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title: "अनुक्रम"
book: "विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 1"
subject: math
language: hi
chapter: 11
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/11-sequences
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# अध्याय 11 — अनुक्रम

उच्चतर माध्यमिक खंड में अनुक्रमों को साधा तो गया था, पर सीमा की धारणा आधी विश्वास पर ली गई थी। यहाँ सिद्धांत $\R$ की पूर्णता ([अध्याय 10](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#ch-b1-reals)) पर नए सिरे से खड़ा किया गया है: हर चिरपरिचित प्रमेय — एकदिष्ट अभिसरण, [संलग्न अनुक्रम](#thm-b1-seq-adjacent), बोल्ज़ानो–वाइरश्ट्रास, कोशी कसौटी — उसी एक अभिगृहीत का एक मुख है। अध्याय $u_{n+1} = f(u_n)$ से परिभाषित अनुक्रमों के व्यावहारिक अध्ययन पर समाप्त होता है।

## 11.1 अभिसरण

**परिभाषा 11.1 (अनुक्रम की सीमा).**

वास्तविक संख्याओं का अनुक्रम $(u_n)$ $\ell \in \R$ की ओर *अभिसरित* तब होता है जब

$$
\forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \N,\ \forall n \geq N,
\qquad \abs{u_n - \ell} \leq \varepsilon .
$$

लिखा जाता है $u_n \to \ell$ या $\lim u_n = \ell$। जो अनुक्रम (किसी भी वास्तविक संख्या की ओर) अभिसरित नहीं होता वह *अपसरित* होता है। *$+\infty$ की ओर* अपसरण: $\forall M,\ \exists N,\ \forall n \geq N,\
u_n \geq M$ (इसी प्रकार $-\infty$)।

**उदाहरण 11.2 (एक ε\varepsilonε–NNN उपपत्ति, एक बार पूरी लिखी हुई).**

दावा: $u_n = \dfrac{n^2 + 1}{2n^2 - 3} \to \dfrac12$। पहले त्रुटि अलग कीजिए:

$$
\Bigl| u_n - \frac12 \Bigr|
= \Bigl| \frac{2(n^2 + 1) - (2n^2 - 3)}{2(2n^2 - 3)} \Bigr|
= \frac{5}{2\,\abs{2n^2 - 3}}
= \frac{5}{2\,(2n^2 - 3)} \quad (n \geq 2).
$$

फिर उसे किसी सरल राशि से दबाइए: $n \geq 2$ के लिए $2n^2 - 3 \geq n^2$, अतः त्रुटि $\leq \frac{5}{2n^2} \leq \frac 5{2n}$ है। $\varepsilon > 0$ दिया हो, तो [आर्किमिडीज़ गुणधर्म](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#thm-b1-reals-archimedes) $N \geq \max\bigl(2, \frac{5}{2\varepsilon}\bigr)$ देता है; $n \geq N$ के लिए त्रुटि $\leq \varepsilon$ है। काम पूरा। समापन का सार: $\varepsilon$–$N$ उपपत्ति में ठीक तीन चालें होती हैं — त्रुटि संगणित कीजिए, उसे किसी ह्रासमान प्रारंभिक व्यंजक से परिबद्ध कीजिए, और देहली के लिए हल कीजिए — और इस अध्याय की प्रमेयों (संक्रियाएँ, दबाव) के बाद ऐसी उपपत्ति लगभग कभी फिर नहीं लिखनी पड़ती: प्रमेय उन तीनों चालों को एक बार और सदा के लिए बाँध देती हैं।

**उदाहरण 11.3 (अनंत की ओर अपसरण, प्रमाणित).**

दावा: $u_n = n^2 - 100n \to +\infty$। प्रभावी पद का गुणनखंडन कीजिए: $n \geq
200$ के लिए $u_n = n^2\bigl(1 - \frac{100}{n}\bigr) \geq \frac{n^2}{2}$। $M$ दिया हो, तो $N = \max\bigl(200, \lceil\sqrt{2M}\rceil\bigr)$ लीजिए: $n \geq
N$ के लिए $u_n \geq \frac{n^2}{2} \geq M$। दो आदतें यहाँ दिखाई देती हैं: प्रभावी-पद गुणनखंडन एक प्रतियोगिता ($n^2$ बनाम $-100n$) को एक ही पैमाने और $1$ की ओर जाते किसी गुणक में बदल देता है; और देहली बहुत बड़ी हो सकती है ($u_{100} = 0$, और अनुक्रम $n = 100$ से पहले तो ऋणात्मक तक है) — $+\infty$ की ओर अपसरण पूँछ के विषय में [कथन](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-statement) है, और किसी भी परिमित मात्रा की बदमाशी से उदासीन।

**प्रतिज्ञप्ति 11.4 (पहले गुणधर्म).**

1. सीमा, यदि विद्यमान हो, अद्वितीय होती है।
2. अभिसारी अनुक्रम परिबद्ध होता है।
3. यदि $u_n \to \ell$ , तो परिमित कितने पदों का कोई भी परिवर्तन अभिसरण और सीमा दोनों को अपरिवर्तित छोड़ देता है।

**उपपत्ति.** (1) यदि $\ell \neq \ell'$ के साथ $u_n \to \ell$ और $u_n \to \ell'$, तो $\varepsilon = \frac{\abs{\ell - \ell'}}{3}$ लीजिए: दोनों देहलियों के आगे $\abs{\ell - \ell'} \leq \abs{\ell - u_n} + \abs{u_n - \ell'} \leq
2\varepsilon = \frac23 \abs{\ell - \ell'}$, जो असंगत है।

(2) $\varepsilon = 1$ के साथ: $N$ के आगे $\abs{u_n} \leq \abs\ell + 1$; और उससे पहले के परिमित कितने पद भी परिबद्ध हैं, अतः $\abs{u_n} \leq
\max(\abs{u_0}, \dots, \abs{u_{N-1}}, \abs\ell + 1)$।

(3) विस्तार से: मान लीजिए $n \geq n_0$ के लिए $v_n = u_n$ और $u_n \to \ell$। $\varepsilon > 0$ दिया हो, तो $(u_n)$ के लिए देहली $N$ लीजिए: $n \geq
\max(N, n_0)$ के लिए $\abs{v_n - \ell} = \abs{u_n - \ell} \leq \varepsilon$। अतः $v_n \to \ell$: परिभाषा केवल $n \geq N$ पर परिमाणन करती है, और किसी भी परिमित उपसर्ग को देहली बड़ी करने की क़ीमत पर बदला जा सकता है। (इसीलिए इस अध्याय में सर्वत्र “सभी बड़े $n$ के लिए” वाली परिकल्पनाएँ पर्याप्त हैं।) ∎

**प्रमेय 11.5 (सीमाओं पर संक्रियाएँ).**

यदि $u_n \to \ell$ और $v_n \to m$, तो

$$
u_n + v_n \to \ell + m, \qquad u_n v_n \to \ell m, \qquad
\frac{u_n}{v_n} \to \frac{\ell}{m} \ (\text{यदि } m \neq 0),
\qquad \abs{u_n} \to \abs\ell .
$$

**उपपत्ति.** *योग:* बड़ी देहली के आगे $\abs{(u_n + v_n) - (\ell + m)} \leq \abs{u_n
- \ell} + \abs{v_n - m} \leq 2\varepsilon$। *गुणनफल:* लिखिए

$$
u_n v_n - \ell m = (u_n - \ell)\,v_n + \ell\,(v_n - m);
$$

$(v_n)$ किसी $B$ से परिबद्ध है ([प्रतिज्ञप्ति 11.4](#prop-b1-seq-first)), अतः दायाँ पक्ष $\leq B\abs{u_n - \ell} + \abs{\ell}\,\abs{v_n - m}$ है, जो मनचाहा छोटा है। *भागफल:* $\frac 1{v_n}$ की स्थिति सँभाल लेना पर्याप्त है। $\varepsilon
= \frac{\abs m}{2}$ के साथ: किसी $N_0$ के आगे $\abs{v_n} \geq \frac{\abs
m}{2}$, अतः

$$
\Bigl| \frac{1}{v_n} - \frac 1m \Bigr|
= \frac{\abs{m - v_n}}{\abs{v_n m}}
\leq \frac{2}{m^2}\,\abs{v_n - m} \longrightarrow 0 .
$$

*निरपेक्ष मान:* $\bigl|\abs{u_n} - \abs\ell\bigr| \leq \abs{u_n -
\ell}$ (विलोम त्रिभुज असमिका, [प्रतिज्ञप्ति 3.2](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/3-complex-numbers#prop-b1-complex-rules))। ∎

**उदाहरण 11.6 (संक्रियाएँ और एक बीजीय युक्ति).**

$\lim\,\bigl(\sqrt{n^2 + n} - n\bigr)$ संगणित कीजिए। दोनों टुकड़े अलग-अलग $+\infty$ की ओर जाते हैं: संक्रिया-प्रमेय उनके अंतर के विषय में कुछ नहीं कहती (एक *अनिश्चित रूप*)। संयुग्मी से गुणा कीजिए:

$$
\sqrt{n^2 + n} - n
= \frac{(n^2 + n) - n^2}{\sqrt{n^2 + n} + n}
= \frac{n}{\sqrt{n^2+n} + n}
= \frac{1}{\sqrt{1 + \frac1n} + 1} .
$$

अब सब कुछ अभिसरित होता है: $\sqrt{1 + \frac1n} \to 1$, क्योंकि $0 \leq
\sqrt{1 + h} - 1 = \frac{h}{\sqrt{1+h} + 1} \leq h$ (फिर संयुग्मी, फिर $h =
\frac1n$ के साथ दबाव); और तब संक्रिया-प्रमेय सीमा $\frac{1}{1 + 1} =
\frac12$ दे देती है। समापन का सार: संक्रिया-प्रमेय सभी सीमाओं का कैलकुलेटर नहीं है — अनिश्चित रूपों ($\infty - \infty$, $\frac00$, $0 \times \infty$, $1^\infty$) को पहले बीजगणित (संयुग्मी, प्रभावी पद का गुणनखंडन) से *रूपांतरित* करना पड़ता है जब तक हर टुकड़ा अभिसरित न हो जाए; और ज़िद्दी स्थितियों की व्यवस्थित मशीन [अध्याय 16](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/16-taylor-formulas-and-asymptotic-expansions#ch-b1-taylor) का अनंतस्पर्शी प्रसार है।

**प्रमेय 11.7 (सीमाएँ और क्रम).**

1. यदि सभी बड़े $n$ के लिए $u_n \leq v_n$ , और दोनों अभिसरित होते हैं, तो $\lim u_n \leq \lim v_n$ । (कठोर असमिकाएँ सीमा तक *नहीं* जातीं: $\frac 1n > 0$ , फिर भी $\lim = 0$ ।)
2. (दबाव प्रमेय) यदि सभी बड़े $n$ के लिए $u_n \leq  w_n \leq v_n$ और $u_n, v_n \to \ell$ , तो $w_n \to \ell$ ।
3. यदि $u_n \to \ell > 0$ , तो सभी बड़े $n$ के लिए $u_n > \frac\ell2 >  0$ ।

**उपपत्ति.** (1) मान लीजिए $\ell = \lim u_n > m = \lim v_n$; $\varepsilon = \frac{\ell -
m}{3}$ के साथ बड़े पद $v_n \leq m + \varepsilon < \ell - \varepsilon \leq
u_n$ संतुष्ट करते हैं, जो $u_n \leq v_n$ का विरोध करता है।

(2) देहलियों के आगे: $\ell - \varepsilon \leq u_n \leq w_n \leq v_n \leq
\ell + \varepsilon$।

(3) $\varepsilon = \frac\ell2$ के साथ [परिभाषा 11.1](#def-b1-seq-limit) ही है। ∎

**उदाहरण 11.8 (दो दबाव).**

(क) $\dfrac{\sin n}{n} \to 0$: $-\frac1n \leq \frac{\sin n}{n} \leq \frac1n$ से, जहाँ दोनों दीवारें $0$ पर ढह जाती हैं — ऊपर के अनियमित अंश को समझने की आवश्यकता ही नहीं। (ख) $(2^n + 3^n)^{1/n} \to 3$: भीतर को घेरिए,

$$
3^n \leq 2^n + 3^n \leq 2\cdot3^n
\quad\Longrightarrow\quad
3 \leq (2^n + 3^n)^{1/n} \leq 3\cdot 2^{1/n} ,
$$

