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title: "खंड पर समाकलन"
book: "विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 1"
subject: math
language: hi
chapter: 15
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/15-integration-on-a-segment
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# अध्याय 15 — खंड पर समाकलन

उच्चतर माध्यमिक खंड का [समाकल](#thm-b1-integration-def) क्षेत्रफलों पर टिका था, जो सहज रूप से लिए गए थे। यह अध्याय उसका निर्माण करता है: पहले सोपान फलनों के लिए, जहाँ [समाकल](#thm-b1-integration-def) एक परिमित योग है, फिर [संतत](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/13-limits-and-continuity#def-b1-continuity-continuous) (और खंडशः [संतत](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/13-limits-and-continuity#def-b1-continuity-continuous)) फलनों के लिए एकसमान सन्निकटन द्वारा — और यहीं हाइने की प्रमेय ([प्रमेय 13.22](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/13-limits-and-continuity#thm-b1-continuity-heine)) अपनी रोटी कमाती है। इसके बाद कलन की मूल प्रमेय इस निर्माण को प्रतिअवकलजों से जोड़ देती है, और [रीमान योग](#thm-b1-integration-riemann) उसे विविक्त औसतों से।

आगे सर्वत्र $a < b$ वास्तविक हैं।

## 15.1 सोपान फलन

**परिभाषा 15.1.**

$\varphi \colon \intcc{a}{b} \to \R$ *सोपान फलन* तब है जब कोई उपविभाजन $a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b$ ऐसा हो कि $\varphi$ प्रत्येक खुले [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) $\intoo{x_{i-1}}{x_i}$ पर अचर, $c_i$ के बराबर, हो (गाँठों पर मान अप्रतिबंधित हैं)। उसका [समाकल](#thm-b1-integration-def) है

$$
\int_a^b \varphi = \sum_{i=1}^{n} c_i\,(x_i - x_{i-1}),
$$

जो चुने हुए उपविभाजन से स्वतंत्र है (दो उपविभाजनों को उनके उभयनिष्ठ उपविभाजन से सूक्ष्म कीजिए: सूक्ष्मीकरण से दोनों पक्ष अपरिवर्तित रहते हैं)।

**प्रतिज्ञप्ति 15.2.**

सोपान फलनों पर [समाकल](#thm-b1-integration-def) रैखिक और वर्धमान ($\varphi \leq \psi \implies
\int\varphi \leq \int\psi$) है, और $a < c < b$ के लिए शाल संबंध $\int_a^b =
\int_a^c + \int_c^b$ संतुष्ट करता है।

**उपपत्ति.** इंजन है *सूक्ष्मीकरण-अपरिवर्त्यता*, जो परिभाषा में ही कही गई है: किसी उपविभाजन में एक अतिरिक्त गाँठ $t \in \intoo{x_{i-1}}{x_i}$ डालने से पद $c_i(x_i - x_{i-1})$ के स्थान पर $c_i(t - x_{i-1}) + c_i(x_i - t)$ आ जाता है — वही संख्या — अतः किसी भी परिमित सूक्ष्मीकरण से [समाकल](#thm-b1-integration-def) अपरिवर्तित रहता है। अब उपविभाजन $\sigma$ वाला $\varphi$ और उपविभाजन $\sigma'$ वाला $\psi$ लीजिए: उभयनिष्ठ सूक्ष्मीकरण $\sigma \cup \sigma'$ पर दोनों *एक ही* गाँठों वाले [सोपान फलन](#def-b1-integration-step) हैं, और हर टुकड़े पर $\varphi + \lambda\psi$ $c_i +
\lambda d_i$ के बराबर अचर है: अतः रैखिकता परिमित योगों की रैखिकता पर सिमट जाती है। वृद्धि: हर टुकड़े पर $c_i \leq d_i$ $\sum c_i \Delta_i \leq \sum
d_i \Delta_i$ देता है (लंबाइयाँ $\Delta_i \geq 0$)। शाल: गाँठ $c$ डालिए और उस पर योग को तोड़ दीजिए। ∎

## 15.2 संतत फलन का समाकल

**प्रमेय 15.3 (एकसमान सन्निकटन).**

मान लीजिए $f$ $\intcc{a}{b}$ पर [संतत](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/13-limits-and-continuity#def-b1-continuity-continuous) है। प्रत्येक $\varepsilon > 0$ के लिए ऐसे [सोपान फलन](#def-b1-integration-step) $\varphi, \psi$ हैं कि

$$
\varphi \leq f \leq \psi
\qquad\text{और}\qquad
\psi - \varphi \leq \varepsilon \text{ पर } \intcc{a}{b}.
$$

**उपपत्ति.** हाइने की प्रमेय ([प्रमेय 13.22](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/13-limits-and-continuity#thm-b1-continuity-heine)) से $f$ [एकसमान रूप से संतत](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/13-limits-and-continuity#def-b1-continuity-uniform) है: $\varepsilon$ के लिए $\delta$ चुनिए, और जाल $< \delta$ का कोई उपविभाजन (मान लीजिए $n > \frac{b - a}{\delta}$ टुकड़ों वाला समान [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) का)। प्रत्येक [संवृत](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/12-topology-of-the-real-line#def-b1-topology-closed) टुकड़े $\intcc{x_{i-1}}{x_i}$ पर $f$ अपना न्यूनतम $m_i$ और अधिकतम $M_i$ प्राप्त करता है ([प्रमेय 13.13](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/13-limits-and-continuity#thm-b1-continuity-evt)), और $M_i - m_i \leq
\varepsilon$ (दोनों चरम बिंदु $\delta$ के भीतर हैं)। $\intoo{x_{i-1}}{x_i}$ पर $\varphi = m_i$ और $\psi = M_i$ परिभाषित कीजिए (और गाँठों पर $\varphi =
\psi = f$)। ∎

**प्रमेय 15.4 (समाकल की परिभाषा).**

मान लीजिए $f$ $\intcc{a}{b}$ पर [संतत](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/13-limits-and-continuity#def-b1-continuity-continuous) है। दोनों संख्याएँ

$$
I_-(f) = \sup\Bigl\{\int_a^b \varphi : \varphi \text{ सोपान},\
\varphi \leq f\Bigr\},
\qquad
I_+(f) = \inf\Bigl\{\int_a^b \psi : \psi \text{ सोपान},\ \psi \geq
f\Bigr\}
$$

बराबर हैं; उनका उभयनिष्ठ मान $\int_a^b f$ का *समाकल* है (जिसे $\int_a^b f(t)\,\dd t$ भी लिखा जाता है)। वह सोपान फलनों पर पिछली धारणा से मेल खाता है, और असांतत्यों पर $\intcc{a}{b}$ को तोड़कर खंडशः [संतत](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/13-limits-and-continuity#def-b1-continuity-continuous) फलनों तक बढ़ जाता है (वहाँ शाल परिभाषा का काम करता है)।

**उपपत्ति.** दोनों [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) अरिक्त हैं ($f$ परिबद्ध है) और प्रत्येक निचला सोपान [समाकल](#thm-b1-integration-def) हर ऊपरी से $\leq$ है (सोपान फलनों पर एकदिष्टता): अतः $I_-(f) \leq I_+(f)$। [प्रमेय 15.3](#thm-b1-integration-approx) से प्रत्येक $\varepsilon$ के लिए ऐसा युग्म है कि $\int\psi - \int\varphi \leq \varepsilon(b - a)$: अतः [उच्चतम](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#def-b1-reals-bounds) और [निम्नतम](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#def-b1-reals-bounds) आपस में दब जाते हैं, $I_- = I_+$। ∎

**उदाहरण 15.5 (खंडशः संतत, बिना किसी नाटक के).**

$\intcc{0}{3}$ पर [फ़र्श फलन](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#thm-b1-reals-floor) वेश बदला [सोपान फलन](#def-b1-integration-step) है: उसकी कूदों पर तोड़ने से,

$$
\int_0^3 \lfloor t \rfloor\,\dd t
= \int_0^1 0 + \int_1^2 1 + \int_2^3 2 = 0 + 1 + 2 = 3 ,
$$

और कूद-बिंदुओं $1, 2$ *पर* के मान निरर्थक हैं: परिमित कितने बिंदुओं पर फलन बदलने से कोई [समाकल](#thm-b1-integration-def) नहीं बदलता (घेरने वाले [सोपान फलन](#def-b1-integration-step) अप्रभावित रहते हैं)। “खंडशः [संतत](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/13-limits-and-continuity#def-b1-continuity-continuous)” वाले विस्तार की पूरी सामग्री यही है: परिमित कितने असांतत्यों पर काटिए, प्रत्येक [संतत](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/13-limits-and-continuity#def-b1-continuity-continuous) टुकड़े को समाकलित कीजिए, जोड़ दीजिए — शाल परिभाषा के रूप में।

**उदाहरण 15.6 (परिभाषा एक बार संगणना करती है).**

$\intcc{0}{1}$ पर $f(x) = x$ लीजिए और उसे $n$ समान टुकड़ों में काटिए। टुकड़ों पर अचर सर्वोत्तम [सोपान फलन](#def-b1-integration-step) $k$-वें टुकड़े पर $\varphi =
\frac{k-1}{n}$ और $\psi = \frac kn$ हैं, जहाँ

$$
\int_0^1 \varphi = \sum_{k=1}^{n} \frac{k-1}{n}\cdot\frac1n
= \frac{n-1}{2n},
\qquad
\int_0^1 \psi = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n}\cdot\frac1n
= \frac{n+1}{2n} .
$$

प्रत्येक निचला [समाकल](#thm-b1-integration-def) हर ऊपरी से $\leq I_-(f) \leq I_+(f) \leq$ है, अतः सभी $n$ के लिए $\frac{n-1}{2n} \leq I_-(f) \leq I_+(f) \leq \frac{n+1}{2n}$: दोनों $\frac12$ पर दब जाते हैं, और सीधे परिभाषा से $\int_0^1 x\,\dd x =
\frac12$। समापन का सार: परिभाषा से समाकलन हम पहली और अंतिम बार कर रहे हैं — नीचे की मूल प्रमेय ऐसी सभी संगणनाओं के स्थान पर एक प्रतिअवकलज खोज रख देती है, और इस अध्याय का पूरा आर्थिक प्रयोजन यही है।

**प्रमेय 15.7 (गुणधर्म).**

$\intcc{a}{b}$ पर [संतत](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/13-limits-and-continuity#def-b1-continuity-continuous) (या खंडशः [संतत](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/13-limits-and-continuity#def-b1-continuity-continuous)) $f, g$ और $\lambda \in \R$ के लिए:

1. रैखिकता: $\int (f + \lambda g) = \int f + \lambda \int g$ ;
2. एकदिष्टता: $f \leq g \implies \int_a^b f \leq \int_a^b g$ ; और $\bigl|\int_a^b f\bigr| \leq \int_a^b \abs f \leq (b - a)\, \sup\abs f$ ;
3. शाल: $\int_a^b = \int_a^c + \int_c^b$ (परिपाटी $\int_b^a =  -\int_a^b$ के साथ, जो सीमाओं के किसी भी क्रम के लिए वैध है);
4. कठोर धनात्मकता: यदि $f$ [संतत](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/13-limits-and-continuity#def-b1-continuity-continuous) है, $f \geq 0$ और $\int_a^b f = 0$ , तो $\intcc{a}{b}$ पर सर्वत्र $f = 0$ ।

