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title: "सीमाएँ और सांतत्य"
book: "विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 1"
subject: math
language: hi
chapter: 13
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/13-limits-and-continuity
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# अध्याय 13 — सीमाएँ और सांतत्य

मध्यवर्ती मान प्रमेय और चरम मान प्रमेय उच्चतर माध्यमिक स्तर पर दृश्य विश्वास के भरोसे प्रयुक्त हुई थीं। अनुक्रम ([अध्याय 11](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/11-sequences#ch-b1-seq)) और $\R$ की सांस्थिति ([अध्याय 12](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/12-topology-of-the-real-line#ch-b1-topology)) हाथ में आ जाने पर यह अध्याय उन्हें सिद्ध करता है — और सिद्धांत को एकदिष्ट एकैकी आच्छादन प्रमेय (जो [अध्याय 4](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/4-standard-functions#ch-b1-functions) के $\arcsin$, $\operatorname{arcosh}$ और उनके सजातियों को वैध ठहराती है) तथा [एकसमान सांतत्य](#def-b1-continuity-uniform) पर हाइने की प्रमेय के साथ पूरा करता है।

आगे सर्वत्र $I$ एक [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) है और $f \colon I \to \R$; “$x_0 \in \overline
I$” सिरों पर सीमाओं की अनुमति देता है।

## 13.1 फलनों की सीमाएँ

**परिभाषा 13.1 (किसी बिंदु पर सीमा).**

मान लीजिए $x_0 \in \overline{I}$ और $\ell \in \R$। तब $x \to x_0$ होने पर $f(x) \to \ell$ तब कहते हैं जब

$$
\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x \in I,
\qquad \abs{x - x_0} \leq \delta \implies \abs{f(x) - \ell} \leq
\varepsilon .
$$

$\pm\infty$ पर सीमाएँ और अनंत सीमाएँ उसी प्रतिरूप से परिभाषित होती हैं ($\abs{x - x_0} \leq \delta$ के स्थान पर $x \geq M$; $\abs{f(x) - \ell} \leq
\varepsilon$ के स्थान पर $f(x) \geq M'$)। एकपक्षीय सीमाएँ $x$ को $x > x_0$ तक (लिखा जाता है $x \to x_0^+$) या $x < x_0$ तक सीमित कर देती हैं। सीमा, जब विद्यमान हो, अद्वितीय होती है (वही उपपत्ति जो [प्रतिज्ञप्ति 11.4](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/11-sequences#prop-b1-seq-first) की है)।

**उदाहरण 13.2 (दबाव से एक सीमा).**

$\lim_{x \to 0} x\,\bigl\lfloor \frac1x \bigr\rfloor$ संगणित कीजिए। [फ़र्श](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#thm-b1-reals-floor) का घेराव $\frac1x - 1 < \lfloor \frac1x \rfloor \leq \frac1x$ $x$ से गुणा करने पर (चिह्न का ध्यान रखिए!) देता है

$$
1 - x < x\Bigl\lfloor \frac1x \Bigr\rfloor \leq 1 \quad (x > 0),
\qquad
1 \leq x\Bigl\lfloor \frac1x \Bigr\rfloor < 1 - x \quad (x < 0),
$$

और दोनों एकपक्षीय दबाव $1$ पर बंद हो जाते हैं: अतः सीमा $1$ है। ध्यान दीजिए कि अभी क्या हुआ: अकेला $\lfloor \frac1x\rfloor$ $0$ के पास जंगली छलाँगें लगाता है, पर गुणक $x$ प्रत्येक छलाँग को वश में कर लेता है ($x$ गुना इकाई छलाँग छोटी होती है), और केवल घेराव बचा रहता है। समापन का सार: किसी छोटे गुणक और किसी परिबद्ध-दोलन वाले गुणक के गुणनफल की सीमाएँ दबाव की समस्याएँ हैं, संक्रिया-प्रमेय की कभी नहीं — संक्रिया-प्रमेय को *दोनों* गुणकों का अभिसरित होना चाहिए।

**प्रमेय 13.3 (अनुक्रमीय अभिलक्षण).**

$x \to x_0$ होने पर $f(x) \to \ell$ यदि और केवल यदि: $u_n \to x_0$ वाले $I$ के बिंदुओं के *प्रत्येक* अनुक्रम $(u_n)$ के लिए $f(u_n) \to \ell$ हो।

**उपपत्ति.** ($\Rightarrow$) मान लीजिए $u_n \to x_0$ और $\varepsilon > 0$। परिभाषा से $\delta$ लीजिए, फिर ऐसा $N$ कि $n \geq N$ के लिए $\abs{u_n - x_0} \leq
\delta$: तब $N$ के आगे $\abs{f(u_n) - \ell} \leq \varepsilon$।

($\Leftarrow$) प्रतिधनात्मक रूप। यदि $f \not\to \ell$: तो कोई $\varepsilon_0
> 0$ हर $\delta$ को हरा देता है; $\delta = \frac{1}{n+1}$ चुनने पर ऐसा $u_n
\in I$ मिलता है कि $\abs{u_n - x_0} \leq \frac{1}{n+1}$ और $\abs{f(u_n) -
\ell} > \varepsilon_0$। तब $u_n \to x_0$ पर $f(u_n) \not\to \ell$। ∎

**उपप्रमेय 13.4 (संक्रियाएँ, संयोजन, क्रम).**

सीमाओं के योग, गुणनफल, भागफल (नीचे अशून्य सीमा के साथ) वैसा ही व्यवहार करते हैं जैसा अनुक्रमों के लिए; और यदि $x_0$ पर $f \to \ell$ तथा $\ell$ पर $g \to
m$ हो, $g$ $\ell$ के आसपास परिभाषित हो और $x_0$ के पास $g(\ell) = m$ या $f
\neq \ell$ हो, तो $x_0$ पर $g \circ f \to m$; सीमाएँ चौड़ी असमिकाएँ सुरक्षित रखती हैं, और दबाव प्रमेय सत्य रहती है।

**उपपत्ति.** प्रत्येक [कथन](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-statement) [प्रमेय 13.3](#thm-b1-continuity-seqchar) के द्वारा अपने अनुक्रम-अनुरूप (प्रमेय [11.5](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/11-sequences#thm-b1-seq-operations) और [11.7](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/11-sequences#thm-b1-seq-order)) तक चला जाता है। संयोजन के लिए सीधी शृंखला एक बार लिख लेना उचित है: $\varepsilon > 0$ दिया हो, तो $\ell$ पर $g$ की सीमा ऐसा $\eta > 0$ देती है कि

$$
\abs{y - \ell} \leq \eta \implies \abs{g(y) - m} \leq
\varepsilon \quad (y \text{ के प्रांत में } g),
$$

जहाँ स्थिति $y = \ell$ इसलिए ढँक जाती है कि $g(\ell) = m$; फिर $x_0$ पर $f$ की सीमा ऐसा $\delta > 0$ देती है कि $\abs{x - x_0} \leq \delta \implies
\abs{f(x) - \ell} \leq \eta$; और शृंखला बनाने पर $\abs{x - x_0} \leq \delta$ $\abs{g(f(x)) - m} \leq \varepsilon$ दे देता है। वैकल्पिक परिकल्पना ($x_0$ के पास $f \neq \ell$) में मान $y = \ell$ $g$ को कभी दिया ही नहीं जाता, अतः वहाँ उसका मान निरर्थक है। ∎

**उदाहरण 13.5 (संयोजन की शर्त क्यों है).**

मान लीजिए $y \neq 0$ के लिए $g(y) = 0$ और $g(0) = 1$, और मान लीजिए $f$ तत्समक रूप से $0$ है। तब $x \to 0$ होने पर $f(x) \to 0$, और $y \to 0$ होने पर $g(y) \to 0$; फिर भी प्रत्येक $x$ के लिए $g(f(x)) = g(0) = 1$, अतः $g
\circ f \to 1 \neq 0$। भीतरी फलन सदा वर्जित मान $\ell = 0$ *पर ही* बैठा रहता है, और $0$ पर $g$ की सीमा इस बात की उपेक्षा करती है कि $0$ पर $g$ क्या करता है। [उपप्रमेय 13.4](#cor-b1-continuity-operations) की शर्त — या तो $g(\ell) = m$ (अर्थात् $\ell$ पर $g$ [संतत](#def-b1-continuity-continuous) हो), या $x_0$ के पास $f \neq \ell$ — ठीक इसी को रोकने के लिए है। समापन का सार: व्यवहार में हम *[संतत](#def-b1-continuity-continuous)* फलनों का संयोजन करते हैं और यह शर्त मुफ़्त मिल जाती है; वह तभी काटती है जब सीमाएँ छिद्रित प्रतिवेशों के अनुदिश ली जाती हैं, और इसीलिए इस पुस्तक में प्रयुक्त $\lim_{x
\to x_0}$ की परिभाषा उस बिंदु को, जब वह प्रांत में हो, समेट लेती है।

## 13.2 सांतत्य

**परिभाषा 13.6.**

$f$ *$x_0 \in I$ पर संतत* तब है जब $x \to x_0$ होने पर $f(x) \to f(x_0)$; और *$I$ पर संतत* तब जब वह प्रत्येक बिंदु पर संतत हो। [प्रमेय 13.3](#thm-b1-continuity-seqchar) से: $f$ $x_0$ पर संतत है तभी जब $I$ के प्रत्येक अनुक्रम $u_n \to x_0$ के लिए $f(u_n) \to f(x_0)$ हो।

**उदाहरण 13.7 (असांतत्यों का वर्गीकरण).**

किसी बिंदु पर विफल होने के तीन तरीके, बढ़ती गंभीरता के क्रम में। *हटाने योग्य*: $\R^*$ पर $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ की $0$ पर सीमा $1$ है; $f(0) =
1$ परिभाषित कर देने से वह सुधर जाता है — वह असांतत्य एक छेद था, कोई विशेषता नहीं। *कूद*: किसी पूर्णांक पर $\lfloor x \rfloor$ की एकपक्षीय सीमाएँ भिन्न हैं ($n - 1$ और $n$); कोई भी मान उनमें मेल नहीं करा सकता, पर दोनों अर्ध-सीमाएँ विद्यमान हैं। *अनिवार्य*: $0$ पर $\sin\frac1x$ की कोई एकपक्षीय सीमा है ही नहीं ([अभ्यास 13.1](#exo-b1-continuity-1)) — अर्थात् बिना ठहराव का दोलन। एकदिष्ट फलन केवल बीच वाला प्रकार उत्पन्न कर सकते हैं (उनकी एकपक्षीय सीमाएँ सदा विद्यमान होती हैं, क्योंकि वे [उच्चतम](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#def-b1-reals-bounds) और [निम्नतम](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#def-b1-reals-bounds) हैं), और इसीलिए उनके असांतत्य [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) अधिकतम गणनीय होते हैं — प्रति कूद एक परिमेय संख्या। इसके विपरीत, डार्बू की प्रमेय ([अभ्यास 14.10](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/14-differentiation#exo-b1-derivative-10)) से अवकलज केवल अंतिम प्रकार उत्पन्न कर सकते हैं: कूद वाले असांतत्य वाला फलन कभी किसी का अवकलज नहीं होता।

**प्रतिज्ञप्ति 13.8.**

[संतत](#def-b1-continuity-continuous) फलनों के योग, गुणनफल, भागफल (जहाँ परिभाषित हों) और संयोजन [संतत](#def-b1-continuity-continuous) होते हैं। [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def), परिमेय भिन्नें (अपने ध्रुवों से बाहर), $\abs{\,\cdot\,}$, $\exp$, $\ln$, त्रिकोणमितीय और [अतिपरवलयिक फलन](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/4-standard-functions#def-b1-functions-hyperbolic) तथा उनके प्रतिलोम ([अध्याय 4](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/4-standard-functions#ch-b1-functions)) अपने प्रांतों पर [संतत](#def-b1-continuity-continuous) हैं।

