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title: "Structures algébriques"
book: "Mathématiques universitaires — Licence 1"
subject: math
language: fr
chapter: 7
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/7-structures-algebriques
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# Chapitre 7 — Structures algébriques

Les mêmes règles de calcul ne cessent de réapparaître : entiers, nombres réels, nombres complexes, classes de [congruence](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/6-arithmetique-des-entiers#def-b1-arith-congruence), et bientôt polynômes ([Chapitre 8](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#ch-b1-poly)), vecteurs et matrices (Chapitres [18](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#ch-b1-vspaces) et [21](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/21-matrices#ch-b1-matrices)). L’algèbre extrait les schémas communs et leur donne un nom : *[groupe](#def-b1-structures-group)*, *[anneau](#def-b1-structures-ring)*, *[corps](#def-b1-structures-field)*. Démontrer un fait une seule fois, au niveau de la structure, le démontre d’un coup pour tous les exemples.

## 7.1 Lois de composition

**Définition 7.1.**

Une *loi de composition interne* sur un [ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) $E$ est une [application](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-map) $E \times E \to E$, notée $(x, y) \mapsto x * y$. Elle est *associative* lorsque $(x*y)*z = x*(y*z)$ toujours, *commutative* lorsque $x * y = y * x$ toujours. Un élément $e$ est un *élément neutre* lorsque $e * x = x * e = x$ pour tout $x$ ; alors $x'$ est un *inverse* de $x$ lorsque $x * x' = x' * x = e$.

**Proposition 7.2 (Unicité).**

Une loi admet au plus un élément neutre ; pour une loi associative possédant un élément neutre, chaque élément a au plus un inverse.

**Démonstration.** Si $e$ et $e'$ sont neutres : $e = e * e' = e'$. Si $x'$ et $x''$ inversent $x$ : $x' = x' * e = x' * (x * x'') = (x' * x) * x'' = e * x''
= x''$. ∎

## 7.2 Groupes

**Définition 7.3 (Groupe).**

Un *groupe* $(G, *)$ est un [ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) muni d’une loi associative admettant un élément neutre et dans lequel tout élément possède un inverse. Le groupe est *abélien* lorsque la loi est commutative.

**Exemple 7.4.**

$(\Z, +)$, $(\Q, +)$, $(\R, +)$, $(\C, +)$ ; $(\Q^*, \times)$, $(\R^*, \times)$, $(\C^*, \times)$, $(\mathbb{U}_n, \times)$ ([racines de l’unité](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/3-nombres-complexes#def-b1-complex-unity), [Définition 3.17](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/3-nombres-complexes#def-b1-complex-unity)) ; l’[ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) $\mathfrak{S}(E)$ des [bijections](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) d’un [ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) $E$ sur lui-même, muni de la composition — le *groupe symétrique* de $E$, non [abélien](#def-b1-structures-group) dès que $\abs E \geq 3$. Ne sont pas des [groupes](#def-b1-structures-group) : $(\N, +)$ (pas d’inverses), $(\Z, \times)$ (seuls $\pm 1$ sont inversibles).

**Proposition 7.5 (Règles de calcul).**

Dans un [groupe](#def-b1-structures-group) $G$ (noté multiplicativement, de neutre $e$) :

1. simplification : $ax = ay \implies x = y$ et $xa = ya \implies  x = y$ ;
2. $(ab)^{-1} = b^{-1} a^{-1}$ et $(a^{-1})^{-1} = a$ ;
3. pour $a, b \in G$ , chacune des équations $ax = b$ et $xa = b$ admet une unique solution ( $x = a^{-1}b$ , resp. $x = b a^{-1}$ ).

**Démonstration.** (1) On multiplie par $a^{-1}$ du bon côté, en utilisant l’associativité. (2) $(b^{-1}a^{-1})(ab) = b^{-1}(a^{-1}a)b = b^{-1}b =
e$ et symétriquement ; l’unicité de l’inverse conclut ; le second point est la [Proposition 7.2](#prop-b1-structures-unique) appliquée à $a^{-1}$. (3) On substitue, et (1) donne l’unicité. ∎

**Exemple 7.6 (Les symétries d’un rectangle).**

Un rectangle (non carré) admet exactement quatre isométries de lui-même sur lui-même : l’identité $e$, la symétrie d’axe horizontal $h$, la symétrie d’axe vertical $v$, et le demi-tour $r$ autour du centre. La composition fait de cet [ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) à quatre éléments un [groupe](#def-b1-structures-group) : chaque élément est son propre inverse ($h^2 = v^2 = r^2 = e$), et le produit de deux éléments distincts autres que le neutre est le troisième ($hv = vh = r$ : composer les deux symétries axiales donne le demi-tour). La table est symétrique, donc le [groupe](#def-b1-structures-group) est [abélien](#def-b1-structures-group) — et pourtant ce n’est *pas* le même [groupe](#def-b1-structures-group) que celui des rotations $\mathbb U_4$ de l’[Exemple 7.15](#ex-b1-structures-order) : là, $\iu$ est d’[ordre](#def-b1-structures-order) $4$, tandis qu’ici tout élément est d’[ordre](#def-b1-structures-order) $\leq 2$. Deux [groupes](#def-b1-structures-group) de même taille peuvent donc avoir des structures multiplicatives véritablement différentes — la figure ci-dessous affiche les deux tables côte à côte. Ce [groupe](#def-b1-structures-group) à quatre éléments réapparaîtra sous la forme $\{\pm1\} \times \{\pm1\}$, et l’[Exercice 7.7](#exo-b1-structures-7) explique pourquoi tout [groupe](#def-b1-structures-group) dont tous les carrés sont triviaux est, comme celui-ci, nécessairement [abélien](#def-b1-structures-group).

![Deux groupes à quatre éléments : U_4 = \e, , -1, - \ (à gauche) et le groupe du rectangle (à droite), les positions du neutre étant grisées. À gauche, le neutre serpente (un élément d’ordre 4 engendre tout) ; à droite, il remplit la diagonale (tout élément a pour carré e). Aucun changement de noms ne transforme une table en l’autre : les groupes ne sont pas isomorphes.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-structures/fig-b3780f21ef36.svg)

*Deux [groupes](#def-b1-structures-group) à quatre éléments : $\mathbb U_4 = \{e, \iu,
-1, -\iu\}$ (à gauche) et le [groupe](#def-b1-structures-group) du rectangle (à droite), les positions du neutre étant grisées. À gauche, le neutre serpente (un élément d’[ordre](#def-b1-structures-order) $4$ engendre tout) ; à droite, il remplit la diagonale (tout élément a pour carré $e$). Aucun changement de noms ne transforme une table en l’autre : les [groupes](#def-b1-structures-group) ne sont pas isomorphes.*

**Définition 7.7 (Sous-groupe).**

Une partie $H$ d’un [groupe](#def-b1-structures-group) $G$ est un *sous-groupe* (on note $H \leq G$) lorsqu’elle contient $e$, est stable par la loi et par passage à l’inverse. Alors $H$ est lui-même un [groupe](#def-b1-structures-group).

*Critère :* une partie non vide $H \subseteq G$ est un [sous-groupe](#def-b1-structures-group) si et seulement si

$$
\forall x, y \in H, \quad x y^{-1} \in H .
$$

**Démonstration du critère.** Un [sous-groupe](#def-b1-structures-subgroup) le vérifie de façon évidente. Réciproquement, soit $H \neq \emptyset$ le vérifiant, et prenons $x_0 \in H$. Alors $e = x_0 x_0^{-1} \in H$ ; pour $y \in H$, $y^{-1} = e\,y^{-1} \in H$ ; et pour $x, y \in H$, $xy = x (y^{-1})^{-1} \in H$. ∎

**Exemple 7.8.**

$\mathbb{U}_n \leq (\C^*, \times)$ : non vide, et pour $z, w \in
\mathbb{U}_n$, $(zw^{-1})^n = z^n (w^n)^{-1} = 1$. Les [sous-groupes](#def-b1-structures-subgroup) de $(\Z, +)$ sont exactement les $n\Z$ (démontré en [Théorème 6.4](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/6-arithmetique-des-entiers#thm-b1-arith-gcd)). Une intersection de [sous-groupes](#def-b1-structures-subgroup) est toujours un [sous-groupe](#def-b1-structures-subgroup), mais une réunion ne l’est presque jamais ([Exercice 7.6](#exo-b1-structures-6)).

**Remarque 7.9 (Pièges classiques avec les structures).**

1. *La stabilité par la loi ne suffit pas.* $\N$ est stable par addition dans $\Z$ et contient $0$ , mais n’est pas un [sous-groupe](#def-b1-structures-subgroup) : les inverses manquent. Le critère $xy^{-1} \in H$ teste tout d’un coup — mais seulement après avoir vérifié que $H \neq \emptyset$ .
2. *Réflexes non [abéliens](#def-b1-structures-group).* Dans un [groupe](#def-b1-structures-group) quelconque, $(ab)^2 = abab$ , qui ne vaut $a^2b^2$ que si $a$ et $b$ commutent ; de même $(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$ , dans l’ [ordre](#def-b1-structures-order) inverse. Toute identité importée de l’algèbre du secondaire doit être redémontrée à partir des axiomes, ou signalée comme valable dans le cas commutatif.
3. *[Noyau](#def-b1-structures-morphism) contre image.* $\ker f$ vit dans l’ [ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) de *départ* , $\operatorname{im} f$ dans l’ [ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) d’arrivée ; « $f$ est [injectif](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) si et seulement si $\ker f$ est trivial » ( [Proposition 7.11](#prop-b1-structures-kernel) ) n’a aucun analogue avec l’image ( $\operatorname{im} f = G'$ , c’est la [surjectivité](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) ).
4. *Les anneaux ne sont pas des [groupes](#def-b1-structures-group) pour $\times$.* Dans un [anneau](#def-b1-structures-ring) , la plupart des éléments n’ont aucune raison d’être inversibles, et simplifier par $a$ exige que $a$ soit inversible ou que l’ [anneau](#def-b1-structures-ring) soit intègre : dans $\Z/12\Z$ , $\overline3\,\overline2 =  \overline3\,\overline6$ alors que $\overline2 \neq  \overline6$ ( [Exemple 7.27](#ex-b1-structures-zncomputation) ).

