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title: "सदिश समष्टियाँ"
book: "विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 1"
subject: math
language: hi
chapter: 18
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/18-vector-spaces
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# अध्याय 18 — सदिश समष्टियाँ

रैखिक बीजगणित यहीं से आरंभ होता है: [सदिश समष्टि](#def-b1-vspaces-def) के अभिगृहीत ठीक वही बात अलग करके दिखाते हैं जो $\R^2$, $\R^3$, [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) समष्टियों और फलन समष्टियों में उभयनिष्ठ है — उनमें जोड़ा जा सकता है, और मापित किया जा सकता है। सिद्धांत दो अध्यायों में खड़ा होता है ([अध्याय 19](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/19-finite-dimension#ch-b1-findim) विमा जोड़ता है); और जो भाषा वे रचते हैं — [जनित समष्टि](#def-b1-vspaces-span), [स्वतंत्र कुल](#def-b1-vspaces-free), [आधार](#def-b1-vspaces-free), [प्रत्यक्ष योग](#def-b1-vspaces-sum) — वही उनके बाद के हर अध्याय की रोज़ की रोटी है। सर्वत्र $K$ का अर्थ $\R$ या $\C$ है (*अदिश*)।

## 18.1 परिभाषा और उदाहरण

**परिभाषा 18.1 (सदिश समष्टि).**

*$K$-सदिश समष्टि* एक ऐसा [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $E$ है जिस पर एक योग हो जो $(E, +)$ को [आबेली समूह](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-group) बनाता हो (शून्य को $0_E$ अथवा $0$ लिखा जाता है), और एक अदिश गुणन $K \times E \to E$ हो, ऐसा कि सभी $\lambda, \mu \in K$ और $x, y \in E$ के लिए:

$$
\lambda(x + y) = \lambda x + \lambda y,\quad
(\lambda + \mu) x = \lambda x + \mu x,\quad
\lambda(\mu x) = (\lambda\mu) x,\quad
1\,x = x .
$$

परिणाम: $0\,x = 0_E$, $\lambda\,0_E = 0_E$, $(-1)x = -x$, और $\lambda x =
0_E \implies \lambda = 0$ अथवा $x = 0_E$ ($\lambda^{-1}$ से गुणा कीजिए)।

**परिणामों की उपपत्ति.** $0\,x = 0_E$ के लिए: $(0 + 0)x = 0x + 0x$ और $(0+0)x = 0x$ से, [समूह](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-group) $(E, +)$ में $0x$ को काट दीजिए। $\lambda\,0_E$ के लिए: $\lambda(0_E + 0_E)$ पर वही चाल। $(-1)x$ के लिए: $x$ जोड़िए,

$$
x + (-1)x = 1\,x + (-1)x = \bigl(1 + (-1)\bigr)x = 0\,x = 0_E ,
$$

अतः $(-1)x$ $x$ का योज्य प्रतिलोम है। अंत में यदि $\lambda \neq 0$ के साथ $\lambda x = 0_E$: तो $\lambda^{-1}$ से गुणा कीजिए (अदिश एक [क्षेत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-field) बनाते हैं) और दोनों अभिगृहीत $\lambda^{-1}(\lambda x) = (\lambda^{-1}\lambda)x =
1x = x$ का $\lambda^{-1}0_E = 0_E$ के साथ प्रयोग कीजिए: $x = 0_E$। छोटे होते हुए भी ये चार नियम आगे के हर पृष्ठ पर चुपचाप काम आते हैं — और अंतिम नियम ठीक वहीं है जहाँ [क्षेत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-field) चाहिए: अदिश $\Z$ पर “समष्टि” $\Z/2\Z$ उसका उल्लंघन कर देती, क्योंकि $2\,x = 0$। ∎

**उदाहरण 18.2.**

$K^n$ (निर्देशांकवार संक्रियाएँ); [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) $K[X]$; किसी भी [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) $A$ से $K$ में जाने वाले फलन $\mathcal{F}(A, K)$ (बिंदुवार संक्रियाएँ) — जिनमें [संतत](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/13-limits-and-continuity#def-b1-continuity-continuous) फलन, अनुक्रम $\mathcal{F}(\N, \R)$ आदि आ जाते हैं; और $\R$-सदिश समष्टि के रूप में $\C$। हर स्थिति में अभिगृहीत $K$ के अभिगृहीतों से विरासत में मिलते हैं।

**परिभाषा 18.3 (उपसमष्टि).**

$F \subseteq E$ *उपसमष्टि* तब कहलाती है जब $0_E \in F$ और $F$ योग तथा अदिश गुणन के अंतर्गत स्थायी हो — अथवा तुल्य रूप से:

$$
F \neq \emptyset
\qquad\text{और}\qquad
\forall x, y \in F,\ \forall \lambda \in K,\quad
x + \lambda y \in F .
$$

उपसमष्टि स्वयं एक [सदिश समष्टि](#def-b1-vspaces-def) होती है। उपसमष्टियों का कोई भी सर्वनिष्ठ उपसमष्टि होता है; संघ लगभग कभी नहीं होता ([अभ्यास 7.6](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/7-algebraic-structures#exo-b1-structures-6) जैसी ही उपपत्ति)।

**उदाहरण 18.4.**

$\mathcal{F}(\R, \R)$ में: [संतत](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/13-limits-and-continuity#def-b1-continuity-continuous) फलन, [अवकलनीय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/14-differentiation#def-b1-derivative-def) फलन, $\leq n$ घात वाले [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) ($K[X]$ के भीतर $K_n[X]$ लिखा जाता है), किसी समघातीय रैखिक अवकल समीकरण के हल ([प्रमेय 5.10](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/5-linear-differential-equations#thm-b1-diffeq-homogeneous2) ने ठीक यही कहा था)। प्रति-उदाहरण: $\{f :
f(0) = 1\}$ (शून्य नहीं है), ठीक $n$ घात वाले [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) (योग के अंतर्गत स्थायी नहीं)।

**उदाहरण 18.5 (उपसमष्टि है या नहीं: चार निर्णय, तर्क सहित).**

वास्तविक अनुक्रमों की समष्टि में:

- $\{u : u \text{ परिबद्ध}\}$ [उपसमष्टि](#def-b1-vspaces-subspace) *है* : $0$ परिबद्ध है, और यदि $\abs{u_n} \leq M$ , $\abs{v_n} \leq M'$ , तो $\abs{u_n + \lambda v_n}  \leq M + \abs\lambda M'$ ।
- $\{u : u_n \to 1\}$ *नहीं* है: शून्य अनुक्रम अनुपस्थित है (और दो सदस्यों का योग $2$ की ओर जाता है)।
- $\{u : u \text{ एकदिष्ट}\}$ *नहीं* है: $u_n = n$ और $v_n = -n +  (-1)^n$ एकदिष्ट हैं, पर उनका योग $(-1)^n$ नहीं; यहाँ योग के अंतर्गत स्थायित्व वाला अभिगृहीत विफल होता है, यद्यपि [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) में $0$ है और अपने सदस्यों के सभी अदिश गुणज भी।
- $\{u : u_{n+1} = u_n^2\}$ *नहीं* है: उसमें $0$ है, पर $u$ के अशून्य सदस्य होते ही $2u$ बाहर निकल जाता है (व्यापक रूप से $2u_{n+1} \neq  (2u_n)^2$ ) — अरैखिकता वर्ग करने में है।

काम का क्रम सदा एक ही है: पहले $0$ की जाँच (सबसे सस्ती), फिर स्थायित्व — और खंडन के लिए एक स्पष्ट प्रति-उदाहरण की जोड़ी किसी भी मात्रा के संदेह से बेहतर है।

## 18.2 जनित समष्टि, योग, प्रत्यक्ष योग

**परिभाषा 18.6 (रैखिक संयोजन, जनित समष्टि).**

$E$ के सदिशों के कुल $(x_1, \dots, x_p)$ का *रैखिक संयोजन* कोई भी $\lambda_1 x_1 + \dots + \lambda_p x_p$ है ($\lambda_i \in K$)। उन सबका [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) *जनित समष्टि* $\operatorname{Vect}(x_1,
\dots, x_p)$ है: यह एक [उपसमष्टि](#def-b1-vspaces-subspace) है, और उस कुल को समाहित करने वाली सबसे छोटी।

**दोनों कथनों की उपपत्ति.** स्थायित्व: दो रैखिक संयोजनों का योग $\sum\lambda_i x_i + \sum\mu_i x_i =
\sum(\lambda_i + \mu_i)x_i$ फिर से एक रैखिक संयोजन है, और अदिश गुणज $\mu\sum\lambda_i x_i = \sum(\mu\lambda_i) x_i$ भी; शून्य संयोजन दिखाता है कि $0$ उसमें है: अतः [जनित समष्टि](#def-b1-vspaces-span) एक [उपसमष्टि](#def-b1-vspaces-subspace) है। न्यूनतमता: मान लीजिए $H$ $x_1, \dots, x_p$ को समाहित करने वाली कोई [उपसमष्टि](#def-b1-vspaces-subspace) है। अदिश गुणन के अंतर्गत स्थायित्व से प्रत्येक $\lambda_i x_i \in H$, और योग के अंतर्गत स्थायित्व से उनका योग $H$ में है: अतः हर रैखिक संयोजन $H$ का सदस्य है, अर्थात् $\operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_p) \subseteq H$। इस प्रकार [जनित समष्टि](#def-b1-vspaces-span) उस कुल को समाहित करने वाली हर [उपसमष्टि](#def-b1-vspaces-subspace) के भीतर है: वही सबसे छोटी है। ∎

**परिभाषा 18.7 (योग, प्रत्यक्ष योग).**

$E$ की उपसमष्टियों $F, G$ के लिए:

$$
F + G = \{\,u + v : u \in F,\ v \in G\,\}
$$

एक [उपसमष्टि](#def-b1-vspaces-subspace) है ($F \cup G$ को समाहित करने वाली सबसे छोटी)। यह योग *प्रत्यक्ष* तब कहलाता है और $F \oplus G$ लिखा जाता है, जब $F + G$ का हर अवयव *अद्वितीय* रूप से $u + v$ के रूप में विघटित होता हो; तुल्य रूप से (नीचे देखिए) जब $F \cap G = \{0\}$ हो। और जब $E = F
\oplus G$ हो, तो वे उपसमष्टियाँ $E$ में *पूरक* कहलाती हैं।

**उदाहरण 18.8 (दो रेखाओं का योग).**

$\R^3$ में मान लीजिए $F = \operatorname{Vect}\bigl((1,0,1)\bigr)$ और $G =
\operatorname{Vect}\bigl((0,1,1)\bigr)$। उनका योग है

$$
F + G = \{\,a(1,0,1) + b(0,1,1)\,\}
= \{(a,\ b,\ a + b)\} = \{(x, y, z) : z = x + y\},
$$

अर्थात् मूल बिंदु से होकर जाने वाला वह समतल जिसमें दोनों रेखाएँ हैं। यह संघ $F \cup G$ (केवल दो कटती हुई रेखाओं का आकार) से सचमुच बड़ा है: सदिश $(1, 1,
2) = (1,0,1) + (0,1,1)$ योग में है पर किसी भी रेखा पर नहीं। और $F \cap G =
\{0\}$ (उभयनिष्ठ सदिश के लिए $a(1,0,1) = b(0,1,1)$ चाहिए, जिसके पहले दो [निर्देशांक](#prop-b1-vspaces-coordinates) $a = b = 0$ बाध्य कर देते हैं): अतः योग प्रत्यक्ष है, और $F
\oplus G$ ठीक वही समतल है।