**उपपत्ति.** (1)–(3) [उच्चतम](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#def-b1-reals-bounds)/[निम्नतम](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#def-b1-reals-bounds) वाली परिभाषा के द्वारा सोपान फलनों से सीमा तक चले जाते हैं। रैखिकता के विवरण एक बार देने योग्य हैं: $\varepsilon > 0$ दिया हो, तो $\varphi_f \leq f \leq \psi_f$ और $\varphi_g \leq g \leq \psi_g$ को $\leq
\varepsilon$ ([प्रमेय 15.3](#thm-b1-integration-approx)) अंतरालों के साथ घेरिए। $\lambda \geq 0$ के लिए $\varphi_f + \lambda\varphi_g \leq f + \lambda g
\leq \psi_f + \lambda\psi_g$ सोपान फलनों से $\leq (1 + \lambda)\varepsilon$ [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) वाला घेराव है, और उसके सोपान [समाकल](#thm-b1-integration-def) $\int \varphi_f +
\lambda\int\varphi_g$ इत्यादि के बराबर हैं ([प्रतिज्ञप्ति 15.2](#prop-b1-integration-stepprops)): अतः $\varepsilon \to 0$ लेने पर $\int(f + \lambda g)$ $\int f + \lambda\int g$ पर दब जाता है। $\lambda < 0$ के लिए $\lambda$ से गुणा करना $g$ के घेराव को *उलट* देता है — $\lambda g$ का निचला [सोपान फलन](#def-b1-integration-step) $\lambda \psi_g$ है — और वही दबाव भूमिकाएँ बदलकर चल जाता है। परिबंध $\abs{\int f} \leq \int \abs f$ $-\abs f \leq f
\leq \abs f$ और एकदिष्टता से आता है।

(4) प्रतिधनात्मक रूप से: यदि $f(x_0) = m > 0$, तो [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/13-limits-and-continuity#def-b1-continuity-continuous) $\eta > 0$ लंबाई का ऐसा उपअंतराल देती है जिस पर $f \geq \frac m2$; और वहाँ $\frac m2$ तथा अन्यत्र $0$ वाला [सोपान फलन](#def-b1-integration-step) $\leq f$ है, अतः $\int f \geq \frac{m\eta}{2} >
0$। ∎

**उदाहरण 15.8 (शाल काम पर: निरपेक्ष मान वाले समाकल).**

निरपेक्ष मान का समाकलन करने के लिए वहाँ काटिए जहाँ चिह्न बदलता है।

$$
\int_0^2 \abs{x - 1}\,\dd x
= \int_0^1 (1 - x)\,\dd x + \int_1^2 (x - 1)\,\dd x
= \frac12 + \frac12 = 1 ,
$$

और $\pi$ पर $\intcc{0}{2\pi}$ काटने पर:

$$
\int_0^{2\pi} \abs{\sin t}\,\dd t
= \int_0^{\pi} \sin t\,\dd t - \int_{\pi}^{2\pi} \sin t\,\dd t
= 2 + 2 = 4 ,
$$

जबकि $\int_0^{2\pi} \sin t\,\dd t = 0$: निरसन सचमुच होता है, और इसीलिए कठोर धनात्मकता वाले [कथन](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-statement) ([प्रमेय 15.7](#thm-b1-integration-props) (4)) में परिकल्पना $f
\geq 0$ है — उसके बिना लुप्त होता [समाकल](#thm-b1-integration-def) $f$ के विषय में कुछ सिद्ध नहीं करता। समापन का सार: $\int \abs f$ *क्षेत्रफल* नापता है, $\int f$ *चिह्नित संतुलन*; और असमिका $\abs{\int f} \leq \int\abs f$ ठीक-ठीक यही अभिलेख है कि निरसन क्या नष्ट कर सकता है।

## 15.3 कलन की मूल प्रमेय

**प्रमेय 15.9 (कलन की मूल प्रमेय).**

मान लीजिए $f$ किसी [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) $I$ पर [संतत](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/13-limits-and-continuity#def-b1-continuity-continuous) है और $a \in I$। फलन

$$
F(x) = \int_a^x f(t)\, \dd t
$$

$I$ पर $C^1$ वर्ग का है, जहाँ $F' = f$: अर्थात् किसी [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) पर प्रत्येक [संतत](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/13-limits-and-continuity#def-b1-continuity-continuous) फलन के प्रतिअवकलज होते हैं। फलस्वरूप, $f$ के *किसी भी* प्रतिअवकलज $G$ के लिए:

$$
\int_a^b f(t)\,\dd t = G(b) - G(a) .
$$

**उपपत्ति.** $x_0 \in I$ और $\varepsilon > 0$ नियत कीजिए; $x_0$ पर [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/13-limits-and-continuity#def-b1-continuity-continuous) ऐसा $\delta$ देती है कि $\abs{t - x_0} \leq \delta$ के लिए $\abs{f(t) - f(x_0)} \leq
\varepsilon$। $0 < \abs{h} \leq \delta$ (और $x_0 + h \in I$) के लिए शाल देता है

$$
\frac{F(x_0 + h) - F(x_0)}{h} - f(x_0)
= \frac 1h \int_{x_0}^{x_0+h} \bigl(f(t) - f(x_0)\bigr)\dd t ,
$$

जिसका निरपेक्ष मान $\leq \frac{1}{\abs h}\cdot \abs h\, \varepsilon =
\varepsilon$ है (परिबंध (2), जो सीमाओं के किसी भी क्रम के लिए वैध है)। अतः $F'(x_0) = f(x_0)$; $F' = f$ [संतत](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/13-limits-and-continuity#def-b1-continuity-continuous) है: $F$ $C^1$ है। यदि $G' = f$ भी हो, तो [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) पर $(G - F)' = 0$, अतः $G = F + c$ ([उपप्रमेय 14.12](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/14-differentiation#cor-b1-derivative-monotone)), और $G(b) - G(a) = F(b) - F(a) =
\int_a^b f$। ∎

**उदाहरण 15.10 (संगणना से पहले सममिति).**

सममित [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) पर सम-विषमता ही काम कर देती है: यदि $f$ विषम है, तो प्रतिस्थापन $t \mapsto -t$ $\int_{-a}^{0} f$ को $-\int_0^a f$ पर भेज देता है, अतः

$$
\int_{-a}^{a} f(t)\,\dd t = 0 ;
\qquad\text{यदि $f$ सम है,}\quad
\int_{-a}^{a} f = 2\int_0^a f .
$$

इस प्रकार कोई प्रतिअवकलज दिखे बिना ही $\int_{-1}^{1} \frac{t^3\cos t}{1 +
t^4}\,\dd t = 0$ (समाकल्य विषम है), और $\int_{-\pi}^{\pi} t^2\cos t\,\dd t =
2\int_0^\pi t^2\cos t\, \dd t$। तकनीकों की ओर हाथ बढ़ाने से पहले सममिति जाँच लीजिए: सबसे तेज़ [समाकल](#thm-b1-integration-def) वही है जिसे कभी संगणित ही न करना पड़े।

**उदाहरण 15.11 (अवकलज को देखते ही पहचानना).**

$\displaystyle\int_0^{\pi/2} \frac{\dd x}{1 + \cos x}$ संगणित कीजिए। अर्ध-कोण सर्वसमिका $1 + \cos x = 2\cos^2\frac x2$ समाकल्य को $\frac{1}{2}\bigl(1 + \tan^2\frac x2\bigr)$ में बदल देती है, जो ठीक $\tan\frac x2$ का [अवकलज](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/14-differentiation#def-b1-derivative-def) है:

$$
\int_0^{\pi/2} \frac{\dd x}{1 + \cos x}
= \Bigl[\tan\frac x2\Bigr]_0^{\pi/2} = \tan\frac\pi4 = 1 .
$$

किसी प्रतिस्थापन-मशीनरी की आवश्यकता नहीं पड़ी — केवल यह प्रतिवर्त कि समाकल्य को किसी का [अवकलज](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/14-differentiation#def-b1-derivative-def) मानकर पढ़ा जाए, और शेष काम मूल प्रमेय कर देती है। (ऐसे त्रिकोणमितीय समाकलों के पीछे का व्यवस्थित औज़ार, प्रतिस्थापन $t =
\tan\frac x2$, [प्रमेय 15.15](#thm-b1-integration-parts) (2) से बने मानक औज़ार-संदूक का हिस्सा है।)

**उदाहरण 15.12 (समाकलों से परिभाषित फलन).**

मूल प्रमेय फलन गढ़ देती है। मान लीजिए

$$
F(x) = \int_0^x \eu^{-t^2}\,\dd t .
$$

चिरपरिचित फलनों का कोई भी संयोजन ऐसा नहीं है जिसका [अवकलज](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/14-differentiation#def-b1-derivative-def) $\eu^{-t^2}$ हो (लिउविल की एक प्रमेय, यहाँ स्वीकृत); फिर भी $F$ विद्यमान है, $F'(x) =
\eu^{-x^2} > 0$ के साथ $C^1$ है, कठोरतः वर्धमान है, विषम है ($t \mapsto -t$ प्रतिस्थापित कीजिए), और परिबद्ध: $x \geq 1$ के लिए,

$$
F(x) - F(1) = \int_1^x \eu^{-t^2}\dd t
\leq \int_1^x \eu^{-t}\dd t \leq \eu^{-1} ,
$$

अतः $F \leq F(1) + \eu^{-1} \leq 1 + \eu^{-1}$। (यथार्थ सीमा $\frac{\sqrt\pi}{2}$ स्नातक वर्ष 3 के खंड में द्विसमाकलों से संगणित की गई है।) चलती सीमाओं के लिए शृंखला नियम: $\frac{\dd}{\dd x}\int_x^{x^2}
\eu^{-t^2}\dd t = 2x\,\eu^{-x^4} - \eu^{-x^2}$। समापन का सार: समाकलन पुराने फलनों से नए फलन *गढ़ता* है, और उनके सभी गुणधर्म समाकल्य से पढ़े जा सकते हैं — जो प्रतिअवकलज आप लिख नहीं सकते, वह भी पूरी तरह आपके नियंत्रण में एक फलन है।

**उदाहरण 15.13 (बिना मान निकाले आकलन).**

समाकलों $R_n = \int_0^1 \frac{t^n}{1 + t}\,\dd t$ का कोई सुखद संवृत रूप नहीं है, फिर भी एकदिष्टता उन्हें ठीक-ठीक कील देती है: $\intcc{0}{1}$ पर $\frac12
\leq \frac{1}{1+t} \leq 1$, अतः

$$
\frac{1}{2(n+1)} = \frac12\int_0^1 t^n\,\dd t
\;\leq\; R_n \;\leq\; \int_0^1 t^n \,\dd t = \frac{1}{n+1} :
$$

अर्थात् क्षय का यथार्थ क्रम ($R_n \sim$ $\frac1n$ का गुणज, वस्तुतः $R_n \sim
\frac{1}{2n}$) — दो पंक्तियों में और बिना किसी प्रतिअवकलज के। इस अध्याय और अगले की सप्ताहांत समस्याएँ ठीक ऐसे ही घेरावों पर चलती हैं — किसी [समाकल](#thm-b1-integration-def) के सामने विश्लेषक की पहली सहज क्रिया उसे *परिबद्ध* करना होनी चाहिए, और तभी, यदि आवश्यक हो, संगणना।

**उदाहरण 15.14 (औसत मान).**

$\intcc{a}{b}$ पर [संतत](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/13-limits-and-continuity#def-b1-continuity-continuous) $f$ का *माध्य* $\frac{1}{b-a}\int_a^b f$ है। ज्या के मेहराब के लिए:

$$
\frac{1}{\pi}\int_0^\pi \sin t\,\dd t
= \frac{1}{\pi}\bigl[-\cos t\bigr]_0^\pi = \frac{2}{\pi}
\approx 0.637 :
$$

अर्थात् पूरे धनात्मक मेहराब का औसत $\frac12$ नहीं, बल्कि $\frac2\pi$ है — वक्र त्रिभुज की तुलना में अधिक समय ऊपर बिताता है। [अभ्यास 15.11](#exo-b1-integration-11) (समाकलों के लिए माध्य मान प्रमेय, $g = 1$) से यह माध्य एक *मान* है: किसी $c \in \intoo{0}{\pi}$ के लिए $\sin c =
\frac2\pi$। और इस अध्याय के रीमान योगों से यह माध्य $n$ नमूनों के साधारण औसतों की सीमा है — अर्थात् आँकड़ों के विविक्त माध्य और किसी संकेत के [संतत](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/13-limits-and-continuity#def-b1-continuity-continuous) माध्य के बीच का सेतु, और इसी तरह [समाकल](#thm-b1-integration-def) भौतिकी में प्रवेश करता है।

