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title: "वास्तविक रेखा की सांस्थिति"
book: "विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 1"
subject: math
language: hi
chapter: 12
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/12-topology-of-the-real-line
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# अध्याय 12 — वास्तविक रेखा की सांस्थिति

सीमाएँ बार-बार उसी ज्यामितीय शब्दावली की ओर लौटती हैं: किसी [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) के “निकट” बिंदु, “बिना सीमा-रिसाव” वाले [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets), ऐसे [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) जिनसे अनुक्रम भाग नहीं सकते। यह अध्याय उस शब्दावली को — [विवृत](#def-b1-topology-open) और [संवृत समुच्चय](#def-b1-topology-closed), [अंतःभाग](#def-b1-topology-closure) और [संवरक](#def-b1-topology-closure), [सघनता](#def-b1-topology-dense) — वास्तविक रेखा पर तय करता है, और खंडों की संहतता उसके अनुक्रमीय रूप में सिद्ध करता है। यही धारणाएँ, मानकित सदिश समष्टियों में, द्वितीय वर्ष की सामग्री हैं; $\R$ पर वे पहुँच के भीतर हैं और [अध्याय 13](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/13-limits-and-continuity#ch-b1-continuity) के लिए तुरंत उपयोगी।

## 12.1 विवृत समुच्चय, संवृत समुच्चय

**परिभाषा 12.1 (प्रतिवेश, विवृत समुच्चय).**

[समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $V \subseteq \R$ $x \in \R$ का *प्रतिवेश* तब है जब उसमें किसी $r > 0$ के लिए [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) $\intoo{x - r}{x + r}$ समाया हो। [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $U \subseteq \R$ *विवृत* तब है जब वह अपने प्रत्येक बिंदु का प्रतिवेश हो:

$$
\forall x \in U,\ \exists r > 0, \quad \intoo{x - r}{x + r}
\subseteq U .
$$

**उदाहरण 12.2.**

[विवृत](#def-b1-topology-open) [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) [विवृत](#def-b1-topology-open) हैं: $x \in \intoo{a}{b}$ के लिए $r = \min(x - a,\, b -
x) > 0$ लीजिए। अर्धरेखाएँ $\intoo{a}{+\infty}$ [विवृत](#def-b1-topology-open) हैं; $\R$ और $\emptyset$ [विवृत](#def-b1-topology-open) हैं (दूसरा रिक्तार्थ रूप से)। $\intcc{0}{1}$ [विवृत](#def-b1-topology-open) *नहीं* है: $0$ के चारों ओर का कोई [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) भीतर नहीं रहता।

**प्रतिज्ञप्ति 12.3 (विवृत समुच्चयों का स्थायित्व).**

[विवृत](#def-b1-topology-open) समुच्चयों का कोई भी सम्मिलन [विवृत](#def-b1-topology-open) होता है; और [विवृत](#def-b1-topology-open) समुच्चयों का *परिमित* प्रतिच्छेदन [विवृत](#def-b1-topology-open) होता है। अनंत प्रतिच्छेदन विफल हो सकते हैं: $\bigcap_{n \geq 1} \intoo{-\frac 1n}{\frac 1n} = \{0\}$, जो [विवृत](#def-b1-topology-open) नहीं है।

**उपपत्ति.** सम्मिलन: यदि $x \in \bigcup_i U_i$, तो किसी $i_0$ के लिए $x \in U_{i_0}$, और $U_{i_0}$ से मिला [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) सम्मिलन के भीतर बैठ जाता है। परिमित प्रतिच्छेदन: यदि $x \in U_1 \cap \dots \cap U_k$, तो प्रत्येक $U_j$ से मिली त्रिज्याओं का $r = \min(r_1, \dots, r_k) > 0$ लीजिए। प्रति-उदाहरण के लिए: $0$ के चारों ओर के किसी भी [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) में कोई $\frac{1}{n}$ आ जाता है (आर्किमिडीज़), अतः वह प्रतिच्छेदन से बाहर निकल जाता है। ∎

**उदाहरण 12.4 (स्पष्ट त्रिज्याओं से विवृतता प्रमाणित करना).**

क्या $U = \{x \in \R : x^2 > 2\}$ [विवृत](#def-b1-topology-open) है? हाँ, और प्रमाणपत्र लिखा जा सकता है: $U = \intoo{-\infty}{-\sqrt2} \cup \intoo{\sqrt2}{+\infty}$, अर्थात् दो [विवृत](#def-b1-topology-open) अर्धरेखाओं का सम्मिलन, जो [प्रतिज्ञप्ति 12.3](#prop-b1-topology-openstable) से [विवृत](#def-b1-topology-open) है। वैकल्पिक रूप से, बिंदु-दर-बिंदु तर्क कीजिए: $x > \sqrt 2$ वाले $x \in U$ के लिए $r = x - \sqrt2 > 0$ लीजिए: प्रत्येक $y \in \intoo{x - r}{x + r}$ $y
> \sqrt 2$ संतुष्ट करता है, अतः $y^2 > 2$; और बाईं ओर सममित रूप से। दोनों शैलियाँ महत्त्व रखती हैं — संरचनात्मक शैली (ज्ञात [विवृत](#def-b1-topology-open) समुच्चयों से सम्मिलन और परिमित प्रतिच्छेदन द्वारा बनाना) बड़े पैमाने पर बेहतर काम करती है, और $\varepsilon$-शैली तब काम आती है जब कोई संरचना दिखाई न दे; और [अध्याय 13](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/13-limits-and-continuity#ch-b1-continuity) तीसरी, सबसे शक्तिशाली शैली जोड़ेगा: $U$ संतत $x
\mapsto x^2$ के अंतर्गत [विवृत](#def-b1-topology-open) $\intoo{2}{+\infty}$ का [पूर्वप्रतिबिंब](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) है।

**परिभाषा 12.5 (संवृत समुच्चय).**

[समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $F \subseteq \R$ *संवृत* तब है जब उसका पूरक $\R \setminus F$ [विवृत](#def-b1-topology-open) हो। डी मॉर्गन और [प्रतिज्ञप्ति 12.3](#prop-b1-topology-openstable) से: संवृत समुच्चयों का कोई भी प्रतिच्छेदन संवृत होता है, और संवृत समुच्चयों के परिमित सम्मिलन संवृत होते हैं।

**प्रमेय 12.6 (संवृत समुच्चयों का अनुक्रमीय अभिलक्षण).**

$F$ [संवृत](#def-b1-topology-closed) है यदि और केवल यदि: $F$ के बिंदुओं के प्रत्येक ऐसे अनुक्रम $(u_n)$ के लिए जो किसी $\ell \in \R$ की ओर अभिसरित होता हो, सीमा $\ell$ $F$ की सदस्य हो। (“[संवृत](#def-b1-topology-closed)” $=$ “सीमाओं के अंतर्गत स्थायी”।)

**उपपत्ति.** ($\Rightarrow$) मान लीजिए $F$ [संवृत](#def-b1-topology-closed) है, $u_n \in F$, $u_n \to \ell$, और मान लीजिए $\ell \notin F$। पूरक [विवृत](#def-b1-topology-open) है: अतः कोई $\intoo{\ell - r}{\ell + r}$ $F$ से बचता है। पर अभिसरण बड़े $n$ के लिए $u_n$ को उसी [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) में रख देता है: $u_n \in F$ से विरोधाभास।

($\Leftarrow$) मान लीजिए $F$ [संवृत](#def-b1-topology-closed) नहीं है: तो पूरक [विवृत](#def-b1-topology-open) नहीं है, अतः किसी $x \notin F$ के लिए कोई [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) $\intoo{x - r}{x + r}$ पूरक के भीतर नहीं है; $r = \frac{1}{n+1}$ लेकर ऐसा $u_n \in F$ चुनिए कि $\abs{u_n - x} <
\frac{1}{n+1}$। तब $u_n \in F$, $u_n \to x \notin F$: अर्थात् अनुक्रमीय गुणधर्म विफल हो जाता है। ∎

**उदाहरण 12.7 (अनुक्रमीय कसौटी, दोनों ओर).**

*[संवृत](#def-b1-topology-closed):* $F = \Z \cup \bigl\{n + \frac1n : n \geq 2\bigr\}$। मान लीजिए $u_k \to \ell$ के साथ $u_k \in F$। खिड़की $\intcc{\ell - 1}{\ell + 1}$ में $F$ के केवल परिमित कितने बिंदु हैं (परिमित कितने पूर्णांक, परिमित कितने $n +
\frac1n$), और किसी कोटि के आगे सभी $u_k$ उसी में हैं: तब अनुक्रम परिमित कितने मान लेता है, और अभिसारी होने से अंततः अचर हो जाता है (जैसा [अभ्यास 12.3](#exo-b1-topology-3) में है): $\ell \in F$। अतः [संवृत](#def-b1-topology-closed) — यद्यपि $F$ में $\frac1n$ दूरी पर, अर्थात् मनचाहे निकट, बिंदु-युग्म हैं।

*[संवृत](#def-b1-topology-closed) नहीं:* $G = \bigl\{\frac1m + \frac1n : m, n \in \N^*\bigr\}$। अनुक्रम $\frac1n + \frac1n \in G$ $0$ की ओर जाता है, और $0 \notin G$ (दो धनात्मक पदों का योग): अनुक्रमीय कसौटी विफल हो जाती है, अतः $G$ [संवृत](#def-b1-topology-closed) नहीं है। रोचक बात यह कि प्रत्येक $\frac1m$ $\overline G \cap G$ का सदस्य *है*: वस्तुतः $\frac1m = \frac{1}{m+1} + \frac{1}{m(m+1)} \in G$। समापन का सार: संवृतता सिद्ध करने के लिए *सभी* अभिसारी अनुक्रमों को एक साथ नियंत्रित कीजिए (प्रायः किसी स्थानीय परिमितता या संवृत-सूत्र वाले तर्क से); उसका खंडन करने के लिए एक सुचयनित भागता हुआ अनुक्रम पर्याप्त है — यह असममिति ऋणात्मक दिशा को आसान बना देती है, और इस अध्याय के सभी प्रति-उदाहरणों का यही एक-पंक्ति आकार है।

**उदाहरण 12.8.**

खंड $\intcc{a}{b}$, अर्धरेखाएँ $\intco{a}{+\infty}$, [परिमित समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/2-counting#def-b1-counting-card), $\Z$ (पूर्णांकों का अभिसारी अनुक्रम अंततः अचर होता है) [संवृत](#def-b1-topology-closed) हैं। $\intoc{0}{1}$ न [विवृत](#def-b1-topology-open) है ($1$ पर विफल) और न [संवृत](#def-b1-topology-closed) ($\frac 1n \to 0 \notin$ [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets)): अधिकांश [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) दोनों में से कुछ भी नहीं हैं। $\R$ और $\emptyset$ दोनों [विवृत](#def-b1-topology-open) भी हैं और [संवृत](#def-b1-topology-closed) भी — और $\R$ के ऐसे केवल यही उपसमुच्चय हैं ([अभ्यास 12.9](#exo-b1-topology-9))।

**उदाहरण 12.9 (अनंत टुकड़ों से बना एक विवृत समुच्चय).**

$\R \setminus \Z = \bigcup_{n \in \Z} \intoo{n}{n+1}$: [विवृत](#def-b1-topology-open) अंतरालों का अनंत सम्मिलन, जो [प्रतिज्ञप्ति 12.3](#prop-b1-topology-openstable) से [विवृत](#def-b1-topology-open) है — अतः $\Z$ [संवृत](#def-b1-topology-closed) है, और उसके लिए किसी अनुक्रमीय तर्क की आवश्यकता नहीं। स्थायित्व के नियमों में श्रम-विभाजन पर ध्यान दीजिए: *सम्मिलन* स्वेच्छ हो सकते हैं (हर बिंदु को केवल अपना प्रमाणपत्र चाहिए, जो उसे समेटने वाला एक ही [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) दे देता है), जबकि *प्रतिच्छेदन* परिमित रहने चाहिए (प्रमाणपत्रों का प्रतिच्छेदन लेना पड़ता है, और अनंत कितनी त्रिज्याएँ सिकुड़कर शून्य हो सकती हैं)। [अभ्यास 12.10](#exo-b1-topology-10) दिखाएगा कि यह उदाहरण ही सामान्य आकार है: $\R$ का प्रत्येक [विवृत](#def-b1-topology-open) उपसमुच्चय [विवृत](#def-b1-topology-open) अंतरालों का गणनीय असंयुक्त सम्मिलन होता है।

## 12.2 अंतःभाग, संवरक, सघनता

**परिभाषा 12.10 (अंतःभाग, संवरक, परिसीमा).**

मान लीजिए $A \subseteq \R$।

- बिंदु $x$ $A$ का *आंतरिक* बिंदु तब है जब $A$ $x$ का [प्रतिवेश](#def-b1-topology-open) हो; *अंतःभाग* $\mathring{A}$ आंतरिक बिंदुओं का [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) है।
- बिंदु $x$ $A$ से *अभिलग्न* तब है जब $x$ का प्रत्येक [प्रतिवेश](#def-b1-topology-open) $A$ से मिलता हो; *संवरक* $\overline{A}$ अभिलग्न बिंदुओं का [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) है।
- *परिसीमा* $\partial A = \overline A \setminus \mathring A$ है।