**प्रतिज्ञप्ति 18.9.**

$F + G$ प्रत्यक्ष है तभी जब $F \cap G = \{0\}$।

**उपपत्ति.** यदि कोई $w \neq 0$ $F \cap G$ में हो: तो $w = w + 0 = 0 + w$ $w$ के दो विघटन हैं। विलोमतः, यदि $u, u' \in F$, $v, v' \in G$ के साथ $u + v = u' + v'$, तो $u - u' = v' - v$ $F \cap G = \{0\}$ का सदस्य है: अतः विघटन अद्वितीय हैं। ∎

**विधि 18.10 (E=F⊕GE = F \oplus GE=F⊕G सिद्ध करना).**

दो बातें जाँचनी हैं, और हर एक की अपनी मानक पहली चाल है।

1. *तुच्छ सर्वनिष्ठ।* $x \in F \cap G$ लीजिए, दोनों सदस्यता-प्रतिबंध खोलकर लिखिए, और $x = 0$ तक दबा दीजिए। (चित्र देखकर कभी तर्क मत कीजिए: नीचे दी गई भूलें देखिए।)
2. *योग ही सब कुछ है।* कोई भी $x \in E$ लीजिए और विघटन $x = f + g$ *बनाकर दिखाइए* — या तो लक्ष्य से $f$ का अनुमान लगाकर ( $f$ को $F$ का परिभाषक गुण संतुष्ट करना ही है, जो प्रायः उसका सूत्र तय कर देता है), या फिर $F$ और $G$ के जनकों के सापेक्ष $x$ को व्यक्त करने वाला रैखिक निकाय हल करके।

जब विघटन का सूत्र अनुमान से मिल जाए, तो अद्वितीयता चरण 1 से स्वतः आ जाती है; और जब केवल अस्तित्व अस्पष्ट हो, तो सारा काम चरण 2 में है। नीचे के दोनों उदाहरण यही विधि चलाते हैं: सम/विषम फलनों के लिए $f$ का सूत्र इच्छित सर्वसमिका का $x$ और $-x$ पर मूल्यांकन करने से बाध्य हो जाता है; और किसी बिंदु पर शून्य होने वाले बहुपदों के लिए $a$ पर मूल्यांकन करने से।

**उदाहरण 18.11.**

$\mathcal{F}(\R, \R)$ में सम फलन $\mathcal{P}$ और विषम फलन $\mathcal{I}$ [पूरक](#def-b1-vspaces-sum) हैं: कोई भी $f$ यों लिखा जाता है

$$
f(x) = \underbrace{\frac{f(x) + f(-x)}{2}}_{\text{सम}}
+ \underbrace{\frac{f(x) - f(-x)}{2}}_{\text{विषम}},
$$

और जो फलन सम भी हो और विषम भी, वह शून्य है। ($\exp$ पर लगाने से यह [अध्याय 4](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/4-standard-functions#ch-b1-functions) की जोड़ी $(\cosh, \sinh)$ ही है।)

**उदाहरण 18.12 (Kn[X]K_n[X]Kn​[X] में एक पूरक जोड़ी).**

$a \in K$ नियत कीजिए और $F = \{P \in K_n[X] : P(a) = 0\}$, $G =
\operatorname{Vect}(1)$ (अचर फलन) रखिए। तब $K_n[X] = F \oplus G$। वस्तुतः $F
\cap G$ में वे अचर फलन हैं जो $a$ पर शून्य होते हैं, अर्थात् $\{0\}$; और हर $P$ यों विघटित होता है

$$
P = \underbrace{\bigl(P - P(a)\bigr)}_{\in F}
+ \underbrace{P(a)}_{\in G} .
$$

यह विघटन याद रखने योग्य है: किसी बिंदु पर के मान को घटा देना ही “$a$ पर शून्य होने वाले फलनों” पर प्रक्षेप करने की मानक विधि है। ध्यान दीजिए कि $F$ एक बड़ी [उपसमष्टि](#def-b1-vspaces-subspace) है और $G$ एक छोटी; [पूरक](#def-b1-vspaces-sum) जोड़ी का किसी भी अर्थ में संतुलित होना आवश्यक नहीं।

**उदाहरण 18.13 (पूरक उपसमष्टि कभी अद्वितीय नहीं होती).**

$\R^2$ में मान लीजिए $F = \operatorname{Vect}\bigl((1,0)\bigr)$ ($x$-अक्ष)। $G = \operatorname{Vect}\bigl((0,1)\bigr)$ और $G' =
\operatorname{Vect}\bigl((1,1)\bigr)$ दोनों $F$ के [पूरक](#def-b1-vspaces-sum) हैं: प्रत्येक $F$ से केवल $0$ पर मिलता है, और प्रत्येक जोड़ी का योग $\R^2$ है। एक ही सदिश के विघटन भिन्न होते हैं:

$$
(2,\ 1.5) = \underbrace{(2, 0)}_{\in F} +
\underbrace{(0, 1.5)}_{\in G}
= \underbrace{(0.5,\ 0)}_{\in F} +
\underbrace{(1.5,\ 1.5)}_{\in G'} .
$$

वस्तुतः $F$ के अतिरिक्त *हर* रेखा $\R^2$ में $F$ की [पूरक](#def-b1-vspaces-sum) है: [पूरक](#def-b1-vspaces-sum) भरपूर मात्रा में हैं, और जब तक कोई अतिरिक्त संरचना (अंतर्गुणन, [अध्याय 23](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/23-euclidean-spaces#ch-b1-euclid)) किसी एक को न चुन ले, तब तक “वह” [पूरक](#def-b1-vspaces-sum) कहना निरर्थक है।

![ℝ2 के एक ही बिंदु के F (x-अक्ष) के अनुदिश दो विघटन: पूरक G के साथ (लंबवत गिरावट) और पूरक G' के साथ (तिरछी गिरावट)। F-घटक भिन्न हैं: प्रक्षेप उतरने की दिशा पर निर्भर करता है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-3/b1-vspaces/fig-0062614d6c02.svg)

*$\R^2$ के एक ही बिंदु के $F$ ($x$-अक्ष) के अनुदिश दो विघटन: [पूरक](#def-b1-vspaces-sum) $G$ के साथ (लंबवत गिरावट) और [पूरक](#def-b1-vspaces-sum) $G'$ के साथ (तिरछी गिरावट)। $F$-घटक भिन्न हैं: प्रक्षेप उतरने की दिशा पर निर्भर करता है।*

## 18.3 स्वतंत्र कुल, जनक कुल, आधार

**परिभाषा 18.14.**

$E$ के सदिशों का कुल $(x_1, \dots, x_p)$:

- ( $E$ का) *जनक* कहलाता है जब $\operatorname{Vect}(x_1,\dots,x_p)  = E$ ;
- *स्वतंत्र* (उसके सदिश *रैखिकतः स्वतंत्र*) कहलाता है जब $$\lambda_1 x_1 + \dots + \lambda_p x_p = 0  \implies \lambda_1 = \dots = \lambda_p = 0 ;$$ अन्यथा *परतंत्र*;
- और *आधार* कहलाता है जब वह स्वतंत्र भी हो और जनक भी।

**प्रतिज्ञप्ति 18.15 (निर्देशांक).**

$(e_1, \dots, e_n)$ $E$ का [आधार](#def-b1-vspaces-free) है तभी जब हर $x \in E$ *अद्वितीय* रूप से संयोजन $x = \lambda_1 e_1 + \dots + \lambda_n e_n$ हो; और अदिश $\lambda_i$ उस [आधार](#def-b1-vspaces-free) में $x$ के *निर्देशांक* कहलाते हैं।

**उपपत्ति.** जनक होना $=$ विघटन का अस्तित्व। अद्वितीयता $=$ स्वतंत्रता: एक ही $x$ के दो विघटन ऐसे संयोजन जितने भिन्न होते हैं जो $0$ के बराबर है; स्वतंत्रता उसके सभी गुणांकों को — अर्थात् निर्देशांकों के अंतरों को — शून्य होने पर बाध्य कर देती है। विलोमतः, कोई अतुच्छ शून्य संयोजन दो विघटन $0 = \sum
\lambda_i e_i = \sum 0\,e_i$ दे देता है। ∎

**उदाहरण 18.16.**

$K^n$ का *विहित [आधार](#def-b1-vspaces-free)*: $e_i = (0, \dots, 1, \dots, 0)$ ($i$ स्थान पर $1$)। एकपदी $(1, X, X^2, \dots, X^n)$: $K_n[X]$ का एक [आधार](#def-b1-vspaces-free) (स्वतंत्रता: शून्य संयोजन शून्य [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) है, अतः सभी गुणांक शून्य हो जाते हैं, [परिभाषा 8.1](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def))। $\R$ पर $\C$ में: [आधार](#def-b1-vspaces-free) $(1, \iu)$।

**टिप्पणी 18.17 (निर्देशांक सामूहिक परिश्रम हैं).**

किसी [आधार](#def-b1-vspaces-free) $(e_1, \dots, e_n)$ में $x$ का पहला [निर्देशांक](#prop-b1-vspaces-coordinates) *सभी* आधार-सदिशों पर निर्भर करता है, केवल $e_1$ पर नहीं। $\R^2$ में: सदिश $(3, 1)$ का पहला [निर्देशांक](#prop-b1-vspaces-coordinates) विहित [आधार](#def-b1-vspaces-free) में $3$ है, पर [आधार](#def-b1-vspaces-free) $\bigl((1,0), (1,1)\bigr)$ में $2$ — $(3,1) = a(1,0) + b(1,1)$ हल कीजिए: $b = 1$, $a = 2$। एक आधार-सदिश बदलने से *हर* [निर्देशांक](#prop-b1-vspaces-coordinates) फिर से फेंटा जाता है; [अध्याय 21](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/21-matrices#ch-b1-matrices) इस फेंटने को आधार-परिवर्तन आव्यूह में बाँध देगा।

**उदाहरण 18.18 (संभावित आधार की जाँच, आदि से अंत तक).**

क्या $\mathcal{F} = (1 + X,\ 1 + X^2,\ X + X^2)$ $\R_2[X]$ का [आधार](#def-b1-vspaces-free) है? तीनों बहुपदों को $u_1, u_2, u_3$ लिखिए। *स्वतंत्रता*: शून्य संयोजन $a\,u_1 +
b\,u_2 + c\,u_3 = 0$ से गुणांक-दर-गुणांक मिलता है

$$
a + b = 0, \qquad a + c = 0, \qquad b + c = 0 ;
$$

पहले दो को घटाने पर $b = c$, फिर तीसरे से $2b = 0$ मिलता है: $a = b = c =
0$, अतः [स्वतंत्र](#def-b1-vspaces-free)। *जनक होना*: तीन निकाय हल करने के बदले सममित संयोजन पर ध्यान दीजिए

$$
u_1 + u_2 - u_3 = (1 + X) + (1 + X^2) - (X + X^2) = 2 ,
$$

अतः $1 = \frac12(u_1 + u_2 - u_3)$; फिर

$$
X = u_1 - 1 = \tfrac12\bigl(u_1 - u_2 + u_3\bigr),
\qquad
X^2 = u_2 - 1 = \tfrac12\bigl(-u_1 + u_2 + u_3\bigr).
$$