**प्रमेय 15.15 (खंडशः समाकलन; प्रतिस्थापन).**

1. यदि $u, v$ $\intcc{a}{b}$ पर $C^1$ हैं: $$\int_a^b u'v = \bigl[uv\bigr]_a^b - \int_a^b uv' .$$
2. यदि $\varphi$ $\intcc{\alpha}{\beta}$ पर $C^1$ है और $f$ $\varphi(\intcc{\alpha}{\beta})$ पर [संतत](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/13-limits-and-continuity#def-b1-continuity-continuous) है: $$\int_{\alpha}^{\beta} f\bigl(\varphi(t)\bigr)\,\varphi'(t)\,  \dd t = \int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)} f(x)\, \dd x .$$

**उपपत्ति.** (1) $(uv)' = u'v + uv'$; $\intcc{a}{b}$ पर समाकलन कीजिए और $C^1$ फलन $uv$ पर मूल प्रमेय लगाइए।

(2) मान लीजिए $F$ प्रतिबिंब [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) पर $f$ का प्रतिअवकलज है ([प्रमेय 15.9](#thm-b1-integration-ftc))। तब $(F \circ \varphi)' = (f \circ
\varphi)\,\varphi'$ (शृंखला नियम), अतः दोनों पक्ष $F(\varphi(\beta)) -
F(\varphi(\alpha))$ के बराबर हैं। ∎

**उदाहरण 15.16.**

$\int_0^1 t\,\eu^t \dd t = \bigl[t\,\eu^t\bigr]_0^1 - \int_0^1 \eu^t\dd t =
\eu - (\eu - 1) = 1$। और प्रतिस्थापन $x = \sin t$ ($t \in
\intcc{0}{\frac\pi2}$) के साथ:

$$
\int_0^1 \sqrt{1 - x^2}\, \dd x
= \int_0^{\pi/2} \cos t \cdot \cos t \, \dd t
= \int_0^{\pi/2} \frac{1 + \cos 2t}{2}\, \dd t = \frac\pi4 ,
$$

— अर्थात् इकाई वृत्तचकती का एक चौथाई, जैसा ज्यामिति माँगती है। ([विधि 3.11](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/3-complex-numbers#met-b1-complex-trig) का रैखिकीकरण काम पर।)

**टिप्पणी 15.17 (समाकल कलन की सामान्य भूलें).**

(क) *प्रतिस्थापन पूरे [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) पर $C^1$ होने चाहिए*: परिवर्तन $x =
\frac1t$ $0$ को पार करते हुए अवैध है; उसे $\int_{-1}^{1}\frac{\dd x}{1 +
x^2}$ पर आँख मूँदकर लगाने से यह “सिद्ध” हो जाता है कि [समाकल](#thm-b1-integration-def) अपने ही विपरीत के बराबर है। जब किसी प्रतिस्थापन में कोई विचित्रता हो, तो पहले [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) काटिए (शाल), हर टुकड़े पर प्रतिस्थापन कीजिए, और तभी फिर से जोड़िए। (ख) *लघुगणकीय प्रतिअवकलजों को निरपेक्ष मान चाहिए*: $2$ के दोनों ओर अलग-अलग $\int \frac{\dd x}{x - 2} = \ln\abs{x - 2} + C$ — $\intoo{0}{1}$ पर $\ln(x
- 2)$ लिखना किसी ऋणात्मक संख्या का लघुगणक लिखना है; और अचर $C$ विचित्रता के दोनों ओर भिन्न हो सकता है। (ग) *लुप्त होता [समाकल](#thm-b1-integration-def) फलन को नहीं मार देता*: $\int_0^{2\pi}\sin = 0$; $f = 0$ निकालने से पहले समाकल्य की धनात्मकता आवश्यक है ([उदाहरण 15.8](#ex-b1-integration-chasleswork))। (घ) *[रीमान योग](#thm-b1-integration-riemann) अंशांकित होने चाहिए*: $\frac{b-a}{n}\sum f\bigl(a + k\frac{b-a}{n}\bigr)$ में बाहर का पद और भीतर के बिंदु उसी उपविभाजन से मेल खाने चाहिए — बार-बार होने वाली भूल यह है कि योग $\sum_{k=1}^{n} f\bigl(\frac kn\bigr)$ *बिना* गुणक $\frac1n$ के लिख दिया जाता है, जो $\int_0^1 f$ की ओर अभिसरित होने के बदले अपसरित हो जाता है। [प्रमेय 15.20](#thm-b1-integration-riemann) का आह्वान करने से पहले जाँच-सूची: $\frac1n$ बाहर निकालिए, योज्य को $\frac kn$ के $f$ के रूप में फिर से लिखिए, $f$ का नाम दीजिए और उसकी [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/13-limits-and-continuity#def-b1-continuity-continuous) जाँचिए।

**उदाहरण 15.18 (अनुमान लगाइए, अवकलन कीजिए, समायोजन कीजिए).**

$\int_1^x (\ln t)^2\,\dd t$ क्या है? $P$ [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) के साथ $t\,P(\ln t)$ रूप के प्रतिअवकलज का अनुमान लगाइए और अवकलन कीजिए:

$$
\bigl(t\,P(\ln t)\bigr)' = P(\ln t) + P'(\ln t) .
$$

हमें $P(u) + P'(u) = u^2$ चाहिए: $P(u) = u^2 - 2u + 2$ लीजिए ($u^2$ से नीचे की ओर गुणांक मिलाते हुए)। अतः

$$
\int_1^x (\ln t)^2\,\dd t
= \bigl[t\bigl((\ln t)^2 - 2\ln t + 2\bigr)\bigr]_1^x
= x(\ln x)^2 - 2x\ln x + 2x - 2 ,
$$

यह परिणाम अन्यथा दो बार [खंडशः समाकलन](#thm-b1-integration-parts) से मिलता। समापन का सार: ($\ln t$ में [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def)) या ([बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) गुणा $\eu^{\lambda t}$) रूप के समाकल्यों के लिए प्रतिअवकलज का आकार वही रहता है — अतः आकार वाले अनुमान का अवकलन समाकलन को गुणांकों पर रैखिक बीजगणित में बदल देता है, जो दोहराए हुए [खंडशः समाकलन](#thm-b1-integration-parts) से तेज़ और कम भूल वाला है।

**उदाहरण 15.19 (लौटता हुआ समाकल).**

$I = \int_0^{\pi/2} \eu^x \cos x\,\dd x$ संगणित कीजिए। दो बार [खंडशः समाकलन](#thm-b1-integration-parts) कीजिए, और हर बार त्रिकोणमितीय गुणक का अवकलन कीजिए:

$$
I = \bigl[\eu^x \sin x\bigr]_0^{\pi/2}
- \int_0^{\pi/2} \eu^x \sin x\,\dd x
= \eu^{\pi/2} - J,
\qquad
J = \bigl[-\eu^x\cos x\bigr]_0^{\pi/2}
+ \int_0^{\pi/2} \eu^x\cos x\,\dd x = 1 + I .
$$

[समाकल](#thm-b1-integration-def) स्वयं अपने पास लौट आया है: $I = \eu^{\pi/2} - 1 - I$, जिससे

$$
I = \frac{\eu^{\pi/2} - 1}{2} .
$$

समापन का सार: जब समाकल्य ऐसे दो फलनों का गुणनफल हो जो अवकलन के अंतर्गत स्वयं को फिर उत्पन्न करते हों ($\eu^{ax}$, $\cos bx$, $\sin bx$), तब दो बार [खंडशः समाकलन](#thm-b1-integration-parts) अज्ञात [समाकल](#thm-b1-integration-def) के लिए एक रैखिक समीकरण दे देता है — समाकलन के बदले उसे हल कीजिए; समतुल्य रूप से $\eu^{(a + \iu b)x}$ ([अध्याय 3](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/3-complex-numbers#ch-b1-complex)) से होकर जाइए और वास्तविक भाग लीजिए। दोनों रास्ते वही उत्तर देते हैं, और यह जाँच लेना कि वे देते हैं, एक मुफ़्त संगति-परीक्षण है।

## 15.4 रीमान योग

**प्रमेय 15.20 (रीमान योग).**

मान लीजिए $f$ $\intcc{a}{b}$ पर [संतत](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/13-limits-and-continuity#def-b1-continuity-continuous) है। तब

$$
S_n = \frac{b - a}{n} \sum_{k=0}^{n-1}
f\Bigl(a + k\,\frac{b-a}{n}\Bigr)
\xrightarrow[n \to \infty]{} \int_a^b f(t)\, \dd t ,
$$

और उपअंतरालों के भीतर किन्हीं भी मूल्यांकन-बिंदुओं के साथ भी वही।

**उपपत्ति.** $S_n$ उस [सोपान फलन](#def-b1-integration-step) $\varphi_n$ का [समाकल](#thm-b1-integration-def) है जो $k$-वें उपअंतराल पर $f(a +
k\frac{b-a}{n})$ के बराबर है। $\varepsilon > 0$ दिया हो, तो [एकसमान सांतत्य](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/13-limits-and-continuity#def-b1-continuity-uniform) (हाइने) $\delta$ देती है; और $n > \frac{b-a}{\delta}$ के लिए किसी भी उपअंतराल का हर बिंदु अपने मूल्यांकन-बिंदु के $\delta$ के भीतर है, अतः $\intcc{a}{b}$ पर $\abs{f - \varphi_n} \leq \varepsilon$, जिससे

$$
\Bigl| \int_a^b f - S_n \Bigr|
= \Bigl| \int_a^b (f - \varphi_n) \Bigr|
\leq (b-a)\,\varepsilon . \qedhere
$$

∎

![n = 8 आयतों वाला बायाँ रीमान योग: जाल के सिकुड़ने पर एकसमान सांतत्य सीढ़ी के क्षेत्रफल को ∈t_ab f की ओर धकेल देती है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-integration/fig-3ce085fec6e3.svg)

*$n = 8$ आयतों वाला बायाँ [रीमान योग](#thm-b1-integration-riemann): जाल के सिकुड़ने पर [एकसमान सांतत्य](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/13-limits-and-continuity#def-b1-continuity-uniform) सीढ़ी के क्षेत्रफल को $\int_a^b f$ की ओर धकेल देती है।*

**उदाहरण 15.21.**

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n + k} = \frac 1n \sum_{k=1}^{n}
\frac{1}{1 + k/n} \xrightarrow[n\to\infty]{} \int_0^1 \frac{\dd x}{1 + x} =
\ln 2$: यह ऐसी सीमा है जो प्रारंभिक परिबंधों को दिखाई नहीं देती, पर [रीमान योग](#thm-b1-integration-riemann) के रूप में पारदर्शी है।

**उदाहरण 15.22 (अंशांकन के साथ एक दूसरा रीमान योग).**

$\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{n}{(n+k)^2}$ खोजिए। अंशांकन कीजिए:

$$
\sum_{k=1}^{n} \frac{n}{(n+k)^2}
= \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \frac{n^2}{(n+k)^2}
= \frac1n \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\bigl(1 + \frac kn\bigr)^2} ,
$$

जो $\intcc{0}{1}$ पर [संतत](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/13-limits-and-continuity#def-b1-continuity-continuous) $f(x) = \frac{1}{(1+x)^2}$ का [रीमान योग](#thm-b1-integration-riemann) है: अतः सीमा है

$$
\int_0^1 \frac{\dd x}{(1 + x)^2}
= \Bigl[-\frac{1}{1+x}\Bigr]_0^1 = \frac12 .
$$

समापन का सार: पूरी कला बीच की पंक्ति में है — योज्य को ठीक एक गुणक $\frac1n$ निकालने की क़ीमत पर $f(\frac kn)$ के आकार में लाइए; आकार सही हो जाने पर विश्लेषण प्रमेय करती है और अंकगणित मूल प्रमेय।