तब $\mathring A \subseteq A \subseteq \overline A$।

**प्रतिज्ञप्ति 12.11 (मुख्य गुणधर्म).**

1. $\mathring A$ $A$ में समाया सबसे बड़ा [विवृत समुच्चय](#def-b1-topology-open) है; $A$ [विवृत](#def-b1-topology-open) है तभी जब $A = \mathring A$ ।
2. $\overline A$ $A$ को समेटने वाला सबसे छोटा [संवृत समुच्चय](#def-b1-topology-closed) है; $A$ [संवृत](#def-b1-topology-closed) है तभी जब $A = \overline A$ ।
3. (अभिलग्नता का अनुक्रमीय अभिलक्षण) $x \in \overline A$ यदि और केवल यदि $x$ $A$ के बिंदुओं के किसी अनुक्रम की सीमा हो।
4. पूरक लेने से दोनों धारणाओं की अदला-बदली हो जाती है: $\R \setminus  \overline A = \bigl(\R \setminus A\bigr)^{\!\circ}$ ।

**उपपत्ति.** (4) $x \notin \overline A$ $\iff$ $x$ का कोई [प्रतिवेश](#def-b1-topology-open) $A$ से बचता है $\iff$ $x$ के चारों ओर कोई [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) $\R \setminus A$ में है $\iff$ $x$ $\R \setminus
A$ का आंतरिक बिंदु है।

(1) $\mathring A$ [विवृत](#def-b1-topology-open) है: यदि $x \in \mathring A$, तो कोई $\intoo{x-r}{x+r} \subseteq A$; उस [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) के प्रत्येक बिंदु $y$ के चारों ओर उसी के भीतर एक छोटा [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) है, अतः $A$ के भीतर भी: इसलिए पूरा [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) $\mathring A$ में है। कोई भी [विवृत](#def-b1-topology-open) $U \subseteq A$ $A$ के आंतरिक बिंदुओं से बना है, अतः $U \subseteq \mathring A$: अर्थात् सबसे बड़ा। विवृतता का अभिलक्षण इसी से निकलता है।

(2) विस्तार से। (4) से $\R \setminus \overline A$ $\R \setminus A$ का [अंतःभाग](#def-b1-topology-closure) है, जो (1) से [विवृत समुच्चय](#def-b1-topology-open) है: अतः $\overline A$ [संवृत](#def-b1-topology-closed) है, और उसमें $A$ समाया है। न्यूनतमता: मान लीजिए $F \supseteq A$ [संवृत](#def-b1-topology-closed) है। तब $\R
\setminus F$ [विवृत](#def-b1-topology-open) है और $\R \setminus A$ में समाया है, अतः (1) की अधिकतमता से,

$$
\R \setminus F \subseteq \bigl(\R \setminus A\bigr)^{\!\circ}
= \R \setminus \overline A ,
$$

और फिर पूरक लेने पर: $\overline A \subseteq F$। इस प्रकार $\overline A$ सबसे छोटा [संवृत](#def-b1-topology-closed) अधिसमुच्चय है। अभिलक्षण: यदि $A = \overline A$, तो $A$ [संवृत](#def-b1-topology-closed) है (अभी दिखाया गया); और यदि $A$ [संवृत](#def-b1-topology-closed) है, तो वह स्वयं $A$ का [संवृत](#def-b1-topology-closed) अधिसमुच्चय है, अतः न्यूनतमता $\overline A \subseteq A$ पर बाध्य कर देती है, और समता मिल जाती है।

(3) यदि $u_n \in A$, तो $u_n \to x$: $x$ के प्रत्येक [प्रतिवेश](#def-b1-topology-open) में कोई $u_n
\in A$ है, अतः $x \in \overline A$। विलोमतः, यदि $x \in \overline A$: प्रत्येक [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) $\intoo{x - \frac{1}{n+1}}{x + \frac{1}{n+1}}$ $A$ से किसी $u_n$ पर मिलता है, और $u_n \to x$। ∎

**उदाहरण 12.12.**

$\overline{\intoo{0}{1}} = \intcc{0}{1}$; $\mathring{\intcc{0}{1}} =
\intoo{0}{1}$; $\partial\intoo{0}{1} = \{0, 1\}$। $A = \{\frac 1n : n \in
\N^*\}$ के लिए: $\overline A = A \cup \{0\}$, $\mathring A = \emptyset$, $\partial A = A \cup \{0\}$। $\Q$ के लिए: [सघनता](#def-b1-topology-dense) ([प्रमेय 10.14](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#thm-b1-reals-density)) से प्रत्येक वास्तविक संख्या $\Q$ से अभिलग्न है, अतः $\overline{\Q} = \R$ जबकि $\mathring{\Q} = \emptyset$ (हर [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) में अपरिमेय संख्याएँ हैं): अर्थात् $\Q$ की [परिसीमा](#def-b1-topology-closure) पूरा $\R$ है।

**उदाहरण 12.13 (पूरी शल्य-रचना).**

मान लीजिए $A = \intoc{0}{1} \,\cup\, \bigl(\Q \cap \intoo{2}{3}\bigr)
\,\cup\, \{4\}$। हम [परिभाषा 12.10](#def-b1-topology-closure) के तीनों [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) टुकड़ा-दर-टुकड़ा संगणित करते हैं।

*[अंतःभाग](#def-b1-topology-closure)।* $\intoo{0}{1}$ के बिंदु के चारों ओर पूरा [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) $A$ के भीतर है: अतः आंतरिक। बिंदु $1$: उसके चारों ओर हर [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) $1$ के दाईं ओर रिस जाता है, जहाँ $2$ तक $A$ में कुछ नहीं है: अतः आंतरिक नहीं। $\Q \cap \intoo{2}{3}$ का कोई बिंदु आंतरिक नहीं है (हर [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) में अपरिमेय संख्याएँ हैं, [प्रमेय 10.14](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#thm-b1-reals-density)); और वियुक्त $4$ भी नहीं। अतः $\mathring A =
\intoo{0}{1}$।

*[संवरक](#def-b1-topology-closure)।* $A$ के बिंदुओं की सीमाएँ: पूरा $\intcc{0}{1}$ ($\frac 1n \in
A$ के साथ $0 = \lim \frac1n$); पूरा $\intcc{2}{3}$ (वहाँ की हर वास्तविक संख्या उस [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) की परिमेय संख्याओं की सीमा है, फिर [सघनता](#def-b1-topology-dense)); और $4$। इसके अतिरिक्त कुछ नहीं: $\intcc{0}{1} \cup \intcc{2}{3} \cup \{4\}$ के बाहर के बिंदु की उस [संवृत समुच्चय](#def-b1-topology-closed) से दूरी धनात्मक है। अतः $\overline A =
\intcc{0}{1} \cup \intcc{2}{3} \cup \{4\}$।

*[परिसीमा](#def-b1-topology-closure)।* $\partial A = \overline A \setminus \mathring A = \{0, 1\}
\cup \intcc{2}{3} \cup \{4\}$।

समापन का सार: तीनों संक्रियाएँ *स्थानीय* रूप से काम करती हैं — $A$ का हर टुकड़ा अपने स्वभाव के अनुसार योगदान करता है (ठोस [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) अपना भीतर रख लेता है, सघन-पर-छिद्रिल टुकड़ा पूरा का पूरा [परिसीमा](#def-b1-topology-closure) बन जाता है, और वियुक्त बिंदु शुद्ध [परिसीमा](#def-b1-topology-closure) है) — और $A$ का दो पंक्ति का रेखाचित्र कोई उपपत्ति लिखे जाने से पहले ही हर उत्तर बता देता है।

**टिप्पणी 12.14 (बिंदु-समुच्चय तर्क की सामान्य भूलें).**

(क) *“[विवृत](#def-b1-topology-open) नहीं” का अर्थ “[संवृत](#def-b1-topology-closed)” नहीं है*: अधिकांश [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) दोनों में से कुछ भी नहीं हैं ($\intoc{0}{1}$), और दो [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) दोनों हैं ($\emptyset$, $\R$) — [विवृत](#def-b1-topology-open) और [संवृत](#def-b1-topology-closed) विपरीत नहीं, बल्कि पूरक लेने से आपस में द्वैत हैं। (ख) *[अंतःभाग](#def-b1-topology-closure) और [संवरक](#def-b1-topology-closure) क्रम-विनिमेय नहीं हैं*: $A = \Q$ के लिए,

$$
\overline{\mathring A} = \overline\emptyset = \emptyset
\qquad\text{जबकि}\qquad
\bigl(\,\overline A\,\bigr)^{\!\circ} = \mathring \R = \R :
$$

दोनों दोहराए हुए संकारक उतने ही भिन्न हैं जितने [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) हो सकते हैं। (ग) *[संवृत](#def-b1-topology-closed) समुच्चयों के अनंत सम्मिलन [संवृत](#def-b1-topology-closed) होने में विफल हो सकते हैं*: $\bigcup_{n\geq1} \intcc{\frac1n}{1} = \intoc{0}{1}$ — अर्थात् [प्रतिज्ञप्ति 12.3](#prop-b1-topology-openstable) के प्रतिच्छेदन वाले प्रति-उदाहरण का दर्पण। (घ) *[सघन](#def-b1-topology-dense) होने का अर्थ बड़ा होना नहीं है*: $\Q$ [सघन](#def-b1-topology-dense), गणनीय और रिक्त [अंतःभाग](#def-b1-topology-closure) वाला है, और उसका पूरक भी [सघन](#def-b1-topology-dense) है; [सघनता](#def-b1-topology-dense) “हर चीज़ के मनचाहे निकट” कहती है, “लगभग सब कुछ” नहीं — और सप्ताहांत समस्या का [कैंटर समुच्चय](#pb-b1-topology-1) ([समस्या 12.1](#pb-b1-topology-1)) उलटी बात कहता है, अर्थात् सांस्थितिक दृष्टि से छोटा पर आकार में अगणनीय रूप से बड़ा [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets)।

**उदाहरण 12.15 (एक संवरक, यथार्थ रूप से संगणित).**

मान लीजिए $G = \bigl\{\frac1m + \frac1n : m, n \in \N^*\bigr\}$ ([उदाहरण 12.7](#ex-b1-topology-seqtest) से)। दावा:

$$
\overline G = G \,\cup\, \Bigl\{\frac1m : m \in \N^*\Bigr\}
\,\cup\, \{0\} .
$$

($\supseteq$) $\frac1m = \lim_n \bigl(\frac1m + \frac1n\bigr)$ और $0 =
\lim_n \frac2n$: अनुक्रमीय अभिलक्षण से अभिलग्न। ($\subseteq$) मान लीजिए $x =
\lim_k \bigl( \frac{1}{m_k} + \frac{1}{n_k}\bigr)$; प्रत्येक युग्म को इस प्रकार क्रमित कीजिए कि $m_k \leq n_k$। यदि $(m_k)$ अपरिबद्ध है, तो किसी [उपानुक्रम](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/11-sequences#def-b1-seq-subsequence) पर $m_k \to \infty$, अतः $n_k \to \infty$ भी और $x = 0$। अन्यथा $(m_k)$ परिमित कितने मान लेता है, और उनमें से कोई एक, मान लीजिए $m$, अनंत बार; उस [उपानुक्रम](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/11-sequences#def-b1-seq-subsequence) पर $\frac{1}{n_k} \to x - \frac1m$: यदि $(n_k)$ परिबद्ध है, तो वह कोई मान $n$ अनंत बार लेता है और $x = \frac1m + \frac1n \in G$; और यदि नहीं, तो $x = \frac1m$। हर स्थिति घोषित [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) में आ गिरती है। समापन का सार: [संवरक](#def-b1-topology-closure) की संगणना सूचकांकों पर संहतता-शैली का स्थिति-विश्लेषण है — परिबद्ध सूचकांक का अर्थ है परिमित कितने मान (कबूतरखाना), अपरिबद्ध सूचकांक का अर्थ है कोई सीमा भाग जाना — और उत्तर सीमा-बिंदुओं की विशिष्ट दो-परत संरचना दिखा देता है: [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets), उसकी पहली पीढ़ी की सीमाएँ, और उनकी सीमा $0$।

**परिभाषा 12.16 (सघनता, सांस्थितिक रूप).**

$A$ $\R$ में *सघन* तब है जब $\overline A = \R$ — समतुल्य रूप से, हर अरिक्त [विवृत](#def-b1-topology-open) [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) $A$ से मिलता है; और समतुल्य रूप से ([प्रतिज्ञप्ति 12.11](#prop-b1-topology-closureprops) (3) से), हर वास्तविक संख्या $A$ के अवयवों की सीमा है। उदाहरण: $\Q$, $\R \setminus \Q$, द्विआधारी संख्याएँ ([अभ्यास 10.8](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#exo-b1-reals-8)), सघन [उपसमूह](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-subgroup) ([अभ्यास 10.9](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#exo-b1-reals-9))।

**उदाहरण 12.17 (सघनता सापेक्ष है).**

यहाँ परिभाषित “[सघन](#def-b1-topology-dense)” का अर्थ है *$\R$ में* [सघन](#def-b1-topology-dense); कोई [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) इसके बदले रेखा के केवल किसी भाग में [सघन](#def-b1-topology-dense) हो सकता है। $\intcc{0}{1}$ की द्विआधारी संख्याएँ, अर्थात् $D \cap \intcc{0}{1}$ ([अभ्यास 10.8](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#exo-b1-reals-8)), $\intcc{0}{1}$ में समाए हर [विवृत](#def-b1-topology-open) [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) से मिलती हैं पर निस्संदेह $\intoo{2}{3}$ से पूरी तरह चूक जाती हैं: वे $\intcc{0}{1}$ *में* [सघन](#def-b1-topology-dense) हैं, अर्थात् $\overline{D \cap \intcc{0}{1}} = \intcc{0}{1}$। सामान्य वाक्य “$A$ $B$ में [सघन](#def-b1-topology-dense) है” $B \subseteq \overline A$ का संक्षेप है — परिवेशी [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) का नाम सदा लीजिए, क्योंकि सप्ताहांत समस्या के सिरे *[कैंटर समुच्चय](#pb-b1-topology-1) में* [सघन](#def-b1-topology-dense) हैं और साथ ही *$\R$ में* कहीं [सघन](#def-b1-topology-dense) नहीं: एक ही [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets), दो सच्चे और विपरीत सुनाई देने वाले वर्णन।