**उपपत्ति.** संक्रियाएँ: [उपप्रमेय 13.4](#cor-b1-continuity-operations)। अचर और तत्समक फलन सीधे परिभाषा से [संतत](#def-b1-continuity-continuous) हैं (तत्समक के लिए $\delta = \varepsilon$ और अचरों के लिए कोई भी $\delta$ काम करता है); [संतत](#def-b1-continuity-continuous) फलनों के गुणनफल [संतत](#def-b1-continuity-continuous) होने से प्रत्येक एकपद $a_k x^k$ $k$ पर आगमन से निकल आता है, और योग बहुपदों का काम पूरा कर देते हैं; [परिमेय भिन्न](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/9-rational-fractions#def-b1-fractions-field) दो बहुपदों का भागफल है, जो जहाँ भी हर लुप्त न हो वहाँ [संतत](#def-b1-continuity-continuous) है। $\abs{\,\cdot\,}$: विलोम त्रिभुज असमिका, $\bigl|\abs{f(x)} -
\abs{f(x_0)}\bigr| \leq \abs{f(x) - f(x_0)}$, अतः वही $\delta$ काम करता है। चिरपरिचित फलनों के लिए हम [सांतत्य](#def-b1-continuity-continuous) यहाँ दिया हुआ मान लेते हैं; अवकलनीयता ([अध्याय 14](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/14-differentiation#ch-b1-derivative) में सिद्ध) उससे प्रबल है। ∎

**उदाहरण 13.9 (संतत फलनों के अधिकतम और न्यूनतम).**

यदि $f, g$ [संतत](#def-b1-continuity-continuous) हैं, तो $\max(f, g)$ और $\min(f, g)$ भी [संतत](#def-b1-continuity-continuous) हैं: और इसके लिए किसी स्थिति-विश्लेषण की आवश्यकता नहीं, क्योंकि सर्वसमिकाएँ

$$
\max(f, g) = \frac{f + g + \abs{f - g}}{2},
\qquad
\min(f, g) = \frac{f + g - \abs{f - g}}{2},
$$

तथा योगों और $\abs{\,\cdot\,}$ ([प्रतिज्ञप्ति 13.8](#prop-b1-continuity-algebra)) की [सांतत्य](#def-b1-continuity-continuous) पर्याप्त हैं। विशेष रूप से $f^+ = \max(f, 0)$ और $f^- = \max(-f, 0)$ [संतत](#def-b1-continuity-continuous) हैं और $f = f^+ - f^-$: अर्थात् श्रेणियों ([अध्याय 17](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/17-numerical-series#ch-b1-series)) में और, पूरे पैमाने पर, स्नातक वर्ष 3 के खंड के समाकलन सिद्धांत में प्रयुक्त चिह्न-विभाजन नियमितता की दृष्टि से मुफ़्त पड़ता है।

**प्रमेय 13.10 (मध्यवर्ती मान प्रमेय).**

मान लीजिए $f$ $\intcc{a}{b}$ पर [संतत](#def-b1-continuity-continuous) है और $f(a) \leq 0 \leq f(b)$। तब किसी $c \in \intcc{a}{b}$ के लिए $f(c) = 0$। फलस्वरूप, किसी [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) पर [संतत](#def-b1-continuity-continuous) फलन अपने किन्हीं दो मानों के बीच का हर मान लेता है: $f(I)$ एक [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) है।

**उपपत्ति.** द्विभाजन। $a_0 = a$, $b_0 = b$ रखिए। $f(a_n) \leq 0 \leq f(b_n)$ वाला $\intcc{a_n}{b_n}$ दिया हो, तो मान लीजिए $m$ मध्यबिंदु है: यदि $f(m) \leq
0$, तो $\intcc{m}{b_n}$ रखिए, अन्यथा $\intcc{a_n}{m}$; चिह्न की शर्तें बनी रहती हैं। अनुक्रम $(a_n), (b_n)$ संलग्न हैं ($b_n - a_n = \frac{b-a}{2^n}$), जिनकी उभयनिष्ठ सीमा $c$ है ([प्रमेय 11.11](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/11-sequences#thm-b1-seq-adjacent))। [सांतत्य](#def-b1-continuity-continuous) और [प्रमेय 11.7](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/11-sequences#thm-b1-seq-order) से: $f(c) = \lim f(a_n) \leq 0$ तथा $f(c) = \lim
f(b_n) \geq 0$, अतः $f(c) = 0$।

परिणाम के लिए: मान $f(u) < v < f(w)$ दिए हों, तो ऊपर वाली बात $u$ और $w$ सिरों वाले खंड पर $x \mapsto f(x) - v$ के लिए लगाइए; अतः $f(I)$ उत्तल है, अर्थात् एक [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) ([प्रतिज्ञप्ति 10.19](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals))। ∎

![f(a) < 0 < f(b) वाले संतत फलन को अक्ष काटना ही पड़ता है: की द्विभाजन उपपत्ति एक कटान-बिंदु को संलग्न अनुक्रमों के बीच फँसा लेती है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-continuity/fig-65449770e506.svg)

*$f(a) < 0 < f(b)$ वाले [संतत](#def-b1-continuity-continuous) फलन को अक्ष काटना ही पड़ता है: [प्रमेय 13.10](#thm-b1-continuity-ivt) की द्विभाजन उपपत्ति एक कटान-बिंदु को संलग्न अनुक्रमों के बीच फँसा लेती है।*

**उदाहरण 13.11 (एक समीकरण, पूरा प्रोटोकॉल).**

$\R$ पर $\eu^x = 3 - x$ हल कीजिए: अस्तित्व, अद्वितीयता, स्थान। $g(x) = \eu^x
+ x - 3$ रखिए, जो [संतत](#def-b1-continuity-continuous) है। स्थान और अस्तित्व: $g(0) = -2 < 0$ और $g(1) = \eu
- 2 > 0$, अतः मध्यवर्ती मान प्रमेय $\intoo{0}{1}$ में एक हल रोप देती है। अद्वितीयता: $g$ कठोरतः वर्धमान $\eu^x$ और $x - 3$ का योग है, अतः $\R$ पर कठोरतः वर्धमान; और कठोरतः एकदिष्ट फलन हर मान अधिक से अधिक एक बार लेता है, इसलिए हल पूरे $\R$ पर अद्वितीय है (केवल जाँचे गए [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) में नहीं)। यह प्रोटोकॉल — $g = 0$ के रूप में पुनर्व्यवस्था, अस्तित्व के लिए चिह्न-परिवर्तन, अद्वितीयता के लिए एकदिष्टता — “कितने हल” वाले अधिकांश प्रश्न तीन पंक्तियों में निपटा देता है, और [अध्याय 14](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/14-differentiation#ch-b1-derivative) की विचरण सारणियाँ $\R$ को एकदिष्ट शाखाओं में काटकर उसे अ-एकदिष्ट $g$ तक बढ़ा देती हैं।

**उदाहरण 13.12 (कलनविधि के रूप में द्विभाजन).**

[प्रमेय 13.10](#thm-b1-continuity-ivt) की उपपत्ति संगणना करती है। $f(x) = x^3 + x - 1$ लीजिए: $f(0) = -1 < 0 < 1 = f(1)$, अतः कोई मूल $\intoo{0}{1}$ में है। आधा करने पर:

$$
f(0.5) = -0.375 < 0, \qquad
f(0.75) = 0.171875 > 0, \qquad
f(0.625) = -0.130859375 < 0 ,
$$

अतः मूल क्रमशः $\intoo{0.5}{1}$ में, फिर $\intoo{0.5}{0.75}$ में, फिर $\intoo{0.625}{0.75}$ में फँसता जाता है (सच्चा मान: $c \approx 0.6823$)। $n$ पदों के बाद त्रुटि अधिक से अधिक $\frac{b - a}{2^n}$ है: दस पद तीन दशमलव देते हैं, बीस पद छह। समापन का सार: मध्यवर्ती मान प्रमेय केवल अस्तित्व का [कथन](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-statement) नहीं है — उसकी द्विभाजन उपपत्ति एक गारंटीशुदा, यद्यपि धीमी, मूल-खोज कलनविधि है, जिसके सामने [अध्याय 14](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/14-differentiation#ch-b1-derivative) की तेज़ पर स्थानीय न्यूटन विधि को नापना चाहिए।

**प्रमेय 13.13 (चरम मान प्रमेय).**

खंड $\intcc{a}{b}$ पर [संतत](#def-b1-continuity-continuous) फलन परिबद्ध होता है और अपने परिबंध प्राप्त करता है: ऐसे $c, d \in \intcc{a}{b}$ हैं कि

$$
f(c) = \inf_{\intcc{a}{b}} f,
\qquad
f(d) = \sup_{\intcc{a}{b}} f .
$$

[प्रमेय 13.10](#thm-b1-continuity-ivt) के साथ मिलाकर: *खंड का [संतत](#def-b1-continuity-continuous) प्रतिबिंब खंड होता है* $\intcc{f(c)}{f(d)}$।

**उपपत्ति.** *ऊपर से परिबद्ध:* अन्यथा ऐसा $u_n$ चुनिए कि $f(u_n) \geq n$। खंड की संहतता ([प्रमेय 12.19](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/12-topology-of-the-real-line#thm-b1-topology-compact)) से कोई [उपानुक्रम](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/11-sequences#def-b1-seq-subsequence) $u_{\varphi(n)} \to
x \in \intcc{a}{b}$; [सांतत्य](#def-b1-continuity-continuous) $f(u_{\varphi(n)}) \to f(x)$ देती है, पर $f(u_{\varphi(n)}) \geq \varphi(n) \to +\infty$: विरोधाभास।

*[उच्चतम](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#def-b1-reals-bounds) प्राप्त होता है:* मान लीजिए $M = \sup f$ और ऐसे $v_n$ चुनिए कि $f(v_n) > M - \frac{1}{n+1}$ ([प्रतिज्ञप्ति 10.4](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-epsilon))। $v_{\varphi(n)}
\to d \in \intcc{a}{b}$ निकालिए: तब दबाव से $f(d) = \lim f(v_{\varphi(n)}) =
M$। [निम्नतम](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#def-b1-reals-bounds) $-f$ से सँभल जाता है। ∎

**उदाहरण 13.14 (खंड पर धनात्मक न्यूनतम).**

मान लीजिए $f$ $\intcc{0}{1}$ पर [संतत](#def-b1-continuity-continuous) है और प्रत्येक $x$ के लिए $f(x) > 0$। तब $\inf f > 0$: चरम मान प्रमेय से [निम्नतम](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#def-b1-reals-bounds) एक *मान* $f(c)$ है, और परिकल्पना से $f(c) > 0$। अतः खंड पर [संतत](#def-b1-continuity-continuous) धनात्मक फलन $0$ से दूर परिबद्ध रहता है — यह दो पंक्ति का तर्क आगे के अध्यायों में दर्जन भर बार प्रयुक्त होता है (हर नियंत्रण में, सोपान-फलन के घेराव, त्रुटि के परिबंध)। असंहत [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) पर यह शानदार ढंग से विफल हो जाता है: $\intoc{0}{1}$ पर $f(x) = x$ [संतत](#def-b1-continuity-continuous) और धनात्मक है, $\inf f = 0$ के साथ, जो प्राप्त नहीं होता। समापन का सार: “धनात्मक” ठीक तब “एकसमान रूप से धनात्मक” बन जाता है जब प्रांत संहत हो; चरम मान प्रमेय की हर परिकल्पना भार ढो रही है।

**टिप्पणी 13.15 (तीनों प्रमेयों के इर्द-गिर्द सामान्य भूलें).**

(क) *[संतत](#def-b1-continuity-continuous) प्रतिबिंब*: केवल *खंड* ही दृढ़ हैं। [विवृत](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/12-topology-of-the-real-line#def-b1-topology-open) [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) का [संतत](#def-b1-continuity-continuous) प्रतिबिंब [विवृत](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/12-topology-of-the-real-line#def-b1-topology-open) होना आवश्यक नहीं ($x \mapsto x^2$ $\intoo{-1}{1}$ को $\intco{0}{1}$ पर भेजता है), और [संवृत समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/12-topology-of-the-real-line#def-b1-topology-closed) का प्रतिबिंब [संवृत](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/12-topology-of-the-real-line#def-b1-topology-closed) होना आवश्यक नहीं ($\arctan$ [संवृत](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/12-topology-of-the-real-line#def-b1-topology-closed) $\R$ को [विवृत](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/12-topology-of-the-real-line#def-b1-topology-open) $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ पर भेजता है); पर खंड का प्रतिबिंब खंड होता है ([प्रमेय 13.13](#thm-b1-continuity-evt))। (ख) *मध्यवर्ती मान प्रमेय को [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) चाहिए*: $\intco{-1}{0} \cup
\intoc{0}{1}$ पर [संतत](#def-b1-continuity-continuous) फलन $x \mapsto \frac1x$ मान $-1$ और $1$ लेता है फिर भी कभी लुप्त नहीं होता — उसका प्रांत दो असंयुक्त टुकड़े हैं, और मान $0$ उस [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) में गिर जाता है; जिस [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) पर प्रमेय लगाई जा रही है उसका नाम सदा लीजिए। (ग) *[एकसमान सांतत्य](#def-b1-continuity-uniform) (फलन, [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets)) युग्म का गुणधर्म है*: $x^2$ हर खंड पर [एकसमान रूप से संतत](#def-b1-continuity-uniform) है पर $\R$ पर नहीं ([उदाहरण 13.20](#ex-b1-continuity-notuniform)) — प्रांत बताए बिना “[एकसमान रूप से संतत](#def-b1-continuity-uniform)” शब्द निरर्थक हैं। (घ) *प्रतिलोम की [सांतत्य](#def-b1-continuity-continuous) औपचारिक नहीं है*: वह एकदिष्टता के द्वारा अंतरालों पर सत्य है ([प्रमेय 13.16](#thm-b1-continuity-bijection)), पर अंतरालों के सम्मिलनों के बीच कोई [संतत](#def-b1-continuity-continuous) एकैकी आच्छादन असंतत प्रतिलोम रख सकता है — उस प्रमेय के बाद वाली टिप्पणी इसीलिए है कि विद्यार्थी उसे [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) की परिकल्पना के बिना उद्धृत करते हैं।

