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title: "टेलर सूत्र और अनंतस्पर्शी प्रसार"
book: "विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 1"
subject: math
language: hi
chapter: 16
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/16-taylor-formulas-and-asymptotic-expansions
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# अध्याय 16 — टेलर सूत्र और अनंतस्पर्शी प्रसार

किसी बिंदु के पास चिकना फलन [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) जितना ही अच्छा होता है — और उसकी त्रुटि नियंत्रित की जा सकती है। टेलर सूत्र इसे तीन स्वादों में यथार्थ कर देते हैं ([समाकल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/15-integration-on-a-segment#thm-b1-integration-def) शेषफल, लाग्रांज शेषफल, यंग शेषफल), और उनसे मिले *अनंतस्पर्शी प्रसार*, बीजगणितीय रूप से साधे जाने पर, प्रारंभिक विश्लेषण का सबसे तीक्ष्ण औज़ार बन जाते हैं: सीमाएँ, तुल्यताएँ, स्थानीय व्यवहार, अनंतस्पर्शी रेखाएँ।

## 16.1 तुलना का संकेतन

**परिभाषा 16.1 (लांडाउ संकेतन).**

मान लीजिए $f, g$ $x_0$ ($x_0 \in \R$ या $\pm\infty$) के पास परिभाषित हैं। तब $x \to x_0$ होने पर लिखा जाता है:

- $f = o(g)$ (“लघु- $o$ ”) तब जब $\varepsilon(x) \to 0$ के साथ $f =  \varepsilon g$ ;
- $f = O(g)$ (“बृहत्- $O$ ”) तब जब $u$ $x_0$ के पास परिबद्ध होते हुए $f = u g$ ;
- $f \sim g$ (“तुल्य”) तब जब $\varepsilon \to 0$ के साथ $f = (1 + \varepsilon) g$ — समतुल्य रूप से $f - g = o(g)$ ।

यही संकेतन अनुक्रमों पर भी लागू होता है ($n \to \infty$)।

**प्रतिज्ञप्ति 16.2 (नियम).**

जब $x \to x_0$:

1. $\sim$ एक [तुल्यता संबंध](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-equiv) है; $f \sim g$ से यह आता है कि $f$ और $g$ की सीमाएँ, ( $x_0$ के पास) चिह्न, और शून्यों की अनुपस्थिति एक ही हैं;
2. तुल्यताएँ *गुणा और भाग होती हैं* : $f_1 \sim g_1$ , $f_2 \sim  g_2$ से $f_1 f_2 \sim g_1 g_2$ और $\frac{f_1}{f_2} \sim \frac{g_1}{g_2}$ आते हैं;
3. तुल्यताएँ *जुड़ती नहीं* : $+\infty$ पर $x + 1 \sim x$ और $-x  \sim -x + 2$ , फिर भी योग $1$ और $2$ तुल्य नहीं हैं। जोड़ने के लिए स्पष्ट $o(\cdot)$ पदों वाले प्रसारों पर लौटिए;
4. $o(g) + o(g) = o(g)$ , $\;u \cdot o(g) = o(ug)$ , $\;o(o(g)) = o(g)$ , और $f \sim g \iff f = g + o(g)$ ।

**उपपत्ति.** हर एक परिभाषाओं की छोटी-सी हेराफेरी है; उदाहरणार्थ $f_1 f_2 =
(1+\varepsilon_1)(1+\varepsilon_2) g_1 g_2$ और $(1 +
\varepsilon_1)(1+\varepsilon_2) \to 1$। (4) के दो अंश अपनी-अपनी पंक्ति के अधिकारी हैं। $u\cdot o(g) = o(ug)$: यदि $\varepsilon \to 0$ के साथ $f =
\varepsilon g$, तो उसी $\varepsilon$ के साथ $uf = \varepsilon\,(ug)$। $o(o(g)) = o(g)$: यदि $f = \varepsilon_1 h$ और $h = \varepsilon_2 g$, जहाँ दोनों $\varepsilon_i \to 0$, तो $f = (\varepsilon_1\varepsilon_2) g$ और दोनों अतिसूक्ष्म राशियों का गुणनफल भी एक है। तुल्यता $f \sim g \iff f = g +
o(g)$ परिभाषा को दो बार पढ़ना ही है: $f - g = \varepsilon g$। और (3) का प्रति-उदाहरण ही (3) की उपपत्ति है। ∎

**उदाहरण 16.3 (तुलना का पैमाना).**

जब $x \to +\infty$, तब मानक पैमाना बढ़ती प्रबलता के क्रम में यह है:

$$
1 \;=\; o(\ln x), \quad
\ln x = o(x^{0.01}), \quad
x^{0.01} = o(\sqrt x), \quad
\sqrt x = o(x^{10}), \quad
x^{10} = o(\eu^{x}), \quad
\eu^x = o(\eu^{2x}) ,
$$

और हर पद [प्रतिज्ञप्ति 4.6](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/4-standard-functions#prop-b1-functions-powerrules) की वृद्धि तुलनाओं का उदाहरण है (घातें लघुगणकों को हराती हैं, चरघातांकी घातों को, और एक ही कुल के भीतर घातांक निर्णय करता है)। दो आदतें बनाने योग्य हैं: पहली, किसी छोटे वर्ग में गिरता $O(\cdot)$ चुपचाप उन्नत हो जाता है ($O(\ln x)$ $o(x^{0.01})$ भी है); दूसरी, $x \to 0^+$ पर प्रतिस्थापन $x \mapsto \frac1x$ के द्वारा पूरी सीढ़ी उलट जाती है — वहाँ $\ln x = o(x^{-0.01})$, अतः “$x^\alpha \ln x \to 0$” प्रत्येक $\alpha > 0$ के लिए सत्य है। इस पैमाने को सीधा रखना [अध्याय 17](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/17-numerical-series#ch-b1-series) के हर अनंतस्पर्शी तर्क का आधा हिस्सा है।

**उदाहरण 16.4 (प्रसारों की अद्वितीयता, और सम-विषमता का लाभांश).**

यदि कोई फलन $0$ पर एक ही कोटि तक दो प्रसार स्वीकार करता है,

$$
a_0 + a_1 x + \dots + a_n x^n + o(x^n)
= b_0 + b_1 x + \dots + b_n x^n + o(x^n),
$$

तो प्रत्येक $k$ के लिए $a_k = b_k$: घटाइए और $c_k = a_k - b_k$ रखिए, फिर सर्वसमिका $c_0 + c_1 x + \dots + c_n x^n = o(x^n)$ का मान $x \to 0$ पर लेकर $c_0 = 0$ पाइए; $x$ से भाग दीजिए और दोहराइए — हर भाग वैध है क्योंकि बचा हुआ व्यंजक फिर $o(x^{n-k})$ है। अतः गुणांक आंतरिक हैं, और उन्हें *किसी भी* रास्ते से संगणित किया जा सकता है (टेलर [अवकलज](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/14-differentiation#def-b1-derivative-def), ज्ञात प्रसारों पर बीजगणित, समाकलन): सभी रास्तों को मेल खाना ही होगा। लाभांश: किसी *सम* फलन के प्रसार में केवल सम घातें होती हैं — $x$ के स्थान पर $-x$ रखिए और अद्वितीयता का आह्वान कीजिए; इसी प्रकार विषम फलनों में विषम घातें। इसीलिए नीचे की सारणी में $\cos$ $o(x^{2p})$ के बदले $o(x^{2p+1})$ ढोता है: अनुपस्थित विषम पद मुफ़्त की सूचना है, अर्थात् बिना कुछ दिए एक कोटि की अधिक यथार्थता।

## 16.2 तीनों टेलर सूत्र

**प्रमेय 16.5 (समाकल शेषफल वाला टेलर).**

मान लीजिए $f$ $a$ और $x$ को समेटने वाले किसी [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) पर $C^{n+1}$ वर्ग का है। तब

$$
f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}\,(x - a)^k
+ \int_a^x \frac{(x - t)^n}{n!}\, f^{(n+1)}(t)\, \dd t .
$$

**उपपत्ति.** $n$ पर आगमन। $n = 0$ के लिए: $f(x) = f(a) + \int_a^x f'(t)\dd t$ मूल प्रमेय ([प्रमेय 15.9](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/15-integration-on-a-segment#thm-b1-integration-ftc)) है। पद: शेषफल का [खंडशः समाकलन](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/15-integration-on-a-segment#thm-b1-integration-parts) कीजिए,

$$
\int_a^x \frac{(x-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t)\,\dd t
= \Bigl[-\frac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)!} f^{(n+1)}(t)\Bigr]_a^x
+ \int_a^x \frac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)!} f^{(n+2)}(t)\,\dd t ,
$$

जहाँ कोष्ठक पद $\frac{f^{(n+1)}(a)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1}$ का योगदान करता है। ∎

**उदाहरण 16.6 (अपने शेषफल सहित एक यथार्थ प्रसार).**

$\ln(1 + x)$ के लिए [समाकल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/15-integration-on-a-segment#thm-b1-integration-def) शेषफल को बिना कुछ $n$ बार अवकलित किए पूरी तरह स्पष्ट किया जा सकता है: परिमित गुणोत्तर सर्वसमिका $\frac{1}{1+t} =
\sum_{k=0}^{n-1}(-t)^k + \frac{(-t)^n}{1+t}$ का $0$ से $x$ तक समाकलन कीजिए:

$$
\ln(1 + x) = \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}x^k}{k}
+ (-1)^n \int_0^x \frac{t^n}{1 + t}\,\dd t ,
$$

और $0 \leq x \leq 1$ के लिए शेषफल $\int_0^x t^n\,\dd t =
\frac{x^{n+1}}{n+1}$ से परिबद्ध है। यह टेलर–यंग से दो प्रकार से प्रबल है: यह किसी नियत $x$ के लिए वैध *सर्वसमिका* है (केवल $x \to 0$ के लिए नहीं), और त्रुटि का परिबंध संख्यात्मक है। सप्ताहांत समस्या ([समस्या 16.1](#pb-b1-taylor-1)) ऐसे ही यथार्थ रूपों पर जीती है; नीचे का टेलर–यंग सीमाओं के लिए हल्का औज़ार है, जहाँ केवल त्रुटि का आकार महत्त्व रखता है।

**प्रमेय 16.7 (टेलर–लाग्रांज असमिका).**

मान लीजिए $f$ $C^{n+1}$ है और $a$ तथा $x$ के बीच $\abs{f^{(n+1)}} \leq M$। तब

$$
\Bigl| f(x) - \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k \Bigr|
\leq M\, \frac{\abs{x - a}^{n+1}}{(n+1)!} .
$$

**उपपत्ति.** [समाकल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/15-integration-on-a-segment#thm-b1-integration-def) शेषफल को परिबद्ध कीजिए: $\bigl|\int_a^x \frac{(x-t)^n}{n!}
f^{(n+1)}(t)\,\dd t\bigr| \leq M \bigl|\int_a^x \frac{\abs{x-t}^n}{n!}\dd
t\bigr| = M\frac{\abs{x-a}^{n+1}}{(n+1)!}$। ∎

**उदाहरण 16.8 (प्रमाणित संख्याएँ).**

$\sqrt{1.02}$ क्या है? $a = 0$ पर $f(t) = \sqrt{1 + t}$ पर, कोटि $2$, $x =
0.02$ के साथ टेलर–लाग्रांज लगाइए:

$$
\sqrt{1.02} \approx 1 + \frac{0.02}{2} - \frac{0.02^2}{8}
= 1.00995 ,
\qquad
\abs{f'''(t)} = \frac{3}{8}(1+t)^{-5/2} \leq \frac 38 ,
$$