**टिप्पणी 15.23 (समाकल आगे कहाँ काम करता है).**

इस अध्याय की हर रचना की एक कड़ी आगे है। [रीमान योग](#thm-b1-integration-riemann) [अध्याय 17](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/17-numerical-series#ch-b1-series) में श्रेणियों और समाकलों के बीच सेतु के रूप में लौटते हैं ($\sum
\frac{1}{n^\alpha}$ की $\int \frac{\dd t}{t^\alpha}$ से तुलना); [समाकल](#thm-b1-integration-def) शेषफल [अध्याय 16](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/16-taylor-formulas-and-asymptotic-expansions#ch-b1-taylor) में टेलर सूत्र का सबसे तीक्ष्ण रूप है; और $\sup$-आधारित परिभाषा स्नातक वर्ष 3 के खंड के लेबेग [समाकल](#thm-b1-integration-def) का आदिरूप है, जहाँ वही तीन गुणधर्म (रैखिकता, एकदिष्टता, एक अभिसरण प्रमेय) फलनों के कहीं बड़े वर्ग पर फिर खड़े किए जाते हैं। और नीचे दी गई सप्ताहांत समस्या [खंडशः समाकलन](#thm-b1-integration-parts) को अंकगणित में बदल देती है: $\pi^2$ की अपरिमेयता।

## 15.5 अभ्यास

**अभ्यास 15.1 ★.**

संगणना कीजिए: $\displaystyle\int_0^1 \frac{\dd x}{x^2 - 4}$ *(आंशिक भिन्नें, [अध्याय 9](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/9-rational-fractions#ch-b1-fractions))*; $\displaystyle\int_1^{\eu} \ln t \,\dd
t$; $\displaystyle\int_0^{\pi} t \sin t\, \dd t$।

**हल — अभ्यास 15.1.**

$\dfrac{1}{x^2-4} = \dfrac{1/4}{x - 2} - \dfrac{1/4}{x+2}$ (आवरण विधि), अतः

$$
\int_0^1 \frac{\dd x}{x^2 - 4}
= \frac14\Bigl[\ln\abs{x-2} - \ln\abs{x+2}\Bigr]_0^1
= \frac14\Bigl(\ln\frac{1}{3} - \ln 1\Bigr) = -\frac{\ln 3}{4}.
$$

खंडशः ($u' = 1$, $v = \ln t$): $\int_1^{\eu} \ln t\,\dd t = \bigl[t\ln
t\bigr]_1^{\eu} - \int_1^{\eu} \dd t = \eu - (\eu - 1) = 1$।

खंडशः ($u' = \sin t$, $v = t$): $\int_0^\pi t\sin t\,\dd t = \bigl[-t\cos
t\bigr]_0^\pi + \int_0^\pi \cos t\,\dd t = \pi + 0 = \pi$।

**अभ्यास 15.2 ★.**

$\displaystyle\int_0^{1} \frac{t}{(t^2+1)^2}\,\dd t$ (प्रतिस्थापन) और $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos^3 t\, \dd t$ ($\cos^3 = \cos(1 - \sin^2)$ लिखिए) संगणित कीजिए।

**हल — अभ्यास 15.2.**

प्रतिस्थापन $u = t^2 + 1$, $\dd u = 2t\,\dd t$:

$$
\int_0^1 \frac{t\,\dd t}{(t^2+1)^2}
= \frac12 \int_1^2 \frac{\dd u}{u^2}
= \frac12\Bigl[-\frac1u\Bigr]_1^2 = \frac14 .
$$

$u = \sin t$ के साथ: $\int_0^{\pi/2} \cos^3 t\,\dd t = \int_0^{\pi/2} (1 -
\sin^2 t)\cos t\,\dd t = \bigl[\sin t - \frac{\sin^3 t}{3}\bigr]_0^{\pi/2} =
1 - \frac13 = \frac23$।

**अभ्यास 15.3 ★.**

[रीमान योग](#thm-b1-integration-riemann) के रूप में सीमाएँ खोजिए:

$$
u_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^2 + k^2},
\qquad
v_n = \frac{1}{n}\sqrt[n]{\frac{(2n)!}{n!\,n^n}}
\ \emph{(take logarithms)}.
$$

**हल — अभ्यास 15.3.**

$u_n = \dfrac1n \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{1 + (k/n)^2}$: यह $\intcc{0}{1}$ पर $x \mapsto \frac{1}{1+x^2}$ का [रीमान योग](#thm-b1-integration-riemann) है, अतः $u_n \to \int_0^1 \frac{\dd
x}{1+x^2} = \arctan 1 = \dfrac\pi4$।

$\ln v_n = \dfrac1n \sum_{k=1}^{n} \ln\dfrac{n+k}{n} = \dfrac 1n
\sum_{k=1}^n \ln\Bigl(1 + \dfrac kn\Bigr) \to \int_0^1 \ln(1+x)\,\dd x =
\bigl[(1+x)\ln(1+x) - x\bigr]_0^1 = 2\ln 2 - 1$। अतः $v_n \to \eu^{2\ln 2 -
1} = \dfrac 4\eu$। (पहचान की जाँच: $\frac{(2n)!}{n!\,n^n} = \prod_{k=1}^{n}
\frac{n+k}{n}$।)

**अभ्यास 15.4 ★.**

मान लीजिए $f$ $\intcc{0}{1}$ पर [संतत](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/13-limits-and-continuity#def-b1-continuity-continuous) है। $\lim_{n\to\infty} \int_0^1 x^n
f(x)\,\dd x$ संगणित कीजिए। *($1 - \delta$ पर $\intcc{0}{1}$ काटिए।)*

**हल — अभ्यास 15.4.**

सीमा $0$ है। मान लीजिए $M = \sup \abs f$ और $\varepsilon \in \intoo{0}{1}$। $1 - \varepsilon$ पर काटिए:

$$
\Bigl| \int_0^1 x^n f \Bigr|
\leq \int_0^{1 - \varepsilon} x^n \abs f + \int_{1-\varepsilon}^1
x^n \abs f
\leq M\,(1-\varepsilon)^n + M\varepsilon .
$$

चूँकि $(1 - \varepsilon)^n \to 0$ ([अभ्यास 11.3](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/11-sequences#exo-b1-seq-3)), बाएँ पक्ष का [उच्चतम](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#def-b1-reals-bounds) सीमांत प्रत्येक $\varepsilon$ के लिए $\leq M\varepsilon$ है: अतः [समाकल](#thm-b1-integration-def) $0$ की ओर जाता है।

**अभ्यास 15.5 ★★.**

(कोशी–श्वार्ज़) $\intcc{a}{b}$ पर [संतत](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/13-limits-and-continuity#def-b1-continuity-continuous) $f, g$ के लिए सिद्ध कीजिए

$$
\Bigl(\int_a^b fg\Bigr)^{\!2} \leq \int_a^b f^2 \cdot \int_a^b g^2 ,
$$

इसके लिए $\int_a^b (f + \lambda g)^2 \geq 0$ को $\lambda$ में द्विघात के रूप में प्रसारित कीजिए। समता कब होती है?

**हल — अभ्यास 15.5.**

सभी $\lambda$ के लिए $Q(\lambda) = \int_a^b (f + \lambda g)^2 = \int f^2 +
2\lambda \int fg + \lambda^2 \int g^2 \geq 0$। यदि $\int g^2 = 0$, तो $g =
0$ (कठोर धनात्मकता, [प्रमेय 15.7](#thm-b1-integration-props) (4)) और असमिका $0 \leq
0$ है। अन्यथा $Q$ सच्चा द्विघात है, जो सर्वत्र $\geq 0$ है: अतः उसका विविक्तकर $\leq 0$ है, अर्थात् $\bigl(\int fg\bigr)^2 \leq \int f^2 \int
g^2$।

समता तभी जब विविक्तकर लुप्त हो, अर्थात् तभी जब किसी $\lambda_0$ के लिए $Q(\lambda_0) = 0$, अर्थात् $\int (f + \lambda_0 g)^2 = 0$, अर्थात् (फिर कठोर धनात्मकता से) $f = -\lambda_0 g$: अतः समता ठीक तब है जब $f$ और $g$ अनुपाती हों।

**अभ्यास 15.6 ★★.**

मान लीजिए $f$ $\R$ पर [संतत](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/13-limits-and-continuity#def-b1-continuity-continuous) और $T$-आवर्ती है। सिद्ध कीजिए कि $\int_a^{a+T} f$ $a$ पर निर्भर नहीं करता, और यह कि $x \to +\infty$ होने पर $\frac1x \int_0^x
f(t)\,\dd t \to \frac 1T \int_0^T f$।

**हल — अभ्यास 15.6.**

मान लीजिए $\Phi(a) = \int_a^{a+T} f$। मूल प्रमेय ([प्रमेय 15.9](#thm-b1-integration-ftc)) से $\Phi$ [अवकलनीय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/14-differentiation#def-b1-derivative-def) है और $\Phi'(a) = f(a + T)
- f(a) = 0$: अतः अचर।

$x > 0$ के लिए $x = nT + r$, $0 \leq r < T$ ($n = \lfloor x/T \rfloor$) लिखिए। शाल:

$$
\int_0^x f = n \int_0^T f + \int_{nT}^{nT + r} f,
\qquad
\Bigl| \int_{nT}^{nT+r} f \Bigr| \leq T \sup_{\intcc{0}{T}} \abs f
= C .
$$

फिर $\frac 1x \int_0^x f = \frac{nT}{x}\cdot\frac 1T \int_0^T f +
O\bigl(\frac 1x\bigr)$, और $\frac{nT}{x} \to 1$: अतः सीमा $\frac1T \int_0^T
f$ है।

**अभ्यास 15.7 ★★.**

$\intcc{0}{1}$ पर [संतत](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/13-limits-and-continuity#def-b1-continuity-continuous) $f$ के लिए, जहाँ $\int_0^1 f = \frac12$, सिद्ध कीजिए कि $f$ का $\intcc{0}{1}$ में कोई अचल बिंदु है। *($f(x) - x$ का समाकलन कीजिए और कठोर धनात्मकता ([प्रमेय 15.7](#thm-b1-integration-props) (4)) का उसके प्रतिधनात्मक रूप में, मध्यवर्ती मान प्रमेय के साथ मिलाकर, प्रयोग कीजिए।)*

**हल — अभ्यास 15.7.**

मान लीजिए $g(x) = f(x) - x$: यह [संतत](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/13-limits-and-continuity#def-b1-continuity-continuous) है, और

$$
\int_0^1 g = \int_0^1 f - \frac12 = 0 .
$$

यदि $g$ कभी लुप्त न होता, तो मध्यवर्ती मान प्रमेय उसे एक ही चिह्न पर बाध्य कर देती (किसी [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) पर दोनों चिह्न लेने वाला [संतत](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/13-limits-and-continuity#def-b1-continuity-continuous) फलन लुप्त होता है); मान लीजिए $g > 0$। तब कठोर धनात्मकता ([प्रमेय 15.7](#thm-b1-integration-props) (4), $g >
0$ पर लगाकर, $\int g > 0$ देती है): $\int g = 0$ से विरोधाभास। अतः किसी $c$ के लिए $g(c) = 0$: $f(c) = c$।

**अभ्यास 15.8 ★★★.**

(वालिस [समाकल](#thm-b1-integration-def)) मान लीजिए $W_n = \int_0^{\pi/2} \sin^n t\,\dd t$।

1. [खंडशः समाकलन](#thm-b1-integration-parts) से पुनरावृत्ति $n W_n = (n-1) W_{n-2}$ ( $n \geq 2$ ) सिद्ध कीजिए, और $W_0, W_1$ , फिर $W_{2p}$ तथा $W_{2p+1}$ संवृत रूप में संगणित कीजिए।
2. सिद्ध कीजिए कि $(W_n)$ ह्रासमान है और $\frac{W_{n+1}}{W_n} \to 1$ ; सिद्ध कीजिए कि राशि $(n+1)\,W_{n+1} W_n$ अचर और $\frac\pi2$ के बराबर है; और उससे तुल्यता $W_n \sim \sqrt{\dfrac{\pi}{2n}}$ निकालिए।

