 2 - 1 > \frac15$) ; donc $4\beta - \frac\pi4
\in \intoo{-\frac\pi4}{\frac\pi4}$, intervalle sur lequel $\arctan$ inverse $\tan$ : $4\beta - \frac\pi4 = \arctan\frac{1}{239}$, ce qui est la [formule de Machin](#rem-b1-functions-interlude).

**Exercice 4.9 ★★.**

Démontrer que, pour tout $x \geq 0$ : $\;x - \dfrac{x^3}{6} \leq
\sin x \leq x$ *(étudier les dérivées successives des différences)*, et en déduire que $\lim_{x \to 0^+} \frac{x - \sin
x}{x^3} = \frac 16$ est plausible — la limite elle-même est établie au [Chapitre 16](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/16-formules-de-taylor-et-developpements-limites#ch-b1-taylor).

**Solution de Exercice 4.9.**

Posons $f(x) = x - \sin x$ : $f(0) = 0$ et $f'(x) = 1 - \cos x \geq
0$, donc $f \geq 0$ sur $\R_+$ : $\sin x \leq x$.

Posons $g(x) = \sin x - x + \frac{x^3}{6}$ : $g(0) = 0$, $g'(x) =
\cos x - 1 + \frac{x^2}{2}$, $g'(0) = 0$, $g''(x) = -\sin x + x =
f(x) \geq 0$ sur $\R_+$. Donc $g'$ est croissante avec $g'(0) = 0$, d’où $g' \geq 0$, d’où $g$ croissante avec $g(0) = 0$ : $g \geq 0$, c’est-à-dire $x - \frac{x^3}{6} \leq \sin x$ sur $\R_+$.

Par conséquent $0 \leq \frac{x - \sin x}{x^3} \leq \frac 16$ pour $x > 0$ : le rapport est piégé à l’échelle de $\frac16$, et le [Chapitre 16](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/16-formules-de-taylor-et-developpements-limites#ch-b1-taylor) montre que sa limite vaut exactement $\frac 16$.

**Exercice 4.10 ★★★.**

Pour $x \in \intcc{-1}{1}$, posons $h(x) = \arcsin\bigl(2x\sqrt{1 - x^2}\,\bigr) - 2\arcsin x$. On pourrait s’attendre à $h = 0$ d’après l’identité $\sin 2y = 2\sin
y\cos y$ — mais $h$ n’est *pas* identiquement nulle. Calculer $h'$ sur les intervalles ouverts où elle existe, évaluer $h$ en des points bien choisis, et donner la description complète, constante par morceaux, de $h$ sur $\intcc{-1}{1}$.

**Solution de Exercice 4.10.**

Écrivons $y = \arcsin x$, de sorte que $2x\sqrt{1 - x^2} = 2\sin y\cos
y = \sin 2y$ et $h(x) = \arcsin(\sin 2y) - 2y$.

Pour $\abs x \leq \frac{\sqrt 2}{2}$ : $2y \in
\intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$, donc $\arcsin(\sin 2y) = 2y$ et $h = 0$.

Pour $x \in \intoc{\frac{\sqrt 2}{2}}{1}$ : $2y \in
\intoc{\frac\pi2}{\pi}$, et l’angle de $\intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ dont le sinus vaut $\sin 2y$ est $\pi - 2y$ : donc $h(x) = \pi - 4\arcsin x$. (Vérification par la dérivée : on y a $h'(x) = \frac{2(1 - 2x^2)}{\abs{1 - 2x^2}\sqrt{1 - x^2}} -
\frac{2}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{-4}{\sqrt{1 - x^2}}$, la dérivée de $-4\arcsin x$ ; et en $x = 1$, $h(1) = \arcsin 0 - 2\cdot\frac\pi2
= -\pi = \pi - 4\cdot\frac\pi2$.)

Pour $x \in \intco{-1}{-\frac{\sqrt 2}{2}}$, par imparité de $h$ : $h(x) = -\pi - 4\arcsin x$.