## 13.3 एकदिष्ट फलन और प्रतिलोम फलन

**प्रमेय 13.16 (एकदिष्ट एकैकी आच्छादन प्रमेय).**

मान लीजिए $f$ किसी [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) $I$ पर [संतत](#def-b1-continuity-continuous) और कठोरतः एकदिष्ट है। तब

1. $f$ $I$ से [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) $J = f(I)$ पर एकैकी आच्छादन है;
2. प्रतिलोम $f^{-1} \colon J \to I$ कठोरतः एकदिष्ट (उसी दिशा में) और *[संतत](#def-b1-continuity-continuous)* है।

**उपपत्ति.** मान लीजिए $f$ कठोरतः वर्धमान है। (1) एकैकीयता कठोर एकदिष्टता से तुरंत मिलती है; $f(I)$ पर आच्छादकता तुच्छ है, और [प्रमेय 13.10](#thm-b1-continuity-ivt) से $f(I)$ एक [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) है।

(2) $f^{-1}$ कठोरतः वर्धमान है: यदि $J$ में $y < y'$ पर $f^{-1}(y) \geq
f^{-1}(y')$, तो वर्धमान $f$ लगाने पर $y \geq y'$ मिलता, जो असंगत है। $y_0 =
f(x_0) \in J$ पर $f^{-1}$ की [सांतत्य](#def-b1-continuity-continuous): मान लीजिए $\varepsilon > 0$। पहले मान लीजिए $x_0$ $I$ का आंतरिक बिंदु है, और $\varepsilon$ को इतना सिकोड़िए कि $x_0 \pm \varepsilon \in I$: उनके प्रतिबिंब $f(x_0 - \varepsilon) < y_0 <
f(x_0 + \varepsilon)$ संतुष्ट करते हैं। $\delta = \min\bigl(y_0 - f(x_0 -
\varepsilon),\, f(x_0 + \varepsilon) - y_0\bigr) > 0$ लीजिए: $\abs{y - y_0}
\leq \delta$ के लिए $f^{-1}$ की एकदिष्टता $f^{-1}(y)$ को $x_0 - \varepsilon$ और $x_0 + \varepsilon$ के बीच दबा देती है। यदि $x_0$, मान लीजिए, $I$ का बायाँ सिरा है, तो केवल $x_0 + \varepsilon$ उपलब्ध है: तब $y_0 = \min J$ (एकदिष्टता), $y - y_0 \leq f(x_0 + \varepsilon) - y_0$ वाला प्रत्येक $y \in
J$ $x_0 \leq f^{-1}(y) \leq x_0 + \varepsilon$ संतुष्ट करता है, और यह एकपक्षीय आकलन ही सिरे पर [सांतत्य](#def-b1-continuity-continuous) है; दायाँ सिरा सममित है। (ध्यान दीजिए: $f^{-1}$ की [सांतत्य](#def-b1-continuity-continuous) $f$ की [सांतत्य](#def-b1-continuity-continuous) से सममिति द्वारा *नहीं* निकाली गई — यह काम [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) पर एकदिष्टता करती है।) ∎

**टिप्पणी 13.17.**

यही प्रमेय [परिभाषा 4.9](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/4-standard-functions#def-b1-functions-arc) और [प्रतिज्ञप्ति 4.21](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/4-standard-functions#prop-b1-functions-invhyp) ने चुपचाप प्रयोग की थी: $\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$, $\operatorname{arsinh}$, … [संतत](#def-b1-continuity-continuous) हैं। एक पूरक ([अभ्यास 13.10](#exo-b1-continuity-10)): [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) पर [संतत](#def-b1-continuity-continuous) *[एकैकी](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj)* फलन स्वतः कठोरतः एकदिष्ट होता है, अतः एकदिष्टता की परिकल्पना कुछ भी महँगी नहीं पड़ती।

**उदाहरण 13.18 (सभी कोटियों के मूल).**

$n \in \N^*$ के लिए फलन $f(x) = x^n$ $\intco{0}{+\infty}$ पर [संतत](#def-b1-continuity-continuous) और कठोरतः वर्धमान है, जहाँ $f(0) = 0$ और $f(x) \to +\infty$: उसका प्रतिबिंब $\intco{0}{+\infty}$ है (अंतराल-संरचना के लिए [प्रमेय 13.10](#thm-b1-continuity-ivt))। तब एकदिष्ट एकैकी आच्छादन प्रमेय एक ही चाल में कठोरतः वर्धमान *[संतत](#def-b1-continuity-continuous)* प्रतिलोम दे देती है

$$
x \mapsto x^{1/n} \colon \intco{0}{+\infty} \to
\intco{0}{+\infty} :
$$

अर्थात् $n$-वें मूलों का अस्तित्व, अद्वितीयता और [सांतत्य](#def-b1-continuity-continuous), और वह भी बिना किसी संगणना के। [अभ्यास 10.12](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#exo-b1-reals-12) से तुलना कीजिए, जिसने $\sqrt y$ को [उच्चतम](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#def-b1-reals-bounds) से हाथ से बनाया था: एक अध्याय के सिद्धांत ने उस पूरे पृष्ठ के श्रम को दो पंक्तियों में सिकोड़ दिया, और उन्हीं दो पंक्तियों ने उससे पहले $\arcsin$, $\arctan$ और $\operatorname{arsinh}$ को भी वैध ठहराया। समापन का सार: अच्छी प्रमेय संचित श्रम है।

## 13.4 एकसमान सांतत्य

**परिभाषा 13.19.**

$f \colon I \to \R$ *एकसमान रूप से संतत* तब है जब

$$
\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x, y \in I,
\qquad \abs{x - y} \leq \delta \implies \abs{f(x) - f(y)} \leq
\varepsilon .
$$

मुख्य बात: $\delta$ केवल $\varepsilon$ पर निर्भर करता है, $I$ में स्थान पर नहीं। एकसमान [सांतत्य](#def-b1-continuity-continuous) से [सांतत्य](#def-b1-continuity-continuous) आती है; और *लिप्शिट्ज़* फलन ($\abs{f(x)
- f(y)} \leq k \abs{x - y}$) एकसमान रूप से [संतत](#def-b1-continuity-continuous) होता है ($\delta =
\varepsilon/k$)।

**उदाहरण 13.20.**

$x \mapsto x^2$ $\R$ पर [संतत](#def-b1-continuity-continuous) है पर [एकसमान रूप से संतत](#def-b1-continuity-uniform) *नहीं*: $\abs{(n
+ \frac 1n)^2 - n^2} = 2 + \frac{1}{n^2} \geq 2$, यद्यपि प्रांतिक $\frac 1n
\to 0$ दूरी पर हैं। किसी भी परिबद्ध [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) पर वह लिप्शिट्ज़ है, अतः [एकसमान रूप से संतत](#def-b1-continuity-uniform) — जो नीचे हाइने की प्रमेय के अनुरूप है।

**उदाहरण 13.21 (एकसमान मापांक, स्पष्ट रूप से).**

खंड पर हाइने एकसमान $\delta$ की गारंटी देता है; प्रायः उसे *संगणित* भी किया जा सकता है। $\intcc{0}{10}$ पर $f(x) = x^2$ के लिए:

$$
\abs{x^2 - y^2} = \abs{x + y}\,\abs{x - y} \leq 20\,\abs{x - y},
$$

अतः $\delta = \frac{\varepsilon}{20}$ एकसमान रूप से काम करता है (एक लिप्शिट्ज़ [मापांक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/3-complex-numbers#def-b1-complex-field), $\varepsilon$ में रैखिक)। $\intcc{0}{1}$ पर $\sqrt x$ के लिए: $\abs{\sqrt x - \sqrt y} \leq \sqrt{\abs{x - y}}$ ([अभ्यास 13.9](#exo-b1-continuity-9)), अतः $\delta = \varepsilon^2$ काम करता है — एकसमान, पर *रैखिक नहीं*: $0$ के पास वर्गमूल खड़ा है, और उसकी क़ीमत $\varepsilon$ के घातांक में दिखाई देती है, एकसमानता की विफलता में नहीं। समापन का सार: [एकसमान सांतत्य](#def-b1-continuity-uniform) कोई हाँ/ना नहीं, एक पूरा वर्णक्रम है — फलन $\delta(\varepsilon)$, जिसे [मापांक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/3-complex-numbers#def-b1-complex-field) कहते हैं, नापता है कि एकसमानता कितनी महँगी है, और लिप्शिट्ज़ उसका सर्वोत्तम श्रेणी-अंक भर है।

**प्रमेय 13.22 (हाइने).**

किसी *खंड* $\intcc{a}{b}$ पर [संतत](#def-b1-continuity-continuous) फलन [एकसमान रूप से संतत](#def-b1-continuity-uniform) होता है।

**उपपत्ति.** विरोधाभास से: मान लीजिए कोई $\varepsilon_0 > 0$ हर $\delta$ को हरा देता है। $\delta = \frac{1}{n+1}$ के साथ ऐसे $x_n, y_n \in \intcc{a}{b}$ चुनिए कि $\abs{x_n - y_n} \leq \frac{1}{n+1}$ और $\abs{f(x_n) - f(y_n)} >
\varepsilon_0$। संहतता ([प्रमेय 12.19](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/12-topology-of-the-real-line#thm-b1-topology-compact)) $x_{\varphi(n)} \to
c \in \intcc{a}{b}$ निकाल देती है; तब $y_{\varphi(n)} \to c$ भी ($\abs{x -
y}$ पर दबाव)। $c$ पर [सांतत्य](#def-b1-continuity-continuous) $f(x_{\varphi(n)}) \to f(c)$ और $f(y_{\varphi(n)}) \to f(c)$ देती है, अतः $\abs{f(x_{\varphi(n)}) -
f(y_{\varphi(n)})} \to 0 < \varepsilon_0$: विरोधाभास। ∎

**उदाहरण 13.23 (परिबद्ध, संतत, फिर भी एकसमान नहीं).**

फलन $f(x) = \sin(x^2)$ $\R$ पर [संतत](#def-b1-continuity-continuous) और परिबद्ध है, पर [एकसमान रूप से संतत](#def-b1-continuity-uniform) नहीं। लीजिए

$$
x_n = \sqrt{2\pi n}, \qquad y_n = \sqrt{2\pi n + \tfrac\pi2}:
\qquad
y_n - x_n = \frac{\pi/2}{\sqrt{2\pi n + \frac\pi2} +
\sqrt{2\pi n}} \longrightarrow 0 ,
$$