**उदाहरण 12.18 (सघनता से निपटना).**

तीन त्वरित चालें जो लगातार लौटती हैं। *बड़ा करना*: यदि $A$ [सघन](#def-b1-topology-dense) है और $A
\subseteq B$, तो $B$ [सघन](#def-b1-topology-dense) है (हर [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) पहले ही $A$ से मिलता है)। *ले जाना*: यदि $A$ [सघन](#def-b1-topology-dense) है, तो $\lambda \neq 0$ के लिए $\lambda A + \mu$ भी [सघन](#def-b1-topology-dense) है — [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) $I$ $\lambda A + \mu$ से तभी मिलता है जब [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) $\frac{I -
\mu}{\lambda}$ $A$ से मिले; अतः, मान लीजिए, $10^{-9}$ के विषम गुणज [सघन](#def-b1-topology-dense) हैं। *प्रतिच्छेदन विफल है*: दो [सघन](#def-b1-topology-dense) [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) एक-दूसरे से पूरी तरह चूक सकते हैं ($\Q$ और $\R \setminus \Q$): [सघनता](#def-b1-topology-dense) सम्मिलन और ऐफ़ीन प्रतिचित्रणों में बची रहती है, प्रतिच्छेदन में कभी नहीं।

## 12.3 खंडों की संहतता

**प्रमेय 12.19 (खंड अनुक्रमीय रूप से संहत हैं).**

मान लीजिए $a \leq b$। $\intcc{a}{b}$ के बिंदुओं के प्रत्येक अनुक्रम का कोई [उपानुक्रम](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/11-sequences#def-b1-seq-subsequence) $\intcc{a}{b}$ *के* किसी बिंदु की ओर अभिसरित होता है।

और अधिक व्यापक रूप से, $\R$ के जिन उपसमुच्चयों में यह गुणधर्म है (हर अनुक्रम का कोई [उपानुक्रम](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/11-sequences#def-b1-seq-subsequence) उसी [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) में अभिसरित होता है) वे ठीक *[संवृत](#def-b1-topology-closed) और परिबद्ध* [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) हैं।

**उपपत्ति.** $\intcc{a}{b}$ का अनुक्रम परिबद्ध है, अतः बोल्ज़ानो–वाइरश्ट्रास ([प्रमेय 11.16](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/11-sequences#thm-b1-seq-bw)) कोई अभिसारी [उपानुक्रम](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/11-sequences#def-b1-seq-subsequence) निकाल देता है; और उसकी सीमा $\intcc{a}{b}$ में ही रहती है, क्योंकि खंड [संवृत](#def-b1-topology-closed) होते हैं ([प्रमेय 12.6](#thm-b1-topology-seqclosed))।

सामान्य स्थिति। *([संवृत](#def-b1-topology-closed) परिबद्ध $\Rightarrow$ संहत)*: मान लीजिए $F$ [संवृत](#def-b1-topology-closed) और परिबद्ध है और $(u_n)$ $F$ में कोई अनुक्रम है। $F$ की परिबद्धता अनुक्रम को परिबद्ध कर देती है, अतः बोल्ज़ानो–वाइरश्ट्रास $u_{\varphi(n)}
\to \ell$ निकाल देता है; और $\ell \in F$, क्योंकि $F$ [संवृत](#def-b1-topology-closed) है और वह [उपानुक्रम](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/11-sequences#def-b1-seq-subsequence) $F$ के बिंदुओं का अभिसारी अनुक्रम है ([प्रमेय 12.6](#thm-b1-topology-seqclosed)): दोनों परिकल्पनाएँ एक-एक करके खप जाती हैं, परिबद्धता सीमा के अस्तित्व के लिए और संवृतता उसकी सदस्यता के लिए। *(संहत $\Rightarrow$ [संवृत](#def-b1-topology-closed) और परिबद्ध)*: यदि $F$ अपरिबद्ध है, तो ऐसा $u_n \in F$ चुनिए कि $\abs{u_n} \geq n$; तब हर [उपानुक्रम](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/11-sequences#def-b1-seq-subsequence) अपरिबद्ध है, अतः अपसारी ([प्रतिज्ञप्ति 11.4](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/11-sequences#prop-b1-seq-first)): कोई अभिसारी [उपानुक्रम](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/11-sequences#def-b1-seq-subsequence) है ही नहीं। यदि $F$ [संवृत](#def-b1-topology-closed) नहीं है, तो $u_n \to \ell \notin F$ वाला $u_n \in F$ लीजिए ([प्रमेय 12.6](#thm-b1-topology-seqclosed)): हर [उपानुक्रम](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/11-sequences#def-b1-seq-subsequence) $\ell \notin F$ की ओर अभिसरित होता है, अतः कोई [उपानुक्रम](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/11-sequences#def-b1-seq-subsequence) $F$ *में* अभिसरित नहीं होता। ∎

**उदाहरण 12.20 (नेस्टेड संहत समुच्चय).**

प्रमेय का पहला अभ्यास। मान लीजिए $K_0 \supseteq K_1 \supseteq K_2 \supseteq
\dots$ $\R$ के अरिक्त संहत ([संवृत](#def-b1-topology-closed) परिबद्ध) उपसमुच्चय हैं। तब $\bigcap_n K_n
\neq \emptyset$। वस्तुतः, प्रत्येक $n$ के लिए $x_n \in K_n$ चुनिए: यह अनुक्रम संहत $K_0$ में रहता है, अतः कोई [उपानुक्रम](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/11-sequences#def-b1-seq-subsequence) $x_{\varphi(n)}$ किसी $x$ की ओर अभिसरित होता है ([प्रमेय 12.19](#thm-b1-topology-compact))। प्रत्येक नियत $m$ के लिए $\varphi(n) \geq m$ वाले पद $x_{\varphi(n)}$ सभी [संवृत समुच्चय](#def-b1-topology-closed) $K_m$ में हैं, अतः सीमा $x$ $K_m$ में है ([प्रमेय 12.6](#thm-b1-topology-seqclosed)); और चूँकि $m$ स्वेच्छ था, $x \in \bigcap_n K_n$। एक उपयोगी साथी: यदि कोई [विवृत समुच्चय](#def-b1-topology-open) $U$ $\bigcap_n K_n$ को समेटता है, तो किसी $n$ के लिए $U \supseteq K_n$ — वही तर्क बिंदुओं $x_n \in K_n \setminus U$ पर लगाइए; सीमा $x$ $\bigcap K_n
\subseteq U$ में होती, फिर भी $U$ के [विवृत](#def-b1-topology-open) होने से अंततः $x_{\varphi(n)} \in
U$ अनिवार्य हो जाता, जो विरोधाभास है। संहतता के बिना दोनों [कथन](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-statement) विफल हैं: $\bigcap_n \intoo{0}{\frac 1n} = \emptyset$ और $\bigcap_n \intco{n}{+\infty}
= \emptyset$। समापन का सार: संहतता अरिक्तता के अनंत दावों की शृंखला को एक ही सीमा-बिंदु में बदल देती है — यही वह औज़ार है जो अनंत प्रतिच्छेदन तक जीवित बचता है, और सप्ताहांत समस्या ([समस्या 12.1](#pb-b1-topology-1)) उस पर दो बार टिकेगी।

![मध्य-तिहाई रचना के पहले चार चरण: C_n का प्रत्येक खंड अपना विवृत मध्य-तिहाई खो देता है, और C_n+1 के 2n+1 खंड बच रहते हैं, जिनकी कुल लंबाई (2/3)n+1 है। कैंटर समुच्चय C = _n C_n — जो सप्ताहांत समस्या का विषय है — वही अरिक्त संहत अवशेष है जिसकी गारंटी ऊपर का नेस्टेड-संहत तर्क देता है: लंबाई शून्य, फिर भी अगणनीय कितने बिंदु बच जाते हैं।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-topology/fig-8f10851209c3.svg)

*मध्य-तिहाई रचना के पहले चार चरण: $C_n$ का प्रत्येक खंड अपना [विवृत](#def-b1-topology-open) मध्य-तिहाई खो देता है, और $C_{n+1}$ के $2^{n+1}$ खंड बच रहते हैं, जिनकी कुल लंबाई $(\frac23)^{n+1}$ है। [कैंटर समुच्चय](#pb-b1-topology-1) $C = \bigcap_n C_n$ — जो सप्ताहांत समस्या [समस्या 12.1](#pb-b1-topology-1) का विषय है — वही अरिक्त संहत अवशेष है जिसकी गारंटी ऊपर का नेस्टेड-संहत तर्क देता है: लंबाई शून्य, फिर भी अगणनीय कितने बिंदु बच जाते हैं।*

**टिप्पणी 12.21.**

यही इंजन चरम मान प्रमेय ([अध्याय 13](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/13-limits-and-continuity#ch-b1-continuity)) और एकसमान सांतत्य पर हाइने की प्रमेय के पीछे है। “संहत” नाम अपनी व्यापक (आवरण वाली) परिभाषा द्वितीय वर्ष में पाएगा; $\R$ पर अनुक्रमीय संहतता ही हमारी सारी आवश्यकता है, और स्मरण रखने योग्य [कथन](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-statement) है “संहत $=$ [संवृत](#def-b1-topology-closed) $+$ परिबद्ध”।

**उदाहरण 12.22 (सम्मिलन के अंतर्गत परिसीमाएँ).**

सदा $\partial(A \cup B) \subseteq \partial A \cup \partial B$: $\partial(A
\cup B)$ के बिंदु का हर [प्रतिवेश](#def-b1-topology-open) $A \cup B$ से मिलता है (अतः $A$ या $B$ से, अनंत बार किसी एक से) और $A \cup B$ के पूरक से भी, जो दोनों पूरकों में है — इसके बाद एक छोटी जाँच उस बिंदु को $\partial A$ या $\partial B$ में रख देती है। यह अंतर्विष्टि अत्यंत कठोर हो सकती है: $A = \Q$ और $B = \R\setminus\Q$ के साथ,

$$
\partial(A \cup B) = \partial \R = \emptyset ,
\qquad
\partial A \cup \partial B = \R \cup \R = \R :
$$

दो ऊबड़-खाबड़ [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) जुड़कर एक निर्बाध [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) बन सकते हैं, और उनकी परिसीमाएँ एक-दूसरे को नष्ट कर देती हैं। समापन का सार: [अंतःभाग](#def-b1-topology-closure) और [संवरक](#def-b1-topology-closure) सम्मिलन तथा प्रतिच्छेदन के अंतर्गत *एकदिष्ट* रूप से व्यवहार करते हैं, पर परिसीमाएँ नहीं — $\partial$ को व्युत्पन्न राशि मानिए ($\overline A
\setminus \mathring A$), अपने ही बीजगणित वाला संकारक कभी नहीं।

**टिप्पणी 12.23 (इस खंड के भीतर आगे की दृष्टि).**

यहाँ बनी शब्दावली इस पुस्तक में दो बार और खपती है। [अध्याय 13](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/13-limits-and-continuity#ch-b1-continuity) में हर प्रमेय वेश बदला हुआ सांस्थिति का [कथन](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-statement) है: मध्यवर्ती मान प्रमेय कहती है कि संतत [प्रतिचित्रण](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) का गुणधर्म सुरक्षित रखते हैं, और चरम मान प्रमेय कहती है कि वे संहतता सुरक्षित रखते हैं — और उपपत्तियाँ प्रमेय [12.6](#thm-b1-topology-seqclosed) और [12.19](#thm-b1-topology-compact) का नाम लेकर बुलाती हैं। [अध्याय 25](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/25-functions-of-two-variables#ch-b1-multivar) में वही परिभाषाएँ $\R^2$ में, अंतरालों के स्थान पर वृत्तचकतियों के साथ, फिर से पढ़ी जाती हैं: [विवृत समुच्चय](#def-b1-topology-open), [संवरक](#def-b1-topology-closure) और संहतता शब्दशः चले जाते हैं, और दो-चर वाली चरम मान प्रमेय फिर बोल्ज़ानो–वाइरश्ट्रास पर सवार होती है (प्रत्येक निर्देशांक पर निष्कर्षण)। एकमात्र धारणा जो बिना कष्ट के *सामान्यीकृत नहीं* होती वह स्वयं [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) है — समतल में उत्तलता का स्थान संबद्धता ले लेती है, और वह कथा [अभ्यास 12.9](#exo-b1-topology-9) के “केवल $\emptyset$ और $\R$ ही [विवृत](#def-b1-topology-open) और [संवृत](#def-b1-topology-closed) हैं” से आरंभ होती है।

## 12.4 अभ्यास

**अभ्यास 12.1 ★.**

प्रत्येक [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) के लिए बताइए कि वह [विवृत](#def-b1-topology-open) है, [संवृत](#def-b1-topology-closed) है, दोनों है, या कुछ भी नहीं (न्यायसंगति सहित): $\intoo{0}{1} \cup \intoo{2}{3}$; $\;\intco{0}{1}$; $\;\{0\} \cup \intcc{1}{2}$; $\;\R \setminus \Z$; $\;\Q \cap \intoo{0}{1}$।

**हल — अभ्यास 12.1.**

$\intoo{0}{1} \cup \intoo{2}{3}$: [विवृत](#def-b1-topology-open) ([विवृत](#def-b1-topology-open) समुच्चयों का सम्मिलन), [संवृत](#def-b1-topology-closed) नहीं ($\frac 1n \to 0$ बाहर)।

$\intco{0}{1}$: कुछ भी नहीं। [विवृत](#def-b1-topology-open) नहीं ($0$ के चारों ओर कोई [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) भीतर नहीं); [संवृत](#def-b1-topology-closed) नहीं ($1 - \frac1n \to 1 \notin$ [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets))।

$\{0\} \cup \intcc{1}{2}$: [संवृत](#def-b1-topology-closed) ([संवृत](#def-b1-topology-closed) समुच्चयों का परिमित सम्मिलन), [विवृत](#def-b1-topology-open) नहीं ($0$ पर विफल)।

$\R \setminus \Z$: [विवृत](#def-b1-topology-open) ($\Z$ [संवृत](#def-b1-topology-closed) है), [संवृत](#def-b1-topology-closed) नहीं: अनुक्रम $\bigl(\frac
1n\bigr)$ उसमें है, पर उसकी सीमा $0$ $\Z$ की सदस्य है, अर्थात् [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) से भाग जाती है।

$\Q \cap \intoo{0}{1}$: कुछ भी नहीं। [विवृत](#def-b1-topology-open) नहीं: किसी परिमेय संख्या के चारों ओर हर [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) में अपरिमेय संख्याएँ हैं। [संवृत](#def-b1-topology-closed) नहीं: उसमें ऐसे अनुक्रम हैं जो अपरिमेय $\frac{\sqrt 2}{2}$ की ओर जाते हैं ([सघनता](#def-b1-topology-dense))।

**अभ्यास 12.2 ★.**

इनके लिए $\mathring A$, $\overline A$ और $\partial A$ निर्धारित कीजिए: $A =
\intoc{0}{1} \cup \{2\}$; $\;A = \R \setminus \Q$; $\;A =
\bigl\{\frac{(-1)^n n}{n+1} : n \in \N\bigr\}$।

**हल — अभ्यास 12.2.**

$A = \intoc{0}{1} \cup \{2\}$: $\mathring A = \intoo{0}{1}$, $\overline A = \intcc{0}{1} \cup \{2\}$, $\partial A = \{0, 1, 2\}$.