**Exercice 4.11 ★★★.**

(Fonction de Gudermann) Soit $g(x) = \arctan(\sinh x)$ pour $x \in
\R$. Démontrer que $g$ est une [bijection](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) impaire, strictement croissante, de $\R$ sur $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$, que $g'(x) = \frac{1}{\cosh x}$, et que $\tan g(x) = \sinh x$, $\;\sin g(x) = \tanh x$, $\;\cos g(x) = \frac{1}{\cosh x}$ : la fonction $g$ relie trigonométrie circulaire et trigonométrie hyperbolique sans passer par les nombres complexes.

**Solution de Exercice 4.11.**

$g = \arctan \circ \sinh$ est une composée de fonctions impaires strictement croissantes : elle est donc impaire et strictement croissante ; quand $x \to +\infty$, $\sinh x \to +\infty$ donc $g(x) \to \frac\pi2$, et $g$ est une [bijection](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) sur $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ (continuité et théorème des valeurs intermédiaires). Dérivation des fonctions composées, avec la [Proposition 4.18](#prop-b1-functions-hyprules) (1) :

$$
g'(x) = \frac{\cosh x}{1 + \sinh^2 x} = \frac{\cosh x}{\cosh^2 x}
= \frac{1}{\cosh x} .
$$

Par construction, $\tan g(x) = \sinh x$. Ensuite, comme $g(x) \in
\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ a un cosinus positif,

$$
\begin{align*}
\cos g(x) &= \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 g(x)}}
= \frac{1}{\sqrt{1 + \sinh^2 x}} = \frac{1}{\cosh x},\\
\sin g(x) &= \tan g(x) \cos g(x) = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \tanh x .
\end{align*}
$$

**Exercice 4.12 ★★.**

Démontrer que

$$
\arctan 1 + \arctan 2 + \arctan 3 = \pi .
$$

*Indication : calculer d’abord $\arctan 2 + \arctan 3$, en localisant la somme comme dans l’[Exemple 4.15](#ex-b1-functions-arctansum) ; attention, le dénominateur de la formule d’addition est ici négatif.*

**Solution de Exercice 4.12.**

Posons $u = \arctan 2$ et $v = \arctan 3$ ; tous deux appartiennent à $\intoo{\frac\pi4}{\frac\pi2}$ (leurs arguments dépassent $1$), donc $u + v \in \intoo{\frac\pi2}{\pi}$. La formule d’addition donne

$$
\tan(u + v) = \frac{2 + 3}{1 - 6} = -1 ,
$$

et l’unique angle de $\intoo{\frac\pi2}{\pi}$ dont la tangente vaut $-1$ est $\frac{3\pi}4$ : donc $\arctan 2 + \arctan 3 =
\frac{3\pi}4$. (Appliquer aveuglément $\arctan$ à la tangente donnerait $-\frac\pi4$, faux de $\pi$ — c’est la localisation qui sauve le calcul, et le dénominateur négatif $1 - 6$ est précisément le signal que la somme a quitté $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$.) En ajoutant $\arctan 1 =
\frac\pi4$ :

$$
\arctan 1 + \arctan 2 + \arctan 3 = \frac\pi4 + \frac{3\pi}4 = \pi .
$$

## 4.5 Problème : l’équation $x^y = y^x$

**Problème 4.1.**

Quels couples de nombres positifs vérifient $x^y = y^x$ ? Tout le monde en connaît un exemple d’apparence accidentelle, $2^4 = 4^2 =
16$ ; ce problème montre que rien n’y est accidentel. L’équation tout entière est gouvernée par les variations d’une seule fonction,

$$
f(t) = \frac{\ln t}{t} \qquad (t > 0),
$$

dont l’étude livre : l’[ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) complet des solutions (une diagonale et une branche courbe passant par $(\eu, \eu)$), un paramétrage rationnel de la branche, le fait que $(2, 4)$ en est l’*unique* point entier et la classification de tous ses points rationnels — plus, en dividendes, la comparaison de $\eu^\pi$ et $\pi^\eu$ et la convergence monotone de $\bigl(1 + \frac1n\bigr)^n$ vers $\eu$.