**Définition 7.10 (Morphisme de groupes).**

Soient $(G, *)$ et $(G', \star)$ deux [groupes](#def-b1-structures-group). Une [application](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-map) $f \colon G \to G'$ est un *morphisme* lorsque

$$
\forall x, y \in G, \qquad f(x * y) = f(x) \star f(y).
$$

On a alors $f(e_G) = e_{G'}$ et $f(x^{-1}) = f(x)^{-1}$. Le *noyau* et l’*image* de $f$ sont

$$
\ker f = f^{-1}(\{e_{G'}\}) \leq G,
\qquad
\operatorname{im} f = f(G) \leq G' .
$$

Un morphisme [bijectif](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) est un *isomorphisme* ; son [application](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-map) réciproque est alors automatiquement un morphisme.

**Démonstration des assertions.** $f(e) = f(e * e) = f(e)\star f(e)$, et en simplifiant par $f(e)$ on obtient $e_{G'} = f(e)$. Ensuite $f(x)\star f(x^{-1}) = f(x x^{-1}) =
e_{G'}$ identifie $f(x^{-1})$ comme étant l’inverse. [Noyau](#def-b1-structures-morphism) : $e \in
\ker f$ ; si $x, y \in \ker f$, $f(xy^{-1}) = f(x)f(y)^{-1} = e$ ; le critère s’applique. Image : même critère, avec $f(x)f(y)^{-1} =
f(xy^{-1})$. Réciproque d’un isomorphisme : pour $u, v \in G'$, écrivons $u = f(x)$, $v = f(y)$ ; alors $f^{-1}(u \star v) =
f^{-1}(f(xy)) = xy = f^{-1}(u) f^{-1}(v)$. ∎

**Proposition 7.11 (Injectivité par le noyau).**

Un [morphisme](#def-b1-structures-morphism) de [groupes](#def-b1-structures-group) $f$ est [injectif](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) si et seulement si $\ker f =
\{e\}$.

**Démonstration.** Si $f$ est [injectif](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj), $\ker f$ ne peut contenir que l’unique antécédent de $e_{G'}$, à savoir $e$. Réciproquement, si $\ker f = \{e\}$ et $f(x) = f(y)$, alors $f(xy^{-1}) = f(x) f(y)^{-1} = e_{G'}$, donc $xy^{-1} = e$, c’est-à-dire $x = y$. ∎

**Exemple 7.12.**

$\exp \colon (\R, +) \to (\R_+^*, \times)$ est un [morphisme](#def-b1-structures-morphism) ($\eu^{x+y} = \eu^x \eu^y$), [bijectif](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) ([Proposition 4.1](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/4-fonctions-usuelles#prop-b1-functions-expln)) : les structures additive et multiplicative sont isomorphes — la raison d’être historique des logarithmes. Autre [morphisme](#def-b1-structures-morphism) : $\theta \mapsto \eu^{\iu\theta}$, de $(\R, +)$ sur le cercle unité $(\mathbb{U}, \times)$, de [noyau](#def-b1-structures-morphism) $2\pi\Z$.

**Exemple 7.13 (Le morphisme signe).**

L’[application](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-map) $s \colon (\R^*, \times) \to (\{\pm1\}, \times)$ qui envoie $x$ sur son signe est un [morphisme](#def-b1-structures-morphism) : le signe d’un produit est le produit des signes. Son [noyau](#def-b1-structures-morphism) est $\intoo0{+\infty}$ (un [sous-groupe](#def-b1-structures-subgroup), comme le promet [Définition 7.10](#def-b1-structures-morphism)), son image est $\{\pm1\}$ tout entier : [surjectif](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj), massivement non [injectif](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj). Deux leçons générales en miniature. D’abord, un [morphisme](#def-b1-structures-morphism) peut écraser de l’information : $s$ ne retient de $x$ qu’un seul bit, et c’est là sa vertu — les raisonnements de signe sont exactement les calculs qui se factorisent par $s$. Ensuite, les [morphismes](#def-b1-structures-morphism) à valeurs dans $\{\pm1\}$ sont les « invariants » les plus simples : la signature des [permutations](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/2-denombrement#def-b1-counting-objects), construite dans le devoir maison de ce chapitre, est le même phénomène sur le [groupe](#def-b1-structures-group) $\mathfrak S_n$, et tous les raisonnements de parité qu’elle alimente passent par un tel [morphisme](#def-b1-structures-morphism) à deux valeurs.

**Définition 7.14 (Puissances, ordre d’un élément).**

Dans un [groupe](#def-b1-structures-group) $G$ (en notation multiplicative), on pose $x^0 = e$, $x^{k+1} = x^k x$ et $x^{-k} = (x^k)^{-1}$ pour $k \in \N$ ; on a alors $x^{k+l} = x^k x^l$ pour tous $k, l \in \Z$, de sorte que $k \mapsto
x^k$ est un [morphisme](#def-b1-structures-morphism) $(\Z, +) \to G$ dont l’image $\langle x \rangle =
\{x^k : k \in \Z\}$ est un [sous-groupe](#def-b1-structures-subgroup), le [sous-groupe](#def-b1-structures-subgroup) *engendré* par $x$. L’*ordre* de $x$ est le plus petit $m \geq 1$ tel que $x^m = e$, s’il en existe un (alors $\langle x\rangle = \{e, x, \dots, x^{m-1}\}$ a exactement $m$ éléments, et $x^k = e \iff m \mid k$), et $\infty$ sinon.

**Exemple 7.15.**

Dans $(\C^*, \times)$ : $\iu$ est d’[ordre](#def-b1-structures-order) $4$, avec $\langle \iu \rangle
= \{1, \iu, -1, -\iu\} = \mathbb{U}_4$ ; plus généralement $\omega =
\eu^{2\iu\pi/n}$ est d’[ordre](#def-b1-structures-order) $n$ et $\langle\omega\rangle =
\mathbb{U}_n$. Dans $(\Z, +)$, tout $x \neq 0$ est d’[ordre](#def-b1-structures-order) infini. Pourquoi les affirmations de la définition sont vraies : si $x$ est d’[ordre](#def-b1-structures-order) $m$, effectuons la division euclidienne d’un $k$ quelconque par $m$ ($k = mq + r$, $0 \leq r < m$, [Théorème 6.2](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/6-arithmetique-des-entiers#thm-b1-arith-division)) : $x^k = (x^m)^q x^r = x^r$, donc les puissances sont périodiques de période $m$, les éléments énumérés sont deux à deux distincts par minimalité de $m$, et $x^k = e$ force $r = 0$. Les [ordres](#def-b1-structures-order) des [permutations](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/2-denombrement#def-b1-counting-objects) sont calculés dans le devoir maison ci-dessous.

**Exemple 7.16 (Ordres dans U12\mathbb U_{12}U12​).**

Quel est l’[ordre](#def-b1-structures-order) de $\omega^k$ dans $\mathbb U_n$, pour $\omega =
\eu^{2\iu\pi/n}$ ? On a $(\omega^k)^m = 1$ si et seulement si $n \mid km$, et en écrivant $d = \gcd(n, k)$, $n = dn'$, $k = dk'$ avec $\gcd(n', k') = 1$ : $n \mid km \iff n' \mid k'm \iff n' \mid m$ ([lemme de Gauss](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/6-arithmetique-des-entiers#thm-b1-arith-gauss), [Théorème 6.8](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/6-arithmetique-des-entiers#thm-b1-arith-gauss)). Le plus petit tel $m \geq 1$ est $n' = \frac{n}{\gcd(n,k)}$. Dans $\mathbb U_{12}$ par exemple, $\omega^8$ est d’[ordre](#def-b1-structures-order) $\frac{12}{\gcd(12,8)} = 3$ (en effet $\omega^8 = \eu^{4\iu\pi/3} \in \mathbb U_3$), tandis que $\omega^5$ est d’[ordre](#def-b1-structures-order) $12$ : il engendre le [groupe](#def-b1-structures-group) tout entier, bien qu’il ne soit pas le générateur « standard ». Compter les générateurs — les $k$ tels que $\gcd(k, n) = 1$ — redonne les dénombrements d’entiers premiers avec $n$ de l’[Exemple 2.25](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/2-denombrement#ex-b1-counting-coprime) : théorie des [groupes](#def-b1-structures-group) et dénombrement se rejoignent.

## 7.3 Anneaux et corps

**Définition 7.17 (Anneau).**

Un *anneau* $(A, +, \times)$ est un [ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) muni de deux lois telles que : $(A, +)$ est un [groupe abélien](#def-b1-structures-group) (de neutre $0$) ; $\times$ est associative et possède un élément neutre $1$ ; et $\times$ est distributive par rapport à $+$ des deux côtés. L’anneau est *commutatif* lorsque $\times$ l’est. Un élément $a$ est *inversible* (on dit aussi que c’est une *unité*) lorsque $ab = ba = 1$ pour un certain $b$ ; les inversibles forment un [groupe](#def-b1-structures-group) $(A^\times, \times)$.

**Démonstration : les inversibles forment un groupe.** Stabilité : si $a, a'$ sont inversibles, d’inverses $b, b'$, alors

$$
(aa')(b'b) = a(a'b')b = a\,1\,b = ab = 1,
\qquad (b'b)(aa') = 1
$$

symétriquement, donc $aa'$ est inversible. L’élément $1$ est inversible (il est son propre inverse), l’associativité est héritée de $A$, et l’inverse $b$ d’un inversible $a$ est lui-même inversible (d’inverse $a$). Ainsi $(A^\times, \times)$ vérifie tous les axiomes de [groupe](#def-b1-structures-group). Tous les [groupes](#def-b1-structures-group) de ce livre qui ne sont pas construits à partir de [permutations](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/2-denombrement#def-b1-counting-objects) apparaissent de cette façon : $\Q^* = \Q^\times$, $\R^*$, $\C^*$, les inversibles de $\Z/n\Z$ ci-dessous, et plus tard les matrices inversibles ([Chapitre 21](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/21-matrices#ch-b1-matrices)). ∎

**Exemple 7.18.**

$\Z, \Q, \R, \C$ sont des anneaux commutatifs ; $\Z^\times = \{1, -1\}$, $\Q^\times = \Q^*$. Plus tard : les anneaux de polynômes $K[X]$ ([Chapitre 8](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#ch-b1-poly)), les anneaux de matrices (non commutatifs, [Chapitre 21](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/21-matrices#ch-b1-matrices)), et $\Z/n\Z$ ci-dessous. Dans tout [anneau](#def-b1-structures-ring), $0 \times a = 0$ (par distributivité : $0a = (0+0)a = 0a + 0a$), et $(-1)a = -a$.