**हल — अभ्यास 15.8.**

1. $u' = \sin t$, $v = \sin^{n-1} t$ के साथ खंडशः: $$W_n = \bigl[-\cos t\sin^{n-1}t\bigr]_0^{\pi/2}  + (n-1)\int_0^{\pi/2} \cos^2 t\,\sin^{n-2} t\,\dd t  = (n-1)(W_{n-2} - W_n),$$ अतः $nW_n = (n-1)W_{n-2}$। $W_0 = \frac\pi2$, $W_1 = 1$ से: $$W_{2p} = \frac{(2p-1)(2p-3)\cdots 1}{(2p)(2p-2)\cdots 2}\,  \frac{\pi}{2} = \frac{(2p)!}{4^p (p!)^2}\,\frac\pi2,  \qquad  W_{2p+1} = \frac{(2p)(2p-2)\cdots 2}{(2p+1)(2p-1)\cdots 3}  = \frac{4^p (p!)^2}{(2p+1)!} .$$
2. $\intoo{0}{\frac\pi2}$ पर $0 < \sin t < 1$, अतः $\sin^{n+1} <  \sin^n$ और $(W_n)$ (कठोरतः) ह्रासमान और धनात्मक है। पुनरावृत्ति के साथ घेरने पर: $$\frac{n}{n+1} = \frac{W_{n+1}}{W_{n-1}}  \leq \frac{W_{n+1}}{W_n} \leq 1  \quad\implies\quad \frac{W_{n+1}}{W_n} \to 1 .$$ अपरिवर्त्य: पुनरावृत्ति $(n+1)W_{n+1} = nW_{n-1}$ से $a_n =  (n+1)W_{n+1}W_n$ $a_n = a_{n-1}$ संतुष्ट करता है, अतः $a_n = a_0 = 1  \cdot W_1 W_0 = \frac\pi2$। फिर $$n W_n^2 \sim (n+1) W_{n+1} W_n = \frac\pi2  \quad\implies\quad  W_n \sim \sqrt{\frac{\pi}{2n}} .$$

**अभ्यास 15.9 ★★★.**

(नाइवन: $\pi$ अपरिमेय है) मान लीजिए $a, b \in \N^*$ के साथ $\pi = \frac ab$, और चुने जाने वाले $n$ के लिए रखिए

$$
P(x) = \frac{x^n (a - bx)^n}{n!},
\qquad
I_n = \int_0^{\pi} P(x)\sin x\, \dd x .
$$

1. सिद्ध कीजिए कि $0 < I_n \leq \pi\,\frac{(\pi a)^n}{n!}$ , जो बड़े $n$ के लिए $< 1$ है।
2. सिद्ध कीजिए कि $P$ और उसके सभी [अवकलज](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/14-differentiation#def-b1-derivative-def) $0$ तथा $\pi = \frac ab$ पर *पूर्णांक* मान लेते हैं। *(द्विपद प्रसार: $k!$ गुना $P$ के गुणांक $k \geq n$ के लिए पूर्णांक हैं; और $P(\pi - x) = P(x)$।)*
3. $Q = P - P'' + P^{(4)} - \dots$ (एक परिमित योग) रखिए। जाँचिए कि $\bigl(Q'\sin x - Q\cos x\bigr)' = P \sin x$ , और उससे निकालिए कि $I_n =  Q(\pi) + Q(0)$ पूर्णांक है।
4. निष्कर्ष निकालिए।

**हल — अभ्यास 15.9.**

1. $\intoo{0}{\pi}$ पर: $x > 0$ , $a - bx = b(\frac ab - x) = b(\pi - x)  > 0$ और $\sin x > 0$ , अतः समाकल्य $> 0$ है और $I_n > 0$ (कठोर धनात्मकता)। परिबंध: $\intcc{0}{\pi}$ पर $x \leq \pi$ और $a - bx \leq a$ , अतः $P \leq  \frac{\pi^n a^n}{n!}$ और $I_n \leq \pi\,\frac{(\pi a)^n}{n!}$ , जो $0$ की ओर जाता है (क्रमगुणित गुणोत्तर पद को हरा देता है: वह अभिसारी चरघातांकी श्रेणी का व्यापक पद है, [उदाहरण 11.12](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/11-sequences#ex-b1-seq-e) देखिए); विशेष रूप से बड़े $n$ के लिए $I_n < 1$ ।
2. $x^n(a - bx)^n = \sum_{j=0}^{n} \binom nj a^{n-j} (-b)^j x^{n+j}$ का प्रसार कीजिए: अतः पूर्णांक $c_j$ के साथ $P = \frac{1}{n!}\sum_j c_j  x^{n+j}$ । तब $k < n$ के लिए $P^{(k)}(0) = 0$ (मूल्यांकन) और $n \leq k \leq  2n$ के लिए $P^{(k)}(0) = \frac{k!}{n!} c_{k-n}$ , जो पूर्णांक है क्योंकि $n! \mid k!$ । इसके अतिरिक्त $P(\pi - x) = P(x)$ (प्रतिस्थापित कीजिए: $a -  b(\pi - x) = bx$ का प्रयोग करते हुए $\pi - x$ गुणकों की अदला-बदली कर देता है), अतः $P^{(k)}(\pi) = \pm P^{(k)}(0)$ : ये भी पूर्णांक हैं।
3. $Q = P - P'' + P^{(4)} - \dots$ (परिमित: $P$ की घात $2n$ है) के साथ: $Q + Q'' = P$, और $$\bigl(Q'\sin x - Q\cos x\bigr)' = (Q + Q'')\sin x = P\sin x .$$ अतः $I_n = \bigl[Q'\sin x - Q\cos x\bigr]_0^{\pi} = Q(\pi) + Q(0)$, जो $0$ और $\pi$ पर $P^{(2k)}$ के मानों का योग है: (2) से पूर्णांक।
4. बड़े $n$ के लिए $I_n$ ऐसा पूर्णांक है कि $0 < I_n < 1$ : असंभव। अतः धारणा $\pi = \frac ab$ विफल हो जाती है: $\pi$ अपरिमेय है।

**अभ्यास 15.10 ★★★.**

मान लीजिए $f$ $\intcc{a}{b}$ पर $C^1$ है। [खंडशः समाकलन](#thm-b1-integration-parts) से रीमान–लेबेग प्रकार की सीमा सिद्ध कीजिए

$$
\int_a^b f(t)\sin(\lambda t)\,\dd t \xrightarrow[\lambda \to
+\infty]{} 0
$$

फिर उसे केवल [संतत](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/13-limits-and-continuity#def-b1-continuity-continuous) $f$ के लिए भी सिद्ध कीजिए, सोपान फलनों से एकसमान सन्निकटन के द्वारा ([प्रमेय 15.3](#thm-b1-integration-approx))।

**हल — अभ्यास 15.10.**

$C^1$ की स्थिति: खंडशः,

$$
\int_a^b f(t)\sin\lambda t\,\dd t
= \Bigl[-f(t)\frac{\cos\lambda t}{\lambda}\Bigr]_a^b
+ \frac{1}{\lambda}\int_a^b f'(t)\cos\lambda t\,\dd t,
$$

जिसका निरपेक्ष मान $\frac{2\sup\abs f + (b - a)\sup\abs{f'}} {\lambda} \to
0$ से परिबद्ध है।

[संतत](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/13-limits-and-continuity#def-b1-continuity-continuous) स्थिति: मान लीजिए $\varepsilon > 0$ और ऐसा [सोपान फलन](#def-b1-integration-step) $\varphi$ चुनिए कि $\abs{f - \varphi} \leq \varepsilon$ ([प्रमेय 15.3](#thm-b1-integration-approx) $\leq\varepsilon$ [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) के साथ $\varphi \leq f \leq \psi$ देता है; $\varphi$ लीजिए)। तब

$$
\Bigl|\int_a^b f\sin\lambda t\Bigr|
\leq \int_a^b \abs{f - \varphi}
+ \Bigl|\int_a^b \varphi \sin\lambda t\Bigr|
\leq (b-a)\varepsilon
+ \sum_i \abs{c_i}\,\Bigl|\int_{x_{i-1}}^{x_i} \sin\lambda t\,\dd
t\Bigr| ,
$$

और प्रत्येक $\bigl|\int \sin \lambda t\bigr| = \bigl|\frac{\cos\lambda
x_{i-1} - \cos\lambda x_i}{\lambda}\bigr| \leq \frac{2}{\lambda}$: दूसरा पद $0$ की ओर जाता है। अतः [उच्चतम](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#def-b1-reals-bounds) सीमांत प्रत्येक $\varepsilon$ के लिए $\leq
(b-a)\varepsilon$ है: इसलिए सीमा $0$ है।

**अभ्यास 15.11 ★★.**

(समाकलों के लिए माध्य मान प्रमेय) मान लीजिए $f, g$ $\intcc{a}{b}$ पर [संतत](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/13-limits-and-continuity#def-b1-continuity-continuous) है और $g \geq 0$। सिद्ध कीजिए कि ऐसा $c \in \intcc{a}{b}$ विद्यमान है कि

$$
\int_a^b f(t)\,g(t)\,\dd t = f(c)\int_a^b g(t)\,\dd t ,
$$

और उदाहरण से दिखाइए कि परिकल्पना $g \geq 0$ छोड़ी नहीं जा सकती।

**हल — अभ्यास 15.11.**

मान लीजिए $m = \min f$ और $M = \max f$, जो चरम मान प्रमेय से प्राप्त होते हैं। चूँकि $g \geq 0$: $m\,g \leq fg \leq M\,g$, अतः एकदिष्टता से

$$
m \int_a^b g \;\leq\; \int_a^b fg \;\leq\; M \int_a^b g .
$$

यदि $\int_a^b g = 0$: कठोर धनात्मकता ([प्रमेय 15.7](#thm-b1-integration-props) (4)) $g \equiv 0$ पर बाध्य कर देती है, दोनों पक्ष लुप्त हो जाते हैं, और कोई भी $c$ काम करता है। अन्यथा $t = \frac{\int fg}{\int g}$ $\intcc{m}{M} =
f(\intcc{a}{b})$ में है (प्रमेय [13.13](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/13-limits-and-continuity#thm-b1-continuity-evt) और [13.10](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/13-limits-and-continuity#thm-b1-continuity-ivt)), अतः किसी $c$ के लिए $t
= f(c)$।

चिह्न महत्त्व रखता है: $f(t) = g(t) = t$ वाले $\intcc{-1}{1}$ पर $\int fg =
\int_{-1}^1 t^2 = \frac23$, जबकि प्रत्येक $c$ के लिए $f(c)\int_{-1}^1 t\,\dd
t = 0$।

**अभ्यास 15.12 ★★★.**

(आघूर्ण शून्यों पर बाध्य करते हैं) मान लीजिए $f$ $\intcc{a}{b}$ पर [संतत](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/13-limits-and-continuity#def-b1-continuity-continuous) है और

$$
\int_a^b f(t)\,t^k\,\dd t = 0 \qquad \text{के लिए } k = 0, 1,
\dots, n .
$$

सिद्ध कीजिए कि $f$ $\intoo{a}{b}$ के $n + 1$ भिन्न बिंदुओं पर लुप्त होता है। *(यदि $f$ केवल $z_1 < \dots < z_m$ पर चिह्न बदलता हो, जहाँ $m \leq n$, तो $f$ का $P(t) = (t - z_1) \cdots (t - z_m)$ के सामने समाकलन कीजिए और कठोर धनात्मकता का प्रयोग कीजिए।)*

**हल — अभ्यास 15.12.**

यदि $f \equiv 0$, तो दावा रिक्तार्थ है (हर बिंदु शून्य है)। अतः $f
\not\equiv 0$ मान लीजिए और मान लीजिए $\intoo{a}{b}$ में उसके अधिक से अधिक $n$ भिन्न शून्य हैं; मान लीजिए $z_1 < \dots < z_m$ ($m \leq n$) वे शून्य हैं जहाँ $f$ *चिह्न बदलता है* (संभवतः कोई भी नहीं)। घात $m \leq n$ का $P(t)
= \prod_{i=1}^{m}(t - z_i)$ रखिए (रिक्त गुणनफल $= 1$)। $z_i$ से कटे प्रत्येक उपअंतराल पर $f$ और $P$ दोनों का चिह्न अचर है, और किसी $z_i$ को पार करते समय दोनों चिह्न पलट देते हैं: अतः गुणनफल $fP$ का पूरे $\intoo{a}{b}$ पर एक ही अचर चिह्न है। [संतत](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/13-limits-and-continuity#def-b1-continuity-continuous) होने से, तत्समक रूप से शून्य न होने से और अचर चिह्न होने से $\bigl|\int_a^b fP\bigr| > 0$ ($\abs{fP}$ पर कठोर धनात्मकता)। पर $\int f
P$ आघूर्णों $\int f\,t^k$, $k \leq n$ का रैखिक संयोजन है, और वे सब शून्य हैं: विरोधाभास। अतः $f$ के $\intoo{a}{b}$ में कम से कम $n + 1$ भिन्न शून्य हैं।