**Partie I — La fonction $f(t) = \ln t / t$.**

1. Justifier que $f$ est dérivable sur $\intoo0{+\infty}$ , calculer $f'$ et dresser le tableau de variations : $f$ croît strictement sur $\intoc0\eu$ , décroît strictement sur $\intco\eu{+\infty}$ , avec pour maximum $f(\eu) = \frac1\eu$ .
2. Déterminer les limites de $f$ en $0^+$ et en $+\infty$ ( [Proposition 4.6](#prop-b1-functions-powerrules) ), le signe de $f$ (négatif sur $\intoo01$ , nul en $1$ , positif au-delà), et tracer l’allure du graphe.
3. Vérifier par un calcul direct que $f(2) = f(4)$ . (Garder cette égalité en tête : tout le problème en découle.)
4. Soit $c \in \R$ . Discuter, selon la valeur de $c$ , le nombre de solutions de $f(t) = c$ : exactement une pour $c \leq 0$ ; exactement deux (une dans $\intoo1\eu$ , une dans $\intoo\eu{+\infty}$ ) pour $0 < c < \frac1\eu$ ; exactement une pour $c = \frac1\eu$ ; aucune pour $c > \frac1\eu$ .
5. En déduire que $\eu^x > x^\eu$ pour tout $x > 0$ tel que $x \neq \eu$ , et trancher en particulier lequel de $\eu^\pi$ et $\pi^\eu$ est le plus grand.

**Partie II — L’équation et sa courbe.** Dans cette partie, $x, y > 0$.

6. Montrer que $x^y = y^x \iff f(x) = f(y)$ .
7. En déduire la structure de l’ [ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) des solutions : tous les couples diagonaux $(x, x)$ ; et les couples *non triviaux* ( $x \neq y$ ), qui vérifient : les deux coordonnées sont $> 1$ , et l’une appartient à $\intoo1\eu$ tandis que l’autre appartient à $\intoo\eu{+\infty}$ .
8. Paramétrer les couples non triviaux : en écrivant $y = tx$ avec $t > 0$, $t \neq 1$, montrer que $x^y = y^x$ impose $$x(t) = t^{\frac1{t-1}},  \qquad  y(t) = t\,x(t) = t^{\frac{t}{t-1}},$$ et que, réciproquement, tout couple de cette forme est solution.
9. Vérifier que $t = 2$ donne $(2, 4)$ , et démontrer la symétrie $x(1/t) = y(t)$ , $y(1/t) = x(t)$ : inverser le paramètre échange les deux coordonnées.
10. Déterminer les limites de $x(t)$ et $y(t)$ quand $t \to 1$ (toutes deux tendent vers $\eu$ ), quand $t \to +\infty$ ( $x \to 1$ , $y \to +\infty$ ) et quand $t \to 0^+$ ( $x \to  +\infty$ , $y \to 1$ ). Décrire la branche obtenue : une courbe asymptote aux droites $x = 1$ et $y = 1$ , coupant la diagonale en $(\eu, \eu)$ .
11. Montrer que $t \mapsto x(t)$ est strictement décroissante sur $\intoo1{+\infty}$ . *(Étudier $h(t) = 1 - \frac1t -  \ln t$, dont le signe contrôle la dérivée de $\ln x(t) =  \frac{\ln t}{t - 1}$.)*
12. Conclure que les solutions non triviales définissent une [bijection](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) strictement décroissante $\varphi \colon  \intoo1\eu \to \intoo\eu{+\infty}$ vérifiant $x^{\varphi(x)} = \varphi(x)^x$ , et que $\varphi$ est une involution de la branche : $\varphi(\varphi(x)) = x$ partout où les deux membres sont définis.

**Partie III — Points entiers et points rationnels.**

13. Démontrer que $(2, 4)$ et $(4, 2)$ sont les seules solutions *entières* non triviales de $x^y = y^x$ .
14. Pour $n \in \N^*$, appliquer le paramétrage avec $t = 1 +  \frac1n$ et montrer que $$x_n = \Bigl(1 + \frac1n\Bigr)^{n},  \qquad  y_n = \Bigl(1 + \frac1n\Bigr)^{n+1}$$ est une solution *rationnelle* non triviale pour tout $n$, avec $(x_1, y_1) = (2, 4)$.
15. Réciproquement, soit $(x, y)$ une solution rationnelle non triviale avec $y > x$ , et écrivons $t = y/x = 1 + \frac rs$ sous forme irréductible ( $r, s \in \N^*$ ). En utilisant $x = t^{s/r}$ et en admettant l’unicité de la décomposition en facteurs premiers (familière depuis le secondaire ; démontrée au [Chapitre 6](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/6-arithmetique-des-entiers#ch-b1-arith) ), montrer que la rationalité de $x$ impose que $s$ et $s + r$ soient tous deux des puissances $r$ -ièmes d’entiers.
16. Montrer, à l’aide de la formule du binôme, que $a^r - b^r =  r$ n’a pas de solution entière $a > b \geq 1$ lorsque $r \geq 2$ , et conclure : les solutions rationnelles de $x^y = y^x$ sont exactement les couples $(x_n, y_n)$ de la question 14 (et leurs échangés).
17. Vérifier numériquement le cas $n = 2$ : calculer $f(9/4)$ et $f(27/8)$ à quatre décimales et constater qu’ils coïncident.