एकपदी [जनित समष्टि](#def-b1-vspaces-span) में हैं, अतः सब कुछ उसमें है: $\mathcal{F}$ एक [आधार](#def-b1-vspaces-free) है। बोनस के रूप में, तीनों प्रदर्शित पंक्तियों को जोड़ देने पर किसी भी $P =
\alpha + \beta X + \gamma X^2$ के [निर्देशांक](#prop-b1-vspaces-coordinates) मिल जाते हैं:

$$
P = \frac{\alpha + \beta - \gamma}{2}\,u_1
+ \frac{\alpha - \beta + \gamma}{2}\,u_2
+ \frac{-\alpha + \beta + \gamma}{2}\,u_3 .
$$

($P = X$ के साथ जाँच: [निर्देशांक](#prop-b1-vspaces-coordinates) $\bigl(\frac12, -\frac12, \frac12\bigr)$, जैसा ऊपर मिला था।) दो सीखें: कुल में छिपी सममिति प्रायः कोई छोटा रास्ता देने वाला संयोजन छिपाए रहती है; और विमा उपलब्ध होते ही ([अध्याय 19](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/19-finite-dimension#ch-b1-findim)) इस काम का पूरा जनक-वाला आधा हिस्सा मुफ़्त में मिल जाएगा — $3$-विमीय समष्टि के तीन [स्वतंत्र](#def-b1-vspaces-free) सदिश सदा [आधार](#def-b1-vspaces-free) बनाते हैं।

**प्रतिज्ञप्ति 18.19 (स्वतंत्रता की उपयोगी कसौटियाँ).**

1. *युग्मशः भिन्न घातों वाले अशून्य बहुपदों* का कुल [स्वतंत्र](#def-b1-vspaces-free) होता है।
2. किसी [स्वतंत्र कुल](#def-b1-vspaces-free) में एक सदिश जोड़ने पर वह [स्वतंत्र](#def-b1-vspaces-free) बना रहता है तभी जब वह सदिश उस कुल की [जनित समष्टि](#def-b1-vspaces-span) के बाहर हो।
3. [स्वतंत्र कुल](#def-b1-vspaces-free) का कोई भी उपकुल [स्वतंत्र](#def-b1-vspaces-free) होता है; और किसी जनक कुल को समाहित करने वाला कोई भी कुल जनक होता है।

**उपपत्ति.** (1) किसी शून्य संयोजन में उपस्थित उच्चतम घात देखिए: उसका गुणांक शून्य होना ही है (उस घात को कोई नहीं काटता), और फिर सीढ़ी दर सीढ़ी नीचे उतरिए।

(2) यदि $x \in \operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_p)$, तो संबंध $x -
\sum\lambda_i x_i = 0$ अतुच्छ है। विलोमतः, $(x_1, \dots, x_p, x)$ का कोई अतुच्छ शून्य संयोजन $x$ को अशून्य गुणांक के साथ लिए बिना नहीं रह सकता (अन्यथा वह छोटे कुल की स्वतंत्रता का विरोध करेगा), और $x$ के लिए हल करने पर वह [जनित समष्टि](#def-b1-vspaces-span) में आ जाता है।

(3) उपकुल: उपकुल का कोई शून्य संयोजन पूरे कुल का ही शून्य संयोजन है जिसमें अनुपस्थित गुणांक $0$ रख दिए गए हों; बड़े कुल की स्वतंत्रता उन सबको मार देती है। अधिकुल: $E$ का हर सदिश पहले से ही जनक भाग का संयोजन है; अतिरिक्त सदिशों को गुणांक $0$ दे दीजिए। ∎

**उदाहरण 18.20 (सीढ़ी सिद्धांत).**

मान लीजिए $P_0, P_1, \dots, P_n \in K_n[X]$ ऐसा है कि प्रत्येक $k$ के लिए $\deg P_k = k$ (घातों की एक “सीढ़ी”)। तब $(P_0, \dots, P_n)$ $K_n[X]$ का [आधार](#def-b1-vspaces-free) है। स्वतंत्रता [प्रतिज्ञप्ति 18.19](#prop-b1-vspaces-freecriteria) (1) है। जनक होने के लिए घात पर परिमित अवरोहण से तर्क कीजिए: मान लीजिए $Q \in K_n[X]$, $Q \neq
0$, जिसकी घात $d$ और अग्र गुणांक $a$ है, और $b \neq 0$ $P_d$ का अग्र गुणांक है। तब $Q - \frac ab P_d$ की घात $< d$ है (शीर्ष पद कट जाते हैं); $Q$ को इस अंतर से बदलकर दोहराने पर अधिक से अधिक $n + 1$ चरणों में शून्य [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) तक पहुँच जाते हैं, और घटावों को उलटकर खोलने पर $Q$ $P_k$ के संयोजन के रूप में व्यक्त हो जाता है। दो सीढ़ियाँ पहले ही मिल चुकी हैं: सरकाई हुई घातें $\bigl((X-a)^k\bigr)_{0 \leq k \leq n}$ ([अभ्यास 18.4](#exo-b1-vspaces-4)), और न्यूटन गुणनफल $\bigl((X - x_0)(X - x_1)\cdots(X - x_{k-1})\bigr)_{0 \leq k \leq
n}$, जिन्हें सप्ताहांत समस्या में काम पर लगाया गया है।

**उदाहरण 18.21 (फलन समष्टियों में स्वतंत्रता).**

$\mathcal{F}(\R,\R)$ में $a_1 < \dots < a_p$ के साथ कुल $(\eu^{a_1 x},
\dots, \eu^{a_p x})$ [स्वतंत्र](#def-b1-vspaces-free) है: किसी शून्य संयोजन को $\eu^{a_p x}$ से भाग दीजिए और $x \to +\infty$ लीजिए; अंतिम गुणांक मर जाता है, और फिर सीढ़ी दर सीढ़ी नीचे उतरा जाता है ([अभ्यास 18.8](#exo-b1-vspaces-8) इसे और इसके रूपांतरों को विस्तार से देता है)। फलनों की स्वतंत्रता *मूल्यांकन* से सिद्ध की जाती है: सुचुने हुए बिंदुओं पर, अनंत पर, अथवा अवकलन के बाद।

**उदाहरण 18.22 (एक छिपा संबंध जनित समष्टि को सिकोड़ देता है).**

$\mathcal{F}(\R, \R)$ में $\operatorname{Vect}(1,\ \cos^2,\ \sin^2)$ क्या है? सर्वसमिका $\cos^2 + \sin^2 = 1$ एक अतुच्छ शून्य संयोजन है

$$
1\cdot\mathbf{1} + (-1)\cos^2 + (-1)\sin^2 = 0 :
$$

अतः कुल परतंत्र है, और [जनित समष्टि](#def-b1-vspaces-span) पहले से ही अकेले $(1, \cos^2)$ से जनित है ($\sin^2 = 1 - \cos^2$)। वह छोटा कुल [स्वतंत्र](#def-b1-vspaces-free) है: सभी $x$ के लिए $a +
b\cos^2 x = 0$ से $x = 0$ और $x = \frac\pi2$ पर मिलता है: $a + b = 0$ और $a
= 0$। अतः [जनित समष्टि](#def-b1-vspaces-span) फलन समष्टि के भीतर एक *समतल* है — और उसमें $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ भी है: त्रिकोणमितीय फलनों के जो कुल देखने में [स्वतंत्र](#def-b1-vspaces-free) लगते हैं, वे सर्वसमिकाओं के नीचे आए दिन ढह जाते हैं, और यही कारण है कि स्वतंत्रता *सिद्ध* करनी पड़ती है, सूची की लंबाई देखकर मान कभी नहीं लेनी चाहिए।

**टिप्पणी 18.23 (सामान्य भूलें).**

चार शास्त्रीय जाल। *युग्मशः देखना पर्याप्त नहीं है*: $\R^2$ में सदिश $(1,0)$, $(0,1)$, $(1,1)$ युग्मशः अनुपाती नहीं हैं, फिर भी परतंत्र हैं — स्वतंत्रता *पूरे* कुल का गुण है, जिसे एक ही वैश्विक संयोजन से जाँचा जाता है, दो-दो करके कभी नहीं। *शून्य सदिश सब कुछ विषैला कर देता है*: $0$ को समाहित करने वाला कोई भी कुल परतंत्र है ($1\cdot 0 = 0$ एक अतुच्छ संबंध है), शेष सदिश चाहे कितने ही निर्दोष क्यों न हों। *संघ योग नहीं है*: $F \cup G$ लगभग कभी [उपसमष्टि](#def-b1-vspaces-subspace) नहीं होता ([परिभाषा 18.3](#def-b1-vspaces-subspace)); दोनों को समाहित करने वाली सबसे छोटी [उपसमष्टि](#def-b1-vspaces-subspace) $F + G$ है, जो प्रायः संघ से कहीं बड़ी होती है — $\R^2$ में दो भिन्न रेखाओं का संघ केवल दो कटती हुई रेखाएँ हैं, पर योग पूरा समतल। *प्रत्यक्ष होने के लिए तुच्छ सर्वनिष्ठ चाहिए, असंयुक्तता नहीं*: दो उपसमष्टियाँ कभी असंयुक्त नहीं होतीं (दोनों में $0$ है); सही प्रतिबंध $F \cap
G = \{0\}$ है, और उसे *सिद्ध* करना पड़ता है, किसी चित्र से पढ़ नहीं लिया जाता — [उदाहरण 18.13](#ex-b1-vspaces-manysupplements) देखिए, जहाँ अनेक भिन्न $G$ चलते हैं। *स्वतंत्रता अदिशों पर निर्भर करती है*: जोड़ी $(1, \iu)$ $\R$-सदिश समष्टि के रूप में देखे गए $\C$ में [स्वतंत्र](#def-b1-vspaces-free) है, पर $\C$-सदिश समष्टि के रूप में देखे गए $\C$ में परतंत्र ($\iu\cdot 1 + (-1)\cdot\iu =
0$)। किसी कुल को [स्वतंत्र](#def-b1-vspaces-free) घोषित करने से पहले यह सदा जान लीजिए कि कौन-सा [क्षेत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-field) काम कर रहा है — [अध्याय 19](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/19-finite-dimension#ch-b1-findim) की सप्ताहांत समस्या ठीक इसी संवेदनशीलता को अपरिमेयता की उपपत्तियों में बदल देती है।