**टिप्पणी 15.24 (इस खंड के भीतर आगे की दृष्टि).**

आगे के तीन अध्याय सीधे इसी पर टिके हैं। [अध्याय 16](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/16-taylor-formulas-and-asymptotic-expansions#ch-b1-taylor) [समाकल](#thm-b1-integration-def) शेषफल ढोता है — तीनों टेलर सूत्रों में सबसे तीक्ष्ण $n$ बार दोहराया गया [खंडशः समाकलन](#thm-b1-integration-parts) ही है। [अध्याय 17](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/17-numerical-series#ch-b1-series) योगों के समाकलों से घेराव को $\sum n^{-\alpha}$ की निर्णायक कसौटी में बदल देता है, और उसकी सप्ताहांत समस्या उसी घेराव को परिष्कृत करके ऑयलर का अचर निकाल लेती है। [अध्याय 24](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/24-plane-curves#ch-b1-curves) [समाकल](#thm-b1-integration-def) को ज्यामितीय बना देता है: किसी प्राचलित चाप की लंबाई $\int \sqrt{x'(t)^2 +
y'(t)^2}\,\dd t$ है, जो किसी खंड पर [संतत](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/13-limits-and-continuity#def-b1-continuity-continuous) फलन का [समाकल](#thm-b1-integration-def) है — ठीक वही वस्तु जो यहाँ बनी है, और उसके लिए किसी अनुचित सिद्धांत की आवश्यकता नहीं। सबसे अधिक पुनःप्रयुक्त तथ्य सबसे विनम्र होगा: $\bigl|\int f\bigr| \leq (b -
a)\sup\abs{f}$, अर्थात् वह असमिका जो हर बिंदुवार आकलन को समाकल-आकलन में बदल देती है।

## 15.6 समस्या: समाकल की अपरिमेयता-मशीन

**समस्या 15.1.**

सप्ताहांत समस्या — $\eu$ और $\pi^2$ अपरिमेय हैं, $\eu$ छह दशमलव तक, और $\frac{22}{7} > \pi$ उपपत्ति सहित

इस पूरी समस्या को एक ही क्रियाविधि चलाती है: *ऐसा व्यंजक जिसे धनात्मक पूर्णांक होना ही चाहिए, फिर भी जो सिद्ध रूप से $1$ से छोटा है, विद्यमान नहीं हो सकता*। [अभ्यास 15.9](#exo-b1-integration-9) (नाइवन) ने उसे एक बार चलाकर $\pi
\notin \Q$ सिद्ध किया था; यहाँ हम उसका औद्योगीकरण करते हैं। मशीन को तीन भाग चाहिए: एक *पूर्णांकता* निवेश (सुचयनित बहुपदों के सिरों पर मान), एक *लघुता* निवेश ([समाकल](#thm-b1-integration-def) को कुचल देने वाला गुणक $\frac{1}{n!}$), और एक *सेतु* ([खंडशः समाकलन](#thm-b1-integration-parts)) जो दोनों को जोड़े। हम सिद्ध करते हैं कि $\eu$ अपरिमेय है और उसे प्रमाणित त्रुटि के साथ संगणित करते हैं, लजांद्र की तीक्ष्णतर प्रमेय सिद्ध करते हैं कि $\pi^2$ अपरिमेय है, और विश्लेषण के सबसे मनोहर [समाकल](#thm-b1-integration-def) पर समाप्त होते हैं: $\int_0^1 \frac{x^4(1 - x)^4}{1 + x^2}\dd x
= \frac{22}{7} - \pi$, जो $\pi$ का हाथ से घेराव कर देता है।

**भाग I — ईंधन।**

1. सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक नियत $c > 0$ के लिए $\dfrac{c^{\,n}}{n!} \to  0$ *($n \geq 2c$ के आगे हर पद कम से कम आधा हो जाता है)* ।
2. (बीटा [समाकल](#thm-b1-integration-def)) $m$ पर आगमन और [खंडशः समाकलन](#thm-b1-integration-parts) से सिद्ध कीजिए: $$\int_0^1 x^{\,k}\,(1 - x)^{\,m}\,\dd x =  \frac{k!\,m!}{(k + m + 1)!}  \qquad (k, m \in \N).$$
3. $\displaystyle\int_0^1 \bigl(x(1-x)\bigr)^n \dd x =  \frac{1}{(2n+1)\binom{2n}{n}}$ निकालिए, और — परिबंध $x(1 - x) \leq  \frac14$ से तुलना करके — आकलन $\binom{2n}{n} \geq \dfrac{4^n}{2n+1}$ , जो [समस्या 11.1](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/11-sequences#pb-b1-seq-1) के $\binom{2n}{n}^{1/n} \to 4$ से मेल खाता है।
4. नीचे दो बार प्रयुक्त होने वाली लघुता-प्रमेयिका सिद्ध कीजिए: $\intoo{0}{1}$ पर प्रत्येक [संतत](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/13-limits-and-continuity#def-b1-continuity-continuous) $g > 0$ के लिए, $$0 < \int_0^1 \bigl(x(1-x)\bigr)^n g(x)\,\dd x  \leq \frac{\sup_{\intcc{0}{1}}\abs g}{4^{\,n}} .$$

**भाग II — $\eu$: अपरिमेयता, फिर छह दशमलव।** $A_n =
\displaystyle\int_0^1 x^n \eu^x \dd x$ रखिए।

5. $A_0$ और $A_1$ संगणित कीजिए, पुनरावृत्ति $A_n = \eu - n A_{n-1}$ सिद्ध कीजिए, और परिबंध $0 < A_n \leq \dfrac{\eu}{n+1}$ भी।
6. आगमन से दिखाइए कि $\alpha_n, \beta_n \in \Z$ के साथ $A_n = \alpha_n  + \beta_n \eu$ ।
7. उससे निकालिए कि $\eu$ अपरिमेय है *(यदि $\eu = \frac pq$, तो बड़े $n$ के लिए $q A_n$ $\intoo{0}{1}$ में फँसा हुआ पूर्णांक है)* । [अभ्यास 11.9](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/11-sequences#exo-b1-seq-9) की उपपत्ति से तुलना कीजिए: वही चरम बिंदु, भिन्न ईंधन।
8. आगमन और [खंडशः समाकलन](#thm-b1-integration-parts) से यथार्थ शेषफल-सूत्र सिद्ध कीजिए $$\eu = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} + R_n,  \qquad  R_n = \frac{1}{n!}\int_0^1 (1 - t)^n\,\eu^{\,t}\,\dd t,  \qquad  \frac{1}{(n+1)!} \leq R_n \leq \frac{\eu}{(n+1)!} .$$
9. $n = 9$ लीजिए: [उदाहरण 11.12](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/11-sequences#ex-b1-seq-e) में $b_2 = 2.75$ से मिले $\eu <  2.75$ का प्रयोग करके $R_9$ को परिबद्ध कीजिए, योग का मान निकालिए, और प्रमाणित घेराव $2.7182818 \leq \eu \leq 2.7182823$ पर पहुँचिए — अर्थात् छह दशमलव, $\eu \approx 2.718282$ , उपपत्ति सहित।

**भाग III — लजांद्र की प्रमेय: $\pi^2$ अपरिमेय है।** मान लीजिए $f(x) = \dfrac{x^n (1 - x)^n}{n!}$, और मान लीजिए $a, b \in
\N^*$ के साथ $\pi^2 = \frac ab$।

10. दिखाइए $f(1 - x) = f(x)$ और $\intoo{0}{1}$ पर $0 < f \leq  \dfrac{1}{4^n\,n!}$ ।
11. दिखाइए कि प्रत्येक $k \geq 0$ के लिए $f^{(k)}(0)$ और $f^{(k)}(1)$ पूर्णांक हैं *($x^n(1-x)^n$ का पूर्णांक गुणांकों के साथ प्रसार कीजिए; $k \geq n$ के लिए $\frac{k!}{n!} \in \Z$; फिर सममिति का प्रयोग कीजिए)* ।
12. परिभाषित कीजिए $$G = b^{\,n} \sum_{k=0}^{n} (-1)^k\,  \pi^{2n - 2k} f^{(2k)} .$$ दिखाइए कि $G(0)$ और $G(1)$ पूर्णांक हैं *(प्रत्येक $b^n  \pi^{2n-2k} = a^{\,n-k}\,b^{\,k}$)*।
13. दूरबीनी $G'' + \pi^2 G = b^n \pi^{2n+2} f = \pi^2 a^n f$ सत्यापित कीजिए, फिर $$\frac{\dd}{\dd x}\Bigl(G'(x)\sin \pi x - \pi\,G(x)\cos  \pi x\Bigr) = \pi^2 a^n f(x)\sin \pi x .$$
14. $\intcc{0}{1}$ पर समाकलन कीजिए और निष्कर्ष निकालिए $$\pi\,a^n \int_0^1 f(x)\sin(\pi x)\,\dd x = G(0) + G(1)  \in \Z ,$$ अर्थात् $\dfrac{\pi a^n}{4^n\,n!}$ से परिबद्ध एक *धनात्मक* पूर्णांक।
15. प्रश्न 1 के साथ निष्कर्ष निकालिए कि $\pi^2$ अपरिमेय है (लजांद्र, 1794), और यह कि इससे [अभ्यास 15.9](#exo-b1-integration-9) प्रबल हो जाता है: $\pi^2$ की अपरिमेयता से $\pi$ की अपरिमेयता क्यों आती है, और विलोम क्यों नहीं?

**भाग IV — मशीन को समझना।**

16. भाग II और III में दोनों विरोधी बल (सिरों के आँकड़ों की पूर्णांकता; [समाकल](#thm-b1-integration-def) की विश्लेषणात्मक लघुता) और सेतु ढूँढ़िए। फिर समझाइए कि $f$ में गुणक $\frac{1}{n!}$ ही मर्म क्यों है: यदि उसे हटा दिया जाए तो पूर्णांकता बची रहती है, पर कौन-सी असमिका मर जाती है, और किन दावा की गई भिन्नों $\frac ab$ के लिए तब उपपत्ति विफल हो जाती है?
17. प्रभाविता: मान लीजिए कोई $a \leq 10$ के साथ $\pi^2 = \frac ab$ का दावा करता है। दिखाइए कि विरोधाभास $n = 7$ पर ही आ गिरता है: $\pi\,(10/4)^7/7! \approx 0.38 < 1$ संगणित कीजिए। यह मशीन केवल खंडन नहीं करती; वह एक नियत, संगणनीय चरण पर खंडन करती है।
18. सेतु की बिना शर्त संगति-जाँच कीजिए: दो बार [खंडशः समाकलन](#thm-b1-integration-parts) से सिद्ध कीजिए कि $$\int_0^1 x(1 - x)\sin(\pi x)\,\dd x = \frac{4}{\pi^3},$$ और $n = 1$ पर प्रश्न 14 के साथ मेल बैठाइए ($\pi^2$ को सांकेतिक रखिए: दूरबीनी सर्वसमिका $\pi^3 \int_0^1 f_1 \sin \pi x = -(f_1''(0) +  f_1''(1)) = 4$ कहती है)।
19. $\eu^x$ और $\sin \pi x$ को इस मशीन के अष्टक बनने योग्य क्या बनाता है? वह गुणधर्म पहचानिए (हर एक अचर गुणांकों वाले किसी रैखिक अवकल समीकरण को संतुष्ट करता है, अतः बार-बार [खंडशः समाकलन](#thm-b1-integration-parts) आरंभ पर लौट आता है), और सीमांत बताइए: वही मशीन, एरमीट और लिंडेमान द्वारा परिष्कृत होकर, $\eu$ और $\pi$ को *अबीजीय* सिद्ध कर देती है — जो इस खंड से परे है।