अतः त्रुटि अधिक से अधिक $\frac38 \cdot \frac{0.02^3}{6} = 5\cdot10^{-7}$ है: $\sqrt{1.02} = 1.00995$, छह प्रमाणित दशमलव के साथ (सच्चा मान $1.0099504938\dots$ — परिबंध लगभग तीक्ष्ण है)। समापन का सार: टेलर–यंग केवल यह कहता है कि त्रुटि *कितनी तेज़ी से* लुप्त होती है; टेलर–लाग्रांज उसी [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) को *प्रमाणपत्र* में बदल देता है — एक संख्या और एक सिद्ध त्रुटि-दंड। इस पुस्तक में जब भी कोई दशमलव दावा किया गया है, उसके पीछे लाग्रांज प्रकार का कोई परिबंध खड़ा है; और सप्ताहांत समस्या ([समस्या 16.1](#pb-b1-taylor-1)) इसी विचार का औद्योगीकरण करती है।

**प्रमेय 16.9 (टेलर–यंग).**

मान लीजिए $f$ $a$ पर $n$ बार [अवकलनीय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/14-differentiation#def-b1-derivative-def) है। तब $x \to a$ होने पर:

$$
f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}\,(x-a)^k
+ o\bigl((x-a)^n\bigr) .
$$

**उपपत्ति.** $n$ पर आगमन। $n = 1$ के लिए यह [अवकलज](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/14-differentiation#def-b1-derivative-def) की परिभाषा है ([परिभाषा 14.1](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/14-differentiation#def-b1-derivative-def))। [कथन](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-statement) को कोटि $n - 1$ पर मान लीजिए, और मान लीजिए $f$ $a$ पर $n$ बार [अवकलनीय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/14-differentiation#def-b1-derivative-def) है। आगमन परिकल्पना $f'$ पर लगाइए (जो $a$ पर $n-1$ बार [अवकलनीय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/14-differentiation#def-b1-derivative-def) है):

$$
f'(t) = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{f^{(k+1)}(a)}{k!}(t-a)^k + r(t),
\qquad r(t) = o\bigl((t-a)^{n-1}\bigr).
$$

$g(x) = f(x) - \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$ रखिए; तब $g' =
r$ और $g(a) = 0$। $\varepsilon > 0$ दिया हो, तो ऐसा $\delta$ चुनिए कि $\abs{t-a} \leq \delta$ के लिए $\abs{r(t)} \leq \varepsilon\abs{t -
a}^{n-1}$; और $a$ से $x$ तक के खंड पर (जहाँ $\abs{g'} \leq
\varepsilon\abs{x-a}^{n-1}$) माध्य मान असमिका ([प्रमेय 14.9](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/14-differentiation#thm-b1-derivative-mvt)) $\abs{g(x)} \leq \varepsilon\abs{x - a}^n$ देती है: अर्थात् ठीक $g(x) =
o((x-a)^n)$। ∎

**टिप्पणी 16.10 (तीन सूत्र, तीन क़ीमतें, तीन उत्पाद).**

परिकल्पनाएँ ठीक निष्कर्षों के अनुपात में हैं। टेलर–यंग सबसे कम माँगता है (केवल *उसी बिंदु पर* $n$ [अवकलज](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/14-differentiation#def-b1-derivative-def)) और सबसे कम देता है: एक गुणात्मक $o((x-a)^n)$, जो सीमाओं के लिए उत्तम और प्रमाणित अंकों के लिए निरर्थक है। लाग्रांज असमिका *[अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) पर* $C^{n+1}$ और वहाँ परिबंध $M$ माँगती है, और बदले में संख्यात्मक त्रुटि-दंड देती है। [समाकल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/15-integration-on-a-segment#thm-b1-integration-def) रूप वही नियमितता माँगकर सबसे अधिक देता है: त्रुटि एक स्पष्ट वस्तु के रूप में, जिसे रूपांतरित किया जा सकता है ([खंडशः समाकलन](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/15-integration-on-a-segment#thm-b1-integration-parts), टुकड़ों में परिबद्धन, चर-परिवर्तन) — और यही रूप [समस्या 15.1](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/15-integration-on-a-segment#pb-b1-integration-1) की अपरिमेयता-मशीन को शक्ति देता है। लक्ष्य को सँभालने वाला सबसे दुर्बल सूत्र चुनना पांडित्य नहीं है: [समस्या 16.1](#pb-b1-taylor-1) का चपटा फलन हर कोटि पर टेलर–यंग संतुष्ट करता है, जबकि उसके विषय में हर प्रबलतर निष्कर्ष $0$ से दूर असत्य है।

**प्रतिज्ञप्ति 16.11 (000 पर मानक प्रसार).**

जब $x \to 0$, तब प्रत्येक नियत कोटि $n$ के लिए:

$$
\begin{align*}
\eu^x &= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n),\\
\cos x &= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots
+ \frac{(-1)^p x^{2p}}{(2p)!} + o(x^{2p+1}),\\
\sin x &= x - \frac{x^3}{3!} + \dots + \frac{(-1)^p
x^{2p+1}}{(2p+1)!} + o(x^{2p+2}),\\
\frac{1}{1 - x} &= 1 + x + x^2 + \dots + x^n + o(x^n),\\
\ln(1 + x) &= x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots +
\frac{(-1)^{n-1} x^n}{n} + o(x^n),\\
(1 + x)^\alpha &= 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 +
\dots + \binom{\alpha}{n} x^n + o(x^n),
\end{align*}
$$

जहाँ वास्तविक $\alpha$ के लिए $\binom{\alpha}{n} = \frac{\alpha(\alpha -
1)\cdots(\alpha - n + 1)}{n!}$। ($\cosh$ और $\sinh$: $\cos$ जैसे ही, पर $\sin$ में एकांतरित चिह्न नहीं।)

**उपपत्ति.** प्रत्येक फलन $0$ के पास चिकना है और उसके [अवकलज](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/14-differentiation#def-b1-derivative-def) आसानी से निकलते हैं: $(\eu^x)^{(k)} = \eu^x$; $\sin$ और $\cos$ के [अवकलज](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/14-differentiation#def-b1-derivative-def) आवर्तकाल $4$ के साथ चक्कर लगाते हैं; $\bigl((1+x)^\alpha\bigr)^{(k)} = \alpha(\alpha - 1)\cdots(\alpha
- k + 1)(1+x)^{\alpha - k}$; $\bigl(\ln(1+x)\bigr)^{(k)} =
\frac{(-1)^{k-1}(k-1)!}{(1+x)^k}$। $a = 0$ पर टेलर–यंग लगाइए। (गुणोत्तर वाला यथार्थ है: $\frac{1}{1-x} - \sum_0^n x^k = \frac{x^{n+1}}{1 - x} =
o(x^n)$।) ∎

**विधि 16.12 (प्रसारों के साथ संगणना).**

1. पहले *लक्ष्य कोटि $n$ नियत कीजिए* , और हर मध्यवर्ती परिणाम को वहीं काटिए — ऊपर के पद ढोना व्यर्थ श्रम है, और नीचे के छोड़ देना भूल।
2. *योग, गुणनफल* : प्रत्येक गुणक को कोटि $n$ तक प्रसारित कीजिए और गुणा कीजिए, $x^n$ से आगे छोड़ते हुए।
3. *संयोजन* $f(u(x))$ , जहाँ $u(x) \to 0$ : $u$ के प्रसार को $f$ के प्रसार में कोटि-दर-कोटि प्रतिस्थापित कीजिए।
4. *भागफल* : $v \to 0$ के साथ $\frac{1}{1 + v}$ लिखिए और गुणोत्तर प्रसार का प्रयोग कीजिए।
5. प्रसार का पद-दर-पद *समाकलन* कीजिए (अवकलन के लिए अधिक सावधानी चाहिए; न्यायसंगति: $0$ से $x$ तक $o(t^n)$ का [समाकल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/15-integration-on-a-segment#thm-b1-integration-def) $o(x^{n+1})$ है, जो सीधे परिबद्धन से मिलता है)।

**उदाहरण 16.13 (संयोजन, पूरे लेखा-जोखा के साथ).**

$\eu^{\sin x}$ को कोटि $3$ तक प्रसारित कीजिए। भीतरी प्रसार: $u = \sin x = x
- \frac{x^3}{6} + o(x^3)$, जो सचमुच $0$ की ओर जाता है। बाहरी: $\eu^u = 1 + u
+ \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{6} + o(u^3)$, और $o(u^3) = o(x^3)$, क्योंकि $u
\sim x$। $u$ की घातें, $x^3$ पर काटी हुई:

$$
u^2 = x^2 + o(x^3), \qquad u^3 = x^3 + o(x^3)
$$

(आड़ा पद $2x\cdot(-\frac{x^3}{6})$ पहले से ही $x^4$ है)। जोड़िए:

$$
\eu^{\sin x} = 1 + \Bigl(x - \frac{x^3}{6}\Bigr) + \frac{x^2}{2}
+ \frac{x^3}{6} + o(x^3)
= 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^3) :
$$

जहाँ दोनों $x^3$ योगदान ठीक-ठीक कट जाते हैं। समापन का सार: $\eu^{\sin x}$ और $\eu^x$ कोटि $3$ तक मेल खाते हैं — इसलिए नहीं कि स्थूल रूप से $\sin x
\approx x$, बल्कि इसलिए कि घातांकों की पहली असहमति ($-\frac{x^3}{6}$) $\eu^0
= 1$ से गुणित होकर आती है और फिर बाहरी चरघातांकी के त्रिघात पद से मिल जाती है; कोटि-दर-कोटि लेखा-जोखा ऐसी साजिशें पकड़ लेता है, आँख से देखना कभी नहीं। (अगला पद $-\frac{x^4}{8}$ है: संधि कोटि $4$ पर टूट जाती है।)

**उदाहरण 16.14.**

कोटि $5$ पर $\tan$ का प्रसार। $\tan x = \sin x \cdot \frac{1}{\cos x}$ लिखिए:

$$
\frac{1}{\cos x} = \frac{1}{1 - \bigl(\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24}
+ o(x^5)\bigr)}
= 1 + \Bigl(\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24}\Bigr)
+ \Bigl(\frac{x^2}{2}\Bigr)^{\!2} + o(x^5)
= 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24} + o(x^5),
$$

फिर

$$
\tan x = \Bigl(x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}\Bigr)
\Bigl(1 + \frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24}\Bigr) + o(x^5)
= x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + o(x^5) .
$$

![ज्या (गहरा) अपने 0 पर के टेलर बहुपदों के सामने: T_1 = x, T_3 = x - x3/6 (बिंदुकित), T_5 = x - x3/6 + x5/120 (बिंदु-रेखीय)। हर नया पद-युग्म वक्र को स्पष्टतः चौड़ी खिड़की पर जकड़ लेता है, पर हर बहुपद अंततः फट कर अलग हो जाता है: टेलर प्रसार एक स्थानीय अनुबंध है, जो 0 पर तीक्ष्ण है और दूर मौन। टेलर–लाग्रांज परिबंध |x|n+1(n+1)! उस खिड़की का परिमाणन करता है; और का चपटा फलन दिखाता है कि यह अनुबंध उस बिंदु के आगे रिक्त भी हो सकता है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-taylor/fig-7578dfaf5f91.svg)

*ज्या (गहरा) अपने $0$ पर के टेलर बहुपदों के सामने: $T_1 = x$, $T_3 =
x - \frac{x^3}{6}$ (बिंदुकित), $T_5 = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}$ (बिंदु-रेखीय)। हर नया पद-युग्म वक्र को स्पष्टतः चौड़ी खिड़की पर जकड़ लेता है, पर हर [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) अंततः फट कर अलग हो जाता है: टेलर प्रसार एक *स्थानीय* अनुबंध है, जो $0$ पर तीक्ष्ण है और दूर मौन। टेलर–लाग्रांज परिबंध $\frac{\abs{x}^{n+1}}{(n+1)!}$ उस खिड़की का परिमाणन करता है; और [समस्या 16.1](#pb-b1-taylor-1) का चपटा फलन दिखाता है कि यह अनुबंध उस बिंदु के आगे रिक्त भी हो सकता है।*