**टिप्पणी 18.24 (यह भाषा कहाँ जाती है).**

इस अध्याय के बाद का सब कुछ यहीं रची गई भाषा बोलता है। [अध्याय 19](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/19-finite-dimension#ch-b1-findim) आधार-सदिशों की गिनती करता है और “[स्वतंत्र](#def-b1-vspaces-free)” तथा “जनक” को एक ही पूर्णांक — विमा — पर की असमिकाओं में बदल देता है। [अध्याय 20](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/20-linear-maps#ch-b1-linmaps) उन प्रतिचित्रणों का अध्ययन करता है जो दोनों संक्रियाओं के अनुकूल हों; वहाँ [प्रत्यक्ष योग](#def-b1-vspaces-sum) प्रक्षेपक बन जाते हैं। [अध्याय 21](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/21-matrices#ch-b1-matrices) सदिशों को किसी [आधार](#def-b1-vspaces-free) में उनके निर्देशांकों से कूटबद्ध करता है — और [प्रतिज्ञप्ति 18.15](#prop-b1-vspaces-coordinates) उस कूटबद्धता का लाइसेंस है — तथा [अध्याय 23](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/23-euclidean-spaces#ch-b1-euclid) रैखिक संरचना के ऊपर लंबाइयाँ और कोण जोड़ देता है। स्नातक वर्ष 2 के खंड में वही अभिगृहीत, अक्षरशः, किसी भी [क्षेत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-field) पर और अनंत विमा में चलते हैं; इस अध्याय में कहीं भी परिमितता का प्रयोग नहीं हुआ।

**टिप्पणी 18.25 (पुस्तक 3 भर पीछा करने योग्य तीन धागे).**

इस अध्याय के तीन विशिष्ट विचारों को बढ़ते हुए देखिए। *सीढ़ी सिद्धांत* ([उदाहरण 18.20](#ex-b1-vspaces-staircase)) इसी अध्याय की सप्ताहांत समस्या में न्यूटन [आधार](#def-b1-vspaces-free) के रूप में लौटता है, वहीं द्विपद [आधार](#def-b1-vspaces-free) $(B_k)$ के रूप में, और [अध्याय 22](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/22-determinants-and-linear-systems#ch-b1-det) की सप्ताहांत समस्या में बहुपदीय एकांतरक वाली चाल के रूप में: एक प्रमेयिका, तीन सारणिक-मुक्त लाभांश। *स्वतंत्रता की कसौटी के रूप में मूल्यांकन* ([उदाहरण 18.21](#ex-b1-vspaces-functionfree)) [अध्याय 20](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/20-linear-maps#ch-b1-linmaps) की अंतर्वेशन तुल्याकारिता बन जाता है, फिर [अध्याय 22](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/22-determinants-and-linear-systems#ch-b1-det) की वांडरमोंड कसौटी, फिर [अध्याय 23](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/23-euclidean-spaces#ch-b1-euclid) की ग्राम कसौटी: वही प्रतिवर्त, तीन बार तीक्ष्ण किया हुआ। *[प्रत्यक्ष योग](#def-b1-vspaces-sum)* ([परिभाषा 18.7](#def-b1-vspaces-sum)) [अध्याय 20](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/20-linear-maps#ch-b1-linmaps) में प्रक्षेपक बन जाते हैं, [अध्याय 23](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/23-euclidean-spaces#ch-b1-euclid) में लांबिक [विभाजन](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#thm-b1-logic-partition) $E = F
\oplus F^\perp$, और [अध्याय 25](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/25-functions-of-two-variables#ch-b1-multivar) की सप्ताहांत समस्या में न्यूनतम वर्गों का व्याख्यात-जमा-अवशिष्ट विघटन। इस पुस्तक का बहुत थोड़ा ही ऐसा है जो मूलतः इन तीन विचारों में से किसी एक का नया वस्त्र पहने रूप न हो।

## 18.4 अभ्यास

**अभ्यास 18.1 ★.**

निम्नलिखित में से कौन-से [उपसमष्टि](#def-b1-vspaces-subspace) हैं?

1. $\{(x, y, z) \in \R^3 : x + 2y - z = 0\}$ ;
2. $\{(x, y, z) \in \R^3 : x + 2y - z = 1\}$ ;
3. $\{(x, y) \in \R^2 : xy \geq 0\}$ ;
4. $\{P \in \R[X] : P(1) = 0\}$ ;
5. $\{f \in \mathcal{F}(\R,\R) : f \text{ परिबद्ध}\}$ .

**हल — अभ्यास 18.1.**

1. हाँ: उसमें $0$ है, और परिभाषक समीकरण रैखिक है ( $x + \lambda y$ के अंतर्गत स्थायी)।
2. नहीं: उसमें $(0,0,0)$ नहीं है।
3. नहीं: $(1, 0)$ और $(0, -1)$ उसमें हैं ( $xy = 0$ ), पर उनका योग $(1,  -1)$ नहीं ( $xy = -1 < 0$ )।
4. हाँ: $0$ $1$ पर शून्य होता है; $(P + \lambda Q)(1) = P(1) + \lambda  Q(1) = 0$ ।
5. हाँ: शून्य फलन परिबद्ध है; और यदि $\abs f \leq M$ तथा $\abs g \leq  M'$ , तो $\abs{f + \lambda g} \leq M + \abs\lambda M'$ ।

**अभ्यास 18.2 ★.**

$\R^3$ में, क्या $(1, 2, 1)$ $\operatorname{Vect}\bigl((1,0,1),\,
(1,1,0)\bigr)$ में है? और $(2, 1, 1)$? $\operatorname{Vect}\bigl((1,0,1),(1,1,0)\bigr)$ का वर्णन किसी समीकरण से कीजिए।

**हल — अभ्यास 18.2.**

$(1,2,1) = a(1,0,1) + b(1,1,0)$ के लिए $a + b = 1$, $b = 2$, $a = 1$ चाहिए: जो असंगत है ($a + b = 3 \neq 1$): अतः [जनित समष्टि](#def-b1-vspaces-span) में नहीं। $(2,1,1) =
a(1,0,1) + b(1,1,0)$: $b = 1$, $a = 1$, $a + b = 2$: संगत, अतः $(2,1,1) =
(1,0,1) + (1,1,0)$, और वह [जनित समष्टि](#def-b1-vspaces-span) में है।

समीकरण: $(x, y, z) = (a + b, b, a)$ का अर्थ है $x = y + z$: अतः [जनित समष्टि](#def-b1-vspaces-span) समतल $\{x - y - z = 0\}$ है।

**अभ्यास 18.3 ★.**

$\R^3$ में स्वतंत्रता तय कीजिए: $\;\bigl((1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)\bigr)$; $\;\bigl((1,2,3), (2,4,6)\bigr)$; $\;\bigl((1,0,0), (1,1,0), (1,1,1),
(0,1,1)\bigr)$।

**हल — अभ्यास 18.3.**

पहला कुल: $\lambda(1,1,0) + \mu(1,0,1) + \nu(0,1,1) = 0$ से $\lambda + \mu =
0$, $\lambda + \nu = 0$, $\mu + \nu = 0$ मिलता है: जोड़ने पर $2(\lambda +
\mu + \nu) = 0$, और हर समीकरण को घटाने पर $\lambda = \mu = \nu = 0$: अतः [स्वतंत्र](#def-b1-vspaces-free)।

दूसरा: $(2,4,6) = 2(1,2,3)$: परतंत्र।

तीसरा: $\R^3$ में चार सदिश — विमा उपलब्ध होते ही अनिवार्यतः परतंत्र ([अध्याय 19](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/19-finite-dimension#ch-b1-findim)); सीधे: $(0,1,1) = -(1,0,0) + 0\cdot(1,1,0) + (1,1,1)$, वस्तुतः $(-1,0,0) + (1,1,1) = (0,1,1)$: अर्थात् एक अतुच्छ संबंध।

**अभ्यास 18.4 ★.**

सिद्ध कीजिए कि $(1, X - 1, (X-1)^2, (X-1)^3)$ $\R_3[X]$ का [आधार](#def-b1-vspaces-free) है, और उसमें $X^3$ के [निर्देशांक](#prop-b1-vspaces-coordinates) दीजिए। *($1$ पर टेलर!)*

**हल — अभ्यास 18.4.**

बहुपदों $1, (X-1), (X-1)^2, (X-1)^3$ की घातें भिन्न-भिन्न हैं $0, 1, 2, 3$: अतः [स्वतंत्र](#def-b1-vspaces-free) ([प्रतिज्ञप्ति 18.19](#prop-b1-vspaces-freecriteria) (1)); और चार [स्वतंत्र](#def-b1-vspaces-free) सदिश जनक भी हैं (हर $P \in \R_3[X]$ $X - 1$ की घातों में प्रसारित हो जाता है, जैसे बहुपदों के लिए टेलर से; [प्रतिज्ञप्ति 8.11](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#prop-b1-poly-multiplicity) की उपपत्ति देखिए): अतः [आधार](#def-b1-vspaces-free)। $X^3$ के लिए $1$ पर टेलर: $P = X^3$, $P(1) = 1$, $P'(1) =
3$, $P''(1) = 6$, $P'''(1) = 6$:

$$
X^3 = 1 + 3(X - 1) + 3(X-1)^2 + (X-1)^3 ,
$$

[निर्देशांक](#prop-b1-vspaces-coordinates) $(1, 3, 3, 1)$ (पास्कल की पंक्ति, जैसी $X^3 = ((X-1)+1)^3$ से अपेक्षित थी)।

**अभ्यास 18.5 ★★.**

$\R^4$ में मान लीजिए $F = \{(x,y,z,t) : x = y = z\}$ और $G = \{(x,y,z,t) : x
= t = 0\}$। सिद्ध कीजिए कि $F \oplus G = \R^4$, और $(1,2,3,4)$ का तदनुसार विघटन कीजिए।

**हल — अभ्यास 18.5.**

$F \cap G$: प्रतिबंध $x = y = z$ और $x = t = 0$ मिलकर $x = 0$ देते हैं, अतः $y = z = 0$, और $t = 0$: सर्वनिष्ठ $\{0\}$ है। योग: $(x,y,z,t)$ दिया हो, तो $(a,a,a,b) \in F$ और $(0,c,d,0) \in G$ ऐसे खोजिए जिनका योग वही हो: $a = x$, $b = t$, $c = y - x$, $d = z - x$: यह सदा संभव है। अतः $\R^4 = F \oplus G$, और

$$
(1,2,3,4) = (1,1,1,4) + (0,1,2,0) .
$$

**अभ्यास 18.6 ★★.**

अनुक्रमों की समष्टि में मान लीजिए $F$ अभिसारी अनुक्रमों का [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) है और $G
= \operatorname{Vect}(u)$, जहाँ $u_n = (-1)^n$। सिद्ध कीजिए कि $F \cap G =
\{0\}$। क्या $F + G$ अनुक्रमों की पूरी समष्टि है?