$A = \R \setminus \Q$: $\mathring A = \emptyset$ (हर [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) में परिमेय संख्याएँ हैं), $\overline A = \R$ (अपरिमेय संख्याओं की [सघनता](#def-b1-topology-dense)), $\partial A =
\R$।

$A = \bigl\{\frac{(-1)^n n}{n+1}\bigr\}$: सम पद $1$ की ओर जाते हैं और विषम पद $-1$ की ओर, और इनमें से कोई $A$ का सदस्य नहीं है। $\mathring A =
\emptyset$ (वियुक्त बिंदु), $\overline A = A \cup \{-1, 1\}$, $\partial A =
\overline A$।

**अभ्यास 12.3 ★.**

सिद्ध कीजिए कि [परिमित समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/2-counting#def-b1-counting-card) [संवृत](#def-b1-topology-closed) होता है — पहले पूरकों से, फिर अनुक्रमीय अभिलक्षण से।

**हल — अभ्यास 12.3.**

*पूरक।* $F = \{a_1 < a_2 < \dots < a_k\}$: पूरक [विवृत](#def-b1-topology-open) अंतरालों $\intoo{-\infty}{a_1}$, $\intoo{a_i}{a_{i+1}}$, $\intoo{a_k}{+\infty}$ का सम्मिलन है — जो [प्रतिज्ञप्ति 12.3](#prop-b1-topology-openstable) से [विवृत](#def-b1-topology-open) है।

*अनुक्रम।* मान लीजिए $u_n \in F$, $u_n \to \ell$। $\varepsilon =
\min\{\abs{a_i - a_j} : i \neq j\}/2 > 0$ के साथ (अथवा $F$ के एकल [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) होने पर कोई भी $\varepsilon$): किसी कोटि के आगे सभी पद $\ell$ के $\varepsilon$ के भीतर हैं, अतः एक-दूसरे के $2\varepsilon$ के भीतर, जो उन्हें उस कोटि से आगे एक ही $a_i$ होने पर बाध्य कर देता है; और तब $\ell = a_i \in
F$।

**अभ्यास 12.4 ★.**

सिद्ध कीजिए कि किसी भी $A, B \subseteq \R$ के लिए $\overline{A \cup B} =
\overline A \cup \overline B$। उदाहरण से दिखाइए कि $\overline{A \cap B}$ $\overline A \cap \overline B$ से भिन्न हो सकता है।

**हल — अभ्यास 12.4.**

$\subseteq$: $\overline A \cup \overline B$ [संवृत](#def-b1-topology-closed) है (परिमित सम्मिलन) और उसमें $A \cup B$ समाया है, अतः उसमें *सबसे छोटा* [संवृत](#def-b1-topology-closed) अधिसमुच्चय $\overline{A \cup B}$ भी समाया है। $\supseteq$: $A \subseteq A \cup B$ $\overline A \subseteq \overline{A \cup B}$ देता है ([संवरक](#def-b1-topology-closure) एकदिष्ट है: $A$ के अभिलग्न बिंदु बड़े [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) से भी अभिलग्न होते हैं), और $B$ के लिए भी वैसे ही।

प्रतिच्छेदन के लिए प्रति-उदाहरण: $A = \intoo{0}{1}$, $B = \intoo{1}{2}$: $\overline{A \cap B} = \overline\emptyset = \emptyset$, पर $\overline A \cap
\overline B = \{1\}$।

**अभ्यास 12.5 ★★.**

मान लीजिए $\R$ में $u_n \to \ell$। सिद्ध कीजिए कि [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $\{u_n : n \in
\N\} \cup \{\ell\}$ [संवृत](#def-b1-topology-closed) है (और परिबद्ध होने की बात जोड़ दें तो संहत भी — जो वह है)।

**हल — अभ्यास 12.5.**

अनुक्रमीय अभिलक्षण ([प्रमेय 12.6](#thm-b1-topology-seqclosed)) का प्रयोग कीजिए। मान लीजिए $S = \{u_n\} \cup \{\ell\}$ और $S$ में $v_k \to m$ वाला कोई अनुक्रम $(v_k)$ है; दिखाइए $m \in S$। दो स्थितियाँ। यदि $(v_k)$ कोई मान $v \in S$ अनंत बार लेता है, तो अचर [उपानुक्रम](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/11-sequences#def-b1-seq-subsequence) $m = v \in S$ दे देता है। अन्यथा हर मान परिमित बार लिया जाता है; विशेष रूप से प्रत्येक $n$ के लिए पद $u_n$ परिमित बार आता है, और $\ell$ भी। तब प्रत्येक $N$ के लिए $v_k \in \{u_0, \dots, u_N,
\ell\}$ वाले सूचकांक $k$ परिमित कितने हैं: शेष $v_k$ ऐसे पद $u_n$ हैं जिनके लिए $n > N$। $\varepsilon > 0$ दिया हो, तो ऐसा $N$ चुनिए कि $n > N$ के लिए $\abs{u_n - \ell} \leq \varepsilon$: तब परिमित कितने को छोड़कर सभी $v_k$ $\abs{v_k - \ell} \leq \varepsilon$ संतुष्ट करते हैं। अतः $v_k \to \ell$, इसलिए $m = \ell \in S$।

**अभ्यास 12.6 ★★.**

मान लीजिए $U$ [विवृत](#def-b1-topology-open) है और $A$ स्वेच्छ। सिद्ध कीजिए कि $U + A = \{u + a\}$ [विवृत](#def-b1-topology-open) है। उससे निकालिए कि किसी [विवृत समुच्चय](#def-b1-topology-open) और किसी भी [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) का योग [विवृत](#def-b1-topology-open) होता है, और इसके विपरीत ऐसे दो *[संवृत](#def-b1-topology-closed)* [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) दिखाइए जिनका योग [संवृत](#def-b1-topology-closed) नहीं है। *([अभ्यास 10.9](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#exo-b1-reals-9) के साथ $\Z$ और $\sqrt 2\,\Z$ आज़माइए।)*

**हल — अभ्यास 12.6.**

$U + A = \bigcup_{a \in A} (U + a)$, और प्रत्येक स्थानांतरण $U + a$ [विवृत](#def-b1-topology-open) है (अंतराल-प्रमाणपत्रों का स्थानांतरण)। [विवृत](#def-b1-topology-open) समुच्चयों का सम्मिलन [विवृत](#def-b1-topology-open) होता है ([प्रतिज्ञप्ति 12.3](#prop-b1-topology-openstable))।

[संवृत समुच्चय](#def-b1-topology-closed): $\Z$ और $\sqrt 2\,\Z$ [संवृत](#def-b1-topology-closed) हैं (जैसे $\alpha\Z$: अभिसारी अनुक्रम अंततः अचर होते हैं, [उदाहरण 12.8](#ex-b1-topology-closed) देखिए)। उनका योग $\Z + \sqrt 2\,\Z$ $\R$ में [सघन](#def-b1-topology-dense) है ([अभ्यास 10.9](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#exo-b1-reals-9)) पर वह $\R$ नहीं है (वह गणनीय है; अथवा सरलता से: $\frac{\sqrt 2}{2} \notin \Z + \sqrt2\Z$, अन्यथा $\sqrt 2$ परिमेय होता — $\frac{\sqrt2}{2} = m + n\sqrt 2$ लिखने पर $(2n - 1)\sqrt 2 = -2m$ अनिवार्य हो जाता, अतः $n = \frac12$ के बिना $\sqrt 2
\in \Q$, जो असंभव है)। कोई [सघन](#def-b1-topology-dense) उचित उपसमुच्चय [संवृत](#def-b1-topology-closed) नहीं होता: उसका [संवरक](#def-b1-topology-closure) स्वयं $\R \neq$ है।

**अभ्यास 12.7 ★★.**

बिंदु $x \in A$ $A$ में *वियुक्त* तब है जब $x$ का कोई [प्रतिवेश](#def-b1-topology-open) $A$ से केवल $x$ पर मिले। सिद्ध कीजिए कि $\Z$ का प्रत्येक बिंदु $\Z$ में वियुक्त है, कि $A = \{\frac1n\}$ के सभी बिंदु वियुक्त हैं फिर भी $\overline A \neq A$, और यह कि जिस [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) के सभी बिंदु वियुक्त हों उसका [अंतःभाग](#def-b1-topology-closure) रिक्त होता है।

**हल — अभ्यास 12.7.**

$\Z$: $n$ का [प्रतिवेश](#def-b1-topology-open) $\intoo{n - \frac12}{n + \frac12}$ $\Z$ से केवल $n$ पर मिलता है।

$A = \{\frac1n : n \in \N^*\}$: $\frac 1n$ के चारों ओर त्रिज्या $\frac{1}{n}
- \frac{1}{n+1} = \frac{1}{n(n+1)}$ (मान लीजिए आधी) का [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) उसे उसके पड़ोसियों से अलग कर देता है — अतः सभी बिंदु वियुक्त। फिर भी $0 \in
\overline A \setminus A$: वियुक्त बिंदु बाहरी अभिलग्न बिंदुओं को नहीं रोकते।

यदि $A$ के सभी बिंदु वियुक्त हैं: तो $A$ का कोई बिंदु आंतरिक नहीं है, क्योंकि आंतरिक बिंदु के चारों ओर $A$-पड़ोसियों का पूरा [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) होता है (और [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) अनंत होता है), जो वियुक्तता का विरोध करता है। अतः $\mathring A =
\emptyset$।

**अभ्यास 12.8 ★★.**

सिद्ध कीजिए कि परिबद्ध [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) का [संवरक](#def-b1-topology-closure) परिबद्ध होता है, और यह कि ऊपर से परिबद्ध अरिक्त $A$ के लिए $\sup \overline A = \sup A$। उससे निकालिए कि $\sup
A \in \overline A$: अर्थात् [उच्चतम](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#def-b1-reals-bounds) सदा अभिलग्न होता है।

**हल — अभ्यास 12.8.**

यदि $A \subseteq \intcc{-M}{M}$, तो [संवृत समुच्चय](#def-b1-topology-closed) $\intcc{-M}{M}$ में $A$ समाया है, अतः उसमें $\overline A$ भी समाया है (सबसे छोटा [संवृत](#def-b1-topology-closed) अधिसमुच्चय): अर्थात् $\overline A$ परिबद्ध है।

मान लीजिए $s = \sup A$ (परिमित)। चूँकि $A \subseteq \overline A$, $\sup
\overline A \geq s$। विलोमतः $\overline A \subseteq \intoc{-\infty}{s}$: वह अर्धरेखा [संवृत](#def-b1-topology-closed) है और उसमें $A$ समाया है; अतः $\overline A$ का प्रत्येक अवयव $\leq s$ है, जिससे $\sup\overline A \leq s$ मिलता है। समता।

$s \in \overline A$: $\varepsilon$-अभिलक्षण ([प्रतिज्ञप्ति 10.4](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-epsilon)) से प्रत्येक [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) $\intoo{s - \varepsilon}{s + \varepsilon}$ में $A$ का कोई अवयव है: अतः $s$ अभिलग्न है।

**अभ्यास 12.9 ★★★.**

सिद्ध कीजिए कि $\R$ के केवल वही उपसमुच्चय [विवृत](#def-b1-topology-open) और [संवृत](#def-b1-topology-closed) दोनों हैं जो $\emptyset$ और $\R$ हैं। *संकेत: मान लीजिए $A$ [विवृत](#def-b1-topology-open), [संवृत](#def-b1-topology-closed) है, जहाँ $A
\neq \emptyset$ और $\R \setminus A \neq \emptyset$; $a \in A$, $b \notin A$ चुनिए, मान लीजिए $a < b$, और $s = \sup\,(A \cap \intcc{a}{b})$ पर विचार कीजिए; तय कीजिए कि $s$ $A$ का सदस्य हो सकता है या उसके पूरक का।*