**Partie IV — Dividendes.**

18. Utiliser les questions 7 et 11 pour démontrer, sans aucun calcul supplémentaire, que la suite $x_n = \bigl(1 +  \frac1n\bigr)^n$ est strictement croissante avec $x_n < \eu$ , que $y_n = \bigl(1 + \frac1n\bigr)^{n+1}$ est strictement décroissante avec $y_n > \eu$ , et que toutes deux convergent vers $\eu$ . (Le paramètre $t_n = 1 + \frac1n$ décroît vers $1$ .)
19. Établir la règle de comparaison générale pour $1 < a < b$ : si $\eu \leq a$ , alors $a^b > b^a$ ; si $b \leq \eu$ , alors $a^b < b^a$ ; et montrer, sur les deux exemples $(2, 3)$ et $(2, 5)$ , que dans le cas mixte $a < \eu < b$ les deux issues se produisent effectivement.
20. Supposons l’involution $\varphi$ de la question 12 dérivable en $\eu$ (elle l’est). Dériver l’identité $\varphi(\varphi(x)) = x$ en $x = \eu$ et en déduire $\varphi'(\eu) = -1$ : la branche coupe la diagonale perpendiculairement.
21. Trouver l’unique couple solution vérifiant $y = 3x$ , sous forme explicite, et le vérifier numériquement à quatre décimales à l’aide de $f$ .
22. Parmi les nombres $\sqrt2$ , $\sqrt[3]3$ , $\sqrt[4]4$ , $\sqrt[5]5$ , déterminer le plus grand et identifier les deux qui sont égaux. *(Comparer $n^{1/n} =  \eu^{f(n)}$.)*

**Partie V — Synthèse.**

23. Décrire l’ [ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) complet des solutions de $x^y = y^x$ dans le quart de plan $x, y > 0$ — diagonale et branche, leur intersection $(\eu, \eu)$ , les asymptotes, le point entier $(2, 4)$ , les points rationnels s’accumulant en $(\eu, \eu)$ — sous une forme que l’on pourrait esquisser de mémoire.
24. Où exactement le problème a-t-il utilisé : (i) les [croissances comparées](#prop-b1-functions-powerrules) de la [Proposition 4.6](#prop-b1-functions-powerrules) ; (ii) le théorème des valeurs intermédiaires (à travers les énoncés de [bijectivité](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) ) ; (iii) l’unicité admise de la décomposition en facteurs premiers ? Une phrase pour chacun.
25. Morale, en un court paragraphe : un unique tableau de variations a résolu une équation à deux inconnues, classifié ses points rationnels et démontré la convergence monotone de $\bigl(1 + \frac1n\bigr)^n$ — commenter cette économie de moyens, et dire où chaque fil est industrialisé plus loin dans le volume ( [Chapitre 11](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/11-suites#ch-b1-seq) pour la suite, [Chapitre 14](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/14-derivation#ch-b1-derivative) pour les tableaux de variations, [Chapitre 16](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/16-formules-de-taylor-et-developpements-limites#ch-b1-taylor) pour la précision qui manque au tableau).

**Solution de Problème 4.1.**

**1.** $f$ est un quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur $\intoo0{+\infty}$, et

$$
f'(t) = \frac{\frac1t \cdot t - \ln t}{t^2} = \frac{1 - \ln
t}{t^2} ,
$$

positive pour $t < \eu$, nulle en $t = \eu$, négative pour $t > \eu$ : $f$ croît strictement sur $\intoc0\eu$, décroît strictement sur $\intco\eu{+\infty}$, avec pour maximum $f(\eu) = \frac1\eu$.