**हल — अभ्यास 18.6.**

$G$ का कोई अवयव $\lambda u$ है; यदि वह अभिसरित होता है, तो (चूँकि $\lambda
u_n = \lambda(-1)^n$ के दो उपानुक्रमीय सीमा-मान $\pm \lambda$ हैं) अनिवार्यतः $\lambda = 0$: $F \cap G = \{0\}$।

$F + G$ सब कुछ नहीं है: उसमें $(c_n)$ के अभिसारी होने पर $c_n +
\lambda(-1)^n$ रूप के अनुक्रम हैं। अनुक्रम $v_n = n$ इस रूप का नहीं है ($v_n
- \lambda(-1)^n$ अपरिबद्ध है, अतः कभी अभिसारी नहीं)। अतः $F \oplus G
\subsetneq$ (सभी अनुक्रमों की समष्टि)।

**अभ्यास 18.7 ★★.**

मान लीजिए $F, G, H$ $E$ की उपसमष्टियाँ हैं। सिद्ध कीजिए कि

$$
F \cap (G + (F \cap H)) = (F \cap G) + (F \cap H),
$$

और $\R^2$ में एक उदाहरण से दिखाइए कि अप्रतिबंधित वितरण नियम $F \cap (G + H)
= (F\cap G) + (F \cap H)$ विफल हो जाता है।

**हल — अभ्यास 18.7.**

($\supseteq$) $F \cap G$ और $F \cap H$ दोनों $F$ में हैं, और उनका योग $G +
(F \cap H)$ में है: अंतर्विष्टता इसी से आ जाती है, क्योंकि बायाँ पक्ष दोनों टुकड़ों को समाहित करने वाली [उपसमष्टि](#def-b1-vspaces-subspace) है — ठोस रूप से, $g \in F\cap G$, $h
\in F \cap H$ के साथ कोई अवयव $g + h$ $F$ में है ($F$ के दो अवयवों का योग) और $G + (F \cap H)$ में भी।

($\subseteq$) मान लीजिए $x = g + h$, $g \in G$, $h \in F \cap H$ के साथ $x
\in F$। तब $g = x - h \in F$ ($F$ के अवयवों का अंतर), अतः $g \in F \cap G$, और $x = g + h \in (F \cap G) + (F \cap H)$।

$\R^2$ में पूर्ण वितरण नियम का प्रति-उदाहरण: $F = \operatorname{Vect}(1,1)$, $G = \operatorname{Vect}(1,0)$, $H = \operatorname{Vect}(0,1)$। तब $G + H =
\R^2$, अतः $F \cap (G+H) = F$, जबकि $F \cap G = F \cap H = \{0\}$: दायाँ पक्ष $\{0\} \neq F$ है।

**अभ्यास 18.8 ★★★.**

सिद्ध कीजिए कि $\mathcal{F}(\R, \R)$ के निम्नलिखित कुल [स्वतंत्र](#def-b1-vspaces-free) हैं:

1. $a_1 < \dots < a_p$ के लिए $(\eu^{a_1 x}, \dots, \eu^{a_p x})$ ;
2. $(\cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x)$ ;
3. भिन्न-भिन्न $a_i$ के लिए $(x \mapsto \abs{x - a_1}, \dots, x \mapsto  \abs{x - a_p})$ *(हर फलन के लिए अवकलनीयता ठीक एक बिंदु पर विफल होती है)* ।

**हल — अभ्यास 18.8.**

1. मान लीजिए सभी $x$ के लिए $\sum_{i} \lambda_i \eu^{a_i x} = 0$ । $\eu^{-a_p x}$ से गुणा कीजिए: $x \to +\infty$ होने पर $\lambda_p + \sum_{i  < p} \lambda_i \eu^{(a_i - a_p)x} \to \lambda_p$ (हर घातांक $a_i - a_p <  0$ )। बायाँ पक्ष सर्वसम रूप से $0$ है, अतः $\lambda_p = 0$ ; और यही नीचे की ओर दोहराइए।
2. मान लीजिए सभी $x$ के लिए $a\cos x + b \sin x + c \cos 2x + d\sin 2x  = 0$ । $x = 0$ पर मूल्यांकन कीजिए: $a + c = 0$ ; $x = \pi$ पर: $-a + c = 0$ ; अतः $a = c = 0$ , और संबंध घटकर $b\sin x + d \sin 2x = 0$ रह जाता है। $x =  \frac\pi2$ पर मूल्यांकन कीजिए: $b = 0$ ; फिर $x = \frac\pi4$ पर: $d = 0$ ।
3. मान लीजिए सभी $x$ के लिए $\sum \lambda_i \abs{x - a_i} = 0$ । फलन $\sum_{i \neq j} \lambda_i\abs{x - a_i}$ $a_j$ पर [अवकलनीय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/14-differentiation#def-b1-derivative-def) है (हर पद अपने कोने से दूर [अवकलनीय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/14-differentiation#def-b1-derivative-def) है), अतः उनका अंतर $-\lambda_j \abs{x - a_j}$ भी $a_j$ पर [अवकलनीय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/14-differentiation#def-b1-derivative-def) होना ही चाहिए — और यह $\lambda_j = 0$ को बाध्य कर देता है ( $\abs{\,\cdot\,}$ में एक कोना है)। यह हर $j$ के लिए लागू होता है।

**अभ्यास 18.9 ★★★.**

मान लीजिए $E$ एक $K$-सदिश समष्टि है और $F, G, H$ ऐसी उपसमष्टियाँ हैं कि $F +
G = F + H$, $F \cap G = F \cap H$ और $G \subseteq H$। सिद्ध कीजिए $G = H$। $G \subseteq H$ की परिकल्पना के बिना एक प्रति-उदाहरण दीजिए।

**हल — अभ्यास 18.9.**

मान लीजिए $h \in H$। चूँकि $h \in H \subseteq F + H = F + G$, अतः $f \in F$, $g \in G$ के साथ $h = f + g$ लिखिए। तब $f = h - g \in H$ (दोनों पद $H$ में हैं, $G \subseteq H$ का प्रयोग करते हुए), अतः $f \in F \cap H = F \cap G
\subseteq G$, और $h = f + g \in G$। अतः $H \subseteq G$, और परिकल्पना $G
\subseteq H$ के साथ: समानता।

$G \subseteq H$ के बिना प्रति-उदाहरण: $\R^2$ में $F =
\operatorname{Vect}(1,0)$, $G = \operatorname{Vect}(0,1)$, $H =
\operatorname{Vect}(1,1)$ लीजिए: तब $F + G = F + H = \R^2$ और $F \cap G = F
\cap H = \{0\}$, फिर भी $G \neq H$।

**अभ्यास 18.10 ★★.**

$\R[X]$ में मान लीजिए $\mathcal P$ *सम* बहुपदों का [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) है ($P(-X) =
P(X)$) और $\mathcal I$ *विषम* बहुपदों का ($P(-X) = -P(X)$)। सिद्ध कीजिए कि $\R[X] = \mathcal P \oplus \mathcal I$, और दिखाइए कि $\mathcal P =
\operatorname{Vect}(1, X^2, X^4, \dots)$, अर्थात् सम [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) ठीक $X^2$ के [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) हैं।

**हल — अभ्यास 18.10.**

दोनों [समुच्चय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/1-logic-sets-and-maps#def-b1-logic-sets) उपसमष्टियाँ हैं (परिभाषक प्रतिबंध रैखिक हैं और $0$ के लिए सत्य हैं)। विघटन: $P \in \R[X]$ के लिए,

$$
P(X) = \underbrace{\frac{P(X) + P(-X)}{2}}_{\in\,\mathcal P}
+ \underbrace{\frac{P(X) - P(-X)}{2}}_{\in\,\mathcal I},
$$

और जो [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) सम भी हो और विषम भी, वह $P = -P$ संतुष्ट करता है, अतः $P = 0$: इस प्रकार योग प्रत्यक्ष है और $\R[X]$ के बराबर है।

अब मान लीजिए $P = \sum_k a_k X^k$ सम है। तब $P(X) - P(-X) = 2 \sum_{k \text{
विषम}} a_k X^k$ शून्य [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) है, अतः विषम घात वाला हर गुणांक शून्य हो जाता है ([परिभाषा 8.1](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def)): $P \in \operatorname{Vect}(1, X^2, X^4, \dots)$, अर्थात् किसी [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) $Q$ के लिए $P = Q(X^2)$। विलोमतः $X^2$ का हर [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) सम है।

**अभ्यास 18.11 ★★.**

मान लीजिए $(x_1, x_2, x_3)$ किसी वास्तविक [सदिश समष्टि](#def-b1-vspaces-def) $E$ का [स्वतंत्र कुल](#def-b1-vspaces-free) है। सिद्ध कीजिए कि $(x_1 + x_2,\ x_2 + x_3,\ x_3 + x_1)$ [स्वतंत्र](#def-b1-vspaces-free) है। जब $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ [स्वतंत्र](#def-b1-vspaces-free) हो, तो क्या चार सदिशों वाला तदनुरूप कुल $(x_1 + x_2,\ x_2 + x_3,\ x_3 + x_4,\ x_4 + x_1)$ भी [स्वतंत्र](#def-b1-vspaces-free) होता है?

**हल — अभ्यास 18.11.**

मान लीजिए $a(x_1 + x_2) + b(x_2 + x_3) + c(x_3 + x_1) = 0$। [स्वतंत्र कुल](#def-b1-vspaces-free) $(x_1, x_2, x_3)$ पर फिर से समूहबद्ध करने पर:

$$
(a + c)\,x_1 + (a + b)\,x_2 + (b + c)\,x_3 = 0
\implies a + c = a + b = b + c = 0 .
$$

पहले दो समीकरणों को घटाने पर $c = b$ मिलता है; फिर तीसरे से $2b = 0$, अतः $b
= c = 0$, और फिर $a = 0$: अतः कुल [स्वतंत्र](#def-b1-vspaces-free) है।

चार सदिशों के लिए तदनुरूप कुल *सदा* परतंत्र होता है:

$$
(x_1 + x_2) - (x_2 + x_3) + (x_3 + x_4) - (x_4 + x_1) = 0
$$

एक अतुच्छ शून्य संयोजन है (गुणांक $1, -1, 1, -1$), $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ चाहे जो भी हो। निर्णय चक्र की लंबाई की समता करती है।

**अभ्यास 18.12 ★★★.**

मान लीजिए $E$ $\R$ (अथवा $\C$) पर एक [सदिश समष्टि](#def-b1-vspaces-def) है और $F_1, \dots, F_k$ $E$ की *उचित* उपसमष्टियाँ हैं (प्रत्येक $F_i \neq E$)।

1. $k = 2$ की स्थिति सीधे निपटाइए: यदि $F_1 \not\subseteq F_2$ और $F_2  \not\subseteq F_1$ , तो $x \in F_1 \setminus F_2$ और $y \in F_2 \setminus  F_1$ चुनिए और $x + y$ का स्थान बताइए।
2. व्यापक रूप से सिद्ध कीजिए कि $E \neq F_1 \cup \dots \cup F_k$ : किसी अनंत [क्षेत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-field) पर की [सदिश समष्टि](#def-b1-vspaces-def) कभी उचित उपसमष्टियों का परिमित संघ नहीं होती। *($k$ को न्यूनतम लीजिए, शेष $F_i$ के बाहर $x \in F_1$ चुनिए, $y  \notin F_1$ चुनिए, और रेखा $t \mapsto y + tx$ का पीछा कीजिए।)*