## 16.3 अनुप्रयोग

**उदाहरण 16.15 (सीमाएँ).**

$$
\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}:
\qquad
x - \sin x = \frac{x^3}{6} + o(x^3) \sim \frac{x^3}{6},
\qquad\text{अतः सीमा है } \frac16
$$

— जिससे [अभ्यास 4.9](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/4-standard-functions#exo-b1-functions-9) में उठाया गया प्रश्न सुलझ जाता है। इसी प्रकार $\displaystyle\lim_{x\to0}\Bigl(\frac{\sin x}{x}\Bigr)^{1/x^2}$: लघुगणक है

$$
\frac{1}{x^2}\ln\Bigl(1 - \frac{x^2}{6} + o(x^2)\Bigr)
= \frac{1}{x^2}\Bigl(-\frac{x^2}{6} + o(x^2)\Bigr)
\longrightarrow -\frac16,
\qquad\text{सीमा } \eu^{-1/6}.
$$

**टिप्पणी 16.16 (प्रसारों की सामान्य भूलें).**

(क) *तुल्यताओं को कभी मत जोड़िए या घटाइए*: $\tan x \sim x$ और $\sin x
\sim x$ से $\tan x - \sin x \sim 0$ (जो निरर्थक है) *नहीं* निकाला जा सकता — ईमानदार रास्ता प्रसार हैं:

$$
\tan x - \sin x
= \Bigl(x + \frac{x^3}{3}\Bigr) - \Bigl(x - \frac{x^3}{6}\Bigr)
+ o(x^3) = \frac{x^3}{2} + o(x^3) \sim \frac{x^3}{2} .
$$

(ख) *नरसंहार के आगे तक प्रसारित कीजिए*: उसी संगणना में कोटि $1$ को केवल $x - x = 0$ दिखाई देता है; जब भी अग्र पद कट जाएँ, तब तक कोटि बढ़ाइए जब तक कोई अशून्य गुणांक बच न जाए, और तभी तुल्यता में लौटिए। (ग) *तुल्यताएँ चरघातांकी से होकर नहीं जातीं*: $n^2 + n \sim n^2$, फिर भी $\eu^{n^2+n} =
\eu^{n}\,\eu^{n^2}$ $\eu^{n^2}$ के तुल्य *नहीं* है — चरघातांकी केवल *घातांक के उन प्रसारों* पर लगाइए जिनकी त्रुटि $0$ की ओर जाती हो, घातांक की तुल्यताओं पर कभी नहीं। (लघुगणक अधिक सुरक्षित हैं: यदि $u_n \sim v_n \to
\ell \neq 1$, $\ell > 0$, तो $\ln u_n \sim \ln v_n$।) (घ) *$o(\cdot)$ का कलन एकदिशीय है*: $o(x^2) + o(x^2) = o(x^2)$, $5\,o(x^2) = o(x^2)$, $x\cdot o(x^2) = o(x^3)$ — पर $o(x^2)$ कोई विशिष्ट फलन नहीं है, अतः दो ऐसे पदों को कभी आपस में मत काटिए: $o(x^2) - o(x^2)$ $o(x^2)$ है, $0$ नहीं।

**प्रतिज्ञप्ति 16.17 (स्थानीय व्यवहार).**

मान लीजिए $c \neq 0$ के साथ $f(x) = f(a) + c\,(x - a)^p +
o\bigl((x-a)^p\bigr)$ (अचर के बाद पहला अशून्य पद; किसी क्रांतिक बिंदु पर $p
\geq 2$)।

- यदि $p$ सम है: $c > 0$ होने पर $f$ का $a$ पर स्थानीय न्यूनतम है, और $c < 0$ होने पर स्थानीय अधिकतम।
- यदि $p$ विषम है: कोई चरम नहीं ( $f - f(a)$ चिह्न बदलता है); और यदि इसके अतिरिक्त प्रसार किसी रैखिक पद $f'(a)(x - a)$ के बाद आरंभ हो, तो आलेख अपनी स्पर्श रेखा को काट देता है: अर्थात् *नति-परिवर्तन* ।

**उपपत्ति.** $a$ के पास $f(x) - f(a) = (x-a)^p\bigl(c + o(1)\bigr)$ का चिह्न $c\,(x-a)^p$ का चिह्न होता है: $p$ सम होने पर अचर चिह्न, और $p$ विषम होने पर बदलता हुआ। ∎

**उदाहरण 16.18 (घातांकों को o(1)o(1)o(1) तक प्रसारित करना पड़ता है).**

$u_n = \bigl(1 + \frac1n\bigr)^{n^2}$ की तुल्यता खोजिए। *घातांक* को तब तक प्रसारित कीजिए जब तक उसकी त्रुटि $0$ की ओर न जाने लगे:

$$
n^2 \ln\Bigl(1 + \frac1n\Bigr)
= n^2\Bigl(\frac1n - \frac{1}{2n^2} +
O\Bigl(\frac{1}{n^3}\Bigr)\Bigr)
= n - \frac12 + O\Bigl(\frac1n\Bigr),
$$

अतः $\eu^{O(1/n)} \to 1$ के साथ $u_n = \eu^{\,n - 1/2}\,\eu^{O(1/n)}$:

$$
u_n \;\sim\; \eu^{\,n - \frac12} .
$$

ध्यान दीजिए कि कम सावधानी से क्या ग़लत हो जाता: घातांक को $n^2\cdot\frac1n =
n + O(1)$ पर रोक देने से $\eu^{O(1)}$ गुणक बच जाता है — जो परिबद्ध तो है पर $1$ की ओर नहीं जाता — और तब कोई तुल्यता नहीं कही जा सकती। ऊपर की भूलों वाला नियम, धनात्मक रूप में: $\eu^{a_n}$ की तुल्यता के लिए $a_n$ का प्रसार *शून्य की ओर जाते किसी पद तक* चाहिए, और उससे पहले का हर गुणांक यथार्थ रखना पड़ता है।

**उदाहरण 16.19 (किसी चपटे क्रांतिक बिंदु का वर्गीकरण).**

$0$ के पास $f(x) = \cos x + \frac{x^2}{2}$ का अध्ययन कीजिए। $f'(0) = 0$ और $f''(0) = -\cos 0 + 1 = 0$ दोनों: द्वितीय-अवकलज परीक्षण मौन है। इसके बदले प्रसार कीजिए:

$$
f(x) = \Bigl(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} +
o(x^4)\Bigr) + \frac{x^2}{2}
= 1 + \frac{x^4}{24} + o(x^4) :
$$

पहला अशून्य पद $c\,x^p$, जहाँ $p = 4$ सम है और $c = \frac{1}{24} > 0$: अतः स्थानीय न्यूनतम, और वह भी असाधारण चपटेपन का (आलेख अपने न्यूनतम मान को $x^2$ की तरह नहीं, $x^4$ की तरह छोड़ता है)। समापन का सार: प्रसार एक ही पंक्ति में वह देख लेता है जिसे दोहराया हुआ अवकलन धुँधला कर देता है — और [प्रतिज्ञप्ति 16.17](#prop-b1-taylor-local) “पहला बचा हुआ पद” से “स्थानीय आकार” तक का व्यवस्थित शब्दकोश है।

**उदाहरण 16.20 (अनंत पर प्रसार).**

दो संगणनाएँ जहाँ चर $+\infty$ की ओर भागता है और प्रतिस्थापन $h = \frac1x \to
0^+$ पूरा औज़ार-संदूक आयात कर देता है। पहली,

$$
x - x^2\ln\Bigl(1 + \frac1x\Bigr)
= x - x^2\Bigl(\frac1x - \frac{1}{2x^2} +
O\Bigl(\frac{1}{x^3}\Bigr)\Bigr)
= \frac12 + O\Bigl(\frac1x\Bigr) \longrightarrow \frac12 .
$$

दूसरी, अनंत पर [प्रतिलोम स्पर्शज्या](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/4-standard-functions#def-b1-functions-arc): $x > 0$ के लिए $\arctan x +
\arctan\frac1x = \frac\pi2$ ([प्रतिज्ञप्ति 4.12](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/4-standard-functions#prop-b1-functions-arcidentities)) से और $0$ पर $\arctan$ के प्रसार ([अभ्यास 16.3](#exo-b1-taylor-3)) से,

$$
\arctan x = \frac\pi2 - \arctan\frac1x
= \frac\pi2 - \frac1x + \frac{1}{3x^3} +
o\Bigl(\frac{1}{x^3}\Bigr) :
$$

अर्थात् आलेख अपनी अनंतस्पर्शी रेखा $y = \frac\pi2$ के पास नीचे से, चाल $\frac1x$ से, आता है। समापन का सार: अनंत पर प्रसारों का कोई अलग सिद्धांत है ही नहीं — एक व्युत्क्रम प्रतिस्थापन उन्हें $0$ पर के प्रसारों पर ले आता है, बशर्ते हर मध्यवर्ती $O$ और $o$ ईमानदारी से साथ ले जाया जाए।

**उदाहरण 16.21 (प्रसार से अनंतस्पर्शी रेखा).**

जब $x \to +\infty$,

$$
\sqrt{x^2 + x} = x\sqrt{1 + \tfrac1x}
= x\Bigl(1 + \frac{1}{2x} - \frac{1}{8x^2} + o\bigl(\tfrac{1}{x^2}\bigr)\Bigr)
= x + \frac12 - \frac{1}{8x} + o\bigl(\tfrac 1x\bigr):
$$

अतः रेखा $y = x + \frac12$ अनंतस्पर्शी है, और वक्र उसके पास *नीचे से* आता है (अगला पद $-\frac{1}{8x}$ ऋणात्मक है)।

**टिप्पणी 16.22 (प्रसार आगे कहाँ काम करते हैं).**

अनंतस्पर्शी प्रसार शेष पुस्तक की स्थायी भाषा हैं: [अध्याय 17](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/17-numerical-series#ch-b1-series) में वे अभिसरण तय करते हैं (तुल्यताएँ तुलना-कसौटियों को पोषित करती हैं, और $\sum
\frac{1}{n^\alpha}$ का अध्ययन वेश बदला प्रसार है); स्नातक वर्ष 2 के खंड में वे *घात श्रेणी* बन जाते हैं, जहाँ टेलर [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) अनंत पद और एक अभिसरण-त्रिज्या पा लेता है; और भौतिकी का हर रैखिकीकरण — लोलक, प्रथम कोटि का विक्षोभ — $o(\cdot)$ को चुपचाप गिरा देने वाला टेलर–यंग [कथन](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-statement) है। उकेरने योग्य एकमात्र चेतावनी: प्रसार किसी फलन का वर्णन केवल *एक बिंदु के पास* करता है — सप्ताहांत समस्या का चपटा फलन देखिए, जिसका $0$ पर प्रसार तत्समक रूप से शून्य है, यद्यपि फलन वैसा नहीं।