और $2^{1/n} = \eu^{\frac{\ln 2}{n}} \to 1$ ([अभ्यास 11.2](#exo-b1-seq-2) में $5^{1/n}$ की भाँति): दबाव $3$ दे देता है। समापन का सार: प्रतिस्पर्धी चरघातांकियों का योग अपने *सबसे बड़े* पद जैसा व्यवहार करता है — छोटे पद किसी निरापद अचर गुणक में समा जाते हैं, जिसे $n$-वाँ मूल मिटा देता है।

## 11.2 एकदिष्ट अनुक्रम

**प्रमेय 11.9 (एकदिष्ट सीमा प्रमेय).**

ऊपर से परिबद्ध वर्धमान अनुक्रम अभिसरित होता है, $\sup\{u_n : n \in \N\}$ की ओर; और ऊपर से अपरिबद्ध वर्धमान अनुक्रम $+\infty$ की ओर अपसरित होता है। (ह्रासमान अनुक्रमों के लिए दर्पण [कथन](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-statement)।)

**उपपत्ति.** मान लीजिए $s = \sup\{u_n\}$ ([प्रमेय 10.2](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#thm-b1-reals-sup))। $\varepsilon > 0$ दिया हो, तो $\varepsilon$-अभिलक्षण ([प्रतिज्ञप्ति 10.4](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-epsilon)) ऐसा $N$ देता है कि $u_N > s - \varepsilon$; एकदिष्टता से सभी $n \geq N$ के लिए $s -
\varepsilon < u_N \leq u_n \leq s$: अर्थात् $s$ की ओर अभिसरण। यदि अपरिबद्ध हो: प्रत्येक $M$ के लिए कोई $u_N > M$, और एकदिष्टता बाद के सभी पदों को $M$ के ऊपर रखती है। ∎

**उदाहरण 11.10 (अस्तित्व-मशीन के रूप में एकदिष्ट प्रमेय).**

मान लीजिए $u_n = \prod_{k=1}^{n} \bigl(1 + \frac{1}{2^k}\bigr)$। प्रत्येक गुणनखंड $1$ से बड़ा है, अतः $(u_n)$ वर्धमान है। ऊपर से परिबद्ध? लघुगणक लीजिए और $\ln(1 + x) \leq x$ का प्रयोग कीजिए ([उदाहरण 14.20](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/14-differentiation#ex-b1-derivative-convexineq) इसका पूर्वानुमान करता है; अथवा उच्चतर माध्यमिक खंड का स्थूल $1 + x \leq
\eu^x$):

$$
\ln u_n = \sum_{k=1}^{n} \ln\Bigl(1 + \frac{1}{2^k}\Bigr)
\leq \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2^k} < 1 ,
$$

अतः $u_n < \eu$। वर्धमान और परिबद्ध: अतः $(u_n)$ किसी $\ell \in
\intoc{u_1}{\eu}$ की ओर अभिसरित होता है — एक पूर्णतः सुपरिभाषित वास्तविक संख्या, जिसका कोई संवृत रूप दिखाई नहीं देता ($\ell = 2.384\dots$)। समापन का सार: एकदिष्ट सीमा प्रमेय विश्लेषण की सबसे सस्ती अस्तित्व-मशीन है; उसी ने $\eu$ को नाम दिया (नीचे [उदाहरण 11.12](#ex-b1-seq-e)), और [अध्याय 17](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/17-numerical-series#ch-b1-series) में वह केवल परिबद्धता से हर धनात्मक श्रेणी का अभिसरण तय कर देगी।

**प्रमेय 11.11 (संलग्न अनुक्रम).**

मान लीजिए $(a_n)$ वर्धमान है, $(b_n)$ ह्रासमान, और $b_n - a_n \to 0$। तब दोनों अभिसरित होते हैं, एक *उभयनिष्ठ* सीमा $\ell$ की ओर, और सभी $n$ के लिए $a_n \leq \ell \leq b_n$।

**उपपत्ति.** पहले, सभी $n$ के लिए $a_n \leq b_n$: अनुक्रम $(b_n - a_n)$ ह्रासमान है और $0$ की ओर जाता है, अतः वह $\geq 0$ है (कोई ऋणात्मक पद उसे $0$ से नीचे जमा देता)। फिर $(a_n)$ वर्धमान है और $b_0$ से ऊपर परिबद्ध: अतः वह किसी $\ell$ ([प्रमेय 11.9](#thm-b1-seq-monotone)) की ओर अभिसरित होता है; इसी प्रकार $(b_n) \to
\ell'$; और $\ell' - \ell = \lim (b_n - a_n) = 0$। असमिकाएँ $a_n \leq \ell
\leq b_n$ एकदिष्टता से निकलती हैं ($\ell = \sup a_k \geq a_n$, इत्यादि)। ∎

![संलग्न अनुक्रम: (a_n) चढ़ता है, (b_n) उतरता है, और उनके बीच का अंतराल सिकुड़कर 0 हो जाता है। प्रत्येक अंतराल (a_n, b_n) अपने बाद के सभी अंतरालों को समेटता है, और उभयनिष्ठ सीमा ही वह अद्वितीय बिंदु है जो हर अंतराल में बचा रहता है — यही चित्र नीचे बोल्ज़ानो–वाइरश्ट्रास की और में मध्यवर्ती मान प्रमेय की द्विभाजन उपपत्तियों के पीछे है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-seq/fig-3a699c2487eb.svg)

*[संलग्न अनुक्रम](#thm-b1-seq-adjacent): $(a_n)$ चढ़ता है, $(b_n)$ उतरता है, और उनके बीच का [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) सिकुड़कर $0$ हो जाता है। प्रत्येक [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) $\intcc{a_n}{b_n}$ अपने बाद के सभी अंतरालों को समेटता है, और उभयनिष्ठ सीमा $\ell$ ही वह अद्वितीय बिंदु है जो हर [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) में बचा रहता है — यही चित्र नीचे बोल्ज़ानो–वाइरश्ट्रास की और [अध्याय 13](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/13-limits-and-continuity#ch-b1-continuity) में मध्यवर्ती मान प्रमेय की द्विभाजन उपपत्तियों के पीछे है।*

**उदाहरण 11.12 (संख्या e\eue).**

$a_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}$ और $b_n = a_n + \frac{1}{n \cdot n!}$ ($n \geq 1$) रखिए। तब $(a_n)$ बढ़ता है; और

$$
b_{n+1} - b_n = \frac{1}{(n+1)!} + \frac{1}{(n+1)(n+1)!} -
\frac{1}{n\,n!}
= \frac{n(n+1) + n - (n+1)^2}{n(n+1)(n+1)!}
= \frac{-1}{n(n+1)(n+1)!} < 0 ,
$$

अतः $(b_n)$ घटता है, और $b_n - a_n \to 0$: अर्थात् संलग्न। उनकी उभयनिष्ठ सीमा (यहाँ परिभाषा से) संख्या $\eu \approx 2.71828$ है; और असमिकाएँ $a_n <
\eu < b_n$ $\eu \notin \Q$ सिद्ध करने के लिए पर्याप्त तीक्ष्ण हैं ([अभ्यास 11.9](#exo-b1-seq-9))।

## 11.3 उपानुक्रम और बोल्ज़ानो–वाइरश्ट्रास

**परिभाषा 11.13 (उपानुक्रम).**

$(u_n)$ का *उपानुक्रम* अनुक्रम $(u_{\varphi(n)})$ है, जहाँ $\varphi \colon \N \to \N$ कठोरतः वर्धमान है (ध्यान दीजिए $\varphi(n)
\geq n$, आगमन से)।

**प्रतिज्ञप्ति 11.14.**

यदि $u_n \to \ell$ ($\ell \in \R$ या $\pm\infty$), तो प्रत्येक [उपानुक्रम](#def-b1-seq-subsequence) $\ell$ की ओर जाता है। फलस्वरूप, जिस अनुक्रम के दो उपानुक्रमों की सीमाएँ भिन्न हों वह अपसरित होता है। विलोमतः, यदि $(u_{2n})$ और $(u_{2n+1})$ दोनों *एक ही* $\ell$ की ओर अभिसरित होते हैं, तो $u_n \to \ell$।

**उपपत्ति.** $(u_n)$ के लिए देहली $N$ के आगे सभी सूचकांक $\varphi(n) \geq n \geq N$ योग्य हैं (असमिका $\varphi(n) \geq n$ वही आगमन है जो [परिभाषा 11.13](#def-b1-seq-subsequence) में नोट किया गया: $\varphi(0) \geq 0$, और $\varphi(n+1) > \varphi(n) \geq n$ $\varphi(n+1) \geq n + 1$ पर बाध्य कर देता है)। विलोम के लिए: $\varepsilon$ दिया हो, तो दोनों देहलियाँ $N_0$ (सम) और $N_1$ (विषम) लीजिए; कोई भी सूचकांक $n \geq \max(2N_0, 2N_1 + 1)$ या तो सम है, $k \geq N_0$ के साथ $n = 2k$, या विषम, $k \geq N_1$ के साथ $n = 2k+1$ — और दोनों स्थितियों में $\abs{u_n -
\ell} \leq \varepsilon$: अर्थात् हर सूचकांक दोनों उपानुक्रमों में से किसी एक में आ जाता है, और यही पूरी बात है। ∎

**उदाहरण 11.15 (उपानुक्रमीय सीमाएँ).**

$u_n = (-1)^n \frac{n}{n+1}$ के लिए: सम [उपानुक्रम](#def-b1-seq-subsequence) $1$ की ओर जाता है और विषम $-1$ की ओर, अतः अनुक्रम अपसरित होता है — पर वह यह सुव्यवस्थित ढंग से करता है, दोनों मानों $\pm 1$ के आसपास गुच्छे बनाकर। $u_n = \cos\frac{2\pi n}{3}$ के लिए: सूचकांकों $3k$, $3k + 1$, $3k + 2$ वाले तीनों [उपानुक्रम](#def-b1-seq-subsequence) अचर हैं और क्रमशः $1$, $-\frac12$, $-\frac12$ के बराबर; उपानुक्रमीय सीमाओं का [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $\{1, -\frac12\}$ है। समापन का सार: कोई *परिबद्ध* अनुक्रम ठीक तब अभिसरित होता है जब उसकी एक ही उपानुक्रमीय सीमा हो ([अभ्यास 11.8](#exo-b1-seq-8)); परिबद्ध अनुक्रम का अपसरण सदा कम से कम दो गुच्छों का अर्थ रखता है, और नीचे बोल्ज़ानो–वाइरश्ट्रास गारंटी देता है कि कम से कम एक गुच्छा है।

**प्रमेय 11.16 (बोल्ज़ानो–वाइरश्ट्रास).**

वास्तविक संख्याओं के प्रत्येक परिबद्ध अनुक्रम का कोई अभिसारी [उपानुक्रम](#def-b1-seq-subsequence) होता है।

**उपपत्ति.** मान लीजिए सभी $n$ के लिए $u_n \in \intcc{a}{b}$। द्विभाजन से नेस्टेड खंड बनाइए: $\intcc{a_0}{b_0} = \intcc{a}{b}$ रखिए; और यदि $\intcc{a_k}{b_k}$ में अनंत कितने $n$ के लिए $u_n$ हो, तो उसके दोनों अर्धों में से एक में अब भी अनंत कितने $n$ के लिए $u_n$ होगा — उसे $\intcc{a_{k+1}}{b_{k+1}}$ कहिए। अनुक्रम $(a_k)$, $(b_k)$ संलग्न हैं ($b_k - a_k = \frac{b-a}{2^k} \to 0$), जिनकी उभयनिष्ठ सीमा $\ell$ है ([प्रमेय 11.11](#thm-b1-seq-adjacent))।

निष्कर्षण: ऐसा $\varphi(0)$ चुनिए कि $u_{\varphi(0)} \in \intcc{a_0}{b_0}$, फिर पुनरावर्ती रूप से ऐसा $\varphi(k+1) > \varphi(k)$ कि $u_{\varphi(k+1)}
\in \intcc{a_{k+1}}{b_{k+1}}$ — यह संभव है, क्योंकि उस खंड में अनंत कितने पद हैं। तब $a_k \leq u_{\varphi(k)} \leq b_k$, और दबाव प्रमेय $u_{\varphi(k)} \to \ell$ दे देती है। ∎