**हल — अभ्यास 12.9.**

मान लीजिए $A$ [विवृत](#def-b1-topology-open) और [संवृत](#def-b1-topology-closed) है, जहाँ $a \in A$ और $b \in \R \setminus A$; व्यापकता खोए बिना $a < b$। [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $B = A \cap \intcc{a}{b}$ अरिक्त ($a$) और परिबद्ध है: मान लीजिए $s = \sup B$। [अभ्यास 12.8](#exo-b1-topology-8) से $s \in
\overline B \subseteq \overline A = A$ ($A$ [संवृत](#def-b1-topology-closed))। ध्यान दीजिए $s \leq b$, और चूँकि $b \notin A$: $s < b$। अब $A$ [विवृत](#def-b1-topology-open) है: कोई [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) $\intoo{s - r}{s
+ r}$ $A$ में है, और हम $r < b - s$ ले सकते हैं। तब $s + \frac{r}{2}$ $A
\cap \intcc{a}{b} = B$ का सदस्य है और $s$ से बड़ा है — जो $s = \sup B$ का विरोध करता है। अतः ऐसा कोई युग्म $(a, b)$ है ही नहीं: $A$, $\R \setminus A$ में से एक रिक्त है।

**अभ्यास 12.10 ★★★.**

([विवृत](#def-b1-topology-open) समुच्चयों की संरचना) मान लीजिए $U \subseteq \R$ [विवृत](#def-b1-topology-open) और अरिक्त है। $x \in U$ के लिए मान लीजिए $I_x$ उन सभी [विवृत](#def-b1-topology-open) अंतरालों का सम्मिलन है जो $x$ को समेटते हैं और $U$ में समाए हैं। सिद्ध कीजिए कि $I_x$ [विवृत](#def-b1-topology-open) [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) है, कि दो [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $I_x$, $I_y$ या तो बराबर हैं या असंयुक्त, और यह कि $U$ *गणनीय कितने* जोड़ों में असंयुक्त [विवृत](#def-b1-topology-open) अंतरालों का सम्मिलन है *(हर एक में एक परिमेय संख्या चुनिए)*।

**हल — अभ्यास 12.10.**

$I_x$ ऐसे [विवृत](#def-b1-topology-open) अंतरालों का सम्मिलन है जिन सबमें $x$ है: अतः वह [विवृत](#def-b1-topology-open) है, और उत्तल होने से [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) भी — यदि $u, v \in I_x$ के साथ $u < z < v$, तो $u$ और $v$ $U$ के [विवृत](#def-b1-topology-open) उपअंतरालों $J_u \ni x$, $J_v \ni x$ में हैं, और $J_u \cup
J_v$ ऐसा [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) है (दोनों में $x$ है) जो $U$ के भीतर है और $z$ को समेटता है; अतः $z \in I_x$ ([प्रतिज्ञप्ति 10.19](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals))।

यदि $I_x \cap I_y \neq \emptyset$: तो $I_x \cup I_y$ $U$ में समाया ऐसा [विवृत](#def-b1-topology-open) [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) है (उत्तल: दो अतिव्यापी [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals)) जो $x$ और $y$ दोनों को समेटता है, अतः दोनों की अधिकतमता से $I_x \cup I_y \subseteq I_x$ और $\subseteq I_y$: $I_x =
I_y$।

अतः $U$ भिन्न समुच्चयों $I_x$ का असंयुक्त सम्मिलन है (प्रत्येक $x \in U$ अपने ही $I_x$ में है)। गणनीयता: इस परिवार के प्रत्येक अरिक्त [विवृत](#def-b1-topology-open) [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) $I$ में कोई परिमेय संख्या $q_I$ है ([प्रमेय 10.14](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#thm-b1-reals-density)), और भिन्न असंयुक्त अंतरालों को भिन्न परिमेय संख्याएँ मिलती हैं: अतः यह परिवार $\Q$ में [एकैकी](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj) रूप से समा जाता है, जो गणनीय है (वह पूर्णांक युग्मों से सूचीबद्ध है)। अतः अधिक से अधिक गणनीय कितने [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals)।

**अभ्यास 12.11 ★★.**

बिंदु $x \in \R$ $A$ का *संचय बिंदु* तब है जब $x$ का प्रत्येक [प्रतिवेश](#def-b1-topology-open) $A \setminus \{x\}$ से मिले; उनका [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) *व्युत्पन्न [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets)* $A'$ है। सिद्ध कीजिए कि $\overline A = A \cup A'$, और यह कि $A$ [संवृत](#def-b1-topology-closed) है यदि और केवल यदि $A' \subseteq A$। $A = \{\frac 1n : n \in \N^*\}$ के लिए, $A = \Z$ के लिए, और $A = \Q$ के लिए $A'$ निर्धारित कीजिए।

**हल — अभ्यास 12.11.**

$\overline A = A \cup A'$। ($\supseteq$) सदा $A \subseteq \overline A$; और यदि $x \in A'$, तो $x$ का प्रत्येक [प्रतिवेश](#def-b1-topology-open) $A \setminus \{x\} \subseteq A$ से मिलता है, अतः $x$ अभिलग्न है। ($\subseteq$) मान लीजिए $x \in \overline
A$। यदि $x \in A$, तो काम पूरा। यदि $x \notin A$, तो $x$ का प्रत्येक [प्रतिवेश](#def-b1-topology-open) $A = A \setminus \{x\}$ से मिलता है: $x \in A'$।

फलस्वरूप $A$ [संवृत](#def-b1-topology-closed) $\iff$ $A = \overline A = A \cup A'$ $\iff$ $A' \subseteq
A$।

$A = \{\frac 1n\}$: $0$ एक संचय बिंदु है ($\frac 1n \to 0$, पद $\neq 0$); प्रत्येक $\frac 1n$ वियुक्त है ([अभ्यास 12.7](#exo-b1-topology-7)), अतः $A'$ में नहीं; और $x \notin A \cup \{0\}$ वाले बिंदु के चारों ओर पूरा [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) $A$ से बचता है ($A \cup \{0\}$ में $x$ के दोनों पड़ोसियों के बीच, या $1$ से आगे)। अतः $A' = \{0\}$।

$\Z' = \emptyset$: प्रत्येक पूर्णांक वियुक्त है, और प्रत्येक अपूर्णांक का कोई [प्रतिवेश](#def-b1-topology-open) $\R \setminus \Z$ के भीतर है।

$\Q' = \R$: किसी भी वास्तविक संख्या के चारों ओर हर [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) में अनंत कितनी परिमेय संख्याएँ हैं ([प्रमेय 10.14](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#thm-b1-reals-density)), और विशेष रूप से केंद्र से भिन्न कोई एक।

**अभ्यास 12.12 ★★★.**

अरिक्त $A \subseteq \R$ के लिए $d_A(x) = \inf\{\abs{x - a} : a \in A\}$ परिभाषित कीजिए। सिद्ध कीजिए:

1. सभी $x, y$ के लिए $\abs{d_A(x) - d_A(y)} \leq \abs{x - y}$ ( $d_A$ $1$ -लिप्शिट्ज़ है);
2. $d_A(x) = 0$ यदि और केवल यदि $x \in \overline A$ ; विशेष रूप से, यदि $F$ [संवृत](#def-b1-topology-closed) है और $x \notin F$ , तो $d_F(x) > 0$ ;
3. प्रत्येक $\varepsilon > 0$ के लिए [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $V_\varepsilon = \{x :  d_F(x) < \varepsilon\}$ [विवृत](#def-b1-topology-open) है, $F$ को समेटता है, और [संवृत](#def-b1-topology-closed) $F$ के लिए $\bigcap_{\varepsilon > 0} V_\varepsilon = F$ : अर्थात् प्रत्येक [संवृत समुच्चय](#def-b1-topology-closed) [विवृत](#def-b1-topology-open) समुच्चयों का गणनीय प्रतिच्छेदन है।

**हल — अभ्यास 12.12.**

1. प्रत्येक $a \in A$ के लिए: $\abs{x - a} \leq \abs{x - y} + \abs{y -  a}$ , अतः $d_A(x) \leq \abs{x - y} + \abs{y - a}$ ; $a$ पर [निम्नतम](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#def-b1-reals-bounds) लेने पर: $d_A(x) \leq \abs{x - y} + d_A(y)$ । $x$ और $y$ की अदला-बदली दूसरी असमिका देती है: $\abs{d_A(x) - d_A(y)} \leq \abs{x - y}$ ।
2. $d_A(x) = 0$ $\iff$ प्रत्येक $\varepsilon > 0$ के लिए ऐसा $a \in A$ है कि $\abs{x - a} < \varepsilon$ $\iff$ $x$ के चारों ओर प्रत्येक [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) $A$ से मिलता है $\iff$ $x \in \overline A$ । यदि $F$ [संवृत](#def-b1-topology-closed) है और $x \notin  F = \overline F$ , तो $d_F(x) \neq 0$ , अर्थात् $d_F(x) > 0$ ।
3. यदि $d_F(x) < \varepsilon$ , तो $r = \varepsilon - d_F(x) > 0$ रखिए: $\abs{y - x} < r$ के लिए भाग (1) $d_F(y) \leq d_F(x) + \abs{x - y} <  \varepsilon$ देता है: अर्थात् [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) $\intoo{x - r}{x + r}$ $V_\varepsilon$ में है, जो इसलिए [विवृत](#def-b1-topology-open) है; और उसमें $F$ है, क्योंकि वहाँ $d_F = 0$ । अंत में $x \in \bigcap_{\varepsilon>0} V_\varepsilon$ $\iff$ सभी $\varepsilon$ के लिए $d_F(x) < \varepsilon$ $\iff$ $d_F(x) = 0$ $\iff$ $x \in \overline F = F$ । चूँकि $\bigcap_{\varepsilon > 0} V_\varepsilon =  \bigcap_{n \geq 1} V_{1/n}$ , अतः प्रत्येक [संवृत समुच्चय](#def-b1-topology-closed) [विवृत](#def-b1-topology-open) समुच्चयों का गणनीय प्रतिच्छेदन है।

## 12.5 समस्या: कैंटर समुच्चय, एक साथ छोटा और विशाल

**समस्या 12.1.**

सप्ताहांत समस्या — कैंटर का मध्य-तिहाई [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets): लंबाई शून्य, अगणनीय, पूर्ण, और $C + C =
\intcc{0}{2}$

$\intcc{0}{1}$ में से उसका [विवृत](#def-b1-topology-open) मध्य-तिहाई हटाइए, फिर बचे हुए हर खंड का मध्य-तिहाई, और यही सदा दोहराइए: जो बचता है वह *[कैंटर समुच्चय](#pb-b1-topology-1)* $C$ है, अर्थात् विश्लेषण की मूल प्रति-उदाहरण-निर्माणशाला। यह समस्या उसका निर्माण करती है, उसे [समस्या 10.1](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#pb-b1-reals-1) की आधार-$3$ मशीनरी से पढ़ती है, और उसका विरोधाभासी चित्र स्थापित करती है: कुल लंबाई शून्य, फिर भी अगणनीय; रिक्त [अंतःभाग](#def-b1-topology-closure), फिर भी कोई वियुक्त बिंदु नहीं; पूर्णतः असंबद्ध, फिर भी $C + C$ पूरा खंड $\intcc{0}{2}$ भर देता है। औपचारिक रूप से: $C_0 =
\intcc{0}{1}$, और $C_{n+1}$ $C_n$ से $C_n$ के प्रत्येक खंड का [विवृत](#def-b1-topology-open) मध्य-तिहाई हटाकर मिलता है; अंत में $C = \bigcap_{n \geq 0} C_n$। आगे सर्वत्र, $x \in \intcc{0}{1}$ का *त्रिआधारी कूट* $d_k \in \{0, 1, 2\}$ वाली कोई भी अंक-माला $(d_k)_{k\geq1}$ है जिसका मान $\sup_n \sum_{k=1}^n d_k
3^{-k}$ $x$ के बराबर हो — अनुचित कूट (अंततः $2$) भी स्वीकार्य हैं; [समस्या 10.1](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#pb-b1-reals-1) (प्रश्न 9–11) से प्रत्येक $x \in \intcc{0}{1}$ के एक या दो कूट होते हैं, और दो ठीक तभी जब $x = m/3^N \in \intoo{0}{1}$।

**भाग I — निर्माण।**

1. $C_1$ और $C_2$ को खंडों के सम्मिलन के रूप में स्पष्ट रूप से वर्णित कीजिए, और आगमन से सिद्ध कीजिए: $C_n$ $2^n$ [संवृत](#def-b1-topology-closed) खंडों का असंयुक्त सम्मिलन है, जिनमें से प्रत्येक की लंबाई $3^{-n}$ है।
2. दिखाइए कि $C$ [संवृत](#def-b1-topology-closed) , परिबद्ध — अतः संहत ( [प्रमेय 12.19](#thm-b1-topology-compact) ) — और अरिक्त है, और यह कि प्रत्येक $C_n$ के प्रत्येक खंड का प्रत्येक सिरा $C$ का सदस्य है।
3. $C_n$ की कुल लंबाई $\bigl(\frac23\bigr)^n$ है। उससे निकालिए कि प्रत्येक $\varepsilon > 0$ के लिए [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $C$ को कुल लंबाई $\leq  \varepsilon$ वाले परिमित कितने खंडों से ढका जा सकता है: अर्थात् [कैंटर समुच्चय](#pb-b1-topology-1) की *लंबाई शून्य* है।
4. दिखाइए कि $C$ में समाए [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) की लंबाई प्रत्येक $n$ के लिए $\leq  3^{-n}$ है, अतः वह एकल [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) है या रिक्त: $\mathring C = \emptyset$ । [संवृत](#def-b1-topology-closed) होने के साथ रिक्त [अंतःभाग](#def-b1-topology-closure) वाला होने से $C$ *कहीं [सघन](#def-b1-topology-dense) नहीं* है।