**टिप्पणी 16.23 (इस खंड के भीतर आगे की दृष्टि).**

प्रसार शेष विश्लेषण की और आने वाली ज्यामिति की काम की भाषा हैं। [अध्याय 17](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/17-numerical-series#ch-b1-series) उन्हें अभिसरण के निर्णयों में बदल देता है: व्यापक पद की तुल्यता अपने पहले पद पर काटा हुआ प्रसार ही है, और सूक्ष्मतर कसौटियाँ (त्रुटि-नियंत्रण सहित एकांतरित) दूसरा पद भी खा जाती हैं। [अध्याय 24](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/24-plane-curves#ch-b1-curves) दोनों निर्देशांक फलनों के प्रसारों से स्थानीय ज्यामिति पढ़ता है: कोई प्राचलित वक्र किसी बिंदु पर कटता है, चूमता है या उभयाग्र बनाता है, यह इससे तय होता है कि $x(t)$ और $y(t)$ में $t$ की कौन-सी घातें बच रहती हैं — अर्थात् [प्रतिज्ञप्ति 16.17](#prop-b1-taylor-local) का समतलीय रूप। और [अध्याय 25](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/25-functions-of-two-variables#ch-b1-multivar) जान-बूझकर कोटि एक पर रुक जाता है: स्पर्श तल दो चरों का टेलर–यंग [कथन](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-statement) है, और पूरा द्वितीय-कोटि सिद्धांत (हेस्सी आव्यूह, काठी बिंदु) स्नातक वर्ष 2 के खंड के लिए स्थगित है। साझा धागा: इस पुस्तक के हर “स्थानीय” प्रश्न का उत्तर किसी प्रसार का पहला बचा हुआ पद लिख देने से मिलता है।

## 16.4 अभ्यास

**अभ्यास 16.1 ★.**

$0$ पर प्रसार दीजिए: $\eu^{2x}$ कोटि $3$ तक; $\;\ln(1 - x)$ कोटि $4$ तक; $\;\sqrt{1 + x}$ कोटि $3$ तक; $\;\dfrac{1}{1 + x^2}$ कोटि $6$ तक।

**हल — अभ्यास 16.1.**

$$
\eu^{2x} = 1 + 2x + 2x^2 + \frac{4x^3}{3} + o(x^3);
\qquad
\ln(1 - x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} +
o(x^4);
$$

$$
\sqrt{1+x} = 1 + \frac x2 - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + o(x^3);
\qquad
\frac{1}{1 + x^2} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + o(x^6),
$$

अंतिम वाला गुणोत्तर प्रसार में $-x^2$ प्रतिस्थापित करके।

**अभ्यास 16.2 ★.**

सीमाएँ संगणित कीजिए:

$$
\lim_{x\to 0} \frac{\eu^x - 1 - x}{x^2},
\qquad
\lim_{x\to 0} \frac{\cos x - \sqrt{1 - x^2}}{x^4},
\qquad
\lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+x) - \sin x}{x^2}.
$$

**हल — अभ्यास 16.2.**

$\eu^x - 1 - x = \frac{x^2}{2} + o(x^2)$: सीमा $\dfrac12$।

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)$ और $\sqrt{1 - x^2} =
1 - \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{8} + o(x^4)$: अंतर $\frac{x^4}{24} +
\frac{x^4}{8} = \frac{x^4}{6} + o(x^4)$: सीमा $\dfrac16$।

$\ln(1+x) - \sin x = \bigl(x - \frac{x^2}{2}\bigr) - x + o(x^2) =
-\frac{x^2}{2} + o(x^2)$: सीमा $-\dfrac12$।

**अभ्यास 16.3 ★.**

$\frac{1}{1 + x^2}$ के प्रसार का समाकलन करके $0$ पर $\arctan x$ का कोटि $5$ तक प्रसार कीजिए, और $(1 - x^2)^{-1/2}$ के प्रसार का समाकलन करके $\arcsin x$ का कोटि $5$ तक।

**हल — अभ्यास 16.3.**

$\frac{1}{1+t^2} = 1 - t^2 + t^4 + o(t^5)$; $0$ से $x$ तक समाकलन ([विधि 16.12](#met-b1-taylor-compute) (5)):

$$
\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + o(x^5)\ \ (\text{सम}o(x^6)\text{, विषमता से}).
$$

$(1 - t^2)^{-1/2} = 1 + \frac{t^2}{2} + \frac38 t^4 + o(t^5)$ ($\alpha =
-\frac12$, $x = -t^2$ के साथ द्विपद प्रसार: $\binom{-1/2}{2} =
\frac{(-\frac12)(-\frac32)}{2} = \frac38$); समाकलन करने पर:

$$
\arcsin x = x + \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} + o(x^5) .
$$

**अभ्यास 16.4 ★.**

$\intcc{0}{1}$ पर $\exp$ के लिए टेलर–लाग्रांज का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि

$$
\Bigl| \eu - \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \Bigr| \leq
\frac{3}{(n+1)!},
$$

और ऐसा $n$ निर्धारित कीजिए जो $\eu$ के $6$ यथार्थ दशमलव की गारंटी दे।

**हल — अभ्यास 16.4.**

$a = 0$ पर $\exp$ के लिए टेलर–लाग्रांज ([प्रमेय 16.7](#thm-b1-taylor-lagrange)), $x
= 1$: $\intcc{0}{1}$ पर $(n+1)$-वाँ [अवकलज](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/14-differentiation#def-b1-derivative-def) $\eu^t \leq \eu < 3$ है, अतः

$$
\Bigl|\eu - \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}\Bigr| \leq
\frac{3}{(n+1)!} .
$$

$6$ यथार्थ दशमलव के लिए $\frac{3}{(n+1)!} < 5\times 10^{-7}$ चाहिए, अर्थात् $(n+1)! > 6\times 10^{6}$: चूँकि $10! = 3\,628\,800$ और $11! =
39\,916\,800$, $n + 1 = 11$, अर्थात् $n = 10$ पर्याप्त है।

**अभ्यास 16.5 ★★.**

$\frac1n$ में कोटि $2$ तक प्रसार कीजिए और उससे सीमा तथा अभिसरण की गति निकालिए:

$$
\Bigl(1 + \frac 1n\Bigr)^{\!n}
= \eu\Bigl(1 - \frac{1}{2n} + \frac{11}{24n^2} +
o\Bigl(\frac{1}{n^2}\Bigr)\Bigr).
$$

**हल — अभ्यास 16.5.**

$n\ln\bigl(1 + \frac1n\bigr) = n\Bigl(\frac1n - \frac{1}{2n^2} +
\frac{1}{3n^3} + o\bigl(\frac{1}{n^3}\bigr)\Bigr) = 1 - \frac{1}{2n} +
\frac{1}{3n^2} + o\bigl(\frac{1}{n^2}\bigr)$। चरघातांकी लेने पर, $u =
-\frac{1}{2n} + \frac{1}{3n^2}$ और $\eu^u = 1 + u + \frac{u^2}2 + o(u^2)$ के साथ:

$$
\Bigl(1 + \frac1n\Bigr)^n = \eu\cdot \eu^{u}
= \eu\Bigl(1 - \frac{1}{2n} + \frac{1}{3n^2} + \frac{1}{8n^2}
+ o\Bigl(\frac{1}{n^2}\Bigr)\Bigr)
= \eu\Bigl(1 - \frac{1}{2n} + \frac{11}{24n^2} +
o\Bigl(\frac{1}{n^2}\Bigr)\Bigr).
$$

सीमा $\eu$; और त्रुटि $\sim \dfrac{\eu}{2n}$ है: धीमी (हर दस गुना $n$ पर एक अंक)।

**अभ्यास 16.6 ★★.**

$0$ पर $f(x) = x^2 - x^4$ के और $g(x) = x^3 + x^5$ के स्थानीय व्यवहार का अध्ययन कीजिए; और $a = 1$ पर $h(x) = \eu^x$ के आलेख की उसकी स्पर्श रेखा के सापेक्ष स्थिति पहले स्थानीय रूप से, फिर समग्र रूप से खोजिए।

**हल — अभ्यास 16.6.**

$f(x) = x^2 - x^4 = x^2(1 + o(1))$: पहला पद $x^2$, $p = 2$ सम, गुणांक $> 0$: अतः $0$ पर स्थानीय न्यूनतम (समग्र नहीं: $f(2) = -12$)।

$g(x) = x^3 + x^5$: पहला पद $x^3$, विषम $p$: कोई चरम नहीं; $g$ अपनी (क्षैतिज) स्पर्श रेखा काट देता है: $0$ पर नति-परिवर्तन।

$a = 1$ पर $h = \exp$: $h(x) = \eu + \eu(x-1) + \frac{\eu}{2}(x-1)^2 +
o((x-1)^2)$; स्पर्श रेखा से अंतर स्थानीय रूप से $\frac{\eu}{2}(x-1)^2 +
o(\cdot) > 0$ है। समग्र रूप से: उत्तलता ([प्रमेय 14.19](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/14-differentiation#thm-b1-derivative-convexchar) (3)) से सभी $x$ के लिए $\eu^x - \eu x
\geq 0$: आलेख हर स्पर्श रेखा के ऊपर है, और समता केवल संपर्क बिंदु पर।

**अभ्यास 16.7 ★★.**

$f(x) = \sqrt[3]{x^3 + x^2}$ की $\pm\infty$ पर अनंतस्पर्शी रेखाएँ और उनके सापेक्ष वक्र की स्थिति निर्धारित कीजिए।

**हल — अभ्यास 16.7.**

$x \to +\infty$ के लिए:

$$
f(x) = x\Bigl(1 + \frac1x\Bigr)^{1/3}
= x\Bigl(1 + \frac{1}{3x} - \frac{1}{9x^2} +
o\Bigl(\frac{1}{x^2}\Bigr)\Bigr)
= x + \frac13 - \frac{1}{9x} + o\Bigl(\frac1x\Bigr):
$$

अनंतस्पर्शी रेखा $y = x + \frac13$, और $+\infty$ के पास वक्र उसके नीचे। जब $x \to -\infty$, तब वही संगणना वैध है (घनमूल सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है, और $\frac1x \to 0$): वही अनंतस्पर्शी रेखा $y = x + \frac13$, पर अब $-\frac{1}{9x} > 0$: अर्थात् वक्र रेखा के *ऊपर*।

**अभ्यास 16.8 ★★.**

जब $n \to \infty$, तब इनकी तुल्यता खोजिए

$$
u_n = \sqrt{n+1} - \sqrt n, \qquad
v_n = \ln(n+1) - \ln n, \qquad
w_n = \sin\frac{1}{n} - \tan\frac{1}{n},
$$

और हर एक को $n$ की किसी घात गुना किसी अचर के रूप में लिखिए।

**हल — अभ्यास 16.8.**

$u_n = \sqrt n\bigl(\sqrt{1 + \tfrac1n} - 1\bigr) = \sqrt
n\bigl(\frac{1}{2n} + o(\frac1n)\bigr) \sim \dfrac{1}{2\sqrt n}$.

$v_n = \ln\bigl(1 + \frac1n\bigr) \sim \dfrac 1n$.