**2.** Quand $t \to 0^+$ : $\ln t \to -\infty$ et $\frac1t \to
+\infty$, donc $f(t) \to -\infty$. Quand $t \to +\infty$ : $f(t) \to
0$ par les [croissances comparées](#prop-b1-functions-powerrules) de la [Proposition 4.6](#prop-b1-functions-powerrules) ($\beta = \alpha = 1$). Signe : celui de $\ln t$, donc $f < 0$ sur $\intoo01$, $f(1) = 0$, $f > 0$ sur $\intoo1{+\infty}$. Le graphe monte depuis $-\infty$, traverse zéro en $1$, culmine en $(\eu, \frac1\eu)$, puis décroît vers $0^+$.

**3.** $f(4) = \frac{\ln 4}4 = \frac{2\ln 2}4 = \frac{\ln 2}2
= f(2)$.

**4.** Par le tableau de variations et le théorème des valeurs intermédiaires (admis à ce stade ; formalisé au [Chapitre 13](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/13-limites-et-continuite#ch-b1-continuity)). Pour $c < 0$ : les solutions n’existent que là où $f < 0$, c’est-à-dire dans $\intoo01$, où $f$ est une [bijection](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) strictement croissante sur $\intoo{-\infty}0$ : exactement une. Pour $c = 0$ : seulement $t = 1$. Pour $0 < c < \frac1\eu$ : sur $\intoo1\eu$, $f$ croît de $0$ à $\frac1\eu$ : une solution ; sur $\intoo\eu{+\infty}$, $f$ décroît de $\frac1\eu$ à $0$ : une de plus ; en tout, deux. Pour $c = \frac1\eu$ : seulement le point maximum $t = \eu$. Pour $c > \frac1\eu$ : aucune.

**5.** Pour $x \neq \eu$, la stricte maximalité donne $f(x) <
f(\eu)$, c’est-à-dire $\frac{\ln x}x < \frac1\eu$, c’est-à-dire $\eu\ln x < x$, c’est-à-dire $\ln(x^\eu) < \ln(\eu^x)$ : $x^\eu <
\eu^x$. Avec $x = \pi$ : $\eu^\pi > \pi^\eu$ (numériquement, $23.14 > 22.46$).

**6.** Pour $x, y > 0$, les deux membres sont positifs, donc

$$
x^y = y^x \iff y\ln x = x\ln y \iff \frac{\ln x}x = \frac{\ln y}y
\iff f(x) = f(y) ,
$$

en divisant par $xy > 0$.

**7.** Soit $f(x) = f(y) = c$ avec $x \neq y$. Si $c \leq 0$ ou $c = \frac1\eu$, la question 4 dit que l’équation $f = c$ a une unique solution : impossible. Donc $0 < c < \frac1\eu$, et, toujours par la question 4, les deux solutions sont un point de $\intoo1\eu$ et un point de $\intoo\eu{+\infty}$ : les deux coordonnées dépassent $1$ et elles encadrent $\eu$.

**8.** En substituant $y = tx$ dans $y\ln x = x\ln y$ :

$$
tx\ln x = x(\ln t + \ln x)
\iff (t - 1)\ln x = \ln t
\iff \ln x = \frac{\ln t}{t - 1} ,
$$

donc $x = t^{1/(t-1)}$ et $y = tx = t^{1 + \frac1{t-1}} =
t^{t/(t-1)}$. Réciproquement, pour ces valeurs, $\ln y = \frac{t\ln
t}{t-1} = t\ln x$ et $y = tx$, donc $\frac{\ln y}y = \frac{t\ln
x}{tx} = \frac{\ln x}x$ : c’est une solution. Toute solution non triviale a un rapport $t = y/x \in \intoo0{+\infty} \setminus \{1\}$, donc le paramétrage est complet.

**9.** $t = 2$ : $x = 2^{1/1} = 2$, $y = 2^{2/1} = 4$. Et

$$
x(1/t) = (1/t)^{\frac1{\frac1t - 1}}
= (t^{-1})^{\frac{t}{1 - t}}
= t^{\frac{t}{t - 1}} = y(t) ,
$$

puis $y(1/t) = \frac1t\,x(1/t) = \frac{y(t)}t = x(t)$ : le changement de paramètre $t \mapsto 1/t$ échange les coordonnées, comme l’exige la symétrie de l’équation.