फिर भी प्रत्येक $n$ के लिए $f(y_n) - f(x_n) = \sin\bigl(2\pi n +
\frac\pi2\bigr) - \sin(2\pi n) = 1 - 0 = 1$: कोई एक $\delta$ $\varepsilon =
\frac12$ के लिए सर्वत्र काम नहीं कर सकता। ज्यामितीय रूप से, $\sin(x^2)$ के दोलन *त्वरित* होते जाते हैं: आलेख निरंतर छोटी होती खिड़कियों पर पूरी तरंग पूरी कर लेता है, अतः दिए हुए $\varepsilon$ के लिए आवश्यक क्षैतिज पैमाना $x$ के बढ़ने के साथ सिकुड़कर शून्य हो जाता है। समापन का सार: परिबद्धता एकसमानता नहीं ख़रीदती (यही उदाहरण), और अपरिबद्धता उसे रोकती नहीं ($\sqrt x$, [अभ्यास 13.9](#exo-b1-continuity-9)); निर्णय *दोलन का [मापांक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/3-complex-numbers#def-b1-complex-field)* करता है, और हाइने की प्रमेय कहती है कि संहत प्रांत उसे स्वतः अनुशासित कर देते हैं।

**उदाहरण 13.24 (कैलकुलेटर का प्रयोग, समझाया हुआ).**

कैलकुलेटर में कोई भी संख्या टाइप कीजिए और बार-बार $\cos$ दबाइए: प्रदर्शन $0.7390851\dots$ पर जम जाता है। क्यों? एक बार दबाने के बाद मान $\intcc{-1}{1}$ में है, दो बार के बाद $\intcc{\cos 1}{1} \subseteq
\intcc{0.54}{1}$ में, जो $\cos$ के लिए स्थायी [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) है। उस पर $\abs{\cos a
- \cos b} \leq \sin(1)\,\abs{a - b}$ के साथ $\sin 1 = 0.841\dots < 1$ ([समस्या 11.1](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/11-sequences#pb-b1-seq-1) का गुणनफल-से-योग परिबंध, अथवा [अध्याय 14](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/14-differentiation#ch-b1-derivative) की माध्य मान असमिका): अर्थात् पुनरावृत्ति संकुचन करती है, अतः [विधि 11.23](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/11-sequences#met-b1-seq-recurrent) के त्रुटि-नियंत्रण पद से,

$$
\abs{u_n - c} \leq (0.842)^{\,n-2}\,\abs{u_2 - c}
\longrightarrow 0 ,
$$

जहाँ $c$ अद्वितीय अचल बिंदु $\cos c = c$ है ([अभ्यास 13.6](#exo-b1-continuity-6))। लगभग $40$ बार दबाने से तीन दशमलव मिल जाते हैं ($0.842^{40} \approx 10^{-3}$) — अर्थात् गुणोत्तर दर, जो द्विभाजन की प्रति पद $2^{-n}$ से मंद है, पर हर बार दबाने में एक ही कुंजी लगती है जबकि द्विभाजन के हर पद में पूरा चिह्न-मूल्यांकन। समापन का सार: [अध्याय 11](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/11-sequences#ch-b1-seq) का अचल-बिंदु चित्र और इस अध्याय की अस्तित्व-प्रमेयें एक ही कथा के दो आधे हैं — मध्यवर्ती मान प्रमेय $c$ ढूँढ़ लेती है, और संकुचन उस तक पहुँच जाता है।

**टिप्पणी 13.25 (ये प्रमेयें आगे कहाँ काम करती हैं).**

इस अध्याय के तीनों स्तंभ आगे एक-एक अध्याय को शक्ति देते हैं। मध्यवर्ती मान प्रमेय हलों के अस्तित्व के हर तर्क को और एकदिष्ट एकैकी आच्छादन प्रमेय को पोषित करती है; चरम मान प्रमेय इष्टतमीकरण की समस्याओं को प्रमेयों में बदल देती है ([अध्याय 14](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/14-differentiation#ch-b1-derivative) में रोल और माध्य मान प्रमेय ठीक वहीं से आरंभ होती हैं); और हाइने की प्रमेय ही वह कारण है कि खंडों पर [संतत](#def-b1-continuity-continuous) फलन [अध्याय 15](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/15-integration-on-a-segment#ch-b1-integration) में समाकलित किए जा सकते हैं — एकसमान $\delta$ ही रीमान योगों को अभिसरित कराता है। स्नातक वर्ष 2 के खंड में यही तिकड़ी मानकित सदिश समष्टियों में लौटती है, जहाँ वह काम संहतता करती है जो यहाँ खंड करते हैं।

**टिप्पणी 13.26 (इस खंड के भीतर आगे की दृष्टि).**

[सांतत्य](#def-b1-continuity-continuous) का दर्जा अब घटने वाला है, पर वह कभी सेवानिवृत्त नहीं होती। [अध्याय 14](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/14-differentiation#ch-b1-derivative) उसे अवकलनीयता तक प्रबल कर देता है और बदले में उपकार भी करता है (अवकलनीय होने से [संतत](#def-b1-continuity-continuous) होना निकलता है); [अध्याय 15](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/15-integration-on-a-segment#ch-b1-integration) उस पर दो बार टिकता है, हाइने के द्वारा निर्माण में और मूल प्रमेय के द्वारा, जिसकी केंद्रीय वस्तु $x \mapsto \int_a^x f$ मात्र [संतत](#def-b1-continuity-continuous) $f$ को $C^1$ प्रतिअवकलज तक उठा देती है। [अध्याय 25](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/25-functions-of-two-variables#ch-b1-multivar) में दो चरों की [सांतत्य](#def-b1-continuity-continuous) में एक जाल है जिसकी झलक अभी देख लेनी चाहिए: फलन $\frac{xy}{x^2 + y^2}$ ($0$ से विस्तारित) प्रत्येक नियत $y$ के लिए $x$ में और प्रत्येक नियत $x$ के लिए $y$ में [संतत](#def-b1-continuity-continuous) है, फिर भी मूलबिंदु पर [संतत](#def-b1-continuity-continuous) नहीं है — विकर्ण $x = y$ के अनुदिश वह सदा $\frac12$ रहता है। पृथक् [सांतत्य](#def-b1-continuity-continuous) [सांतत्य](#def-b1-continuity-continuous) से कठोरतः दुर्बल है: अनुक्रमीय अभिलक्षण $\R^2$ तक चला तो जाता है, पर अनुक्रमों को *प्रत्येक* दिशा से पास आने की अनुमति होनी चाहिए, केवल अक्षों के अनुदिश नहीं।

## 13.5 अभ्यास

**अभ्यास 13.1 ★.**

अनुक्रमीय अभिलक्षण का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि $x \mapsto \sin\frac 1x$ की $0^+$ पर कोई सीमा नहीं है *(दो अनुक्रम प्रस्तुत कीजिए)*। क्या $x
\mapsto x \sin\frac 1x$ की कोई सीमा है?

**हल — अभ्यास 13.1.**

$u_n = \frac{1}{2\pi n + \pi/2}$ और $v_n = \frac{1}{2\pi n}$ लीजिए: दोनों $0^+$ की ओर जाते हैं, फिर भी $\sin\frac{1}{u_n} = 1$ और $\sin\frac{1}{v_n} =
0$। दो अनुक्रम, प्रतिबिंबों की दो भिन्न सीमाएँ: अतः [प्रमेय 13.3](#thm-b1-continuity-seqchar) से $0^+$ पर कोई सीमा नहीं।

$x \sin\frac1x$: $\abs{x\sin\frac1x} \leq \abs x \to 0$ से दबा हुआ, अतः $0$ पर सीमा विद्यमान है और $0$ के बराबर है।

**अभ्यास 13.2 ★.**

$\R$ पर $f(x) = \lfloor x \rfloor$ की, $g(x) = x - \lfloor x \rfloor$ की और $h(x) = \lfloor x \rfloor + (x - \lfloor x\rfloor)^2$ की [सांतत्य](#def-b1-continuity-continuous) का अध्ययन कीजिए।

**हल — अभ्यास 13.2.**

$f = \lfloor\cdot\rfloor$ $\R \setminus \Z$ पर [संतत](#def-b1-continuity-continuous) है (स्थानीय रूप से अचर) और प्रत्येक $n \in \Z$ पर असंतत: बाईं सीमा $n - 1$, मान $n$।

$g(x) = x - \lfloor x\rfloor$: वही असांतत्य-बिंदु (तत्समक फलन [संतत](#def-b1-continuity-continuous) है, अतः $g$ $f$ की कूदें विरासत में पाता है); $n \in \Z$ पर बाईं सीमा $1 \neq 0 =
g(n)$।

$h(x) = \lfloor x\rfloor + (x - \lfloor x\rfloor)^2$: $\intco{n}{n + 1}$ पर $h(x) = n + (x - n)^2$, अतः वहाँ [संतत](#def-b1-continuity-continuous); $x = n$ पर बाईं सीमा $(n-1) + 1 = n =
h(n)$ है: कूदें कट जाती हैं। $h$ $\R$ पर [संतत](#def-b1-continuity-continuous) है (और कठोरतः वर्धमान)।

**अभ्यास 13.3 ★.**

सिद्ध कीजिए कि समीकरण $x^5 - 3x + 1 = 0$ के कम से कम तीन वास्तविक हल हैं *(सुचयनित बिंदुओं पर मान निकालिए और तीन असंयुक्त खंडों पर [प्रमेय 13.10](#thm-b1-continuity-ivt) लगाइए)*।

**हल — अभ्यास 13.3.**

$P(x) = x^5 - 3x + 1$: $P(-2) = -32 + 6 + 1 = -25 < 0$; $P(0) = 1 > 0$; $P(1) = -1 < 0$; $P(2) = 27 > 0$। असंयुक्त खंडों $\intcc{-2}{0}$, $\intcc{0}{1}$, $\intcc{1}{2}$ पर तीन चिह्न-परिवर्तन: अतः [प्रमेय 13.10](#thm-b1-continuity-ivt) से कम से कम तीन मूल। (घात $5$ होने से $P$ के अधिक से अधिक पाँच मूल हैं; विचरण-अध्ययन ठीक तीन दिखा देता।)

**अभ्यास 13.4 ★.**

सिद्ध कीजिए कि विषम घात के प्रत्येक [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) का कोई वास्तविक मूल है।

**हल — अभ्यास 13.4.**

मान लीजिए $a_{2m+1} > 0$ वाला $P = a_{2m+1}X^{2m+1} + \dots$ है (अन्यथा $P$ के स्थान पर $-P$ रखिए)। प्रभावी पद का गुणनखंडन करने पर $x \to \pm\infty$ होने पर $P(x) = a_{2m+1} x^{2m+1}\bigl(1 + o(1)\bigr)$: अतः $+\infty$ पर $P(x) \to +\infty$ और $-\infty$ पर $-\infty$। ऐसे $a$ और $b$ चुनिए कि $P(a)
< 0$ और $P(b) > 0$: $\intcc{a}{b}$ पर मध्यवर्ती मान प्रमेय एक मूल दे देती है।

**अभ्यास 13.5 ★★.**

(अचल बिंदु) मान लीजिए $f \colon \intcc{0}{1} \to \intcc{0}{1}$ [संतत](#def-b1-continuity-continuous) है। सिद्ध कीजिए कि $f$ का कोई अचल बिंदु है: किसी $c$ के लिए $f(c) = c$। दिखाइए कि न [सांतत्य](#def-b1-continuity-continuous) छोड़ी जा सकती है और न खंड।

**हल — अभ्यास 13.5.**

मान लीजिए $g(x) = f(x) - x$, जो $\intcc{0}{1}$ पर [संतत](#def-b1-continuity-continuous) है। चूँकि $f$ $\intcc{0}{1}$ में भेजता है: $g(0) = f(0) \geq 0$ और $g(1) = f(1) - 1 \leq
0$। [प्रमेय 13.10](#thm-b1-continuity-ivt) से किसी $c$ के लिए $g(c) = 0$: अर्थात् एक अचल बिंदु।

परिकल्पनाओं की आवश्यकता: $\intcc{0}{1}$ पर असंतत [प्रतिचित्रण](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map), जो $x \leq
\frac12$ के लिए $f(x) = 1$ और $x > \frac12$ के लिए $f(x) = 0$ है, का कोई अचल बिंदु नहीं है; [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) $\intoo{0}{1}$ (जो खंड नहीं है) पर $f(x) = \frac x2$ $\intoo{0}{1}$ में [संतत](#def-b1-continuity-continuous) है और उसका कोई अचल बिंदु नहीं (उम्मीदवार $0$ अनुपस्थित है); और $\R$ पर $f(x) = x + 1$।

**अभ्यास 13.6 ★★.**

सिद्ध कीजिए कि समीकरण $\cos x = x$ का ठीक एक वास्तविक हल है, और वह $\intoo{0}{1}$ में है।