$w_n$: $h = \frac1n \to 0$, $\sin h - \tan h = \bigl(h - \frac{h^3}{6}\bigr)
- \bigl(h + \frac{h^3}{3}\bigr) + o(h^3) = -\frac{h^3}{2} + o(h^3)$ के साथ, अतः $w_n \sim -\dfrac{1}{2n^3}$।

**अभ्यास 16.9 ★★★.**

मान लीजिए $f$ $\R$ पर $C^2$ है। सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक $x$ और $h > 0$ के लिए:

$$
\abs{f'(x)} \leq \frac{\abs{f(x+h) - f(x-h)}}{2h} +
\frac{h}{2}\sup_{\intcc{x-h}{x+h}}\abs{f''} ,
$$

और उससे लांडाउ–कोल्मोगोरोव प्रकार की असमिका निकालिए: यदि $\R$ पर $\abs f
\leq M_0$ और $\abs{f''} \leq M_2$, तो सर्वत्र $\abs{f'} \leq \sqrt{2 M_0
M_2}$। *($h$ पर इष्टतमीकरण कीजिए।)*

**हल — अभ्यास 16.9.**

$x$ के इर्द-गिर्द कोटि $1$ पर, दोनों ओर, टेलर–लाग्रांज:

$$
f(x + h) = f(x) + h f'(x) + R_+,\quad
f(x - h) = f(x) - h f'(x) + R_-,
\qquad \abs{R_\pm} \leq \frac{h^2}{2} \sup \abs{f''} .
$$

घटाने पर: $f(x+h) - f(x-h) = 2h f'(x) + (R_+ - R_-)$, अतः

$$
\abs{f'(x)} \leq \frac{\abs{f(x+h) - f(x-h)}}{2h} +
\frac{h}{2}\sup_{\intcc{x-h}{x+h}}\abs{f''} .
$$

समग्र परिबंधों के साथ: प्रत्येक $h > 0$ के लिए $\abs{f'(x)} \leq
\frac{M_0}{h} + \frac{M_2 h}{2}$। दायाँ पक्ष $h = \sqrt{2M_0/M_2}$ पर न्यूनतम होता है ([अवकलज](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/14-differentiation#def-b1-derivative-def) शून्य), जिसका मान $\sqrt{2M_0M_2}$ है — अतः $\abs{f'} \leq \sqrt{2M_0M_2}$। (यदि $M_2 = 0$, तो $h \to \infty$ लीजिए: $f'
= 0$, जो संगत है।)

**अभ्यास 16.10 ★★★.**

अनुक्रम $u_0 \in \intoo{0}{\pi}$, $u_{n+1} = \sin u_n$ घटकर $0$ तक जाता है (संक्षेप में न्यायसंगत ठहराइए)। उसकी गति खोजने के लिए $v_n =
\frac{1}{u_n^2}$ पर विचार कीजिए:

1. $\sin$ के प्रसार का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए $v_{n+1} - v_n \to  \frac13$ ;
2. चेज़ारो ( [अभ्यास 11.10](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/11-sequences#exo-b1-seq-10) ) के साथ $\frac{v_n}{n} \to \frac13$ निकालिए, फिर तुल्यता $u_n \sim \sqrt{\dfrac{3}{n}}$ ।

**हल — अभ्यास 16.10.**

$\intoo{0}{\pi}$ पर: $0 < \sin u < u$, अतः $(u_n)$ कठोरतः ह्रासमान और धनात्मक है, इसलिए अभिसारी; उसकी सीमा $\intcc{0}{\pi}$ में $\sin$ का अचल बिंदु है, और $\sin \ell = \ell$ $\ell = 0$ पर बाध्य कर देता है (क्योंकि $x >
0$ के लिए $\sin x < x$)।

1. $u \to 0$ होने पर $\sin u = u - \frac{u^3}{6} + o(u^3)$ का प्रयोग करते हुए: $$v_{n+1} - v_n = \frac{1}{\sin^2 u_n} - \frac{1}{u_n^2}  = \frac{1}{u_n^2}\Bigl(\Bigl(1 - \frac{u_n^2}{6} +  o(u_n^2)\Bigr)^{\!-2} - 1\Bigr)  = \frac{1}{u_n^2}\Bigl(\frac{u_n^2}{3} + o(u_n^2)\Bigr)  \longrightarrow \frac13 .$$
2. [अभ्यास 11.10](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/11-sequences#exo-b1-seq-10) (3) (अंतरों के लिए चेज़ारो) से $\frac{v_n}{n}  \to \frac13$, अर्थात् $v_n \sim \frac n3$, अर्थात् $u_n^2 \sim \frac 3n$: और चूँकि $u_n > 0$, $$u_n \sim \sqrt{\frac{3}{n}} .$$

**अभ्यास 16.11 ★★.**

(अनंतताओं के अंतर) संगणना कीजिए

$$
\lim_{x \to 0} \Bigl(\frac{1}{x^2} - \frac{1}{\sin^2 x}\Bigr)
\qquad\text{और}\qquad
\lim_{x \to 0^+} \Bigl(\frac 1x - \frac{1}{\ln(1 + x)}\Bigr)
$$

इसके लिए उभयनिष्ठ हर पर लाइए और अंश तथा हर को अलग-अलग प्रसारित कीजिए।

**हल — अभ्यास 16.11.**

उभयनिष्ठ हर। पहली सीमा:

$$
\frac{1}{x^2} - \frac{1}{\sin^2 x}
= \frac{\sin^2 x - x^2}{x^2\sin^2 x},
\qquad
\sin^2 x = \Bigl(x - \frac{x^3}{6} + o(x^4)\Bigr)^{\!2}
= x^2 - \frac{x^4}{3} + o(x^5) ,
$$

अतः अंश $-\frac{x^4}{3} + o(x^4)$ है जबकि हर $\sim x^4$: इसलिए सीमा $-\dfrac13$ है।

दूसरी: $\dfrac1x - \dfrac{1}{\ln(1+x)} = \dfrac{\ln(1+x) - x}{x\ln(1+x)}$; अंश $-\frac{x^2}{2} + o(x^2)$ है और हर $x\bigl(x + o(x)\bigr) \sim x^2$: अतः सीमा $-\dfrac12$ है।

**अभ्यास 16.12 ★★★.**

(अंतर्निहित मूलों का अनंतस्पर्शी) दिखाइए कि प्रत्येक $k \in \N^*$ के लिए समीकरण $\tan x = x$ का $\intoo{k\pi - \frac\pi2}{k\pi + \frac\pi2}$ में ठीक एक हल $x_k$ है, कि $\varepsilon_k = \arctan\frac{1}{x_k}$ के साथ $x_k = k\pi
+ \frac\pi2 - \varepsilon_k$, और उससे प्रसार निकालिए

$$
x_k = k\pi + \frac\pi2 - \frac{1}{k\pi} + o\Bigl(\frac
1k\Bigr) \qquad (k \to \infty).
$$

**हल — अभ्यास 16.12.**

$I_k = \intoo{k\pi - \frac\pi2}{k\pi + \frac\pi2}$ पर फलन $g(x) = \tan x -
x$ का [अवकलज](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/14-differentiation#def-b1-derivative-def) $\tan^2 x \geq 0$ है, जो केवल एक ही बिंदु $k\pi$ पर लुप्त होता है: अतः $g$ $I_k$ पर कठोरतः वर्धमान है ([उपप्रमेय 14.12](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/14-differentiation#cor-b1-derivative-monotone) (2)), और सिरों पर उसकी सीमाएँ $-\infty$ तथा $+\infty$ हैं: इसलिए ठीक एक शून्य $x_k$। $k \geq 1$ के लिए $g(k\pi) =
-k\pi < 0$, अतः $x_k \in \intoo{k\pi}{k\pi + \frac\pi2}$: $\varepsilon_k \in
\intoo{0}{\frac\pi2}$ के साथ $x_k = k\pi + \frac\pi2 - \varepsilon_k$ लिखिए। तब

$$
x_k = \tan x_k = \tan\Bigl(\frac\pi2 - \varepsilon_k\Bigr)
= \frac{1}{\tan\varepsilon_k}
\quad\Longrightarrow\quad
\varepsilon_k = \arctan\frac{1}{x_k} ,
$$

जहाँ $\tan\varepsilon_k = \frac{1}{x_k}$ और $\varepsilon_k \in
\intoo{0}{\frac\pi2}$ प्रयुक्त हुए। चूँकि $x_k \geq k\pi \to \infty$: $\varepsilon_k \to 0$, और

$$
\varepsilon_k = \arctan\frac{1}{x_k} = \frac{1}{x_k} +
O\Bigl(\frac{1}{x_k^3}\Bigr)
= \frac{1}{k\pi + O(1)} + O\Bigl(\frac{1}{k^3}\Bigr)
= \frac{1}{k\pi} + O\Bigl(\frac{1}{k^2}\Bigr) ,
$$

जिससे $x_k = k\pi + \frac\pi2 - \frac{1}{k\pi} + o\bigl(\frac1k\bigr)$।

## 16.5 समस्या: एकांतरित योग, प्रमाणित अंक, और $\cos 1$ की अपरिमेयता

**समस्या 16.1.**

सप्ताहांत समस्या — एकांतरित आकलन $\abs{S - S_n} \leq a_{n+1}$: सिद्ध दशमलवों के साथ $\ln 2$ और $\pi$, मैकिन का सूत्र, और $\cos 1 \notin \Q$

घटते पदों वाला एकांतरित योग संख्यात्मक विश्लेषण की सबसे मैत्रीपूर्ण वस्तु है: उसकी त्रुटि पहले छोड़े गए पद से परिबद्ध है, और वह भी *ज्ञात चिह्न के साथ*। यह समस्या उस सिद्धांत को संलग्न-अनुक्रम प्रमेय से सिद्ध करती है, फिर उसे तीन तरीक़ों से ख़र्च करती है: $\ln 2$ के लिए प्रमाणित दशमलव (तीन प्रतिस्पर्धी रास्ते) और $\pi$ के लिए (लाइब्निज़, फिर मैकिन का 1706 का सूत्र, जो सदियों तक कीर्तिमान संगणनाओं के पीछे का विचार बना रहा), $\cos 1$, $\sin
1$ और $\cosh 1$ की अपरिमेयता, और प्रतिभार के रूप में टेलर–लाग्रांज *समता* तथा वह चपटा फलन जिसका टेलर प्रसार झूठ बोलता है। आगे सर्वत्र “श्रेणी” की भाषा अनौपचारिक है: यहाँ हर योग *आंशिक योगों का अनुक्रम* है, जैसा [उदाहरण 11.12](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/11-sequences#ex-b1-seq-e) में है; सिद्धांत स्वयं [अध्याय 17](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/17-numerical-series#ch-b1-series) में खुलता है।

**भाग I — एकांतरित आकलन।** मान लीजिए $(a_k)_{k \geq
0}$ घटकर $0$ तक जाता है और $S_n = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k a_k$।

1. दिखाइए कि $(S_{2n+1})$ अह्रासमान है, $(S_{2n})$ अवर्धमान, और वे संलग्न हैं ([प्रमेय 11.11](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/11-sequences#thm-b1-seq-adjacent)): दोनों एक उभयनिष्ठ $S$ की ओर अभिसरित होते हैं, जहाँ प्रत्येक $n$ के लिए $$S_{2n+1} \leq S \leq S_{2n},  \qquad  \abs{S - S_n} \leq a_{n+1} ,$$ और त्रुटि का चिह्न पहले छोड़े गए पद का चिह्न है। इसके अतिरिक्त दिखाइए कि यदि कमी *कठोर* हो, तो ये सभी असमिकाएँ कठोर हैं।
2. पहला लाभांश: चरघातांकी श्रेणी में $x = 1$ के लिए $a = 0$ पर [प्रमेय 16.7](#thm-b1-taylor-lagrange) से तुलना कीजिए: दिखाइए कि $T_n =  \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!}$ $\eu^{-1}$ की ओर अभिसरित होता है, जहाँ $\abs{\eu^{-1} - T_n} < \frac{1}{(n+1)!}$ ।
3. (लाइब्निज़, 1674) *यथार्थ* परिमित सर्वसमिका $$\frac{1}{1 + t^2} = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k t^{2k}  + \frac{(-1)^{n+1} t^{2n+2}}{1 + t^2} ,$$ का $\intcc{0}{1}$ पर समाकलन करके सिद्ध कीजिए $$\frac\pi4 = \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{2k+1} + \rho_n,  \qquad \abs{\rho_n} \leq \frac{1}{2n+3} .$$
4. धीमापन: $\pi$ के छह यथार्थ दशमलव की गारंटी के लिए लाइब्निज़ के कितने पद चाहिए? (लगभग बीस लाख।) पीड़ा महसूस करने के लिए $4 S_4 = 4\bigl(1 -  \frac13 + \frac15 - \frac17 + \frac19\bigr)$ और $\pi$ से उसकी दूरी का मान निकालिए।