**हल — अभ्यास 18.12.**

1. यदि $F_1 \subseteq F_2$ अथवा $F_2 \subseteq F_1$ , तो संघ दोनों में से एक ही है, अतः उचित है। अन्यथा $x \in F_1 \setminus F_2$ और $y \in F_2  \setminus F_1$ चुनिए, और $x + y$ पर विचार कीजिए। यदि $x + y \in F_1$ , तो $y = (x + y) - x \in F_1$ : विरोधाभास। यदि $x + y \in F_2$ , तो $x \in F_2$ : विरोधाभास। अतः $x + y \notin F_1 \cup F_2$ , और $E \neq F_1 \cup F_2$ ।
2. विरोधाभास के लिए मान लीजिए $E = F_1 \cup \dots \cup F_k$ , जहाँ $k$ ऐसे सभी आच्छादनों में *न्यूनतम* चुना गया है। न्यूनतमता $F_1 \subseteq  F_2 \cup \dots \cup F_k$ को मना कर देती है (अन्यथा $F_1$ हटा दीजिए), अतः ऐसा $x \in F_1$ है कि सभी $i \geq 2$ के लिए $x \notin F_i$ । चूँकि $F_1$ उचित है, $y \notin F_1$ चुनिए। हर अदिश $t$ के लिए सदिश $y + t x$ किसी न किसी $F_i$ में है। वह कभी $F_1$ में नहीं होता: अन्यथा $y = (y + tx) - tx  \in F_1$ (क्योंकि $x \in F_1$ )। [क्षेत्र](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/7-algebraic-structures#def-b1-structures-field) अनंत है, अतः $k$ भिन्न-भिन्न अदिश $t_1, \dots, t_k$ चुनिए: $k$ सदिश $y + t_j x$ $k - 1$ उपसमष्टियों $F_2,  \dots, F_k$ में गिरते हैं, और उनमें से दो, मान लीजिए $t \neq t'$ के साथ $y  + t x$ और $y + t' x$ , एक ही $F_i$ में होंगे ( $i \geq 2$ )। तब उनका अंतर $(t  - t')x \in F_i$ , अतः $x \in F_i$ : विरोधाभास। अतः उचित उपसमष्टियों द्वारा कोई परिमित आच्छादन है ही नहीं।

## 18.5 समस्या: अंतर्वेशन, एक समष्टि के लिए तीन आधार

**समस्या 18.1.**

$\R$ के $n + 1$ *भिन्न-भिन्न* बिंदु $x_0, x_1, \dots, x_n$ नियत कीजिए। यह समस्या [लाग्रांज अंतर्वेशन](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#thm-b1-poly-lagrange) ([प्रमेय 8.23](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#thm-b1-poly-lagrange)) को इस अध्याय की आँखों से फिर से देखती है: समष्टि $\R_n[X]$ तीन स्वाभाविक [आधार](#def-b1-vspaces-free) धारण करती है — लाग्रांज का, न्यूटन का, और (समान [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) वाले बिंदुओं के लिए) द्विपद [आधार](#def-b1-vspaces-free) — और हर [आधार](#def-b1-vspaces-free) किसी एक प्रश्न को आसान बना देता है। रास्ता एक सच्ची अंकगणितीय प्रमेय पर समाप्त होता है: $\Z$ को $\Z$ में भेजने वाले बहुपदों का पोल्या द्वारा दिया गया अभिलक्षण।

**भाग I — लाग्रांज [आधार](#def-b1-vspaces-free)।** $0 \leq i \leq n$ के लिए रखिए

$$
L_i \;=\; \prod_{j \neq i} \frac{X - x_j}{x_i - x_j} \;\in\;
\R_n[X].
$$

1. जाँचिए कि $\deg L_i = n$ , और यह कि $j = i$ होने पर $L_i(x_j) = 1$ , तथा $j \neq i$ होने पर $0$ ।
2. सिद्ध कीजिए कि कुल $(L_0, \dots, L_n)$ [स्वतंत्र](#def-b1-vspaces-free) है।
3. सिद्ध कीजिए कि हर $P \in \R_n[X]$ के लिए, $$P \;=\; \sum_{i=0}^{n} P(x_i)\, L_i ,$$ और निष्कर्ष निकालिए कि $(L_0, \dots, L_n)$ $\R_n[X]$ का [आधार](#def-b1-vspaces-free) है। *(दोनों पक्षों का अंतर लीजिए और उसके मूल गिनिए, [उपप्रमेय 8.8](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#cor-b1-poly-nroots)।)*
4. अंतर्वेशन प्रमेय निकालिए: किन्हीं भी मानों $y_0, \dots, y_n \in \R$ के लिए एक *अद्वितीय* $P \in \R_n[X]$ ऐसा है कि सभी $i$ के लिए $P(x_i)  = y_i$ । लाग्रांज [आधार](#def-b1-vspaces-free) में किसी [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) $P$ के [निर्देशांक](#prop-b1-vspaces-coordinates) क्या हैं?
5. सर्वसमिकाएँ सिद्ध कीजिए $$\sum_{i=0}^{n} L_i = 1  \qquad\text{और, यदि } 0 \leq k \leq n,\qquad  \sum_{i=0}^{n} x_i^{k}\, L_i = X^{k} .$$

**भाग II — न्यूटन [आधार](#def-b1-vspaces-free) और [विभाजित अंतर](#pb-b1-vspaces-1)।** $N_0 = 1$ रखिए और $1 \leq k \leq n$ के लिए $N_k = (X - x_0)(X - x_1) \cdots (X -
x_{k-1})$। गाँठों पर परिभाषित किसी फलन $f$ के लिए *[विभाजित अंतर](#pb-b1-vspaces-1)* यों परिभाषित कीजिए: $f[x_i] = f(x_i)$ और

$$
f[x_i, \dots, x_{i+k}] \;=\;
\frac{f[x_{i+1}, \dots, x_{i+k}] - f[x_i, \dots, x_{i+k-1}]}
{x_{i+k} - x_i} .
$$

6. सिद्ध कीजिए कि $(N_0, N_1, \dots, N_n)$ $\R_n[X]$ का [आधार](#def-b1-vspaces-free) है।
7. $f$ के मानों के पदों में $f[x_0, x_1]$ और $f[x_0, x_1, x_2]$ संगणित कीजिए, फिर तीन स्वेच्छ गाँठों पर $f(x) = x^2$ के सभी [विभाजित अंतर](#pb-b1-vspaces-1) संगणित कीजिए।
8. (ऐटकिन की प्रमेयिका) मान लीजिए $R$ $x_0, \dots, x_{n-1}$ पर $f$ का अंतर्वेशन करता है और $Q$ $x_1, \dots, x_n$ पर $f$ का, और दोनों की घात $\leq n - 1$ है। सिद्ध कीजिए कि $$S \;=\; \frac{(X - x_0)\,Q - (X - x_n)\,R}{x_n - x_0}$$ $x_0, x_1, \dots, x_n$ पर $f$ का अंतर्वेशन करता है।
9. गाँठों की संख्या पर आगमन से निष्कर्ष निकालिए कि $x_0, \dots, x_k$ पर $f$ के अंतर्वेशक में $X^{k}$ का गुणांक ठीक $f[x_0, \dots, x_k]$ है।
10. *न्यूटन का अंतर्वेशन सूत्र* सिद्ध कीजिए: $x_0, \dots, x_n$ पर $f$ का अंतर्वेशक है $$P \;=\; \sum_{k=0}^{n} f[x_0, \dots, x_k]\, N_k ,$$ और [संवृत](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/12-topology-of-the-real-line#def-b1-topology-closed) सूत्र निकालिए $$f[x_0, \dots, x_k] \;=\; \sum_{i=0}^{k}  \frac{f(x_i)}{\prod_{j \neq i,\, j \leq k} (x_i - x_j)} ,$$ जो दिखाता है कि $f[x_0, \dots, x_k]$ गाँठों के क्रम पर निर्भर नहीं करता।

**भाग III — समान [अंतराल](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/10-real-numbers#prop-b1-reals-intervals) वाली गाँठें: अंतर संकारक।** अब से गाँठें $0, 1, 2, \dots$ हैं और किसी [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) $P$ के लिए हम रखते हैं

$$
\Delta P(X) = P(X + 1) - P(X),
\qquad
B_k = \frac{X(X-1)\cdots(X-k+1)}{k!} \quad (B_0 = 1).
$$

11. दिखाइए कि यदि $\deg P = m \geq 1$ और उसका अग्र गुणांक $a$ है, तो $\deg \Delta P = m - 1$ और उसका अग्र गुणांक $m\,a$ है, तथा यह कि $\Delta$ अचरों को मार देता है।
12. दिखाइए कि $(B_0, B_1, \dots, B_n)$ $\R_n[X]$ का [आधार](#def-b1-vspaces-free) है और यह कि $k  \geq 1$ के लिए $\Delta B_k = B_{k-1}$ ।
13. (न्यूटन का अग्र-अंतर सूत्र) सिद्ध कीजिए कि हर $P \in \R_n[X]$ संतुष्ट करता है $$P \;=\; \sum_{k=0}^{n} \bigl(\Delta^{k} P\bigr)(0)\, B_k .$$
14. सिद्ध कीजिए कि हर $k \geq 0$ के लिए, $$\bigl(\Delta^{k} P\bigr)(0) \;=\;  \sum_{j=0}^{k} (-1)^{k-j} \binom{k}{j} P(j) .$$
15. दिखाइए कि यदि $\deg P = n$ और उसका अग्र गुणांक $a_n$ है, तो $\Delta^{n} P$ अचर $n!\,a_n$ है और $\Delta^{n+1} P = 0$ ।

**भाग IV — [पूर्णांक-मान बहुपद](#pb-b1-vspaces-1)।** [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) $P \in
\R[X]$ *पूर्णांक-मान* तब कहलाता है जब हर $m \in \Z$ के लिए $P(m) \in
\Z$ हो।

16. सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक $B_k$ पूर्णांक-मान है। *($m \geq k$, $0  \leq m < k$ और $m < 0$ को अलग-अलग निपटाइए; $m = -q < 0$ के लिए $B_k(-q) =  (-1)^k \binom{q + k - 1}{k}$ दिखाइए।)*
17. *पोल्या का अभिलक्षण* सिद्ध कीजिए: $P \in \R_n[X]$ पूर्णांक-मान है तभी जब [आधार](#def-b1-vspaces-free) $(B_0, \dots, B_n)$ में उसके [निर्देशांक](#prop-b1-vspaces-coordinates) पूर्णांक हों।
18. निष्कर्ष निकालिए: यदि $P \in \R_n[X]$ $n + 1$ *क्रमागत* पूर्णांकों $a, a+1, \dots, a+n$ पर पूर्णांक मान लेता है, तो $P$ पूर्णांक-मान है। *(सरकाइए: अध्ययन को $Q(X) = P(X + a)$ पर लगाइए।)*
19. प्रश्न 16 से निष्कर्ष निकालिए कि $k$ क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल सदा $k!$ से विभाज्य होता है।
20. मान लीजिए $P = \dfrac{X(X+1)(2X+1)}{6}$ । $0, 1, 2, 3$ पर उसकी न्यूटन सारणी संगणित कीजिए, $P$ को [आधार](#def-b1-vspaces-free) $(B_k)$ में लिखिए, और निष्कर्ष निकालिए कि $P$ पूर्णांक-मान है, यद्यपि उसका कोई भी एकपदी गुणांक पूर्णांक नहीं है। $\Delta P = (X+1)^2$ सत्यापित कीजिए और $m \in \N$ के लिए $P(m) = 1^2 + 2^2  + \dots + m^2$ निकालिए।