**भाग II — त्रिआधारी कूट।**

5. स्वसमरूपता की पुनरावृत्ति सिद्ध कीजिए $$C_{n+1} = \tfrac13 C_n \,\cup\,  \bigl(\tfrac23 + \tfrac13 C_n\bigr),  \qquad\text{अतः}\qquad  C = \tfrac13 C \,\cup\, \bigl(\tfrac23 + \tfrac13  C\bigr),$$ जहाँ दोनों टुकड़े असंयुक्त हैं: अर्थात् $C$ मापक $\frac13$ पर अपनी ही दो प्रतियाँ है।
6. $n$ पर आगमन से सिद्ध कीजिए: $x \in C_n$ यदि और केवल यदि $x$ का कोई ऐसा त्रिआधारी कूट हो जिसके पहले $n$ अंक $\{0, 2\}$ में हों। इस तथ्य का प्रयोग करके कि $x$ के अधिक से अधिक दो कूट हैं, निकालिए: $x \in C$ यदि और केवल यदि $x$ का कोई ऐसा कूट हो जिसमें *कोई अंक $1$ के बराबर न हो* (एक *$1$-मुक्त* कूट)।
7. कूट काम पर: $0$ , $1$ , $\frac13$ , $\frac23$ के $1$ -मुक्त कूट दीजिए; दिखाइए $\frac14 = (0.\overline{02})_3$ और $\frac34 = (0.\overline{20})_3$ , अतः दोनों $C$ के सदस्य हैं; और जाँचिए कि $\frac14$ किसी भी $C_n$ का सिरा *नहीं* है (सिरों का रूप $m/3^n$ होता है)।
8. दिखाइए कि प्रत्येक $x \in C$ का *ठीक एक* $1$ -मुक्त कूट है *(जब $x$ के दो कूट हों, तब सिद्ध कीजिए कि उस जोड़े में से ठीक एक में अंक $1$ है)* । निष्कर्ष: मान-प्रतिचित्रण $\{0,2\}$ -मालाओं से $C$ पर एकैकी आच्छादन है।
9. (विकर्ण) मान लीजिए $k \mapsto x_k$ कोई [प्रतिचित्रण](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) $\N^* \to C$ है। ऐसी $\{0, 2\}$ -माला बनाइए जो सूचकांक $k$ पर $x_k$ के कूट से भिन्न हो, और निष्कर्ष निकालिए कि $C$ अगणनीय है — जबकि इसके विपरीत प्रश्न 3 कहता है कि वह मापीय दृष्टि से नगण्य है।

**भाग III — सांस्थितिक चित्र।**

10. अब तक का लेखा जोड़िए: $C$ संहत, अगणनीय, लंबाई-शून्य और कहीं [सघन](#def-b1-topology-dense) नहीं है। कौन-सी एक अंतर्विष्टि $C \subseteq C_n$ किस गुणधर्म को ढोती है?
11. ( $C$ पूर्ण है) मान लीजिए $1$ -मुक्त कूट $(d_k)$ के साथ $x \in C$ । अंक $d_n$ ( $0 \leftrightarrow 2$ ) को पलटने से $x_n \in C$ मिलता है, जहाँ $\abs{x_n - x} = 2 \cdot 3^{-n}$ । निष्कर्ष निकालिए कि $C$ का कोई वियुक्त बिंदु नहीं है: $C$ का प्रत्येक बिंदु $C$ के *दूसरे* बिंदुओं की सीमा है।
12. दिखाइए कि प्रश्न 2 के सिरे $C$ का गणनीय [सघन](#def-b1-topology-dense) उपसमुच्चय बनाते हैं *(कूट को $n$ अंकों के बाद काटिए और आगे $0$ लगाइए; गणनीयता [अभ्यास 12.10](#exo-b1-topology-10) की भाँति)* । निष्कर्ष: $C$ का विशिष्ट बिंदु — जैसे $\frac14$ — कोई सिरा *नहीं* है: सिरे उस अगणनीय काया के भीतर एक गणनीय ढाँचा हैं।
13. (पूर्णतः असंबद्ध) मान लीजिए $C$ में $x < y$ । ऐसा $n$ चुनिए कि $3^{-n} < y - x$ , और ऐसा बिंदु $z \in \intoo{x}{y}$ उत्पन्न कीजिए कि $z  \notin C$ । निष्कर्ष निकालिए कि $C$ में समाए एकमात्र अरिक्त [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) एकल [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) हैं।

**भाग IV — $C$ का अंकगणित।**

14. दिखाइए $1 - C = C$ *($x \mapsto 1 - x$ किसी $1$-मुक्त कूट के साथ क्या करता है? $1 = (0.\overline{2})_3$ स्मरण कीजिए।)*
15. (कूटों का योग) दिखाइए कि यदि $x$ , $x'$ के कूट $(a_k)$ , $(b_k)$ हैं, तो $x + x' = \lim_n\,(t_n + t'_n)$ , जहाँ $t_n, t'_n$ आंशिक योग हैं। उससे निकालिए: प्रत्येक $y \in \intcc{0}{1}$ $C$ के दो बिंदुओं का *मध्यबिंदु* है — $y$ का कोई कूट $(e_k)$ दिया हो, तो ऐसे अंक $a_k,  b_k \in \{0, 2\}$ चुनिए कि $\frac{a_k + b_k}{2} = e_k$ ।
16. निष्कर्ष निकालिए $C + C = \intcc{0}{2}$ , और प्रश्न 14 के साथ $C - C  = \intcc{-1}{1}$ । मूर्त उदाहरण: $1$ को प्रश्न 7 में मिले दोनों गैर-सिरा बिंदुओं के योग के रूप में लिखिए।
17. विचार कीजिए: लंबाई-शून्य वाला ऐसा [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) जिसका अंतर-समुच्चय $\intcc{-1}{1}$ भर देता है। “ $C$ मापीय दृष्टि से नगण्य है” और “ $C + C$ की लंबाई पूरी है” में कोई विरोध क्यों नहीं है? (एक वाक्य; सोचिए कि लंबाई क्या नियंत्रित करती है और क्या नहीं।)

**भाग V — सदस्य, परिमेय और अपरिमेय।**

18. प्रश्न 8 को [समस्या 10.1](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#pb-b1-reals-1) की आवर्तिता कसौटी के साथ मिलाइए: $C$ का कोई बिंदु परिमेय है यदि और केवल यदि उसका $1$ -मुक्त कूट अंततः आवर्ती हो। $\frac1{13} = (0.\overline{002})_3 \in C$ जाँचने के लिए आधार- $3$ का लंबा भाग चलाइए।
19. $C$ का एक स्पष्ट रूप से *अपरिमेय* सदस्य उत्पन्न कीजिए: उस कूट का मान जिसमें त्रिभुजीय स्थानों $k = \frac{j(j+1)}{2}$ पर $d_k = 2$ हों और अन्यत्र $d_k = 0$ । अपरिमेयता को [समस्या 10.1](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#pb-b1-reals-1) (प्रश्न 20) के बढ़ते-अंतराल वाले तर्क से न्यायसंगत ठहराइए।
20. (पूरे खंड पर आच्छादन) $h$ पर विचार कीजिए, जो $C$ के उस बिंदु को, जिसका $1$ -मुक्त कूट $(d_k)$ है, *द्विआधारी* माला $\bigl(\frac{d_k}2\bigr)$ के मान पर भेजता है, अर्थात् $h(x) = \sup_n  \sum_{k=1}^n \frac{d_k}{2}\,2^{-k}$ । दिखाइए कि $h$ $C$ को $\intcc{0}{1}$ *पर* आच्छादित करता है। अतः नगण्य $C$ पूरी लंबाई वाले खंड पर आच्छादित हो जाता है — और यह $C$ की अगणनीयता की दूसरी उपपत्ति है।
21. (स्वसमरूप लंबाई) मान लीजिए $C$ और उसकी सिकुड़ी हुई प्रतियों के लिए लंबाई की कोई धारणा $L$ परिभाषित होती जो मापन ( $L(\lambda A) = \lambda  L(A)$ ), स्थानांतरण-अपरिवर्त्यता और प्रश्न 5 के असंयुक्त वियोजन पर योगात्मकता का आदर करती। दिखाइए कि तब $L(C) = \frac23\,L(C)$ , जो $L(C) = 0$ पर बाध्य कर देता है: अर्थात् केवल स्वसमरूपता ही $C$ को लंबाई-शून्य का दंड सुना देती है।

**भाग VI — एक मोटा चचेरा भाई, और उपदेश।**

22. (मोटा [कैंटर समुच्चय](#pb-b1-topology-1) ) वही रचना दोहराइए, पर चरण $n$ ( $n = 0, 1, 2,  \dots$ ) पर वर्तमान $2^n$ खंडों में से प्रत्येक से केवल $4^{-(n+1)}$ लंबाई का एक केंद्रीय [विवृत](#def-b1-topology-open) [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) हटाइए। दिखाइए कि खंड-लंबाइयाँ $l_n$ $l_{n+1} =  \frac{l_n - 4^{-(n+1)}}{2}$ , $l_n = \frac{2^n + 1}{2\cdot 4^n} > 0$ का पालन करती हैं, कि परिणामी $K = \bigcap K_n$ रिक्त [अंतःभाग](#def-b1-topology-closure) वाला संहत [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) है, और यह कि कुल हटाई गई लंबाई $\sum_{n\geq0} 2^n 4^{-(n+1)} =  \frac12$ है। अंतरालों के परिमित सम्मिलनों के लिए लंबाई की (सहज, स्नातक वर्ष 3 वाली) योगात्मकता मान लेते हुए और [उदाहरण 12.20](#ex-b1-topology-nested) के दोनों कथनों का प्रयोग करते हुए दिखाइए कि $K$ को ढकने वाले [विवृत](#def-b1-topology-open) अंतरालों के किसी भी परिमित परिवार की कुल लंबाई $\geq \frac12$ है: अर्थात् $K$ कहीं [सघन](#def-b1-topology-dense) नहीं है पर नगण्य *नहीं* है। छोटेपन के कई असमतुल्य अर्थ हैं।
23. (दूरियाँ) दिखाइए कि अरिक्त [संवृत](#def-b1-topology-closed) $F \subseteq \R$ और $x \in \R$ के लिए [निम्नतम](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#def-b1-reals-bounds) $d(x, F)$ *प्राप्त होता है* *(न्यूनकारी अनुक्रम और बोल्ज़ानो–वाइरश्ट्रास)*। फिर संगणना कीजिए $$\max_{y \in \intcc{0}{1}} d(y, C) = \frac16 ,$$ जो ठीक केंद्र $y = \frac12$ पर प्राप्त होता है *(चरण $n$ पर बने [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) का कोई बिंदु उस [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) के सिरों से $\frac{3^{-n}}{2}$ के भीतर है, और वे सिरे $C$ में हैं)*।
24. (हर बिंदु एक उपानुक्रमीय सीमा) प्रश्न 12 और 2 का प्रयोग करके $C$ में एक ही ऐसा अनुक्रम उत्पन्न कीजिए जिसकी उपानुक्रमीय सीमाओं का [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) *पूरा* $C$ हो। (तुलना: अभिसारी अनुक्रम के लिए वह [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) एक ही बिंदु होता है — $C$ संहत समुच्चयों में विपरीत छोर को साकार करता है।)
25. संश्लेषण, एक-एक वाक्य में: (क) इस रचना ने इस अध्याय की कौन-सी प्रमेयें सचमुच खपाईं ( [संवृत](#def-b1-topology-closed) समुच्चयों का स्थायित्व, संहतता, अनुक्रमीय अभिलक्षण)? (ख) इस चित्र के चार विरोधाभासी युग्म गिनाइए (लंबाई शून्य/अगणनीय, [संवृत](#def-b1-topology-closed) /रिक्त [अंतःभाग](#def-b1-topology-closure) , पूर्ण/पूर्णतः असंबद्ध, नगण्य/ $C+C$ पूर्ण); (ग) $C$ आगे कहाँ फिर उभरता है (सांतत्य के सिद्धांत में $h$ पर बनी शैतान की सीढ़ी, और स्नातक वर्ष 3 के खंड का माप-सिद्धांत, जहाँ $C$ “गणनीय” को “नगण्य” से अलग कर देता है)?