**भाग II — $\ln 2$ तीन तरीक़ों से।**

5. (तरीक़ा 1: एकांतरित हरात्मक) $\intcc{0}{1}$ पर समाकलित $\frac{1}{1+t} = \sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k t^k + \frac{(-1)^n t^n}{1+t}$ से: $$\ln 2 = \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{k} + (-1)^n  R_n, \qquad \frac{1}{2(n+1)} \leq R_n \leq  \frac{1}{n+1} :$$ त्रुटि का यथार्थ क्रम $\frac 1n$ है — अर्थात् छह दशमलव के लिए दस लाख पद।
6. (तरीक़ा 2: तेज़ श्रेणी) $\frac{1}{1 - t^2} = \sum_{k=0}^{n} t^{2k} +  \frac{t^{2n+2}}{1-t^2}$ का $0$ से $x \in \intoo{0}{1}$ तक समाकलन कीजिए और $x = \frac13$ पर मान लीजिए (ध्यान दीजिए $\frac{1 + 1/3}{1 - 1/3} = 2$): $$\ln 2 = 2\sum_{k=0}^{n} \frac{(1/3)^{2k+1}}{2k+1} +  \tilde\rho_n,  \qquad  0 < \tilde\rho_n \leq \frac{9}{4}\cdot  \frac{(1/3)^{2n+3}}{2n+3} :$$ अर्थात् गुणोत्तर अभिसरण, लगभग एक अंक प्रति पद।
7. (तरीक़ा 3: [रीमान योग](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/15-integration-on-a-segment#thm-b1-integration-riemann) और एक छिपी सर्वसमिका) आगमन से सर्वसमिका सिद्ध कीजिए $$\sum_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^{k-1}}{k} = H_{2n} - H_n =  \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n + k} ,$$ और [उदाहरण 15.21](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/15-integration-on-a-segment#ex-b1-integration-riemannexample) की रीमान-योग सीमा के रूप में $\ln 2$ वापस पाइए: तरीक़ा 1 और 3 गुप्त रूप से वही संख्या दो बार देखे जाने पर हैं।
8. छह पदों पर मुक़ाबला: $\sum_{k=1}^{6} \frac{(-1)^{k-1}}{k} = 0.6167$ की तुलना $n = 5$ पर तरीक़ा 2 से कीजिए, जो पहले ही $\leq 1.1\cdot10^{-7}$ त्रुटि के साथ $\ln 2 = 0.693147$ दे देता है। संरचनात्मक कारण समझाइए (अभिसरण-अंतराल के भीतर गहरा मूल्यांकन-बिंदु बनाम उसकी सीमा पर)।
9. $\ln 2$ के *दस* दशमलव प्रमाणित करने के लिए तरीक़ा 2 के कितने पद चाहिए? दिखाइए कि $n = 10$ पर्याप्त है।

**भाग III — मैकिन का सूत्र।**

10. $(5 + \iu)^4$ संगणित कीजिए और सम्मिश्र सर्वसमिका सत्यापित कीजिए $$(5 + \iu)^4 = 2\,(1 + \iu)\,(239 + \iu) .$$ कोणांक लेकर ([अध्याय 3](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/3-complex-numbers#ch-b1-complex) परिपाटियाँ) मैकिन का सूत्र निकालिए $$\frac\pi4 = 4\arctan\frac15 - \arctan\frac{1}{239} .$$ (जाँचिए कि कोई कोणांक $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ से बाहर नहीं जाता।)
11. प्रश्न 3 की भाँति $0 < x < 1$ के लिए स्थापित कीजिए: $$\arctan x = \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k  x^{2k+1}}{2k+1} + r_n(x), \qquad \abs{r_n(x)} \leq  \frac{x^{2n+3}}{2n+3} .$$
12. छह पदों से $\pi$ को सात दशमलव तक प्रमाणित कीजिए: की कुल त्रुटि को $$\pi \approx 16\sum_{k=0}^{4}  \frac{(-1)^k (1/5)^{2k+1}}{2k+1}  - 4\Bigl(\frac{1}{239} - \frac{1}{3\cdot239^3}\Bigr)$$ $16\,\frac{(1/5)^{11}}{11} + 4\,\frac{(1/239)^5}{5} < 5\cdot10^{-8}$ से परिबद्ध कीजिए, और परिणामी मान $3.1415926\dots$ दीजिए।
13. अब उपलब्ध $\pi$ के तीनों रास्तों की तुलना कीजिए — लाइब्निज़ (प्रश्न 4), [समस्या 15.1](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/15-integration-on-a-segment#pb-b1-integration-1) के डाल्ज़ेल [समाकल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/15-integration-on-a-segment#thm-b1-integration-def) (त्रुटि $4^{1-5m}$ ), मैकिन (त्रुटि $\approx 16\cdot 5^{-(2n+3)}$ ) — प्रति पद अंकों में, और समझाइए कि मूल्यांकन-बिंदु को छोटा करना सबसे अच्छा क्यों है।

**भाग IV — पूर्णांक-जाल, एकांतरित संस्करण।**

14. मान लीजिए $\cos 1 = \frac pq$ । $\sum_{k} \frac{(-1)^k}{(2k)!}$ के कठोर एकांतरित घेराव (प्रश्न 1) को $2n \geq q$ वाले $(2n)!$ से गुणा कीजिए, और विरोधाभास निकालिए: $\cos 1$ अपरिमेय है।
15. $\sin 1 = \sum_k \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}$ के लिए ढालिए ( $(2n+1)!$ से गुणा कीजिए): $\sin 1 \notin \Q$ । दोनों अपरिमेय, फिर भी $\cos^2 1 + \sin^2  1 = 1$ : अर्थात् अपरिमेयता बीजगणित के अंतर्गत स्थायी नहीं है।
16. अनेकांतरित चचेरा भाई: $\cosh 1 = \sum_k \frac{1}{(2k)!}$ (आंशिक-योग के अर्थ में, दुतरफ़ा पूँछ-परिबंध $0 < \cosh 1 - \sum_{k \leq n}  \frac{1}{(2k)!} < \frac{2}{(2n+2)!}$ के साथ, जिसे सिद्ध करना है)। उसी जाल से $\cosh 1 \notin \Q$ निष्कर्ष निकालिए।
17. प्रत्येक पूर्णांक $m \geq 1$ के लिए $\cos\frac 1m$ तक बढ़ाइए: $m^{2n}(2n)!$ से गुणा कीजिए और $\cos\frac1m \notin \Q$ निष्कर्ष निकालिए। व्यापक $b > 1$ के साथ $\cos\frac ab$ के लिए वही प्रयास कहाँ टूट जाता है? (वह हर पहचानिए जो अब नहीं कटता।)

**भाग V — तीक्ष्णतर और गहरा: समता-रूप, और वह फलन जो टेलर को धोखा देता है।**

18. (टेलर–लाग्रांज, समता-रूप) मान लीजिए $f$ $a$ और $x$ के बीच $n + 1$ बार [अवकलनीय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/14-differentiation#def-b1-derivative-def) है। $g(t) = f(x) - \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(t)}{k!}(x -  t)^k - A\,\frac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)!}$ परिभाषित कीजिए, जहाँ अचर $A$ ऐसा चुना गया हो कि $g(a) = 0$। $g'$ संगणित कीजिए (योग दूरबीनी हो जाता है), $\intcc{a}{x}$ पर रोल लगाइए, और निष्कर्ष निकालिए कि $a$ तथा $x$ के बीच कठोरतः स्थित ऐसा $c$ विद्यमान है कि $$f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k  + \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}\,(x-a)^{n+1} .$$
19. समता का लाभांश: $x > 0$ के लिए दिखाइए $$\eu^x > 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots +  \frac{x^n}{n!}$$ (और वह भी प्रत्येक $n$ के लिए कठोरतः), और बताइए कि $n$ की सम-विषमता के अनुसार $x < 0$ के लिए असमिका कहाँ उलट जाती है।
20. कोटि $3$ पर $\sin(0.5)$ पर शेषफलों का मानदंड लीजिए: यंग केवल $o(x^3)$ देता है (कोई संख्या नहीं); लाग्रांज $\abs{\sin 0.5 - (0.5 -  \frac{0.5^3}{6})} \leq \frac{0.5^5}{120} = 2.61\cdot10^{-4}$ देता है; और एकांतरित आकलन वही परिबंध *और साथ में* चिह्न की सूचना $\sin 0.5 > 0.5  - \frac{0.5^3}{6}$ देता है। सच्ची त्रुटि $2.59\cdot10^{-4}$ से तुलना कीजिए: परिबंध लगभग प्राप्त हो जाता है। आप कौन-सा औज़ार, और कब, उठाएँगे?
21. (चपटा फलन) $x \neq 0$ के लिए $f(x) = \eu^{-1/x^2}$ , और $f(0) = 0$ रखिए। दिखाइए कि $f$ $0$ पर [संतत](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/13-limits-and-continuity#def-b1-continuity-continuous) है, कि $f'(0) = 0$ , और अधिक व्यापक रूप से — यह सिद्ध करके कि प्रत्येक [अवकलज](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/14-differentiation#def-b1-derivative-def) किसी [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) $P_k$ के लिए $f^{(k)}(x) =  P_k\bigl(\frac1x\bigr)\eu^{-1/x^2}$ रूप का है (आगमन) — कि सभी $k$ के लिए $f^{(k)}(0) = 0$ *([वृद्धि तुलना](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/4-standard-functions#prop-b1-functions-powerrules) [प्रतिज्ञप्ति 4.6](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/4-standard-functions#prop-b1-functions-powerrules))* । निष्कर्ष: $0$ पर $f$ के सभी टेलर [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) लुप्त हो जाते हैं, फिर भी $x \neq 0$ के लिए $f(x) > 0$ : अर्थात् टेलर–यंग हर कोटि पर सत्य है और $0$ से दूर $f$ के विषय में कुछ नहीं कहता। प्रसार *अंकुरों* का वर्णन करते हैं, फलनों का नहीं।

**भाग VI — संश्लेषण।**

22. जाल को एक बार और, $\eu^{-1} = \sum_k \frac{(-1)^k}{k!}$ पर चलाइए: कठोर एकांतरित घेराव को $n!$ से गुणा कीजिए और $\eu^{-1} \notin \Q$ , अतः $\eu \notin \Q$ निष्कर्ष निकालिए — इस खंड में इस तथ्य की तीसरी उपपत्ति। तीनों गिनाइए ( [संलग्न अनुक्रम](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/11-sequences#thm-b1-seq-adjacent) , [अभ्यास 11.9](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/11-sequences#exo-b1-seq-9) ; [समाकल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/15-integration-on-a-segment#thm-b1-integration-def) , [समस्या 15.1](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/15-integration-on-a-segment#pb-b1-integration-1) ; एकांतरित योग, यहाँ) और हर एक को क्या चाहिए था।
23. महीन शर्त: एकदिष्टता सजावट नहीं है। विषम $k$ के लिए $b_k = \frac1k$ और सम $k$ के लिए $b_k = \frac{1}{k^2}$ लीजिए: $b_k$ धनात्मक हैं और $0$ की ओर जाते हैं, फिर भी $\sum (-1)^k b_k$ के आंशिक योग $-\infty$ की ओर अपसरित होते हैं। इसे सिद्ध कीजिए *(आंशिक योग को सम भाग, जो [उदाहरण 11.22](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/11-sequences#ex-b1-seq-basel) से परिबद्ध है, और विषम भाग, जो हरात्मक श्रेणी के आधे पर हावी है [अभ्यास 11.5](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/11-sequences#exo-b1-seq-5), में तोड़िए)* , और ठीक-ठीक बताइए कि प्रश्न 1 के किस पद ने एकदिष्टता प्रयुक्त की थी।
24. $(2 + \iu)(3 + \iu) = 5(1 + \iu)$ के द्वारा ऑयलर की सरल सर्वसमिका $\arctan\frac12 + \arctan\frac13 = \frac\pi4$ सत्यापित कीजिए, इस रास्ते से $\pi$ के छह दशमलव के लिए आवश्यक पदों का आकलन कीजिए ( $n = 10$ पर्याप्त है), और उसे प्रश्न 13 की क्रम-सूची में लाइब्निज़ और मैकिन के बीच रखिए।
25. संश्लेषण, एक-एक वाक्य में: (क) एकांतरित आकलन और उसके दोनों उत्पाद (परिबंध और चिह्न) कहिए; (ख) प्रमाणित संख्याओं के लिए स्पष्ट शेषफल वाली यथार्थ परिमित सर्वसमिकाएँ सीमा-कथनों से बेहतर क्यों हैं; (ग) समस्या की सूची ( $10^{-7}$ तक हाथ से $\pi$ , दस दशमलव तक $\ln 2$ , चार अपरिमेयता उपपत्तियाँ, एक समता प्रमेय, एक चेतावनी-उदाहरण); (घ) इनमें से कौन-से धागे [अध्याय 17](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/17-numerical-series#ch-b1-series) उठाएगा (एकांतरित श्रेणी कसौटी, निरपेक्ष बनाम सप्रतिबंध अभिसरण, और उसकी सप्ताहांत समस्या का पुनर्व्यवस्था-नाटक)।