**10.** Quand $t \to 1$ : $\frac{\ln t}{t-1} \to 1$ (c’est le taux d’accroissement de $\ln$ en $1$), donc $x \to \eu^1 = \eu$ et $y = tx \to \eu$. Quand $t \to +\infty$ : $\ln x = \frac{\ln t}{t-1}
\to 0$ donc $x \to 1$, tandis que $\ln y = \frac{t\ln t}{t-1} \to
+\infty$ donc $y \to +\infty$. Quand $t \to 0^+$ : $\ln x = \frac{\ln
t}{t-1} \to \frac{-\infty}{-1} = +\infty$ donc $x \to +\infty$, tandis que $\ln y = \frac{t\ln t}{t-1} \to \frac{0}{-1} = 0$ donc $y
\to 1$ (en utilisant $t\ln t \to 0$, [Exemple 4.7](#ex-b1-functions-xx)). La branche court donc depuis l’asymptote $y = 1$ (tout à droite), monte en traversant $(\eu, \eu)$ sur la diagonale, et s’échappe le long de l’asymptote $x = 1$ (tout en haut) — symétrique par rapport à la diagonale d’après la question 9.

**11.** $\ln x(t) = g(t) = \frac{\ln t}{t-1}$, et

$$
g'(t) = \frac{\frac{t-1}t - \ln t}{(t-1)^2}
= \frac{h(t)}{(t-1)^2},
\qquad h(t) = 1 - \frac1t - \ln t .
$$

$h(1) = 0$ et $h'(t) = \frac1{t^2} - \frac1t = \frac{1 -
t}{t^2} < 0$ pour $t > 1$ : $h < 0$ sur $\intoo1{+\infty}$, donc $g' < 0$ et $x = \eu^g$ y est strictement décroissante (de $\eu$ à $1$, d’après la question 10).

**12.** D’après la question 11, $t \mapsto x(t)$ est une [bijection](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) strictement décroissante de $\intoo1{+\infty}$ sur $\intoo1\eu$ ; notons $t(x)$ sa réciproque (également strictement décroissante) et posons $\varphi(x) = y(t(x))$. Remarquons que $h < 0$ également sur $\intoo01$ (on y a $h' > 0$ et $h(1) = 0$), donc $x(\cdot)$ est aussi décroissante sur $\intoo01$ ; par conséquent $y(t) = x(1/t)$ (question 9) est *croissante* en $t$ sur $\intoo1{+\infty}$, de $\eu$ à $+\infty$. Par composition, $\varphi = y \circ t(\cdot)$ est strictement décroissante de $\intoo1\eu$ sur $\intoo\eu{+\infty}$, et $x^{\varphi(x)} =
\varphi(x)^x$ d’après la question 8. Enfin, pour une valeur commune $c = f(x) \in \intoo0{\frac1\eu}$, la paire $\{x, \varphi(x)\}$ est *l’*[ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) des deux solutions de $f = c$ (question 4) ; en prolongeant $\varphi$ à $\intoo\eu{+\infty}$ par l’[application](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-map) réciproque, $\varphi(\varphi(x))$ redonne l’autre élément (c’est-à-dire l’élément initial) : $\varphi \circ \varphi =
\mathrm{id}$.

**13.** Si $(x, y)$ est une solution entière non triviale avec $x < y$, la question 7 place $x \in \intoo1\eu$ : le seul entier de cet intervalle est $x = 2$. Alors $f(y) = f(2) = \frac{\ln2}2$ avec $y > \eu$ ; d’après la question 4, l’équation $f = \frac{\ln2}2$ a exactement une solution au-delà de $\eu$, et la question 3 l’exhibe : $y = 4$. Donc $(2, 4)$, et son échangé, sont les seules.

**14.** $t = 1 + \frac1n = \frac{n+1}n$ donne $\frac1{t - 1}
= n$ et $\frac t{t-1} = n + 1$, donc

$$
x_n = \Bigl(\frac{n+1}n\Bigr)^{n},
\qquad
y_n = \Bigl(\frac{n+1}n\Bigr)^{n+1},
$$

manifestement rationnels, distincts ($y_n = t\,x_n \neq x_n$), et $n = 1$ donne $x_1 = 2$, $y_1 = 4$.