**टिप्पणी 11.17 (बोल्ज़ानो–वाइरश्ट्रास क्या कहता है और क्या नहीं).**

वह यह *कहता है*: केवल परिबद्धता से कोई [उपानुक्रम](#def-b1-seq-subsequence) अभिसरित होता है — अर्थात् अस्तित्व, बिना किसी सूत्र के, जैसा द्विभाजन उपपत्ति स्पष्ट कर देती है (कुछ भी नहीं बताता कि *कौन-से* सूचकांक बचते हैं)। वह यह *नहीं* कहता कि सीमा अद्वितीय है: $((-1)^n)$ के ऐसे [उपानुक्रम](#def-b1-seq-subsequence) हैं जो $1$ की ओर और $-1$ की ओर अभिसरित होते हैं, और उपानुक्रमीय सीमाओं का [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) अनंत तक हो सकता है ([उदाहरण 11.15](#ex-b1-seq-sublimits), और [समस्या 12.1](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/12-topology-of-the-real-line#pb-b1-topology-1) में तो पूरा कैंटर [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets))। अपरिबद्धता में वह जीवित नहीं रहता: $(n)$ का कोई अभिसारी [उपानुक्रम](#def-b1-seq-subsequence) है ही नहीं — यद्यपि किसी भी अपरिबद्ध अनुक्रम से $+\infty$ या $-\infty$ की ओर जाता [उपानुक्रम](#def-b1-seq-subsequence) सदा निकाला जा सकता है (मान लीजिए ऐसा $\varphi(k)$ चुनिए कि $u_{\varphi(k)} \geq k$)। सही ढंग से प्रयुक्त होने पर यह प्रमेय एक *अस्तित्व-पंप* है: वह नीचे कोशी कसौटी के मर्म पर, हाइने की प्रमेय में और चरम मान प्रमेय में प्रकट होती है — और सदा ऐसा बिंदु उत्पन्न करने के लिए जो कोई स्पष्ट रचना नहीं देती।

## 11.4 कोशी अनुक्रम और पूर्णता

**परिभाषा 11.18.**

अनुक्रम $(u_n)$ *कोशी अनुक्रम* तब है जब उसके पद *एक-दूसरे के* मनचाहे निकट आ जाएँ:

$$
\forall \varepsilon > 0,\ \exists N,\ \forall p, q \geq N,
\qquad \abs{u_p - u_q} \leq \varepsilon .
$$

**उदाहरण 11.19 (हाथ से कोशी गुणधर्म सत्यापित करना).**

मान लीजिए $u_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{\cos k}{2^k}$ — न कोई एकदिष्टता, न कोई अनुमेय सीमा। $p > q$ के लिए:

$$
\abs{u_p - u_q}
= \Bigl| \sum_{k=q+1}^{p} \frac{\cos k}{2^k} \Bigr|
\leq \sum_{k=q+1}^{p} \frac{1}{2^k}
< \frac{1}{2^{q}} ,
$$

जो त्रिभुज असमिका, $\abs{\cos k} \leq 1$ और एक परिमित गुणोत्तर योग से मिलता है। $\varepsilon > 0$ दिया हो, तो ऐसा $N$ चुनिए कि $2^{-N} \leq
\varepsilon$: $N$ के आगे सारे [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) $\leq \varepsilon$ हैं, अतः अनुक्रम कोशी है, इसलिए अभिसरित — और वह भी ऐसी सीमा की ओर जिसे कोई संवृत रूप में नाम नहीं दे सकता, और यही तो बात है। समापन का सार: वृद्धियों का गुणोत्तर दमन कोशी गुणधर्म कमाने का मानक उपाय है, और [अध्याय 17](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/17-numerical-series#ch-b1-series) इस तर्क को “निरपेक्ष अभिसरण से अभिसरण” के रूप में बोतल में बंद कर देगा।

**प्रमेय 11.20 (R\RR की पूर्णता).**

वास्तविक संख्याओं का अनुक्रम अभिसरित होता है यदि और केवल यदि वह [कोशी अनुक्रम](#def-b1-seq-cauchy) हो।

**उपपत्ति.** ($\Rightarrow$) यदि $u_n \to \ell$: $\frac\varepsilon2$ के लिए देहली के आगे $\abs{u_p - u_q} \leq \abs{u_p - \ell} + \abs{\ell - u_q} \leq \varepsilon$।

($\Leftarrow$) मान लीजिए $(u_n)$ कोशी है। *वह परिबद्ध है*: $\varepsilon
= 1$ के साथ, $N$ के आगे सभी पद $u_N$ के $1$ के भीतर हैं, और आरंभिक भाग परिमित है। *निष्कर्षण*: [प्रमेय 11.16](#thm-b1-seq-bw) से कोई [उपानुक्रम](#def-b1-seq-subsequence) $u_{\varphi(n)} \to \ell$। *निष्कर्ष*: $\varepsilon > 0$ दिया हो, तो $N$ (कोशी, $\frac\varepsilon2$ के लिए) और ऐसा $n \geq N$ लीजिए कि $\abs{u_{\varphi(n)} - \ell} \leq \frac\varepsilon2$ और $\varphi(n) \geq N$; तब प्रत्येक $p \geq N$ के लिए:

$$
\abs{u_p - \ell} \leq \abs{u_p - u_{\varphi(n)}} +
\abs{u_{\varphi(n)} - \ell} \leq \varepsilon . \qedhere
$$

∎

**टिप्पणी 11.21.**

इस कसौटी का मूल्य: वह अभिसरण को *सीमा का नाम लिए बिना* प्रमाणित कर देती है। $\Q$ पर वह विफल है ($\sqrt 2$ की दशमलव कटाइयाँ परिमेय संख्याओं का ऐसा [कोशी अनुक्रम](#def-b1-seq-cauchy) बनाती हैं जिसकी कोई परिमेय सीमा नहीं): अतः पूर्णता $\R$ का गुणधर्म है, जो [ऊपरी परिबंध](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#def-b1-reals-bounds) अभिगृहीत के तुल्य है। श्रेणियों के अभिसरण ([अध्याय 17](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/17-numerical-series#ch-b1-series)) के पीछे का परिश्रमी घोड़ा भी वही है।

**उदाहरण 11.22 (अदृश्य सीमा वाला एक कोशी अनुक्रम).**

मान लीजिए $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2}$। $p > q \geq 1$ के लिए:

$$
S_p - S_q = \sum_{k=q+1}^{p} \frac{1}{k^2}
\leq \sum_{k=q+1}^{p} \frac{1}{k(k-1)}
= \sum_{k=q+1}^{p} \Bigl(\frac{1}{k-1} - \frac 1k\Bigr)
= \frac 1q - \frac 1p < \frac 1q ,
$$

अतः $N > \frac1\varepsilon$ के आगे सभी [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) $\leq \varepsilon$ हैं: $(S_n)$ कोशी है, इसलिए अभिसरित। ध्यान दीजिए कि अभी क्या हुआ: हमने किसी विशिष्ट वास्तविक संख्या का अस्तित्व सिद्ध कर दिया, यद्यपि उसके लिए हमारे पास कोई नाम नहीं है। (वह $\frac{\pi^2}{6}$ है — ऑयलर की एक प्रसिद्ध सर्वसमिका, जो स्नातक वर्ष 2 के खंड में सिद्ध है; इस अध्याय की कोई चीज़ हमें यह नहीं बता सकती थी।) यही श्रम-विभाजन — अस्तित्व अभी, पहचान बाद में, यदि कभी — कोशी कसौटी की पूरी बात है, और [अध्याय 17](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/17-numerical-series#ch-b1-series) में श्रेणियों के सिद्धांत का इंजन।

## 11.5 पुनरावर्ती अनुक्रम

**विधि 11.23 (un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n)un+1​=f(un​) का अध्ययन).**

$f$ और आरंभिक बिंदु $u_0$ दिए हों:

1. *स्थायी [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals):* ऐसा [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) $I$ खोजिए जिसमें $f(I) \subseteq I$ हो और जो $u_0$ को समेटे: तब सभी $u_n \in I$ (आगमन से)।
2. *उम्मीदवार सीमाएँ:* यदि $u_n \to \ell \in I$ और $f$ $\ell$ पर संतत है ( [अध्याय 13](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/13-limits-and-continuity#ch-b1-continuity) ), तो $\ell$ एक *अचल बिंदु* है: $f(\ell) = \ell$ । $f(x) = x$ हल कीजिए।
3. *एकदिष्टता:* यदि $f$ $I$ पर वर्धमान है, तो $(u_n)$ एकदिष्ट है ( $u_1 \geq u_0$ होने पर वर्धमान, अन्यथा ह्रासमान); परिबद्धता के साथ मिलकर [प्रमेय 11.9](#thm-b1-seq-monotone) निष्कर्ष दे देती है। यदि $f$ ह्रासमान है, तो दोनों [उपानुक्रम](#def-b1-seq-subsequence) $(u_{2n})$ और $(u_{2n+1})$ देखिए, जो $f \circ f$ के लिए एकदिष्ट हैं।
4. *त्रुटि पर नियंत्रण:* $k < 1$ के साथ असमिका $\abs{f(x) - \ell}  \leq k\abs{x - \ell}$ सीधे $\abs{u_n - \ell} \leq k^n \abs{u_0 - \ell} \to  0$ दे देती है।

**उदाहरण 11.24 (हीरो की विधि).**

मान लीजिए $u_0 = 2$ और $u_{n+1} = \dfrac12\Bigl(u_n + \dfrac{2}{u_n}\Bigr)$: यही $\sqrt 2$ के लिए प्राचीन कलनविधि है।

- *स्थायित्व:* $x > 0$ के लिए समांतर–गुणोत्तर माध्य असमिका $\frac12(x + \frac2x) \geq \sqrt{x \cdot \frac 2x} = \sqrt 2$ देती है; अतः $I = \intco{\sqrt 2}{+\infty}$ स्थायी है और उसमें $u_1$ है (वस्तुतः $u_1 =  \frac32 \geq \sqrt 2$ )।
- *एकदिष्टता:* $x \geq \sqrt 2$ के लिए $\;x - f(x) = \frac{x^2 -  2}{2x} \geq 0$ : अनुक्रम $u_1$ से आगे घटता है, और नीचे से $\sqrt 2$ द्वारा परिबद्ध है: अतः अभिसरित।
- *सीमा:* अचल बिंदु $x = \frac12(x + \frac2x)$ हल करते हैं, अर्थात् $x^2 = 2$ : $I$ पर $\ell = \sqrt 2$ ।
- *गति:* $u_{n+1} - \sqrt 2 = \frac{(u_n - \sqrt2)^2}{2u_n} \leq  \frac{(u_n - \sqrt 2)^2}{2\sqrt 2}$ : सही अंकों की संख्या हर पद पर लगभग *दुगुनी* हो जाती है (द्विघातीय अभिसरण)।

![हीरो की पुनरावृत्ति u_n+1 = 1/2 (u_n + 2/u_n ), जिसे f के आलेख और विकर्ण y = x के बीच सीढ़ी के रूप में खींचा गया है: u_0 = 2 से आरंभ करके पुनरावृत्तियाँ अचल बिंदु √ 2 तक फिसल जाती हैं।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-seq/fig-1827245c9f25.svg)

*हीरो की पुनरावृत्ति $u_{n+1} = \frac12\bigl(u_n +
\frac{2}{u_n}\bigr)$, जिसे $f$ के आलेख और विकर्ण $y = x$ के बीच सीढ़ी के रूप में खींचा गया है: $u_0 = 2$ से आरंभ करके पुनरावृत्तियाँ अचल बिंदु $\sqrt 2$ तक फिसल जाती हैं।*

**टिप्पणी 11.25 (सीमाओं की सामान्य भूलें).**

चार चिरपरिचित। (क) *छोटे पद अभिसरण नहीं दे देते*: $u_{n+1} - u_n \to 0$ कोशी गुणधर्म से कहीं दुर्बल है — हरात्मक योग $H_n$ के पद $\frac{1}{n+1}
\to 0$ हैं, फिर भी वे $+\infty$ की ओर अपसरित होते हैं ([अभ्यास 11.5](#exo-b1-seq-5)); कोशी शर्त *सभी* बड़े युग्मों के लिए $\abs{u_p - u_q}$ को नियंत्रित करती है, केवल क्रमागत के लिए नहीं। (ख) *कठोर असमिकाएँ सीमा में मर जाती हैं*: सभी $n$ के लिए $u_n < v_n$ से केवल $\lim u_n \leq \lim v_n$ मिलता है ([प्रमेय 11.7](#thm-b1-seq-order)); $\frac1n > 0$, फिर भी $\lim = 0$। (ग) *परिबद्ध होना अभिसारी होना नहीं है*: $((-1)^n)$ परिबद्ध है और अपसरित होता है; परिबद्धता के साथ *एकदिष्टता* अभिसरण देती है, अकेली परिबद्धता केवल किसी अभिसारी [उपानुक्रम](#def-b1-seq-subsequence) की गारंटी देती है ([प्रमेय 11.16](#thm-b1-seq-bw))। (घ) *अचल-बिंदु समीकरण दूसरे स्थान पर आता है, पहले नहीं*: $u_{n+1} = f(u_n)$ के लिए $f(\ell) = \ell$ हल करने से सीमा की पहचान *तभी* होती है जब अभिसरण सिद्ध हो चुका हो। पुनरावृत्ति $u_{n+1} = 2u_n$ का अद्वितीय अचल बिंदु $\ell = 0$ है, फिर भी $u_0 = 1$ से चलने पर अनुक्रम $+\infty$ की ओर भागता है: समीकरण $\ell = 2\ell$ को किसी सीमा का अधिकार कभी था ही नहीं। क्रम सदा यही है: पहले अस्तित्व ([विधि 11.23](#met-b1-seq-recurrent), पद 1–3), फिर पहचान।