**Exemple 7.19 (Idempotents : des phénomènes nouveaux dans des anneaux nouveaux).**

Dans $\Z$, l’équation $x^2 = x$, c’est-à-dire $x(x - 1) = 0$, n’a que les solutions $0$ et $1$. Dans $\Z/6\Z$, en testant toutes les classes : $\overline0^2 = \overline0$, $\overline1^2 = \overline1$, $\overline3^2 = \overline9 = \overline3$ et $\overline4^2 =
\overline{16} = \overline4$ — *quatre* idempotents. Les deux exotiques proviennent de diviseurs de zéro : $\overline3\,(\overline3 -
\overline1) = \overline3 \times \overline2 = \overline6 =
\overline0$, sans qu’aucun des deux facteurs ne soit nul. De tels calculs recalibrent l’intuition : les faits familiers sur les équations survivent dans les anneaux intègres et dans les [corps](#def-b1-structures-field), mais un [anneau](#def-b1-structures-ring) quelconque peut se comporter — et se comporte — tout autrement ; voir aussi les anneaux de Boole de l’[Exercice 7.10](#exo-b1-structures-10), où *tout* élément est idempotent.

**Proposition 7.20 (Formule du binôme dans un anneau commutatif).**

Si $a, b$ sont des éléments d’un [anneau](#def-b1-structures-ring) commutatif (plus généralement, si $ab = ba$), alors pour $n \in \N$ :

$$
(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom nk a^k b^{n-k},
\qquad
a^n - b^n = (a - b) \sum_{k=0}^{n-1} a^k b^{\,n-1-k} .
$$

**Démonstration.** Les démonstrations du [Théorème 2.16](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/2-denombrement#thm-b1-counting-binomial) et de l’identité géométrique n’utilisent que l’associativité, la commutativité des deux éléments et la distributivité — elles s’appliquent mot pour mot. ∎

**Exemple 7.21 (La formule du binôme dans un anneau inhabituel).**

Deux bénéfices immédiats de cette généralité. Dans $\Z/p\Z$ ($p$ premier), les coefficients binomiaux intermédiaires sont nuls (c’est la première étape du [Théorème 6.23](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/6-arithmetique-des-entiers#thm-b1-arith-fermat)), de sorte que la formule s’effondre en le *rêve du débutant*

$$
(a + b)^p = a^p + b^p \qquad \text{dans } \Z/p\Z ,
$$

une véritable identité dans cet [anneau](#def-b1-structures-ring), si criminelle qu’elle paraisse sur $\R$. Et dans tout [anneau](#def-b1-structures-ring) commutatif contenant un élément $\varepsilon$ tel que $\varepsilon^2 = 0$, la formule se tronque : $(a + \varepsilon)^n = a^n + n\,a^{n-1}\varepsilon$, tous les termes suivants portant un facteur $\varepsilon^2 = 0$. Le coefficient $n\,a^{n-1}$ de $\varepsilon$ est la dérivée de $x^n$ — ce n’est pas un hasard, et c’est un premier indice que les dérivées relèvent autant de l’algèbre que de l’analyse (comparer avec la dérivée formelle du [Chapitre 8](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#ch-b1-poly)).

**Définition 7.22 (Anneau intègre, corps).**

Un [anneau](#def-b1-structures-ring) commutatif $A \neq \{0\}$ est un *anneau intègre* lorsqu’il n’a pas de diviseur de zéro : $ab = 0 \implies a = 0$ ou $b = 0$. C’est un *corps* lorsque tout élément non nul est inversible. Tout corps est intègre ($ab = 0$ et $a \neq 0$ donnent $b = a^{-1}ab = 0$).

**Exemple 7.23.**

$\Q$, $\R$, $\C$ sont des [corps](#def-b1-structures-field) ; $\Z$ est un [anneau intègre](#def-b1-structures-field) mais n’est pas un [corps](#def-b1-structures-field). Dans un [anneau intègre](#def-b1-structures-field), on peut simplifier pour $\times$ : $ab = ac$ et $a \neq 0$ entraînent $b = c$.

## 7.4 L’anneau $\Z/n\Z$

**Définition 7.24.**

Fixons $n \in \N^*$. Les classes de [congruence](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/6-arithmetique-des-entiers#def-b1-arith-congruence) modulo $n$ ([Exemple 1.32](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#ex-b1-logic-congruence)) forment un [ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) $\Z/n\Z$ à $n$ éléments, notées $\overline 0,
\overline 1, \dots, \overline{n-1}$. Les opérations

$$
\overline a + \overline b = \overline{a + b},
\qquad
\overline a \times \overline b = \overline{ab}
$$

sont bien définies — les classes des résultats ne dépendent pas des représentants, précisément parce que la [congruence](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/6-arithmetique-des-entiers#def-b1-arith-congruence) est compatible avec $+$ et $\times$ ([Définition 6.18](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/6-arithmetique-des-entiers#def-b1-arith-congruence)) — et font de $\Z/n\Z$ un [anneau](#def-b1-structures-ring) commutatif.

**Théorème 7.25 (Inversibles de Z/nZ\Z/n\ZZ/nZ ; les corps Z/pZ\Z/p\ZZ/pZ).**

1. $\overline a$ est inversible dans $\Z/n\Z$ si et seulement si $\gcd(a, n) = 1$ .
2. $\Z/n\Z$ est un [corps](#def-b1-structures-field) si et seulement si $n$ est premier.

**Démonstration.** (1) n’est autre que la [Proposition 6.20](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/6-arithmetique-des-entiers#prop-b1-arith-invmod) réécrite en termes de classes.

(2) Si $n = p$ est premier, tout $\overline a \neq \overline 0$ vérifie $p \nmid a$, donc $\gcd(a, p) = 1$ : il est inversible par (1) — c’est un [corps](#def-b1-structures-field). Si $n = ab$ avec $1 < a, b < n$, alors $\overline a\,
\overline b = \overline n = \overline 0$ avec $\overline a, \overline b
\neq \overline 0$ : il y a des diviseurs de zéro, donc l’[anneau](#def-b1-structures-ring) n’est même pas intègre ; et $n = 1$ donne l’[anneau](#def-b1-structures-ring) nul, exclu. ∎

**Exemple 7.26 (Combien de racines carrées de 111 ?).**

Résolvons $x^2 = \overline 1$ dans $\Z/8\Z$ puis dans $\Z/7\Z$. En testant les huit classes modulo $8$ : $1^2 = 1$, $3^2 = 9 \equiv 1$, $5^2 = 25 \equiv 1$, $7^2 = 49 \equiv 1$ — *quatre* solutions $\{\overline1, \overline3, \overline5, \overline7\}$, alors même que le polynôme $X^2 - 1$ est de degré $2$. Dans le [corps](#def-b1-structures-field) $\Z/7\Z$, en revanche, $x^2 = \overline1$ signifie $(x - \overline1)(x +
\overline1) = \overline0$, et un [corps](#def-b1-structures-field) n’a pas de diviseur de zéro : $x = \pm\overline1$, deux solutions seulement. L’échec modulo $8$ s’explique : $(3-1)(3+1) = 2 \times 4 = 8 \equiv 0$ sans qu’aucun des deux facteurs ne s’annule. Morale : la règle familière « une équation de degré $d$ a au plus $d$ racines » est un théorème sur les *anneaux intègres* (le [Corollaire 8.8](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#cor-b1-poly-nroots) le démontre sur un [corps](#def-b1-structures-field)) ; dans un [anneau](#def-b1-structures-ring) à diviseurs de zéro, elle tombe en défaut sans prévenir — et c’est exactement pourquoi la démonstration par appariement du théorème de Wilson ([Exercice 6.11](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/6-arithmetique-des-entiers#exo-b1-arith-11)) exigeait $p$ premier.

**Exemple 7.27 (Calculer dans Z/nZ\Z/n\ZZ/nZ).**

Dans $\Z/12\Z$ : les inversibles sont $\overline 1, \overline 5,
\overline 7, \overline{11}$ (les classes premières avec $12$), et chacun est son propre inverse ($5^2 = 25 \equiv 1$, $7^2 = 49 \equiv 1$, $11^2 = 121 \equiv 1$). L’équation $\overline 3\, x = \overline 6$ a *trois* solutions ($x \in \{\overline 2, \overline 6,
\overline{10}\}$) : sans inversibilité, pas de simplification. Dans $\Z/11\Z$ en revanche, toute équation $\overline a x = \overline b$ avec $\overline a \neq \overline 0$ a exactement une solution.

**Exemple 7.28 (Les axiomes de groupe comme permis de résoudre).**

Dans le [groupe](#def-b1-structures-group) $\bigl((\Z/7\Z)^*, \times\bigr)$, résolvons $\overline
3\,x = \overline 5$. D’après la [Proposition 7.5](#prop-b1-structures-rules) (3), la solution existe, elle est unique, et vaut $\overline3^{-1}\,
\overline5$ ; comme $\overline3 \times \overline5 = \overline{15}
= \overline1$, l’inverse de $\overline 3$ est $\overline 5$, d’où

$$
x = \overline5 \times \overline5 = \overline{25} = \overline4,
\qquad\text{vérification~: } \overline3 \times \overline4 =
\overline{12} = \overline5 .
$$

Ce qui compte, moins que la réponse, c’est la garantie : dans un [groupe](#def-b1-structures-group), toute équation de ce type admet une solution unique *avant* tout calcul, si bien qu’une procédure de résolution ne peut jamais tomber sur « pas de solution » ou « plusieurs ». Comparer avec $\overline3\,x = \overline6$ dans $\Z/12\Z$ ci-dessus, où la garantie tombe en défaut — savoir dans quelle structure on travaille, c’est savoir ce que l’on peut tenir pour acquis.

**Exemple 7.29 (Produits directs).**

Si $G$ et $H$ sont des [groupes](#def-b1-structures-group), l’[ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) produit $G \times H$ muni de la loi composante par composante $(g, h)(g', h') = (gg', hh')$ est un [groupe](#def-b1-structures-group) : les axiomes se vérifient coordonnée par coordonnée, avec pour neutre $(e_G, e_H)$ et pour inverses $(g^{-1}, h^{-1})$. Les [ordres](#def-b1-structures-order) se combinent par le PPCM : $(g, h)^m = (g^m, h^m)$ est le neutre si et seulement si l’[ordre](#def-b1-structures-order) de $g$ et l’[ordre](#def-b1-structures-order) de $h$ [divisent](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/6-arithmetique-des-entiers#def-b1-arith-divides) tous deux $m$. Ainsi, dans $\Z/2\Z \times \Z/2\Z$ (noté additivement), tout élément non nul est d’[ordre](#def-b1-structures-order) $2$ — c’est exactement le [groupe](#def-b1-structures-group) du rectangle de l’[Exemple 7.6](#ex-b1-structures-klein) en coordonnées — alors que $\Z/4\Z$ possède un élément d’[ordre](#def-b1-structures-order) $4$ : seconde démonstration, sans le moindre calcul, du fait que les deux [groupes](#def-b1-structures-group) de [cardinal](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/2-denombrement#def-b1-counting-card) $4$ ne sont pas isomorphes (un isomorphisme conserve les [ordres](#def-b1-structures-order)). Les produits sont le moyen le plus simple de fabriquer des [groupes](#def-b1-structures-group) nouveaux à partir d’anciens, et le plan $\R^2 = \R \times \R$ du [Chapitre 18](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#ch-b1-vspaces) est l’exemple le plus important de cette construction.