**हल — अभ्यास 13.6.**

$g(x) = \cos x - x$ [संतत](#def-b1-continuity-continuous) है, $g(0) = 1 > 0$, $g(1) = \cos 1 - 1 < 0$: अतः $\intoo{0}{1}$ में कोई हल विद्यमान है ([प्रमेय 13.10](#thm-b1-continuity-ivt))। अद्वितीयता: $g$ $\R$ पर कठोरतः ह्रासमान है — $x \leq 0$ के लिए $g(x) \geq
1 - x > 0$ का वैसे भी कोई शून्य नहीं है; और $g'(x) = -\sin x - 1 \leq 0$, जहाँ समता केवल वियुक्त बिंदुओं पर ($x \equiv -\frac\pi2 \bmod 2\pi$), अतः $g$ कठोरतः ह्रासमान है ([अध्याय 14](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/14-differentiation#ch-b1-derivative); वैकल्पिक रूप से: $\intcc{0}{1}$ पर $\cos$ कठोरतः ह्रासमान है और $-x$ भी, अतः $g$ भी)। कठोरतः एकदिष्ट फलन अधिक से अधिक एक बार लुप्त होता है।

**अभ्यास 13.7 ★★.**

मान लीजिए $f \colon \R \to \R$ [संतत](#def-b1-continuity-continuous) है और $x \to \pm\infty$ होने पर $f(x)
\to +\infty$। सिद्ध कीजिए कि $f$ $\R$ पर समग्र न्यूनतम प्राप्त करता है। *(किसी अधःस्तर [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) को समेटने वाले खंड पर ले आइए।)*

**हल — अभ्यास 13.7.**

$M = f(0) + 1$ नियत कीजिए। ऐसा $A > 0$ है कि $\abs x \geq A$ के लिए $f(x)
\geq M$ (दोनों अनंत सीमाओं की परिभाषा; बड़ी देहली लीजिए)। खंड $\intcc{-A}{A}$ पर चरम मान प्रमेय ([प्रमेय 13.13](#thm-b1-continuity-evt)) ऐसा $c$ देती है कि $f(c) = \inf_{\intcc{-A}{A}} f \leq f(0)$। $\abs x \geq A$ के लिए: $f(x) \geq M > f(0) \geq f(c)$। अतः $f(c)$ समग्र न्यूनतम है।

**अभ्यास 13.8 ★★.**

मान लीजिए $f \colon \R \to \R$ [संतत](#def-b1-continuity-continuous) और आवर्ती है (आवर्तकाल $T > 0$)। सिद्ध कीजिए कि $f$ परिबद्ध है और अपने परिबंध प्राप्त करता है, और यह कि ऐसा $c$ है कि $f(c + \frac T2) = f(c)$। *(दूसरे बिंदु के लिए एक आवर्तकाल पर $g(x)
= f(x + \frac T2) - f(x)$ का अध्ययन कीजिए।)*

**हल — अभ्यास 13.8.**

खंड $\intcc{0}{T}$ पर $f$ परिबद्ध है और अपने परिबंध प्राप्त करता है ([प्रमेय 13.13](#thm-b1-continuity-evt)); और आवर्तिता से वही परिबंध पूरे $\R$ पर हैं, और वहीं प्राप्त भी होते हैं।

मान लीजिए $g(x) = f(x + \frac T2) - f(x)$, जो [संतत](#def-b1-continuity-continuous) है। तब

$$
g(0) + g\bigl(\tfrac T2\bigr)
= \bigl(f(\tfrac T2) - f(0)\bigr) + \bigl(f(T) - f(\tfrac T2)\bigr)
= f(T) - f(0) = 0 :
$$

$g(0)$ और $g(\frac T2)$ के चिह्न विपरीत हैं (या कोई एक लुप्त है), अतः $\intcc{0}{T/2}$ पर मध्यवर्ती मान प्रमेय ऐसा $c$ देती है कि $g(c) = 0$, अर्थात् $f(c + \frac T2) = f(c)$।

**अभ्यास 13.9 ★★.**

सिद्ध कीजिए कि $x \mapsto \sqrt x$ $\intco{0}{+\infty}$ पर [एकसमान रूप से संतत](#def-b1-continuity-uniform) है, यद्यपि $0$ के पास वह लिप्शिट्ज़ नहीं है। *($\abs{\sqrt x -
\sqrt y} \leq \sqrt{\abs{x - y}}$ सिद्ध करके उसका प्रयोग कीजिए।)*

**हल — अभ्यास 13.9.**

पहले असमिका: $0 \leq y \leq x$ के लिए,

$$
\bigl(\sqrt y + \sqrt{x - y}\bigr)^2 = x + 2\sqrt{y(x-y)} \geq x,
$$

अतः $\sqrt x \leq \sqrt y + \sqrt{x - y}$, अर्थात् $\sqrt x - \sqrt y \leq
\sqrt{x - y}$। इसलिए सभी $x, y \geq 0$ के लिए $\abs{\sqrt x - \sqrt y} \leq
\sqrt{\abs{x - y}}$।

[एकसमान सांतत्य](#def-b1-continuity-uniform): $\varepsilon > 0$ दिया हो, तो $\delta = \varepsilon^2$ लीजिए; तब $\abs{x - y} \leq \delta$ से $\abs{\sqrt x - \sqrt y} \leq
\sqrt\delta = \varepsilon$ आ जाता है।

$0$ के पास लिप्शिट्ज़ नहीं: $x \to 0^+$ होने पर $\frac{\sqrt x - \sqrt 0}{x
- 0} = \frac{1}{\sqrt x} \to +\infty$, अतः कोई अचर $k$ सभी अंतर-भागफलों पर हावी नहीं हो सकता।

**अभ्यास 13.10 ★★★.**

मान लीजिए $f$ किसी [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) $I$ पर [संतत](#def-b1-continuity-continuous) और [एकैकी](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj) है। सिद्ध कीजिए कि $f$ कठोरतः एकदिष्ट है। *संकेत: यदि नहीं, तो ऐसे $a < b < c$ हैं कि, मान लीजिए, $f(b) > f(a)$ और $f(b) > f(c)$; $\max(f(a), f(c))$ और $f(b)$ के बीच के किसी मान पर $b$ के दोनों ओर मध्यवर्ती मान प्रमेय लगाइए।*

**हल — अभ्यास 13.10.**

मान लीजिए $f$ [एकैकी](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-inj) और [संतत](#def-b1-continuity-continuous) है पर कठोरतः एकदिष्ट नहीं। तब $I$ में ऐसे $a < b
< c$ हैं कि $f(b)$ $f(a)$ और $f(c)$ के बीच नहीं है — वस्तुतः, यदि *सभी* त्रिकियों के लिए बीच का मान बाहरी दोनों के बीच होता, तो $f$ एकदिष्ट होता (किन्हीं दो युग्मों की तुलना कीजिए; एक छोटी स्थिति-जाँच)। मान लीजिए $f(b) > \max(f(a), f(c))$ (दूसरी स्थिति सममित है, $f$ के स्थान पर $-f$ रखिए)। ऐसा $v$ चुनिए कि $\max(f(a), f(c)) < v < f(b)$। $\intcc{a}{b}$ पर और $\intcc{b}{c}$ पर मध्यवर्ती मान प्रमेय लगाने से ऐसे $u_1 \in \intoo{a}{b}$ और $u_2 \in \intoo{b}{c}$ हैं कि $f(u_1) = v = f(u_2)$: अर्थात् बराबर प्रतिबिंब वाले दो भिन्न बिंदु, जो एकैकीयता का विरोध करता है।

**अभ्यास 13.11 ★★★.**

(कोशी का फलनीय समीकरण, [संतत](#def-b1-continuity-continuous) स्थिति) मान लीजिए $f \colon \R \to \R$ [संतत](#def-b1-continuity-continuous) है और सभी $x, y$ के लिए $f(x + y) = f(x) + f(y)$। सिद्ध कीजिए कि सभी $x$ के लिए $f(x) = f(1)\,x$: पहले $\N$, $\Z$, $\Q$ पर (केवल योज्यता से), फिर $\R$ पर [सांतत्य](#def-b1-continuity-continuous) और [सघनता](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/12-topology-of-the-real-line#def-b1-topology-dense) से ([प्रमेय 10.14](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#thm-b1-reals-density))।

**हल — अभ्यास 13.11.**

$f(0) = f(0+0) = 2f(0)$ $f(0) = 0$ देता है; $0 = f(x - x)$ से $f(-x) =
-f(x)$। $\alpha = f(1)$ रखिए। आगमन: $n \in \N$ के लिए $f(n) = n\alpha$, फिर विषमता से $n \in \Z$ के लिए भी। $q \in \N^*$ के लिए: $q\,f(\frac pq) = f(p)
= p\alpha$ ($\frac pq$ को $q$ बार अपने में जोड़िए), अतः $f(\frac pq) =
\alpha\frac pq$: $\Q$ पर $f = \alpha\, \mathrm{id}$।

अब मान लीजिए $x \in \R$ और $(r_n)$ $r_n \to x$ वाला परिमेय संख्याओं का अनुक्रम है ([सघनता](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/12-topology-of-the-real-line#def-b1-topology-dense), [प्रमेय 10.14](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#thm-b1-reals-density), नेस्टेड अंतरालों में लगाकर; अथवा $r_n = \frac{\lfloor nx\rfloor}{n}$)। [सांतत्य](#def-b1-continuity-continuous): $f(x) = \lim f(r_n) =
\lim \alpha r_n = \alpha x$।

**अभ्यास 13.12 ★★★.**

मान लीजिए $f \colon \intco{0}{+\infty} \to \R$ [संतत](#def-b1-continuity-continuous) है और $x \to +\infty$ होने पर $f(x) \to \ell \in \R$। सिद्ध कीजिए कि $f$ $\intco{0}{+\infty}$ पर *एकसमान रूप से* [संतत](#def-b1-continuity-continuous) है। *(किसी बड़े $A$ पर काटिए: $\intcc{0}{A+1}$ पर हाइने, और $A$ से आगे सीमा; दोनों क्षेत्रों को अतिव्यापी बनाइए।)*

**हल — अभ्यास 13.12.**

मान लीजिए $\varepsilon > 0$। $+\infty$ पर सीमा से ऐसा $A$ है कि $x \geq A$ के लिए $\abs{f(x) - \ell} \leq \frac\varepsilon2$; अतः $x, y \geq A$ के लिए $\abs{f(x) - f(y)} \leq \varepsilon$ (किसी निकटता की आवश्यकता नहीं)।

खंड $\intcc{0}{A + 1}$ पर हाइने की प्रमेय ([प्रमेय 13.22](#thm-b1-continuity-heine)) इस $\varepsilon$ के लिए $\delta_0 > 0$ देती है; $\delta = \min(\delta_0, 1)$ रखिए।

अब $\abs{x - y} \leq \delta$ वाला कोई भी $x, y \geq 0$ लीजिए, मान लीजिए $x
\leq y$। यदि $y \leq A + 1$: दोनों उस खंड में हैं, और हाइने वाला $\delta_0$ लागू हो जाता है। अन्यथा $y > A + 1$, और तब $x \geq y - 1 > A$: दोनों $\intco{A}{+\infty}$ में हैं, जहाँ सीमा वाला तर्क लागू होता है। दोनों स्थितियों में $\abs{f(x) - f(y)} \leq \varepsilon$: अर्थात् [एकसमान सांतत्य](#def-b1-continuity-uniform)।

## 13.6 समस्या: कोशी का फलनीय समीकरण और उसकी बहनें

**समस्या 13.1.**

सप्ताहांत समस्या — $f(x + y) = f(x) + f(y)$: नियमितता रैखिकता पर बाध्य कर देती है, और राक्षसों का चित्र

कौन-से फलन सभी वास्तविक $x, y$ के लिए $f(x + y) = f(x) + f(y)$ संतुष्ट करते हैं? कोशी ने यह प्रश्न 1821 में उठाया था; उत्तर एक आदर्श है। [अभ्यास 13.11](#exo-b1-continuity-11) दिखाता है कि ऐसा *योज्य* फलन $\Q$ पर रैखिक होता है और पूरी [सांतत्य](#def-b1-continuity-continuous) $f(x) = cx$ पर बाध्य कर देती है। यह समस्या परिकल्पना को नाटकीय रूप से तीक्ष्ण करती है — *एक ही* बिंदु पर [सांतत्य](#def-b1-continuity-continuous), अथवा एकदिष्टता, अथवा किसी एक छोटे [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) पर मात्र परिबद्धता, इनमें से हर एक पर्याप्त है — फिर किसी काल्पनिक अरैखिक हल का चित्र खींचती है (उसका आलेख समतल भर देता है), $\eu^{cx}$, $c\ln x$, $x^c$ और $cx^2$ को अभिलक्षित करने वाली बहन-समीकरण हल करती है, और येंसन के समीकरण तथा प्रमेय *मध्यबिंदु-उत्तल $+$ [संतत](#def-b1-continuity-continuous) $\implies$ उत्तल* पर समाप्त होती है। आगे सर्वत्र *योज्य* का अर्थ है: सभी $x, y \in \R$ के लिए $f(x + y) = f(x) + f(y)$।