**उदाहरण 11.26 (ह्रासमान fff: स्वर्ण पुनरावृत्ति).**

मान लीजिए $u_0 = 1$ और $u_{n+1} = \dfrac{1}{1 + u_n}$। यहाँ $f(x) =
\frac{1}{1+x}$ *ह्रासमान* है, अतः अनुक्रम एकदिष्ट नहीं है (वह अपनी सीमा के इर्द-गिर्द एकांतरित होता है); [विधि 11.23](#met-b1-seq-recurrent) का संकुचन-पद ही सही औज़ार है। स्थायित्व: यदि $x \in \intcc{\frac12}{1}$, तो $1 + x \in
\intcc{\frac32}{2}$, अतः $f(x) \in \intcc{\frac12}{\frac23} \subseteq
\intcc{\frac12}{1}$, और $u_1 = \frac12$ पूरे अनुक्रम को वहीं रख देता है। अचल बिंदु: $\ell > 0$ के साथ $\ell = \frac{1}{1+\ell}$ $\ell^2 + \ell - 1 = 0$ देता है, अर्थात्

$$
\ell = \frac{\sqrt5 - 1}{2} = 0.6180\dots
$$

(स्वर्ण अनुपात का प्रतिलोम)। संकुचन: $x, y \in \intcc{\frac12}{1}$ के लिए,

$$
\abs{f(x) - f(y)} = \frac{\abs{x - y}}{(1+x)(1+y)}
\leq \frac{\abs{x-y}}{(3/2)^2} = \frac49\,\abs{x - y} ,
$$

अतः $\abs{u_n - \ell} \leq \bigl(\frac49\bigr)^{n-1}\abs{u_1 - \ell} \to 0$: गुणोत्तर गति के साथ अभिसरण, और किसी एकदिष्टता की आवश्यकता नहीं। समापन का सार: एकदिष्ट विधियाँ और संकुचन विधियाँ पुनरावर्ती दुनिया को आपस में बाँट लेती हैं — वर्धमान $f$ एकदिष्ट कक्षाएँ देता है, ह्रासमान $f$ एकांतरित कक्षाएँ, जिन्हें लिप्शिट्ज़ अचर $< 1$ वश में कर लेता है (व्यवस्थित सिद्धांत [अभ्यास 14.11](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/14-differentiation#exo-b1-derivative-11) है)।

**टिप्पणी 11.27 (इस खंड के भीतर आगे की दृष्टि).**

अनुक्रम वह मापक यंत्र हैं जिसे शेष खंड हर वस्तु के सामने रखता है। [अध्याय 12](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/12-topology-of-the-real-line#ch-b1-topology) में वे संवृतता और संहतता को *अभिलक्षित* करते हैं; [अध्याय 13](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/13-limits-and-continuity#ch-b1-continuity) में वे फलनों की सीमाएँ ढोते हैं; [अध्याय 15](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/15-integration-on-a-segment#ch-b1-integration) में रीमान योग ऐसे अनुक्रम हैं जो समाकल की ओर अभिसरित होते हैं; [अध्याय 17](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/17-numerical-series#ch-b1-series) तो अनुक्रमों के एक विशेष वर्ग, अर्थात् आंशिक योगों, का सिद्धांत *ही है*। बीजगणित के अध्याय भी उन्हें खाते हैं: [अध्याय 21](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/21-matrices#ch-b1-matrices) में किसी आव्यूह की पुनरावृत्तियाँ ऐसे अनुक्रम बनाती हैं जिनका व्यवहार ($A^n$ का अभिसरण) इसी अध्याय की शब्दावली वाला रैखिक-बीजगणित का प्रश्न है। सर्वत्र साथ ले जाने योग्य दो प्रमेय: एकदिष्ट सीमा (क्रम से अस्तित्व) और बोल्ज़ानो–वाइरश्ट्रास (परिबद्धता से अस्तित्व) — इन दोनों के बीच इस पुस्तक की लगभग हर सीमा जन्म लेती है।

**टिप्पणी 11.28 (सम्मिश्र अनुक्रम).**

सम्मिश्र संख्याओं का अनुक्रम $(z_n)$ $\ell$ की ओर तब अभिसरित होता है जब $\abs{z_n - \ell} \to 0$; समतुल्य रूप से, जब $\Re(z_n) \to \Re(\ell)$ और $\Im(z_n) \to \Im(\ell)$ ($\abs{z}$ की $\abs{\Re z} + \abs{\Im z}$ से तुलना कीजिए)। जिन प्रमेयों में क्रम नहीं आता — संक्रियाएँ, बोल्ज़ानो–वाइरश्ट्रास (दो बार निष्कर्षण), कोशी कसौटी — वे अक्षरशः चली जाती हैं।

## 11.6 अभ्यास

**अभ्यास 11.1 ★.**

सीधे [परिभाषा 11.1](#def-b1-seq-limit) से सिद्ध कीजिए कि $\dfrac{2n+1}{n+3} \to 2$, और यह कि $(u_n) = ((-1)^n)$ अपसरित होता है।

**हल — अभ्यास 11.1.**

$\Bigl|\dfrac{2n+1}{n+3} - 2\Bigr| = \dfrac{5}{n+3}$। $\varepsilon > 0$ दिया हो, तो $N > \frac 5\varepsilon - 3$ लीजिए (आर्किमिडीज़): $n \geq N$ के लिए $\frac{5}{n+3} \leq \varepsilon$। अतः सीमा $2$ है।

$((-1)^n)$: उसके [उपानुक्रम](#def-b1-seq-subsequence) $(u_{2n}) = (1)$ और $(u_{2n+1}) = (-1)$ भिन्न सीमाओं की ओर अभिसरित होते हैं, अतः अनुक्रम अपसरित होता है ([प्रतिज्ञप्ति 11.14](#prop-b1-seq-subsequences))। (सीधे: कोई भी उम्मीदवार $\ell$ $\varepsilon = \frac12$ के लिए विफल हो जाता है, क्योंकि क्रमागत पद $2$ दूरी पर हैं।)

**अभ्यास 11.2 ★.**

सीमाएँ संगणित कीजिए:

$$
\frac{n^2 - 3n + 1}{2n^2 + 5},
\qquad
\sqrt{n+1} - \sqrt n,
\qquad
\frac{2^n + n^3}{3^n - n^2},
\qquad
\sqrt[n]{5}\ \Bigl(= 5^{1/n}\Bigr).
$$

**हल — अभ्यास 11.2.**

$n^2$ से भाग देने पर: $\dfrac{1 - 3/n + 1/n^2}{2 + 5/n^2} \to \dfrac12$।

$\sqrt{n+1} - \sqrt n = \dfrac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt n} \to 0$ (संयुग्मी)।

$\dfrac{2^n + n^3}{3^n - n^2} = \dfrac{(2/3)^n + n^3/3^n}{1 - n^2/3^n} \to
\dfrac{0 + 0}{1 - 0} = 0$, जहाँ $\abs q < 1$ के लिए $q^n \to 0$ और बहुपद-बनाम-गुणोत्तर तुलना ([प्रतिज्ञप्ति 4.6](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/4-standard-functions#prop-b1-functions-powerrules)) प्रयुक्त हुई।

$5^{1/n} = \eu^{\frac{\ln 5}{n}} \to \eu^0 = 1$.

**अभ्यास 11.3 ★.**

मानक तुलना सिद्ध कीजिए: यदि $\abs{q} < 1$, तो $q^n \to 0$ *($\frac{1}{\abs q} = 1 + h$, $h > 0$ लिखिए और बर्नूली असमिका $(1+h)^n
\geq 1 + nh$ का प्रयोग कीजिए, जिसे आगमन से सिद्ध करना है)*। $q = 1$, $q =
-1$, $\abs q > 1$ के लिए क्या व्यवहार है?

**हल — अभ्यास 11.3.**

बर्नूली: $h \geq -1$ के लिए आगमन से $(1+h)^n \geq 1 + nh$ — $(1+h)^{n+1} =
(1+h)^n(1+h) \geq (1+nh)(1+h) = 1 + (n+1)h + nh^2 \geq 1 + (n+1)h$।

$0 < \abs q < 1$ के लिए: $\frac{1}{\abs q} = 1 + h$, $h > 0$ लिखिए; तब $\abs{q}^n = \frac{1}{(1+h)^n} \leq \frac{1}{1 + nh} \to 0$, और दबाव $q^n
\to 0$ देता है (स्थिति $q = 0$ तुच्छ है)। $q = 1$ के लिए: अचर अनुक्रम, सीमा $1$। $q = -1$ के लिए: अपसरित ([अभ्यास 11.1](#exo-b1-seq-1))। $\abs q > 1$ के लिए: $\abs q^n = (1 + h)^n \geq 1 + nh \to +\infty$, अतः $(q^n)$ अपरिबद्ध है, इसलिए अपसारी ($q > 1$ होने पर $+\infty$ की ओर; और $q < -1$ होने पर एकांतरित चिह्नों के साथ, कोई सीमा नहीं)।

**अभ्यास 11.4 ★.**

मान लीजिए $u_{n+1} = \frac{u_n + 3}{2}$, $u_0 = 0$। अचल बिंदु $\ell$ खोजिए, सिद्ध कीजिए कि $v_n = u_n - \ell$ गुणोत्तर है, और $(u_n)$ का स्पष्ट सूत्र तथा सीमा दीजिए।

**हल — अभ्यास 11.4.**

अचल बिंदु: $\ell = \frac{\ell + 3}{2}$ $\ell = 3$ देता है। तब

$$
v_{n+1} = u_{n+1} - 3 = \frac{u_n + 3}{2} - 3 = \frac{u_n - 3}{2} =
\frac{v_n}{2}:
$$

$(v_n)$ अनुपात $\frac12$ वाला गुणोत्तर है, $v_0 = -3$। अतः $u_n = 3 -
\frac{3}{2^n} \to 3$।

**अभ्यास 11.5 ★★.**

(हरात्मक श्रेणी) मान लीजिए $H_n = \sum_{k=1}^{n} \frac 1k$। सिद्ध कीजिए कि सभी $n \geq 1$ के लिए $H_{2n} - H_n \geq \frac12$, और निष्कर्ष निकालिए कि $(H_n)$ [कोशी अनुक्रम](#def-b1-seq-cauchy) *नहीं* है, अतः अपसरित होता है (और वर्धमान होने से $+\infty$ की ओर)।

**हल — अभ्यास 11.5.**

$H_{2n} - H_n = \sum_{k=n+1}^{2n} \frac 1k \geq n \cdot \frac{1}{2n} =
\frac12$ ($n$ पदों में से प्रत्येक $\geq \frac{1}{2n}$ है)। यदि $(H_n)$ कोशी होता, तो $\varepsilon = \frac13$ लेने पर बड़े $n$ के लिए $\abs{H_{2n} - H_n}
\leq \frac13$ अनिवार्य हो जाता: विरोधाभास। जो वर्धमान अनुक्रम अभिसरित नहीं होता वह $+\infty$ की ओर अपसरित होता है ([प्रमेय 11.9](#thm-b1-seq-monotone)): $H_n
\to +\infty$।

**अभ्यास 11.6 ★★.**

मान लीजिए $(u_{2n})$, $(u_{2n+1})$ और $(u_{3n})$ सभी अभिसरित होते हैं। सिद्ध कीजिए कि $(u_n)$ अभिसरित होता है। *(सीमाओं को बराबर करने के लिए उभयनिष्ठ [उपानुक्रम](#def-b1-seq-subsequence) खोजिए।)*