**भाग V — $\frac{22}{7}$ बनाम $\pi$, और उपदेश।**

20. [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) भाग स्थापित कीजिए $$\frac{x^4(1-x)^4}{1 + x^2}  = x^6 - 4x^5 + 5x^4 - 4x^2 + 4 - \frac{4}{1 + x^2},$$ और चिरपरिचित सर्वसमिका निकालिए $$\int_0^1 \frac{x^4 (1-x)^4}{1 + x^2}\,\dd x  = \frac{22}{7} - \pi .$$
21. समाकल्य धनात्मक है: निष्कर्ष निकालिए $\pi < \frac{22}{7}$। फिर $\frac{1}{1+x^2}$ को $\frac12$ और $1$ के बीच परिबद्ध करके तथा $\int_0^1  (x(1-x))^4 = \frac{1}{630}$ (प्रश्न 3) का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए $$\frac{22}{7} - \frac{1}{630} \;\leq\; \pi \;\leq\;  \frac{22}{7} - \frac{1}{1260} ,$$ अर्थात् $3.14126 \leq \pi \leq 3.14207$: हाथ से दो सही दशमलव।
22. सामान्यीकृत कीजिए: $x^{4m}(1-x)^{4m}$ को $1 + x^2$ से भाग देकर दिखाइए कि शेषफल अचर $(-4)^m$ है *($x^2 + 1$ के सापेक्ष काम कीजिए: $(1-x)^2 \equiv -2x$)*, और ऐसी परिमेय संख्याएँ $r_m$ निकालिए कि $$\abs{\pi - r_m} \leq 4^{\,1 - 5m} ,$$ और जाँचिए कि $m = 1$ प्रश्न 20–21 को फिर दे देता है।
23. इन परिमेय संख्याओं का [समस्या 14.1](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/14-differentiation#pb-b1-derivative-1) के सन्निकटन-सिद्धांत से सामना कराइए: डिरिक्ले की गारंटी $\frac{1}{49}$ के सामने $\abs{\pi -  \frac{22}{7}} \approx 1.26\cdot10^{-3}$ संगणित कीजिए, और $\frac{1}{113^2}  \approx 7.8\cdot10^{-5}$ के सामने $\abs{\pi - \frac{355}{113}} \approx  2.7\cdot10^{-7}$ उद्धृत कीजिए: $\pi$ के लिए असाधारण रूप से अच्छे परिमेय सन्निकटन विद्यमान हैं — जो संगत है, क्योंकि $\pi$ के बुरी तरह सन्निकटनीय होने का कोई प्रमाण नहीं है।
24. (पूर्णांक-जाल, अमूर्त रूप में) वह प्रमेयिका सिद्ध कीजिए जो सब कुछ एक सूत्र में बाँध देती है: *यदि $x \in \R$ और ऐसे पूर्णांक $a_n, b_n$ हैं कि $0 < \abs{a_n + b_n x} \to 0$, तो $x$ अपरिमेय है।* इस समस्या में, [अभ्यास 15.9](#exo-b1-integration-9) में, [अभ्यास 11.9](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/11-sequences#exo-b1-seq-9) में और [समस्या 14.1](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/14-differentiation#pb-b1-derivative-1) में उसके उदाहरण गिनाइए।
25. संश्लेषण, एक-एक वाक्य में: (क) मशीन के तीनों भाग और इस अध्याय के औज़ार-संदूक में हर एक कहाँ रहता है; (ख) [समाकल](#thm-b1-integration-def) क्या देता है जो [समस्या 14.1](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/14-differentiation#pb-b1-derivative-1) की माध्य मान प्रमेय नहीं दे सकती थी; (ग) निकाले गए परिणामों की सूची (दो अपरिमेयताएँ, एक छह-दशमलव अचर, $\pi$ का एक घेराव, एक द्विपद परिबंध); (घ) सीमांत (एरमीट, लिंडेमान; और वही जाल, $\zeta(2)$ तथा $\zeta(3)$ पर चलाया हुआ, बीसवीं शताब्दी के अंकगणित में)।

**हल — समस्या 15.1.**

**1.** मान लीजिए $N = \lceil 2c \rceil$। $n \geq N$ के लिए $\frac{c^{n+1}/(n+1)!}{c^n/n!} = \frac{c}{n+1} \leq \frac12$, अतः $0 <
\frac{c^n}{n!} \leq \frac{c^N}{N!}\,2^{-(n - N)} \to 0$: दबाव।

**2.** $k$ नियत कीजिए; $m$ पर आगमन। $m = 0$ के लिए: $\int_0^1 x^k =
\frac{1}{k+1} = \frac{k!\,0!}{(k+1)!}$। पद, खंडशः ($u = (1-x)^m$, $v' =
x^k$):

$$
\int_0^1 x^k (1-x)^m \dd x
= \Bigl[\frac{x^{k+1}}{k+1}(1-x)^m\Bigr]_0^1
+ \frac{m}{k+1}\int_0^1 x^{k+1}(1-x)^{m-1}\dd x
= \frac{m}{k+1}\cdot\frac{(k+1)!\,(m-1)!}{(k+m+1)!} ,
$$

जो $\frac{k!\,m!}{(k+m+1)!}$ है।

**3.** $k = m = n$: $\int_0^1 (x(1-x))^n = \frac{(n!)^2}{(2n+1)!} =
\frac{1}{(2n+1)\binom{2n}{n}}$। चूँकि $\intcc{0}{1}$ पर $x(1-x) \leq
\frac14$, [समाकल](#thm-b1-integration-def) $\leq 4^{-n}$ है, जिससे $\binom{2n}{n} \geq
\frac{4^n}{2n+1}$ — जो [समस्या 11.1](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/11-sequences#pb-b1-seq-1) के $\binom{2n}{n}^{1/n} \to 4$ के अनुरूप है।

**4.** समाकल्य [संतत](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/13-limits-and-continuity#def-b1-continuity-continuous) है, $\geq 0$, और $\intoo{0}{1}$ पर धनात्मक, अतः तत्समक रूप से शून्य नहीं: इसलिए उसका [समाकल](#thm-b1-integration-def) $> 0$ है ([प्रमेय 15.7](#thm-b1-integration-props) (4))। [ऊपरी परिबंध](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#def-b1-reals-bounds): $(x(1-x))^n \leq 4^{-n}$ और $g \leq \sup\abs g$, फिर एकदिष्टता।

**5.** $A_0 = \eu - 1$; $A_1 = [x\eu^x]_0^1 - \int_0^1 \eu^x = \eu -
(\eu - 1) = 1$। खंडशः: $A_n = [x^n \eu^x]_0^1 - n\int_0^1 x^{n-1}\eu^x = \eu
- n A_{n-1}$। परिबंध: समाकल्य धनात्मक है, अतः $A_n > 0$; और $\eu^x \leq \eu$ $A_n \leq \eu\int_0^1 x^n = \frac{\eu}{n+1}$ देता है।

**6.** $A_0 = -1 + 1\cdot\eu$। यदि $A_{n-1} = \alpha_{n-1} +
\beta_{n-1}\eu$ की प्रविष्टियाँ पूर्णांक हैं, तो

$$
A_n = \eu - n\alpha_{n-1} - n\beta_{n-1}\eu
= \underbrace{(-n\,\alpha_{n-1})}_{\alpha_n}
+ \underbrace{(1 - n\,\beta_{n-1})}_{\beta_n}\,\eu ,
$$

दोनों पूर्णांक।

**7.** यदि $\eu = \frac pq$: $q A_n = q\alpha_n + p\beta_n \in \Z$, और बड़े $n$ के लिए $0 < qA_n \leq \frac{q\eu}{n+1} < 1$: अर्थात् $0$ और $1$ के बीच कठोरतः स्थित पूर्णांक — असंभव। अतः $\eu \notin \Q$। [अभ्यास 11.9](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/11-sequences#exo-b1-seq-9) में फँसा हुआ पूर्णांक $q!\,\frac pq - q!\,a_q$ था; यहाँ वह $qA_n$ है: वही जाल, [समाकल](#thm-b1-integration-def) ईंधन।

**8.** $n = 0$: $R_0 = \int_0^1 \eu^t = \eu - 1$, अतः $\eu = 1 + R_0$। खंडशः ($u = \eu^t$, $v = -\frac{(1-t)^{n+1}}{n+1}$):

$$
R_n = \frac{1}{n!}\Bigl(\Bigl[-\frac{(1-t)^{n+1}}{n+1}
\eu^t\Bigr]_0^1 + \frac{1}{n+1}\int_0^1 (1-t)^{n+1}\eu^t\Bigr)
= \frac{1}{(n+1)!} + R_{n+1} ,
$$

अतः सूत्र $n$ से $n + 1$ तक आगे बढ़ता है। परिबंध: $\intcc{0}{1}$ पर $1 \leq
\eu^t \leq \eu$ और $\int_0^1 (1-t)^n = \frac{1}{n+1}$ $\frac{1}{(n+1)!} \leq
R_n \leq \frac{\eu}{(n+1)!}$ देते हैं।

**9.** $\sum_{k=0}^{9} \frac{1}{k!} = \frac{986410}{362880} =
2.71828152\dots$, और

$$
\frac{1}{10!} = 2.76\cdot10^{-7} \leq R_9 \leq
\frac{2.75}{10!} = 7.58\cdot10^{-7} ,
$$

अतः $2.7182818 \leq \eu \leq 2.7182823$: उपपत्ति सहित, छह दशमलव तक $\eu =
2.718282$ (सच्चा मान $2.7182818\dots$)।

**10.** $f(1 - x) = \frac{(1-x)^n x^n}{n!} = f(x)$। $\intoo{0}{1}$ पर: $0 < x(1-x) \leq \frac14$, अतः $0 < f \leq \frac{1}{4^n\,n!}$।

**11.** $x^n(1-x)^n = \sum_{j=0}^{n} (-1)^j\binom nj\,x^{n+j}$, अतः $c_j \in \Z$ के साथ $f = \frac{1}{n!}\sum_j c_j\,x^{n+j}$। इसलिए $k < n$ या $k > 2n$ के लिए $f^{(k)}(0) = 0$, और $n \leq k \leq 2n$ के लिए: $f^{(k)}(0)
= \frac{k!}{n!}\, c_{k-n}$, जो पूर्णांक है क्योंकि $n! \mid k!$। सममिति $f^{(k)}(1) = (-1)^k f^{(k)}(0) \in \Z$ देती है।

**12.** $b^n \pi^{2n-2k} = b^n\bigl(\frac ab\bigr)^{\,n-k} =
a^{\,n-k}\,b^{\,k} \in \Z$, अतः $G(0) = \sum_k (-1)^k a^{n-k} b^k
f^{(2k)}(0)$ और इसी प्रकार $G(1)$ प्रश्न 11 से पूर्णांक हैं।

**13.** $\pi^2 G + G''$ में $\pi^2 G$ का पद $k$ $\pi^{2n-2k+2}f^{(2k)}$ ढोता है और $G''$ का पद $j = k - 1$ $(-1)^{k-1}\pi^{2n-2k+2}f^{(2k)}$ ढोता है: अतः पहले योग में $k = 0$ और दूसरे में $j = n$ को छोड़कर सब कुछ कट जाता है, अर्थात्

$$
G'' + \pi^2 G = b^n\bigl(\pi^{2n+2} f + (-1)^n f^{(2n+2)}\bigr)
= b^n \pi^{2n+2} f = \pi^2 a^n f
$$

($f$ की घात $2n$ है, अतः $f^{(2n+2)} = 0$; और $b^n\pi^{2n} = a^n$)। फिर

$$
\bigl(G'\sin\pi x - \pi G\cos\pi x\bigr)'
= (G'' + \pi^2 G)\sin \pi x = \pi^2 a^n f\sin\pi x .
$$