**भाग V — लाभांश।**

21. मान लीजिए $P \in \R_n[X]$ $i = 0, 1, \dots, n$ पर मानों $2^i$ का अंतर्वेशन करता है। दिखाइए कि $P = B_0 + B_1 + \dots + B_n$ और यह कि $P(n +  1) = 2^{n+1} - 1$ : “दुगुना होने का प्रतिरूप” सदा ठीक अगले ही बिंदु पर टूट जाता है।
22. (विविक्त प्रतिअवकलज) सिद्ध कीजिए कि सभी पूर्णांकों $m \geq 1$ और $k  \geq 0$ के लिए, $$\sum_{j=0}^{m-1} B_k(j) \;=\; B_{k+1}(m),$$ अर्थात् हॉकी-स्टिक सर्वसमिका $\sum_{j=k}^{m-1} \binom{j}{k} =  \binom{m}{k+1}$।
23. $X^2$ और $X^3$ को [आधार](#def-b1-vspaces-free) $(B_k)$ में प्रसारित कीजिए और $\sum_{j=0}^{m-1} j^2$ तथा $\sum_{j=0}^{m-1} j^3$ के लिए [संवृत](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/12-topology-of-the-real-line#def-b1-topology-closed) सूत्र निकालिए; निकोमैकस की सर्वसमिका $1^3 + \dots + m^3 = (1 + \dots + m)^2$ फिर से प्राप्त कीजिए।
24. $n = 2$ और गाँठें $0, 1, 2$ लीजिए। इस समस्या के तीनों आधारों — एकपदी [आधार](#def-b1-vspaces-free) , लाग्रांज [आधार](#def-b1-vspaces-free) , न्यूटन [आधार](#def-b1-vspaces-free) — में $X^2$ के [निर्देशांक](#prop-b1-vspaces-coordinates) लिखिए। तीनों उत्तर प्रश्न 4 और 9 के सामने जाँचिए।
25. संश्लेषण। चार वाक्यों में: कौन-सी सदिश-समष्टि अवधारणा प्रश्न 4 को स्वतः कर देती है; न्यूटन [आधार](#def-b1-vspaces-free) [निर्देशांक](#prop-b1-vspaces-coordinates) *पुनरावर्ती* रूप से क्यों संगणित करता है जबकि लाग्रांज [आधार](#def-b1-vspaces-free) उन्हें *तत्काल* पढ़ लेता है; दोनों [आधार](#def-b1-vspaces-free) कौन-सी स्वतंत्रता-कसौटी साझा करते हैं; और ठीक किस अर्थ में पोल्या की प्रमेय कहती है कि किसी [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) की पूर्णांकता *सही [आधार](#def-b1-vspaces-free) में* उसके निर्देशांकों का गुण है।

**हल — समस्या 18.1.**

**1.** $L_i$ $n$ रैखिक गुणनखंडों का गुणनफल है, जिसे एक अशून्य अचर से भाग दिया गया है ($x_i$ भिन्न-भिन्न हैं), अतः $\deg L_i = n$। $j \neq i$ के साथ $x_j$ पर मूल्यांकन करने पर: अंश का गुणनखंड $X - x_j$ शून्य हो जाता है, अतः $L_i(x_j) = 0$। $x_i$ पर अंश और हर एक ही हैं: $L_i(x_i) = 1$।

**2.** मान लीजिए $\sum_i \lambda_i L_i = 0$। $x_j$ पर मूल्यांकन कीजिए: $\lambda_j L_j(x_j) = \lambda_j$ को छोड़कर सभी पद मर जाते हैं, अतः हर $j$ के लिए $\lambda_j = 0$: कुल [स्वतंत्र](#def-b1-vspaces-free) है।

**3.** मान लीजिए $D = P - \sum_i P(x_i) L_i$। तब $\deg D \leq n$ और प्रश्न 1 से $n + 1$ भिन्न-भिन्न बिंदुओं $x_0, \dots, x_n$ के लिए $D(x_j) =
P(x_j) - P(x_j) = 0$। $\leq n$ घात वाले किसी अशून्य [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) के अधिक से अधिक $n$ मूल होते हैं ([उपप्रमेय 8.8](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#cor-b1-poly-nroots)), अतः $D = 0$। इस प्रकार हर $P
\in \R_n[X]$ $L_i$ का संयोजन है: कुल जनक है, और प्रश्न 2 के साथ [आधार](#def-b1-vspaces-free)।

**4.** $y_0, \dots, y_n$ दिया हो, तो [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) $P = \sum_i y_i L_i$ की घात $\leq n$ है और वह अंतर्वेशन करता है। अद्वितीयता: प्रश्न 3 से किसी भी अंतर्वेशी $P$ के [आधार](#def-b1-vspaces-free) $(L_i)$ में [निर्देशांक](#prop-b1-vspaces-coordinates) $(P(x_0), \dots, P(x_n)) =
(y_0, \dots, y_n)$ हैं, और किसी [आधार](#def-b1-vspaces-free) में [निर्देशांक](#prop-b1-vspaces-coordinates) अद्वितीय होते हैं ([प्रतिज्ञप्ति 18.15](#prop-b1-vspaces-coordinates))। लाग्रांज [आधार](#def-b1-vspaces-free) में $P$ के [निर्देशांक](#prop-b1-vspaces-coordinates) *गाँठों पर उसके मान* ही हैं — इस [आधार](#def-b1-vspaces-free) का पूरा मर्म यही है।

**5.** प्रश्न 3 को $P = X^k$ पर लगाइए ($0 \leq k \leq n$):

$$
X^k = \sum_{i=0}^{n} x_i^{k} L_i ,
$$

और $k = 0$ से $\sum_i L_i = 1$ मिलता है।

**6.** ठीक-ठीक $\deg N_k = k$: कुल $(N_0, \dots, N_n)$ $\R_n[X]$ में घातों की एक सीढ़ी है, अतः [उदाहरण 18.20](#ex-b1-vspaces-staircase) से [आधार](#def-b1-vspaces-free) है (स्वतंत्रता [प्रतिज्ञप्ति 18.19](#prop-b1-vspaces-freecriteria) (1) से, और जनक होना घात पर परिमित अवरोहण से)।

**7.** पुनरावृत्ति से,

$$
f[x_0, x_1] = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0},
\qquad
f[x_0, x_1, x_2] = \frac{f[x_1, x_2] - f[x_0, x_1]}{x_2 - x_0}.
$$

$f(x) = x^2$ के लिए:

$$
f[x_0, x_1] = \frac{x_1^2 - x_0^2}{x_1 - x_0} = x_0 + x_1,
$$

और फिर

$$
f[x_0, x_1, x_2]
= \frac{(x_1 + x_2) - (x_0 + x_1)}{x_2 - x_0}
= \frac{x_2 - x_0}{x_2 - x_0} = 1 .
$$

**8.** $\deg S \leq n$, क्योंकि $Q, R$ की घात $\leq n - 1$ है। $x_0$ पर: $S(x_0) = \frac{-(x_0 - x_n) R(x_0)}{x_n - x_0} = R(x_0) = f(x_0)$। $x_n$ पर: $S(x_n) = \frac{(x_n - x_0) Q(x_n)}{x_n - x_0} = Q(x_n) = f(x_n)$। किसी आंतरिक गाँठ $x_i$ ($1 \leq i \leq n-1$) पर $Q$ और $R$ दोनों मान $f(x_i)$ लेते हैं, अतः

$$
S(x_i) = \frac{(x_i - x_0) - (x_i - x_n)}{x_n - x_0}\, f(x_i)
= f(x_i) .
$$

**9.** गाँठों की संख्या पर आगमन। एक गाँठ: अंतर्वेशक अचर $f(x_0) =
f[x_0]$ है। दावे को $k$ गाँठों के लिए मान लीजिए और $S$ को $x_0, \dots, x_k$ पर अंतर्वेशक लीजिए; अद्वितीयता (प्रश्न 4) से $S$ ऐटकिन की प्रमेयिका द्वारा $R$ (गाँठें $x_0, \dots, x_{k-1}$) और $Q$ (गाँठें $x_1, \dots, x_k$) से मिलता है। $S$ में $X^{k}$ का गुणांक है

$$
\frac{[X^{k-1}]\,Q - [X^{k-1}]\,R}{x_k - x_0}
= \frac{f[x_1, \dots, x_k] - f[x_0, \dots, x_{k-1}]}{x_k - x_0}
= f[x_0, \dots, x_k]
$$

— आगमन-परिकल्पना और परिभाषक पुनरावृत्ति से।

**10.** मान लीजिए $P_k$ $x_0, \dots, x_k$ पर $f$ का अंतर्वेशन करता है। अंतर $P_k - P_{k-1}$ की घात $\leq k$ है और वह $x_0, \dots, x_{k-1}$ पर शून्य होता है, अतः गुणनखंड प्रमेय को $k$ बार लगाने पर ([प्रमेय 8.7](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#thm-b1-poly-factor)) वह किसी अचर $c$ के लिए $c\,N_k$ के बराबर है; $X^{k}$ के गुणांकों की तुलना करने पर और प्रश्न 9 का प्रयोग करने पर $c = f[x_0, \dots, x_k]$। $P_0 =
f(x_0) N_0$ से दूरबीनी करने पर न्यूटन का सूत्र मिल जाता है। संवृत रूप के लिए $P_k = \sum_{i \leq k} f(x_i) L_i$ लिखिए (लाग्रांज, गाँठों $x_0, \dots, x_k$ पर) और $X^{k}$ का गुणांक पढ़िए: हर $L_i$ $\frac{1}{\prod_{j \neq i}(x_i -
x_j)}$ का योगदान देता है, जिससे

$$
f[x_0, \dots, x_k] = \sum_{i=0}^{k}
\frac{f(x_i)}{\prod_{j \neq i,\, j \leq k}(x_i - x_j)} .
$$

दायाँ पक्ष गाँठों के किसी भी [क्रमचय](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/2-counting#def-b1-counting-objects) के अंतर्गत अपरिवर्तित है, अतः [विभाजित अंतर](#pb-b1-vspaces-1) उनके क्रम पर निर्भर नहीं करता।

**11.** यदि $P = a X^m + (\text{निम्नतर घातें})$, तो द्विपद प्रमेय देती है

$$
\Delta P = a\bigl((X+1)^m - X^m\bigr) + \dots
= a\,m\,X^{m-1} + (\text{निम्नतर घातें}),
$$

क्योंकि $(X+1)^m - X^m = m X^{m-1} + \dots$, और $P$ का निम्नतर-घात वाला भाग $\Delta$ के बाद $\leq m - 2$ घात का योगदान देता है (अथवा $\leq m-2$ घात के पद)। अतः $\deg \Delta P = m - 1$, जिसका अग्र गुणांक $m a$ है। किसी अचर $c$ के लिए $\Delta c = c - c = 0$।

**12.** $\deg B_k = k$: सीढ़ी, अतः $\R_n[X]$ का [आधार](#def-b1-vspaces-free) ([उदाहरण 18.20](#ex-b1-vspaces-staircase))। $\Delta B_k$ के लिए ($k \geq 1$) उभयनिष्ठ गुणनफल का गुणनखंडन कीजिए:

$$
\begin{align*}
k!\,\Delta B_k
&= (X+1)X\cdots(X-k+2) - X(X-1)\cdots(X-k+1) \\
&= X(X-1)\cdots(X-k+2)\,\bigl[(X+1) - (X-k+1)\bigr] \\
&= k\,X(X-1)\cdots(X-k+2),
\end{align*}
$$