**हल — समस्या 12.1.**

**1.** $C_1 = \intcc{0}{\frac13} \cup \intcc{\frac23}{1}$ और

$$
C_2 = \intcc{0}{\tfrac19} \cup \intcc{\tfrac29}{\tfrac13}
\cup \intcc{\tfrac23}{\tfrac79} \cup \intcc{\tfrac89}{1} .
$$

आगमन: यदि $C_n$ लंबाई $3^{-n}$ के $2^n$ [संवृत](#def-b1-topology-closed) खंडों का असंयुक्त सम्मिलन है, तो हर एक का [विवृत](#def-b1-topology-open) मध्य-तिहाई हटाने से प्रति जनक लंबाई $3^{-n-1}$ के दो [संवृत](#def-b1-topology-closed) खंड बच जाते हैं: $2^{n+1}$ खंड, जोड़ों में असंयुक्त (भिन्न जनकों की संतानें अलग हैं क्योंकि जनक अलग थे; एक ही जनक की संतानें हटाए गए [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) से अलग हैं)।

**2.** प्रत्येक $C_n$ खंडों का परिमित सम्मिलन है, अतः [संवृत](#def-b1-topology-closed); $C =
\bigcap C_n$ [संवृत](#def-b1-topology-closed) समुच्चयों का प्रतिच्छेदन है: अतः [संवृत](#def-b1-topology-closed) ([परिभाषा 12.5](#def-b1-topology-closed)); परिबद्ध ($\subseteq \intcc{0}{1}$): और [प्रमेय 12.19](#thm-b1-topology-compact) से संहत। अरिक्त: $0$ प्रत्येक $C_n$ के सबसे बाएँ खंड में है। मान लीजिए $a$ $C_n$ के खंड $S$ का सिरा है। $m \leq n$ के लिए $a \in C_n \subseteq C_m$। आगे के चरणों के लिए: मध्य-तिहाई हटाना कभी किसी सिरे को नहीं हटाता, और $a$ फिर $S$ की दोनों संतानों में से एक का सिरा है (वह संतान जो $a$ को छूती है); आगमन से सभी $m \geq n$ के लिए $a \in C_m$: $a \in C$।

**3.** $C_n$ की कुल लंबाई: $2^n \cdot 3^{-n} = (\frac23)^n \to 0$। $\varepsilon > 0$ दिया हो, तो ऐसा $n$ चुनिए कि $(\frac23)^n \leq
\varepsilon$: तब $C \subseteq C_n$, जो कुल लंबाई $\leq \varepsilon$ वाले परिमित कितने खंडों का सम्मिलन है।

**4.** मान लीजिए $I \subseteq C$ दो भिन्न बिंदुओं वाला [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) है। प्रत्येक $n$ के लिए: $I \subseteq C_n$, और $I$ उत्तल होने से $C_n$ के *एक ही* खंड के भीतर होना चाहिए (दो खंडों से मिलने पर $I$ को उनके बीच के [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) का कोई बिंदु समेटना पड़ता, जो $C_n$ के बाहर है)। अतः $I$ की लंबाई सभी $n$ के लिए $\leq 3^{-n}$ है: विरोधाभास। अतः $C$ के भीतर एकमात्र [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) रिक्त या एकल हैं; विशेष रूप से कोई $\intoo{x-r}{x+r}$ $C$ के भीतर नहीं समाता: $\mathring C = \emptyset$। और $C$ के [संवृत](#def-b1-topology-closed) होने से $\overline C = C$ का [अंतःभाग](#def-b1-topology-closure) रिक्त है: $C$ कहीं [सघन](#def-b1-topology-dense) नहीं है।

**5.** $\varphi_0(x) = \frac x3$ और $\varphi_2(x) = \frac{2 + x}{3}$ लिखिए, जो $\intcc{0}{1}$ के $\intcc{0}{\frac13}$ तथा $\intcc{\frac23}{1}$ पर वर्धमान ऐफ़ीन एकैकी आच्छादन हैं। दावा: $C_{n+1} = \varphi_0(C_n) \cup
\varphi_2(C_n)$। $n = 0$ के लिए यह प्रश्न 1 है। आगमन: वर्धमान ऐफ़ीन [प्रतिचित्रण](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) किसी खंड के मध्य-तिहाई को प्रतिबिंब खंड के मध्य-तिहाई पर भेजता है, अतः मध्य-तिहाई हटाना $\varphi_0$ और $\varphi_2$ के साथ क्रम-विनिमेय है; $C_{n+1} = \varphi_0(C_n) \cup \varphi_2(C_n)$ पर हटाने का पद लगाने से $C_{n+2} = \varphi_0(C_{n+1}) \cup \varphi_2(C_{n+1})$ मिलता है। $n$ पर प्रतिच्छेदन लेने पर: $x \leq \frac13$ के लिए सभी $n$ पर $x \in C \iff x \in
\varphi_0(C_n)$ $\iff 3x \in \bigcap C_n = C$; $\intcc{\frac23}{1}$ पर भी वैसे ही; और $\intoo{\frac13}{\frac23}$ का कोई बिंदु $C_1$ में नहीं है। अतः $C = \varphi_0(C) \cup \varphi_2(C)$, और वह भी असंयुक्त रूप से।

**6.** $n$ पर आगमन; स्थिति $n = 0$ कहती है कि प्रत्येक $x \in
\intcc{0}{1}$ का कोई कूट है, जो [समस्या 10.1](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#pb-b1-reals-1) है ($x < 1$ के लिए प्रश्न 9; $1 = (0.\overline 2)_3$)। कोटि $n$ पर तुल्यता मान लीजिए। यदि $x
\in C_{n+1}$: तो प्रश्न 5 से $z \in C_n$ और $i \in \{0, 2\}$ के साथ $x =
\varphi_i(z)$; और यदि $(e_k)$ $z$ का ऐसा कूट है जिसके पहले $n$ अंक $1$-मुक्त हैं, तो $(i, e_1, e_2, \dots)$ के आंशिक योग $\frac i3 + \frac13\sum_{k\leq
m} e_k 3^{-k} \to \varphi_i(z) = x$ हैं: अर्थात् $x$ का ऐसा कूट जिसके पहले $n + 1$ अंक $1$-मुक्त हैं। विलोमतः, यदि $x$ का कोई कूट $(d_k)$ हो जिसमें $d_1, \dots, d_{n+1} \in \{0, 2\}$: तो विस्थापित माला $(d_2, d_3, \dots)$ का कोई मान $z \in \intcc{0}{1}$ है, उसके पहले $n$ अंक $1$-मुक्त हैं, और आंशिक-योग की संगणना उलटी दिशा में पढ़ने पर $x = \varphi_{d_1}(z)$ देती है; आगमन से $z \in C_n$, अतः प्रश्न 5 से $x \in C_{n+1}$। अंत में: पूर्णतः $1$-मुक्त कूट $x$ को प्रत्येक $C_n$ में रख देता है, अतः $C$ में; विलोमतः यदि $x \in C$, तो प्रत्येक $n$ के लिए $x$ के अधिक से अधिक दो कूटों ([समस्या 10.1](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#pb-b1-reals-1), प्रश्न 11) में से किसी एक के पहले $n$ अंक $1$-मुक्त हैं; और कोई एक नियत कूट मनचाहे बड़े $n$ के लिए काम करना ही चाहिए (दो कूटों के बीच कबूतरखाना), और जिस कूट के पहले $n$ अंक मनचाहे बड़े $n$ के लिए $1$-मुक्त हों वह सीधे-सीधे $1$-मुक्त है।

**7.** $0 = (0.\overline 0)_3$, $1 = (0.\overline 2)_3$, $\frac13 =
(0.0\overline{2})_3$ ($(0.1)_3$ का अनुचित जुड़वाँ), $\frac23 =
(0.2\overline{0})_3$। गुणोत्तर योग:

$$
(0.\overline{02})_3 = \sum_{j\geq1} \frac{2}{9^{\,j}}
= \frac{2/9}{1 - 1/9} = \frac14 ,
\qquad
(0.\overline{20})_3 = \sum_{j\geq1} \frac{2}{3\cdot 9^{\,j-1}}
= \frac{2/3}{1 - 1/9} = \frac34 ,
$$

दोनों $1$-मुक्त: $\frac14, \frac34 \in C$। (अनंत योग आंशिक योगों के [उच्चतम](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#def-b1-reals-bounds) का संक्षेप हैं, जैसा [समस्या 10.1](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#pb-b1-reals-1) में है।) $C_n$ के खंडों के सिरों का रूप $m/3^n$ है (आगमन: संतानों के सिरे जनक के सिरे हैं या उनमें से किसी से $3^{-n-1}$ के गुणज भर भिन्न हैं)। यदि $\frac14 = \frac{m}{3^n}$, तो $3^n =
4m$, और $4 \nmid 3^n$: असंभव। अतः $\frac14 \in C$, और वह भी बिना कभी सिरा हुए।

**8.** मान लीजिए $x$ के दो भिन्न $1$-मुक्त कूट होते। दो कूट होने का अर्थ ही है ([समस्या 10.1](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#pb-b1-reals-1), प्रश्न 11, आधार $3$) कि $x = m/3^N \in
\intoo{0}{1}$, और दोनों कूट ये हैं: समाप्त होने वाला कूट, जिसका अंतिम अशून्य अंक $d_N \in \{1, 2\}$ है और उसके बाद $0$; और उसका जुड़वाँ, जिसमें स्थान $N$ पर $d_N - 1$ है और उसके बाद $2$। यदि $d_N = 1$, तो पहले में कोई $1$ है; और यदि $d_N = 2$, तो जुड़वाँ में $d_N - 1 = 1$ है। दोनों में से किसी भी हाल में उस जोड़े का अधिक से अधिक एक ही $1$-मुक्त है: विरोधाभास। अतः प्रत्येक $x \in
C$ का ठीक एक $1$-मुक्त कूट है (अस्तित्व प्रश्न 6 से), और भिन्न $\{0,2\}$-मालाओं के मान भिन्न हैं। प्रत्येक $\{0,2\}$-माला का मान $\intcc{0}{1}$ में है (आंशिक योग $\leq 1$) और उसके सभी उपसर्ग $1$-मुक्त हैं, अतः मान प्रत्येक $C_n$ में, अर्थात् $C$ में है: मान-प्रतिचित्रण $\{0,2\}$-मालाओं से $C$ पर एकैकी आच्छादन है।

**9.** मान लीजिए $(d^{(k)})$ $x_k$ का $1$-मुक्त कूट है और $e_k = 2 -
d^{(k)}_k \in \{0, 2\}$ रखिए: यह ऐसी $\{0,2\}$-माला है जिसका मान $y$ $C$ में है और जिसका अद्वितीय $1$-मुक्त कूट $(e_k)$ है (प्रश्न 8)। प्रत्येक $k$ के लिए $y$ और $x_k$ के कूट स्थान $k$ पर भिन्न हैं, अतः $y \neq x_k$: कोई भी [प्रतिचित्रण](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) $\N^* \to C$ [आच्छादक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj) नहीं है। लंबाई-शून्य वाला अगणनीय [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets): [गणनांक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/2-counting#def-b1-counting-card) में विशालता और माप में लघुता — एक साथ।

**10.** संहतता: अनंत प्रतिच्छेदन की संवृतता और परिबद्धता (प्रश्न 2) — यही एकमात्र गुणधर्म है जिसे कोई एक अंतर्विष्टि नहीं ढोती। लंबाई शून्य: $C
\subseteq C_n$, जिसकी कुल लंबाई $(\frac23)^n$ है (प्रश्न 3)। कहीं [सघन](#def-b1-topology-dense) न होना: $C \subseteq C_n$ $C$ के भीतर के अंतरालों की लंबाई $\leq 3^{-n}$ होने पर बाध्य कर देता है (प्रश्न 4)। अगणनीयता किसी अंतर्विष्टि पर सवार ही नहीं है: उसे पूरी प्रतिच्छेदन-संरचना चाहिए, जो प्रश्न 8 के एकैकी आच्छादन में कूटित है।

**11.** $d_n$ को $2 - d_n$ में पलटिए: नई माला अब भी $\{0,2\}$-माला है, अतः उसका मान $x_n$ $C$ में है; और कोटि $n$ के आगे आंशिक योग ठीक $2\cdot3^{-n}$ भर भिन्न हैं, अतः $\abs{x_n - x} = 2\cdot3^{-n}$। इस प्रकार $x_n \neq x$ और $x_n \to x$: $C$ का प्रत्येक बिंदु $C$ के दूसरे बिंदुओं की सीमा है — अर्थात् $C$ *पूर्ण* है, और उसका कोई वियुक्त बिंदु नहीं है।

**12.** प्रश्न 5 के आगमन से $C_n$ के खंड ठीक $\intcc{t}{t + 3^{-n}}$ हैं, जहाँ $t$ लंबाई-$n$ वाली $\{0,2\}$-मालाओं के मानों पर चलता है। कूट $(d_k)$ वाला $x \in C$ दिया हो, तो कटाई $t_n$ (अंक $d_1 \dots d_n$, फिर $0$) इसलिए एक बायाँ सिरा है, और $0 \leq x - t_n \leq 3^{-n}$: अतः सिरे $C$ में [सघन](#def-b1-topology-dense) हैं। वे $\{m/3^n : m, n\}$ का उपसमुच्चय बनाते हैं, जो पूर्णांक युग्मों से सूचीबद्ध है और इसलिए गणनीय है (जैसा [अभ्यास 12.10](#exo-b1-topology-10) में $\Q$ के लिए)। और चूँकि $C$ अगणनीय है (प्रश्न 9), $C$ के गणनीय कितने को छोड़कर सभी बिंदु सिरे नहीं हैं — $\frac14$ (प्रश्न 7) उसी हिमखंड की दिखाई देने वाली नोक है।

**13.** ऐसा $n$ चुनिए कि $3^{-n} < y - x$। दोनों $x, y \in C_n$ हैं, और वे एक ही खंड में नहीं हो सकते (लंबाई $3^{-n} < y - x$): उनके खंडों के बीच हटाया गया [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) ऐसा $z$ देता है कि $x < z < y$ और $z \notin C_n \supseteq
C$। अतः $C$ के किन्हीं दो बिंदुओं को पूरक अलग कर देता है: $C$ के एकमात्र उत्तल उपसमुच्चय एकल [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) हैं — अर्थात् $C$ पूर्णतः असंबद्ध है।

**14.** यदि $(d_k)$ $x$ का $1$-मुक्त कूट है, तो माला $(2 - d_k)$ फिर $\{0,2\}$-माला है, जिसके आंशिक योग हैं

$$
\sum_{k=1}^{n} (2 - d_k)3^{-k} = (1 - 3^{-n}) - \sum_{k=1}^n
d_k 3^{-k} \longrightarrow 1 - x :
$$

अतः $1 - x \in C$। इस प्रकार $1 - C \subseteq C$, और इस [प्रतिचित्रण](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) को दो बार लगाने पर $1 - C = C$ मिलता है: अर्थात् [कैंटर समुच्चय](#pb-b1-topology-1) $\frac12$ के सापेक्ष सममित है।