**Remarque 7.30 (Fermat, structurellement).**

Dans le [corps](#def-b1-structures-field) $\Z/p\Z$, les classes non nulles forment un [groupe](#def-b1-structures-group) multiplicatif à $p - 1$ éléments, et le [petit théorème de Fermat](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/6-arithmetique-des-entiers#thm-b1-arith-fermat) ([Théorème 6.23](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/6-arithmetique-des-entiers#thm-b1-arith-fermat)) affirme : tout élément $x$ de ce [groupe](#def-b1-structures-group) vérifie $x^{p-1} = \overline 1$. C’est un cas particulier d’un fait général sur les [groupes](#def-b1-structures-group) finis (le théorème de Lagrange), démontré en deuxième année ; la démonstration par appariement du théorème de Wilson ([Exercice 6.11](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/6-arithmetique-des-entiers#exo-b1-arith-11)) avait déjà cette saveur de théorie des [groupes](#def-b1-structures-group).

**Remarque 7.31 (Interlude : ce que rapporte l’abstraction).**

On peut légitimement demander ce que l’on a gagné à démontrer, disons, la [Proposition 7.2](#prop-b1-structures-unique) pour une loi abstraite plutôt que pour des nombres. La réponse est un effet de levier. Cet argument de deux lignes couvre désormais, d’un seul coup : les réciproques des fonctions pour la composition ([Théorème 1.24](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#thm-b1-logic-inverse), dont il répète mot pour mot la démonstration d’unicité), les inverses modulo $n$ ([Proposition 6.20](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/6-arithmetique-des-entiers#prop-b1-arith-invmod)), les inverses des réels non nuls, ceux des inversibles d’un [anneau](#def-b1-structures-ring) quelconque et — sans même les avoir vues — ceux des matrices inversibles du [Chapitre 21](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/21-matrices#ch-b1-matrices), où l’unicité de $A^{-1}$ ne demandera pas une seule ligne de démonstration. La même économie vaut pour la [Proposition 7.11](#prop-b1-structures-kernel) (un unique critère d’[injectivité](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj), réutilisé pour les [applications](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-map) linéaires au [Chapitre 20](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/20-applications-lineaires#ch-b1-linmaps)) et pour le critère de [sous-groupe](#def-b1-structures-subgroup). L’abstraction n’est pas ici la généralité pour elle-même : c’est le refus de démontrer cinq fois le même lemme sous cinq noms différents. Le prix — garder trace des axiomes que chaque énoncé a réellement utilisés — est précisément ce que les exercices de ce chapitre entraînent.

**Remarque 7.32 (Où ce chapitre sert).**

Le vocabulaire de ce chapitre est la grammaire de tout le reste du volume. Anneaux et [corps](#def-b1-structures-field) organisent le [Chapitre 8](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/8-polynomes#ch-b1-poly) ($K[X]$ est un [anneau](#def-b1-structures-ring) qui imite $\Z$) et le [Chapitre 9](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/9-fractions-rationnelles#ch-b1-fractions) ($K(X)$ en est le [corps](#def-b1-structures-field) des fractions) ; les espaces vectoriels ([Chapitre 18](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/18-espaces-vectoriels#ch-b1-vspaces)) sont des [groupes abéliens](#def-b1-structures-group) sur lesquels agit un [corps](#def-b1-structures-field) ; les matrices ([Chapitre 21](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/21-matrices#ch-b1-matrices)) forment le premier [anneau](#def-b1-structures-ring) sérieusement non commutatif du volume, et leurs éléments inversibles un [groupe](#def-b1-structures-group) dont l’étude est l’algèbre linéaire elle-même. [Morphismes](#def-b1-structures-morphism) et noyaux reviennent sous la forme des [applications](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-map) linéaires et de leurs noyaux au [Chapitre 20](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/20-applications-lineaires#ch-b1-linmaps) — la [Proposition 7.11](#prop-b1-structures-kernel) *est* le critère d’[injectivité](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) de ce chapitre-là, démontré ici une fois pour toutes. Le [groupe symétrique](#ex-b1-structures-groups), vedette du devoir maison ci-dessous, fournit la signature sur laquelle sont bâtis les déterminants au [Chapitre 22](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/22-determinants-et-systemes-lineaires#ch-b1-det).

## 7.5 Exercices

**Exercice 7.1 ★.**

Sur $E = \R \setminus \{1\}$, on définit $x * y = x + y - xy$. Démontrer que $(E, *)$ est un [groupe abélien](#def-b1-structures-group). *(Identifier l’élément neutre et l’inverse de $x$ ; vérifier la stabilité : pourquoi a-t-on $x * y \neq 1$ ?)*

**Solution de Exercice 7.1.**

*Stabilité :* $x * y = 1 \iff x + y - xy = 1 \iff (1-x)(1-y) = 0$, impossible pour $x, y \neq 1$. En effet, l’identité clé est

$$
1 - x * y = (1 - x)(1 - y):
$$

l’[application](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-map) $\varphi(x) = 1 - x$ envoie $(E, *)$ sur $(\R^*, \times)$ avec $\varphi(x * y) = \varphi(x)\varphi(y)$ — c’est un [morphisme](#def-b1-structures-morphism) [bijectif](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj). Tous les axiomes se transportent alors : associativité et commutativité découlent de celles de $\times$ ; l’élément neutre est $\varphi^{-1}(1) = 0$ (vérification : $x * 0 = x$) ; l’inverse de $x$ est $\varphi^{-1}\bigl((1-x)^{-1}\bigr) =
1 - \frac{1}{1-x} = \frac{x}{x - 1}$ (qui est $\neq 1$). Donc $(E, *)$ est un [groupe abélien](#def-b1-structures-group).

**Exercice 7.2 ★.**

Lesquels des [ensembles](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) suivants sont des [groupes](#def-b1-structures-group) ?

1. $(\intoo{0}{+\infty}, \times)$ ;
2. $(\{-1, 0, 1\}, +)$ ;
3. $(\Q^*, \times)$ ;
4. l’ [ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) des entiers impairs muni de l’addition.

**Solution de Exercice 7.2.**

1. Oui : le produit de deux réels strictement positifs est strictement positif, neutre $1$ , inverse $\frac 1x$ , associativité héritée de $\R^*$ .
2. Non : pas de stabilité ( $1 + 1 = 2 \notin \{-1,0,1\}$ ).
3. Oui : c’est l’exemple standard.
4. Non : pas de stabilité (impair $+$ impair $=$ pair), et pas d’élément neutre ( $0$ est pair).

**Exercice 7.3 ★.**

Écrire la table de composition du [groupe symétrique](#ex-b1-structures-groups) $\mathfrak{S}_3$ de $\{1,2,3\}$ (six [bijections](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) : l’identité, trois transpositions, deux $3$-cycles), et exhiber deux éléments qui ne commutent pas.

**Solution de Exercice 7.3.**

Notons $\mathrm{id}$, les transpositions $\tau_{12}, \tau_{13},
\tau_{23}$ (qui échangent les deux points indiqués), et les cycles $c =
(1\,2\,3)$ (c’est-à-dire $1 \mapsto 2 \mapsto 3 \mapsto 1$) et $c^2 =
(1\,3\,2)$. La table de $\sigma\rho$ (ligne $\sigma$, colonne $\rho$, on applique $\rho$ d’abord) :

| $\sigma\backslash\rho$ | $\mathrm{id}$ | $c$ | $c^2$ | $\tau_{12}$ | $\tau_{13}$ | $\tau_{23}$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $\mathrm{id}$ | $\mathrm{id}$ | $c$ | $c^2$ | $\tau_{12}$ | $\tau_{13}$ | $\tau_{23}$ |
| $c$ | $c$ | $c^2$ | $\mathrm{id}$ | $\tau_{13}$ | $\tau_{23}$ | $\tau_{12}$ |
| $c^2$ | $c^2$ | $\mathrm{id}$ | $c$ | $\tau_{23}$ | $\tau_{12}$ | $\tau_{13}$ |
| $\tau_{12}$ | $\tau_{12}$ | $\tau_{23}$ | $\tau_{13}$ | $\mathrm{id}$ | $c^2$ | $c$ |
| $\tau_{13}$ | $\tau_{13}$ | $\tau_{12}$ | $\tau_{23}$ | $c$ | $\mathrm{id}$ | $c^2$ |
| $\tau_{23}$ | $\tau_{23}$ | $\tau_{13}$ | $\tau_{12}$ | $c^2$ | $c$ | $\mathrm{id}$ |

Couple ne commutant pas : $\tau_{12}\tau_{13} = c^2$ tandis que $\tau_{13}\tau_{12} = c$. (Vérification d’une case : $\tau_{12}\tau_{13}$ envoie $1 \xmapsto{\tau_{13}} 3
\xmapsto{\tau_{12}} 3$, $3 \mapsto 1 \mapsto 2$, $2 \mapsto 2 \mapsto
1$ : c’est $1 \mapsto 3 \mapsto 2 \mapsto 1$, le cycle $c^2 =
(1\,3\,2)$.)

**Exercice 7.4 ★.**

Démontrer que $H = \{z \in \C^* : \abs z = 1\}$ est un [sous-groupe](#def-b1-structures-subgroup) de $(\C^*, \times)$, et que $\R_+^*$ en est un autre ; $H \cup \R_+^*$ est-il un [sous-groupe](#def-b1-structures-subgroup) ?

**Solution de Exercice 7.4.**

$H$ : $1 \in H$ ; pour $z, w \in H$, $\abs{zw^{-1}} = \abs z / \abs w =
1$ : le critère s’applique. $\R_+^*$ : de même, la positivité remplaçant le [module](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/3-nombres-complexes#def-b1-complex-field). Réunion : $\iu \in H$ et $2 \in \R_+^*$, mais $2\iu$ a pour [module](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/3-nombres-complexes#def-b1-complex-field) $2 \neq 1$ et n’est pas un réel strictement positif : $2\iu \notin H \cup \R_+^*$, donc la réunion n’est pas stable — ce n’est pas un [sous-groupe](#def-b1-structures-subgroup) (comme le prévoit [Exercice 7.6](#exo-b1-structures-6), aucun des deux [sous-groupes](#def-b1-structures-subgroup) ne contient l’autre).