**हल — अभ्यास 11.6.**

मान लीजिए $a = \lim u_{2n}$, $b = \lim u_{2n+1}$, $c = \lim u_{3n}$। अनुक्रम $(u_{6n})$ $(u_{2n})$ का भी [उपानुक्रम](#def-b1-seq-subsequence) है और $(u_{3n})$ का भी: अतः उसकी सीमा $a$ और $c$ दोनों के बराबर है, इसलिए $a = c$। अनुक्रम $(u_{6n+3})$ $(u_{2n+1})$ का (विषम सूचकांक) और $(u_{3n})$ का (सूचकांक $6n + 3 = 3(2n+1)$) [उपानुक्रम](#def-b1-seq-subsequence) है: अतः $b = c$। इसलिए $a = b$, और [प्रतिज्ञप्ति 11.14](#prop-b1-seq-subsequences) (सम तथा विषम की सीमाएँ बराबर) $(u_n)$ का अभिसरण दे देता है।

**अभ्यास 11.7 ★★.**

अनुक्रम $u_0 = 0$, $u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n}$ का अध्ययन कीजिए: स्थायित्व, एकदिष्टता, सीमा। फिर त्रुटि का परिबंध $\abs{u_n - 2} \leq
\dfrac{2}{3^{\,n}}$ सिद्ध कीजिए *($2 - u_{n+1} = \dfrac{2 - u_n}{2 +
\sqrt{2 + u_n}}$ दिखाइए और हर को नीचे से $3$ से परिबद्ध कीजिए)*।

**हल — अभ्यास 11.7.**

*स्थायित्व और परिबंध:* $I = \intcc{0}{2}$ स्थायी है: $x \in I$ के लिए $\sqrt{2 + x} \in \intcc{\sqrt 2}{2} \subseteq I$; और $u_0 = 0 \in I$।

*एकदिष्टता:* $f(x) = \sqrt{2+x}$ वर्धमान है और $u_1 = \sqrt 2 > u_0$: अतः आगमन से $(u_n)$ वर्धमान है। वर्धमान और $2$ से ऊपर परिबद्ध: अतः वह अभिसरित होता है ([प्रमेय 11.9](#thm-b1-seq-monotone))।

*सीमा:* $\ell \geq 0$ के साथ $\ell = \sqrt{2 + \ell}$ $\ell^2 - \ell -
2 = 0$ देता है, अतः $\ell = 2$।

*त्रुटि का परिबंध:* संयुग्मी से गुणा करने पर,

$$
2 - u_{n+1} = 2 - \sqrt{2 + u_n}
= \frac{4 - (2 + u_n)}{2 + \sqrt{2+u_n}}
= \frac{2 - u_n}{2 + \sqrt{2 + u_n}}
\leq \frac{2 - u_n}{3},
$$

क्योंकि $\sqrt{2 + u_n} \geq \sqrt 2 > 1$। $2 - u_0 = 2$ से आगमन द्वारा: $\;0 \leq 2 - u_n \leq \frac{2}{3^n}$।

**अभ्यास 11.8 ★★.**

मान लीजिए $(u_n)$ परिबद्ध है और $(u_n)$ के प्रत्येक अभिसारी [उपानुक्रम](#def-b1-seq-subsequence) की *वही* सीमा $\ell$ है। सिद्ध कीजिए $u_n \to \ell$। *(विरोधाभास और बोल्ज़ानो–वाइरश्ट्रास।)*

**हल — अभ्यास 11.8.**

मान लीजिए $(u_n)$ $\ell$ की ओर अभिसरित नहीं होता: तो किसी $\varepsilon_0 >
0$ के लिए अनंत कितने सूचकांक $\abs{u_n - \ell} > \varepsilon_0$ संतुष्ट करते हैं; वे एक [उपानुक्रम](#def-b1-seq-subsequence) $(u_{\varphi(n)})$ बनाते हैं। यह [उपानुक्रम](#def-b1-seq-subsequence) परिबद्ध है, अतः बोल्ज़ानो–वाइरश्ट्रास ([प्रमेय 11.16](#thm-b1-seq-bw)) से उसका कोई अभिसारी [उप-उपानुक्रम](#def-b1-seq-subsequence) है, जिसकी सीमा $\ell'$ $\abs{\ell' - \ell} \geq \varepsilon_0$ संतुष्ट करती है (असमिका को सीमा तक ले जाइए, [प्रमेय 11.7](#thm-b1-seq-order))। पर $(u_n)$ का [उप-उपानुक्रम](#def-b1-seq-subsequence) $(u_n)$ का अभिसारी [उपानुक्रम](#def-b1-seq-subsequence) है, अतः परिकल्पना से $\ell' = \ell$: विरोधाभास।

**अभ्यास 11.9 ★★★.**

[उदाहरण 11.12](#ex-b1-seq-e) के संकेतन में मान लीजिए $p, q \in \N^*$ के साथ $\eu =
\frac pq$। $a_q < \eu < b_q = a_q + \frac{1}{q\, q!}$ का प्रयोग करके $q!$ से गुणा कीजिए और दो पूर्णांकों के बीच विरोधाभास निकालिए। निष्कर्ष: $\eu$ अपरिमेय है।

**हल — अभ्यास 11.9.**

मान लीजिए $\eu = \frac pq$, $q \geq 1$। कठोर असमिकाएँ $a_q < \eu < a_q +
\frac{1}{q\,q!}$ ($(a_n)$ के कठोरतः वर्धमान और $(b_n)$ के कठोरतः ह्रासमान होने से कठोर) $q!$ से गुणा करने पर देती हैं

$$
q!\,a_q \;<\; q!\,\frac pq \;<\; q!\,a_q + \frac 1q \leq q!\,a_q + 1.
$$

अब $N = q!\,a_q = \sum_{k=0}^{q} \frac{q!}{k!}$ एक पूर्णांक है ($k \leq q$ के लिए प्रत्येक $\frac{q!}{k!}$ पूर्णांकों का गुणनफल है), और $q!\,\frac pq =
(q-1)!\,p$ भी। अतः यह प्रदर्शन पूर्णांक $(q-1)!\,p$ को $N$ और $N + \frac 1q
\leq N + 1$ के बीच कठोरतः रख देता है: अर्थात् $\intoo{N}{N+1}$ के भीतर कोई पूर्णांक, जो असंभव है। अतः $\eu \notin \Q$।

**अभ्यास 11.10 ★★★.**

(चेज़ारो माध्य) अनुक्रम $(u_n)_{n \geq 1}$ के लिए $c_n = \frac{u_1 + \dots +
u_n}{n}$ रखिए।

1. सिद्ध कीजिए कि $u_n \to \ell$ से $c_n \to \ell$ आता है *(योग को किसी देहली $N$ पर काटिए; आरंभिक भाग को एक नियत राशि बटा $n$ से और पूँछ को $\varepsilon$ से परिबद्ध कीजिए)* ।
2. उदाहरण से दिखाइए कि विलोम विफल है।
3. उससे निकालिए कि यदि $u_{n+1} - u_n \to \ell$ , तो $\frac{u_n}{n} \to  \ell$ ।

**हल — अभ्यास 11.10.**

1. मान लीजिए $\varepsilon > 0$ और $k > N$ के लिए $\abs{u_k - \ell} \leq  \frac{\varepsilon}{2}$ के साथ $N$। $n > N$ के लिए: $$\abs{c_n - \ell}  = \Bigl|\frac{\sum_{k=1}^{n}(u_k - \ell)}{n}\Bigr|  \leq \frac{\sum_{k=1}^{N} \abs{u_k - \ell}}{n}  + \frac{n - N}{n}\cdot\frac{\varepsilon}{2}  \leq \frac{C}{n} + \frac{\varepsilon}{2},$$ जहाँ $C = \sum_{k=1}^N \abs{u_k - \ell}$ नियत है। बड़े $n$ के लिए $\frac Cn \leq \frac\varepsilon2$: तब $\abs{c_n - \ell} \leq  \varepsilon$।
2. $u_n = (-1)^n$ : अपसरित होता है, फिर भी $c_n \to 0$ (आंशिक योग $1$ से परिबद्ध, $n$ से भाग दिए हुए)।
3. (1) को अनुक्रम $v_n = u_{n+1} - u_n \to \ell$ पर लगाइए: उसका चेज़ारो माध्य $\frac{u_{n+1} - u_1}{n} \to \ell$ है (दूरबीनी), और $\frac{u_{n+1}}{n} = \frac{u_{n+1} - u_1}{n} + \frac{u_1}{n} \to \ell$ ; सूचकांकों का पुनर्मानकीकरण ( $\frac{u_n}{n} =  \frac{u_n}{n-1}\cdot\frac{n-1}{n}$ ) $\frac{u_n}{n} \to \ell$ देता है।

**अभ्यास 11.11 ★★★.**

मान लीजिए $(u_n)$ सभी $m, n$ के लिए $0 \leq u_{m+n} \leq u_m + u_n$ संतुष्ट करता है (उप-योज्यता)। सिद्ध कीजिए कि $\bigl(\frac{u_n}{n}\bigr)$ $\inf_{n
\geq 1} \frac{u_n}{n}$ की ओर अभिसरित होता है। *(नियत $m$ के लिए $n = qm
+ r$ लिखिए और $u_n \leq q\,u_m + u_r$ का प्रयोग करके $\frac{u_n}{n}$ को परिबद्ध कीजिए।)*

**हल — अभ्यास 11.11.**

मान लीजिए $L = \inf_{n \geq 1} \frac{u_n}{n} \geq 0$, और $\varepsilon > 0$। ऐसा $m$ चुनिए कि $\frac{u_m}{m} \leq L + \varepsilon$। प्रत्येक $n$ $n = qm
+ r$, $0 \leq r < m$ के रूप में लिखा जाता है; उप-योज्यता (बार-बार लगाकर) $u_n \leq q\,u_m + u_r$ देती है, अतः

$$
\frac{u_n}{n} \leq \frac{q m}{n}\cdot\frac{u_m}{m} + \frac{u_r}{n}
\leq \frac{u_m}{m} + \frac{\max(u_0, \dots, u_{m-1})}{n}
\leq L + \varepsilon + \frac{C_m}{n},
$$

जहाँ $qm \leq n$ प्रयुक्त हुआ। बड़े $n$ के लिए $\frac{C_m}{n} \leq
\varepsilon$: अतः सभी बड़े $n$ के लिए $L \leq \frac{u_n}{n} \leq L +
2\varepsilon$, जो $L$ की ओर अभिसरण ही है।

**अभ्यास 11.12 ★★★.**

$(\R, +)$ के [उपसमूह](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-subgroup) $\Z + 2\pi\Z$ की सघनता ([अभ्यास 10.9](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#exo-b1-reals-9)) का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि अनुक्रम $(\sin n)_{n \in \N}$ $\intcc{-1}{1}$ में सघन है — और विशेष रूप से वह अपसरित होता है।

**हल — अभ्यास 11.12.**

$(\R, +)$ का [उपसमूह](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-subgroup) $G = \Z + 2\pi\Z$ सघन है: वह $\alpha\Z$ नहीं है, क्योंकि $1 = p\alpha$, $2\pi = q\alpha$ $2\pi = \frac qp$ को परिमेय बना देते — और $\pi \notin \Q$ (यहाँ स्वीकृत; उपपत्ति की रूपरेखा [अध्याय 15](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/15-integration-on-a-segment#ch-b1-integration) में है)। [अभ्यास 10.9](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#exo-b1-reals-9) से $G$ $\R$ में सघन है।

अब मान लीजिए $y \in \intcc{-1}{1}$ और $\theta = \arcsin y$। सघनता से प्रत्येक $\varepsilon > 0$ के लिए ऐसे $n \in \Z$, $k \in \Z$ हैं कि $\abs{(n
+ 2\pi k) - \theta} \leq \varepsilon$, अर्थात् $n$ $\theta - 2\pi k$ के $\varepsilon$ के भीतर है; और तब, $\sin$ के $2\pi$-आवर्ती तथा $1$-लिप्शिट्ज़ होने से ($\abs{\sin a - \sin b} \leq \abs{a - b}$, [अध्याय 14](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/14-differentiation#ch-b1-derivative) की माध्य मान असमिका से),

$$
\abs{\sin n - y} = \abs{\sin(n + 2\pi k) - \sin\theta}
\leq \abs{n + 2\pi k - \theta} \leq \varepsilon .
$$

एक विवरण: $n$ $\Z$ पर चलता है, पर $\sin(-n) = -\sin n$ है और $y$ $\intcc{-1}{1}$ में स्वेच्छ था, अतः ऋणेतर सूचकांक पर्याप्त हैं (आवश्यकता हो तो $(n, y)$ के स्थान पर $(-n, -y)$ रखिए)। अतः $\{\sin n : n \in \N\}$ $\intcc{-1}{1}$ में सघन है; और किसी खंड में सघन अनुक्रम के ऐसे [उपानुक्रम](#def-b1-seq-subsequence) होते हैं जो भिन्न मानों के निकट जाते हैं, इसलिए वह अपसरित होता है।