**15.** आंशिक योग $t_n \to x$ और $t'_n \to x'$ (वर्धमान अनुक्रम अपने [उच्चतम](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#def-b1-reals-bounds), अर्थात् मान, की ओर अभिसरित होते हैं), अतः [प्रमेय 11.5](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/11-sequences#thm-b1-seq-operations) से $t_n + t'_n \to x + x'$। कूट $(e_k)$ वाला $y
\in \intcc{0}{1}$ दिया हो, तो $e_k = 0, 1, 2$ के अनुसार $(a_k, b_k) = (0,0),
(0,2), (2,2)$ चुनिए: तब $a_k + b_k = 2e_k$, मालाएँ $(a_k)$, $(b_k)$ $\{0,2\}$-मालाएँ हैं जिनके मान $x, x' \in C$ हैं, और

$$
x + x' = \lim_n\,(t_n + t'_n) = \lim_n 2\sum_{k=1}^n e_k 3^{-k}
= 2y :
$$

अर्थात् प्रत्येक $y \in \intcc{0}{1}$ $C$ के दो बिंदुओं का मध्यबिंदु है।

**16.** प्रश्न 15 $\intcc{0}{2} = 2\,\intcc{0}{1} \subseteq C + C$ देता है, और $C + C \subseteq \intcc{0}{1} + \intcc{0}{1} = \intcc{0}{2}$: अतः समता। फिर $1 - C = C$ का प्रयोग करते हुए:

$$
C - C = C + (C - 1) = (C + C) - 1 = \intcc{-1}{1} .
$$

मूर्त उदाहरण: $1 = \frac14 + \frac34$, जो $C$ के दो गैर-सिरा सदस्यों का योग है।

**17.** लंबाई यह नापती है कि [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) स्वयं रेखा का कितना भाग घेरता है; वह *योगों* के [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) के विषय में कुछ नहीं कहती, जो दो-प्राचल कुल $C
\times C$ का $(x, x') \mapsto x + x'$ के अंतर्गत प्रतिबिंब है — दोनों अंक-मालाएँ स्वतंत्र रूप से चुनी जाती हैं, और यही स्वतंत्रता $\intcc{0}{2}$ को भर देती है। कोई प्रमेय योग-समुच्चय की लंबाई को योज्यों की लंबाइयों से परिबद्ध नहीं करती, और $C$ इस बात की उपपत्ति है कि कोई कर भी नहीं सकती।

**18.** [समस्या 10.1](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#pb-b1-reals-1) (प्रश्न 18) से $x$ परिमेय है तभी जब उसका उचित प्रसार अंततः आवर्ती हो। $x \in C$ का $1$-मुक्त कूट या तो वही उचित प्रसार है या किसी समाप्त होने वाले कूट का अनुचित जुड़वाँ; और समाप्त होने वाली माला तथा उसका जुड़वाँ (अंततः अचर $2$) दोनों अंततः आवर्ती हैं, अतः $1$-मुक्त कूट की आवर्तिता $x$ की परिमेयता के तुल्य है। आधार $3$ ($r_0 = 1$) में $\frac1{13}$ का लंबा भाग: $3 = 13\cdot0 + 3$, $9 = 13\cdot0 + 9$, $27 =
13\cdot2 + 1$, और शेषफल $1$ पर लौट आता है: अंक $\overline{002}$, अतः $\frac1{13} = (0.\overline{002})_3$, जो $1$-मुक्त और आवर्ती है: अर्थात् $C$ का एक परिमेय सदस्य। (जाँच: $\frac{2/27}{1 - 1/27} = \frac{2}{26} =
\frac1{13}$।)

**19.** जिस माला में त्रिभुजीय स्थानों $k = \frac{j(j+1)}{2}$ पर $d_k =
2$ हैं और अन्यत्र $0$, वह $\{0,2\}$-माला है, अतः उसका मान $x^*$ $C$ का सदस्य है (प्रश्न 8)। उसमें अनंत कितने $2$ हैं जिनके क्रमागत [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) $j + 1 \to
\infty$ हैं, अतः वह अंततः आवर्ती नहीं है (आवर्त $T$ अंततः $\leq T$ अंतरालों पर $2$ लाने को बाध्य करता: [समस्या 10.1](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#pb-b1-reals-1) (प्रश्न 20) का बढ़ते-अंतराल वाला तर्क); और प्रश्न 18 से $x^* \notin \Q$। और प्रश्न 9 तथा $\Q$ की गणनीयता से $C$ के गणनीय कितने को छोड़कर सभी सदस्य अपरिमेय हैं: $x^*$ नियम है, अपवाद नहीं।

**20.** मान लीजिए $y \in \intcc{0}{1}$: उसका द्विआधारी कूट $(c_k)$ है, जहाँ $c_k \in \{0, 1\}$ ([समस्या 10.1](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#pb-b1-reals-1), प्रश्न 9, आधार $2$; $y = 1$ सर्व-$1$ वाली माला लेता है)। तब $(2c_k)$ $\{0,2\}$-माला है, उसका मान $x$ $C$ में है, और $h(x)$ $(c_k)$ का मान है, अर्थात् $y$: अतः $h$ $C$ को $\intcc{0}{1}$ पर भेजता है। यदि $C$ $\N^*$ से किसी [प्रतिचित्रण](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) का प्रतिबिंब होता, तो $h$ के साथ संयोजन $\intco{0}{1}$ की पूरी सूची बना देता, जो [समस्या 10.1](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#pb-b1-reals-1) (प्रश्न 22) की विकर्ण प्रमेय का विरोध करता: अतः $C$ फिर से अगणनीय है। लंबाई-शून्य वाला [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) पूरी लंबाई वाले खंड पर आच्छादित हो रहा है।

**21.** प्रश्न 5 से $C$ $\varphi_0(C)$ और $\varphi_2(C)$ का असंयुक्त सम्मिलन है, और हर एक मापित प्रति $\frac13 C$ का स्थानांतरण है। योगात्मकता, मापन और स्थानांतरण-अपरिवर्त्यता देती हैं

$$
L(C) = L(\varphi_0(C)) + L(\varphi_2(C))
= \tfrac13 L(C) + \tfrac13 L(C) = \tfrac23\,L(C),
$$

अतः $\frac13 L(C) = 0$: $L(C) = 0$। केवल स्वसमरूपता ही $C$ को लंबाई-शून्य का दंड सुना देती है — प्रश्न 3 ने तो केवल दंड का पालन किया।

**22.** लंबाई $l_n$ का खंड $4^{-(n+1)}$ लंबाई का केंद्रीय [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) खोता है, और $l_{n+1} = \frac{l_n - 4^{-(n+1)}}{2}$ लंबाई के दो खंड बच जाते हैं; $l_0 = 1$ से आगमन $l_n = \frac{2^n + 1}{2\cdot4^n}$ की पुष्टि करता है: वस्तुतः $\frac12\Bigl(\frac{2^n+1}{2\cdot4^n} - \frac{1}{4^{n+1}}\Bigr) =
\frac{2(2^n + 1) - 1}{2\cdot4^{n+1}} = \frac{2^{n+1} + 1}{2\cdot4^{n+1}}$, और सदा $l_n > 0$: रचना कभी भूखी नहीं मरती। $K = \bigcap K_n$ [संवृत](#def-b1-topology-closed) और परिबद्ध है, अतः संहत; और $K$ के भीतर का कोई [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) $K_n$ के एक ही खंड में है, जिसकी लंबाई $l_n \to 0$ है: अर्थात् रिक्त [अंतःभाग](#def-b1-topology-closure)। हटाई गई लंबाई: $\sum_{n\geq0} 2^n \cdot 4^{-(n+1)} =
\frac14\sum_{n\geq0}\bigl(\frac12\bigr)^n = \frac12$, और प्रत्येक $K_n$ की कुल लंबाई $2^n l_n = \frac{2^n + 1}{2^{n+1}} > \frac12$ है। अब मान लीजिए परिमित कितने [विवृत](#def-b1-topology-open) अंतरालों का सम्मिलन $U \supseteq K$ है। [उदाहरण 12.20](#ex-b1-topology-nested) के साथी [कथन](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-statement) से किसी $n$ के लिए $U \supseteq
K_n$; और अंतरालों के परिमित सम्मिलनों पर लंबाई की योगात्मकता मान लेने पर ढकने वाले अंतरालों की कुल लंबाई कम से कम $K_n$ जितनी है, जो $\frac12$ से अधिक है। अतः $K$ कहीं [सघन](#def-b1-topology-dense) तो है, पर कोई सस्ता आवरण विद्यमान नहीं: सांस्थितिक लघुता (कहीं [सघन](#def-b1-topology-dense) नहीं) और मापीय लघुता (लंबाई शून्य) सचमुच भिन्न धारणाएँ हैं, और $K$ उन्हें अलग कर देता है।

**23.** प्राप्ति: मान लीजिए $d = d(x, F)$ और ऐसे $a_k \in F$ चुनिए कि $\abs{x - a_k} \leq d + \frac1k$: $a_k$ परिबद्ध हैं, अतः बोल्ज़ानो–वाइरश्ट्रास ([प्रमेय 11.16](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/11-sequences#thm-b1-seq-bw)) $a_{\varphi(k)} \to a$ निकाल देता है, जहाँ $a \in F$ ($F$ [संवृत](#def-b1-topology-closed), [प्रमेय 12.6](#thm-b1-topology-seqclosed)) और $\abs{x - a} = \lim \abs{x - a_{\varphi(k)}} = d$। अब अधिकतम: यदि $y \in C$, तो $d(y, C) = 0$; अन्यथा $y$ किसी चरण $n \geq 1$ पर हटाए गए [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) में है, जो लंबाई $3^{-n}$ का [विवृत](#def-b1-topology-open) [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) है और जिसके दोनों सिरे $C$ के सदस्य हैं (प्रश्न 2), अतः $d(y, C) \leq \frac{3^{-n}}{2} \leq \frac16$, जहाँ समता के लिए $n = 1$ और $y$ का उस [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) $\intoo{\frac13}{\frac23}$ के केंद्र पर होना आवश्यक है, अर्थात् $y = \frac12$; और सचमुच $d\bigl(\frac12, C\bigr) =
\frac16$, क्योंकि $C \cap \intoo{\frac13}{\frac23} = \emptyset$ और $\frac13,
\frac23 \in C$। अतः $\max_{y\in\intcc{0}{1}} d(y, C) = \frac16$, जो ठीक $\frac12$ पर प्राप्त होता है।

**24.** सिरे $C$ का गणनीय [सघन](#def-b1-topology-dense) उपसमुच्चय बनाते हैं (प्रश्न 12): उन्हें एक ही अनुक्रम $(e_j)_{j\geq1}$ के रूप में सूचीबद्ध कीजिए, जो $C$ में एक अनुक्रम है। उसकी सभी उपानुक्रमीय सीमाएँ $C$ में हैं ($C$ [संवृत](#def-b1-topology-closed))। विलोमतः, $x
\in C$ नियत कीजिए: प्रत्येक $n$ के लिए $x$ ($m \geq n$) को समेटने वाले $C_m$ के खंडों के सिरे $x$ के $3^{-m} \leq 3^{-n}$ के भीतर हैं, अतः अनंत कितने भिन्न सिरे $x$ के $3^{-n}$ के भीतर हैं; ऐसे सूचकांक $j_1 < j_2 < \dots$ चुनिए कि $\abs{e_{j_n} - x} \leq 3^{-n}$: यह $x$ की ओर अभिसरित [उपानुक्रम](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/11-sequences#def-b1-seq-subsequence) है। अतः $(e_j)$ की उपानुक्रमीय सीमाओं का [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) ठीक $C$ है — अर्थात् एक ही अनुक्रम अगणनीय कितने बिंदुओं पर गुच्छे बना रहा है, जो अभिसारी अनुक्रम का विपरीत छोर है, क्योंकि उसका गुच्छा-समुच्चय एकल होता है।

**25.** (क) रचना ने ये खपाए: स्वेच्छ प्रतिच्छेदन के अंतर्गत [संवृत](#def-b1-topology-closed) समुच्चयों का स्थायित्व ($C$ का [संवृत समुच्चय](#def-b1-topology-closed) के रूप में अस्तित्व), संहतता प्रमेय [प्रमेय 12.19](#thm-b1-topology-compact) (प्रश्न 2, 22, 23), और संवृतता तथा अभिलग्नता के अनुक्रमीय अभिलक्षण ([उदाहरण 12.20](#ex-b1-topology-nested) का नेस्टेड-संहत तर्क और प्रश्न 23)। (ख) चारों युग्म: लंबाई शून्य फिर भी अगणनीय (प्रश्न 3, 9); [संवृत](#def-b1-topology-closed) फिर भी रिक्त [अंतःभाग](#def-b1-topology-closure) वाला (प्रश्न 4); पूर्ण — कोई वियुक्त बिंदु नहीं — फिर भी पूर्णतः असंबद्ध (प्रश्न 11, 13); नगण्य फिर भी $C + C = \intcc{0}{2}$ वाला (प्रश्न 16)। (ग) प्रश्न 20 का आच्छादन $h$, संतत और अह्रासमान बनाकर, संतत फलनों के सिद्धांत में शैतान की सीढ़ी बन जाता है; और स्नातक वर्ष 3 के खंड के माप-सिद्धांत में $C$ वह मानक साक्षी है कि “नगण्य” का अर्थ “गणनीय” नहीं है, जबकि उसका मोटा चचेरा भाई (प्रश्न 22) “कहीं [सघन](#def-b1-topology-dense) नहीं” को “नगण्य” से अलग कर देता है।