**Exercice 7.5 ★★.**

Soit $f \colon (\R, +) \to (\C^*, \times)$, $\theta \mapsto
\eu^{\iu\theta}$. Démontrer que $f$ est un [morphisme](#def-b1-structures-morphism), calculer $\ker f$ et $\operatorname{im} f$, et déduire de la [Proposition 7.11](#prop-b1-structures-kernel) que $f$ n’est pas [injectif](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj). Restreindre l’[ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) de départ de façon à rendre $f$ [injectif](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) sur un intervalle aussi grand que possible.

**Solution de Exercice 7.5.**

[Morphisme](#def-b1-structures-morphism) : $\eu^{\iu(\theta + \varphi)} =
\eu^{\iu\theta}\eu^{\iu\varphi}$ ([Théorème 3.7](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/3-nombres-complexes#thm-b1-complex-funceq)). [Noyau](#def-b1-structures-morphism) : $\eu^{\iu\theta} = 1 \iff \theta \in 2\pi\Z$, donc $\ker f =
2\pi\Z \neq \{0\}$ : $f$ n’est pas [injectif](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj). Image : tout nombre complexe de [module](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/3-nombres-complexes#def-b1-complex-field) $1$ s’écrit $\eu^{\iu\theta}$ pour un certain $\theta$ (forme polaire), donc $\operatorname{im} f = \mathbb{U}$, le cercle unité. La restriction de $f$ à un intervalle semi-ouvert de longueur $2\pi$, comme $\intco{0}{2\pi}$ ou $\intoc{-\pi}{\pi}$, est [injective](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) (deux angles de même image diffèrent d’un multiple de $2\pi$, et un seul représentant de chaque classe tient dans l’intervalle) ; aucun intervalle de longueur supérieure ne convient, puisqu’il contient deux points distants de $2\pi$.

**Exercice 7.6 ★★.**

Soient $H, K$ des [sous-groupes](#def-b1-structures-subgroup) de $G$. Démontrer que $H \cap K$ est un [sous-groupe](#def-b1-structures-subgroup), et que $H \cup K$ n’est un [sous-groupe](#def-b1-structures-subgroup) *que* si $H \subseteq K$ ou $K \subseteq H$. *(Si $h \in H \setminus K$ et $k \in K \setminus H$, où $hk$ peut-il bien vivre ?)*

**Solution de Exercice 7.6.**

Intersection : $e \in H \cap K$, et $x, y \in H \cap K$ donnent $xy^{-1}$ à la fois dans $H$ et dans $K$. Réunion : si $H \subseteq K$, la réunion est $K$, qui est un [sous-groupe](#def-b1-structures-subgroup) (et symétriquement). Réciproquement, supposons qu’aucune des deux inclusions n’ait lieu : prenons $h \in H \setminus K$ et $k \in K \setminus H$, et supposons que $H \cup K$ soit un [sous-groupe](#def-b1-structures-subgroup) ; alors $hk \in H \cup K$. Si $hk \in H$, alors $k = h^{-1}(hk) \in H$ : contradiction. Si $hk \in
K$, alors $h = (hk)k^{-1} \in K$ : contradiction. Donc $H \cup K$ n’est pas un [sous-groupe](#def-b1-structures-subgroup).

**Exercice 7.7 ★★.**

Un [groupe](#def-b1-structures-group) $G$ vérifie $x^2 = e$ pour tout $x \in G$. Démontrer que $G$ est [abélien](#def-b1-structures-group). *(Développer $(xy)^2$.)*

**Solution de Exercice 7.7.**

Remarquons d’abord que $x^2 = e$ signifie $x^{-1} = x$ pour tout $x$. Alors, pour $x, y \in G$ :

$$
xy = (xy)^{-1} = y^{-1} x^{-1} = yx ,
$$

en utilisant [Proposition 7.5](#prop-b1-structures-rules) (2). Donc $G$ est [abélien](#def-b1-structures-group).

**Exercice 7.8 ★★.**

Dans $\Z/18\Z$ : énumérer les inversibles et trouver l’inverse de $\overline 5$ ; résoudre $\overline 5\, x = \overline 7$ ; résoudre $\overline 6\, x = \overline 3$ et $\overline 6\, x = \overline{12}$.

**Solution de Exercice 7.8.**

Inversibles de $\Z/18\Z$ : les classes premières avec $18 = 2 \times
3^2$ : $\overline 1, \overline 5, \overline 7, \overline{11},
\overline{13}, \overline{17}$. Inverse de $\overline 5$ : $5 \times 11
= 55 = 3\times 18 + 1$, donc $\overline 5^{-1} = \overline{11}$.

$\overline 5 x = \overline 7$ : on multiplie par $\overline{11}$ : $x =
\overline{77} = \overline 5$ (car $77 = 4\times 18 + 5$). Solution unique.

$\overline 6 x = \overline 3$ : l’équation $6x \equiv 3 \pmod{18}$ signifie $18 \mid 6x - 3$. Or $6x - 3 = 3(2x - 1)$ est impair, tandis que $18$ est pair : un nombre pair ne peut pas diviser un nombre impair. Pas de solution.

$\overline 6 x = \overline{12}$ : $6x \equiv 12 \pmod{18} \iff x
\equiv 2 \pmod 3$ : solutions $x \in \{\overline 2, \overline 5,
\overline 8, \overline{11}, \overline{14}, \overline{17}\}$ — il y en a six.

**Exercice 7.9 ★★.**

Démontrer que l’[ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) $\Z[\sqrt 2] = \{a + b\sqrt 2 : a, b \in \Z\}$ est un [anneau](#def-b1-structures-ring) (un [sous-anneau](#def-b1-structures-ring) de $\R$), et que $1 + \sqrt 2$ en est un inversible dont les puissances sont deux à deux distinctes — de sorte que $\Z[\sqrt 2]^\times$ est infini, contrairement à $\Z^\times$.

**Solution de Exercice 7.9.**

$\Z[\sqrt 2]$ contient $0$ et $1$, et est stable par soustraction et par produit :

$$
(a + b\sqrt 2)(c + d\sqrt 2) = (ac + 2bd) + (ad + bc)\sqrt 2 ,
$$

c’est donc un [sous-anneau](#def-b1-structures-ring) de $\R$ (commutativité, associativité et distributivité sont héritées). Inversible : $(1 + \sqrt 2)(-1 + \sqrt 2)
= 2 - 1 = 1$, donc $1 + \sqrt 2$ est inversible, d’inverse $\sqrt 2 - 1
\in \Z[\sqrt 2]$. Ses puissances $(1 + \sqrt 2)^n$ forment une suite strictement croissante (la base est $> 1$), donc sont deux à deux distinctes, et chacune est inversible ($\bigl((1+\sqrt2)^n\bigr)^{-1} =
(\sqrt 2 - 1)^n$) : le [groupe](#def-b1-structures-group) des inversibles est infini.

**Exercice 7.10 ★★★.**

(Anneaux de Boole) Soit $A$ un [anneau](#def-b1-structures-ring) dans lequel $x^2 = x$ pour tout $x$. Démontrer que $x + x = 0$ pour tout $x$, et que $A$ est commutatif. *(Développer $(x+x)^2$ et $(x+y)^2$.)* Donner un exemple d’un tel [anneau](#def-b1-structures-ring) à partir de $\mathcal{P}(E)$, en prenant la différence symétrique pour addition et l’intersection pour multiplication.

**Solution de Exercice 7.10.**

$x + x = (x + x)^2 = x^2 + x^2 + x^2 + x^2 = 4x^2 = 4x$ — donc $2x =
4x$, d’où $2x = 0$, c’est-à-dire $x + x = 0$ (chaque élément est son propre opposé). Ensuite

$$
x + y = (x+y)^2 = x^2 + xy + yx + y^2 = x + xy + yx + y ,
$$

donc $xy + yx = 0$, c’est-à-dire $xy = -yx = yx$ (en utilisant $-z = z$). Ainsi $A$ est commutatif.

Exemple : sur $\mathcal{P}(E)$, posons $A + B = (A \cup B) \setminus (A
\cap B)$ (différence symétrique) et $A \times B = A \cap B$. On vérifie : $(\mathcal{P}(E), +)$ est un [groupe abélien](#def-b1-structures-group) de neutre $\emptyset$, chaque partie étant son propre opposé ; $\cap$ est associative, commutative, de neutre $E$ ; la distributivité $A \cap (B +
C) = (A \cap B) + (A \cap C)$ a lieu (un élément appartient au membre de gauche si et seulement s’il est dans $A$ et dans exactement l’un des deux [ensembles](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) $B, C$). Et $A \cap A = A$ : tout élément est idempotent, comme voulu.

**Exercice 7.11 ★★★.**

Soit $G$ un [groupe](#def-b1-structures-group) dans lequel, pour un certain $n \geq 1$ fixé, $(xy)^n = x^n y^n$, $(xy)^{n+1} = x^{n+1}y^{n+1}$ et $(xy)^{n+2} =
x^{n+2}y^{n+2}$ pour tous $x, y$. Démontrer que $G$ est [abélien](#def-b1-structures-group). *(À partir des trois identités, établir d’abord $y^n x = x y^n$, puis $y^{n+1} x = x y^{n+1}$, et conclure.)*

**Solution de Exercice 7.11.**

Écrivons l’hypothèse pour $n$ et $n+1$ :

$$
(xy)^{n+1} = x^{n+1} y^{n+1}
\quad\text{et}\quad
(xy)^{n+1} = (xy)(xy)^n = xy\,x^n y^n .
$$

En identifiant : $x^{n+1} y^{n+1} = x\,y\,x^n\,y^n$ ; on simplifie par $x$ à gauche et par $y^n$ à droite : $x^n y = y x^n$. Le même calcul un cran plus haut ($n+1$ et $n+2$) donne $x^{n+1} y = y x^{n+1}$. Alors

$$
y\,x^{n+1} = x^{n+1} y = x\,(x^n y) = x\,y\,x^n ,
$$

et en simplifiant par $x^n$ à droite dans $y x \cdot x^n = x y \cdot
x^n$ : $yx = xy$. Donc $G$ est [abélien](#def-b1-structures-group).