**15.** $t = y/x$ est rationnel et $> 1$ ; écrivons $t - 1 =
\frac rs$ sous forme irréductible, de sorte que $t = \frac{s + r}s$ avec $\gcd(s + r, s) = \gcd(r, s) = 1$. La question 8 donne $x = t^{s/r}$, d’où

$$
x^r = t^s = \frac{(s+r)^s}{s^s} ,
$$

fraction irréductible (aucun nombre premier ne divise à la fois $s + r$ et $s$). En écrivant $x = \frac pq$ sous forme irréductible, $x^r = \frac{p^r}{q^r}$ l’est aussi, et, par unicité de la représentation irréductible : $p^r = (s+r)^s$ et $q^r = s^s$. Comparons l’exposant d’un nombre premier $\ell$ quelconque dans $q^r = s^s$ : $r \cdot v_\ell(q) = s \cdot v_\ell(s)$, donc $r$ divise $s\,v_\ell(s)$ ; comme $\gcd(r, s) = 1$, $r$ divise $v_\ell(s)$ pour tout nombre premier $\ell$ (décomposition en facteurs premiers unique, admise ; démontrée au [Chapitre 6](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/6-arithmetique-des-entiers#ch-b1-arith)), donc $s = b^r$ pour un entier $b$. Le même argument sur $p^r = (s+r)^s$ donne $s + r = a^r$.

**16.** Supposons $a^r - b^r = r$ avec des entiers $a > b \geq 1$ et $r \geq 2$. Alors $a \geq b + 1$, donc, par la formule du binôme,

$$
a^r - b^r \geq (b+1)^r - b^r
= \sum_{k=0}^{r-1}\binom rk b^k
\geq \binom r0 + \binom r{r-1} b^{r-1}
\geq 1 + r > r ,
$$

ce qui est contradictoire. D’après la question 15, $a^r - b^r =
(s + r) - s = r$ impose $r = 1$ : $t = 1 + \frac1s$, et la solution est $(x_s, y_s)$ de la question 14. Avec les couples échangés, la classification est complète.

**17.** $f\bigl(\tfrac94\bigr) = \frac{\ln 2.25}{2.25} =
\frac{0.81093}{2.25} = 0.3604$ et $f\bigl(\tfrac{27}8\bigr) =
\frac{\ln 3.375}{3.375} = \frac{1.21640}{3.375} = 0.3604$ (à quatre décimales) : égaux, comme la construction le promettait — donc $\bigl(\tfrac94\bigr)^{27/8} = \bigl(\tfrac{27}8\bigr)^{9/4}$.

**18.** Les paramètres $t_n = 1 + \frac1n$ décroissent strictement vers $1$. Comme $x(\cdot)$ est strictement décroissante sur $\intoo1{+\infty}$ (question 11), $x_n = x(t_n)$ est strictement *croissante* ; comme $y(\cdot)$ y est strictement croissante (question 12), $y_n = y(t_n)$ est strictement *décroissante*. D’après la question 7, $x_n \in \intoo1\eu$ et $y_n \in
\intoo\eu{+\infty}$ : donc $x_n < \eu < y_n$ pour tout $n$. Enfin, $t_n \to 1$ et la question 10 donnent $x_n \to \eu$ et $y_n \to \eu$. La convergence monotone classique de $\bigl(1 + \frac1n\bigr)^n$ tombe de la géométrie de la branche, sans aucune inégalité nouvelle.

**19.** Si $\eu \leq a < b$ : $f$ strictement décroissante sur $\intco\eu{+\infty}$ donne $f(a) > f(b)$, c’est-à-dire $b\ln a > a\ln
b$, c’est-à-dire $a^b > b^a$. Si $1 < a < b \leq \eu$ : $f$ strictement croissante donne $f(a) < f(b)$, d’où $a^b < b^a$. Cas mixte : $2 < \eu < 3$ et $2^3 = 8 < 9 = 3^2$ ; mais $2 < \eu < 5$ et $2^5 = 32 > 25 = 5^2$ : les deux issues se produisent, selon le côté de la branche où tombe le point $(a, b)$.