## 11.7 समस्या: चेज़ारो, स्टोल्ज़, और ज्या का धीमा पतन

**समस्या 11.1.**

सप्ताहांत समस्या — चेज़ारो–स्टोल्ज़ प्रमेय और $u_{n+1} = \sin
u_n$ के लिए अनंतस्पर्शी $u_n \sim \sqrt{3/n}$

चेज़ारो–स्टोल्ज़ प्रमेय विविक्त लोपिताल नियम है: भागफल $a_n/b_n$ की सीमा खोजने के लिए *वृद्धियों* के भागफल $(a_{n+1} - a_n)/(b_{n+1} - b_n)$ की सीमा खोज लेना पर्याप्त है। यह समस्या उस प्रमेय को सिद्ध करती है, उससे चिरपरिचित सीमाएँ बटोरती है, और फिर उसे एक प्रसिद्ध लक्ष्य पर साधती है: अनुक्रम $u_{n+1} = \sin u_n$, जो ठीक-ठीक संगणनीय गति $u_n \sim \sqrt{3/n}$ से $0$ की ओर सरकता है। उच्चतर माध्यमिक खंड के दो तथ्य यहाँ दिए हुए मान लिए गए हैं और आगे इसी खंड में ईमानदारी से सिद्ध किए गए हैं: स्पर्शरेखा असमिका

$$
\tag{G1} \eu^{u} \geq 1 + u \quad (u \in \R),
$$

जो [अध्याय 14](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/14-differentiation#ch-b1-derivative) में उत्तलता से फिर सिद्ध होती है, और ज्या का घेराव

$$
\tag{G2} x - \frac{x^3}{6} \;\leq\; \sin x \;\leq\; x -
\frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} \quad (0 \leq x \leq 1), \qquad
\abs{\sin x} \leq \abs{x} \quad (x \in \R),
$$

जो [अध्याय 16](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/16-taylor-formulas-and-asymptotic-expansions#ch-b1-taylor) में टेलर सूत्र से फिर सिद्ध होता है।

**भाग I — बिना संवृत सूत्र वाले योग।**

1. $1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$ और $1^2 + \dots + n^2 =  \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का प्रयोग करके $\lim \frac{1 + 2 + \dots +  n}{n^2}$ और $\lim \frac{1^2 + \dots + n^2}{n^3}$ संगणित कीजिए।
2. मान लीजिए $T_n = \sum_{k=1}^n \sqrt k$, जिसका कोई संवृत सूत्र नहीं है। घेराव सिद्ध कीजिए $$\frac{1}{2\sqrt 2}\,n^{3/2} \;\leq\; T_n \;\leq\;  n^{3/2}$$ *(निचले परिबंध के लिए केवल पद $k > \frac n2$ रखिए)*। अतः $T_n$ की कोटि $n^{3/2}$ है — पर अचर कौन-सा? यह प्रश्न प्रश्न 8 तक रोक रखिए।
3. (दूरबीनी प्रमेयिका) मान लीजिए $(b_n)$ कठोरतः वर्धमान है और सभी $k  \geq N$ के लिए $$m \;\leq\; \frac{a_{k+1} - a_k}{b_{k+1} - b_k} \;\leq\;  M .$$ सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक $n > N$ के लिए $m \leq \dfrac{a_n - a_N}{b_n  - b_N} \leq M$।

**भाग II — चेज़ारो–स्टोल्ज़ प्रमेय।** मान लीजिए $(b_n)$ कठोरतः वर्धमान है और $b_n \to +\infty$, तथा $\dfrac{a_{n+1} -
a_n}{b_{n+1} - b_n} \to \ell \in \R$।

4. $\varepsilon > 0$ नियत कीजिए। दिखाइए कि ऐसा $N$ है कि सभी $n > N$ के लिए $\ell - \varepsilon \leq \dfrac{a_n - a_N}{b_n - b_N} \leq \ell +  \varepsilon$ ।
5. $n > N$ के लिए सर्वसमिका स्थापित कीजिए $$\frac{a_n}{b_n} - \ell  = \frac{a_N - \ell\,b_N}{b_n}  + \Bigl(1 - \frac{b_N}{b_n}\Bigr)  \Bigl(\frac{a_n - a_N}{b_n - b_N} - \ell\Bigr),$$ और प्रमेय पर पहुँचिए: $\dfrac{a_n}{b_n} \to \ell$।
6. $+\infty$ वाला रूपांतर सिद्ध कीजिए: यदि $\dfrac{a_{n+1} -  a_n}{b_{n+1} - b_n} \to +\infty$ ( $(b_n)$ पर वही परिकल्पनाएँ), तो $\dfrac{a_n}{b_n} \to +\infty$ ।
7. $b_n = n$ लीजिए: [अभ्यास 11.10](#exo-b1-seq-10) की चेज़ारो माध्य प्रमेय वापस मिल जाती है। फिर दिखाइए कि चेज़ारो–स्टोल्ज़ का विलोम विफल है: $a_n =  (-1)^n$ , $b_n = n$ के लिए भागफल $a_n/b_n$ अभिसरित होता है जबकि वृद्धियों का भागफल नहीं। स्टोल्ज़ एकतरफ़ा मार्ग है।

**भाग III — पहले लाभांश।**

8. संयुग्मन से $(1+h)^{3/2} - 1 = \dfrac{3h + 3h^2 + h^3}{(1+h)^{3/2} +  1}$ सिद्ध कीजिए, उससे $n\bigl((1 + \tfrac1n)^{3/2} - 1\bigr) \to \tfrac32$ निकालिए, और चेज़ारो–स्टोल्ज़ से निष्कर्ष निकालिए: $$T_n = \sum_{k=1}^{n} \sqrt k \;\sim\; \tfrac23\,  n^{3/2} ,$$ जिससे प्रश्न 2 का लटका हुआ प्रश्न सुलझ जाता है।
9. केवल (G1) से लघुगणक का घेराव निकालिए $$\frac{t}{1 + t} \;\leq\; \ln(1 + t) \;\leq\; t  \qquad (t > -1)$$ *((G1) को $u = \ln(1+t)$ पर और $u = -t/(1+t)$ पर लगाइए)*।
10. दिखाइए कि $b_n = \ln n$ कठोरतः वर्धमान है और $\ln n \to +\infty$, और चेज़ारो–स्टोल्ज़ तथा प्रश्न 9 से सिद्ध कीजिए कि $$H_n = \sum_{k=1}^{n} \frac 1k \;\sim\; \ln n .$$ (सूक्ष्मतर संरचना $H_n = \ln n + \gamma + o(1)$ [अध्याय 17](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/17-numerical-series#ch-b1-series) की सप्ताहांत समस्या है।)
11. (अनुपातों से मूलों तक) मान लीजिए $u_n > 0$ और $\frac{u_{n+1}}{u_n}  \to L > 0$ । प्रश्न 9 का प्रयोग करके दिखाइए $\ln\frac{u_{n+1}}{u_n} \to \ln  L$ ; चेज़ारो लगाकर $\frac{\ln u_n}{n} \to \ln L$ निष्कर्ष निकालिए, फिर (G1) के साथ $u_n^{1/n} \to L$ । अनुप्रयोग: $\lim\,\binom{2n}{n}^{1/n}$ संगणित कीजिए।

**भाग IV — ज्या का धीमा पतन।** मान लीजिए $u_0 \in
\R$ और $u_{n+1} = \sin u_n$।

12. (G2) से दिखाइए कि $0 < x \leq 1$ के लिए $0 < \sin x < x$ । उससे निकालिए: $u_1 \in \intcc{-1}{1}$ ; यदि $u_1 = 0$ , तो अनुक्रम कोटि $1$ से शून्य है; और यदि $u_1 > 0$ ( $u_1 < 0$ की स्थिति सममित है, $\sin$ विषम), तो $(u_n)_{n \geq 1}$ कठोरतः ह्रासमान, धनात्मक है और $0$ की ओर अभिसरित होता है *(सीमा की पहचान $\ell = \sin \ell$ से कीजिए, जिसमें $\abs{\sin a -  \sin b} \leq \abs{a - b}$ का प्रयोग कीजिए, जो स्वयं (G2) और गुणनफल-से-योग सूत्र का परिणाम है)* ।
13. अब से $u_1 \in \intoc{0}{1}$ मान लीजिए। (G2) का प्रयोग करते हुए दबाव से दिखाइए: $$\frac{\sin u_n}{u_n} \to 1  \qquad\text{और}\qquad  \frac{u_n - \sin u_n}{u_n^{3}} \to \frac16 .$$
14. गुणनखंडन सिद्ध कीजिए $$w_n := \frac{1}{u_{n+1}^{2}} - \frac{1}{u_n^{2}}  = \frac{u_n - \sin u_n}{u_n^{3}} \cdot  \frac{u_n + \sin u_n}{u_n} \cdot  \Bigl(\frac{u_n}{\sin u_n}\Bigr)^{2},$$ और $w_n \to \frac13$ निकालिए।
15. [अभ्यास 11.10](#exo-b1-seq-10) (वृद्धि वाला रूप) से निष्कर्ष निकालिए कि $\frac{1}{n\,u_n^{2}} \to \frac13$, और फिर वर्गमूल के लिए संयुग्मन के तर्क से मुख्य परिणाम: $$\sqrt n\;u_n \longrightarrow \sqrt 3 ,  \qquad\text{अर्थात्}\qquad  u_n \sim \sqrt{\frac 3n} .$$
16. धीमेपन का परिमाणन कीजिए: दिखाइए कि अंततः $\sqrt{2/n} \leq u_n \leq  2/\sqrt n$ , जिससे $u_n \leq 10^{-2}$ तक पहुँचने के लिए $20\,000$ से अधिक पुनरावृत्तियाँ चाहिए (अनंतस्पर्शी के अनुसार लगभग $30\,000$ )। [हीरो की विधि](#ex-b1-seq-heron) ( [उदाहरण 11.24](#ex-b1-seq-heron) ) से तुलना कीजिए और संरचनात्मक कारण समझाइए: अचल बिंदु $0$ पर $\sin$ की प्रवणता $1$ है (एक *उदासीन* अचल बिंदु), जबकि त्रुटि आधी करने वाली पुनरावृत्तियों को $< 1$ [मापांक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/3-complex-numbers#def-b1-complex-field) वाली प्रवणता चाहिए।
17. दिखाइए कि *प्रत्येक* आरंभिक बिंदु $u_0 \in \R$ के लिए या तो कोटि $1$ से $u_n = 0$ , या $\abs{u_n} \sim \sqrt{3/n}$ — अर्थात् पतन सार्वभौमिक है, केवल चिह्न $u_0$ का स्मरण रखता है।

**भाग V — व्यापक सिद्धांत।** ज्या इस मशीन का एक ही उदाहरण है।

18. मान लीजिए $u_n > 0$ , $u_n \to 0$ , और $\dfrac{u_n - u_{n+1}}{u_n^{2}}  \to a > 0$ । क्रमशः सिद्ध कीजिए: $\frac{u_{n+1}}{u_n} \to 1$ ; फिर $\frac{1}{u_{n+1}} - \frac{1}{u_n} \to a$ ; फिर $n\,u_n \to \frac1a$ ।
19. (यथार्थ प्रतिरूप) $u_{n+1} = \dfrac{u_n}{1 + u_n}$ , $u_0 > 0$ के लिए: दिखाइए कि $\frac{1}{u_n}$ समांतर है, उसे यथार्थ रूप से हल कीजिए, और प्रश्न 18 के निष्कर्ष को यथार्थ सूत्र के सामने जाँचिए।
20. $u_{n+1} = u_n \eu^{-u_n}$ , $u_0 > 0$ के लिए: दिखाइए $u_n \to 0$ , $t  > 0$ के लिए (G1) से $\frac{1 - \eu^{-t}}{t}$ को $\frac{1}{1+t}$ और $1$ के बीच दबाइए, और निष्कर्ष निकालिए $u_n \sim \frac 1n$ ।
21. (त्रिघात संपर्क, वर्गित दूरबीन) मान लीजिए $u_n > 0$ , $u_n \to 0$ , $\dfrac{u_n - u_{n+1}}{u_n^{3}} \to a > 0$ । प्रश्न 14 का गुणनखंडन ढालकर दिखाइए कि $\frac{1}{u_{n+1}^2} - \frac{1}{u_n^2} \to 2a$ , और निष्कर्ष निकालिए $n\,u_n^{2} \to \frac{1}{2a}$ । जाँचिए कि $a = \frac16$ भाग IV को वापस दे देता है।