**Exercice 7.12 ★★.**

1. Déterminer tous les [morphismes](#def-b1-structures-morphism) de [groupes](#def-b1-structures-group) de $(\Z, +)$ dans $(\Z, +)$ .
2. Démontrer que le seul [morphisme](#def-b1-structures-morphism) de [groupes](#def-b1-structures-group) de $(\Q, +)$ dans $(\Z, +)$ est le [morphisme](#def-b1-structures-morphism) nul. *(Pour $x \in \Q$ et $n \in \N^*$, comparer $f(x)$ et $n\,f(x/n)$.)*

**Solution de Exercice 7.12.**

1. Soit $f \colon \Z \to \Z$ additive et $a = f(1)$ . Par récurrence, $f(k) = ka$ pour $k \in \N$ , et $f(-k) = -f(k) =  -ka$ : $f$ est donc la multiplication par $a$ . Réciproquement, toute [application](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-map) $k \mapsto ak$ est un [morphisme](#def-b1-structures-morphism) : les [morphismes](#def-b1-structures-morphism) $(\Z,+) \to (\Z,+)$ sont exactement les multiplications par un entier fixé.
2. Soit $f \colon \Q \to \Z$ un [morphisme](#def-b1-structures-morphism), $x \in \Q$ et $n \in \N^*$. Alors $$f(x) = f\Bigl(\underbrace{\tfrac xn + \dots +  \tfrac xn}_{n}\Bigr) = n\,f\Bigl(\frac xn\Bigr) ,$$ donc l’entier $f(x)$ est divisible par tout $n \geq 1$. Le seul entier de ce type est $0$ : $f \equiv 0$.

## 7.6 Problème : le groupe symétrique et le taquin

**Problème 7.1.**

Le [groupe](#def-b1-structures-group) $\mathfrak S_n$ des [permutations](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/2-denombrement#def-b1-counting-objects) de $\intint1n$ est le plus ancien [groupe](#def-b1-structures-group) des mathématiques, et il reste le plus instructif. Ce problème en construit la théorie de A à Z — cycles, engendrement par les transpositions, le [morphisme](#def-b1-structures-morphism) *signature* $\varepsilon \colon \mathfrak S_n \to \{\pm1\}$ (dont l’existence n’a rien d’évident), et le [groupe alterné](#pb-b1-structures-1) $\mathfrak A_n$ engendré par les $3$-cycles — puis la met à profit sur un casse-tête classique : dans le jeu de taquin $3 \times 3$, aucune suite de coups ne peut échanger deux pièces en laissant tout le reste en place. Les [permutations](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/2-denombrement#def-b1-counting-objects) agissent sur $\intint1n$ ; le produit $\sigma\tau$ signifie « appliquer $\tau$ d’abord » ; $[\,v_1, \dots, v_n]$ désigne la [permutation](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/2-denombrement#def-b1-counting-objects) envoyant $i$ sur $v_i$.

**Partie I — Cycles et transpositions.**

1. Justifier $\abs{\mathfrak S_n} = n!$ ( [Théorème 2.12](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/2-denombrement#thm-b1-counting-counts) ). Dans $\mathfrak S_3$ , calculer les deux produits de $\sigma = [2, 3, 1]$ et $\tau =  [1, 3, 2]$ , et en conclure que $\mathfrak S_3$ n’est pas [abélien](#def-b1-structures-group) .
2. Un *$k$-cycle* $(a_1\ a_2\ \dots\ a_k)$ ( $k \geq 2$ , les $a_i$ deux à deux distincts) envoie $a_1 \mapsto a_2  \mapsto \dots \mapsto a_k \mapsto a_1$ et fixe tout le reste ; son *support* est $\{a_1, \dots, a_k\}$ . Démontrer que deux cycles de supports disjoints commutent.
3. Démontrer que tout $\sigma \in \mathfrak S_n$ est un produit de cycles à supports deux à deux disjoints, et que cette décomposition est unique à l’ [ordre](#def-b1-structures-order) des facteurs près. *(Considérer, pour chaque $i$, la suite $i, \sigma(i),  \sigma^2(i), \dots$ : elle revient nécessairement à $i$ ; les *orbites* obtenues forment une [partition](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#thm-b1-logic-partition) de $\intint1n$, et $\sigma$ agit sur chacune comme un cycle.)*
4. Décomposer $\sigma = [4, 1, 5, 2, 3, 7, 8, 6] \in  \mathfrak S_8$ en cycles disjoints. En définissant l’ *[ordre](#def-b1-structures-order)* de $\sigma$ comme dans la [Définition 7.14](#def-b1-structures-order) , démontrer que l’ [ordre](#def-b1-structures-order) d’un produit de cycles disjoints est le PPCM de leurs longueurs, et calculer l’ [ordre](#def-b1-structures-order) de ce $\sigma$ .
5. Démontrer l’identité télescopique $$(a_1\ a_2\ \dots\ a_k)  = (a_1\ a_k)(a_1\ a_{k-1})\cdots(a_1\ a_2) ,$$ et en conclure que toute [permutation](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/2-denombrement#def-b1-counting-objects) est un produit de transpositions. Écrire le $\sigma$ de la question 4 sous cette forme.
6. Montrer de plus que les transpositions *adjacentes* $(i\ \ i{+}1)$ suffisent : pour $a < b$, $$(a\ b) = (a\ \ a{+}1)(a{+}1\ \ a{+}2)\cdots(b{-}1\ \ b)  \cdots(a{+}1\ \ a{+}2)(a\ \ a{+}1),$$ soit un produit de $2(b - a) - 1$ transpositions adjacentes — un nombre *impair* (cette parité servira deux fois plus bas).

**Partie II — La signature existe.** Pour $\sigma
\in \mathfrak S_n$, soit

$$
N(\sigma) = \#\bigl\{(i, j) : i < j,\ \sigma(i) >
\sigma(j)\bigr\}
$$

son nombre d’*inversions*, et posons $\varepsilon(\sigma) =
(-1)^{N(\sigma)}$.

7. Calculer $N$ et $\varepsilon$ pour l’identité, pour une transposition $(i\ \ i{+}1)$ , et pour $[2, 3, 1]$ .
8. Démontrer que pour tout $\sigma$ et toute transposition adjacente $\tau = (i\ \ i{+}1)$ : $N(\sigma\tau) = N(\sigma) \pm 1$ . *(Composer à droite par $\tau$ échange les valeurs situées aux positions $i$ et $i + 1$ ; exactement une paire change de statut d’inversion.)*
9. En déduire, à l’aide de la question 6, que pour *toute* transposition $\tau$ , $\varepsilon(\sigma\tau) =  -\varepsilon(\sigma)$ ; conclure que si $\sigma$ est un produit de $p$ transpositions, alors $\varepsilon(\sigma)  = (-1)^p$ — en particulier la parité de $p$ ne dépend que de $\sigma$ , et non de la factorisation choisie — et que $\varepsilon \colon \mathfrak S_n \to \{\pm 1\}$ est un [morphisme](#def-b1-structures-morphism) de [groupes](#def-b1-structures-group) .
10. Montrer qu’un $k$ -cycle a pour signature $(-1)^{k-1}$ , et qu’en général $\varepsilon(\sigma) = (-1)^{n -  c(\sigma)}$ , où $c(\sigma)$ est le nombre d’orbites de $\sigma$ (points fixes compris).
11. Le *[groupe alterné](#pb-b1-structures-1)* est $\mathfrak A_n =  \ker\varepsilon$ . Justifier que c’est un [sous-groupe](#def-b1-structures-subgroup) , et démontrer $\abs{\mathfrak A_n} = \frac{n!}2$ pour $n \geq 2$ . *(Fixer une transposition $\tau_0$ et considérer $\sigma  \mapsto \sigma\tau_0$.)*
12. Vérification de cohérence sur $\sigma = [4, 1, 5, 2, 3, 7, 8, 6]$ : calculer $\varepsilon(\sigma)$ de trois façons — en comptant les inversions, à partir du type de cycles via la question 10, et à partir du nombre de transpositions de la question 5.

**Partie III — $\mathfrak A_n$ est engendré par les $3$-cycles.**

13. Soient $a, b, c, d$ deux à deux distincts. Vérifier les deux identités $$(a\ b)(a\ c) = (a\ c\ b),  \qquad  (a\ b)(c\ d) = (a\ c\ b)(a\ c\ d) .$$
14. Démontrer que pour $n \geq 3$ , tout élément de $\mathfrak  A_n$ est un produit de $3$ -cycles. *(Une [permutation](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/2-denombrement#def-b1-counting-objects) paire est un produit d’un nombre pair de transpositions ; les absorber deux par deux.)*
15. Écrire explicitement $(1\ 2)(3\ 4)$ et le $5$ -cycle $(1\ 2\ 3\ 4\ 5)$ comme produits de $3$ -cycles.
16. Démontrer la formule de conjugaison : pour tout $\sigma \in  \mathfrak S_n$, $$\sigma\,(a_1\ \dots\ a_k)\,\sigma^{-1}  = \bigl(\sigma(a_1)\ \dots\ \sigma(a_k)\bigr) .$$

**Partie IV — Le taquin.** Les pièces $1, \dots, 8$ coulissent dans un cadre $3 \times 3$ comportant une case vide ; un *coup* fait glisser dans la case vide une pièce qui lui est adjacente. Numérotons les cases $1, \dots, 9$ (ligne par ligne ; la position résolue place la pièce $i$ dans la case $i$ et la case vide en case $9$). Traitons la case vide comme une neuvième pièce : une position est alors une [permutation](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/2-denombrement#def-b1-counting-objects) $\sigma \in \mathfrak S_9$ (la pièce $\sigma(i)$ occupe la case $i$).

17. Montrer qu’un coup remplace $\sigma$ par $\sigma \circ \tau$ , où $\tau$ est la transposition des deux cases concernées ; en déduire que chaque coup change le signe de $\varepsilon(\sigma)$ .
18. Soit $d(\sigma)$ la distance de Manhattan (lignes plus colonnes) entre la case qu’occupe la case vide et sa case d’origine $9$. Montrer que chaque coup fait varier $d$ de $\pm1$, de sorte que chaque coup change aussi le signe de $(-1)^{d(\sigma)}$. En conclure que $$I(\sigma) = \varepsilon(\sigma)\cdot(-1)^{d(\sigma)}$$ est *invariant* par tout coup.
19. Démontrer l’impossibilité classique du taquin : la position qui échange les pièces $7$ et $8$ en laissant tout le reste (case vide comprise) en place ne peut pas être atteinte à partir de la position résolue.
20. On admet la réciproque (sa démonstration est une récurrence instructive mais longue) : toute position vérifiant $I = +1$ est atteignable. En déduire qu’exactement la moitié des $8!$ positions ayant la case vide à sa place sont solubles, soit $\frac{8!}2 = 20\,160$ .
21. Déduire de la question 20 que les dispositions de pièces atteignables ayant la case vide à sa place forment exactement le [sous-groupe](#def-b1-structures-subgroup) $\mathfrak A_8 \leq \mathfrak S_8$ .
22. Applications de l’invariant : peut-on atteindre (a) la position où les pièces $1, 2, 3$ sont permutées circulairement et où tout le reste, case vide comprise, est à sa place ? (b) la position où la pièce $5$ et la case vide ont échangé leurs places, toutes les autres pièces étant à la leur ? Justifier les deux réponses à l’aide de $I$ .