**भाग I — $\Q$-रैखिकता, और [सांतत्य](#def-b1-continuity-continuous) का एक बिंदु।**

1. मान लीजिए $f$ योज्य है। [अभ्यास 13.11](#exo-b1-continuity-11) से परिमेय $r$ के लिए $f(r) = f(1)\,r$ । नीचे प्रयुक्त होने वाला सूक्ष्मतर [कथन](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-statement) सिद्ध कीजिए: *प्रत्येक* $x \in \R$ और $r \in \Q$ के लिए $f(rx) = r\,f(x)$ ( $f$ $\Q$ - *रैखिक* है)।
2. मान लीजिए योज्य $f$ किसी एक ही बिंदु $x_0$ पर [संतत](#def-b1-continuity-continuous) है। दिखाइए कि $f$ सर्वत्र [संतत](#def-b1-continuity-continuous) है *($f(x + h) - f(x)$ को $f(x_0 + h) - f(x_0)$ के पदों में संगणित कीजिए)* , अतः $f(x) = f(1)\,x$ ।
3. दिखाइए कि योज्य फलन किसी भी [सघन](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/12-topology-of-the-real-line#def-b1-topology-dense) [उपसमूह](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-subgroup) पर अपने प्रतिबंधन से निर्धारित हो जाता है: यदि दो योज्य फलन $\Z + \sqrt2\,\Z$ पर मेल खाते हों और दोनों [संतत](#def-b1-continuity-continuous) हों, तो वे बराबर हैं — जबकि [सांतत्य](#def-b1-continuity-continuous) के बिना $f(1) = 0$ और $f(\sqrt 2) = 1$ निर्धारित कर देना उस [उपसमूह](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-subgroup) पर $\Q$ -रैखिकता के अनुरूप है। इस निर्धारण के लिए $f(m + n\sqrt2)$ संगणित कीजिए।
4. मान लीजिए $f$ योज्य है और $a < b$ वाले किसी [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) $\intcc{a}{b}$ पर ऊपर से $M$ द्वारा परिबद्ध है। दिखाइए कि $f$ $\intcc{0}{\ell}$ , $\ell = b -  a$ पर ऊपर से परिबद्ध है *($a$ से स्थानांतरण कीजिए)* ।

**भाग II — नियमितता की सीढ़ी।**

5. प्रश्न 4 को आगे बढ़ाते हुए: $f(\ell - t) + f(t) = f(\ell)$ का प्रयोग करके दिखाइए कि $f$ $\intcc{0}{\ell}$ पर नीचे से भी परिबद्ध है: वहाँ $\abs  f \leq C$ ।
6. दिखाइए कि $t \in \intcc{0}{\ell/n}$ के लिए $\abs{f(t)} \leq  \frac{C}{n}$ , और उससे निकालिए कि $f$ $0$ पर [संतत](#def-b1-continuity-continuous) है *(विषमता बाईं ओर सँभाल लेती है)* , अतः सर्वत्र (प्रश्न 2): अर्थात् किसी एक [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) पर परिबद्ध योज्य फलन रैखिक होता है।
7. एकदिष्ट स्थिति निकालिए: किसी $\intcc{a}{b}$ ( $a < b$ ) पर अह्रासमान योज्य फलन $c \geq 0$ के साथ $f(x) = cx$ है।
8. *नियमितता की सीढ़ी* जोड़िए: योज्य $f$ के लिए ये तुल्य हैं — (क) $f(x) = cx$ ; (ख) $f$ [संतत](#def-b1-continuity-continuous) ; (ग) $f$ किसी एक बिंदु पर [संतत](#def-b1-continuity-continuous) ; (घ) $f$ किसी अनपकर्षी [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) पर एकदिष्ट; (ङ) $f$ किसी अनपकर्षी [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) पर परिबद्ध। निहितार्थों को इस प्रकार सजाइए कि हर एक या तो तुच्छ हो या पहले ही सिद्ध।
9. सत्यापित कीजिए कि प्रश्न 4–6 ने केवल *ऊपर* का परिबंध खपाया: अर्थात् किसी एक अनपकर्षी [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) पर ऊपर से परिबद्ध योज्य फलन पहले ही रैखिक है। नीचे के परिबंध के लिए दर्पण [कथन](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-statement) निकालिए, और इस प्रकार मिले सीढ़ी के डंडे (ङ) का प्रबलतम रूप लिखिए।

**भाग III — किसी राक्षस का चित्र।** अब मान लीजिए $f$ योज्य है पर रैखिक *नहीं*।

10. दिखाइए कि ऐसी अशून्य वास्तविक संख्याएँ $u, v$ हैं कि $\dfrac{f(u)}{u} \neq \dfrac{f(v)}{v}$ , और यह कि सदिश $(u, f(u))$ तथा $(v,  f(v))$ समतल को फैलाते हैं (उनका सारणिक $u f(v) - v f(u)$ अशून्य है)।
11. दिखाइए कि $f$ के आलेख में ये सभी बिंदु हैं $$r\,(u, f(u)) + s\,(v, f(v)), \qquad r, s \in \Q ,$$ और उससे निकालिए कि वह आलेख *$\R^2$ में [सघन](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/12-topology-of-the-real-line#def-b1-topology-dense)* है: समतल के प्रत्येक बिंदु $(x_0, y_0)$ और प्रत्येक $\varepsilon > 0$ के लिए कोई $(x, f(x))$ उससे $\varepsilon$ के भीतर है *($2\times2$ वास्तविक निकाय हल कीजिए, फिर वास्तविक गुणांकों का परिमेय संख्याओं से सन्निकटन कीजिए)*।
12. प्रश्न 11 से पूरा चित्र निकालिए: अरैखिक योज्य फलन प्रत्येक अनपकर्षी [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) पर अपरिबद्ध है, प्रत्येक बिंदु पर असंतत है, किसी भी [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) पर एकदिष्ट नहीं है, और किसी भी [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) का उसका प्रतिबिंब $\R$ में [सघन](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/12-topology-of-the-real-line#def-b1-topology-dense) है। प्रश्न 8 के साथ मेल बैठाइए।
13. राक्षस विद्यमान हैं — किसी [सघन](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/12-topology-of-the-real-line#def-b1-topology-dense) [उपसमूह](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-subgroup) पर, रचनात्मक रूप से: $G = \Z  + \sqrt2\,\Z$ पर $f(m + n\sqrt2) = n$ परिभाषित कीजिए। दिखाइए कि $f$ $G$ पर सुपरिभाषित और योज्य है, और यह कि प्रत्येक $\varepsilon > 0$ के लिए $f$ $G  \cap \intoo{0}{\varepsilon}$ पर अपरिबद्ध है *(नियत $N$ के लिए केवल परिमित कितने $g = m + n\sqrt2 \in \intoo{0}{1}$ के लिए $\abs n \leq N$; फिर भी $G \cap \intoo{0}{\varepsilon}$ अनंत है)* । एक अनुच्छेद में समझाइए कि ऐसे $f$ को पूरे $\R$ तक बढ़ाने के लिए $\R$ का $\Q$ -सदिश समष्टि के रूप में आधार (अर्थात् *हामेल आधार* ) क्यों चाहिए, जिसका अस्तित्व चयन-अभिगृहीत का विषय है और इस खंड से परे।

**भाग IV — बहन-समीकरण।** यहाँ सभी फलन [संतत](#def-b1-continuity-continuous) हैं।

14. मान लीजिए $f \colon \R \to \R$ [संतत](#def-b1-continuity-continuous) है, तत्समक रूप से $0$ नहीं, और $f(x + y) = f(x)f(y)$ । दिखाइए $f(x) = f\bigl(\frac x2\bigr)^2 \geq 0$ , फिर सर्वत्र $f > 0$ , फिर किसी $c$ के लिए $f(x) = \eu^{cx}$ : अर्थात् चरघातांकी ही $(\R, +)$ से $(\R^*, \times)$ तक की [संतत](#def-b1-continuity-continuous) समाकारिताएँ हैं।
15. मान लीजिए $f \colon \intoo{0}{+\infty} \to \R$ [संतत](#def-b1-continuity-continuous) है और $f(xy) =  f(x) + f(y)$ । दिखाइए $f(x) = c\ln x$ *($\exp$ से ले जाइए)* ।
16. मान लीजिए $f \colon \intoo{0}{+\infty} \to \intoo{0}{+\infty}$ [संतत](#def-b1-continuity-continuous) है और $f(xy) = f(x)f(y)$ । दिखाइए $f(x) = x^c$ ।
17. ऐसे सभी [संतत](#def-b1-continuity-continuous) $f \colon \R \to \R$ खोजिए जिनके लिए $$f(x + y) = f(x) + f(y) + f(x)f(y) .$$ *($h = 1 + f$ का अध्ययन कीजिए; अपकर्षी स्थिति अलग से सँभालिए।)*
18. (समांतर चतुर्भुज) ऐसे सभी [संतत](#def-b1-continuity-continuous) $f \colon \R \to \R$ खोजिए जिनके लिए $f(x + y) + f(x - y) = 2f(x) + 2f(y)$ : दिखाइए कि $f$ सम है, $f(0) = 0$ , आगमन से $f(nx) = n^2 f(x)$ , फिर $f(x) = f(1)\,x^2$ । (यह समीकरण द्विघात रूपों की पहचान है — वही समांतर चतुर्भुज नियम, जो स्नातक वर्ष 2 के खंड में यह पकड़ लेता है कि कौन-से मानक किसी अंतर्गुणन से आते हैं।)

**भाग V — येंसन और मध्यबिंदु उत्तलता।**

19. (येंसन का समीकरण) मान लीजिए $f \colon \R \to \R$ [संतत](#def-b1-continuity-continuous) है और $f\bigl(\frac{x+y}{2}\bigr) = \frac{f(x) + f(y)}{2}$ । दिखाइए कि $g = f -  f(0)$ $g\bigl(\frac x2\bigr) = \frac{g(x)}{2}$ संतुष्ट करता है, उससे निकालिए कि $g$ योज्य है, और निष्कर्ष निकालिए $f(x) = cx + d$ ।
20. अब केवल *असमिका* मान लीजिए: $f$ [संतत](#def-b1-continuity-continuous) है और $$f\Bigl(\frac{x + y}{2}\Bigr) \leq \frac{f(x) +  f(y)}{2} \qquad (x, y \in \R).$$ $n$ पर आगमन से सिद्ध कीजिए कि सभी द्विआधारी भार $\lambda =  \frac{k}{2^n} \in \intcc{0}{1}$ के लिए: $$f\bigl(\lambda x + (1 - \lambda)y\bigr) \leq \lambda  f(x) + (1 - \lambda) f(y) .$$
21. [सांतत्य](#def-b1-continuity-continuous) और द्विआधारी संख्याओं की [सघनता](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/12-topology-of-the-real-line#def-b1-topology-dense) ( [अभ्यास 10.8](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#exo-b1-reals-8) ) से इसे प्रत्येक $\lambda \in \intcc{0}{1}$ तक बढ़ाइए: अर्थात् [संतत](#def-b1-continuity-continuous) मध्यबिंदु-उत्तल फलन पूरी उत्तलता असमिका संतुष्ट करता है (यह धारणा [अध्याय 14](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/14-differentiation#ch-b1-derivative) में व्यवस्थित रूप से पढ़ी गई है)।
22. दिखाइए कि [सांतत्य](#def-b1-continuity-continuous) छोड़ी नहीं जा सकती: कोई अरैखिक योज्य $f$ प्रश्न 19 की *मध्यबिंदु समता* तो संतुष्ट करता है पर किसी भी [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) पर कोई उत्तलता असमिका नहीं (प्रश्न 12)। उपदेश: मध्यबिंदु उत्तलता गणनीय-चरण वाला गुणधर्म है (द्विआधारी), और उत्तलता सातत्य वाला; [सांतत्य](#def-b1-continuity-continuous) ही सेतु है — ठीक वैसे ही जैसे भाग I और II में।