**भाग VI — विधि की सीमाएँ, और उपदेश।**

22. दिखाइए कि परिकल्पना $b_n \to +\infty$ छोड़ी नहीं जा सकती: $a_n = 2 -  2^{-n}$ और $b_n = 1 - 2^{-n}$ के लिए वृद्धियों का भागफल $1$ की ओर जाता है जबकि $\frac{a_n} {b_n} \to 2$ । प्रश्न 5 की उपपत्ति की ठीक वह पंक्ति बताइए जो टूट जाती है।
23. (स्टोल्ज़ दो बार) सिद्ध कीजिए $\sum_{k=1}^{n} H_k \sim n \ln n$ *(चेज़ारो–स्टोल्ज़ का एक प्रयोग, फिर प्रश्न 10; प्रश्न 9 का प्रयोग करके $(n+1)\ln(n+1) - n\ln n$ को परिबद्ध कीजिए)* ।
24. (गुणोत्तर माध्य) यदि $u_n > 0$ और $u_n \to \ell > 0$ , तो दिखाइए $(u_1 u_2 \cdots u_n)^{1/n} \to \ell$ ; यदि $u_n \to +\infty$ , तो दिखाइए $(u_1 \cdots u_n)^{1/n} \to +\infty$ । उससे $(n!)^{1/n} \to +\infty$ निकालिए।
25. संश्लेषण, एक-एक वाक्य में: (क) इस समस्या में पूर्णता ठीक कहाँ आई; (ख) चेज़ारो–स्टोल्ज़ किस अर्थ में विविक्त लोपिताल नियम है (उसका अवकलीय जुड़वाँ [अध्याय 14](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/14-differentiation#ch-b1-derivative) की माध्य मान प्रमेय पर टिका है); (ग) उदासीन अचल बिंदु पर $f$ के संपर्क-क्रम को $u_{n+1} = f(u_n)$ के क्षय-घातांक से जोड़ने वाला अनुमान-नियम कहिए; (घ) $\sqrt{3/n}$ के अचर $3$ को पाइपलाइन $\frac16 \to \frac13 \to 3$ में पीछे तक खोजिए।

**हल — समस्या 11.1.**

**1.** $\dfrac{n(n+1)/2}{n^2} = \dfrac{1 + 1/n}{2} \to \dfrac12$, और $\dfrac{n(n+1)(2n+1)/6}{n^3} = \dfrac{(1 + 1/n)(2 + 1/n)}{6} \to \dfrac13$।

**2.** ऊपर: $n$ पदों में से प्रत्येक $\leq \sqrt n$ है, अतः $T_n \leq
n\sqrt n$। नीचे: $k > \frac n2$ वाले पद कम से कम $\frac n2$ हैं, और हर एक $\geq \sqrt{n/2}$ है:

$$
T_n \geq \frac n2 \sqrt{\frac n2} = \frac{n^{3/2}}{2\sqrt 2} .
$$

**3.** $k \geq N$ के लिए, चूँकि $b_{k+1} - b_k > 0$: $m(b_{k+1} - b_k)
\leq a_{k+1} - a_k \leq M(b_{k+1} - b_k)$। $k = N, \dots, n - 1$ के लिए योग करने पर दोनों पक्ष दूरबीनी हो जाते हैं:

$$
m\,(b_n - b_N) \leq a_n - a_N \leq M\,(b_n - b_N),
$$

और $b_n - b_N > 0$ से भाग देने पर दावा मिल जाता है।

**4.** सीमा की परिभाषा से ऐसा $N$ है कि सभी $k \geq N$ के लिए $\ell -
\varepsilon \leq \frac{a_{k+1} - a_k}{b_{k+1} - b_k} \leq \ell +
\varepsilon$; $m = \ell - \varepsilon$, $M = \ell + \varepsilon$ के साथ प्रश्न 3 घेराव को $\frac{a_n - a_N}{b_n - b_N}$ तक ले जाता है।

**5.** सर्वसमिका के दाएँ पक्ष का प्रसार करने पर:

$$
\frac{a_N - \ell b_N}{b_n} + \frac{a_n - a_N}{b_n} -
\ell\,\frac{b_n - b_N}{b_n}
= \frac{a_n - \ell b_n}{b_n} = \frac{a_n}{b_n} - \ell .
$$

प्रश्न 4 से गुणनफल का दूसरा गुणनखंड निरपेक्ष मान में $\varepsilon$ से परिबद्ध है, और बड़े $n$ के लिए $0 < 1 - \frac{b_N}{b_n} \leq 1$, अतः

$$
\Bigl|\frac{a_n}{b_n} - \ell\Bigr|
\leq \frac{\abs{a_N - \ell b_N}}{b_n} + \varepsilon
\leq 2\varepsilon
$$

जैसे ही $b_n \geq \frac{\abs{a_N - \ell b_N}}{\varepsilon}$, जो अंततः होता ही है क्योंकि $b_n \to +\infty$। अतः $\frac{a_n}{b_n} \to \ell$: यही चेज़ारो–स्टोल्ज़ प्रमेय है।

**6.** $M$ दिया हो, तो ऐसा $N$ चुनिए कि $k \geq N$ के लिए $\frac{a_{k+1} - a_k}{b_{k+1} - b_k} \geq M$; प्रश्न 3 का निचला आधा $a_n -
a_N \geq M(b_n - b_N)$ देता है, अतः

$$
\frac{a_n}{b_n} \geq \frac{a_N}{b_n} +
M\Bigl(1 - \frac{b_N}{b_n}\Bigr) \longrightarrow M .
$$

किसी कोटि के आगे $\frac{a_n}{b_n} \geq M - 1$; और चूँकि $M$ स्वेच्छ था, $\frac{a_n}{b_n} \to +\infty$।

**7.** $b_n = n$ और $a_n = u_1 + \dots + u_n$ के साथ: वृद्धि-भागफल $u_{n+1} \to \ell$ है, अतः चेज़ारो माध्य $\frac{a_n}{n}$ $\ell$ की ओर जाता है: यही [अभ्यास 11.10](#exo-b1-seq-10) का भाग (1) है। $a_n = u_n$ के साथ: वृद्धि-भागफल $u_{n+1} - u_n$ है, जो भाग (3) देता है। विलोम: $a_n = (-1)^n$, $b_n = n$ के लिए $\frac{a_n}{b_n} \to 0$, फिर भी $a_{n+1} - a_n = \pm 2$ एकांतरित होता है: अतः वृद्धि-भागफल की कोई सीमा नहीं।

**8.** संयुग्मन:

$$
\bigl((1+h)^{3/2} - 1\bigr)\bigl((1+h)^{3/2} + 1\bigr)
= (1+h)^3 - 1 = 3h + 3h^2 + h^3 .
$$

$h = \frac1n$ के लिए: $n\bigl((1 + \frac1n)^{3/2} - 1\bigr) = \frac{3 + 3/n
+ 1/n^2}{(1 + 1/n)^{3/2} + 1}$, और $1 \leq (1 + \frac1n)^{3/2} \leq (1 +
\frac1n)^2 \to 1$ (दबाव), अतः हर $2$ की ओर जाता है और व्यंजक $\frac32$ की ओर। अब $a_n = T_n$, $b_n = n^{3/2}$ (कठोरतः वर्धमान, $\to +\infty$) के साथ स्टोल्ज़:

$$
\frac{\sqrt{n+1}}{(n+1)^{3/2} - n^{3/2}}
= \frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt n} \cdot
\frac{1}{n\bigl((1 + \frac1n)^{3/2} - 1\bigr)}
\longrightarrow 1 \cdot \frac{2}{3},
$$

अतः $T_n \sim \frac23\,n^{3/2}$। (प्रश्न 2 के घेराव ने अचर को $\intcc{0.35}{1}$ में फँसाया था; स्टोल्ज़ उसे कील देता है।)

**9.** $u = \ln(1+t)$ पर (G1): $1 + t = \eu^{\ln(1+t)} \geq 1 +
\ln(1+t)$, अतः $\ln(1+t) \leq t$। $u = -\frac{t}{1+t}$ पर (G1): $\eu^{-t/(1+t)} \geq 1 - \frac{t}{1+t} = \frac{1}{1+t} > 0$; $\ln$ (वर्धमान) लेने पर $-\frac{t}{1+t} \geq -\ln(1+t)$, अर्थात् $\ln(1+t) \geq
\frac{t}{1+t}$।

**10.** $\ln$ कठोरतः वर्धमान है ([प्रतिज्ञप्ति 4.1](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/4-standard-functions#prop-b1-functions-expln)), और $\ln(2^k) = k\ln 2$ अपरिबद्ध है, अतः $\ln n \to +\infty$। वृद्धियाँ: प्रश्न 9 में $t = \frac1n$ के साथ,

$$
\frac 1{n+1} = \frac{1/n}{1 + 1/n} \leq
\ln\Bigl(1 + \frac1n\Bigr) \leq \frac1n
\quad\Longrightarrow\quad
\frac{n}{n+1} \leq \frac{1/(n+1)}{\ln(1 + 1/n)} \leq 1 ,
$$

अतः वृद्धि-भागफल $\frac{H_{n+1} - H_n}{\ln(n+1) - \ln n}$ $1$ की ओर जाता है; और स्टोल्ज़ $H_n \sim \ln n$ देता है।

**11.** $x_n = \frac{u_{n+1}}{u_n} \to L$ और $t_n = \frac{x_n}{L} - 1
\to 0$ रखिए। प्रश्न 9: $\frac{t_n}{1 + t_n} \leq \ln(1 + t_n) \leq t_n$, अतः दबाव से $\ln x_n - \ln L = \ln(1 + t_n) \to 0$। $(\ln x_k)$ पर चेज़ारो (प्रश्न 7) लगाइए:

$$
\frac1n \sum_{k=0}^{n-1} \ln x_k = \frac{\ln u_n - \ln u_0}{n}
\longrightarrow \ln L ,
$$

इसलिए $\frac{\ln u_n}{n} \to \ln L$। $h_n = \frac{\ln u_n}{n} - \ln L \to 0$ के साथ: $u_n^{1/n} = L\,\eu^{h_n}$, और (G1) $1 + h_n \leq \eu^{h_n} \leq
\frac{1}{1 - h_n}$ को दबा देता है ($h_n < 1$ के लिए), अतः $\eu^{h_n} \to 1$ और $u_n^{1/n} \to L$। अनुप्रयोग: $u_n = \binom{2n}{n}$ देता है

$$
\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{(2n+1)(2n+2)}{(n+1)^2}
= \frac{2(2n+1)}{n+1} \longrightarrow 4 ,
\qquad\text{अतः}\qquad
\binom{2n}{n}^{1/n} \to 4 .
$$

**12.** $0 < x \leq 1$ के लिए (G2) $\sin x \geq x(1 - \frac{x^2}{6})
\geq \frac{5x}{6} > 0$ देता है, और

$$
x - \sin x \geq \frac{x^3}{6} - \frac{x^5}{120}
= x^3\Bigl(\frac16 - \frac{x^2}{120}\Bigr)
\geq \frac{19}{120}\,x^3 > 0 :
$$

अतः $\intoc{0}{1}$ पर $0 < \sin x < x$। सदा $u_1 = \sin u_0 \in
\intcc{-1}{1}$। यदि $u_1 = 0$, तो $n \geq 1$ के लिए $u_n = 0$। यदि $u_1 \in
\intoc{0}{1}$: आगमन से $0 < u_{n+1} = \sin u_n < u_n \leq 1$, अतः $(u_n)_{n\geq1}$ कठोरतः ह्रासमान है और नीचे से $0$ द्वारा परिबद्ध: वह किसी $\ell \in \intco{0}{1}$ ([प्रमेय 11.9](#thm-b1-seq-monotone)) की ओर अभिसरित होता है। गुणनफल-से-योग सूत्र और (G2) $\abs{\sin a - \sin b} = 2\abs{\cos
\frac{a+b}{2}}\,\abs{\sin\frac{a-b}{2}} \leq \abs{a - b}$ देते हैं, अतः $u_{n+1} = \sin u_n \to \sin \ell$: $\ell = \sin\ell$। यदि $\ell > 0$, तो $\sin\ell < \ell$: असंभव। अतः $u_n \to 0$।

**13.** (G2) को $u_n > 0$ से भाग देने पर:

$$
1 - \frac{u_n^2}{6} \leq \frac{\sin u_n}{u_n} \leq 1 -
\frac{u_n^2}{6} + \frac{u_n^4}{120} \leq 1 ,
$$