**Partie V — Synthèse.**

23. Démontrer que pour $n \geq 3$ , les seuls [morphismes](#def-b1-structures-morphism) de [groupes](#def-b1-structures-group) $f \colon \mathfrak S_n \to \{\pm 1\}$ sont le [morphisme](#def-b1-structures-morphism) constant et $\varepsilon$ . *(À l’aide de la question 16 et de la commutativité de $\{\pm1\}$, montrer que $f$ prend la même valeur sur toutes les transpositions.)*
24. Où exactement le problème a-t-il utilisé : (i) la notion de [morphisme](#def-b1-structures-morphism) et la [Proposition 7.11](#prop-b1-structures-kernel) ; (ii) les principes de dénombrement du [Chapitre 2](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/2-denombrement#ch-b1-counting) ; (iii) le problème de bonne définition que les questions 8 et 9 résolvent ? Une phrase pour chacun.
25. Synthèse, en un court paragraphe : une seule fonction de parité, dont la bonne définition est démontrée une fois pour toutes, organise simultanément la structure interne de $\mathfrak S_n$ (le [sous-groupe](#def-b1-structures-subgroup) $\mathfrak A_n$ ), tranche un casse-tête matériel et — via la formule $\det = \sum_\sigma  \varepsilon(\sigma)\cdots$ — définira les déterminants au [Chapitre 22](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/22-determinants-et-systemes-lineaires#ch-b1-det) . Commenter le schéma récurrent : les invariants transforment « essayer toutes les suites de coups » en un unique calcul.

**Solution de Problème 7.1.**

**1.** Une [permutation](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/2-denombrement#def-b1-counting-objects) est une [bijection](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) de $\intint1n$, c’est-à-dire un arrangement des $n$ objets pris $n$ à $n$ : il y en a $n!$ ([Théorème 2.12](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/2-denombrement#thm-b1-counting-counts)). Avec $\sigma = [2,3,1]$, $\tau =
[1,3,2]$ : $\sigma\tau$ envoie $1 \mapsto 1 \mapsto 2$, $2 \mapsto 3
\mapsto 1$, $3 \mapsto 2 \mapsto 3$ : $\sigma\tau = [2,1,3]$ ; et $\tau\sigma$ envoie $1 \mapsto 2 \mapsto 3$, $2 \mapsto 3 \mapsto
2$, $3 \mapsto 1 \mapsto 1$ : $\tau\sigma = [3,2,1] \neq
\sigma\tau$.

**2.** Soient $\gamma, \gamma'$ de supports disjoints $S, S'$. Pour $x \in S$ : $\gamma'(x) = x$ et $\gamma(x) \in S$, donc $\gamma\gamma'(x) = \gamma(x) = \gamma'\gamma(x)$. Symétriquement pour $x \in S'$ ; et les deux membres fixent tout $x \notin S \cup S'$. Donc $\gamma\gamma' = \gamma'\gamma$.

**3.** Pour $i \in \intint1n$, les valeurs $i, \sigma(i),
\sigma^2(i), \dots$ vivent dans un ensemble fini, donc $\sigma^a(i) =
\sigma^b(i)$ pour certains $a < b$ ; l’[injectivité](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) donne $\sigma^{b-a}(i) = i$ : la suite revient à $i$. Appelons *orbite* de $i$ l’[ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) $\{i, \sigma(i), \dots, \sigma^{k-1}(i)\}$, où $k \geq 1$ est minimal tel que $\sigma^k(i) = i$. Deux orbites qui se rencontrent en un point coïncident (chacune est l’[ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) des images successives de ce point par $\sigma$), donc les orbites forment une [partition](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#thm-b1-logic-partition) de $\intint1n$ ; $\sigma$ agit sur chaque orbite de taille $k \geq 2$ comme le $k$-cycle $(i\ \sigma(i)\ \cdots\
\sigma^{k-1}(i))$ et fixe les singletons. Le produit de ces cycles disjoints coïncide partout avec $\sigma$. Unicité : dans toute décomposition en cycles disjoints, le cycle passant par $i$ ne peut être que $(i\ \sigma(i)\ \cdots)$ — les cycles sont forcés d’être les orbites munies de l’action induite.

**4.** En suivant les orbites : $1 \to 4 \to 2 \to 1$, $3 \to 5
\to 3$, $6 \to 7 \to 8 \to 6$ :

$$
\sigma = (1\ 4\ 2)(3\ 5)(6\ 7\ 8) .
$$

Si $\sigma = \gamma_1\cdots\gamma_r$ avec des cycles disjoints de longueurs $k_1, \dots, k_r$, la commutation (question 2) donne $\sigma^m = \gamma_1^m\cdots\gamma_r^m$, et comme les supports sont disjoints, $\sigma^m = \mathrm{id}$ si et seulement si chaque $\gamma_i^m = \mathrm{id}$, si et seulement si $k_i \mid m$ pour tout $i$ (un $k$-cycle est d’[ordre](#def-b1-structures-order) $k$ : $\gamma^m$ envoie $a_1$ sur $a_{1 + (m \bmod k)}$). Le plus petit tel $m$ est $\operatorname{lcm}(k_1, \dots, k_r)$. Ici : $\operatorname{lcm}(3, 2, 3) = 6$.

**5.** Appliquons le membre de droite à chaque point, en commençant par le facteur le plus à droite. $a_1 \mapsto a_2$ par $(a_1\ a_2)$, puis tous les facteurs suivants fixent $a_2$ : au total $a_1 \mapsto a_2$. Pour $2 \leq i < k$ : $a_i$ n’est pas touché jusqu’à ce que $(a_1\ a_i)$ l’envoie sur $a_1$, et le facteur immédiatement suivant $(a_1\ a_{i+1})$ envoie $a_1$ sur $a_{i+1}$, après quoi plus rien ne le bouge : au total $a_i \mapsto a_{i+1}$. Enfin $a_k$ est fixé par tous les facteurs sauf le plus à gauche, qui l’envoie sur $a_1$. C’est exactement le cycle. Comme toute [permutation](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/2-denombrement#def-b1-counting-objects) est un produit de cycles (question 3), c’est un produit de transpositions. Pour le $\sigma$ de la question 4 :

$$
\sigma = (1\ 2)(1\ 4)\;(3\ 5)\;(6\ 8)(6\ 7),
$$

soit cinq transpositions.

**6.** Récurrence sur $b - a$. Pour $b = a + 1$ l’identité est triviale ($1 = 2\cdot1 - 1$ facteur). Pour $b > a + 1$, on vérifie directement que $(a\ b) = (a\ \ a{+}1)\,(a{+}1\ \ b)\,(a\ \ a{+}1)$ : le membre de droite envoie $a \mapsto a{+}1 \mapsto b \mapsto b$, $b
\mapsto b \mapsto a{+}1 \mapsto a$, $a{+}1 \mapsto a \mapsto a
\mapsto a{+}1$, et fixe le reste. Par récurrence, $(a{+}1\ \ b)$ est un produit palindromique de $2(b - a - 1) - 1$ transpositions adjacentes, donc $(a\ b)$ en est un de $2(b - a) - 1$ : un nombre impair.

**7.** $N(\mathrm{id}) = 0$, $\varepsilon = +1$. Pour $(i\ \
i{+}1)$, la seule paire inversée est $(i, i+1)$ : $N = 1$, $\varepsilon = -1$. Pour $[2, 3, 1]$ : les paires inversées sont $(1,
3)$ (valeurs $2 > 1$) et $(2, 3)$ (valeurs $3 > 1$) : $N = 2$, $\varepsilon = +1$.

**8.** Les listes de valeurs de $\sigma$ et de $\sigma\tau$ ne diffèrent que par l’échange des positions $i$ et $i + 1$. Pour une paire de positions ne faisant intervenir ni $i$ ni $i+1$, rien ne change. Pour $k < i$, les deux paires $(k, i)$ et $(k, i+1)$ échangent leurs statuts d’inversion (les deux mêmes valeurs sont comparées à $\sigma(k)$, dans l’[ordre](#def-b1-structures-order) inverse des positions) : leur contribution totale est inchangée ; de même pour $k > i + 1$. La seule paire restante, $(i, i+1)$, change de statut. D’où $N(\sigma\tau) = N(\sigma)
\pm 1$.

**9.** Soit $\tau = (a\ b)$ une transposition quelconque : par la question 6, c’est un produit d’un nombre impair de transpositions adjacentes, donc la multiplication à droite par $\tau$ modifie $N$ d’un total impair (question 8, appliquée de façon répétée) : $\varepsilon(\sigma \tau) = -\varepsilon(\sigma)$. Maintenant, si $\sigma = \tau_1\cdots \tau_p$ (des transpositions), construisons-le à partir de l’identité par $p$ multiplications à droite : $\varepsilon(\sigma) = (-1)^p\varepsilon(\mathrm{id}) = (-1)^p$. Comme $\varepsilon(\sigma)$ est défini par les inversions — indépendamment de toute factorisation — la parité de $p$ est un invariant de $\sigma$. [Morphisme](#def-b1-structures-morphism) : en écrivant $\sigma$ avec $p$ transpositions et $\sigma'$ avec $q$, $\sigma\sigma'$ en utilise $p + q$ : $\varepsilon(\sigma\sigma') = (-1)^{p+q} =
\varepsilon(\sigma)\varepsilon(\sigma')$.