**14.** $\intcc{0}{1}$ पर समाकलन करने पर:

$$
\pi^2 a^n \int_0^1 f\sin(\pi x)\,\dd x
= \bigl[G'\sin\pi x - \pi G\cos\pi x\bigr]_0^1
= \pi\bigl(G(1) + G(0)\bigr) ,
$$

अतः $\pi a^n \int_0^1 f\sin\pi x = G(0) + G(1) \in \Z$। $\intoo{0}{1}$ पर $f
> 0$ और $\sin\pi x > 0$: बायाँ पक्ष धनात्मक है, अतः $G(0) + G(1) \geq 1$; और $\sin \leq 1$ प्रश्न 10 के साथ उसे $\frac{\pi a^n}{4^n\,n!}$ से परिबद्ध कर देता है।

**15.** प्रश्न 1 से ($c = \frac a4$ के साथ) $\frac{\pi a^n}{4^n n!} \to
0$: बड़े $n$ के लिए वह $< 1$ है, जो $G(0) + G(1) \geq 1$ का विरोध करता है। अतः कोई भिन्न $\frac ab$ $\pi^2$ के बराबर नहीं है: यही लजांद्र की प्रमेय है। यदि $\pi$ परिमेय होता, तो $\pi^2$ भी होता: अतः $\pi \notin \Q$ — और यह निहितार्थ केवल इसी दिशा में चलता है ($\sqrt2$ अपरिमेय है और उसका वर्ग परिमेय), और इसीलिए $\pi^2 \notin \Q$ [अभ्यास 15.9](#exo-b1-integration-9) से कठोरतः प्रबल है।

**16.** पूर्णांकता: प्रश्न 11–12 (सिरों के [अवकलज](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/14-differentiation#def-b1-derivative-def)); लघुता: प्रश्न 10 और 1; सेतु: प्रश्न 13–14 (दूरबीनी दोहरा [खंडशः समाकलन](#thm-b1-integration-parts))। $\frac{1}{n!}$ के बिना सिरों के आँकड़े पूर्णांक ही रहते हैं (और भी आसानी से), पर परिबंध $\frac{\pi
a^n}{4^n}$ बन जाता है, जो $0$ की ओर तभी जाता है जब $a < 4$ — और हर उम्मीदवार का $a = b\,\pi^2 > 9$ है। क्रमगुणित ठीक वही है जो गुणोत्तर वृद्धि $a^n$ से आगे निकल जाता है: क्रमगुणित नहीं, तो प्रमेय नहीं।

**17.** $a \leq 10$ के लिए पूर्णांक $G(0) + G(1)$ धनात्मक और अधिक से अधिक $\pi\,(10/4)^n/n!$ है। $n = 7$ पर: $2.5^7 = 610.35\dots$, अतः परिबंध $\frac{\pi \times 610.35}{5040} \approx 0.38 < 1$ है ($n = 6$ पर वह अब भी $1.07$ है): अर्थात् विरोधाभास सातवें चरण पर, स्पष्ट रूप से, आ गिरता है।

**18.** दो बार [खंडशः समाकलन](#thm-b1-integration-parts):

$$
\int_0^1 x(1-x)\sin\pi x\,\dd x
= \frac1\pi\int_0^1 (1 - 2x)\cos\pi x\,\dd x
= \frac{2}{\pi^2}\int_0^1 \sin\pi x\,\dd x
= \frac{2}{\pi^2}\cdot\frac{2}{\pi} = \frac{4}{\pi^3}
$$

(कोष्ठक वाले पद लुप्त हो जाते हैं: $0, 1$ पर $x(1-x)$, और $0, 1$ पर $\sin\pi
x$)। सांकेतिक रूप से, $n = 1$ दूरबीन ($\pi$ पर कोई धारणा किए बिना) $f_1 =
x(1 - x)$, $f_1'' = -2$ के साथ $\pi^3\int_0^1 f_1\sin\pi x = -(f_1''(0) +
f_1''(1))$ कहती है: दायाँ पक्ष $4$ — दोनों संगणनाएँ मेल खाती हैं।

**19.** $\eu^x$ $y' = y$ को हल करता है और $\sin\pi x$ $y'' = -\pi^2 y$ को: अर्थात् अचर गुणांकों वाले रैखिक समीकरण, अतः [खंडशः समाकलन](#thm-b1-integration-parts) अष्टक को उसी पर लौटा देता है और सारे सीमांत आँकड़े $\Z + \Z\eu$ (क्रमशः $\pi^2$ में पूर्णांक बहुपदों) के भीतर रखता है। मशीन को यही संवृतता चाहिए। कई बिंदुओं के लिए एक साथ ढाले गए अष्टकों से परिष्कृत होकर वही क्रियाविधि एरमीट की प्रमेय ($\eu$ अबीजीय, 1873) और लिंडेमान की प्रमेय ($\pi$ अबीजीय, 1882) देती है — जो इस खंड से परे हैं।

**20.** [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) भाग (अथवा गुणा करके जाँच लीजिए):

$$
x^4(1-x)^4 = (x^6 - 4x^5 + 5x^4 - 4x^2 + 4)(1 + x^2) - 4 .
$$

दिखाई गई सर्वसमिका को $1 + x^2$ से भाग देकर समाकलन करने पर:

$$
\int_0^1 \frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}\dd x
= \Bigl(\frac17 - \frac46 + 1 - \frac43 + 4\Bigr)
- 4\arctan 1
= \frac{22}{7} - \pi ,
$$

जहाँ $\frac17 - \frac23 + 1 - \frac43 + 4 = 3 + \frac17$ और $\arctan 1 =
\frac\pi4$ प्रयुक्त हुए।

**21.** समाकल्य [संतत](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/13-limits-and-continuity#def-b1-continuity-continuous) है और $\intoo{0}{1}$ पर धनात्मक: अतः [समाकल](#thm-b1-integration-def) $> 0$ है, इसलिए $\pi < \frac{22}{7}$। इसके अतिरिक्त $\intcc{0}{1}$ पर $\frac12
\leq \frac{1}{1+x^2} \leq 1$ और $\int_0^1 (x(1-x))^4 = \frac{(4!)^2}{9!} =
\frac{1}{630}$ (प्रश्न 3):

$$
\frac{1}{1260} \leq \frac{22}{7} - \pi \leq \frac{1}{630}
\quad\Longrightarrow\quad
3.14126 < \frac{22}{7} - \frac{1}{630} \leq \pi \leq
\frac{22}{7} - \frac{1}{1260} < 3.14207 .
$$

**22.** $x^2 + 1$ के सापेक्ष: $x^2 \equiv -1$, अतः $x^{4m} = (x^2)^{2m}
\equiv 1$ और $(1 - x)^2 = 1 - 2x + x^2 \equiv -2x$, इसलिए $(1-x)^{4m} \equiv
(-2x)^{2m} = 4^m (x^2)^m \equiv (-4)^m$: अर्थात् शेषफल अचर $(-4)^m$ है, और भागफल $Q_m$ के गुणांक पूर्णांक हैं (किसी [इकाई-अग्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) पूर्णांक [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) से भाग)। सर्वसमिका को $1 + x^2$ से भाग देकर समाकलन करने पर:

$$
J_m := \int_0^1 \frac{(x(1-x))^{4m}}{1+x^2}\dd x
= s_m + (-4)^m\,\frac{\pi}{4},
\qquad s_m = \int_0^1 Q_m \in \Q .
$$

$\pi$ के लिए हल करने पर: $r_m = (-1)^{m+1}\,4^{\,1-m} s_m \in \Q$ के साथ $\;\abs{\pi - r_m} = 4^{\,1-m} J_m \leq 4^{\,1-m}\cdot4^{-4m} = 4^{\,1-5m}$। $m = 1$ के लिए: $s_1 = \frac{22}{7}$, $r_1 = \frac{22}{7}$, परिबंध $4^{-4} =
\frac{1}{256}$ — अर्थात् फिर प्रश्न 20–21।

**23.** $\bigl|\pi - \frac{22}{7}\bigr| = \frac{22}{7} - \pi \approx
1.26\cdot10^{-3}$, जो डिरिक्ले ([समस्या 14.1](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/14-differentiation#pb-b1-derivative-1), प्रश्न 4) की गारंटी वाले कोटि-$2$ मानदंड $\frac{1}{7^2} \approx 2.0\cdot10^{-2}$ से सोलह गुना बेहतर है; और $\bigl|\pi - \frac{355}{113}\bigr| \approx
2.7\cdot10^{-7}$ $\frac{1}{113^2} \approx 7.8\cdot10^{-5}$ को गुणक $\approx
300$ से हरा देता है। सिद्ध की गई किसी बात से कोई विरोध नहीं: लिउविल असमिकाएँ सन्निकटन-त्रुटियों को केवल बीजीय संख्याओं के लिए *नीचे से परिबद्ध* करती हैं, और $\pi$ के लिए इस स्तर पर ऐसा कोई परिबंध उपलब्ध नहीं है — अतः $\pi$ शानदार ढंग से सन्निकटित होने के लिए स्वतंत्र है।

**24.** प्रमेयिका: मान लीजिए $x = \frac pq$ और $0 < \abs{a_n + b_n x}
\to 0$। तब $\abs{a_n + b_n x} = \frac{\abs{q a_n + p b_n}}{q}$, जहाँ $q a_n
+ p b_n$ अशून्य पूर्णांक है (अशून्य इसलिए कि निरपेक्ष मान $> 0$ है): अतः प्रत्येक $n$ के लिए $\abs{a_n + b_n x} \geq \frac1q$, जो $0$ की ओर अभिसरण का विरोध करता है। उदाहरण: प्रश्न 7 ($x = \eu$, $a_n = \alpha_n$, $b_n =
\beta_n$); [अभ्यास 11.9](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/11-sequences#exo-b1-seq-9) (फिर $x = \eu$, $a_q = -q!\sum_{k \leq
q}\frac{1}{k!}$, $b_q = q!$ के साथ); और [समस्या 14.1](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/14-differentiation#pb-b1-derivative-1), प्रश्न 1, उसका गुणोत्तर रूप है। भाग III में और [अभ्यास 15.9](#exo-b1-integration-9) में यह जाल विरोधाभास के *भीतर* चलता है: परिमेयता मान लेने पर व्यंजक पूर्णांक बन जाता है, जिसे फिर विश्लेषण $\intoo{0}{1}$ में दबा देता है — वही सिद्धांत, बस स्थानांतरित।

**25.** (क) पूर्णांकता बहुपदों के सिरों के कलन में रहती है (प्रश्न 6, 11–12), लघुता उन परिबंधों में जो $\sup$-एकदिष्टता देती है (प्रश्न 4, 10), और सेतु [खंडशः समाकलन](#thm-b1-integration-parts) में (प्रश्न 8, 13–14) — तीनों इसी अध्याय की प्रमेयें हैं। (ख) [समाकल](#thm-b1-integration-def) वह देता है जो माध्य मान प्रमेय नहीं दे सकती थी: विश्लेषणात्मक वस्तु और अंकगणितीय आँकड़ों के बीच एक *यथार्थ* सर्वसमिका (समता, न कि किसी अज्ञात $c$ वाली मात्र असमिका), और इसीलिए यह मशीन $\pi^2$ तक पहुँच जाती है जबकि [समस्या 14.1](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/14-differentiation#pb-b1-derivative-1) केवल सन्निकटन-घातांकों तक पहुँचा था। (ग) निकाले गए परिणाम: $\eu \notin \Q$, $\pi^2 \notin \Q$ (अतः $\pi \notin \Q$), प्रमाणित $\eu = 2.718282$, $\frac{22}{7} - \frac{1}{630} \leq \pi \leq
\frac{22}{7} - \frac{1}{1260}$, और $\binom{2n}{n} \geq \frac{4^n}{2n+1}$। (घ) सीमांत: एरमीट और लिंडेमान इसी मशीन को अबीजीयता तक ले जाते हैं; और आपेरी (1979) ने पूर्णांक-जाल $\zeta(3)$ पर चलाया — यह मशीन आज भी बीसवीं शताब्दी का गणित उत्पन्न कर रही है।