**हल — समस्या 16.1.**

**1.** $S_{2n+1} - S_{2n-1} = a_{2n} - a_{2n+1} \geq 0$ और $S_{2n+2} -
S_{2n} = a_{2n+2} - a_{2n+1} \leq 0$, जबकि $S_{2n} - S_{2n+1} = a_{2n+1} \to
0$: अतः अनुक्रम $(S_{2n+1})$, $(S_{2n})$ संलग्न हैं और उभयनिष्ठ $S$ ([प्रमेय 11.11](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/11-sequences#thm-b1-seq-adjacent)) की ओर अभिसरित होते हैं, जहाँ $S_{2n+1} \leq S
\leq S_{2n}$। सम $n$ के लिए: $S_{n+1} \leq S \leq S_n$ $-a_{n+1} \leq S -
S_n \leq 0$ देता है; विषम $n$ के लिए: $0 \leq S - S_n \leq a_{n+1}$। दोनों स्थितियों में $\abs{S - S_n} \leq a_{n+1}$, और $S - S_n$ का चिह्न पहले छोड़े गए पद $(-1)^{n+1}$ का चिह्न है। कठोर कमी हर दिखाई गई असमिका को कठोर बना देती है, विशेष रूप से $0 < \abs{S - S_n} < a_{n+1}$।

**2.** $a_k = \frac{1}{k!}$ कठोरतः घटकर $0$ तक जाता है: अतः प्रश्न 1 लागू होता है। $-1$ और $0$ के बीच $\exp$ के लिए टेलर–लाग्रांज ([प्रमेय 16.7](#thm-b1-taylor-lagrange)): $\abs{\eu^{-1} - T_n} \leq
\frac{1}{(n+1)!}$ (वहाँ [अवकलज](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/14-differentiation#def-b1-derivative-def) $\eu^t$ $\leq 1$ है), अतः $T_n \to \eu^{-1}$, और प्रश्न 1 की सीमा $S$ ठीक $\eu^{-1}$ *है*, कठोर परिबंधों $0 <
\abs{\eu^{-1} - T_n} < \frac{1}{(n+1)!}$ के साथ।

**3.** सर्वसमिका का $\intcc{0}{1}$ पर समाकलन: बायाँ पक्ष $\arctan 1 =
\frac\pi4$ है (मूल प्रमेय), $k$-वाँ पद $\frac{(-1)^k}{2k+1}$ देता है, और

$$
\rho_n = (-1)^{n+1}\int_0^1 \frac{t^{2n+2}}{1+t^2}\dd t,
\qquad
\abs{\rho_n} \leq \int_0^1 t^{2n+2}\dd t = \frac{1}{2n+3} .
$$

**4.** $\pi$ पर त्रुटि $4\abs{\rho_n} \leq \frac{4}{2n+3}$ है: $10^{-6}$ से नीचे लाने के लिए $2n + 3 > 4\cdot10^6$ चाहिए, अर्थात् लगभग बीस लाख पद। इस बीच $4S_4 = 4\bigl(1 - \frac13 + \frac15 - \frac17 +
\frac19\bigr) = 4 \times 0.834921 = 3.339683$, जो $\pi$ से लगभग $0.2$ दूर है: पाँच पद, और एक अंक भी नहीं।

**5.** $\intcc{0}{1}$ पर समाकलन: $R_n = \int_0^1 \frac{t^n}{1+t}\dd t$ के साथ $\ln 2 = \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{k} + (-1)^n R_n$; $\frac12
\leq \frac{1}{1+t} \leq 1$ से: $\frac{1}{2(n+1)} \leq R_n \leq
\frac{1}{n+1}$। त्रुटि $\frac1n$ के दो गुणजों के बीच फँसी है: छह दशमलव की क़ीमत लगभग दस लाख पद।

**6.** $0$ से $x$ तक समाकलन: $\frac12\ln\frac{1 + x}{1 - x} =
\sum_{k=0}^{n} \frac{x^{2k+1}}{2k+1} + \int_0^x \frac{t^{2n+2}}{1-t^2}\dd
t$। $x = \frac13$ पर: $\frac{1 + 1/3}{1 - 1/3} = 2$, और $\intcc{0}{\frac13}$ पर $\frac{1}{1 - t^2} \leq \frac98$:

$$
\ln 2 = 2\sum_{k=0}^{n} \frac{(1/3)^{2k+1}}{2k+1} +
\tilde\rho_n,
\qquad
0 < \tilde\rho_n \leq \frac{9}{4}\cdot
\frac{(1/3)^{2n+3}}{2n+3} :
$$

हर अतिरिक्त पद त्रुटि को लगभग $9$ से भाग देता है।

**7.** आगमन: $n = 1$ के लिए $1 - \frac12 = \frac12 = H_2 - H_1$। पद:

$$
H_{2n+2} - H_{n+1} = (H_{2n} - H_n) + \frac{1}{2n+1} +
\frac{1}{2n+2} - \frac{1}{n+1}
= (H_{2n} - H_n) + \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+2},
$$

जो ठीक एकांतरित योग की वृद्धि है। और $H_{2n} - H_n =
\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k}$ [उदाहरण 15.21](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/15-integration-on-a-segment#ex-b1-integration-riemannexample) का [रीमान योग](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/15-integration-on-a-segment#thm-b1-integration-riemann) है, जो $\ln 2$ की ओर अभिसरित होता है: अर्थात् तरीक़ा 1 के सम आंशिक योग तरीक़ा 3 के [रीमान योग](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/15-integration-on-a-segment#thm-b1-integration-riemann) *ही* हैं।

**8.** $\sum_{k=1}^{6}\frac{(-1)^{k-1}}{k} = 0.61667$, त्रुटि $0.0765$; और $n = 5$ पर तरीक़ा 2 $\leq \frac94\cdot\frac{(1/3)^{13}}{13} =
1.1\cdot10^{-7}$ त्रुटि के साथ $0.6931471$ देता है। कारण: तरीक़ा 1 लघुगणक श्रेणी का मान सीमांत बिंदु $x = 1$ पर लेता है, जहाँ पद $\frac1k$ की तरह क्षय होते हैं; तरीक़ा 2 उसका मान $x = \frac13$ पर लेता है, जो भीतर गहरा है और जहाँ हर पद एक नया गुणक $\frac19$ ढोता है।

**9.** दस दशमलव: $\tilde\rho_n \leq 5\cdot10^{-11}$ चाहिए। $n = 10$ पर: $\frac94 \cdot \frac{(1/3)^{23}}{23} =
\frac94\cdot\frac{1.06\cdot10^{-11}}{23} \approx 1.0\cdot10^{-12} <
5\cdot10^{-11}$: अतः ग्यारह पद पर्याप्त हैं।

**10.** $(5+\iu)^2 = 24 + 10\iu$, फिर $(5+\iu)^4 = (24 + 10\iu)^2 = 476
+ 480\iu$; और $2(1+\iu)(239+\iu) = 2(238 + 240\iu) = 476 + 480\iu$: बराबर। कोणांक: $\arg(5 + \iu) = \arctan\frac15$, अतः बाएँ पक्ष का कोणांक $4\arctan\frac15 \approx 0.79 \in \intoo{0}{\pi}$ है; और दाएँ पक्ष का कोणांक $\frac\pi4 + \arctan\frac{1}{239} \in \intoo{0}{\pi}$ है। एक ही $< 2\pi$ लंबाई के [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) में कोणांक वाली दो बराबर सम्मिश्र संख्याएँ:

$$
4\arctan\frac15 = \frac\pi4 + \arctan\frac{1}{239} ,
$$

जो मैकिन का सूत्र है।

**11.** $\frac{1}{1+t^2} = \sum_{k=0}^n (-1)^k t^{2k} +
\frac{(-1)^{n+1}t^{2n+2}}{1+t^2}$ का $0$ से $x$ तक समाकलन कीजिए:

$$
\arctan x = \sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k x^{2k+1}}{2k+1} +
r_n(x),
\qquad
\abs{r_n(x)} \leq \int_0^x t^{2n+2}\dd t =
\frac{x^{2n+3}}{2n+3} .
$$

**12.** त्रुटियाँ: $16\,\frac{(1/5)^{11}}{11} = 3.0\cdot 10^{-8}$ और $4\,\frac{(1/239)^5}{5} \approx 1\cdot10^{-12}$: कुल $< 5\cdot10^{-8}$। दिखाया गया योग $3.14159268\dots$ निकलता है, अतः $\pi = 3.1415926\dots$ $5\cdot10^{-8}$ तक प्रमाणित: अर्थात् छह पदों से सात दशमलव (उदारता से गिनें तो $\frac15$ पर पाँच और $\frac1{239}$ पर दो)।

**13.** लाइब्निज़: त्रुटि $\sim \frac1n$, अतः हर नया अंक काम को दस गुना कर देता है। डाल्ज़ेल ([समस्या 15.1](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/15-integration-on-a-segment#pb-b1-integration-1), प्रश्न 22): त्रुटि $4^{1-5m}$, अर्थात् लगभग तीन अंक प्रति पद, पर हर पद में भारी [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def)। मैकिन: प्रति पद त्रुटि-अनुपात $\frac{1}{25}$, अर्थात् लगभग $1.4$ अंक प्रति पद, और हर पद में एक ही भाग। उपदेश: गुणोत्तर प्रकार के प्रसार का शेषफल $x^{2n}$ की तरह मापित होता है, अतः $x$ को छोटा करना प्रति पद *नियत* लागत पर अंक ख़रीद लेता है — और मैकिन की सम्मिश्र सर्वसमिका ठीक $x$ सिकोड़ने की मशीन है।

**14.** $a_k = \frac{1}{(2k)!}$ कठोरतः घटकर $0$ तक जाता है; प्रश्न 1 और [प्रतिज्ञप्ति 16.11](#prop-b1-taylor-standard) (प्रश्न 2 की भाँति लाग्रांज परिबंध) से $\sum_{k \leq n}\frac{(-1)^k}{(2k)!} \to \cos 1$, और वह भी *कठोर* घेराव $0 < \bigl|\cos 1 - S'_n\bigr| < \frac{1}{(2n+2)!}$ के साथ। मान लीजिए $\cos
1 = \frac pq$ और $2n \geq q$ लीजिए: तब $(2n)!\,S'_n = \sum_{k\leq n} (-1)^k
\frac{(2n)!}{(2k)!} \in \Z$ और $(2n)!\,\frac pq \in \Z$, जबकि

$$
0 < \Bigl|(2n)!\cos 1 - (2n)!S'_n\Bigr| <
\frac{(2n)!}{(2n+2)!} = \frac{1}{(2n+1)(2n+2)} < 1 :
$$