**10.** Un $k$-cycle est un produit de $k - 1$ transpositions (question 5) : $\varepsilon = (-1)^{k-1}$. Pour un $\sigma$ général d’orbites de tailles $k_1, \dots, k_r$ ($k_i \geq 2$) plus $f$ points fixes, on a $c(\sigma) = r + f$ et $n = k_1 + \dots + k_r + f$, donc

$$
\varepsilon(\sigma) = \prod_{i=1}^r (-1)^{k_i - 1}
= (-1)^{\sum_i k_i - r} = (-1)^{n - f - r} = (-1)^{n -
c(\sigma)} .
$$

**11.** $\mathfrak A_n = \ker\varepsilon$ est un [sous-groupe](#def-b1-structures-subgroup), en tant que [noyau](#def-b1-structures-morphism) d’un [morphisme](#def-b1-structures-morphism) ([Définition 7.10](#def-b1-structures-morphism)). Fixons une transposition $\tau_0$ (il en existe pour $n \geq 2$). L’[application](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-map) $\sigma \mapsto \sigma\tau_0$ est une [bijection](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-inj) de $\mathfrak S_n$ (elle est sa propre réciproque) qui échange $\mathfrak A_n$ et l’[ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) des [permutations](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/2-denombrement#def-b1-counting-objects) impaires (question 9). Ces deux [ensembles](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) forment une [partition](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#thm-b1-logic-partition) de $\mathfrak S_n$ et ont même [cardinal](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/2-denombrement#def-b1-counting-card) : $\abs{\mathfrak A_n} = \frac{n!}2$.

**12.** *Inversions* de $[4, 1, 5, 2, 3, 7, 8, 6]$ : la valeur $4$ domine $1, 2, 3$ : trois ; la valeur $5$ domine $2, 3$ : deux ; la valeur $7$ domine $6$ : une ; la valeur $8$ domine $6$ : une. $N = 7$, $\varepsilon = -1$. *Type de cycles* : $c = 3$ orbites, $n = 8$ : $\varepsilon = (-1)^{8-3} = -1$. *Nombre de transpositions* : cinq transpositions à la question 5 : $(-1)^5 = -1$. Les trois calculs concordent.

**13.** $(a\ b)(a\ c)$ (le facteur le plus à droite d’abord) : $a
\mapsto c \mapsto c$ ; $c \mapsto a \mapsto b$ ; $b \mapsto b \mapsto
a$ : c’est le $3$-cycle $(a\ c\ b)$. Et $(a\ c\ b)(a\ c\ d)$ : $a
\mapsto c \mapsto b$ ; $b \mapsto b \mapsto a$ ; $c \mapsto d \mapsto
d$ ; $d \mapsto a \mapsto c$ : c’est $(a\ b)(c\ d)$, comme annoncé.

**14.** Soit $\sigma \in \mathfrak A_n$ : par la question 9, $\sigma = \tau_1\cdots\tau_{2m}$ avec un nombre pair de transpositions. Groupons-les par paires consécutives $\tau_{2i-1}\tau_{2i}$ : si les deux sont égales, la paire est l’identité et disparaît ; si elles ont exactement un point commun, la première identité de la question 13 écrit la paire comme un unique $3$-cycle ; si elles sont disjointes, la seconde identité l’écrit comme deux $3$-cycles. Ainsi $\sigma$ est un produit de $3$-cycles (ou l’identité, produit vide — et, pour $n \geq 3$, également $(1\ 2\ 3)^3$).

**15.** $(1\ 2)(3\ 4) = (1\ 3\ 2)(1\ 3\ 4)$ (question 13 avec $a{=}1, b{=}2, c{=}3, d{=}4$). Pour le $5$-cycle : par la question 5, $(1\ 2\ 3\ 4\ 5) = (1\ 5)(1\ 4)(1\ 3)(1\ 2)$, et en appariant : $(1\ 5)(1\ 4) = (1\ 4\ 5)$, $(1\ 3)(1\ 2) = (1\ 2\ 3)$ :

$$
(1\ 2\ 3\ 4\ 5) = (1\ 4\ 5)(1\ 2\ 3) .
$$

(Vérification sur $3$ : $(1\ 2\ 3)$ envoie $3 \to 1$, puis $(1\ 4\ 5)$ envoie $1 \to 4$ : au total $3 \to 4$, ce qui est correct.)

**16.** Appliquons les deux membres à un point quelconque. Pour $i = \sigma(a_j)$ : le membre de gauche donne $\sigma\bigl((a_1\ \dots\
a_k)(a_j)\bigr) = \sigma(a_{j+1})$ (indices modulo $k$), ce qui est précisément l’image de $\sigma(a_j)$ par le membre de droite. Pour $i$ qui n’est pas de cette forme : $\sigma^{-1}(i)$ est hors du support, donc le membre de gauche fixe $i$, et le membre de droite aussi. Égalité partout.

**17.** Faire glisser la pièce de la case $c'$ dans la case vide $c$ échange les contenus des cases $c$ et $c'$ (la pièce $9$, le vide, va en $c'$). Si la pièce $\sigma(i)$ occupait la case $i$, la nouvelle position est $\sigma' = \sigma \circ (c\ c')$ : mêmes contenus, sauf que les cases $c, c'$ portent chacune l’ancien contenu de l’autre. Par la question 9, $\varepsilon(\sigma') =
-\varepsilon(\sigma)$.

**18.** Un coup envoie la case vide sur une case adjacente : sa ligne ou sa colonne change d’exactement $1$, donc la distance de Manhattan $d$ à la case $9$ varie de $\pm1$, et $(-1)^d$ change de signe. Puisque chaque coup change le signe de $\varepsilon(\sigma)$ et celui de $(-1)^{d(\sigma)}$, leur produit $I(\sigma)$ est inchangé par tout coup : c’est un invariant.

**19.** La position résolue a $\varepsilon = +1$, $d = 0$ : $I = +1$. La position visée (pièces $7, 8$ échangées, vide à sa place) est la transposition des contenus des cases $7$ et $8$ : $\varepsilon
= -1$, $d = 0$ : $I = -1$. Comme $I$ est invariant et que les deux valeurs diffèrent, aucune suite de coups ne les relie.

**20.** Une position ayant le vide à sa place est une [permutation](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/2-denombrement#def-b1-counting-objects) des $8$ pièces parmi les cases $1, \dots, 8$, c’est-à-dire un élément de $\mathfrak S_8$ ; elle vérifie $d = 0$, donc $I = \varepsilon(\sigma)$. Être atteignable impose $I = +1$, c’est-à-dire $\sigma \in \mathfrak
A_8$ ; la réciproque admise dit que tout $\mathfrak A_8$ est atteint. Dénombrement : $\abs{\mathfrak A_8} = \frac{8!}2 = 20\,160$ (question 11).

**21.** Par la question 20, les dispositions atteignables avec le vide à sa place forment exactement $\mathfrak A_8$ — en particulier un *[sous-groupe](#def-b1-structures-subgroup)* de $\mathfrak S_8$ : composer deux mélanges solubles, ou inverser l’un d’eux, reste soluble, ce qui est loin d’être évident par un raisonnement direct sur le taquin.

**22.** (a) Un $3$-cycle de pièces avec le vide à sa place : $\varepsilon = +1$ (question 10), $d = 0$, donc $I = +1$ : atteignable (par la réciproque admise) — on peut permuter circulairement trois pièces. (b) Pièce $5$ et vide échangés : la position est la transposition des contenus des cases $5$ et $9$, donc $\varepsilon =
-1$ ; le vide se trouve au centre, à distance de Manhattan $d = 2$ de sa case d’origine, donc $(-1)^d = +1$ et $I = -1$ : inatteignable. On ne peut pas simplement « garer le vide au milieu » en laissant les pièces par ailleurs rangées.

**23.** Soit $f \colon \mathfrak S_n \to \{\pm1\}$ un [morphisme](#def-b1-structures-morphism). Pour deux transpositions quelconques $\tau, \tau'$, la question 16 fournit un $\sigma$ tel que $\sigma\tau\sigma^{-1} = \tau'$ (envoyer les deux points déplacés sur les deux autres ; $n \geq 3$ garantit la place nécessaire, même si $n = 2$ est ici trivial). Alors $f(\tau') = f(\sigma)f(\tau)f(\sigma)^{-1} = f(\tau)$ puisque $\{\pm1\}$ est [abélien](#def-b1-structures-group) : $f$ est constant sur les transpositions. Si cette constante vaut $+1$, alors $f = 1$ sur tous les produits de transpositions, c’est-à-dire partout (question 5). Si elle vaut $-1$, alors $f(\sigma) = (-1)^p = \varepsilon(\sigma)$ sur un produit de $p$ transpositions. Donc $f \in \{1, \varepsilon\}$.

**24.** (i) La propriété de [morphisme](#def-b1-structures-morphism) de $\varepsilon$ et la machinerie du [noyau](#def-b1-structures-morphism) ont donné à $\mathfrak A_n$ sa structure de [sous-groupe](#def-b1-structures-subgroup) et son [cardinal](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/2-denombrement#def-b1-counting-card), et un raisonnement du type [Proposition 7.11](#prop-b1-structures-kernel) traverse les questions 11 et 21. (ii) Dénombrement : $\abs{\mathfrak S_n} = n!$, l’argument de moitié de la question 11 et le compte $20\,160$ de la question 20 sont le [Chapitre 2](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/2-denombrement#ch-b1-counting) à l’œuvre. (iii) Les questions 8 et 9 résolvent un véritable problème de bonne définition — « la parité du nombre de transpositions » présuppose que cette parité ne dépend pas de la factorisation, exactement comme les opérations de $\Z/n\Z$ exigeaient l’indépendance vis-à-vis des représentants dans la [Définition 7.24](#def-b1-structures-zn).

**25.** La signature est un unique calcul à valeurs dans $\{\pm1\}$, dont on a démontré une fois pour toutes qu’il est bien défini, et il remplit trois fonctions à la fois : à l’intérieur, il coupe $\mathfrak S_n$ en deux et isole $\mathfrak A_n$ avec ses générateurs $3$-cycles ; à l’extérieur, il tranche en une ligne une question (« ces deux pièces peuvent-elles être échangées ? ») qu’une recherche naïve ne pourrait jamais régler, puisqu’aucune liste finie de suites de coups infructueuses ne démontre l’impossibilité ; et structurellement, c’est le moteur à signes alternés à l’intérieur de la formule $\det A = \sum_\sigma \varepsilon(\sigma)\,
a_{1\sigma(1)}\cdots a_{n\sigma(n)}$ du [Chapitre 22](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/22-determinants-et-systemes-lineaires#ch-b1-det). Le schéma — trouver une quantité conservée par tout coup élémentaire, la calculer au départ et à l’arrivée — est l’arme standard du mathématicien contre les questions « est-ce possible ? », et il reviendra chaque fois qu’un [groupe](#def-b1-structures-group) agira sur un [ensemble](https://one-course.com/books/math/3/fr/chapter/1-logique-ensembles-et-applications#def-b1-logic-sets) d’états.