और $u_n \to 0$ $\frac{\sin u_n}{u_n} \to 1$ को दबा देता है। $x - \sin x$ को $x^3$ से भाग देने पर:

$$
\frac16 - \frac{u_n^2}{120} \leq \frac{u_n - \sin u_n}{u_n^3}
\leq \frac16 \longrightarrow \frac16 .
$$

**14.** चूँकि $u_{n+1} = \sin u_n$:

$$
w_n = \frac{u_n^2 - \sin^2 u_n}{u_n^2 \sin^2 u_n}
= \frac{(u_n - \sin u_n)(u_n + \sin u_n)}{u_n^2 \sin^2 u_n}
= \frac{u_n - \sin u_n}{u_n^3}\cdot
\frac{u_n + \sin u_n}{u_n}\cdot
\Bigl(\frac{u_n}{\sin u_n}\Bigr)^{2}
$$

($u_n$ की घातें जाँचिए: नीचे $u_n^2$ और ऊपर $u_n^4$ के सामने $3 + 1 +
(-4)$)। प्रश्न 13 से तीनों गुणनखंड $\frac16$, $2$, $1$ की ओर जाते हैं: $w_n
\to \frac13$।

**15.** $v_n = \frac{1}{u_n^2}$ की वृद्धियाँ $v_{n+1} - v_n = w_n \to
\frac13$ हैं, अतः [अभ्यास 11.10](#exo-b1-seq-10) (3) से $\frac{v_n}{n} \to \frac13$: $n u_n^2 \to 3$। तब

$$
\abs{\sqrt n\,u_n - \sqrt 3}
= \frac{\abs{n u_n^2 - 3}}{\sqrt n\,u_n + \sqrt 3}
\leq \frac{\abs{n u_n^2 - 3}}{\sqrt 3} \longrightarrow 0 :
$$

$\sqrt n\,u_n \to \sqrt 3$, अर्थात् $u_n \sim \sqrt{3/n}$।

**16.** चूँकि $n u_n^2 \to 3$, अंततः $2 \leq n u_n^2 \leq 4$, अर्थात् $\sqrt{2/n} \leq u_n \leq 2/\sqrt n$। यदि उस परास में $n$ के साथ $u_n \leq
10^{-2}$, तो $2/n \leq 10^{-4}$: $n \geq 20\,000$; और $n = 30\,000$ पर $\sqrt{3/n} = 10^{-2}$। [हीरो की विधि](#ex-b1-seq-heron) हर पद पर त्रुटि का वर्ग कर देती है — अंकों की संख्या दुगुनी हो जाती है — क्योंकि उसके अचल बिंदु पर संगत प्रवणता का [मापांक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/3-complex-numbers#def-b1-complex-field) $< 1$ है (वस्तुतः पुनरावृत्ति संकुचनकारी है)। यहाँ $\sin' 0 = \cos
0 = 1$: अचल बिंदु उदासीन है, कोई गुणोत्तर संकुचन है ही नहीं, और क्षय पहले अरैखिक पद $-\frac{x^3}{6}$ से नियंत्रित होता है, अतः बहुपदीय। हीरो का एक पद ज्या के दस हज़ार पदों से अधिक यथार्थता देता है।

**17.** स्वेच्छ $u_0$ के लिए: $u_1 = \sin u_0 \in \intcc{-1}{1}$। यदि $u_1 = 0$, तो अनुक्रम कोटि $1$ से लुप्त हो जाता है। यदि $u_1 > 0$, तो भाग IV अक्षरशः लागू होता है। यदि $u_1 < 0$, तो $v_n = -u_n$ रखिए: $\sin$ की विषमता $v_1 \in \intoc{0}{1}$ के साथ $v_{n+1} = -\sin u_n = \sin(-u_n) = \sin v_n$ देती है, अतः $v_n \sim \sqrt{3/n}$, अर्थात् $u_n \sim -\sqrt{3/n}$। सभी स्थितियों में $\abs{u_n} \sim \sqrt{3/n}$ (अथवा अनुक्रम अंततः $0$ है): पतन सार्वभौमिक है, केवल चिह्न आरंभ का स्मरण रखता है।

**18.** पहले $\frac{u_{n+1}}{u_n} = 1 - \frac{u_n -
u_{n+1}}{u_n^2}\,u_n \to 1 - a \cdot 0 = 1$। फिर

$$
\frac{1}{u_{n+1}} - \frac{1}{u_n}
= \frac{u_n - u_{n+1}}{u_n u_{n+1}}
= \frac{u_n - u_{n+1}}{u_n^2}\cdot\frac{u_n}{u_{n+1}}
\longrightarrow a \cdot 1 = a ,
$$

और [अभ्यास 11.10](#exo-b1-seq-10) (3) $\frac{1}{n u_n} \to a$ देता है, अर्थात् $n u_n
\to \frac1a$।

**19.** $v_n = \frac{1}{u_n}$: $v_{n+1} = \frac{1 + u_n}{u_n} = v_n +
1$, अतः $v_n = v_0 + n$ और

$$
u_n = \frac{u_0}{1 + n u_0} , \qquad
n u_n = \frac{n u_0}{1 + n u_0} \longrightarrow 1 .
$$

प्रमेयिका की जाँच: $u_n - u_{n+1} = \frac{u_n^2}{1 + u_n}$, अतः $\frac{u_n -
u_{n+1}}{u_n^2} = \frac{1}{1 + u_n} \to 1 = a$, और प्रश्न 18 $n u_n \to 1$ बताता है: पूरा मेल।

**20.** आगमन से धनात्मकता ($\eu^{-u} > 0$); ह्रासमान, क्योंकि $u_n > 0$ के लिए $\eu^{-u_n} < 1$; अतः $u_n \to \ell \geq 0$ ([प्रमेय 11.9](#thm-b1-seq-monotone))। सांतत्य का सेतु: $h_n = \ell - u_n \to 0$ के साथ (G1) के दबाव $1 + h_n \leq \eu^{h_n} \leq \frac{1}{1 - h_n}$ से $\eu^{-u_n} = \eu^{-\ell} \eu^{h_n} \to \eu^{-\ell}$; अतः $\ell = \ell\,
\eu^{-\ell}$, और $\ell > 0$ $\eu^{-\ell} = 1$ पर बाध्य करता, जो असत्य है: अतः $\ell = 0$। $t > 0$ के लिए (G1) $\eu^{-t} \geq 1 - t$ और $\eu^{-t} \leq
\frac{1}{1 + t}$ देता है, अतः

$$
\frac{1}{1 + t} \leq \frac{1 - \eu^{-t}}{t} \leq 1 .
$$

$t = u_n$ के साथ: $\frac{u_n - u_{n+1}}{u_n^2} = \frac{1 - \eu^{-u_n}}{u_n}
\to 1$। $a = 1$ के साथ प्रश्न 18: $n u_n \to 1$, अतः $u_n \sim \frac1n$।

**21.** प्रश्न 18 की भाँति $\frac{u_{n+1}}{u_n} = 1 - \frac{u_n -
u_{n+1}}{u_n^3}\,u_n^2 \to 1$। फिर

$$
\frac{1}{u_{n+1}^2} - \frac{1}{u_n^2}
= \frac{(u_n - u_{n+1})(u_n + u_{n+1})}{u_n^2 u_{n+1}^2}
= \frac{u_n - u_{n+1}}{u_n^3}\cdot
\frac{u_n + u_{n+1}}{u_n}\cdot
\Bigl(\frac{u_n}{u_{n+1}}\Bigr)^2
\longrightarrow a \cdot 2 \cdot 1 = 2a ,
$$

और [अभ्यास 11.10](#exo-b1-seq-10) (3) $\frac{1}{n u_n^2} \to 2a$ देता है: $n u_n^2 \to
\frac{1}{2a}$। ज्या के लिए $a = \frac16$ (प्रश्न 13): $n u_n^2 \to 3$, जो ठीक भाग IV है।

**22.** वृद्धियाँ: $a_{n+1} - a_n = 2^{-n} - 2^{-n-1} = 2^{-n-1} =
b_{n+1} - b_n$, अतः वृद्धि-भागफल सदा $1$ रहता है। फिर भी $\frac{a_n}{b_n} =
\frac{2 - 2^{-n}}{1 - 2^{-n}} \to 2 \neq 1$। प्रश्न 5 की उपपत्ति सीमांत पद पर टूटती है: $\frac{a_N - \ell b_N}{b_n} \to 0$ को $b_n \to +\infty$ चाहिए था; यहाँ ($\ell = 1$ के साथ) $a_N - b_N = 1$ और $b_n \to 1$, अतः वह पद $1$ की ओर जाता है — ठीक वही अवशिष्ट अंतर $2 - 1$।

**23.** $A_n = \sum_{k=1}^n H_k$ और $B_n = n\ln n$ के साथ स्टोल्ज़: $B_{n+1} - B_n = \ln(n+1) + n\ln(1 + \frac1n) > 0$ और $B_n \to +\infty$। प्रश्न 9 से $\frac{n}{n+1} \leq n\ln(1 + \frac1n) \leq 1$, अतः $\frac12 \leq
\theta_n \leq 1$ के साथ $B_{n+1} - B_n = \ln(n+1) + \theta_n$। अतः

$$
\frac{A_{n+1} - A_n}{B_{n+1} - B_n}
= \frac{H_{n+1}}{\ln(n+1)}\cdot
\frac{1}{1 + \theta_n/\ln(n+1)} \longrightarrow 1 \cdot 1 = 1
$$

(पहले गुणनखंड के लिए प्रश्न 10; दूसरे के लिए $\theta_n$ परिबद्ध और $\ln(n+1)
\to \infty$)। स्टोल्ज़ निष्कर्ष देता है: $\sum_{k=1}^n H_k \sim n\ln n$।

**24.** यदि $u_n \to \ell > 0$: प्रश्न 11 की भाँति $\ln u_n \to
\ln\ell$ ($\ln\frac{u_n}{\ell}$ पर प्रश्न 9 का दबाव), अतः चेज़ारो माध्य $\frac1n\sum_{k=1}^n \ln u_k \to \ln\ell$, और प्रश्न 11 का चरघातांकी सेतु $(u_1\cdots u_n)^{1/n} = \exp\bigl(\frac1n\sum\ln u_k\bigr) \to \ell$ देता है। यदि $u_n \to +\infty$: किसी भी $M$ के लिए अंततः $u_n \geq \eu^M$, अतः $\ln u_n \geq M$: $\ln u_n \to +\infty$; और $+\infty$ चेज़ारो (प्रश्न 6, $b_n = n$) $\frac1n\sum \ln u_k \to +\infty$ देता है, तथा (G1) ($\eu^s \geq
1 + s$) गुणोत्तर माध्य को $+\infty$ तक भेज देता है। $u_n = n$ के साथ: $(n!)^{1/n} \to +\infty$।

**25.** (क) पूर्णता केवल एकदिष्ट सीमा प्रमेय के द्वारा आई, ताकि प्रश्न 12 और 20 की सीमाएँ उत्पन्न हो सकें; चेज़ारो–स्टोल्ज़ प्रमेय स्वयं शुद्ध $\varepsilon$-प्रबंधन है और $\Q$ पर वैध है। (ख) स्टोल्ज़ $\lim
\frac{a_n}{b_n}$ के स्थान पर वृद्धि-भागफल का $\lim$ रख देता है, ठीक वैसे ही जैसे लोपिताल $\lim\frac fg$ के स्थान पर $\lim\frac{f'}{g'}$ रखता है — और उसका अवकलीय जुड़वाँ [अध्याय 14](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/14-differentiation#ch-b1-derivative) की माध्य मान प्रमेय पर टिका है। (ग) अनुमान-नियम: यदि उदासीन अचल बिंदु $0$ पर $f(x) = x - a\,x^{p+1} +
o(x^{p+1})$, तो $\frac{1}{u_{n+1}^p} - \frac{1}{u_n^p} \to pa$ और $u_n \sim
(pan)^{-1/p}$: अर्थात् कोटि $p + 1$ का संपर्क क्षय $n^{-1/p}$ देता है — आलेख विकर्ण से जितना चपटा लगेगा, पतन उतना ही धीमा होगा। (घ) अचर: (G2) त्रिघात गुणांक $\frac16$ देता है; प्रश्न 14 का गुणनखंडन उसे दूरबीनी वृद्धि $\frac13$ में दुगुना कर देता है; चेज़ारो $\frac{1}{u_n^2}$ को $\frac n3$ में बदल देता है; और प्रतिलोम लेकर मूल निकालने पर $\sqrt{3/n}$ मिलता है।