**20.** La branche rencontre la diagonale en $\eu$ et $\varphi$ s’y prolonge continûment avec $\varphi(\eu) = \eu$. En dérivant $\varphi(\varphi(x)) = x$ en $x = \eu$ par la règle de dérivation des fonctions composées : $\varphi'(\varphi(\eu))\,\varphi'(\eu) =
\varphi'(\eu)^2 = 1$, donc $\varphi'(\eu) = \pm1$ ; $\varphi$ est décroissante, donc $\varphi'(\eu) = -1$. La branche coupe la diagonale avec la pente $-1$ : perpendiculairement.

**21.** $y = 3x$ est le cas $t = 3$ : $x = 3^{1/2} = \sqrt3$ et $y = 3^{3/2} = 3\sqrt3$. Vérification : $f(\sqrt3) =
\frac{0.54931}{1.73205} = 0.3171$ et $f(3\sqrt3) =
\frac{\ln 5.19615}{5.19615} = \frac{1.64792}{5.19615} = 0.3171$ : égaux à quatre décimales, donc $(\sqrt3)^{3\sqrt3} =
(3\sqrt3)^{\sqrt3}$.

**22.** $n^{1/n} = \eu^{f(n)}$, et $\exp$ est croissante, donc l’ordre est celui des $f(n)$ : $f(3) = \frac{\ln3}3 \approx
0.3662$ l’emporte sur $f(2) = f(4) = \frac{\ln2}2 \approx 0.3466$ (question 3) et sur $f(5) \approx 0.3219$. Le plus grand est $\sqrt[3]3$, et le couple égal est $\sqrt2 = \sqrt[4]4$ — le couple entier $(2, 4)$ sous un déguisement de plus.

**23.** L’[ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) des solutions est la réunion de la diagonale $\{(x, x) : x > 0\}$ et d’une unique branche, symétrique par rapport à la diagonale, strictement décroissante depuis l’asymptote $x = 1$ (quand $y \to +\infty$) jusqu’à l’asymptote $y = 1$ (quand $x \to
+\infty$), coupant la diagonale exactement une fois, en $(\eu, \eu)$, avec la pente $-1$ en ce point. Sur la branche se trouvent les points entiers $(2, 4)$ et $(4, 2)$ — les seuls — et les points rationnels $(x_n, y_n)$, qui progressent monotonement le long de la branche vers $(\eu, \eu)$ sans jamais l’atteindre ($\eu$ est irrationnel ; les points rationnels de la branche s’accumulent en un coin irrationnel).

**24.** (i) Les [croissances comparées](#prop-b1-functions-powerrules) ont donné les limites de $f$ en $+\infty$ (question 2) et $t\ln t \to 0$ (question 10), façonnant à la fois le tableau de variations et les asymptotes. (ii) Le théorème des valeurs intermédiaires, à travers les énoncés de [bijectivité](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj), a converti le tableau de variations en comptages exacts de solutions (question 4) et en existence de l’[application](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-map) réciproque $t(x)$ (question 12). (iii) L’unicité de la décomposition en facteurs premiers a alimenté les deux identifications de fractions irréductibles de la question 15, cœur arithmétique de la classification des points rationnels.

**25.** Un seul calcul de dérivée — le signe de $1 - \ln
t$ — a tout engendré : le nombre de solutions pour chaque niveau $c$, la forme et les asymptotes de la branche, l’inégalité extrémale $\eu^x \geq x^\eu$, la classification des solutions entières et rationnelles, et la convergence monotone de $\bigl(1 +
\frac1n\bigr)^n$. Telle est l’économie de la pensée par tableaux de variations : une étude en dimension un résout une équation à deux variables, parce que l’équation se factorise à travers une unique fonction. Le [Chapitre 11](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/11-suites#ch-b1-seq) refera la convergence de $(x_n)$ avec la théorie générale des suites monotones ; le [Chapitre 14](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/14-derivation#ch-b1-derivative) fonde rigoureusement les tableaux de variations sur le théorème des accroissements finis ; et le [Chapitre 16](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/16-formules-de-taylor-et-developpements-limites#ch-b1-taylor) fournit ce que le tableau ne peut donner — la *vitesse* de la convergence $x_n \to \eu$ (elle est d’ordre $1/n$).