अर्थात् $< 1$ निरपेक्ष मान वाला अशून्य पूर्णांक। विरोधाभास: $\cos 1 \notin
\Q$।

**15.** ठीक वैसे ही $a_k = \frac{1}{(2k+1)!}$ के साथ, $2n + 1 \geq q$ वाले $(2n+1)!$ से गुणा करने पर: $\sin 1 \notin \Q$। फिर भी $\cos^2 1 +
\sin^2 1 = 1 \in \Q$: अपरिमेय संख्याओं के गुणनफल और योग परिमेय हो सकते हैं — अपरिमेयता किसी भी बीजीय संक्रिया से मुफ़्त में पार नहीं होती।

**16.** पूँछ-परिबंध: $m > n$ के लिए,

$$
\sum_{k=n+1}^{m} \frac{1}{(2k)!}
\leq \frac{1}{(2n+2)!}\Bigl(1 + \frac12 + \frac14 +
\dots\Bigr) \leq \frac{2}{(2n+2)!} ,
$$

क्योंकि हर क्रमिक अनुपात $\frac{1}{(2k+1)(2k+2)} \leq \frac12$ है; और पूँछ धनात्मक है (उसका पहला पद धनात्मक है)। अतः $0 < \cosh 1 - \sum_{k\leq
n}\frac{1}{(2k)!} < \frac{2}{(2n+2)!}$, और $2n \geq q$ वाले $(2n)!$ से गुणा करने पर फिर एक अशून्य पूर्णांक $\intoo{0}{1}$ में फँस जाता है: $\cosh 1
\notin \Q$।

**17.** $\cos\frac1m = \sum_k \frac{(-1)^k}{m^{2k}(2k)!}$: पद कठोरतः घटकर शून्य तक जाते हैं, और $k \leq n$ के लिए $m^{2n}(2n)!\cdot\frac{1}{m^{2k}(2k)!} = m^{2(n-k)}\frac{(2n)!}{(2k)!} \in
\Z$। यदि $\cos\frac1m = \frac pq$, तो कठोर घेराव को $q\,m^{2n}(2n)!$ से गुणा कीजिए: बड़े $n$ के लिए त्रुटि $\frac{q}{m^2(2n+1)(2n+2)} < 1$ से परिबद्ध है: विरोधाभास। $a \geq 2$ वाले $\frac ab$ के लिए: हर हटाने से पूँछ $b^{2n}(2n)!$ से गुणित हो जाती है, पर पहला छोड़ा गया पद $\frac{a^{2n+2}}{b^{2n+2}(2n+2)!}$ है, और गुणनफल $\frac{a^{2n+2}}{b^2(2n+1)(2n+2)}$ *फट पड़ता है*: अंश $a^{2n+2}$ अब नहीं कटता, और जाल जाम हो जाता है। (परिणाम फिर भी सत्य है — पर नाइवन-शैली की मशीनरी से, इससे नहीं।)

**18.** $t = x$ पर $g$ का हर पद $f(x) - f(x) = 0$ को छोड़कर लुप्त हो जाता है: $g(x) = 0$; और $A$ ऐसा चुना गया है कि $g(a) = 0$। अवकलन करने पर योग दूरबीनी हो जाता है:

$$
g'(t) = -\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x - t)^n +
A\,\frac{(x-t)^n}{n!}
= \frac{(x-t)^n}{n!}\bigl(A - f^{(n+1)}(t)\bigr) .
$$

$a$ से $x$ तक के खंड पर रोल कठोरतः बीच में ऐसा $c$ देता है कि $g'(c) = 0$; और चूँकि $(x - c)^n \neq 0$: $A = f^{(n+1)}(c)$। $g(a) = 0$ को खोलने पर शेषफल $\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$ वाली टेलर समता मिल जाती है।

**19.** $x > 0$ के लिए शेषफल $\frac{\eu^{c}} {(n+1)!}x^{n+1} > 0$ है: अर्थात् चरघातांकी हर कोटि पर अपने प्रत्येक टेलर [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) से कठोरतः बड़ा है। $x
< 0$ के लिए शेषफल का चिह्न $x^{n+1}$ का चिह्न है: $\eu^x$ विषम $n$ के लिए [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) के *ऊपर* है और सम $n$ के लिए *नीचे* — अर्थात् बारी-बारी से दोनों ओर, जैसा $\eu^x$ के सामने $1 + x$ और $1 + x + \frac{x^2}{2}$ के आलेख पहले ही दिखा देते हैं।

**20.** सच्ची त्रुटि: $\sin 0.5 - 0.4791667 = 2.59\cdot10^{-4}$, परिबंध $\frac{0.5^5}{120} = 2.60\cdot10^{-4}$ के सामने: अर्थात् लगभग प्राप्त (अगला पद पूँछ पर हावी है)। यंग: सीमाओं और स्थानीय विश्लेषण के लिए, जहाँ किसी अचर की आवश्यकता नहीं। लाग्रांज: प्रमाणित दशमलवों के लिए। एकांतरित: जहाँ लागू हो, वही परिबंध *और साथ में* त्रुटि की दिशा — तीनों में सर्वोत्तम, पर सबसे दुर्लभ।

**21.** $0$ पर [सांतत्य](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/13-limits-and-continuity#def-b1-continuity-continuous): $u = \frac{1}{x^2} \to +\infty$ के साथ $f(x) =
\eu^{-u} \to 0 = f(0)$। $0$ पर [अवकलज](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/14-differentiation#def-b1-derivative-def): $\bigl|\frac{f(h)}{h}\bigr| = \sqrt
u\,\eu^{-u} \to 0$ ([प्रतिज्ञप्ति 4.6](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/4-standard-functions#prop-b1-functions-powerrules)): $f'(0) = 0$। $x
\neq 0$ के लिए $f'(x) = \frac{2}{x^3}\eu^{-1/x^2}$: अर्थात् $P_1(X) = 2X^3$ के साथ $P_1\bigl(\frac1x\bigr)\eu^{-1/x^2}$ रूप; और आगमन से $P_k(\frac1x)\eu^{-1/x^2}$ का अवकलन $P_{k+1}(X) = 2X^3 P_k(X) - X^2 P_k'(X)$ देता है, जो [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) है। फिर

$$
\frac{f^{(k)}(h) - 0}{h} = v\,P_k(v)\,\eu^{-v^2}
\Big|_{v = 1/h} \longrightarrow 0
$$

($\pm\infty$ पर [वृद्धि तुलना](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/4-standard-functions#prop-b1-functions-powerrules), $\eu^{-v^2}$ के सामने [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def)): अतः आगमन से सभी $k$ के लिए $f^{(k)}(0) = 0$। $0$ पर $f$ के सभी टेलर [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) लुप्त हो जाते हैं, फिर भी $0$ से बाहर $f > 0$: अर्थात् टेलर–यंग हर कोटि पर यथार्थ है और अंकुर से आगे अंधा। प्रसार केवल स्थानीय सूचना है।

**22.** प्रश्न 2 से कठोरतः $0 < \abs{\eu^{-1} - T_n} <
\frac{1}{(n+1)!}$। यदि $\eu^{-1} = \frac pq$, तो $n \geq q$ लीजिए और $n!$ से गुणा कीजिए: $n!\,T_n \in \Z$ और $n!\frac pq \in \Z$, अतः किसी अशून्य पूर्णांक का निरपेक्ष मान $< \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1} < 1$ हो जाता है: विरोधाभास। अतः $\eu^{-1} \notin \Q$, और $\eu = \frac{1}{\eu^{-1}}$ भी अपरिमेय है। तीनों उपपत्तियाँ: [अभ्यास 11.9](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/11-sequences#exo-b1-seq-9) में $q!\,\eu$ को दबाने वाले [संलग्न अनुक्रम](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/11-sequences#thm-b1-seq-adjacent); [समस्या 15.1](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/15-integration-on-a-segment#pb-b1-integration-1) में [समाकल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/15-integration-on-a-segment#thm-b1-integration-def) पुनरावृत्ति $A_n =
\eu - nA_{n-1}$; और एकांतरित घेराव (यहाँ)। एक जाल, लघुता के तीन प्रमाणपत्र।

**23.** आंशिक योगों को जोड़ों में समूहबद्ध कीजिए: $E_n = \sum_{j=1}^{n}
\frac{1}{4j^2}$ वाला $\sum_{k=1}^{2n} (-1)^k b_k = E_n - O_n$, जो परिबद्ध है ([उदाहरण 11.22](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/11-sequences#ex-b1-seq-basel), $E_n \leq \frac12$ के दूरबीनी परिबंध से), और $O_n =
\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{2j-1} \geq \frac12 H_n \to +\infty$ ([अभ्यास 11.5](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/11-sequences#exo-b1-seq-5)): अतः आंशिक योग $-\infty$ की ओर जाते हैं। प्रश्न 1 में एकदिष्टता ठीक वहाँ प्रयुक्त हुई थी जहाँ $S_{2n+1} - S_{2n-1} = a_{2n} -
a_{2n+1}$ को चिह्न चाहिए था: कमी के बिना सम और विषम उपानुक्रमों का एकदिष्ट होना आवश्यक नहीं, और संलग्नता ढह जाती है।

**24.** $(2+\iu)(3+\iu) = 5 + 5\iu = 5(1+\iu)$; कोणांक लेने पर (सभी $\intoo{0}{\frac\pi2}$ में): $\arctan\frac12 + \arctan\frac13 = \frac\pi4$। छह दशमलव के लिए श्रेणी की लागत: त्रुटि $\leq
4\bigl(\frac{(1/2)^{2n+3}}{2n+3} + \frac{(1/3)^{2n+3}}{2n+3}\bigr)$, जो $n =
10$ पर $\approx 2\cdot10^{-8} < 5\cdot10^{-7}$ है: अर्थात् ग्यारह पद। क्रम: लाइब्निज़ से चरघातांकी अंतर से बेहतर, और मैकिन से पीछे (जिसका प्रभावी बिंदु $\frac15$ $\frac12$ से छोटा है): मैकिन के $1.4$ के सामने लगभग $0.6$ अंक प्रति पद।

**25.** (क) ह्रासमान $a_k \to 0$ के लिए एकांतरित आंशिक योग $\abs{S -
S_n} \leq a_{n+1}$ के साथ अभिसरित होते हैं, और त्रुटि पहले छोड़े गए पद का चिह्न ढोती है। (ख) स्पष्ट शेषफल वाली परिमित सर्वसमिका का *किसी चुने हुए बिंदु पर मान निकाला और परिबद्ध किया* जा सकता है, जबकि सीमा-कथन केवल अंततः निकटता का वचन देता है — और प्रमाणन के लिए पहला ही चाहिए। (ग) निकाले गए परिणाम: मैकिन से $5\cdot10^{-8}$ तक $\pi$, $\frac13$-श्रेणी से दस दशमलव तक $\ln 2$, $\cos 1$, $\sin 1$, $\cosh 1$, $\cos\frac1m$ और $\eu^{-1}$ की अपरिमेयता, टेलर–लाग्रांज समता, और चपटे फलन की चेतावनी। (घ) [अध्याय 17](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/17-numerical-series#ch-b1-series) प्रश्न 1 को एकांतरित श्रेणी कसौटी में उन्नत करता है, निरपेक्ष को सप्रतिबंध अभिसरण से अलग करता है, और उसकी सप्ताहांत समस्या वह पुनर्व्यवस्था-नाटक मंचित करती है जिसका मुख्य साक्षी तरीक़ा 1 की एकांतरित हरात्मक श्रेणी है।