अतः $\Delta B_k = \frac{X(X-1)\cdots(X-k+2)}{(k-1)!} = B_{k-1}$।

**13.** $P = \sum_{k=0}^{n} c_k B_k$ लिखिए ([आधार](#def-b1-vspaces-free), प्रश्न 12)। $\Delta^{j}$ लगाइए: प्रश्न 12 से $\Delta^{j} P = \sum_{k \geq j} c_k
B_{k-j}$। $0$ पर मूल्यांकन कीजिए: $B_0(0) = 1$, और $m \geq 1$ के लिए $B_m(0)
= 0$ (गुणनखंड $X$ शून्य हो जाता है), अतः $\bigl(\Delta^{j}P\bigr)(0) = c_j$। यही अग्र-अंतर सूत्र है।

**14.** $k$ पर आगमन। $k = 0$ के लिए सर्वसमिका $P(0) = P(0)$ कहती है। उसे $k$ के लिए मान लीजिए और $\Delta P$ पर लगाइए:

$$
\bigl(\Delta^{k+1} P\bigr)(0)
= \sum_{j=0}^{k} (-1)^{k-j}\binom kj \bigl(P(j+1) - P(j)\bigr).
$$

$P(i)$ का गुणांक इकट्ठा कीजिए: पहले योग से (सरकाकर) वह $(-1)^{k-i+1}\binom
k{i-1}\cdot(-1)^{0}$ है और दूसरे से $-(-1)^{k-i}\binom ki$ — दोनों मिलकर

$$
(-1)^{k+1-i}\Bigl(\binom k{i-1} + \binom ki\Bigr)
= (-1)^{k+1-i}\binom{k+1}i
$$

— पास्कल के नियम से, जो कोटि $k + 1$ पर वही सर्वसमिका है।

**15.** प्रश्न 11 को घात $n$ और अग्र गुणांक $a_n$ से दोहराइए: एक $\Delta$ के बाद घात $n-1$ और अग्र गुणांक $n a_n$; दो के बाद $n(n-1)a_n$; $n$ चरणों के बाद घात $0$ और मान $n(n-1)\cdots 1\, a_n = n!\,a_n$, जो एक अचर है। एक और $\Delta$ उसे मार देता है: $\Delta^{n+1}P = 0$।

**16.** यदि $m \geq k$: $B_k(m) = \binom mk \in \N$। यदि $0 \leq m <
k$: $m(m-1)\cdots(m-k+1)$ का कोई एक गुणनखंड शून्य है, अतः $B_k(m) = 0$। यदि $q \geq 1$ के साथ $m = -q$:

$$
B_k(-q) = \frac{(-q)(-q-1)\cdots(-q-k+1)}{k!}
= (-1)^k\,\frac{q(q+1)\cdots(q+k-1)}{k!}
= (-1)^k \binom{q+k-1}{k},
$$

जो एक पूर्णांक है। अतः हर $B_k$ $\Z$ को $\Z$ में भेजता है।

**17.** ($\Leftarrow$) यदि $c_k \in \Z$ के साथ $P = \sum_k c_k B_k$, तो $m \in \Z$ के लिए प्रश्न 16 से $P(m) = \sum_k c_k B_k(m) \in \Z$। ($\Rightarrow$) यदि $P$ पूर्णांक-मान है, तो उसके [निर्देशांक](#prop-b1-vspaces-coordinates) $c_k =
\bigl(\Delta^k P\bigr)(0) = \sum_{j=0}^k (-1)^{k-j}\binom kj P(j)$ हैं (प्रश्न 13 और 14), जो पूर्णांकों $P(0), \dots, P(k)$ का पूर्णांक संयोजन है। यही पूर्णांक-मान बहुपदों का पोल्या द्वारा दिया गया अभिलक्षण है।

**18.** $Q(X) = P(X + a)$ रखिए, जो $\leq n$ घात का [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) है और $Q(0),
Q(1), \dots, Q(n) \in \Z$। $(B_k)_{k \leq n}$ में उसके [निर्देशांक](#prop-b1-vspaces-coordinates) $c_k =
\sum_{j \leq k}(-1)^{k-j}\binom kj Q(j) \in \Z$ हैं (प्रश्न 14 केवल $0,
\dots, k \leq n$ पर के मानों का प्रयोग करता है)। प्रश्न 17 ($\Leftarrow$) से $Q$ पूरे $\Z$ पर पूर्णांक-मान है, अतः $P(X) = Q(X - a)$ भी।

**19.** $k$ क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल किसी $m \in \Z$ के लिए $m(m-1)
\cdots(m-k+1) = k!\,B_k(m)$ है, और प्रश्न 16 से $B_k(m) \in \Z$: अतः गुणनफल $k!$ से विभाज्य है।

**20.** $0,1,2,3$ पर $P = \frac{X(X+1)(2X+1)}{6}$ के मान: $0, 1, 5,
14$। अंतर सारणी: $\Delta$ की पंक्ति $1, 4, 9$; $\Delta^2$ की पंक्ति $3, 5$; $\Delta^3$ की पंक्ति $2$। अतः प्रश्न 13 से,

$$
P = 0\cdot B_0 + 1\cdot B_1 + 3\,B_2 + 2\,B_3 ,
$$

और [निर्देशांक](#prop-b1-vspaces-coordinates) पूर्णांक हैं: $P$ पूर्णांक-मान है (प्रश्न 17), जबकि उसके एकपदी गुणांक $\frac13, \frac12, \frac16$ पूर्णांक नहीं हैं। सीधी संगणना:

$$
\begin{align*}
\Delta P &= \frac{(X+1)(X+2)(2X+3) - X(X+1)(2X+1)}{6} \\
&= \frac{(X+1)\bigl[(X+2)(2X+3) - X(2X+1)\bigr]}{6}
= \frac{(X+1)(6X+6)}{6} = (X+1)^2 .
\end{align*}
$$

$P(m) = \sum_{j=0}^{m-1}\Delta P(j) = \sum_{j=1}^{m} j^2$ को दूरबीनी करने पर ($P(0) = 0$ के साथ): अर्थात् वर्गों के योग का सूत्र।

**21.** $i = 0, \dots, n$ पर मान $2^i$ की अंतर सारणी बाएँ किनारे पर लगातार $1$ है: अनुक्रम $(2^i)$ का $\Delta^k$ फिर से $(2^i)$ है (क्योंकि $2^{i+1} - 2^i = 2^i$), अतः सभी $k \leq n$ के लिए $\bigl(\Delta^k P\bigr)(0)
= 2^0 = 1$, और प्रश्न 13 से $P = B_0 + B_1 + \dots + B_n$। तब

$$
P(n+1) = \sum_{k=0}^{n}\binom{n+1}{k}
= 2^{n+1} - \binom{n+1}{n+1} = 2^{n+1} - 1 \neq 2^{n+1}:
$$

अर्थात् प्रतिरूप पहले ही अनियंत्रित बिंदु पर टूट जाता है।

**22.** प्रश्न 12 से $B_k = \Delta B_{k+1}$, अतः

$$
\sum_{j=0}^{m-1} B_k(j)
= \sum_{j=0}^{m-1}\bigl(B_{k+1}(j+1) - B_{k+1}(j)\bigr)
= B_{k+1}(m) - B_{k+1}(0) = B_{k+1}(m).
$$

$j < k$ के लिए पद $B_k(j)$ शून्य हो जाते हैं, अतः योग वस्तुतः $j = k$ से आरंभ होता है: $\sum_{j=k}^{m-1}\binom jk = \binom m{k+1}$, अर्थात् हॉकी-स्टिक सर्वसमिका।

**23.** अंतर सारणियाँ (अथवा सीधा प्रसार) देती हैं

$$
X^2 = B_1 + 2 B_2, \qquad X^3 = B_1 + 6 B_2 + 6 B_3
$$

(जाँच: $B_1 + 2B_2 = X + X(X-1) = X^2$; $X = 1, 2, 3$ पर दूसरा $1, 8, 27$ देता है)। फिर प्रश्न 22 से मिलता है

$$
\sum_{j=0}^{m-1} j^2 = B_2(m) + 2B_3(m)
= \binom m2 + 2\binom m3 = \frac{m(m-1)(2m-1)}{6},
$$

$$
\sum_{j=0}^{m-1} j^3 = B_2(m) + 6B_3(m) + 6B_4(m)
= \binom m2 + 6\binom m3 + 6\binom m4 .
$$

अंतिम व्यंजक को प्रसारित करने पर: $\binom m2 + 6\binom m3 + 6\binom m4 =
\frac{m(m-1)}{2}\bigl[1 + 2(m-2) + \frac{(m-2)(m-3)}{2}\bigr] =
\frac{m^2(m-1)^2}{4} = \binom m2^2$। $m$ के स्थान पर $m + 1$ रखने पर: $1^3 +
\dots + m^3 = \bigl(\frac{m(m+1)}2\bigr)^2 = (1 + \dots + m)^2$, अर्थात् निकोमैकस की सर्वसमिका।

**24.** गाँठें $0, 1, 2$, [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) $X^2$। एकपदी [आधार](#def-b1-vspaces-free) $(1, X, X^2)$: [निर्देशांक](#prop-b1-vspaces-coordinates) $(0, 0, 1)$। लाग्रांज [आधार](#def-b1-vspaces-free): [निर्देशांक](#prop-b1-vspaces-coordinates) मान $(0, 1, 4)$ हैं (प्रश्न 4)। न्यूटन [आधार](#def-b1-vspaces-free) $(1, X, X(X-1))$: [विभाजित अंतर](#pb-b1-vspaces-1) $f[0] = 0$, $f[0,1] =
1$, $f[0,1,2] = \frac{3 - 1}{2} = 1$ (प्रश्न 9), अतः [निर्देशांक](#prop-b1-vspaces-coordinates) $(0, 1, 1)$ — और वस्तुतः $X + X(X-1) = X^2$। तीन [आधार](#def-b1-vspaces-free), तीन निर्देशांक-सदिश, एक ही [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def)।

**25.** (क) प्रश्न 4 स्वतः इसलिए है कि $(L_i)$ एक *[आधार](#def-b1-vspaces-free)* है: अंतर्वेशन का अस्तित्व और अद्वितीयता ठीक निर्देशांकों का अस्तित्व और अद्वितीयता ही हैं। (ख) न्यूटन [आधार](#def-b1-vspaces-free) एक सीढ़ी है, अतः [निर्देशांक](#prop-b1-vspaces-coordinates) क्रमागत भागों से संगणित होते हैं — हर नई गाँठ पिछली गाँठों को छेड़े बिना एक पद जोड़ देती है — जबकि $P$ के लाग्रांज [निर्देशांक](#prop-b1-vspaces-coordinates) तो मान $P(x_i)$ ही हैं, जो बिना किसी संगणना के उपलब्ध हैं। (ग) दोनों [आधार](#def-b1-vspaces-free) [प्रतिज्ञप्ति 18.19](#prop-b1-vspaces-freecriteria) की एक ही जोड़ी कसौटियों से स्वतंत्र हैं: न्यूटन के लिए भिन्न-भिन्न घातें, और लाग्रांज के लिए गाँठों पर मूल्यांकन। (घ) पोल्या की प्रमेय कहती है कि “$P(\Z) \subseteq \Z$”, जो मानों का गुण है, [आधार](#def-b1-vspaces-free) $(B_k)$ में निर्देशांकों की पूर्णांकता के तुल्य है — किसी [बहुपद](https://one-course.com/books/math/3/hi/chapter/8-polynomials#def-b1-poly-def) का अंकगणित केवल उसी [आधार](#def-b1-vspaces-free) में दिखाई देता है जो प्रश्न के अनुकूल हो।