**भाग VI — अंतिम रूपांतर और संश्लेषण।**

23. ऐसे सभी [संतत](#def-b1-continuity-continuous) $f \colon \R \to \R$ खोजिए जिनके लिए $f(x + y) = f(x) +  f(y) + xy$ *(विशिष्ट हल $\frac{x^2}{2}$ घटा दीजिए)* ।
24. सिद्ध कीजिए: यदि $f \colon \R \to \R$ [संतत](#def-b1-continuity-continuous) है और केवल किसी *[सघन](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/12-topology-of-the-real-line#def-b1-topology-dense) [उपसमूह](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-subgroup)* $G$ पर योज्य है (अर्थात् $g, g' \in G$ के लिए $f(g + g') = f(g) +  f(g')$ ), तो $f$ $\R$ पर योज्य है। और अधिक व्यापक रूप से, $\R$ के किसी [सघन](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/12-topology-of-the-real-line#def-b1-topology-dense) उपसमुच्चय पर मेल खाने वाले दो [संतत](#def-b1-continuity-continuous) फलन बराबर होते हैं।
25. संश्लेषण, एक-एक वाक्य में: (क) प्रश्न 8 की नियमितता की सीढ़ी स्मरण से कहिए; (ख) समझाइए कि नियमितता की विफलता के लिए “आलेख समतल में [सघन](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/12-topology-of-the-real-line#def-b1-topology-dense) ” सही मानसिक चित्र क्यों है; (ग) भाग IV और V में अभिलक्षित पाँचों चिरपरिचित फलन और वह एक विधि गिनाइए जिसने उन सबको पकड़ा; (घ) वे दो स्थान बताइए जहाँ $\R$ में $\Q$ (या द्विआधारी संख्याओं) की [सघनता](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/12-topology-of-the-real-line#def-b1-topology-dense) ने तर्क ढोया, और वह स्थान जहाँ वह ऐसा नहीं कर सकी (प्रश्न 13)।

**हल — समस्या 13.1.**

**1.** $n \in \N$ के लिए: आगमन से $f(nx) = n f(x)$ ($f((n+1)x) = f(nx)
+ f(x)$)। साथ ही $f(0) = 2f(0)$ $f(0) = 0$ देता है, और $0 = f(x - x) = f(x)
+ f(-x)$ विषमता देता है, अतः $n \in \Z$ के लिए $f(nx) = nf(x)$। $r = \frac
pq$ के लिए: $q\,f\bigl(\tfrac pq x\bigr) = f(px) = p\,f(x)$, अतः $f(rx) = r
f(x)$: अर्थात् $f$ $\Q$-रैखिक है।

**2.** योज्यता सभी $x$ और $h$ के लिए देती है:

$$
f(x + h) - f(x) = f(h) = f(x_0 + h) - f(x_0) .
$$

जब $h \to 0$, तब $x_0$ पर [सांतत्य](#def-b1-continuity-continuous) से दायाँ पक्ष $0$ की ओर जाता है; अतः $f(x
+ h) \to f(x)$: अर्थात् प्रत्येक $x$ पर [सांतत्य](#def-b1-continuity-continuous)। फिर [अभ्यास 13.11](#exo-b1-continuity-11) $f(x) = f(1)\,x$ दे देता है।

**3.** दो [संतत](#def-b1-continuity-continuous) योज्य फलन $cx$ और $c'x$ रूप के हैं (प्रश्न 2); यदि वे [सघन](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/12-topology-of-the-real-line#def-b1-topology-dense) [उपसमूह](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-subgroup) $\Z + \sqrt2\,\Z$ ([अभ्यास 10.9](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#exo-b1-reals-9)) पर मेल खाते हैं, तो उसके किसी $g \neq 0$ के लिए $c\,g = c'g$: $c = c'$, अर्थात् दोनों फलन बराबर हैं। [सांतत्य](#def-b1-continuity-continuous) के बिना: $\Q$-रैखिकता केवल $\Q$-संयोजनों पर मान बाँधती है, और $1, \sqrt2$ $\Q$-स्वतंत्र हैं ($\sqrt2 \notin \Q$), अतः $f(1) = 0$, $f(\sqrt2) = 1$ संगत है और [उपसमूह](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-subgroup) पर बाध्य कर देता है

$$
f(m + n\sqrt2) = m\,f(1) + n\,f(\sqrt2) = n .
$$

**4.** $t \in \intcc{0}{\ell}$ के लिए: $a + t \in \intcc{a}{b}$, अतः $f(t) = f(a + t) - f(a) \leq M - f(a) =: M'$।

**5.** $t \in \intcc{0}{\ell}$ के लिए $\ell - t \in \intcc{0}{\ell}$ भी, और योज्यता $f(t) = f(\ell) - f(\ell - t) \geq f(\ell) - M'$ देती है। अतः $C = \max\bigl(\abs{M'}, \abs{f(\ell) - M'}\bigr)$ के साथ $\intcc{0}{\ell}$ पर $\abs{f} \leq C$।

**6.** $t \in \intcc{0}{\ell/n}$ के लिए: $nt \in \intcc{0}{\ell}$ और $f(t) = \frac{f(nt)}{n}$ (प्रश्न 1), अतः $\abs{f(t)} \leq \frac Cn$। $\varepsilon > 0$ दिया हो, तो $n > \frac C\varepsilon$ चुनिए: $0 \leq h \leq
\frac\ell n$ के लिए $\abs{f(h)} \leq \varepsilon$, और ऋणात्मक $h$ के लिए $f(h) = -f(-h)$ का प्रयोग कीजिए। अतः $h \to 0$ होने पर $f(h) \to 0 = f(0)$: $0$ पर [सांतत्य](#def-b1-continuity-continuous), इसलिए सर्वत्र (प्रश्न 2), और इसलिए $f(x) = f(1)x$।

**7.** यदि $f$ $\intcc{a}{b}$ पर अह्रासमान है, तो वहाँ $f(a) \leq f(x)
\leq f(b)$: अर्थात् परिबद्ध, अतः प्रश्न 6 से रैखिक, $f(x) = cx$; और $c(b -
a) = f(b) - f(a) \geq 0$ $c \geq 0$ पर बाध्य कर देता है।

**8.** (क)$\Rightarrow$(ख)$\Rightarrow$(ग): तुच्छ। (ग)$\Rightarrow$(क): प्रश्न 2। (क)$\Rightarrow$(घ): रैखिक फलन सर्वत्र एकदिष्ट है। (घ)$\Rightarrow$(ङ): $\intcc{a}{b}$ पर एकदिष्ट फलन वहाँ अपने सिरों के मानों से परिबद्ध है। (ङ)$\Rightarrow$(क): प्रश्न 4–6। पाँचों [कथन](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-statement) तुल्य हैं — अर्थात् नियमितता की सीढ़ी।

**9.** प्रश्न 4 ने केवल [ऊपरी परिबंध](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#def-b1-reals-bounds) $M$ प्रयुक्त किया; प्रश्न 5 ने परावर्तन $f(t) = f(\ell) - f(\ell - t)$ के द्वारा निचला परिबंध ऊपरी से *व्युत्पन्न* किया; और फिर प्रश्न 6 $\abs f \leq C$ पर चला। अतः: किसी एक अनपकर्षी [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) पर योज्य और *ऊपर से* परिबद्ध होना ही रैखिकता दे देता है। निचले परिबंध के लिए यही $-f$ (जो योज्य और ऊपर से परिबद्ध है) पर लगाइए। प्रबलतम डंडा (ङ): किसी एक [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) पर एकपक्षीय परिबंध पर्याप्त है।

**10.** यदि सभी $x \neq 0$ के लिए $\frac{f(x)}{x}$ कोई एक ही अचर $c$ होता, तो $f$ रैखिक होता; अतः ऐसे अशून्य $u, v$ हैं कि $\frac{f(u)}u \neq
\frac{f(v)}v$, अर्थात् $u f(v) - v f(u) \neq 0$: सदिशों $(u, f(u))$, $(v,
f(v))$ का सारणिक अशून्य है, और वे $\R^2$ को फैलाते हैं।

**11.** $r, s \in \Q$ के लिए: $f(ru + sv) = r f(u) + s f(v)$ (प्रश्न 1 दो बार और योज्यता), अतः आलेख में ये हैं

$$
\bigl(ru + sv,\; r f(u) + s f(v)\bigr)
= r\,(u, f(u)) + s\,(v, f(v)) .
$$

$(x_0, y_0)$ और $\varepsilon > 0$ दिए हों: $2 \times 2$ निकाय $a(u, f(u)) +
b(v, f(v)) = (x_0, y_0)$ का (अद्वितीय) वास्तविक हल $(a, b)$ है, क्योंकि सारणिक अशून्य है। परिमेय $r_n \to a$, $s_n \to b$ चुनिए: तब निर्देशांक-दर-निर्देशांक $r_n(u, f(u)) + s_n(v, f(v)) \to (x_0, y_0)$, और इनमें से हर बिंदु आलेख पर है: अतः आलेख $\R^2$ में [सघन](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/12-topology-of-the-real-line#def-b1-topology-dense) है।

**12.** मान लीजिए $I$ कोई अनपकर्षी [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) है, $x_0$ उसका मध्यबिंदु, और $M$ स्वेच्छ: [सघनता](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/12-topology-of-the-real-line#def-b1-topology-dense) $(x_0, M + 1)$ के $\min\bigl(\frac{\abs I}{2}, 1\bigr)$ के भीतर कोई आलेख-बिंदु देती है, अर्थात् $f(x) > M$ वाला $x \in I$: अतः $I$ पर अपरिबद्ध, इसलिए (प्रश्न 8) प्रत्येक बिंदु पर असंतत और किसी भी [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) पर एकदिष्ट नहीं; और किसी भी लक्ष्य $y_0$ के लिए $(x_0, y_0)$ के पास के आलेख-बिंदु $x \in I$ वाला $f(x)$ $y_0$ के मनचाहे निकट दे देते हैं: अर्थात् $f(I)$ $\R$ में [सघन](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/12-topology-of-the-real-line#def-b1-topology-dense) है। यह प्रश्न 8 को उलटी दिशा में पढ़ना है: चूँकि सभी डंडे तुल्य हैं, अतः अरैखिक योज्य फलन को उन *सबमें*, और सर्वत्र, विफल होना ही पड़ता है।

**13.** सुपरिभाषित: $m + n\sqrt2 = m' + n'\sqrt2$ $(n - n')\sqrt2 = m'
- m \in \Z$ पर बाध्य करता है, अतः $n = n'$ (अन्यथा $\sqrt2 \in \Q$) और $m =
m'$। $G$ पर योज्यता तब निर्देशांक-दर-निर्देशांक स्पष्ट है। $0^+$ के पास अपरिबद्धता: $\varepsilon \in \intoo{0}{1}$ और $N \in \N$ नियत कीजिए। $\abs n
\leq N$ वाले प्रत्येक नियत $n$ के लिए शर्त $m + n\sqrt2 \in \intoo{0}{1}$ $m$ को $1$ लंबाई के [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) में कील देती है: अतः प्रति $n$ अधिक से अधिक एक पूर्णांक $m$, इसलिए $G \cap \intoo{0}{1}$ के अधिक से अधिक $2N + 1$ अवयवों के लिए $\abs{f} \leq N$। पर $G \cap \intoo{0}{\varepsilon}$ अनंत है ($G$ [सघन](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/12-topology-of-the-real-line#def-b1-topology-dense) है, [अभ्यास 10.9](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#exo-b1-reals-9)); अतः उसमें ऐसा कोई $g$ है कि $\abs{f(g)} > N$: अर्थात् $f$ $0$ के प्रत्येक दक्षिण [प्रतिवेश](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/12-topology-of-the-real-line#def-b1-topology-open) पर अपरिबद्ध है। $f$ को $\R$ पर योज्य फलन तक बढ़ाने का अर्थ है वास्तविक संख्याओं के ऐसे परिवार पर संगत रूप से मान चुनना जो $\Q$-रैखिकतः स्वतंत्र हो और $\Q$ पर $\R$ को फैलाता हो — अर्थात् एक हामेल आधार; और ऐसा एक उत्पन्न करने के लिए चयन-अभिगृहीत चाहिए, तथा कोई स्पष्ट सूत्र यह नहीं कर सकता: रचनात्मक रूप से यह राक्षस हमारे पास केवल $G$ पर है।

**14.** $f(x) = f(\frac x2 + \frac x2) = f(\frac x2)^2 \geq 0$। यदि $f(x_0) = 0$, तो सभी $x$ के लिए $f(x) = f(x - x_0)f(x_0) = 0$: वर्जित। अतः $f > 0$ और $g = \ln \circ f$ [संतत](#def-b1-continuity-continuous) है ([प्रतिज्ञप्ति 13.8](#prop-b1-continuity-algebra)) और $g(x + y) = g(x) + g(y)$: [अभ्यास 13.11](#exo-b1-continuity-11) से $g(x) = cx$, अतः $f(x) = \eu^{cx}$। विलोमतः प्रत्येक $\eu^{cx}$ काम करता है: अर्थात् [संतत](#def-b1-continuity-continuous) समाकारिताएँ $(\R, +) \to (\R^*, \times)$ ठीक चरघातांकी हैं।

**15.** $g(u) = f(\eu^u)$ [संतत](#def-b1-continuity-continuous) है और $g(u + v) = f(\eu^u \eu^v) = g(u)
+ g(v)$: $g(u) = cu$, और प्रत्येक $x > 0$ $u = \ln x$ के साथ $x = \eu^u$ लिखा जाता है: $f(x) = c\ln x$।

**16.** $h = \ln \circ f$ $\intoo{0}{+\infty}$ पर [संतत](#def-b1-continuity-continuous) है और $h(xy) =
h(x) + h(y)$: अतः प्रश्न 15 से $h(x) = c\ln x$, इसलिए $f(x) = \eu^{c\ln x} =
x^c$।

**17.** $x = y = 0$: $f(0) = 2f(0) + f(0)^2$, अतः $f(0)(1 + f(0)) = 0$। यदि $f(0) = -1$: $y = 0$ रखने पर सभी $x$ के लिए $f(x) = f(x) + f(0) +
f(x)f(0) = -1$: अर्थात् अचर $f \equiv -1$ (जो सचमुच समीकरण संतुष्ट करता है)। अन्यथा $f(0) = 0$; $h = 1 + f$ [संतत](#def-b1-continuity-continuous) है, $h(0) = 1$, और

$$
h(x + y) = 1 + f(x) + f(y) + f(x)f(y) = h(x)\,h(y) :
$$

प्रश्न 14 से $h(x) = \eu^{cx}$, अर्थात् $f(x) = \eu^{cx} - 1$ (और स्थिति $c
= 0$ $f \equiv 0$ देती है)। पूरी सूची: $f \equiv -1$ और $f(x) = \eu^{cx} -
1$, $c \in \R$।

**18.** $x = y = 0$: $2f(0) = 4f(0)$, अतः $f(0) = 0$। $x = 0$: $f(y) +
f(-y) = 2f(y)$, अतः $f$ सम है। $y = x$: $f(2x) = 4f(x)$। $(x, y) \to (nx,
x)$ का प्रयोग करते हुए आगमन:

$$
f((n{+}1)x) = 2f(nx) + 2f(x) - f((n{-}1)x)
= (2n^2 + 2 - (n-1)^2) f(x) = (n+1)^2 f(x) .
$$

फिर $f(x) = f\bigl(q\cdot\frac xq\bigr) = q^2 f\bigl(\frac xq\bigr)$ $f\bigl(\frac pq x\bigr) = \frac{p^2}{q^2}f(x)$ देता है: $\Q$ पर $f(r) = r^2
f(1)$ (समता चिह्न सँभाल लेती है)। दोनों [संतत](#def-b1-continuity-continuous) फलन $f$ और $x \mapsto f(1)x^2$ [सघन](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/12-topology-of-the-real-line#def-b1-topology-dense) [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $\Q$ पर मेल खाते हैं, अतः सर्वत्र (प्रश्न 24): $f(x) =
f(1)\,x^2$; और प्रत्येक $cx^2$ समीकरण संतुष्ट करता है।

**19.** $g = f - f(0)$ [संतत](#def-b1-continuity-continuous) है, $g(0) = 0$, और येंसन का समीकरण संतुष्ट करता है (अचर कट जाते हैं)। $y = 0$ लेने पर: $g\bigl(\frac x2\bigr) =
\frac{g(x)}{2}$। फिर सभी $x, y$ के लिए:

$$
\frac{g(x + y)}{2} = g\Bigl(\frac{x+y}{2}\Bigr)
= \frac{g(x) + g(y)}{2} ,
$$

अतः $g$ योज्य और [संतत](#def-b1-continuity-continuous) है: $g(x) = cx$ (प्रश्न 2), और $d = f(0)$ के साथ $f(x)
= cx + d$। सभी ऐफ़ीन फलन येंसन को संतुष्ट करते हैं: सूची पूरी है।

**20.** $n$ पर आगमन। $n = 0$ के लिए: $\lambda \in \{0, 1\}$, जो तुच्छ है। असमिका को सभी भार $\frac{k}{2^n}$ के लिए मान लीजिए। सम $k$ वाला भार $\lambda = \frac{k}{2^{n+1}}$ स्तर $n$ पर आ जाता है; और $k = 2j + 1$ के लिए $\lambda$ $\lambda_1 = \frac{j}{2^n}$ तथा $\lambda_2 = \frac{j+1}{2^n}$ का मध्यबिंदु है। $z_i = \lambda_i x + (1 - \lambda_i)y$ के साथ: $\lambda x +
(1-\lambda)y = \frac{z_1 + z_2}{2}$, अतः

$$
f\bigl(\lambda x + (1{-}\lambda)y\bigr)
\leq \frac{f(z_1) + f(z_2)}{2}
\leq \frac{(\lambda_1 + \lambda_2)f(x) + (2 - \lambda_1 -
\lambda_2)f(y)}{2}
= \lambda f(x) + (1 - \lambda)f(y) .
$$

**21.** $x, y$ नियत कीजिए। [प्रतिचित्रण](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-map) $\lambda \mapsto f(\lambda x +
(1 - \lambda)y)$ और $\lambda \mapsto \lambda f(x) + (1 - \lambda)f(y)$ $\intcc{0}{1}$ पर [संतत](#def-b1-continuity-continuous) हैं (संयोजन और बीजगणित, [प्रतिज्ञप्ति 13.8](#prop-b1-continuity-algebra))। असमिका द्विआधारी भारों पर सत्य है, जो $\intcc{0}{1}$ में [सघन](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/12-topology-of-the-real-line#def-b1-topology-dense) हैं ([अभ्यास 10.8](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#exo-b1-reals-8)); स्वेच्छ $\lambda$ के लिए द्विआधारी $\lambda_n \to \lambda$ लीजिए और सीमा तक जाइए ([प्रमेय 13.3](#thm-b1-continuity-seqchar) और [प्रमेय 11.7](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/11-sequences#thm-b1-seq-order)): अतः उत्तलता असमिका प्रत्येक $\lambda \in \intcc{0}{1}$ के लिए सत्य है — अर्थात् मध्यबिंदु उत्तलता और [सांतत्य](#def-b1-continuity-continuous) मिलकर उत्तलता हैं (यही धारणा [अध्याय 14](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/14-differentiation#ch-b1-derivative) की है)।

**22.** कोई अरैखिक योज्य $f$ $f\bigl(\frac{x+y}{2}\bigr) = \frac{f(x) +
f(y)}{2}$ को ठीक-ठीक संतुष्ट करता है ($r = \frac12$ के साथ प्रश्न 1, फिर योज्यता): अर्थात् वह मध्यबिंदु-उत्तल, बल्कि मध्यबिंदु-ऐफ़ीन है। यदि वह किसी [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) $\intcc{x}{y}$ पर पूरी उत्तलता असमिका संतुष्ट करता, तो $\lambda \in
\intcc{0}{1}$ के लिए $f(\lambda x + (1-\lambda)y) \leq \max(f(x), f(y))$ — अर्थात् किसी अनपकर्षी [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) पर ऊपर से परिबद्ध, इसलिए प्रश्न 9 से रैखिक: विरोधाभास। अतः प्रश्न 21 में [सांतत्य](#def-b1-continuity-continuous) कोई विलासिता नहीं है: उसके बिना मध्यबिंदु उत्तलता केवल गणनीय द्विआधारी ढाँचे को नियंत्रित करती है, और बीच का सातत्य जंगली भागता रहता है।

**23.** $p(x) = \frac{x^2}{2}$ $p(x+y) = p(x) + p(y) + xy$ संतुष्ट करता है। यदि $f$ कोई भी [संतत](#def-b1-continuity-continuous) हल है, तो $g = f - p$ [संतत](#def-b1-continuity-continuous) और योज्य है, अतः $g(x) =
cx$:

$$
f(x) = \frac{x^2}{2} + cx , \qquad c \in \R ,
$$

और इनमें से हर एक हल है: सूची पूरी है।

**24.** व्यापक सिद्धांत: यदि $u, v$ [संतत](#def-b1-continuity-continuous) हैं और किसी [सघन](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/12-topology-of-the-real-line#def-b1-topology-dense) $D \subseteq
\R$ पर मेल खाते हैं, तो $x \in \R$ के लिए ऐसे $d_n \in D$ चुनिए कि $d_n \to
x$ ([प्रतिज्ञप्ति 12.11](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/12-topology-of-the-real-line#prop-b1-topology-closureprops)); $u(x) = \lim u(d_n) = \lim v(d_n)
= v(x)$। अब मान लीजिए $f$ [संतत](#def-b1-continuity-continuous) है और [सघन](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/12-topology-of-the-real-line#def-b1-topology-dense) [उपसमूह](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-subgroup) $G$ पर योज्य है। $x, y \in
\R$ नियत कीजिए और ऐसे $g_n \to x$, $g'_n \to y$ लीजिए कि $g_n, g'_n \in G$; तब $g_n + g'_n \to x + y$, और $x + y$ पर अनुक्रमीय [सांतत्य](#def-b1-continuity-continuous) से $x$ तथा $y$:

$$
f(x + y) = \lim f(g_n + g'_n) = \lim\bigl(f(g_n) +
f(g'_n)\bigr) = f(x) + f(y) :
$$

अतः $f$ पूरे $\R$ पर योज्य है (और इसलिए प्रश्न 2 से रैखिक)।

**25.** (क) योज्य $f$ के लिए: रैखिक $\iff$ [संतत](#def-b1-continuity-continuous) $\iff$ किसी एक बिंदु पर [संतत](#def-b1-continuity-continuous) $\iff$ किसी [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) पर एकदिष्ट $\iff$ किसी [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) पर (एकपक्षीय तक) परिबद्ध। (ख) आलेख का समतल में [सघन](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/12-topology-of-the-real-line#def-b1-topology-dense) होना दिखाता है कि विफलता कोई स्थानीय दोष नहीं, बल्कि समग्र विस्फोट है: हर उपअंतराल के ऊपर मान पूरे $\R$ पर बिखर जाते हैं, अतः नियमितता का हर गुणधर्म एक साथ सर्वत्र विफल हो जाता है। (ग) पकड़: $cx$, $\eu^{cx}$, $c\ln x$, $x^c$, $cx^2$ और $cx + d$ — छह अभिलक्षण, और एक ही विधि: समीकरण को कोशी वाले पर ले जाइए, $\Q$-ढाँचा आगमन से सिद्ध कीजिए, और [सघनता](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/12-topology-of-the-real-line#def-b1-topology-dense) तथा [सांतत्य](#def-b1-continuity-continuous) से $\R$ तक उठाइए। (घ) $\Q$ (या द्विआधारी संख्याओं) की [सघनता](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/12-topology-of-the-real-line#def-b1-topology-dense) ने [अभ्यास 13.11](#exo-b1-continuity-11) में और प्रश्न 21 में उन्नयन ढोए; प्रश्न 13 में उसने कुछ नहीं ढोया, क्योंकि [सांतत्य](#def-b1-continuity-continuous) के बिना मान किसी [सघन](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/12-topology-of-the-real-line#def-b1-topology-dense) [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) से उसके [संवरक](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/12-topology-of-the-real-line#def-b1-topology-closure) तक नहीं फैलते — [सघनता](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/12-topology-of-the-real-line#def-b1-topology-dense) सूचना केवल [सांतत्य](#def-b1-continuity-continuous) के अनुदिश ले जाती है।